«Конус» задача 8 ЕГЭ профиль

Вариант 1.

1.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

2.Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

3.Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 20 раз, а радиус основания останется прежним?

4.Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 14 раз, а высота останется прежней?

5.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 159. Найдите объём конуса.

6.Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

7.Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 36 раз, а радиус основания останется прежним?

8.Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 15 раз, а образующая останется прежней?

9.Площадь полной поверхности конуса равна 100. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

10.Высота конуса равна 64, а диаметр основания — 96. Найдите образующую конуса.

11.Высота конуса равна 57, а длина образующей — 95 . Найдите диаметр основания конуса.

12.Площадь основания конуса равна , высота — 3. Найдите площадь осевого сечения конуса.

13.В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 3 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

14.Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

Вариант 2

1.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 23. Найдите объём цилиндра.

2.Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

3.Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 22 раз, а радиус основания останется прежним?

4.Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 4,5 раз, а высота останется прежней?

5.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 129. Найдите объём конуса.

6.Длина окружности основания конуса равна 8, образующая равна 4. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

7.Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 11 раз, а радиус основания останется прежним?

8.Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 28 раз, а образующая останется прежней?

9.Площадь полной поверхности конуса равна 144. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

10.Высота конуса равна 30, а диаметр основания — 32. Найдите образующую конуса.

11.Высота конуса равна 96, а длина образующей — 100 . Найдите диаметр основания конуса.

12.Площадь основания конуса равна , высота — 9. Найдите площадь осевого сечения конуса.

13.В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 56 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

14.Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

Вариант 3

1.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 27. Найдите объём цилиндра.

2.Объем конуса равен 112. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

3.Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 6 раз, а радиус основания останется прежним?

4.Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 26 раз, а высота останется прежней?

5.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 153. Найдите объём конуса.

6.Длина окружности основания конуса равна 7, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

7.Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 9 раз, а радиус основания останется прежним?

8.Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 30 раз, а образующая останется прежней?

9.Площадь полной поверхности конуса равна 192. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

10.Высота конуса равна 48, а диаметр основания — 40. Найдите образующую конуса.

11.Высота конуса равна 64, а длина образующей — 80 . Найдите диаметр основания конуса.

12.Площадь основания конуса равна , высота — 15. Найдите площадь осевого сечения конуса.

13.В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 2 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

14.Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

Вариант 4.

1.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 18. Найдите объём цилиндра.

2.Объем конуса равен 24. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

3.Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 15 раз, а радиус основания останется прежним?

4.Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 3 раз, а высота останется прежней?

5.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 162. Найдите объём конуса.

6.Длина окружности основания конуса равна 4, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

7.Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 35 раз, а радиус основания останется прежним?

8.Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 37 раз, а образующая останется прежней?

9.Площадь полной поверхности конуса равна 200. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

10.Высота конуса равна 60, а диаметр основания — 126. Найдите образующую конуса.

11.Высота конуса равна 30, а длина образующей — 34 . Найдите диаметр основания конуса.

12.Площадь основания конуса равна , высота — 4. Найдите площадь осевого сечения конуса.

13.В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

14.Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

Вариант 5.

1.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 14. Найдите объём цилиндра.

2.Объем конуса равен 64. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

3.Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 20,5 раз, а радиус основания останется прежним?

4.Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 9 раз, а высота останется прежней?

5.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 84. Найдите объём конуса.

6.Длина окружности основания конуса равна 2, образующая равна 5. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

7.Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 40 раз, а радиус основания останется прежним?

8.Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 23 раза, а образующая останется прежней?

9.Площадь полной поверхности конуса равна 96. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

10.Высота конуса равна 32, а диаметр основания — 120. Найдите образующую конуса.

11.Высота конуса равна 25, а длина образующей — 65 . Найдите диаметр основания конуса.

12.Площадь основания конуса равна , высота — 10. Найдите площадь осевого сечения конуса.

13.В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 7 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

14.Диаметр основания конуса равен 30, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

Вариант 6.

1.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 16. Найдите объём цилиндра

2.Объем конуса равен 144. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

3.Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 12 раз, а радиус основания останется прежним?

4.Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 33 раз, а высота останется прежней?

5.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 171. Найдите объём конуса.

6.Длина окружности основания конуса равна 4, образующая равна 5. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

7.Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 2,5 раза, а радиус основания останется прежним?

8.Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 31 раз, а образующая останется прежней?

9.Площадь полной поверхности конуса равна 88. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

10.Высота конуса равна 54, а диаметр основания — 144. Найдите образующую конуса.

11.Высота конуса равна 60, а длина образующей — 87 . Найдите диаметр основания конуса.

12.Площадь основания конуса равна , высота — 16. Найдите площадь осевого сечения конуса.

13.В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 128 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

14.Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

Вариант 7

1.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

2.Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

3.Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 20 раз, а радиус основания останется прежним?

4.Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 4,5 раз, а высота останется прежней?

5.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 159. Найдите объём конуса.

6.Длина окружности основания конуса равна 8, образующая равна 4. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

7.Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 36 раз, а радиус основания останется прежним?

8.Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 28 раз, а образующая останется прежней?

9.Площадь полной поверхности конуса равна 100. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

10.Высота конуса равна 30, а диаметр основания — 32. Найдите образующую конуса.

11.Высота конуса равна 57, а длина образующей — 95 . Найдите диаметр основания конуса.

12.Площадь основания конуса равна , высота — 9. Найдите площадь осевого сечения конуса.

13.В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 3 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

14.Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Вариант 8

1.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 23. Найдите объём цилиндра.

2.Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

3.Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 22 раз, а радиус основания останется прежним?

4.Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 14 раз, а высота останется прежней?

5.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 129. Найдите объём конуса.

6.Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

7.Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 11 раз, а радиус основания останется прежним?

8.Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 15 раз, а образующая останется прежней?

9.Площадь полной поверхности конуса равна 144. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

10.Высота конуса равна 64, а диаметр основания — 96. Найдите образующую конуса.

11.Высота конуса равна 96, а длина образующей — 100 . Найдите диаметр основания конуса.

12.Площадь основания конуса равна , высота — 3. Найдите площадь осевого сечения конуса.

13.В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 56 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

14.Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Практикум №8 по решению стереометрических задач

Практикум №8
по решению
стереометрических задач
Разработано учителем математики
МОУ «СОШ» п. Аджером
Корткеросского района Республики Коми
Мишариной Альбиной Геннадьевной
Конус
в заданиях
ЕГЭ

3. Содержание

Задача №1
Задача №2
Задача №3
Задача №4
Задача №5
Задача №6
Задача №7
Задача №8
Задача №9
Задача №10
Задача №11
Задача №12
Задача №13
Задача №14
Задача №15
Задача №16
Задача №17
Задача №18
Задача №19
Задача №20
Задача №21
• Задачи для самостоятельного решения
Задача №22
Задача №23
Задача №24
Задача №25
Задача №26
Задача №27
Задача №28
Задача №29
Задача №30
Задача №31
Задача №32

4. Задача №1

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого
конуса равны соответственно 3 и 9, а второго — 6 и 9. Во сколько
раз площадь боковой поверхности второго конуса больше
площади боковой поверхности первого?
Решение.
Т.к. площадь боковой поверхности конуса: S=πrl.
Значит S1= π·3·9= 27π, S2= π·6·9= 54π.
Тогда S2: S1= 54π : 27π = 2

5. Задача №2

Объём конуса равен 135. Через точку, делящую высоту конуса в от
ношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, парал
лельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данно
го конуса проведённой плоскостью.
Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициен
та подобия. Высоты конусов относятся как 1:3, поэтому их
объемы относятся как 1:27. Следовательно, объем отсекае
мого конуса равен 135 : 33 = 5.

6. К задаче №2

Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса
проведена плоскость, параллельная основанию.
Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса
проведённой плоскостью.
Решение.
Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициента
подобия k. Так как высоты конусов относятся как 1:2, то
k равно одной второй, а значит объем отсекаемого конуса
будет равен 32 : 2³ = 4.

7. Задача №3

Объём конуса равен 50π а его высота равна 6 .
Найдите радиус основания конуса.
Найдём радиус основания конуса по
формуле: V=1/3·πR²h
Откуда R²=3V:πh => R²= 150π : 6π
= 25. Тогда R=5

8. Задача №4

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту
уменьшить в 3 раза?
Объем конуса вычисляется по
формуле V=1/3·Soc.·h .
Значит, если высоту увеличить в 3
раза, то и объём увеличится в 3
раза

9. Задача №5

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его
радиус основания увеличить в 1,5 раза?
Объем конуса вычисляется по формуле
V=1/3·Soc.·h = 1/3·πR²·h.
Значит, если радиус основания увеличить
в 1,5 раза, то и объём конуса увеличится
в 2,25 раза

10. Задача №6

Во сколько раз увеличится площадь боковой
поверхности конуса, если его образующую
увеличить в 3 раза?
Площадь
боковой
поверхности
конуса вычисляется по формуле
S= πR·L, где L-образующая.
Значит если увеличить L в 3 раза,
то площадь боковой поверхности
конуса тоже увеличится в 3 раза.

11. Задача №7

Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности
конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза,
а образующая останется прежней?
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется
по формуле S= πR·L. Значит, если радиус
основания уменьшится в 1,5 раза, то площадь
боковой поверхности конуса тоже уменьшится в 1,5
раза.

12. Задача №8

Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6.
Найдите образующую конуса.
По теореме Пифагора
2
36
d
L h 16
25 5
4
2
2

13. Задача №9

Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5.
Найдите диаметр основания конуса.
По теореме Пифагора….
Ответ: 6.

14. Задача №10

Диаметр основания конуса равен 6, а длина
образующей — 5. Найдите высоту конуса.
По теореме Пифагора….
Ответ: 4.

15. Задача №11

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости
достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 70 мл.
Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы
полностью наполнить сосуд?
Меньший конус подобен большему с
коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел
относятся как куб коэффициента подобия.
Поэтому объем большего конуса в 8 раз
больше объема меньшего конуса, он равен 560
мл. Следовательно, необходимо долить 560 −
70 = 490 мл жидкости.

16. Задача №12

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости
достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 1600 мл. Чему равен
объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

17. Решение

Пусть х — высота налитой
жидкости, у —
радиус
окружности в основании
конуса. Тогда 2х — высота
сосуда,


радиус
окружности в основании
сосуда (так как поверхность
жидкости
отсекает
от
конического сосуда конус
подобный
данному).
Найдем отношения объёмов
конусов,
Решение
1
2
2 y 2x
V1 3
8
1
V2
2
y x
3
Таким образом, объём
сосуда в 8 раз больше
объёма налитой
жидкости: 1600 : 8 = 200

18. Задача №13

Объём конуса равен 96π, а его высота равна 8.
Найдите радиус основания конуса.
Найдём радиус основания конуса
из формулы: V=1/3·πR²h
Откуда R²=3V:πh =>
3Vk .
3 96
R
36 6
h
8

19. Задача №14

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого
конуса равны, соответственно, 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во
сколько раз площадь боковой поверхности второго
конуса больше площади боковой поверхности первого?

20. Решение

1) Найдём площадь боковой поверхности
первого конуса:
S1=π·R1·L1 = π·2·4=8π
2) Найдём площадь боковой поверхности второго
конуса:
S2=π·R2·L2 = π·6·8=48π
3) Найдём отношение площадей этих конусов:
S2 : S1 = 48π : 8π = 6

21. Задача №15

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту.
Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь
боковой поверхности цилиндра равна 3√2. Найдите
площадь боковой поверхности конуса.

22. Решение

1) Заметим, что конус и цилиндр имеют общую высоту
и равные радиусы основания. Площадь боковой
поверхности цилиндра равна Sб.п.= 2πR·h, но R=h
следовательно Sб.п.= 2πR² и =3√2 => πR² =1,5√2
2)
Площадь боковой поверхности конуса
равна S=πR·L, Но L² = R²+h², но R=h => L² =
2R² => L = R√2.
Значит Sб.п.= πR·L= πR· R√2 = πR²·√2 =
= 1,5√2·√2 = 3

23. Задача №16

Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей
— 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Осевым
сечением
конуса
является
равнобедренный треугольник, основание
которого —это диаметр основания конуса, а
высота совпадает с высотой конуса.
Но L² = R²+h² => h = √100-36=√64=8
Следовательно, площадь осевого сечения
равна 0,5 · 12 · 8 = 48.

24. Задача №17

Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите
площадь осевого сечения этого конуса.
Осевым сечением конуса является равнобедренный
треугольник, основание которого — диаметр
основания конуса, а высота совпадает с высотой
конуса.
Но L² = R²+h² => R=√100-64=√36=6
Следовательно, диаметр осевого сечения
конуса равен 12, а площадь осевого
сечения равна 0,5 · 12 · 8 = 48.

25. Задача №18

Площадь основания конуса равна 18. Плоскость,
параллельная плоскости основания конуса, делит его
высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины.
Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью

26. Решние

Сечение
плоскостью,
параллельной
основанию, представляет собой круг, радиус
которого относится к радиусу основания
конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур
относятся как квадрат коэффициента подобия,
поэтому площадь сечения в 9 раз меньше
площади основания. Тем самым, она равна 2.

27. Задача №19

Площадь основания конуса равна 16π, высота — 6.
Найдите площадь осевого сечения конуса.
Осевым сечением конуса является равнобедренный
треугольник, высота которого совпадает с высотой
конуса, а основание является диаметром основания
конуса. Поэтому площадь осевого сечения равна
половине произведения высоты конуса на диаметр его
основания или произведению высоты конуса на радиус
основания R. Поскольку по условию πR²=16π, то
радиус основания конуса равен 4, а тогда искомая
площадь осевого сечения равна 24.

28. Задача №20

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность
основания конуса и его вершину). Центр сферы
совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы
равен 10√2. Найдите образующую конуса.
Высота конуса перпендикулярна основанию и
равна радиусу сферы. Тогда по теореме
Пифагора получаем:
2
2
2
L R R
L R 2 10 2 2 20
L R 2

29. Задача №21

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен
радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем
конуса.
Формулу для объёма шара:
V=4/3 ·πR³, а формула объёма
конуса: V=1/3 ·πR³.
Значит объём конуса в 4 раза
меньше объёма шара.
Тогда объём конуса равен 28 : 4 = 7

30. Задача №22

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше
площади основания. Найдите угол между образующей
конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

31. Решение

S осн r
2
Решение
Sб. r L
Sб. 2 S осн r L 2 r
2
L 2r
Значит, в прямоугольном треугольнике,
образованном высотой, образующей и радиусом
основания конуса, катет, равный радиусу, вдвое
меньше гипотенузы. Тогда он лежит напротив угла
30°. Следовательно, угол между образующей конуса
и плоскостью основания равен 60°.

32. Задача №23

Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите
площадь полной поверхности конуса, деленную на π .
Найдем образующую по теореме Пифагора:
L=√h²+R²=√16+9=√25=5
Площадь
полной
поверхности
конуса
S R RL R( L R) 3 8 24
2

33. Задача №24

Длина окружности основания конуса равна 3, образующая
равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Площадь
равна
боковой
поверхности
конуса
1
1
Sб. r L С L 2 3 3
2
2

34. Задача №25

Конус получается при вращении равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного
6. Найдите его объем, деленный на π .
Треугольник АВС– так же равнобедренный, т.к.
углы при основании АВ равны 45°. Тогда радиус
основания равен 6, и объем конуса, деленный на π:
V
1 Sh 1 R 2 h 1
1 3
2
R R 6 72
3
3
3
3

35. Задача №26

Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине
осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса,
деленный на π.

36. Решение

В треугольнике, образованном радиусом основания r,
высотой h и образующей конуса l, углы при
образующей равны, поэтому высота конуса равна
радиусу его основания: h = r. Тогда объем конуса,
деленный на
вычисляется следующим
образом:
V 1 Sh 1 R h 1 2
1 3
R R 3 9
3 3
3
3
2

37. Задача №27

Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и
наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе
укажите V/π.
30°

38. Решение

Высоту конуса найдем по свойству стороны
прямоугольного
треугольника,
находящейся
напротив угла в
30° – она вдвое меньше
гипотенузы, которой в данном случае является
образующая конуса. Радиус основания найдем по
теореме Пифагора: R=√2²-1=√3
V 1 Sh 1 R h 1 2
1
R h 3 1 1
3 3
3
3
2

39. Задача №28

Конус описан около правильной четырехугольной
пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите
его объем, деленный на π.
Радиус основания конуса r равен половине
диагонали квадрата ABCD: r=√2/2·AB=2√2
Тогда объем конуса, деленный
на π :
V 1 Sh 1 R h 1 2
1
R h 8 6 16
3 3
3
3
2

40. Задача №29

Найдите объем V части конуса, изображенной на
рисунке. В ответе укажите V/π .
Объем
равен
данной
части
конуса
90 1 2
1 2
R H 9 13 87,75
360 3
12

41. Задача №30

Найдите объем V части конуса, изображенной на
рисунке. В ответе укажите V/π .
Объем
равен
данной
части
конуса
270 1
3 1
1 2
2
2
R H R H 9 12 234
360 3
4 3
4

42. Задача №31

Найдите объем V части конуса, изображенной на
рисунке. В ответе укажите V/π .
Объем
равен
данной
части
конуса
60 1 2
1 1 2
1
2
R H R H 12 27 216
360 3
6 3
18

43. Задача №32

Найдите объем V части конуса, изображенной на
рисунке. В ответе укажите V/π .
Объем данной части конуса
равен
300 1 2
5 1 2
5 2
R H R H 9 27 607,5
360 3
6 3
18
Задачи
для самостоятельного
решения

45. Задача №2 Решить самостоятельно

1) Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в
отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость,
параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от
данного конуса проведённой плоскостью.
Ответ:1
2) Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно
основанию конуса проведено сечение, которое является основанием
меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Ответ:2
3) Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно
основанию конуса проведено сечение, которое является основанием
меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

46. Задача №3 Решить самостоятельно

1) Объём конуса равен 9π, а его высота равна 3 . Найдите
радиус основания конуса.
Ответ:3
2) Объём конуса равен 25π, а его высота равна 3 .
Найдите радиус основания конуса.
Ответ:5

47. Задача №4 Решить самостоятельно

1) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его
высоту уменьшить в 18,5 раза?
2) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его
высоту уменьшить в 24 раза?
3) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его
высоту уменьшить в 10 раз?

48. Задача №5 Решить самостоятельно

1) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его
радиус основания увеличить в 40 раз?
2) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его
радиус основания увеличить в 22 раза?
3) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его
радиус основания увеличить в 31 раз?

49. Задача №6 Решить самостоятельно

1) Во сколько раз увеличится площадь боковой
поверхности конуса, если его образующую
увеличить в 36 раз?
2) Во сколько раз увеличится площадь боковой
поверхности конуса, если его образующую
увеличить в 11 раз?
3) Во сколько раз увеличится площадь боковой
поверхности конуса, если его образующую
увеличить в 1,5 раза?

50. Задача №7 Решить самостоятельно

1) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности
конуса, если радиус его основания уменьшится в 8 раз, а
образующая останется прежней?
2) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности
конуса, если радиус его основания уменьшится в 36 раз, а
образующая останется прежней?
3) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности
конуса, если радиус его основания уменьшится в 21 раз, а
образующая останется прежней?

51. Задача №8 Решить самостоятельно

1) Высота конуса равна 8, а диаметр основания —
30. Найдите образующую конуса. Ответ: 17
2) Высота конуса равна 5, а диаметр основания —
24. Найдите образующую конуса. Ответ: 13
3) Высота конуса равна 6, а диаметр основания —
16. Найдите образующую конуса. Ответ: 10

52. Задача №9 Решить самостоятельно

1) Высота конуса равна 72, а длина образующей —
90. Найдите диаметр основания конуса.
Ответ:108
2) Высота конуса равна 21, а длина образующей —
75. Найдите диаметр основания конуса.
3) Высота конуса равна 57, а длина образующей —
95. Найдите диаметр основания конуса.

53. Задача №10 Решить самостоятельно

1) Диаметр основания конуса равен 108, а длина
образующей — 90. Найдите высоту конуса. Ответ: 72
2) Диаметр основания конуса равен 42, а длина
образующей — 75. Найдите высоту конуса. Ответ: 72
3) Диаметр основания конуса равен 24, а длина
образующей — 13. Найдите высоту конуса. Ответ: 5

54. Задача №11 Решить самостоятельно

1) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости
достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 14 мл. Сколько
миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью
наполнить сосуд?
Ответ: 364
2) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости
достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько
миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью
наполнить сосуд?
Ответ: 280
3) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости
достигает 1/4 высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Сколько
миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью
наполнить сосуд?
Ответ:

55. Задача №19 Решить самостоятельно

1) Площадь основания конуса равна 36π, высота —10.
Найдите площадь осевого сечения конуса. Ответ:60
2)

56. Задача №21 Решить самостоятельно

1) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен
радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем
конуса.
2) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен
радиусу шара. Объем шара равен 160. Найдите объем
конуса.
3) Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен
радиусу шара. Объем шара равен 132. Найдите объем
конуса.

57. Задача №23 Решить самостоятельно

1) Радиус основания конуса равен 12, высота равна 16.
Найдите площадь полной поверхности конуса,
деленную на π .
2) Радиус основания конуса равен 28, высота равна 21.
Найдите площадь полной поверхности конуса,
деленную на π .
3) Радиус основания конуса равен 15, высота равна 36.
Найдите площадь полной поверхности конуса,
деленную на π .

58. Задача №24 Решить самостоятельно

1) Длина окружности основания конуса равна 6,
образующая равна 2. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.
Ответ: 6
2) Длина окружности основания конуса равна 5,
образующая равна 8. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.
3) Длина окружности основания конуса равна 8,
образующая равна 6. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.

59. Задача №25 Решить самостоятельно

1) Конус получается при вращении равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС вокруг катета,
равного 15. Найдите его объем, деленный на π .
2) Конус получается при вращении равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС вокруг катета,
равного 120. Найдите его объем, деленный на π .
3) Конус получается при вращении равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС вокруг катета,
равного 60. Найдите его объем, деленный на π .

60. Задача №26 Решить самостоятельно

1) Диаметр основания конуса равен 66, а угол при
вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем
конуса, деленный на π.
2) Диаметр основания конуса равен 12, а угол при
вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем
конуса, деленный на π.
3) Диаметр основания конуса равен 36, а угол при
вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем
конуса, деленный на π.

61. Задача №27 Решить самостоятельно

1) Найдите объем конуса, образующая которого равна 44
и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В
ответе укажите V/π.
Ответ: 10 648
2) Найдите объем конуса, образующая которого равна 51
и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В
ответе укажите V/π.
3) Найдите объем конуса, образующая которого равна 34
и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В
ответе укажите V/π.

62. Задача №28 Решить самостоятельно

1) Конус описан около правильной четырехугольной
пирамиды со стороной основания 3 и высотой 13.
Найдите его объем, деленный на π.
Ответ:19,5
2) Конус описан около правильной четырехугольной
пирамиды со стороной основания 8 и высотой 12.
Найдите его объем, деленный на π.
3) Конус описан около правильной четырехугольной
пирамиды со стороной основания 4 и высотой 9.
Найдите его объем, деленный на π.

63. Задача №29 Решить самостоятельно

1) Найдите объем V части конуса, изображенной на
рисунке. В ответе укажите V/π .

64. Задача №30 Решить самостоятельно

Задача №30
Найдите объем V
укажите V/π .
Решить
самостоятельно
части
конуса, изображенной на рисунке. В ответе

65. Задача №31 Решить самостоятельно

Найдите объем V части конуса, изображенной на
рисунке. В ответе укажите V/π .

66. Задача №32 Решить самостоятельно

Найдите объем V части конуса, изображенной на
рисунке. В ответе укажите V/π .

67. Используемые ресурсы

• Шаблон подготовила учитель русского языка и литературы
Тихонова Надежда Андреевна
«Решу ЕГЭ» Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ
и ОГЭ. Режим доступа: http://mathb.reshuege.ru
http://sch-53.ru/files/director/GIA/2016/%D0%95%D0%93%D0%AD%202016.jpg
Автор и источник заимствования неизвестен
http://belmathematics.by/images/teorija/konys3.jpg
https://im1-tub-ru.yandex.net/i?
id=72aa47f9b7dce12424f069f72b9a
3c2a&n=33&h=215&w=158
http://900igr.net/datai/geometrija/Konus-geometrija/0001-001-G-11-urok-1.png
http://www.k6-geometric-shapes.com/image-files/3d-t3-cone.jpg
http://900igr.net/datai/geometrija/Osnovy-stereometrii/0040-033-Obem-konusa.png

Самостоятельная работа по теме «Конус». 11 класс. Домашняя работа по теме «Конус» задания взяты Открытый банк ЕГЭ | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по геометрии (11 класс) на тему:

Самостоятельная работа. Геометрия 11 класс

Вариант 1. База задание 13    

1.Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Высота конуса равна 36, образующая равна 45. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

3. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 11 раз?

4. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 10 раз?

5. Высота конуса равна 48, а диаметр основания — 72. Найдите образующую конус

6.Высота конуса равна 60, а длина образующей — 87. Найдите диаметр основания конуса.

7. Диаметр основания конуса равен 126, а длина образующей — 87. Найдите высоту конуса.

Проф. Задание 8

1.Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

2.Площадь основания конуса равна , высота — 15. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3. Высота конуса равна 40, а длина образующей — 50. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Вариант 2 База задание 13    

1.Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Высота конуса равна 21, образующая равна 35. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

3. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 9 раз?

4. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 2 раза?

5. Высота конуса равна 30, а диаметр основания — 32. Найдите образующую конуса.

6. Высота конуса равна 48, а длина образующей — 52. Найдите диаметр основания конуса.

7. Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей — 52. Найдите высоту конуса.

Проф. Задание 8

 1.Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

2.Площадь основания конуса равна , высота — 9. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3.Высота конуса равна 32, а длина образующей — 40. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

 

Вариант 3 База задание 13    

1.Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Высота конуса равна 24, образующая равна 26. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

3. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 22 раза?

4. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 40 раз?

5. Высота конуса равна 12, а диаметр основания – 10. Найдите образующую конуса.

6. Высота конуса равна 30, а длина образующей — 34. Найдите диаметр основания конуса.

7. Диаметр основания конуса равен 120, а длина образующей — 65. Найдите высоту конуса.

Проф. Задание 8

1. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

2. Площадь основания конуса равна 36π, высота — 3. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3.Высота конуса равна 24, а длина образующей — 25. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

 

Вариант 4 База задание 13    

1.Длина окружности основания конуса равна 7, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Высота конуса равна 40, образующая равна 50. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

3. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 35 раз?

4. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 28 раз?

5. Высота конуса равна 6, а диаметр основания – 16. Найдите образующую конуса.

6. Высота конуса равна 64, а длина образующей — 80. Найдите диаметр основания конуса

7. Диаметр основания конуса равен 96, а длина образующей — 80. Найдите высоту конуса.

Проф. Задание 8

1.Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

2.Площадь основания конуса равна , высота — 10. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3.Высота конуса равна 16, а длина образующей — 20. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Вариант 5 База задание 13    

1.Длина окружности основания конуса равна 2, образующая равна 5. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Высота конуса равна 28, образующая равна 35. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

3. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 40 раз?

4. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 15 раз?

5. Высота конуса равна 15, а диаметр основания – 16. Найдите образующую конуса.

6. Высота конуса равна 96, а длина образующей — 100. Найдите диаметр основания конуса.

7. Диаметр основания конуса равен 56, а длина образующей — 100. Найдите высоту конуса.

Проф. Задание 8

1. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

2.Площадь основания конуса равна , высота — 2. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3. Высота конуса равна 36, а длина образующей — 39. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Вариант 6 База задание 13    

1.Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Высота конуса равна 15, образующая равна 17. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

3. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 20 раз?

4. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 19 раз?

5. Высота конуса равна 5, а диаметр основания – 24. Найдите образующую конуса.

6. Высота конуса равна 57, а длина образующей — 95. Найдите диаметр основания конуса.

7. Диаметр основания конуса равен 152, а длина образующей — 95. Найдите высоту конуса.

Проф. Задание 8

 1.Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

2. Площадь основания конуса равна , высота — 8. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3.Высота конуса равна 28, а длина образующей — 35. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

 

Домашняя работа.  База задание 13    

1.Длина окружности основания конуса равна 4, образующая равна 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Высота конуса равна 20, образующая равна 25. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

3. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз?

4. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 8 раз?

5. Высота конуса равна 8, а диаметр основания — 30. Найдите образующую конуса.

6. Высота конуса равна 21, а длина образующей — 75. Найдите диаметр основания конуса.

7. Диаметр основания конуса равен 144, а длина образующей — 75. Найдите высоту конуса.

Проф. Задание 8

1.Площадь боковой поверхности конуса в  раз больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

2.Площадь основания конуса равна , высота — 20. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3.Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

 

11 класс — содержание уроков и домашнее задание

11 класс — содержание уроков и домашнее задание


Дата

Класс

Предмет

Содержание урока

Домашнее задание

Учитель

20.10.2020

11

геометрия

Тема: «Решение задач на конус, цилиндр, шар»

1. Вспомнить формулы нахождения боковой поверхности и полной поверхности конуса, цилиндра, сферы.

Применять полученные знания при решении задач

Выполнить работу с 8-00 по 16-00:

https://edu.skysmart.ru/student/xesikehiko

Шеманова А.С.,

https://vk.com/club193646395

 

20.10.2020

11

алгебра

Тема: «Решение текстовых задач ЕГЭ»

 

выполнить задание по карточке (открыть)

 

Шеманова А.С.,

https://vk.com/club193646395

 

21.10.2020

11

алгебра

Тема: «Решение текстовых задач ЕГЭ»

 

Выполнить работу с 8-00 по 16-00:

https://edu.skysmart.ru/student/punaropuna

 

Шеманова А.С.,

https://vk.com/club193646395

 

22.10.2020

11

геометрия

Тема: «Решение задач на конус, цилиндр, шар»

Решить задачи:

1. Диаметр основания конуса 16 см, длина его высоты 8 см. Найти длину образующей.

2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите высоту цилиндра.

3. Длина образующей конуса — 10 см, диаметр его основания — 12 см. Найти высоту конуса.

4.Осевое сечение цилиндра – квадрат, длина диагонали которого равна 36 см. Найдите радиус основания цилиндра.

Шеманова А.С.,

https://vk.com/club193646395

23.10.2020

11

алгебра

Тема: «Решение текстовых задач ЕГЭ»

 

выполнить задание по карточке (открыть)

 

Шеманова А.С.,

https://vk.com/club193646395

 


Дата

Класс

Предмет

Домашнее задание

Учитель

22.10

11

класс

История

прочитать параграф №14 ответить письменно на вопросы  к параграфу1 и 2

Кулундук Л.П.

[email protected]

22.10

11 класс

Обществознание

Прочитать  стр. 71-73

Выписать функции налоговой системы, выполнить одно задание на выбор

Кулундук Л.П.

[email protected]


Дата

Класс

Предмет

Домашнее задание

Учитель

20.10

11

класс

История

прочитать параграф №13 ответить письменно на вопросы  к параграфу

Кулундук Л.П.

[email protected]

20.10

11 класс

Обществознание

Прочитать  стр. 66-71

Выписать функции государства, виды направлений экономической политики

Кулундук Л.П.

[email protected]


Класс

Предмет

Домашнее задание

Учитель

11 класс

литература

Анализ стихотворения Брюсова, наизусть стихотворение одного из поэтов-символистов

Алексеева В.В.

11 класс

Русский язык

1. п. 78-80, упр. 30, стр. 40 «Готовимся к ЕГЭ»

2.Выучить словарь паронимов (сайт ФИПИ)

Контакт или на почту (эл.почта [email protected]).


Дата

Класс

Предмет

Домашнее задание

Учитель

19.10

11

Английский язык

Выполнить задание:

  1. выучить памятку описание картинки
  2. повторить правила чтения

Письменова А.В.

[email protected]


Дата

Класс

Предмет

Содержание урока

Домашнее задание

Учитель

 

11

физика

Затухающие и вынужденные колебания Резонанс.

1. Посмотреть видеоурок «Вынужденные колебания. Резонанс» (открыть)

2. Прочитать § 16.

3. Выписать определения.

§ 16, повторение гл. 3 по плану стр. 73. Повторение пройденных тем, подготовка к контрольной работе. Стр. 26 задача № 1, отправить на электронную почту.

 

Талебина Е.А.

[email protected]

 

11

физика

Свободные  электромагнитные колебания.

1. Посмотреть видеоурок «Свободные электромагнитные колебания» (открыть)

2. Прочитать § 17.

3. Выписать определения.

4. Ответить на вопросы устно.

§ 17. Выполнить задание на стр. 76, отправить на электронную почту.  Повторение пройденных тем, подготовка к контрольной работе.

Талебина Е.А.

[email protected]

 

11

астрономия

Космические скорости. Межпланетные полеты.

1. Посмотреть видео «Космические полеты — Будущие и реальность»(открыть)

2. Прочитать § 10,11.

§ 10,11

Подведем итоги стр. 48.

 

Талебина Е.А.

[email protected]


Дата

Класс

Предмет

Содержание урока

Домашнее задание

Учитель

13.10.2020

11

геометрия

Тема: «Решение задач на конус, цилиндр, шар»

1. Вспомнить формулы нахождения боковой поверхности и полной поверхности конуса, цилиндра, сферы.

Применять полученные знания при решении задач

1.Длина окружности основания конуса равна 7, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Высота конуса равна 40, образующая равна 50. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

3. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 35 раз?

4. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 28 раз?

6. Высота конуса равна 64, а длина образующей — 80. Найдите диаметр основания конуса

7. Диаметр основания конуса равен 96, а длина образующей — 80. Найдите высоту конуса.

 

Шеманова А.С.,

https://vk.com/club193646395

 

13.10.2020

11

алгебра

Тема: «Предел последовательности»

1. Выписать понятия последовательности, предела; виды последовательностей; Свойства пределов.

2. Разобрать примеры 1-2 стр 48

Конспект параграфа 1 стр 45- 51

Шеманова А.С.,

https://vk.com/club193646395

 

14.10.2020

11

алгебра

Тема: «Предел последовательности, предел функции»

1. Разобрать пример 3-4 стр 50-51

 

решить №1-3(2,4), 5(2,4) стр. 52

Шеманова А.С.,

https://vk.com/club193646395

 

15.10.2020

11

геометрия

Тема: «Контрольная работа по теме: «Тела вращения»»

 

Выполнить работу с 8-00 по 16-00:

https://edu.skysmart.ru/student/xesikehiko

 

Шеманова А.С.,

https://vk.com/club193646395

 

16.10.2020

11

алгебра

Тема: «Предел функции»

1. Разобрать материал п.90, Разобрать пример 1-2 стр 58-61

2. Выписать определения предела и виды пределов

 

Решить №8,10 стр 59-60

Шеманова А.С.,

https://vk.com/club193646395

 

 


Дата

Класс

Предмет

Домашнее задание

Учитель

12.10

11

Английский язык

Выполнить задание:

  1. стр 34 правило учить
  2. стр 35 № 6 выраз чтение, перевод

Письменова А.В.

[email protected]


Физическая культура 11 класс

12-18 октября

Подготовить презентации (в течении недели):

1. Формы и средства контроля индивидуальной физкультурной деятельности.

2. Основы организации двигательного режима.

Мальчикам отправить работы на эл. почту: [email protected]
Девочкам на эл. почту: [email protected]

13.10.20 Выполнить задание:

1.Разминка

2.Бег 6 минут

3.Бёрпи: девочки 3 подхода по 15 повторений, мальчики 3 подхода по 20 повторений.

4. Отправить фотоотчет или короткий видеоотчет на электронную почту

16.10.20 Выполнить задание:

1.Разминка

2.Бег 6 минут

3.Сгибание-разгибание рук в упоре лежа (отжимания): девочки 2 подхода по 20 повторений, мальчики 3 подхода по 25 повторений (или подтягивания 3 подхода по 8 раз)

4. Прыжки на скакалке 200 повторений или приседания: девочки 2 подхода по 30 повторений, мальчики 2 подхода по 40 повторений.

5. Сгибание-разгибание туловища в положении лежа на спине (пресс): девочки 2 подхода по 30 повторений, мальчики 2 подхода по 40 повторений.

6. Отправить фотоотчет или короткий видеоотчет на электронную почту:

Мальчикам на эл. почту: [email protected]

Девочкам на эл. почту: [email protected]

 

Конус. 1) Длина образующей конуса равна 10 см, а высота конуса 6 см. Вычислите радиус основания конуса.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Подробнее

Сфера (шар), вписанная в призму

Сфера (шар), вписанная в призму Сфера (шар) называется вписанной в призму, если она касается каждой грани призмы В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение призмы

Подробнее

Вписанные и описанные окружности

Вписанные и описанные окружности Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, которая проходит через все его вершины. Около всякого треугольника можно описать единственную окружность.

Подробнее

Вписанные и описанные окружности

Вписанные и описанные окружности Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, которая проходит через все его вершины. Около всякого треугольника можно описать единственную окружность.

Подробнее

Стереометрия: конус, цилиндр.

А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Стереометрия: конус, цилиндр. 27052. Объем конуса равен

Подробнее

ПРЯМОЙ И НАКЛОННЫЙ КОНУС

ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР Пусть в пространстве заданы две параллельные плоскости и. F круг в одной из этих плоскостей, например. Рассмотрим ортогональное проектирование на плоскость. Проекцией круга F будет круг

Подробнее

Многогранники. Призма

Справка В9 Многогранники Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения С б) Укажите корни, принадлежащие отрезку. а) Решите уравнение б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку а) Решbте уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Подробнее

Все прототипы задания В11 (2013)

Все прототипы задания В11 (2013) ( 25541) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). ( 25561) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного

Подробнее

«Объёмы многогранников и тел вращения»

«Объёмы многогранников и тел вращения» Работа учащихся в группах по карточкам. Задачи по теме «Объёмы» подобраны из тестовых задач по математике Задачи для группы.. Образующая прямого конуса равна 4 см

Подробнее

Тест по теме «Задачи стереометрии»

Тест по теме «Задачи стереометрии» Тест составлен на основе учебника «Геометрия, 10-11 класс (базового и профильного уровней ) / Л.С. Атанасян и др. — М.: «Просвещение», 2010. Аннотация: Задачи теста соответствуют

Подробнее

Задание 3, 6, 16. Планиметрия

Задание 3, 6, 6. Планиметрия Угловые соотношения в плоских фигурах Теорема. Сумма смежных углов равна 80 0. и смежные углы Теорема. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Теорема. Вертикальные

Подробнее

Урок по теме «Сфера и шар»

Акчурина Е.В. Урок по теме «Сфера и шар» Тема: Сфера и шар Цели и задачи урока: Обучающие: — ввести понятие сферы, шара и полушара; — рассмотреть сечения шара плоскостью; — ввести понятие касательной прямой

Подробнее

ЗАДАНИЕ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. 1. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 2. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB.

ЗАДАНИЕ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 1. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 2. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 3. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 4. В треугольнике

Подробнее

10 класс Повторение планиметрии

Учебное пособие по геометрии 10 класс Повторение планиметрии (задачи в картинках) Для учащихся Лицея 1502 при МЭИ І полугодие Краткое содержание 1. Программа коллоквиума по «Планиметрии». 2. Содержание

Подробнее

Тест 201. Круг. Свойство

Тест 194. Окружность. Понятие Окружность это: 1. множество точек, удаленных от данной точки на данное ненулевое расстояние; 2. множество точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом; 3. некоторая

Подробнее

ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЯ

ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЯ I Группа 1.01 Разность двух углов, получившихся при пересечении двух прямых, равна 20. Найти больший из этих углов. 1.02 Углы треугольника пропорциональны числам 3:7:8. Найти наибольший

Подробнее

Тест 250. Отрезок. Длина

Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

Подробнее

Задание 16. Планиметрия

Задание 6. Планиметрия Угловые соотношения в плоских фигурах Теорема. Две прямые, параллельные третьей, параллельны. Теорема. Если две прямые параллельности пересечены секущей, то. Накрест лежащие углы

Подробнее

Планиметрия (расширенная)

1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Подробнее

ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ПРЕДМЕТА

Примерные экзаменационные билеты для проведения устной итоговой аттестации выпускников IX классов общеобразовательных учреждений ГЕОМЕТРИЯ По геометрии предлагается два блока экзаменационных билетов для

Подробнее

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробнее

Профильный уровень ЕГЭ с WolframAlpha

09 МНОГОГРАННИК. СТУПЕНЬКА 

10 МНОГОГРАННИК. ПЪЕДЕСТАЛ 

11 МНОГОГРАННИК. АНТИПЪЕДЕСТАЛ 

12 МНОГОГРАННИК. БЕЗУГЛЫЙ 

    ДОСРОЧНЫЙ ЕГЭ 28.04.2014

1

.


 

2

3

4

    КУБ
Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

 

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

 

Во сколько раз увеличится объем куба, если все его ребра увеличить в три раза?

 

Объем куба равен 24∙31/2 . Найдите его диагональ.

 

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

 

Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в три раза?

 

Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

 

Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.
Объём первого куба в 8 раз больше объёма второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

 

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K —  середина ребра AA1, точка L — середина ребра A1B1, точка M — середина ребра A1D1. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах.
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AD1 и B1D1. Ответ дайте в градусах.
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

 

Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

 

     
    ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
     
Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если объем треугольной пирамиды ABDA1 равен 3.

 

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

 

  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AB = 8, AD = 6, AA1 = 21. Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1.
     
     
     
    ПРИЗМА
     
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми AA1 и BC1. Ответ дайте в градусах.
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

 

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

 

Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой станет площадь поверхности призмы, если все её рёбра увеличатся в три раза, а форма останется прежней?
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 куб.см воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в куб.см.

 

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

 

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

 

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсеченной треугольной призмы.

 

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсеченной треугольной призмы равен 5.
В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

 

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

 

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что AC1 = 2 BC . Найдите угол между диагоналями BD1 и CA1. Ответ дайте в градусах.
Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

 

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

 

     
    ПИРАМИДА
     
Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

 

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

 

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

 

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?
     
    КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки  A, D, A1, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 3, AD = 4, AA1 = 5.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A1, B, C, C1, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 3, AD = 3, AA1 = 4.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, B1, C1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 5, AD = 3, AA1 = 4.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A1, B1, B, C правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1, C1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A1, B1, D1, E1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.
     
  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 2. Найдите объём куба.

 

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1  равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABDA1.

 

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

 

  От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.
Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

 

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

 

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

 

Во сколько раз объём конуса, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, больше объёма конуса, вписанного в эту пирамиду?

 

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

 

Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

 

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B1ABC .

 

Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

 

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

 

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4.5. Найдите объем треугольной пирамиды  AD1CB1.

 

Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

 

  Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.
     
    НЕСТАНДАРТНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
     
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

 

Найдите расстояние между вершинами A и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

 

Найдите расстояние между вершинами B1 и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

 

Найдите квадрат расстояния между вершинами B2 и D3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

 

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

 

Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C3 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

 

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

     
    ШАР
     
Шар, объём которого равен 6 π, вписан в куб. Найдите объём куба.

 

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

 

▲  Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

 

Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

 

Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

 

     
    ЦИЛИНДР
     
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2 π, а диаметр основания — 1. Найдите высоту цилиндра.
Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2 π, а высота — 1. Найдите диаметр основания.
В цилиндрический сосуд налили 2000 куб.см воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в куб.см.

 

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 12. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

 

В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

 

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

 

 Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π .

 

     
    КОНУС
     
Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.
Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.
 Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5. Найдите высоту конуса.
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

 

Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней?
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

 

Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

 

Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

 

 Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

 

  Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 1,5 раза, а высота останется прежней?
     
    МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
     
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

 

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.
Куб описан около сферы радиуса 1. Найдите объём куба.

 

  Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.
Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

 

     
    КОМБИНАЦИИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
     
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Цилиндр, объём которого равен 33, описан около шара. Найдите объём шара.

 

  Шар, объём которого равен 24, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

 

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 150. Найдите объём конуса.

 

Контрольная работа по математике для 11 класса

Контрольная работа по математике для 11 класса

На выполнение контрольной работы по математике дается 2 часа. Работа состоит из двух частей. Первая часть содержит 10. К каждому заданию В1-В10 требуется дать краткий ответ. Задания С1, С2 выполняются на отдельном листе и ученик записывает подробное, обоснованное решение.

За выполнение каждого задания ученик получает определенное число баллов: задания В1 – В10 оцениваются в 1 балл, С1 – 2 балла, С2 – 3 балла.

Таблица перевода тестовых баллов в школьные отметки.

Тестовый балл

Школьная отметка

0-4

2

5-8

3

9-11

4

12-15

5

Вариант 1

Часть I

В1. Найдите значение выражения

log

В2. Найдите остаток от деления многочлена

13 + 67 — 3x + 4 на многочлен P(x) =+5 x +1.

В3. На рисунке изображен график первообразной y = F (x) некоторой функции y = f(x), определенной на интервале ( — 16; — 2). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-15; -8].

В4. Валя выбирает случайное трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

В5. Решите уравнение

= 0,04.

В6 Высота конуса равна 30, а длина образующей — 34. Найдите диаметр основания конуса.

В7. Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой

. При каком наименьшем значении температура нагревателя ( в градусах Кельвина) КПД этого двигателя будет не меньше 80%, если температура холодильника = 200 К?

В8. Объем цилиндра равен 12см

. Чему равен объем конуса, который имеет такое же основание и такую же высоту, как и данный цилиндр?

В9. Два автомобиля отправляются в 420 – километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость автомобиля, пришедшего к финишу вторым.

В10. Найдите наименьшее значение функции y = (

на отрезке [6; 8].

Часть II

С1. Радиус основания конуса равен 8, а его высота равна 15. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 14. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

С2. Решите систему неравенств

.

МАТЕМАТИКА, 11 класс

Итоговая контрольная работа

Структура контрольной работы

На выполнение контрольной работы по математике дается 2 часа. Работа состоит из двух частей. Первая часть содержит 10 заданий. К каждому заданию В1-В10 требуется дать краткий ответ. Задания С1, С2 выполняются на отдельном листе и ученик записывает подробное, обоснованное решение.

За выполнение каждого задания ученик получает определенное число баллов: задания В1 – В10 оцениваются в 1 балл, С1 – 2 балла, С2 – 3 балла.

Таблица перевода тестовых баллов в школьные отметки.

Тестовый балл

Школьная отметка

0-4

2

5-8

3

9-11

4

12-15

5

Вариант 2

Часть I

В1.

В2. Найдите остаток от деления многочлена

— 11 + x + 7 на многочлен P(x) =+3.

В3. На рисунке изображен график первообразной

некоторой функции y = f(x). Одна из первообразных этой функции равна F( x) =

. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

В4. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 черных, 1 желтая и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

В5. Решите уравнение

= 0,25.

В6. В сосуд, имеющий форму конуса, налили 25 мл жидкости до половины высоты сосуда (см. рис.) Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

Часть II

С1. Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

С2. Решите систему неравенств

МАТЕМАТИКА, 11 класс

Итоговая контрольная работа

Структура контрольной работы

На выполнение контрольной работы по математике дается 2 часа. Работа состоит из двух частей. Первая часть содержит 10. К каждому заданию В1-В10 требуется дать краткий ответ. Задания С1, С2 выполняются на отдельном листе и ученик записывает подробное, обоснованное решение.

За выполнение каждого задания ученик получает определенное число баллов: задания В1 – В10 оцениваются в 1 балл, С1 – 2 балла, С2 – 3 балла.

Таблица перевода тестовых баллов в школьные отметки.

Тестовый балл

Школьная отметка

0-4

2

5-8

3

9-11

4

12-15

5

Вариант 3

Часть I

В1

В2. Найдите остаток от деления многочлена

+ x на многочлен р(x) =+ x + 1

В3. На рисунке изображен график некоторой функции у =

Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл dx

В4. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 12 из них встречается вопрос по круглым червям. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику попадется вопрос по круглым червям.

В5. Решите уравнение

= 36.

В6 Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

В7. Температуру нагревательного элемента (в градусах Кельвина) в зависимости от времени (вминутах) можно вычислять по формуле Т(t) = Т0 + аt + b t2, где Т0 = 760 К, а = 34 К/мин, b = -0,2 К/мин2. Известно, что при температурах нагревателя свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время (в минутах) после начала работы нужно отключать прибор.

В8. Площадь боковой поверхности цилиндра равна

, а высота — 8 . Найдите диаметр основания.

В9. Смешали 4 литра 15–процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25–процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В10. Найдите наимбольшее значение функции

на отрезке [-4,5; 0].

Часть II

С1. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

С2. Решите систему неравенств

.

МАТЕМАТИКА, 11 класс

Итоговая контрольная работа

Структура контрольной работы

На выполнение контрольной работы по математике дается 2 часа. Работа состоит из двух частей. Первая часть содержит 10 заданий. К каждому заданию В1-В10 требуется дать краткий ответ. Задания С1, С2 выполняются на отдельном листе и ученик записывает подробное, обоснованное решение.

За выполнение каждого задания ученик получает определенное число баллов: задания В1 – В10 оцениваются в 1 балл, С1 – 2 балла, С2 – 3 балла.

Таблица перевода тестовых баллов в школьные отметки.

Тестовый балл

Школьная отметка

0-4

2

5-8

3

9-11

4

12-15

5

Вариант 4

Часть I

В1. Найдите значение выражения

.

В2. Найдите остаток от деления многочлена

— 2 — 5 на многочлен р(x) =– 9х.

В3. На рисунке изображён график функции y = F(x) и одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4]. 

В4.. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Голландии и 2 прыгуна из Боливии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первым будет выступать прыгун из Боливии.

В5. Найдите корень уравнения:

.

В6. Длина окружности основания цилиндра равна 7. Площадь боковой поверхности равна 105. Найдите высоту цилиндра.

В7 На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: 

, где  – постоянная,  – радиус аппарата в метрах,  м3 – плотность воды, а  – ускорение свободного падения (считайте  Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336000 Н? Ответ выразите в метрах.

В8 Диаметр основания конуса равен 136, а длина образующей — 85 . Найдите высоту конуса.

В9. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

В10. Найдите наименьшее значение функции

на отрезке [0; 2].

Часть II

С1. Две параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии 12 друг от друга, пересекают шар. Получившиеся сечения одинаковы, и площадь каждого из них равна 64л. Найдите площадь поверхности шара.

С3. Решите систему неравенств

Площадь конуса

Первым шагом в определении площади поверхности конуса является измерение радиуса круговой части конуса. Следующий шаг — найти площадь круга или основания. Площадь круга в 3,14 раза больше квадрата радиуса ( πr 2 ). Теперь вам нужно будет найти площадь самого конуса. Для этого необходимо измерить сторону (наклонную высоту) конуса. Убедитесь, что вы используете ту же форму измерения, что и радиус.

Теперь вы можете использовать измерение стороны, чтобы найти площадь конуса. Формула для вычисления площади конуса составляет 3,14 радиуса, умноженного на сторону (

πrl ).

Таким образом, площадь поверхности конуса равна площади круга плюс площадь конуса, и окончательная формула имеет вид:

SA = πr 2 + πrl



Где
r — радиус
h — высота
l — наклонная высота

Площадь криволинейной (боковой) поверхности конуса =

πrl
Примечание:
Конус не имеет однородных (или совпадающих) поперечных сечений.(подробнее о коническом сечении здесь)

Пример 1: Конус имеет радиус 3 см и высоту 5 см. Найдите общую площадь поверхности конуса.
Решение :
Для начала нам нужно найти наклонную высоту конуса, которая определяется с помощью Пифагора, поскольку поперечное сечение представляет собой прямоугольный треугольник.

л 2 = h 2 + r 2
л 2 = 5 2 + 3 2
л 2 = 25 + 9
√ (34)
l = 5.83 см

А общая площадь поверхности конуса равна:
SA = πr 2 + πrl
SA = π · r · (r + l)
SA = π · 3 ​​· (3 + 5.83)
SA = 83,17 см 2

Следовательно, общая площадь поверхности конуса составляет 83,17 см 2

Пример 2: Общая площадь поверхности конуса составляет 375 квадратных дюймов. Если его наклонная высота в четыре раза больше радиуса, то каков диаметр основания конуса? Используйте π = 3.
Решение :
Общая площадь поверхности конуса = πrl + πr 2 = 375 дюймов 2
Наклонная высота: l = 4 × радиус = 4r

Заменить l = 4r и π = 3
3 × r × 4 r + 3 × r 2 = 375
12r 2 + 3r 2 = 375
15r 2 = 375
r 2 = 25
r = 25
r = 5

Таким образом, радиус основания конуса равен 5 дюймам.
Диаметр основания конуса = 2 × радиус = 2 × 5 = 10 дюймов.

Пример 3: Какова общая площадь поверхности конуса, если его радиус = 4 см и высота = 3 см.
Решение :
Как упоминалось ранее, формула для площади поверхности конуса имеет следующий вид:
SA = πr 2 + πrl
SA = πr (r + l)

Как и в В предыдущем примере наклон можно определить с помощью Пифагора:
l 2 = h 2 + r 2
l 2 = 3 2 + 4 2
l 2 = 9 + 16
l = 5

Вставка l = 5 получим:
SA = πr (r + l)
SA = 3.14 · 4 · (4 + 5)
SA = 113,04 см 2

Пример 4: Наклонная высота конуса составляет 20 см. диаметр основания 15см. Найдите площадь криволинейной поверхности конуса.
Решение :
Учитывая, что
Наклонная высота: l = 20 см
Диаметр: d = 15 см
Радиус: r = d / 2 = 15/2 = 7,5 см

Площадь изогнутой поверхности = πrl
CSA = πrl
CSA = π · 7.5 · 20
CSA = 471,24 см 2

Пример 5: Высота и радиус конуса 5 ярдов и 7 ярдов. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.
Решение :
Площадь боковой поверхности конуса = πrl

Шаг 1 :
Наклонная высота конуса:
л 2 = h 2 + r 2
l 2 = 7 2 + 5 2
l 2 = 49 + 25
л = 8.6

Шаг 2 : Площадь боковой поверхности:
LSA = πrl
LSA = 3,14 × 7 × 8,6
LSA = 189,03 ярда 2

Итак, площадь боковой поверхности конуса = 189,03 квадратного ярда.

Пример 6: Круглый конус имеет высоту 15 дюймов и радиус основания 20 дюймов. Какова площадь боковой поверхности конуса?

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса определяется как:
LSA = π × r × l
LSA = 3.14 × 20 × 15
LSA = 942 дюйма 2

Пример 7: Найдите общую площадь поверхности конуса, радиус основания которого 3 см, а высота перпендикуляра 4 см.
Решение :
При этом:
r = 3 см
h = 4 см

Чтобы найти общую площадь поверхности конуса, нам нужна наклонная высота конуса, а не высота перпендикуляра.
Наклонная высота l может быть найдена с помощью теоремы Пифагора.

л 2 = h 2 + r 2
л 2 = 3 2 + 4 2
л 2 = 9 + 16
9000 5

Таким образом, общая площадь поверхности конуса составляет:
SA = πr (r + l)
SA = 3,14 · 3 · (3 + 5)
SA = 75,36 см 2

Онлайн-калькулятор площади поверхности

Площадь конуса

В общий площадь поверхности из конус представляет собой сумму площадей его основания и боковой (боковой) поверхности.

В площадь боковой поверхности конуса — это площадь только боковой или боковой поверхности.

Поскольку конус тесно связан с пирамида , формулы для их площадей связаны между собой.

Помните, что формула для определения площади боковой поверхности пирамиды имеет следующий вид: 1 2 п л а общая площадь поверхности равна 1 2 п л + B .

Поскольку основание конуса — круг, подставим 2 π р за п и π р 2 за B куда р — радиус основания цилиндра.

Итак, формула для площадь боковой поверхности правого конуса L .S . А знак равно π р л , куда л наклонная высота конуса .

Пример 1:

Найдите площадь боковой поверхности правого конуса, если радиус 4 см и наклонная высота 5 см.

L . S . А знак равно π ( 4 ) ( 5 ) знак равно 20 π ≈ 62.82 см 2

Формула для общая площадь поверхности правого конуса Т . S . А знак равно π р л + π р 2 .

Пример 2:

Найдите общую площадь поверхности правого конуса, если радиус равен 6 дюймов и наклонная высота 10 дюймы.

Т .S . А знак равно π ( 6 ) ( 10 ) + π ( 6 ) 2 знак равно 60 π + 36 π знак равно 96 π дюймы 2 ≈ 301.59 дюймы 2

Самолет в космосе — необходимая информация. Взаимное положение точки, линии и плоскости Типы взаимного положения прямой и плоскости

Расположение

Знак: если прямая линия, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой.

2. Если одна из двух прямых параллельна данной, то другая линия либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

РАСПОЛОЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ САМОЛЕТОВ

Расположение

1. самолеты имеют как минимум 1 общую точку, т.е.е. пересекаются по прямой

2. Плоскости не пересекаются, т.е. не имеют общей точки, в этом случае они называются параллельными.

знак

если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны 2 прямым линиям другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

ул.

1. если 2 параллельные плоскости пересекаются с 3, то линии их пересечения параллельны

2. отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТНОЙ. ЗНАК ПРАВИЛЬНОСТИ И ПЛОСКОСТНОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ.

Прямые вызовы перпендикулярно , если они пересекаются под

Лемма: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то другая прямая перпендикулярна этой прямой.

Прямая линия называется перпендикулярной плоскости, , если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Теорема: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Теорема: если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Знак

Если прямая линия перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ И НАКЛОННЫЙ

Построим самолет и др., Не принадлежащий к нему. Проведем от них прямую линию, перпендикулярную плоскости. Точка пересечения прямой с плоскостью обозначается N.Отрезок AH — это перпендикуляр, проведенный из точки A к плоскости. T.N — основание перпендикуляра. Возьмем на плоскости точку M, которая не совпадает с N. Отрезок AM — наклонный, проведенный из точки A на плоскость. М — наклонное основание. Сегмент MH — наклонная проекция на плоскость. Перпендикуляр AH — это расстояние от точки A до плоскости. Любое расстояние — это часть перпендикуляра.

Теорема о трех перпендикулярах:

Прямая линия, проведенная в плоскости через основание наклонного перпендикуляра к его проекции на эту плоскость, также перпендикулярна самому наклонному.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОЙ

Угол между прямой линией и плоскостью — это угол между этой прямой линией и ее проекцией на плоскость.

ДИГЕДРАЛЬНЫЙ УГОЛ. УГОЛ МЕЖДУ САМОЛЕТАМИ

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой линией и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Граница а — кромка двугранного угла. Полуплоскости — грани двугранных углов. Для измерения двугранного угла. Внутри него нужно построить линейный угол. Отметьте какую-нибудь точку на краю двугранных углов и проведите от этой точки луч на каждой грани, перпендикулярном краю. Угол, образованный этими лучами, называется линейной головкой двугранного угла. Внутри двугранных углов их может быть бесконечно много. Все они одинакового размера.

ПРОЧНОСТЬ ДВУХ САМОЛЕТОВ

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, , если угол между ними равен 90.

Знак:

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую линию, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Многогранники

Многогранник — поверхность, состоящая из многоугольников и ограничивающая геометрическое тело. Грани — многоугольники, из которых состоят многогранники. Ребра — стороны граней. Вершины — концы нервюр. Диагональ многогранника называется отрезком, соединяющим 2 вершины, не принадлежащие одной грани.Плоскость, по обеим сторонам которой расположены точки многогранника, называется … пересечение плоскостью. Общая часть многогранника и секущая область называется сечением многогранника. Многогранники бывают выпуклыми и вогнутыми. Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону плоскости каждой из его граней (тетраэдр, параллелепипед, октаэдр). В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов в каждой вершине меньше 360.

ПРИЗМА

Многогранник, состоящий из 2-х равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и n-параллелограммах, называется призмой .

Полигоны A1A2..A (p) и B1B2..B (p) — оснований призм … А1А2В2В1 … — параллелограммов , A (p) A1B1B (p) — боковых граней. Сегменты A1B1, A2B2..A (p) B (p) — боковых ребра. В зависимости от многоугольника, лежащего в основе призмы, призму называют n-угольной. Перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания в плоскость другого основания, называется высотой . Если боковые грани призмы перпендикулярны основанию, то призма — прямая , а если не перпендикулярная — , то наклонная. Высота прямой призмы равна длине ее бокового выступа. Основание прямой призмы правильное. Если ее основание — правильные многоугольники, все боковые грани равны прямоугольникам.

ПАРАЛЛЕПРОВОДНАЯ

AVSD // A1V1S1D1, AA1 // BB1 // CC1 // DD1, AA1 = BB1 = CC1 = DD1 (по параллельным плоскостям)

Параллелепипед состоит из 6 параллелограммов. Параллелограммами названо граней. AVSD и A1V1S1D1 — основания, остальные грани называются боковыми. точек A B C D A1 B1 C1 D1 — вершины. Сегменты, соединяющие вершины — ребра. AA1, BB1, CC1, DD1 — боковых ребра.

Диагональ параллелепипеда — называется отрезком, соединяющим 2 вершины, не принадлежащие одной грани.

Святой остров

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и к этому моменту делятся пополам.

ПИРАМИДА

Рассмотрим многоугольник A1A2..A (n), точку P, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединим точку P с вершинами многоугольника и получим n треугольников: PA1A2, PA2A3… .PA (n) A1.

Многогранник, состоящий из n-угольников и n-треугольников , называется пирамидой. Полигон — база. Треугольников — боковых граней. R — вершина пирамиды. Сегменты A1P, A2P..A (p) P — боковые ребра. В зависимости от базового многоугольника пирамида называется p-уголь.Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный сверху к плоскости основания. Пирамида называется правильной , если в ее основании лежит правильный многоугольник, а высота попадает в центр основания. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды.

УРЕЗАННАЯ ПИРАМИДА

Рассмотрим пирамиду PA1A2A3A (n). нарисуйте секционную плоскость параллельно основанию. Эта плоскость делит нашу пирамиду на 2 части: верхняя — пирамида, подобная этой, нижняя — усеченная пирамида.Боковая поверхность состоит из трапеции. Боковые ребра соединяют вершины оснований.

Теорема: площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров основания и апофемы.

ПРАВЫЙ ПОЛИТОП

Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани равны правильным многоугольникам и одинаковое количество ребер сходится в каждой из его вершин. Пример правильного многогранника — куб.Все его грани равны квадратам, а в каждой вершине сходятся по 3 ребра.

Правильный тетраэдр , состоящий из 4-х равносторонних треугольников. Каждая вершина — это вершина 3-х треугольников. Сумма плоских углов в каждой вершине равна 180.

Правильный октаэдр композиция из 8 равносторонних треугольников. Каждая вершина — это вершина 4-х треугольников. Сумма плоских углов в каждой вершине = 240

Правильный икосаэдр композиция из 20 равносторонних треугольников.Каждая вершина — это вершина 5 треугольника. Сумма плоских углов в каждой вершине равна 300.

Куб композиция из 6 квадратов. Каждая вершина — это вершина трех квадратов. Сумма плоских углов в каждой вершине = 270.

Правильный додекаэдр Состав из 12 правильных пятиугольников. Каждая вершина — это вершина трех правильных пятиугольников. Сумма плоских углов в каждой вершине = 324.

Других типов правильных многогранников нет.

ЦИЛИНДР

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя окружностями с границами L и L1, называется цилиндром . Круги L и L1 называются основаниями цилиндров . Сегменты ММ1, АА1 — генераторы. Образует композицию цилиндрической или боковой поверхности цилиндра. Прямая линия, соединяющая центры оснований О и О1, называется осью цилиндра. Длина генератора — высота цилиндра. Base radius (r) — радиус цилиндра.

Секции цилиндров

Осевой проходит через ось и диаметр основания

Перпендикулярно оси

Цилиндр — это тело вращения.Он получается вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

КОНУС

Рассмотрим окружность (o; r) и прямую OP, перпендикулярную плоскости этой окружности. Через каждую точку окружности L и m.P проводим отрезки, их бесконечно много. Они образуют коническую поверхность и называются генераторами .

R- вершина , OR — ось коническая .

Тело, ограниченное конической поверхностью и окружностью с границей L , называется конусом.Круг — основание конуса. Коническая вершина — вершина конуса. Формирующая коническая поверхность — образующие конуса. Коническая поверхность — боковая поверхность конуса. РО — ось конуса. Расстояние от P до O — высота конуса. Конус — это тело вращения. Получается при вращении прямоугольника треугольника вокруг ножки.

Конусная секция

Осевое сечение

Поперечное сечение перпендикулярно оси

СФЕРА И ШАР

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек в пространстве, находящихся на заданном расстоянии от заданной точки.Эта точка находится в центре сферы на градуса. Данное расстояние составляет радиуса сферы.

Отрезок, соединяющий 2 точки сферы и проходящий через ее центр , называется диаметром сферы.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром . Центр, радиус и диаметр сферы называют центром , радиусом и диаметром шара.

Сфера и шар — тела вращения. Сфера получается вращением полукруга вокруг диаметра, а шар получается вращением полукруга вокруг диаметра.

в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C (x (0), y (0), Z (0) имеет вид (xx (0)) (2) + (yy (0 )) (2) + (zz (0)) (2) = R (2)

Прямая банка принадлежит плоскости , будь то параллель или пересечение плоскости . Прямая линия принадлежит плоскости, если две точки, принадлежащие прямой линии и плоскости, имеют одинаковые отметки … Следствие, следующее из вышеизложенного: точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этот самолет.

Прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая, пересекающая самолет. Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, необходимо (рис. 3.28):

1) через заданную линию провести вспомогательную плоскость m T ;

2) построить линию n , пересекающую заданную плоскость Σ со вспомогательной плоскостью T;

3) обозначить точку пересечения R, заданную прямую м с линией пересечения n.

Рассмотрим проблему (рис. 3.29). Прямая m обозначена на плане точкой A 6 и углом наклона 35 °. Вспомогательная вертикальная плоскость проведена через эту линию T, , которая пересекает плоскость Σ по линии n ( B 2 C 3 ). Таким образом, происходит переход от относительного положения прямой и плоскости к относительному положению двух прямых, лежащих в одной вертикальной плоскости. Эта проблема решается путем построения профилей этих прямых.Пересечение линий м и n на профиле определяет искомую точку R … Отметка точки R определяется шкалой вертикальных масштабов.

Прямая, перпендикулярная плоскости. Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любым двум пересекающимся прямым линиям этой плоскости. На рисунке 3.30 показана прямая м , перпендикулярная плоскости Σ и пересекающая ее в точке A. На плоскости проекции прямой м и горизонтальные линии плоскости взаимно перпендикулярны (прямой угол, один сторона которого параллельна плоскости выступов, проецируется без искажений.Обе линии лежат в одной вертикальной плоскости, следовательно, положения таких линий по величине обратны друг другу: l м = l / l u. Но l uΣ = l Σ, тогда l m = l / l Σ, то есть положение прямой m обратно пропорционально положению плоскости. Падения возле прямой и плоскости направлены в разные стороны.

3.4. Числовые проекции высот. Поверхности

3.4.1 Многогранники и искривленные поверхности. Топографическая поверхность

В природе многие вещества имеют кристаллическую структуру в виде многогранников. Многогранник — это набор плоских многоугольников, которые не лежат в одной плоскости, причем каждая сторона одного из них одновременно является стороной другого. При изображении многогранника достаточно указать проекции его вершин, соединив их в определенном порядке прямыми линиями — проекциями ребер.В этом случае на чертеже должны быть указаны видимые и невидимые края. На рис. 3.31 изображает призму и пирамиду, а также находит отметки точек, принадлежащих этим поверхностям.

Специальная группа выпуклых многоугольников — это группа правильных многоугольников, в которой все грани равны правильным многоугольникам и все углы многоугольника равны. Есть пять типов правильных многоугольников.

Тетраэдр — правильный четырехугольник, ограниченный равносторонними треугольниками, имеет 4 вершины и 6 ребер (рис.3.32 а).

Шестигранник — правильный шестиугольник (куб) — 8 вершин, 12 ребер (рис. 3.32b).

Октаэдр — правильный октаэдр, ограниченный восемью равносторонними треугольниками — 6 вершин, 12 ребер (рис. 3.32c).

Додекаэдр — правильный додекаэдр, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками, соединенными тремя возле каждой вершины.

Он имеет 20 вершин и 30 ребер (рис. 3.32 d).

Икосаэдр — правильный двадцатигранный треугольник, ограниченный двадцатью равносторонними треугольниками, соединенными по пять около каждой вершины.12 вершин и 30 ребер (рис. 3.32 д).

При построении точки, лежащей на грани многогранника, необходимо провести линию, принадлежащую этой грани, и отметить проекцию точки на ее проекции.

Конические поверхности образуются путем перемещения прямолинейной образующей по изогнутой направляющей так, чтобы во всех положениях образующая проходила через фиксированную точку — вершину поверхности. Конические поверхности общего вида на плане изображаются горизонтальной направляющей и вершиной.На рис. 3.33 показано расположение отметки точки на поверхности конической поверхности.

Прямой круговой конус изображается как серия концентрических окружностей, начерченных через равные промежутки (рис. 3.34а). Эллиптический конус с круглым основанием — серия эксцентрических окружностей (рис. 3.34 б)

Сферические поверхности. Сферическая поверхность называется поверхностями вращения. Он образован вращением круга вокруг своего диаметра. На плане сферическая поверхность определяется центром TO и проекцией одного из его контуров (экватора сферы) (рис.3.35).

Топографическая поверхность. Топографическая поверхность называется геометрически неправильной поверхностью, поскольку она не имеет геометрического закона образования. Для характеристики поверхности определяется положение ее характерных точек относительно плоскости проекции. На рис. 3.3 б и приведен пример разреза топографической поверхности, на котором показаны проекции отдельных ее точек. Хотя такой план дает возможность составить представление о форме изображаемой поверхности, он не очень ясен.Для большей наглядности чертежа и облегчения его чтения проекции точек с одинаковыми отметками соединяются плавными изогнутыми линиями, которые называются контурами (изолиниями) (рис. 3.36 б).

Контуры топографической поверхности иногда определяют как линии пересечения этой поверхности с горизонтальными плоскостями, расположенными друг от друга на одинаковом расстоянии (рис. 3.37). Разница в высоте между двумя соседними контурами называется высотой сечения.

Чем точнее изображение топографической поверхности, тем меньше разница в высоте между двумя соседними контурами. В планах контуры замыкаются внутри чертежа или за его пределами. На более крутых склонах поверхности проекции контурных линий сходятся, на пологих — расходятся их проекции.

Кратчайшее расстояние между проекциями двух соседних контуров на плане называется начальным. На рис. 3.38 через точку И на топографической поверхности проведено несколько отрезков прямых линий И ВАС и нашей эры … Все они имеют разные углы падения. Наибольший угол падения имеет отрезок AS , укладка которого имеет минимальное значение. Следовательно, это будет проекция линии падения поверхности в этом месте.

На рис. 3.39 — пример построения проекции линии падения через заданную точку И … Из точки A 100 , начиная с центра, проведите дугу окружности, касающуюся ближайшей горизонтальной линии в точке Т 90 … Точка На 90, по горизонтали х 90, будет принадлежать линии падения. Из точки T 90 проведите дугу, касающуюся следующей горизонтали в точке C 80, и т. Д. Из чертежа видно, что линия падения топографической поверхности представляет собой ломаную линию, каждое звено которой перпендикулярно горизонтальный, проходящий через нижний конец звена, имеющего нижнюю отметку.

3.4.2 Пересечение конической поверхности плоскостью

Если режущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, то она пересекает ее по прямым линиям, образующим поверхность.Во всех остальных случаях линия сечения будет плоской кривой: окружностью, эллипсом и т. Д. Рассмотрим случай пересечения конической поверхности плоскостью.

Пример 1. Построить проекцию линии пересечения кругового конуса Φ ( h около , S 5 ) с плоскостью Ω, параллельной образующей конической поверхности.

Коническая поверхность для данного местоположения плоскости пересекается по параболе. Интерполируя генератор t строим горизонтали кругового конуса — концентрические окружности с центром S пятерки.Затем определяем точки пересечения одноименных контуров плоскости и конуса (рис. 3.40).

3.4.3. Пересечение топографической поверхности плоскостью и прямой

Случай пересечения топографической поверхности с плоскостью наиболее часто встречается при решении геологических задач. На рис. 3.41 приведен пример построения пересечения топографической поверхности с плоскостью Σ. Ищем кривую м определяются по точкам пересечения контуров одноименной плоскости и топографической поверхности.

На рис. 3.42 приведен пример построения истинного вида топографической поверхности с вертикальной плоскостью Σ. Искомая линия m определяется точками A, B, C … Пересечение контурных линий топографической поверхности с плоскостью сечения Σ. На плане проекция кривой вырождается в прямую, совпадающую с проекцией плоскости: м ≡ Σ. Профиль кривой m строится с учетом расположения проекций ее точек на плане, а также их отметок.

3.4.4. Ровный уклон

Поверхность с равным уклоном — это линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой образуют постоянный угол с горизонтальной плоскостью. Такую поверхность можно получить, перемещая прямой круговой конус с осью, перпендикулярной плоскости плана, так, чтобы его вершина скользила по некоторой направляющей, а ось оставалась вертикальной в любом положении.

На рис. 3.43 изображена поверхность равного уклона (i = 1/2), которая ориентируется пространственной кривой A, B, C, D.

Выпускной самолет. В качестве примеров рассмотрим плоскости откосов проезжей части.

Пример 1. Продольный уклон проезжей части i = 0, уклон откоса насыпи i n = 1: 1,5, (рис. 3.44а). Требуется провести горизонтали через 1м. Решение сводится к следующему. Рисуем шкалу уклона плоскости перпендикулярно краю проезжей части, размечаем точки на расстоянии, равном интервалу 1,5 м, взятых из линейной шкалы, и определяем метки 49, 48 и 47.Через полученные точки проводим контуры откоса параллельно краю дороги.

Пример 2. Продольный уклон дороги i ≠ 0, уклон насыпи i n = 1: 1,5, (рисунок 3.44б). Плоскость дорожного покрытия градуирована. Уклон дорожного полотна классифицируется следующим образом. В точке с вершиной 50,00 (или другой точкой) поместите вершину конуса, опишите круг радиусом, равным интервалу уклона насыпи (в нашем примере l = 1.5м). Высота этого контура конуса будет на единицу меньше высоты вершины, то есть 49 м. Рисуем серию окружностей, получаем отметки контурных линий 48, 47, относительно которых от точек кромки с отметками 49, 48, 47 проводим горизонтальные линии откоса насыпи.

Градуировка поверхностей.

Пример 3. Если продольный уклон дороги i = 0 и уклон откоса насыпи в = 1: 1,5, то горизонтальные уклоны проводятся через точки шкалы уклонов, интервал которых равен интервал уклонов насыпи, (рисунок 3.45а). Расстояние между двумя проекциями соседних горизонталей в направлении общей нормы (шкала уклонов) везде одинаково.

Пример 4. Если продольный уклон дороги i ≠ 0, а уклон откоса насыпи в = 1: 1,5, (рис. 3.45б), то контуры строятся аналогично, за исключением того, что контуры уклон нарисован не прямыми линиями, а кривыми.

3.4.5. Определение предельной отметки земляных работ

Поскольку большинство грунтов не могут поддерживать вертикальные стены, необходимо сооружать откосы (искусственные сооружения).Уклон, определяемый уклоном, зависит от почвы.

Для придания участку земной поверхности вида плоскости с определенным уклоном необходимо знать линию пределов земляных и нулевых работ. Эта линия, ограничивающая планируемую территорию, представлена ​​пересечением насыпи и среза откосов с заданной топографической поверхностью.

Поскольку каждая поверхность (включая плоскую) изображается с помощью горизонталей, линия пересечения поверхностей строится как набор точек пересечения горизонталей с одинаковыми отметками.Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. На рис. 3.46 дано земляное сооружение в виде усеченной четырехугольной пирамиды, стоящей на плоскости H … Верхнее основание ABCD пирамида имеет отметку 4 м и размеры сторон 2 × 2,5 м … боковые грани (откосы насыпи) имеют уклон 2: 1 и 1: 1, направление которых показано стрелками.

Необходимо построить линию пересечения откосов конструкции с плоскостью H и между собой, а также построить продольный профиль по оси симметрии.

Сначала строится схема уклонов, интервалов и масштабов укладки с учетом уклонов. Перпендикулярно каждой стороне площадки через заданные промежутки времени наносятся шкалы уклонов откосов, после чего проекции горизонталей с одинаковыми отметками соседних граней являются линиями пересечения откосов, которые являются проекциями боковых граней этой пирамиды.

Нижнее основание пирамиды совпадает с нулевыми контурами откосов.Если эту земляную конструкцию пересекает вертикальная плоскость Q , то в разрезе вы получите пунктирную линию — продольный профиль конструкции.

Пример 2 … Построить линию пересечения откосов котлована с пологим откосом и между собой. Дно ( ABCD ) котлована представляет собой прямоугольную площадку высотой 10 м и размерами 3 × 4 м. Ось участка составляет угол 5 ° с линией юг-север. Откосы котлованов имеют одинаковые уклоны 2: 1 (рисунок 3.47).

Нулевая линия работ устанавливается согласно плану местности. Он строится по точкам пересечения одноименных проекций контуров рассматриваемых поверхностей. В точках пересечения контурных линий откосов и топографической поверхности с одинаковыми отметками находятся линии пересечения откосов, являющиеся проекциями боковых граней этого карьера.

В данном случае боковые откосы котлована примыкают к дну котлована.Линия abcd — искомая линия пересечения. Aa, Bb, Сс, Dd — края котлована, линия пересечения откосов между собой.

4. Вопросы для самоконтроля и задания для самостоятельной работы по теме «Прямоугольные проекции»

Точка

4.1.1. Суть проекционного метода.

4.1.2. Что такое точечная проекция?

4.1.3. Как называются и обозначаются проекционные плоскости?

4.1.4. Какие линии соединения выступов на чертеже и как они расположены на чертеже по отношению к осям проекции?

4.1.5. Как построить третью (профильную) проекцию точки?

4.1.6. Постройте три проекции точек A, B, C на трехкартинном рисунке, запишите их координаты и заполните таблицу.

4.1.7. Постройте недостающие оси проекции, x A = 25, y A = 20. Постройте профильную проекцию точки A.

4.1.8. Постройте три проекции точек по их координатам: A (25,20,15), B (20,25,0) и C (35,0,10). Укажите положение точек по отношению к плоскостям и осям проекции. Какая из точек ближе к плоскости P 3?

4.1.9. Материальные точки A и B начинают падать одновременно. Где будет точка B, когда точка A коснется земли? Определите видимость точек. Постройте точки в новой позиции.

4.1.10. Постройте три проекции точки A, если точка лежит в плоскости P 3, а расстояние от нее до плоскости P 1 составляет 20 мм, до плоскости P 2 — 30 мм. Запишите координаты точки.

Прямой

4.2.1. Как можно обозначить на чертеже прямую линию?

4.2.2. Какая линия называется линией общего положения?

4.2.3. Какое положение может занимать прямая линия относительно плоскостей проекции?

4.2.4. Когда проекция прямой превращается в точку?

4.2.5. Что характерно для сложного рисунка прямого уровня?

4.2.6. Определите взаимное расположение этих прямых линий.

а… б а… б а… б

4.2.7. Постройте проекцию отрезка прямой AB длиной 20 мм, параллельную плоскостям: а) P 2; б) Р 1; в) ось Ох. Обозначьте углы наклона отрезка к плоскостям проекции.

4.2.8. Постройте проекцию отрезка AB по координатам его концов: A (30,10,10), B (10,15,30). Постройте проекции точки C, разделяющей отрезок, по отношению к AC: CB = 1: 2.

4.2.9. Определите и запишите количество ребер данного многогранника и их положение относительно плоскостей проекции.

4.2.10. Проведите горизонтальную линию и прямую линию через точку А, пересекающую линию m.

4.2.11. Определите расстояние между линией b и точкой A

4.2.12. Постройте выступ отрезка АВ длиной 20 мм, проходящий через точку А и перпендикулярный плоскости а) Р 2; б) Р 1; в) П 3.

Стереометрия

Взаимное расположение прямых и плоскостей

В космосе

Параллельность линий и плоскостей

Две линии в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Линия и плоскость называются параллельно , если они не пересекаются.

Две плоскости называются параллельно , если они не пересекаются.

Линии, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивание .

Параллельность прямой и плоскости … Если прямая линия, не принадлежащая плоскости, параллельна некоторой прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Параллельность плоскостей … Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым линиям другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Пересечение прямых … Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, которая не принадлежит первой прямой, то эти прямые пересекаются.

Теорема о параллельных прямых и параллельных плоскостях.

1.Две линии, параллельные третьей линии, параллельны.

2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость.

3. Через точку за пределами этой прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.

4. Если линия параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна линии их пересечения.

5. Если две параллельные плоскости пересекаются с третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

6. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну.

7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны друг другу.

8. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Углы между линиями и плоскостями

Угол между прямой линией и плоскостью называется углом между прямой линией и ее проекцией на плоскость (угол на рис.1).

Угол между пересекающимися линиями называется углом между пересекающимися прямыми линиями, параллельными заданным пересекающимся прямым линиям.

Двугранный угол — это фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой линией. Полуплоскости называются фасет , прямая — кромка двугранный угол.

Линейный угол двугранный угол — это угол между полупрямыми, принадлежащими граням двугранного угла, исходящими из одной точки на ребре и перпендикулярными ребру (угол на рис.2).

Градусы (радианы) двугранного угла равны градусам (радианам) его линейного угла.

Перпендикулярность линий и плоскостей

Две линии называются перпендикулярно , если они пересекаются под прямым углом.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикуляр эта плоскость, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения этой прямой и плоскости.

Две плоскости называются перпендикулярно , если они пересекаются, они образуют прямые двугранные углы.

Знак перпендикулярности прямой и плоскости … Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Знак перпендикулярности двух плоскостей … Если плоскость проходит по прямой, перпендикулярной другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях.

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна другой.

2. Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

3. Если прямая линия перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна другой.

4. Если две плоскости перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.

Перпендикулярно и наклонно

Теорема … Если перпендикулярная и наклонная линии проводятся из одной точки вне плоскости, то:

1) наклонные, имеющие равные выступы, равны;

2) из ​​двух наклонных тот, у которого выступ больше, больше;

3) равные косые имеют одинаковые выступы;

4) из двух выступов, больший соответствует большему наклону.

Теорема о трех перпендикулярах … Чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна наклонной проекции (рис. 3).

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Строительство.

1. На самолете и прямые и .

3. В плоскости b через точки И проведем прямую b , параллельную прямой и .

4. Построили прямую b , параллельную плоскости a .

Доказательства. На основе параллельности прямой и плоскости прямая b параллельна плоскости a , поскольку она параллельна прямой и , принадлежащей плоскости a .

Исследование. Задача имеет бесконечное количество решений, поскольку прямая и в плоскости и выбрана произвольно.

Пример 2. Определите, как далеко от плоскости находится точка И , если прямая AB пересекает плоскость под углом 45º, расстояние от точки И до точки IN , принадлежащей плоскости, равно см?

Решение. Сделаем рисунок (рис.5):

AS — перпендикулярно плоскости a , AB — наклонное, угол ABC — угол между прямой AB и плоскостью a … Треугольник ABC — прямоугольный, начиная с AS — перпендикулярно. Желаемое расстояние от точек И до плоскости — это отрезок прямоугольного треугольника AS . Зная угол и гипотенузу в см, найдем катет AS :

Ответ: 3 см.

Пример 3. Определите, на каком расстоянии от плоскости равнобедренного треугольника находится точка на 13 см от каждой из вершин треугольника, если основание и высота треугольника равны 8 см каждая?

Решение. Сделаем чертеж (рис. 6). Точка S удалена из точек И , IN и ОТ на одинаковом расстоянии. Так наклонные SA , SB и SC равны, SO — общий перпендикуляр этих косых.По теореме о косом и проекции АО = БО = СО.

Точка ПРО — центр окружности, описанной около треугольника ABC … Найдем его радиус:

где вс — база;

AD — высота данного равнобедренного треугольника.

Нахождение сторон треугольника ABC из прямоугольного ABD по теореме Пифагора:

Теперь находим ОВ :

Рассмотрим треугольник СОБ : СОБ = 13 см, ОВ = = 5 см.Найдите длину перпендикуляра SO по теореме Пифагора:

Ответ: 12 см.

Пример 4. Даны параллельные плоскости a и b … Через точку M , которая не принадлежит ни к одной из них, прямые и и b , которые пересекают a в точках И 1 и В 1, а самолет б — в точках И 2 и В 2.Найти И 1 В 1, если известно, что МА 1 = 8 см, И 1 И 2 = 12 см, И 2 В 2 = 25 см.

Решение. Так как в условии не сказано, как расположена точка относительно обеих плоскостей M , то возможны два варианта: (рис. 7, а) и (рис. 7, б). Рассмотрим каждую из них. Две пересекающиеся линии и и b задают плоскость.Эта плоскость пересекает две параллельные плоскости a и b параллельные прямые AND 1 IN 1 и AND 2 IN 2 согласно теореме 5 на параллельных прямых и параллельных плоскостях.

Треугольники MA 1 IN 1 и MA 2 IN 2 аналогичны (углы И 2 MV 2 и AND 1 MV 1 — вертикальные, углы MA 1 IN 1 и MA 2 IN 2 — внутреннее пересечение на параллельных линиях И 1 IN 1 и И 2 IN 2 и секанс И 1 И 2).Пропорциональность сторон следует из подобия треугольников:

Вариант а):

Вариант б):

Ответ: 10 см и 50 см.

Пример 5. Сквозная точка И плоскость g прямая AB , образующая угол с плоскостью a … Через прямую AB начерченная плоскость r , образующая плоскость g угол b … Найти угол между проекцией прямой AB на плоскость g и плоскость r .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Из точки IN опустить перпендикуляр к плоскости g … Линейный угол двугранного угла между плоскостями g и r Угол прямой AD DBC , исходя из перпендикулярности плоскости прямая линия и плоскость, т.к. и Исходя из перпендикулярности плоскостей, плоскость r перпендикулярна плоскости треугольника DBC , поскольку она проходит через прямую линию AD … Строим искомый угол, опуская перпендикуляр из точки ОТ на плоскость r , обозначим его. Найдите синус этого угла прямоугольного треугольника CAM … Введем вспомогательный отрезок a = BC … Из треугольника ABC : Из треугольника Navy найти

Тогда требуемый угол

Ответ:

Задания самопомощи

Уровень I

1.1. Проведите прямую линию через точку, перпендикулярную двум заданным пересекающимся прямым линиям.

1.2. Определите, сколько разных самолетов вы можете нарисовать:

1) через три разных точки;

2) через четыре разные точки, три из которых не лежат в одной плоскости?

1,3. Через вершины треугольника ABC , лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проводятся параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках И 1, IN 1, ОТ один.Докажите равенство треугольников ABC и И 1 IN 1 ИЗ 1.

1,4. Сверху И прямоугольник ABCD восстановил перпендикуляр AM к своей плоскости.

1) докажите, что треугольники MBC и MDC — прямоугольные;

2) указывают среди сегментов MB , MC , MD и MA сегмент наибольшей и наименьшей длины.

1,5. Грани одного двугранного угла соответственно параллельны граням другого. Определите, каковы отношения между значениями этих двугранных углов.

1,6. Найдите значение двугранного угла, если расстояние от точки, взятой на одной грани, до кромки в 2 раза больше расстояния от точки до плоскости второй грани.

1,7. Из удаленной от плоскости точки проводят две равные наклонные, образующие угол 60º.Косые выступы взаимно перпендикулярны. Найдите длину откосов.

1,8. С вершины IN квадрат ABCD восстановлен перпендикуляр BE к плоскости квадрата. Угол наклона плоскости треугольника ACE к плоскости квадрата составляет j , сторона квадрата и ACE .

II уровень

2.1. Через точку, которая не принадлежит ни одной из двух пересекающихся линий, проведите линию, которая пересекает обе заданные линии.

2.2. Параллельные линии и , b и от не лежат в одной плоскости. Через точки И на прямой и проведенные перпендикулярами к прямым b и из , пересекающих их, соответственно, в точках В и ОТ … Докажите, что прямая линия ВС перпендикулярна на прямые б и от .

2.3. Через верхний прямоугольный треугольник И ABC проведена плоскость, параллельная Солнцу … Ножки треугольника AS = 20 см, Солнце = 15 см. Выступ одной из ног на плоскости 12 см. Найдите проекцию гипотенузы.

2.4. На одной из граней двугранного угла, равного 30º, находится точка M … Расстояние от нее до края угла 18 см. Найдите расстояние от проекции точки M на второй грани до первой грани.

2,5. Концы отрезков AB принадлежат граням двугранного угла, равного 90º.Расстояния от точек И и В до края равны соответственно AA 1 = 3 см, BB 1 = 6 см, расстояние между точками на грани Найдите длину линии AB .

2.6. Из точки на расстоянии от плоскости и проводятся две наклонные, образующие с плоскостью углы 45º и 30º, а угол между ними равен 90º. Найдите расстояние между наклонными основаниями.

2.7. Стороны треугольника 15 см, 21 см и 24 см.Точка M удалена от плоскости треугольника на 73 см и находится на таком же расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.

2,8. Из центра ПРО окружность вписана в треугольник ABC , перпендикуляр восстанавливается до плоскости треугольника OM … Найти расстояние от точки M до сторон треугольника, если AB = BC = 10 см, AS = 12 см, OM = 4 см.

2.9. Расстояния от точки M до сторон и вершин прямого угла составляют соответственно 4 см, 7 см и 8 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости прямого угла.

2.10. Через основание AB равнобедренный треугольник ABC проведена плоскость под углом b к плоскости треугольника. ВЕРШИНА ИЗ удалена от плоскости на расстояние и … Найдите площадь треугольника ABC , если основание AB равнобедренного треугольника равно его высоте.

III уровень

3.1. Прямоугольник ABCD со сторонами и и b , изогнутыми по диагонали BD так, чтобы плоскости треугольников BAD и BCD стали взаимно перпендикулярными. Найдите длину отрезка AS .

3.2. Две прямоугольные трапеции с углами 60º лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют большее общее основание. Большие стороны 4 см и 8 см. Найти расстояние между вершинами прямых и вершинами тупых углов трапеций, если вершины их острых углов совпадают.

3.3 Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D one. Найдите угол между прямой CD 1 и плоскостью BDC 1.

3.4. По краю AB Куба ABCDA 1 B 1 C 1 D Взят 1 балл R Это середина этого ребра. Нарисуйте сечение куба плоскостью, проходящей через точки C 1 PD и найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно и .

3.5. Поперек стороны AD прямоугольник ABCD нарисована плоскость a так, чтобы диагональ BD составляла угол 30º с этой плоскостью. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью a , если AB = и , AD = b … Определите, при каком соотношении и и b возникает проблема. решение.

3,6. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от прямых, определяемых сторонами треугольника.

Призма. Параллелепипед

Призма называется многогранником, две грани которого равны n-угольникам (основание) лежат в параллельных плоскостях, а остальные n граней представляют собой параллелограммы (боковые грани) . Боковое ребро призма — это сторона боковой грани, не относящаяся к основанию.

Призма, боковые грани которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой Призма (рис.1). Если боковые грани не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется косая . Правильно Призма — это прямая призма, основания которой представляют собой правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональ Призма называется сегментом, соединяющим две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональное сечение сечение призмы называется плоскостью, проходящей через два боковых края, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярное сечение сечение призмы называется плоскостью, перпендикулярной боковому краю призмы.

Площадь боковой поверхности Призма называется суммой площадей всех боковых граней. Полная площадь поверхности называется суммой площадей всех граней призмы (то есть суммой площадей боковых граней и площадей оснований).

Для произвольной призмы верны следующие формулы :

, где l — длина бокового ребра;

H — высота;

п

квартал

S сторона

S полный

S main — площадь баз;

В Объем призмы.

Для прямой призмы формулы верны:

, где p — периметр основания;

l — длина боковой нервюры;

H — выс.

Параллелепипедом называется призма, основание которой представляет собой параллелограмм. Параллелепипед, боковые грани которого перпендикулярны основаниям, называется прямым . (рис. 2). Если боковые грани не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется косой … Прямой параллелепипед, основание которого представляет собой прямоугольник, называется прямоугольником . Прямоугольный параллелепипед со всеми равными сторонами называется кубом .

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противостоящими … Длины ребер, выходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипед. Поскольку параллелепипед — это призма, его основные элементы определяются так же, как они определены для призм.

Теоремы.

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов его трех измерений:

3. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны друг другу.

Для произвольного параллелепипеда верны следующие формулы:

, где l — длина бокового ребра;

H — высота;

П — периметр перпендикулярного сечения;

Q — Площадь перпендикулярного сечения;

S сторона — площадь боковой поверхности;

S полная — общая площадь;

S main — площадь баз;

В Объем призмы.

Для прямого параллелепипеда верны следующие формулы:

, где p — периметр основания;

l — длина боковой нервюры;

H — высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны следующие формулы:

, где p — периметр основания;

H — высота;

d — диагональ;

a, b, c — размеры параллелепипеда.

Для куба формулы верны:

, где , а — длина ребра;

d Диагональ куба.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет 33 дм, и его размеры соотносятся как 2: 6: 9. Найдите размеры параллелепипеда.

Решение. Для определения размеров параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. по тому факту, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его размеров.Обозначим через k коэффициент пропорциональности . Тогда размеры параллелепипеда будут 2 k , 6 k и 9 k … Запишем формулу (3) для данных задачи:

Решая это уравнение для k , получаем:

Это означает, что размеры параллелепипеда составляют 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2. Найдите объем наклонной треугольной призмы, основание которой представляет собой равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковой край равен стороне основания и наклонен под углом 60º. к базе.

Решение . Сделаем чертеж (рис. 3).

Чтобы найти объем наклонной призмы, необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания этой призмы — это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Посчитаем:

Высота призмы — это расстояние между ее основаниями. С верха И 1 верхнего основания опускаем перпендикуляр к плоскости нижнего основания И 1 D … Его длина будет равна высоте призмы. Рассмотрим D И 1 AD : так как это угол наклона бокового ребра И 1 И к плоскости основания, И 1 И = 8 см. Из этого треугольника находим И 1 D :

Теперь рассчитываем объем по формуле (1):

Ответ: 192 см 3.

Пример 3. Боковой край правильной шестиугольной призмы составляет 14 см.Площадь наибольшего диагонального сечения составляет 168 см 2. Найдите общую площадь поверхности призмы.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4)

Наибольшее диагональное сечение — прямоугольник AA 1 DD 1, поскольку диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Чтобы рассчитать площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового выступа.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), находим диагональ основания.

Так, то

С тех пор AB = 6 см.

Тогда периметр базы:

Найдите площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см составляет:

Найдите общую площадь призмы:

Ответ:

Пример 4. Ромб служит основанием прямого параллелепипеда. Площади диагональных сечений равны 300 см 2 и 875 см 2. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 5).

Обозначим сторону ромба через и , диагонали ромба d 1 и d 2, высоту параллелепипеда h … Найти площадь боковой поверхности прямой параллелепипед, умножьте периметр основания на высоту: (формула (2)).Базовый периметр p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a , потому что ABCD — ромб. H = AA 1 = h … Итак, нужно найти и и h .

Рассмотрим диагональные сечения. AA 1 SS 1 — прямоугольник, одна сторона которого — диагональ ромба AS = d 1, вторая — боковое ребро AA 1 = h , затем

Аналогично для раздела BB 1 DD 1 получаем:

Используя такое свойство параллелограмма, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получаем равенство. Получаем следующее:

Из первых двух равенств выражаем и подставляем в третье.Получаем: тогда

1.3. В наклонной треугольной призме перпендикулярно боковому краю проводится сечение, равное 12 см. В получившемся треугольнике две стороны длиной см и 8 см образуют угол 45 °. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1,4. Основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 4 см и острым углом 60 °. Найдите диагонали параллелепипеда, если длина бокового края 10 см.

1,5. Основание прямого параллелепипеда — квадрат с диагональю, равной см.Боковой край параллелепипеда 5 см. Найдите общую площадь поверхности параллелепипеда.

1,6. Основание наклонного параллелепипеда представляет собой прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Боковой край, равный см, наклонен к плоскости основания под углом 60 °. Найдите объем параллелепипеда.

1,7. Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если два ребра и диагональ, исходящая из одной вершины, равны 11 см, 13 см и 13 см соответственно.

1,8. Определите вес каменной колонны в форме прямоугольного параллелепипеда размерами 0,3 м, 0,3 м и 2,5 м, если удельный вес материала составляет 2,2 г / см 3.

1.9. Найдите площадь диагонального сечения куба, если диагональ его грани равна dm.

1.10. Найдите объем куба, если расстояние между двумя его вершинами, не лежащими на одной грани, равно сантиметрам.

II уровень

2.1. Основание наклонной призмы — равносторонний треугольник со стороной см. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30 °. Найдите площадь поперечного сечения призмы, проходящей через боковую грань, и высоту призмы, если известно, что одна из вершин верхнего основания проецируется на середину стороны нижнего основания.

2.2. Основание наклонной призмы — равносторонний треугольник ABC со стороной 3 см. Вершина A1 проецируется в центр треугольника ABC.Ребро AA 1 составляет угол 45 ° с плоскостью основания. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2.3. Вычислите объем наклонной треугольной призмы, если стороны основания равны 7 см, 5 см и 8 см, а высота призмы равна нижней высоте треугольника основания.

2.4. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к боковой грани под углом 30 °. Найдите угол наклона к плоскости основания.

2.5. Основание прямой призмы — равнобедренная трапеция, основания которой составляют 4 см и 14 см, а диагональ — 15 см. Две боковые грани призмы — квадраты. Найдите общую площадь поверхности призмы.

2.6. Диагонали правильной шестиугольной призмы составляют 19 см и 21 см. Найдите его объем.

2.7. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда с диагональю 8 дюймов и углами 30 ° и 40 ° с боковыми гранями.

2,8.Диагонали основания прямоугольного параллелепипеда равны 34 см и 38 см, а площади боковых граней равны 800 см 2 и 1200 см 2. Найдите объем параллелепипеда.

2.9. Определите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором диагонали боковых граней, отходящие от одной вершины, составляют 4 см и 5 см и образуют угол 60 °.

2.10. Найдите объем куба, если расстояние от его диагонали до края, не пересекающегося с ним, составляет мм.

III уровень

3.1. В правильной треугольной призме проводится разрез со стороны основания и середины противоположного бокового выступа. Площадь основания 18 см 2, а диагональ боковой грани наклонена к основанию под углом 60 °. Найдите площадь поперечного сечения.

3.2. В основании призмы лежит квадрат ABCD, все вершины которого равноудалены от вершины A 1 верхнего основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60 °. Сторона основания 12 см. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через вершину C, перпендикулярно ребру AA 1, и найти его площадь.

3.3. Основание прямой призмы — равнобедренная трапеция. Площадь диагонального поперечного сечения и площади параллельных боковых граней составляют соответственно 320 см 2, 176 см 2 и 336 см 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

3.4. Площадь основания прямой треугольной призмы 9 см 2, площадь боковых граней 18 см 2, 20 см 2 и 34 см 2. Найдите объем призмы.

3.5. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда, зная, что диагонали его краев равны 11 см, 19 см и 20 см.

3,6. Углы, образованные диагональю основания прямоугольного параллелепипеда со стороной основания и диагональю параллелепипеда, равны a и b соответственно. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его диагональ равна d.

3,7. Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна 2 см. Найдите площадь поверхности куба.

Взаимное расположение прямой и плоскости определяется количеством общих точек :

1) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости,

2) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость,

3) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена на бесконечность, то прямая и плоскость параллельны.

Задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга, называются позиционными задачами.

Раньше считалась прямая, принадлежащая плоскости.

Прямая, параллельная плоскости , , если она параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую ​​прямую, необходимо указать любую прямую на плоскости и провести нужную параллельно ей.

Рисунок: 1.53 Рис. 1.54 Рисунок 1.55

Пусть через точку И (рис. 1.53) необходимо провести прямую AB , параллельную плоскости Q , заданной треугольником CDF. Для этого через фронтальную проекцию точки и / точек И сделаем фронтальную проекцию a / b / желаемую прямую, параллельную фронтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости R, например, прямая CD (a / b / !! с / д / ).Через горизонтальную проекцию и точек И параллельно sd выполняем горизонтальную проекцию aw желаемой прямой AB (av11 sd). Прямой AB параллельно плоскости R, задан треугольником CDF.


Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая линия перпендикулярна плоскости. Рассмотрим свойства проекций такой прямой.

Рисунок: 1.56 Рис. 1.57

Прямая, перпендикулярная плоскости (частный случай пересечения прямой с плоскостью) , если она перпендикулярна любой прямой на плоскости. Для построения проекций перпендикуляра к плоскости общего положения этого недостаточно без преобразования проекций. Поэтому вводится дополнительное условие: прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся основным линиям (для построения проекций используется условие проекции прямого угла).При этом: горизонтальная и фронтальная проекции перпендикуляра перпендикулярны, соответственно, горизонтальная проекция горизонтали и фронтальная проекция передней части данной плоскости в общем положении (рис. 1.54). При задании плоскости следами проекции перпендикуляра перпендикулярны, соответственно, фронтальной — фронтальной трассе, горизонтальной — горизонтальной трассе плоскости (рис. 1.55).

Пересечение прямой с плоскостью проекции. Рассмотрим прямую линию , пересекающую плоскость , когда самолет находится в частном положении.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекции (плоскость проекции), проецируется на нее как прямая линия. На этой прямой (проекции плоскости) должна быть соответствующая проекция точки, в которой некоторая прямая пересекает эту плоскость (рис. 1.56).

Рисунок 1.56 фронтальная проекция точки TO пересечения линий AB с треугольником CDE определяется на пересечении их фронтальных проекций, поскольку треугольник CDE проецируется на фронтальную плоскость в виде прямой линии.Найдите горизонтальную проекцию точки пересечения прямой с плоскостью (она лежит на горизонтальной проекции прямой). Методом конкурирующих точек определяем видимость линии AB относительно плоскости треугольника CDE на горизонтальной плоскости проекции.

На рисунке 1.59 показана горизонтальная проекционная плоскость P и общая линия AB … Поскольку плоскость R перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то все, что в ней находится, проецируется на горизонтальную плоскость проекций на его след, включая точку пересечения с прямой AB … Следовательно, на сложном чертеже мы имеем горизонтальную проекцию точки пересечения прямой с плоскостью R … Принадлежа точке на прямой, находим фронтальную проекцию точки пересечение прямой AB с плоскостью R … Определить видимость прямой линии на фронтальной плоскости выступов.

Рисунок: 1.58 Рис. 1.59


На рис. 1.58 приведен исчерпывающий чертеж для построения проекций точки пересечения прямой AB с горизонтальной плоскостью G . След от фронтальной плоскости G — его фронтальная проекция. Фронтальная проекция точки пересечения плоскости G с прямой AB определяется на пересечении фронтальной проекции прямой линии и фронтального следа плоскости. Имея фронтальную проекцию точки пересечения, находим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой AB с плоскостью G .

На рис. 1.57 показана плоскость общего положения, определяемая треугольником CDE и выступающей линией AB ? пересекающая плоскость в точке К. Фронтальная проекция точки — k / совпадает с точками a / и b /. Чтобы построить горизонтальную проекцию точки пересечения, проведите через точку K на плоскости CDE прямую (например, 1-2 ). Построим его фронтальную проекцию, а затем горизонтальную. Точка K является точкой пересечения линий AB и 1-2. То есть точка K одновременно принадлежит прямой AB и плоскости треугольника и, следовательно, является точкой их пересечения.

Пересечение двух плоскостей. Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача состоит в том, чтобы найти точку, общую для двух плоскостей.

Пересечение проекционных плоскостей. Две плоскости могут быть параллельны друг другу или пересекаться. Рассмотрим случаи взаимного пересечения плоскостей.

Прямая линия, полученная при взаимном пересечении двух плоскостей, полностью определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, поэтому необходимо и достаточно найти эти две точки, принадлежащие линии пересечения двух заданных плоскостей.

Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти любые две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Эти точки определяют линию пересечения плоскостей. Чтобы найти каждую из этих двух точек, обычно приходится выполнять специальные конструкции. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна (или параллельна) какой-либо плоскости проекции, то построение проекции линии их пересечения упрощается.

Рисунок: 1.60 Фиг.161

Если плоскости заданы следами, то естественно искать точки, определяющие линию пересечения плоскостей в точках пересечения следов одной плоскости попарно: прямая, проходящая через эти точки, является общей для обе плоскости, т.е. линия их пересечения.

Рассмотрим частные случаи расположения одной (или обеих) пересекающихся плоскостей.

На сложном чертеже (рис. 1.60) показаны плоскости горизонтальной проекции P и Q. Тогда горизонтальная проекция линии их пересечения вырождается в точку, а фронтальная проекция — в прямую, перпендикулярную оси ox.

На сложном чертеже (рис. 1.61) показаны плоскости определенного положения: плоскость R перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции (горизонтальная плоскость проекции) и плоскость Q — горизонтальная плоскость уровня. В этом случае горизонтальная проекция линии их пересечения будет совпадать с горизонтальным следом плоскости R , а фронтальная — с фронтальным следом плоскости Q .

В случае задания плоскостей по трассам легко установить, что эти плоскости пересекаются: если хотя бы одна пара трасс с одинаковым именем пересекается, то плоскости пересекаются.


Вышесказанное относится к плоскостям, определяемым пересекающимися дорожками. Если в обеих плоскостях есть пути, параллельные друг другу в горизонтальной и фронтальной плоскостях, то эти плоскости могут быть параллельны или пересекаться. Об относительном положении таких плоскостей можно судить, построив третью проекцию (третью трассу).Если следы обеих плоскостей на третьей проекции также параллельны, то плоскости параллельны друг другу. Если следы на третьей плоскости пересекаются, значит пересекаются указанные в пространстве плоскости.

На сложном чертеже (рис. 1.62) показаны плоскости передней проекции, определяемые треугольником ABC и DEF {! LANG-901b86ac4d957790cf6958b58dbe6837!} 12 {! LANG-7eb5a8f6cf4fd69005f7441dfb3b2800!} ox. {! LANG-577f6495f0e0a4d7811068efe22f6400!}

{! LANG-6018345ed71a5dc80388aa58987f7afd!} ABC {! LANG-373f66ee273b044f177d98f5e5a9f3c9!} DEF {! LANG-08cb0dd41ffdb34/20001/200030001/20001/20001/20001/20001/20001/200010001/2000100030002 {! LANG-8244b32ccc0ba5cd644cc12a24a42f96!} DEF {! LANG-731b80a7f2d692841b00d2ee5f38df84!} {! LANG-1fd958d114cb9e02d65ee8bbb559557d!} {! LANG-5347baf9829ce66ca5a6c5853b4b6880!} ABC {! LANG-3e9aedafc34911c8476b2b10b1a4777e!}

{! LANG-e508a703a64cfc12c07e56176583d888!}

{! LANG-0ea6cee08cb4e70fa80c92a487cc22fa!} ABC {! LANG-cb42a426eba19437e6e4e086f715ee61!} {! LANG-0d7ac92ed501564c10f9b38893ba005c!} {! LANG-d83199f9a180d52866de5e3d2c502f78!} R {! LANG-c4e9c724cda33defa16c71319d2f51cb!} ABC {! LANG -9f2ed0da2c44169b004ae14b6157b000!}

{! LANG-3ffcae1eea8e70da3feba802be2ad18c!}

{! LANG-1dda07ffafccd8cac2a6fea318dbdf01!}

{! LANG-1825c8de2e2d2414d1b4314a0ad428ce!} {! LANG-85b2d4ae431a77108acf31015543adf1!}

{! LANG-fd1d163a29343ae067aa348191c6b5c7!}

{! LANG-f6efabb0bfa236a34d91cb6e6f3828db!}

{! LANG-139a1df39578a9d7c54bc759df780e30!}

{! LANG-f10696f5a07b8b922bd1a00ff9f4b4cd!}


{! LANG-ad48c407c5508e64182104eab8d17ed8!}

{! LANG-373c04cc696450d2dd1b15d88c3131e9!}

{! LANG-d8aadf196794567290b340704eaf9ea1!}

{! LANG-e33d0c1dfeeac06bb8966c53f79d0484!} CDE {! LANG-97d5eeb6561d0b82b5f333d74b700f2e!} {AB ! LANG-e88dd25e245e0625bbb0626151b5cb6c!} AB {! LANG-0cd816816350aaa7c2af3b27d95cbb0d!} {! LANG-ff6e48a81107b654db079a65c063a71c!} 12 {! ЛАНГ-5a84f373599a480063063859de5fbef4!} В {! ЛАНГ-efbbc4ff04ec1ad20ec4bf201a29b2a5!} CDE {! ЛАНГ-cce816c599772b6c175b913b1a748403!} К {! ЛАНГ-1e500305a779f8f510b688e58e46edf7!} АВ {! ЛАНГ-34771d3b02e97c6703c93f159e87876a!} { ! LANG-cdc524bb9405c8085f47b11e67e35fe5!}

{! LANG-7aaa4d7d7669cac063da47a5b3c27648!} AB {! LANG-52bdf660adf2574e8f93486cfb405ea6!} R {! LANG-6543c19faa701dGe5000!
{! LANG-b58ec27b53ce03e7f51cbced72a7c8b8!} AB {! LANG-b02a234d8f9d7f7cf2118b6c6bd20197!} R {! LANG-4aebbad16162b12346b8a96780c5e2a5!} R {! LANG-622776607cf7ea1b116e3eba9cb5d8c6!} AB с плоскостью {! LANG-1cb89f7c4b89944f1f025f2135b94800! }

{! LANG-ad52107fb3daac62249af1f2a2bdca18!}

{! LANG-9164bd7431b3b797d401fae8a95bc380!}

{! LANG-3c296ba34c817f06ecb80e6f795cce67!}

{! LANG-2f53657b0e67d87fc058d161c5463c3c!} {! LANG-6d0b865b7d33c81b43fabaf044a35f76!} и DEF {! LANG-b2d4901c7330b0}

{! LANG-037199814d48636fee65cd02d08a01e7!} ВС {! LANG-459f526c5b15981309e34caaaa889674!} ABC {! LANG-4473edba66c07f6bf4dd096fb81b6131!} S {! LANG-dcc36c6b933cfb4acd624778f792d4f3!}

{! LANG-1a86145f5f105b52ac20fb79a1b85101!} S {! LANG-b254299c07c59649c4a40178b8202129!} DEF — 12.

{! LANG-4ddb162f3b419ade83c9c07b0365e302!} От до {! LANG-c6784ddf8be0b25615f3b383e7c21c0e!} Sun {! LANG-b520747f16ef0813726d!

{! LANG-463c833a89de6ede7f232aa65d00fa5e!} Q {! LANG-cbc8c3b73c5db8d00714bacea288290b!} {! LANG-33c4439a987dfe3681CC6355000!

{! LANG-4d51abeccd398ced0813660442f1a436!} Q {! LANG-4a79afeb39d5641a36af39628bb36517!} {! LANG-cc260a531412527ea8a92cf 380} 9bb

{! LANG-54fb06c1ec0

45fe369c657371c0!} {! LANG-42f463c8479642e92eaf6a151ebcf9d8!} {! LANG-8355513909c5632f0b2fbccc1f642aba!} {! LANG-33c4439a987dfe3681cc91cbf07a710d!} {! LANG-204947a96654e0ecc665613e33fa7196!} {! LANG-d2895305bdaa529a345292ca657!} { ! LANG-eb1150246060baec23657d5fba9d3f7a!}

{! LANG-da96ae408ba52224159f68e546b6b96f!} К {! LANG-4bfb6432d7bb214319efc6d48e31988d!} {! LANG-2080d56d42f3e7a96e60674f539f35a0!} {! LANG-41689b2372f859073a2e57c0f6ffe1d8!} ABC и DEF .

{! LANG-e24a13f015a1a1f86613f49fb9ee56e7!}


{! LANG-079458a46a51282135a4571b9ae2aa04!} {! LANG-6c7ccae4d7507e12026c78705cfcc6a5!} {! LANG-4811314cc19b39cfa57642e8f44d3da9!}
{! LANG-26c3f60e2b93d76398503f8dd9abd13d!} {! LANG-3799a958b5295ff4ccb6fca25c3!} {! LANG-0bfb739500341458ef561edd719!} И {! LANG-c048b5f372404c4263

de66!} G {! LANG-8a3802140afc6a76e6ecc91dc45c08f7!} {! LANG-0d7ac92ed501564c10f9b38893ba005c!} {! LANG-fee28dc33d63830ef8afa5d9a57307cb!} G {! LANG-48275bccf1c5afaa4dfc729b2dec2799!} И {! LANG -41bb783232e179ab4ffc94e9d1daa315!} G .

{! LANG-b3c72543ad291ff3d0304e1234bf5a3a!} {! LANG-7befadcd96bf36ab9c03377482f64bfe!}

{! LANG-3a75ff1ffb6b1cd6f7993a18f81b3ec5!}

{! LANG-17f48d9cd996e3cecc3c9a52d0e49812!} {! LANG-92dd8e587f8bc42b4be68fca782!} {! LANG-e3289fba1ab825d5caecde3ec3092b07!} {! LANG-1ad471ec4e3014cea8317a6496210f28!} {! LANG-03cad54e83e0918ddcd83b654ba4c542!}

42!
{! LANG-826754641598b219f6006e81d7c286ce!} {! LANG-101273c4f4a77437e2059c5806e97cbe!} {! LANG-832dff288f9a0eebd9f3f234d4800081!} R {! LANG-f2fb96b4edfc326d1c8f6aa8a19eb3e0!} {! LANG-2b3c3ebdbed84dc6a4bd949bf72ba335!} {! LANG-1505c3655c00b950e334498cfa60b071!} R {! ЛАНГ-f07fe2233ff99e60552968a7417c7628!} {! ЛАНГ-173f130accc200e449e836a0c4ddf6fd!} {! ЛАНГ-804e1759b1e0a7f67ac9d2cd1b2b9ec6!} { Q! ЛАНГ-a06cfd235abb0a844df0da6d7abfd04e!} R .

{! ЛАНГ-80e143b1346d073632a937bb3d0e5c98!} BE {! ЛАНГ-a4d28519e59583d06a7c3520b3b7ab07!} {! ЛАНГ-cbea9c4d4ef5f2e5c541e59bea296540!} {! ЛАНГ-9fb52813e1366a9d3da9d1023b3042b0!} и {! ЛАНГ-aa3a2730c22c61c18317f5275ac0e56c!} и {! ЛАНГ -de7b06d0ef802a2a101bceeb6d9d81f4!} {! LANG-5e07141d73470853a4d31f05ff2ecf3e!} {! LANG-368246e61547330a4d6f30b143ba817d!} {! LANG-370751da74d8145ea4153e218746f10f!} {! LANG-9fd571ba94ec4bf311b093bf68b5d990!}

.