Высота конуса 30 а длина образующей 34 найдите диаметр основания конуса: Высота конуса равна 30, а дина образующей — 34?

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

л ² = h ² + r ²
л ² = 3 ² + 4 ²
л ² = 9 + 16
9000 5

Таким образом, общая площадь поверхности конуса составляет:
SA = πr (r + l)
SA = 3,14 · 3 · (3 + 5)
SA = 75,36 см ²

Онлайн-калькулятор площади поверхности

Площадь конуса

В общий площадь поверхности из конус представляет собой сумму площадей его основания и боковой (боковой) поверхности.

В площадь боковой поверхности конуса — это площадь только боковой или боковой поверхности.

Поскольку конус тесно связан с пирамида , формулы для их площадей связаны между собой.

Помните, что формула для определения площади боковой поверхности пирамиды имеет следующий вид: 1 2 п л а общая площадь поверхности равна 1 2 п л + B .

Поскольку основание конуса — круг, подставим 2 π р за п и π р 2 за B куда р — радиус основания цилиндра.

Итак, формула для площадь боковой поверхности правого конуса L .S . А знак равно π р л , куда л наклонная высота конуса .

Пример 1:

Найдите площадь боковой поверхности правого конуса, если радиус 4 см и наклонная высота 5 см.

L . S . А знак равно π ( 4 ) ( 5 ) знак равно 20 π ≈ 62.82 см 2

Формула для общая площадь поверхности правого конуса Т . S . А знак равно π р л + π р 2 .

Пример 2:

Найдите общую площадь поверхности правого конуса, если радиус равен 6 дюймов и наклонная высота 10 дюймы.

Т .S . А знак равно π ( 6 ) ( 10 ) + π ( 6 ) 2 знак равно 60 π + 36 π знак равно 96 π дюймы 2 ≈ 301.59 дюймы 2

Самолет в космосе — необходимая информация. Взаимное положение точки, линии и плоскости Типы взаимного положения прямой и плоскости

Расположение

Знак: если прямая линия, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой.

2. Если одна из двух прямых параллельна данной, то другая линия либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

РАСПОЛОЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ САМОЛЕТОВ

Расположение

1. самолеты имеют как минимум 1 общую точку, т.е.е. пересекаются по прямой

2. Плоскости не пересекаются, т.е. не имеют общей точки, в этом случае они называются параллельными.

знак

если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны 2 прямым линиям другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

ул.

1. если 2 параллельные плоскости пересекаются с 3, то линии их пересечения параллельны

2. отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТНОЙ. ЗНАК ПРАВИЛЬНОСТИ И ПЛОСКОСТНОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ.

Прямые вызовы перпендикулярно , если они пересекаются под

Лемма: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то другая прямая перпендикулярна этой прямой.

Прямая линия называется перпендикулярной плоскости, , если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Теорема: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Теорема: если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Знак

Если прямая линия перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ И НАКЛОННЫЙ

Построим самолет и др., Не принадлежащий к нему. Проведем от них прямую линию, перпендикулярную плоскости. Точка пересечения прямой с плоскостью обозначается N.Отрезок AH — это перпендикуляр, проведенный из точки A к плоскости. T.N — основание перпендикуляра. Возьмем на плоскости точку M, которая не совпадает с N. Отрезок AM — наклонный, проведенный из точки A на плоскость. М — наклонное основание. Сегмент MH — наклонная проекция на плоскость. Перпендикуляр AH — это расстояние от точки A до плоскости. Любое расстояние — это часть перпендикуляра.

Теорема о трех перпендикулярах:

Прямая линия, проведенная в плоскости через основание наклонного перпендикуляра к его проекции на эту плоскость, также перпендикулярна самому наклонному.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОЙ

Угол между прямой линией и плоскостью — это угол между этой прямой линией и ее проекцией на плоскость.

ДИГЕДРАЛЬНЫЙ УГОЛ. УГОЛ МЕЖДУ САМОЛЕТАМИ

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой линией и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Граница а — кромка двугранного угла. Полуплоскости — грани двугранных углов. Для измерения двугранного угла. Внутри него нужно построить линейный угол. Отметьте какую-нибудь точку на краю двугранных углов и проведите от этой точки луч на каждой грани, перпендикулярном краю. Угол, образованный этими лучами, называется линейной головкой двугранного угла. Внутри двугранных углов их может быть бесконечно много. Все они одинакового размера.

ПРОЧНОСТЬ ДВУХ САМОЛЕТОВ

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, , если угол между ними равен 90.

Знак:

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую линию, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Многогранники

Многогранник — поверхность, состоящая из многоугольников и ограничивающая геометрическое тело. Грани — многоугольники, из которых состоят многогранники. Ребра — стороны граней. Вершины — концы нервюр. Диагональ многогранника называется отрезком, соединяющим 2 вершины, не принадлежащие одной грани.Плоскость, по обеим сторонам которой расположены точки многогранника, называется … пересечение плоскостью. Общая часть многогранника и секущая область называется сечением многогранника. Многогранники бывают выпуклыми и вогнутыми. Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону плоскости каждой из его граней (тетраэдр, параллелепипед, октаэдр). В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов в каждой вершине меньше 360.

ПРИЗМА

Многогранник, состоящий из 2-х равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и n-параллелограммах, называется призмой .

Полигоны A1A2..A (p) и B1B2..B (p) — оснований призм … А1А2В2В1 … — параллелограммов , A (p) A1B1B (p) — боковых граней. Сегменты A1B1, A2B2..A (p) B (p) — боковых ребра. В зависимости от многоугольника, лежащего в основе призмы, призму называют n-угольной. Перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания в плоскость другого основания, называется высотой . Если боковые грани призмы перпендикулярны основанию, то призма — прямая , а если не перпендикулярная — , то наклонная. Высота прямой призмы равна длине ее бокового выступа. Основание прямой призмы правильное. Если ее основание — правильные многоугольники, все боковые грани равны прямоугольникам.

ПАРАЛЛЕПРОВОДНАЯ

AVSD // A1V1S1D1, AA1 // BB1 // CC1 // DD1, AA1 = BB1 = CC1 = DD1 (по параллельным плоскостям)

Параллелепипед состоит из 6 параллелограммов. Параллелограммами названо граней. AVSD и A1V1S1D1 — основания, остальные грани называются боковыми. точек A B C D A1 B1 C1 D1 — вершины. Сегменты, соединяющие вершины — ребра. AA1, BB1, CC1, DD1 — боковых ребра.

Диагональ параллелепипеда — называется отрезком, соединяющим 2 вершины, не принадлежащие одной грани.

Святой остров

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и к этому моменту делятся пополам.

ПИРАМИДА

Рассмотрим многоугольник A1A2..A (n), точку P, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединим точку P с вершинами многоугольника и получим n треугольников: PA1A2, PA2A3… .PA (n) A1.

Многогранник, состоящий из n-угольников и n-треугольников , называется пирамидой. Полигон — база. Треугольников — боковых граней. R — вершина пирамиды. Сегменты A1P, A2P..A (p) P — боковые ребра. В зависимости от базового многоугольника пирамида называется p-уголь.Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный сверху к плоскости основания. Пирамида называется правильной , если в ее основании лежит правильный многоугольник, а высота попадает в центр основания. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды.

УРЕЗАННАЯ ПИРАМИДА

Рассмотрим пирамиду PA1A2A3A (n). нарисуйте секционную плоскость параллельно основанию. Эта плоскость делит нашу пирамиду на 2 части: верхняя — пирамида, подобная этой, нижняя — усеченная пирамида.Боковая поверхность состоит из трапеции. Боковые ребра соединяют вершины оснований.

Теорема: площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров основания и апофемы.

ПРАВЫЙ ПОЛИТОП

Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани равны правильным многоугольникам и одинаковое количество ребер сходится в каждой из его вершин. Пример правильного многогранника — куб.Все его грани равны квадратам, а в каждой вершине сходятся по 3 ребра.

Правильный тетраэдр , состоящий из 4-х равносторонних треугольников. Каждая вершина — это вершина 3-х треугольников. Сумма плоских углов в каждой вершине равна 180.

Правильный октаэдр композиция из 8 равносторонних треугольников. Каждая вершина — это вершина 4-х треугольников. Сумма плоских углов в каждой вершине = 240

Правильный икосаэдр композиция из 20 равносторонних треугольников.Каждая вершина — это вершина 5 треугольника. Сумма плоских углов в каждой вершине равна 300.

Куб композиция из 6 квадратов. Каждая вершина — это вершина трех квадратов. Сумма плоских углов в каждой вершине = 270.

Правильный додекаэдр Состав из 12 правильных пятиугольников. Каждая вершина — это вершина трех правильных пятиугольников. Сумма плоских углов в каждой вершине = 324.

Других типов правильных многогранников нет.

ЦИЛИНДР

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя окружностями с границами L и L1, называется цилиндром . Круги L и L1 называются основаниями цилиндров . Сегменты ММ1, АА1 — генераторы. Образует композицию цилиндрической или боковой поверхности цилиндра. Прямая линия, соединяющая центры оснований О и О1, называется осью цилиндра. Длина генератора — высота цилиндра. Base radius (r) — радиус цилиндра.

Секции цилиндров

Осевой проходит через ось и диаметр основания

Перпендикулярно оси

Цилиндр — это тело вращения.Он получается вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

КОНУС

Рассмотрим окружность (o; r) и прямую OP, перпендикулярную плоскости этой окружности. Через каждую точку окружности L и m.P проводим отрезки, их бесконечно много. Они образуют коническую поверхность и называются генераторами .

R- вершина , OR — ось коническая .

Тело, ограниченное конической поверхностью и окружностью с границей L , называется конусом.Круг — основание конуса. Коническая вершина — вершина конуса. Формирующая коническая поверхность — образующие конуса. Коническая поверхность — боковая поверхность конуса. РО — ось конуса. Расстояние от P до O — высота конуса. Конус — это тело вращения. Получается при вращении прямоугольника треугольника вокруг ножки.

Конусная секция

Осевое сечение

Поперечное сечение перпендикулярно оси

СФЕРА И ШАР

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек в пространстве, находящихся на заданном расстоянии от заданной точки.Эта точка находится в центре сферы на градуса. Данное расстояние составляет радиуса сферы.

Отрезок, соединяющий 2 точки сферы и проходящий через ее центр , называется диаметром сферы.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром . Центр, радиус и диаметр сферы называют центром , радиусом и диаметром шара.

Сфера и шар — тела вращения. Сфера получается вращением полукруга вокруг диаметра, а шар получается вращением полукруга вокруг диаметра.

в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C (x (0), y (0), Z (0) имеет вид (xx (0)) (2) + (yy (0 )) (2) + (zz (0)) (2) = R (2)

Прямая банка принадлежит плоскости , будь то параллель или пересечение плоскости . Прямая линия принадлежит плоскости, если две точки, принадлежащие прямой линии и плоскости, имеют одинаковые отметки … Следствие, следующее из вышеизложенного: точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этот самолет.

Прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости.

Прямая, пересекающая самолет. Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, необходимо (рис. 3.28):

1) через заданную линию провести вспомогательную плоскость m T ;

2) построить линию n , пересекающую заданную плоскость Σ со вспомогательной плоскостью T;

3) обозначить точку пересечения R, заданную прямую м с линией пересечения n.

Рассмотрим проблему (рис. 3.29). Прямая m обозначена на плане точкой A 6 и углом наклона 35 °. Вспомогательная вертикальная плоскость проведена через эту линию T, , которая пересекает плоскость Σ по линии n ( B 2 C 3 ). Таким образом, происходит переход от относительного положения прямой и плоскости к относительному положению двух прямых, лежащих в одной вертикальной плоскости. Эта проблема решается путем построения профилей этих прямых.Пересечение линий м и n на профиле определяет искомую точку R … Отметка точки R определяется шкалой вертикальных масштабов.

Прямая, перпендикулярная плоскости. Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любым двум пересекающимся прямым линиям этой плоскости. На рисунке 3.30 показана прямая м , перпендикулярная плоскости Σ и пересекающая ее в точке A. На плоскости проекции прямой м и горизонтальные линии плоскости взаимно перпендикулярны (прямой угол, один сторона которого параллельна плоскости выступов, проецируется без искажений.Обе линии лежат в одной вертикальной плоскости, следовательно, положения таких линий по величине обратны друг другу: l м = l / l u. Но l uΣ = l Σ, тогда l m = l / l Σ, то есть положение прямой m обратно пропорционально положению плоскости. Падения возле прямой и плоскости направлены в разные стороны.

3.4. Числовые проекции высот. Поверхности

3.4.1 Многогранники и искривленные поверхности. Топографическая поверхность

В природе многие вещества имеют кристаллическую структуру в виде многогранников. Многогранник — это набор плоских многоугольников, которые не лежат в одной плоскости, причем каждая сторона одного из них одновременно является стороной другого. При изображении многогранника достаточно указать проекции его вершин, соединив их в определенном порядке прямыми линиями — проекциями ребер.В этом случае на чертеже должны быть указаны видимые и невидимые края. На рис. 3.31 изображает призму и пирамиду, а также находит отметки точек, принадлежащих этим поверхностям.

Специальная группа выпуклых многоугольников — это группа правильных многоугольников, в которой все грани равны правильным многоугольникам и все углы многоугольника равны. Есть пять типов правильных многоугольников.

Тетраэдр — правильный четырехугольник, ограниченный равносторонними треугольниками, имеет 4 вершины и 6 ребер (рис.3.32 а).

Шестигранник — правильный шестиугольник (куб) — 8 вершин, 12 ребер (рис. 3.32b).

Октаэдр — правильный октаэдр, ограниченный восемью равносторонними треугольниками — 6 вершин, 12 ребер (рис. 3.32c).

Додекаэдр — правильный додекаэдр, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками, соединенными тремя возле каждой вершины.

Он имеет 20 вершин и 30 ребер (рис. 3.32 d).

Икосаэдр — правильный двадцатигранный треугольник, ограниченный двадцатью равносторонними треугольниками, соединенными по пять около каждой вершины.12 вершин и 30 ребер (рис. 3.32 д).

При построении точки, лежащей на грани многогранника, необходимо провести линию, принадлежащую этой грани, и отметить проекцию точки на ее проекции.

Конические поверхности образуются путем перемещения прямолинейной образующей по изогнутой направляющей так, чтобы во всех положениях образующая проходила через фиксированную точку — вершину поверхности. Конические поверхности общего вида на плане изображаются горизонтальной направляющей и вершиной.На рис. 3.33 показано расположение отметки точки на поверхности конической поверхности.

Прямой круговой конус изображается как серия концентрических окружностей, начерченных через равные промежутки (рис. 3.34а). Эллиптический конус с круглым основанием — серия эксцентрических окружностей (рис. 3.34 б)

Сферические поверхности. Сферическая поверхность называется поверхностями вращения. Он образован вращением круга вокруг своего диаметра. На плане сферическая поверхность определяется центром TO и проекцией одного из его контуров (экватора сферы) (рис.3.35).

Топографическая поверхность. Топографическая поверхность называется геометрически неправильной поверхностью, поскольку она не имеет геометрического закона образования. Для характеристики поверхности определяется положение ее характерных точек относительно плоскости проекции. На рис. 3.3 б и приведен пример разреза топографической поверхности, на котором показаны проекции отдельных ее точек. Хотя такой план дает возможность составить представление о форме изображаемой поверхности, он не очень ясен.Для большей наглядности чертежа и облегчения его чтения проекции точек с одинаковыми отметками соединяются плавными изогнутыми линиями, которые называются контурами (изолиниями) (рис. 3.36 б).

Контуры топографической поверхности иногда определяют как линии пересечения этой поверхности с горизонтальными плоскостями, расположенными друг от друга на одинаковом расстоянии (рис. 3.37). Разница в высоте между двумя соседними контурами называется высотой сечения.

Чем точнее изображение топографической поверхности, тем меньше разница в высоте между двумя соседними контурами. В планах контуры замыкаются внутри чертежа или за его пределами. На более крутых склонах поверхности проекции контурных линий сходятся, на пологих — расходятся их проекции.

Кратчайшее расстояние между проекциями двух соседних контуров на плане называется начальным. На рис. 3.38 через точку И на топографической поверхности проведено несколько отрезков прямых линий И ВАС и нашей эры … Все они имеют разные углы падения. Наибольший угол падения имеет отрезок AS , укладка которого имеет минимальное значение. Следовательно, это будет проекция линии падения поверхности в этом месте.

На рис. 3.39 — пример построения проекции линии падения через заданную точку И … Из точки A 100 , начиная с центра, проведите дугу окружности, касающуюся ближайшей горизонтальной линии в точке Т 90 … Точка На 90, по горизонтали х 90, будет принадлежать линии падения. Из точки T 90 проведите дугу, касающуюся следующей горизонтали в точке C 80, и т. Д. Из чертежа видно, что линия падения топографической поверхности представляет собой ломаную линию, каждое звено которой перпендикулярно горизонтальный, проходящий через нижний конец звена, имеющего нижнюю отметку.

3.4.2 Пересечение конической поверхности плоскостью

Если режущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, то она пересекает ее по прямым линиям, образующим поверхность.Во всех остальных случаях линия сечения будет плоской кривой: окружностью, эллипсом и т. Д. Рассмотрим случай пересечения конической поверхности плоскостью.

Пример 1. Построить проекцию линии пересечения кругового конуса Φ ( h около , S 5 ) с плоскостью Ω, параллельной образующей конической поверхности.

Коническая поверхность для данного местоположения плоскости пересекается по параболе. Интерполируя генератор t строим горизонтали кругового конуса — концентрические окружности с центром S пятерки.Затем определяем точки пересечения одноименных контуров плоскости и конуса (рис. 3.40).

3.4.3. Пересечение топографической поверхности плоскостью и прямой

Случай пересечения топографической поверхности с плоскостью наиболее часто встречается при решении геологических задач. На рис. 3.41 приведен пример построения пересечения топографической поверхности с плоскостью Σ. Ищем кривую м определяются по точкам пересечения контуров одноименной плоскости и топографической поверхности.

На рис. 3.42 приведен пример построения истинного вида топографической поверхности с вертикальной плоскостью Σ. Искомая линия m определяется точками A, B, C … Пересечение контурных линий топографической поверхности с плоскостью сечения Σ. На плане проекция кривой вырождается в прямую, совпадающую с проекцией плоскости: м ≡ Σ. Профиль кривой m строится с учетом расположения проекций ее точек на плане, а также их отметок.

3.4.4. Ровный уклон

Поверхность с равным уклоном — это линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой образуют постоянный угол с горизонтальной плоскостью. Такую поверхность можно получить, перемещая прямой круговой конус с осью, перпендикулярной плоскости плана, так, чтобы его вершина скользила по некоторой направляющей, а ось оставалась вертикальной в любом положении.

На рис. 3.43 изображена поверхность равного уклона (i = 1/2), которая ориентируется пространственной кривой A, B, C, D.

Выпускной самолет. В качестве примеров рассмотрим плоскости откосов проезжей части.

Пример 1. Продольный уклон проезжей части i = 0, уклон откоса насыпи i n = 1: 1,5, (рис. 3.44а). Требуется провести горизонтали через 1м. Решение сводится к следующему. Рисуем шкалу уклона плоскости перпендикулярно краю проезжей части, размечаем точки на расстоянии, равном интервалу 1,5 м, взятых из линейной шкалы, и определяем метки 49, 48 и 47.Через полученные точки проводим контуры откоса параллельно краю дороги.

Пример 2. Продольный уклон дороги i ≠ 0, уклон насыпи i n = 1: 1,5, (рисунок 3.44б). Плоскость дорожного покрытия градуирована. Уклон дорожного полотна классифицируется следующим образом. В точке с вершиной 50,00 (или другой точкой) поместите вершину конуса, опишите круг радиусом, равным интервалу уклона насыпи (в нашем примере l = 1.5м). Высота этого контура конуса будет на единицу меньше высоты вершины, то есть 49 м. Рисуем серию окружностей, получаем отметки контурных линий 48, 47, относительно которых от точек кромки с отметками 49, 48, 47 проводим горизонтальные линии откоса насыпи.

Градуировка поверхностей.

Пример 3. Если продольный уклон дороги i = 0 и уклон откоса насыпи в = 1: 1,5, то горизонтальные уклоны проводятся через точки шкалы уклонов, интервал которых равен интервал уклонов насыпи, (рисунок 3.45а). Расстояние между двумя проекциями соседних горизонталей в направлении общей нормы (шкала уклонов) везде одинаково.

Пример 4. Если продольный уклон дороги i ≠ 0, а уклон откоса насыпи в = 1: 1,5, (рис. 3.45б), то контуры строятся аналогично, за исключением того, что контуры уклон нарисован не прямыми линиями, а кривыми.

3.4.5. Определение предельной отметки земляных работ

Поскольку большинство грунтов не могут поддерживать вертикальные стены, необходимо сооружать откосы (искусственные сооружения).Уклон, определяемый уклоном, зависит от почвы.

Для придания участку земной поверхности вида плоскости с определенным уклоном необходимо знать линию пределов земляных и нулевых работ. Эта линия, ограничивающая планируемую территорию, представлена ​​пересечением насыпи и среза откосов с заданной топографической поверхностью.

Поскольку каждая поверхность (включая плоскую) изображается с помощью горизонталей, линия пересечения поверхностей строится как набор точек пересечения горизонталей с одинаковыми отметками.Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. На рис. 3.46 дано земляное сооружение в виде усеченной четырехугольной пирамиды, стоящей на плоскости H … Верхнее основание ABCD пирамида имеет отметку 4 м и размеры сторон 2 × 2,5 м … боковые грани (откосы насыпи) имеют уклон 2: 1 и 1: 1, направление которых показано стрелками.

Необходимо построить линию пересечения откосов конструкции с плоскостью H и между собой, а также построить продольный профиль по оси симметрии.

Сначала строится схема уклонов, интервалов и масштабов укладки с учетом уклонов. Перпендикулярно каждой стороне площадки через заданные промежутки времени наносятся шкалы уклонов откосов, после чего проекции горизонталей с одинаковыми отметками соседних граней являются линиями пересечения откосов, которые являются проекциями боковых граней этой пирамиды.

Нижнее основание пирамиды совпадает с нулевыми контурами откосов.Если эту земляную конструкцию пересекает вертикальная плоскость Q , то в разрезе вы получите пунктирную линию — продольный профиль конструкции.

Пример 2 … Построить линию пересечения откосов котлована с пологим откосом и между собой. Дно ( ABCD ) котлована представляет собой прямоугольную площадку высотой 10 м и размерами 3 × 4 м. Ось участка составляет угол 5 ° с линией юг-север. Откосы котлованов имеют одинаковые уклоны 2: 1 (рисунок 3.47).

Нулевая линия работ устанавливается согласно плану местности. Он строится по точкам пересечения одноименных проекций контуров рассматриваемых поверхностей. В точках пересечения контурных линий откосов и топографической поверхности с одинаковыми отметками находятся линии пересечения откосов, являющиеся проекциями боковых граней этого карьера.

В данном случае боковые откосы котлована примыкают к дну котлована.Линия abcd — искомая линия пересечения. Aa, Bb, Сс, Dd — края котлована, линия пересечения откосов между собой.

4. Вопросы для самоконтроля и задания для самостоятельной работы по теме «Прямоугольные проекции»

Точка

4.1.1. Суть проекционного метода.

4.1.2. Что такое точечная проекция?

4.1.3. Как называются и обозначаются проекционные плоскости?

4.1.4. Какие линии соединения выступов на чертеже и как они расположены на чертеже по отношению к осям проекции?

4.1.5. Как построить третью (профильную) проекцию точки?

4.1.6. Постройте три проекции точек A, B, C на трехкартинном рисунке, запишите их координаты и заполните таблицу.

4.1.7. Постройте недостающие оси проекции, x A = 25, y A = 20. Постройте профильную проекцию точки A.

4.1.8. Постройте три проекции точек по их координатам: A (25,20,15), B (20,25,0) и C (35,0,10). Укажите положение точек по отношению к плоскостям и осям проекции. Какая из точек ближе к плоскости P 3?

4.1.9. Материальные точки A и B начинают падать одновременно. Где будет точка B, когда точка A коснется земли? Определите видимость точек. Постройте точки в новой позиции.

4.1.10. Постройте три проекции точки A, если точка лежит в плоскости P 3, а расстояние от нее до плоскости P 1 составляет 20 мм, до плоскости P 2 — 30 мм. Запишите координаты точки.

Прямой

4.2.1. Как можно обозначить на чертеже прямую линию?

4.2.2. Какая линия называется линией общего положения?

4.2.3. Какое положение может занимать прямая линия относительно плоскостей проекции?

4.2.4. Когда проекция прямой превращается в точку?

4.2.5. Что характерно для сложного рисунка прямого уровня?

4.2.6. Определите взаимное расположение этих прямых линий.

а… б а… б а… б

4.2.7. Постройте проекцию отрезка прямой AB длиной 20 мм, параллельную плоскостям: а) P 2; б) Р 1; в) ось Ох. Обозначьте углы наклона отрезка к плоскостям проекции.

4.2.8. Постройте проекцию отрезка AB по координатам его концов: A (30,10,10), B (10,15,30). Постройте проекции точки C, разделяющей отрезок, по отношению к AC: CB = 1: 2.

4.2.9. Определите и запишите количество ребер данного многогранника и их положение относительно плоскостей проекции.

4.2.10. Проведите горизонтальную линию и прямую линию через точку А, пересекающую линию m.

4.2.11. Определите расстояние между линией b и точкой A

4.2.12. Постройте выступ отрезка АВ длиной 20 мм, проходящий через точку А и перпендикулярный плоскости а) Р 2; б) Р 1; в) П 3.

Стереометрия

Взаимное расположение прямых и плоскостей

В космосе

Параллельность линий и плоскостей

Две линии в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Линия и плоскость называются параллельно , если они не пересекаются.

Две плоскости называются параллельно , если они не пересекаются.

Линии, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивание .

Параллельность прямой и плоскости … Если прямая линия, не принадлежащая плоскости, параллельна некоторой прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Параллельность плоскостей … Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым линиям другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Пересечение прямых … Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, которая не принадлежит первой прямой, то эти прямые пересекаются.

Теорема о параллельных прямых и параллельных плоскостях.

1.Две линии, параллельные третьей линии, параллельны.

2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость.

3. Через точку за пределами этой прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.

4. Если линия параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна линии их пересечения.

5. Если две параллельные плоскости пересекаются с третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

6. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну.

7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны друг другу.

8. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Углы между линиями и плоскостями

Угол между прямой линией и плоскостью называется углом между прямой линией и ее проекцией на плоскость (угол на рис.1).

Угол между пересекающимися линиями называется углом между пересекающимися прямыми линиями, параллельными заданным пересекающимся прямым линиям.

Двугранный угол — это фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой линией. Полуплоскости называются фасет , прямая — кромка двугранный угол.

Линейный угол двугранный угол — это угол между полупрямыми, принадлежащими граням двугранного угла, исходящими из одной точки на ребре и перпендикулярными ребру (угол на рис.2).

Градусы (радианы) двугранного угла равны градусам (радианам) его линейного угла.

Перпендикулярность линий и плоскостей

Две линии называются перпендикулярно , если они пересекаются под прямым углом.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикуляр эта плоскость, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения этой прямой и плоскости.

Две плоскости называются перпендикулярно , если они пересекаются, они образуют прямые двугранные углы.

Знак перпендикулярности прямой и плоскости … Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Знак перпендикулярности двух плоскостей … Если плоскость проходит по прямой, перпендикулярной другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях.

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна другой.

2. Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

3. Если прямая линия перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна другой.

4. Если две плоскости перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.

Перпендикулярно и наклонно

Теорема … Если перпендикулярная и наклонная линии проводятся из одной точки вне плоскости, то:

1) наклонные, имеющие равные выступы, равны;

2) из ​​двух наклонных тот, у которого выступ больше, больше;

3) равные косые имеют одинаковые выступы;

4) из двух выступов, больший соответствует большему наклону.

Теорема о трех перпендикулярах … Чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна наклонной проекции (рис. 3).

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Строительство.

1. На самолете и прямые и .

3. В плоскости b через точки И проведем прямую b , параллельную прямой и .

4. Построили прямую b , параллельную плоскости a .

Доказательства. На основе параллельности прямой и плоскости прямая b параллельна плоскости a , поскольку она параллельна прямой и , принадлежащей плоскости a .

Исследование. Задача имеет бесконечное количество решений, поскольку прямая и в плоскости и выбрана произвольно.

Пример 2. Определите, как далеко от плоскости находится точка И , если прямая AB пересекает плоскость под углом 45º, расстояние от точки И до точки IN , принадлежащей плоскости, равно см?

Решение. Сделаем рисунок (рис.5):

AS — перпендикулярно плоскости a , AB — наклонное, угол ABC — угол между прямой AB и плоскостью a … Треугольник ABC — прямоугольный, начиная с AS — перпендикулярно. Желаемое расстояние от точек И до плоскости — это отрезок прямоугольного треугольника AS . Зная угол и гипотенузу в см, найдем катет AS :

Ответ: 3 см.

Пример 3. Определите, на каком расстоянии от плоскости равнобедренного треугольника находится точка на 13 см от каждой из вершин треугольника, если основание и высота треугольника равны 8 см каждая?

Решение. Сделаем чертеж (рис. 6). Точка S удалена из точек И , IN и ОТ на одинаковом расстоянии. Так наклонные SA , SB и SC равны, SO — общий перпендикуляр этих косых.По теореме о косом и проекции АО = БО = СО.

Точка ПРО — центр окружности, описанной около треугольника ABC … Найдем его радиус:

где вс — база;

AD — высота данного равнобедренного треугольника.

Нахождение сторон треугольника ABC из прямоугольного ABD по теореме Пифагора:

Теперь находим ОВ :

Рассмотрим треугольник СОБ : СОБ = 13 см, ОВ = = 5 см.Найдите длину перпендикуляра SO по теореме Пифагора:

Ответ: 12 см.

Пример 4. Даны параллельные плоскости a и b … Через точку M , которая не принадлежит ни к одной из них, прямые и и b , которые пересекают a в точках И 1 и В 1, а самолет б — в точках И 2 и В 2.Найти И 1 В 1, если известно, что МА 1 = 8 см, И 1 И 2 = 12 см, И 2 В 2 = 25 см.

Решение. Так как в условии не сказано, как расположена точка относительно обеих плоскостей M , то возможны два варианта: (рис. 7, а) и (рис. 7, б). Рассмотрим каждую из них. Две пересекающиеся линии и и b задают плоскость.Эта плоскость пересекает две параллельные плоскости a и b параллельные прямые AND 1 IN 1 и AND 2 IN 2 согласно теореме 5 на параллельных прямых и параллельных плоскостях.

Треугольники MA 1 IN 1 и MA 2 IN 2 аналогичны (углы И 2 MV 2 и AND 1 MV 1 — вертикальные, углы MA 1 IN 1 и MA 2 IN 2 — внутреннее пересечение на параллельных линиях И 1 IN 1 и И 2 IN 2 и секанс И 1 И 2).Пропорциональность сторон следует из подобия треугольников:

Вариант а):

Вариант б):

Ответ: 10 см и 50 см.

Пример 5. Сквозная точка И плоскость g прямая AB , образующая угол с плоскостью a … Через прямую AB начерченная плоскость r , образующая плоскость g угол b … Найти угол между проекцией прямой AB на плоскость g и плоскость r .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Из точки IN опустить перпендикуляр к плоскости g … Линейный угол двугранного угла между плоскостями g и r Угол прямой AD DBC , исходя из перпендикулярности плоскости прямая линия и плоскость, т.к. и Исходя из перпендикулярности плоскостей, плоскость r перпендикулярна плоскости треугольника DBC , поскольку она проходит через прямую линию AD … Строим искомый угол, опуская перпендикуляр из точки ОТ на плоскость r , обозначим его. Найдите синус этого угла прямоугольного треугольника CAM … Введем вспомогательный отрезок a = BC … Из треугольника ABC : Из треугольника Navy найти

Тогда требуемый угол

Ответ:

Задания самопомощи

Уровень I

1.1. Проведите прямую линию через точку, перпендикулярную двум заданным пересекающимся прямым линиям.

1.2. Определите, сколько разных самолетов вы можете нарисовать:

1) через три разных точки;

2) через четыре разные точки, три из которых не лежат в одной плоскости?

1,3. Через вершины треугольника ABC , лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проводятся параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках И 1, IN 1, ОТ один.Докажите равенство треугольников ABC и И 1 IN 1 ИЗ 1.

1,4. Сверху И прямоугольник ABCD восстановил перпендикуляр AM к своей плоскости.

1) докажите, что треугольники MBC и MDC — прямоугольные;

2) указывают среди сегментов MB , MC , MD и MA сегмент наибольшей и наименьшей длины.

1,5. Грани одного двугранного угла соответственно параллельны граням другого. Определите, каковы отношения между значениями этих двугранных углов.

1,6. Найдите значение двугранного угла, если расстояние от точки, взятой на одной грани, до кромки в 2 раза больше расстояния от точки до плоскости второй грани.

1,7. Из удаленной от плоскости точки проводят две равные наклонные, образующие угол 60º.Косые выступы взаимно перпендикулярны. Найдите длину откосов.

1,8. С вершины IN квадрат ABCD восстановлен перпендикуляр BE к плоскости квадрата. Угол наклона плоскости треугольника ACE к плоскости квадрата составляет j , сторона квадрата и ACE .

II уровень

2.1. Через точку, которая не принадлежит ни одной из двух пересекающихся линий, проведите линию, которая пересекает обе заданные линии.

2.2. Параллельные линии и , b и от не лежат в одной плоскости. Через точки И на прямой и проведенные перпендикулярами к прямым b и из , пересекающих их, соответственно, в точках В и ОТ … Докажите, что прямая линия ВС перпендикулярна на прямые б и от .

2.3. Через верхний прямоугольный треугольник И ABC проведена плоскость, параллельная Солнцу … Ножки треугольника AS = 20 см, Солнце = 15 см. Выступ одной из ног на плоскости 12 см. Найдите проекцию гипотенузы.

2.4. На одной из граней двугранного угла, равного 30º, находится точка M … Расстояние от нее до края угла 18 см. Найдите расстояние от проекции точки M на второй грани до первой грани.

2,5. Концы отрезков AB принадлежат граням двугранного угла, равного 90º.Расстояния от точек И и В до края равны соответственно AA 1 = 3 см, BB 1 = 6 см, расстояние между точками на грани Найдите длину линии AB .

2.6. Из точки на расстоянии от плоскости и проводятся две наклонные, образующие с плоскостью углы 45º и 30º, а угол между ними равен 90º. Найдите расстояние между наклонными основаниями.

2.7. Стороны треугольника 15 см, 21 см и 24 см.Точка M удалена от плоскости треугольника на 73 см и находится на таком же расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.

2,8. Из центра ПРО окружность вписана в треугольник ABC , перпендикуляр восстанавливается до плоскости треугольника OM … Найти расстояние от точки M до сторон треугольника, если AB = BC = 10 см, AS = 12 см, OM = 4 см.

2.9. Расстояния от точки M до сторон и вершин прямого угла составляют соответственно 4 см, 7 см и 8 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости прямого угла.

2.10. Через основание AB равнобедренный треугольник ABC проведена плоскость под углом b к плоскости треугольника. ВЕРШИНА ИЗ удалена от плоскости на расстояние и … Найдите площадь треугольника ABC , если основание AB равнобедренного треугольника равно его высоте.

III уровень

3.1. Прямоугольник ABCD со сторонами и и b , изогнутыми по диагонали BD так, чтобы плоскости треугольников BAD и BCD стали взаимно перпендикулярными. Найдите длину отрезка AS .

3.2. Две прямоугольные трапеции с углами 60º лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют большее общее основание. Большие стороны 4 см и 8 см. Найти расстояние между вершинами прямых и вершинами тупых углов трапеций, если вершины их острых углов совпадают.

3.3 Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D one. Найдите угол между прямой CD 1 и плоскостью BDC 1.

3.4. По краю AB Куба ABCDA 1 B 1 C 1 D Взят 1 балл R Это середина этого ребра. Нарисуйте сечение куба плоскостью, проходящей через точки C 1 PD и найдите площадь этого сечения, если ребро куба равно и .

3.5. Поперек стороны AD прямоугольник ABCD нарисована плоскость a так, чтобы диагональ BD составляла угол 30º с этой плоскостью. Найдите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью a , если AB = и , AD = b … Определите, при каком соотношении и и b возникает проблема. решение.

3,6. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от прямых, определяемых сторонами треугольника.

Призма. Параллелепипед

Призма называется многогранником, две грани которого равны n-угольникам (основание) лежат в параллельных плоскостях, а остальные n граней представляют собой параллелограммы (боковые грани) . Боковое ребро призма — это сторона боковой грани, не относящаяся к основанию.

Призма, боковые грани которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой Призма (рис.1). Если боковые грани не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется косая . Правильно Призма — это прямая призма, основания которой представляют собой правильные многоугольники.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональ Призма называется сегментом, соединяющим две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональное сечение сечение призмы называется плоскостью, проходящей через два боковых края, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярное сечение сечение призмы называется плоскостью, перпендикулярной боковому краю призмы.

Площадь боковой поверхности Призма называется суммой площадей всех боковых граней. Полная площадь поверхности называется суммой площадей всех граней призмы (то есть суммой площадей боковых граней и площадей оснований).

Для произвольной призмы верны следующие формулы :

, где l — длина бокового ребра;

H — высота;

п

квартал

S сторона

S полный

S main — площадь баз;

В Объем призмы.

Для прямой призмы формулы верны:

, где p — периметр основания;

l — длина боковой нервюры;

H — выс.

Параллелепипедом называется призма, основание которой представляет собой параллелограмм. Параллелепипед, боковые грани которого перпендикулярны основаниям, называется прямым . (рис. 2). Если боковые грани не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется косой … Прямой параллелепипед, основание которого представляет собой прямоугольник, называется прямоугольником . Прямоугольный параллелепипед со всеми равными сторонами называется кубом .

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противостоящими … Длины ребер, выходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипед. Поскольку параллелепипед — это призма, его основные элементы определяются так же, как они определены для призм.

Теоремы.

1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов его трех измерений:

3. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны друг другу.

Для произвольного параллелепипеда верны следующие формулы:

, где l — длина бокового ребра;

H — высота;

П — периметр перпендикулярного сечения;

Q — Площадь перпендикулярного сечения;

S сторона — площадь боковой поверхности;

S полная — общая площадь;

S main — площадь баз;

В Объем призмы.

Для прямого параллелепипеда верны следующие формулы:

, где p — периметр основания;

l — длина боковой нервюры;

H — высота прямого параллелепипеда.

Для прямоугольного параллелепипеда верны следующие формулы:

, где p — периметр основания;

H — высота;

d — диагональ;

a, b, c — размеры параллелепипеда.

Для куба формулы верны:

, где , а — длина ребра;

d Диагональ куба.

Пример 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет 33 дм, и его размеры соотносятся как 2: 6: 9. Найдите размеры параллелепипеда.

Решение. Для определения размеров параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. по тому факту, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его размеров.Обозначим через k коэффициент пропорциональности . Тогда размеры параллелепипеда будут 2 k , 6 k и 9 k … Запишем формулу (3) для данных задачи:

Решая это уравнение для k , получаем:

Это означает, что размеры параллелепипеда составляют 6 дм, 18 дм и 27 дм.

Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Пример 2. Найдите объем наклонной треугольной призмы, основание которой представляет собой равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковой край равен стороне основания и наклонен под углом 60º. к базе.

Решение . Сделаем чертеж (рис. 3).

Чтобы найти объем наклонной призмы, необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания этой призмы — это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Посчитаем:

Высота призмы — это расстояние между ее основаниями. С верха И 1 верхнего основания опускаем перпендикуляр к плоскости нижнего основания И 1 D … Его длина будет равна высоте призмы. Рассмотрим D И 1 AD : так как это угол наклона бокового ребра И 1 И к плоскости основания, И 1 И = 8 см. Из этого треугольника находим И 1 D :

Теперь рассчитываем объем по формуле (1):

Ответ: 192 см 3.

Пример 3. Боковой край правильной шестиугольной призмы составляет 14 см.Площадь наибольшего диагонального сечения составляет 168 см 2. Найдите общую площадь поверхности призмы.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4)

Наибольшее диагональное сечение — прямоугольник AA 1 DD 1, поскольку диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Чтобы рассчитать площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового выступа.

Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), находим диагональ основания.

Так, то

С тех пор AB = 6 см.

Тогда периметр базы:

Найдите площадь боковой поверхности призмы:

Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см составляет:

Найдите общую площадь призмы:

Ответ:

Пример 4. Ромб служит основанием прямого параллелепипеда. Площади диагональных сечений равны 300 см 2 и 875 см 2. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 5).

Обозначим сторону ромба через и , диагонали ромба d 1 и d 2, высоту параллелепипеда h … Найти площадь боковой поверхности прямой параллелепипед, умножьте периметр основания на высоту: (формула (2)).Базовый периметр p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a , потому что ABCD — ромб. H = AA 1 = h … Итак, нужно найти и и h .

Рассмотрим диагональные сечения. AA 1 SS 1 — прямоугольник, одна сторона которого — диагональ ромба AS = d 1, вторая — боковое ребро AA 1 = h , затем

Аналогично для раздела BB 1 DD 1 получаем:

Используя такое свойство параллелограмма, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получаем равенство. Получаем следующее:

Из первых двух равенств выражаем и подставляем в третье.Получаем: тогда

1.3. В наклонной треугольной призме перпендикулярно боковому краю проводится сечение, равное 12 см. В получившемся треугольнике две стороны длиной см и 8 см образуют угол 45 °. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

1,4. Основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 4 см и острым углом 60 °. Найдите диагонали параллелепипеда, если длина бокового края 10 см.

1,5. Основание прямого параллелепипеда — квадрат с диагональю, равной см.Боковой край параллелепипеда 5 см. Найдите общую площадь поверхности параллелепипеда.

1,6. Основание наклонного параллелепипеда представляет собой прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Боковой край, равный см, наклонен к плоскости основания под углом 60 °. Найдите объем параллелепипеда.

1,7. Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если два ребра и диагональ, исходящая из одной вершины, равны 11 см, 13 см и 13 см соответственно.

1,8. Определите вес каменной колонны в форме прямоугольного параллелепипеда размерами 0,3 м, 0,3 м и 2,5 м, если удельный вес материала составляет 2,2 г / см 3.

1.9. Найдите площадь диагонального сечения куба, если диагональ его грани равна dm.

1.10. Найдите объем куба, если расстояние между двумя его вершинами, не лежащими на одной грани, равно сантиметрам.

II уровень

2.1. Основание наклонной призмы — равносторонний треугольник со стороной см. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30 °. Найдите площадь поперечного сечения призмы, проходящей через боковую грань, и высоту призмы, если известно, что одна из вершин верхнего основания проецируется на середину стороны нижнего основания.

2.2. Основание наклонной призмы — равносторонний треугольник ABC со стороной 3 см. Вершина A1 проецируется в центр треугольника ABC.Ребро AA 1 составляет угол 45 ° с плоскостью основания. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2.3. Вычислите объем наклонной треугольной призмы, если стороны основания равны 7 см, 5 см и 8 см, а высота призмы равна нижней высоте треугольника основания.

2.4. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к боковой грани под углом 30 °. Найдите угол наклона к плоскости основания.

2.5. Основание прямой призмы — равнобедренная трапеция, основания которой составляют 4 см и 14 см, а диагональ — 15 см. Две боковые грани призмы — квадраты. Найдите общую площадь поверхности призмы.

2.6. Диагонали правильной шестиугольной призмы составляют 19 см и 21 см. Найдите его объем.

2.7. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда с диагональю 8 дюймов и углами 30 ° и 40 ° с боковыми гранями.

2,8.Диагонали основания прямоугольного параллелепипеда равны 34 см и 38 см, а площади боковых граней равны 800 см 2 и 1200 см 2. Найдите объем параллелепипеда.

2.9. Определите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором диагонали боковых граней, отходящие от одной вершины, составляют 4 см и 5 см и образуют угол 60 °.

2.10. Найдите объем куба, если расстояние от его диагонали до края, не пересекающегося с ним, составляет мм.

III уровень

3.1. В правильной треугольной призме проводится разрез со стороны основания и середины противоположного бокового выступа. Площадь основания 18 см 2, а диагональ боковой грани наклонена к основанию под углом 60 °. Найдите площадь поперечного сечения.

3.2. В основании призмы лежит квадрат ABCD, все вершины которого равноудалены от вершины A 1 верхнего основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60 °. Сторона основания 12 см. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через вершину C, перпендикулярно ребру AA 1, и найти его площадь.

3.3. Основание прямой призмы — равнобедренная трапеция. Площадь диагонального поперечного сечения и площади параллельных боковых граней составляют соответственно 320 см 2, 176 см 2 и 336 см 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

3.4. Площадь основания прямой треугольной призмы 9 см 2, площадь боковых граней 18 см 2, 20 см 2 и 34 см 2. Найдите объем призмы.

3.5. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда, зная, что диагонали его краев равны 11 см, 19 см и 20 см.

3,6. Углы, образованные диагональю основания прямоугольного параллелепипеда со стороной основания и диагональю параллелепипеда, равны a и b соответственно. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его диагональ равна d.

3,7. Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна 2 см. Найдите площадь поверхности куба.

Взаимное расположение прямой и плоскости определяется количеством общих точек :

1) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости,

2) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость,

3) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена на бесконечность, то прямая и плоскость параллельны.

Задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга, называются позиционными задачами.

Раньше считалась прямая, принадлежащая плоскости.

Прямая, параллельная плоскости , , если она параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую ​​прямую, необходимо указать любую прямую на плоскости и провести нужную параллельно ей.

Рисунок: 1.53 Рис. 1.54 Рисунок 1.55

Пусть через точку И (рис. 1.53) необходимо провести прямую AB , параллельную плоскости Q , заданной треугольником CDF. Для этого через фронтальную проекцию точки и / точек И сделаем фронтальную проекцию a / b / желаемую прямую, параллельную фронтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости R, например, прямая CD (a / b / !! с / д / ).Через горизонтальную проекцию и точек И параллельно sd выполняем горизонтальную проекцию aw желаемой прямой AB (av11 sd). Прямой AB параллельно плоскости R, задан треугольником CDF.

{! LANG-6018345ed71a5dc80388aa58987f7afd!} ABC {! LANG-373f66ee273b044f177d98f5e5a9f3c9!} DEF {! LANG-08cb0dd41ffdb34/20001/200030001/20001/20001/20001/20001/20001/200010001/2000100030002 {! LANG-8244b32ccc0ba5cd644cc12a24a42f96!} DEF {! LANG-731b80a7f2d692841b00d2ee5f38df84!} {! LANG-1fd958d114cb9e02d65ee8bbb559557d!} {! LANG-5347baf9829ce66ca5a6c5853b4b6880!} ABC {! LANG-3e9aedafc34911c8476b2b10b1a4777e!}

{! LANG-e508a703a64cfc12c07e56176583d888!}

{! LANG-0ea6cee08cb4e70fa80c92a487cc22fa!} ABC {! LANG-cb42a426eba19437e6e4e086f715ee61!} {! LANG-0d7ac92ed501564c10f9b38893ba005c!} {! LANG-d83199f9a180d52866de5e3d2c502f78!} R {! LANG-c4e9c724cda33defa16c71319d2f51cb!} ABC {! LANG -9f2ed0da2c44169b004ae14b6157b000!}

{! LANG-3ffcae1eea8e70da3feba802be2ad18c!}

{! LANG-1dda07ffafccd8cac2a6fea318dbdf01!}

{! LANG-1825c8de2e2d2414d1b4314a0ad428ce!} {! LANG-85b2d4ae431a77108acf31015543adf1!}

{! LANG-fd1d163a29343ae067aa348191c6b5c7!}

{! LANG-f6efabb0bfa236a34d91cb6e6f3828db!}

{! LANG-139a1df39578a9d7c54bc759df780e30!}

{! LANG-f10696f5a07b8b922bd1a00ff9f4b4cd!}

{! LANG-373c04cc696450d2dd1b15d88c3131e9!}

{! LANG-d8aadf196794567290b340704eaf9ea1!}

{! LANG-e33d0c1dfeeac06bb8966c53f79d0484!} CDE {! LANG-97d5eeb6561d0b82b5f333d74b700f2e!} {AB ! LANG-e88dd25e245e0625bbb0626151b5cb6c!} AB {! LANG-0cd816816350aaa7c2af3b27d95cbb0d!} {! LANG-ff6e48a81107b654db079a65c063a71c!} 12 {! ЛАНГ-5a84f373599a480063063859de5fbef4!} В {! ЛАНГ-efbbc4ff04ec1ad20ec4bf201a29b2a5!} CDE {! ЛАНГ-cce816c599772b6c175b913b1a748403!} К {! ЛАНГ-1e500305a779f8f510b688e58e46edf7!} АВ {! ЛАНГ-34771d3b02e97c6703c93f159e87876a!} { ! LANG-cdc524bb9405c8085f47b11e67e35fe5!}

{! LANG-7aaa4d7d7669cac063da47a5b3c27648!} AB {! LANG-52bdf660adf2574e8f93486cfb405ea6!} R {! LANG-6543c19faa701dGe5000!
{! LANG-b58ec27b53ce03e7f51cbced72a7c8b8!} AB {! LANG-b02a234d8f9d7f7cf2118b6c6bd20197!} R {! LANG-4aebbad16162b12346b8a96780c5e2a5!} R {! LANG-622776607cf7ea1b116e3eba9cb5d8c6!} AB с плоскостью {! LANG-1cb89f7c4b89944f1f025f2135b94800! }

{! LANG-ad52107fb3daac62249af1f2a2bdca18!}

{! LANG-9164bd7431b3b797d401fae8a95bc380!}

{! LANG-3c296ba34c817f06ecb80e6f795cce67!}