В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.

1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.           

 

Проведем  через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF.

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

Четырехугольник  BCFD — параллелограмм ( BC∥DF как основания трапеции, BD∥CF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.  

Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то

   

что в общем виде можно записать как

   

где h — высота трапеции, a и b — ее основания.

2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.

Так как средняя линия трапеции m равна полусумме оснований, то

   

3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты трапеции (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).

Так как площадь трапеции находится по формуле

   

а высота, полусумма оснований и средняя линия равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:

   

то

   

   

   

4. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также  удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.

Так как площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними по формуле

   

sin 90º =1, и диагонали равнобедренной трапеции равны, то площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна

   

откуда

   

   

Microsoft Word — геометрия-1.doc

%PDF-1.6 % 955 0 obj > endobj 952 0 obj >stream 2009-08-03T12:57:02ZMicrosoft Word — геометрия-1.doc2009-08-12T12:51:21+04:002009-08-12T12:51:21+04:00application/pdf

  • Елена
  • Microsoft Word — геометрия-1.doc
  • doPDF Ver 6.1 Build 276 (Windows XP x32)uuid:d60141d8-4b2c-4d57-bdfd-e4ad6bbf2afbuuid:e17ab538-6e84-4259-9962-f18eb34ac9fa endstream endobj 956 0 obj >/Encoding>>>>> endobj 919 0 obj > endobj 920 0 obj > endobj 926 0 obj > endobj 932 0 obj > endobj 938 0 obj > endobj 944 0 obj > endobj 945 0 obj > endobj 946 0 obj > endobj 947 0 obj > endobj 948 0 obj > endobj 949 0 obj > endobj 950 0 obj > endobj 951 0 obj > endobj 706 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 709 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 711 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 713 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 715 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 717 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 719 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 721 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 723 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 725 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState>>>/QITE_pageid>/Type/Page>> endobj 1051 0 obj >stream HWM ϯ24z00M t-hIɲ-{fnǑCo>?/dNhͧNYpG79(NG_iiߦtoIxj

    Путеводитель по задачам С4 (№16)

    Список всех задач №16, разобранных на сайте 

    (список пополняется)

    -12.  (Реальный ЕГЭ, 2020) На сторонах и треугольника отмечены точки , и  соответственно, причём , , .

    Отрезки и пересекаются в точке .
    а) Докажите, что — параллелограмм.
    б) Найдите , если отрезки и перпендикулярны, .

    Ответ: 17. Видеорешение


    -11. (Демо ЕГЭ, 2020) Две окружности касаются внешним образом в точке  Прямая  касается первой окружности в точке , а второй — в точке . Прямая  пересекает первую окружность в точке , прямая   пересекает вторую окружность в точке .

    Ответ: Видеорешение


    -10. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около треугольника  описана окружность. Прямая , где  — центр вписанной окружности, вторично пересекает описанную окружность в точке .

    а) Докажите, что

    б) Найдите расстояние от точки  до прямой , если  а радиус описанной окружности равен . Ответ: Решение


    -9. (Реальный ЕГЭ, 2019) Около остроугольного треугольника с различными сторонами описана окружность. – диаметр. Высота  повторно пересекает окружность в точке . Угол равен , угол –
    a) Докажите, что  .
    б) Найдите , если радиус окружности равен . Ответ: Решение


    -8. (Реальный ЕГЭ, 2018) Окружность с центром касается оснований и и боковой стороны трапеции . Окружность с центром касается сторон , и .
    Известно, что
    а) Докажите, что прямая параллельна основаниям трапеции

    б) Найдите . Ответ: Решение


    -7. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018) В треугольнике угол тупой, — точка пересечения продолжений высот, угол равен °.
    а) Докажите, что угол равен °.
    б) Найдите , если Ответ: Решение


    -6. (Досрочный ЕГЭ, 2018) В выпуклом четырёхугольнике известны стороны и диагональ: 

    а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
    б) Найдите Ответ: Решение


    -5. (Реальный ЕГЭ, 2017) Основания трапеции равны и , а её диагонали равны и .

    а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

    б) Найдите высоту трапеции. Ответ: Решение


    -4. (Реальный ЕГЭ, 2017) Две окружности с центрами  и  пересекаются в точках  и , причём точки  и  лежат по разные стороны от прямой . Продолжения диаметра  первой окружности и хорды  этой окружности пересекают вторую окружности в точках  и  соответственно.

    а) Докажите, что треугольники  и  подобны.

    б) Найдите , если   радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и  . Ответ:  Решение


    -3. (Реальный ЕГЭ, 2017) Точка – середина боковой стороны трапеции На стороне отмечена точка  так, что Прямые пересекаются в точке

    а) Докажите, что

    б) Найдите отношение оснований трапеции и если площадь треугольника составляет площади трапеции Ответ:  Решение


    -2. (Резервный ЕГЭ, 2017) В трапецию  с основаниями  и  вписана окружность с центром .

    а) Докажите, что

    б) Найдите площадь трапеции, если , а основания равны и .

    Ответ:  Решение


    -1. (Резервный ЕГЭ, 2017) Окружность, вписанная в трапецию , касается ее боковых сторон  и  в точках  и  соответственно. Известно, что и

    а) Докажите, что

    б) Найдите длину отрезка , если радиус окружности равен . Ответ:  Решение


    0. (Досрочн. ЕГЭ, 2017)  В треугольнике точки  ‐ середины сторон , и  соответственно, ‐ высота, .

    а) Докажите, что точки и лежат на одной окружности.

    б) Найдите , если Ответ:   Решение


    1. (МГУ, 2015) Окружность радиуса касается середины стороны треугольника и пересекает сторону в точках и , так что Чему может равняться если ? Ответ: Решение


    2.  (Резервн. ЕГЭ, 2016) В прямоугольном треугольнике с прямым углом точки и – середины катетов и соответственно, – высота.

    а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

    б) Пусть – точка пересечения прямых и , а – точка пересечения прямых и . Найдите площадь треугольника , если Ответ: Решение


    3. (ЕГЭ, 2016) В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям. Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
    а) Докажите, что прямые и параллельны.

    б) Найдите отношение если угол равен Ответ: Решение


    4. (ЕГЭ, 2016) В треугольнике проведены высоты и . На них из точек и опущены перпендикуляры
    а) Докажите, что прямые и параллельны.
    б) Найдите отношение , если угол равен Ответ:  Решение


    5. (ЕГЭ, 2016) В трапеции  точка  – середина основания , точка  – середина боковой стороны . Отрезки  и  пересекаются в точке .
    а) Докажите, что площади четырёхугольника  и треугольника  равны.
    б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника , если Ответ:   Решение


    6. (Диагностич., 2016) Окружность, проходящая через вершины и прямоугольной трапеции с основаниями и пересекает меньшую боковую сторону в точке и касается прямой . Известно, что

    а) Докажите, что – биссектриса угла

    б) В каком отношении прямая делит площадь трапеции? Ответ:  Решение


    7. (Досрочн. ЕГЭ, 2016) Точка – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника , ‐ центр вписанной в него окружности, ‐ точка пересечения высот. Известно, что

    а) Докажите, что точка лежит на окружности, описанной около треугольника .

    б) Найдите угол , если Ответ:  Решение


    8.  (ЕГЭ, 2015) Две окружности касаются внутренним образом в точке , причем меньшая проходит через центр большей. Хода большей окружности касается меньшей в точке . Хорды и пересекают меньшую окружность в точках и соответственно.

    а) Докажите, что прямые и параллельны.
    б) Пусть – точка пересечения отрезков и . Найдите , если радиус большей окружности равен , а . Ответ:  Решение


    9. (Диагностич., 2014) Две окружности пересекаются в точках и . Прямая, проходящая через точку , второй раз пересекает первую окружность в точке , а вторую – в точке . Прямая, проходящая через точку параллельно , второй раз пересекает первую окружность в точке , а вторую – в точке .

    а) Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

    б) Найдите отношение , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй. Ответ: Решение


    10. (ДЕМО, 2014) Две окружности касаются внешним образом в точке . Прямая касается первой окружности в точке , а второй – в точке . Прямая пересекает первую окружность в точке , а прямая пересекает вторую окружность в точке .

    а) Докажите, что прямые и параллельны.

    б) Найдите площадь треугольника  , если известно, что радиусы окружностей равны и . Ответ:  Решение


    11. (Диагностич., 2013) Медианы , и треугольника пересекаются в точке . Точки , и – середины отрезков , и соответственно.

    а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника .

    б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что , и . Ответ: Решение


    12. (Диагностич., 2013) Биссектриса угла параллелограмма пересекает прямую
    в точке . В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны в точке и стороны в точке
    а) Докажите, что прямые и параллельны.
    б) Найдите угол , если известно, что и Ответ: Решение 


    13.  (Т/Р Ларина) Две окружности имеют общий центр . На окружности большего радиуса выбрана точка .

    а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки до концов диаметра меньшей окружности не зависит ни от выбора точки , ни от выбора диаметра.
    б) Известно, что радиусы окружностей равны и . Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы диаметра меньшей окружности и точка , тангенс угла этого треугольника равен Ответ:  Решение


    14. (Т/Р Ларина) В окружность радиуса вписан четырехугольник , – точка пересечения его диагоналей, , . Высота, опущенная из точки на сторону , равна , а площадь треугольника равна .

    а) Докажите, что – равнобедренная трапеция.

    б) Найдите стороны , и радиус окружности . Ответ:  Решение


    15. (Т/Р Ларина) Окружность касается сторон и треугольника соответственно в точках и , точки  лежат на одной окружности.

    а) Докажите, что треугольник равнобедренный
    б) Найдите длину высоты треугольника , опущенной из точки , если стороны и равны соответственно и . Ответ: Решение


    16. (Т/Р Ларина) Прямая, параллельная гипотенузе прямоугольного треугольника , пересекает катет в точке , катет   – в точке , причем и . На гипотенузе

    взята точка так, что , а величина угла равна градусов.

    а) Докажите, что треугольник равносторонний
    б) Найдите площадь треугольника . Ответ:  Решение


    17. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внутренним образом в точке так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда большей окружности касается меньшей в точке . Прямые и вторично пересекают меньшую окружность в точках и соответственно.

    а) Докажите, что .
    б) Найдите площадь треугольника , если а радиус большей окружности равен . Ответ:  Решение


    18.  (Т/Р Ларина) В треугольнике на стороне отмечена точка , при этом , ,

    а) Докажите, что углы и равны.
    б) Найдите площадь треугольника , если известно, что угол равен . Ответ:  Решение


    19. (Т/Р Ларина) В окружности проведены хорды и , пересекающиеся в точке , причем касательная к окружности, проходящая через точку , параллельна .

    а) Докажите, что
    б) Найдите площадь треугольника , если известно, что , а площадь треугольника равна . Ответ:  Решение


    20. (Т/Р Ларина)  В ромб вписана окружность . Окружности и (разного радиуса) расположены так, что каждая касается окружности и двух соседних сторон ромба.

    А) Докажите, что площадь круга, ограниченного окружностью , составляет менее % площади ромба.
    Б) Найдите отношение радиусов окружностей  и , если известно, что диагонали ромба относятся, как . Ответ:  Решение


    21. (Т/Р Ларина) Из точки , взятой на окружности с центром в точке , на диаметры и опущены перпендикуляры и соответственно.
    a) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек .

    б) Найдите площадь треугольника , если известно, что , , а радиус окружности равен . Ответ:  Решение


    22. (Т/Р Ларина) В остроугольном неравнобедренном треугольнике проведены высоты и . Точки и симметричны середине стороны относительно прямых и соответственно.
    а) Докажите, что отрезки и лежат на параллельных прямых.
    Б) Найдите расстояние между точками и , если известно, что , , . Ответ: . Решение


    23. (Т/Р Ларина) На основании равнобедренного треугольника взята точка . Окружности и , вписанные в треугольники и , касаются прямой в точках и  соответственно.
    а) Докажите, что .

    б) Определите, на сколько радиус окружности больше радиуса окружности , если известно, что , а радиус вписанной в треугольник окружности равен . Ответ: . Решение


    24. (Т/Р Ларина)  Даны треугольники и . Прямые пересекаются в одной точке. Прямые и пересекаются в точке Прямые и пересекаются в точке . Прямые и пересекаются в точке .

    а) Докажите, что точки лежат на одной прямой.

    б) Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника , если высоты треугольника равны , а высоты треугольника равны Ответ:  Решение


    25. (Т/Р Ларина) Внутри равностороннего треугольника  в произвольном месте поставлена точка .
    а) Докажите, что сумма расстояний от точки до сторон треугольника  равна высоте этого треугольника.
    б) Найдите расстояние от точки до стороны , если расстояние от точки до сторон  и соответственно равны  и , а площадь треугольника  равна . Ответ: Решение


    26. (Т/Р Ларина) Дан треугольник . В нём проведены биссектрисы  и , каждая из которых равна .

    а) Докажите, что треугольник  – равнобедренный.
    б) Найдите площадь треугольника , если его основание равно . Ответ:  Решение


    27. (Т/Р Ларина) Около окружности описана равнобедренная трапеция . и – точки касания этой окружности с боковыми сторонами  и . Угол между основанием  и боковой стороной трапеции равен .

    а) Докажите, что параллельно .

    б) Найдите площадь трапеции , если радиус окружности равен Ответ:  Решение


    28. (Т/Р Ларина)  В равнобокой описанной трапеции , где угол тупой, а и – основания, проведены:

    1) биссектриса угла ;

    2) высота из вершины ;

    3) прямая, параллельная  и проходящая через середину отрезка .
    а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке.
    б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции , если известно, что , . Ответ:  Решение


    29.  (Т/Р Ларина) В равнобедренную трапецию с основаниями и вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, второй раз пересекает большее основание в точке .

    а) Докажите, что треугольник равнобедренный.

    б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно и . Ответ: . Решение


    30. (Т/Р Ларина) Четырехугольник вписан в окружность. Прямые и пересекаются в точке .

    а) Докажите, что

    б) Найдите площадь треугольника , если известно, что , а площадь четырехугольника равна . Ответ: . Решение


    31. (Т/Р Ларина)  На сторонах прямоугольного треугольника АВС, как на диаметрах, построены полуокружности   и   ( см. рис.).
    а) Докажите, что площадь треугольника  равна сумме площадей двух луночек, ограниченных полуокружностями и и полуокружностями  и .
    б) Пусть прямая касается  в точке , а в точке . Найдите длину отрезка , если известно, что сумма площадей двух луночек равна . Ответ:  Решение


    32. (Т/Р Ларина) Точка лежит на диаметре окружности с центром .

    и – точки окружности, расположенные по одну сторону от , причем .

    а) Докажите, что
    б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что . Ответ:  Решение


    33. (Т/Р Ларина) В прямоугольном треугольнике синус угла равен .   На гипотенузе взята точка , а на катете – точка . Известно, что прямая перпендикулярна гипотенузе и делит треугольник на две равновеликие части.
    а) Докажите, что в четырехугольник можно вписать окружность.
    б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что . Ответ:  Решение


    34. (Т/Р Ларина)  К двум окружностям с центрами и и радиусами и проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть и – точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.
    а) Докажите, что около четырехугольника   можно описать окружность.
    б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что . Ответ:  Решение


    35. (Т/Р Ларина)  а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин диаметров вписанной и описанной окружностей равна сумме длин катетов.
    б) В прямоугольном треугольнике  из вершины прямого угла проведена высота . Найдите сумму длин радиусов окружностей, вписанных в треугольники , и , если известно, что .Ответ:  Решение


    36. (Т/Р Ларина)  В прямоугольном треугольнике с катетами и проведены медиана и биссектриса

    а) Докажите, что площадь треугольника составляет одну десятую часть от площади треугольника

    б) Найдите угол Ответ:  Решение


    37. (Т/Р Ларина)  В прямоугольный треугольник  вписана окружность, которая касается гипотенузы  в точке , а катетов – в точках  и .
    а) Докажите, что площадь треугольника  равна .
    б) Найдите площадь треугольника , если известно, что  Ответ:  Решение


    38. (Т/Р Ларина) Окружности с центром и окружность с центром касаются внешним образом. Из точки к проведена касательная , а из точки к проведена касательная ( и – точки касания).
    a) Докажите, что углы и равны.
    б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что точки и лежат по одну сторону от прямой , а радиусы окружностей равны соответственно и . Ответ:  Решение


    39. (Т/Р Ларина)  В прямоугольном треугольнике проведены медианы и . Известно, что около четырехугольника можно описать окружность.
    а) Докажите, что .
    б) Пусть . Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника . Ответ:  Решение


    40. (Т/Р Ларина)  Две окружности пересекаются в точках и . Через точку проведены диаметры и этих окружностей.

    а) Докажите, что точки и лежат на одной прямой.

    б) Найдите произведение , если известно, что а диаметр окружности, описанной около треугольника равен Ответ: Решение


    41. (Т/Р Ларина) В треугольнике проведена биссектриса . Касательная к описанной окружности треугольника , проходящая через точку , пересекает прямую в точке .
    а) Докажите, что .
    б) Найдите длину отрезка , если известно, что Ответ: Решение


    42. (Т/Р Ларина)  Через вершины и прямоугольного треугольника () проведена окружность с центром в точке , касающаяся прямой и пересекающая продолжение стороны в точке .
    а) Докажите, что сумма углов и равна .
    б) Найдите диаметр окружности, если известно, что , . Ответ:  Решение


    43. (Т/Р Ларина) В четырехугольнике биссектриса угла пересекает сторону в точке , а биссектриса угла пересекает сторону в точке . Известно, что – параллелограмм.
    а) Докажите, что – параллелограмм.
    б) Найдите площадь четырехугольника , если , , а угол между диагоналями и равен . Ответ: Решение


    44. (Т/Р Ларина) В трапеции площадью, равной 30, диагонали и взаимно перпендикулярны, а . Продолжения боковых сторон и пересекаются в точке .
    а) Докажите, что трапеция – равнобедренная.
    б) Найдите площадь треугольника , если известно, что , а Ответ:  Решение


    45. (Т/Р Ларина) Окружность проходит через вершину прямоугольника , касается стороны , пересекает сторону в точке и касается стороны в точке .

    а) Докажите, что угол равен углу .
    б) Найдите сторону , зная, что , Ответ: Решение


    46.  (Т/Р Ларина)  На диаметре окружности выбрана точка . На отрезках и как на диаметрах построены окружности и соответственно. Прямая пересекает окружность в точках и , окружность – в точках и , а окружность – в точках и .

    а) Докажите, что .
    б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей ,  и , если известно, что , . Ответ: Решение


    47. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике проведены высоты и .
    а) Докажите, что углы и равны.
    б) Вычислите длину стороны , если известно, что периметр треугольника равен см, периметр треугольника равен см, а радиус окружности, описанной около треугольника равен см. Ответ: Решение


    48. (Т/Р Ларина) Площадь треугольника равна 72, а сумма длин сторон и равна 24.
    а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
    б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник , если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне . Ответ: Решение


    49. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике () проведены биссектрисы , , .
    a) Докажите, что треугольник – равнобедренный.

    б) Найдите площадь треугольника , если известно, что площадь треугольника равна , а косинус угла равен . Ответ:  Решение


    50. (Т/Р Ларина)  – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника . Периметры треугольников , , и равны между собой.

    а) Докажите, что в четырехугольник можно вписать окружность.
    б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если радиусы окружностей, вписанных в треугольники , и равны соответственно , и . Ответ:  Решение


    51. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике () проведены высоты , и .

    a) Докажите, что треугольник – равнобедренный.

    б) Найдите площадь треугольника , если известно, что площадь треугольника равна 12, а косинус угла равен . Ответ: Решение


    52. (Т/Р Ларина) Окружность касается стороны параллелограмма , пересекает стороны и в точках и соответственно и проходит через вершины и .
    а) Докажите, что .
    б) Найдите , зная, что , , Ответ:  Решение


    53. (Т/Р Ларина) Равносторонний треугольник вписан в окружность. На окружности отмечена точка , не совпадающая ни с одной из точек , и .

    а) Докажите, что расстояние от точки до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

    б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках , , и , если известно, что его площадь равна  , а радиус окружности равен . Ответ: Решение


    54. (Т/Р Ларина)  В равнобедренной трапеции точки и – середины оснований и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке , а отрезки и  пересекаются в точке .

    а) Докажите, что площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников и .

    б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что , , . Ответ:  Решение


    55. (Т/Р Ларина)  В выпуклом четырехугольнике  диагонали и взаимно перпендикулярны. Кроме того, вокруг него можно описать окружность. Из точек и опущены перпендикуляры на прямую . Они пересекают прямые и соответственно в точках и .

    а) Докажите, что – ромб
    б) Найдите отношение площади четырехугольника к площади вписанного в него круга, если Ответ:  Решение


    56. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике высоты и пересекаются в точке .

    а) Докажите, что треугольники и подобны.

    б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что угол равен , а площадь треугольника равна . Ответ:  Решение


    57. (Т/Р Ларина) Точка – середина стороны параллелограмма , прямые и взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке .
    а) Докажите, что площади треугольников и равны.
    б) Найдите площадь параллелограмма , если , . Ответ: Решение


    58. (Т/Р Ларина) Две окружности касаются внешним образом в точке . Прямая касается первой окружности в точке , а второй – в точке .
    a) Докажите, что треугольник прямоугольный.
    б) Найдите площадь треугольника , если радиусы окружностей и . Ответ: Решение


    59. (Т/Р Ларина) В окружность вписан четырехугольник , диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к , пересекает сторону в точке .

    а) Докажите, что – медиана треугольника .
    б) Найдите длину отрезка , если , и угол равен . Ответ: Решение


    60. (Т/Р Ларина) В треугольнике на стороне выбрана точка так, что . Точка – середина стороны . Отрезки и пересекаются в точке .

    а) Докажите, что треугольники и имеют равные площади.
    б) Найдите площадь треугольника , если площадь треугольника равна . Ответ: Решение 


    61. (Т/Р Ларина)  В треугольнике , . Окружность с центром на стороне проходит через вершину , точку пересечения биссектрисы угла со стороной и центр вписанной в треугольник окружности.
    а) Докажите, что прямая параллельна прямой ;
    б) Найдите радиус описанной около треугольника окружности. Ответ: . Решение


    62. (Т/Р Ларина) Биссектрисы и треугольника пересекаются в точке , причем ,  В четырехугольник вписана окружность.
    а) Докажите, что треугольник равнобедренный.

    б) Найдите радиус окружности. Ответ: Решение


    63. (Т/Р Ларина) В равнобедренном треугольнике   – основание. На продолжении стороны за точку отмечена точка так, что угол равен углу .

    а) Докажите, что – биссектриса угла .

    б) Найдите длину отрезка , если боковая сторона треугольника равна 5, а его основание равно . Ответ:   Решение


    64. (Т/Р Ларина) Четырехугольник вписан в окружность. Точка лежит на его стороне , причем и , и .

    a) Докажите, что треугольники и подобны;

    б) Найдите . Ответ:  Решение


    65. (Т/Р Ларина) Прямая , параллельная основаниям и  трапеции , пересекает прямые , ,  в точках , и  соответственно, причём .

    а) Докажите, что точки пересечения прямой  с диагоналями  и  делят отрезок  на три равных части;

    б) Найдите , если , . Ответ:  Решение


    66. (Т/Р Ларина) Хорда стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка лежит на этой дуге, а точка лежит на хорде . При этом .
    а) Докажите, что угол равен
    б) Найдите площадь треугольника . Ответ:  Решение


    67. (Т/Р Ларина) Трапеция ABCD c углами при одном основании и описана около круга.
    а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой  .

    б) Найдите площадь прямоугольной трапеции , если , а площадь вписанного круга равна . Ответ:  Решение


    68. (Т/Р Ларина)  Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами  описана окружность.
    а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как   ;

    б) Найдите площадь четырёхугольника, если , , , . Ответ: Решение


    69. (Т/Р Ларина)  Площадь треугольника равна 10; площадь треугольника , где – точка пересечения высот, равна 8. На прямой взята такая точка , что треугольник – прямоугольный.

    а) Докажите,что
    б) Найдите площадь треугольника Ответ: Решение


    70. (Т/Р Ларина) В треугольнике основание , площадь треугольника  равна . Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.

    а) Докажите,что .
    б) Найдите меньшую из боковых сторон. Ответ: Решение


    71. (Т/Р Ларина)  Продолжение общей хорды АВ двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2 пересекает их общую касательную в точке С, точка А лежит между В и С, а М и N – точки касания.
    а) Докажите, что отношение расстояний от точки С до прямых АМ и AN равно 1:2;
    б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, М и N. Ответ: Решение


    72. (Т/Р Ларина) В окружность вписан четырехугольник , диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются
    в точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к , пересекает сторону в точке .
    а) Докажите, что – медиана треугольника
    б) Найдите , если , и угол равен 60°. Ответ:  Решение


    73. (Т/Р Ларина)  Медианы треугольника равны , и .
    а) Докажите, что медианы разбивают треугольник на равновеликих треугольников;
    б) Найдите площадь треугольника . Ответ:  Решение


    74. (Т/Р Ларина) В остроугольном треугольнике проведены высоты и

    а) Докажите, что углы и равны.

    б) Найдите длину отрезка , если известно, что Ответ:  Решение


    75. (Т/Р Ларина) Высота равнобедренной трапеции ( и – основания) равна длине её средней линии.
    а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
    б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон , и трапеции, если известно, что , . Ответ:  Решение


    76. (Т/Р Ларина) Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями и вписан в окружность.
    а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
    б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что  Ответ: . Решение


    77. (Т/Р Ларина) В треугольнике

    Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны в точке .

    а) Докажите, что

    б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах и , перпендикулярного и касающегося окружности  ω. Ответ: Решение


    78. (Т/Р Ларина) Точка лежит на диаметре окружности с центром . и – точки окружности, расположенные по одну сторону от , причем

    а) Докажите, что
    б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках , если известно, что . Ответ: Решение


    79. (Т/Р Ларина)  В окружность с центром в точке вписан прямоугольный треугольник с гипотенузой . На большем катете взята точка так, что . Точка – середина дуги .

    а) Докажите, что
    б) Найдите площадь пятиугольника , если известно, что Ответ: Решение


    80. (Т/Р Ларина) Окружность ω с центром в точке касается стороны треугольника в точке и продолжений сторон и . Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке касается стороны в точке .
    а) Докажите, что .
    б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что

    Ответ:  Решение


    81. (Т/Р Ларина) Дан квадрат . Точки – середины сторон и соответственно. пересекает в точке ; пересекает в точке ; пересекает в точке .

    А) Докажите, что точки лежат на одной окружности;
    Б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник , если

    Ответ:  Решение


    82. (Т/Р Ларина) На диагонали параллелограмма отмечены точки и , причем . Прямые и пересекают стороны и в точках и

    соответственно.
    a) Докажите, что
    б) Найдите площадь параллелограмма , если известно, что площадь пятиугольника  равна .

    Ответ: Решение


    83.  (Т/Р Ларина) Хорда окружности параллельна касательной, проходящей через точку , лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке .
    А) Докажите, что треугольник равнобедренный.
    Б) Найдите отношение, в котором хорда делит диаметр , если известно, что

    Ответ:  Решение


    84. (Т/Р Ларина) Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник , касается основания в точке . Вторая окружность касается основания и продолжений боковых сторон.
    А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.
    Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен , а . Ответ:. Решение


    85. (Т/Р Ларина) В треугольнике стороны . Первая окружность вписана в треугольник , а вторая касается и продолжения сторон и .

    А) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно .
    Б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны , если .

    Ответ: а) ; б)  Решение


    86. (Т/Р , 2017) Дана трапеция с основаниями и . Диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями и .
    а) Докажите, что луч — биссектриса угла  .
    б) Найдите , если известны диагонали трапеции:

    Ответ: Решение


    87. (Т/Р Ларина) Окружность касается прямых и соответственно в точках и . Точка   лежит между и , а тока – между и . Точки , , , лежат на одной окружности.

    a) Доказать, что треугольники и подобны.
    б) Найти площадь , если и радиус окружности, вписанной в треугольник , равен .

    Ответ: Решение


    88. (Т/Р Ларина)  В остроугольном треугольнике из вершин и опущены высоты и на стороны и Известно, что площадь треугольника равна , площадь треугольника равна , а длина отрезка равна
    а) Доказать, что треугольники и подобны.
    б) Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника .

    Ответ:  Решение


    89. (Т/Р Ларина) Точки и – середины сторон и выпуклого четырехугольника . Диагональ проходит через середину отрезка .

    а) Докажите, что площади треугольников и равны.
    б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , если известно, что а площадь четырехугольника равна .

    Ответ: Решение


    90. (Т/Р Ларина) Дан квадрат . На сторонах и внешним и внутренним образом

    соответственно построены равносторонние треугольники и .

    а) Докажите, что точка лежит на прямой .
    б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что .

    Ответ: Решение


    91. (Т/Р Ларина)  Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Окружности и описаны около треугольников и соответственно. Пусть – центр окружности , а – центр окружности .
    а) Докажите, что прямая касается окружности , а прямая касается окружности .
    б) Найдите длину отрезка , если известно, что

    Ответ: Решение


    92. (Т/Р Ларина)  В прямоугольнике на стороне отмечена точка так, что .

    а) Докажите, что делит площадь треугольника в отношении .

    б) Пусть – точка пересечения и , – точка пересечения и . Найдите длину отрезка если

    Ответ:  Решение


    93. (Т/Р Ларина) Окружности с центрами в точках и и радиусами, равными и соответственно, попарно касаются друг друга внешним образом в точка , , .
    а) Докажите, что отношение площади треугольника к площади треугольника равно

    б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если известно, что .

    Ответ: Решение


    94. (Т/Р Ларина) В параллелограмме диагональ равна стороне .

    а) Докажите, что прямая касается окружности ω, описанной около треугольника .

    б) Пусть прямая вторично пересекает ω в точке . Найдите при условии, что угол равен Ответ: Решение


    95. (Т/Р Ларина) Дана трапеция  с основаниями и . Окружности, построенные на

    боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках и .

    а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
    б) Найдите длину отрезка , если известно, что

    Ответ: . Решение


    96. (Т/Р Ларина) В параллелограмме точка – середина стороны . Отрезок пересекает диагональ в точке . .

    а) Докажите, что отрезок перпендикулярен диагонали .

    б) Найдите площадь параллелограмма, если см, см.

    Ответ: б) Решение


    97. (Т/Р Ларина)  В равнобедренной трапеции основание в два раза больше основания

    а) Докажите, что высота трапеции разбивает основание на отрезки, один из

    которых втрое больше другого.
    б) Пусть — точка пересечения диагоналей трапеции . Найдите расстояние от вершины до середины отрезка , если и . Ответ: Решение


    98. (Т/Р Ларина)  В треугольнике точка – середина .
    а) Докажите, что длина отрезка больше полуразности, но меньше полусуммы длин

    сторон и .
    б) Окружность проходит через точки , , . Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой , если известно, что Ответ: Решение


    99. (Т/Р Ларина)  Точка – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника . На луче отмечена точка так, что

    а) Докажите, что существует точка , одинаково удаленная от точек
    б) Найдите расстояние от точки до точки , если известно, что  и Ответ: Решение


    100. (Т/Р Ларина)  Две окружности касаются внутренним образом в точке . Пусть – хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке .

    а) Докажите, что – биссектриса угла .
    б) Найдите длину отрезка , если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно и , а угол равен

    Ответ:  Решение


    101.  (Т/Р Ларина)  Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке . Прямая

    касается первой окружности в точке , а второй – в точке .
    а) Докажите что расстояние от точки до прямой равно .

    б) Найдите площадь треугольника , если известно, что радиусы окружностей равны соответственно и . Ответ:  Решение


    102. (Т/Р Ларина)  Четырехугольник  вписан в окружность с центром в точке Радиус перпендикулярен радиусу а радиус перпендикулярен радиусу

    а) Докажите, что

    б) Найдите площадь треугольника если длина перпендикуляра, опущенного из точки на равна а длина отрезка в два раза меньше длины отрезка

    Ответ: Решение


    103. (Т/Р Ларина) Радиус вписанной в треугольник окружности равен Окружность радиуса касается вписанной в треугольник окружности в точке а также касается лучей, образующих угол Окружности касаются прямой в точках и

    а) Докажите, что треугольник прямоугольный.

    б) Найдите тангенс угла если площадь треугольника равна а наибольшей из его сторон является сторона Ответ:


    104. (Т/Р 280 А. Ларина) В треугольнике провели высоты и . Окружность, описанная вокруг треугольника , где точка – середина стороны , пересекла прямую в точке .
    а) Докажите, что прямая касается окружности, описанной около треугольника .
    б) Найдите отношение площадей четырехугольника и треугольника , если , . Ответ:  Видеорешение


     

    Приложение 3 методические рекомендации — стр. 3

    Теорема (теорема Менелая). Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Х и У соответственно, а продолжение стороны АС- в точке Z, то AX/XB∙BY/YC∙CZ/ZA=1

    Лемма1. Если стороны АС и DF треугольников ABC и DEF лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то SΔABC/SΔDEF=AC/DF

    Лемма 2. Если два треугольника имеют общую сторону АС, то SΔABC/ SΔAB1C= BD/B1D

    Лемма 3. Если треугольники АВС и АВС1 имеют общий угол А, то

    с22+b2

    С=√а2+b2

    а=√с2-b2

    Н2с*bс

    а2=с*bс

    в2=с*bс

    S=1/2a*h

    S=1/2c*h

    S=1/2b*c*sinα

    S=1/2a*b*sinβ

    Sinα=a/с

    Cosα=b/c

    tgα=a/b

    Ctgα=b/a

    Медиана

    Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы или радиусу описанной окружности.mc=c/2=R

    Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1 считается от вершины.

    Формула для вычисления медианы mc=1/2√2(b2+c2)-a2

    Биссектриса

    Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности.

    Теорема.

    Биссектриса углов треугольника делит противоположную сторону на два отрезка, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

    m/c=n/b

    Формула для вычисления длины биссектрисы

    Lc=√ab(a+b+c)*(a+b-c)/a+b

    С = 2ΠR; S = πR2 ; О – середина гипотенузы, центр описанной окружности

    R = С/ 2 – радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы

    О – точка пересечения биссектрис углов , О – центр вписанной окружности

    r = (a+b-c)/2

    C= 2πr; S = πr2

    Произвольный треугольник

    O- точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной окружности.

    R=abc/4S; R=a/2sinα, где R-радиус описанной окружности, а- сторона треугольника,

    α-противолежащий ей угол.

    Теорема косинусов

    Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

    а222-2вс.соsα

    Назначения теоремы:

    1) зная две стороны и угол между ними найти квадрат третьей стороны, затем сторону

    2)зная все три стороны треугольника найти косинус угла, затем сам угол

    Cosα=в222/2вс если соsα

    Пример:

    cosα=-1/2,

    α=180o-60o=120o.

    cosα=1/2, α=60o

    cosα=/2, α=45o

    cosα=/2, α=30o

    2 этап: устное решение простейших задач, работа по опорному конспекту

    1. Начертите треугольник АВС. Постройте его медиану СС1. (Воспользовавшись циркулем и линейкой без делений)

    2. Дано: c || d, 0 (см/рис.). Вычислите градусную меру углов 2 и 3.

    3. а) Вычислите градусные меры углов треугольника АВС (см.рис.)

    d) Найти меньшую сторону треугольника АВС ( Ответ обоснуйте )

    1. Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Одна сторона треугольника на 7 см. больше другой. Вычислите длины сторон треугольника.

    2. Вычислите длину гипотенузы треугольника АВС, если АС=5 (см.рис.)

    3. Вычислите градусную меру углов прямоугольного треугольника, если один из них в 5 раз больше другого.

    4. Задайте ещё один элемент треугольника MKP так, чтоб треугольники ABC и MKP были равны (см.рис.).

    5. Дано: АВ|| CD, FC : СB=5:2 (см.рис.). Вычислите длину отрезка АВ.

    6. Дан треугольник . Чему равны cosα и tgα в этом треугольнике?

    Занятие 3-4

    Цели: повторить теоретические знания по теме треугольники и их элементы, применить знания при решении нестандартных задач.

    Ход занятия.

    1. Повторение основных теоретических знаний в парах.

    2. Комментированное решение следующих нестандартных задач.

    Задачи, взятые из контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена (после смены концепции ЕГЭ). После коллективного решения необходима самостоятельная работа по воспроизведению решения нестандартных задач.

    Нестандартные задачи

    Задача №1

    Точки D и E – основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведенных из вершин A и C соответственно. Известно, что =k, BC = a, AB = b. Найдите сторону АС.

    Решение:

    1 случай:

    Высоты опускаются на стороны ∆АВС – остроугольный.

    Решение:

    , тогда их можно рассмотреть как вписанные углы опирающиеся на дугу 180°, тогда четырехугольник EDCA вписанный, значит, сумма противоположных углов равна 180°,

    EDB ~ CABпо двум углам.

    (1) , по условию = k, из СВЕ имеем = cosα ; с другой стороны = k, значит из (1) имеем cosα= k

    По теореме косинусов для треугольника ABC имеем:AC²=AB²+BC²-2BCABcosα

    AC²=a²+b²-2abk

    2 случай

    Высоты опускаются на продолжения сторон,т.е. угол B-тупой

    D=как вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу EC

    =k, =cos(180-α)=-cosα , cosα=-k

    Из треугольника ABC имеем AC²=a²+b²-2ab(-k)

    AC=

    Ответ: ;

    Задача №2

    В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК: КВ= 1:2, а на стороне ВС взята точка L так, что С L: LВ= 2:1. Пусть Q- точка пересечения прямых АL и СК. Найдите площадь треугольника АВС, зная, что площадь треугольника ВQС равна 1.

    Решение

    Пусть АК=Х , тогда КВ=2Х. Пусть ВL=у, тогда LС=2у. Применим теорему Менелая . Теорема : Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Х и У соответственно,а продолжение стороны АС-в точке Z, то АХ/ХВ*ВУ/УС*СZ/ZA=1

    Применим теорему Менелая к треугольнику АВL и секущей КQ и получим:

    ВК/КА*АQ/QL*LС/ВС=1

    2х/х* АQ/QL*2у/3у=1

    АQ/QL=3/4

    АQ= 3 части, QL= 4 части, тогда АL/QL=7/4

    Лемма: Если два треугольника имеют общую сторону АС, то S⌂АВС/ S⌂АВ1С=ВД/В1Д

    S⌂ABC/S⌂QBC=AL/QL=7/4, т.к ⌂АВС и ⌂QBC имеют общую сторону BC

    Итак, S⌂АВС/ S ⌂QBC=7/4, но S ⌂QBC=1, тогда S⌂АВС=7/4

    Ответ: 7/4

    Задача № 3

    В трапеции АВСД диагональ АС перпендикулярна боковой стороне СД, а диагональ ДВ перпендикулярна боковой стороне АВ. Продолжения боковых сторон АВ и ДС пересекаются в точке К, образуя треугольник АКД с углом 45 градусов при вершине К. Площадь трапеции АВСД равна S. Найти площадь треугольника АКД

    Решение.

    Теорема: Пусть в остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1 . Тогда треугольники А1ВС1 и треугольник АВС подобны, причём коэффициент подобия равен cos

    ⌂КВС подобен ⌂КАД по предыдущей теореме и k= cos450=√2/2, следовательно,

    S⌂КАД/S⌂КВС==(√2/2)2 = ½, а это значит площадь ⌂КВС равна половине площади ⌂КАД, но Sтрапеции= S , S⌂КВС= S, тогда

    S⌂КАД=2S.

    Ответ: 2S

    Задача №4

    Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD, площадь которого равна 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ ВD в точке О. Найти площадь четырёхугольника ОМСD.

    Решение.

    МС – средняя линия ΔАQD

    Sомcд = SΔвcд– SΔвом, SΔвсД = 0.5 * Sпар. = 0.5

    ΔВОМ ΔDОА.

    ВО/DO = OM/OA = BM/DA = BM/2BM = 0.5

    ВО/DO = 0.5; ВО = 1, DO = 2, тогда ВО/ВD = 1/3.

    SΔBOM/SΔBCD = BM*BO/BC*BD = 1/2*1/3 = 1/6;

    SΔвом = 1/6*SΔвсд = 1/6*1/2 = 1/12

    Sомсд = 1/2 — 1/12 = 5/12;

    Ответ: 5/12.

    Задача №5

    Дан ΔАВС, в котором В = 300, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Найти площадь ΔАВD.

    Решение:

    Теорема: Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

    АВ/AD = BC/DC; 4/AD = 6/DC; DC/AD = 3/2 AD = 3/2DC; DC = 3, AD = 2.

    SΔABD = 1/2*AB*AD*sin;

    SΔABC = 1/2*AB*AC*sin;

    SΔABD /SΔABC = 1/2*AB*AD*sin/1/2*AB*AC*sin = 2/5.

    SΔABD = 2/5*SΔABC = 2/5*1/2*4*6*sin300 = 4*6/5*1/2 = 12/5.

    Ответ: 12/5.

    Задача №6

    В прямоугольный равнобедренный ▲АВС, ГДЕ

    Решение.

    Пусть АВ=ВС=1, АМ=х, 0

    значит AN=MN=х/ √2 ; СА = √12 +12 = √2, тогда СN = √2 -х/ √2

    SMNC = 3/8 S▲АВС; 1/2MN·NC = 3/8*1/2*1*1

    х/ √2·(√2 – х/ √2) = 3/8;

    х – х2/ 2 -3/8= 0

    2 – 8х+3 = 0

    D/4 = 16-12 = 4

    Х1 = (4+2) / 4 = 3/2

    Х2= (4-2)/ 4 = 1/2, но 0

    Значит, АМ = 1/2, тогда AN= 1/ 2√2, CN = √2 — 1/ 2√2 = 3/ 2√2

    AN/ CN= 2√2 / 2√2· 3 = 1/3

    Ответ: 1/3

    Задача №7

    Точки Р и Q расположены на стороне ВС ∆АВС так, что ВР/РQ/ QС=1/2/3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что АR/RС=1/2.Чему равно отношение площади четырёхугольника РQST к площади ∆АВС, где S и T – точки пересечения прямой ВRС прямыми АQ и АР соответственно.

    Решение:

    Пусть ВР=х, АR=у, тогда РQ=2х,QC=3x, RC=2у.

    Применим теорему Менелая к ∆АСQ и секущей SR и получим

    СR/AR * AS/SQ * BQ/BC = 1; 2y/y * AS/SQ * 3x/6x = 1; AS/SQ = 1;

    AS= 1 часть, SQ= 1 часть; AS/AQ = 1/2.

    Применим теорему Менелая к ∆АСР и секущей ТR получим:

    СR/AR *АТ/ТР * ВР/ВС = 1; 2y/y * АТ/ТР * x/6x = 1; АТ/ТR = 3;

    АТ = 3 части, ТR = 1 часть,

    Тогда АТ/АР = 3/4.

    К ∆AST и ∆АРQ применим лемму: если треугольники AST и АРQ имеют общий угол, то SAST/S∆АРQ = АТ*AS/AP*AQ = 3/4 * 1/2 = 3/8

    SAST = 3 части, S∆АРQ = 8 частей, тогда STSQP= 5 частей,

    Значит, SPQTS/ S∆АРQ = 5/8.

    У ∆АВС и ∆АРQ основания ВС и РQ лежат на одной прямой, тогда применим лемму: если стороны ВС и РQ лежат на одной прямой (или на параллельных прямых), то

    S∆АРQ/ S∆АВС = РQ/ ВС = 2х/6х = 1/3;

    тогда S∆АРQ= 1 часть, S∆АВС = 3 части.

    S∆АРQ = 1/3 * S∆АВС = 8;

    S∆АВС = 24

    SPQST/ S∆АРQ = 5/24.

    Ответ:5/24.

    Задача №8

    Дано: трапеция АВСD, причем известно что ВС = а, АD = в. Параллельно ее основаниям BC и AD пересекающая сторону АВ в точке Р, диагональ АС в точке L, диагональ BD в точке R и сторону CD в точке Q.

    Известно, PL = LR. Найти PQ.

    Решение:

    ∆APL ∞ ∆ABC

    ∆DQR ∞ ∆DCB

    По Теореме Фалеса:

    значит PL=QR.

    Пусть PL = LR = RQ = x,

    Рассмотрим: ∆APL ∞ ∆ABC;

    ∆PBR ∞ ∆ABD; ; =

    Имеем далее:

    Значит, PQ =

    Ответ:

    Занятие №5

    Цель: оценка и проверка знаний.

    На последнем, 5ом занятии целесообразно провести письменное тестирование по основным теоретическим вопросам(10минут). Остальное время использовать для воспроизведения одной или двух задач из решенных на предыдущих занятиях (для умеренно подготовленных учащихся), а более подготовленным учащимся предложить новые задачи повышенной сложности.

    Задача1

    Дан ΔАВС, в котором В = 300, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Найти площадь ΔАВD.

    Решение:

    Теорема: Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

    АВ/AD = BC/DC; 4/AD = 6/DC; DC/AD = 3/2 AD = 3/2DC; DC = 3, AD = 2.

    SΔABD = 1/2*AB*AD*sin;

    SΔABC = 1/2*AB*AC*sin;

    SΔABD /SΔABC = 1/2*AB*AD*sin/1/2*AB*AC*sin = 2/5.

    SΔABD = 2/5*SΔABC = 2/5*1/2*4*6*sin300 = 4*6/5*1/2 = 12/5.

    Ответ: 12/5.

    Задача2

    Точки Р и Q расположены на стороне ВС ∆АВС так, что ВР/РQ/ QС=1/2/3.Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что АR/RС=1/2.Чему равно отношение площади четырёхугольника РQST к площади ∆АВС, где S и T – точки пересечения прямой ВRС прямыми АQ и АР соответственно.

    Решение:

    Пусть ВР=х, АR=у, тогда РQ=2х,QC=3x, RC=2у.

    Применим теорему Менелая к ∆АСQ и секущей SR и получим

    СR/AR * AS/SQ * BQ/BC = 1; 2y/y * AS/SQ * 3x/6x = 1; AS/SQ = 1;

    AS= 1 часть, SQ= 1 часть; AS/AQ = 1/2.

    Применим теорему Менелая к ∆АСР и секущей ТR получим:

    СR/AR *АТ/ТР * ВР/ВС = 1; 2y/y * АТ/ТР * x/6x = 1; АТ/ТR = 3;

    АТ = 3 части, ТR = 1 часть,

    Тогда АТ/АР = 3/4.

    К ∆AST и ∆АРQ применим лемму: если треугольники AST и АРQ имеют общий угол, то SAST/S∆АРQ = АТ*AS/AP*AQ = 3/4 * 1/2 = 3/8

    SAST = 3 части, S∆АРQ = 8 частей, тогда STSQP= 5 частей,

    Значит, SPQTS/ S∆АРQ = 5/8.

    У ∆АВС и ∆АРQ основания ВС и РQ лежат на одной прямой, тогда применим лемму: если стороны ВС и РQ лежат на одной прямой (или на параллельных прямых), то

    S∆АРQ/ S∆АВС = РQ/ ВС = 2х/6х = 1/3;

    тогда S∆АРQ= 1 часть, S∆АВС = 3 части.

    S∆АРQ = 1/3 * S∆АВС = 8;

    S∆АВС = 24

    SPQST/ S∆АРQ = 5/24.

    Ответ:5/24.

    Задачи повышенной сложности.

    Задача 1.

    Высоты ∆АВС пересекаются в точке Н. Известно, что СН=АВ. Найти угол АСВ.

    Задача 2.

    Дана трапеция АВСД с боковыми сторонами АВ=36, СД=34 и верхним основанием ВС=10. Известно, что cosАВС=-. Найдите ВД.

    Приложение 4

    Задачи планиметрические и стереометрические с решениями из материалов ЕГЭ 2010 года.

    Задача 1 (C4): ОКОЛО ∆ ABC ОПИСАНА ОКРУЖНОСТЬ С ЦЕНТРОМ О. УГОЛ АОС РАВЕН 60, В ∆ АВС ВПИСАНА ОКРУЖНОСТЬ С ЦЕНТРОМ М. НАЙТИ УГОЛ АМС.


    РЕШЕНИЕ:

    1 Случай. Треугольник АВС остроугольный.

    Центр вписанной окружности лежит в точке М

    – в точке пересечения биссектрисс углов. Пусть

    как вписанный угол опирающийся на дугу в 60°

    Тогда из ∆ АМС угол

    2 Случай ΔАВС тупоугольный.

    ˘АC = 360°-60°=300°,

    как вписанный угол опирающийся на дугу 300°

    В ∆ АВС α + β + 150° = 180°, α + β =180°-150°= 30°; α + β/2= 15°

    Ответ: 105°, 165°.

    Задача 2 (С4): Прямая касается окружностей радиусов R b r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами равно a , причем r

    1 случай:

    Из O1O2P находим O2P= =

    Так как APO2B-прямоугольник, то AB=O2P=

    1 случай касание касательной происходит внешним образом

    2 случай:

    Касание касательной происходит внутренним образом.

    O1Q==

    Но DQO1C-прямоугольник, то CD=O1Q=.

    Ответ: или

    Задача 3 (C4): Дана трапеция ABCD, основание которой BC=44, AD=100, AB=CD=35. Окружность касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найти длину отрезка CK.

    Решение:

    1 случай: окружность вписанная.

    AE=, AE=, ED=100-72=28

    CE=; AC=.

    Свойство касательной, отрезки касательных,

    проведенных из одной точки равны:

    Пусть CK=x, CH=x, DK=QD=35-x,

    тогда AH=AQ, AH=75-x; AQ=100-(35-x)=65+x;

    Составим равенство 75-x=65+x; 75-65=2x;

    10=2x; x=5; Значит, CK=5

    2 случай:окружность внеописанная

    Пусть CK=x, тогда CМ=x, CK=CM.

    KD=35-x, тогда DN=35-x; KD=DN.

    AM=75+x, AN=100+35-x=135-x,

    Но AM=AN, отсюда 75+х=135-х;

    2х=135-75; 2х=60; х=30, значит СК=30.

    Ответ: 5 или 30

    Задача 4 (С2) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1. Найдите косинус угла между прямыми AB и A1C.

    Решение. Прямые AB и AC – скрещивающиеся прямые по признаку: если одна из 2х прямых лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей данной прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Чтобы получить угол между ними, выполним параллельный перенос прямой AB в прямую A1B1, тогда B1A1C – есть искомый угол. Рассмотрим A1B1C, в нем A1B1 = 1, AC1 = B1C =

    = . По теореме косинусов имеем: B1C2 = A1C2 + A1B12 – 2*A1C*B1C*cosB1A1C

    2=2+1-2*1** cosB1A1C

    2*cosB1A1C=1

    cosB1A1C = =

    Задача 5 (С2) В правильной шестиугольной пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания 1, найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью SAF.

    Решение.

    Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость.

    AC||KK1, поэтому построим угол между KK1 и плоскостью SAF. Прямая AF KK1 по построению, AF SK по теореме о трех перпендикулярах, значит, AF (SAF) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. (SAF) (SKK1) по признаку перпендикулярности плоскостей, тогда K1H SK, KH – проекция. K1KH – есть угол между прямой AC (KK1) и пл. (SAF).

    OK = r = = ; SK =

    SK= ; cos= ; cos=

    cos=
    Ответ: cos

    Задача 6 (С4): В параллелограмме ABCD известны стороны AB=a, BC=b, /B>BAD=. Найдите расстояние между центрами окружностей; описанных околотреугольников BCD и DAB.

    Решение: треугольники ADB и CBD равны по двум сторонам и углу между ними, значит, радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, будут равны, т.е. OD=┴BD, OM=.

    В треугольнике ABD, ВD=R=; R=OD=

    MD=

    Треугольник OMO : OM =; OM==

    ==; ;

    = 2OM = = .

    Ответ:.

    Задача 7 (С2):Рёбра AD и BC пирамиды DABC равны 24см и 10см. Расстояние между серединами рёбер BD и FC равно 13см. Найдите угол между прямыми AD и BC.

    Решение.

    Чтоб найти угол между прямыми AD и BC выполним два параллельных переноса : прямой AD в прямую KM , а прямой CB в прямую NK.Искомый угол

    .

    , 169=25+144-120* K .

    120 K= 169-169 , 120 K = 0 , K = 0 , K = 0 ,

    Ответ : 90°.

    Задача 8 (C4): Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках A и B. Найти расстояние между центрами окружностей, если AB=16.

    OM===6 Во втором случае OO1=15-6=9

    OM1= .

    OO1=6+15=21

    Ответ: 9; 21

    Задача 9 (С4): Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям заключенного между точками касания, если радиусы окружностей ровны 31 и 17, а расстояние между центрами окружностей равно 50.

    РешениеABC ,B =900 по свойству: радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Строим AСOO1,AC=OO1=50, BC=31-17=14, AB=, AB=====48

    AB=48

    2ой случай общая касательная касается этих окружностей внутренним образом

    Рассмотрим ABC, А =900, АС=R+r=31+17=48.

    CB║OO1; CB=OO1=50.

    AB=; AB=====14

    Ответ: 48 и 14.

    Задача 10 (С2): В правильном шестиугольной призме А…F1, все ребра которой равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и В С1.

    Решение:

    Проведем диагональное сечение СС1FF1.

    (АВВ1) ll (FCC1) по признаку: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

    Выполним параллельный перенос перенос прямой АВ1 в прямую ОС1, тогда эти прямые пересекаются в точке С1, значит, 1О- искомый.

    Вычислим 1О:

    ∆ОСС1 ; ОС=R=a=1; СС1=1; ОС1==.

    ВС1=; ОВ=1

    По теореме косинусов в ∆ОВС1 имеем ОВ2=ОС12+ВС12-2ОС1ВС1cosφ

    1=2+2-2cosφ; 4cosφ=4-1; cosφ=3/4.

    Ответ: cosφ=3/4

    Задача 11 (С4): Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что СН=АВ. Найти угол АСВ.

    Решение.

    1 случай. ∆АВС остроугольный.

    Пусть 1СН=α, тогда

    1=3=900-α. ∆АВН1=∆СНН1 по гипотенузе СН=АВ и острому углу α. Отсюда, ВН1=СН1, следовательно, ∆СН1В равнобедренный и прямоугольный, значит, 0.

    2ой случай.

    ∆АВС тупоугольный. По условию задачи СН=АВ, тогда ∆СН3Н=∆АН3В по гипотенузе и острому углу α, отсюда НН3=АН3и СН3=ВН3, следовательно, 3СВ=450, тогда 0-450=1350.

    Ответ: 450, 1350.

    Приложение №5.

    Презентации:

    1. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

    2. Угол между прямой и плоскостью.

    3. Угол между прямыми.

    Презентации прилагаются в электронном виде.

    Самостоятельные и контрольные работы, зачёты по геометрии. 10-11 классы.


    Российская Федерация
    Ханты-Мансийский автономный округ — Югра
    муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
    «Средняя общеобразовательная школа №4»
    Город МегионУтверждено:
    приказом директора МБОУ «СОШ№4»
    № 1525/О от 25.09.2012
    ГЕОМЕТРИЯ 10,11 КЛАССЫ
    Самостоятельные и контрольные работы. Зачёты.
    (к учебнику Геометрия. 10-11 классы.)
    Автор-составитель: Магомедов Иосиф Маграмович
    учитель математики высшей
    квалификационной категории
    ГЕОМЕТРИЯ 10-11 КЛАССЫ (Атанасян Л.С., )САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ, КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ, ЗАЧЁТЫ.
    10 КЛАСС
    САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 1.1 (20 МИН)
    Вариант 1
    1.Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
    2. а) Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.
    б) Вычислите площадь четырехугольника, если АС⊥ВД, АС=10см, ВД=12 см.
    Самостоятельная работа № 1.1 (20 мин)
    Вариант 2
    1.Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
    2.а)Дан прямоугольник АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А,В, и О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и Д также лежат в плоскости α.Б)Вычислите площадь прямоугольника, если АС=8 см, ∠ АОВ = 600.
    САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 1.2
    ВАРИАНТ 1
    1.Дан треугольник АВС, ЕАВ, КВС, ВЕ:ВА = ВК:ВС = 2:5. Через прямую АС проходит плоскость α, не совпадающая с плоскостью треугольника АВС.
    а) Докажите, что ЕК ∥ α.
    б) Найдите длину отрезка АС, если ЕК = 4 см.
    ВАРИАНТ 2
    1.Дан треугольник АВС, МАВ, КВС, ВМ : МА = 3 : 4. Через прямую МК проходит плоскость α, параллельная прямой АС.
    а) Докажите, что ВС:ВК = 7:3.
    б) Найдите длину отрезка МК, если АС = 14 см.
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1.1
    ВАРИАНТ 1
    1. Основание АД трапеции АВСД лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Е и F соответственно.
    а) Каково взаимное расположение прямых EF и AB?
    б) Чему равен угол между прямыми EF и АВ, если ∠АВС = 1500? Ответ обоснуйте.
    2.Дан пространственный четырехугольник АВСД, в котором диагонали АС и ВД равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками.
    а)Выполните рисунок к задаче.
    б)Докажите, что полученный четырехугольник – ромб.
    3. Углы с сонаправленными сторонами ( определение, теорема). Угол между прямыми.
    Контрольная работа № 1.1
    ВАРИАНТ 2
    1.Треугольники АВС и АДС лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Р – середина стороны АД, точка К – середина ДС.
    а)Каково взаимное расположение прямых РК и АВ?
    б)Чему равен угол между прямыми РК и АВ, если ∠АВС = 400 и ∠ВСА = 800? Ответ обоснуйте.
    2.Дан пространственный четырехугольник АВСД, М и N – середины сторон АВ и ВС соответственно, ЕСД, КДА, ДЕ:ЕС = 1:2, ДК:КА = 1:2.
    а) Выполните рисунок к задаче.
    б) Докажите, что четырехугольник МNЕК – трапеция.
    3.Скрещивающиеся прямые (определение, признак, теорема – п.7).
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1.2
    ВАРИАНТ 1
    1.Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
    2.Чкрез точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12 см, В1О:ОВ2 = 3:4.
    3.Изобразите параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M,N и K, являющиеся серединами ребер АВ, ВС и ДД1.
    Вариант 2
    1.Прямые а и в лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
    2.Через точку О, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые а и в. Прямая а пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая в – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А1В1, если А2В2 = 15 см, ОВ1:ОВ2 = 3:5.
    3. Изобразите тетраэдр ДАВС и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки М и N, являющиеся серединами ребер ДС и ВС, и точку, такую, что КДА, АК:КД = 1:3.
    ЗАЧЁТ № 1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
    Карточка 1
    1.Сформулируйте аксиомы А1,А2,А3 стереометрии. Сформулируйте и докажите следствия из аксиом.
    2.Докажите, что через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
    3.Плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС соответственно в точках В1 и С1. Известно, что ВС∥α, АВ:В1В = 5:3, АС = 15 см. Найдите АС1.
    Карточка 2
    1.Сформулируйте определение параллельных прямой и плоскости. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак параллельности прямой и плоскости.
    2.Докажите, что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
    3.Каждое ребро тетраэдра ДАВС равно 2 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В,С и середину ребра АД. Вычислите периметр сечения.
    Карточка 3
    1.Сформулируйие определение скрещивающихся прямых. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак скрещивающихся прямых.
    2.Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
    3.Постройте сечение параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 плоскостью, проходящей через точки А, С и М, где м – середина ребра А1Д1.
    Карточка 4
    1.Сформулируйте определение параллельных плоскостей. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак параллельности двух плоскостей.
    2.Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
    3.АВСД А1В1С1Д1 – куб, ребро которого 4 см. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки А, Д1 и М, где М – середина ребра ВС. Вычислите периметр сечения.
    САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 2.1
    ВАРИАНТ 1
    1.Дано: АВ⊥α, М и К – произвольные точки плоскости α. Докажите, что АВМК.
    2.Треугольник АВС правильный, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости АВС.
    А) Докажите, что МА = МВ = МС.
    Б)Найдите МА, если АВ = 6 см, МО = 2 см.
    ВАРИАНТ 2
    1.Дано: прямая МА перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Докажите, что МАВС.
    2.Четырехугольник АВСД – квадрат, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.
    А)Докажите, что МА = МВ = МС = МД.
    Б)Найдите МА, если АВ = 4 см, ОМ = 1 см.
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2.1
    ВАРИАНТ 1
    1.Диагональ куба равна 6 см. Найдите:
    а) ребро куба;
    б)косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
    2.Сторона АВ ромба АВСD равна а, один из углов ромба равен 600. Через сторону АВ проведена плоскость α на расстоянии а/2 от точки D.
    а)найдите расстояние от точки С до плоскости α.
    б)Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DАВМ, М∈α.
    в)найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α.
    ВАРИАНТ 2
    1.Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равен 26 см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите:
    А)измерения параллелепипеда;
    Б)синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
    2.Сторона квадрата АВСD равна а. Через сторону АD проведена плоскость β на расстоянии а/2 от точки В.
    А)Найдите расстояние от точки С до плоскости β.
    Б)покажите на рисунке линейный угол двугранного угла ВАDМ, М∈β.
    В)найдите синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью β.
    ЗАЧЕТ № 2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
    Карточка 1
    1.Сформулируйте определение перпендикулярности прямой и плоскости. Докажите теорему, выражающую признак перпендикулярности прямой и плоскости.
    2.Решите одну из задач: 131 или 216.
    Карточка 2
    1.Докажите теоремы, устанавливающие связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
    2.Решите одну из задач: 143 или 213.
    Карточка 3
    1.Докажите теорему о трех перпендикулярах.
    2.Решите одну из задач: 150 или 212.
    Карточка 4
    1.Сформулируйте определение перпендикулярности двух плоскостей. Докажите теорему, выражающую признак перпендикулярности двух плоскостей.
    2.Решите одну из задач: 157 или 206.
    САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 3.1
    ВАРИАНТ 1
    Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 450. Найдите:
    А)диагональ призмы;
    Б)угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани;
    В)площадь боковой поверхности призмы;
    В)площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.
    ВАРИАНАТ 2
    Диагональ правильной четырехугольной призмы равна а и образует с плоскостью боковой грани угол 300. Найдите:
    А)сторону основания призмы;
    Б)угол между диагональю призмы и плоскостью основания;
    В)площадь боковой поверхности призмы;
    Г)площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.
    САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 3.2
    ВАРИАНТ 1
    Высота правильной треугольной пирамиды равна а3, радиус окружности, описанной около её основания, 2а. Найдите:
    а) апофему пирамиды;
    б) угол между боковой гранью и основанием;
    в) площадь боковой поверхности;
    г)плоский угол при вершине пирамиды.
    ВАРИАНТ 2
    Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а, высота пирамиды равна а2. Найдите:
    а) сторону основания пирамиды;
    б) угол между боковой гранью и основанием;
    в) площадь поверхности пирамиды;
    г) расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани.
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3.1
    ВАРИАНТ 1
    1.Основанием пирамиды DАВС является правильный треугольник АВС, сторона которого равна а. Ребро DА перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость DВС составляет с плоскостью АВС угол 300. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
    2. Основанием прямого параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 является ромб АВСD, сторона которого равна а и угол равен 600. Плоскость АD1C1 составляет с плоскостью основания угол 600. Найдите:
    А) высоту ромба;
    Б) высоту параллелепипеда;
    В) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
    Г) площадь поверхности параллелепипеда.
    ВАРИАНТ 2
    1.Основанием пирамиды МАВСД является квадрат АВСД, ребро МД перпендикулярно к плоскости основания, АД = ДМ = а. Найдите площадь поверхности пирамиды.
    2. Основанием прямого параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 является параллелограмм АВСД, стороны которого равны а2 и 2а, острый угол равен 450. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите:
    А)меньшую высоту параллелограмма;
    Б)угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания;
    В) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
    г) площадь поверхности параллелепипеда.
    ГЕОМЕТРИЯ. 11 КЛАСС.
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 (НА 20 МИН)
    I вариант
    1.Найдите координаты вектора , если А (5; -1; 3), В (2; -2; 4).
    2.Даны векторы . Найдите
    3.Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку A(1; -2; — 4). Найдите расстояния от этой точки до координатных плоскостей.
    II вариант
    1.Найдите координаты вектора , если C(6; 3; -2), D(2; 4; -5).
    2.Даны векторы Найдите
    3.Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку В(- 2; — 3; 4). Найдите расстояния от этой точки до координатных плоскостей.
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
    I вариант
    1.Вычислите скалярное произведение векторов и , если
    580390116840
    2.Дан куб ABCDA1B1 C1D1. Найдите угол между прямыми AD1 и ВМ, где М — середина ребра DD1.
    3.Задача № 518 (а) из учебника.
    II вариант
    2536825181610Вычислите скалярное произведение векторов и , если
    Дан куб ABCDA1B1 C1D1. Найдите угол между прямыми АС и DC1.
    Задача № 518 (б) из учебника.
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
    I вариант
    1. Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найдите площадь поверхности цилиндра.
    2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите:
    а)площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30°;
    б)площадь боковой поверхности конуса.
    3. Диаметр шара равен 2т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.
    II вариант
    1. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь поверхности цилиндра.
    2. Радиус основания конуса равен 6 см, а Образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите:
    а)площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60°;
    б)площадь боковой поверхности конуса.
    3. Диаметр шара равен 4m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
    I вариант
    1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объем пирамиды.
    2. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°. Найдите объем цилиндра.
    П вариант
    1,Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем пирамиды.
    2.В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий уголравен 30°. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем конуса.
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
    I вариант
    1.Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара.
    2.Объем цилиндра равен 96π см3, площадь его осевого сечения 48 см2. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.
    II вариант
    1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.
    2,Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объемов шара и цилиндра.
    Литература.
    1 Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., и др. Геометрия 10-11. Учебник для образовательных
    учреждений М.: Просвещение, 2015.
    2. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по
    геометрии 11 кл., М.: Илекса, 2004г.
    3. Жохов В.И. и др. Примерное планирование учебного материала и контрольные
    работы по математике 5-11 классы. М.: Вербум-М, 2004.
    4. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии 11 кл. М. Просвещение 2003г.
    Фарков А.В. М Диагностические контрольные работы по геометрии. М.: Изд-во
    «Экзамен» Москва. 2006.

    Rd Sharma 2019 for Class 9 Math Глава 17

    Лист № 17.19:
    Вопрос 1:

    Найдите площадь четырехугольника ABCD , где AB = 3 см, BC = 4 см, CD = 4 см, DA = 5 см и AC = 5 см.

    Ответ:

    Дан четырехугольник ABCD со сторонами AB, BC, CD, DA и диагональю AC = 5 см, где AC делит четырехугольник ABCD на два треугольника ΔABC и ΔADC.Мы найдем площади двух треугольников по отдельности и их, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD.

    Обратите внимание, что в треугольнике ΔABC:

    Таким образом, треугольник ΔABC является прямоугольным.

    Площадь прямоугольного треугольника ΔABC, определяется как

    В ΔACD все стороны известны, поэтому просто используйте формулу Герона, чтобы найти площадь треугольника ΔACD,

    с = AD + DC + AC2 = 5 + 4 + 52 = 7 см

    Площадь ΔACD составляет:

    Площадь четырехугольника ABCD составит,

    Площадь = Площадь треугольника ABC + Площадь треугольника ADC

    Стр.
    № 17.19:
    Вопрос 2:

    Стороны четырехугольного поля, взятые по порядку, равны 26 м, 27 м, 7 м — 24 м соответственно. Угол между двумя последними сторонами — прямой. Найдите его область.

    Ответ:

    Мы предполагаем, что четырехугольник ABCD является четырехугольным полем со сторонами AB, BC, CD, DA и.

    Возьмем диагональ AC, где AC делит четырехугольник ABCD на два треугольника ΔABC и ΔADC

    Мы найдем площадь двух треугольников ΔABC и ΔADC по отдельности и сложим их, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD.

    В треугольнике ΔADC имеем

    AD = 24 м; DC = 7 м

    Мы используем теорему Пифагора, чтобы найти сторону AC,

    AC 2 = AD 2 + DC 2

    Площадь прямоугольного треугольника ΔADC, скажем, A 1 определяется как

    Где, База = DA = 24 м; Высота = DC = 7 м

    Площадь треугольника ΔABC, скажем, A 2 со сторонами a, b , c и s в качестве полупериметра определяется как

    Где, a = AC = 25 м; b = AB = 26 м; c = BC = 27 м

    Площадь четырехугольника ABCD, скажем A

    A = Площадь треугольника ΔADC + Площадь треугольника ΔABC

    Стр. № 17.19:
    Вопрос 3:

    Стороны четырехугольника, взятые по порядку, составляют 5, 12, 14 и 15 метров соответственно, а угол между первыми двумя сторонами является прямым. Найдите его область.

    Ответ:

    Мы предполагаем, что ABCD — это четырехугольник со сторонами AB, BC, CD, DA и углом.

    Возьмем диагональ AC, где AC делит четырехугольник ABCD на два треугольника ΔABC и ΔADC.Мы найдем площадь этих двух треугольников и сложим их, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD

    .

    В треугольнике ΔABC имеем

    AB = 5 м; BC = 12 м

    Мы будем использовать теорему Пифагора для вычисления AC

    .

    AC 2 = AB 2 + BC 2

    Площадь прямоугольного треугольника ΔABC, скажем, A 1 определяется как

    Где, База = AB = 5 м; Высота = BC = 12 м

    Площадь треугольника ΔADC, скажем, A 2 со сторонами a, b , c и s в качестве полупериметра определяется как

    Где, a = AC = 13 м; b = DC = 14 м; c = AD = 15 м

    Площадь четырехугольника ABCD, скажем A

    A = Площадь треугольника ΔABC + Площадь треугольника ΔADC

    Стр. № 17.19:
    Вопрос 4:

    Парк в форме четырехугольника ABCD имеет ∠C = 90 °, AB = 9 м, BC = 12 м, CD = 5 м и AD = 8 м. Какую площадь он занимает?

    Ответ:

    Мы предполагаем, что ABCD — четырехугольник со сторонами AB, BC, CD, DA и.

    Возьмем диагональную DB, где DB делит ABCD на два треугольника ΔBCD и ΔABD

    В ΔBCD имеем

    DC = 5 м; BC = 12 м

    Используйте теорему Пифагора

    BD 2 = DC 2 + BC 2

    Площадь прямоугольного треугольника ΔBCD, скажем, A 1 определяется как

    Где, База = DC = 5 м; Высота = BC = 12 м

    Площадь треугольника ΔABD, скажем, A 2 со сторонами a, b , c и s в качестве полупериметра определяется как

    Где, a = AD = 8 м; b = AB = 9 м; c = BD = 13 м

    Площадь четырехугольника ABCD, скажем A

    A = Площадь треугольника DCB + Площадь треугольника ABD

    Стр.
    № 17.19:
    Вопрос 5:

    Две параллельные стороны трапеции — 60 см и 77 см, а другие стороны — 25 см и 26 см. Найдите площадь трапеции.

    Ответ:

    Мы предполагаем, что ABCD — заданная трапеция, где AB параллельна DC.

    Проведем CE параллельно AD от точки C.

    Следовательно, образуется параллелограмм ADCE, имеющий AD, параллельный CE, и DC, параллельный AE.

    АЕ = 60 см; CE = 25 см; BE =

    В основном мы найдем площадь треугольника BCE и площадь параллелограмма AECD и сложим их, чтобы найти площадь трапеции ABCD.

    Площадь треугольника ECB, скажем A 1 со сторонами a, b , c и s в качестве полупериметра задается как

    Где, a = EB = 17 см; b = EC = 25 см; c = BC = 26 см

    Здесь нам нужно найти высоту параллелограмма AECD, которая равна CM, чтобы вычислить площадь AECD.

    Где BE = База = 17 см; Высота = CM = h

    Таким образом, площадь параллелограмма будет равна,
    A 2 = b × h
    = 60 × 24 = 1440 см2

    Общая площадь трапеции будет
    A = A 1 + A 2
    = 204 + 1440
    = 1644 см 2

    Лист № 17.19:
    Вопрос 6:

    Ромб, лист, периметр которого составляет 32 м, а длина одной диагонали 10 м, окрашен с обеих сторон из расчета 5 рупий за м. 2 .Узнайте стоимость покраски.

    Ответ:

    Мы предполагаем, что ABCD — это ромб, имеющий

    AB = BC = CD = DA

    BD и AC быть диагоналями ромба

    Нам нужно узнать стоимость покраски с двух сторон

    Периметр ромба ABCD, скажем, P равен 32 м

    Мы знаем, что BD и AC диагоналей ромба и. Итак,

    (диагонали ромба пересекаются под прямым углом)

    БД = 24 м; AC = ч; сторона = AB = 8м

    Взяв квадрат с обеих сторон, получаем

    Площадь ромба, скажем A 1

    Площадь обеих сторон ромба;

    Стр. № 17.20:
    Вопрос 7:

    Найдите площадь четырехугольника ABCD , в котором AD = 24 см, ∠ BAD = 90 ° и BCD образует равносторонний треугольник, каждая сторона которого равна 26 см.

    Ответ:

    Мы предполагаем, что ABCD — это четырехугольник со сторонами AB, BC, CD, DA, диагональю BD и углом, где BCD образует равносторонний треугольник с равными сторонами.

    Нам нужно найти площадь ABCD

    В треугольнике BAD имеем

    BD 2 = BA 2 + AD 2 . Таким образом,

    Площадь прямоугольного треугольника ABD, скажем, A 1 определяется как

    Где,

    База = БА = 10 см; Высота = AD = 24 см

    Площадь равностороннего треугольника BCD, скажем, A 2 со сторонами a, b , c определяется как

    , где

    a = BC = CD = BD = 26 см

    Площадь четырехугольника ABCD, скажем A

    A = Площадь треугольника BAD + Площадь треугольника BCD

    Стр. № 17.20:
    Вопрос 8:

    Найдите площадь четырехугольника ABCD , в котором AB = 42 см, BC = 21 см, CD = 29 см, DA = 34 см и диагональ BD = 20 см.

    Ответ:

    Дан четырехугольник ABCD со сторонами AB, BC, CD, DA и диагональю BD, где BD делит ABCD на два треугольника

    ΔDBC и ΔDAB

    В треугольнике DBC мы видим, что

    DC 2 = DB 2 + BC 2

    Следовательно, это прямоугольный треугольник.

    Площадь прямоугольного треугольника DBC, скажем, A 1 определяется как

    Где,

    База = ВС = 21 см; Высота = BD = 20 см

    Площадь треугольника DAB, скажем, A 2 со сторонами a, b , c и s в качестве полупериметра определяется как

    , где

    a = DB = 20 см; b = AD = 34 см; c = AB = 42 см

    Площадь четырехугольника ABCD, скажем A

    A = Площадь треугольника DBC + Площадь треугольника DAB

    Стр. № 17.20:
    Вопрос 9:

    Соседние стороны параллелограмма ABCD имеют размер 34 см и 20 см, а диагональ AC составляет 42 см. Найдите площадь параллелограмма.

    Ответ:

    Нам дана мера смежных сторон параллелограмма AB и BC, то есть сторон, имеющих одну и ту же точку начала, и диагонали AC, которая делит параллелограмм ABCD на два равных треугольника ABC и ADC.

    Площадь треугольника ABC равна площади треугольника ADC, поскольку они являются конгруэнтными треугольниками.

    Площадь параллелограмма ABCD, скажем, определяется как

    А =

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    , где

    Следовательно, площадь треугольника, скажем, A 1 со сторонами 20 см, 34 см и 42 см равна

    a = 20 см; б = 34 см; c = 42 см

    Площадь параллелограмма ABCD, скажем определяется как

    Стр.
    № 17.20:
    Вопрос 10:

    Найдите площадь лопастей магнитного компаса, показанную на рисунке. (Возьмем 11 = 3,32)

    Ответ:


    Лезвия магнитного компаса образуют ромб со всеми равными сторонами по 5 см каждая. Дана диагональ размером 1 см, которая образует треугольную форму лопастей магнитного компаса и делит ромб на два равных треугольника, скажем, треугольник ABC и треугольник DBC, имеющих равные размеры.

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    , где


    Следовательно, площадь треугольника ABC, скажем, A 1 , имеющего стороны 5 см, 5 см и 1 см, определяется как:

    a = 5 см; б = 5 см; c = 1 см


    Площадь лопастей магнитного компаса, скажем A соответствует

    A = Площадь одного из треугольников ABC

    Стр. № 17.20:
    Вопрос 11:

    Треугольник и параллелограмм имеют одинаковое основание и одинаковую площадь. Если стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см, а параллелограмм стоит на основании 14 см, найдите высоту параллелограмма.

    Ответ:

    Дано, что площади треугольника и параллелограмма равны.

    Мы вычислим площадь треугольника с заданными значениями, и это также даст нам площадь параллелограмма, поскольку оба они равны.

    Площадь треугольника, имеющего стороны a , b , c и s в виде полупериметра , определяется как,

    , где

    Следовательно, площадь треугольника; скажем, A, со сторонами 15 см, 13 см и 14 см соответствует

    a = 15 см; б = 13 см; c = 14 см

    Нам нужно найти высоту параллелограмма, скажем h

    Площадь параллелограмма AECD скажем A 1 соответствует

    База = 60 см; Высота = х см; A = A 1 = 84 см 2

    Стр.
    № 17.20:
    Вопрос 12:

    Две параллельные стороны трапеции — 60 см и 77 см, а другие стороны — 25 см и 26 см. Найдите площадь трапеции.

    Ответ:

    Рассмотрим трапецию ABCD, как показано ниже.

    Нарисуйте линию BF, параллельную AD, так, чтобы ABFD превратился в параллелограмм. Также нарисуйте перпендикуляр BE на CD, как показано на рисунке.

    В ΔBCF три стороны заданы как a = BF = 25 см, b = BC = 26 см, c = CF = CD-FD = 17 см.
    Полупериметр ΔBCF = 25 + 26 + 172 = 34.
    Площадь ΔBCF может быть рассчитана по формуле Герона как
    ss-as-bs-c = 3434-2534-2634-17 = 34 × 9 × 8 × 17 = 204 см2

    Кроме того, площадь ΔBCF = 12 × основание × высота
    ⇒204 = 12 × 17 × BE⇒204 = 12 × 17 × BE⇒BE = 24 см

    Следовательно, площадь трапеции = 12AB + CD × BE = 1260 + 77 × 24 = 1644 см2.

    Стр. № 17.20:
    Вопрос 13:

    Найдите периметр и площадь четырехугольника ABCD , в котором AB = 17 см, AD = 9 см, CD = 12 см, ∠ ACB = 90 ° и AC = 15 см.

    Ответ:

    Мы предполагаем, что ABCD — четырехугольник со сторонами AB, BC, CD, DA и ∠ACB = 90 .

    Возьмем диагональ AC, где AC делит ABCD на два треугольника ΔACB и ΔADC

    Поскольку ∆ACB находится под прямым углом к ​​C, мы имеем

    AC = 15 см; AB = 17 см

    AB 2 = AC 2 + BC 2

    Площадь прямоугольного треугольника ABC, скажем, A 1 определяется как

    , где,

    База = ВС = 8 см; Высота = AC = 15 см

    Площадь треугольника ADC, скажем, A 2 со сторонами a, b , c и s в качестве полупериметра определяется как

    , где

    a = AD = 9 см; b = DC = 12 см; c = AC = 15 см

    Площадь четырехугольника ABCD, скажем A

    A = Площадь ∆ACB + Площадь ∆ADC

    Периметр четырехугольника ABCD, скажем P

    Стр.
    № 17.20:
    Вопрос 14:

    Ручной веер изготавливается путем сшивания 10 треугольных полос одинакового размера из двух разных типов бумаги, как показано на рис. 12.28. Размеры одинаковых полосок — 25 см, 25 см и 14 см. Найдите площадь каждого типа бумаги, необходимую для веерной работы.

    Ответ:

    Нам нужно найти площадь каждого типа треугольных полосок, необходимую для вентилятора.

    Имеется 5 полосок каждого типа с одинаковыми размерами, поэтому мы вычислим площадь одной полосы, а затем умножим ее на 5, чтобы определить площадь необходимых полос каждого типа.

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    , где

    Следовательно, площадь треугольной полосы, скажем A 1 со сторонами 25 см, 25 см и 14 см, определяется как:

    a = 25 см; б = 25 см; c = 14 см

    Необходимая площадь каждого типа полосы, например A .

    Страница № 17.24:
    Вопрос 1:

    Найдите площадь треугольника, основание и высота которого составляют 5 см и 4 см соответственно.

    Ответ:

    Дано, основание = 5 см; высота = 4 см
    Площадь треугольника = 12 × Основание × Высота


    Стр. № 17.24:
    Вопрос 2:

    Найдите площадь треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см соответственно.

    Ответ:

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    , где


    Следовательно, площадь треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см равна

    a = 3 см; б = 4 см; c = 5 см


    Теперь площадь
    = 6 (6-3) (6-4) (6-5) = 6 × 3 × 2 × 1 = 36 = 6 см2

    Стр.
    № 17.24:
    Вопрос 3:

    Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием x см и одной стороной y см.

    Ответ:

    Предположим, что треугольник ABC — это равнобедренный треугольник со сторонами AB = AC и основанием BC. Площадь треугольника ABC, скажем, A , имеющего стороны AB и AC, равна y см, а при основании BC, равном x см, равна

    .

    Где,

    База = ВС = х см; Высота = y2-x24

    A = 12Base × Высота = 12 × xy2-x24 = x2y2-x24

    Стр. № 17.24:
    Вопрос 4:

    Найдите площадь равностороннего треугольника, каждая сторона которого составляет 4 см.

    Ответ:

    Площадь равностороннего треугольника, каждая сторона которого и см, равна

    .

    Площадь данного равностороннего треугольника, каждая равная сторона которого равна 4 см, равна

    .

    a = 4 см

    Стр. № 17.24:
    Вопрос 5:

    Найдите площадь равностороннего треугольника, каждая сторона которого x см.

    Ответ:

    Площадь равностороннего треугольника, скажем с каждой стороной см определяется как

    Площадь данного равностороннего треугольника, каждая равная сторона которого равна x см, равна

    .

    a = x см

    Стр. № 17.24:
    Вопрос 6:

    Периметр поля треугольника составляет 144 м, а соотношение сторон 3: 4: 5. Найдите площадь поля.

    Ответ:

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    , где,

    Дано, что стороны треугольного поля находятся в соотношении 3: 4: 5 и периметр = 144 м.

    Следовательно, a : b : c = 3: 4: 5

    Примем стороны треугольного поля за

    Подставляя значение x в, мы получаем стороны треугольника как

    Площадь треугольного поля, скажем, A со сторонами a , b , c и s в качестве полупериметра определяется как

    Стр. № 17.24:
    Вопрос 7:

    Найдите площадь равностороннего треугольника высотой ч см.

    Ответ:

    Высота равностороннего треугольника со стороной на равна

    .

    Подставляя заданное значение высоты х см, получаем


    Площадь равностороннего треугольника, скажем с каждой стороной см определяется как

    Площадь данного равностороннего треугольника, у которого каждая равная сторона равна;

    Стр. № 17.24:
    Вопрос 8:

    Пусть Δ — площадь треугольника. Найдите площадь треугольника, каждая сторона которого вдвое больше стороны данного треугольника.

    Ответ:

    Нам дано предполагаемое значение — это площадь данного треугольника ABC

    Мы предполагаем, что стороны данного треугольника ABC равны a, b, c

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,


    Где,

    Возьмем стороны нового треугольника как 2 a , 2b, 2c, что в два раза больше сторон предыдущего треугольника

    Теперь площадь треугольника со сторонами 2 a , 2 b , и 2c и в качестве полупериметра задается как

    , где

    Сейчас,

    Стр.
    № 17.24:
    Вопрос 9:

    Если каждая сторона треугольника удвоена, процент находки увеличивается в его площади.

    Ответ:

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    Где,

    Возьмем стороны нового треугольника как 2 a , 2b, 2 c , что в два раза больше сторон предыдущего треугольника

    Теперь площадь треугольника, имеющего стороны 2 a, 2 b, и 2 c , а в качестве полупериметра задается как

    Где,

    Сейчас,

    Следовательно, увеличиваем площадь треугольника

    Процентное увеличение площади

    Стр. № 17.24:
    Вопрос 10:

    Если каждая сторона равностороннего треугольника утроится, то каков процент увеличения площади треугольника?

    Ответ:

    Площадь равностороннего треугольника, каждая сторона которого и см, равна

    .

    Итак, площадь равностороннего треугольника, скажем, если каждая сторона утроится, будет равна

    .

    a = 3 a

    Следовательно, увеличиваем площадь треугольника

    Процентное увеличение площади

    Стр. № 17.24:
    Вопрос 1:

    Отметьте правильный вариант в каждом из следующих пунктов:

    Стороны треугольника равны 16 см, 30 см, 34 см. Его площадь

    (а) 225 см 2

    (б) 240 см 2

    (в) 2252 см 2

    (г) 450 см 2

    Ответ:

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    , где


    Следовательно, площадь треугольника, скажем, A, со сторонами 16 см, 30 см и 34 см равна

    a = 16 см; б = 30 см; c = 34 см

    Следовательно, площадь треугольника равна

    .


    Следовательно, правильный вариант — (b).

    Страница № 17.24:
    Вопрос 2:

    Основание равнобедренного прямоугольного треугольника 30 см. Его площадь

    (а) 225 см 2

    (б) 225 3 см 2

    (в) 225 2 см 2

    (г) 450 см 2

    Ответ:

    Пусть ABC — прямоугольный треугольник, в котором ∠B = 90 °.Теперь base = BC; перпендикуляр = AB; Гипотенуза = AC Теперь, BC = 30 см. Теперь ∆ABC — это равнобедренная прямоугольная ∆, и мы знаем, что гипотенуза — это самая длинная сторона правой ∆. Итак, AB = BC = 30 см, площадь ∆ABC = 12 × основание × высота = 12 × BC × AB = 12 × 30 × 30 = 450 см2

    Следовательно, правильный вариант — (d).

    Страница № 17.24:
    Вопрос 3:

    Стороны треугольника 7 см, 9 см и 14 см. Его площадь

    (а) 125 см2

    (б) 123 см2

    (в) 245 см2

    (г) 63 см2

    Ответ:

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    , где


    Следовательно, площадь треугольника со сторонами 7 см, 9 см и 14 см равна

    a = 7 см; б = 9 см; c = 14 см



    Следовательно, ответ — (а).

    Страница № 17.24:
    Вопрос 4:

    Стороны треугольного поля — 325 м, 300 м и 125 м. Его площадь

    (а) 18750 м 2

    (б) 37500 м 2

    (в) 97500 м 2

    (г) 48750 м 2

    Ответ:

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    , где


    Следовательно, площадь треугольного поля, скажем, A , имеющего стороны 325, 300 и 125 м, определяется как

    a = 325 м; b = 300 м; c = 125 м



    Следовательно, правильный ответ (а).

    Страница № 17.24:
    Вопрос 5:

    Стороны треугольника равны 50 см, 78 см и 112 см. Наименьшая высота

    (а) 20 см

    (б) 30 см

    (в) 40 см

    (г) 50 см

    Ответ:

    Площадь треугольника, имеющего стороны a , b , c и s в виде полупериметра , определяется как,

    , где

    Следовательно, площадь треугольника, скажем A со сторонами 50 см, 78 см и 112 см, равна

    Площадь треугольника с высотой p , равной

    Площадь = 12 × основание × высота

    Где, A = 1680

    Мы должны найти наименьшую высоту, поэтому заменим значение базы AC на длину каждой стороны по очереди и найдем наименьшее высотное расстояние i.е. п.

    Корпус 1

    Корпус 2

    Корпус 3

    Следовательно, ответ (б).

    Страница № 17.25:
    Вопрос 6:

    Стороны треугольника равны 11 м, 60 м и 61 м. Высота до самой маленькой стороны

    (а) 11 м

    (б) 66 м

    (в) 50 м

    (г) 60 м

    Ответ:

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    , где

    Нужно найти высоту до наименьшей стороны

    Следовательно, площадь треугольника со сторонами 11 м, 60 м и 61 м равна

    .

    a = 11 м; b = 60 м; c = 61 м


    Площадь треугольника с основанием AC и высотой p равна

    Нам нужно найти высоту p , соответствующую наименьшей стороне треугольника. Здесь наименьшая сторона 11 м

    AC = 11 м

    Следовательно, ответ (г).

    Страница № 17.25:
    Вопрос 7:

    Стороны треугольника равны 11 см, 15 см и 16 см. Высота до наибольшей стороны

    (а) 307 см

    (б) 1572см

    (в) 1574см

    (г) 30 см

    Ответ:

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    , где

    Нам нужно найти высоту, соответствующую самой длинной стороне

    Следовательно, площадь треугольника со сторонами 11 см, 15 см и 16 см равна

    .

    a = 11 м; б = 15 см; c = 16 см


    Площадь треугольника с основанием AC и высотой p равна

    Нам нужно найти высоту p , соответствующую самой длинной стороне треугольника.Здесь самая длинная сторона 16 см, то есть AC = 16 см

    Следовательно, ответ (c).

    Страница № 17.25:
    Вопрос 8:

    Основание и гипотенуза прямоугольного треугольника имеют длину 5 см и 13 см соответственно. Его площадь

    (а) 25 см 2

    (б) 28 см 2

    (в) 30 см 2

    (г) 40 см 2

    Ответ:

    В прямоугольном треугольнике ABC с основанием 5 см и гипотенузой 13 см нам предлагается найти его площадь

    Использование теоремы Пифагора

    Где, AB = гипотенуза = 13 см, AC = база = 5 см, BC = высота

    Площадь треугольника, скажем с основанием 5 см и высотой 12 см определяется как

    Где, База = 5 см; Высота = 12 см

    Следовательно, ответ (c).

    Страница № 17.25:
    Вопрос 9:

    Длина каждой стороны равностороннего треугольника площадью 43 см2 составляет

    (а) 4 см

    (б) 43 см

    (в) 34 см

    (г) 3 см

    Ответ:

    Площадь равностороннего треугольника, скажем, A, с каждой стороной см равно

    Нам предлагается найти сторону треугольника

    Следовательно, сторона равностороннего треугольника равна a, площадь равна

    .

    Следовательно, правильный ответ (а).

    Страница № 17.25:
    Вопрос 10:

    Если площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна 8 см. 2 , каков периметр треугольника?

    (а) 8 + 2 см 2

    (б) 8 + 42 см 2

    (в) 4 + 82 см 2

    (г) 122 см 2

    Ответ:

    Нам дана площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, и мы должны найти его периметр.

    Две стороны равнобедренного прямоугольного треугольника равны, и мы принимаем равные стороны за основание и высоту треугольника. Нам предлагается найти периметр треугольника

    Возьмем основание и высоту треугольника х см.

    Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, например с основанием x см и высотой x см определяется как

    A = 8 см 2 ; Основание = Высота = x см

    Используя теорему Пифагора, мы имеем;

    Пусть ABC будет заданным треугольником

    Периметр треугольника ABC, скажем, P равен

    AB = 4 см; ВС = 4 см; AC =

    Следовательно, ответ (б).

    Страница № 17.25:
    Вопрос 11:

    Длины сторон Δ ABC представляют собой последовательные целые числа. Его Δ ABC имеет тот же периметр, что и равносторонний треугольник со стороной длиной 9 см. Какова длина самой короткой стороны Δ ABC ?

    (а) 4

    (б) 6

    (в) 8

    (г) 10

    Ответ:

    Нам дано, что треугольник ABC имеет периметр, равный периметру равностороннего треугольника со стороной 9 см.Стороны треугольника ABC — последовательные целые числа. Нам предлагается найти наименьшую сторону треугольника ABC

    .

    Периметр равностороннего треугольника, скажем, P со стороной 9 см равен

    Предположим, что три стороны треугольника ABC равны x, x + 1, x− 1

    Периметр треугольника ABC, скажем, P 1 определяется как

    P 1 = AB + BC + AC

    AB = x ; BC = x +1; AC = x — 1.Поскольку P 1 = P . Итак,

    Используя значение x, , мы получаем стороны треугольника как 8 см, 9 см и 10 см.

    Следовательно, ответ (c).

    Страница № 17.25:
    Вопрос 12:

    На данном рисунке отношение AD к DC равно 3 к 2. Если площадь Δ ABC составляет 40 см 2 , какова площадь Δ BDC ?

    Ответ:

    Дана площадь треугольника ABC 40 см 2 .

    Также

    Нам предлагается найти площадь треугольника BDC

    Возьмем BE перпендикулярно основанию AC в треугольнике ABC.

    Мы принимаем AC равным y и BE равным x в треугольнике ABC

    Площадь треугольника ABC, скажем, определяется как

    Нам дано отношение AD к DC равное 3: 2

    Итак,

    В треугольнике BDC мы принимаем BE за высоту треугольника

    .

    Площадь треугольника BDC, скажем, A 1 определяется как

    Следовательно, ответ (а).

    Страница № 17.25:
    Вопрос 13:

    Если длина медианы равностороннего треугольника x см, то его площадь будет

    (a) x 2

    (b) 32×2

    (c) x23

    (d) x22

    Ответ:

    Нам дана длина медианы равностороннего треугольника, по которой мы можем вычислить его сторону.Нам предлагается найти площадь треугольника в единицах x

    .

    Высота равностороннего треугольника, допустим, L, с равными сторонами см определяется как, где L = x см

    Площадь равностороннего треугольника, скажем, A 1 с каждой стороной см равно

    С .Со

    Следовательно, ответ (c).

    Страница № 17.25:
    Вопрос 14:

    Если каждая сторона треугольника удвоена, то увеличение площади треугольника составит

    (a) 1002%

    (b) 200%

    (c) 300%

    (d) 400%

    Ответ:

    Площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра задается выражением,

    , где

    Возьмем стороны нового треугольника как 2 a , 2 b , 2 c , что в два раза больше сторон предыдущего треугольника

    Теперь площадь треугольника со сторонами 2 a , 2 b, и 2c и в качестве полупериметра задается как

    Где,

    Сейчас,

    Следовательно, увеличиваем площадь треугольника


    Процентное увеличение площади

    Следовательно, ответ (c).

    Страница № 17.25:
    Вопрос 15:

    Квадрат и равносторонний треугольник имеют равные периметры. Если диагональ квадрата 122 см, то площадь треугольника

    (а) 242 см2

    (б) 243 см2

    (в) 483 см2

    (г) 643 см2

    Ответ:

    Дано, что периметр квадрата ABCD равен периметру треугольника PQR.

    Дана величина диагонали квадрата. Нам предлагается найти площадь треугольника

    В квадрате ABCD мы предполагаем, что смежные стороны квадрата равны a.

    Так как это квадрат, то

    Используя теорему Пифагора

    Следовательно, сторона квадрата 12 см.

    Периметр квадрата ABCD, скажем, P равен

    Сторона = 12 см

    Периметр равностороннего треугольника PQR, скажем, P 1 равен

    Сторона равностороннего треугольника PQR равна 16 см.

    Площадь равностороннего треугольника, скажем, A, с каждой стороной см равно

    Площадь данного равностороннего треугольника, каждая равная сторона которого равна 4 см, равна

    .

    a = 16 см

    Следовательно, ответ (г).

    Страница № 17.8:
    Вопрос 1:

    Найдите площадь треугольника, стороны которого равны соответственно 150, 120 и 200 см.

    Ответ:

    Всякий раз, когда нам дается измерение всех сторон треугольника, мы в основном ищем формулу Герона, чтобы определить площадь треугольника.

    Если обозначить площадь треугольника как A, , то площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра будет равна;


    Где,

    Нам дано:

    a = 150 см

    b = 120 см

    c = 200 см

    Здесь мы рассчитаем с,

    Итак, площадь треугольника равна:

    .

    Стр. № 17.8:
    Вопрос 2:

    Найдите площадь треугольника со сторонами 9 см, 12 см и 15 см.

    Ответ:

    Всякий раз, когда нам дается измерение всех сторон треугольника, мы в основном ищем формулу Герона, чтобы определить площадь треугольника.

    Если обозначить площадь треугольника как A, , то площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра будет равна;


    Где,

    Нам дано:

    a = 9 см, b = 12 см, c = 15 см

    Здесь мы рассчитаем с,

    Итак, площадь треугольника равна:

    .

    Стр. № 17.8:
    Вопрос 3:

    Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 18 см и 10 см, а периметр равен 42 см.

    Ответ:

    Всякий раз, когда нам дается измерение всех сторон треугольника, мы в основном ищем формулу Герона, чтобы определить площадь треугольника.

    Если обозначить площадь треугольника как A, , то площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра будет равна;


    Где,

    Нам дано:

    a = 18 см

    b = 10 см и периметр = 42 см

    Мы знаем, что периметр = 2 с ,

    Так 2 с = 42

    Следовательно с = 21 см

    Мы это знаем, поэтому

    Итак, площадь треугольника равна:

    .

    Стр. № 17.8:
    Вопрос 4:

    В Δ ABC , AB = 15 см, BC = 13 см и AC = 14 см. Найдите площадь Δ ABC и, следовательно, ее высоту на AC .

    Ответ:

    Всякий раз, когда нам дается измерение всех сторон треугольника, мы в основном ищем формулу Герона, чтобы определить площадь треугольника.

    Если мы обозначим площадь треугольника как «Площадь» , , то площадь треугольника, имеющего стороны a , b , c и s в виде полупериметра, задается как;


    Где,
    Нам дано:

    AB = 15 см, BC = 13 см, AC = 14 см

    Здесь мы рассчитаем с,

    Итак, площадь треугольника равна:

    .

    Теперь начертите высоту от точки B на AC, которая пересекает ее в точке D.BD — требуемая высота. Итак, если вы нарисуете фигуру, вы увидите, что

    Вот. Итак,

    Страница № 17.8:
    Вопрос 5:

    Периметр треугольного поля составляет 540 м, а его стороны находятся в соотношении 25: 17: 12. Найдите площадь треугольника.

    Ответ:

    Всякий раз, когда нам дается измерение всех сторон треугольника, мы в основном ищем формулу Герона, чтобы определить площадь треугольника.Если обозначить площадь треугольника A, , то площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра будет равна;


    Где,

    Нам дано, а

    Здесь,

    Используя эти данные, мы найдем стороны треугольника. Предположим, что стороны треугольника следующие:

    Так, значит

    Теперь мы знаем каждую сторону, то есть

    Теперь мы знаем все стороны.Итак, мы можем использовать формулу Герона.

    Площадь треугольника;

    Страница № 17.8:
    Вопрос 6:

    Периметр треугольника 300 м. Если его стороны находятся в соотношении 3: 5: 7. Найдите площадь треугольника.

    Ответ:

    Всякий раз, когда нам дается измерение всех сторон треугольника, мы в основном ищем формулу Герона, чтобы определить площадь треугольника.Если обозначить площадь треугольника A, , то площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра будет равна;


    Где,

    Нам дано, а

    Здесь,

    Используя эти данные, мы найдем стороны треугольника. Предположим, что стороны треугольника следующие:

    Так, значит

    Теперь мы знаем каждую сторону, то есть

    Теперь мы знаем все стороны.Итак, мы можем использовать формулу Герона.

    Площадь треугольника;

    A = ss-as-bs-c = 150150-60150-100150-140 = 1500 = 10015 × 9 × 5 = 1005 × 3 × 3 × 3 × 5 = 100 × 3 × 53 = 15003 м2

    Страница № 17.8:
    Вопрос 7:

    Периметр треугольного поля 240 дм. Если две его стороны равны 78 см и 50 дм, найдите длину перпендикуляра на стороне длиной 50 дм от противоположной вершины.

    Ответ:

    Всякий раз, когда нам дается измерение всех сторон треугольника, мы в основном ищем формулу Герона, чтобы определить площадь треугольника.Если обозначить площадь треугольника A, , то площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра будет равна;


    Где,

    Нам даны две стороны треугольника и.

    То есть a = 78 дм, b = 50 дм

    Мы найдем третью сторону c , а затем площадь треугольника, используя формулу Герона.

    Сейчас,

    Используйте формулу Герона, чтобы найти площадь треугольника.То есть

    Рассмотрим треугольник ΔPQR, в котором

    PQ = 50 дм, PR = 78 дм, QR = 120 дм

    Где RD — желаемая длина перпендикуляра

    Теперь из рисунка у нас

    Страница № 17.8:
    Вопрос 8:

    Треугольник имеет стороны 35 см, 54 см и 61 см в длину. Найдите его область. Также найдите наименьшую из его высот.

    Ответ:

    Всякий раз, когда нам дается измерение всех сторон треугольника, мы в основном ищем формулу Герона, чтобы определить площадь треугольника.

    Если обозначить площадь треугольника как A, , то площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра будет равна;


    Где,

    Нам дано: а = 35 см; б = 54 см; c = 61 см

    Площадь треугольника:

    Предположим, что это треугольник ΔPQR, и сфокусируемся на треугольнике, приведенном ниже,

    , в котором PD1, QD2 и RD3 — три высоты

    Где PQ = 35 см, QR = 54 см, PR = 61 см

    Мы будем вычислять каждую высоту по очереди, чтобы найти наименьшую.

    Корпус 1

    В случае ΔPQR:

    Корпус 2

    Корпус 3

    Наименьшая высота — QD2.

    Наименьшей высотой считается высота, нанесенная на стороне длиной 61 см от соответствующей вершины.

    Страница № 17.
    8:
    Вопрос 9:

    Длины сторон треугольника находятся в соотношении 3: 4: 5, а его периметр равен 144 см.Найдите площадь треугольника и высоту, соответствующую самой длинной стороне.

    Ответ:

    Всякий раз, когда нам дается измерение всех сторон треугольника, мы в основном ищем формулу Герона, чтобы определить площадь треугольника.

    Если обозначить площадь треугольника как A, , то площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра будет равна;


    Где,

    Нам дано, а

    Здесь,

    Используя эти данные, мы найдем стороны треугольника.Предположим, что стороны треугольника следующие:

    Поскольку 2 с = 144, поэтому

    Теперь мы знаем каждую сторону, то есть

    Теперь мы знаем все стороны. Итак, мы можем использовать формулу Герона.

    Площадь треугольника;

    Нас просят определить высоту, соответствующую самой длинной стороне данного треугольника. Самая длинная сторона — c , и предполагается, что соответствующая высота равна H, тогда

    .

    Стр. № 17.8:
    Вопрос 10:

    Периметр равнобедренного треугольника составляет 42 см, а его основание в (3/2) раза умножено на каждую из равных сторон. Найдите длину каждой стороны треугольника, площадь треугольника и высоту треугольника.

    Ответ:

    Нам дано это, и его основание (3/2) умноженное на каждую из равных сторон. Нам предлагается узнать длину каждой стороны, площадь треугольника и высоту треугольника.В этом случае «высота» — это перпендикулярное расстояние, проведенное на основании от соответствующей вершины.

    В следующем треугольнике ΔABC

    BC = a, AC = b , AB = c и AB = AC

    Пусть длина каждой из равных сторон равна x и a, b и c — стороны треугольника. Итак,

    Т.к. это означает, что

    Следовательно, все стороны треугольника равны:

    Все стороны треугольника равны 18 см, 12 см и 12 см.

    Всякий раз, когда нам дается измерение всех сторон треугольника, мы в основном ищем формулу Герона, чтобы определить площадь треугольника.

    Если мы обозначим площадь треугольника как Area, , то площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра будет равна;


    Где,

    Чтобы вычислить площадь треугольника, нам нужно найти с:

    Площадь треугольника:

    Теперь узнаем высоту, скажем H.См. Рисунок, на котором AD = H

    Итак,

    Страница № 17.8:
    Вопрос 11:

    Найдите площадь заштрихованной области на данном рисунке.

    Ответ:

    Нам дан следующий рисунок с размерами.

    рисунок:

    Пусть точка, в которой находится угол, будет D.

    AC = 52 см, BC = 48 см, AD = 12 см, BD = 16 см

    Нас просят узнать площадь заштрихованной области.

    Площадь заштрихованной области = Площадь треугольника ΔABC — площадь треугольника ΔABD

    В прямоугольном треугольнике ABD имеем

    Площадь треугольника ΔABD равна

    .

    Всякий раз, когда нам дается измерение всех сторон треугольника, мы в основном ищем формулу Герона, чтобы определить площадь треугольника.

    Если мы обозначим площадь треугольника как Area, , то площадь треугольника со сторонами a , b , c и s в виде полупериметра будет равна;


    Где,

    Здесь a = 48 см, b = 52 см, c = 20 см и

    Следовательно, площадь треугольника ΔABC равна,

    Теперь у нас есть вся информация для расчета площади заштрихованной области, поэтому

    Площадь заштрихованной области = Площадь ΔABC — Площадь ΔABD

    Площадь заштрихованной области 384 см 2 .

    Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 9

    Площадь любого неправильного четырехугольника

    Плоская фигура, ограниченная четырьмя отрезками прямых, называется неправильным четырехугольником. Площадь любого неправильного четырехугольника можно вычислить, разделив его на треугольники.

    Пример :

    Найдите площадь четырехугольника $$ ABCD $$, стороны которого равны $$ 9 $$ м, $$ 40 $$ м, $$ 28 $$ м и $$ 15 $$ м соответственно, а угол между первыми двумя сторонами является прямым. угол.2}} = \ sqrt {1681} = 41 \\ \ end {собрано} \]

    Теперь площадь $$ \ Delta ABD = \ frac {1} {2} \ times 40 \ times 9 = 180 $$ m
    In $$ \ Delta BCD $$, $$ BD = a = 41 $$ m, $$ DC = b = 28 $$ m, $$ CB = c = 15 $$ m
    $$ \ поэтому s = \ frac {{a + b + c}} {2} = \ frac {{41 + 28 + 15}} {2} = 42 $$ m

    Теперь,
    \ [\ begin {gather} {\ text {Area}} \, {\ text {of}} \, \ Delta BCD = \ sqrt {s (s — a) (s — b) (s — c)} \, \\ {\ text {Area}} \, {\ text {of}} \, \ Delta BCD = \ sqrt {42 (42 — 41) (42 — 28) (42 — 15)} = \ sqrt {42 \ times 14 \ times 27} = 126 \, sq \, m \\ \ end {собрано} \]

    Площадь четырехугольника $$ ABCD $$$$ = $$ Площадь $$ \ Delta ABD $$ $$ + $$ Площадь $$ \ Delta BCD $$
    Площадь четырехугольника $$ ABCD $$ $$ = (180 + 126) = 306 $$ квадратных метров.

    Пример :

    В четырехугольнике диагональ составляет $$ 42 $$ см, а два перпендикуляра на нем от других вершин — $$ 8 $$ см и $$ 9 $$ см соответственно. Найдите площадь четырехугольника.


    Решение :

    Учитывая, что из рисунка $$ AC = 42 $$ м, $$ BN = 9 $$ м, $$ DM = 8 $$ м
    Площадь $$ ABCD = $$ Площадь $$ \ Delta ABC + $$ область $$ \ Delta ACD $$
    Площадь $$ ABCD $$$$ = \ frac {1} {2} \ times 9 \ times 42 + \ frac {1} {2} \ times 8 \ умножить на 42 = 189 + 168 = 357 $$ кв.

    Архив геометрии | 28 июля 2020 г. Архив

    Геометрия | 28 июля 2020 г. | Chegg.com

    Geometry Архив: Вопросы от 28 июля 2020 г.
    • найти точку, лежащую на пересечении плоскости, x + (1/4) y + (1/3) z = 0 и сфера x 2 + y 2 + z 2 = 25 с наибольшая z-координата.(х, у, z) = (_)

      1 ответ

    • 0 ответов

    • Я решаю эту практическую задачу, и я действительно борюсь. если будьте так любезны завершить, чтобы это могло помочь мне понять. Пожалуйста обязательно включите визуализацию координатной плоскости для вопросов 1 &

      1 ответ


    • 3.) Найдите площадь и периметр заштрихованной области на рисунке ниже. Обязательно покажите всю работу или как можно яснее объясните свой метод.Также объясните, как можно определить высоту

      1 ответ


    • 6.) Выберите любые два четырехугольника из следующего: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, равнобедренную трапецию, воздушный змей. ШАГ 1: Представьте точное изображение обоих выбранных типов четырехугольника с обоими d

      1 ответ


    • Для №1 используйте диаграмму ниже и свои знания об угловых отношениях и Постулат параллельности, чтобы найти каждое из отсутствующих значений углов, которые отмечены ниже желтыми точками.Затем используйте разделитель

      1 ответ

    • учитывая, что 0/1 баллов] ПОДРОБНОСТИ ПРЕДЫДУЩИХ ОТВЕТОВ AUF Учитывая, что ZLON — прямой угол, найдите меру 2x. X Введите точное число. L M X + 12 ° o N Нужна помощь? Прочтите это Поговорите с преподавателем Отправьте тип ответа здесь

      1 ответ



    • УПРАЖНЕНИЯ. Эскизы от руки. Нарисуйте на отведенном месте третью угловую проекцию компонента ниже. 35 35 35 105 ВИД СПЕРЕДИ DRG ОРТОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ УПРАЖНЕНИЕ 10 ОРТОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ E

      1 ответ



    • 1. Дано: AX || DY и углы 1,2,3,4,5 и 6 (5 баллов) а) Найдите: m_1, m_ 3, m_ 4 и m2 5 Х A 12 3 4 5 mzl = m3 = m24 = m2 5 = 40 85 ° 6 70 ° Y б) параллельны AD и XY. Объясните причину.

      1 ответ

    • Размер граней в правой прямоугольной призме равен соотношение 4: 5: 11. Объем призмы 1250 см3.Что длина самой короткой стороны? (Округлите свой ответ до одного десятичный разряд.)

      1 ответ



    • дуга 9 м QR e R I Sool 0

      1 ответ


    • Используйте формулу, чтобы найти площадь треугольника. квадратных единиц B V 29 89 A с

      1 ответ


    • Диаграмма представляет собой правильную пятиугольную пирамиду. Единица измерения — футы. (Округлите ответы до двух десятичных знаков.) 21 -25,4 18 (a) Найдите площадь основания. футов? (б) Найдите боковую площадь

      1 ответ



    • (b) Используйте часть (a), чтобы найти общую площадь поверхности данной правильной шестиугольной призмы. 4 110 (c) Найдите объем правильной шестиугольной призмы, указанный в части (b).

      1 ответ



    • J к 5. Заполните недостающие причины и утверждения для доказательства. Дано: Равнобедренная трапеция JKLM (5 баллов) Доказательство: JLKM M Причины Утверждения 1.Равнобедренная трапеция 1. Дано 2. JML KLM 2. 3. 3. Рефлекс.

      1 ответ



    • 6. Дано: параллелограмм ABCD, m_ A-4x + 1, m D-x + 79 (8 баллов) D. Найдите: m2 C — x + 79 4x + 1 B A.

      1 ответ

    • Для 𝑀𝑇𝑆 △ MTS и △ 𝑆𝑄𝑃 △ SQP найдите SQ.

      1 ответ



    • 10. Дано: воздушный змей ABCD с ABAD и BC = DC Доказательство: ZBZD Подсказка: нарисуйте диагональ (6 точек) D Заявления о причинах

      1 ответ

    • Данная прямая l является серединным перпендикуляром к 𝐶𝐵⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯CB¯ и AB = х + 7. 5 и AC = 3x — 10,9 найдите длину AC. (Вокруг ближайшая десятая). Я не думаю, что ответ — 9

      1 ответ



    • 11. На рисунке справа BC-X, AB-4, BD 6,4E-10 и ZCBDZA (6 баллов) X a) Назовите два похожих треугольника и укажите причину, по которой эти треугольники должны быть похожими. E 10 б) Найдите: x

      1 ответ



    • 12. Дано: mRT = 26 ° (6 баллов). Находим: mZRST и mZWST S C.

      1 ответ


    • Найдите открытый интервал (интервалы), на котором кривая, заданная векторной функцией, является гладкой.(Введите свой ответ, используя интервальную запись.) R (0) = 9 cos (O) i + 6 sin? (0) j, Osos 21 —

      1 ответ



    • 13. (a) Найдите площадь данного правильного шестиугольника. (12 баллов) 4 A 4 4 4 4

      1 ответ


    • Тема для обсуждения Ортографическая проекция и изометрическая проекция — это два способа показать трехмерные объекты в двухмерном пространстве, например, на листе бумаги или экране компьютера.Каждый встречался

      1 ответ

    • 1 ответ


    • Чтобы оценить высоту горы над ровной равниной, угол подъема на вершину горы измеряется равным 32º. На тысячу футов ближе к горе, вдоль равнины, она обнаружена.

      1 ответ

    • Пожалуйста, помогите мне в этом, я такой же, как ты Назначьте две проекции и сделайте это, друг мой.
      Q.2) Горизонтальная линия h в пространстве помещена в положение, при котором координаты двух ее концов равны D (5,5,2) и E (?,?,?).Если точка E расположена на прямой m [A (1,3,1), B (6,2,3)], нарисуйте два

      0 ответов



    • 5. Найдите области для следующих заштрихованных фигур. Объясни свою работу. а. б. 6 см 6 см Головоломка голландца Аскью

      1 ответ



    • 7. Нарисуйте трапецию ABCD, нарисуйте ее копию и переверните ее рядом с ABCD так, чтобы вершины B и C соприкасались. Набросайте получившуюся фигуру. Какая фигура формируется? Объясните, как ваш рисунок

      1 ответ



    • При использовании транспортира для измерения угла сообщаемое значение округляется до ближайшего градуса.Однако некоторые измерения должны быть более точными. Вы можете сделать более точные измерения, используя

      1 ответ



    • Размер A на 5º больше, чем в три раза, чем размер 2B. Сумма их мер составляет 145º. Найдите mA и m28. mA- m.B =

      1 ответ



    • ULUUN Det Homework Help Wiegel 13 очков] ПОДРОБНОСТИ ПРЕДЫДУЩИЕ ОТВЕТЫ FIERROELEMMATh2 10.1.039. МОИ ПРИМЕЧАНИЯ Используйте измерения mDBE = 40 °, m_FBD — 80 ° и mABE = NM 1.m DBC, а сложение угла po

      1 ответ


    • 2. [4 балла]? В магазине мороженого продаются рожки в шоколаде, как показано на схеме ниже. 6 см S 10 см Конус с открытым верхом, весь снаружи покрыт шоколадом. Определите площадь o

      1 ответ


    • МЫШЛЕНИЕ / ПРИМЕНЕНИЕ: [Всего 32 балла] 1. Определите высоту пирамиды внизу, если ее объем составляет 2100 кубических сантиметров.[3 балла] h 20 см 42 см

      1 ответ


    • ЧАСТЬ B: Требуются полные, аккуратные и организованные решения. Формулы должны быть даны для вопросов о площади, площади поверхности и объеме, но не о периметре. Помните свои единицы! *** Округлите все окончательные ответы до одного де

      0 ответов



    • В AABC m_B = n градусов, m _A = 2n + 40 и mC = n + 12º. Найдите размеры всех трех углов. mA = O m_B = m.ca O Нужна помощь? Поговорите с преподавателем Электронная книга дополнительных материалов [-12 баллов] ПОДРОБНЕЕ FIERR

      1 ответ


    • 5 баллов 18.Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (1,5) и (4, 12) 4 знака

      1 ответ


    • 21. Для пары точек A (2, 3) и B (5, 7) определите: (i). расстояние между двумя точками (ii). Координаты средней точки

      1 ответ


    • 3 Требуются полные, аккуратные и организованные решения. Формулы должны быть даны для вопросов о площади, площади поверхности и объеме, но не о периметре.Помните свои единицы !! ** Округлите все ответы до одного десятичного знака.

      1 ответ




    • 4. Объясните, как найти расстояние XY через озеро, а затем найдите расстояние. 50 м Ю 100 м 200 м 4. Объясните, как найти расстояние XY через озеро, а затем найдите расстояние. 50 м Y 100

      1 ответ



    • 6. Найдите площадь AABC, если AC = 5 см, BC = 10 см и CD = 3 см. Перед выполнением вычислений объясните свой подход.5 10 3 А Д Б

      1 ответ


    • Определите, является ли каждый из следующих рядов сходящимся или расходящимся. Чтобы получить полную оценку по заданному вопросу, вся ваша работа должна быть безупречной! Вы также должны проверить условия перед применением

      1 ответ

    • Прямоугольный пол 27 футов в длину и 9 футов в ширину. Что площадь этажа в квадратных ярдах? Обязательно укажите правильный единицы в вашем ответе.
      ИЗМЕРЕНИЕ O U.S. Преобразование обычных единиц площади с использованием целых чисел. Прямоугольный пол имеет длину 27 футов и ширину 9 футов. Какая площадь этажа в квадратных ярдах? Обязательно укажите со

      1 ответ

    • Наклонная пирамида имеет квадратное основание с длиной ребра 5 см. Высота пирамиды 7 см. Каков объем пирамиды? 11 см3 43 см3 58 см3 87 см3

      1 ответ



    • a) Если BA делит пополам CBT, какова длина BC? Округлите сотню ваш ответ до ближайшего 30 16 A 14 б) Если AR = 20, какова длина IR 15 Vo.А R В) Посчитаем площадь самого большого из сим

      1 ответ

    • пожалуйста, помогите мне понять это
      изображенных похожих треугольника. (округлить x и y @a) Сконцентрировать периметр наибольшего из чисел до десятых) Y b) Вычислить гипотенузу наибольшего из подобных прямоугольных треугольников: vy c) Все

      1 ответ



    • Указанные углы являются дополнительными углами. Определите меры 41 и A2. X 2 11x + 18 Каковы размеры 41 и 42? m 1 = o m42 = o (Упростите ответ.) (Упростите ответ.) Введите yo

      1 ответ

    • перечислите все ракурсы пожалуйста
      На рисунке m параллельна n, а m 24 = 128 °. Найдите размеры других углов. м 2 87 34 65 т.

      1 ответ

    • 3
      Углы — это дополнительные углы. Определите меры 41 и 42. 5x-12 2 1 m21 = и m42 = 0 ° Введите свой ответ в каждое из полей для ответов.

      1 ответ



    • Найдите длину стороны x и стороны y, учитывая, что треугольники подобны.B 25 45 B ’10 y А 50 с Α’ Χ C X y = 0 (Упростите ответы.)

      1 ответ


    • ABCD — параллелограмм. Найдите значения x и y. Найдите значение z, если z = x — y. A B (x + 30) (x-30) (y + 20) D С O A. 30 O B. -20 OC.-10 O D. 20 Сброс выбора

      1 ответ

    • 16
      Определите затененную область. 16 футов Заштрихованная область (при необходимости округлите до двух десятичных знаков).

      1 ответ

    • 7
      Используйте похожие треугольники для решения.Человек ростом 6 футов стоит в 156 футах от основания дерева, и дерево отбрасывает 168-футовую тень. Тень человека составляет 12 футов в длину. Что это за он

      1 ответ



    • Определите затененную область. 4 дюйма 8 дюймов. Заштрихованная область (введите целое или десятичное число, округленное до ближайшей сотой, если необходимо).

      1 ответ


    • FWML — параллелограмм. Найдите значения x и y. Найдите значение z, если Z = X — y.F W x + 7 Y + 2 2y-6 L 3x — 3 M A. 6 B. -3 C. -2 D. 3 Сброс выбора

      1 ответ

    • это нет или прямо? 5
      ТУ ЛУЮУНИ. IL 5 из 23 (15 полных) Классифицируйте угол G как острый, прямой, прямой, тупой или ни один из них. Выберите правильный тип угла для G. O A. Правый OB. Тупой D F O C. Острый OD. Прямо O E.

      1 ответ

    • 99
      (а) Этот треугольник разносторонний, равнобедренный или равносторонний? 0 Равнобедренная чешуя Равносторонняя (b) Этот треугольник острый, тупой или прямой? Right Acute Obtuse Щелкните, чтобы выбрать ответ II. Введите здесь, чтобы s

      1 ответ

    • 100
      а. Длина неизвестной стороны (введите целое число). B. Периметр треугольника равен (введите целое число) c. Площадь треугольника (введите целое число). Введите свой ответ в каждую букву o.

      1 ответ

    • 140
      Определите площадь треугольника. a 80 см 4 м A = (Введите целое число.) Введите свой ответ в поле для ответа.

      1 ответ


    • Родители Антонио хотят создать фонд колледжа, который платит 1500 долларов.00 выплачивается в конце каждого месяца в течение 5 лет, если проценты начисляются по ставке 3%, начисляются ежемесячно, сколько необходимо инвестировать

      1 ответ

    • ПОЖАЛУЙСТА, МНЕ НУЖДАЕТСЯ ЕГО СКОРЕЕ ОЦЕНКА … СПАСИБО
      Вопрос 11 (2 балла) Найдите объем твердого тела, ограниченного y2. Напишите интеграл и вычислите его. = 2, 3 = 0 и X = Y — z.

      1 ответ


    • 1. Изготовлена ​​большая модель карандаша для художественной выставки. Он состоит из двух частей: конуса для верха и правого цилиндра для основания, как показано ниже.4 дюйма 6 дюймов 12 дюймов 6 дюймов в каждой части (a, b, c)

      1 ответ



    • Энди хочет сделать небольшую клумбу и ограждать ее, используя уже имеющееся у него ограждение. Чтобы посадить в нем все, что он хочет, он решил, что это будет 18 квадратных футов. У него 24 фута забора

      1 ответ



    • Какую трехмерную форму будет образовывать каждый из представленных ниже рисунков? Напишите название каждой формы как можно точнее рядом с каждой сеткой.

      1 ответ



    • 1. Коробка с хлопьями имеет высоту 12 дюймов, ширину 4 дюйма и длину 8 дюймов; какой объем? Какая площадь поверхности коробки? Объясните / покажите свою работу. (Вы можете сделать набросок.

      1 ответ



    • 2. Эту сетку можно сложить в коробку. Какая площадь поверхности коробки? Какой объем? Объясните / покажите свою работу. 7 см 13 см 7 утра 5 см 5

      1 ответ


    • Для № 9 используйте диаграмму ниже и свои знания об угловых отношениях и Постулат параллельности, чтобы найти каждый из недостающих углов, помеченных синими числами.9.) 55 ° (параллель S14 1974 1253 г.

      1 ответ

    • Если AC и BD — диагонали прямоугольника ABCD и треугольника EAB равносторонний, каково значение угла ADE?
      9: 274 o free-test-online.com Бесплатный тест онлайн 45 ° Вопрос 2: Если AC и BD — диагонали прямоугольника ABCD, а треугольник EAB равносторонний, каково значение угла ADE? A E X B 40 ° 030 ° 25 °

      1 ответ



    • Энди хочет сделать небольшую клумбу и ограждать ее, используя уже имеющееся у него ограждение.Чтобы посадить в нем все, что он хочет, он решил, что это будет 18 квадратных футов. У него 24 фута забора

      1 ответ



    • 28 ИЮЛЯ. Нарисуйте линию, представляющую «подъем», и линию, представляющую «бег» этой линии. Укажите наклон линии в простейшей форме. Щелкните дважды, чтобы построить каждый сегмент. Щелкните сегмент, чтобы удалить его.

      1 ответ


    • Если бейсбольный мяч имеет диаметр 7,5 см, а мяч для софтбола — 9.8 сантиметров, какая разница между объемами двух шаров? Используйте 3,14 для. ни один из этих 271,78 см3

      1 ответ


    • Найдите объем пирамиды. 624 м3 O 69 1/3 м3 O 12 1/3 м3 1872 м3 12 м 12 м 13 м / 1 точек) ДЕТАЛИ GGEOM1 13.TB.036. M Если сфера имеет диаметр 14 дюймов, каков ее объем? Используйте 3,14 для 1

      1 ответ


    • Найдите объем твердого тела с точностью до десятых.124,2 фут3 109,373 117,0 f3 121,1 фут SA 5 [- / 1 балл) ДЕТАЛИ GGEOM1 13.TB.043. Найдите объем цилиндра. Используйте 3,14 для r и округлите до ближайшего

      1 ответ

    • ВОПРОС: КАКАЯ ДЛИНА СЕГМЕНТА BD? ПОЖАЛУЙСТА, ОБЪЯСНИТЕ ВНИМАТЕЛЬНО, Я НЕ МОГУ В ЭТОМ УЧИТЬСЯ!

      1 ответ


    • Найдите объем призмы. 72 м3 96 м3 93 м 84 м3 ом 13 м 4 м 8 м 0. [- / 1 Баллы] ДЕТАЛИ GGEOM1 1.PT.012. Найдите расстояние между парой точек ниже.(1, 4), (-2, 4)

      1 ответ



    • F2 3 4 5 6 7 00 9 На рисунке ниже m2 1 = 4x и m2 = (x — 5). Найдите угловые меры. Х $ m21 = m22 = 0? 2

      1 ответ



    • Напишите два выражения для периметра фигуры. 9 3x 5 6 9x Примечание: фигура не в масштабе. (а) Используйте все пять длин сторон. периметр = [] + [] + + + (b) Упростите выражение из par

      1 ответ

    • Нужна помощь! Спасибо!
      б) Найдите расстояние d между двумя противоположными сторонами правильного шестиугольника через x, длину стороны 24.6 Х d fo

      1 ответ


    • c) Правая правильная шестиугольная пирамида внизу имеет длину стороны 6 см в основании и высоту 8 см. Найти: (i) высоту пирамиды в поперечном направлении; (ii) площадь поверхности пирамиды; и (iii) th

      1 ответ


    • 4) a) Пандус спроектирован, как показано ниже. Поверхности должны быть фанерными. На верхние поверхности должно быть нанесено нескользящее покрытие. (i) Какая область будет покрыта покрытием? (ii) Сколько plyw

      1 ответ



    • Прямоугольный треугольник удален из прямоугольника, чтобы создать заштрихованную область, показанную ниже.Найдите область заштрихованной области. Обязательно укажите в ответ правильную единицу. При необходимости обратитесь к

      1 ответ

    • случайно опубликовал неправильный вопрос
      Fond ch 3.) (6) Площадь фонда 246² = 2 — 101 V 102-406,44 $ 21,2² = (ras² 200) A Tr2 25 + 1,44 = ²lor125 26,44 = ir yol-2644 A = (0,142 см o = r²tlor 1,44 A = 0,063 см б) Альтернативный подход к поиску

      1 ответ



    • Диаметр круга 10 м.Ответьте на части ниже. Убедитесь, что вы используете правильные единицы в своих ответах. При необходимости обратитесь к списку геометрических формул. 10 м (a) Найдите точную площадь a

      1 ответ



    • Размещение без защиты Оставшееся время: 1:42:13 1 Вопрос 22 Найдите длину стороны следующего прямоугольного треугольника x. Округлите ответ до ближайшей сотой. 16 8 0?

      1 ответ

    • ВОПРОС: КАКАЯ ДЛИНА СЕГМЕНТА BD?
      с.D E A 36 AACE и ABCD равносторонние.Перометр DACE равен пенометру четырехугольника AB DE.

      1 ответ



    • ГЛАВА 7 и 8: 1) Рост Райана 6 футов. В 10 утра его тень достигает 4 футов в длину. Какова высота ближайшего фонаря, отбрасывающего 20-футовую тень? 2) Собака ростом 2 фута отбрасывает тень 5 футов. Какой я рост

      1 ответ


    • A A Aa A E ALT E 1 Аавьссос | АавьссD Аавьс. Аавьссс Аав 1 No Spac.. Заголовок 1 Заголовок 2 x AAA — Найти Sc Заменить Выбрать — 1 Обычный заголовок Диктовать шрифт Стили абзаца Редактировать

      1 ответ

    • Найти область: Найти периметр:
      10 см 27 Область поиска の 道 5 метров на расстоянии 4 дюйма Найти периметр 4 con

      1 ответ

    • Формула A = 1 / 2bh
      Найти область — открыть в Acroba 284. Найти периметр 12,5 футов — 29 футов: — 24 Вт 35 м Найти область (выделенного треугольника) Найти периметр или выделенный треугольник) 017 18 метров.

      1 ответ


    • 5) Отношение CU к UB составляет 7: 3.Найдите значение x. C Х 12 шт.S B 2) Собака ростом 2 фута отбрасывает тень 5 футов. Какова высота ближайшего почтового ящика, отбрасывающего 8-футовую тень? 4) Ты светишься

      1 ответ


    • 8) Найдите длину тени Джорджа, учитывая, что высота источника света 10 футов, расстояние между Джорджем и источником света 4 фута, а рост Джорджа 5 футов. 10) Вы светите фонариком на лист бумаги

      1 ответ



    • Какой угол между минутной и часовой стрелкой аналоговых часов равен 12:15 p.м.? Подсказка: почему меньше 90 °? Сколько минут проходит после 12 часов дня до угла между минутой и часом

      1 ответ

    • Чему равен отрезок BD ??? ПОЖАЛУЙСТА, ОБЪЯСНИ некоторые варианты ответов: 17, 21, 24 и т. д.
      с. D E A 36 AACE и ABCD равносторонние.Перометр DACE равен пенометру четырехугольника AB DE.

      1 ответ


    • 24) В параллелограмме ABCD B = (-4, 6) и D = (4, 10). Найдите координату пересечения диагоналей.От -60 до 26) Если дан ромб RHOM с H (7, -3) и M (2, 5), каков наклон RO? 25) Ж

      1 ответ


    • 32) Дан квадрат MATH с M (5, -3) и A (2, 8). Какой наклон АТ? ГЛАВА 11 C (II 35) Найдите площадь фигуры с точностью до десятых. 36) а) Найдите в окружности P длину AB по заданной

      1 ответ



    • 4) Что из следующего НЕ является прямоугольным треугольником? А B V11 V3 ve 10 с D 719 V10 5) Какова длина стороны x? 12 а) 5 б) 34 в) 2 В 11 г) 2761 6 Х 8 6.Требуется ремонт треугольной кровельной системы

      1 ответ


    • 10) Вы светите фонариком на лист бумаги шириной 2,5 дюйма и длиной 7 дюймов. Если он оставляет тень на стене шириной 1,25 фута и длиной 3,5 фута, каково отношение длины бумаги t?

      1 ответ



    • Найдите объем каждой прямоугольной пирамиды. Округлите ответ до ближайших 100 ч. 5) 6) 21 см 16 футов в высоту 11 см 29 см 13 13 футов Объем = Объем = 8 ч 3 см 7) На схеме изображена пирамида с треугольником.

      1 ответ



    • 10) Инженеры НАСА разработали увеличенный внешний топливный бак для космического челнока (показан ниже).Сколько топлива может вместить бак? Покажите свою работу и округлите ответы до ближайших 10 дюймов. 24-15 м 5 м -45 м 2

      1 ответ

    • назовите одну вещь, которую Джонни исправил, и одну вещь для Джонни, что может ли helo hik найти лучшее решение?
      CA-25 Class Activity 120 i Критика в отношении периметра CCSS CCSS SMP3, 3.MD.8 Для части 2 вам понадобится сантиметровая линейка. 1. Метод Джонни для расчета периметра заштрихованной формы i

      1 ответ

    [PDF] Глава 11 Площадь четырехугольника

    1 75 Глава Четырехугольник Плоская фигура, ограниченная четырьмя сторонами, называется четырехугольником. Прямая, соединяющая т …

    275 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    Глава 11 Площадь четырехугольника 11.1

    Четырехугольник Плоская фигура, ограниченная четырьмя сторонами, называется четырехугольником. Прямая линия, соединяющая противоположные углы, называется ее диагональю. Диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Типы четырехугольника Следующие типы четырехугольника: (1) квадрат (2) прямоугольник (3) параллелограмм (4) ромб (5) трапеция (6) циклический четырехугольник 11.2 Площадь четырехугольника 1. Квадрат Квадрат — это плоская фигура с четырьмя сторонами, у которой все стороны равны, противоположные стороны параллельны и диагонали также равны. Угол между соседними сторонами — прямой угол. Пусть ABCD будет квадратом, каждая сторона которого имеет длину, равную «a», а AC — диагональ, которая делит квадрат ABCD на равные прямоугольные треугольники с именами  ABC и  ACD. Следовательно,

    Рис. 11.1 Площадь квадрата ABCD = Площадь ABC + Площадь  ACD

    1 1 1 1 (AB) (BC) + (AD) (DC) = (a) (a) + ( a) (a) 2 2 2 2 1 1 = a2 + a2 = a2 2 2 =

    Площадь квадрата = (Сторона) 2 Длина квадрата =

    Площадь квадрата

    i.е. side = Площадь Периметр квадрата = 4a Пример 1: Квадратный газон площадью 2,5 кв. км должен быть огражден железными перилами. Найдите длину перил и их стоимость из расчета 10,50 рупий за метр.

    276 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    Решение: Учитывая, что Площадь квадратного газона = 2,5 кв. Км = 2,5 x (1000) 2 кв. М A = 2500000 кв. М. Одна сторона газона = 2500000 = периметр 1581 м. квадратного газона = 4 x 1581 = 6324м Стоимость 1 метра = 10,50 рупий Стоимость 6324 метра = 10.50 х 6324 = 66402 рупии Пример 2: Диагональ квадратной тарелки составляет 19 см. Найдите длину тарелки и ее площадь. Решение: пусть ABC — квадратная пластина. Диагональ = AC = 19 см. Пусть a = длина квадратной пластины справа  ABC (AB) 2 + (BC) 2 = (AC) 2  a2 + a2 = (19) 2  2a2 = 361 a2 = 180,5  a = 13,43 см 2. Прямоугольник Прямоугольник — это четырехсторонняя фигура, противоположные стороны которой параллельны и равны по длине, диагонали равны, а углы между соседними сторонами равны прямым углам. Также диагонали прямоугольника делят друг друга пополам. Пусть ABCD — прямоугольник со стороной AB = a и BC = b, а диагональ AC делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. ABC и  ADC. Площадь прямоугольника ABCD = Площадь ABC + Площадь  ADC. =

    1 1 1 1 (AB) (BC) + (DC) (AD) = ab + ab 2 2 2 2

    Площадь прямоугольника ABCD = ab Площадь = длина x ширина

    Примечание: Длина =

    Ширина области

    Ширина =

    Длина области

    Периметр прямоугольника ABCD = AB + BC + CD + AD = 2a + 2b = 2 (a + b) Периметр = 2 (длина + ширина) Пример 3:

    277 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    Площадь прямоугольника 20 кв.см, а длина одной из сторон — 4 см. Найдите ширину и периметр прямоугольника. Решение: Учитывая, что Площадь прямоугольника = 20 кв. См. Одна сторона, т.е. длина = 4 см  Ширина прямоугольника =? Так как площадь = длина x ширина 20 = 4 x ширина Также периметр прямоугольника = 2 (длина + ширина) = 2 (4 + 5) = 18 см. Пример 4: прямоугольное поле длиной 13 м и шириной 10 м имеет цементную дорожку 3,5. м шириной вокруг него. Какова площадь цементной дорожки? Решение: Учитывая, что Ширина цементной дорожки = 3,5 см. Длина и ширина прямоугольного поля составляют 13 м и 10 м соответственно.Следовательно, Площадь поля = (13 x 10) м2 = 130 м2 Длина внешнего прямоугольника = 13 + 3,5 + 3,5 = 20 м и ширина внешнего прямоугольника = 10 + 3,5 + 3,5 = 17 м Площадь внешнего прямоугольника = (20 x 17) м2 = 340м2 Следовательно, Площадь цементной дорожки = Площадь внешнего прямоугольника — Площадь внутреннего прямоугольного поля = 340м2 — 130м2 = 210м2

    3.

    Параллелограмм Рис. 11.5 Параллелограмм — это четырехугольник, противоположные стороны которого равны по длине и параллельны, однако его диагонали неравны и делят друг друга пополам. Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма можно вычислить двумя способами (i) Если заданы основание и высота

    278 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    Пусть ABCD будет параллелограммом, основание которого AB = a, а высота DE = h .  Площадь параллелограмма ABCD = Площадь прямоугольника DEFC = (Длина) (ширина) = (EF) (DE)  EF = CD = (DC) (DE) = (AB) (DE) & CD = AB = ah Площадь параллелограмм = (Основание) (высота) (ii) Если заданы две смежные стороны и прилегающий угол. Пусть ABC — параллелограмм с AB = b, AD = c. Поскольку смежные стороны — это b, c и θ — включающий угол.Нарисуйте DE  r на AB от вершины D. D

    C

    h

    h

     A

    E

    Рис, 11.7

    Таким образом,  AED станет прямоугольным треугольником. Площадь параллелограмма ABCD = (AB) (DE) ——- Справа  AED, Sin θ =

    DE AD

    B

    F

    (1)

     DE = AD Sin θ

    DE = C Sin θ From (1)  Площадь || gm (параллелограмм) ABCD = bc Sin θ Площадь || gm (произведение смежных сторон) Sin θ Пример 5: Найдите площадь параллелограмма с основанием 24 см и высота 13 см соответственно.Решение: Здесь b = 24 см, h = 13 см. Площадь параллелограмма = bxh = 24 x 13 = 312 кв. См. Пример 6: Найдите площадь параллелограмма, две смежные стороны которого составляют 70 см и 80 см, а их угол наклона составляет 60 °. . Решение: Здесь b = 80, c = 70, θ = 60o

    279 Applied Math

    Площадь четырехугольника

    = bc Sin θ = 80 x 70 x Sin60o = 5600 (0,866) = 4849 кв. См 4. Ромб Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны с неравной диагональю, которые делят друг друга пополам. Если вдавить квадрат с двух противоположных углов, образуется ромб.Площадь ромба (a) Если задана сторона a и прилегающий угол θ. Пусть ABCD — ромб, длина каждой стороны — ‘a’, а θ — прилегающий угол.

    Площадь

    Рис. 11.8 Так как диагональ AC делит ромб на два равных треугольника ABC и ACD. Следовательно, Площадь ромба ABCD = 2 (площадь  ABC) = 2 (

    1 a a. Sin θ) = a2 Sin θ 2

    Площадь = (одна сторона) 2 Sin θ Примечание: когда диагональ ромба d1 и d2 даны сторона ‘a’, может быть вычислена как (b)

    a =

    Площадь ромба, когда даны две диагонали. Пусть AC = d1 и BD = d2 — две диагонали.

    Рис. 11.9

    280 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    Так как диагонали ромба делятся на четыре равных треугольника. Следовательно, Площадь ромба = 4 (площадь одного треугольника)

     1 AC BD  x  2  2 2 AC x BD dx d2 A 1 = 2 2 = 4 x

    Площадь ромба =

    1 (произведение двух диагоналей) 2

    Пример 7: Длина каждой стороны ромба составляет 120 см, а два его противоположных угла составляют 60o каждый. Найдите площадь. Решение: Здесь каждая сторона a = угол 120 см, θ = 60o Площадь = a x a x Sin θ = 120 x 120 x Sin60 = 14400 x 0.866 = 12470,4 кв. См. Пример 8: диагонали ромба 56 и 33 см соответственно. Найдите длину стороны и площадь ромба. Решение: Пусть ABCD — ромб с диагональю BD = 56 см = d1 AC = 33 см = d2 Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом треугольника  ABO в прямоугольном треугольнике Где OB =

    BD 56  2 2

    OB = 28 OA =

    AC 33  = 16,5 2 2

    | AB | 2 = | AO | 2 + | BO | 2 = (16,5) 2 + (28) 2 AB = 32,5 см

    d1 xd 2 2 56 х 33 = = 924 кв.см 2

    Площадь ромба =

    Рис. 11.10

    281 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    5.

    Трапеция или трапеция Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основанием. Высота — это перпендикулярное расстояние между этими базами. Пусть ABCD — трапеция, стороны AB и CD которой параллельны, стороны AD и BC — непараллельны. Рис. 11.11 Пусть AB = a, CD = b и DP = h BL = h, так как диагональ BD делит трапецию на два треугольника ABD и BCD.Следовательно, Площадь трапеции = Площадь  ABD + Площадь  BCD

    1 1 AB x DP + x DC x BL 2 2 1 1 = ah + bh 2 2 1 = (a + b) h 2 Сумма параллельных сторон = x height 2 =

    Площадь трапеции

    Пример 9: Найдите площадь трапеции с параллельными сторонами 57 см и 85 см и перпендикулярным расстоянием между ними 4 см. Решение: Здесь a = 85 см b = 57 см h = 4 см Площадь трапеции

    a + b xh 2 85 + 57 x 4 = 142 x 2 = 2 =

    A = 284 кв. См Площадь любого четырехугольника Может быть находится как сумма двух треугольников, образованных соединением одной из диагоналей четырехугольника.ИЛИ Площадь любого четырехугольника можно вычислить, разделив его на два треугольника.

    282 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    Пример 10: Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором стороны AB, BC, CD, DA и диагональ AC равны 25, 60, 52, 39 и 65 см. соответственно. Решение: Площадь  ABC = S (S  a) (S  b) (S  c) Где 2S = a + b + c 2S = 25 + 60 + 65 S = 75 Площадь = 75 (75  25) ( 75  60) (75  65) = 750 кв. см Площадь =  ACD = S (S  a) (S  b) (S  c) Где 2S = a + b + c 2S = 52 + 39 + 65 S = 78 A = 78 (78  52) ( 78  39) (78  65) Рис.11,12 А = 1014 кв. см Площадь четырехугольника ABCD =  ABC +  ACD = 750 + 1014 = 1764 кв. см Площадь циклического четырехугольника Четырехсторонняя фигура, находящаяся в круге, называется циклическим четырехугольником. Его площадь определяется формулой. A = (S  a) (S  b) (S  c) (S  d) Где 2S = a + b + c + d и a, b, c, d — стороны Пример 11: В круглом травянистом участок четырехугольной формы рис. 11.13 так, чтобы его углы касались границы участка, вымощенного кирпичом. Найдите площадь тротуара в квадратных метрах, если стороны четырехугольника равны 36, 77, 75 и 40 метров соответственно.Решение: Так как это вписанный четырехугольник, значит, a = 36, m. b = 77 м, c = 75 м, d = 40 м

     Площадь = (S  a) (S  b) (S  c) (S  d) Где

    283 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    a + b + c + d 36  77  75  40   114 2 2 Площадь = (114  36) (114  77) (114  75) (114  40) S =

    = 78 x 37 x 39 х 74 = 2886 кв. м.

    Упражнение 11 Q1 ..

    Газон имеет форму прямоугольника длиной 60 м и шириной 40 м. За пределами газона есть пешеходная дорожка одинаковой ширины 1 м, выходящая на лужайку. Найдите участок пути.Q2. Дорожка вокруг прямоугольного травяного участка размером 40 х 30 м занимает 600 кв. М, что свидетельствует о ширине дорожки 5 м. Q3. По углам прижимается проволочный прямоугольник, образуя параллелограмм. Включенный угол уменьшен до 60o. Найдите уменьшение площади, если исходный размер прямоугольника составляет 16 x 12 см. Q4. Периметр ромба составляет 146 см, а одна из его диагоналей — 55 см. Найдите другую диагональ и площадь. Q5. Диагонали ромба составляют 80 см и 60 см соответственно. Найдите площадь и длину каждой стороны.Q6. Разница между двумя параллельными сторонами трапеции — 8 см. Расстояние между ними по перпендикуляру составляет 24 метра, а площадь трапеции — 312 квадратных метров. Найдите две параллельные стороны. Q7. Высота треугольника составляет 15 см, а его основание — 40 см. Найдите площадь трапеции, образованную линией, параллельной основанию треугольника и 6 см от вершины. Q8. Бассейн имеет форму равнобедренной трапеции. Длина его параллельных берегов составляет 72 м и 45 м, а расстояние между ними по перпендикуляру — 60 м.Найдите площадь его водной поверхности. Также выясните, что количество плиток, необходимых для выравнивания нижней части каждой плитки, составляет 1,5 x 1,5 м. Q9. В четырехугольнике диагональ составляет 125 см, а два перпендикуляра на нем от двух других углов составляют 19 см и 25 см соответственно, найдите площадь. Q10. Из 14 футов вырезаны два треугольника. квадратный кусок листового металла один имеет основание 2,5 фута. высота 14 футов. а другой имеет основание 5 футов. и высота 7,5 футов. Найдите область листового металла, оставшуюся в детали.

    Ответы 11 Q1.2604 кв.м Q5. 2400 кв. См, 50 см Q8. 3510кв.м, 1560

    3 кв. 26 кв. См Q6. 17 м, 9 м Q9. 2750кв. Куб. М

    4 квартал. 48 см; 1320 кв. См Q7. 252кв. См Q10. 107.75 кв. Футов

    284 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    Резюме

    1. 2. 3.

    4.

    Площадь квадрата со стороной «a» = a2 периметр квадрата = 4a. Длина квадрата = площадь квадрата Площадь прямоугольника длиной a и шириной b равна ab. Периметр прямоугольника = 2 (a + b) (i) Площадь параллелограмма, если указаны основание и высота. Площадь || gm = основание x высота. (Ii) Площадь параллелограмма, когда указаны две смежные стороны и прилегающий угол. Если b и c — смежные стороны, а θ — включенный угол.Тогда Площадь || gm (параллелограмм) = bcsin θ, т.е. Площадь || gm = (произведение смежных сторон) Sin θ Площадь ромба (i) Если сторона a и включенный угол θ Тогда Площадь ромба = a2 sin θ ( ii) Если d1 и d2 — две диагонали ромба, тогда Площадь ромба =

    5.

    d1 xd 2 2

    Площадь трапеции Если a и b — параллельные стороны, а h — перпендикулярное расстояние между этими параллельными сторонами. Тогда

    Сумма параллельных сторон x высота 2 a + b) x h Площадь = (2

    Площадь трапеции =

    6.

    7.

    Площадь любого четырехугольника Площадь любого четырехугольника можно вычислить, разделив его на два треугольника. то есть, если ABCD — любой четырехугольник, Тогда Площадь четырехугольника ABCD = Площадь ABC + Площадь  ACD Площадь циклического четырехугольника A = (S  a) (S  b) (S  c) (S  d) Где S =

    a + b + c + d и, a, b, c, d стороны 2

    285 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    Краткие вопросы Q.1: Q.2: Q.3:

    Определите четырехугольник . Напишите площадь и периметр квадрата со сторонами «а».Если периметр квадрата 40 см. Найдите площадь квадрата.

    Q.4:

    Площадь прямоугольника составляет 20 кв. См, а длина одной из сторон — 4 см. Найдите ширину и периметр прямоугольника.

    Q.5:

    Прямоугольник из проволоки исходного размера 2 на 3 см прижимается к форме параллелограмма. Включенный угол уменьшен до 30o, найдите уменьшение площади.

    Q.6:

    Найдите основание параллелограмма, площадь которого составляет 256 кв. См. и высота 32 см.

    Q.7:

    Определите ромб.

    Q.8:

    Напишите площадь ромба на стороне «a», а также укажите угол «» и две диагонали.

    Q.9:

    Диагонали ромба площадью 40 м и 30 м. Найдите его область.

    Q.10: Периметр ромба составляет 140 см, а один из противоположных углов — 30o, найдите площадь. В.11: Диагонали ромба 6 и 8 см соответственно. Найдите длину стороны ромба. Q.12: Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 20 см и 30 см, а расстояние по перпендикуляру между ними равно 4 см.В.13: Определите круговой четырехугольник и напишите его площадь. В.14: Стороны вписанного четырехугольника равны 75, 55, 140 и 40 м. Найдите его площадь.

    Ответы Q3.

    100 кв.

    4 кв.

    5 см. 18 см.

    Q5.

    Q6.

    8 см

    Q9.

    600 кв. М

    Q10. 612,5 кв. См.

    Q11. 5 см

    Q12. 100 кв. См.

    Q14.

    3 кв. 3714.8 кв.м.

    286 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    Объективное упражнение Q.1 ___1.

    ___2. ___3. ___4. ___5.

    На каждый вопрос есть четыре возможных ответа. Выберите правильный ответ и обведите его. Площадь квадрата со стороной 4 см равна (a) 30 см 2 (b) 16 см 2 (c) 8 см см (d) 20 см. Периметр квадрата со стороной 5 см равен (a) 20 см (b) 10 см (c) 15 см (d) 25 см Каждый угол квадрата равен (a) 30o (b) 60o (c) 90o (d) 180o Площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см равна (a) 13 кв. См (b) 40 кв. См (c) 45 кв. См (d) 30 кв. См Площадь параллелограмма, имеющего грани «a» и b в качестве смежных сторон, а θ — угол наклона: (a)

    ab θ

    (b)

    1 ab sin θ 2 asin θ

    (c) абсин θ (d) ___6.Площадь параллелограмма с основанием 2 см и высотой 5 см составляет (а) 20 кв. См. (в) 30 кв. см. (в) 15 кв. см. (г) 10 кв. см. ___7. Площадь ромба со стороны 20 см и включенным углом 30o составляет (а) 100 см2 (б) 200 см2. (в) 400 кв. см (г) 50 кв. см ___8. Если диагонали ромба равны 6 см и 5 см, то площадь будет (а) 15 кв. См (б) 30 кв. См (в) 10 кв. См (г) 11 кв. см ___9. Если a = 4 см и b = 8 см — параллельные стороны и расстояние между ними h = 5 см, то площадь трапеции будет (а) 12 см. (Б) 40 см. (В) 30 см.см (г) 20 кв. см ___10. Четырехсторонняя фигура, две стороны которой параллельны, а две стороны непараллельны, называется (а) прямоугольником (б) параллелограммом (в) трапецией (г) ромбом ___11. Длина диагонали квадрата со стороной «x» составляет 2x кв. См. (B) 2 2x кв. См (a)

    2x кв. См (c) 4 2x (d) ___12. Площадь ромба 24 кв. См и одной диагонали 6 см. Тогда другая диагональ будет (а) 8см (б) 10см (в) 4см (г) 36см

    287 Прикладная математика

    Площадь четырехугольника

    __.13 Если периметр квадрата равен 40 см, то сторона квадрата равна (a) 4 см (b) 20 см (c) 10 см (d) 5 см Ответы (1)

    b (5) (9) (13)

    (2) ) ccc

    a (6) (10)

    (3) dc

    c (7) (11)

    (4) ba

    b (8) (12)

    aa

    квадрат и его теоремы

    Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

    За электронным обучением будущее уже сегодня.

    Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

    В этом разделе мы обсудим квадрат и его теоремы.
    Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны, а все углы равны 90 0

    Квадрат и его теоремы:

    Теорема 1. Диагонали квадрата равны и перпендикулярны друг другу.
    Дано: ABCD — квадрат. Докажите, что: AC = BD и AC ⊥ BD.
    Утверждения Причины
    1) ABCD — квадрат. 1) Дано
    2) AD = BC 2) Свойства квадрата.
    3) ∠BAD = ∠ABC 3) Каждые 90 0 и по свойствам квад.
    4) AB = BA 4) Рефлексивный (общая сторона)
    5) Δ ADB ≅ ΔBCA 5) Постулат SAS
    6) AC = BD 940 912 6) CPCTC
    7) OB = OD 7) Поскольку квадрат является параллелограммом, диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
    8) AB = AD 8) Свойства квадрата.
    9) AO = AO 9) Рефлексивная (общая сторона)
    10) ΔAOB ≅ ΔAOD 10) Постулат SSS
    11)
    ∠AOB40 = ∠40TC83
    12)
    ∠AOB + ∠AOD = 180
    12) Эти два угла образуют линейную пару, а линейные парные углы являются дополнительными).
    13) 2∠AOB = 180 13) Свойство сложения.
    14) ∠AOB = 90 14) Раздел имущества.
    15) AO ⊥ BD
    ⇒ AC ⊥ BD
    15) Определение перпендикуляра.
    Теорема 2: Если диагонали параллелограмма равны и пересекаются под прямым углом, то параллелограмм является квадратом.
    Дано: ABCD — параллелограмм, в котором AC = BD и AC ⊥ BD. Докажите, что: ABCD — квадрат.
    Заявления Причины
    1) ABCD — параллелограмм 1) Дано
    2) Дано
    2) Дано BD 940 и AC 940 940 12) AC = BD 940 и AC 940 ⊥12
    3) AO = AO 3) Reflexive
    4) ∠AOB = ∠AOD 4) Каждый 90 0
    5) OB = OD 5) Свойства параллелограмма.
    6) ΔAOB ≅ ΔAOD 6) Постулат SAS
    7) AB = AD 7) CPCTC
    8) AB = CD и
    AD = BC
    параллелограмм 8) .
    9) AB = BC = CD = AD 9) Сверху
    10) AB = AB 10) Рефлексивная (общая сторона)
    11) AD = BC 11) Свойства параллелограмма.
    12) AC = BD 12) Дано
    13) ΔABD ≅ Δ BAC 13) Постулат SSS
    14) ∠DAB = ∠CBA 940 940 14) CPCTC 15) ∠DAB + ∠CBA = 180 15) Внутренние углы на одной стороне с поперечиной.
    16) 2∠DAB = 180 16) Свойство сложения
    17) ∠DAB = ∠CBA = 90 17) Свойство деления

    32 32 это квадрат, нарисованный для вас. Ответьте на следующие вопросы на основе квадрата и его теорем ( м —> мера ).

    а. (i) m∠A = ——- (ii) m∠B = ——— (iii) m∠C = ——- b. (i) сегмент (AB) = ——- (ii) сегмент (BC) = ——— (iii) сегмент (CD) = ——- C. (i) сегмент (AC) = ——- (ii) сегмент (BD) = ——— (iii) сегмент (BO) = ——- d. (i) сегмент (AO) = ——- (ii) сегмент (CO) = ——— e. (i) m∠DOA = —— (ii) m∠AOB = —— (iii) m∠BOC = —— f. (i) Является ли AB || CD (ii) — это BC || AD
    Четырехугольник

    • Введение в четырехугольник
    • Типы четырехугольника
    • Свойства четырехугольника
    • Параллелограмм и его теоремы
    • Прямоугольник и его теоремы
    • Квадрат и его теоремы
    • Ромб и его теоремы
    • Трапеция (трапеция) и его теоремы
    • Воздушный змей и его теоремы
    • Теорема о средней точке

    Домашняя страница

    Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

    Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

    Урок 3 Площадь трапеций 589

    01 октября 2015 г. · 1 октября 2015 г. Урок 2.2.3 Что такое площадь? Области параллелограммов и трапеций Цель: использовать прямоугольники и треугольники для разработки алгоритмов поиска областей новых форм, включая параллелограммы и трапеции. Описание компонента для этого урока. Открытие урока (10 минут) Введение нового материала (5 минут). Цель: Чтобы рассчитать площадь трапеции, я рассмотрю правильную формулу для расчета площади трапеции с использованием медианы или постулата сложения площади.Я определю все переменные …

    Trainz simulator 2020 скачать

    Урок 6-6 Трапеции и воздушные змеи. Словарь трапециевидных оснований ножки трапециевидного основания углы равнобедренной трапеции срединный сегмент трапеции Раздел 4.3 Области трапеций 169 ПРИМЕР 2 Определение площади трапеции. Документы. 6-6 Трапеции и воздушные змеи — проверьте свои 6-6 + · 6-6 … 8 января 2013 г. · Урок 8.2 • Области треугольников, трапеций и воздушных змеев Название Период Дата В упражнениях 1–4 найдите неизвестные меры .1. Площадь! 64 ft2, h _____. 2. 3. Площадь! 126 дюймов2 4. AB 6 см, AC 8 см и BC 10 см. б! _____. Найдите AD. 5. Найдите область заштрихованной области. 6. TP! Касается окружностей M и N.! 16 см. Радиус

    геологической разведки в штате Мэн месяца

    Урок 3.11 — Применение объема (День 2) CC Geometry Do Now Чашка для воды в форма конуса имеет высоту 4 дюйма и максимальный диаметр 3 дюйма.Каков объем воды в чашке с точностью до десятых долей кубического дюйма, когда чашка наполнена на половину своей высоты? 1. В евклидовой геометрии выпуклый четырехугольник по крайней мере с одной парой параллельных сторон называется трапецией (/ trəˈpiːziəm /) на английском языке за пределами Северной Америки, но как трапеция …

    Пример использования Uti

    Область поиска трапеций. 100. Какое уравнение для определения площади треугольников? A = 1/2 x основание x высота.100.Закрыть всплывающее окно. > Математика. > Урок 9.3 перед алгеброй Цель B: Площадь треугольников и трапеций. PA Урок 10-2: Площадь трапеций.

    Момент затяжки болта вторичной муфты Polaris ranger

    Площадь трапеции A = 1_ 2 (b 1 + b 2) h … Найдите площадь рисунка. 3 2 5 9 37 8 20 35 20 88 39 Урок 10.7 ОБЩИЙ СТАНДАРТ ОСНОВАНИЯ — 6. Трапеции GA1, воздушные змеи, ромбы (1 1 2), круги, сектора (11. 3), правильные многоугольники и составные фигуры (11.4) G. .GPE.7 Используйте координаты для вычисления периметров многоугольников и площадей треугольников и прямоугольников, например, с помощью формулы расстояния. Найдите площадь каждого треугольника. 31. 21 мм 510 23 мм h bh OREAL-WorId Пример 3 Check Point

    Декабрь 2020 праздники

    Формулы площади для параллелограмма, воздушного змея и трапеции основаны на площади прямоугольник. На следующих рисунках показано, как каждый из этих трех четырехугольников соотносится с прямоугольником, а в следующем списке представлены подробные сведения: Параллелограмм: на приведенном выше рисунке, если вы срежете маленький треугольник слева […] Трапеция (AmE) Трапеция (BrE) Четырехугольник типа трапеции Ребра и.Определение трапеции Площадь трапеции Медиана трапеции С интерактивной анимацией. Трапеция (Северная Америка) на elsy.at: Анимированный курс (конструкция, окружность, площадь).

    Фильтр Dataweave 2.0

    баз. Площадь трапеции — это произведение половины высоты и суммы длин оснований. Площадь трапеции. Если трапеция имеет площадь A квадратных единиц, основание b 1 и b 2 единиц и высоту h единиц, то A = ˜1 2 h (b 1 + b 2) Пример Найдите площадь трапеция.A = ˜1 Площадь трапеции h 2 (b 1 + b 2) = ˜1 h (15) (18 2 Отображение всех рабочих листов, относящихся к — Площадь трапеций и треугольников. И четырехугольников, Площадь треугольников, параллелограммов трапеций, Площадь треугольников параллелограммы и трапеции, трапеции, площадь квадратов, прямоугольников и параллелограммов, составные фигуры блока 4 и площадь трапеций.

    Fortigate show vlan command

    3 урока действий Оценка Задачи Количество разговоров … площадь, площадь поверхности, и объем…. трапеции, треугольники, полукруги и четверти окружности.

    3 км 4 км 8 км 14 км 10) 8,3 ярда 12) 6 ярдов 3,5 ярда 3 ярда 12 ярдов 351, gc 69, 13 59 4 ярда z 0118 ярдов 7 ярдов 11) 5 км 9 км Найти Площадь и площадь поверхности каждой фигуры. При необходимости округлите ответы до ближайшей десятой. 14) Призма высотой 2 м. Основание представляет собой трапецию. 13) Шестиугольная призма высотой 6 футов с регулярным основанием

    Программа ускоренного ухода на Лонг-Бич в Калифорнийском государственном университете

    Это обучающее видео по математике для 6-го класса, посвященное поиску площади трапеций.

    Урок 3.3: Умножение на числа меньше 1; Урок 3.4: Умножение на числа больше 1; Урок 3.5: Решайте задачи с помощью догадок и тестирования; Урок 3.6: Деление на числа меньше 1; Урок 3.7: Деление на числа больше 1; Урок 3.8: Использование порядка операций с десятичными знаками; Урок 3.9: Выражение дробей в виде десятичных дробей

    Угол нижней планки с четырьмя звеньями

    Блокировка дифференциала Tuff torq k62

    Планы на фанеру

    Причина падения захвата пакетов Palo alto

    Нагреватель Buddy

    Маркетинговые стажировки лето 2021 г. c прокладки головки

    Принесите учителя математики домой с бесплатным пакетом Math6.орг. Математика еще никогда не была такой простой. Практикуйте свои вычислительные навыки, и вы станете самым умным ребенком в классе.

    Наш план урока «Область треугольников и многое другое» позволяет учащимся определять и использовать формулы для вычисления площади треугольников, трапеций и параллелограммов, таких как ромб и другие четырехугольники. В этом уроке также кратко рассматривается применение коммутативного свойства умножения в этих формулах.

    Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, я разложил трапецию на два равных треугольника и прямоугольник.Я нашел основание треугольников на ½ (15 — 9) = 3. Площадь одного прямоугольного треугольника равна ½ x основание x высота, ½ x 3 x 8 = 12 квадратных единиц. Площадь прямоугольника равна основанию x высоте, 9 x 8 = 72 квадратных единицы.

    Площадь трапеции — это в основном средняя ширина, умноженная на высоту, или в виде формулы. Когда вы перетаскиваете любую вершину, вы увидите, что трапеция перерисовывается, сохраняя при этом высоту и основания постоянными. Обратите внимание, как область в отображаемой формуле не меняется.

    Урок 3.11 — Применение объема (День 2) CC Геометрия. Сделайте сейчас. Чашка для воды в форме конуса имеет высоту 4 дюйма и максимальный диаметр 3 дюйма. Каков объем воды в чашке с точностью до десятых долей кубического дюйма, когда чашка наполнена на половину своей высоты? 1.

    Плагины Aio launcher

    Практика ритма чтения с листа

    Ford f150 потерял электроэнергию во время вождения

    091 Sig p226 terrier 9429 0 elite review продажа в па

    Если поле скрыто для пользователя, правило проверки по-прежнему применяется к пользователю

    Приложение для определения сотового телефона для iphone

    Вал противовеса Celestron avx

    Неизвестный элемент является неметаллом и имеет конфигурацию валентных электронов ns2np4

    См мелодии дрэг-рейсинга

    Зарегистрируйте автомобиль онлайн Мичиган

    Код CPT 15274

    Емкость аккумулятора Nexus 5

    Новости канала 5 Чикаго в прямом эфире

    2014 chrysler town and country, цилиндр 5 осечка

    1971 chevelle black


    2

    9445

    Ноты flower duet lemke

    Ptw аббревиатура Engineering

    Super mario 63 скачать chromebook

    b19442