Вписанная в равнобедренную трапецию окружность

Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.

То есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.

Таким образом, если  трапеция ABCD — равнобедренная, AD ∥ BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:

   

2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.

Если MN —

средняя линия

трапеции ABCD,

AD ∥ BC, то

   

3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

По свойству равнобедренной трапеции,

   

Если AD=a, BC=b,

   

   

Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

   

   

   

   

   

   

4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство

   

5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.

 

AK=AP=DP=DN,

BK=BF=CF=CN.

 

6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Таким образом, в трапеции ABCD, AD ∥ BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,

   

Значит, треугольник COD — прямоугольный,

   

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, ON — высота, проведённая к гипотенузе,

   

Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

виды трапеций

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

равнобедренная трапеция

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

прямоугольная трапеция

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется

средней линией трапеции.

средняя линия

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

свойство средней линии трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

биссектриса в трапеции

3. Треугольники AOD

и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – k=\frac{AD}{BC}.

Отношение площадей этих треугольников есть k^2.

57

4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

свойства трапеции, равновеликие треугольники

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

окружность, вписанная в трапецию

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

qk

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

е

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

трапеция с углами при основании в сумме 90

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

свойства равнобедренной трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

трапеция вписана в окружность

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

диагонали трапеции перпендикулярны

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r  и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b,  то r=\sqrt{ab}.

4

 

Площадь

 

S=\frac{a+b}{2}\cdot h или S=lh, где  l – средняя линия

площадь трапеции

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Трапеция вписана в окружность

Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.

Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

   

 

 

 

 

 

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.

 

 

 

 

 

 

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

 

 

 

Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

   

Из треугольника ABC

   

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

   

   

 

Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

   

   

 

 

 

 

 

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

   

 

 

 

 

 

Кстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

   

   

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

   

Отсюда

   

Запоминаем и применяем свойства трапеции

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2.
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции:
    k = АЕ/КМ.

    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k2.
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении  меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b).

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам:
    m = (a + b)/2
    .
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 1800: α + β = 1800  и γ + δ = 1800.
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90
    0
    , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2.
  3. Если через стороны  угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180
    0
    – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2.
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2
    . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим  на два: (a – b)/2.

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ.
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*SАМЕ.

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2.
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab.
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Трапеция 3

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 1800 — МЕТ = 1800 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной:

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 1500 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 1800. Поэтому КАН = 300 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 300. Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: SАКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см2.

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В равнобедренную трапецию вписана окружность

Рассмотрим частный случай вписанной в трапецию окружности.

Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, существует несколько направлений, по которым можно повести решение задачи.

1. В равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит боковую сторону на отрезки m и n. Найти площадь трапеции.

Решение:

 1)∠ADC+∠BCD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей CD).

2) Так как центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис трапеции, то

∠OCD+∠ODC=90º.

3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике OCD ∠COD=90º.

4) OF перпендикулярен CD (как радиус, проведенный в точку касания), следовательно, в треугольнике OCD OF — высота, проведенная к гипотенузе. По свойству прямоугольного треугольника,

   

Так как высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то

   

5) Формула для нахождения площади трапеции

   

Так как в трапецию вписана окружность, суммы ее противолежащих сторон равны:

   

Таким образом, площадь трапеции равна

   

2. В равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит боковую сторону на отрезки m и n.Найти периметр трапеции.

Решение:

 

  CD=CF+FD=m+n.

AB=CD (по условию).

AD+BC=AB+CD (так как в трапецию вписана окружность).

P=AD+BC+AB+CD=4(m+n).

 

3.В равнобедренную трапецию вписана окружность. Найти высоту трапеции, если известны ее основания: AD=a, BC=b.

Решение:

 Проведем высоты трапеции BP и CE. Четырехугольник BCEP- прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, PE=BC=b.

Прямоугольные треугольники треугольники ABP и DCE равны по катету и гипотенузе. Отсюда,

   

Поскольку в трапецию вписана окружность, AB+CD=AD+BC=a+b,

   

Из треугольника ABPпо теореме Пифагора

   

   

   

Таким образом,

   

Вывод:

Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, высота трапеции есть среднее пропорциональное между ее основаниями.

 

 

Радиус вписанной окружности в трапецию

Трапеция является несколько нестандартной фигурой среди четырехугольников. Она не является правильным многоугольником, однако обладает рядом отличительных свойств, среди которых – возможность вписать в равнобокую трапецию окружность. Это обусловлено тем, что для четырехугольников действует правило, согласно которому в него можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Не каждая трапеция соблюдает это правило, но если в нее все-таки вписана окружность, значит, сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Поскольку радиусы окружности, опущенные на основания трапеции, находятся по отношению к ним под прямым углом, следовательно, они совпадают с высотой трапеции, из чего можно вывести формулу радиуса окружности вписанной в трапецию через высоту:

Так как окружность можно вписать только в трапецию, у которой суммы противоположных сторон равны, то путем нехитрых преобразований через формулы квадрата разности и квадрата суммы можно получить, что высота трапеции равна среднему геометрическому ее оснований a и b.

Следовательно, не зная высоты, можно вычислить радиус окружности, вписанной в трапецию, через основания:


Существует и другой способ найти радиус вписанной в трапецию окружности. Для этого необходимо провести биссектрисы двух углов у боковой стороны. Точка их пересечения должна совпасть с центром вписанной окружности, а также образовать прямой угол. Соответственно, радиус в таком треугольнике станет высотой, которая, исходя из его свойств, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу, то есть боковую сторону трапеции.

Вписанная в трапецию окружность | Треугольники

Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.

1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.

 

2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

O — точка пересечения

биссектрис трапеции ABCD.

3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,

   

   

и точка O лежит на средней линии трапеции.

4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:

AK=AP,

BK=BF,

CF=CN,

DN=DP (как отрезки касательных, проведённых из одной точки).

5.

   

   

   

   

(как радиусы, проведенные в точку касания).

6. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции, радиус — половине высоты:

   

   

Урок
Равнобедренная трапеция может быть вписана в круг

Равнобедренная трапеция может быть вписана в круг


Задача 1

Если трапеция равнобедренная, ее можно вписать в круг. Доказать.

Доказательство


Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AB и CD и
боковые стороны AD и BC ( Рисунок 1a ).

Нам нужно доказать, что существует круг, который проходит через все вершины
трапеции A , B , C и D .

Давайте нарисуем диагонали трапеции AC и BD ( Рисунок 1b ) и
рассмотрим треугольники ABC и ABD .

Эти треугольники имеют общую сторону AB и конгруэнтные стороны BC и
нашей эры (последний, потому что трапеция ABCD равнобедренная).



Рисунок 1a . К Задача 1


Рисунок 1b . К решению
из Задача 1

Углы L BAD и L ABC , заключенные между этими конгруэнтными сторонами, являются конгруэнтными в качестве базовых углов равнобедренной трапеции (см. Урок
Трапеции и их базовые углы по теме Полигоны (раздел Геометрия на этом сайте).

Следовательно, треугольники ABC и ABD являются конгруэнтными в соответствии с тестом SAS на конгруэнтность треугольников.

Это означает, что углы L ACB и L ADB являются конгруэнтными в качестве соответствующих углов конгруэнтных треугольников.

Таким образом, углы L ACB и L ADB являются конгруэнтными и опираются на один и тот же сегмент AB .Следовательно, эти углы вписаны в круг в соответствии с уроком
Обратная теорема о вписанных углах по теме Круги и их свойства из раздела Геометрия на этом сайте.

Доказательство завершено.

Обратное утверждение доказано в уроке Две параллельные секущие к кругу, отрезанные конгруэнтными дугами по теме Круги и их свойства раздела Геометрия на этом сайте: если трапеция вписана в круг, то трапеция равнобедренная.

Комбинируя прямое и обратное утверждения, вы можете заключить, что трапеция может быть вписана в круг, если и только если трапеция равнобедренная .

Мои другие уроки в кругах на этом сайте, в логическом порядке, являются
— Круг, его аккорды, касательные и секущие линии — основные определения,
— Чем длиннее аккорд, тем больше его центральный угол,
— хорды круга и радиусы, перпендикулярные хордам,
— Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания,
— вписанный угол по кругу,
— две параллельные секущие к окружности, отрезанные от конгруэнтных дуг,
— угол между двумя хордами, пересекающимися внутри круга,
— Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга,
— Угол между хордой и касательной к окружности,
— Касательные сегменты к окружности из точки вне круга,
— обратная теорема о вписанных углах,
— Части аккордов, которые пересекаются внутри круга,
— Метрические отношения для секущих, пересекающихся вне круга и
— Метрические отношения для касательных и секущих линий, выпущенных из точки вне круга
по теме Круги и их свойства из раздела Геометрия , и
— КАК разделить дугу по кругу с помощью компаса и линейки,
— КАК найти центр круга, заданного двумя аккордами,
— Решены задачи по радиусу и касательной к окружности,
— Решены проблемы на вписанных углах,
— Свойство углов четырехугольника, вписанного в круг,
— КАК построить касательную к кругу в заданной точке на окружности,
— КАК построить касательную к кругу через заданную точку вне круга,
— КАК построить общую внешнюю касательную к двум окружностям,
— КАК построить общую внутреннюю касательную к двум окружностям,
— Решены проблемы с аккордами, которые пересекаются внутри круга,
— Решены проблемы на секущих, которые пересекаются вне круга,
— Решены проблемы касательных и секущих линий, выпущенных из точки вне круга
— радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник
— Решены проблемы касательных линий, выпущенных из точки вне круга
по текущей теме.

Обзор уроков по свойствам окружностей находится в этом файле СВОЙСТВА КРУГОВ, ИХ ПУЧКОВ, СЕКАНТОВ И ТАНГЕНТОВ.
Вы можете использовать файл обзора или список ссылок выше для навигации по этим урокам.

Для навигации по всем темам / урокам онлайн-учебника по геометрии используйте этот файл / ссылку GEOMETRY — YOUR ONLINE TEXTBOOK.

круг, вписанный в трапециевидные задачи

Категория : Плоская геометрия

«Опубликовано в Ньюарке, штат Калифорния, США»

. Найдите точную площадь данной трапеции на рисунке:

.
Фото по математическим принципам в повседневной жизни

Решение :

Рассмотрим приведенную выше цифру

Фото по математическим принципам в повседневной жизни

Поскольку данный рисунок является равнобедренной трапецией, то из этого следует, что ∠A ≅ ∠B, ∠C ≅ ∠D и AD ≅ BC.Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то ее радиус касается сторон равнобедренной трапеции. Давайте проанализируем и обозначим данную цифру следующим образом:

Фото по математическим принципам в повседневной жизни

Сегмент EG, проходящий через центр круга, делит пополам два основания равнобедренной трапеции. Сегмент OB делит пополам ∠B и отрезок OC делит пополам ∠C.

Рассмотрим RT.∆OGB и к.т. ΔOFG. Если OG ≅ OF и OB ≅ OB, то BG ≅ BF. В этом случае BF = 9.

Рассмотрим к.т. ΔOEC и к.т. ΔOFC. Если OE ≅ OF и OC ≅ OC, то отсюда следует, что EC ≅ CF. В этом случае CF = 4.

Следовательно, длина CB = CF + FB = 9 + 4 = 13.

Фото по математическим принципам в повседневной жизни

Значение х

По теореме Пифагора высота равнобедренной трапеции равна





Следовательно, площадь равнобедренной трапеции составляет






,
равнобедренных трапеций, углов, сторон, диагоналей и других свойств. Объяснил с картинками и практическими задачами
  • базовые углы
  • Диагонали

Отличительной чертой этого особого типа трапеции является то, что две непараллельные стороны (XW и YZ ниже) являются конгруэнтными.

Углы основания

Углы основания равнобедренной трапеции совпадают.

Задача 1

Если вы знаете, что угол BAD равен 44 °, какова мера $$ \ angle ADC $$?

Покажи ответ

Угол $$ \ angle ADC = 44 ° $$, поскольку базовые углы совпадают

Задача 2

$$ \ angle ABC = 130 $$, какой другой угол составляет 130 градусов?

Покажи ответ

Одиночный $$ \ angle ADC = 4 ° $$, поскольку базовые углы совпадают

Задача 3

Какое значение j в равнобедренной трапеции ниже?

Покажи ответ

J = 5

  • базовые углы
  • Диагонали

диагоналей равнобедренной трапеции

Задача 3

Диагонали равнобедренной трапеции являются конгруэнтными.Какое значение х ниже? (используйте свои знания о диагонали!)

Покажи ответ

X = 9

вернуться к четырехугольникам рядом с пареллограммами

Реклама


,

3 комментария

  1. GabrielSauck 10.03.2021 at 07:16 - Reply

    Упаковка » Упаковка для цветов » Переноски » Трапеции Бесплатная доставка [url=https://товаромания.рф/index.php?cat=122122]Трапеции[/url] Оптом и в розницу в гипермаркете Товаромания.РФ

  2. RichardHob 13.03.2021 at 23:45 - Reply

    Я покупал тут Упаковка » Упаковка для цветов » Переноски » Трапеции товаромания.рф/index.php?cat=122122 доставили бесплатно

  3. DanielGah 06.04.2021 at 08:27 - Reply

    [url=https://товаромания.рф/index.php?cat=122122]Трапеции[/url]

Leave A Comment