В треугольнике угол равен x abc c 90o 7 sin 25 a найдите cos a: в треугольнике abc угол c равен 90 cosa 7/25 найдите cos b

Сторона длины «8» противоположна углу C , значит, это сторона c . Две другие стороны равны а и б .

Теперь подставим то, что мы знаем, в Закон косинусов :

Начните с:c ² = a ² + b ² − 2ab cos(C)

и введите a, b c:8 ² = 9 ² + 5 ² − 2 × 9 × 5 × cos(C)

Вычислим:64 = 81 + 25 ^{− 90 × cos(C)}

. алгебраические навыки перестановки и решения:

Вычесть 25 с обеих сторон: 39 = 81 ^{− 90 × cos(C)}

Вычесть 81 из обеих сторон: −42 = ^{−90 × cos(C)}

Поменять стороны местами: −90 × cos(C) = −42

Разделить обе части на −90:cos(C) = 42 /90

Арккосинус: C = cos ⁻¹ (42/90)

Калькулятор: C = 62,2° (до 1 знака после запятой)

В других формах

We just90 видел, как найти угол, когда мы знаем три стороны.

cos(C) = а ² + б ² − в ² 2аб

cos(А) = б ² + в ² − а ² 2бк

cos(B) = в ² + а

Пример: Найдите угол «C» с помощью закона косинусов (угловой вариант)

В этом треугольнике мы знаем три стороны:

• а = 8,
• б = 6 и
• с = 7,

Используйте закон косинусов (версия угла), чтобы найти угол 6 ² − 7 ² )/2×8×6

 = (64 + 36 − 49)/96

 = 51/96

 = 0,53125

c = cos ⁻¹ (0,53125)

= 57,9 ° до одного десятичного зале

Версии для A, B и C

Также мы можем повторно переворачивать C ² = ²

2

2

. + b ² − 2ab cos(C) формулу в форме ² = и b ² =.

Вот все три:

A ² = B ² + C ² — 2BC COS (A)

B ² = A ² + C ² — 2AC COS COS (B B. )

c ² = a ² + b ² − 2ab cos(C)

Но легче запомнить форму « c ² =» и менять буквы по мере необходимости!

Как в этом примере:

Пример: Найдите расстояние «z»

Буквы разные! Но это не имеет значения. Мы можем легко заменить x на a, y на b и z на c

Начните с: c ² = a ² + b ² − 2ab cos(C)

x для a, y для b и z для cz ² = x ² + y ² − 2xy cos(Z)

Подставим известные нам значения: z ² = 9,4 4 ^{+ 6,5 2 − 2×9,4×6,5×cos(131º)}

Вычислить:z ² = 88,36 + 42,25 − 122,2 × (−0,656. ..)

0,1 z 1

 z ²  = 210,78…

 z = √210,78… = 14,5 с точностью до 1 знака после запятой.

Ответ: z = 14,5

Вы заметили, что cos(131º) является отрицательным, и это меняет последний знак в вычислении на + (плюс)? Косинус тупого угла всегда отрицателен (см. Единичный круг).

Наклонные треугольники

Косоугольный треугольник — это любой треугольник, не являющийся прямоугольным. Это может быть остроугольный треугольник (все три угла треугольника меньше прямых) или тупоугольный треугольник (один из трех углов больше прямого). На самом деле, для целей тригонометрии класс «косоугольных треугольников» может с тем же успехом включать и прямоугольные треугольники. Тогда изучение косоугольных треугольников на самом деле является изучением всех треугольников.

Примем соглашение о обозначении частей косоугольных треугольников, обобщающее правило для прямоугольных треугольников. Пусть углы обозначены A, B, и C, , а противоположные стороны обозначены a, b, и c, соответственно.

Решение косоугольных треугольников

Закон косинусов

Это похоже на теорему Пифагора, за исключением последнего члена, и если C оказывается прямым углом, этот последний член исчезает (поскольку косинус 90° равен 0), так что закон косинусов на самом деле является обобщением Теорема Пифагора.

Обратите внимание, что каждый треугольник дает три уравнения закона косинусов, так как вы можете переставлять буквы по своему усмотрению.

Закон косинусов связывает три стороны треугольника с одним из углов. Вы можете использовать его несколькими способами.

Во-первых, если известен один угол и две смежные стороны, то можно определить и противоположную сторону. Например, если угол

Во-вторых, если вы знаете все три стороны треугольника, то можете использовать их для нахождения любого угла. Например, если три стороны равны a  = 5, b  = 6 и c  = 7, то по закону косинусов 49= 25 + 36 – 60 cos C, so cos C = 12/60 = 0,2, а с помощью калькулятора C = 1,3734 радиана = 78,69°.

Примечание: Если треугольник тупоугольный, то cos C отрицателен. Предположим, что три стороны равны a = 5, b = 6 и c = 10. Тогда закон косинусов гласит: /60 = — 0,81667. Как видно из графиков на предыдущей странице, косинус тупого угла отрицателен. Это нормально, и ваш калькулятор правильно вычислит арккосинус. Вы получите C = 2,2556 радиан = 129,237°.

Закон синусов

Обратите внимание, что закон синусов гласит, что три отношения равны. Как и закон косинусов, вы можете использовать закон синусов двумя способами.

Во-первых, если известны два угла и сторона, противолежащая одному из них, то можно определить сторону, противолежащую другому из них. Например, если угол A  = 30°, угол B  = 45°, а сторона a  = 16, то по закону синусов (sin 30°)/16 = (sin 45°)/ b. Решение для b дает b  = 16(sin 45°)/(sin 30°) = 22,6274.

Во-вторых, если вы знаете две стороны и угол, противолежащий одной из них, то вы можете почти определить угол, противолежащий другой из них. Например, если сторона a  = 25, сторона b  = 15, а угол A  = 40°, то по закону синусов (sin 40°)/25 = (sin 

Предупреждение: у вас может быть неправильный ответ. Есть два угла между 0 и 180 ° с данным синусоидальным; второй является дополнением первого. Таким образом, в данном случае вторым является тупой угол 180 – 22,686 = 157,314°. Эта ситуация неопределенная. Зная две стороны и угол, противолежащий одной из них, не всегда достаточно для определения треугольника. В геометрии не существует детерминистской теоремы о конгруэнтности «бок-бок-угол».

Проблемы

553. AB — линия длиной 652 фута на одном берегу ручья, а C — точка на противоположном берегу.

557. В треугольнике ABC, a  = 700 футов, B  = 73° 48′, и C  = 37° 21′. Если M это середина BC найти длины AM, и углы BAM и MAC.

561. Три окружности радиусов 3, 4 и 5 касаются друг друга снаружи. Найдите углы треугольника, образованного соединением их центров.

563. A и B — точки на противоположных берегах реки. На одном берегу линия AC измеряется 650 футов. Угол

570. P и Q две недоступные точки. Чтобы найти расстояние между ними, берется точка A в произведенном QP и измеряется линия AB длиной 1200 футов, образующая угол PAB  = 26° 35′. Угол ABP = 48° 12′ и ABQ = 106° 42′. Какова длина PQ ?

579. Стороны параллелограмма равны AB = 209,16 и AD = 347,25, а диагональ AC = 351,47. Найдите углы и другую диагональ.

580. В параллелограмме ABCD, диагональ AC  = 521,16, угол ABC  = 110° 48′ 12″, а BAC 9° 6’7 1 = 1″. Найдите длины сторон и другой диагонали.

586. Диагонали параллелограмма равны 374,14 и 427,21, а угол между ними равен 70° 12′ 38″. Найдите стороны.

590. Стороны четырехугольника по порядку равны 763,83, 721,75, 547,12 и 593,21, а угол между первыми двумя сторонами равен 53° 13′ 12″. Найдите остальные три угла.

593. A и B — это две точки на противоположных сторонах водоема, измерения должны производиться по линии AB в точках одна четверть, половина и три четверти расстояния от A до B. На берегу измеряется линия AC длиной 1200 футов и углы BAC  = 63° 19′ и ACB  = 78° 43′. Какие углы нужно отклонить от CA на C , чтобы выровнять лодку, с которой производятся замеры, в соответствующих точках на AB ?

608. На одной стороне ручья PA  = 586,3 фута, PB  = 751,6 фута — это меры, угол APB равен 167° 36′. Q — точка на противоположной стороне потока. Угол PAQ  = 63° 18′ и PBQ  = 49° 24′. Найдите PQ.

612. Чтобы найти расстояние между двумя недоступными точками P и Q, линия AB длиной 763,4 фута отложена так, что AB произвел пересечение PQ снаружи [то есть два отрезка AB и PQ не пересекаются]. Углы PAB = 98° 47′, QAB = 41° 36′, PBA = 37° 16′ и QBA = 94° 12′. Найдите длину PQ.

Советы

553. Вы можете использовать закон синусов, чтобы определить любую из длин AB или BC. Задача состоит в том, чтобы найти расстояние от С по АВ. Это означает, что вы опускаете перпендикуляр из C на эту линию и определяете ее длину. Вы можете использовать угол A и линию AC , чтобы найти его, или вы можете использовать угол B и линию BC , чтобы найти его.

557. Тот же намек, что и 553.

561. Окружности касаются друг друга, поэтому линия, проведенная из одного центра в другой, представляет собой сумму радиусов одной окружности и другой. У вас есть треугольник со сторонами 7, 8 и 9.. Вы можете использовать закон косинусов, чтобы найти углы.

563. Здесь хорошо работает закон синусов.

570. Нарисуй фигуру. Чтобы найти PQ, сначала найдите AP и AQ. Вы можете найти AP , используя закон синусов в треугольнике ABP, , и вы можете найти AQ , используя закон синусов в треугольнике ABQ.

579. Вы знаете стороны треугольников ABC и ADC, чтобы можно было определить их углы. В треугольнике ABD вы знаете угол и две смежные стороны, поэтому вы можете найти противоположную сторону BD.

580. Сначала решите треугольник ABC. Далее в треугольнике ABD вы знаете две стороны и легко можете определить угол BAD.

586. «Включенный угол» — это один из двух углов между двумя диагоналями. Другой прилежащий угол является его дополнением 180° – 70° 12′ 38″. Пусть P — точка пересечения двух диагоналей. Это середина каждой диагонали, так что вы знаете расстояние между P и любой вершиной. Примените закон косинусов к двум треугольникам с вершинами P и двум вершинам параллелограмма.

590. Вы знаете стороны четырехугольника ABCD и угол при B. Вы можете решить треугольник ABC. Тогда вы знаете все стороны треугольника ACD, , чтобы вы могли найти его углы.

593. Сначала определите расстояние AB по закону синусов. Тогда для каждого из правильных положений лодки P, известны две стороны и угол между ними треугольника PAC, , так что по закону косинусов можно определить нужный угол.

608. Сначала решите треугольник APB. Тогда у вас будет достаточно информации, чтобы решить треугольник АКВ.

612. Есть несколько способов решить эту проблему. Вот один из способов. Определить PA по закону синусов для треугольника PAB, и определить QA по закону синусов для треугольника QAB. Затем используйте закон косинусов для треугольника PAQ.

Ответы

553. 345,43 футов.

557. 490,83 фута.

561. 48° 11′ 24″, 58° 24′ 42″, 73° 23′ 54″.

563. 640 футов 10 дюймов.

570. 651,9 футов.

579. 106° 18′ 46″, 73° 41′ 14″, 452,92.

580. 255,93, 372,11, 369,22.