В треугольнике abc на стороне bc выбрана точка d так что bd dc 1 2: В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC… — Задание 16 ЕГЭ по математике (Планиметрическая задача)

www.abcege.ru — Разбор заданий

• Задание 1

  В тре­уголь­ни­ке ABC на сто­ро­не BC вы­бра­на точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Ме­ди­а­на CE пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AD в точке F. Какую часть пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEF?

  Разбор задания Свернуть

   

  Пояснение

   

  В условии задачи имеются соотношения на отрезки; чтобы их использовать, необходимо воспользоваться подобием.

  Чтобы его реализовать, проведём дополнительное построение: через точку D проведём прямую, параллельную СЕ. Эта прямая пересечёт отрезок AB в точке K. Пусть  заметим, что , поэтому BK:KE = BD:DC = 1:2, то есть   — медиана, поэтому   Зна­чит,

   

  Ответ:

• Задание 2

  Рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов 1 и 9 равно 17. Обе окруж­но­сти лежат по одну сто­ро­ну от общей ка­са­тель­ной. Тре­тья окруж­ность ка­са­ет­ся обеих окруж­но­стей и их общей ка­са­тель­ной. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти.

  Разбор задания Свернуть

   

  ПОЯСНЕНИЕ

   

   

  Научимся считать длину общей внешней касательной для двух произвольных окружностей радиуса r и R, чьи центры находятся на расстоянии a.

  (см. рисунок)

   Проведём перпендикуляр из центра первой окружности к прямой , пусть он пересекает в точке Q. Тогда — прямоугольник, значит,  

   Находим по теореме Пифагора:  . Так как , получаем:

  Вернёмся к решению задачи. Пусть радиус третьей окружности равен x. Рассмотрим два случая: когда третья окружность находится между первой и второй, и когда это не так. В первом случае (см. рисунок) имеем: AC + CB = AB. При этом, по выведенной ранее формуле,

   (расстояние между центрами в случае AC и BC мы сумели вычислить, так как, по условию, окружности касаются между собой, а, значит, расстояние между центрами равно сумме радиусов).

  Итак, получаем уравнение:

   

  Во втором случае (см. рисунок) все формулы для длин остаются те же, но теперь CB — AC = AB, что приводит к уравнению:

    

  Ответ:

• Задание 3

  Пря­мые, со­дер­жа­щие ка­те­ты AC и CB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АСВ, яв­ля­ют­ся об­щи­ми внут­рен­ни­ми ка­са­тель­ны­ми к окруж­но­стям ра­ди­у­сов 2 и 4. Пря­мая, со­дер­жа­щая ги­по­те­ну­зу АВ, яв­ля­ет­ся их общей внеш­ней ка­са­тель­ной.

  а) До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка внут­рен­ней ка­са­тель­ной, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны остро­го угла тре­уголь­ни­ка до одной из окруж­но­стей, равна по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка АСВ.

  б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка

  АСВ.

  Разбор задания Свернуть

   

  ПОЯСНЕНИЕ

   

  а) Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, пусть M, H, N — точки ка­са­ния. Ка­са­тель­ные, про­ведённые к окруж­но­сти из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. По­это­му:

   от­ку­да p = AM.

  б) Для опре­де­ле­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ис­поль­зу­ем фор­му­лу, свя­зы­ва­ю­щую её с по­лу­пе­ри­мет­ром, сто­ро­ной и ра­ди­у­сом внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся этой сто­ро­ны и про­дол­же­ний двух дру­гих сто­рон тре­уголь­ни­ка:

   

  Ответ:

• Задание 4

  Ме­ди­а­ны AA₁, BB₁ и CC₁ тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Точки A₂, B₂ и C₂ — се­ре­ди­ны от­рез­ков MA, MB и MC со­от­вет­ствен­но.

  а) До­ка­жи­те, что пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка A₁B₂C₁A₂B

  ₁C₂ вдвое мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

  б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов всех сто­рон этого ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что AB = 5, BC = 8 и AC = 10.

  Разбор задания Свернуть

   

  ПОЯСНЕНИЕ

   

  а) Шестиугольник разбивается отрезками медиан на 6 треугольников; рассмотрим один из них, например, . Заметим, что  (высота к стороне MB общая, а длина стороны в 2 раза меньше по условию). Аналогично для шести оставшихся треугольников. «Большие» треугольники в сумме составляют весь ABC, поэтому утверждение доказано.

   

  б) Обо­зна­чим длины сто­рон BC, AC, AB тре­уголь­ни­ка ABC через a, b, c.

  До­ка­жем, что квад­рат ме­ди­а­ны AA₁ равен  Для до­ка­за­тель­ства на про­дол­же­нии от­рез­ка за точку от­ло­жим от­ре­зок . По­лу­чим па­рал­ле­ло­грамм ACPB со сто­ро­на­ми AC = PB = b и AB = CP = c и диа­го­на­ля­ми BC = a и

  AP = 2AA₁. Сумма квад­ра­тов диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равна сумме квад­ра­тов его сто­рон: от­ку­да Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что а

  Теперь выразим стороны шестиугольника через отрезки медиан. От­ре­зок C₁A₂ — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABM, зна­чит,

   

  Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, мы по­лу­чим, что сто­ро­ны ше­сти­уголь­ни­ка втрое мень­ше ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC:

  Сле­до­ва­тель­но, сумма квад­ра­тов сто­рон ше­сти­уголь­ни­ка равна

  Ответ:

• Задание 5

  Хорды AD, BE и CF окруж­но­сти делят друг друга на три рав­ные части.

  а) До­ка­жи­те, что эти хорды равны.

  б) Най­ди­те пло­щадь ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF, если точки A, B, C, D

  , E по­сле­до­ва­тель­но рас­по­ло­же­ны на окруж­но­сти, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен

  Разбор задания Свернуть

   

  ПОЯСНЕНИЕ

   

  а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд 2x · x = 2y · y. От­сю­да на­хо­дим, что x = y, зна­чит, эти хорды равны. Ана­ло­гич­но до­ка­жем, что тре­тья хорда равна каж­дой из пер­вых двух.

  б) Рав­ные хорды рав­но­уда­ле­ны от цен­тра окруж­но­сти, по­это­му центр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках по­пар­но­го пе­ре­се­че­ния хорд сов­па­да­ет с цен­тром дан­ной окруж­но­сти. Пусть хорды BE и CF пе­ре­се­ка­ют хорду AD в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но, хорды BE и FC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T, а H — про­ек­ция цен­тра O на хорду AD. Тогда H — общая се­ре­ди­на от­рез­ков AD и PQ, а OH — ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка PQT со сто­ро­ной PQ.

  Через точку T про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную AD, через точку P — пря­мую, па­рал­лель­ную CF, а через точку Q — пря­мую, па­рал­лель­ную BE. Эти пря­мые и хорды AD, BE и CF раз­би­ва­ют ше­сти­уголь­ник ABCDEF на 13 оди­на­ко­вых рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков.

  Обо­зна­чим PQ = 2a. Тогда

   

   

  От­сю­да на­хо­дим, что a = 3, зна­чит, PQ = 2a = 6,

  Сле­до­ва­тель­но,

   

  Ответ:

• Задание 6

  В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AP и CQ.

  а) До­ка­жи­те, что угол PAC равен углу PQC.

  б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что PQ = 8 и .

  Разбор задания Свернуть

   

  ПОЯСНЕНИЕ

   

  а) Заметим, что если мы проведём окружность из середины AC с радиусом, равным половине AC, то точки A и C будут лежать на ней (по построению), а также будут лежать точки Q и P (прямой угол, опирающийся на диаметр). В таком случае углы PAC и PQC равны, как опирающиеся на одну дугу. 

  б) Нам уже известен угол в треугольнике; если мы найдём сторону  AC, то сможем воспользоваться формулой  Для поиска AC воспользуемся подобием:  (обратите внимание на правильный порядок написания вершин). Отсюда  (первое равенство — определение подобия, второе — определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике)   От­сюда выражаем длину AC: Тогда ра­ди­ус R окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен

   

  Ответ:

• Задание 7

  Ме­ди­а­ны , и  тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Из­вест­но, что AC = 3MB.

  а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

  б) Най­ди­те сумму квад­ра­тов ме­ди­ан и , если из­вест­но, что AC = 12.

  Разбор задания Свернуть

   

  Пояснение

   

  а) Из­вест­но, что ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Зна­чит,

   Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный с прямым углом, из которого исходит медиана. Доказать это можно, например, построив окружность с центром из середины стороны и радиусом, равным медиане. Тогда на ней окажутся все три вершины треугольника, то есть эта окружность — вписанная, сторона — диаметр, а угол, опирающийся на диаметр — прямой. Доказано.

  б) Тре­уголь­ник  пря­мо­уголь­ный с прямым углом B. По­это­му

  Ана­ло­гич­но, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  на­хо­дим:

  Сло­жим по­лу­чен­ные ра­вен­ства:
  

  Ответ: 180.

• Задание 8

  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом C из­вест­ны сто­ро­ны AC = 15, BC = 8. Окруж­ность ра­ди­у­са 2,5 с цен­тром O на сто­ро­не BC про­хо­дит через вер­ши­ну C. Вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся ка­те­та AC, ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка, а также внеш­ним об­ра­зом ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти.

  а) До­ка­жи­те, что ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти мень­ше, чем  длины ка­те­та

  б) Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти.

  Разбор задания Свернуть

   

  ПОЯСНЕНИЕ

   

  а) Пусть Q — центр вто­рой окруж­но­сти, M и N — её точки ка­са­ния со сто­ро­на­ми AB и AC со­от­вет­ствен­но, а точка H — про­ек­ция точки Q на BC. Имеем: сле­до­ва­тель­но,  Тогда  По­это­му  что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

  б) Пусть x — ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник OHQ:

  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра  от­ку­да:

  Усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко Кста­ти, от­сю­да сле­ду­ет, что точки O и H сов­па­да­ют.

  Ответ: 

• Задание 9

  Точка О — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. На про­дол­же­нии от­рез­ка AO за точку О от­ме­че­на точка K так, что

  а) До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник OBKC впи­сан­ный.

  б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KBC, если из­вест­но, что ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АBC равен 12, а

  Разбор задания Свернуть

   

  ПОЯСНЕНИЕ

   

  а) Пусть тогда где H — про­ек­ция О на BC. По­это­му Из усло­вия сле­ду­ет, что Тогда (опи­ра­ют­ся на хорду ОС). Тогда по при­зна­ку, свя­зан­ным со свой­ством впи­сан­ных углов, точки О, В, К, С лежат на одной окруж­но­сти, ч. т. д.

  б) тогда Рас­смот­рим   Из пунк­та а) тогда так как че­ты­рех­уголь­ник OBKC впи­сан­ный.

  Воспользуемся формулой: 

  тогда 

  Рас­смот­рим тре­уголь­ник KBC:

  Ответ: 

• Задание 10

  Окруж­ность, по­стро­ен­ная на ме­ди­а­не BM рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC как на диа­мет­ре, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние BC в точке K.

  а) До­ка­жи­те, что от­ре­зок BK боль­ше от­рез­ка CK.

  б) Пусть ука­зан­ная окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке N. Най­ди­те AB, если BK = 18 и BN = 17.

  Разбор задания Свернуть

   

  ПОЯСНЕНИЕ

   

  а) Про­ведём ме­ди­а­ну AE к ос­но­ва­нию BC, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABC — рав­но­бед­рен­ный, ме­ди­а­на AE яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той. Про­ведём MK, за­ме­тим, что , т. к. он впи­сан­ный и опи­ра­ется на диа­метр окруж­но­сти. По­это­му MK пер­пен­ди­ку­ляр к ВС. Тогда MK — сред­няя линия AEС (так как параллельна одной стороне и исходит из середины другой), и тогда КС = EК. По­сколь­ку CE = 2CK, имеем: BK = 3CK, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

  б) Пусть Тогда и пусть тогда По свой­ству се­ку­щих имеем: 

  Подставляя значение для 2y во второе уравнение, получаем квадратное уравнение на искомое x:

  Из условия x>17 остаётся только корень x=18.

  Ответ: 

• Задание 11

  В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке D, причём AD = R.

  а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

  б) Впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC в точ­ках E и F. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BEF, если из­вест­но, что R = 2 и CD = 10.

  Разбор задания Свернуть

   

  ПОЯСНЕНИЕ

   

  а) Пусть O — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. 

  Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, зна­чит, AO — бис­сек­три­са угла BAC. Тре­уголь­ник AOD пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, по­это­му . Сле­до­ва­тель­но, 

  б) Обо­зна­чим BF = x. По тео­ре­ме о ра­вен­стве от­рез­ков ка­са­тель­ных, про­ведённых к окруж­но­сти из одной точки, AE = AD = 2, CF = CD = 10 и BE = BF = x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра , или . Из этого урав­не­ния на­хо­дим, что x = 3. Тогда 

  Сле­до­ва­тель­но,

  Ответ: 

• Задание 12

  Вы­со­ты BB₁ и CC₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

  а) До­ка­жи­те, что .

  б) Най­ди­те BC, если и

  Разбор задания Свернуть

   

  Пояснение

   

  а) Заметим, что четырёхугольник можно вписать в окружность (так как ). Тогда

  (*)

  (как опирающиеся на одну дугу).

   С другой стороны, вокруг четырёхугольника тоже можно описать окружность (с центром в середине BC и радиусом, равным половине BC). Тогда имеем, по теореме об углах в окружности, . С другой стороны, по свойству смежных углов,   . Совмещая, получаем 

   (**)

  Комбинируя равенство (*) и (**), получаем искомое. 

  б) Воспользуемся доказанным в предыдущем пункте. Исходя из этого, а также равенства прямых углов, имеем подобие:

  (обратите внимание на порядок букв в записи). Записывая соотношение сторон, имеем:

  (последнее равенство — согласно определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике).

  Угол BAC мы знаем, это позволяет вычислить его тангенс и найти ВС:

   

  Ответ: 24.

• Задание 13

  В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту BH из точки H на сто­ро­ны AB и BC опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM со­от­вет­ствен­но.

  а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MBK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.

  б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC, если BH = 1, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен 4.

  Разбор задания Свернуть

   

  ПОЯСНЕНИЕ

   

  а) Пусть  . Углы BAC и KHB равны, как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Рас­смот­рим четырёхуголь­ник BKHM , сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник BKHM впи­сан в окруж­ность. Зна­чит, углы KHB и KBM — впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, они равны. Таким об­ра­зом, . Тре­уголь­ни­ки ABC и MBK имеют общий угол B и , зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

  б) Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BKH на­хо­дим, что Для тре­уголь­ни­ка ABC спра­вед­ли­во ра­вен­ство Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем: Сто­ро­ны BC и BK — сход­ствен­ные в по­доб­ных тре­уголь­ни­ках ABC и MBK, сле­до­ва­тель­но, их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC: 

  Ответ: 

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D , так что BD:DC=1:2 . Найти площадь треугольника ABD, если площадь треугольника ABC равна 18см

Последние вопросы

• Геометрия

  47 минут назад

  3. [4 балла] Дана функция у = x² + 4x-5. Не строя графика, найдите: а) область определения функции. b) нули функции. с) наименьшее значение функции.

• Геометрия

  57 минут назад

  17.29. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда ABCD A1 B1 D1 C1 если а = 5 cm, b = 10 cm, c = 12 cm​

• Геометрия

  2 часа назад

  CH- висота, проведена з вершини прямого кута трикутника FCD (див. рис.). кут F = 60º, FD = 16 см. Знайти довжини вiдрiзкiв FH i HD.​

• Геометрия

  2 часа назад

  Указати правильне твердження. а) Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорiвнюють гіпотенузі й гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники не рiвнi б) катет прямокутного трикутника, який лежить проти кута 30°, удвічі більший за гіпотенузу; в) точка, яка лежить на бісектрисi кута, рiввiддав його сторін; г) висоти, проведенi до бічних сторін рівнобедреного трикутника, не рiвні. ​

• Геометрия

  3 часа назад

  B треугольнике ОАВ проведена медиана ОС. Определите координаты точки С, если А (-1;3) и В (5;4). ​

• Геометрия

  5 часов назад

  правильний трикутник зі стороною √12 см вписаний у коло. знайдіть сторону квадрата, вписаного у це коло.​

• Геометрия

  6 часов назад

  Геометрия. 9 класс. Помогите, пожалуйста, решить задание

• Геометрия

  6 часов назад

  Молю решите, хоть одно

• Геометрия

  7 часов назад

  Геометрия, найти площадь трапеции

• Геометрия

  8 часов назад

  Всем привет, решите задачку по геометрии 🙂

• Геометрия

  8 часов назад

  Осталось 25 минут, надеюсь поможете

• Геометрия

  8 часов назад

  Решите пожалуйста геометрию! 10 класс

• Геометрия

  8 часов назад

  ОЧЕНЬ СРОЧНО УМОЛЯЮ ПОМОГИТЕ 30 МИНУТ ОСТАЛОСЬ

• Геометрия

  9 часов назад

  помогите пожалуйста, очень надо !!: У прямокутному трикутнику катет дорівнює 0,2 гіпотенузи. Знайдіть гострі кути трикутника.​

• Геометрия

  9 часов назад

  Геометрия, 8 класс

Все предметы

Выберите язык и регион

English

United States

Polski

Polska

Português

Brasil

English

India

Türkçe

Türkiye

English

Philippines

Español

España

Bahasa Indonesia

Indonesia

Русский

Россия

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

биссектрис в треугольнике

Горячая математика

Биссектриса

биссектриса стороной треугольника называется прямая, перпендикулярная стороне и проходящая через ее середину.

Три перпендикулярные биссектрисы сторон треугольника пересекаются в одной точке, называемой центр окружности . Точка, в которой пересекаются три или более линий, называется точкой параллелизма. Итак, центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

Здесь, О является центром окружности Δ Икс Д Z .

Центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника. (См. теорему о центре окружности .) То есть Икс О «=» Д О «=» Z О . Окружность, проведенная с центром описанной окружности в качестве центра и радиусом, равным этому расстоянию, проходит через все три вершины и называется описанный круг . Это наименьшая окружность, в которую можно вписать треугольник.

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника для остроугольных треугольников, на гипотенузе для прямоугольных треугольников и лежит вне треугольника для тупоугольных треугольников. Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, если это равнобедренный прямоугольный треугольник.

Пример 1:

Дома Натхи, Хирена и Джо представляют собой три неколлинеарные точки на координатной плоскости. Если они хотят встретиться в общем месте, так что каждый должен будет пройти одинаковое расстояние от своего дома, как вы определите место встречи?

Поскольку точки, представляющие дома, не лежат на одной прямой, три точки образуют треугольник.

Теперь, если вы рассматриваете центр описанной окружности треугольника, он будет равноудален от вершин. То есть, если в качестве точки встречи выбрать центр описанной окружности треугольника, образованного тремя домами, то каждый из них должен будет пройти одинаковое расстояние от своего дома.

Пример 2:

Найдите значение Икс .

Здесь, О точка пересечения трех серединных перпендикуляров сторон Δ К л М .

Так, О является центром описанной окружности треугольника.

Центр описанной окружности равноудален от вершин. Затем, О М «=» О К .

То есть, 6 Икс + 1 «=» 19.

Решить для Икс .

6 Икс + 1 − 1 «=» 19 − 1 6 Икс «=» 18 6 Икс 6 «=» 18 6 Икс «=» 3

Биссектриса угла

биссектриса угла угла треугольника – это прямая, которая делит угол на два равных угла.

Три биссектрисы углов треугольника сходятся в одной точке, называемой центр .

Здесь, я находится в центре Δ п Вопрос р .

Центр вписанной равноудален от сторон треугольника. То есть, п я «=» Вопрос я «=» р я . Окружность, нарисованная с центром вписанной окружности и радиусом, равным этому расстоянию, касается всех трех сторон и называется обвести или вписанную окружность треугольника. Этот круг является самым большим кругом, который поместится внутри треугольника.

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности и центр описанной окружности совпадают.

Пример 3:

У Мисти есть треугольный участок заднего двора, где она хочет построить бассейн. Как ей найти самый большой круглый бассейн, который можно там построить?

Максимально возможный круглый бассейн будет иметь тот же размер, что и самый большой круг, который можно вписать в треугольный задний двор. Самая большая окружность, которую можно вписать в треугольник, — это вписанная окружность. Это можно определить, найдя точку совпадения биссектрис каждого угла заднего двора, а затем сделав круг с этой точкой в ​​качестве центра и кратчайшим расстоянием от этой точки до границы в качестве радиуса.

Пример 4:

Найдите длину Дж О .

Здесь, О является точкой пересечения трех биссектрис угла Δ л М Н и, следовательно, является инцентром. Центр вписанной равноудален от сторон треугольника. То есть, Дж О «=» ЧАС О «=» я О .

У нас есть размеры двух сторон прямоугольного треугольника. Δ ЧАС О л , значит можно найти длину третьей стороны.

Здесь, О является точкой пересечения трех биссектрис угла Δ л М Н и, следовательно, является инцентром. Центр вписанной равноудален от сторон треугольника. То есть, Дж О «=» ЧАС О «=» я О .

У нас есть размеры двух сторон прямоугольного треугольника. Δ ЧАС О л , значит можно найти длину третьей стороны.

Используя теорему Пифагора, найдите длину ЧАС О .

ЧАС О «=» ( л О ) 2 − ( ЧАС л ) 2 «=» 13 2 − 12 2 «=» 169− 144 «=» 25 «=» 5

С Дж О «=» ЧАС О , длина Дж О также равно 5 единицы измерения.