Угол между высотой и медианой треугольника

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о медиане треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Найдіть кут між медіаною і висотою прямокутного трикутника , які проведені з вершини прямого кута , якщо гострий кут дорівнює 20 градусівНайдите угол между высотой и медианой прямоугольного треугольника, которые проведены из вершины прямого угла, если острый угол равен 20 градусов
.
Решение.
Решим задачу путем дополнительного построения вокруг заданной геометрической фигуры (треугольника), чтобы использовать свойства новой образованной фигуры (прямоугольника) для решения этой задачи по геометрии

Сначала достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника.


В результате дополнительного построения катеты прямоугольного треугольника одновременно являются сторонами прямоугольника, а гипотенуза — его диагональю.

Далее учтем следующие свойства треугольника и прямоугольника:

  • Сумма углов треугольника равна 180 градусам
  • Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам
  • Диагонали прямоугольника равны

Величина одного из углов треугольника задана в условии задачи. Поскольку треугольник по условию прямоугольный, то мы можем найти величину третьего угла, зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Поскольку угол CAB = 20°, то угол ABC = 180 — 90 — 20 = 70°
Таким образом, мы нашли градусную меру угла B в треугольнике ABC

Рассмотрим треугольник COA. Он равнобедренный, так как его стороны — это половины диагоналей прямоугольника. Это следует из свойств прямоугольника. Так как диагонали прямоугольника равны, а в точке пересечения они делятся пополам, то половины равных отрезков будут также между собой равны. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то:
∠OCA = ∠OAC = 20º

Рассмотрим треугольник BKC. CK является высотой треугольника ABC, проведенной к гипотенузе. Значит угол BKC — прямой, то есть равен 90 градусам, а сам треугольник BKC — прямоугольный. Поскольку треугольник BKC — прямоугольный, то угол BCK = 180 — 90 — 70 = 20°. (Это следует из того, что сумма углов треугольника 180 градусов, угол BKC — прямой, а величину угла B мы нашли ранее)

Поскольку угол BCA — прямой, то его градусная мера равна 90 градусов и, одновременно, равна сумме градусных мер составляющих его углов: BCK, KCO и OCA.
Величину угла BCK мы только что нашли, она составляет 20 градусов, величину угла OCA мы также нашли ранее и она тоже составляет 20 градусов.


Откуда:
20° + 20° + ∠KCO = 90°
∠KCO = 50°  

Ответ: Угол между медианой и биссектрисой заданного прямоугольного треугольника равен 50 градусов.

0  

 Нахождение площади через медианы | Описание курса | Медиана прямоугольного треугольника 

   

Высоты медианы биссектрисы треугольника — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

 

Высотой треугольника называется перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника
на противоположную сторону.

 

 

 

 

В тупоугольном треугольнике высота
опускается на продолжение стороны.

 

 

 

 

Три высоты треугольника  всегда
пересекаются в одной точке.

 

 

 

 

 

 

В случае тупого угла пересекаются

продолжения высот.

 

 

 

 

Медианой треугольника называют отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.

 

 

 

 

Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в ней в отношении
2 : 1 , считая от вершины.

 

 

 

 

Биссектриса треугольника делит
угол треугольника пополам.

 

 

 

 

Три биссектрисы пересекаются в одной точке,
которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.

 

 

Напомним, что высота треугольника

 — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

В прямоугольном треугольнике каждый катет является высотой к другому катету. Три высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

Как доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Доказательство здесь: Свойство высот треугольника.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство этой теоремы смотрите здесь: Свойства медиан треугольника.

Биссектриса треугольника 

— отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Читайте доказательство теоремы о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке:
Свойства биссектрис треугольника.

Еще одно свойство биссектрисы часто применяется при решении задач.

Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон:

 

 

 

 

 

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство биссектрисы треугольника.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть биссектрисы треугольник ABC (в котором угол C равен ) пересекаются в точке M.

Рассмотрим треугольник ABM.

,

, тогда .

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .

Угол  смежный с углом , следовательно, .

Поскольку треугольник  — прямоугольный, то .

Тогда .

Ответ: 45.

Задача 2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть CH — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.

Тогда ;

.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол .

.

Ответ: 16.

Задача 3.  Острые углы прямоугольного треугольника равны  и . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CD – высота, СМ – медиана.

Требуется найти угол МСD.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, 

Искомый 

Ответ: 42.

Задача 4.  Острые углы прямоугольного треугольника равны  и . Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CL – биссектриса, СМ – медиана.

. Требуется найти угол МСL.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно,

т.к. CL – биссектриса.

Искомый 

Ответ: 22.

Задача 5.  Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Из треугольника ACH (угол H — прямой) найдем угол CAH. Он равен .

Из треугольника ACK ( K — прямой) найдем угол ACK. Он равен .

В треугольнике AOC известны два угла. Найдем третий, то есть угол AOC, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:

.

Ответ: 130.

Задача 6.  В треугольнике ABC угол С равен , AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC угол BAC равен A, угол ABC равен B.

Рассмотрим треугольник AOB.

,

, тогда .

Из треугольника ABC получим, что .

Тогда .

Ответ: 119.

Задача 7.  В треугольнике ABC угол A равен , угол B равен . AD, BD и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O.  Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Найдем угол ACB. Он равен

Тогда

Из треугольника ACF найдем угол . Он равен .

Рассмотрим треугольник AOF.

, . Значит .

Ответ: 49.

Задача 8.  В треугольнике ABC, CD — медиана, угол ACB равен , угол B равен . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

Поэтому

Треугольник ADC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны:

Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, получим:

Ответ: 32.

Задача 9.  В треугольнике АВС АD — биссектриса, угол С равен . Угол САD равен . Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Поскольку AD – биссектриса, то

Сумма углов треугольника равна , следовательно,

Ответ: 74.

Задача 10. В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, О – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен . Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.

Решение: 

Угол АОС – внешний в треугольнике АНО, следовательно,

Ответ: 116.

Задача 11. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD = CD, следовательно, треугольник ADC – равнобедренный и

AD — биссектриса, следовательно,

AB = AD, следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и

– внешний в треугольнике ADC, следовательно,

Таким образом, наименьшим углом треугольника АВС является , два других угла – в два раза больше.

Воспользуемся тем, что сумма углов треугольника АВС равна :

, откуда получаем:

Наименьший угол треугольника АВС равен .

Ответ: 36.

Задача 12. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки 2,8 и 4,2. Периметр треугольника равен 22. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны треугольника равны и . Биссектриса делит сторону c на отрезки 2,8 и 4,2.
Значит,

В соответствии со свойством биссектрисы:

Или:

Одновременно выполнено условие для периметра:

Тогда

Ответ: 9, 6, 7.

 

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.02.2023

геометрия — Угол между медианами в прямоугольном треугольнике

спросил

Изменено 7 лет, 7 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

В прямоугольном треугольнике медианы проведены от острых углов к противоположным сторонам. 2}$$ где $\frac ca=s\gt 0$. 92}.$$ Итак, имеем $f(s)\le f(1)=\frac 34$.

Следовательно, максимальный острый угол равен $\arctan\frac 34$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Просто для удовольствия я добавлю ответ, который не требует исчисления. Пусть $A(-1,0)$, $B(1,0)$ и $C(\cos\theta,\sin\theta)$ — вершины прямоугольного треугольника, и пусть $O(0,0) $. Медианы из $A$ и $B$ пересекают медиану $OC$ в такой точке $P$, что $OP=1/3$. Если взять $\alpha=\angle OAP$ и $\beta=\angle OBP$, то легко показать, что $\tan\alpha=(1/3)\sin\theta/(1+(1/ 3)\cos\theta)$ и $\tan\beta=(1/3)\sin\theta/(1-(1/3)\cos\theta)$. Острый угол между медианами равен $\alpha+\beta$, и прямое вычисление дает $\tan(\alpha+\beta)=(3/4)\sin\theta$, что достигает своего максимума $3/4$ для $\ тета=\пи/2$.

$\endgroup$

$\begingroup$

ПОДСКАЗКА. … Ваша ошибка в том, что вы говорите, что градиент $CE$ равен $-\frac{a}{2c}$, тогда как он должен быть….каким?

$\endgroup$

Высоты Медианы и биссектрисы углов

Так же, как существуют специальные имена для особых типов треугольников, существуют специальные имена для особых отрезков внутри треугольников. Разве это не особенное?

База и высота

Каждый треугольник имеет три оснований (любая из его сторон) и три высот (высот). Каждая высота представляет собой перпендикулярный отрезок от вершины к противоположной стороне (или продолжение противоположной стороны) (рис. 1).

Рисунок 1  Три основания и три высоты одного и того же треугольника.


Высоты иногда могут совпадать со стороной треугольника или иногда могут пересекаться с расширенным основанием за пределами треугольника. На рис. 2, AC — высота до основания BC , а BC — высота до основания AC .

Рисунок 2  В прямоугольном треугольнике каждый катет может служить высотой.

На рисунке 3 AM — это высота до основания BC .

Рисунок 3  Высота тупоугольного треугольника.

Интересно отметить, что в любом треугольнике три прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке (рис. 4).

Рисунок 4  Три линии, содержащие высоты, пересекаются в одной точке, 

, который может быть или не быть внутри треугольника.

Медиана

Медиана в треугольнике — это отрезок, проведенный от вершины к середине противоположной стороны. Каждый треугольник имеет три медианы. На рисунке 5 E является средней точкой BC . Следовательно, BE = EC . АЭ — это медиана Δ ABC.

Рисунок 5  Медиана треугольника.

В каждом треугольнике три медианы сходятся в одной точке внутри треугольника (рис. 6).

Рисунок 6  Три медианы сходятся в одной точке внутри треугольника.

Биссектриса угла

Биссектриса угла в треугольнике — это отрезок, проведенный из вершины, которая делит пополам (разрезает пополам) этот угол при вершине. У каждого треугольника есть три биссектрисы угла. На рисунке , представляет собой биссектрису угла в Δ азбука.

Рисунок 7  Биссектриса угла.

В каждом треугольнике три биссектрисы угла пересекаются в одной точке внутри треугольника (рис. 8).

Рисунок 8  Биссектрисы трех углов пересекаются в одной точке внутри треугольника.

Как правило, высоты, медианы и биссектрисы являются разными отрезками. Однако в некоторых треугольниках они могут быть одними и теми же сегментами. На рисунке можно доказать, что высота, проведенная из угла при вершине равнобедренного треугольника, является медианой, а также биссектрисой угла.