ПОДГОТОВКА К ГОДОВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ГЕОМЕТРИИ 8 класс | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по геометрии (8 класс) по теме:

ПОДГОТОВКА К ГИА, Задачи по геометрии за курс 8 класса

1. Найти сумму углов шестиугольника, семиугольника, одиннадцатиугольника.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

2. Найти все углы параллелограмма, если один из них равен 132°.

3. Определить углы параллелограмма, если:

1) один из них больше другого на 70°;

2) один из них меньше другого в 11 раз;

3) сумма двух из них равна 82°.

4. Найти периметр параллелограмма, если известны две его стороны 5 м и 11 м.

5. Определить стороны параллелограмма, если:

1) его периметр равен 38 дм, а одна из сторон на 7 дм меньше другой

2) его периметр равен 60 м, а одна из сторон в 4 раза больше другой.

6. В параллелограмме BCDE диагонали пересекаются в точке М. Найти периметр треугольника ВСМ, если DE = 7 см, BD = 12 см, СЕ = 16 см.

7. Диагонали параллелограмма КМОР пересекаются в точке С. Доказать, что ΔКМС = ΔОРС.

8. В параллелограмме АCDE на сторонах АE и CD отложены равные отрезки АК и DМ . Доказать, что ΔАКС = ΔDME. 

9. В параллелограмме BDEF на сторонах BF и DE отложены равные отрезки BO и ND. Доказать, что четырёхугольник ONEF также является параллелограммом.

10. Диагонали параллелограмма продолжены за вершины на одинаковую длину. Полученные точки последовательно соединены. Доказать, что образовавшийся четырёхугольник является параллелограммом.

11. В параллелограмме АBCD биссектриса угла В пересекает сторону АD в точке М, а биссектриса угла D пересекает сторону ВС в точке К. Доказать, что ВМDК параллелограмм.

 12. В параллелограмме АBCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М. Найдите периметр параллелограмма, если  АВ= 4,6см и МС= 3,8.

13. На диагонали МК параллелограмма MNKO отложены равные отрезки МА и КВ. доказать, что ΔМАN = ΔКBO.

14. В параллелограмме АВСД точки М, Р, К, Е- являются серединами сторон параллелограмма. Определите вид четырехугольника МРКЕ,

ТЕОРЕМА ФАЛЕСА.

15. Прямые AM, BN, и СО параллельны и DM = MN = NO. Найти длину отрезка DC, если АВ = 12.

16. Начертить произвольный отрезок АВ. Разделить его на 5 равных частей.

17. Начертить отрезок а. Построить отрезок .

ТРАПЕЦИЯ,

18. Дана трапеция МРОК  с основаниями МК и ОР. Найти:

1) все углы трапеции, если  К = 81°, Р = 110°;

2) ОРК и РОМ, если КМО = 54°, МКР = 38°;

3) углы треугольника МКN (где N — точка пересечения диагоналей трапеции), если углы ОКР и РОМ соответственно равны 36° и 54°.  

19. Дана трапеция МРОК  с основаниями МК и ОР. Найти:

             1) среднюю линию трапеции АВ, если МК= 12см, ОР= 8см.

             2) основание МК, если средняя линия АВ=10см, основание ОР=14см.

              3) основания трапеции МК и ОР, если МК в 5 раз больше ОР и средняя линия  АВ=33см.

              4) основания трапеции МК и ОР, если МК:ОР=4:9 и средняя линия  АВ=26см.

20. Трапеция CDEF — равнобокая, CF и DE — её основания.

1) Найти все углы трапеции, если Е = α.

2) Доказать, что ΔFCE = ΔCDF.

3) Найти углы треугольника FCE, если известно, что DEC = 60°.

21. Дано: KMNO — трапеция, (см. рис.).

1) Определить вид четырёхугольника KMNA.

2) Доказать, что К = NAO = MNA.

3) Найти углы треугольника ANO и четырёхугольника KMNA, если О = 68°, OAN = 58°.

4) Доказать, что если трапеция равнобокая, то ΔONA — равнобедренный с основанием ОА.

22. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне и в 2 раза меньше другого основания. Найти углы трапеции.

23. Доказать, что диагонали равнобокой трапеции равны.

24. По данным рисунка определите среднюю                   В             12см        С                          

линию трапеции

                                                                                                 4см

                                                                                      45

                                                                                 А            К                                               Д

25.По данным рисунка определите периметр         В               8см                        С

  равнобокой трапеции.

                                                                                                                             6см

                                                                     А     4см                                          К             30      Д                    

                                                                                     р

26. В равнобокой трапеции DEFC  на большее основание DC опущены перпендикуляры ЕА и FB.

1) Доказать, что ΔDEA = ΔFCB.

2) Чему равны отрезки DA и CB, если EF = 8 см; CD =  30 см.

ПРЯМОУГОЛЬНИК.                                              

27. В прямоугольнике АBCD проведена диагональ АC. Найти острые углы треугольника АBC, если один из них больше другого в 5 раз.              

28. В прямоугольнике BCDЕ диагонали пересекаются в точке О. Найти отрезки ОD и ОВ, если диагональ ВD равна 17 см.

29. Диагонали прямоугольника CDЕF пересекаются в точке N. Доказать, что

1) ΔDNE –равнобедренный;

2) если точка О является серединой стороны EF, то .

30. Точка пересечения диагоналей прямоугольника соединена с серединами двух соседних сторон. Определить:

1) вид отсекаемого четырёхугольника;

2) периметр отсекаемого четырёхугольника, если периметр данного прямоугольника равен 52 см.

31. В прямоугольнике АBCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке М.

1) Доказать, что ΔADM — равнобедренный.

2) Найти периметр прямоугольника, если сторона АВ оказалась разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см. Сколько решений имеет задача?

32. В прямоугольнике DEFK биссектриса угла D пересекает сторону EF в точке С, причём отрезок CF в 2 раза больше отрезка ЕС. Найти стороны прямоугольника, если периметр равен 32 см.

33. Дан прямоугольник MNCK (см. рис.).

1) Найти углы треугольника  MNB,  если А = β.

2) Доказать, что ΔAMК = ΔMBN, если точка М — середина стороны АВ.

3) Найти стороны и диагонали прямоугольника MNCK, если М — середина стороны АВ,                 АС = 12 м, АВ = 13 м, ВС = 5 м.

34.По данным рисунка определите            В                                     С                    

периметр прямоугольника.

        8см

                                                                     45

        А                                     Д

35. По данным рисунка определите            В                                             С                    

периметр треугольника СДО.

                О

        АД=12 см, АВ= 8см

                         60

                                                                       А        Д

КВАДРАТ.

36.В квадрате АВСД сторона равна 4,5см. Определите периметр квадрата.

37. Площадь квадрата равна: а) 49кв.см;    в)78 кв.см.

38. В квадрате АВСД точка О- пересечение диагоналей. Определите углы треугольника АОВ.

39. В квадрате АВСД точки М,Р,К,Е- середины сторон квадрата. Определите вид четырехугольника

      МРКЕ.

40. В квадрате проведены диагонали.

1) Доказать, что они разбивают квадрат на четыре равных равнобедренных треугольника.

2) Найти углы этих треугольников.

41. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат, причём две его вершины лежат на гипотенузе и две — на катетах. Доказать, что гипотенуза в три раза больше стороны квадрата.

42. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О, из которой опущен перпендикуляр ОК на сторону ВС. Определить вид четырёхугольника АВКО и найти его углы

  РОМБ.                                                                                                                                                              

43. Найти периметр ромба, если его сторона равна 11 см .

44. Найти стороны ромба, если его периметр равен 30 см.

45. Найти все углы ромба, если они относятся как 1:3.

46. В ромбе CDEF проведена диагональ DF. Определить углы треугольника  CDF, если СFЕ = 42°.

47. В ромбе проведены диагонали.

1)Доказать, что они разбивают ромб на четыре равных треугольника.

2) Найти боковые стороны этих треугольников, если диагонали равны12 см и 18 см.

3) Найдите сторону ромба, если диагонали равны 24см и 10 см.

4) Найти углы этих треугольников, если один из углов ромба равен α.

5) . В ромбе АВСД проведены диагонали АС и ВД, О -точка пересечения диагоналей,

48. Доказать, что одна из диагоналей ромба равна его стороне, если один из углов ромба равен 120°.

49. Диагонали ромба BCDE пересекаются в точке М, отрезок МК — перпендикуляр к стороне CD. Найти углы треугольника СМК, если СВЕ = 82°

.

Симметрия.

50. Начертить треугольник АВС. Построить симметричный ему треугольник

1) относительно вершины С;        в        

2) относительно стороны АС.

3)ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ В.

        

        А        с

Окружность. Вписанные углы.

51.        

               м        

    К                      д        М

 52. Градусная мера дуги МР=128°.

        Определите

        Р        Р

54.               АВ- диаметр окружности. Определите угол АРВ.

     А                        В

          А

55.Определие градусные меры дуг окружности,        В

    Если  дуги относятся как АВ:ВС:АС = 6:4:8                                                  

        С

56. В окружности с центром О проведены диаметры MK и NP.

1) Доказать, что MNKP — прямоугольник.

2) Найти углы треугольника MKP, если МOР = 140°

57.                       В        АС и ВС касательные к окружности (А и С- точки касания),

        

        расстояние от центра окружности до точки С.

        60°        С

      А            

58. В окружности с центром О проведены два взаимно перпендикулярных радиуса ОА и ОВ. Касательные, проходящие через точки А и В, пересекаются в точке С. Найти периметр четырёхугольника ОАСВ, если радиус окружности равен 23 см.

59. В окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD. Определить вид четырёхугольника ABCD.

60. В окружности проведены диаметры АB и СD. Доказать, что АBCD параллелограмм.

61.                  А

               

        О        АВ- диаметр, О- центр окружности,

        С

        

           В

62. В прямоугольном треугольнике АВС  

63.       А                        

                                 К        

         Д                   С         А

64. Где находится центр вписанной окружности?

       А и М точки касания, радиус равен 12см.  О

       Расстояние от вершины О до центра окружности

       13см. Найдите  длину ОМ.        

        М

65. Около треугольника АВС описана окружность, разделенная вершинами треугольника на части пропорциональные числам 5 : 7 : 6. Определите углы треугольника.

66. Две хорды окружности АВ и СД пересекаются в точке О, АО=12см, ОС=4см, СО=8см. Найдите длину отрезка ОД.

67.

         Если О- центр окружности.        

68.МР- диаметр, О_ центр окружности, ОМ=ОК=МК          А         В

                                             Р

        Найдите

                     М                      К

69.

     

                                                                                                               А                       С

70.КД и МС хорды одной окружности, причем Е- точка их

пересечения. Найдите

а

71. Дано: КВ =12см, КС=30см, периметр треугольника АКВ равен 28см.   В

      Найдите периметр треугольника  СКД, если К- пересечение

      АС и ВД.        С

        А

        Д

72. Дано: КМ и СД- хорды, Е- точка их пересечения, СЕ=6см, ЕД=8см, КЕ на 8см меньше ЕМ.

       Найдите КМ.

73. Дано: АВ=26см, АС=4см, АЕ=16см.        А

      Найдите ДЕ.         С        

        Д                        В

   74.                                                                                                                     Е    

        В

       А        АВ- касательная к окружности, АВ=6дм, СД=5дм

Д

        Найдите АД.

                                     С

МНОГОУГОЛЬНИКИ

75. Найти сумму углов шестиугольника, семиугольника, одиннадцатиугольника.

76.Один из внутренних углов правильного n-угольника равен 150°. Найдите число сторон многоугольника.

77. Величины углов выпуклого пятиугольника пропорциональны числам 2:3:4:5:6. Найдите величину большего из углов.

78.Периметр равностороннего треугольника равен 6    3.  Найдите радиус описанной окружности.

79.Около квадрата описана окружность, и в квадрат вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности, если радиус описанной окружности равен 10    2.

80. Внешний угол правильного многоугольника меньше внутреннего на 140°. Найдите сумму углов данного многоугольника.

81.Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна 5      3 см. Найдите периметр шестиугольника.

82. В некотором многоугольнике можно провести 20 диагоналей. Найдите число сторон этого многоугольника.

ПЛОЩАДИ ФИГУР.

83.Найдите площадь треугольника:      б)

А)        в)

                                                                  7,2

4                                                           3

  8                                                                      5            30°

        7,2

        14

 13

  г)        д)Угол при основании равнобедренного треугольника

                         15        равен 30°, а площадь 9     3    . Найдите боковую сторону

        треугольника.

        е) Стороны треугольника равны 8см, 6см, 4см. Найдите

                               меньшую высоту треугольника.

                           

 84. Найдите площадь параллелограмма:

        В                        С

               А)                                                 б)  Р                          Е        в)К                         С

                                             Н        АС= 5,6

 5,2        8        КМ=4

        

А        Д        О- пересечение

        ВН= 5        М        1,4         К           Д                        М        диагоналей.

                

  85. Найдите площадь ромба:

            А) В    В                         С        б) Д                         К                   М                        Н  ДН=4,8

                      МЕ= 4

  5                                            6

                                                                                      Е                      

А      Н             Д                    Р    

        ВН=4,2        

   86. Найдите площадь трапеции АВСД, где АД || ВС.

    87. Найдите площадь квадрата:

              1.   А                         В      2. М                      Р                    3.                      

        КР=2,4                                      Площадь квадрата                

        равна 6. Найдите

        сторону квадрата.

        С        2,3                                       В                                    

        Д        4,2        С          К        В

                 88.Сторона ромба 20см, а одна из диагоналей 24см. Найдите площадь ромба.

                 89.В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне.

                      Найдите  площадь трапеции, если большее основание равно 16     3, а один из углов    

                        трапеции равен 60°.

                    90.Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а основание 14   3 см.       Найдите              

        площадь треугольника.

                    91.Площадь прямоугольного равнобедренного треугольника 16. Найдите гипотенузу этого

                         треугольника.

                     92.Площадь равностороннего треугольника равна 24    3 . Найдите сторону этого треугольника.

        

 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА.

  93. Найдите неизвестные стороны треугольника:

 

        1.        2.        3.   В        

        АВ=18          АВ=2   2

           4                                            5        17

         

             С         А                      С                      В     В                  

                3

94.Стороны прямоугольника относятся как 2 : 3, диагональ прямоугольника равна     13. Найдите стороны прямоугольника.

95.Сторона равностороннего треугольника равна 18     3    . Найдите биссектрису этого треугольника.

96. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 2    22, а катет ВС=6. Найдите длину медианы ВК.

97. В Δ СДЕ  СД=15, ДЕ=13, СЕ=14. Найдите высоту ДМ.

98. Дано:ΔАВС,

     АС=15,       АД=9, СВ=   52

     Найти АВ.

               С                                          В

 

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ.

99. Определите среднюю линию мк :        15см

   М                  К        М                                    К

        34см                                                                    23см

100.Средняя линия треугольника на 3,6 меньше основания треугольника. Найдите сумму средней линии треугольника и основания.

        В                       С

101. В трапеции АВСД АД=23, ВС =18,

     МК- средняя .        М          Е           Р            К

     Найдите ЕР.

        А                                                     Д

102.        К                            Е

  А                                   В        Дано: МКЕР- трапеция,  АК=АС=СО=МО,

                                                    АВ||СД||ОН||МР, МР=18, КЕ=12

          С                                              Д        Найдите АВ и ОН.

                                                               Н

        О

    М                                                              Р

Персональный сайт — Геометрия 8 класс

 

КОНТРОЛЬНЫЕ

 

РАБОТЫ

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 1

Вариант 1

 

1о. Диагонали прямоугольника CDEF пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если  СDO = 400.

 

2о. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12см и 6см, а один из углов равен 600.

 

3о. На продолжении диагонали АС прямоугольника ABCD отложены равные отрезки АМ и СN. Докажите: а) что треугольники MAD и NCB равны; б) что четырехугольник MBND параллелограмм.

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 1

Вариант 2

 

1о. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника АОВ, если между диагоналями, если  ВСD = 750.

 

2о. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10см и 6см, а один из углов равен 450.

 

3о. На диагонали NK прямоугольника MNPK отложены равные отрезки NА и KE. Докажите: а) что треугольники ANP и EKM равны; б) что четырехугольник APEM параллелограмм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 2

Вариант 1

 

1о. Смежные стороны параллелограмма равны 12см и 20см, а один из его углов равен 300. Найдите площадь параллелограмма.

 

2о. Найдите периметр прямоугольника, если его диагональ равна 15см, а одна из сторон – 9см.

 

3о. Площадь прямоугольной трапеции равна 120см2, а ее высота равна 8см. Найти все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6см.

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 2

Вариант 2

 

1о. Высота BD треугольника АВС делит основание АС на отрезки: AD = 8см, DC = 12см, а угол А при основании равен 450. Найдите площадь этого треугольника.

2о. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его катеты равны 12см и 16см.

3о. Найти площадь трапеции CDEF c основаниями CF и DE, если CD = 12см, DE = 14cм, CF = 30см,  D = 1500.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 3

Вариант 1

 

1о. Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части AD = 16см и BD = 9см. Докажите, что ∆ ACD ∞ ∆ CBD.

 

2о. АВ || CD. Найдите АВ, если OD = 15см, OB = 9см, CD = 25см.

3. Найти отношение площадей треугольников АВС и KMN, если АВ = 8см, ВС = 12см, АС = 16см, КМ = 10см, MN = 15см, NK = 20cм.

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 3

Вариант 2

 

1о. Высота CD прямоугольного треугольника АВС отсекает от гипотенузы АВ, равной 9см, отрезок AD = 4см. Докажите, что ∆ AВC ∞ ∆ АCD.

 

2о. MN || DF. Найдите MN, если DM = 6см, EM = 8см, DF = 21см.

3. Даны стороны треугольников АВС и DEF, если АВ = 12см, ВС = 15см, АС = 21см, DE = 16см, EF = 20см, DF = 28cм. Найти отношение площадей этих треугольников.

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 4

Вариант 1

 

1о. Площадь ромба равна 48см2. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба.

 

2. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4см, боковая сторона равна 6см, а один из углов равен 1200. Найти площадь трапеции.

 

3. В прямоугольном треугольнике АВС А = 900, АВ = 20см, высота AD = 12см. Найти АС и cos C.

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 4

Вариант 2

 

1о. Площадь прямоугольника равна 36см2. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника.

 

2. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3см, большая боковая сторона равна 4см, а один из углов равен 1500. Найти площадь трапеции.

 

3. Высота BD прямоугольного треугольника АВС равна 24см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18см. Найти АВ и cos А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 5

Вариант 1

 

1о. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром А и радиусом, равным ОС.

 

2о. Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки, равные 5см и 13см. Найти площадь этого треугольника.

 

3о. Основание равнобедренного треугольника равно 18см, а боковая сторона равна 15см. Найти радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 5

Вариант 2

 

1о. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром С и радиусом, равным AD.

 

2о. Меньший из отрезков, на которые центр описанной около равнобедренного треугольника окружности делит его высоту , равен 8см, а основание треугольника равно 12см. Найти площадь этого треугольника.

 

3о. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равно 9см, а само основание равно 24см. Найти радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 6

Вариант 1

 

1. Начертите два неколлинеарных вектора так, что | | = 3cм, | | = 2см. Постройте вектор

2. Точка К делит отрезок MN в отношении MK : KN = 3 : 2. Выразите вектор через векторы и , где А – произвольная точка.

3. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен 2см. Найдите большее основание трапеции, если ее средняя линия равна 8см.

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 6

Вариант 2

 

1. Начертите два неколлинеарных вектора так, что | | = 3cм, | | = 3м. Постройте вектор

2.Точка А делит отрезок EF в отношении ЕА : AF = 2 : 5. выразите вектор через векторы и , где К– произвольная точка.

 

3. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит среднюю линию на отрезки, равные 2см и 6см. Найдите основания трапеции.

 

 

 

 

 

 

Решение биквадратных уравнений. Решение биквадратных уравнений Реши уравнение относительно n

    Решите уравнение х 2 +(1-х) 2

    Докажите, что нет целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец, увеличиваются в 5 раз.

    В некотором царстве каждые двое – либо друзья, либо враги. Каждый человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в этом царстве могут стать друзьями.

    В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

    По стрельбе из мишени спортсмен выбивал только по 8,9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил ровно 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен, и какие были попадания?

    Докажите истинность неравенства:

3. Решите уравнение:

    Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.

    В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Затем из вершины С проведены прямые, параллельные этим биссектрисам. Точки Д и Е пересечения этих прямых с биссектрисами соединены. Оказалось, что прямые ДЕ и АВ параллельны. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

    Решите систему уравнений:

    На сторонах АВ и АД параллелограмма АВСД взяты соответственно точки Е и К так, что отрезок ЕК параллелен диагонали ВД. Докажите, что площади треугольников ВСЕ и СДК равны.

    Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое число пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по 22 человека, однако оказалось, что при этом не удается посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. Сколько первоначально было автобусов и сколько туристов в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32 человек?

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

    Решите систему уравнений:

    Докажите, что четыре расстояния от точки окружности до вершины вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.

Возможные решения задач

1. Ответ: х=1, х=0,5

От перестановки начальной цифры в конец значность числа не изменится. При этом, по условию задачи, должны получить число, в 5 раз большее первого числа. Следовательно, первая цифра искомого числа должна равняться 1 и только 1. (т.к. если первая цифра будет 2 или больше, то изменится значность, 2*5=10). При перестановке 1 в конец, полученное число оканчивается на 1, следовательно на 5 не делится.

Из условия следует, что если А и В – друзья, то С либо их общий враг, либо общий друг (иначе им троим не примириться). Возьмем всех друзей человека А. Из сказанного следует, что все они дружны между собой и враждуют с остальными. Пусть теперь А и его друзья по очереди ссорятся с друзьями и мирятся с врагами. После этого все окажутся друзьями.

Действительно, пусть А первым поссорился со своими друзьями и помирился со своими врагами, но тогда каждый их его бывших друзей будет с ним мириться, а бывшие враги останутся друзьями. Итак, все люди оказываются друзьями А, а следовательно, и друзьями между собой.

Число 111 делится на 37, поэтому на 37 делится и названная сумма.

По условию, число делится на 37, поэтому и сумма

Делится на 37.

Заметим, что указанные медиана и биссектриса не могут выходить из одной вершины, так как в противном случае угол при этой вершине был бы больше 180 0 . Пусть теперь в треугольнике АВС биссектриса АD и медиана СЕ пересекаются в точке F. Тогда AF – биссектриса и высота в треугольнике АСЕ, значит этот треугольник равнобедренный (АС=АЕ), а так как СЕ – медиана, то АВ = 2АЕ и, следовательно, АВ =2АС.

Возможные решения задач

1. Ответ: 9 выстрелов по 8 очков,

2 выстрела по 9 очков,

1 выстрел по 10 очков.

Пусть x выстрелов сделал спортсмен, выбивая по 8 очков, y выстрелов по 9 очков, z выстрелов по 10 очков. Тогда можно составить систему:

Используя первое уравнение системы, запишем:

Из этой системы следует, что x + y + z =12

Умножим второе уравнение на (-8) и сложим с первым. Получим, что y +2 z =4 , откуда y =4-2 z , y =2(2- z ) . Следовательно, у – четное число, т.е. y=2t , где .

Следовательно,

3. Ответ: х = -1/2, х = -4

После приведения дробей к одному знаменателю получаем

4. Ответ: 105

Обозначим через x , y , z соответственно первую, вторую и третью цифру искомого трехзначного числа. Тогда его можно записать в виде . После вычеркивания средней цифры получится двузначное число . По условию задачи , т.е. неизвестные цифры x , y , z удовлетворяют уравнению

7(10 x + z )=100 x +10 y + x , которое после приведения подобных членов и сокращений принимает вид 3 z =15 x +5 y .

Из этого уравнения следует, что z должно делиться на 5 и должно быть положительным, так как по условию . Поэтому z =5, а цифры х, у удовлетворяют уравнению 3=3х + у, которое в силу условия имеет единственное решение х =1, у = 0. Следовательно, условию задачи удовлетворяет единственное число 105.

Обозначим буквой F точку, в которой пересекаются прямые АВ и СЕ. Так как прямые DB и CF параллельны, то . Ввиду того, что BD – биссектриса угла АВС, заключаем, что . Отсюда следует, что , т.е. треугольник BCF равнобедренный и BC=BF. Но из условия следует, что четырехугольник BDEF – параллелограмм. Поэтому BF = DE, и, значит ВС = DE. Аналогично доказывается, что АС = DE. Это приводит к требуемому равенству.

Возможные решения задач

1.

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у

Итак, решениями системы могут быть лишь следующие четыре пары чисел: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Подстановкой в уравнения исходной системы убеждаемся, что каждая из этих четырех пар является решением системы.

Треугольники CDF и BDF имеют общее основание FD и равные высоты, так как прямые ВС и AD параллельны. Следовательно, их площади равны. Аналогично, равны площади треугольников BDF и BDE, так как прямая BD параллельна прямой EF. И равны площади треугольников BDE и BCE, так как АВ параллельна CD. Отсюда и следует требуемое равенство площадей треугольников CDF и BCE.

Учитывая область определения функции, построим график.

Используя формулу выполним дальнейшие преобразования

Применяя формулы сложения и выполняя дальнейшие преобразования, получим

5. Ответ: 24 автобуса, 529 туристов.

Обозначим через k первоначальное число автобусов. Из условия задачи следует, чтои что число всех туристов равно 22 k +1 . После отъезда одного автобуса всех туристов удалось рассадить в оставшиеся (k-1) автобусов. Следовательно, число 22 k +1 должно делиться на k-1 . Таким образом, задача свелась к определению всех целых , для которых число

Является целым и удовлетворяет неравенству (число n равно числу туристов, посаженных в каждый автобус, а по условию задачи автобус вмещает не более 32 пассажиров).

Число будет целым только тогда, когда число будет целым. Последнее возможно только при k =2 и при k =24 .

Если k =2 , то n=45.

А если k =24 , то n=23.

Отсюда и из условия получаем, что только k =24 удовлетворяет всем условиям задачи.

Следовательно, первоначально было 24 автобуса, а число всех туристов равно n(k-1)=23*23=529

Возможные решения задач

1. Ответ:

Тогда уравнение примет вид:

Получили квадратное уравнение относительно р .

2. Ответ: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Сложив уравнения системы, получим , или

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у в первое уравнение системы, получим

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у в первое уравнение системы, получим или

Решить уравнение — это значит найти такие значения неизвестного, при которых равенство будет верным.

Решение уравнения

  • Представим уравнение в следующем виде:

2х * х — 3 * х = 0.

  • Видим, что члены уравнения в левой части имеют общий множитель х. Вынесем его за скобки и запишем:

х * (2х — 3) = 0.

  • Полученное выражение является произведением множителей х и (2х — 3). Вспомним, что произведение равно 0 в том случае, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, можно записать равенства:

х = 0 или 2х — 3 = 0.

  • Значит одним из корней исходного уравнения является х 1 = 0.
  • Найдем второй корень, решив уравнение 2х — 3 = 0.

В этом выражении 2х — уменьшаемое, 3 — вычитаемое, 0 — разность. Чтобы найти уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое:

В последнем выражении 2 и х — множители, 3 — произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель:

Таким образом, мы нашли второй корень уравнения: х 2 = 1,5.

Проверка правильности решения

Для того, чтобы узнать, правильно ли решено уравнение, необходимо подставить в него числовые значения х и выполнить необходимые арифметические действия. Если в результате вычислений получится, что левая и правая части выражения имеют одинаковое значение, то уравнение решено правильно.

Выполним проверку:

  • Вычислим значение исходного выражения при х 1 = 0 и получим:

2 * 0 2 — 3 * 0 = 0,

0 = 0, верно.

  • Вычислим значение выражения при х 2 = 0 и получим:

2 * 1,5 2 — 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 — 4,5 = 0,

0 = 0, верно.

  • Значит, уравнение решено правильно.

Ответ: х 1 = 0, х 2 = 1,5.

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

8 класс


  1. Решите уравнение х2+(1-х)2

  1. Докажите, что нет целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец, увеличиваются в 5 раз.

  1. В некотором царстве каждые двое – либо друзья, либо враги. Каждый человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в этом царстве могут стать друзьями.

  1. Трехзначное число делится на 37. Докажите, что сумма чисел bca и cab также делится на 37.



  1. В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

9 класс


  1. По стрельбе из мишени спортсмен выбивал только по 8,9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил ровно 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен, и какие были попадания?

  1. Докажите истинность неравенства:

3. Решите уравнение:


  1. Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.

  1. В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Затем из вершины С проведены прямые, параллельные этим биссектрисам. Точки Д и Е пересечения этих прямых с биссектрисами соединены. Оказалось, что прямые ДЕ и АВ параллельны. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

10 класс


  1. Решите систему уравнений:


  1. На сторонах АВ и АД параллелограмма АВСД взяты соответственно точки Е и К так, что отрезок ЕК параллелен диагонали ВД. Докажите, что площади треугольников ВСЕ и СДК равны.

  1. Постройте график функции

  1. Докажите, что — целое число.

  1. Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое число пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по 22 человека, однако оказалось, что при этом не удается посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. Сколько первоначально было автобусов и сколько туристов в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32 человек?

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

11 класс


  1. Решите уравнение

  1. Решите систему уравнений:


  1. Докажите равенство:

  1. Докажите, что четыре расстояния от точки окружности до вершины вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.

  1. Дан правильный тетраэдр АВСД. На отрезке ДЕ, соединяющем вершину Д с точкой Е пересечения медиан основания АВС взята точка М так, что . Найти соотношение ЕМ:МД.

Возможные решения задач

8 класс

1. Ответ: х=1, х=0,5

2.

От перестановки начальной цифры в конец значность числа не изменится. При этом, по условию задачи, должны получить число, в 5 раз большее первого числа. Следовательно, первая цифра искомого числа должна равняться 1 и только 1. (т.к. если первая цифра будет 2 или больше, то изменится значность, 2*5=10). При перестановке 1 в конец, полученное число оканчивается на 1, следовательно на 5 не делится.

3.

Из условия следует, что если А и В – друзья, то С либо их общий враг, либо общий друг (иначе им троим не примириться). Возьмем всех друзей человека А. Из сказанного следует, что все они дружны между собой и враждуют с остальными. Пусть теперь А и его друзья по очереди ссорятся с друзьями и мирятся с врагами. После этого все окажутся друзьями.

Действительно, пусть А первым поссорился со своими друзьями и помирился со своими врагами, но тогда каждый их его бывших друзей будет с ним мириться, а бывшие враги останутся друзьями. Итак, все люди оказываются друзьями А, а следовательно, и друзьями между собой.

4.

Число 111 делится на 37, поэтому на 37 делится и названная сумма.

По условию, число делится на 37, поэтому и сумма

делится на 37.

5.

Заметим, что указанные медиана и биссектриса не могут выходить из одной вершины, так как в противном случае угол при этой вершине был бы больше 1800. Пусть теперь в треугольнике АВС биссектриса АD и медиана СЕ пересекаются в точке F. Тогда AF – биссектриса и высота в треугольнике АСЕ, значит этот треугольник равнобедренный (АС=АЕ), а так как СЕ – медиана, то АВ = 2АЕ и, следовательно, АВ =2АС.

Возможные решения задач

9 класс

1. Ответ: 9 выстрелов по 8 очков,

2 выстрела по 9 очков,

1 выстрел по 10 очков.

Пусть x выстрелов сделал спортсмен, выбивая по 8 очков, y выстрелов по 9 очков, z выстрелов по 10 очков. Тогда можно составить систему:

Используя первое уравнение системы, запишем:

Тогда

Из этой системы следует, что x+y+z=12

Умножим второе уравнение на (-8) и сложим с первым. Получим, что y+2z=4, откуда y=4-2z, y=2(2-z). Следовательно, у – четное число, т.е. y=2t, где .

Следовательно,

2.

т.е.

15

3.Ответ: х = -1/2, х = -4

После приведения дробей к одному знаменателю получаем

4. Ответ: 105

Обозначим через x,y,z соответственно первую, вторую и третью цифру искомого трехзначного числа. Тогда его можно записать в виде . После вычеркивания средней цифры получится двузначное число . По условию задачи , т.е. неизвестные цифры x,y,z удовлетворяют уравнению

7(10x+z)=100x+10y+x, которое после приведения подобных членов и сокращений принимает вид 3z=15x+5y.

Из этого уравнения следует, что z должно делиться на 5 и должно быть положительным, так как по условию . Поэтому z =5, а цифры х, у удовлетворяют уравнению 3=3х + у, которое в силу условия имеет единственное решение х =1, у = 0. Следовательно, условию задачи удовлетворяет единственное число 105.

5.

Обозначим буквой F точку, в которой пересекаются прямые АВ и СЕ. Так как прямые DB и CF параллельны, то . Ввиду того, что BD – биссектриса угла АВС, заключаем, что . Отсюда следует, что , т.е. треугольник BCF равнобедренный и BC=BF. Но из условия следует, что четырехугольник BDEF – параллелограмм. Поэтому BF = DE, и, значит ВС = DE. Аналогично доказывается, что АС = DE. Это приводит к требуемому равенству.

Возможные решения задач

10 класс

1. Ответ: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Сложив уравнения системы, получим , или

. Отсюда (х + у)2 = 1, т.е. х + у = 1 или х + у = -1.

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1. Подставив х = 1 – у в первое уравнение системы, получим

или

б) х + у = -1. После подстановки х = -1-у в первое уравнение системы, получим или

Итак, решениями системы могут быть лишь следующие четыре пары чисел: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Подстановкой в уравнения исходной системы убеждаемся, что каждая из этих четырех пар является решением системы.

2.

Треугольники CDF и BDF имеют общее основание FD и равные высоты, так как прямые ВС и AD параллельны. Следовательно, их площади равны. Аналогично, равны площади треугольников BDF и BDE, так как прямая BD параллельна прямой EF. И равны площади треугольников BDE и BCE, так как АВ параллельна CD. Отсюда и следует требуемое равенство площадей треугольников CDF и BCE.

3.

Учитывая область определения функции, построим график.

4.

Используя формулу выполним дальнейшие преобразования

Применяя формулы сложения и выполняя дальнейшие преобразования, получим

5. Ответ: 24 автобуса, 529 туристов.

Обозначим через k первоначальное число автобусов. Из условия задачи следует, чтои что число всех туристов равно 22k +1. После отъезда одного автобуса всех туристов удалось рассадить в оставшиеся (k-1) автобусов. Следовательно, число 22k +1 должно делиться на k-1. Таким образом, задача свелась к определению всех целых , для которых число

является целым и удовлетворяет неравенству (число n равно числу туристов, посаженных в каждый автобус, а по условию задачи автобус вмещает не более 32 пассажиров).

Число будет целым только тогда, когда число будет целым. Последнее возможно только при k=2 и при k=24.

Если k=2, то n=45.

А если k=24, то n=23.

Отсюда и из условия получаем, что только k=24 удовлетворяет всем условиям задачи.

Следовательно, первоначально было 24 автобуса, а число всех туристов равно n(k-1)=23*23=529

Возможные решения задач

11 класс

1. Ответ:

Тогда уравнение примет вид:

Получили квадратное уравнение относительно р.

2. Ответ: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Сложив уравнения системы, получим , или

. Отсюда (х + у)2 = 1, т.е. х + у = 1 или х + у = -1.

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1. Подставив х = 1 – у в первое уравнение системы, получим

или

б) х + у = -1. После подстановки х = -1-у в первое уравнение системы, получим или

Итак, решениями системы могут быть лишь следующие четыре пары чисел: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Подстановкой в уравнения исходной системы убеждаемся, что каждая из этих четырех пар является решением системы.

3.

Так как , то

Поэтому

4.

Пусть ABCD вписан в окружность диаметра d, а точка Р лежит на дуге AD.

Обозначим . Тогда .

Если числа являются рациональными числами, то число — иррациональное. Т.е. четыре расстояния от точки окружности до вершины вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.

5.

Так как тетраэдр ABCD правильный, то DE – его высота. Обозначим через F середину ребра АС. Без ограничения общности можно считать, что ребро тетраэдра ABCD равно 1. Тогда

Треугольник АЕМ равен треугольнику ВЕМ, причем ВМ=АМ. По условию

, значит треугольник АМВ равнобедренный прямоугольный и

. Но .

Тогда и

Следовательно,

Реши уравнение относительно n. Решение биквадратных уравнений

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

    Решите уравнение х 2 +(1-х) 2

    Докажите, что нет целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец, увеличиваются в 5 раз.

    В некотором царстве каждые двое – либо друзья, либо враги. Каждый человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в этом царстве могут стать друзьями.

    В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

    По стрельбе из мишени спортсмен выбивал только по 8,9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил ровно 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен, и какие были попадания?

    Докажите истинность неравенства:

3. Решите уравнение:

    Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.

    В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Затем из вершины С проведены прямые, параллельные этим биссектрисам. Точки Д и Е пересечения этих прямых с биссектрисами соединены. Оказалось, что прямые ДЕ и АВ параллельны. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

    Решите систему уравнений:

    На сторонах АВ и АД параллелограмма АВСД взяты соответственно точки Е и К так, что отрезок ЕК параллелен диагонали ВД. Докажите, что площади треугольников ВСЕ и СДК равны.

    Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое число пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по 22 человека, однако оказалось, что при этом не удается посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. Сколько первоначально было автобусов и сколько туристов в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32 человек?

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

    Решите систему уравнений:

    Докажите, что четыре расстояния от точки окружности до вершины вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.

Возможные решения задач

1. Ответ: х=1, х=0,5

От перестановки начальной цифры в конец значность числа не изменится. При этом, по условию задачи, должны получить число, в 5 раз большее первого числа. Следовательно, первая цифра искомого числа должна равняться 1 и только 1. (т.к. если первая цифра будет 2 или больше, то изменится значность, 2*5=10). При перестановке 1 в конец, полученное число оканчивается на 1, следовательно на 5 не делится.

Из условия следует, что если А и В – друзья, то С либо их общий враг, либо общий друг (иначе им троим не примириться). Возьмем всех друзей человека А. Из сказанного следует, что все они дружны между собой и враждуют с остальными. Пусть теперь А и его друзья по очереди ссорятся с друзьями и мирятся с врагами. После этого все окажутся друзьями.

Действительно, пусть А первым поссорился со своими друзьями и помирился со своими врагами, но тогда каждый их его бывших друзей будет с ним мириться, а бывшие враги останутся друзьями. Итак, все люди оказываются друзьями А, а следовательно, и друзьями между собой.

Число 111 делится на 37, поэтому на 37 делится и названная сумма.

По условию, число делится на 37, поэтому и сумма

Делится на 37.

Заметим, что указанные медиана и биссектриса не могут выходить из одной вершины, так как в противном случае угол при этой вершине был бы больше 180 0 . Пусть теперь в треугольнике АВС биссектриса АD и медиана СЕ пересекаются в точке F. Тогда AF – биссектриса и высота в треугольнике АСЕ, значит этот треугольник равнобедренный (АС=АЕ), а так как СЕ – медиана, то АВ = 2АЕ и, следовательно, АВ =2АС.

Возможные решения задач

1. Ответ: 9 выстрелов по 8 очков,

2 выстрела по 9 очков,

1 выстрел по 10 очков.

Пусть x выстрелов сделал спортсмен, выбивая по 8 очков, y выстрелов по 9 очков, z выстрелов по 10 очков. Тогда можно составить систему:

Используя первое уравнение системы, запишем:

Из этой системы следует, что x + y + z =12

Умножим второе уравнение на (-8) и сложим с первым. Получим, что y +2 z =4 , откуда y =4-2 z , y =2(2- z ) . Следовательно, у – четное число, т.е. y=2t , где .

Следовательно,

3. Ответ: х = -1/2, х = -4

После приведения дробей к одному знаменателю получаем

4. Ответ: 105

Обозначим через x , y , z соответственно первую, вторую и третью цифру искомого трехзначного числа. Тогда его можно записать в виде . После вычеркивания средней цифры получится двузначное число . По условию задачи , т.е. неизвестные цифры x , y , z удовлетворяют уравнению

7(10 x + z )=100 x +10 y + x , которое после приведения подобных членов и сокращений принимает вид 3 z =15 x +5 y .

Из этого уравнения следует, что z должно делиться на 5 и должно быть положительным, так как по условию . Поэтому z =5, а цифры х, у удовлетворяют уравнению 3=3х + у, которое в силу условия имеет единственное решение х =1, у = 0. Следовательно, условию задачи удовлетворяет единственное число 105.

Обозначим буквой F точку, в которой пересекаются прямые АВ и СЕ. Так как прямые DB и CF параллельны, то . Ввиду того, что BD – биссектриса угла АВС, заключаем, что . Отсюда следует, что , т.е. треугольник BCF равнобедренный и BC=BF. Но из условия следует, что четырехугольник BDEF – параллелограмм. Поэтому BF = DE, и, значит ВС = DE. Аналогично доказывается, что АС = DE. Это приводит к требуемому равенству.

Возможные решения задач

1.

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у

Итак, решениями системы могут быть лишь следующие четыре пары чисел: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Подстановкой в уравнения исходной системы убеждаемся, что каждая из этих четырех пар является решением системы.

Треугольники CDF и BDF имеют общее основание FD и равные высоты, так как прямые ВС и AD параллельны. Следовательно, их площади равны. Аналогично, равны площади треугольников BDF и BDE, так как прямая BD параллельна прямой EF. И равны площади треугольников BDE и BCE, так как АВ параллельна CD. Отсюда и следует требуемое равенство площадей треугольников CDF и BCE.

Учитывая область определения функции, построим график.

Используя формулу выполним дальнейшие преобразования

Применяя формулы сложения и выполняя дальнейшие преобразования, получим

5. Ответ: 24 автобуса, 529 туристов.

Обозначим через k первоначальное число автобусов. Из условия задачи следует, чтои что число всех туристов равно 22 k +1 . После отъезда одного автобуса всех туристов удалось рассадить в оставшиеся (k-1) автобусов. Следовательно, число 22 k +1 должно делиться на k-1 . Таким образом, задача свелась к определению всех целых , для которых число

Является целым и удовлетворяет неравенству (число n равно числу туристов, посаженных в каждый автобус, а по условию задачи автобус вмещает не более 32 пассажиров).

Число будет целым только тогда, когда число будет целым. Последнее возможно только при k =2 и при k =24 .

Если k =2 , то n=45.

А если k =24 , то n=23.

Отсюда и из условия получаем, что только k =24 удовлетворяет всем условиям задачи.

Следовательно, первоначально было 24 автобуса, а число всех туристов равно n(k-1)=23*23=529

Возможные решения задач

1. Ответ:

Тогда уравнение примет вид:

Получили квадратное уравнение относительно р .

2. Ответ: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Сложив уравнения системы, получим , или

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у в первое уравнение системы, получим

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у в первое уравнение системы, получим или

В этой статье мы будем учиться решать биквадратные уравнения.

Итак, уравнения какого вида называются биквадратными?
Все уравнения вида ах 4 + bx 2 + c = 0 , гдеа ≠ 0 , являющиеся квадратными относительно х 2 , и называются биквадратными уравнениями. Как видите, эта запись очень похожа на запись квадратного уравнения, поэтому и решать биквадратные уравнения будем используя формулы, которые мы применяли при решении квадратного уравнения.

Только нам необходимо будет ввести новую переменную, то есть обозначим х 2 другой переменной, например, у или t (или же любой другой буквой латинского алфавита).

Например, решим уравнение х 4 + 4х 2 ‒ 5 = 0.

Обозначим х 2 через у (х 2 = у ) и получим уравнение у 2 + 4у – 5 = 0.
Как видите, такие уравнения вы уже умеете решать.

Решаем полученное уравнение:

D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

у 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

у 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

Вернемся к нашей переменной х.

Получили, что х 2 = ‒ 5 и х 2 = 1.

Замечаем, что первое уравнение решений не имеет, а второе дает два решения: х 1 = 1 и х 2 = ‒1. Будьте внимательны, не потеряйте отрицательный корень (чаще всего получают ответ х = 1, а это не правильно).

Ответ: — 1 и 1.

Для лучшего усвоения темы разберем несколько примеров.

Пример 1. Решите уравнение 2х 4 ‒ 5 х 2 + 3 = 0.

Пусть х 2 = у, тогда 2у 2 ‒ 5у + 3 =0.

D = (‒ 5) 2 – 4· 2 · 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

у 1 = (5 – 1)/(2· 2) = 4 /4 =1, у 2 = (5 + 1)/(2· 2) = 6 /4 =1,5.

Тогда х 2 = 1 и х 2 = 1,5.

Получаем х 1 = ‒1, х 2 = 1, х 3 = ‒ √1,5 , х 4 = √1,5.

Ответ: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Пример 2. Решите уравнение 2х 4 + 5 х 2 + 2 = 0.

2у 2 + 5у + 2 =0.

D = 5 2 – 4 · 2 · 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

у 1 = (‒ 5 – 3)/(2 · 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, у 2 = (‒5 + 3)/(2 · 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.

Тогда х 2 = ‒ 2 и х 2 = ‒ 0,5. Обратите внимание, ни одно из этих уравнений не имеет решения.

Ответ: решений нет.

Неполные биквадратные уравнения — это когда b = 0 (ах 4 + c = 0) или же c = 0

(ах 4 + bx 2 = 0) решают как и неполные квадратные уравнения.


Пример 3. Решить уравнение х 4 ‒ 25х 2 = 0

Разложим на множители, вынесем х 2 за скобки и тогда х 2 (х 2 ‒ 25) = 0.

Получим х 2 = 0 или х 2 ‒ 25 = 0, х 2 = 25.

Тогда имеем корни 0; 5 и – 5.

Ответ: 0; 5; – 5.

Пример 4. Решить уравнение 5х 4 ‒ 45 = 0 .

х 2 = ‒ √9 (решений не имеет)

х 2 = √9, х 1 = ‒ 3, х 2 = 3.

Как видите, умея решать квадратные уравнения, вы сможете справиться и с биквадратными.

Если же у вас остались вопросы, записывайтесь на мои уроки. Репетиор Валентина Галиневская.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решить уравнение — это значит найти такие значения неизвестного, при которых равенство будет верным.

Решение уравнения

  • Представим уравнение в следующем виде:

2х * х — 3 * х = 0.

  • Видим, что члены уравнения в левой части имеют общий множитель х. Вынесем его за скобки и запишем:

х * (2х — 3) = 0.

  • Полученное выражение является произведением множителей х и (2х — 3). Вспомним, что произведение равно 0 в том случае, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, можно записать равенства:

х = 0 или 2х — 3 = 0.

  • Значит одним из корней исходного уравнения является х 1 = 0.
  • Найдем второй корень, решив уравнение 2х — 3 = 0.

В этом выражении 2х — уменьшаемое, 3 — вычитаемое, 0 — разность. Чтобы найти уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое:

В последнем выражении 2 и х — множители, 3 — произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель:

Таким образом, мы нашли второй корень уравнения: х 2 = 1,5.

Проверка правильности решения

Для того, чтобы узнать, правильно ли решено уравнение, необходимо подставить в него числовые значения х и выполнить необходимые арифметические действия. Если в результате вычислений получится, что левая и правая части выражения имеют одинаковое значение, то уравнение решено правильно.

Выполним проверку:

  • Вычислим значение исходного выражения при х 1 = 0 и получим:

2 * 0 2 — 3 * 0 = 0,

0 = 0, верно.

  • Вычислим значение выражения при х 2 = 0 и получим:

2 * 1,5 2 — 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 — 4,5 = 0,

0 = 0, верно.

  • Значит, уравнение решено правильно.

Ответ: х 1 = 0, х 2 = 1,5.

Решение геометрических задач при подготовке к ГИА

1. Решение геометрических задач при подготовке к ГИА

?
Титова В.А.,
учитель математики
МОУ СОШ № 5

2. Содержание

1. Справочная информация.
2. Задания первой части ГИА.
3. Задания второй части ГИА.
Задания: — на множественный выбор;
— с практическим содержанием;
для самостоятельного решения;
— с развёрнутым свободным ответом.
4. Задания третьей части ГИА.
5. Задания ЕГЭ 2009 (В-11).
для самостоятельного решения

3. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

4. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

треугольники
четырехугольники
правильные многоуг
ольники
окружность
векторы
Справочные сведения
Треугольники
Прямоугольный треугольник
α
Решение прямоугольных треугольников
Теорема Пифагора: с 2 а 2 b 2
А
b
c
sin
М
a
С
В
a
b
h
c
a
;
c
b
cos ;
c
tg
a
,
b
где а – катет, противолежащий α; b — катет, прилежащий к α.
Середина гипотенузы равноудалена от его вершин: МА=МВ=МС.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:
h 2 ca cb ;
b 2 cb c
а 2 са с;
с , с — проекции катетов на гипотенузу.
а
b
Площадь прямоугольного треугольника:
b
а
R
r
R
1
c
2
r
a b c
2
S
ab
2
Справочные сведения
Треугольники
Равнобедренный треугольник
h
Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию,
совпадают.
Высоты, проведённые к боковым сторонам, равны;
медианы, проведённые к боковым сторонам, равны;
биссектрисы углов при основании равны.

7. Справочные сведения Треугольники

Произвольный треугольник
Площадь треугольника:
b
с
S
h
a
b
abc
;
4R
a
sin A
B
R
S
1
a h
2
где р – полупериметр
0
Сумма углов в треугольнике: А В С 180
a
b
c
Теорема синусов:
c
r
S
S p ( p a ) ( p b) ( p c ) ,
А
C
1
a b sin ;
2
S = p ∙ r;
Теорема косинусов:
R
abc
4S
r
sin B
sin C
с 2 a 2 b 2 2ab sin
2S
p
Справочные сведения
Треугольники
А
Подобие треугольников
В в подобных треугольниках
С
D
F
E
В
А
(соответствующие стороны лежат против равных углов)
Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении
А1 2 : 1, считая от вершины угла (АО : ОА1 = 2 : 1)
О
С
l
a
x
c
b
y
AB BC AC
DE EF DF
АА1
1
2 АС 2 2 АВ 2 ВС 2
2
Биссектриса угла делит сторону на отрезки, пропорциональные
двум другим сторонам (а : b = x : y).
2ab cos
2
Длина биссектрисы l ab xy
lc
a b
Справочные сведения
Четырехугольники
Параллелограмм
Свойства
ABCD – параллелограмм
AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD,
В
С
A C , B D
A B B C C D A D 1800 ,
О
AO = OC, BO = OD,
φ
α
A
D
2 ( AB 2 BC 2 ) AC 2 BD 2 .
Признаки
AB CD, BC AD
ABCD – параллелограмм;
AO = OC, BO = OD
ABCD – параллелограмм;
ABCD – параллелограмм;
AB = CD, BC = AD
ABCD – параллелограмм;
AB = CD, AB CD
BC = AD, BC AD ABCD – параллелограмм
Площадь:
1
S aha ;
2
S ab sin ;
S
1
d1 d 2 sin
2
Справочные сведения
Четырехугольники
Прямоугольник
Свойства
ABCD – прямоугольник
AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD;
В
С
О
A
D
А С В D 900 ;
AO = BO = CO = DO
(О – центр описанной окружности, ОА = R).
Признаки
ABCD – параллелограмм, АС = BD
ABCD – прямоугольник.
ABCD – параллелограмм,
ABCD – прямоугольник.
0
А 90
Площадь
S ab
S
1 2
d sin
2
Справочные сведения
Четырехугольники
Ромб
В
А
О
h
α
a
D
С
Свойства
ABCD – ромб
AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;
0
A C , B D ; A B B C C D A D 180 ,
АС ВD , АО = ОС, ВО = ОD;
ВАО DAO, ABO CBO, BCO DCO, ADO CDO
Признаки
AB = CD, BC = AD ABCD – ромб
ABCD – параллелограмм, АС BD
ABCD – прямоугольник.
ABCD – параллелограмм,
ABCD – ромб
ВАО DAO
Площадь
S aha ,
S a 2 sin ,
S
d1 d 2
.
2
Справочные сведения
Четырехугольники
Квадрат
В
а
О
d
A
Свойства
С ABCD – квадрат AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;
А С В D 900 ; АС ВD , AO = BO = CO = DO;
ВАО АВО СВО ВСО DCO CDO ADO DAO 450
D
Признаки
ABCD – прямоугольник, AB = CD = BC = AD ABCD – квадрат;
ABCD – ромб, А 90 0
ABCD – квадрат.
Площадь
S a2
d2
S
2
Справочные сведения
Четырехугольники
Произвольная трапеция
B
C
O
φ
A
D
Треугольники AOD и СОВ подобны.
Треугольники АОВ и DOC равновелики (их площади равны)
Площадь трапеции: S 1 d1d 2 sin
2
a
m
h
b
c
Средняя линия трапеции:
Площадь трапеции:
S
m
a b
2
a b
h m h
2
Вписанная в окружность трапеция – равнобедренная.
В описанной около окружности трапеции:
высота равна диаметру: h = 2 r;
b
сумма оснований равна сумме боковых сторон: a + b = c + d;
r d
полусумма боковых сторон равна средней линии: c + d = m;
a
(боковая сторона равнобедренной трапеции равна средней линии).
Справочные сведения
Четырехугольники
Равнобедренная трапеция
В
С
A
Углы при оснований равны: А D, B C
D
B
C
O
A
D
B
C
h
m
A
H
Диагонали равны: АС = ВD;
отрезки диагоналей равны: АО = DO, BO = CO;
углы, образованные основанием и диагоналями, равны:
CAD ADB, DBC ACB
Основание высоты, проведённой к большему основанию, делит основание
на отрезки, равные a b a b
(если ВН – высота, то DH = m, где m –
и
средняя линия).
2
2
D
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота,
проведённая к основанию, равна средней линии: h = m. В этом случае
площадь трапеции можно найти по формуле: S h 2 m 2
Справочные сведения
Правильные многоугольники
Сумма углов многоугольника
В выпуклом многоугольнике сумма углов равна
1800 (т 2),
где n – число сторон (вершин) многоугольника.
Свойства правильного многоугольника
Все стороны равны, все углы равны,
О – центр вписанной и описанной окружностей,
R – радиус описанной окружности, лежит на биссектрисе угла,
r – радиус вписанной окружности, лежит на серединном
перпендикуляре к стороне.
О
R r
A
B
1
2
3
Центральный угол:
Внутренний угол:
Внешний угол равен центральному углу:
a2 3
S3
4
1 360 0 : n,
180 0 (n 2)
2
,
n
3 3600 : n.
Справочные сведения
Правильные многоугольники
Примеры равнобедренных треугольников,
боковыми сторонами которых являются две стороны многоугольника, два
радиуса или равные диагонали:
d
a
R
R
R
r
r
R
a
Примеры прямоугольных треугольников
(вписанный угол опирается на диаметр)
d
Справочные сведения
Окружность
Окружность и её элементы
.
Радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен
этой хорде.
Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен
касательной.
.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
Центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного
касательными, проведёнными из одной точки.
.
.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 900
Справочные сведения
Окружность
Окружность и её элементы
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги,
на которую он опирается.
m
m
n
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается.
n
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение
отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой
хорды.
Справочные сведения
Окружность
Окружность, вписанная в треугольник
Отрезок, соединяющий центр окружности и точку её
касания со стороной, перпендикулярен этой стороне.
Отрезки двух соседних сторон от общей вершины до
точек касания равны между собой.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе
угла, образованного двумя сторонами.
Справочные сведения
Окружность
Окружность, описанная около треугольника
Центр описанной окружности лежит на серединном
перпендикуляре к любой из сторон треугольника.
Если прямоугольный треугольник вписан в
окружность, то его гипотенуза является диаметром
окружности.
Угол вписанного в окружность треугольника в 2 раза
меньше центрального угла, опирающегося на ту же
дугу, и равен любому другому вписанному углу,
опирающемуся на ту же дугу.
Справочные сведения
Векторы
Сложение и вычитание векторов
В
В
A
CA
С
D
Правило треугольника: АВ ВС АС ;
Правило параллелограмма: AB AD AC
D
Сумма нескольких векторов:
A
А
В
В
О
А
А
AD a b c
Вычитание векторов: ОА ВА ОВ
О
Скалярное произведение векторов:
a b a b cos ab ;
а
b
В координатах: a x ; y , b x ; y a b x x y y
1
1
2
2
1 2
1 2

22. Треугольники

Решение заданий первой части
1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр треугольника МРС.
1) 22 2) 21 3) 42 4)23
С
2. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет НТ.
1) 5 3
2) 5
3)
4) 10 2
5 2
3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет SТ.
1) 9
2) 6 3
3) 9 3 4) 9 2
4. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет BC.
6
6
1) 6 sinα 2) 6 tgα 3)
4)
tg
sin
5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
площадь треугольника.
1) 156
2) 78
3) 60
4) 30
Р
7
В
12
7
8
М 8
2)
А
Р
45
10
Н
3)
0
Т
R
600
3)
18
S
T
B
1)
6
C
α
13
A
5
12
4)
Треугольники
Решение заданий первой части
6. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь
прямоугольного треугольника.
1) 16
2) 192
3) 120
4) 96
7. В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся его
сторон в точках М, К, и Р. Используя данные, указанные
на рисунке, найдите сторону АС.
1) 18
2) 14
3) 15
4) 11
20
12
5
4)
В
М
К
6
3)
9
А
Р
С
8. Треугольник АСР – равнобедренный с основанием СР, равным 10, и боковой
стороной, равной 12. Найдите периметр треугольника РКМ, где КМ – средняя
линия, параллельная стороне АС.
9. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка
МР, если известно, что МР || АС.
М
17
D
6
Р
А4
С
21
12,6

24. Треугольники

Решение заданий первой части
10. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр четырёхугольника ABDC, если известно,
что угол BAD равен углу CAD.
11. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Р, причём
угол ВАР равен углу DCP. Используя данные, указанные
на рисунке, найдите длину отрезка AD.
12. АВС – равнобедренный треугольник с основанием АС.
AD и СЕ – высоты к боковым сторонам. Найдите AD, если
АЕ = 6, АС = 10.
C
D
28
4
B
10
A
В
D
14
23
P
A 9 9 C
В
Е
D
8
6
A
10
C

25. Треугольники

Задания первой части (для самостоятельного решения)
1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр треугольника АВС.
1) 42
2) 23
3) 46
10
А
N
7M
6
4) 30
7
2. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет РК.
1)10 2 2) 10 3) 10 3 4) 20 2
sin
tg
5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
площадь треугольника.
1) 135
2) 67,5
3) 54
4) 108
B
3)
C
М
1)
20
45 0
Р
К
3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет HN.
1) 12
2)
3)
4)
12 3
12 2
8 3
4. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
гипотенузу ВС.
6
6
1) 6 sinα 2) 6 tgα 3)
4)
10
N
24
L
2)
30 0
H
B
A
3)
6
15
C
9
3)

26. Треугольники

Задания первой части (для самостоятельного решения)
6. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр четырёхугольника ABDC, если известно,
что угол BAD равен углу CAD.
7. Отрезки АE и CD пересекаются в точке N, причём
угол NАD равен углу NCE. Используя данные, указанные
6
D
C
30
B
A
9
15
N
C
E
22
на рисунке, найдите длину отрезка AE.
15
D
7
A
8. В равнобедренный прямоугольный треугольник АВС вписан
квадрат BDEF так, что его стороны BD и BF лежат на катетах
ВА и ВС, а вершина Е – на гипотенузе. АВ = 14. Найдите FC.
9. На параллельных прямых a и b отложены равные отрезки KL
и MN. Отрезки KN и ML пересекаются в точке О. КО = 7.
Найдите длину отрезка KN.
7
A
D
E
B
F
C
K
L
a
O
M
N
b
7
10. Найдите синус угла С треугольника ACD, если известно, что АС
= 15,
cos K
AD = 12.
9
синус угла D равен 0,75.
11. Найдите сторону LN треугольника KLN, если известно, что
KL = 5, KN = 9.
14
,
0,6
6

27. Треугольники

Задания первой части ГИА– 2009 (для самостоятельного решения)
12. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь
прямоугольного треугольника.
1) 160
2) 192
3) 12
4) 96
20
4)
16
В
13. В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся его
сторон в точках М, К, и Р. Используя данные, указанные
на рисунке, найдите сторону АВ.
1) 15
2) 17
3) 20
4) 18
М
А
8
7
К
10
Р
1)
С
14. Треугольник СDЕ – равнобедренный с основанием DE, равным 22, и боковой
стороной, равной 16. Найдите периметр треугольника ЕМР, где МР – средняя
линия, параллельная стороне СD.
15. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка
LN, если известно, что LN || ВС.
15
B
L
10 D
17
27
N
6,8
C

28. Треугольники Решение заданий второй части

Задачи на вычисления в равнобедренном треугольнике, как правило, помимо свойств, относящихся к равнобедренному треугольнику, используют свойства прямоугольного треугольника, т. к.
медиана, проведённая к основанию, делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных.
1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше
боковой стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 3 11
.
В
Решение: 1 способ
1) Обозначим АС = х, тогда ВС = 3х, МС = 1,5х.

М
3 11
А
Н
х
2
2
2
АМ
МС
АС
2 МС АС сosС
AMC
2)
: по теореме косинусов
1,5 х
CH 0,5 х 1
ВСН
:
cos
C
.
С 3) Пусть ВН – высота к основанию АС.
BC

6
3 11
2
х 2 1,5 х 2 х 1,5 х
4) Получаем:
99 х 2 2,25 х 2 0,5 х 2
2
1
6
99 2,75 х 2
х 2 36
х 6
Ответ: 6.
— 6 не удовл. смыслу задачи
Отсюда АС = 6.

29. Треугольники Решение заданий второй части

1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше боковой
стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 3 11.
2 способ: используется приём, позволяющий быстро решать задачи, где речь идёт о медиане.
Медиана АМ продлевается за точку М и на её продолжении откладывается отрезок МD, равный
медиане.
Рассматривается параллелограмм АВDС и используется формула, связывающая его
стороны и диагонали.
D
Решение:
В
1) Пусть АС – основание треугольника, АМ – медиана.
М
Отложим на луче АМ отрезок МD = АМ
Тогда АСВD – параллелограмм, т. к.его диагонали пересекаются
в середине.
А
С
2) Обозначим АС = х, АВ = ВС = 3х, тогда по свойству сторон и
2
2
2
2
диагоналей параллелограмма имеем: 2( АВ АС ) ВС АD
,
2
2
2
2
или 2 (9 х х ) 9 х (6 11 )
11 х 2 36 11
х 6
Ответ: 6.

30. Треугольники Решение заданий второй части

2. В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус
12
угла при основании треугольника равен .13
Радиус ОМ пересекает под прямым углом
боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК.
1 способ опирается на свойства вписанных и центральных углов и решение прямоугольных
треугольников.
В
Решение:
М
К
1) Угол при основании равнобедренного треугольника может быть только
острым, значит, центр О с вершиной А лежит по одну сторону от хорды ВС.
О
ВОС
— центральный, соответствующий углу А. Отсюда
ВОС 2 А.
А
С Тогда
2) Δ ВОС – равнобедренный, ОК – высота, проведённая к основанию, тогда ОК – биссектриса
угла О, отсюда имеем: ВОС 2 А.
12
12 ВК
0
ВОК
:
К
90
,
ОВ
13
,
sin
ВОК
, ВК 12, ОК 13 2 12 2 5.
3)
13
13 13
Ответ: 5.

31. Треугольники Решение заданий второй части

2. В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус
12
угла при основании треугольника равен . Радиус ОМ пересекает под прямым углом
13
боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК.
Т.к. в ряде случаев первый способ применить бывает невозможно, приведём 2 способ решения, который использует свойство отрезков хорд.
В
О
А
К
М
С
Решение:
1)
ВС 2 R sin A 2 13
12
24.
13
ОМ ВС ВК КС 12.
2)
3) Достроим радиус ОМ до диаметра РМ, тогда РМ =26.
Пусть МК = х. По свойству отрезков хорд получим
12 2 х ( 26 х)
х 2 26 х 144 0
х1 8илих 2 18.
Ответ:5.
МК 8, ( МК 18, т.к.МК R ), OK 13 8 5.

32. Треугольники Решение заданий второй части

Свойство отрезков касательных чаще всего применяют в задачах, связанных с вычислением
элементов равнобедренных или прямоугольных треугольников. При решении задач бывает
полезно отметить на рисунке точки касания и отметить равные отрезки одинаковыми буквами
или чёрточками, используя при этом свойства рассматриваемого треугольника.
3. Окружность с центром О, вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС.
Она касается стороны ВС в точке М, причём отрезок ВМ составляет 0,4 боковой стороны.
Найдите высоту, проведённую к боковой стороне, если АС = 30.
В
Решение:

1) Обозначим буквой Н точку касания вписанной окружности с основанием.
К
Так как ΔАВС – равнобедренный, то центр О лежит на высоте к основанию,
О М

т. е. ВН – высота и Н – середина основания.
А
3х Н 3х С
2) Если считать ВМ = 2х и СМ = 3х, то АВ = ВС = 5х.
По свойству отрезков касательных имеем СН = 3х, 3х = 15, АВ = 25.
3) По теореме Пифагора ВН 2 25 2 15 2
ВН 2 20 2
ВН 20.
4) SАВС =0,5 ВН· АС = 0,5 АВ · h, отсюда h = (20 · 30) : 25 = 24.
Ответ: 24.

33. Треугольники Решение заданий второй части

В задачах на площадь треугольника иногда используется отношение площадей
треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
отношения сходственных сторон (или квадрату коэффициента подобия).
Из формулы площади треугольника можно вывести ещё два следствия:
— если треугольники имеют общее основание (или равные основания), то их
площади относятся, как высоты, проведённые к этим основаниям;
— если треугольники имеют общую высоту (или равные высоты), то их площади
относятся, как основания.

34. Треугольники Решение заданий второй части

4. Площадь треугольника МРК равна 21. Известно, что сторона МР = 7, медиана
РА = 3 2, а в треугольнике АРМ сторона АМ – наименьшая. Найдите сторону МК.
Решение:
Р
1)
2)
7
3 2
М
А
К
S MAP
S MAP
1
S MPK 10,5.
2
1
10,5 2
1
MP AP sin sin
2
7 3 2
2
Т. к. МА – наименьшая сторона в треугольнике АРМ, то α не
может быть тупым, α = 45 0.
3) В треугольнике МАР по теореме косинусов:
АМ 2 49 18 2 7 3 2
Ответ: 10.
АМ 5
МК 10.
1
2
25

35. Треугольники Решение заданий второй части

5. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С биссектриса ВК делит
катет АС на отрезки АК = 15 и КС = 12. Найдите площадь треугольника АВК.
Решение:
АВ АК 15 5
1) По свойству биссектрисы треугольника ВС КС 12 4 .
Тогда АВ = 5х, ВС = 4х, АС 25 х 2 16 х 2 3х,
В


3 х 27
х 9
ВС 36.
А
15
К
12
Ответ: 270.
С
2) S ABK : S BCK 5 : 4 (т. к. эти треугольники имеют одну
и ту же высоту ВС).
5
5 1
Значит,
S ABK S ABC 27 36 270.
9
9 2

36. Треугольники Решение заданий второй части

6. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
1) Медиана всегда делит пополам один из углов треугольника.
2) Медиана проходит через середину стороны треугольника.
3) Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
4) Точка пересечения медиан произвольного треугольника – центр окружности, описан –
ной около этого треугольника.
5) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в
отношении 2 к 1, считая от вершины.
Ответ: 2), 3), 5).
7. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
1) Биссектриса всегда проходит через середину стороны треугольника.
2) Биссектриса всегда делит пополам один из углов треугольника.
3) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные
двум другим сторонам.
4) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника – центр окружности, вписанной
в этот треугольник.
5) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника – центр окружности, описанной
около этого треугольника.
Ответ: 2), 3), 4).

37. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

8. Из листа фанеры вырезали равносторонний треугольник со сторонами 10 дм, 10 дм и
1дм 2
12 дм. Сколько килограммов краски потребуется, чтобы его покрасить, если на
поверхности расходуется 0,015 кг краски?
10
10
Решение:
12
1)
По формуле Герона
S p ( p a ) ( p b) ( p c) получаем:
р (10 10 12) : 2 16(дм)
S 16 (16 10) (16 10) (16 12) 16 6 6 4 4 6 2 48(дм 2 )
2)
Расход краски равен 48 · 0,015 = 0,72 (кг)
Ответ: 0, 72.

38. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Природа говорит языком математики:
буквы этого языка – круги, треугольники
и иные математические фигуры.
(Галилей)
Измерение высоты предмета.
1 способ самый лёгкий и самый древний – по тени предмета, использующий:
а) свойства равнобедренного треугольника. Для этого выбирается час, когда длина
тени человека равна его росту; в этот момент высота предмета равна длине отбрасываемой им тени.
Б) подобие треугольников. Можно пользоваться любой
тенью, любой длины. Измерив свою тень или тень любого
шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции:
АВ : ав = ВС : вс.
(Высота дерева во столько же раз больше вашей собственной высоты (или шеста), во сколько раз тень дерева длиннее вашей (или шеста).

39. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

2 способ
А) С помощью шеста, который надо воткнуть в землю так, чтобы его высота
равнялась вашему росту. Место для шеста надо выбрать так, чтобы, лёжа вы видели
верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. По свойству равнобедренного прямоугольного треугольника АВ = ВС, т. е. высоте дерева.
— Да.
— Помнишь свойства подобных треугольников?
— Их сходственные стороны пропорциональны.
— Правильно. Так вот: сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У
меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до
основания шеста; гипотенуза же — мой луч зрения. У другого треугольника катетами
будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка
до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с
направлением гипотенузы первого треугольника.
— Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от
колышка до шеста так относится к расстоянию от
колышка до основания стены, как высота шеста к
высоте стены.
— Да. И следовательно, если мы измерим два первых
расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить
четвертый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту
стены. Мы обойдемся, таким образом, без
посредственного измерения этой высоты.
Оба горизонтальных расстояния были измерены:
меньшее равнялось 15 футам, большее- 500 футам.
По окончании измерений инженер составил следующую запись:
15:500=10:х,
15:500=10:х,
500 10=5000,
5000:15=333,3.
Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам.

41. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Б) (способ Жюля Верна, описанный в романе «Таинственный остров»)
Для определения высоты скалы необходимо взять шест длиной равной росту человека,
воткнуть вертикально в землю. Затем отойти от скалы на такое расстояние, чтобы лёжа на
песке, можно было видеть и конец шеста и конец гребня.
В учебнике этот способ рассматривается в п.64 «Практические приложения
подобия
треугольников»

42. Треугольники Решение заданий второй части

3 способ
Для измерения высоты дерева можно использовать способ основанный на равенстве угла падения и
угла отражения света. Для этого на некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле, в
точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой
наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева.
А
В
С
D

43. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Как поступать, если к измеряемому объекту невозможно подойти вплотную?
А) Задача решается двукратным применением описанного выше способа – помещение зеркала
высота равна возвышению глаза наблюдателя, умноженному на отношение расстояния между
положениями зеркала к разности расстояний наблюдателя от зеркала.
Б) На прямой, проходящей через основание Н предмета, отмечают точки В и С на определённом расстоянии а друг от друга и измеряют углы АВН и АСВ: АВН , АСВ .
По теореме синусов:
А
АН
а sin sin
.
sin( )
Способ рассматривается в учебнике п.100,
«Измерительные работы».
Задача № 1036, 1038.
Н
а
В
С

44. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

1. В 40 м одна от другой стоят две сосны. Высота одной 31 м, другой, молодой – всего 6
м. Можете ли вы определить как велико расстояние между их макушками?
Решение:
По теореме Пифагора расстояние АВ между
верхушками сосен равно
АВ 40 2 (31 6) 2 40 2 25 2 47( м).
Ответ: 47 м.

45. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

2. Тень ВС от отвесного шеста АВ высотою 4,2 м имеет 6,5 длины. Какова в этот
момент высота Солнца над горизонтом, т. е. как велик угол С?
Решение:
sin C
AB
AC
2
AC AB 2 BC 2 4,2 6,52 7,74( м)
sin C
4,2
0,55
7,74
C 330
Ответ:
C 330

46. Треугольники Решение заданий второй части

3. Определите высоту (в метрах) дерева, изображён –
ного на рисунке, если рост человека 1,7м, а в результате измерений получено: ВС = 9м, CD = 1,5м.
Решение:
В
С
D
A
АВС 90 0
E
1.7
B
9
C 1.5 D
EDC 90 0
ACB ECD(свойство )
AB BC
AB
9
ED DC
1,7 1,5
АВ
Ответ: 10,2 м.
АВСподобен EDC (призн.)
9 1,7 3 17
10,2( м)
1,5
5

47. Треугольники Решение заданий второй части

4. Для измерения высоты дома нужно воткнуть в землю под прямым углом шест
М
М 1 Р1 выше роста ОО1 наблюдателя на расстоянии РР от дома. Затем следует
1
М1
отойти от шеста назад по продолжению РРдо
той точки О, с которой
1
N1
можно увидеть высшую точку М на одной линии с верхней
О
N
О1 Р1
точкой М 1 шеста. Далее, стоя на том же месте, необходимо
P
отметить на шесте и на доме 2 точки N1 и N, лежащие на горизонтальной прямой.
Определите высоту МР дома, если рост человека
ОО1 1,7 м, М 1 N1 1м, О1 Р 18 м, О1 Р1 3 м.
Решение:
1) О ОNPиO ON P прямоуголь ники ON O P 18 м, ON O P 3 м, NP OO 1,7 м.
1
1
1 1
1
1
1 1
1
2) M N O подобен MNOпо первому признаку
1 1
Отсюда следует пропорциональность сторон:
MP = MN + NP = 6 + 1,7 = 7,7 (м).
Ответ: 7,7 м.
M N O MNO 90 , MON общий .
0
1
1
M 1 N 1 MN
M N ON 1 18
MN 1 1
6 м.
ON1
ON
ON 1
3

48. Треугольники Решение заданий второй части

5. Для того, чтобы измерить высоту CD = h холма, необходимо с помощью угломерных
инструментов измерить угол α, под которым видна вершина С холма из точки А, затем
отойти на расстояние АВ = d, находясь в плоскости ACD, и измерить угол β, под которым
видна вершина С. АА ВВ- рост наблюдателя. Найдите высоту холма, если
3 1,73,
1
1
.
0
0
60 , 30 , d 100 м, АА1 1,8 м
С
В1
β
α
А1
В
А
d
4) В прямоугольном
5)
Решение:
1)
С1 D A1 A 1,8 м, А1 В1 АВ D 100 м
h
как
стороны прямоугольников
С1
АА1 В1 ВиАА1С1 D.
2)
B1 A1C 180 0 180 0 60 0 120 0.
3)
D
B1CA1 180 0 ( 120 0 ) 180 0 (30 0 120 0 ) 30 0
B1 A1C равнобедре нный А1С А1 В1 100 м
СС1 А1 : СС1 А1С sin 100 sin 60 0 100
h CD CC1 C1 D 86,5 1,8 88,3( м).
Ответ: 88,3м.
3
50 3 50 1,73 86,5( м).
2

49. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Измерение ширины реки
В
1 способ основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов.
(рассматривается в учебнике, № 1037).
В1
С
С1
2 способ основан на использовании подобия треугольников
А
а)(рассматривается в учебнике, № 583).
б) с помощью «прибора» с тремя булавками на вершинах равнобедренного треугольника.
рассматривается в книге Я.И. Перельмана
«Занимательная геометрия»
(гл. 2, «Геометрия у реки»)

50. Треугольники Решение заданий второй части

В).Чтобы измерить ширину реки на её прямолинейном участке, необходимо на противополож –
ном берегу выбрать какой – либо ориентир, например, камень (точка С). Затем на своём берегу
следует найти точку А, так, чтобы отрезок АС был перпендикулярен береговой линии (это
можно сделать с помощью угломерных инструментов). Далее нужно отметить точку В, нахо –
дящуюся на расстоянии АВ = d от точки А и отойти от неё в точку D так, чтобы С, В и D нахо –
дились на одной прямой линии. Затем необходимо отметить точку Е так, чтобы С, А и Е нахо –
дились на одной прямой и отрезок ED был параллелен береговой линии.
6. Найдите ширину реки АС = Н, если АВ = d1 = 24 м, ED = d 2= 30 м, АЕ = h = 4,5 м.
Решение:
АВСподобен EDC
С
Н
А
h
Е
по первому признаку подобия
0
( Собщий , САВ CED 90 по построению).
AC EC
H
H h
или
Hd 2 Hd 1 hd1
Отсюда
В
d1
d2
AB
D
ED
d1
d2
H ( d 2 d 1 ) hd1 H
4,5 24
hd1
.
d 2 d1
Подставив в формулу числа, данные в условии, получим: Н
30 24
Ответ: 18.
4,5 24
4,5 4 18 м.
6

51. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

7. Чтобы определить
ширину АВ озера, вы нашли по компасу, что прямая АС уклоняется
0
к западу на 21, а ВС – к востоку на22 0 . Длина ВС = 68 м, АС = 35 м. Вычислить по
этим данным ширину озера.
Решение:
1) В треугольнике АВС:
0
0
С 21 22 43 0
2) Опускаем высоту АD, имеем
СА 35 м, СВ 68 м.
AD
AD
0,68 AD 0,68 35 24.
AC
AC
0
sin 43 0,68
sin 43 0
3)
СD 2 AC 2 AD 2 352 24 2 649 CD 25,5
BD BC CD
68 25,5 42,5.
4) Из треугольника
АВD имеем:
Ответ: 49 м.
AB 2 AD 2 BD 2 24 2 42,52 2380
(способ предложен в книге Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия»)
AB 49
!? Найдите более простой способ решения задачи.

52. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Нахождение расстояния до недоступной точки
1 способ
основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов. На местности выбираем точку
А ; В .
В и измеряем длину с отрезка АВ. Измеряются углы А и В:
По теореме синусов находим искомое расстояние d: d
c sin
.
sin( )
С
d
В
c
А
Способ рассматривается в
учебнике п.100,
«Измерительные работы».
Задача № 1037.
2 способ основан на использовании подобия треугольников
(рассматривается в учебнике, № 582).

53. Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения)

1. Определите высоту дерева (в метрах), изображённого на рисунке,
если рост человека 1,8 м, а в результате измерений получено:
ВС = 5м, СО = 0,9м.
А
Е
1,8
О
10
С
В
2. Для измерения высоты монумента нужно установить шест Р1 М под прямым углом
выше роста ОО1 наблюдателя на расстоянии РР1 от монумента. Затем отойти назад
до той точки О1 , с которой можно увидеть вершину М на одной линии с верхней
точкой М шеста. Далее, стоя на том же месте, необходимо отметить на шесте
М1
1
и на монументе 2 точки N и N , лежащие на горизонтальной прямой. Найдите
О
N1
1
высоту монумента, если рост человека 1,8м, М 1 N1 1м, О1 Р1 2,2 м, О1 Р 17,6 м.
О1
3. Для того, чтобы определить высоту СК = h здания, необходимо из точки А с
помощью угломерных инструментов измерить угол α, под которым видна вершина
К здания, затем отойти на расстояние АВ = d, находясь в плоскости АСК, и изме –
рить угол β, под которым видна вершина К из точки В. АА ВВ — рост наблюда –
1
1
теля. Найдите высоту СК здания, если 75 0 ; 30 0 ; АА 1,8 м; d 14 м.
1
Указание: sin 750 0,97; sin 450 0,7.
М
9,8
N
P
Р1
К
С
1
С
В1
А1
А
В
11,5

54. Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения)

4. Для измерения ширины реки на её прямолинейном участке нужно
на берегу наблюдателя отметить 2 точки А и В на границе с водой и
измерить расстояние АВ = d между ними, а на противоположном бе –
регу найти какой – либо ориентир, например, камень (точка С). Затем
с помощью угломерных инструментов следует измерить углы
. Найдите ширину CD = h реки, (CD AB),
САВ , АВС
Если
. Указание:
.
60 0 , 60 0 , d 20 м
3 1,73
5. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны
С
А
h
D
17,3
В
d
1) Высота всегда образует с прямой, содержащей одну из сторон треугольника, прямой угол.
2) В прямоугольном треугольнике высота может совпадать с одной из его сторон.
3) Точка пересечения высот произвольного треугольника – центр окружности, описанной
около этого треугольника.
4) Высота всегда делит треугольник на два треугольника равной площади.
5) Высота может лежать и вне треугольника.
6. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ = АС. Отрезки BD и СЕ проведены
таким образом, что они пересекаются в точке О, лежащей на биссектрисе угла А, а
точки Е и D лежат на отрезках АВ и АС соответственно. Докажите, что
ВЕ = CD.
1)
2)
5)

55. Задания с развёрнутым свободным ответом

Используются во второй и третьей частях работы для проверки состояния более
сложных предметных умений – анализировать ситуацию, разрабатывать способ
решения, проводить математически грамотные рассуждения.
Характеризуя высокий уровень подготовки по предмету, как правило, выделяют
следующие его качества:
• умение выполнять чертёж, соответствующий ситуации, представленной в
условии задачи;
• прочное владение системой знаний, указанных в школьной программе;
• умение обосновывать сделанные выводы ссылкой на теоремы и определения;
• умение строить логически верную цепочку доказательных рассуждений, шагов
решения , которые помогают прийти к требуемому выводу;
• умение синтезировать информацию из различных разделов курса геометрии
для решения поставленной проблемы;
• умение математически грамотно записать решение задачи.

56. Треугольники Решение заданий второй части

15. (с развёрнутым свободным ответом)
В треугольнике АВС биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке М. Отрезок
МЕ параллелен стороне ВС, отрезок МК параллелен стороне АВ (точки Е и К лежат
на АВ и ВС соответственно). Докажите, что ЕК перпендикулярен ВМ.
Доказательство:
1) Четырёхугольник ВКМЕ – параллелограмм, т. к. МЕ || ВС, МК || АВ.
В
Е
А
2) ВМ – диагональ параллелограмма, которая делит его угол пополам,
значит, ВКМЕ – ромб по второму признаку.
К
М
С
3) ЕК – диагональ ромба ЕК ВМ по свойству ромба,
что и требовалось доказать.

57. Треугольники Решение заданий третьей части

Основную трудность при решении задач третьей (иногда и второй) части
работы, обычно, вызывают две главные причины:
для рационального решения задачи нужно знать некоторые методы и
приёмы решения, которые, либо не рассматриваются при изучении
планиметрии, либо тщательно не отрабатываются;
в задачах представлены не самые знакомые конфигурации и для того,
чтобы применить известные факты, нужно уметь увидеть отдельные
опорные подзадачи.

58. Треугольники Решение заданий третьей части

1.
(ГИА – 2008)
Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что медиана
ВАС 45 0 , АВ. 4 2
АМ 29, а
B
Решение:
1) В остроугольном треугольнике АВС основание Н высоты ВН
4 2
М
лежит на стороне АС.
29
В прямоугольном треугольнике АВН:
ВН АВ sin 45 0 , BH 4,
Н
N С
А
AHсторону
AB cos 45 0 , AH 4.
2) Через точку М проведём прямую, параллельную прямой ВН и пересекающую
АС в точке N.
Тогда по теореме Фалеса HN =NC.
Значит, отрезок MN является средней линией треугольника ВСН. Откуда имеем:
3) В прямоугольном треугольнике AMN: AN = 5,
1
MN BH 2иMN AC.
Поскольку AN > АН, то HN = AN -AH и HN =1. Поскольку АС =AN + NC, HN = NC, то
АС =6.
2
2
2
( AN AM MN ).
4)
Ответ: 12.
1
S ABC AC BH S ABC 12.
2

59. Треугольники Решение заданий третьей части

2. (ГИА – 2008) Высоты треугольника пересекаются в точке Н, а медианы — в точке М.
Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно,
, = 12, СН = 6.
что ВАС 450АВ
Решение:
По условию высоты треугольника АВС пересекаются, следовательно,
В
точка Н их пересечения расположена внутри этого треугольника.
Р
1) Пусть СР – высота, а BL – медиана АВС . Н 1 , К 1 , М 1 — основания
12
перпендикуляров, проведённых из точек Н, К, М к прямой АС.
H
РАС 45 0 РСА 45 0.
В прямоугольном треугольнике АРС:
К
6
45 0
М
45 0
2) В прямоугольном
НН 1С : НСН 1 45 0 ,
катеты равны:
А 6 2 L М 1 К1 Н 1 3 2 С
СН1 НН1 , НН1 АВ sin 450 3 2 , Ch2 3 2 .
0
В прямоугольном равнобедренном BH 1 A катеты равны: AH 1 BH 1 , BH 1 AB sin 45 6 2 , AH 1 6 2 .
BH 1
BL 3
3) Bh2 Lподобен ММ 1 L (по двум углам), и
(по свойству медиан треугольника).
1
MM 1 ML 1
Отсюда MM 1 3 BH 1 , MM 1 2 2 .
4) Из теоремы Фалеса следует, что отрезок KK 1- средняя линия трапеции НН1М 1М
1
45
КК1
22,5.
5) Поскольку АС АН 1 Н 1С , АС 9 2 S AKC AC KK 1
2
2
Ответ: 22,5.
НН1 ММ 1
5 2
, КК1
.
2
2

60. Теорема косинусов

В
АС 2 АВ 2 ВС 2 2 АВ BС cos B
А
С
АС 2 32 4 2 2 3 4 cos 60 0
В
3
АС 2 9 16 24
60 0
1
2
АС 2 13
4
АС 13
А
Ответ:
?13
13
С
13 — не удовлетворяет смыслу задачи.
А
AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
sin B
В
С
А
5
3
С
AC 3
sin B
0,6
AB 5
4
CB 4
cos B
0,8
AB 5
В
AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
А
sin B
В
С
А
5
3
С
AC 3
sin B
0,6
AB 5
4
CB 4
cos B
0,8
AB 5
В
В
С
2 ( AB 2 BC 2 ) AC 2 BD 2 .
А
D

64. Теорема Пифагора

А
С 2 а 2 b2
В
С
А
?
АВ АС 2 ВС 2 9 16 5.
3
С
А
В
4
9
СВ АВ 2 АС 2 81 36 45 3 5.
6
С
?
В

1. Треугольник Равнобедренный треугольник


  • Оглавление

  • Группа А

  • 1.Треугольник

  • 2. Равнобедренный треугольник

  • 3. Прямоугольный треугольник

  • 4. Трапеция

  • 5. Параллелограмм, прямоугольник, ромб

  • 6. Окружность и круг

  • 7. Разные

  • 8. Задачи на доказательство

  • Группа Б

  • 9. Треугольник

  • 10. Равнобедренный треугольник

  • 11. Прямоугольный треугольник

  • 12. Трапеция

  • 13. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

  • 14. Окружность и круг

  • 15. Задачи на доказательство

  • Группа В

  • 16. Треугольник

  • 17. Трапеция

  • 18. Окружность и круг

  • 19. Разные задачи

Группа А 1Треугольник

10.1.1» [МАТИ] Две стороны треугольника равны соответственно 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Най­ти площадь треугольника.

10.1.2. [МАТИ] Основание треугольника равно 26 см. Медианы боковых
сторон равны 30 см и 39см. Найти площадь треугольника.

10.1.3. [МАТИ] Медианы треугольника равны Зсм, 4 см, 5 см. Найти
площадь треугольника.

10*1.4, [МАТИ] Основание треугольника равно 14 см, а медианы, прове­денные к боковым сторонам — 3\/7см и 6\/7см. Найти боковые стороны треугольника.


  1. [МГУ, филолог, ф-т] Есть ли тупой угол у треугольника со сто­-
    ронами 10, 14 и 17?

  2. [МАИ] В треугольнике АВС сторона АС равна b, сторона АВ
    равна с, а биссектриса внутреннего угла А пересекается со стороной ВС
    в точке D такой, что DA = DB. Найти длину стороны ВС.

  3. [МАТИ] Определить площадь треугольника, если две его сторо­-
    ны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.

  4. [МИРЭА] В треугольнике ABC на основании ВС или на его про­
    должении взята произвольным образом точка D и около треугольников
    ACD и BAD описаны окружности. Доказать, что отношение радиусов
    этих окружностей есть величина постоянная. Найти такое положение
    точки D, для которого эти радиусы будут иметь наименьшую величину.

10.1.9. [МФТИ] В треугольник ABCвписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке D и стороны ВС в точке Е. Найти углы треуголь­ника, если BD : AD = 1 : 2, BE : СЕ = 1 : 3.


  1. [МИИТ] Найти площадь треугольника, вписанного в окруж­ность, если концы его стороны, равной 20 см, отстоят от касательной, проведённой через противолежащую вершину на 25 см и 16 см.

  2. [МАТИ] Высота» основание и сумма боковых сторон треуголь­ника равны соответственно 12 см, 14 см, и 28 см. Найти боковые стороны.

  3. [МАТИ] В треугольник со сторонами 10см, 17см и 21 см вписан прямоугольник с периметром 24 см так, что одна его сторона лежит на наибольшей стороне треугольника. Найдите стороны треугольника.

  1. [СШГУ] К окружности, вписанной в треугольник с периме­тром 18 см, проведена касательная параллельно основанию треугольни­ка. Отрезок касательной между боковыми сторонами 2 см. Найти осно­вание треугольника.

  2. [НГУ] Треугольник АВС вписан в окружность радиуса R.
    Точка D лежит на дуге ВС, а хорды AD и ВС пересекаются в точке М.
    Найти длину стороны ВС, если BMD = 120°, AB = R, BM:MC=2:3.

  3. [МИСиС] В треугольнике ABC медиана AM перпендикуляр­
    на медиане BN. Найти площадь треугольника ABC, если длина AM
    равна 3, а длина BN равна 4.

  4. [МИРЭА] В окружность вписан треугольник ABC Расстояние
    от точек А и С до прямой, касающейся окружности в точке В, равны 4 см
    и 9см. Найти высоту треугольника, проведенную из вершины В.

  5. [МГУ, физ. ф-т; МИРЭА] Даны углы В и С треугольника ABC
    (
    BC). Найти котангенс острого угла х, который образует медиана,
    выходящая из вершины А, со стороной ВС.

  6. [НГУ] В остроугольном треугольнике ABC длины медиан ВМ,
    CN и высоты АН равны соответственно 4, 5 и 6. Найти площадь тре­-
    угольника.

  7. [МАТИ] В треугольнике основание равно 6 см, а высоты, опу­-
    щенные на боковые стороны — 2 см и 2√Зсм. Найти боковые стороны
    треугольника.

  8. [МАТИ} Определить площадь треугольника, если две его сто­
    роны равны 1 √13: а медиана третьей стороны равна 2.

10.1.21. [МИЭТ] В треугольнике ABC медианы AD и BE пересека­ются под прямым углом, АС = 3, ВС = 4. Найти сторону АВ этого треугольника.

  1. [ЛГПИ] Основание треугольника равно а. Найти длину отрез­-
    ка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника
    пополам.

  2. [НижГУ] Точка N лежит на стороне ВС треугольника ABC,
    точка М — на продолжении стороны АС за точку А, при этом AM = AC,
    BN : NC = 3 : 4. В каком отношении прямая MN делит сторону АВ?

  3. [МАТИ] Пусть BD — высота треугольника ABC, точка Е
    середина стороны ВС. Вычислить радиус круга, описанного около тре­
    угольника BDE, если длины сторон треугольника ABC: АВ = 30 см,
    ВС = 26см и АС = 28см.

  4. [МАТИ] Определить площадь треугольника, если две его сто­
    роны равны 1см и √15 см, а медиана третьей стороны равна 2 см.

  5. [ГАНГ] В треугольнике ABC из вершины В проведены высота
    BD и биссектриса BL. Найти площадь треугольника BLD, если извест­
    ны длины сторон треугольника ABC: АВ = 6,5; ВС = 7,5; АС = 7.

  6. [МТУСИ] В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Од­
    на из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины
    которых б и 8. Найти длины сторон треугольника.

  7. [ВГУ] В треугольнике ABC из вершины А проведена прямая,
    пересекающая сторону ВС в точке D, находящейся между точками В
    и С, причем CD : ВС = а (а На стороне ВС между точками В

и D взята точка Е так, что CD = DE, и через нее проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке F. Найти отношение площадей трапеции ACEF и треугольника ADC.

10.1. 29. [МПГУ] Одна сторона треугольника равна а, другая — b. Найти третью сторону, если известно, что она равна медиане, проведенной к ней.

10.1.30. [СГПИ] Найти площадь треугольника по стороне а и приле­-
жащим к ней углам α и β .


  1. [МАДИ] В треугольнике ABC даны длины трех сторон ВС, АС
    и АВ, равные соответственно числам 41, 51 и 58. Вычислить площадь
    этого треугольника и длину высоты, опущенной из вершины В.

  2. [РГПУ] Длины двух сторон треугольника равны 27 и 29. Дли­
    на медианы, проведенной к третьей стороне, равна 26. Найти высоту
    треугольника, проведенную к стороне длиной 27.

  3. [МГУП] В треугольнике ABC высота AD на 4см меньше сто­-
    роны ВС. Сторона АС равна 5 см. Найти периметр треугольника ABC,
    если его площадь равна 16 см2.

10.1.34. [Институт наук о материалах] Точки M и N,D и E,K и L лежат соответственно на сторонах АВ, АС и ВС треугольника АВС при этом AM = MN = NB, ВК = KL = LC, AD = DE = ЕС. Вычислит площадь четырехугольника, образованного пересечениями прямых ML,NK, BD, BE, если площадь треугольника АВС равна S.

10.1.35. [ЛГПИ] Найти площадь треугольника, если основание равно
а, углы при основании равны π/4иπ/6.

10.1.36. [МТУСИ] В треугольнике с основанием 15 см проведен отре­зок, параллельный основанию. Площадь полученной трапеции составля­ет 75% площади треугольника. Найти длину этого отрезка.


  1. [МТУСИ] В треугольнике ABC величина угла С равна 60°,
    а длина стороны АВ = 31. На стороне АС отложен отрезок AD = 3.
    Найти длину ВС, если BD = 2√7.

  2. [МФТИ] Окружность, построенная на стороне АС треугольника ABC как на диаметре, проходит через середину стороны ВС и пересекает сторону АВ в точке D так, что AD =1/3АВ. Найти площадь треугольника ABC, если АС = 1.

10.1.39. [МГУЛ] В остроугольном треугольнике ABC проведены высо­
ты AD и СЕ, причем длина AD равна 5 см, длина СЕ равна Зсм, а угол
между AD и СЕ равен 60°. Найти длину стороны АС.

10.1.40. [ГАУ] Дан треугольник ABC, в котором угол В равен 30°,
АВ= 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D.
Определить площадь треугольника ABD.


  1. [ГАУ] Дан треугольник ABC, в котором АС = 5, АВ = 6, ВС =
    = 7. Биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Определить
    площадь треугольника ADC.

  2. [ГАУ] На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки
    К и N так, что СК : К А = 2:3, CN : NB = 4 : 3. В каком отношении
    точка пересечения отрезков AN и ВК делит отрезок KB?

10.1.43. [ГАУ] Точка N делит сторону RQ треугольника RPQ в от­
ношении RN : NQ = 2:7; точка F делит сторону RP в отношении
RF : FP = 3:1. Прямые QF и PN пересекаются в точке М. Найти
длину MN, если РМ = 12.

10.1.44- [ГАУ] Точки F и N делят стороны треугольника ABC в отно­шении FA : FC = 3 : 1 и CN : NB = 2 : 3. Прямые AN и BF пересе­каются в точке М. Найти отношение площадей треугольников АМВ и ANB.

10.1.45. [МАИ] Длины сторон АВ, ВС и СА треугольника равны соответственно З см, 20 см, 41см. Найти расстояние от точки С до пря­мой, перпендикулярной АВ и проходящей через середину АС.


  1. [МГУ, псих, ф-т] В тупоугольном треугольнике ABC на стороне
    АВ длины 14 выбрана точка L, равноудаленная от прямых АС и ВС,
    а на отрезке AL — точка К, равноудаленная от вершин А и В. Найти
    синус угла АС В, если KL = 1, САВ = 45°.

  2. [МГУ, физ. ф-т] В треугольнике ABC медианы AD и СЕ вза­
    имно перпендикулярны, АВ = с, ВС = а. Найти АС.

  3. [МГУ, мех.-мат.] В треугольнике ABC проведены высоты АЕ и
    CD. Найти АВ, если BD = 18, ВС = 30, АЕ = 20.

10.1.49. [МГУ, мех.-мат.] В треугольнике ABC проведена биссектри­-
са BE, которую центр О вписанной окружности делит в отношении
ВО :ОЕ = 2. Найти АВ, если АС = 7, ВС = 8.

  1. [МГУ, геогр. ф-т] В треугольник со сторонами АВ = 4, ВС = 2,
    АС = 3 вписана окружность. Найти площадь треугольника AMN, где
    М и N —- точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС соот­-
    ветственно.

  2. (МГУ, геогр. ф-т] В треугольник со сторонами АВ= 8, ВС= 6,
    АС = 4 вписана окружность. Найти длину отрезка DE, где D, Е
    точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС соответственно.

  1. [МГУ, псих, ф-т] В остроугольном треугольнике ABC прове­-
    дены высоты СС1 и АA1. Известно, что АС = 1 и C1GA1 = ά. Найти
    площадь круга, описанного около треугольника C1 BA1. соединена с точками А и В. Отрезки МА и MB пересекают окруж-­
    ность в точках С и D соответственно. Площадь круга, вписанного в тре­-
    угольник АМВ, в 4 раза больше, чем площадь круга, вписанного в тре-­
    угольник CMD. Найти меры углов треугольника АМВ, если известно,
    что один из них в 2 раза больше другого.

  1. [МГУ, физ. ф-т] В треугольнике ABC: BAC = a, BCA = γ,
    АВ = с. Найти площадь треугольника ABC.

  2. (МГУ, физ. ф-т] Радиус окружности, описанной около треуголь­-
    ника KLM, равен R. Через вершину L проведена прямая, перпендику­-
    лярная стороне КМ. Эту прямую пересекают в точках А и В серединные
    перпендикуляры к сторонам KL и LM. Известно, что AL = а. Эти прямые пересекают высоту СH треугольника или ее продол­-
    жение в точках Р и Q. Известно, что СР = р, CQ = q. Найти радиус
    окружности, описанной около треугольника ABC.

10.1.60. [МГУ, геогр. ф-т] В треугольнике ABC медиана AD и бис­сектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F. Известно, что площадь треугольника DEF равна 5. Найти площадь треугольника ABC.

10.1.61. [МГУ, ИСАА] Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти
длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

10.1.62. [МГУ, мех.-мат.] Из вершины тупого угла А треугольника ABC
опущена высота AD. Из точки D радиусом равным AD, описана окруж­
ность, пересекающая стороны треугольника АВ и АС в точках М и N
соответственно. Вычислить длину стороны АС, если заданы длины от­резков АВ = с, AM = п и AN = m.

10.1.63. [МГУ, физ. ф-т] В треугольнике ABC угол С — тупой, D — точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к АВ, и прямой DC, перпендикулярной к АС. Высота треугольника ADC, проведенная из вершины С, пересекает АВ в точке М. Известно, что AM = a, MB = b. Найти АС.


  1. [МГУ, геолог, ф-т] Окружность проходит через вершины А и С
    треугольника ABC, пересекает сторону АВ в точке Е и сторону ВС в
    точке F. Угол АЕС в 5 раз больше угла BAFy а угол ABC равен 72°.
    Найти радиус окружности, если АС = 6.

  2. [РЭА] В треугольнике ABC: АВ = 4√7, АС = 5√7, ВС = 6√7.Найти расстояние от вершины В до точки пересечения высот треуголь­ника ABC.

ЮЛ.66. [РЭА] В треугольнике ABC угол А относится к углу С как 3 : 2, АВ = 28 см, ВС — 33 см. Найти cos (C/2).

  1. [РЭА] Площадь треугольника ABC равна 12. Из вершины
    тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найти
    сторону АС, если угол ABDпрямой.

  2. [РЭА] На стороне АС треугольника ABC как на диаметре
    построена окружность, пересекающая сторону АВ в точке D так, что
    AD : DB = 12 : 5. Найти площадь треугольника ABC, если АС = 26, а

ABC= 45°.

  1. [ГАНГ] В треугольник вписана окружность радиуса 2, Одна из
    сторон треугольника делится точкой касания на отрезки 7 и 2. Найти
    радиус окружности, описанной около треугольника.

  2. [МИЭТ] Площадь треугольника ABC равна 16см2. Найти дли­ну стороны АВ, если АС = 5 см, ВС = 8см и угол С тупой.

10.1.71. [МИРЭА] В треугольнике ABC со сторонами АВ = 12см,
ВС = 15см, АС = 9см проведена биссектриса ВВ1. Пусть С1 — точка
касания АВ с вписанной в треугольник окружностью, отрезки ВВ1 и

СС1 пересекаются в точке Р, продолжение АР пересекает ВС в точке A1. Найти отношение AP/PA1.

10.1.72. [МЭСИ] В треугольнике ABC: BAC = 30°. Определить сторону ВС, если АВ = √3, АС = 1.

2.Равнобедренный треугольник

10.2.1. [МАТИ] Высота AD, опущенная на боковую сторону ВС равно­бедренного треугольника ABC, делит его на треугольники ABD и ADC площадью 4 см2 и 2 см2 соответственно. Найти стороны треугольника, если АС — его основание.


  1. [МАТИ] Биссектриса AD равнобедренного треугольника ABC
    делит его на треугольники ABD и ACD площадью 4 см2 и 2 см2 соот-­
    ветственно. Найти стороны треугольника, если АС — его основание.

  2. [МИЭТ] Дан равнобедренный треугольник с основанием 2а и
    высотой h. В него вписана окружность и к ней проведена касательная,
    параллельная основанию. Найти радиус окружности и длину отрезка
    касательной, заключенного между сторонами треугольника.

  3. [МИИТ] В равнобедренном треугольнике ABC {АВ= ВС) про­
    ведена биссектриса AD. Площади треугольников ABD и ADC равны S1
    и S2. Найти длину основания.

10.2.5. [СШГУ] В равнобедренном треугольнике ABC {АВ = ВС)
проведена медиана AD. Найти угол BAD, если угол при вершине В
равен ά.
10.2.6 [МАТИ] В равнобедренном треугольнике основание равно а, боковая сторона — b, Найти длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне треугольника.

  1. [УрГУ] В равнобедренном треугольнике с углом при основании,
    равном ά, высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного
    круга на т. Определить радиус описанного круга.

  2. [МГУ, геогр. ф-т, физ. ф-т; СПбГУ] В равнобедренном треуголь-­
    нике KLM (KL= LM) угол KLM равен φ. Найти отношение радиусов
    вписанной и описанной окружностей для треугольника KLM.

  3. [МАТИ] В равнобедренный треугольник с основанием а вписана
    окружность радиуса г. Определить периметр треугольника.

  1. [СПбГУ] Даны равнобедренный треугольник с основанием а и
    окружность с центром в одной из вершин треугольника. Известно, что
    одна из боковых сторон треугольника делится окружностью на три рав-­
    ные части. Найти радиус окружности.

  2. [МПГУ] В равнобедренном треугольнике длина основания рав­
    на 30 см, длина высоты, проведенной к основанию, — 20 см. Определить
    длину высоты, проведенной к боковой стороне.

  3. [МИСиС] Вершины правильного треугольника лежат на трех
    параллельных прямых, причем внутренняя прямая находится на рассто­-
    яниях √21 и √84 от крайних прямых. Найти длину стороны треуголь­ника.

  4. [СПбГУ] Найти длину стороны квадрата> вписанного в равно­
    бедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b так, что две
    его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых
    сторонах.

  1. [МАТИ] В равнобедренном треугольнике с углом при верши­-
    не α найти угол между основанием и медианой, проведенной к боковой
    стороне.

  2. [МИЭТ] Основание равнобедренного треугольника √32, меди­-
    ана боковой стороны 5. Найти длины боковых сторон.

  3. [СГАПС] В равнобедренном треугольнике высота равна 8, а
    основание относится к боковой стороне как 6:5. Найти радиус вписан-­
    ного круга.

  4. [МАДИ] Вершины В и С при основании равнобедренного тре­-
    угольника АВС соединены с серединой М его высоты, проведенной из
    вершины А. Эти прямые пересекают боковые стороны АС и АВ тре­-
    угольника в точках D и Е соответственно. Найти площадь четырех­
    угольника AEMD, если площадь треугольника АВС равна 93.

  1. [КГУ] В равносторонний треугольник АВС вписана окруж­-
    ность и проведен отрезок MN, который касается ее и параллелен сто-­
    роне АВ. длина стороны которого равна а, опущены перпендику­-
    ляры на стороны АВ, ВС, С А, Длины перпендикуляров соответственно
    равны m, п, к. Найти отношение площади треугольника AВС, к площади
    треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.

  2. [МАТИ] Найти углы равнобедренного треугольника, у кото­-
    рого точка пересечения высот делит пополам высоту, проведенную к
    основанию.

  3. [СГТбГТУ] Прямая делит пополам основание АВ равнобедрен­
    ного треугольника ABC с боковой стороной 3 и отсекает на лучах С А
    и СВ отрезки СМ и CN соответственно. Найти длину СМ, если длина
    CN равна 2.

  4. [МАТИ] Найти углы равнобедренного треугольника, если осно­-
    вание относится к биссектрисе угла при основании как 5 : б,

  1. [МАТИ] Стороны треугольника относятся как 1:2:2. Вы­
    числить его площадь, если радиус окружности, описанной вокруг тре-­
    угольника равен R.

  2. (МАТИ] В равнобедренном треугольнике основание равно а,
    боковая сторона b. Найти высоту, опущенную на боковую сторону тре­-
    угольника.

  3. [МАТИ] В равнобедренный треугольник вписана окружность
    радиуса г. Высота, проведенная к основанию, делится окружностью в
    отношении 1 : 2, считая от вершины. Найти площадь треугольника.

Площадь треугольника ABC = 24 см2. F, E и D — середины сторон AB, AC, BC соответственно. Найдите

Площадь треугольника EFD

6 см² и параллелограмма BDEF 12 см² .

Пошаговое объяснение:

Шаг 1:

Принято, что E и F являются серединами AC и AB.

Мы знаем, что отрезок прямой, соединяющий середины любых двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ее половине.

Итак, BC // FE и FE = ½ BC = BD

BD // FE & BD = FE и аналогично BF // DE & BF = DE

BDEF — параллелограмм …… [ так как в параллелограмме пара противоположных сторон равны и параллельны ]

Аналогичным образом мы также можем доказать, что четырехугольники FDCE и AFDE также являются параллелограммами.

Шаг 2:

Мы знаем, что диагональ параллелограмма делит его на два треугольника равной площади.

Кроме того, у нас есть BDEF в виде параллелограмма, поэтому его диагональ FD делит его на два треугольника равной площади.

ar (ΔBFD) = ar (ΔEFD) …… .. (i)

Аналогично в параллелограммах AFDE и FDCE

ar (ΔAEF) = ar (ΔEFD) …… .. [здесь EF — диагональ] …… .. (ii)

и,

ar (ΔCED) = ar (ΔEFD) …… .. [здесь DE — диагональ] …… .. (iii)

Из (i), (ii) и (iii)

ar (ΔBFD) = ar (ΔAEF) = ar (ΔCED) = ar (ΔEFD)….. (iv)

Шаг 3:

Из приведенного ниже рисунка можно записать

ar (ΔABC) = ar (ΔBFD) + ar (ΔAFE) + ar (ΔCDE) + ar (ΔEFD)

⇒ ar (ΔABC) = 4 ar (ΔEFD) ……… [Из уравнения (iv)]

⇒ ar (∆EFD) = (1/4) * ar (∆ABC)

, поскольку ar (∆ABC) задается как 24 см²

⇒ ar (∆EFD) = (1/4) * 24

ar (∆EFD) = 6 см²

Шаг 4:

Из рисунка ниже мы можем написать

Площадь (параллелограмм BDEF) = ar (ΔEFD) + ar (ΔBFD)

⇒ ar (параллелограмм BDEF) = ar (ΔEFD) + ar (ΔEFD) …….. [из ур. (iv)]

⇒ ar (параллелограмм BDEF) = 2 * ar (ΔEFD)

⇒ ar (параллелограмм BDEF) = 2 * 6

ar (параллелограмм BDEF) = 12 см²

——————————————— ————————————————

Также смотрите:

На рисунке ΔABC, D, E, F — середины сторон BC, CA и AB соответственно.Покажите, что (i) BDEF — параллелограмм (ii) ar (ΔDEF) = 1 / 4ar (ΔABC) (iii) ar (BDEF) = 1 / 2ar (ΔABC)

brainly.in/question/4740950

D и E — середины BC и AD треугольника ABC. Если площадь треугольника ABC = 20 см2, найдите площадь треугольника EBD.

brainly.in/question/1967571

Ex 9.3, 5 — D, E и F — середины сторон BC, CA

Последнее обновление: 29 мая 2018 г., автор: Teachoo

Подпишитесь на наш канал Youtube — https: // you.трубка / teachoo


Выписка

Пр. 9.3, 5 D, E и F — это середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Покажи это (i) BDEF — параллелограмм. Дано: ABC где D, E, F — середины BC, AC и AB соответственно Чтобы доказать: BDEF — параллелограмм Доказательство: в ABC, F — середина AB, E — середина AC FE BC ИП БД Сейчас же, FE BD & DE FB В BDEF обе пары противоположных сторон параллельны, BDEF — параллелограмм Следовательно, доказано Пр. 9.3, 5 D, E и F — соответственно средние точки стороны BC, CA и AB треугольника ABC. Покажи это (ii) ar (DEF) = 1/4 ar (ABC) В части (i) мы доказали, что BDEF — параллелограмм DBF DEF ар (DBF) = ар (DEF) Точно так же мы можем доказать, что FDCE — параллелограмм DEC DEF ар (DEC) = ar (DEF) Аналогичным образом можно доказать, что AFDE — параллелограмм AFE DEF ар (AFE) = ar (DEF) Из (1), (2) и (3) ar (FBD) = ar (DEC) = ar (AFE) = ar (DEF) Сейчас же ар (FBD) + ар (DEC) + ар (AFE) + ар (DEF) = ар (ABC) ар (DEF) + ар (DEF) + ар (DEF) + ар (DEF) = ар (ABC) 4ar (DEF) = ar (ABC) ар (DEF) = 1/4 ар (ABC) Следовательно, доказано Пр. 9.3, 5 D, E и F — это середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Покажи это (iii) ar (BDEF) = 1/2 ar (ABC) В части (ii) мы доказали, что ар (DEF) = 1/4 ар (ABC) Умножение обеих сторон на 2 2 ар (DEF) = 2 1/4 ар (ABC) 2 ар (DEF) = 1/2 ар (ABC) ар (DEF) + ар (DEF) = 1/2 ар (ABC) ар (DEF) + ар (FBD) = 1/2 ар (ABC) ар (BDEF) = 1/2 ар (ABC) Следовательно, доказано

Показать больше

областей параллелограммов и треугольников [GEt] | Класс 9 NCERT Maths Chapter-9