В параллелограмме bdef на сторонах bf и de: В параллелограмме BDEF на сторонах BF и DE отложены одинаковые отрезки

ПОДГОТОВКА К ГОДОВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ГЕОМЕТРИИ 8 класс | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по геометрии (8 класс) по теме:

ПОДГОТОВКА К ГИА, Задачи по геометрии за курс 8 класса

1. Найти сумму углов шестиугольника, семиугольника, одиннадцатиугольника.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

2. Найти все углы параллелограмма, если один из них равен 132°.

3. Определить углы параллелограмма, если:

1) один из них больше другого на 70°;

2) один из них меньше другого в 11 раз;

3) сумма двух из них равна 82°.

4. Найти периметр параллелограмма, если известны две его стороны 5 м и 11 м.

5. Определить стороны параллелограмма, если:

1) его периметр равен 38 дм, а одна из сторон на 7 дм меньше другой

2) его периметр равен 60 м, а одна из сторон в 4 раза больше другой.

6. В параллелограмме BCDE диагонали пересекаются в точке М. Найти периметр треугольника ВСМ, если DE = 7 см, BD = 12 см, СЕ = 16 см.

7. Диагонали параллелограмма КМОР пересекаются в точке С. Доказать, что ΔКМС = ΔОРС.

8. В параллелограмме АCDE на сторонах АE и CD отложены равные отрезки АК и DМ . Доказать, что ΔАКС = ΔDME.

9. В параллелограмме BDEF на сторонах BF и DE отложены равные отрезки BO и ND. Доказать, что четырёхугольник ONEF также является параллелограммом.

10. Диагонали параллелограмма продолжены за вершины на одинаковую длину. Полученные точки последовательно соединены. Доказать, что образовавшийся четырёхугольник является параллелограммом.

11. В параллелограмме АBCD биссектриса угла В пересекает сторону АD в точке М, а биссектриса угла D пересекает сторону ВС в точке К. Доказать, что ВМDК параллелограмм.

12. В параллелограмме АBCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М. Найдите периметр параллелограмма, если АВ= 4,6см и МС= 3,8.

13. На диагонали МК параллелограмма MNKO отложены равные отрезки МА и КВ. доказать, что ΔМАN = ΔКBO.

14. В параллелограмме АВСД точки М, Р, К, Е- являются серединами сторон параллелограмма. Определите вид четырехугольника МРКЕ,

ТЕОРЕМА ФАЛЕСА.

15. Прямые AM, BN, и СО параллельны и DM = MN = NO. Найти длину отрезка DC, если АВ = 12.

16. Начертить произвольный отрезок АВ. Разделить его на 5 равных частей.

17. Начертить отрезок а. Построить отрезок .

ТРАПЕЦИЯ,

18. Дана трапеция МРОК с основаниями МК и ОР. Найти:

1) все углы трапеции, если К = 81°, Р = 110°;

2) ОРК и РОМ, если КМО = 54°, МКР = 38°;

3) углы треугольника МКN (где N — точка пересечения диагоналей трапеции), если углы ОКР и РОМ соответственно равны 36° и 54°.

19. Дана трапеция МРОК с основаниями МК и ОР. Найти:

1) среднюю линию трапеции АВ, если МК= 12см, ОР= 8см.

2) основание МК, если средняя линия АВ=10см, основание ОР=14см.

3) основания трапеции МК и ОР, если МК в 5 раз больше ОР и средняя линия АВ=33см.

4) основания трапеции МК и ОР, если МК:ОР=4:9 и средняя линия АВ=26см.

20. Трапеция CDEF — равнобокая, CF и DE — её основания.

1) Найти все углы трапеции, если Е = α.

2) Доказать, что ΔFCE = ΔCDF.

3) Найти углы треугольника FCE, если известно, что DEC = 60°.

21. Дано: KMNO — трапеция, (см. рис.).

1) Определить вид четырёхугольника KMNA.

2) Доказать, что К = NAO = MNA.

3) Найти углы треугольника ANO и четырёхугольника KMNA, если О = 68°, OAN = 58°.

4) Доказать, что если трапеция равнобокая, то ΔONA — равнобедренный с основанием ОА.

22. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне и в 2 раза меньше другого основания. Найти углы трапеции.

23. Доказать, что диагонали равнобокой трапеции равны.

24. По данным рисунка определите среднюю В 12см С

линию трапеции

4см

А К Д

25.По данным рисунка определите периметр В 8см С

равнобокой трапеции.

6см

А 4см К 30 Д

26. В равнобокой трапеции DEFC на большее основание DC опущены перпендикуляры ЕА и FB.

1) Доказать, что ΔDEA = ΔFCB.

2) Чему равны отрезки DA и CB, если EF = 8 см; CD = 30 см.

ПРЯМОУГОЛЬНИК.

27. В прямоугольнике АBCD проведена диагональ АC. Найти острые углы треугольника АBC, если один из них больше другого в 5 раз.

28. В прямоугольнике BCDЕ диагонали пересекаются в точке О. Найти отрезки ОD и ОВ, если диагональ ВD равна 17 см.

29. Диагонали прямоугольника CDЕF пересекаются в точке N. Доказать, что

1) ΔDNE –равнобедренный;

2) если точка О является серединой стороны EF, то .

30. Точка пересечения диагоналей прямоугольника соединена с серединами двух соседних сторон. Определить:

1) вид отсекаемого четырёхугольника;

2) периметр отсекаемого четырёхугольника, если периметр данного прямоугольника равен 52 см.

31. В прямоугольнике АBCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке М.

1) Доказать, что ΔADM — равнобедренный.

2) Найти периметр прямоугольника, если сторона АВ оказалась разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см. Сколько решений имеет задача?

32. В прямоугольнике DEFK биссектриса угла D пересекает сторону EF в точке С, причём отрезок CF в 2 раза больше отрезка ЕС. Найти стороны прямоугольника, если периметр равен 32 см.

33. Дан прямоугольник MNCK (см. рис.).

1) Найти углы треугольника MNB, если А = β.

2) Доказать, что ΔAMК = ΔMBN, если точка М — середина стороны АВ.

3) Найти стороны и диагонали прямоугольника MNCK, если М — середина стороны АВ, АС = 12 м, АВ = 13 м, ВС = 5 м.

34.По данным рисунка определите В С

периметр прямоугольника.

8см

А Д

35. По данным рисунка определите В С

периметр треугольника СДО.

АД=12 см, АВ= 8см

А Д

КВАДРАТ.

36.В квадрате АВСД сторона равна 4,5см. Определите периметр квадрата.

37. Площадь квадрата равна: а) 49кв.см; в)78 кв.см.

38. В квадрате АВСД точка О- пересечение диагоналей. Определите углы треугольника АОВ.

39. В квадрате АВСД точки М,Р,К,Е- середины сторон квадрата. Определите вид четырехугольника

МРКЕ.

40. В квадрате проведены диагонали.

1) Доказать, что они разбивают квадрат на четыре равных равнобедренных треугольника.

2) Найти углы этих треугольников.

41. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат, причём две его вершины лежат на гипотенузе и две — на катетах. Доказать, что гипотенуза в три раза больше стороны квадрата.

42. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О, из которой опущен перпендикуляр ОК на сторону ВС. Определить вид четырёхугольника АВКО и найти его углы

РОМБ.

43. Найти периметр ромба, если его сторона равна 11 см .

44. Найти стороны ромба, если его периметр равен 30 см.

45. Найти все углы ромба, если они относятся как 1:3.

46. В ромбе CDEF проведена диагональ DF. Определить углы треугольника CDF, если СFЕ = 42°.

47. В ромбе проведены диагонали.

1)Доказать, что они разбивают ромб на четыре равных треугольника.

2) Найти боковые стороны этих треугольников, если диагонали равны12 см и 18 см.

3) Найдите сторону ромба, если диагонали равны 24см и 10 см.

4) Найти углы этих треугольников, если один из углов ромба равен α.

5) . В ромбе АВСД проведены диагонали АС и ВД, О -точка пересечения диагоналей,

48. Доказать, что одна из диагоналей ромба равна его стороне, если один из углов ромба равен 120°.

49. Диагонали ромба BCDE пересекаются в точке М, отрезок МК — перпендикуляр к стороне CD. Найти углы треугольника СМК, если СВЕ = 82°

Симметрия.

50. Начертить треугольник АВС. Построить симметричный ему треугольник

1) относительно вершины С; в

2) относительно стороны АС.

3)ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ В.

А с

Окружность. Вписанные углы.

51.

К д М

52. Градусная мера дуги МР=128°.

Определите

Р Р

54. АВ- диаметр окружности. Определите угол АРВ.

А В

55.Определие градусные меры дуг окружности, В

Если дуги относятся как АВ:ВС:АС = 6:4:8

56. В окружности с центром О проведены диаметры MK и NP.

1) Доказать, что MNKP — прямоугольник.

2) Найти углы треугольника MKP, если МOР = 140°

57. В АС и ВС касательные к окружности (А и С- точки касания),

расстояние от центра окружности до точки С.

60° С

58. В окружности с центром О проведены два взаимно перпендикулярных радиуса ОА и ОВ. Касательные, проходящие через точки А и В, пересекаются в точке С. Найти периметр четырёхугольника ОАСВ, если радиус окружности равен 23 см.

59. В окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD. Определить вид четырёхугольника ABCD.

60. В окружности проведены диаметры АB и СD. Доказать, что АBCD параллелограмм.

61. А

О АВ- диаметр, О- центр окружности,

62. В прямоугольном треугольнике АВС

63. А

Д С А

64. Где находится центр вписанной окружности?

А и М точки касания, радиус равен 12см. О

Расстояние от вершины О до центра окружности

13см. Найдите длину ОМ.

65. Около треугольника АВС описана окружность, разделенная вершинами треугольника на части пропорциональные числам 5 : 7 : 6. Определите углы треугольника.

66. Две хорды окружности АВ и СД пересекаются в точке О, АО=12см, ОС=4см, СО=8см. Найдите длину отрезка ОД.

67.

Если О- центр окружности.

68.МР- диаметр, О_ центр окружности, ОМ=ОК=МК А В

Найдите

М К

69.

А С

70.КД и МС хорды одной окружности, причем Е- точка их

пересечения. Найдите

71. Дано: КВ =12см, КС=30см, периметр треугольника АКВ равен 28см. В

Найдите периметр треугольника СКД, если К- пересечение

АС и ВД. С

72. Дано: КМ и СД- хорды, Е- точка их пересечения, СЕ=6см, ЕД=8см, КЕ на 8см меньше ЕМ.

Найдите КМ.

73. Дано: АВ=26см, АС=4см, АЕ=16см. А

Найдите ДЕ. С

Д В

74. Е

А АВ- касательная к окружности, АВ=6дм, СД=5дм

Найдите АД.

МНОГОУГОЛЬНИКИ

75. Найти сумму углов шестиугольника, семиугольника, одиннадцатиугольника.

76.Один из внутренних углов правильного n-угольника равен 150°. Найдите число сторон многоугольника.

77. Величины углов выпуклого пятиугольника пропорциональны числам 2:3:4:5:6. Найдите величину большего из углов.

78.Периметр равностороннего треугольника равен 6 3. Найдите радиус описанной окружности.

79.Около квадрата описана окружность, и в квадрат вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности, если радиус описанной окружности равен 10 2.

80. Внешний угол правильного многоугольника меньше внутреннего на 140°. Найдите сумму углов данного многоугольника.

81.Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна 5 3 см. Найдите периметр шестиугольника.

82. В некотором многоугольнике можно провести 20 диагоналей. Найдите число сторон этого многоугольника.

ПЛОЩАДИ ФИГУР.

83.Найдите площадь треугольника: б)

А) в)

7,2

4 3

8 5 30°

7,2

г) д)Угол при основании равнобедренного треугольника

15 равен 30°, а площадь 9 3 . Найдите боковую сторону

треугольника.

е) Стороны треугольника равны 8см, 6см, 4см. Найдите

меньшую высоту треугольника.

84. Найдите площадь параллелограмма:

В С

А) б) Р Е в)К С

Н АС= 5,6

5,2 8 КМ=4

А Д О- пересечение

ВН= 5 М 1,4 К Д М диагоналей.

85. Найдите площадь ромба:

А) В В С б) Д К М Н ДН=4,8

МЕ= 4

5 6

А Н Д Р

ВН=4,2

86. Найдите площадь трапеции АВСД, где АД || ВС.

87. Найдите площадь квадрата:

1. А В 2. М Р 3.

КР=2,4 Площадь квадрата

равна 6. Найдите

сторону квадрата.

С 2,3 В

Д 4,2 С К В

88.Сторона ромба 20см, а одна из диагоналей 24см. Найдите площадь ромба.

89.В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 16 3, а один из углов

трапеции равен 60°.

90.Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а основание 14 3 см. Найдите

площадь треугольника.

91.Площадь прямоугольного равнобедренного треугольника 16. Найдите гипотенузу этого

треугольника.

92.Площадь равностороннего треугольника равна 24 3 . Найдите сторону этого треугольника.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА.

93. Найдите неизвестные стороны треугольника:

1. 2. 3. В

АВ=18 АВ=2 2

4 5 17

С А С В В

94.Стороны прямоугольника относятся как 2 : 3, диагональ прямоугольника равна 13. Найдите стороны прямоугольника.

95.Сторона равностороннего треугольника равна 18 3 . Найдите биссектрису этого треугольника.

96. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 2 22, а катет ВС=6. Найдите длину медианы ВК.

97. В Δ СДЕ СД=15, ДЕ=13, СЕ=14. Найдите высоту ДМ.

98. Дано:ΔАВС,

АС=15, АД=9, СВ= 52

Найти АВ.

С В

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ.

99. Определите среднюю линию мк : 15см

М К М К

34см 23см

100.Средняя линия треугольника на 3,6 меньше основания треугольника. Найдите сумму средней линии треугольника и основания.

В С

101. В трапеции АВСД АД=23, ВС =18,

МК- средняя . М Е Р К

Найдите ЕР.

А Д

102. К Е

А В Дано: МКЕР- трапеция, АК=АС=СО=МО,

АВ||СД||ОН||МР, МР=18, КЕ=12

С Д Найдите АВ и ОН.

М Р

Персональный сайт — Геометрия 8 класс

КОНТРОЛЬНЫЕ

РАБОТЫ

Контрольная работа № 1

Вариант 1

1^о. Диагонали прямоугольника CDEF пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если  СDO = 40⁰.

2^о. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12см и 6см, а один из углов равен 60⁰.

3^о. На продолжении диагонали АС прямоугольника ABCD отложены равные отрезки АМ и СN. Докажите: а) что треугольники MAD и NCB равны; б) что четырехугольник MBND параллелограмм.

Контрольная работа № 1

Вариант 2

1^о. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника АОВ, если между диагоналями, если  ВСD = 75⁰.

2^о. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10см и 6см, а один из углов равен 45⁰.

3^о. На диагонали NK прямоугольника MNPK отложены равные отрезки NА и KE. Докажите: а) что треугольники ANP и EKM равны; б) что четырехугольник APEM параллелограмм.

Контрольная работа № 2

Вариант 1

1^о. Смежные стороны параллелограмма равны 12см и 20см, а один из его углов равен 30⁰. Найдите площадь параллелограмма.

2^о. Найдите периметр прямоугольника, если его диагональ равна 15см, а одна из сторон – 9см.

3^о. Площадь прямоугольной трапеции равна 120см², а ее высота равна 8см. Найти все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6см.

Контрольная работа № 2

Вариант 2

1^о. Высота BD треугольника АВС делит основание АС на отрезки: AD = 8см, DC = 12см, а угол А при основании равен 45⁰. Найдите площадь этого треугольника.

2^о. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его катеты равны 12см и 16см.

3^о. Найти площадь трапеции CDEF c основаниями CF и DE, если CD = 12см, DE = 14cм, CF = 30см,  D = 150

Контрольная работа № 3

Вариант 1

1^о. Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части AD = 16см и BD = 9см. Докажите, что ∆ ACD ∞ ∆ CBD.

2^о. АВ || CD. Найдите АВ, если OD = 15см, OB = 9см, CD = 25см.

3. Найти отношение площадей треугольников АВС и KMN, если АВ = 8см, ВС = 12см, АС = 16см, КМ = 10см, MN = 15см, NK = 20cм.

Контрольная работа № 3

Вариант 2

1^о. Высота CD прямоугольного треугольника АВС отсекает от гипотенузы АВ, равной 9см, отрезок AD = 4см. Докажите, что ∆ AВC ∞ ∆ АCD.

2^о. MN || DF. Найдите MN, если DM = 6см, EM = 8см, DF = 21см.

3. Даны стороны треугольников АВС и DEF, если АВ = 12см, ВС = 15см, АС = 21см, DE = 16см, EF = 20см, DF = 28cм. Найти отношение площадей этих треугольников.

Контрольная работа № 4

Вариант 1

1^о. Площадь ромба равна 48см². Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба.

2. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4см, боковая сторона равна 6см, а один из углов равен 120⁰. Найти площадь трапеции.

3. В прямоугольном треугольнике АВС А = 90⁰, АВ = 20см, высота AD = 12см. Найти АС и cos C.

Контрольная работа № 4

Вариант 2

1^о. Площадь прямоугольника равна 36см². Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника.

2. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3см, большая боковая сторона равна 4см, а один из углов равен 150⁰. Найти площадь трапеции.

3. Высота BD прямоугольного треугольника АВС равна 24см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18см. Найти АВ и cos А.

Контрольная работа № 5

Вариант 1

1^о. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром А и радиусом, равным ОС.

2^о. Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки, равные 5см и 13см. Найти площадь этого треугольника.

3^о. Основание равнобедренного треугольника равно 18см, а боковая сторона равна 15см. Найти радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Контрольная работа № 5

Вариант 2

1^о. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром С и радиусом, равным AD.

2^о. Меньший из отрезков, на которые центр описанной около равнобедренного треугольника окружности делит его высоту , равен 8см, а основание треугольника равно 12см. Найти площадь этого треугольника.

3^о. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равно 9см, а само основание равно 24см. Найти радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Контрольная работа № 6

Вариант 1

1. Начертите два неколлинеарных вектора так, что | | = 3cм, | | = 2см. Постройте вектор

2. Точка К делит отрезок MN в отношении MK : KN = 3 : 2. Выразите вектор через векторы и , где А – произвольная точка.

3. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен 2см. Найдите большее основание трапеции, если ее средняя линия равна 8см.

Контрольная работа № 6

Вариант 2

1. Начертите два неколлинеарных вектора так, что | | = 3cм, | | = 3м. Постройте вектор

2.Точка А делит отрезок EF в отношении ЕА : AF = 2 : 5. выразите вектор через векторы и , где К– произвольная точка.

3. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит среднюю линию на отрезки, равные 2см и 6см. Найдите основания трапеции.

Решение биквадратных уравнений. Решение биквадратных уравнений Реши уравнение относительно n

Решите уравнение х 2 +(1-х) 2 =х

Докажите, что нет целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец, увеличиваются в 5 раз.

В некотором царстве каждые двое – либо друзья, либо враги. Каждый человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в этом царстве могут стать друзьями.

В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

По стрельбе из мишени спортсмен выбивал только по 8,9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил ровно 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен, и какие были попадания?

Докажите истинность неравенства:

3. Решите уравнение:

Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Затем из вершины С проведены прямые, параллельные этим биссектрисам. Точки Д и Е пересечения этих прямых с биссектрисами соединены. Оказалось, что прямые ДЕ и АВ параллельны. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

Решите систему уравнений:

На сторонах АВ и АД параллелограмма АВСД взяты соответственно точки Е и К так, что отрезок ЕК параллелен диагонали ВД. Докажите, что площади треугольников ВСЕ и СДК равны.

Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое число пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по 22 человека, однако оказалось, что при этом не удается посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. Сколько первоначально было автобусов и сколько туристов в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32 человек?

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

Решите систему уравнений:

Докажите, что четыре расстояния от точки окружности до вершины вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.

Возможные решения задач

1. Ответ: х=1, х=0,5

От перестановки начальной цифры в конец значность числа не изменится. При этом, по условию задачи, должны получить число, в 5 раз большее первого числа. Следовательно, первая цифра искомого числа должна равняться 1 и только 1. (т.к. если первая цифра будет 2 или больше, то изменится значность, 2*5=10). При перестановке 1 в конец, полученное число оканчивается на 1, следовательно на 5 не делится.

Из условия следует, что если А и В – друзья, то С либо их общий враг, либо общий друг (иначе им троим не примириться). Возьмем всех друзей человека А. Из сказанного следует, что все они дружны между собой и враждуют с остальными. Пусть теперь А и его друзья по очереди ссорятся с друзьями и мирятся с врагами. После этого все окажутся друзьями.

Действительно, пусть А первым поссорился со своими друзьями и помирился со своими врагами, но тогда каждый их его бывших друзей будет с ним мириться, а бывшие враги останутся друзьями. Итак, все люди оказываются друзьями А, а следовательно, и друзьями между собой.

Число 111 делится на 37, поэтому на 37 делится и названная сумма.

По условию, число делится на 37, поэтому и сумма

Делится на 37.

Заметим, что указанные медиана и биссектриса не могут выходить из одной вершины, так как в противном случае угол при этой вершине был бы больше 180 0 . Пусть теперь в треугольнике АВС биссектриса АD и медиана СЕ пересекаются в точке F. Тогда AF – биссектриса и высота в треугольнике АСЕ, значит этот треугольник равнобедренный (АС=АЕ), а так как СЕ – медиана, то АВ = 2АЕ и, следовательно, АВ =2АС.

Возможные решения задач

1. Ответ: 9 выстрелов по 8 очков,

2 выстрела по 9 очков,

1 выстрел по 10 очков.

Пусть x выстрелов сделал спортсмен, выбивая по 8 очков, y выстрелов по 9 очков, z выстрелов по 10 очков. Тогда можно составить систему:

Используя первое уравнение системы, запишем:

Из этой системы следует, что x + y + z =12

Умножим второе уравнение на (-8) и сложим с первым. Получим, что y +2 z =4 , откуда y =4-2 z , y =2(2- z ) . Следовательно, у – четное число, т.е. y=2t , где .

Следовательно,

3. Ответ: х = -1/2, х = -4

После приведения дробей к одному знаменателю получаем

4. Ответ: 105

Обозначим через x , y , z соответственно первую, вторую и третью цифру искомого трехзначного числа. Тогда его можно записать в виде . После вычеркивания средней цифры получится двузначное число . По условию задачи , т.е. неизвестные цифры x , y , z удовлетворяют уравнению

7(10 x + z )=100 x +10 y + x , которое после приведения подобных членов и сокращений принимает вид 3 z =15 x +5 y .

Из этого уравнения следует, что z должно делиться на 5 и должно быть положительным, так как по условию . Поэтому z =5, а цифры х, у удовлетворяют уравнению 3=3х + у, которое в силу условия имеет единственное решение х =1, у = 0. Следовательно, условию задачи удовлетворяет единственное число 105.

Обозначим буквой F точку, в которой пересекаются прямые АВ и СЕ. Так как прямые DB и CF параллельны, то . Ввиду того, что BD – биссектриса угла АВС, заключаем, что . Отсюда следует, что , т.е. треугольник BCF равнобедренный и BC=BF. Но из условия следует, что четырехугольник BDEF – параллелограмм. Поэтому BF = DE, и, значит ВС = DE. Аналогично доказывается, что АС = DE. Это приводит к требуемому равенству.

Возможные решения задач

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у

Итак, решениями системы могут быть лишь следующие четыре пары чисел: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Подстановкой в уравнения исходной системы убеждаемся, что каждая из этих четырех пар является решением системы.

Треугольники CDF и BDF имеют общее основание FD и равные высоты, так как прямые ВС и AD параллельны. Следовательно, их площади равны. Аналогично, равны площади треугольников BDF и BDE, так как прямая BD параллельна прямой EF. И равны площади треугольников BDE и BCE, так как АВ параллельна CD. Отсюда и следует требуемое равенство площадей треугольников CDF и BCE.

Учитывая область определения функции, построим график.

Используя формулу выполним дальнейшие преобразования

Применяя формулы сложения и выполняя дальнейшие преобразования, получим

5. Ответ: 24 автобуса, 529 туристов.

Обозначим через k первоначальное число автобусов. Из условия задачи следует, чтои что число всех туристов равно 22 k +1 . После отъезда одного автобуса всех туристов удалось рассадить в оставшиеся (k-1) автобусов. Следовательно, число 22 k +1 должно делиться на k-1 . Таким образом, задача свелась к определению всех целых , для которых число

Является целым и удовлетворяет неравенству (число n равно числу туристов, посаженных в каждый автобус, а по условию задачи автобус вмещает не более 32 пассажиров).

Число будет целым только тогда, когда число будет целым. Последнее возможно только при k =2 и при k =24 .

Если k =2 , то n=45.

А если k =24 , то n=23.

Отсюда и из условия получаем, что только k =24 удовлетворяет всем условиям задачи.

Следовательно, первоначально было 24 автобуса, а число всех туристов равно n(k-1)=23*23=529

Возможные решения задач

1. Ответ:

Тогда уравнение примет вид:

Получили квадратное уравнение относительно р .

2. Ответ: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Сложив уравнения системы, получим , или

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у в первое уравнение системы, получим

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у в первое уравнение системы, получим или

Решить уравнение — это значит найти такие значения неизвестного, при которых равенство будет верным.

Решение уравнения

Представим уравнение в следующем виде:

2х * х — 3 * х = 0.

Видим, что члены уравнения в левой части имеют общий множитель х. Вынесем его за скобки и запишем:

х * (2х — 3) = 0.

Полученное выражение является произведением множителей х и (2х — 3). Вспомним, что произведение равно 0 в том случае, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, можно записать равенства:

х = 0 или 2х — 3 = 0.

Значит одним из корней исходного уравнения является х 1 = 0.
Найдем второй корень, решив уравнение 2х — 3 = 0.

В этом выражении 2х — уменьшаемое, 3 — вычитаемое, 0 — разность. Чтобы найти уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое:

В последнем выражении 2 и х — множители, 3 — произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель:

Таким образом, мы нашли второй корень уравнения: х 2 = 1,5.

Проверка правильности решения

Для того, чтобы узнать, правильно ли решено уравнение, необходимо подставить в него числовые значения х и выполнить необходимые арифметические действия. Если в результате вычислений получится, что левая и правая части выражения имеют одинаковое значение, то уравнение решено правильно.

Выполним проверку:

Вычислим значение исходного выражения при х 1 = 0 и получим:

2 * 0 2 — 3 * 0 = 0,

0 = 0, верно.

Вычислим значение выражения при х 2 = 0 и получим:

2 * 1,5 2 — 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 — 4,5 = 0,

0 = 0, верно.

Значит, уравнение решено правильно.

Ответ: х 1 = 0, х 2 = 1,5.

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

8 класс

Решите уравнение х²+(1-х)²=х

Докажите, что нет целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец, увеличиваются в 5 раз.

В некотором царстве каждые двое – либо друзья, либо враги. Каждый человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в этом царстве могут стать друзьями.

Трехзначное число делится на 37. Докажите, что сумма чисел bca и cab также делится на 37.

В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

9 класс

По стрельбе из мишени спортсмен выбивал только по 8,9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил ровно 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен, и какие были попадания?

Докажите истинность неравенства:

3. Решите уравнение:

Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Затем из вершины С проведены прямые, параллельные этим биссектрисам. Точки Д и Е пересечения этих прямых с биссектрисами соединены. Оказалось, что прямые ДЕ и АВ параллельны. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

10 класс

Решите систему уравнений:

На сторонах АВ и АД параллелограмма АВСД взяты соответственно точки Е и К так, что отрезок ЕК параллелен диагонали ВД. Докажите, что площади треугольников ВСЕ и СДК равны.

Постройте график функции

Докажите, что — целое число.

Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое число пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по 22 человека, однако оказалось, что при этом не удается посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. Сколько первоначально было автобусов и сколько туристов в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32 человек?

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

11 класс

Решите уравнение

Решите систему уравнений:

Докажите равенство:

Докажите, что четыре расстояния от точки окружности до вершины вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.

Дан правильный тетраэдр АВСД. На отрезке ДЕ, соединяющем вершину Д с точкой Е пересечения медиан основания АВС взята точка М так, что . Найти соотношение ЕМ:МД.

Возможные решения задач

8 класс

1. Ответ: х=1, х=0,5

Число 111 делится на 37, поэтому на 37 делится и названная сумма.

По условию, число делится на 37, поэтому и сумма

делится на 37.

Заметим, что указанные медиана и биссектриса не могут выходить из одной вершины, так как в противном случае угол при этой вершине был бы больше 180⁰. Пусть теперь в треугольнике АВС биссектриса АD и медиана СЕ пересекаются в точке F. Тогда AF – биссектриса и высота в треугольнике АСЕ, значит этот треугольник равнобедренный (АС=АЕ), а так как СЕ – медиана, то АВ = 2АЕ и, следовательно, АВ =2АС.

Возможные решения задач

9 класс

1. Ответ: 9 выстрелов по 8 очков,

2 выстрела по 9 очков,

1 выстрел по 10 очков.

Используя первое уравнение системы, запишем:

Тогда

Из этой системы следует, что x+y+z=12

Умножим второе уравнение на (-8) и сложим с первым. Получим, что y+2z=4, откуда y=4-2z, y=2(2-z). Следовательно, у – четное число, т.е. y=2t, где .

Следовательно,

т.е.

3.Ответ: х = -1/2, х = -4

После приведения дробей к одному знаменателю получаем

4. Ответ: 105

Обозначим через x,y,z соответственно первую, вторую и третью цифру искомого трехзначного числа. Тогда его можно записать в виде . После вычеркивания средней цифры получится двузначное число . По условию задачи , т.е. неизвестные цифры x,y,z удовлетворяют уравнению

7(10x+z)=100x+10y+x, которое после приведения подобных членов и сокращений принимает вид 3z=15x+5y.

Из этого уравнения следует, что z должно делиться на 5 и должно быть положительным, так как по условию . Поэтому z =5, а цифры х, у удовлетворяют уравнению 3=3х + у, которое в силу условия имеет единственное решение х =1, у = 0. Следовательно, условию задачи удовлетворяет единственное число 105.

Возможные решения задач

10 класс

1. Ответ: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Сложив уравнения системы, получим , или

. Отсюда (х + у)² = 1, т.е. х + у = 1 или х + у = -1.

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1. Подставив х = 1 – у в первое уравнение системы, получим

или

б) х + у = -1. После подстановки х = -1-у в первое уравнение системы, получим или

Учитывая область определения функции, построим график.

Используя формулу выполним дальнейшие преобразования

Применяя формулы сложения и выполняя дальнейшие преобразования, получим

5. Ответ: 24 автобуса, 529 туристов.

Обозначим через k первоначальное число автобусов. Из условия задачи следует, чтои что число всех туристов равно 22k +1. После отъезда одного автобуса всех туристов удалось рассадить в оставшиеся (k-1) автобусов. Следовательно, число 22k +1 должно делиться на k-1. Таким образом, задача свелась к определению всех целых , для которых число

является целым и удовлетворяет неравенству (число n равно числу туристов, посаженных в каждый автобус, а по условию задачи автобус вмещает не более 32 пассажиров).

Число будет целым только тогда, когда число будет целым. Последнее возможно только при k=2 и при k=24.

Если k=2, то n=45.

А если k=24, то n=23.

Отсюда и из условия получаем, что только k=24 удовлетворяет всем условиям задачи.

Следовательно, первоначально было 24 автобуса, а число всех туристов равно n(k-1)=23*23=529

Возможные решения задач

11 класс

1. Ответ:

Тогда уравнение примет вид:

Получили квадратное уравнение относительно р.

2. Ответ: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Сложив уравнения системы, получим , или

. Отсюда (х + у)² = 1, т.е. х + у = 1 или х + у = -1.

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1. Подставив х = 1 – у в первое уравнение системы, получим

или

б) х + у = -1. После подстановки х = -1-у в первое уравнение системы, получим или

Так как , то

Поэтому

Пусть ABCD вписан в окружность диаметра d, а точка Р лежит на дуге AD.

Обозначим . Тогда .

Если числа являются рациональными числами, то число — иррациональное. Т.е. четыре расстояния от точки окружности до вершины вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.

Так как тетраэдр ABCD правильный, то DE – его высота. Обозначим через F середину ребра АС. Без ограничения общности можно считать, что ребро тетраэдра ABCD равно 1. Тогда

Треугольник АЕМ равен треугольнику ВЕМ, причем ВМ=АМ. По условию

, значит треугольник АМВ равнобедренный прямоугольный и

. Но .

Тогда и

Следовательно,

Реши уравнение относительно n. Решение биквадратных уравнений

Решите уравнение х 2 +(1-х) 2 =х

Докажите, что нет целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец, увеличиваются в 5 раз.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

Докажите истинность неравенства:

3. Решите уравнение:

Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

Решите систему уравнений:

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

Решите систему уравнений:

Возможные решения задач

1. Ответ: х=1, х=0,5

Число 111 делится на 37, поэтому на 37 делится и названная сумма.

По условию, число делится на 37, поэтому и сумма

Делится на 37.

Возможные решения задач

1. Ответ: 9 выстрелов по 8 очков,

2 выстрела по 9 очков,

1 выстрел по 10 очков.

Используя первое уравнение системы, запишем:

Из этой системы следует, что x + y + z =12

Следовательно,

3. Ответ: х = -1/2, х = -4

После приведения дробей к одному знаменателю получаем

4. Ответ: 105

7(10 x + z )=100 x +10 y + x , которое после приведения подобных членов и сокращений принимает вид 3 z =15 x +5 y .

Возможные решения задач

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у

Учитывая область определения функции, построим график.

Используя формулу выполним дальнейшие преобразования

Применяя формулы сложения и выполняя дальнейшие преобразования, получим

5. Ответ: 24 автобуса, 529 туристов.

Число будет целым только тогда, когда число будет целым. Последнее возможно только при k =2 и при k =24 .

Если k =2 , то n=45.

А если k =24 , то n=23.

Отсюда и из условия получаем, что только k =24 удовлетворяет всем условиям задачи.

Следовательно, первоначально было 24 автобуса, а число всех туристов равно n(k-1)=23*23=529

Возможные решения задач

1. Ответ:

Тогда уравнение примет вид:

Получили квадратное уравнение относительно р .

2. Ответ: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Сложив уравнения системы, получим , или

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у в первое уравнение системы, получим

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у в первое уравнение системы, получим или

В этой статье мы будем учиться решать биквадратные уравнения.

Итак, уравнения какого вида называются биквадратными?
Все уравнения вида ах 4 + bx 2 + c = 0 , гдеа ≠ 0 , являющиеся квадратными относительно х 2 , и называются биквадратными уравнениями. Как видите, эта запись очень похожа на запись квадратного уравнения, поэтому и решать биквадратные уравнения будем используя формулы, которые мы применяли при решении квадратного уравнения.

Только нам необходимо будет ввести новую переменную, то есть обозначим х 2 другой переменной, например, у или t (или же любой другой буквой латинского алфавита).

Например, решим уравнение х 4 + 4х 2 ‒ 5 = 0.

Обозначим х 2 через у (х 2 = у ) и получим уравнение у 2 + 4у – 5 = 0.
Как видите, такие уравнения вы уже умеете решать.

Решаем полученное уравнение:

D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

у 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

у 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

Вернемся к нашей переменной х.

Получили, что х 2 = ‒ 5 и х 2 = 1.

Замечаем, что первое уравнение решений не имеет, а второе дает два решения: х 1 = 1 и х 2 = ‒1. Будьте внимательны, не потеряйте отрицательный корень (чаще всего получают ответ х = 1, а это не правильно).

Ответ: — 1 и 1.

Для лучшего усвоения темы разберем несколько примеров.

Пример 1. Решите уравнение 2х 4 ‒ 5 х 2 + 3 = 0.

Пусть х 2 = у, тогда 2у 2 ‒ 5у + 3 =0.

D = (‒ 5) 2 – 4· 2 · 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

у 1 = (5 – 1)/(2· 2) = 4 /4 =1, у 2 = (5 + 1)/(2· 2) = 6 /4 =1,5.

Тогда х 2 = 1 и х 2 = 1,5.

Получаем х 1 = ‒1, х 2 = 1, х 3 = ‒ √1,5 , х 4 = √1,5.

Ответ: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Пример 2. Решите уравнение 2х 4 + 5 х 2 + 2 = 0.

2у 2 + 5у + 2 =0.

D = 5 2 – 4 · 2 · 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

у 1 = (‒ 5 – 3)/(2 · 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, у 2 = (‒5 + 3)/(2 · 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.

Тогда х 2 = ‒ 2 и х 2 = ‒ 0,5. Обратите внимание, ни одно из этих уравнений не имеет решения.

Ответ: решений нет.

Неполные биквадратные уравнения — это когда b = 0 (ах 4 + c = 0) или же c = 0

(ах 4 + bx 2 = 0) решают как и неполные квадратные уравнения.

Пример 3. Решить уравнение х 4 ‒ 25х 2 = 0

Разложим на множители, вынесем х 2 за скобки и тогда х 2 (х 2 ‒ 25) = 0.

Получим х 2 = 0 или х 2 ‒ 25 = 0, х 2 = 25.

Тогда имеем корни 0; 5 и – 5.

Ответ: 0; 5; – 5.

Пример 4. Решить уравнение 5х 4 ‒ 45 = 0 .

х 2 = ‒ √9 (решений не имеет)

х 2 = √9, х 1 = ‒ 3, х 2 = 3.

Как видите, умея решать квадратные уравнения, вы сможете справиться и с биквадратными.

Если же у вас остались вопросы, записывайтесь на мои уроки. Репетиор Валентина Галиневская.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решить уравнение — это значит найти такие значения неизвестного, при которых равенство будет верным.

Решение уравнения

Представим уравнение в следующем виде:

2х * х — 3 * х = 0.

Видим, что члены уравнения в левой части имеют общий множитель х. Вынесем его за скобки и запишем:

х * (2х — 3) = 0.

Полученное выражение является произведением множителей х и (2х — 3). Вспомним, что произведение равно 0 в том случае, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, можно записать равенства:

х = 0 или 2х — 3 = 0.

Значит одним из корней исходного уравнения является х 1 = 0.
Найдем второй корень, решив уравнение 2х — 3 = 0.

Таким образом, мы нашли второй корень уравнения: х 2 = 1,5.

Проверка правильности решения

Выполним проверку:

Вычислим значение исходного выражения при х 1 = 0 и получим:

2 * 0 2 — 3 * 0 = 0,

0 = 0, верно.

Вычислим значение выражения при х 2 = 0 и получим:

2 * 1,5 2 — 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 — 4,5 = 0,

0 = 0, верно.

Значит, уравнение решено правильно.

Ответ: х 1 = 0, х 2 = 1,5.

Решение геометрических задач при подготовке к ГИА

1. Решение геометрических задач при подготовке к ГИА

?
Титова В.А.,
учитель математики
МОУ СОШ № 5

2. Содержание

1. Справочная информация.
2. Задания первой части ГИА.
3. Задания второй части ГИА.
Задания: — на множественный выбор;
— с практическим содержанием;
для самостоятельного решения;
— с развёрнутым свободным ответом.
4. Задания третьей части ГИА.
5. Задания ЕГЭ 2009 (В-11).
для самостоятельного решения

3. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

4. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

треугольники
четырехугольники
правильные многоуг
ольники
окружность
векторы
Справочные сведения
Треугольники
Прямоугольный треугольник
α
Решение прямоугольных треугольников
Теорема Пифагора: с 2 а 2 b 2
А
b
c
sin
М
a
С
В
a
b
h
c
a
;
c
b
cos ;
c
tg
a
,
b
где а – катет, противолежащий α; b — катет, прилежащий к α.
Середина гипотенузы равноудалена от его вершин: МА=МВ=МС.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:
h 2 ca cb ;
b 2 cb c
а 2 са с;
с , с — проекции катетов на гипотенузу.
а
b
Площадь прямоугольного треугольника:
b
а
R
r
R
1
c
2
r
a b c
2
S
ab
2
Справочные сведения
Треугольники
Равнобедренный треугольник
h
Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию,
совпадают.
Высоты, проведённые к боковым сторонам, равны;
медианы, проведённые к боковым сторонам, равны;
биссектрисы углов при основании равны.

7. Справочные сведения Треугольники

Произвольный треугольник
Площадь треугольника:
b
с
S
h
a
b
abc
;
4R
a
sin A
B
R
S
1
a h
2
где р – полупериметр
0
Сумма углов в треугольнике: А В С 180
a
b
c
Теорема синусов:
c
r
S
S p ( p a ) ( p b) ( p c ) ,
А
C
1
a b sin ;
2
S = p ∙ r;
Теорема косинусов:
R
abc
4S
r
sin B
sin C
с 2 a 2 b 2 2ab sin
2S
p
Справочные сведения
Треугольники
А
Подобие треугольников
В в подобных треугольниках
С
D
F
E
В
А
(соответствующие стороны лежат против равных углов)
Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении
А1 2 : 1, считая от вершины угла (АО : ОА1 = 2 : 1)
О
С
l
a
x
c
b
y
AB BC AC
DE EF DF
АА1
1
2 АС 2 2 АВ 2 ВС 2
2
Биссектриса угла делит сторону на отрезки, пропорциональные
двум другим сторонам (а : b = x : y).
2ab cos
2
Длина биссектрисы l ab xy
lc
a b
Справочные сведения
Четырехугольники
Параллелограмм
Свойства
ABCD – параллелограмм
AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD,
В
С
A C , B D
A B B C C D A D 1800 ,
О
AO = OC, BO = OD,
φ
α
A
D
2 ( AB 2 BC 2 ) AC 2 BD 2 .
Признаки
AB CD, BC AD
ABCD – параллелограмм;
AO = OC, BO = OD
ABCD – параллелограмм;
ABCD – параллелограмм;
AB = CD, BC = AD
ABCD – параллелограмм;
AB = CD, AB CD
BC = AD, BC AD ABCD – параллелограмм
Площадь:
1
S aha ;
2
S ab sin ;
S
1
d1 d 2 sin
2
Справочные сведения
Четырехугольники
Прямоугольник
Свойства
ABCD – прямоугольник
AB CD, BC AD, AB = CD, BC = AD;
В
С
О
A
D
А С В D 900 ;
AO = BO = CO = DO
(О – центр описанной окружности, ОА = R).
Признаки
ABCD – параллелограмм, АС = BD
ABCD – прямоугольник.
ABCD – параллелограмм,
ABCD – прямоугольник.
0
А 90
Площадь
S ab
S
1 2
d sin
2
Справочные сведения
Четырехугольники
Ромб
В
А
О
h
α
a
D
С
Свойства
ABCD – ромб
AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;
0
A C , B D ; A B B C C D A D 180 ,
АС ВD , АО = ОС, ВО = ОD;
ВАО DAO, ABO CBO, BCO DCO, ADO CDO
Признаки
AB = CD, BC = AD ABCD – ромб
ABCD – параллелограмм, АС BD
ABCD – прямоугольник.
ABCD – параллелограмм,
ABCD – ромб
ВАО DAO
Площадь
S aha ,
S a 2 sin ,
S
d1 d 2
.
2
Справочные сведения
Четырехугольники
Квадрат
В
а
О
d
A
Свойства
С ABCD – квадрат AB CD, BC AD, AB = CD = BC = AD;
А С В D 900 ; АС ВD , AO = BO = CO = DO;
ВАО АВО СВО ВСО DCO CDO ADO DAO 450
D
Признаки
ABCD – прямоугольник, AB = CD = BC = AD ABCD – квадрат;
ABCD – ромб, А 90 0
ABCD – квадрат.
Площадь
S a2
d2
S
2
Справочные сведения
Четырехугольники
Произвольная трапеция
B
C
O
φ
A
D
Треугольники AOD и СОВ подобны.
Треугольники АОВ и DOC равновелики (их площади равны)
Площадь трапеции: S 1 d1d 2 sin
2
a
m
h
b
c
Средняя линия трапеции:
Площадь трапеции:
S
m
a b
2
a b
h m h
2
Вписанная в окружность трапеция – равнобедренная.
В описанной около окружности трапеции:
высота равна диаметру: h = 2 r;
b
сумма оснований равна сумме боковых сторон: a + b = c + d;
r d
полусумма боковых сторон равна средней линии: c + d = m;
a
(боковая сторона равнобедренной трапеции равна средней линии).
Справочные сведения
Четырехугольники
Равнобедренная трапеция
В
С
A
Углы при оснований равны: А D, B C
D
B
C
O
A
D
B
C
h
m
A
H
Диагонали равны: АС = ВD;
отрезки диагоналей равны: АО = DO, BO = CO;
углы, образованные основанием и диагоналями, равны:
CAD ADB, DBC ACB
Основание высоты, проведённой к большему основанию, делит основание
на отрезки, равные a b a b
(если ВН – высота, то DH = m, где m –
и
средняя линия).
2
2
D
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота,
проведённая к основанию, равна средней линии: h = m. В этом случае
площадь трапеции можно найти по формуле: S h 2 m 2
Справочные сведения
Правильные многоугольники
Сумма углов многоугольника
В выпуклом многоугольнике сумма углов равна
1800 (т 2),
где n – число сторон (вершин) многоугольника.
Свойства правильного многоугольника
Все стороны равны, все углы равны,
О – центр вписанной и описанной окружностей,
R – радиус описанной окружности, лежит на биссектрисе угла,
r – радиус вписанной окружности, лежит на серединном
перпендикуляре к стороне.
О
R r
A
B
1
2
3
Центральный угол:
Внутренний угол:
Внешний угол равен центральному углу:
a2 3
S3
4
1 360 0 : n,
180 0 (n 2)
2
,
n
3 3600 : n.
Справочные сведения
Правильные многоугольники
Примеры равнобедренных треугольников,
боковыми сторонами которых являются две стороны многоугольника, два
радиуса или равные диагонали:
d
a
R
R
R
r
r
R
a
Примеры прямоугольных треугольников
(вписанный угол опирается на диаметр)
d
Справочные сведения
Окружность
Окружность и её элементы
.
Радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен
этой хорде.
Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен
касательной.
.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
Центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного
касательными, проведёнными из одной точки.
.
.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 900
Справочные сведения
Окружность
Окружность и её элементы
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги,
на которую он опирается.
m
m
n
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается.
n
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение
отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой
хорды.
Справочные сведения
Окружность
Окружность, вписанная в треугольник
Отрезок, соединяющий центр окружности и точку её
касания со стороной, перпендикулярен этой стороне.
Отрезки двух соседних сторон от общей вершины до
точек касания равны между собой.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе
угла, образованного двумя сторонами.
Справочные сведения
Окружность
Окружность, описанная около треугольника
Центр описанной окружности лежит на серединном
перпендикуляре к любой из сторон треугольника.
Если прямоугольный треугольник вписан в
окружность, то его гипотенуза является диаметром
окружности.
Угол вписанного в окружность треугольника в 2 раза
меньше центрального угла, опирающегося на ту же
дугу, и равен любому другому вписанному углу,
опирающемуся на ту же дугу.
Справочные сведения
Векторы
Сложение и вычитание векторов
В
В
A
CA
С
D
Правило треугольника: АВ ВС АС ;
Правило параллелограмма: AB AD AC
D
Сумма нескольких векторов:
A
А
В
В
О
А
А
AD a b c
Вычитание векторов: ОА ВА ОВ
О
Скалярное произведение векторов:
a b a b cos ab ;
а
b
В координатах: a x ; y , b x ; y a b x x y y
1
1
2
2
1 2
1 2

22. Треугольники

Решение заданий первой части
1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр треугольника МРС.
1) 22 2) 21 3) 42 4)23
С
2. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет НТ.
1) 5 3
2) 5
3)
4) 10 2
5 2
3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет SТ.
1) 9
2) 6 3
3) 9 3 4) 9 2
4. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет BC.
6
6
1) 6 sinα 2) 6 tgα 3)
4)
tg
sin
5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
площадь треугольника.
1) 156
2) 78
3) 60
4) 30
Р
7
В
12
7
8
М 8
2)
А
Р
45
10
Н
3)
0
Т
R
600
3)
18
S
T
B
1)
6
C
α
13
A
5
12
4)
Треугольники
Решение заданий первой части
6. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь
прямоугольного треугольника.
1) 16
2) 192
3) 120
4) 96
7. В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся его
сторон в точках М, К, и Р. Используя данные, указанные
на рисунке, найдите сторону АС.
1) 18
2) 14
3) 15
4) 11
20
12
5
4)
В
М
К
6
3)
9
А
Р
С
8. Треугольник АСР – равнобедренный с основанием СР, равным 10, и боковой
стороной, равной 12. Найдите периметр треугольника РКМ, где КМ – средняя
линия, параллельная стороне АС.
9. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка
МР, если известно, что МР || АС.
М
17
D
6
Р
А4
С
21
12,6

24. Треугольники

Решение заданий первой части
10. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр четырёхугольника ABDC, если известно,
что угол BAD равен углу CAD.
11. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Р, причём
угол ВАР равен углу DCP. Используя данные, указанные
на рисунке, найдите длину отрезка AD.
12. АВС – равнобедренный треугольник с основанием АС.
AD и СЕ – высоты к боковым сторонам. Найдите AD, если
АЕ = 6, АС = 10.
C
D
28
4
B
10
A
В
D
14
23
P
A 9 9 C
В
Е
D
8
6
A
10
C

25. Треугольники

Задания первой части (для самостоятельного решения)
1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр треугольника АВС.
1) 42
2) 23
3) 46
10
А
N
7M
6
4) 30
7
2. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет РК.
1)10 2 2) 10 3) 10 3 4) 20 2
sin
tg
5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
площадь треугольника.
1) 135
2) 67,5
3) 54
4) 108
B
3)
C
М
1)
20
45 0
Р
К
3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
катет HN.
1) 12
2)
3)
4)
12 3
12 2
8 3
4. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
гипотенузу ВС.
6
6
1) 6 sinα 2) 6 tgα 3)
4)
10
N
24
L
2)
30 0
H
B
A
3)
6
15
C
9
3)

26. Треугольники

Задания первой части (для самостоятельного решения)
6. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
периметр четырёхугольника ABDC, если известно,
что угол BAD равен углу CAD.
7. Отрезки АE и CD пересекаются в точке N, причём
угол NАD равен углу NCE. Используя данные, указанные
6
D
C
30
B
A
9
15
N
C
E
22
на рисунке, найдите длину отрезка AE.
15
D
7
A
8. В равнобедренный прямоугольный треугольник АВС вписан
квадрат BDEF так, что его стороны BD и BF лежат на катетах
ВА и ВС, а вершина Е – на гипотенузе. АВ = 14. Найдите FC.
9. На параллельных прямых a и b отложены равные отрезки KL
и MN. Отрезки KN и ML пересекаются в точке О. КО = 7.
Найдите длину отрезка KN.
7
A
D
E
B
F
C
K
L
a
O
M
N
b
7
10. Найдите синус угла С треугольника ACD, если известно, что АС
= 15,
cos K
AD = 12.
9
синус угла D равен 0,75.
11. Найдите сторону LN треугольника KLN, если известно, что
KL = 5, KN = 9.
14
,
0,6
6

27. Треугольники

Задания первой части ГИА– 2009 (для самостоятельного решения)
12. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь
прямоугольного треугольника.
1) 160
2) 192
3) 12
4) 96
20
4)
16
В
13. В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся его
сторон в точках М, К, и Р. Используя данные, указанные
на рисунке, найдите сторону АВ.
1) 15
2) 17
3) 20
4) 18
М
А
8
7
К
10
Р
1)
С
14. Треугольник СDЕ – равнобедренный с основанием DE, равным 22, и боковой
стороной, равной 16. Найдите периметр треугольника ЕМР, где МР – средняя
линия, параллельная стороне СD.
15. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка
LN, если известно, что LN || ВС.
15
B
L
10 D
17
27
N
6,8
C

28. Треугольники Решение заданий второй части

Задачи на вычисления в равнобедренном треугольнике, как правило, помимо свойств, относящихся к равнобедренному треугольнику, используют свойства прямоугольного треугольника, т. к.
медиана, проведённая к основанию, делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных.
1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше
боковой стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 3 11
.
В
Решение: 1 способ
1) Обозначим АС = х, тогда ВС = 3х, МС = 1,5х.
3х
М
3 11
А
Н
х
2
2
2
АМ
МС
АС
2 МС АС сosС
AMC
2)
: по теореме косинусов
1,5 х
CH 0,5 х 1
ВСН
:
cos
C
.
С 3) Пусть ВН – высота к основанию АС.
BC
3х
6
3 11
2
х 2 1,5 х 2 х 1,5 х
4) Получаем:
99 х 2 2,25 х 2 0,5 х 2
2
1
6
99 2,75 х 2
х 2 36
х 6
Ответ: 6.
— 6 не удовл. смыслу задачи
Отсюда АС = 6.

29. Треугольники Решение заданий второй части

1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше боковой
стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 3 11.
2 способ: используется приём, позволяющий быстро решать задачи, где речь идёт о медиане.
Медиана АМ продлевается за точку М и на её продолжении откладывается отрезок МD, равный
медиане.
Рассматривается параллелограмм АВDС и используется формула, связывающая его
стороны и диагонали.
D
Решение:
В
1) Пусть АС – основание треугольника, АМ – медиана.
М
Отложим на луче АМ отрезок МD = АМ
Тогда АСВD – параллелограмм, т. к.его диагонали пересекаются
в середине.
А
С
2) Обозначим АС = х, АВ = ВС = 3х, тогда по свойству сторон и
2
2
2
2
диагоналей параллелограмма имеем: 2( АВ АС ) ВС АD
,
2
2
2
2
или 2 (9 х х ) 9 х (6 11 )
11 х 2 36 11
х 6
Ответ: 6.

30. Треугольники Решение заданий второй части

2. В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус
12
угла при основании треугольника равен .13
Радиус ОМ пересекает под прямым углом
боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК.
1 способ опирается на свойства вписанных и центральных углов и решение прямоугольных
треугольников.
В
Решение:
М
К
1) Угол при основании равнобедренного треугольника может быть только
острым, значит, центр О с вершиной А лежит по одну сторону от хорды ВС.
О
ВОС
— центральный, соответствующий углу А. Отсюда
ВОС 2 А.
А
С Тогда
2) Δ ВОС – равнобедренный, ОК – высота, проведённая к основанию, тогда ОК – биссектриса
угла О, отсюда имеем: ВОС 2 А.
12
12 ВК
0
ВОК
:
К
90
,
ОВ
13
,
sin
ВОК
, ВК 12, ОК 13 2 12 2 5.
3)
13
13 13
Ответ: 5.

31. Треугольники Решение заданий второй части

2. В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус
12
угла при основании треугольника равен . Радиус ОМ пересекает под прямым углом
13
боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК.
Т.к. в ряде случаев первый способ применить бывает невозможно, приведём 2 способ решения, который использует свойство отрезков хорд.
В
О
А
К
М
С
Решение:
1)
ВС 2 R sin A 2 13
12
24.
13
ОМ ВС ВК КС 12.
2)
3) Достроим радиус ОМ до диаметра РМ, тогда РМ =26.
Пусть МК = х. По свойству отрезков хорд получим
12 2 х ( 26 х)
х 2 26 х 144 0
х1 8илих 2 18.
Ответ:5.
МК 8, ( МК 18, т.к.МК R ), OK 13 8 5.

32. Треугольники Решение заданий второй части

Свойство отрезков касательных чаще всего применяют в задачах, связанных с вычислением
элементов равнобедренных или прямоугольных треугольников. При решении задач бывает
полезно отметить на рисунке точки касания и отметить равные отрезки одинаковыми буквами
или чёрточками, используя при этом свойства рассматриваемого треугольника.
3. Окружность с центром О, вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС.
Она касается стороны ВС в точке М, причём отрезок ВМ составляет 0,4 боковой стороны.
Найдите высоту, проведённую к боковой стороне, если АС = 30.
В
Решение:
2х
1) Обозначим буквой Н точку касания вписанной окружности с основанием.
К
Так как ΔАВС – равнобедренный, то центр О лежит на высоте к основанию,
О М
3х
т. е. ВН – высота и Н – середина основания.
А
3х Н 3х С
2) Если считать ВМ = 2х и СМ = 3х, то АВ = ВС = 5х.
По свойству отрезков касательных имеем СН = 3х, 3х = 15, АВ = 25.
3) По теореме Пифагора ВН 2 25 2 15 2
ВН 2 20 2
ВН 20.
4) SАВС =0,5 ВН· АС = 0,5 АВ · h, отсюда h = (20 · 30) : 25 = 24.
Ответ: 24.

33. Треугольники Решение заданий второй части

В задачах на площадь треугольника иногда используется отношение площадей
треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
отношения сходственных сторон (или квадрату коэффициента подобия).
Из формулы площади треугольника можно вывести ещё два следствия:
— если треугольники имеют общее основание (или равные основания), то их
площади относятся, как высоты, проведённые к этим основаниям;
— если треугольники имеют общую высоту (или равные высоты), то их площади
относятся, как основания.

34. Треугольники Решение заданий второй части

4. Площадь треугольника МРК равна 21. Известно, что сторона МР = 7, медиана
РА = 3 2, а в треугольнике АРМ сторона АМ – наименьшая. Найдите сторону МК.
Решение:
Р
1)
2)
7
3 2
М
А
К
S MAP
S MAP
1
S MPK 10,5.
2
1
10,5 2
1
MP AP sin sin
2
7 3 2
2
Т. к. МА – наименьшая сторона в треугольнике АРМ, то α не
может быть тупым, α = 45 0.
3) В треугольнике МАР по теореме косинусов:
АМ 2 49 18 2 7 3 2
Ответ: 10.
АМ 5
МК 10.
1
2
25

35. Треугольники Решение заданий второй части

5. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С биссектриса ВК делит
катет АС на отрезки АК = 15 и КС = 12. Найдите площадь треугольника АВК.
Решение:
АВ АК 15 5
1) По свойству биссектрисы треугольника ВС КС 12 4 .
Тогда АВ = 5х, ВС = 4х, АС 25 х 2 16 х 2 3х,
В
5х
4х
3 х 27
х 9
ВС 36.
А
15
К
12
Ответ: 270.
С
2) S ABK : S BCK 5 : 4 (т. к. эти треугольники имеют одну
и ту же высоту ВС).
5
5 1
Значит,
S ABK S ABC 27 36 270.
9
9 2

36. Треугольники Решение заданий второй части

6. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
1) Медиана всегда делит пополам один из углов треугольника.
2) Медиана проходит через середину стороны треугольника.
3) Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
4) Точка пересечения медиан произвольного треугольника – центр окружности, описан –
ной около этого треугольника.
5) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в
отношении 2 к 1, считая от вершины.
Ответ: 2), 3), 5).
7. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
1) Биссектриса всегда проходит через середину стороны треугольника.
2) Биссектриса всегда делит пополам один из углов треугольника.
3) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные
двум другим сторонам.
4) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника – центр окружности, вписанной
в этот треугольник.
5) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника – центр окружности, описанной
около этого треугольника.
Ответ: 2), 3), 4).

37. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

8. Из листа фанеры вырезали равносторонний треугольник со сторонами 10 дм, 10 дм и
1дм 2
12 дм. Сколько килограммов краски потребуется, чтобы его покрасить, если на
поверхности расходуется 0,015 кг краски?
10
10
Решение:
12
1)
По формуле Герона
S p ( p a ) ( p b) ( p c) получаем:
р (10 10 12) : 2 16(дм)
S 16 (16 10) (16 10) (16 12) 16 6 6 4 4 6 2 48(дм 2 )
2)
Расход краски равен 48 · 0,015 = 0,72 (кг)
Ответ: 0, 72.

38. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Природа говорит языком математики:
буквы этого языка – круги, треугольники
и иные математические фигуры.
(Галилей)
Измерение высоты предмета.
1 способ самый лёгкий и самый древний – по тени предмета, использующий:
а) свойства равнобедренного треугольника. Для этого выбирается час, когда длина
тени человека равна его росту; в этот момент высота предмета равна длине отбрасываемой им тени.
Б) подобие треугольников. Можно пользоваться любой
тенью, любой длины. Измерив свою тень или тень любого
шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции:
АВ : ав = ВС : вс.
(Высота дерева во столько же раз больше вашей собственной высоты (или шеста), во сколько раз тень дерева длиннее вашей (или шеста).

39. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

2 способ
А) С помощью шеста, который надо воткнуть в землю так, чтобы его высота
равнялась вашему росту. Место для шеста надо выбрать так, чтобы, лёжа вы видели
верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. По свойству равнобедренного прямоугольного треугольника АВ = ВС, т. е. высоте дерева.
— Да.
— Помнишь свойства подобных треугольников?
— Их сходственные стороны пропорциональны.
— Правильно. Так вот: сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У
меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до
основания шеста; гипотенуза же — мой луч зрения. У другого треугольника катетами
будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка
до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с
направлением гипотенузы первого треугольника.
— Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от
колышка до шеста так относится к расстоянию от
колышка до основания стены, как высота шеста к
высоте стены.
— Да. И следовательно, если мы измерим два первых
расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить
четвертый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту
стены. Мы обойдемся, таким образом, без
посредственного измерения этой высоты.
Оба горизонтальных расстояния были измерены:
меньшее равнялось 15 футам, большее- 500 футам.
По окончании измерений инженер составил следующую запись:
15:500=10:х,
15:500=10:х,
500 10=5000,
5000:15=333,3.
Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам.

41. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Б) (способ Жюля Верна, описанный в романе «Таинственный остров»)
Для определения высоты скалы необходимо взять шест длиной равной росту человека,
воткнуть вертикально в землю. Затем отойти от скалы на такое расстояние, чтобы лёжа на
песке, можно было видеть и конец шеста и конец гребня.
В учебнике этот способ рассматривается в п.64 «Практические приложения
подобия
треугольников»

42. Треугольники Решение заданий второй части

3 способ
Для измерения высоты дерева можно использовать способ основанный на равенстве угла падения и
угла отражения света. Для этого на некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле, в
точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой
наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева.
А
В
С
D

43. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Как поступать, если к измеряемому объекту невозможно подойти вплотную?
А) Задача решается двукратным применением описанного выше способа – помещение зеркала
высота равна возвышению глаза наблюдателя, умноженному на отношение расстояния между
положениями зеркала к разности расстояний наблюдателя от зеркала.
Б) На прямой, проходящей через основание Н предмета, отмечают точки В и С на определённом расстоянии а друг от друга и измеряют углы АВН и АСВ: АВН , АСВ .
По теореме синусов:
А
АН
а sin sin
.
sin( )
Способ рассматривается в учебнике п.100,
«Измерительные работы».
Задача № 1036, 1038.
Н
а
В
С

44. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

1. В 40 м одна от другой стоят две сосны. Высота одной 31 м, другой, молодой – всего 6
м. Можете ли вы определить как велико расстояние между их макушками?
Решение:
По теореме Пифагора расстояние АВ между
верхушками сосен равно
АВ 40 2 (31 6) 2 40 2 25 2 47( м).
Ответ: 47 м.

45. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

2. Тень ВС от отвесного шеста АВ высотою 4,2 м имеет 6,5 длины. Какова в этот
момент высота Солнца над горизонтом, т. е. как велик угол С?
Решение:
sin C
AB
AC
2
AC AB 2 BC 2 4,2 6,52 7,74( м)
sin C
4,2
0,55
7,74
C 330
Ответ:
C 330

46. Треугольники Решение заданий второй части

3. Определите высоту (в метрах) дерева, изображён –
ного на рисунке, если рост человека 1,7м, а в результате измерений получено: ВС = 9м, CD = 1,5м.
Решение:
В
С
D
A
АВС 90 0
E
1.7
B
9
C 1.5 D
EDC 90 0
ACB ECD(свойство )
AB BC
AB
9
ED DC
1,7 1,5
АВ
Ответ: 10,2 м.
АВСподобен EDC (призн.)
9 1,7 3 17
10,2( м)
1,5
5

47. Треугольники Решение заданий второй части

4. Для измерения высоты дома нужно воткнуть в землю под прямым углом шест
М
М 1 Р1 выше роста ОО1 наблюдателя на расстоянии РР от дома. Затем следует
1
М1
отойти от шеста назад по продолжению РРдо
той точки О, с которой
1
N1
можно увидеть высшую точку М на одной линии с верхней
О
N
О1 Р1
точкой М 1 шеста. Далее, стоя на том же месте, необходимо
P
отметить на шесте и на доме 2 точки N1 и N, лежащие на горизонтальной прямой.
Определите высоту МР дома, если рост человека
ОО1 1,7 м, М 1 N1 1м, О1 Р 18 м, О1 Р1 3 м.
Решение:
1) О ОNPиO ON P прямоуголь ники ON O P 18 м, ON O P 3 м, NP OO 1,7 м.
1
1
1 1
1
1
1 1
1
2) M N O подобен MNOпо первому признаку
1 1
Отсюда следует пропорциональность сторон:
MP = MN + NP = 6 + 1,7 = 7,7 (м).
Ответ: 7,7 м.
M N O MNO 90 , MON общий .
0
1
1
M 1 N 1 MN
M N ON 1 18
MN 1 1
6 м.
ON1
ON
ON 1
3

48. Треугольники Решение заданий второй части

5. Для того, чтобы измерить высоту CD = h холма, необходимо с помощью угломерных
инструментов измерить угол α, под которым видна вершина С холма из точки А, затем
отойти на расстояние АВ = d, находясь в плоскости ACD, и измерить угол β, под которым
видна вершина С. АА ВВ- рост наблюдателя. Найдите высоту холма, если
3 1,73,
1
1
.
0
0
60 , 30 , d 100 м, АА1 1,8 м
С
В1
β
α
А1
В
А
d
4) В прямоугольном
5)
Решение:
1)
С1 D A1 A 1,8 м, А1 В1 АВ D 100 м
h
как
стороны прямоугольников
С1
АА1 В1 ВиАА1С1 D.
2)
B1 A1C 180 0 180 0 60 0 120 0.
3)
D
B1CA1 180 0 ( 120 0 ) 180 0 (30 0 120 0 ) 30 0
B1 A1C равнобедре нный А1С А1 В1 100 м
СС1 А1 : СС1 А1С sin 100 sin 60 0 100
h CD CC1 C1 D 86,5 1,8 88,3( м).
Ответ: 88,3м.
3
50 3 50 1,73 86,5( м).
2

49. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Измерение ширины реки
В
1 способ основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов.
(рассматривается в учебнике, № 1037).
В1
С
С1
2 способ основан на использовании подобия треугольников
А
а)(рассматривается в учебнике, № 583).
б) с помощью «прибора» с тремя булавками на вершинах равнобедренного треугольника.
рассматривается в книге Я.И. Перельмана
«Занимательная геометрия»
(гл. 2, «Геометрия у реки»)

50. Треугольники Решение заданий второй части

В).Чтобы измерить ширину реки на её прямолинейном участке, необходимо на противополож –
ном берегу выбрать какой – либо ориентир, например, камень (точка С). Затем на своём берегу
следует найти точку А, так, чтобы отрезок АС был перпендикулярен береговой линии (это
можно сделать с помощью угломерных инструментов). Далее нужно отметить точку В, нахо –
дящуюся на расстоянии АВ = d от точки А и отойти от неё в точку D так, чтобы С, В и D нахо –
дились на одной прямой линии. Затем необходимо отметить точку Е так, чтобы С, А и Е нахо –
дились на одной прямой и отрезок ED был параллелен береговой линии.
6. Найдите ширину реки АС = Н, если АВ = d1 = 24 м, ED = d 2= 30 м, АЕ = h = 4,5 м.
Решение:
АВСподобен EDC
С
Н
А
h
Е
по первому признаку подобия
0
( Собщий , САВ CED 90 по построению).
AC EC
H
H h
или
Hd 2 Hd 1 hd1
Отсюда
В
d1
d2
AB
D
ED
d1
d2
H ( d 2 d 1 ) hd1 H
4,5 24
hd1
.
d 2 d1
Подставив в формулу числа, данные в условии, получим: Н
30 24
Ответ: 18.
4,5 24
4,5 4 18 м.
6

51. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

7. Чтобы определить
ширину АВ озера, вы нашли по компасу, что прямая АС уклоняется
0
к западу на 21, а ВС – к востоку на22 0 . Длина ВС = 68 м, АС = 35 м. Вычислить по
этим данным ширину озера.
Решение:
1) В треугольнике АВС:
0
0
С 21 22 43 0
2) Опускаем высоту АD, имеем
СА 35 м, СВ 68 м.
AD
AD
0,68 AD 0,68 35 24.
AC
AC
0
sin 43 0,68
sin 43 0
3)
СD 2 AC 2 AD 2 352 24 2 649 CD 25,5
BD BC CD
68 25,5 42,5.
4) Из треугольника
АВD имеем:
Ответ: 49 м.
AB 2 AD 2 BD 2 24 2 42,52 2380
(способ предложен в книге Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия»)
AB 49
!? Найдите более простой способ решения задачи.

52. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

Нахождение расстояния до недоступной точки
1 способ
основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов. На местности выбираем точку
А ; В .
В и измеряем длину с отрезка АВ. Измеряются углы А и В:
По теореме синусов находим искомое расстояние d: d
c sin
.
sin( )
С
d
В
c
А
Способ рассматривается в
учебнике п.100,
«Измерительные работы».
Задача № 1037.
2 способ основан на использовании подобия треугольников
(рассматривается в учебнике, № 582).

53. Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения)

1. Определите высоту дерева (в метрах), изображённого на рисунке,
если рост человека 1,8 м, а в результате измерений получено:
ВС = 5м, СО = 0,9м.
А
Е
1,8
О
10
С
В
2. Для измерения высоты монумента нужно установить шест Р1 М под прямым углом
выше роста ОО1 наблюдателя на расстоянии РР1 от монумента. Затем отойти назад
до той точки О1 , с которой можно увидеть вершину М на одной линии с верхней
точкой М шеста. Далее, стоя на том же месте, необходимо отметить на шесте
М1
1
и на монументе 2 точки N и N , лежащие на горизонтальной прямой. Найдите
О
N1
1
высоту монумента, если рост человека 1,8м, М 1 N1 1м, О1 Р1 2,2 м, О1 Р 17,6 м.
О1
3. Для того, чтобы определить высоту СК = h здания, необходимо из точки А с
помощью угломерных инструментов измерить угол α, под которым видна вершина
К здания, затем отойти на расстояние АВ = d, находясь в плоскости АСК, и изме –
рить угол β, под которым видна вершина К из точки В. АА ВВ — рост наблюда –
1
1
теля. Найдите высоту СК здания, если 75 0 ; 30 0 ; АА 1,8 м; d 14 м.
1
Указание: sin 750 0,97; sin 450 0,7.
М
9,8
N
P
Р1
К
С
1
С
В1
А1
А
В
11,5

54. Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения)

4. Для измерения ширины реки на её прямолинейном участке нужно
на берегу наблюдателя отметить 2 точки А и В на границе с водой и
измерить расстояние АВ = d между ними, а на противоположном бе –
регу найти какой – либо ориентир, например, камень (точка С). Затем
с помощью угломерных инструментов следует измерить углы
. Найдите ширину CD = h реки, (CD AB),
САВ , АВС
Если
. Указание:
.
60 0 , 60 0 , d 20 м
3 1,73
5. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны
С
А
h
D
17,3
В
d
1) Высота всегда образует с прямой, содержащей одну из сторон треугольника, прямой угол.
2) В прямоугольном треугольнике высота может совпадать с одной из его сторон.
3) Точка пересечения высот произвольного треугольника – центр окружности, описанной
около этого треугольника.
4) Высота всегда делит треугольник на два треугольника равной площади.
5) Высота может лежать и вне треугольника.
6. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ = АС. Отрезки BD и СЕ проведены
таким образом, что они пересекаются в точке О, лежащей на биссектрисе угла А, а
точки Е и D лежат на отрезках АВ и АС соответственно. Докажите, что
ВЕ = CD.
1)
2)
5)

55. Задания с развёрнутым свободным ответом

Используются во второй и третьей частях работы для проверки состояния более
сложных предметных умений – анализировать ситуацию, разрабатывать способ
решения, проводить математически грамотные рассуждения.
Характеризуя высокий уровень подготовки по предмету, как правило, выделяют
следующие его качества:
• умение выполнять чертёж, соответствующий ситуации, представленной в
условии задачи;
• прочное владение системой знаний, указанных в школьной программе;
• умение обосновывать сделанные выводы ссылкой на теоремы и определения;
• умение строить логически верную цепочку доказательных рассуждений, шагов
решения , которые помогают прийти к требуемому выводу;
• умение синтезировать информацию из различных разделов курса геометрии
для решения поставленной проблемы;
• умение математически грамотно записать решение задачи.

56. Треугольники Решение заданий второй части

15. (с развёрнутым свободным ответом)
В треугольнике АВС биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке М. Отрезок
МЕ параллелен стороне ВС, отрезок МК параллелен стороне АВ (точки Е и К лежат
на АВ и ВС соответственно). Докажите, что ЕК перпендикулярен ВМ.
Доказательство:
1) Четырёхугольник ВКМЕ – параллелограмм, т. к. МЕ || ВС, МК || АВ.
В
Е
А
2) ВМ – диагональ параллелограмма, которая делит его угол пополам,
значит, ВКМЕ – ромб по второму признаку.
К
М
С
3) ЕК – диагональ ромба ЕК ВМ по свойству ромба,
что и требовалось доказать.

57. Треугольники Решение заданий третьей части

Основную трудность при решении задач третьей (иногда и второй) части
работы, обычно, вызывают две главные причины:
для рационального решения задачи нужно знать некоторые методы и
приёмы решения, которые, либо не рассматриваются при изучении
планиметрии, либо тщательно не отрабатываются;
в задачах представлены не самые знакомые конфигурации и для того,
чтобы применить известные факты, нужно уметь увидеть отдельные
опорные подзадачи.

58. Треугольники Решение заданий третьей части

1.
(ГИА – 2008)
Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что медиана
ВАС 45 0 , АВ. 4 2
АМ 29, а
B
Решение:
1) В остроугольном треугольнике АВС основание Н высоты ВН
4 2
М
лежит на стороне АС.
29
В прямоугольном треугольнике АВН:
ВН АВ sin 45 0 , BH 4,
Н
N С
А
AHсторону
AB cos 45 0 , AH 4.
2) Через точку М проведём прямую, параллельную прямой ВН и пересекающую
АС в точке N.
Тогда по теореме Фалеса HN =NC.
Значит, отрезок MN является средней линией треугольника ВСН. Откуда имеем:
3) В прямоугольном треугольнике AMN: AN = 5,
1
MN BH 2иMN AC.
Поскольку AN > АН, то HN = AN -AH и HN =1. Поскольку АС =AN + NC, HN = NC, то
АС =6.
2
2
2
( AN AM MN ).
4)
Ответ: 12.
1
S ABC AC BH S ABC 12.
2

59. Треугольники Решение заданий третьей части

2. (ГИА – 2008) Высоты треугольника пересекаются в точке Н, а медианы — в точке М.
Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно,
, = 12, СН = 6.
что ВАС 450АВ
Решение:
По условию высоты треугольника АВС пересекаются, следовательно,
В
точка Н их пересечения расположена внутри этого треугольника.
Р
1) Пусть СР – высота, а BL – медиана АВС . Н 1 , К 1 , М 1 — основания
12
перпендикуляров, проведённых из точек Н, К, М к прямой АС.
H
РАС 45 0 РСА 45 0.
В прямоугольном треугольнике АРС:
К
6
45 0
М
45 0
2) В прямоугольном
НН 1С : НСН 1 45 0 ,
катеты равны:
А 6 2 L М 1 К1 Н 1 3 2 С
СН1 НН1 , НН1 АВ sin 450 3 2 , Ch2 3 2 .
0
В прямоугольном равнобедренном BH 1 A катеты равны: AH 1 BH 1 , BH 1 AB sin 45 6 2 , AH 1 6 2 .
BH 1
BL 3
3) Bh2 Lподобен ММ 1 L (по двум углам), и
(по свойству медиан треугольника).
1
MM 1 ML 1
Отсюда MM 1 3 BH 1 , MM 1 2 2 .
4) Из теоремы Фалеса следует, что отрезок KK 1- средняя линия трапеции НН1М 1М
1
45
КК1
22,5.
5) Поскольку АС АН 1 Н 1С , АС 9 2 S AKC AC KK 1
2
2
Ответ: 22,5.
НН1 ММ 1
5 2
, КК1
.
2
2

60. Теорема косинусов

В
АС 2 АВ 2 ВС 2 2 АВ BС cos B
А
С
АС 2 32 4 2 2 3 4 cos 60 0
В
3
АС 2 9 16 24
60 0
1
2
АС 2 13
4
АС 13
А
Ответ:
?13
13
С
13 — не удовлетворяет смыслу задачи.
А
AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
sin B
В
С
А
5
3
С
AC 3
sin B
0,6
AB 5
4
CB 4
cos B
0,8
AB 5
В
AC
AB
CB
cos B
AB
AC
tgB
CB
CB
ctgB
AC
А
sin B
В
С
А
5
3
С
AC 3
sin B
0,6
AB 5
4
CB 4
cos B
0,8
AB 5
В
В
С
2 ( AB 2 BC 2 ) AC 2 BD 2 .
А
D

64. Теорема Пифагора

А
С 2 а 2 b2
В
С
А
?
АВ АС 2 ВС 2 9 16 5.
3
С
А
В
4
9
СВ АВ 2 АС 2 81 36 45 3 5.
6
С
?
В

1. Треугольник Равнобедренный треугольник

_{Оглавление}
_{Группа А}
_{1.Треугольник}
_{2. Равнобедренный треугольник}
_{3. Прямоугольный треугольник}
_{4. Трапеция}
_{5. Параллелограмм, прямоугольник, ромб}
_{6. Окружность и круг}
_{7. Разные}
_{8. Задачи на доказательство}
_{Группа Б}
_{9. Треугольник}
_{10. Равнобедренный треугольник}
_{11. Прямоугольный треугольник}
_{12. Трапеция}
_{13. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат}
_{14. Окружность и круг}
_{15. Задачи на доказательство}
_{Группа В}
_{16. Треугольник}
_{17. Трапеция}
_{18. Окружность и круг}
_{19. Разные задачи}

Группа А 1Треугольник

10.1.1» [МАТИ] Две стороны треугольника равны соответственно 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Найти площадь треугольника.

10.1.2. [МАТИ] Основание треугольника равно 26 см. Медианы боковых
сторон равны 30 см и 39см. Найти площадь треугольника.

10.1.3. [МАТИ] Медианы треугольника равны Зсм, 4 см, 5 см. Найти
площадь треугольника.

10*1.4, [МАТИ] Основание треугольника равно 14 см, а медианы, проведенные к боковым сторонам — 3\/7см и 6\/7см. Найти боковые стороны треугольника.

[МГУ, филолог, ф-т] Есть ли тупой угол у треугольника со сто-
ронами 10, 14 и 17?
[МАИ] В треугольнике АВС сторона АС равна b, сторона АВ
равна с, а биссектриса внутреннего угла А пересекается со стороной ВС
в точке D такой, что DA = DB. Найти длину стороны ВС.
[МАТИ] Определить площадь треугольника, если две его сторо-
ны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.
[МИРЭА] В треугольнике ABC на основании ВС или на его про
должении взята произвольным образом точка D и около треугольников
ACD и BAD описаны окружности. Доказать, что отношение радиусов
этих окружностей есть величина постоянная. Найти такое положение
точки D, для которого эти радиусы будут иметь наименьшую величину.

10.1.9. [МФТИ] В треугольник ABCвписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке D и стороны ВС в точке Е. Найти углы треугольника, если BD : AD = 1 : 2, BE : СЕ = 1 : 3.

[МИИТ] Найти площадь треугольника, вписанного в окружность, если концы его стороны, равной 20 см, отстоят от касательной, проведённой через противолежащую вершину на 25 см и 16 см.
[МАТИ] Высота» основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно 12 см, 14 см, и 28 см. Найти боковые стороны.
[МАТИ] В треугольник со сторонами 10см, 17см и 21 см вписан прямоугольник с периметром 24 см так, что одна его сторона лежит на наибольшей стороне треугольника. Найдите стороны треугольника.

[СШГУ] К окружности, вписанной в треугольник с периметром 18 см, проведена касательная параллельно основанию треугольника. Отрезок касательной между боковыми сторонами 2 см. Найти основание треугольника.
[НГУ] Треугольник АВС вписан в окружность радиуса R.
Точка D лежит на дуге ВС, а хорды AD и ВС пересекаются в точке М.
Найти длину стороны ВС, если BMD = 120°, AB = R, BM:MC=2:3.
[МИСиС] В треугольнике ABC медиана AM перпендикуляр
на медиане BN. Найти площадь треугольника ABC, если длина AM
равна 3, а длина BN равна 4.
[МИРЭА] В окружность вписан треугольник ABC Расстояние
от точек А и С до прямой, касающейся окружности в точке В, равны 4 см
и 9см. Найти высоту треугольника, проведенную из вершины В.
[МГУ, физ. ф-т; МИРЭА] Даны углы В и С треугольника ABC
(B≠C). Найти котангенс острого угла х, который образует медиана,
выходящая из вершины А, со стороной ВС.
[НГУ] В остроугольном треугольнике ABC длины медиан ВМ,
CN и высоты АН равны соответственно 4, 5 и 6. Найти площадь тре-
угольника.
[МАТИ] В треугольнике основание равно 6 см, а высоты, опу-
щенные на боковые стороны — 2 см и 2√Зсм. Найти боковые стороны
треугольника.
[МАТИ} Определить площадь треугольника, если две его сто
роны равны 1 √13_: а медиана третьей стороны равна 2.

10.1.21. [МИЭТ] В треугольнике ABC медианы AD и BE пересекаются под прямым углом, АС = 3, ВС = 4. Найти сторону АВ этого треугольника.

[ЛГПИ] Основание треугольника равно а. Найти длину отрез-
ка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника
пополам.
[НижГУ] Точка N лежит на стороне ВС треугольника ABC,
точка М — на продолжении стороны АС за точку А, при этом AM = AC,
BN : NC = 3 : 4. В каком отношении прямая MN делит сторону АВ?
[МАТИ] Пусть BD — высота треугольника ABC, точка Е —
середина стороны ВС. Вычислить радиус круга, описанного около тре
угольника BDE, если длины сторон треугольника ABC: АВ = 30 см,
ВС = 26см и АС = 28см.
[МАТИ] Определить площадь треугольника, если две его сто
роны равны 1см и √15 см, а медиана третьей стороны равна 2 см.
[ГАНГ] В треугольнике ABC из вершины В проведены высота
BD и биссектриса BL. Найти площадь треугольника BLD, если извест
ны длины сторон треугольника ABC: АВ = 6,5; ВС = 7,5; АС = 7.
[МТУСИ] В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Од
на из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины
которых б и 8. Найти длины сторон треугольника.
[ВГУ] В треугольнике ABC из вершины А проведена прямая,
пересекающая сторону ВС в точке D, находящейся между точками В
и С, причем CD : ВС = а (а На стороне ВС между точками В

и D взята точка Е так, что CD = DE, и через нее проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке F. Найти отношение площадей трапеции ACEF и треугольника ADC.

10.1. 29. [МПГУ] Одна сторона треугольника равна а, другая — b. Найти третью сторону, если известно, что она равна медиане, проведенной к ней.

10.1.30. [СГПИ] Найти площадь треугольника по стороне а и приле-
жащим к ней углам α и β .

[МАДИ] В треугольнике ABC даны длины трех сторон ВС, АС
и АВ, равные соответственно числам 41, 51 и 58. Вычислить площадь
этого треугольника и длину высоты, опущенной из вершины В.
[РГПУ] Длины двух сторон треугольника равны 27 и 29. Дли
на медианы, проведенной к третьей стороне, равна 26. Найти высоту
треугольника, проведенную к стороне длиной 27.
[МГУП] В треугольнике ABC высота AD на 4см меньше сто-
роны ВС. Сторона АС равна 5 см. Найти периметр треугольника ABC,
если его площадь равна 16 см².

10.1.34. [Институт наук о материалах] Точки M и N,D и E,K и L лежат соответственно на сторонах АВ, АС и ВС треугольника АВС при этом AM = MN = NB, ВК = KL = LC, AD = DE = ЕС. Вычислит площадь четырехугольника, образованного пересечениями прямых ML,NK, BD, BE, если площадь треугольника АВС равна S.

10.1.35. [ЛГПИ] Найти площадь треугольника, если основание равно
а, углы при основании равны π/4иπ/6.

10.1.36. [МТУСИ] В треугольнике с основанием 15 см проведен отрезок, параллельный основанию. Площадь полученной трапеции составляет 75% площади треугольника. Найти длину этого отрезка.

[МТУСИ] В треугольнике ABC величина угла С равна 60°,
а длина стороны АВ = √31. На стороне АС отложен отрезок AD = 3.
Найти длину ВС, если BD = 2√7.
[МФТИ] Окружность, построенная на стороне АС треугольника ABC как на диаметре, проходит через середину стороны ВС и пересекает сторону АВ в точке D так, что AD =1/3АВ. Найти площадь треугольника ABC, если АС = 1.

10.1.39. [МГУЛ] В остроугольном треугольнике ABC проведены высо
ты AD и СЕ, причем длина AD равна 5 см, длина СЕ равна Зсм, а угол
между AD и СЕ равен 60°. Найти длину стороны АС.

10.1.40. [ГАУ] Дан треугольник ABC, в котором угол В равен 30°,
АВ= 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D.
Определить площадь треугольника ABD.

[ГАУ] Дан треугольник ABC, в котором АС = 5, АВ = 6, ВС =
= 7. Биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Определить
площадь треугольника ADC.
[ГАУ] На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки
К и N так, что СК : К А = 2:3, CN : NB = 4 : 3. В каком отношении
точка пересечения отрезков AN и ВК делит отрезок KB?

10.1.43. [ГАУ] Точка N делит сторону RQ треугольника RPQ в от
ношении RN : NQ = 2:7; точка F делит сторону RP в отношении
RF : FP = 3:1. Прямые QF и PN пересекаются в точке М. Найти
длину MN, если РМ = 12.

10.1.44- [ГАУ] Точки F и N делят стороны треугольника ABC в отношении FA : FC = 3 : 1 и CN : NB = 2 : 3. Прямые AN и BF пересекаются в точке М. Найти отношение площадей треугольников АМВ и ANB.

10.1.45. [МАИ] Длины сторон АВ, ВС и СА треугольника равны соответственно З см, 20 см, 41см. Найти расстояние от точки С до прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через середину АС.

[МГУ, псих, ф-т] В тупоугольном треугольнике ABC на стороне
АВ длины 14 выбрана точка L, равноудаленная от прямых АС и ВС,
а на отрезке AL — точка К, равноудаленная от вершин А и В. Найти
синус угла АС В, если KL = 1, САВ = 45°.
[МГУ, физ. ф-т] В треугольнике ABC медианы AD и СЕ вза
имно перпендикулярны, АВ = с, ВС = а. Найти АС.
[МГУ, мех.-мат.] В треугольнике ABC проведены высоты АЕ и
CD. Найти АВ, если BD = 18, ВС = 30, АЕ = 20.

10.1.49. [МГУ, мех.-мат.] В треугольнике ABC проведена биссектри-
са BE, которую центр О вписанной окружности делит в отношении
ВО :ОЕ = 2. Найти АВ, если АС = 7, ВС = 8.

[МГУ, геогр. ф-т] В треугольник со сторонами АВ = 4, ВС = 2,
АС = 3 вписана окружность. Найти площадь треугольника AMN, где
Ми N —- точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС соот-
ветственно.
(МГУ, геогр. ф-т] В треугольник со сторонами АВ= 8, ВС= 6,
АС = 4 вписана окружность. Найти длину отрезка DE, где D, Е —
точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС соответственно.

[МГУ, псих, ф-т] В остроугольном треугольнике ABC прове-
дены высоты СС₁ и АA₁. Известно, что АС = 1 и C₁GA₁ = ά. Найти
площадь круга, описанного около треугольника C₁ BA₁. соединена с точками А и В. Отрезки МА и MB пересекают окруж-
ность в точках С и D соответственно. Площадь круга, вписанного в тре-
угольник АМВ, в 4 раза больше, чем площадь круга, вписанного в тре-
угольник CMD. Найти меры углов треугольника АМВ, если известно,
что один из них в 2 раза больше другого.

[МГУ, физ. ф-т] В треугольнике ABC: BAC = a, BCA = γ,
АВ = с. Найти площадь треугольника ABC.
(МГУ, физ. ф-т] Радиус окружности, описанной около треуголь-
ника KLM, равен R. Через вершину L проведена прямая, перпендику-
лярная стороне КМ. Эту прямую пересекают в точках А и В серединные
перпендикуляры к сторонам KL и LM. Известно, что AL = а. Эти прямые пересекают высоту СH треугольника или ее продол-
жение в точках Р и Q. Известно, что СР = р, CQ = q. Найти радиус
окружности, описанной около треугольника ABC.

10.1.60. [МГУ, геогр. ф-т] В треугольнике ABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F. Известно, что площадь треугольника DEF равна 5. Найти площадь треугольника ABC.

10.1.61. [МГУ, ИСАА] Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти
длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

10.1.62. [МГУ, мех.-мат.] Из вершины тупого угла А треугольника ABC
опущена высота AD. Из точки D радиусом равным AD, описана окруж
ность, пересекающая стороны треугольника АВ и АС в точках М и N
соответственно. Вычислить длину стороны АС, если заданы длины отрезков АВ = с, AM = п и AN = m.

10.1.63. [МГУ, физ. ф-т] В треугольнике ABC угол С — тупой, D — точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к АВ, и прямой DC, перпендикулярной к АС. Высота треугольника ADC, проведенная из вершины С, пересекает АВ в точке М. Известно, что AM = a, MB = b. Найти АС.

[МГУ, геолог, ф-т] Окружность проходит через вершины А и С
треугольника ABC, пересекает сторону АВ в точке Е и сторону ВС в
точке F. Угол АЕС в 5 раз больше угла BAF_y а угол ABC равен 72°.
Найти радиус окружности, если АС = 6.
[РЭА] В треугольнике ABC: АВ = 4√7, АС = 5√7, ВС = 6√7.Найти расстояние от вершины В до точки пересечения высот треугольника ABC.

ЮЛ.66. [РЭА] В треугольнике ABC угол А относится к углу С как 3 : 2, АВ = 28 см, ВС — 33 см. Найти cos (C/2).

[РЭА] Площадь треугольника ABC равна 12. Из вершины
тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найти
сторону АС_, если угол ABD — прямой.
[РЭА] На стороне АС треугольника ABC как на диаметре
построена окружность, пересекающая сторону АВ в точке D так, что
AD : DB = 12 : 5. Найти площадь треугольника ABC, если АС = 26, а

ABC= 45°.

[ГАНГ] В треугольник вписана окружность радиуса 2, Одна из
сторон треугольника делится точкой касания на отрезки 7 и 2. Найти
радиус окружности, описанной около треугольника.
[МИЭТ] Площадь треугольника ABC равна 16см². Найти длину стороны АВ, если АС = 5 см, ВС = 8см и угол С тупой.

10.1.71. [МИРЭА] В треугольнике ABC со сторонами АВ = 12см,
ВС = 15см, АС = 9см проведена биссектриса ВВ₁. Пусть С₁ — точка
касания АВ с вписанной в треугольник окружностью, отрезки ВВ₁ и

СС₁ пересекаются в точке Р, продолжение АР пересекает ВС в точке A₁. Найти отношение AP/PA₁.

10.1.72. [МЭСИ] В треугольнике ABC: BAC = 30°. Определить сторону ВС, если АВ = √3, АС = 1.

2.Равнобедренный треугольник

10.2.1. [МАТИ] Высота AD_, опущенная на боковую сторону ВС равнобедренного треугольника ABC, делит его на треугольники ABD и ADC площадью 4 см² и 2 см² соответственно. Найти стороны треугольника, если АС — его основание.

[МАТИ] Биссектриса AD равнобедренного треугольника ABC
делит его на треугольники ABD и ACD площадью 4 см² и 2 см² соот-
ветственно. Найти стороны треугольника, если АС — его основание.
[МИЭТ] Дан равнобедренный треугольник с основанием 2а и
высотой h. В него вписана окружность и к ней проведена касательная,
параллельная основанию. Найти радиус окружности и длину отрезка
касательной, заключенного между сторонами треугольника.
[МИИТ] В равнобедренном треугольнике ABC {АВ= ВС) про
ведена биссектриса AD. Площади треугольников ABD и ADC равны S₁
и S₂. Найти длину основания.

10.2.5. [СШГУ] В равнобедренном треугольнике ABC {АВ = ВС)
проведена медиана AD. Найти угол BAD, если угол при вершине В
равен ά.
10.2.6 [МАТИ] В равнобедренном треугольнике основание равно а, боковая сторона — b, Найти длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне треугольника.

[УрГУ] В равнобедренном треугольнике с углом при основании,
равном ά, высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного
круга на т. Определить радиус описанного круга.
[МГУ, геогр. ф-т, физ. ф-т; СПбГУ] В равнобедренном треуголь-
нике KLM (KL= LM) угол KLM равен φ. Найти отношение радиусов
вписанной и описанной окружностей для треугольника KLM.
[МАТИ] В равнобедренный треугольник с основанием а вписана
окружность радиуса г. Определить периметр треугольника.

[СПбГУ] Даны равнобедренный треугольник с основанием а и
окружность с центром в одной из вершин треугольника. Известно, что
одна из боковых сторон треугольника делится окружностью на три рав-
ные части. Найти радиус окружности.
[МПГУ] В равнобедренном треугольнике длина основания рав
на 30 см, длина высоты, проведенной к основанию, — 20 см. Определить
длину высоты, проведенной к боковой стороне.
[МИСиС] Вершины правильного треугольника лежат на трех
параллельных прямых, причем внутренняя прямая находится на рассто-
яниях √21 и √84 от крайних прямых. Найти длину стороны треугольника.
[СПбГУ] Найти длину стороны квадрата_> вписанного в равно
бедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b так, что две
его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых
сторонах.

[МАТИ] В равнобедренном треугольнике с углом при верши-
не α найти угол между основанием и медианой, проведенной к боковой
стороне.
[МИЭТ] Основание равнобедренного треугольника √32, меди-
ана боковой стороны 5. Найти длины боковых сторон.
[СГАПС] В равнобедренном треугольнике высота равна 8, а
основание относится к боковой стороне как 6:5. Найти радиус вписан-
ного круга.
[МАДИ] Вершины В и С при основании равнобедренного тре-
угольника АВС соединены с серединой М его высоты, проведенной из
вершины А. Эти прямые пересекают боковые стороны АС и АВ тре-
угольника в точках D и Е соответственно. Найти площадь четырех
угольника AEMD, если площадь треугольника АВС равна 93.

[КГУ] В равносторонний треугольник АВС вписана окруж-
ность и проведен отрезок MN, который касается ее и параллелен сто-
роне АВ. длина стороны которого равна а, опущены перпендику-
ляры на стороны АВ, ВС, С А, Длины перпендикуляров соответственно
равны m, п, к. Найти отношение площади треугольника AВС, к площади
треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.
[МАТИ] Найти углы равнобедренного треугольника, у кото-
рого точка пересечения высот делит пополам высоту, проведенную к
основанию.
[СГТбГТУ] Прямая делит пополам основание АВ равнобедрен
ного треугольника ABC с боковой стороной 3 и отсекает на лучах С А
и СВ отрезки СМ и CN соответственно. Найти длину СМ, если длина
CN равна 2.
[МАТИ] Найти углы равнобедренного треугольника, если осно-
вание относится к биссектрисе угла при основании как 5 : б,

[МАТИ] Стороны треугольника относятся как 1:2:2. Вы
числить его площадь, если радиус окружности, описанной вокруг тре-
угольника равен R.
(МАТИ] В равнобедренном треугольнике основание равно а,
боковая сторона b. Найти высоту, опущенную на боковую сторону тре-
угольника.
[МАТИ] В равнобедренный треугольник вписана окружность
радиуса г. Высота, проведенная к основанию, делится окружностью в
отношении 1 : 2, считая от вершины. Найти площадь треугольника.

Площадь треугольника ABC = 24 см2. F, E и D — середины сторон AB, AC, BC соответственно. Найдите

Площадь треугольника EFD

6 см² и параллелограмма BDEF 12 см² .

Пошаговое объяснение:

Шаг 1:

Принято, что E и F являются серединами AC и AB.

Мы знаем, что отрезок прямой, соединяющий середины любых двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ее половине.

Итак, BC // FE и FE = ½ BC = BD

⇒ BD // FE & BD = FE и аналогично BF // DE & BF = DE

⇒ BDEF — параллелограмм …… [ так как в параллелограмме пара противоположных сторон равны и параллельны ]

Аналогичным образом мы также можем доказать, что четырехугольники FDCE и AFDE также являются параллелограммами.

Шаг 2:

Мы знаем, что диагональ параллелограмма делит его на два треугольника равной площади.

Кроме того, у нас есть BDEF в виде параллелограмма, поэтому его диагональ FD делит его на два треугольника равной площади.

∴ ar (ΔBFD) = ar (ΔEFD) …… .. (i)

Аналогично в параллелограммах AFDE и FDCE

ar (ΔAEF) = ar (ΔEFD) …… .. [здесь EF — диагональ] …… .. (ii)

и,

ar (ΔCED) = ar (ΔEFD) …… .. [здесь DE — диагональ] …… .. (iii)

Из (i), (ii) и (iii)

ar (ΔBFD) = ar (ΔAEF) = ar (ΔCED) = ar (ΔEFD)….. (iv)

Шаг 3:

Из приведенного ниже рисунка можно записать

ar (ΔABC) = ar (ΔBFD) + ar (ΔAFE) + ar (ΔCDE) + ar (ΔEFD)

⇒ ar (ΔABC) = 4 ar (ΔEFD) ……… [Из уравнения (iv)]

⇒ ar (∆EFD) = (1/4) * ar (∆ABC)

, поскольку ar (∆ABC) задается как 24 см²

⇒ ar (∆EFD) = (1/4) * 24

⇒ ar (∆EFD) = 6 см²

Шаг 4:

Из рисунка ниже мы можем написать

Площадь (параллелограмм BDEF) = ar (ΔEFD) + ar (ΔBFD)

⇒ ar (параллелограмм BDEF) = ar (ΔEFD) + ar (ΔEFD) …….. [из ур. (iv)]

⇒ ar (параллелограмм BDEF) = 2 * ar (ΔEFD)

⇒ ar (параллелограмм BDEF) = 2 * 6

⇒ ar (параллелограмм BDEF) = 12 см²

——————————————— ————————————————

Также смотрите:

На рисунке ΔABC, D, E, F — середины сторон BC, CA и AB соответственно.Покажите, что (i) BDEF — параллелограмм (ii) ar (ΔDEF) = 1 / 4ar (ΔABC) (iii) ar (BDEF) = 1 / 2ar (ΔABC)

brainly.in/question/4740950

D и E — середины BC и AD треугольника ABC. Если площадь треугольника ABC = 20 см2, найдите площадь треугольника EBD.

brainly.in/question/1967571

Ex 9.3, 5 — D, E и F — середины сторон BC, CA

Последнее обновление: 29 мая 2018 г., автор: Teachoo

Подпишитесь на наш канал Youtube — https: // you.трубка / teachoo

Выписка

Пр. 9.3, 5 D, E и F — это середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Покажи это (i) BDEF — параллелограмм. Дано: ABC где D, E, F — середины BC, AC и AB соответственно Чтобы доказать: BDEF — параллелограмм Доказательство: в ABC, F — середина AB, E — середина AC FE BC ИП БД Сейчас же, FE BD & DE FB В BDEF обе пары противоположных сторон параллельны, BDEF — параллелограмм Следовательно, доказано Пр. 9.3, 5 D, E и F — соответственно средние точки стороны BC, CA и AB треугольника ABC. Покажи это (ii) ar (DEF) = 1/4 ar (ABC) В части (i) мы доказали, что BDEF — параллелограмм DBF DEF ар (DBF) = ар (DEF) Точно так же мы можем доказать, что FDCE — параллелограмм DEC DEF ар (DEC) = ar (DEF) Аналогичным образом можно доказать, что AFDE — параллелограмм AFE DEF ар (AFE) = ar (DEF) Из (1), (2) и (3) ar (FBD) = ar (DEC) = ar (AFE) = ar (DEF) Сейчас же ар (FBD) + ар (DEC) + ар (AFE) + ар (DEF) = ар (ABC) ар (DEF) + ар (DEF) + ар (DEF) + ар (DEF) = ар (ABC) 4ar (DEF) = ar (ABC) ар (DEF) = 1/4 ар (ABC) Следовательно, доказано Пр. 9.3, 5 D, E и F — это середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Покажи это (iii) ar (BDEF) = 1/2 ar (ABC) В части (ii) мы доказали, что ар (DEF) = 1/4 ар (ABC) Умножение обеих сторон на 2 2 ар (DEF) = 2 1/4 ар (ABC) 2 ар (DEF) = 1/2 ар (ABC) ар (DEF) + ар (DEF) = 1/2 ар (ABC) ар (DEF) + ар (FBD) = 1/2 ар (ABC) ар (BDEF) = 1/2 ар (ABC) Следовательно, доказано

областей параллелограммов и треугольников [GEt] | Класс 9 NCERT Maths Chapter-9

1 Какие из следующих фигур лежат на одном основании и между одними и теми же параллелями?В таком случае запишите общее основание и две параллели.
Решение:
(i) Да, можно заметить, что трапеция $ ABCD $ и треугольник $ PCD $ имеют общее основание $ CD $ и лежат между одними и теми же параллельными линиями $ AB $ и $ CD. $. $ \\ $
(ii) № Можно заметить, что параллелограмм $ PQRS $ и трапеция $ MNRS $ имеют общее основание RS. Однако их вершины (т.е. противоположные общему основанию) $ P, Q $ параллелограмма и $ M, N $ трапеции не лежат на одной прямой.$ \\ $
(iii) Да. Можно заметить, что параллелограмм $ PQRS $ и треугольник $ TQR $ имеют общее основание $ QR $ и лежат между одними и теми же параллельными прямыми $ PS $ и $ QR. $$ \\ $
(iv) Нет. Можно заметить, что параллелограмм $ ABCD $ и треугольник $ PQR $ лежат между одними и теми же параллельными прямыми $ AD $ и $ BC $. Однако у них нет общей базы. $ \\ $
(v) Да. Можно заметить, что параллелограмм $ ABCD $ и параллелограмм $ APQD $ имеют общую основу $ AD $ и лежат между одними и теми же параллельными прямыми $ AD $ и $ BQ $.$ \\ $
(vi) № Можно заметить, что параллелограмм $ PBCS $ и $ PQRS $ лежат на одном основании $ PS $. Однако они не лежат между одними и теми же параллельными линиями.
2 На данном рисунке $ ABCD $ — параллелограмм, $ AE \ perp DC $ и $ CF \ perp AD $. Если $ AB = 16 см, AE = 8 см $ и $ CF = 10 см, $ find $ AD $.
Решение:
В параллелограмме $ ABCD, CD = AB = 16 см $$ \\ $ [Противоположные стороны параллелограмма равны] Мы знаем, что $ \\ $ Площадь параллелограмма = Основание * Соответствующая высота $ \\ $ Площадь параллелограмма $ ABCD = CD * AE = AD * CF $$ \\ $ 16 см * 8 см = AD * 10 см $$ \\ $ $ AD = \ dfrac {16 * 8} {10} см = 12.8 см $$ \\ $ Таким образом, длина $ AD $ составляет $ 12,8 см. $
3 Если $ E, F, G $ и $ H $ являются, соответственно, серединами сторон параллелограмм $ ABCD $ показывает, что ar $ (EFGH) = \ dfrac {1} {2} ar (ABCD) $
Решение:
Соединим $ HF. $$ \\ $ В параллелограмме $ ABCD, $$ \\ $ $ AD = BC $ и $ AD \ parallel BC $ (Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны) $ \\ $ $ AB = CD $ (Противоположные стороны параллелограмма равны) $ \\ $ $ \ Rightarrow \ dfrac {1} {2} AD = \ dfrac {1} {2} BC $ и $ AH \ parallel BF $$ \\ $ $ \ Rightarrow AH = BF $ и $ AH \ parallel BF $ ($ H $ и $ F $ — середины $ AD $ и $ BC $) $ \\ $ Следовательно, $ ABFH $ — параллелограмм.$ \\ $ Поскольку $ \ Delta HEF $ и параллелограмм $ ABFH $ находятся на одной базе $ HF $ и между одними и теми же параллельными прямыми $ AB $ и $ HF, $$ \\ $ $ \, следовательно, $ Area $ (\ Delta HEF) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (ABFH) …. (1) $$ \\ $ Аналогичным образом можно доказать, что $ \\ $ Area $ (\ Delta HGF) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (HDCF) … (2) $$ \\ $ При сложении уравнений (1) и (2) мы получаем $ \\ $ Area $ (\ Delta HEF) $ + Area $ (\ Delta HGF) $$ \\ $ $ = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (ABFH) + \ dfrac {1} {2} $ Area $ (HDCF) $$ \\ $ $ = \ dfrac {1} {2} [$ Area $ (ABFH) + $ Area $ (HDCF)] $$ \\ $ $ \ Rightarrow $ Area $ (EFGH) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (ABCD ) $
4 $ P $ и $ Q $ — любые две точки, лежащие на сторонах $ DC $ и $ AD $ соответственно параллелограмма $ ABCD $.Покажите, что ar $ (APB) = ar (BQC). $
Решение:
Можно заметить, что $ \ Delta BQC $ и параллелограмм $ ABCD $ лежат на одном основании $ BC $ и находятся между те же параллельные прямые $ AD $ и $ BC $. $ \\ $ $ \, следовательно, $ Area $ (\ Delta BQC) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (ABCD) …. (1) $ $ \\ $ Аналогично, $ \ Delta APB $ и параллелограмм $ ABCD $ лежат на одном основании $ AB $ и между одними и теми же параллельными прямыми $ AB $ и $ DC $. $ \\ $ $ \, следовательно, $ Area $ (\ Delta APB) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (ABCD)… (2) $$ \\ $ Из уравнений (1) и (2) получаем $ \\ $ Area $ (\ Delta BQC) $ = Area $ (\ Delta APB) $
5 На данном рисунке $ P $ — точка внутри параллелограмма $ ABCD $. Покажите, что $ \\ $ (i) $ ar (APB) + ar (PCD) = \ dfrac {1} {2} ar (ABCD) $$ \\ $ (ii) $ ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD) $ [Подсказка: через. $ P $, проведем линию, параллельную $ AB $]
Решение:
(i) Нарисуем отрезок прямой $ EF $, проходящий через точку $ P $ и параллельный отрезку прямой $ AB.$$ \\ $ В параллелограмме $ ABCD, $ $ AB \ parallel EF $ (по построению) … (1) $ \\ $ $ ABCD $ — параллелограмм. $ \\ $ $ \, следовательно, AD \ parallel BC $ (Противоположные стороны параллелограмма) $ \\ $ $ \ Rightarrow AE \ parallel BF … (2) $$ \\ $ Из уравнений (1) и (2) получаем $ \\ $ $ AB \ parallel EF $ и $ AE \ parallel BF $$ \\ $ Следовательно, четырехугольник $ ABFE $ является параллелограммом. $ \\ $ Можно заметить, что $ \ Delta APB $ и параллелограмм $ ABFE $ лежат на одном основании $ AB $ и между такими же параллельными прямыми $ AB $ и $ EF.$$ \\ $ $ \ поэтому $ Area $ (\ Delta APB) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (ABFE) ….. (3) $$ \\ $ Аналогично для $ \ Delta PCD $ и параллелограмм $ EFCD, $$ \\ $ Area $ (\ Delta PCD) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (EFCD) …. (4) $$ \\ $ Добавление уравнений (3 ) и (4) получаем $ \\ $ Area $ (\ Delta APB) $ + Area ($ \ Delta PCD) = \ dfrac {1} {2} $ [Area $ (ABFE) $ + Area $ (EFCD )] $$ \\ $ Area $ (\ Delta APB) $ + Area $ (\ Delta PCD) = \ dfrac {1} {2} $ Area ($ ABCD) …. (5) $
(ii) ) Проведем отрезок $ MN, $, проходящий через точку $ P $ и параллельный отрезку $ AD $.$ \\ $ В параллелограмме $ ABCD, $ MN \ parallel AD $ (по построению) … (6) $ \\ $ $ ABCD $ — параллелограмм. $ \\ $ $ \, следовательно, AB \ parallel DC $ ( Противоположные стороны параллелограмма) $ \\ $ $ AM \ parallel DN … (7) $$ \\ $ Из уравнений (6) и (7) получаем $ \\ $ $ MN \ parallel AD $ и $ AM \ parallel DN $$ \\ $ Следовательно, четырехугольник $ AMND $ является параллелограммом. $ \\ $ Можно заметить, что $ \ Delta APD $ и параллелограмм $ AMND $ лежат на одном основании $ AD $ и между ними одинаковые параллельные прямые $ AD $ и $ MN. $$ \\ $ $ \, следовательно, $ Area ($ \ Delta APD) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (AMND)…. (8) $$ \\ $ Аналогично для $ \ Delta PCB $ и параллелограмма $ MNCB $$ \\ $ Area $ (\ Delta PCB) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (MNCB ) …. (9) $$ \\ $ Складывая уравнения (8) и (9), получаем $ \\ $ Area $ (\ Delta APD) + $ Area $ (\ Delta PCB) \\ = \ dfrac {1} {2} $ [Area ($ AMND) $ + Area $ (AMCB)] $$ \\ $ Area $ (\ Delta APD) + $ Area $ (\ Delta PCB) = \ dfrac {1} {2 } $ Area $ (ABCD) … (10) $$ \\ $ Сравнивая уравнения (5) и (10), мы получаем $ \\ $ Area $ (\ Delta APD) + $ Area $ (\ Delta PBC ) $ = Площадь $ (\ Delta APB) $ + Площадь ($ \ Delta PCD) $
6 Фермер имел поле в форме параллелограмма $ PQRS.$ Она взяла любую точку $ A $ на $ RS $ и соединила ее с точками $ P $ и $ Q $. На сколько частей разделено поле? Какие формы у этих частей? Фермер хочет засеять пшеницу и зернобобовые по отдельности на равных участках поля. Как ей это сделать?
Решение:
Из рисунка видно, что точка $ A $ делит поле на три части. $ \\ $ Эти части имеют треугольную форму $ — \ Delta PSA, \ Delta PAQ, $ и $ \ Delta QRA $ $ \\ $ Площадь $ \ Delta PSA + $ Площадь $ \ Delta PAQ + $ Площадь $ \ Delta QRA = $ Площадь параллелограмма $ PQRS $… (1) $ \\ $ Мы знаем, что если параллелограмм и треугольник находятся на одном основании и между одними и теми же параллелями, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма. $ \\ $ $ \ поэтому $ Area ($ \ Delta PAQ) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (PQRS) $ … (2) $ \\ $ Из уравнений (1) и (2) получаем $ \\ $ Area ($ \ Delta PSA) + $ Area ($ \ Delta QRA) = \ dfrac {1} {2} $ Area ($ PQRS) $ … (3) $ \\ $ Очевидно, можно заметить, что Фермер должен сеять пшеницу в треугольной части $ PAQ $ и бобовые в двух других треугольных частях $ PSA $ и $ QRA $ или пшеницу в треугольной части $ PSA $ и $ QRA $ и бобовые в треугольной части $ PAQ.$
7 На данном рисунке $ E $ — это любая точка на медиане $ AD $ для $ \ Delta ABC $. Докажите, что $ ar (ABE) = ar (ACE) $
Решение:
$ AD $ — это медиана $ \ Delta ABC $. Следовательно, он разделит $ \ Delta ABC $ на два треугольника равной площади. $ \\ $ $ \, следовательно, $ Area ($ \ Delta ABD) $ = Area ($ \ Delta ACD) $ … (1) $ \ \ $ $ ED $ — это медиана $ \ Delta EBC. $ $ \\ $ $ \, следовательно, $ Area ($ \ Delta EBD) $ = Area ($ \ delta ECD) $ … (2) $ \\ $ Вычитая уравнение (2) из уравнения (1), мы получаем $ \\ $ Area ($ \ Delta ABD) — $ Area ($ EBD) $ = Area ($ \ Delta ACD) — $ Area ($ \ Delta ECD). $ $ \\ $ Area ($ \ Delta ABE) $ = Area ($ \ Delta ACE) $
8 В треугольнике $ ABC E $ является средней точкой медианы $ AD.$$ \\ $ Покажите, что $ ar (\ Delta BED) = 1/4 ar (\ Delta ABC). $
Решение:
Дано: $ A \ Delta ABC, AD $ — медиана, а $ E $ — середина медианы $ AD. $
Чтобы доказать: $ ar (\ Delta BED) = 1/4 ar (\ Delta ABC) $ $ \\ $ Доказательство: In $ \ Delta ABC, AD $ является медианой. $ \\ $ $ \, следовательно, ar (\ Delta ABD) = ar (\ Delta ADC) $ $ \\ $ [$, следовательно, $ Median делит $ \ Delta $ на два $ \ Delta s $ равной площади ] $ \\ $ $ ar (\ Delta ABD) = \ dfrac {1} {2} ar (ABC) $ ….. (i) $ \\ $ В $ \ Delta ABD BE $ — это медиана.$ \\ $ $ ar (\ Delta BED) = ar (\ Delta BAE) $ $ \\ $ $ \ поэтому ar (\ Delta BED) = = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta BED) $ $ \\ $ $ = ar (\ Delta ABD) = \ dfrac {1} {2} [\ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC)] = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC ) $ $ \\ $
9 Покажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника равной площади.
Решение:
Мы знаем, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. $ \\ $ Следовательно, $ O $ является средней точкой $ AC $ и $ BD.$ \\ $ $ BO $ — это медиана в $ \ Delta ABC. $ Следовательно, он разделит его на два треугольника равных площадей. $ \\ $ $ \, следовательно, $ Area ($ \ Delta AOB) = $ Area ( $ \ Delta BOC) $ … (1) $ \\ $ В $ \ Delta BCD, CO $ — это медиана. $ \\ $ $ \, следовательно, $ Area ($ \ Delta BOC) $ = Area ($ \ Delta COD) $ … (2) $ \\ $ Аналогично, Area ($ \ Delta COD) $ = Area ($ \ Delta AOD) $ … (3) $ \\ $ Из уравнений (1), (2 ) и (3) получаем $ \\ $ Area ($ \ Delta AOB) = $ Area ($ \ Delta BOC) $ = Area ($ \ Delta COD) $ = Area ($ \ Delta AOD) $ $ \ \ $ Таким образом, очевидно, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.
10 На данном рисунке $ ABC $ и $ ABD $ — это два треугольника на одном основании $ AB $. Если отрезок $ CD $ делится пополам на $ AB $ в точке $ O, $ показывает, что $ ar (ABC) = ar (ABD). $
Решение:
Рассмотрим $ \ Delta ACD. $ $ \ \ $ Отрезок $ CD $ делится пополам $ AB $ в точке $ O. $ Следовательно, $ AO $ — это медиана $ \ Delta ACD. $ $ \\ $ $ \, следовательно, $ Area ($ \ Delta ACO) = $ Area ($ \ Delta ADO) $ … (1) $ \\ $ Учитывая $ \ Delta BCD, BO $ — это медиана.$ \\ $ $ \ поэтому $ Area ($ \ Delta BCO) $ = Area ($ \ Delta BDO) $ … (2) $ \\ $ Складывая уравнения (1) и (2), получаем $ \\ $ Area ($ \ Delta ACO) $ + Area $ (\ Delta BCO) $ = Area ($ \ Delta ADO) $ + Area ($ \ Delta BDO) $ $ \\ $ $ \ Rightarrow $ Area ($ \ Delta ABC). ) $ = Area ($ \ Delta ABD) $
11 $ D, E $ и $ F $ являются, соответственно, серединами сторон $ BC, CA $ и $ AB $ $ \ Delta ABC $. Докажите, что: $ \\ $ (i) $ BDEF $ — параллелограмм. $ \\ $ (ii) $ ar (DEF) = \ dfrac {1} {4} ar (ABC) $ $ \\ $ (iii) $ ar (BDEF) = \ dfrac {1} {2} ar (ABC) $
Решение:
(i) $ F $ — это средняя точка $ AB $, а $ E $ — средняя -точка $ AC.$ $ \\ $ $ \ поэтому FE || BC $ и $ FE = \ dfrac {1} {2} BD $ $ \\ $ Линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей и половине of It $ \\ $ $ \ поэтому FE || BD [BD $ является частью $ BC] $ \\ $ And $ FE = BD $ $ \\ $ Кроме того, $ D $ является средней точкой $ BC. $$ \\ $ $ BD = \ dfrac {1} {2} BC $ $ \\ $ And $ FE || BC $ и $ FE = BD $ $ \\ $ Опять же $ E $ — середина $ AC $ и $ D $ — середина $ BC $. $ \ поэтому DE || AB $ и $ DE = \ dfrac {1} {2} AB $ $ \\ $ $ DE || AB [BF $ является частью $ AB] $ и $ DE = BF $ $ \ \ $ Снова $ F $ — середина $ AB.$$ \\ $ $ \ поэтому BF = \ dfrac {1} {2} AB $ Но $ DE = \ dfrac {1} {2} AB $ $ \\ $ $ \, следовательно, DE = BF $ $ \\ $ Теперь у нас есть $ FE || BD $ и $ DE || BF $, а $ FE = BD $ и $ DE = BF $ $ \\ $ Следовательно, $ BDEF $ — параллелограмм. $ \\ $
(ii) $ BDEF $ — это параллелограмм. $ \\ $ $ \ поэтому ar (\ Delta BDF) = ar (\ Delta DEF) ……….. (i) $ $ \\ $ [диагонали параллелограмма делят он находится в двух треугольниках одинаковой площади] $ DCEF $ также является параллелограммом. $ \\ $ $ \, следовательно, ar (\ Delta DEF) = ar (\ Delta DEC) ………. (ii) $ $ \\ $ Кроме того, $ AEDF $ также является параллелограммом.$ \\ $ $ \ поэтому ar (\ Delta AFE) = ar (\ Delta DEF) ………. (iii) $ $ \\ $ Из ур. (i), (ii) и (iii), $ \\ $ $ ar (\ dfrac DEF) = ar (\ Delta BDF) = ar (\ Delta DEC) = ar (\ Delta AFE) …… …. (iv) $ $ \\ $ Теперь $ ar (\ delta ABC) = ar (\ Delta DEF) + ar (\ Delta BDF) + ar (\ Delta DEC) + ar (\ Delta AFE). ……… (v) $ $ \\ $ $ ar (\ Delta ABC) = ar (\ Delta DEF) + ar (\ Delta DEF) + ar (\ Delta DEF) + ar (\ Delta DEF) $ $ \\ $ [Использование (iv) & (v)] $ \\ $ $ ar (\ Delta ABC) = 4 × ar (\ Delta DEF) $ $ \\ $ $ ar (\ Delta DEF) = \ dfrac {1} {4} ar (\ Delta ABC) $ $ \\ $ (iii) $ ar (|| gm BDEF) = ar (\ Delta BDF) + ar (\ Delta DEF) = ar (\ Delta DEF ) + ar (\ Delta DEF) $ [Использование (iv)] $ \\ $ $ ar (|| gm BDEF) = 2 ar (\ Delta DEF) $ $ \\ $ $ ar (|| gm BDEF) = 2 × \ dfrac {1} {4} ar (\ Delta ABC) $ $ \\ $ $ ar (|| gm BDEF) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) $
12 На этом рисунке диагонали $ AC $ и $ BD $ четырехугольника $ ABCD $ пересекаются в точке $ O $, так что $ OB = OD $.Если $ AB = CD $, то покажите, что: $ \\ $ (i) $ ar (DOC) = ar (AOB) $ $ \\ $ (ii) $ ar (DCB) = ar (ACB) $ $ \\ $ (iii) $ DA || CB $ или $ ABCD $ — параллелограмм. $ \\ $ [Подсказка: из $ D $ и $ B $ нарисуйте перпендикуляры к $ AC. $]
Решение:
Нарисуем $ DN \ perp AC $ и $ BM \ perp AC. $ $ \\ $ (i) В $ \ delta DON $ и $ \ Delta BOM, $ $ \\ $ $ \ angle DNO = \ angle BMO $ (По построению) $ \\ $ $ \ angle DON = \ angle BOM $ (Вертикально противоположные углы) $ \\ $ $ OD = OB $ (Given) $ \\ $ По правилу сравнения $ AAS $, $ \\ $ $ \ delta DON \ cong \ delta Спецификация $ $ \\ $ $ DN = BM… (1) $$ \\ $ Мы знаем, что конгруэнтные треугольники имеют равные площади. $ \\ $ Area $ (\ delta DON) $ = Area ($ \ delta BOM) $ … (2) $ \\ $ В $ \ Delta DNC $ и $ \ Delta BMA $ $ \\ $ $ \ angle DNC = \ angle BMA $ (по построению) $ \\ $ $ CD = AB $ (задано) $ \\ $ $ DN = BM $ [Используя уравнение (1)] $ \\ $ $ \ следовательно \ Delta DNC \ cong \ delta BMA (правило сравнения RHS $) $ \\ $ $ \ поэтому $ Area $ (\ Delta DNC) $ = Area $ (\ delta BMA) $ … (3) $ \\ $ При сложении уравнений (2) и (3) мы получаем $ \\ $ Area $ (\ delta DON) $ + Area $ (\ Delta DNC) $ = Area $ (\ Delta BOM) $ + Area $ (\ delta BMA) $$ \\ $ Следовательно, Area $ (\ Delta DOC) $ = Area $ (\ Delta AOB) $ $ \\ $ (ii) Мы получили, $ \\ $ Area $ (\ Delta DOC) $ = Area $ (\ Delta AOB) $ $ \\ $ $ \ поэтому $ Area $ (\ Delta DOC) $ + Area $ (\ delta OCB) $ = Area $ (\ Delta AOB) $ + Area $ (\ Delta OCB) $ (Добавляемая область $ (\ Delta OCB) $ с обеих сторон) $ \\ $ $ \ поэтому $ Area $ (\ Delta DCB) $ = Area $ (\ Delta ACB ) $ $ \\ $ (iii) Мы получили, $ \\ $ Area $ (\ Delta DCB) $ = Area $ (\ Delta ACB) $ $ \\ $ Если два треугольника имеют одинаковое основание и равные площади, n они будут находиться между одними и теми же параллелями.$ \\ $ $ \ поэтому DA || CB … (4) $ $ \\ $ В четырехугольнике $ ABCD $ одна пара противоположных сторон равна $ (AB = CD) $, а другая пара противоположных сторон параллельна $ (DA || CB). $ $ \\ $ Следовательно, $ ABCD $ — параллелограмм
13 $ D $ и $ E $ — точки на сторонах $ AB $ и $ AC $ соответственно $ \ Delta ABC $ такие, что $ ar (DBC ) = ar (EBC) $. Докажите, что $ DE || BC. $
Решение:
Поскольку $ \ Delta BCE $ и $ \ Delta BCD $ лежат на общей основе $ BC $ и также имеют равные площади, $ \ Delta BCE $ и $ \ Delta BCD $ будет лежать между такими же параллельными линиями.$ \\ $ $ \ поэтому DE || BC $
14 $ XY $ — прямая, параллельная стороне $ BC $ треугольника $ ABC $. Если $ BE || AC $ и $ CF || AB $ пересекает $ XY $ в $ E $ и $ F $ соответственно, покажите, что $ \\ $ $ ar (ABE) = ar (ACF) $
Решение:
Принято, что $ \\ $ $ XY || BC = EY || BC $ $ \\ $ $ BE || AC = BE || CY $ $ \\ $ Следовательно, $ EBCY $ — параллелограмм. $ \\ $ Дано, что $ \\ $ $ XY || BC = XF || BC $$ \\ $ $ FC || AB = FC || XB $$ \\ $ Следовательно, $ BCFX $ — параллелограмм.$ \\ $ Параллелограммы $ EBCY $ и $ BCFX $ находятся на одной базе $ BC $ и между одними и теми же параллелями $ BC $ и $ EF. $$ \\ $ $ \, следовательно, $ Area $ (EBCY) = \ dfrac { 1} {2} $ Area $ (BCFX) … (1) $ $ \\ $ Рассмотрим параллелограмм $ EBCY $ и $ \ Delta AEB $ $ \\ $. Они лежат на одном основании $ BE $ и находятся между те же параллели $ BE $ и $ AC. $ $ \, следовательно, $ Area $ (\ Delta ABE) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (EBCY) … (2) $ $ \\ $ Также параллелограмм $ \ Delta CFX $ и $ \ Delta ACF $ находятся на одной базе $ CF $ и находятся между одними и теми же параллелями $ CF $ и $ AB.$ $ \\ $ $ \, следовательно, $ Area $ (\ Delta ACF) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (BCFX) $ … (3) $ \\ $ Из уравнений (1), (2 ) и (3) получаем $ \\ $ Area $ (\ Delta ABE) = $ Area $ (\ Delta ACF) $
15 Получилась сторона $ AB $ параллелограмма $ ABCD $ в любую точку $ P $. Линия, проходящая через $ A $ и параллельная $ CP $, пересекает $ CB $, полученную при $ Q $, и затем завершается параллелограмм $ PBQR $ (см. Следующий рисунок). Покажите, что $ \\ $$ ar (ABCD) = ar (PBQR). $ $ \\ $ [Подсказка: соедините $ AC $ и $ PQ $. Теперь сравним площадь $ (ACQ) $ и площадь $ (APQ) $]
Решение:
Соединим $ AC $ и $ PQ.$$ \\ $ $ \ Delta ACQ $ и $ \ Delta AQP $ находятся на одной базе $ AQ $ и находятся между одними и теми же параллелями $ AQ $ и $ CP. $ $ \\ $ Area $ (\ Delta ACQ) $ = Площадь $ (\ Delta APQ $) $ \\ $ Area $ (\ Delta ACQ) — $ Area $ (\ Delta ABQ) $ = Area $ (\ Delta APQ) — $ Area $ (\ Delta ABQ) $ Area $ ( \ Delta ABC) $ = Area $ (\ Delta QBP) $ … (1) $ \\ $ Поскольку $ AC $ и $ PQ $ — диагонали параллелограммов $ ABCD $ и $ PBQR $ соответственно, $ \\ $ Area $ (\ Delta ABC) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (ABCD) $ … (2) $ \\ $ Area $ (\ Delta QBP) = \ dfrac {1} {2} $ Площадь $ (PBQR) …(3) $ $ \\ $ Из уравнений (1), (2) и (3) получаем $ \\ $ $ \ dfrac {1} {2} $ Area $ (ABCD) = \ dfrac {1} {2} $ Area $ (PBQR) $ $ \\ $ Area $ (ABCD) $ = Area $ (PBQR) $
16 Диагонали $ AC $ и $ BD $ трапеции $ ABCD $ с $ AB || DC $ пересекаются друг с другом в точке $ O. $ Докажите, что $ ar (AOD) = ar (BOC). $
Решение:
Можно заметить, что $ \ Delta DAC $ и $ \ Delta DBC $ лежат на той же базе $ DC $ и между теми же параллелями $ AB $ и $ CD.$ $ \\ $ Area $ (\ Delta DAC) $ = Area $ (\ Delta DBC) $ $ \\ $ Area $ (\ Delta DAC) — $ Area $ (\ Delta DOC) $ = Area $ (\ Delta DBC). ) — $ Area $ (\ delta DOC) $$ \\ $ Area $ (\ Delta AOD) $ = Area $ (\ Delta BOC) $
17 На данном рисунке $ ABCDE $ представляет собой пятиугольник. . Линия $ A $, проходящая через $ B $, параллельную $ AC $, соответствует $ DC $, произведенному по цене $ F $. Покажите, что $ \\ $ (i) $ ar (ACB) = ar (ACF) $$ \\ $ (ii) $ ar (AEDF) = ar (ABCDE) $
Решение:
(i) $ \ Delta ACB $ и $ \ Delta ACF $ лежат на одной базе $ AC $ и находятся между одними и теми же параллелями $ AC $ и $ BF.$$ \\ $ Area $ (\ Delta ACB) $ = Area $ (\ Delta ACF) $$ \\ $ (ii) Можно заметить, что $ \\ $ Area $ (\ Delta ACB) $ = Area $ ( \ Delta ACF) $$ \\ $ Area $ (\ Delta ACB) $ + Area $ (ACDE) $ = Area $ (\ Delta ACF) $ + Area $ (ACDE) $ $ \\ $ Area $ (ABCDE) $ = Площадь $ (AEDF) $
18 У жителя Итваари есть участок земли в форме четырехугольника. Грам Панчаят деревни решил взять часть своего участка на одном из углов, чтобы построить Центр здоровья. Итваари соглашается с вышеизложенным предложением с условием, что ему должно быть предоставлено равное количество земли вместо земли, прилегающей к его участку, чтобы образовать треугольный участок.Объясните, как это предложение будет реализовано.
Решение:
Пусть четырехугольник $ ABCD $ будет исходной формой поля. $ \\ $ Предложение может быть реализовано следующим образом. $ \\ $ Соедините диагональ $ BD $ и проведите линию, параллельную $ BD $ через точку $ A. $$ \\ $ Пусть он пересекает расширенную сторону $ CD $ треугольника $ ABCD $ в точке $ E. $$ \\ $ Присоединяйтесь к $ BE $ и $ AD. $ Пусть они пересекаются друг с другом в $ O. $$ \\ $ Затем часть $ \ Delta AOB $ может быть вырезана из исходного поля, так что новая форма поля будет $ \ Delta BCE.$ (См. Рисунок). $ \\ $ Мы должны доказать, что площадь $ \ Delta AOB $ (часть, которая была вырезана для построения Health Center) равна площади $ \ Delta DEO $ (часть, добавленная к поле так, чтобы площадь нового поля была равна площади исходного поля).
Можно заметить, что $ \ Delta DEB $ и $ \ Delta DAB $ лежат на одной базе $ BD $ и находятся между одними и теми же параллелями $ BD $ и $ AE. $$ \\ $ Area $ (\ Delta DEB ) $ = Area $ (\ Delta DAB) $ $ \\ $ Area $ (\ Delta DEB) — $ Area $ (\ Delta DOB) $ = Area $ (\ Delta DAB) — $ Area $ (\ Delta DOB) $. $ \\ $ Area $ (\ Delta DEO) $ = Area $ (\ Delta AOB) $
19 $ ABCD $ — это трапеция с $ AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ.Прямая $, параллельная $ AC $, пересекает $ AB $ в точке $ X $ и $ BC $ в точке $ Y $. Докажите, что $ ar (ADX) = ar (ACY). $$ \\ $ [Подсказка: присоединитесь к $ CX. $]
Решение:
Можно заметить, что $ \ Delta ADX $ и $ \ Delta ACX $ лежат на одной базе $ AX $ и находятся между теми же параллелями $ AB $ и $ DC. $$ \\ $ Area $ (\ Delta ADX) $ = Area $ (\ Delta ACX) $ … (1 ) $ \\ $ $ \ Delta ACY $ и $ \ Delta ACX $ лежат на одной базе $ AC $ и находятся между одними и теми же параллелями $ AC $ и $ XY $. $ \\ $ Area $ (\ Delta ACY) $ = Площадь $ (ACX)… (2) $$ \\ $ Из уравнений (1) и (2) получаем $ \\ $ Area $ (\ Delta ADX) $ = Area $ (\ Delta ACY) $
20 На данном рисунке $ AP || BQ || CR. $ Докажите, что $ ar (AQC) = ar (PBR). $
Решение:
Поскольку $ \ Delta ABQ $ и $ \ delta PBQ $ лежат на одной базе $ BQ $ и находятся между те же параллели $ AP $ и $ BQ, $$ \\ $ $ \, следовательно, $ Area $ (\ Delta ABQ) $ = Area $ (\ Delta PBQ) $ … (1) $ \\ $ Опять же, $ \ Delta BCQ $ и $ \ Delta BRQ $ лежат на одной базе $ BQ $ и находятся между одними и теми же параллелями $ BQ $ и $ CR.$$ \\ $ $ \ поэтому $ Area $ (\ Delta BCQ) $ = Area $ (\ Delta BRQ) $ … (2) $ \\ $ При сложении уравнений (1) и (2) получаем $ \\ $ Area $ (\ Delta ABQ) $ + Area $ (\ Delta BCQ) $ = Area $ (\ Delta PBQ) $ + Area $ (\ Delta BRQ) $ $ \\ $ $ \ поэтому $ Area $ (\ Delta AQC) $ = Area $ (\ Delta PBR) $
21 Диагонали $ AC $ и $ BD $ четырехугольника $ ABCD $ пересекаются в точке $ O $ таким образом, что $ ar (AOD) = ar (BOC) $. Докажите, что $ ABCD $ — трапеция.
Решение:
Предполагается, что $ \\ $ Area $ (\ Delta AOD) $ = Area $ (\ Delta BOC) $ $ \\ $ Area $ (\ Delta AOD) $ + Area $ ( \ Delta AOB) $ = Area $ (\ Delta BOC) $ + Area $ (\ Delta AOB) $ $ \\ $ Area $ (\ Delta ADB) $ = Area $ (\ Delta ACB) $ $ \\ $ Мы знаем что треугольники на одном основании, имеющие равные площади, лежат между одними и теми же параллелями.$ \\ $ Следовательно, эти треугольники $ \ Delta ADB $ и $ \ Delta ACB, $ лежат между одними и теми же параллелями. $ \\ $ т.е. $ AB || CD $ $ \\ $ Следовательно, $ ABCD $ — трапеция.
22 На данном рисунке $ ar (DRC) = ar (DPC) $ и $ ar (BDP) = ar (ARC) $. Покажите, что оба четырехугольника $ ABCD $ и $ DCPR $ являются трапециями.
Решение:
Предполагается, что $ \\ $ Area $ (\ Delta DRC) $ = Area $ (\ Delta DPC) $ $ \\ $ As $ \ Delta DRC $ и $ \ delta DPC $ лежат на одном основании $ DC $ и имеют равные площади, поэтому должны лежать между одинаковыми параллельными линиями.$ \\ $ $ \ поэтому DC || RP $ $ \\ $ Следовательно, $ DCPR $ — это трапеция. $ \\ $ Также указано, что $ \\ $ Area $ (\ Delta BDP) $ = Area $ (\ Delta ARC) $ $ \\ $ Area $ (\ Delta BDP) — $ Area $ (\ Delta DPC) $ = Area $ (\ Delta ARC) — $ Area $ (\ Delta DRC) $ $ \\ $ $ \, следовательно, $ Area $ (\ delta BDC) $ = Area $ (\ Delta ADC) $ $ \\ $ Поскольку $ \ Delta BDC $ и $ \ Delta ADC $ находятся на одной базе $ CD $ и имеют равные площади, они должны лежать между одними и теми же параллельными линиями. $ \\ $ $ \ поэтому AB || CD $ $ \\ $ Следовательно, $ ABCD $ — трапеция.
23 Параллелограмм $ ABCD $ и прямоугольник $ ABEF $ находятся на одном основании $ AB $ и имеют равные площади.Покажите, что периметр параллелограмма больше периметра прямоугольника.
Решение:
Поскольку параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковое основание и одинаковую площадь, они также будут находиться между одними и теми же параллелями. Рассмотрим параллелограмм $ ABCD $ и прямоугольник $ ABEF $ следующим образом.
Здесь можно заметить, что параллелограмм $ ABCD $ и прямоугольник $ ABEF $ находятся между одними и теми же параллелями $ AB $ и $ CF. $$ \\ $ Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма или прямоугольника имеют одинаковую длину. .Следовательно, $ \\ $ $ AB = EF $ (для прямоугольника) $ \\ $ $ AB = CD $ (для параллелограмма) $ \\ $ $ \, следовательно, CD = EF $ $ \\ $ $ \, следовательно, AB + CD = AB + EF $ … (1) $ \\ $ Из всех отрезков, которые можно провести к данной прямой из точки, не лежащей на ней, перпендикулярный отрезок является самым коротким. $ \\ $ $ \, следовательно, AF
24 На следующем рисунке $ D $ и $ E $ представляют собой две точки на $ BC $, так что $ BD = DE = EC $. Покажите, что $ ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC). $ $ \\ $ Можете ли вы теперь ответить на вопрос, который вы оставили во «Введении» этой главы: действительно ли поле Будхи разделен на три части равной площади? $ \\ $ [Примечание: при выборе $ BD = DE = EC $ треугольник $ ABC $ делится на три треугольника $ ABD, ADE $ и $ AEC $ равной площади. Таким же образом, разделив $ BC $ на n равных частей и соединив полученные таким образом точки разделения с противоположной вершиной $ BC $, вы можете разделить $ \ Delta ABC $ на n треугольников равной площади.]
Решение:
Нарисуем отрезок линии $ AL \ perp BC. $
Нарисуем отрезок линии $ AL \ perp BC. $ $ \\ $ Мы знаем, что, $ \\ $ Площадь треугольника = $ 12 $ × База × Высота $ \\ $ Area $ (\ Delta ADE) = 12 × DE × AL $ $ \ $ Area $ (\ Delta ABD) = 12 × BD × AL $ $ \\ $ Area $ (\ Delta AEC) = 12 × EC × AL $ $ \\ $ Дано, что $ DE = BD = EC $ $ \\ $ 12 × DE × AL = 12 × BD × AL = 12 × EC × AL $ $ \\ $ Area $ (\ Delta ADE) $ = Area $ (\ Delta ABD) $ = Area $ (\ Delta AEC) $ Можно заметить, что Будхия разделил свое поле на $ 3 $ равных части.
25 На следующем рисунке $ ABCD, DCFE $ и $ ABFE $ представляют собой параллелограммы. Докажите, что $ ar (\ Delta ADE) = ar (\ Delta BCF). $
Решение:
Дано, что $ ABCD $ — параллелограмм. Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны. $ \\ $ $ \, следовательно, AD = BC $ … (1) $ \\ $ Аналогично, для параллелограммов $ DCEF $ и $ ABFE $ можно доказать, что $ \\ $ $ DE = CF … (2) $$ \\ $ And, $ EA = FB … (3) $$ \\ $ In $ \ Delta ADE $ и $ \ Delta BCF, $ $ \ \ $ $ AD = BC $ [Используя уравнение (1)] $ \\ $ $ DE = CF $ [Используя уравнение (2)] $ \\ $ $ EA = FB $ [Используя уравнение (3)] $ \\ $ $ \ следовательно \ Delta ADE \ cong \ Delta BCF (правило сравнения SSS $) \ поэтому $ Area $ (\ Delta ADE) $ = Area $ (\ Delta BCF) $
26 На следующем рисунке, $ ABCD $ — параллелограмм, и $ BC $ переходит в точку $ Q $, такую что $ AD = CQ $.Если $ AQ $ пересекает $ DC $ в точке $ P, $ показывает, что $ ar (\ Delta BPC) = ar (\ Delta DPQ). $
Решение:
Предполагается, что $ ABCD $ — параллелограмм .
$ AD || BC $ и $ AB || DC $ (Противоположные стороны параллелограмма параллельны друг другу) Соедините точку $ A $ с точкой $ C. $
Рассмотрим $ \ Delta APC $ и $ \ Delta BPC $$ \\ $ $ \ Delta APC $ и $ \ Delta BPC $ лежат на одной базе $ PC $ и между теми же параллелями $ PC $ и $ AB $. Следовательно, $ \\ $ Area $ (\ Delta APC) $ = Area $ (\ delta BPC) $… (1) $ \\ $ В четырехугольнике $ ACDQ, $ задано, что $ AD = CQ $$ \\ $ Поскольку $ ABCD $ — параллелограмм, $ \\ $ $ AD || BC $ (Противоположные стороны параллелограмма параллельны) $ \\ $ $ CQ $ — это отрезок прямой, который получается при создании отрезка $ BC $. $ \\ $ $ \ поэтому AD || CQ $ $ \\ $ Имеем, $ \\ $ $ AC = DQ $ и $ AC || DQ $ $ \\ $ Следовательно, $ ACQD $ — параллелограмм. $ \\ $ Рассмотрим $ BDCQ $ и $ BACQ $$ \\ $. Они находятся на одной базе $ CQ $ и между одними и теми же параллелями $ CQ $ и $ AD. $ Следовательно, $ \\ $ Area $ (\ Delta DCQ) $ = Area $ (\ Delta ACQ) $$ \\ $ $ \, следовательно, $ Area $ (\ Delta DCQ) — $ Area $ (\ Delta PQC) $ = Area $ (\ Delta ACQ) — $ Area $ (\ Delta PQC) $$ \\ $ $ \, следовательно, $ Area $ (\ Delta DPQ) $ = Area $ (\ Delta APC) $… (2) $ \\ $ Из уравнений (1) и (2) получаем $ \\ $ Area $ (\ Delta BPC) $ = Area $ (\ Delta DPQ) $
27 In На следующем рисунке $ ABC $ и $ BDE $ — это два равносторонних треугольника, так что $ D $ является средней точкой $ BC $. Если $ AE $ пересекает $ BC $ в $ F, $ покажет, что $ \\ $ (i) $ ar (BDE) = \ dfrac {1} {4} ar (ABC) $$ \\ $ (ii) $ ar (BDE) = \ dfrac {1} {2} ar (BAE) $$ \\ $ (iii) $ ar (ABC) = 2 ar (BEC) $$ \\ $ (iv) $ ar (BFE) = ar (AFD) $$ \\ $ (v) $ ar (BFE) = 2 ar (FED) $$ \\ $ (vi) $ ar (FED) = \ dfrac {1} {8} ar (AFC) $$ \\ $ [Подсказка: присоединитесь к $ EC $ и $ AD.$ Покажи, что $ BE || AC $ и $ DE || AB $ и т. Д.]
Решение:
(i) Пусть $ G $ и $ H $ будут серединами сторон $ AB $ и $ AC $ соответственно. $ \\ $ Отрезок $ GH $ соединяет середины и параллелен третьей стороне. $ \\ $ Следовательно, $ BC $ будет составлять половину длины $ BC $ (теорема о средней точке).
$ \ поэтому GH = \ dfrac {1} {2} BC $ и $ GH || BD $ $ \\ $ $ \, следовательно, GH = BD = DC $ и $ GH || BD (D $ — середина $ BC) $ $ \\ $ Аналогично $ \\ $ $ \ bullet GD = HC = HA $$ \\ $ $ \ bullet HD = AG = BG $$ \\ $ Следовательно, очевидно, что $ \ Delta ABC $ разделена на $ 4 $ равносторонних равносторонних треугольника, а именно $ \ Delta BGD, \ Delta AGH, \ Delta DHC $ и $ \ delta GHD $ $ \\ $ Другими словами, $ \ Delta BGD = \ dfrac {1} {4} \ Delta ABC $ $ \\ $ Теперь рассмотрим $ \ Delta BDG $ и $ \ Delta BDE $ $ \\ $ $ BD = BD $ (Общая база) $ \\ $ Поскольку оба треугольника равносторонние треугольник, мы можем сказать $ BG = BE $$ \\ $ $ DG = DE $ Следовательно, $ \ delta BDG \ cong \ Delta BDE $ [By $ SSS $ congruency] $ \\ $ Таким образом, area $ (\ Delta BDG ) $ = area $ (\ Delta BDE) $ $ \\ $ $ ar (\ Delta BDE) = \ dfrac {1} {4} ar (\ Delta ABC) $ Следовательно доказано
(ii) Area $ (\ Delta BDE) $ = Area $ (\ Delta AED) $ (Общая база $ DE $ и $ DE || AB) $$ \\ $ Area $ (\ Delta BDE) — $ Area $ (\ Delta FED) $ $ \\ $ = Area $ (\ Delta AED) — $ Area $ (\ Delta FED) $ $ \\ $ Area $ (\ Delta BEF) $ = Area $ (\ Delta AFD) $… (1) $ \\ $ Now, Area $ (\ Delta ABD) $ = Area $ (\ Delta ABF) $ + Area $ (\ Delta AFD) $ $ \\ $ Area $ (\ Delta ABD) $ = Площадь $ (\ Delta ABF) $ + Площадь $ (\ Delta BEF) $ [Из уравнения (1)] $ \\ $ Area $ (\ Delta ABD) $ = Area $ (\ Delta ABE) AD $ — это медиана в $ \ Delta ABC $
$ ar (\ delta ABD) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) $ $ \\ $ $ = \ dfrac {4} {2} ar (\ Delta BDE) \ text {(Как было доказано ранее)} $ $ \\ $ $ ar (\ Delta ABD) = 2ar (\ Delta BDE) \ qquad (3) $ $ \\ $ Из (2) и (3) получаем $ \\ $ $ 2 ar (\ Delta BDE) = ar (\ Delta ABE) $ $ \\ $ $ ar (BDE) = \ dfrac {1} {2} ar (BAE) $ $ \\ $ (iii) $ ar (\ Delta ABE) = ar (\ Delta BEC) $ (Общая база $ BE $ и $ BE || AC $) $ \\ $ $ ar (\ Delta ABF) + ar (\ Delta BEF) = ar (\ Delta BEC) $ $ \\ $ Используя уравнение (1), получаем $ \\ $ $ ar (\ Delta ABF) + ar (\ Delta AFD) = ar (\ Delta BEC) $ $ \\ $ $ \ dfrac {1 } {2} ar (\ Delta ABC) = ar (\ Delta BEC) $ \\ $ $ ar (\ Delta ABC) = 2 ar (\ Delta BEC) $
(iv) Видно, что $ \ Delta BDE $ и $ ar \ Delta AED $ лежат на одной базе $ (DE) $ и между параллелями $ DE $ и $ AB $ $ \\ $ $ \, поэтому ar (\ Delta BDE) = ar (\ Delta AED) $ $ \\ $ $ \ поэтому ar (\ Delta BDE) — ar (\ Delta FED) $ $ \\ $ $ = ar (\ Delta AED) — ar (\ Delta FED) $ $ \\ $ $ \ поэтому ar (\ Delta BFE) = ar (\ Delta AFD) $ $ \\ $ (v) Пусть $ h $ будет высотой вершины $ E, $ соответствующей стороне $ BD $ в $ \ Delta BDE $.$ \\ $ Пусть $ H $ — высота вершины $ A $, соответствующей стороне $ BC $ в $ \ Delta ABC. $ $ \\ $ In (i) было показано, что $ ar (BDE) = \ dfrac {1} {4} ar (ABC) $ $ \\ $ В (iv) было показано, что $ ar (\ Delta BFE) = ar (\ Delta AFD). $ $ \\ $ $ \, следовательно, ar (\ Delta BFE) = ar (\ Delta AFD) $ $ \\ $ $ = 2 ar (\ Delta FED) $ Следовательно, $ \\ $ (vi) $ ar (\ Delta AFC) = ar (\ Delta AFD) + ar (\ Delta ADC) $ $ \\ $ $ = 2ar (\ Delta FED) + \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) $ [using (v) = $ 2ar (FED) + \ dfrac {1} {2} [4 ar (\ Delta BDE)] $ [Usingresultofpart (i)] $ \\ $ $ = 2ar (\ Delta FED) + 2ar (\ Delta BDE) = 2ar (\ Delta FED) + 2ar (\ Delta AED) $ [$ \ Delta BDE $ и $ \ Delta AED $ находятся на одной базе и между одинаковыми параллелями] $ \\ $ $ = 2ar (\ Delta FED) +2 [ar (\ Delta AFD) + ar (\ Delta FED)] $ $ \\ $ $ = 2ar (\ Delta FED) + 2ar (\ Delta AFD) + 2ar (\ Delta FED) $ [Используя (viii)] $ \\ $ $ = 4ar (\ Delta FED) + 4ar (\ Delta FED) $$ \\ $ $ ar (\ Delta AFC) = 8ar (\ Delta FED) $ $ \\ $ $ ar (\ Delta FED) = \ dfrac {1} {8} ar (AFC) $
28 Диагонали $ AC $ и $ BD $ четырехугольника $ ABC D $ пересекаются друг с другом в точке $ P.$ Покажите, что $ \\ $ [Подсказка: из $ A $ и $ C $ нарисуйте перпендикуляры к $ BD $]
Решение:
Дано: четырехугольник $ ABCD, $ в котором диагонали $ AC $ и $ BD $ пересекаются друг с другом в точке $ E. $
Чтобы доказать: $ ar (\ Delta AED) * ar (\ Delta BEC) $ $ \\ $ $ = ar (\ Delta ABE) * ar (\ Delta CDE ) $ $ \\ $ $ \ text {Конструкция:} $ Из A возьмите $ AM \ perp BD AM BD $ и из $ C $ возьмите $ CN \ perp BD $ $ \\ $ Доказательство: $ ar (\ Delta ABE) = \ dfrac {1} {2} * BE * AM ………. (1) $ $ \\ $ $ ar (\ Delta AED) = \ dfrac {1} {2} * DE * AM……….. (2) $ $ \\ $ Ур. (ii) по (i) получаем, $ \\ $ $ \ dfrac {ar (\ Delta AED)} {ar (\ Delta ABE)} = \ dfrac {\ dfrac {1} {2} * DE * AM } {\ dfrac {1} {2} * BE * AM} $ $ \\ $ $ \ dfrac {ar (\ Delta AED)} {ar (\ Delta ABE)} = \ dfrac {DE} {BE} .. …. (iii) $ $ \\ $ Аналогично $ \ dfrac {ar (\ Delta AED)} {ar (\ Delta ABE)} = \ dfrac {DE} {BE} ……… (iv) $ $ \\ $ Из формул (iii) и (iv) получаем $ \\ $ $ \ dfrac {ar (\ Delta AED)} {ar (\ Delta ABE)} = \ dfrac {ar ( \ Delta CDE)} {ar (\ Delta BEC)} $ $ \\ $ $ \ подразумевает ar (\ Delta AED) * ar (\ Delta BEC) = ar (\ Delta ABE) * ar (\ Delta CDE) $$ \\ $ Следовательно доказано.
29 $ P $ и $ Q $ — это, соответственно, середины сторон $ AB $ и $ BC $ треугольника $ ABC $, а $ R $ — середина $ AP, $ показать что $ \\ $ (i) $ ar (PRQ) = \ dfrac {1} {2} ar (ARC) $ $ \\ $ (ii) $ ar (RQC) = \ dfrac {3} {8} ar ( ABC) $ $ \\ $ (iii) $ ar (PBQ) = ar (ARC) $
Решение:
(i) $ PC $ — это медиана $ \ Delta ABC. $ $ \\ $ $ ar (\ Delta BPC) = ar (\ Delta APC) ………. (i) $ $ \\ $ $ RC $ — это медиана $ APC. $$ \\ $ $ ar ( \ Delta ARC) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta APC)………. (ii) $$ \\ $ [Медиана делит треугольник на два треугольника одинаковой площади] $ \\ $ $ PQ $ — это медиана $ \ Delta BPC $. $ \\ $
$ \ поэтому ar (\ Delta PQC) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta BPC) ………. (iii) $ $ \\ $ Из ур. (i) и (iii) получаем, $ \\ $ $ ar (\ Delta PQC) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta APC) ………. (iv) $ $ \\ $ Из ур. (ii) и (iv) получаем, $ \\ $ $ ar (\ Delta PQC) = ar (\ Delta ARC) ………. (v) $ $ \\ $ Нам даны что $ P $ и $ Q $ являются серединами $ AB $ и $ BC $ соответственно. $ \\ $ $ PQ || AC $ и $ PA = \ dfrac {1} {2} AC $ $ \\ $ $ ar (\ Delta APQ) = ar (\ Delta PQC)………. (vi) $ $ \\ $ [треугольники между одной параллелью равны по площади] $ \\ $ Из ур. (v) и (vi), получаем $ \\ $ $ ar (\ Delta APQ) = ar (\ Delta ARC) ………. (vii) $ $ \\ $ $ R $ — это середина $ AP. $ Следовательно, $ RQ $ — это медиана $ \ Delta APQ. $ $ \\ $ $ ar (\ Delta PRQ) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta APQ). ……… (viii) $ $ \\ $ Из (vii) и (viii) получаем, $ \\ $ $ ar (\ Delta PRQ) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ARC) $ \\ $
(ii) $ PQ $ — это медиана $ \ Delta BPC $ $ \\ $ $ \, поэтому ar (\ Delta PQC) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta BPC) $ $ \\ $ $ = \ delta {1} {2} × \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) = \ dfrac {1} {4} ar (ABC)………. (ix) $$ \\ $ Также $ ar (\ Delta PRC) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta APC) $ [Использование (iv)] $ \\ $ $ ar (\ Delta PRC) = \ dfrac {1} {2} × \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) = \ dfrac {1} {4} ar (\ Delta ABC) … ……. (x) $ $ \\ $ Добавление ур. (ix) и (x) получаем, $ \\ $ $ ar (\ Delta PQC) + ar (\ Delta PRC) = (\ dfrac {1} {4} + \ dfrac {1} {4}) ar (\ Delta ABC) $ $ \\ $ $ \ подразумевает ar (quad. PQCR) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) ………. (xi) $ $ \ \ $ Вычитая $ ar (\ Delta PRQ) $ с обеих сторон, $ \\ $ $ ar (quad.PQCR) -ar (\ Delta PRQ) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) — ar (\ Delta PRQ) $ $ \\ $ $ ar (\ Delta RQC) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) — \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ARC) $ [ Usingresult (i)] $ \\ $ ar (\ Delta ARC) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) — \ dfrac {1} {2} × \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta APC) $ $ \\ $ $ ar (\ Delta RQC) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) — \ dfrac {1} {4} ar (\ Delta APC) $ $ \ \ $ $ ar (\ Delta RQC) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) — \ dfrac {1} {4} × \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) [ПК $ — медиана $ ABC] $ $ \\ $
$ ar (\ Delta RQC) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ABC) — \ dfrac {1} {8} ar (\ Delta ABC ) $ $ \\ $ $ ar (\ Delta RQC) = (\ dfrac {1} {2} — \ dfrac {1} {8}) * ar (\ Delta ABC) $ $ \\ $ $ ar (\ Delta RQC) = \ dfrac {8} {3} ar (\ Delta ABC) $ $ \\ $ (iii) $ ar (\ Delta PRQ) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta ARC) $ [Использование результат (i)] $ \\ $ $ 2ar (\ Delta PRQ) = ar (\ Delta ARC).. (xii) $ $ \\ $ $ ar (\ Delta PRQ) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta APQ) [RQ $ — медиана $ \ Delta APQ] ……. … (xiii) $ $ \\ $ Но $ ar (\ Delta APQ) = ar (\ Delta PQC) $ [По причине ур. (vi)] $ \\ $ ………. (xiv) Из ур. (xiii) и (xiv) получаем, $ \\ $ $ ar (\ Delta PRQ) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta PQC) $ ………. (xv ) $ \\ $ Но $ ar (\ Delta BPQ) = ar (\ Delta PQC) [PQ $ — медиана $ BPC] ………. (xvi) $ $ \\ $ Из уравнения . (xv) и (xvi) получаем, $ \\ $ $ ar (\ Delta PRQ) = \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta BPQ) ………. (xvii) $ $ \\ $ Теперь из (xii) и (xvii) получаем, $ \\ $ 2 × \ dfrac {1} {2} ar (\ Delta BPQ) = ar (\ Delta ARC) $ $ \\ $ $ ar (\ Delta BPQ) = ar (\ Delta ARC) $
30 На следующем рисунке $ ABC $ представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом к $ A.$$ BCED, ACFG $ и $ ABMN $ — квадраты на сторонах $ BC, CA $ и $ AB $ соответственно. Отрезок прямой $ AX \ perp DE $ пересекает $ BC $ в точке $ Y. $ Покажите, что: $ \\ $ (i) $ \ Delta MBC \ cong \ Delta ABD $ $ \\ $ (ii) $ ar (BYXD) = 2ar (MBC) $ $ \\ $ (iii) $ ar (BYXD) = 2ar (ABMN) $ $ \\ $ (iv) $ \ Delta FCB \ cong \ Delta ACE $ $ \\ $ (v) $ ar ( CYXE) = 2ar (FCB) $ $ \\ $ (vi) $ ar (CYXE) = ar (ACFG) $ $ \\ $ (vii) $ ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG) $ $. \\ $ Примечание. Результат (vii) — это знаменитая теорема Пифагора. Вы изучите более простое доказательство этой теоремы в классе X.o $ $ \\ $ $ \ следовательно \ угол ABM + \ angle ABC = \ angle DBC + \ angle ABC $ $ \\ $ $ \ следовательно \ angle MBC = \ angle ABD $ $ \\ $ In $ \ Delta MBC $ и $ \ Delta ABD, $ $ \\ $ $ \ angle MBC = \ angle ABD $ (Доказано выше) $ \\ $ $ MB = AB $ (Стороны квадрата $ ABMN $) $ \\ $ $ BC = BD $ (Стороны квадрата $ BCED $) $ \\ $ $ \ следовательно \ Delta MBC \ cong \ Delta ABD $ (правило сравнения $ SAS $) $ \\ $ (ii) У нас есть $ \ Delta MBC \ cong \ Delta ABD $ $ \\ $ $ \ поэтому ar (\ Delta MBC) = ar (\ Delta ABD) … (1) $ $ \\ $ Дано, что $ AX \ perp DE $ и $ BD \ perp DE $ (смежные стороны квадрата $ BDEC $) $ \\ $ $ \ поэтому BD || AX $ (Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу) $ \\ $ $ \ Delta ABD $ и параллелограмм $ BYXD $ находятся на одном основании $ BD $ и между одними и теми же параллелями $ BD $ и $ AX.o $ $ \\ $ $ \ следовательно \ angle FCA + \ angle ACB = \ angle BCE + \ angle ACB $ $ \\ $ $ \ следовательно \ angle FCB = \ angle ACE $ $ \\ $ In $ \ Delta FCB $ и $ \ Delta ACE, $ $ \\ $ $ \ angle FCB = \ angle ACE $ $ \\ $ $ FC = AC $ (Стороны квадрата $ ACFG $) $ \\ $ $ CB = CE $ (Стороны квадрата $ BCED $) $ \\ $ $ \ Delta FCB \ cong \ Delta ACE (правило сравнения SAS $) $ \\ $
(v) Дано, что $ AX \ perp DE $ и $ CE \ perp DE $ ( Смежные стороны квадрата $ BDEC) $$ \\ $ Следовательно, $ CE || AX $ (Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу) $ \\ $ Рассмотрим $ BACE $ и параллелограмм $ CYXE $$ \\ $ $ BACE $ и параллелограмм $ CYXE $ находятся на одном основании $ CE $ и между такими же параллелями $ CE $ и $ AX.$ $ \\ $ $ \ поэтому ar (\ Delta YXE) = 2 ar (\ Delta ACE) … (4) $ $ \\ $ Мы доказали, что $ \\ $ $ \, следовательно, \ Delta FCB \ cong \ Delta ACE $ $ \\ $ $ ar (\ Delta FCB) \ cong ar (\ Delta ACE) … (5) $ $ \\ $ Сравнивая уравнения (4) и (5), получаем $ \\ $ $ ar (CYXE) = 2 ar (\ Delta FCB) … (6) $$ \\ $ (vi) Рассмотрим $ BFCB $, параллелограмм $ ACFG $ $ \\ $ $ BFCB $ и параллелограмм $ ACFG $ лежат на той же основе $ CF $ и между теми же параллелями $ CF $ и $ BG. $$ \\ $ $ \, следовательно, ar (ACFG) = 2 ar (\ Delta FCB) $ \\ $ $, следовательно, ar (ACFG) = ar (CYXE) $ [Используя уравнение (6)]… (7) $ \\ $ (vii) Из рисунка видно, что $ \\ $ $ ar (\ Delta CED) = ar (\ Delta YXD) + ar (CYXE) $ $ \\ $ $ \ поэтому ar (\ Delta CED) = ar (ABMN) + ar (ACFG) $ [Используя уравнения (3) и (7)]
D, E, P, являются средними точками сторон BC CA и AB соответственно?
Параллелограмм: четырехугольник, в котором обе пары противоположных сторон параллельны, называется параллелограммом.
Диагональ параллелограмма делит его на два равных по площади треугольника.
Теорема о средней точке: отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ее половине.
РЕШЕНИЕ:
Дано: ABC — это треугольник, в котором середины сторон BC, CA и AB равны D, E и F.
Чтобы показать: (i) BDEF — параллелограмм. (ii) ar (DEF) = 1 / 4ar (ABC) (iii) ar (BDEF) = 1/2 ar (ABC)
Доказательство: i) Так как E и F — середины AC и AB.
BC || FE & FE = ½ BC = BD
(По теореме о средней точке)
BD || FE & BD = FE
Аналогично, BF || DE & BF = DE
Следовательно, BDEF — параллелограмм
.[Пара противоположных сторон равны и параллельны]
(ii) Аналогичным образом мы можем доказать, что FDCE и AFDE также являются параллелограммами.
Итак, BDEF — это параллелограмм, поэтому его диагональ FD делит его на два Треугольника равной площади.
∴ ar (ΔBDF) = ar (ΔDEF) — (i)
В параллелограмме AFDE
ar (ΔAFE) = ar (ΔDEF) (EF — диагональ) — (ii)
в параллелограмме FDCE
ar (ΔCDE) = ar (ΔDEF) (DE — диагональ) — (iii)
Из (i), (ii) и (iii)
ar (ΔBDF) = ar (ΔAFE) = ar (ΔCDE) = ar (ΔDEF)….. (iv)
ar (ΔBDF) + ar (ΔAFE) + ar (ΔCDE) + ar (ΔDEF) = ar (ΔABC)
4 ar (ΔDEF) = ar (ΔABC) (Из уравнения iv)
ар (∆DEF) = 1/4 ар (∆ABC) …….. (v)
(iii) Площадь (параллелограмм BDEF) = ar (ΔDEF) + ar (ΔBDF) ar (параллелограмм BDEF) = ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF)
ar (параллелограмм BDEF) = 2 × ar (ΔDEF) (Из уравнения iv)
ар (параллелограмм BDEF) = 2 × 1/4
ar (ΔABC) (Из уравнения v)
ар (параллелограмм BDEF) = 1/2 ар (ΔABC
Важные вопросы по математике CBSE Class 9 Глава 9 — Области параллелограммов и треугольников
1 Марки Очереди
1.Найдите площадь параллелограмма на соседнем рисунке.
(а) 1759 фут
(б) 48 квадрат
(в) 84 квадратных фута
(г) 60 квадратных футов
Отв. (d) 60 квадратных футов
2. Найдите угол a
(а)
б)
(в)
г)
Отв.(б)
3. Треугольник имеет площадь 45 квадратных футов. Основание треугольника 9 футов. Чему соответствует высота треугольника
(а) 90 футов
(б) 5 футов
(в) 10 футов
(г) 40 квадратных футов
Отв. (c) 10 футов.
4. Какова площадь параллелограмма с основанием 8 и соответствующей высотой 5
(а) 40
(б) 45
(в) 13
(г) 3
Отв.(а) 40
5. Параллелограммы на одном основании и между одинаковыми параллелями равны
(i) соответствующий угол
(ii) площадь
(iii) конгруэнтная площадь
(iv) такая же параллель
Отв. (ii) площадь
6. Любая сторона параллелограмма называется
.
(i) Высота
(ii) основание
(iii) соотв.Высота
(iv) участок
Отв. (ii) база
7. Диагональ параллелограмма делится на ______ треугольников равной площади
(i) 1
(ii) 2
(iii) 3
(iv) ни один из этих
Отв. (ii) 2
8. Найдите площадь параллелограмма, если Base = 3 и высота 4
(i) 7
(ii) 1
(iii) 12
(iv) ни один из этих
Отв.(iii) 12
9. Найдите площадь 11 || гм, если основание = 8 см и высота = 10 см,
(а) 80 кв. См
(б) 80 см
(в) 30 кв. См
(г) 50 кв. См
Отв. (а) 80 кв.см
10. Если база = 9 и соответствующая высота = 4. Найдите площадь || грамм
(а) 4
(б) 40
(в) 36
(d) ни один из этих
Отв.(в) 36
11. Если треугольник и параллелограмм находятся на одном основании и между одной и той же параллелью, площадь треугольника равна ______ площади || грамма.
(а)
б)
(в)
(d) ни один из этих
Отв. (а)
12. Параллелограмм имеет площадь 36 квадратов и основание параллелограмма 9 см. какова соответствующая высота параллелограмма?
(а) 6 см.
(б) 5 см.
(в) 4 см.
(г) 3 см.
Отв. (в) 4 см.
13. Медиана треугольника делится на _______ треугольников равной площади.
(а) 1
(б) тот же треугольник
(в) 2
(г) нет
Отв. (в) 2
14.Площадь ромба равна _______ произведению двух его диагоналей.
(а)
б)
(в)
(г) нет
Отв. (а)
15. Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон на
.
(a) Соответствующая высота
(б) высота
(в) медиана
(г) основание
Отв.(a) Соответствующая высота
16. Ниже приведены размеры параллелограмма. Найдите недостающее измерение. Площадь = 90 см кв., Основание = 5 см, высота =?
(а) 18
б) 450
(в) 85
(г) 15 см
Отв. (а) 18
17. Сколько квадратных футов в квадратном ярде
(а) 6
(б) 9
(в) 12
(г) 10
Отв.(г) 10
18. Периметр равностороннего треугольника составляет 21 ярд. какова длина его сторон
(а) 7 ярдов
(б) 14 ярдов
(в) 8 ярдов
(г) 12 ярдов
Отв. (а) 7 ярдов
19. Какова площадь треугольника с основанием 12 м и высотой 18 м
(а)
б)
(в)
(г)
Отв.(в)
20. Найдите площадь параллелограмма, если основание = 8 и соответствующая высота = 4
(а) 12
(б) 32
(в) 4
(г) 8
Отв. (б) 32
Очередь на 2 отметки
1. Какие из следующих фигур находятся на одном основании и между одними и теми же параллелями? В таком случае запишите общее основание и две параллели.

Отв. На рисунке (i): DPC и ловушка. ABCD находятся на одной базе постоянного тока и между одним и тем же параллельным постоянным током и AB.
На рисунке (iii): RTQ и параллелограмм PQRS находятся на одном основании QR и между одинаковыми параллельными QR и PS.
На рисунке (v): параллелограмм ABCD и параллелограмм APQD находятся на одном основании AD и между одними и теми же параллелями AD и BQ.
2. На рисунке ABCD представляет собой параллелограмм. AE DC и CF AD.Если AB = 16 см, AE = 8 см и CF = 10 см, найдите AD.

Отв. ABCD — параллелограмм.
DC = ABDC = 16 см
AE DC [Дано]
Теперь Площадь параллелограмма ABCD = Основание Соответствующая высота
Используя базу AD и высоту CF, находим
Площадь параллелограмма
AD = = 12,8 см
3. Если E, F, G и H — соответственно средние точки сторон параллелограмма ABCD, покажите, что ar (EFGH) = ar (ABCD).
Отв. Дано: Параллелограмм ABCD. E, F, G и H — средние точки AB,
г. до н.э., CD и DA соответственно.

Доказать: ar (EFGH) = ar (ABCD)
Строительство: Присоединяйтесь к HF
Доказательство: ar (GHF) = ar (gm HFCD) ………. (I)
А ar (HEF) = ar (gm HABF) ………. (Ii)
[Если треугольник и параллелограмм находятся на одном основании и между одной и той же параллелью, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма]
Добавление ур.(i) и (ii),
ар (GHF) + ар (HEF) = ар (г HFCD) + ар (г HABF)
ar (gm HEFG) = ar (gm ABCD)
4. На рисунке PQRS и ABRS — параллелограммы, а X — любая точка на стороне BR. Покажите, что:

(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = ar (PQRS)
Отв. (i) параллелограммов PQRS и ABRS находятся на одной базе SR и между одними и теми же параллелями SR и PB.
ar (gm PQRS) = ar (gm ABRS) ……….(i)
[параллелограммы на одном основании и между одними и теми же параллелями имеют одинаковую площадь]
(ii) AXS и gm ABRS находятся на одной базе AS и между одними и теми же параллелями AS и BR.
ar (AXS) = ar (gm ABRS) ………. (Ii)
Использование ур. (i) и (ii),
ar (AXS) = ar (gm PQRS)
5. На рисунке E — любая точка на медиане AD ABC. Покажите, что ar ( ABE) = ar ( ACE).

B D
Отв. В ABC AD — это медиана.
ar (ABD) = ar (ACD) ………. (I)
[Медиана делит a на две равные площади]
Опять же в EBC ED — это медиана
ar (EBD) = ar (ECD) ………. (Ii)
Вычитая ур. (ii) из (i),
ар (ABD) — ар (EBD) = ар (ACD) — ар (ECD)
ар (ABE) = ар (ACE)
6. Покажите, что DE || BC, если ar ar
Отвечает . Поскольку BCE и BCD равны по площади и имеют одинаковое основание BC
BCE и BCD находятся между одними и теми же параллельными линиями.
DE || BC
7. В треугольнике ABC E является средней точкой медианы AD. Покажите, что ar (BED) = ar (ABC).
Отв. Дано: ABC, AD — это медиана, а E — это средняя точка медианы AD.

Доказать: ar (BED) = ar (ABC)
Доказательство: В ABC AD — это медиана.
ар (ABD) = ар (ADC)
[Медиана делит a на две равные площади]
ar (ABD) = ar (ABC) ………. (I)
В ABD BE — это медиана.
ar (КРОВАТЬ) = ar (BAE)
ar (КРОВАТЬ) = ar (ABD)
ar (КРОВАТЬ) = ar (ABC) = ar (ABC)
8. D и E — точки на сторонах AB и AC соответственно ABC, такие что ar (DBC) = ar (EBC). Докажите, что DEBC.
Отв. Дано: ar (DBC) = ar (EBC)
Так как два треугольника одинаковой площади имеют общее основание BC.
Следовательно, DEBC [Два треугольника с одинаковым основанием (или равными основаниями) и равной площадью лежат между одной и той же параллелью]
9.Диагонали AC и BD трапеции ABCD с AB DC пересекаются друг с другом в точке O. Докажите, что ar (AOD) = ar (BOC).
Отв. ABD и ABC лежат на одном основании AB и между одними и теми же параллелями AB и DC.
ар (ABD) = ар (ABC)
Вычитая ar (AOB) с обеих сторон,
ар (ABD) — ар (AOB)
= ар (ABC) — ар (AOB)
ar (AOD) = ar (BOC)
10. На рисунке ABCDE представляет собой пятиугольник.Линия, проходящая через B, параллельную переменному току, встречает постоянный ток, производимый в F. Покажите, что:
(i) ар (ACB = ar (ACF)
)
(ii) ar (AEDF) = ar (ABCDE)
Отв. (i) Учитывая, что BFAC
ACB и ACF лежат на одной базе AC и между одними и теми же параллелями AC и BF.
ar (ACB) = ar (ACF) ………. (I)
(ii) Новар (ABCDE) = ar (trap. AEDC) + ar (ABC) ………. (Ii)
ar (ABCDE) = ar (ловушка.AEDC) + ar (ACF) = ar (quad. AEDF) [Использование (i)]
ар (AEDF) = ар (ABCDE)
11. На рисунке APBQCR. Докажите, что ar (AQC) = ar (PBR).

Отв. ABQ и BPQ лежат на одной базе BQ и между одними и теми же параллелями AP и BQ.
ar (ABQ) = ar (BPQ) ………. (I)
BQC и BQR лежат на одном основании BQ и между одинаковыми параллелями BQ и CR.
ar (BQC) = ar (BQR) ………. (Ii)
Складываем уравнения (i) и (ii), ar (ABQ) + ar (BQC) = ar (BPQ) + ar (BQR)
ар (AQC) = ар (PBR)
12.На рисунке D и E — две точки на BC, такие что BD = DE = EC. Докажите, что ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC). Можете ли вы ответить на вопрос, который вы оставили во «введении» к этой главе: действительно ли поле Будхи разделено на три части равной площади?

Отв. В ABC точки D и E делят BC на три равные части, так что BD = DE = EC.
BD = DE = EC = BC
Draw AFBC
ар (ABC) = ……….(i)
и ar (ABD) = ………. (Ii)
= =
= ar (ABC) ………. (Iii)
И ar (AEC) = ar (ABC) ………. (Iv)
Из (ii), (iii) и (iv),
ар (ABD) = ар (ADE) = ар (AEC)
13. На рисунке ABCD, DCFE и ABFE — параллелограммы. Покажем, что ar (ADE) = ar (BCF).
Отв. Как известно, противоположные стороны параллелограмма всегда равны.
В параллелограмме ABFE, AE = BF и AB = EF
В параллелограмме DCFE, DE = CF и DC = EF
В параллелограмме ABCD, AD = BC и AB = DC
Сейчас в ADE и BCF,
AE = BF [Противоположные стороны параллелограмма ABFE]
DE = CF [Противоположные стороны параллелограмма DCFE]
А AD = BC [Противоположные стороны параллелограмма ABCD]
ADE BCF [По соответствию SSS]
ар (ADE) = ар (BCF)
[Площадь двух совпадающих фигур всегда равна]
14.Докажите, что ABCD — параллелограмм. Если ABCD — четырехугольник, а BD — одна из его диагоналей.

Отв. Дан четырехугольник ABCD, в котором AB = DC = 3, BD = 4 и
BD пересекает AB и DC так, что.
Таким образом, ABCD представляет собой параллелограмм .
15. В параллелограмме ABCD AB = 20. Высота DM до сторон AB равна 10 см. Найдите площадь параллелограмма.
Отвечает .Площадь параллелограмма ABCD
= ABDM
= 2010
= 200 см кв.
16. Если L — любая точка на AB, а площадь прямоугольника ABCD равна 100 см2. найти площадь.

Отвечает . Площадь прямоугольника ABCD = 100 см кв.
Площадь прямоугольника ABCD
= квадрат в см
= 50 квадратных см
17. Найдите площадь параллелограмма ABCD, BD перпендикулярна AB.AB = 7 и BD равно 5.
Отв. Площадь параллелограмма = Базовая соответствующая высота = 75
= 35 см кв.
Площадь параллелограмма = 35 см кв.
18. Покажите, что ar (ABC) = ar (ABD). ABC и ABD — это два треугольника на одном основании AB, если отрезок CD делится пополам по AO в точке O
.
Отв. AO — это медиана
19.Покажите, что BDEF — параллелограмм. Если D, E и F — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC
Отвечает . Присоединяйтесь к DE, EF и FD
E и F — средние точки AC и AB
EF || BC
EF || BD
DE || BF
BDEF — это || грамм.
20. Докажите, что ar () = ar (), если MN || PO
Отв.

21. Выровняйте линию, соответствующую стороне EF, если высота AB составляет 5 см и
Отв. Учитывая, что

22. В параллелограмме PQRS PQ = 6 см и соответствующая высота ST равна 5 см. найти площадь параллелограмма.
Отв. Площадь || gm PQRS
= Базовая высота
= 65 (Квадратный см)
= 30 см кв.
23. Покажите, что середина треугольника делит его на два треугольника равной площади.
Отв. Дано: треугольник PQR и PS — это медиана
Доказать: ar (PQS) = ar (PSR)
Конструкция
: начертите высоту PT от вершины P на основании QR
.
Доказательство: Площадь
И Площадь

Площадь
Значит, доказано.
24. Площадь прямоугольника PQRS составляет 500 кв. если T — любая точка на PQ, найдите область
Отв. Как прямоугольник PQRS
Квадратный см
= 250 квадратный см
25. Докажите, что как будто PS || RQ
Отв.

26. Покажите, что ar (quad. ABCD) = BD (AM + CN) BD — одна из диагоналей четырехугольника ABCD, AM и CN — от A и C

Отв.

27. D, E, F — это середины сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что ar (DEF) = ar (ABC).

Отв.
Сейчас,

28. В параллелограмме PQRS, PS = 12. Высота до стороны PS равна 12 см. найти площадь параллелограмма PQRS
Отв. Площадь параллелограмма PQRS
= Базовая соответствующая высота
= 12 12
= 144 кв. См
29.Линия, проходящая через D, параллельную AC, пересекает BC, полученную в P., доказывает, что область.

Отв.

30. В параллелограмме PQRS PQ = 13. Высота, соответствующая сторонам PQ, равна 5 см. найти площадь параллелограмма.
Отв. Площадь параллелограмма = базовая высота
= 135
= 65 см
31. Докажите, что ar (AOD) = ar (BOC).Диагонали AC и BD трапеции ABCD с AB || DC пересекаются друг с другом в точке О.

Отв. Ar

32. Докажите, что ar (AQC) = ar (PBR), если AP || BQ || CR.

Отв.

Очередь на 3 отметки
1. P и Q — любые две точки, лежащие на сторонах DC и AD соответственно параллелограмма ABCD. Докажите, что ar (APB) = ar (BQC).
Отв. Дано: ABCD — параллелограмм. P — точка на DC, а Q — точка на AD.
Доказать: ar (APB) = ar (BQC)
Строительство: Нарисуйте PM BC и QN DC.
Доказательство: Поскольку QC — диагональ параллелограмма QNCD.
ar (QNC) = ar (gm QNCD) ………. (I)
Опять же, BQ — это диагональ параллелограмма ABNQ.
ar (BQN) = ar (gm ABNQ) ………. (Ii)
Добавление ур. (i) и (ii),
ar (QNC) + ar (BQN) = ar (gm QNCD) + ar (gm ABNQ)
ar (BQC) = ar (gm ABCD) ……….. (iii)
Опять же AP — это диагональ gm AMPD.
ar (APM) = ar (gm AMPD) ………. (Iv)
А PB — это диагональ gm PCBM.
ar (PBM) = ar (gm PCBM) ………. (V)
Добавление ур. (iv) и (v),
ar (APM) + ar (PBM) = ar (gm AMPD) + ar (gm PCBM)
ar (APB) = ar (gm ABCD) ………. (Vi)
Из ур. (iii) и (vi),
ar (BQC) = ar (APB) или ar (APB) = ar (BQC)
2. Фермер имел поле в форме параллелограмма PQRS.Она взяла любую точку A на RS и соединила ее с точками P и Q. На сколько частей разделено поле? Какие формы у этих частей? Фермер хочет засеять пшеницу и зернобобовые по отдельности на равных участках поля. Как ей это сделать?
Отв. Когда A соединяется с P и Q; поле разделено на три части, а именно. PAS, APQ и AQR.
APQ и параллелограмм PQRS находятся на одной базе PQ и между одинаковыми параллелями PQ и SR.
ar (APQ) = ar (gm PQRS)
Это означает, что треугольная область APQ покрывает половину части поля PQRS в форме параллелограмма.
Итак, если фермер сеет пшеницу в поле APQ треугольной формы, то он обязательно будет сеять зернобобовые в двух других треугольных частях PAS и AQR.
или
Когда она сеет зернобобовые в поле APQ треугольной формы, она будет сеять пшеницу в двух других треугольных частях PAS и AQR.

3. Покажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника равной площади.
Отвечает .Пусть параллелограмм имеет вид ABCD, а его диагонали AC и BD пересекаются друг с другом в точке O.
В ABC и ADC,
AB = DC [Противоположные стороны параллелограмма]
г. до н.э. = н.э. [противоположные стороны параллелограмма]
И AC = AC [Общий]
ABC CDA [По соответствию SSS]
Т.к., диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
O — это середина деления пополам.
Теперь в ADC DO — это медиана.
ar (AOD) = ar (COD) ……….(i)
[Медиана делит треугольник на две равные части]
Точно так же в ABC OB — это медиана.
ar (AOB) = ar (BOC) ………. (Ii)
И в AOB и AOD, AO — это медиана.
ar (AOB) = ar (AOD) ………. (Iii)
Из ур. (i), (ii) и (iii),
ar (AOB) = ar (AOD) = ar (BOC) = ar (COD)
Таким образом, диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.
4 На рисунке ABC и ABD — два треугольника на одном основании AB.Если отрезок CD делится пополам AB в точке O, покажите, что ar (ABC) = ar (ABD).

Отв. Нарисуйте CMAB и DNAB.
В CMO и DNO,
CMO = DNO = [По конструкции]
COM = DON [Вертикально противоположно]
OC = OD [Данные]
CMO DNO [По соответствию ASA]
AM = DN [по CPCT] …… (i)
Теперь ar (ABC) = ………. (Ii)
ar (ADB) = ………. (Iii)
Использование ур.(i) и (iii),
ar (ADB) = ………. (Iv)
Из ур. (ii) и (iv),
ар (ABC) = ар (ADB)
5. XY — прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC. Если BE AC и CF AB пересекаются с XY в точках E и F соответственно, покажите, что ar (ABE) = ar (ACF).
Отвечает . ABE и параллелограмм BCYE лежат на одном основании BE и между теми же параллелями BE и AC.
ar (ABE) = ar (gm BCYE) ……….(i)
Также ACF и gm BCFX лежат на одном основании CF и между одинаковыми параллельными BX и CF.
ar (ACF) = ar (gm BCFX) ………. (Ii)
Но gm BCYE и gm BCFX лежат на одном основании BC и между одними и теми же параллелями BC и EF.
ar (gm BCYE) = ar (gm BCFX) ………. (Iii)
Из ур. (i), (ii) и (iii), получаем,
ар (ABE) = ар (ACF)
6. Сторона AB параллелограмма ABCD проводится в любую точку P. Линия, проходящая через A и параллельная CP, пересекает CB, образовавшуюся в Q, и затем параллелограмм PBQR завершается.Докажите, что ar (ABCD) = ar (PBQR).
Отв. Дано: ABCD — параллелограмм, CPAQ и PBQR — параллелограмм.
Доказать: ar (ABCD) = ar (PBQR)
Строительство: Присоединяйтесь к AC и QP.
Доказательство: Начиная с AQCP
ар (AQC) = ар (AQP)
[Треугольники на одном основании и между одинаковыми параллелями имеют одинаковую площадь]
Вычитая ar (ABQ) с обеих сторон, получаем
ар (AQC — ар (ABQ) = ар (AQP) — ар (ABQ)
ar (ABC) = ar (QBP) ……….(i)
Теперь ar (ABC) = ar (gm ABCD)
[Диагональ делит параллелограмм на две части равной площади]
А ar (PQB) = ar (gm PBQR)
Из ур. (i), (ii) и (iii), получаем
ar (gm ABCD) = ar (gm PBQR)
7. У жителя Итваари есть участок земли в форме четырехугольника. Грам-панчят из двух деревень решил перенять часть своего участка на одном из углов для строительства медицинского центра. Итваари соглашается с указанным выше лицом с условием, что ему должно быть предоставлено равное количество земли вместо земли, прилегающей к его участку, чтобы образовать треугольный участок.Объясните, как это предложение будет реализовано.
Отвечает . Пусть у Итваари есть земля в форме четырехугольника PQRS.
Проведите линию через 5 параллельно PR, которая соответствует QR, произведенному на М.
Пусть диагонали PM и RS вновь образованного четырехугольника пересекаются друг с другом в точке N.
У нас есть ПРСМ [По конструкции]
ар (сбн) = ар (ПМР)
[Треугольники на одном основании и на одной параллели равны по площади]
Вычитая ar (PNR) с обеих сторон,
ar (PRS) — ar (PNR) = ar (PMR) — ar (PNR)
ар (ПСН) = ар (МНР)
Это означает, что Итвари передаст угловой участок треугольной формы PSN Грампанчаяту для медицинского центра и возьмет равное количество земли (обозначенной MNR), прилегающей к его участку, чтобы сформировать треугольный участок PQM.
8. ABCD представляет собой трапецию с AB DC. Прямая, параллельная AC, пересекает AB в X и BC в Y. Докажите, что ar (ADX) = ar (ACY).
Отв. Join CX, ADX и ACX лежат на одной базе
XA и между такими же параллелями XA и DC.
ar (ADX) = ar (ACX) ………. (I)
Также ACX и ACY лежат на одной базе
AC и между такими же параллелями CY и XA.
ar (ACX) = ar (ACY) ……….(ii)
Из (i) и (ii),
ar (ADX) = ar (ACY)
9. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке O таким образом, что ar (AOD) = ar (BOC). Докажите, что ABCD — это трапеция.
Отвечает . Учитывая, что ar (AOD) = ar (BOC)
Добавление AOB с обеих сторон,
ar (AOD) + ar (AOB) = ar (BOC) + ar (AOB)
ар (ABD) = ар (ABC)
Так как если два треугольника равной площади лежат на одном основании, то они лежат между одинаковыми параллелями.У нас ABD и ABC лежат на общем основании AB и равны по площади.
Они лежат в одной параллели AB и DC.
ABDC
Теперь в четырехугольнике ABCD получается ABDC
.
Следовательно, ABCD — это трапеция. [В трапеции одна пара противоположных сторон параллельна]
10. На рисунке ar (DRC) = ar (DPC) и ar (BDP) = ar (ARC). Покажите, что оба четырехугольника ABCD и DCPR — трапеции.
Отвечает . Учитывая, что DRC и DPC лежат на одной базе DC и ar (DPC) = ar (DRC)….. (i)
DCRP
[Если два треугольника равной площади лежат на одном основании, то они лежат между одинаковыми параллелями]
Следовательно, DCPR — это трапеция. [У трапеции одна пара противоположных сторон параллельна]
Также ar (BDP) = ar (ARC) ………. (Ii)
Вычитая ур. (i) из (ii),
ар (BDP) — ар (DPC) = ар (ARC) — ар (DRC)
ar (BDC) = ar (ADC)
Следовательно, ABDC [Если два треугольника равной площади лежат на одном основании, то они лежат между одинаковыми параллелями]
Следовательно, ABCD — это трапеция.
11. Параллелограмм ABCD и прямоугольник ABEF находятся на одном основании AB и имеют равные площади. Покажите, что периметр параллелограмма больше периметра прямоугольника.
Отв. Дано: параллелограмм ABCD и прямоугольник ABEF находятся на одном основании AB и между одними и теми же параллелями AB и CF.
ar (gm ABCD) = ar (прямоугольник ABEF)
Для подтверждения: AB + BC + CD + AD> AB + BE + EF + AF
Доказательство: AB = CD [противоположные стороны
Параллелограмм
всегда равны]
AB = EF [противоположные стороны
Прямоугольник
всегда равны]
CD = EF
Добавляем AB с обеих сторон,
AB + CD = AB + EF ……….(i)
От всех сегментов, которые можно провести к заданной линии из точки, не лежащей на ней, перпендикулярный сегмент является самым коротким.
BE
г. до н.э.> BE и AD> AF
г. до н.э. + AD> BE + AF ………. (Ii)
Из ур. (i) и (ii),
AB + CD + BC + AD = AB + EF + BE + AF
12. На рисунке ABCD представляет собой параллелограмм, а BC переходит в точку Q, такую что AD = CQ. Если AQ пересекает DC в точке P, покажите, что ar (BPC) = ar (DPQ).
Отвечает . Присоединяйтесь к A и C.
APC и BPC находятся на одном базовом ПК и между одними и теми же параллельными ПК и AB.
ar (APC) = ar (BPC) ………. (I)
Теперь ACBD представляет собой параллелограмм.
AD = BC [противоположные стороны параллелограмма всегда равны]
Также BC = CQ [дано]
н.э. = CQ
Теперь AD CQ [Поскольку CQ является расширением BC]
и AD = CQ
ADQC — параллелограмм.
[Если одна пара противоположных сторон четырехугольника равна и параллельна, то это параллелограмм]
Так как диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
AP = PQ и CP = DP
Теперь в APC и DPQ,
AP = PQ [Доказано выше]
APC = DPQ [Вертикально противоположные углы]
PC = PD [Доказать выше]
APC DPQ ………. (Ii)
ar (APC) = ar (DPQ) [площадь конгруэнтных фигур всегда равна]
Из ур. (i) и (ii),
ар (BPC) = ар (DPQ)
13. PQRS — четырехугольник, а SQ — одна из его диагоналей. Покажите, что PQRS — это параллелограмм, и найдите его площадь.
Отв. Мы знаем, что площадь || грамм PQRS. В котором
PQ = SR = 3, SQ = 4
и
PQ || SR
PQ = SR = 3
ABCD — || грамм
Площадь параллелограмма
= Базовая соответствующая высота
= 34
= 12 квадратных единиц
14. В параллелограмме PQRS. Высота, соответствующая сторонам PQ и PS соответственно. 7 см и 8 см найдите PS, если PQ = 10 см.
Отв. Площадь || грамм PQRS
= PQSM
= 107
= 70 кв. См ………… .. (i)
Площадь параллелограмма PQRS
= PSQL
= (AD8) квадратный см …………… (ii)
Из (i) и (ii)
PS8 = 70
л.с. =
= 8,75 см
15. Площадь, база и соответствующая высота — это и соответственно. Найдите площадь параллелограмма.
Отв. Площадь параллелограмма
= Базовая соответствующая высота
х = 12
= (12-3) (12-4)
= (9) (16)
= 144 кв.
16. Найдите высоту, соответствующую боковому EF, если область. Если AB = 8 см и высота, соответствующая AB 5 см. В
Отв.

Высота, соответствующая боковому КВ 4 см.
17.Докажите, что площадь трапеции равна половине произведения ее высоты на сумму параллельных сторон.
Отв. Соедините B и D. Нарисуйте BLDC (Произведено)
18. Покажите, что площадь ромба равна половине произведения длины его диагоналей.
Отв.

Добавление (i) и (ii)

=
Следовательно, площадь ромба ABCD =
19.В параллелограмме P есть любая точка внутри него. Докажите, что
Отв.

20. Покажите, что
(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)
(ii) ar (AXS) = ar (PQRS)
Если есть какая-то точка на стороне BR PQRS и ABRS.
Отв. (i) || грамм PQRS и ABRS находятся на одной базе SR и между одними и теми же параллельными PB и SR,
Итак,
(ii)

21. Покажите, что диагонали параллелограмма делятся на четыре треугольника равной площади.
Отв. Дано: параллелограмм ABCD, а AC и BC — диагонали
Для доказательства: ar (ABO) = ar (COD) = ar (BCO) = ar (AOD)
Доказательство: ar (ADB) = ar (ACB)
Ar (АЦП) = ar (BCD)
В треугольнике ABC BO — медиана
В треугольнике ADC OD является медианным
Из (i), (ii), (iii) и (iv)
Ar (ABO) = ar (CDO) = ar (BCO) = ar (ADO)
Значит, доказано.
22. Покажите, что PQ делит || грамм на две части равной площади, если диагональ || грамма ABCD пересекает точку O. через точку O, линия пересекает AD в точке P и BC в точке Q.

Отв. Доказать: (четырехугольник APQB) = ar (четырехугольник PQCD) = (ar || грамм ABCD)
Проба: (Вертикально противоположные углы)

соток (квад. ABQO) +
соток (кв.APQB) = ar (четырехъядерный PQCD)
23. Покажите, что = are of, если E — любая Точка на его медиане AD.
Отв. Присоединяйтесь к BE и CE
…………. (I)
Вычитание (ii) из (i)
24. Треугольник PQR и PSR равны по площади, если PR и QS делятся пополам в O.
Отв.

Добавление (i) и (ii)
25.Покажите, что ar, если медиана пересечения на G.
Отв. AD — это медиана
GD — это медиана
Вычитая (ii) и (i)
Из (iii) и (iv)
26. Покажите, что ar (ABCD) = ar (BQRP), AQ нарисован параллельно CP, чтобы пересечь CB, полученный в Q, и параллелограмм BQRP завершен, если P является любой точкой на AB.
Отв. AC диагональ || грамм ABCD

Из (i), (ii) и (iii)

27. Покажите, что площадь области. D — середина AB, P — любая точка на BC. PQ соединяется, и линия CQ проводится параллельно PD до пересечения AB в точке Q.
Отв. CD медиана
Из (i)

28.E — середина медианы AD, покажите, что ar ..
Отв.
Аналогично, это медиана
29. Покажите, что отрезки прямых, соединяющие середины параллельных сторон трапеции, делят ее на две части равной площади
Отвечает .
Draw и
DM = CN = h
Площадь трапеции APQD
Площадь трапеции PBCQ
Из (i) и (2)
ар (ловушка.APQD) = ar (ловушка. PBCQ)
30. Докажите, что arif AB || DC и прямая, параллельная AC, пересекает AB в точке Y и BC в точке Y
.
Отвечает . Присоединяйтесь
31. Докажите, что площадь = площади четырехугольника AFGE, если медианы BE и CF пересекаются в точке G.
Отв. In, BE — медиана
Площадь = площадь
Площадь = площадь = площадь +
Теперь, CF медиана ar () = area ()
32.Покажите эту площадь области, если диагонали четырехугольника AC и BD пересекаются в точке E.
Отвечает . Розыгрыш AMBD, а также CNBD

Очередь на 4 марки
1. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются друг с другом в точке P. Покажите, что:

Отв. Дано: четырехугольник ABCD, в котором диагонали
AC и BD пересекаются в точке E.
Доказать:
Строительство: из A нарисуйте AM BD, а из C нарисуйте CN BD.
Доказательство: ar (ABE) = ………. (I)
And ar (AED) = ………. (Ii)
Деление ур. (ii) по (i) получаем,

………. (iii)
Аналогично ………. (iv)
Из ур. (iii) и (iv), получаем
=

2. P и Q — это соответственно средние точки сторон AB и BC или треугольника ABC, а R — середина AP, покажите, что:
(i) ar (PRQ) = ar (ARC )
(ii) ar (RQC) = ar (ABC)
(iii) ar (PBQ) = ar (ARC)

Отв.(i) PC — это медиана ABC.
ar (BPC) = ar (APC) ………. (I)
RC — медиана APC.
ar (ARC) = ar (APC) ………. (Ii)
[Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника]
PQ — это медиана BPC.
ar (PQC) = ar (BPC) ………. (Iii)
Из ур. (i) и (iii) получаем, что
ar (PQC) = ar (APC) ………. (iv)
Из ур. (ii) и (iv) получаем, что
ar (PQC) = ar (ARC) ………. (v)
Нам дано, что P и Q являются серединами AB и BC соответственно.
PQ AC и PA = AC
ar (APQ) = ar (PQC) ………. (Vi) [треугольники между одинаковыми параллелями равны по площади]
Из ур. (v) и (vi), получаем
ar (APQ) = ar (ARC) ………. (vii)
R — средняя точка AP. Следовательно, RQ — это медиана APQ.
ar (PRQ) = ar (APQ) ………. (Viii)
Из (vii) и (viii) получаем,
ar (PRQ) = ar (ARC)
(ii) PQ — медиана из BPC
ar (PQC) = ar (BPC) = x ar (ABC) = ar (ABC) ………. (ix)
Также ar (PRC) = ar (APC) [Используя (iv)]
ar ( PRC) = x ar (ABC) = ar (ABC) ……….(x)
Добавление ур. (ix) и (x), получаем,
ар (PQC) + ар (PRC) = ар (ABC)
ar (quad. PQCR) = ar (ABC) ………. (Xi)
Вычитая ar (PRQ) с обеих сторон,
ар (квад. PQCR) — ар (PRQ) = ар (ABC) — ар (PRQ)
ar (RQC) = ar (ABC) — ar (ARC) [Использование результата (i)]
ar (ARC) = ar (ABC) — ar (APC)
ар (RQC) = ар (ABC) — ар (APC)
ar (RQC) = ar (ABC) — ar (ABC) [PC — медиана ABC]
ар (RQC) = ар (ABC) — ар (ABC)
ар (RQC) = х ар (ABC)
ар (RQC) = ар (ABC)
(iii) ar (PRQ) = ar (ARC) [Использование результата (i)]
2 ар (PRQ) = ар (ARC).. (xii)
ar (PRQ) = ar (APQ) [RQ — медиана APQ] ………. (Xiii)
Но ar (APQ) = ar (PQC) [Используя причину ур. (vi)] ………. (xiv)
Из ур. (xiii) и (xiv), получаем,
ar (PRQ) = ar (PQC) ………. (Xv)
Но ar (BPQ) = ar (PQC) [PQ — медиана BPC] ………. (Xvi)
Из ур. (xv) и (xvi), получаем,
ar (PRQ) = ar (BPQ) ………. (Xvii)
Теперь из (xii) и (xvii) мы получаем,
2 = ar (ARC) ar (BPQ) = ar (ARC)
3.На рисунке ABC представляет собой прямоугольный треугольник, расположенный под прямым углом в точке A. BCED, ACFG и ABMN — квадраты на сторонах BC, CA и AB соответственно. Отрезок прямой AXDE пересекает BC в точке Y. Покажите, что:
(i) MBC ABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
( iv) FCB ACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)

Отв. (i) ABM = CBD =
Складывая ABC с обеих сторон, получаем
ABM + ABC = CBD + ABC
MBC = ABD ……….(i)
Теперь в MBC и ABD,
MB = AB [равные стороны квадрата ABMN]
BC = BD [стороны квадрата BCED]
MBC = ABD [доказано выше]
MBC ABD [По соответствию SAS]
(ii) Сверху, MBC ABD
ar (MBC) = ar (ABD) ar (MBC) = ar (trap. ABDX) — ar (ADX)
ar (MBC) = (BD + AX) BY — DX.AX
ar (MBC) = BD.BY + AX.BY — DX.AX
ar (MBC) = BD.BY + AX (BY — DX)
ar (MBC) = BD.BY + AX. 0 [BY = DX]
ar (MBC) = BD.BY
2 ar (MBC) = BD.BY 2 ar (MBC) = ar (rect. BYXD)
Следовательно, ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) Присоединяйтесь к AM. ABMN — это квадрат.
Следовательно, NA MB AC MB
Теперь AMB и MBC находятся на одной базе и между одними и теми же параллелями MB и AC.
ar (AMB) = ar (MBC) ………. (Ii)
Из результата (ii) имеем ar (BYXD) = 2 ar (MBC) ………. (Iii)
Используя уравнение. (ii) и (iii) получаем, что ar (BYXD) = 2 ar (AMB)
ar (BYXD) = ar (квадрат ABMN)
[Диагональ AM квадрата ABMN делит его на два треугольника равной площади]
(iv) В FCB и ACE
FC = AC [стороны квадрата ACFG]
BC = CE [стороны квадрата BCED]
BCF = ACE [ACF = BCE =]
Добавление обеих сторон ACB,
BCF + ACB = ACE + ACB BCF = ACE
FCB ACE [По соответствию SAS]
(v ) Из (iv) имеем FCB ACE
ar (FCB) = ar (ACE) ar (FCB) = ar (trap.ACEX) — ar (AEX)
ar (FCB) = (CE + AX) CY — XE.AX
ar (FCB) = CE.CY + AX.CY — XE.AX
ar (FCB) = CE.CY + AX (CY — XE)
ar (FCB) = CE.CY + AX. 0 [CY = XE]
ar (FCB) = CE.CY
2 ar (FCB) = CE.CY 2 ar (FCB) = ar (rect. CYXE)
Следовательно, ar (BYXD) = 2 ar (FCB)
(vi) Присоединяйтесь к AF. ACFG — квадрат.
FC AG FC AB
Теперь ACF и FCB находятся на одной базе FC и между одними и теми же параллелями FC и AB.
ar (ACF) = ar (FCB) ……….(v)
Из результата (v) получаем, что ar (CYXE) = 2 ar (FCB) ………. (vi)
Используя уравнение. (v) в (vi) получаем, ar (CYXE) = 2 ar (ACF)
Диагональная AF квадратного ACFG делит его на два треугольника равной площади.
ar (CYXE) = ar (sq. ACFG) ………. (Vii)
(vii) Добавление ур. (iv) и (vii), получаем,
ar (BYXD) + ar (CYXE) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
4. Докажите, что параллелограмм, который представляет собой прямоугольник, имеет наибольшую площадь.

Отв. Пусть PQRS будет параллелограммом, в котором PQ = a и PS = b, а h будет высотой, соответствующей основанию PQ

Площадь параллелограмма PQRS = Соответствующая основанию высота = ah
— прямоугольный треугольник, являющийся его гипотенузой.
Но гипотенуза — это наибольшая сторона
.
Площадь (ah) || грамма PQRS будет наибольшей, когда h будет наибольшим
H = b, тогда PSPQ
|| грамм PQRS будет прямоугольником.
Следовательно, площадь || грамм наибольшая, когда это прямоугольник.
5. Докажите, что
(i) ar (BDE) = ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = ar (BAE)
Если ABC и DBE — два равносторонних треугольника, причем D является средней точкой BC, а AE пересекает BC в точке F.

Отв. Присоединяйтесь к EC
(i) пусть будет стороной равностороннего
Из (i) и (ii)
(ii)

6.Покажите, что EFGH — это || грамм, а его площадь составляет половину площади || грамма ABCD. Если E, F, G, H являются серединами сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Отв. Присоединяйтесь к AC и HF
E и F — средние точки AB и BC
EF = AC и EF || AC ………. (I)
Аналогично GH = AC и GH || AC ……… (ii)
Из (i) и (ii)
GH = EF и GH || EF
EFGH — || грамм
ar … (iii)
ар …… (iv)
Добавление (iii) и (iv),
ar
7.Покажите, что ar (BPC) = ar (DPQ), если BC создается до точки Q, такой что AD = CQ и AQ пересекают DC в P

Ans. Соединение AC

AD = CQ

Следовательно, пара противоположных сторон AD и CQ четырехугольника ADQC равна и параллельна.
In
AP = QP
CP = DP

Из (i) и (ii)

8. Если площадь и две точки A и B являются положительными действительными числами K.найти минимумы точки p

Отв. Пусть перпендикулярное расстояние P от AB будет h

Так как AB и K заданы, h является фиксированным положительным вещественным числом. Это означает, что P лежит на прямой, параллельной AB, на расстоянии h от нее.
Следовательно, геометрическое место P — это пара прямых на расстоянии, параллельном AB.
9. На рисунке P — точка внутри параллелограмма ABCD. Покажите, что:

(i) ar (APB) + ar (PCD) = ar (ABCD)
(ii) ар (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
Отв.(i) Проведите линию, проходящую через точку P и параллельную AB, которая пересекает AD в точке Q и BC в точке R соответственно.

Теперь APB и параллелограмм ABRQ находятся на одном основании AB и между одинаковыми параллелями AB и QR.
ar (APB) = ar (gm ABRQ) ………. (I)
Также PCD и параллелограмм DCRQ находятся на одном основании AB и между одинаковыми параллелями AB и QR.
ar (PCD) = ar (gm DCRQ) ………. (Ii)
Добавление ур. (i) и (ii),
ar (APB) + ar (PCD) = ar (gm ABRQ) + ar (gm DCRQ)
ar (APB) = ar (gm ABCD) ……….(iii)
(ii) Проведите линию, проходящую через P и параллельную AD, которая пересекает AB в точке M и DC в точке N.
Теперь APD и параллелограмм AMND находятся на одном основании AD и между одинаковыми параллелями AD и MN.
ar (APD) = ar (gm AMND) ………. (Iv)
Также PBC и параллелограмм MNCB находятся на одном основании BC и между одинаковыми параллелями BC и MN.
ar (PBC) = ar (gm MNCB) ………. (V)
Добавление ур. (i) и (ii),
ar (APD) + ar (PBC) = ar (gm AMND) + ar (gm MNCB)
ar (APD) = ar (gm ABCD) ……….(vi)
Из ур. (iii) и (vi), получаем,
ар (APB) + ар (PCD) = ар (APD) + ар (PBC)
или ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
Значит, доказано.
10. D, E и F — соответственно середины сторон BC, CA и AB ABC. Показать, что:
(i) BDEF — параллелограмм.
(ii) ar (DEF) = ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = ar (ABC)

Отв.(i) F — это средняя точка AB, а E — средняя точка AC.
FEBC и FE = BD
[Линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна его третьей и половине]
FEBD [BD является частью BC]
И FE = BD
Кроме того, D — это середина BC.
BD = BC
И FEBC и FE = BD
Опять же, E — это средняя точка AC, а D — средняя точка BC.
DEAB и DE = AB
DEAB [BF является частью AB]
А DE = BF
Опять же, F — это середина AB.
BF = AB
Но DE = AB
DE = BF
Теперь у нас есть FEBD и DEBF
А FE = BD и DE = BF
Следовательно, BDEF — параллелограмм.
(ii) BDEF — параллелограмм.
ar (BDF) = ar (DEF) ………. (I) [диагонали параллелограмма делят его на два треугольника равной площади]
DCEF тоже параллелограмм.
ar (DEF) = ar (DEC) ………. (Ii)
Кроме того, AEDF также является параллелограммом.
ar (AFE) = ar (DEF) ………. (Iii)
Из ур. (i), (ii) и (iii),
ar (DEF) = ar (BDF) = ar (DEC) = ar (AFE) ………. (Iv)
Теперь ar (ABC) = ar (DEF) + ar (BDF) + ar (DEC) + ar (AFE) ………. (V)
ar (ABC) = ar (DEF) + ar (DEF) + ar (DEF) + ar (DEF) [Использование (iv) и (v)]
ar (ABC) = 4 x ar (DEF)
ар (DEF) = ар (ABC)
(iii) ar (gm BDEF) = ar (BDF) + ar (DEF) = ar (DEF) + ar (DEF) [Использование (iv)]
ar (gm BDEF) = 2 ar (DEF)
ar (gm BDEF) = 2 x ar (ABC)
ar (gm BDEF) = ar (ABC)
11.На рисунке диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, так что OB = OD. Если AB = CD, то покажите, что:
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA CB или ABCD — параллелограмм.

Отв. (i) Чертежи BM AC и DN AC.

В ДОН и ВОМ,
OD = OB [дано]
DNO = BMO = [По конструкции]
DON = BOM [Вертикально противоположно]
DON BOM [По соответствию RHS]
DN = BM [По CPCT]
Также ar (DON) = ar (BOM) ……….(i)
снова, в DCN и ABM,
CD = AB [Дано]
DNC = BMA = [По конструкции]
DN = BM [Доказать выше]
DCN BAM [По соответствию RHS]
ar (DCN) = ar (BAM) ………. (Ii)
Добавление ур. (i) и (ii),
ар (ДОН) + ар (DCN) = ар (спецификация) + ар (БАМ)
ар (DOC) = ар (AOB)
(ii) Поскольку ar (DOC) = ar (AOB)
Добавление ar BOC с обеих сторон,
ar (DOC) + ar BOC = ar (AOB) + ar BOC
ар (DCB) = ар (ACB)
(iii) Поскольку ar (DCB) = ar (ACB)
Следовательно, эти два треугольника, помимо того, что они находятся на одном основании CB, лежат между двумя одинаковыми параллелями CB и DA.
DACB
Теперь AB = CD и DACB
Следовательно, ABCD — параллелограмм.
12. На рисунке ABC и BDF — это два равносторонних треугольника, так что D — это середина BC. Если AE пересекает BC в точке F, покажите, что:
(i) ar (BDE) = ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = ar (BAE)
(iii) ар (ABC) = 2 ар (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(в) ар (BFE) = 2 ар (FED)
(vi) ar (FED) = ar (AFC)

Ans .Присоединяйтесь к EC и AD.
Так как ABC — равносторонний треугольник.
А = В = С =
Также BDE — равносторонний треугольник.
B = D = E =
Если мы возьмем две прямые, AC и BE и BC как трансверсаль.
Тогда B = C = [Альтернативные углы]
BE AC
Аналогично для линий AB и DE и BF как поперечных.
Тогда B = C = [Альтернативные углы]
BE AC

(i) Площадь равностороннего треугольника BDE = (BD) ² ……….(i)
Площадь равностороннего треугольника ABC = (BC) ² ………. (Ii)
Деление ур. (i) по (ii),
[BD = DC]

ар (BDE) = ар (ABC)
(ii) В BEC ED — это медиана.
ar (BEC) = ar (BAE) ………. (I)
[Медиана делит треугольник на два равновеликих]
Теперь БЫТЬ AC
И BEC, и BAE находятся на одной базе BE и между одними и теми же параллелями BE и AC.
ar (BEC) = ar (BAE) ………. (Ii)
Использование ур. (i) и (ii), получаем
Ar (BDE) = ar (BAE)
(iii) Мы имеем ar (BDE) = ar (ABC) [Доказано в части (i)] ………. (Iii)
ar (BDE) = ar (BAE) [Доказано в части (ii)]
ar (BDE) = ar (BEC) [Используя ур. (iii)] ………. (iv)
Из ур. (iii) и (iv), мы получаем
ар (ABC) = ар (BEC)
ар (ABC) = 2 ар (BEC)
(iv) BDE и AED находятся на одной базе DE и между одинаковыми параллелями AB и DE.
ar (BDE) = ar (AED)
Вычитая FED с обеих сторон,
ar (BDE) — ar (FED) = ar (AED) — ar (FED)
ar (BFE) = ar (AFD) ………. (V)
(v) Равносторонний треугольник, медиана также перпендикулярна стороне,
г. до н.э.
г.
Теперь ar (AFD) = ………. (Vi)
Draw EG BC
ar (FED) = ………. (Vii)
Деление ур. (vi) по (vii) получаем

[Высота равностороннего треугольника = сторона]
[D — середина BC]
ar (AFD) = 2 ar (FED) …… (viii)
Используя значение ур.(viii) в ур. (v),
Ar (BFE) = 2 ar (FED)
(vi) ar (AFC) = ar (AFD) + ar (ADC) = 2 ar (FED) + ar (ABC) [используя (v)
= 2 ar (FED) + [4 x ar (BDE)] [Использование результата части (i)]
= 2 ар (FED) + 2 ар (BDE) = 2 ар (FED) + 2 ар (AED)
[BDE и AED находятся на одной базе и между одинаковыми параллелями]
= 2 ar (FED) + 2 [ar (AFD) + ar (FED)]
= 2 ar (FED) + 2 ar (AFD) + 2 ar (FED) [Используя (viii)]
= 4 сотки (ФЭД) + 4 сотки (ФЭД)
ар (AFC) = 8 ар (FED)
ар (FED) = ар (AFC)
Решения NCERT
Class 9 — Глава 9 Области параллелограммов и треугольников — Упражнение 9.3 | Set 1
Решения NCERT класса 9 — Глава 9 Области параллелограммов и треугольников — Упражнение 9.3 | Набор 1
Вопрос 1. На рисунке E — любая точка на медиане AD ΔABC. Докажите, что ar (ABE) = ar (ACE).
Решение:
Дано:
AD является медианным значением ΔABC.
Следовательно,

Он разделит ΔABC на два треугольника равной площади.
Следовательно,
ar (ABD) = ar (ACD) — (уравнение 1)
также,
ED — это медиана ΔABC.
Следовательно,
ar (EBD) = ar (ECD) — (уравнение 2)
Вычитание уравнения (2) из (1),
ар (ABD) — ар (EBD) = ар (ACD) — ар (ECD)
=> ar (ABE) = ar (ACE)
Вопрос 2. В треугольнике ABC E — середина медианы AD. Докажите, что ar (BED) = 1/4 ar (ABC).
Решение:
ar (КРОВАТЬ) = (1/2) × BD × DE
Таким образом,
E — середина AD,
AE = DE
Таким образом,
AD — это медиана на стороне BC треугольника ABC,

BD = DC
DE = (1/2) AD — (уравнение 1)
BD = (1/2) BC — (уравнение-2)
Из уравнений (1) и (2) получаем,
ar (КРОВАТЬ) = (1/2) × (1/2) BC × (1/2) AD
=> ар (КРОВАТЬ) = (1/2) × (1/2) ар (ABC)
=> ar (КРОВАТЬ) = 1/4 ar (ABC)
Вопрос 3.Покажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника одинаковой площади.
Решение:
O — средняя точка AC и BD. (поскольку диагонали делят друг друга пополам)
В ΔABC BO — медиана.
Следовательно,
ar (AOB) = ar (BOC) — (уравнение 1)
также,
В ΔBCD CO — это медиана.
Следовательно,
ar (BOC) = ar (COD) — (уравнение 2)
В ΔACD OD — это медиана.
Следовательно,
ar (AOD) = ar (COD) — (уравнение 3)
В ΔABD, АО — медиана.
Следовательно,
ar (AOD) = ar (AOB). — (уравнение 4)
Из уравнений (1), (2), (3) и (4) имеем,
ar (BOC) = ar (COD) = ar (AOD) = ar (AOB)
Следовательно,
получаем, диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника равной площади.
Вопрос 4. На рисунке ABC и ABD — два треугольника на одном основании AB.Если отрезок CD делится пополам AB в точке O, покажите, что: ar (ABC) = ar (ABD).
Решение:
В ΔABC AO — это медиана. (CD делится пополам AB в точке O)
Следовательно,
ar (AOC) = ar (AOD) — (уравнение 1)
также,
ΔBCD, BO — медиана. (CD делится пополам AB в точке O)
Следовательно,
ar (BOC) = ar (BOD) — (уравнение 2)
Складывая уравнения (1) и (2),
Получим,
ar (AOC) + ar (BOC) = ar (AOD) + ar (BOD)
=> ar (ABC) = ar (ABD)
Вопрос 5.D, E и F являются серединами сторон BC, CA и AB ΔABC соответственно. Покажи, что
(i) BDEF — параллелограмм.
(ii) ar (DEF) = 1/4 ar (ABC)
(iii) ар (BDEF) = 1/2 ар (ABC)
Решение:
(i) In ΔABC,
EF || BC и EF = 1/2 BC (по теореме о средней точке)
также,
BD = 1/2 BC (D — средняя точка)
Итак,
BD = EF
также,
BF и DE параллельны и равны друг другу.
Следовательно,
Противоположные стороны пары равны по длине и параллельны друг другу.
Следовательно, BDEF — параллелограмм.
(ii) Исходя из результата (i),
BDEF, DCEF, AFDE — параллелограммы.
Диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.
Следовательно,
ar (ΔBFD) = ar (ΔDEF) (Для параллелограмма BDEF) — (уравнение 1)
также,
ar (ΔAFE) = ar (ΔDEF) (Для параллелограмма DCEF) — (уравнение 2)
ar (ΔCDE) = ar (ΔDEF) (Для параллелограмма AFDE) — (уравнение 3)
Из уравнений (1), (2) и (3)
ar (ΔBFD) = ar (ΔAFE) = ar (ΔCDE) = ar (ΔDEF)
=> ar (ΔBFD) + ar (ΔAFE) + ar (ΔCDE) + ar (ΔDEF) = ar (ΔABC)
=> 4 ар (ΔDEF) = ар (ΔABC)
=> ар (DEF) = 1/4 ар (ABC)
(iii) Площадь (параллелограмм BDEF) = ar (ΔDEF) + ar (ΔBDE)
=> ar (параллелограмм BDEF) = ar (ΔDEF) + ar (ΔDEF)
=> ar (параллелограмм BDEF) = 2 × ar (ΔDEF)
=> ar (параллелограмм BDEF) = 2 × 1/4 ar (ΔABC)
=> ar (параллелограмм BDEF) = 1/2 ar (ΔABC)
Вопрос 6.На рисунке диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, так что OB = OD.
Если AB = CD, то покажите, что:
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB или ABCD — параллелограмм.
[Подсказка: от D и B нарисуйте перпендикуляры к AC.]
Решение:
Дано:
OB = OD и AB = CD
Construct,
DE AC и BF ⊥ AC.
К пруфу:
(i) In ΔDOE и ΔBOF,
∠DEO = ∠BFO (Перпендикуляры)
∠DOE = ∠BOF (вертикально противоположные углы)
OD = OB (дано)
Следовательно,
ΔDOE ≅ ΔBOF по условию конгруэнтности AAS.
Следовательно, DE = BF (По CPCT) — (уравнение 1)
также,
ar (ΔDOE) = ar (ΔBOF) (конгруэнтные треугольники) — (уравнение 2)
Сейчас,
In ΔDEC и ΔBFA,
∠DEC = ∠BFA (поскольку они перпендикуляры)
CD = AB (дано)
DE = BF (Из уравнения 1)
Следовательно,
ΔDEC ≅ ΔBFA по условию конгруэнтности RHS.
Следовательно,
ar (ΔDEC) = ar (ΔBFA) (конгруэнтные треугольники) — (уравнение 3)
Складывая уравнение (2) и (3),
ar (ΔDOE) + ar (ΔDEC) = ar (ΔBOF) + ar (ΔBFA)
=> ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (ΔDOC) = ar (ΔAOB)
Добавление ar (ΔOCB) в левую и правую части,
достанем,
=> ar (ΔOCB) + ar (ΔOCB) = ar (ΔAOB) + ar (ΔOCB)
=> ar (ΔDCB) = ar (ΔACB)
(iii) Когда два треугольника имеют одинаковое основание и равные площади,
треугольники будут между одинаковыми параллельными линиями
ар (ΔDCB) = ар (ΔACB)
DA || BC — (уравнение 4)
Для четырехугольника ABCD одна пара противоположных сторон равна
равны (AB = CD), а другая пара противоположных сторон параллельна.
Следовательно,
ABCD — параллелограмм.
Вопрос 7. D и E — точки на сторонах AB и AC соответственно ΔABC такие, что ar (DBC) = ar (EBC). Докажите, что DE || ДО Н.Э.
Решение:
ΔDBC и ΔEBC находятся на одной базе BC и имеют равные площади.
Следовательно,
Они будут лежать между такими же параллельными линиями.
Следовательно,
DE || ДО Н.Э.
Вопрос 8.XY — прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC. Если BE || AC и CF || AB пересекают XY в точках E и F соответственно, показывают, что ar (ΔABE) = ar (ΔACF)
Решение:
Гивен,
XY || BC, BE || AC и CF || AB
Мы должны показать, что
ar (ΔABE) = ar (ΔAC)
Проба:
BCYE — параллелограмм, поскольку ΔABE и || gm BCYE находятся на одном и том же
база BE и между такими же параллельными линиями BE и AC.
Следовательно,
ar (ABE) = 1/2 ar (BCYE) — (уравнение 1)
Сейчас,
CF || AB и XY || BC
=> CF || AB и XF || BC
=> BCFX — параллелограмм.
Таким образом, ΔACF и параллелограмм BCFX находятся на одной базе CF
и между теми же параллельными AB и FC. Следовательно,
ar (ΔACF) = 1/2 ar (BCFX) — (уравнение 2)
Но,
Параллелограмм BCFX и параллелограмм BCYE находятся на одном
основание BC и между такими же параллелями BC и EF.Следовательно,
ar (BCFX) = ar (BCYE) — (уравнение 3)
Из уравнений (1), (2) и (3),
Получим,
ar (ΔABE) = ar (ΔACF)
=> ar (BEYC) = ar (BXFC)
Поскольку параллелограммы находятся на одном основании BC и
между теми же параллелями EF и BC — (уравнение 3)
Также,
ΔAEB и параллелограмм BEYC на одной базе
BE и между теми же параллелями BE и AC.
=> ar (ΔAEB) = 1/2 ar (BEYC) — (уравнение 4)
Аналогично
ΔACF и параллелограмм BXFC на одной базе CF
и между такими же параллелями CF и AB.
=> ar (ΔACF) = 1/2 ar (BXFC) — (уравнение 5)
Из уравнений (3), (4) и (5),
ar (ΔABE) = ar (ΔACF).
Вопрос 9. Сторона AB параллелограмма ABCD проводится в любую точку P. Прямая, проходящая через A и параллельная CP, пересекает CB, образовавшуюся в Q, и затем параллелограмм PBQR завершается (см. Рисунок).Покажи, что
ар (ABCD) = ар (PBQR).
[Подсказка: присоединитесь к AC и PQ. Теперь сравните ar (ACQ) и ar (APQ).]
Решение:
AC и PQ соединены.
Ar (ΔACQ) = ar (ΔAPQ) (На той же базе AQ и между
такие же параллельные прямые AQ и CP)
=> ар (ΔACQ) -ар (ΔABQ) = ар (ΔAPQ) -ар (ΔABQ)
=> ar (△ ABC) = ar (△ QBP) — (уравнение 1)
AC и QP — это диагонали ABCD и PBQR.
Следовательно,
ar (ABC) = 1 / 2ar (ABCD) — (уравнение 2)
ar (QBP) = 1/2 ar (PBQR) — (уравнение 3)
Из уравнений (2) и (3),
1/2 ар (ABCD) = 1/2 ар (PBQR)
=> ар (ABCD) = ар (PBQR)
Вопрос 10. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с AB || DC пересекаются друг с другом в точке O. Докажите, что ar (AOD) = ar (BOC).
Решение:
ΔDAC и ΔDBC лежат на одной базе постоянного тока и
между такими же параллелями AB и CD.
Ar (ΔDAC) = ar (ΔDBC)
=> ar (ΔDAC) — ar (ΔDOC) = ar (ΔDBC) — ar (ΔDOC)
=> ar (ΔAOD) = ar (ΔBOC)
Решение CBSE NCERT для класса 9 — математика
Упражнение 9.1
Вопрос 1:
Какая из следующих фигур находится на одном основании и между одними и теми же параллелями? В таком случае запишите общее основание и две параллели.
Ответ:
(i) Трапеции ABCD и ΔPDC лежат на одном постоянном токе и между одними и теми же параллельными линиями AB и
.
CD.
(ii) Параллелограмм PQRS и трапеция SMNR лежат на одном основании SR, но не между
таких же параллельных линий.
(iii) Параллелограмм PQRS и ΔRTQ лежат на одном основании QR и между параллельными линиями QR и
PS.
(iv) Параллелограмм ABCD и ΔPQR лежат не на одном основании, а между одной и той же параллелью
строк до н.э. и н.э.
(v) Четырехугольник ABQD и трапеция APCD лежат на одном основании AD и между одним и тем же
параллельных прямых AD и BQ.
(vi) Параллелограмм PQRS и параллелограмм ABCD лежат не на одном SR, а между
такие же параллельные прямые SR и PQ.
Упражнение 9.2
Вопрос 1:
На рисунке ABCD представляет собой параллелограмм, AE ⊥ DC и CF ⊥ AD.Если AB = 16 см, AE = 8 см и CF = 10 см, найдите AD.
Ответ:
Площадь параллелограмма ABCD = AB * AE
= 16 * 8
= 128 см ²
Также площадь параллелограмма ABCD = AD * FC
=> н.э. * 10 = 128
=> AD = 128/10
=> AD = 12,8 см
Вопрос 2:
Если E, F, G и H являются соответственно серединами сторон параллелограмма ABCD, покажите, что ar (EFGH) = ar (ABCD) / 2.
Ответ:
Дано: Параллелограмм ABCD · E, F, G, H — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.
Для доказательства: ar (EFGH) = ar (ABCD) / 2
Строительство: Соедините AC и HF.
Проба: In ∆ABC,
E — средняя точка AB. F — середина BC.
=> EF параллельно переменному току, а EF = AC / 2 ……… ..1
Аналогично, в ∆ADC мы можем показать, что
HG || AC и HG = AC / 2……….. 2
Из уравнений 1 и 2 получаем
EF || HG и EF = HG
Итак, EFGH — параллелограмм. [Одна заливка с противоположных сторон равная и параллельная]
В четырехугольнике ABFH имеем
HA = FB и HA || FB [AD = BC => AD / 2 = BC / 2 => HA = FB]
Итак, ABFH — параллелограмм. [Одна пара противоположных сторон равна и параллельна]
Теперь треугольник HEF и параллелограмм HABF находятся на одном основании HF и между одним и тем же
параллельна ВЧ и АВ.
Сейчас, Площадь ∆HEF = площадь HABF / 2 ……….. 3
Аналогично, площадь ∆HGF = площадь HFCD / 2 ……… 4
Складывая уравнение 3 и 4, получаем
Площадь ∆HEF + площадь ∆HGF = (площадь HABF + площадь HFCD) / 2
=> ар (EFGH) = ар (ABCD)
Следовательно, Доказано.
Вопрос 3:
P и Q — любые две точки, лежащие на сторонах DC и AD соответственно параллелограмма ABCD. Докажите, что ar (APB) = ar (BQC).
Ответ:
Дано: Параллелограмм ABCD. P и Q — любые точки на DC и AD соответственно.
Доказать: ar (APB) = ar (BQC)
Конструкция: Draw PS || AD и QR || AB.
Доказательство: В параллелограмме ABRQ BQ — диагональ.
Итак, площадь ∆BQR = площадь ABRQ / 2 …………. 1
В параллелограмме CDQR CQ — диагональ.
Итак, площадь ∆RQC = площадь CDQR / 2………… 2
Складывая уравнение 1 и 2, получаем
площадь ∆BQR + площадь ∆RQC = (площадь ABRQ + площадь CDQR) / 2
=> площадь ∆BQC = площадь ABCD / 2 ……… 3
Опять же, в параллелограмме DPSA AP — диагональ.
Итак, площадь ∆ASP = площадь DPSA / 2 ………. 4
В параллелограмме BCPS PB представляет собой диагональ.
Теперь, площадь ∆BPS = площадь BCPS / 2 ……… .5
Складывая уравнение 4 и 5, получаем
площадь ∆ASP + площадь ∆BPS = (площадь DPSA + площадь BCPS) / 2
=> площадь ∆APB = (площадь ABCD) ……..6
Из уравнений 3 и 6 получаем
площадь ∆APB = площадь ∆BQC.
Следовательно, Доказано.
Вопрос 4:
На этом рисунке P — точка внутри параллелограмма ABCD. Покажи, что
(i) ar (APB) + ar (PCD) = ar (ABCD) / 2
(ii) ар (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
Ответ:
Дано: Параллелограмм ABCD. P — точка внутри него.
Доказать:
(i) ar (APB) + ar (PCD) = ar (ABCD) / 2
(ii) ар (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)
Конструкция: Проведите EF через P параллельно AB и GH через P параллельно AD.
Доказательство: В параллелограммной ПЛИС точка доступа имеет диагональ,
Итак, площадь ∆APG = площадь ∆APF ………….. 1
В параллелограмме BGPE PB — диагональ,
Итак, площадь ∆BPG = площадь ∆EPB ………….. 2
В параллелограмме DHPF, DP — диагональ,
площадь ∆DPH = площадь ∆DPF ………. 3
В параллелограмме HCEP, CP — диагональ,
Итак, площадь ∆CPH = площадь ∆CPE ….. 4
Складывая уравнения 1, 2, 3 и 4, получаем
площадь ∆APG + площадь ∆BPG + площадь ∆DPH + площадь ∆CPH
= площадь ∆APF + площадь ∆EPB + площадь ∆DPF + площадь ∆CPE
=> [площадь ∆APG + площадь ∆BPG] + [площадь ∆DPH + площадь ∆CPH]
= [площадь ∆APF + площадь ∆DPF] + [площадь ∆EPB + площадь ∆CPE]
=> площадь ∆APB + площадь ∆CPD = площадь ∆APD + площадь ∆BPC ……..5
А площадь параллелограмма ABCD
= площадь ∆APB + площадь ∆CPD + площадь ∆APD + площадь ∆BPC ……… .6
Из уравнений 5 и 6 получаем
площадь ∆APB + площадь ∆PCD = площадь ABCD / 2
=> ar (APB) + ar (PCD) = ar (ABCD) / 2
Следовательно, Доказано.
Из уравнения 5,
=> ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (CPD)
Вопрос 5:
На рисунке PQRS и ABRS — параллелограммы, а X — любая точка на стороне BR.Покажи, что
(я) ар (PQRS) = ар (ABRS)
(ii) ar (AXS) = ar (PQRS) / 2
Ответ:
Дано: PQRS и ABRS — параллелограммы, а X — любая точка на стороне BR.
Доказать:
(я) ар (PQRS) = ар (ABRS)
(ii) ar (AXS) = ar (PQRS) / 2
(i) В ∆ASP и BRQ мы имеем,
∠SPA = ∠RQB [Соответствующие углы] … (1)
∠PAS = ∠QBR [Соответствующие углы] … (2)
Итак, ∠PSA = ∠QRB [свойство суммы углов треугольника]… (3)
Также PS = QR [Противоположные стороны параллелограмма PQRS] … (4)
Итак, ∆ASP ≅ ∆BRQ [аксиома ASA, используя (1), (3) и (4)]
Следовательно, площадь ∆PSA = площадь ∆QRB [Конгруэнтные числа имеют равные площади] … (5)
Теперь, ar (PQRS) = ar (PSA) + ar (ASRQ)
= ar (QRB) + ar (ASRQ)
= ar (ABRS)
Итак, ar (PQRS) = ar (ABRS) Доказано.
(ii) Теперь ∆AXS и || gm ABRS находятся на одной базе AS и между теми же параллелями AS и BR
.
Итак, площадь ∆AXS = площадь ABRS / 2
=> площадь ∆AXS = площадь PQRS / 2 [Так как ar (PQRS) = ar (ABRS])
=> площадь (AXS) = площадь (PQRS) / 2
Вопрос 6:
Фермер имел поле в форме параллелограмма PQRS.Она взяла любую точку A на RS и соединила ее с точками P и Q.
На сколько частей разделены поля? Какие формы у этих частей?
Фермер хочет посеять пшеницу и зернобобовые по отдельности на равных участках поля. Как ей это сделать?
Ответ:
Поле разделено на три треугольника.
Поскольку треугольник APQ и параллелограмм PQRS находятся на одном основании PQ и между одним и тем же
параллельна PQ и RS.
Итак, ar (APQ) = ar (PQRS) / 2
=> 2ar (APQ) = ar (PQRS)
Но ar (PQRS) = ar (APQ) + ar (PSA) + ar (ARQ)
=> 2 ар (APQ) = ar (APQ) + ar (PSA) + ar (ARQ)
=> ar (APQ) = ar (PSA) + ar (ARQ)
Следовательно, площадь ∆APQ = площадь ∆PSA + площадь ∆ARQ.
Чтобы посеять пшеницу и зернобобовые по отдельности на равных участках поля, фермер высевает пшеницу в ∆APQ
и импульсы в двух других треугольниках или импульсы в ∆APQ и пшеница в двух других треугольниках.
Упражнение 9.3
Вопрос 1:
На данном рисунке E — любая точка на медиане AD ∆ABC. Покажите, что: ar (ABE) = ar (ACE)
Ответ:
AD — это медиана ∆ABC.Следовательно, он разделит ∆ABC на два треугольника равной площади.
Итак, Площадь (∆ABD) = Площадь (∆ACD) … (1)
ED — это медиана ∆EBC.
Итак, Площадь (∆EBD) = Площадь (∆ECD) … (2)
Вычитая уравнение (2) из уравнения (1), получаем
Площадь (∆ABD) — Площадь (EBD) = Площадь (∆ACD) — Площадь (∆ECD)
Площадь (∆ABE) = Площадь (∆ACE)
Вопрос 2:
В треугольнике ABC E — середина медианы AD. Докажите, что ar (BED) = ar (ABC) / 4.
Ответ:
Данный треугольник ABC представляет собой треугольник, в котором E является средней точкой медианы.
Так как медиана треугольника делит треугольник на два равных треугольника равной площади.
Так площадь Δ ABD = 1/2 * площадь Δ ABC
Опять же BE — это медиана треугольника ABD.
Так площадь Δ BDE = 1/2 * площадь Δ ABD
= 1/2 * 1/2 * площадь Δ ABC
= 1/4 * площадь Δ ABC
Итак, площадь Δ BDE = 1/4 * площадь Δ ABC
Вопрос 3:
Покажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника равной площади.
Ответ:
Мы знаем, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
Следовательно, O — это средняя точка AC и BD.
BO — это медиана в ∆ABC.
Следовательно, он разделит его на два треугольника равной площади.
Итак, Площадь (∆AOB) = Площадь (∆BOC) … (1)
В ∆BCD CO — медиана.
Итак, Площадь (∆BOC) = Площадь (∆COD) … (2)
Аналогично, Площадь (∆COD) = Площадь (∆AOD) … (3)
Из уравнений (1), (2) и (3) получаем
Площадь (∆AOB) = Площадь (∆BOC) = Площадь (∆COD) = Площадь (∆AOD)
Следовательно, очевидно, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника по
равной площади.
Вопрос 4:
На рис. 9.24 ABC и ABD представляют собой два треугольника на одном основании AB. Если отрезок CD делится пополам
на AB в точке O, покажем, что ar (ABC) = ar (ABD).
Ответ:
Рассмотрим ∆ACD.
Линейный сегмент CD делится пополам AB в точке O. Следовательно, AO является медианой ∆ACD.
Итак, Площадь (∆ACO) = Площадь (∆ADO) … (1)
Учитывая ∆BCD, BO — это медиана.
Итак, Площадь (∆BCO) = Площадь (∆BDO)… (2)
Складывая уравнения (1) и (2), получаем
Площадь (∆ACO) + Площадь (∆BCO) = Площадь (∆ADO) + Площадь (∆BDO)
=> Площадь (∆ABC) = Площадь (∆ABD)
Вопрос 5:
D, E и F — это соответственно середины сторон BC, CA и AB отрезка ABC.
Покажите, что:
(i) BDEF — параллелограмм.
(ii) ar (DEF) = ar (ABC) / 4
(iii) ar (BDEF) = ar (ABC) / 2
Ответ:
Дано: D, E и F — середины сторон BC, CA и AB отрезка ΔABC.
(i) В ΔABC,
F — это середина стороны AB, а E — середина стороны AC.
Итак, EF || BC
В треугольнике отрезок прямой, соединяющий середины любых двух сторон, параллелен третьей стороне
сторона.
Итак, EF || БД ……… ..1
Аналогично ED || BF …… .2
Из уравнений 1 и 2 получаем
BDEF — параллелограмм [четырехугольник является параллелограммом, если противоположные стороны параллельны]
(ii) Как и в (i), мы можем доказать, что
AFDE и FDCE — параллелограммы.
FD — это диагональ параллелограмма BDEF.
Итак, площадь (ΔFBD) = площадь (ΔDEF) …………… 3
Аналогично, площадь (ΔDEF) = площадь (ΔEAE) …………… 4
и площадь (ΔDEF) = площадь (ΔDCE) …………… 5
Из уравнений 3, 4 и 5 получаем
площадь (ΔFBD) = площадь (ΔDEF) = площадь (ΔFAE) = площадь (ΔDCE) ………… 6
Итак, ΔABC делится на четыре неперекрывающихся треугольника ΔFBD, ΔDEF, ΔFAE и ΔDCE.
Следовательно, площадь (ΔABC) = площадь (ΔFBD) + площадь (ΔDEF) + площадь (ΔFAE) + площадь (ΔDCE) + площадь (ΔDEF)
=> площадь (ΔABC) = 4 * площадь (ΔDEF) [Из уравнения 6]
=> площадь (ΔDEF) = площадь (ΔABC) / 4 ……..7
(iii) площадь (BDEF) = площадь (ΔFBD) + площадь (ΔDEF) [Из уравнения 3]
= площадь (ΔDEF) + площадь (ΔDEF)
= 2 * площадь (ΔDEF)
= 2 * площадь (ΔABC) / 4
= площадь (ΔABC) / 2
Вопрос 6:
На рис. 9.25 диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, так что OB = OD.
Если AB = CD, то покажите, что:
(i) ar (DOC) = ar (AOB) (ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB или ABCD — параллелограмм.
[Подсказка: от D и B нарисуйте перпендикуляры к AC.]
Ответ:
Нарисуем DN ⊥ AC и BM ⊥ AC.
(i) В ∆DON и ∆BOM,
∠DNO = ∠BMO (По конструкции)
∠DON = ∠BOM (вертикально противоположные углы)
OD = OB (дано)
По правилу сравнения AAS,
∆DON ≅ ∆BOM
DN = BM … (1)
Мы знаем, что равные треугольники имеют равные площади.
Площадь (∆DON) = Площадь (∆BOM)… (2)
В ∆DNC и ∆BMA,
∠DNC = ∠BMA (По конструкции)
CD = AB (дано)
DN = BM [Используя уравнение (1)]
Итак, ∆DNC ≅ ∆BMA (правило сравнения RHS)
Площадь (∆DNC) = Площадь (∆BMA) … (3)
Складывая уравнения (2) и (3), получаем
Площадь (∆DON) + Площадь (∆DNC) = Площадь (∆BOM) + Площадь (∆BMA)
Следовательно, Площадь (∆DOC) = Площадь (∆AOB)
(ii) Получили,
Площадь (∆DOC) = Площадь (∆AOB)
Площадь (∆DOC) + Площадь (∆OCB) = Площадь (∆AOB) + Площадь (∆OCB) [Добавление площади (∆OCB) с обеих сторон]
Площадь (∆DCB) = Площадь (∆ACB)
(iii) Получили,
Площадь (∆DCB) = Площадь (∆ACB)
Если два треугольника имеют одинаковое основание и равные площади, то они будут находиться между одинаковыми
параллелей.
Итак, DA || CB … (4)
В четырехугольнике ABCD одна пара противоположных сторон равна (AB = CD), а другая пара —
противоположных сторон параллельны (DA || CB).
Следовательно, ABCD — параллелограмм.
Вопрос 7:
D и E — точки на сторонах AB и AC соответственно ∆ ABC такие, что ar (DBC) = ar (EBC).
Докажите, что DE || ДО Н.Э.
Ответ:
Поскольку ∆BCE и ∆BCD лежат на общем основании BC и также имеют равные площади,
∆BCE и ∆BCD будут лежать между одними и теми же параллельными линиями.
So, DE || BC
Вопрос 8:
XY — прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC. Если BE || AC и CF || AB пересекают XY в точках E и F соответственно, показывают, что ar (ABE) = ar (ACF)
Ответ:
Задано, что XY || BC и EY || BC BE || AC и BE ||
CY
Следовательно, EBCY — параллелограмм.
Принято, что
XY || BC и XF || BC
FC || AB и FC || XB
Следовательно, BCFX — параллелограмм.
Параллелограммы EBCY и BCFX находятся на одном основании BC и между одними и теми же параллелями BC
и EF.
Итак, Площадь (EBCY) = Площадь (BCFX) … (1)
Рассмотрим параллелограмм EBCY и ∆AEB
Они лежат на одном основании BE и находятся между одними и теми же параллелями BE и AC.
Итак, Площадь (∆ABE) = Площадь (EBCY) … (2)
Кроме того, параллелограмм BCFX и ∆ACF находятся на одном основании CF и между одними и теми же параллелями
CF и AB.
Итак, Площадь (∆ACF) = Площадь (BCFX)… (3)
Из уравнений (1), (2) и (3) получаем
Площадь (∆ABE) = Площадь (∆ACF)
Вопрос 9:
Сторона AB параллелограмма ABCD проводится в любую точку P. Прямая, проходящая через A и параллельная CP
соответствует CB, произведенному в Q, и затем завершается параллелограмм PBQR (см. Рис. 9.26).
Покажите, что ar (ABCD) = ar (PBQR).
[Подсказка: присоединитесь к AC и PQ. Теперь сравните ar (ACQ) и ar (APQ).]
Ответ:
Давайте присоединимся к AC и PQ.
∆ACQ и ∆AQP находятся на одной базе AQ и между одними и теми же параллелями AQ и CP.
Итак, Площадь (∆ACQ) = Площадь (∆APQ)
=> Площадь (∆ACQ) — Площадь (∆ABQ) = Площадь (∆APQ) — Площадь (∆ABQ)
=> Площадь (∆ABC) = Площадь (∆QBP) … (1)
Поскольку AC и PQ являются диагоналями параллелограммов ABCD и PBQR соответственно,
Площадь (∆ABC) = Площадь (ABCD) / 2 … (2)
Площадь (∆QBP) = Площадь (PBQR) … (3)
Из уравнений 1, 2 и 3 получаем
Площадь (ABCD) / 2 = Площадь (PBQR) / 2
=> Площадь (ABCD) = Площадь (PBQR)
Вопрос 10:
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с AB || DC пересекаются друг с другом в точке O.Докажите, что ar (AOD) = ar (BOC).
Ответ:
Можно заметить, что ∆DAC и ∆DBC лежат на одном и том же базовом постоянном токе и между одними и теми же
параллельны AB и CD.
Площадь (∆DAC) = Площадь (∆DBC)
Площадь (∆DAC) — Площадь (∆DOC) = Площадь (∆DBC) — Площадь (∆DOC)
Площадь (∆AOD) = Площадь (∆BOC)
Вопрос 11:
На рис. 9.27 ABCDE представляет собой пятиугольник. Линия через B, параллельная переменному току, встречает постоянный ток, производимый в F.Покажи, что
(i) ar (ACB) = ar (ACF)
(ii) ar (AEDF) = ar (ABCDE)
Ответ:
(i) ∆ACB и ∆ACF лежат на одной базе AC и находятся между одними и теми же параллелями AC и BF.
Итак, Площадь (∆ACB) = Площадь (∆ACF)
(ii) Можно заметить, что
Площадь (∆ACB) = Площадь (∆ACF)
Площадь (∆ACB) + Площадь (ACDE) = Площадь (ACF) + Площадь (ACDE)
Площадь (ABCDE) = Площадь (AEDF)
Вопрос 12:
Житель Итваари владеет земельным участком в форме четырехугольника.Грам Панчаят деревни решил перенять часть своего участка с
года.
один из углов для строительства Поликлиники. Итваари соглашается с вышеуказанным предложением с условием, что ему должно быть
лет.
дал равное количество земли вместо своей земли, прилегающей к его участку, чтобы образовать треугольный участок. Объясните, как это предложение будет реализовано.
Ответ:
Пусть четырехугольник ABCD будет исходной формой поля.
Предложение может быть реализовано следующим образом.
Соедините диагональ BD и проведите линию, параллельную BD, через точку A. Дайте ей пересечь расширенную сторону
CD ABCD в точке E. Присоединитесь к BE и AD. Пусть они пересекаются друг с другом в точке O. Тогда участок ∆AOB
можно вырезать из исходного поля, так что новая форма поля будет ∆BCE. (См. Рисунок)
Мы должны доказать, что площадь ∆AOB (часть, которая была вырезана для построения Здоровья
Center) равна площади ∆DEO (часть, добавленная к полю, чтобы площадь
новое поле, сформированное равным площади исходного поля)
Можно заметить, что ∆DEB и ∆DAB лежат на одном основании BD и находятся между одними и теми же
параллельна BD и AE.
Итак, Площадь (∆DEB) = Площадь (∆DAB)
=> Площадь (∆DEB) — Площадь (∆DOB) = Площадь (∆DAB) — Площадь (∆DOB)
=> Площадь (∆DEO) = Площадь (∆AOB)
Вопрос 13:
ABCD — трапеция с AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ. Прямая, параллельная AC, пересекает AB в точке X и BC в точке Y.
Докажите, что ar (ADX) = ar (ACY). [Подсказка: присоединяйтесь к CX.]
Ответ:
Можно заметить, что ∆ADX и ∆ACX лежат на одном основании AX и находятся между одними и теми же
параллельны AB и DC.
Итак, Площадь (∆ADX) = Площадь (∆ACX) ……… ..1
∆ACY и ∆ACX лежат на одной базе AC и находятся между одними и теми же параллелями AC и XY.
Итак, Площадь (∆ACY) = Площадь (∆ACX) ……… ..2
Из уравнений 1 и 2 получаем
Итак, Площадь (∆ADX) = Площадь (∆ACY)
Вопрос 14:
На рис. 9.28, AP || BQ || CR. Докажите, что ar (AQC) = ar (PBR).
Ответ:
Так как ∆ABQ и ∆PBQ лежат на одном BQ и находятся между одними и теми же параллелями AP и BQ.
Итак, Площадь (∆ABQ) = Площадь (∆PBQ) ……… 1
Снова ∆BCQ и ∆BRQ лежат на одном BQ и находятся между одними и теми же параллелями BQ и CR.
Итак, Площадь (∆BCQ) = Площадь (∆BRQ) ……… 2
При сложении уравнений 1 и 2 получаем
Площадь (∆ABQ) + Площадь (∆BCQ) = Площадь (∆PBQ) + Площадь (∆BRQ)
=> Площадь (∆AQC) = Площадь (∆PBR)
Вопрос 15:
Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке O таким образом, что ar (AOD) = ar (BOC).Докажите, что ABCD — это трапеция.
Ответ:
Принято, что
Площадь (∆AOD) = Площадь (∆BOC)
Площадь (∆AOD) + Площадь (∆AOB) = Площадь (∆BOC) + Площадь (∆AOB)
Площадь (∆ADB) = Площадь (∆ACB)
Мы знаем, что треугольники на одном основании с равными друг другу площадями лежат между
таких же параллелей.
Следовательно, эти треугольники ∆ADB и ∆ACB лежат между одними и теми же параллелями.
т.е. AB || CD
Следовательно, ABCD — это трапеция.
Вопрос 16:
На рис. 9.29 ar (DRC) = ar (DPC) и ar (BDP) = ar (ARC). Покажите, что как
Четырехугольники
ABCD и DCPR представляют собой трапеции.
Ответ:
Принято, что
Площадь (∆DRC) = Площадь (∆DPC)
Поскольку ∆DRC и ∆DPC лежат на одном базовом постоянном токе и имеют равные площади, следовательно, они
должен лежать между такими же параллельными линиями.
Итак, DC || RP
Следовательно, DCPR — это трапеция.
Также указано, что
Площадь (∆BDP) = Площадь (∆ARC)
=> Площадь (BDP) — Площадь (∆DPC) = Площадь (∆ARC) — Площадь (∆DRC)
=> Площадь (∆BDC) = Площадь (∆ADC)
Поскольку ∆BDC и ∆ADC находятся на одном базовом CD и имеют равные площади, они должны находиться между
такие же параллельные линии.
So, AB || CD
Следовательно, ABCD — это трапеция.
Упражнение 9.4 (дополнительно)
Вопрос 1:
Параллелограмм ABCD и прямоугольник ABEF находятся на одном основании AB и имеют равные площади. Покажите, что периметр параллелограмма больше периметра прямоугольника.
Ответ:
Поскольку параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковое основание и равную площадь, следовательно, эти
также будет находиться между теми же параллелями.
Рассмотрим параллелограмм ABCD и прямоугольник ABEF следующим образом.
Здесь можно заметить, что параллелограмм ABCD и прямоугольник ABEF находятся между одними и теми же параллелями AB и CF.
Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма или прямоугольника равны по длине.
Следовательно,
AB = EF [Для прямоугольника]
AB = CD [Для параллелограмма]
Итак, CD = EF
=> AB + CD = AB + EF … (1)
Из всех линейных сегментов, которые можно провести к данной линии из точки, не лежащей на ней,
Отрезок перпендикулярной линии
является самым коротким.
Итак, AF
Аналогично BE
Итак, AF + BE
Из уравнений (1) и (2) получаем
AB + EF + AF + BE
Следовательно, периметр прямоугольника ABEF <периметр параллелограмма ABCD
Вопрос 2:
На рис. 9.30 D и E — две точки на BC
.
такое, что BD = DE = EC. Покажи, что
ар (ABD) = ар (ADE) = ар (AEC)
Можете ли вы теперь ответить на вопрос, который вы оставили во «Введении» этой главы, является ли
год. Поле Будхии было фактически разделено на три равные по площади части?
[Примечание: обратите внимание, что, взяв BD = DE = EC, треугольник ABC делится на три треугольника ABD, ADE и AEC равной площади.
Таким же образом, разделив BC на n равных частей и соединив полученные таким образом точки деления с противоположной вершиной BC,
, вы можете разделить ∆ABC на n треугольников равной площади.]
Ответ:
Нарисуем отрезок AM ⊥ BC.
Мы знаем это,
Площадь треугольника = 1/2 * База * Высота
Площадь (ΔADE) = 1/2 * DE * AM
Площадь (ΔABD) = 1/2 * BD * AM
Площадь (ΔAEC) = 1/2 * EC * AM
Принято, что DE = BD = EC
Итак, 1/2 * DE * AM = 1/2 * BD * AM = 1/2 * EC * AM
Итак, Площадь (∆ADE) = Площадь (∆ABD) = Площадь (∆AEC)
Можно заметить, что Будхия разделил свое поле на 3 равные части.
Вопрос 3:
На рис. 9.31 ABCD, DCFE и ABFE — параллелограммы. Покажите, что: ar (ADE) = ar (BCF)
Ответ:
Предполагается, что ABCD — параллелограмм. Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны
равно.
Итак, AD = BC ……. (1)
Аналогично для параллелограммов DCEF и ABFE можно доказать, что
DE = CF……………. (2)
и, EA = FB ……. (3)
В ∆ADE и ∆BCF,
AD = BC [Используя уравнение (1)]
DE = CF [Используя уравнение (2)]
EA = FB [Используя уравнение (3)]
Итак, ∆ADE ≅ BCF [правило сравнения SSS]
Следовательно, Площадь (∆ADE) = Площадь (∆BCF)
Вопрос 4:
На рис. 9.32 ABCD представляет собой параллелограмм, а BC переходит в точку Q, такую что AD = CQ.
Если AQ пересекает DC в точке P, покажите, что ar (BPC) = ar (DPQ). [Подсказка: присоединяйтесь к AC.]
Ответ:
Предполагается, что ABCD — параллелограмм.
г. н.э. || BC и AB || DC [Противоположные стороны параллелограмма параллельны друг другу]
Соедините точку A с точкой C.
Рассмотрим ∆APC и ∆BPC,
∆APC и ∆BPC находятся на одном базовом ПК и между одними и теми же параллелями PC и AB.
Следовательно,
Площадь (∆APC) = Площадь (∆BPC) ………. (1)
В четырехугольнике ACDQ указано, что
н.э. = CQ
Поскольку ABCD — параллелограмм,
г. н.э. || BC (противоположные стороны параллелограмма параллельны)
CQ — это линейный сегмент, который получается при создании линейного сегмента BC.
Итак, AD || CQ
Есть,
AC = DQ и AC || DQ
Следовательно, ACQD — параллелограмм.
Рассмотрим ∆DCQ и ∆ACQ
Они находятся на одном базовом CQ и между одинаковыми параллелями CQ и AD.
Следовательно,
Площадь (∆DCQ) = Площадь (∆ACQ)
=> Площадь (∆DCQ) — Площадь (∆PQC) = Площадь (∆ACQ) — Площадь (∆PQC)
=> Площадь (∆DPQ) = Площадь (∆APC) … (2)
Из уравнений (1) и (2) получаем
Площадь (∆BPC) = Площадь (∆DPQ)
Вопрос 5:
На рис. 9.33 ABC и BDE — два равносторонних треугольника, так что D — это середина BC. Если AE пересекает BC в точке F, покажите, что:
(i) ar (BDE) = ar (ABC) / 4
(ii) ar (BDE) = ar (BAE) / 2
(iii) ар (ABC) = 2 ар (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(в) ар (BFE) = 2 ар (FED)
(vi) ar (FED) = ar (AFC) / 8
[Подсказка: присоединяйтесь к EC и AD.Покажи, что БЫТЬ || AC и DE || АБ и пр.
Ответ:
(i) Пусть G и H — середины сторон AB и AC соответственно.
Отрезок линии GH соединяется с серединами. Следовательно, он будет параллелен третьей стороне BC и
также его длина будет равна половине длины BC (теорема о средней точке).
GH = BC / 2 и GH || BD
GH = BD = DC и GH || BD [D — средняя точка BC]
Рассмотрим четырехугольник GHDB,
GH || BD и GH = BD
Два отрезка, соединяющие два параллельных отрезка одинаковой длины, также будут равны, и
параллельно друг другу.
Следовательно, BG = DH и BG || DH
Следовательно, четырехугольник GHDB является параллелограммом.
Мы знаем, что в параллелограмме диагональ делит его пополам на два треугольника равной площади.
Следовательно, Площадь (∆BDG) = Площадь (∆HGD)
Аналогичным образом можно доказать, что четырехугольники DCHG, GDHA и BEDG являются параллелограммами, а
их соответствующие диагонали делят их на два треугольника равной площади.
ar (∆GDH) = ar (∆CHD) [Для параллелограмма DCHG]
ar (∆GDH) = ar (∆HAG) [Для параллелограмма GDHA]
ar (∆BDE) = ar (∆DBG) [Для параллелограмма BEDG]
ar (∆ABC) = ar (∆BDG) + ar (∆GDH) + ar (∆DCH) + ar (∆AGH)
ар (∆ABC) = 4 * ар (∆BDE)
Следовательно, ar (∆BDE) = ar (∆ABC) / 4
(ii) Площадь (∆BDE) = Площадь (∆AED) [Общая база DE и DE || AB]
Площадь (∆BDE) — Площадь (∆FED) = Площадь (∆AED) — Площадь (∆FED)
Площадь (∆BEF) = Площадь (∆AFD) ………….(1)
Площадь (∆ABD) = Площадь (∆ABF) + Площадь (∆AFD)
Площадь (∆ABD) = Площадь (∆ABF) + Площадь (∆BEF) [Из уравнения (1)]
Площадь (∆ABD) = Площадь (∆ABE) ………… (2)
AD — это медиана в ∆ABC.
ar (∆ABD) = ar (∆ABC) / 2
= 4 * ar (∆BDE) / 2 [Как было доказано ранее]
= 2 * ar (∆BDE)
=> ar (∆ABD) = 2 * ar (∆BDE) ……… .. (3)
Из уравнений (2) и (3) получаем
2 * ar (∆BDE) = ar (∆ABE)
=> ar (∆BDE) = ar (∆ABE) / 2
(iii) ar (∆ABE) = ar (∆BEC) [Общая база BE и BE || AC]
ar (∆ABF) + ar (∆BEF) = ar (∆BEC)
Используя уравнение (1), получаем
ar (∆ABF) + ar (∆AFD) = ar (∆BEC)
=> ar (∆ABD) = ar (∆BEC)
=> ar (∆ABC) / 2 = ar (∆BEC)
=> ar (∆ABC) = 2 * ar (∆BEC)
(iv) Видно, что ∆BDE и ar ∆AED лежат на одном основании (DE) и между параллелями DE
и AB.
ar (∆BDE) = ar (∆AED)
ar (∆BDE) — ar (∆FED) = ar (∆AED) — ar (∆FED)
ar (∆BFE) = ar (∆AFD)
(v) Пусть h — высота вершины E, соответствующей стороне BD в ∆BDE.
Пусть H — высота вершины A, соответствующей стороне BC в ∆ABC.
В (i) было показано, что ar (∆BDE) = ar (∆ABC) / 4
=> 1/2 * BD * h = (1/2 * BC * H) / 4
=> BD * h = (2BD * H) / 4
=> h = H / 2
В (iv) было показано, что ar (∆BFE) = ar (∆AFD).
ar (∆BFE) = ar (∆AFD)
= 1/2 * FD * H
= 1/2 * FD * 2ч
= 2 (1/2 * FD * ч)
= 2 * ar (∆FED)
Следовательно, ar (∆BFE) = 2 * ar (∆FED)
(vi) Площадь (AFC) = площадь (AFD) + площадь (ADC)
[в (iv), ar (∆BFE) = ar (∆AFD), AD — медиана ∆ABC]
= ar (∆BFE) + ar (∆ABC) / 2
= ar (∆BFE) + 4 * ar (∆BDE) / 2
= ar (∆BFE) + 2 * ar (∆BDE) ………….. (5)
Теперь, согласно (v), ar (∆BFE) = 2 * ar (∆FED) ………… .. (6)
ar (∆BDE) = ar (∆BFE) + ar (∆FED) = 2 * ar (∆FED) + ar (∆FED) = 3 * ar (∆FED) ……… 7
Из уравнений (5), (6) и (7) получаем
ar (∆AFC) = 2 * ar (∆FED) + 2 * 3 * ar (∆FED)
= 2 * ar (∆FED) + 6 * ar (∆FED)
= 8 * ar (∆FED)
Следовательно, ar (∆FED) = ar (∆AFC) / 8
Вопрос 6:
Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются друг с другом в точке P.Покажите, что ar (APB) * ar (CPD) = ar (APD) * ar (BPC). [Подсказка: от A и C нарисуйте перпендикуляры к BD.]
Ответ:
Конструкция: от A и C проведите перпендикуляры AM и CN к BD.
ar (∆APB) * ar (∆CPD) = 1/2 * BP * AM * 1/2 * PD * CN ………… ..1
ar (∆APD) * ar (∆BPC) = 1/2 * PD * AM * 1/2 * BP * CN ………… ..2
Из уравнений 1 и 2 получаем
ar (∆APB) * ar (∆CPD) = ar (∆APD) * ar (∆BPC)
Вопрос 7:
P и Q — это, соответственно, середины сторон AB и BC треугольника ABC, а R — середина AP, покажите, что
(i) ar (PRQ) = ar (ARC) / 2
(ii) ar (RQC) = 3ar (ABC) / 8
(iii) ar (PBQ) = ar (ARC)
Ответ:
P и Q — это соответственно середины сторон AB и BC отрезка ABC, а R — середина AP.
Присоединяйтесь к AQ и ПК.
(i) Есть,
ar (ΔPQR) = ar (ΔAPQ) / 2 [Поскольку QR — это медиана и ΔAPQ, и он делит треугольник на два
другие треугольники такой же площади]
= 1/2 * 1/2 * ar (ΔABQ) [Поскольку QP является медианой ΔABQ]
= 1/4 * ar (ΔABQ)
= 1/4 * 1/2 * ar (ΔABQ) [Поскольку AQ является медианой ΔABQ]
= 1/8 * ar (ΔABQ) ……………..1
Опять же, ar (ΔARC) = 1/2 * ar (ΔAPC) [Поскольку CR является медианой ΔAPC]
= 1/4 * 1/2 * ar (ΔABQ) [Поскольку CP является медианой ΔABC]
= 1/8 * ar (ΔABQ) ……… 2
Из уравнений 1 и 2 получаем
ар (ΔPQR) = 1/8 * ар (ΔABC)
= 1/2 * 1/2 * ar (ΔABC)
= 1/2 * ar (ΔARC)
(ii) У нас есть,
ar (ΔRQC) = ar (ΔRQA) + ar (ΔAQC) — ar (ΔARC) …………..3
Теперь ar (ΔRQA) = 1/2 * ar (ΔPQA) [Поскольку RQ является медианой ΔPQA]
= 1/2 * 1/2 * ar (ΔAQB) [Поскольку PQ является медианой ΔAQB]
= 1/4 * ar (ΔAQB)
= 1/4 * 1/2 * ar (ΔABC) [Поскольку AQ является медианой ΔABC]
= 1/8 * ar (ΔABC) ……… ..4
ar (ΔAQC) = 1/2 * ar (ΔABC) …… 5 [Поскольку AQ является медианой ΔABC]
ar (ΔARC) = 1/2 * ar (ΔAPC) [Поскольку CR является медианой ΔAPC]
= 1/2 * 1/2 * ar (ΔABC) [Поскольку CP является медианой ΔABC]
= 1/4 * ar (ΔABC) ……… 6
Из уравнений 3, 4, 5 и 6 получаем
ар (ΔRQC) = 1/8 * ар (ΔABC) + 1/2 * ар (ΔABC) — 1/4 * ар (ΔABC)
= 3/8 * ar (ΔABC)
(iii) У нас есть,
ar (ΔPBQ) = 1/2 * ar (ΔABQ) [Поскольку PQ является медианой ΔABQ]
= 1/2 * 1/2 * ar (ΔABC) [Поскольку AQ является медианой ΔABC]
= 1/4 * ar (ΔABC)
= ar (ΔARC) [Из уравнения 6]
Вопрос 8:
На рис.9.34, ABC — прямоугольный треугольник, расположенный под прямым углом в точке A. BCED, ACFG и ABMN — квадраты на сторонах BC, CA и AB соответственно.
Отрезок AX ⊥ DE пересекает BC в точке Y. Покажите, что:
(i) ∆ MBC ≅ ∆ ABD (ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN) (iv) ∆ FCB ≅ ∆ ACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB) (vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ар (BCED) = ар (ABMN) + ар (ACFG)
Примечание: Результат (vii) — это знаменитая теорема Пифагора.Вы узнаете более простое доказательство этой теоремы в классе X.
Ответ:
(i) В ΔMBC и ΔABD мы имеем
BC = BD [Стороны квадрата BCED]
MB = AB [Стороны квадрата ABMN]
∠MBC = ∠ABD [поскольку каждые 90 ⁰ + ∠ABC]
Следовательно, по критерию соответствия SAS имеем
∆ MBC ≅ ∆ ABD
(ii) ΔABD и квадрат BYXD имеют одинаковое основание BD и находятся между одинаковыми параллелями BD и
AX.
Следовательно, ΔABD = 1/2 * ar (BYXD)
Но ∆ MBC ≅ ∆ ABD [Доказано в части (i)]
Итак, ar (∆ MBC) ≅ ar (∆ ABD)
Следовательно, ar (∆ MBC) ≅ ar (∆ ABD) = 1/2 * ar (BYXD)
=> ar (BYXD) = 2 * ar (∆ MBC)
(iii) Квадратные ABMN и ∆ MBC имеют одинаковое основание MB и находятся между одними и теми же параллелями MB
и NAC.
ар (∆ MBC) = 1/2 * ар (ABMN)
=> ar (ABMN) = 2 * ar (∆ MBC) = ar (BYXD) [Использование части (ii)]
(iv) В ΔACE и ΔBCF мы имеем
CE = BC [Стороны квадрата BCED]
AC = CF [Стороны квадрата ACFG]
∠ACE = ∠BCF [с каждого 90 ⁰ + ∠BCA]
Следовательно, по критерию соответствия SAS имеем
∆ ACE ≅ ∆ BCF
(v) ΔACE и квадрат CYXE имеют одинаковое основание CE и находятся между одинаковыми параллелями CF и AYX.
Следовательно, ar (∆ ACE) = 1/2 * ar (CYXE)
=> ar (∆ FCB) = 1/2 * ar (CYXE) [Поскольку ∆ ACE ≅ ∆ BCF в части (iv)]
=> ar (CYXE) = 2 * ar (∆ FCB)
(vi) Квадратный ACFG и ∆ BCF имеют одинаковое основание CF и находятся между одними и теми же параллелями CF
и СУМКА.

В параллелограмме bdef на сторонах bf и de: В параллелограмме BDEF на сторонах BF и DE отложены одинаковые отрезки

ПОДГОТОВКА К ГОДОВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ГЕОМЕТРИИ 8 класс | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по геометрии (8 класс) по теме:

Персональный сайт — Геометрия 8 класс

Решение биквадратных уравнений. Решение биквадратных уравнений Реши уравнение относительно n

Возможные решения задач

Возможные решения задач

Возможные решения задач

Решение уравнения

Проверка правильности решения

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике

Реши уравнение относительно n. Решение биквадратных уравнений

Возможные решения задач

Возможные решения задач

Возможные решения задач

Решение уравнения

Проверка правильности решения

Решение геометрических задач при подготовке к ГИА

1. Решение геометрических задач при подготовке к ГИА

2. Содержание

3. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

4. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

7. Справочные сведения Треугольники

22. Треугольники

24. Треугольники

25. Треугольники

26. Треугольники

27. Треугольники

28. Треугольники Решение заданий второй части

29. Треугольники Решение заданий второй части

30. Треугольники Решение заданий второй части

31. Треугольники Решение заданий второй части

32. Треугольники Решение заданий второй части

33. Треугольники Решение заданий второй части

34. Треугольники Решение заданий второй части

35. Треугольники Решение заданий второй части

36. Треугольники Решение заданий второй части

37. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

38. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

39. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

41. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

42. Треугольники Решение заданий второй части

43. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

44. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

45. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

46. Треугольники Решение заданий второй части

47. Треугольники Решение заданий второй части

48. Треугольники Решение заданий второй части

49. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

50. Треугольники Решение заданий второй части

51. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

52. Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)

53. Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения)

54. Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения)

55. Задания с развёрнутым свободным ответом

56. Треугольники Решение заданий второй части

57. Треугольники Решение заданий третьей части

58. Треугольники Решение заданий третьей части

59. Треугольники Решение заданий третьей части

60. Теорема косинусов

64. Теорема Пифагора

1. Треугольник Равнобедренный треугольник

Площадь треугольника ABC = 24 см2. F, E и D — середины сторон AB, AC, BC соответственно. Найдите

Площадь треугольника EFD

Ex 9.3, 5 — D, E и F — середины сторон BC, CA

областей параллелограммов и треугольников [GEt] | Класс 9 NCERT Maths Chapter-9

Share This Story, Choose Your Platform!

Related Posts

Leave A Comment Отменить ответ