Контрольные работы по геометрии 9кл Атанасян

Контрольная работа №1. Векторы.

Контрольная работа №1. Векторы.

Вариант 1.

Вариант 2.

1. ABCD – параллелограмм, Найдите разложение вектора  по неколлинеарным векторам .

2. Дана трапеция ABCD с основаниями AD=20 и BC=8, О —точка пересечения диагоналей. Разложите вектор   по векторам  = и  .

3. Диагонали ромба АС = а, BD = b.Точка K BD и BK : KD = 1 : 3. Найдите величину | |.

4. В равнобедренной трапеции острый угол равен 60 , боковая сторона равна 12 см, большее основание равно 30 см. Найдите среднюю линию трапеции.

5. В прямоугольнике ABCDизвестно, что AD=a, DC=b, O точка пересечения диагоналей. Найдите величину

1. ABCD – параллелограмм, Найдите разложение вектора  по неколлинеарным векторам .

2. Дана трапеция ABCD с основаниями AD=15 и BC=10, О —точка пересечения диагоналей. Разложите вектор   по векторам  = и  .

3. Диагонали ромба АС = а, BD = b.Точка K AC и AK : KC = 2: 3. Найдите величину | |.

4. В равнобедренной трапеции острый угол равен 60 , боковая сторона равна 10 см, меньшее основание равно 14 см. Найдите среднюю линию трапеции.

5. В прямоугольнике ABCDизвестно, что AB=a, BC=b, O точка пересечения диагоналей. Найдите величину .

Контрольная работа №2. Метод координат.

Вариант 1

1. Установите связь между векторами

2. Векторы   разложены по неколлинеарным векторам  и  . Разложите векторы   по векторам  .

3. Четырехугольник имеет вершины с координатами А (1;1), В (3;5), С(9;-1), D(7;-5). Определите вид четырехугольника (с обоснованием) и найдите его диагонали.

4. Напишите уравнение окружности с центром в точке С (-3;1), проходящей через точку А (2;3).

5. Прямая l проходит через точки А (-3;1) и В (1;-7). Напишите уравнение прямой m, проходящей через точку С(5;6) и перпендикулярной прямой l.

1. Установите связь между векторами

Вариант2

1 см у 1-го

2. Векторы   разложены по неколлинеарным векторам  и  . Разложите векторы   по векторам  .

3. Четырехугольник имеет вершины с координатами А (-6;1), В (2;5), С(4;-1), D(-4;-5). Определите вид четырехугольника (с обоснованием) и найдите его диагонали.

4. Напишите уравнение окружности с центром в точке С (2;-3), проходящей через точку А (-1;-2).

5. Прямая l проходит через точки А (2;-1) и В (-3;9). Напишите уравнение прямой m, проходящей через точку С(3;10) и перпендикулярной прямойl.

Контрольная работа №3.Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение вектор

.

Вариант1

1. Упростите выражение

2. В треугольнике АВС  . Найдите площадь треугольника и радиус окружности, описанной около него.

3. В параллелограмме ABCD даны стороны АВ=4 см, AD=5  см и угол   Найдите диагонали параллелограмма и его площадь.

4. Найдите координаты вектора  , если  а угол между вектором  и положительным направлением оси абсцисс острый.

5. Вычислите скалярное произведение векторов , если 

1. Упростите выражение

2. В треугольнике АВС  . Найдите площадь треугольника и радиус окружности, описанной около него.

3. В параллелограмме ABCD даны стороны АВ=8 см, AD=3  см и угол   Найдите диагонали параллелограмма и его площадь.

4. Найдите координаты вектора  , если  а угол между вектором  и положительным направлением оси абсцисс тупой.

5. Вычислите скалярное произведение векторов , если 

Контрольная работа №4. Длина окружности и площадь круга

Вариант 1.

Вариант 2.

1. Три последовательные стороны четырехугольника, описанного около окружности, относятся как 3:4:5. Периметр этого четырехугольника равен 48 см. Найдите длины его сторон.

2. Около правильного шестиугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина большей окружности равна 4π. Найдите площадь кольца и площадь шестиугольника.

3. Хорда окружности равна   и стягивает дугу в 90 . Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора.

4. Найдите радиус сектора, если площадь соответствующего сегмента равна

.

5. В треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Найдите длины сторон треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки длиной 4 см и 3 см.

1. Три последовательные стороны четырехугольника, описанного около окружности, относятся как 4:5:6. Периметр этого четырехугольника равен 80 см. Найдите длины его сторон.

2. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина меньшей окружности равна 8π. Найдите площадь кольца и площадь треугольника.

3. Хорда окружности равна 6 и стягивает дугу в 60 . Найдите длину дуги и площадь соответствующего сектора.

4. Найдите радиус сектора, если площадь соответствующего сегмента равна

.

5. В треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Найдите длины сторон треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки длиной 4 см и 5 см.

Контрольная работа №5. Движения.

Вариант 1.

Вариант 2.

1. Точка А (-2;3) симметрична точке А1 (6;-9) относительно точки В. Найдите координаты точки В.

2. Дан треугольник АВС с вершинами А(2;1), В(-6;1), С(-1;5). Треугольник А1В1С1 симметричен треугольнику АВС относительно прямой, заданной уравнением х=1. Найдите координаты вершин А1В1,С1.

3. Найдите вектор   параллельного переноса, при котором прямаяу=3х-2 переходит в прямую у=3х+4, а прямая 3х+2у=2 переходит в прямую 6х+4у=3.

4. В результате поворота вокруг точки В(1;2) на 60  против часовой стрелки точка А(4;2) перешла в точку А1. Найдите координаты этой точки.

5. Прямая m задана уравнением 3х+2у-5=0. Прямая n симметрична прямой m относительно точки В(2;3). Напишите уравнение прямой n.

1. Точка А (-3;1) симметрична точке А1 (9;-5) относительно точки В. Найдите координаты точки В.

2. Дан треугольник АВС с вершинами А(-4;5), В(1;5), С(-3;-1). Треугольник А1В1С1 симметричен треугольнику АВС относительно прямой, заданной уравнением у=1. Найдите координаты вершин А1В1,С1.

3. Найдите вектор   параллельного переноса, при котором прямаяу=2х-1 переходит в прямую у=2х+3, а прямая 2х+3у=1 переходит в прямую 4х+6у=5.

4. В результате поворота вокруг точки В(2;1) на 30  против часовой стрелки точка А(6;1) перешла в точку А1. Найдите координаты этой точки.

5. Прямая m задана уравнением 2х+3у-7=0. Прямая n симметрична прямой m относительно точки В(3;2). Напишите уравнение прямой n.

Контрольная работа №6.

Итоговая по программе 9 класса.

Вариант 1.

Вариант 2.

1. В параллелограмме ABCD точка E, AE:EC=1:5. Разложите вектор   по векторам 

2. Найдите косинус угла между векторами  , если  и угол между векторами   равен 30 .

3. Около круга радиусом R описан правильный шестиугольник. Найдите разность между площадью шестиугольника и круга.

4. Напишите уравнение окружности, симметричной относительно точкиА (-1;3) окружности, заданной уравнением х2+у2-4х+6у=0

5.  Первая окружность радиуса 4 см касается трех сторон прямоугольника. Вторая окружность касается первой внешним образом, а также касается сторон прямого угла. Найдите максимальный радиус второй окружности, если стороны прямоугольника равны 8 см и 12 см.

1. В параллелограмме ABCD точка E, BE:ED=1:4. Разложите вектор   по векторам 

2. Найдите косинус угла между векторами  , если  и угол между векторами   равен 30 .

3. Около круга радиусом R описан правильный треугольник. Найдите разность между площадью треугольника и круга.

4. Напишите уравнение окружности, симметричной относительно точкиА (-2;3) окружности, заданной уравнением х2+у2+6х-4у=0

5. Первая окружность радиуса 9 см касается трех сторон прямоугольника. Вторая окружность касается первой внешним образом, а также касается сторон прямого угла. Найдите максимальный радиус второй окружности, если стороны прямоугольника равны 18 см и 20 см.

Контрольная работа № 7. Итоговая по курсу геометрии (7-9 классы)

Контрольная работа № 7. Итоговая по курсу геометрии (7-9 классы)

Вариант 1.

Вариант 2.

1. В равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 5  см вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а другие две вершины – на боковых сторонах. Найдите сторону квадрата.

2. Найдите площадь круга, вписанного в ромб с диагоналями, равными 12 см и 16 см.

3. Найдите длину медианы ВМ треугольника АВС, если координаты вершин треугольника А (2;5), В (0;0), С(4;3).

4. Точка М является серединой боковой стороны АВ трапеции ABCD. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника MCD равна 28 см2.

5. Окружность радиуса 2 см, центр О которой лежит на гипотенузе АСпрямоугольного треугольника АВС, касается его катетов. Найдите площадь треугольника АВС, если ОА=  см.

1. В равнобедренный треугольник с основанием 14 см и боковой стороной 7  см вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а другие две вершины – на боковых сторонах. Найдите сторону квадрата.

2. Найдите площадь круга, вписанного в ромб с диагоналями, равными 16 см и 30 см.

3. Найдите длину медианы СР треугольника АВС, если координаты вершин треугольника А (-3;-2), В (-13;14), С(0;0).

4. Точка М является серединой боковой стороны АВ трапеции ABCD. Найдите площадь треугольника MCD, если площадь трапеции равна 38 см2.

5. Окружность радиуса 3 см, центр О которой лежит на гипотенузе АСпрямоугольного треугольника АВС, касается его катетов. Найдите площадь треугольника АВС, если ОА=  см.

геометрия — ABCD параллелограмм.

прямая, проходящая через A, пересекает BD в точке X, BC в точке Y и DC в точке Z. Докажите, что AX:XZ = AY:AZ

Задавать вопрос

спросил

Изменено 1 год, 3 месяца назад

Просмотрено 457 раз

$\begingroup$

ABCD — параллелограмм. прямая, проходящая через A, пересекает BD в точке X, BC в точке Y и DC в точке Z. Докажите, что $$AX:XZ = AY:AZ$$

Мой подход

Я понял, что, поскольку вопрос кажется «недостаточным», нужно что-то делать с конструкциями . Увидев «соотношение», я подумал, что оно должно быть связано с подобными треугольниками.

  1. Расширение $AB$

  2. Опустите перпендикуляры из точек $X$,$Y$,$Z$ на $AB$.

    2}{(AZ+AX)XZ}$$, что является противоречием, поскольку $AZ ≠ 0$.

Где моя ошибка и как решить эту проблему?

Дополнение

Когда я увидел, что предшествующее и последующее являются частью одного и того же отрезка, я не понял, что это можно решить без дополнительной конструкции (потому что если $∆ABC \sim ∆A’ B’C’$ можно написать $\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’}$, а так как точки $A$,$B$,$C$ не могут лежать на одной прямой , поэтому члена отношения не могут быть частью одной и той же прямой линии). Всего ради любопытства , я хочу спросить, какой алгоритм следует использовать, чтобы найти требуемые треугольники, которые должны быть доказаны подобными?

  • геометрия

$\endgroup$

$\begingroup$

Боюсь, вы меня потрясли на шаге 3. Вот что я с ним сделал.

Построить прямую через $B$ параллельно $XZ$. Пусть он встречается с $AD$ в точке $K$ и $CD$ в точке $L$. Получаются параллелограммы $ABLZ$ и $KAYB$.

$KB=AY$ и $BL=AZ$ … (противоположные стороны параллелограмма)

$AX:XZ = KB:BL$ … (совпадающие секущие, пересекающие параллельные прямые)

$AX:XZ = AY:AZ$

$\endgroup$

$\begingroup$

В качестве альтернативы, вы можете просто использовать подобные треугольники, чтобы доказать это, без каких-либо дополнительных построений.

Как $\треугольник ADX\sim\треугольник YBX$, $\frac{XY}{AX} = \frac{BY}{AD} = \frac{BY}{BC} $

Добавление $1$ к обеим сторонам, $\frac{AY}{AX} = \frac{BC + BY}{BC} \tag1$

Также как $\triangle ADZ \sim \triangle YBA$,

$\frac{AZ}{AY} = \frac{AD}{BY} = \frac{BC}{BY} \tag2$

Умножение $(1)$ и $(2)$,

$\frac{AZ}{AX} = \frac{ BC+BY}{BY} \ подразумевает \frac{XZ}{AX} + 1 = \frac{BC}{BY} + 1$

Таким образом, $\frac{XZ}{AX} = \frac{BC} {BY} = \frac{AZ}{AY}$ (используя $2$)

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Используя лемму о пересечении, получаем $$\frac{AX}{XZ} = \frac{[ABD]}{[BDZ]} = \frac{AB}{DZ}$$ и $$\frac{AY} {YZ} = \frac{[ABC]}{[BCZ]} = \frac {AB}{CZ}$$ Итак, $\frac{AY}{AZ} = \frac{AB}{CZ+AB} = \frac{AB}{CZ +CD}$

$\endgroup$

$\begingroup$

Ну, без лишних построений, попробую ответить.

$$\треугольник ABX\sim\треугольник ZDX$$ $$\begin{align}\implies\frac{XZ}{AX} & =\frac{DZ}{AB} \\ &=\frac{DC+CZ} {AB} \\ &=\frac{DC}{AB}+\frac{CZ}{AB}\\ &=1+\frac{CZ}{AB}\tag{1}\end{align}$$ Поскольку $\triangle CYZ\sim\triangle AYB$ $$\frac{CZ}{AB}=\frac{YZ}{AY}$$ Вернемся к (1), $$\begin{align}1+\frac{ CZ}{AB} &=1+\frac{YZ}{AY} \\ &=\frac{AY+YZ}{AY}\\ &=\frac{AZ}{AY}\end{align}$$ Следовательно, $$\frac{XZ}{AX}=\frac{AZ}{AY}\ подразумевает AX:XZ=AY:AZ$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Другое решение (убийство мухи базукой), используя перекрестное соотношение:

\begin{align}{AX\over XZ}\cdot {YZ\over AY}&= {AX\over XZ}: {AY\ над YZ}\\ &= (А, Z; X, Y)\\ & = (BA,BZ;BX,BY)\\ &= (B\infty, BZ;BD,BC)\\ &= (\infty,Z;D,C)\\ &={CZ\над DZ} \end{align}

Так как $\triangle CZY\sim \triangle DZA$, мы имеем ${CZ\over DZ }={YZ\over AZ}$ и все готово.

$\endgroup$

2

Математическая задача: Воздушный змей — вопрос №8390, алгебра, выражение переменной из формулы

ABCD — воздушный змей. Угол OBC = 20° и угол OCD = 35°. О — пересечение диагоналей. Найдите угол ABC, угол ADC и угол BAD.

Правильный ответ:

x = 40 °
y = 110 °
z =  55 °

Пошаговое объяснение:

∠OBC=20 ∘ ∠OCD=35 ∘  ∠OBA=∠OBC=20=20 ∘ ∠ABC=∠OBA+∠OBC=20+20=40 ∘  x=∠ABC=40=40∘

∠ОАД= ∠OCD=35=35 ∘ ∠ADO=90−∠OAD=90−35=55 ∘ ∠ODC=∠ADO=55=55 ∘  ∠ADC=∠ADO+∠ODC=55+55=110 ∘  y=∠ADC= 110=110∘

∠BAD=∠OBA+∠OAD=20+35=55 ∘  z=∠BAD=55=55∘


Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

написать нам

. Спасибо!

Советы по использованию связанных онлайн-калькуляторов

См. также наш калькулятор прямоугольного треугольника.
См. также наш калькулятор тригонометрического треугольника.

Для решения этой словесной задачи по математике необходимо знать следующие знания:

  • алгебра
  • выражение переменной из формулы
  • планиметрия 9003 0
  • прямоугольный треугольник
  • треугольник
  • трапеция
Единицы физических величин:
  • угол
Уровень словесной задачи:
  • практика для 13-летних

 

Рекомендуем посмотреть это обучающее видео по этой математической задаче: video1

  • Параллелограмм
    Мы знаем о параллелограмме ABCD: длина |AB| = 76см, |ВС| = 44 см, а угол ∢BAD = 30°.
    Найдите площадь параллелограмма.
  • Пересечение 81594
    Даны трапеция ABCD и размеры внутренних углов. Угол SDC 32° Угол SAD 33° Угол SDA 77° Угол CBS 29°, где S – пересечение диагоналей. Какова величина угла BSA?
  • Алмаз ABCD
    В ромбе ABCD диагональ e = 24 см, а величина угла SAB равна 28 градусам, где S — пересечение диагоналей. Вычислите окружность алмаза.
  • Параллелограмм
    Вычислите площадь параллелограмма ABCD, как показано, если |AB| = 13 см, |ВС| = 99 см и угол BAD = 100°
  • Параллелограмм 80761
    Постройте параллелограмм ABCD, если a=5 см, высота до стороны a равна 5 см, а угол ASB = 120 градусов. S — пересечение диагоналей.
  • Координаты пересечения диагоналей
    В прямоугольной системе координат нарисован прямоугольник ABCD. Эти координаты определяют вершины прямоугольника. A = (2.2) B = (8.2) C = (8.6) D = (2.6) Найдите координаты пересечения диагоналей прямоугольника ABCD.
  • Окружность 16933
    В ромбе ABCD угол BAD равен 60°; длина диагонали BD равна 7 см. Вычислите окружность алмаза.
  • Четырехугольник 27693
    Постройте четырехугольник ABCD с диагоналями AC = e 7см, BD = f = 6,2см, d = 4,3см, a = 5,3см и β = 125°
  • Диагонали трапеций
    Дана трапеция ABCD с основаниями | АБ | = 12 см, |CD| = 8 см. Точка S — это пересечение диагоналей, для которых |AS| имеет длину 6 см. Вычислите длину полной диагонали АС.
  • Коэффициент подобия
    Треугольники ABC и A’B’C’ подобны с коэффициентом подобия 2. Величина углов треугольника ABC равна α = 35° и β = 48°. Найдите величины всех углов треугольника A’B’C’.
  • Гамма-угол
    Найдите модуль гамма-угла в треугольнике ABC, если: α = 38° 56′ и β = 47° 54′.
  • Равнобедренная
    Равнобедренная трапеция ABCD ABC = 12 угол ABC = 40° b=6. Вычислите окружность и площадь.
  • Построение ромб
    Построение параллелограмм (ромб) ABCD, | АБ | = 4 см альфа = 30° и | БД | = 5 см.
  • Найдите
    Найдите третий внутренний угол треугольника ABC, где: α = 48°, γ = 65°.