Превращение энергии при колебаниях пружинного маятника — урок. Физика, 9 класс.

Рассмотрим процесс превращения энергии при колебательном движении идеального горизонтального пружинного маятника.

 

 

Будем считать, что в системе сил трения и сил сопротивления нет.

Когда эта система находится в равновесии и никакого колебания не происходит, скорость тела равна нулю и отсутствует деформация пружины. В этом случае энергии у данного маятника нет.

 

 

Когда тело выводится из положения равновесия, например пружина сжимается на некоторую величину, телу сообщается некоторый запас потенциальной энергии:

 

Eп=kx22.

 

 

Если теперь отпустить груз, не удерживать его, то он начнёт своё движение к положению равновесия, пружина начнёт выпрямляться, и деформация пружины будет уменьшаться. Следовательно, будет уменьшаться и её потенциальная энергия.

Скорость же тела будет увеличиваться, и по закону сохранения энергии потенциальная энергия пружины будет превращаться в кинетическую энергию движения тела:

 

Eк=mv22.

 

 

В момент прохождения те­лом положения равновесия его по­тенциальная энергия равна нулю, а кинетическая будет максимальна.

 

 

Потом вступает в действие явление инерции. Тело, которое обладает некоторой массой, по инерции проходит точку равновесия. Скорость тела начинает уменьшаться, а деформация, удлинение пружины, увеличивается. Следовательно, кине­тическая энергия тела убывает, а потенциальная, наоборот, возрастает.

 

 

В точке максимального отклонения тела его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — максимальна.

 

 

Таким образом, при колебаниях периодически проис­ходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обрат­но.

 

Обрати внимание!

Полная механическая энергия пружинного маятника в каждой точке его траектории постоянна и равна сум­ме его кинетической и потенци­альной энергий:

 

E=mv22+kx22.

Если для вертикального пружинного маятника выбрать систему отсчёта таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю, то всё описанное выше для горизонтального маятника можно применить для данного маятника.

Тест по физике Колебания и волны. Механические колебания для 11 класса

Тест по физике Колебания и волны. Механические колебания для 11 класса с ответами. Тест включает 2 варианта, в каждом по 5 заданий.

1 вариант

A1. Координата колеблющегося тела изменяется в пре­делах от 10 до 30 см. Чему равна амплитуда колебаний тела?

1) 10 см
2) 20 см
3) 30 см
4) 50 см

А2. Тело совершает свободные колебания вдоль оси ОХ, максимальное смещение тела относительно положения равновесия равно 10 см. За одно колебание тело проходит путь 40 см. Вычислите амплитуду колебания.

1) 5 см
2) 10 см
3) 20 см
4) 40 см

А3. Амплитуда колебаний двух пружинных маятников

А1 и А2, период колебаний Т1 и Т2, причем Т1 > Т2. Какое соотношение между амплитудами справедливо?

1) А1 > А2
2) А1 = А2
3) А1 < А2
4) может быть любым

В1. Груз подвешен на нити и отклонен от положения равновесия так, что его высота над Землей увеличилась на 20 см. С какой скоростью тело будет проходить поло­жение равновесия?

C1. К оси подвижного легкого блока, подвешенного на невесомой нерастяжимой нити АВ, соединенной с двумя пружинами жесткостью k1 = 10 Н/м и k2 = 20 Н/м, прикреплено тело мас­сой m

= 100 г так, как показано на ри­сунке. Блок может свободно скользить по нити. Пренебрегая трением в оси блока, определите период малых колебаний тела.

2 вариант

A1. При свободных колебаниях шар на нити за 0,2 с проходит путь от левого крайнего положения до положения равновесия. Каков период колебаний?

1) 0,2 с
2) 0,4 с
3) 0,8 с
4) 2,5 с

А2. В процессе гармонических колебаний тела вдоль пря­мой амплитуда колебаний составляет 0,5 м. Чему равен путь, пройденный телом за период колебаний?

1) 0
2) 0,5 м
3) 1 м
4) 2 м

А3. Как изменится период колебаний груза на пружине, если массу груза уменьшить в 2 раза?

1) увеличится в √2 раз
2) уменьшится в √2 раз
3) увеличится в 2 раза
4) уменьшится в 2 раза

B1. В некоторый момент кинетическая энергия пружин­ного маятника равна 10 Дж, потенциальная энергия 15 Дж. Жесткость пружины равна 200 Н/м. Вычислите амплитуду колебаний.

C1. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой m = 0,1 кг. Брусок соединен с вертикальными стойками: с левой стойкой через легкий блок, пружину жесткостью k1 = 20 Н/м и нить АВ, с правой — с помощью пружины жесткостью k2 = 40 Н/м. (См. рисунок.) Блок может свободно скользить по нити. Пренебрегая трением в оси блока, определите период малых колебаний тела. В положении равновесия обе пружины растянуты.

Ответы на тест по физике Колебания и волны. Механические колебания для 11 класса
1 вариант
А1-3
А2-2
А3-4
В1. 1/2 м
С1. 0,38 с
2 вариант
А1-3
А2-4
А3-2
В1. 0,5 м
С1. 0,18 с

Методы испытаний на стойкость к механическим внешним воздействующим факторам машин, приборов и других технических изделий. Удары по оболочке изделия – РТС-тендер


ГОСТ 30630.1.10-2013
(IEC 60068-2-75:1997)

ОКС 01.120*
ОКП 31 0000-52 0000;
60 0000-80 0000;
94 0000
_______________
* В ИУС 5-2015 ГОСТ 30630.1.10-2013 приводится с ОКС 19.040. —
— Примечание изготовителя базы данных.

Начальная дата введения 2015-01-01*
__________________________________
* Порядок введения в действие
настоящего стандарта —
в соответствии с приложением Ж. —
Примечание изготовителя базы данных.

Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандартизации установлены в ГОСТ 1.0-92 «Межгосударственная система стандартизации. Основные положения» и ГОСТ 1.2-2009 «Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила, рекомендации по межгосударственной стандартизации. Правила разработки, принятия, обновления и отмены».


Сведения о стандарте

1 РАЗРАБОТАН Техническим комитетом по стандартизации ТК 341 «Внешние воздействия»

2 ВНЕСЕН Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии

3 ПРИНЯТ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол от 14 ноября 2013 г. N 44)

За принятие стандарта проголосовали:

Краткое наименование страны по МК (ИСО 3166) 004-97

Код страны по
МК (ИСО 3166) 004-97

Сокращенное наименование национального органа по стандартизации

Беларусь

BY

Госстандарт Республики Беларусь

Казахстан

KZ

Госстандарт Республики Казахстан

Киргизия

KG

Кыргызстандарт

Россия

RU

Росстандарт

Таджикистан

TJ

Таджикстандарт

Узбекистан

UZ

Узстандарт

4 Настоящий стандарт является модифицированным по отношению к международному стандарту IEC 60068-2-75:1997* Environmental testing — Part 2: Tests — Test Eh: Hammer tests (Методы испытаний на воздействие внешних факторов. Часть 2. Испытания. Испытание Eh. Испытание ударником) с дополнениями, уточняющими область применения стандарта, а также дополнениями и уточнениями в области выбора параметров безопасности и другими, выделенные курсивом**.
________________
* Доступ к международным и зарубежным документам, упомянутым здесь и далее по тексту, можно получить, перейдя по ссылке на сайт http://shop.cntd.ru;
** В бумажном оригинале обозначения и номера стандартов и нормативных документов в разделах «Предисловие» и «Область применения», Приложениях А, В и Е приводятся обычным шрифтом, остальные по тексту документа выделены курсивом. — Примечание изготовителя базы данных.



Степень соответствия международному стандарту и преимущества настоящего стандарта приведены в обобщенном виде во введении, в более конкретном виде в Приложении Е к настоящему стандарту.

Настоящий стандарт идентичен национальному стандарту Российской Федерации ГОСТ Р 52762-2007 (МЭК 60068-2-75:1997)

5 Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 10 сентября 2014 г. N 1073-ст межгосударственный стандарт ГОСТ 30630.1.10-2013 (IEC 60068-2-75:1997) введен в действие в качестве национального стандарта Российской Федерации. Дата введения стандарта в действие 01.01.2015; порядок введения — в соответствии с текстом стандарта.

6 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

7 ПЕРЕИЗДАНИЕ. Май 2015 г.


Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном информационном указателе «Национальные стандарты», а текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячном информационном указателе «Национальные стандарты». Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет



Введение

I Требования настоящего стандарта относятся к вопросам безопасности, обеспечиваемой стойкостью технических изделий к внешним воздействующим факторам при эксплуатации.

Настоящий стандарт является частью комплекса стандартов «Методы испытаний на стойкость к внешним воздействующим факторам машин, приборов и других технических изделий» (группа стандартов ГОСТ 30630), состав которого приведен в

ГОСТ 30630.0.0-99, приложение Е.

Настоящий стандарт соответствует международному стандарту, указанному в Предисловии, но при этом настоящий стандарт охватывает всю совокупность технических изделий, что в настоящее время отсутствует в международных стандартах, относящихся к внешним воздействующим факторам, а также дополняет и уточняет вопросы выбора параметров безопасности при испытании изделий.

II Механические удары по оболочке, которым обычно подвергаются в эксплуатации технические изделия, могут быть воспроизведены ударниками различных типов. Для целей стандартизации результаты таких испытаний не должны зависеть от типа испытательных устройств и, следовательно, характеристики различных типов испытательных ударников, описанных в настоящем стандарте, должны быть таковы, чтобы, насколько это возможно, при одинаковых уровнях жесткости приводить к одинаковым результатам.


1 Область применения

Настоящий стандарт распространяется на машины, приборы и другие технические изделия всех видов (далее — изделия), которым предъявлено требование по воздействию ударов посторонних предметов с энергией до 50 Дж и устанавливает методы их соответствующих испытаний.

Стандарт применяют совместно с ГОСТ 30630.0.0.

Требования разделов 3-6 и приложений А, Б, В настоящего стандарта относятся к требованиям безопасности и являются обязательными.

2 Нормативные ссылки

ГОСТ 380-2005 Сталь углеродистая обыкновенного качества. Марки

ГОСТ 9013-59 Металлы. Метод измерения твердости по Роквеллу

ГОСТ 11472-69 Допуски и посадки. Классы точности 02-09

ГОСТ 15150-69 Машины, приборы и другие технические изделия. Исполнения для различных климатических районов. Категории, условия эксплуатации, хранения и транспортирования в части воздействия климатических факторов внешней среды

ГОСТ 24622-91 Пластмассы. Определение твердости. Твердость по Роквеллу

ГОСТ 26883-86 Внешние воздействующие факторы. Термины и определения

ГОСТ 30630.0.0-99 Методы испытаний на стойкость к внешним воздействующим факторам машин, приборов и других технических изделий. Общие требования

Примечание — При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодному информационному указателю «Национальные стандарты», который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по выпускам ежемесячного информационного указателя «Национальные стандарты» за текущий год. Если ссылочный стандарт заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться заменяющим (измененным) стандартом. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.

3 Общие требования для всех методов испытаний

3.0 Цель

Настоящий стандарт устанавливает три стандартизованных и скоординированных метода испытаний для определения способности образца для испытаний (далее — образца) выдерживать удар по оболочке нормированных жесткостей. Методы применяют, в частности, для подтверждения способности сохранять необходимый уровень работоспособности и безопасности изделия при воздействии на его оболочку ударов предписанного количества и жесткости.

Настоящий стандарт охватывает энергетические уровни от 0,14 Дж до 50 Дж.

При испытаниях применяют три вида испытательных устройств. В приложении В приведено руководство по этому вопросу.

3.1 Термины и определения

В настоящем стандарте применены термины с соответствующими определениями и сокращениями, относящиеся к областям:

— общих понятий внешних воздействующих факторов (далее — ВВФ): По ГОСТ 15150 и ГОСТ 26883;

— испытаний на стойкость к ВВФ: По ГОСТ 30630.0.0.

Нижеследующие термины и определения используются только в настоящем стандарте. Определения, используемые только в разделах 4 и 6, приведены в разделах 4 и 6.

3.1.1 Точка крепления: часть образца, которая соприкасается с крепежным приспособлением, в той точке, в которой образец обычно крепится в эксплуатации;

3.1.2 Ударник (ударный элемент): деталь ударного устройства, непосредственно осуществляющая при испытаниях удар заданной энергии по оболочке образца.

Примечание — Эквивалентный английский термин — «hummer»; в некоторой нормативной документации на русском языке применяют термин «молоток»;

3.1.3 Ударная поверхность: поверхность ударника, непосредственно осуществляющая удар;

3.1.4 Эквивалентная масса: масса ударного элемента и любой соответствующей части испытательного устройства, которые, с учетом их скоростей, обеспечивают энергию удара.

Примечание — Для случая маятникового копра смотри 4.1.3.

3.2 Степени жесткости

3.2.1 Общее

Жесткости, определяемые значением энергии удара, выбирают по 3.2.2, а число ударов — по 3.2.3.

3.2.2 Значение энергии удара

Значение энергии удара выбирается одно из следующего ряда, в соответствии с НД на изделие:

0,14 — 0,2 — 0,35 — 0,5 — 0,7 — 1 — 5 — 10 — 20 — 50 (Дж)

3.2.3 Число ударов

Если иное не установлено в НД на изделие, то число ударов в каждое место приложения удара должно равняться трем.

3.3 Испытательное устройство

3.3.1 Описание

Для данных испытаний применимы три типа испытательных устройств:

— маятниковый копёр;

— пружинное ударное устройство;

— вертикальное ударное устройство.

В зависимости от типа испытательного устройства, в разделах 4, 5 и 6 испытания обозначены 118-1; 118-2; 118-3 соответственно. Общие характеристики ударника в основном подобны во всех трех случаях и приведены в таблице 1, схема приведена на рисунке 1.


Таблица 1 — Общие характеристики ударника

Значение энергии, Дж

1
±10%

2
±5%

5
±5%

10
±5%

20
±5%

50
±5%

Эквивалентная масса, ±2%, кг

0,25 (0,2)

0,5

1,7

5

5

10

Материал

Полиамид

Сталь

, мм

10

25

25

50

50

50

, мм

18,5 (20)

35

60

80

100

125

, мм

6,2 (10)

7

10

20

20

25

, мм



6


10

17

, мм

Должна соответствовать эквивалентной массе, см. приложение А

85100, твердость по Роквеллу — по ГОСТ 24622.

Марка стали СТ2кп, СТ2пс или СТ2сп по ГОСТ 380; твердость по Роквеллу: 80…85 — по ГОСТ 9013.


Размеры указаны в миллиметрах. Допуски — в соответствии с классом «» по ГОСТ 11472, если иное не указано в НД на изделие.

Рисунок 1 — Пример ударника


Рисунок 1 — Пример ударника

Ударную поверхность подвергают визуальному осмотру перед каждым ударом, чтобы убедиться в отсутствии разрушений, которые могут повлиять на результат испытаний.

3.3.2 Размещение образца

В соответствии с требованиями НД на изделие, образец:

а) крепят твердом* плоском основании в нормальном эксплуатационном положении, или

б) прижимают к твердой плоской поверхности.
________________
* Текст документа соответствует оригиналу. — Примечание изготовителя базы данных.


Для достижения жесткости крепления, в некоторых случаях образец прижимают к твердой массивной поверхности, например, к кирпичным или бетонным стене или полу, покрытым листом полиамида, плотно прилегающего к поверхности и закрепленного на ней. Следует убедиться в отсутствии воздушной прослойки между слоем полиамида и поверхностью. Полиамид должен иметь твердость по Роквеллу 85100 по ГОСТ 24622, толщина листа полиамида приблизительно 8 мм; образец должен быть закреплен таким образом, чтобы те части поверхности, к которым образец не крепится, не были механически напряжены.

Устройство для крепления образца считается достаточно жестким, если смещение какой-либо поверхности этого устройства не превышает 0,1 мм, в том случае, когда непосредственно по этой поверхности проводят удар с таким же уровнем энергии, как по образцу.

Примечания.

1. Для образцов, для которых предполагаемая энергия удара не превышает 1 Дж, на рисунках Г.3-Г.5 приведены примеры крепления и размещения.

2. Если масса устройства крепления по меньшей мере в 20 раз превышает массу образца, то жесткость крепления может считаться достаточной.

3.4 Общие требования по измерению параметров изделий и начальная стабилизация

3.4.1 Перед началом и после испытания (а если установлено в НД на изделия, то и в процессе испытаний) изделие должно быть подвергнуто внешнему осмотру и должны быть измерены его параметры в соответствии с разделом 4 ГОСТ 30630.0.0, в частности — параметры изделия, определяющие безопасность. Если изделие предназначено для эксплуатации при подключении его к источникам электропитания от 40 до 400 В, то при испытании изделие должно быть подключено к таким источникам электропитания, даже если в НД на изделие предусмотрено его испытание в нерабочем состоянии. При этом в число измеряемых параметров изделия должна быть включена проверка электрической прочности его изоляции.

3.4.2 Если в НД на изделие приведено требование о начальной стабилизации, то в НД должны быть описаны ее условия.

3.5 Начальные измерения

Образец должен быть подвергнут внешнему осмотру, должны быть измерены его внешние размеры и функциональные параметры, описанные в НД.

3.6 Испытания

Должны быть исключены вторичные удары, т.е., отдача или отскок.

3.6.1 Расположение и место удара

В НД на изделие должны быть установлены расположение образца и место (места) на образце, где наиболее вероятно повреждение при эксплуатации и где может быть приложен удар. Если иное не указано в НД на изделие, удары должны быть приложены перпендикулярно к испытуемой поверхности.

3.6.2 Подготовка образца

В НД на изделие должны быть установлены необходимые требования по защите неударяемых мест корпуса, покрытий и подобных частей образца перед нанесением ударов.

Примечание — может оказаться необходимым принять во внимание требования по проведению измерений в процессе испытаний (см. 3.6.3, б).

3.6.3 Режим работы и измерения параметров в процессе испытаний

В НД на изделие должно быть установлено:

а) требуется ли, чтобы образец работал во время удара;

б) требуется ли какое либо измерение в процессе испытаний.

В обоих случаях в НД на изделие должны быть указаны критерии, по которым образец будет считаться выдержавшим или не выдержавшим испытание.

Примечание — следует обратить внимание на то, что, если образец будет разбит, то его внутренние части могут представлять опасность.

3.7 Конечная стабилизация

Если в НД на изделие приведено требование о конечной стабилизации, то в НД должны быть описаны ее условия.

3.8 Заключительные измерения

Образец должен быть подвергнут внешнему осмотру, должны быть измерены его внешние размеры и функциональные параметры, описанные в НД.

В НД на изделие должны быть указаны критерии, по которым образец будет считаться выдержавшим или не выдержавшим испытание.

3.9 Информация, которая должна быть указана в НД на изделие

Если один из методов испытаний по настоящему стандарту включен в НД на изделие, то должны быть установлены следующие этапы испытаний, если они требуются для данного изделия, при этом особое внимание уделяется пунктам, помеченным «*», так как эта информация требуется постоянно:

Пункт

а)

Энергия удара*

3.2.2

б)

Число ударов, отличное от трех

3.2.3

в)

Вид (виды) испытательных устройств

3.3.1

г)

Размещение образца*

3.3.2

д)

Начальная стабилизация

3.4

е)

Начальные измерения*

3.5

ж)

Расположение и место удара*

3.6.1

з)

Защита неударяемых мест корпуса, покрытий и подобных частей образца

3.6.2

и)

Режим работы и измерения параметров в процессе испытаний*

3.6.3

к)

Критерии пригодности и непригодности*

3.6.3 и 3.8

л)

Конечная стабилизация

3.7

м)

Заключительные измерения*

3.8

4 Испытание 118-1: Маятниковый копёр

4.1 Определения

Для данного метода дополнительно используют следующие термины и определения:

4.1.1 измерительная точка: Точка на поверхности ударника в месте пересечения с этой поверхностью линии, проходящей через точку пересечения осей ударника и плеча маятника и являющейся перпендикуляром к плоскости, проходящей через обе указанные оси (см. рисунок 2).

Примечания.

1. В некоторых стандартах МЭК, содержащих испытание при помощи маятникового копра, используют термин «контрольная точка».

2. Теоретически, измерительной точкой должен быть центр масс ударника. На практике же, центр масс является трудно определяемым и недоступным, и поэтому измерительная точка определяется, как указано выше.

Рисунок 2 — Местоположение измерительной точки

1 — измерительная точка

2 — ось ударника

Рисунок 2 — Местоположение измерительной точки

4.1.2 высота перемещения: Проекция на вертикаль расстояния между местом нахождения измерительной точки в момент освобождения маятника и ее местом в момент удара (см. рисунок Г.1).

4.1.3 эквивалентная масса: Масса условного ударника, вычисленная путем деления на ускорение свободного падения измеренного значения силы (в ньютонах), направленной вдоль вертикально расположенной оси ударника и необходимой для удержания плеча маятника в горизонтальном положении (смотри также примечание 2 к таблице 2).

Примечание — в случае, когда масса рычага маятника распределена равномерно, эквивалентная масса равна сумме комбинированной массы ударника и половины массы плеча.


Таблица 2 — Высота перемещения

Энергия, Дж

0,14

0,2

0,5

0,7

1

2

5

10

20

50

Эквивалентная масса, кг

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

1,7

5

5

10

Высота перемещения по вертикали, мм ±1%

56

80

200

280

400

400

300

200

400

500

Примечание. В настоящем стандарте энергию, Дж, определяют, используя стандартное ускорение в качестве ускорения свободного падения , округленное до 10 м/с.

4.1.4 комбинированная масса ударника: Сумма масс ударника и элементов крепежной системы.

4.2 Испытательное устройство

Испытательное устройство состоит, в основном из маятника, ось вращения которого расположена в его верхнем конце, и который во время движения удерживается в вертикальной плоскости. Расстояние между осью плеча и измерительной точкой составляет 1000 мм. Маятник состоит из плеча требуемой жесткости и ударника в соответствии с требованиями по таблице 1.

Если испытание трудно провести вследствие больших габаритов или массы образца, можно использовать переносной маятник. Он должен удовлетворять вышеуказанным требованиям, но его плечо может быть закреплено прямо на образце или на переносной конструкции. В этом случае перед испытанием необходимо убедиться в том, что ось маятника находится в горизонтальном положении, что его крепление достаточно жестко, и что точка приложения удара находится в вертикальной плоскости, проходящей через ось.

Во всех случаях, когда маятник освобождают, он должен падать только под действием силы тяжести.

4.2.1 Испытательное устройство для жесткостей, не превышающих 1 Дж

Ударник состоит из стального корпуса с полиамидным вкладышем полусферической формы. Его комбинированная масса равна 200 г ±1 г с тем, чтобы эквивалентная масса удовлетворяла требованиям таблицы 1. Пример испытательного устройства приведен в приложении Г.

4.2.2 Испытательное устройство для жесткостей, превышающих 2 Дж

Отношение массы плеча к комбинированной массе ударника не должно превышать 0,2 и центр масс ударника должен быть расположен как можно ближе к оси плеча.

Примечание — В некоторых случаях вместо плеча маятника применяют шнур с закрепленным на конце стальным шариком. Но это не рекомендуется, так как конфигурация шарика не соответствует конфигурации ударника, нормированного в настоящем стандарте.

4.3 Высота перемещения по вертикали

Для того, чтобы осуществить удар требуемой жесткости ударник должен перемещаться с высоты, зависящей от эквивалентной массы в соответствии с таблицей 2.

4.4 Испытание

Для устранения вторичных ударов вследствие отскока в маятнике должен быть предусмотрен захват ударника после первого удара.

5 Испытание 118-2: Пружинное ударное устройство

5.1 Испытательное устройство

Пружинное ударное устройство состоит из трех основных частей: корпуса, ударника и спусковой системы.

Корпус состоит из ствола, направляющего устройства ударника и спускового механизма; все части должны быть жестко соединены.

Ствол, как правило, оканчивается направляющим усеченным конусом, плоскость усечения которого перпендикулярна его оси. При испытании ствол прикладывают к образцу в направлении, перпендикулярном ударяемой поверхности, в точке, подвергаемой испытанию. Таким образом, плоскость усечения конуса является плоскостью удара.

Ударник состоит из головки, стержня и рукоятки. Масса в сборе должна быть равна 250 г для энергетического уровня не более 1 Дж, и 500 г — для 2 Дж (смотри таблицу 1).

Сила, необходимая для освобождения ударника при помощи спускового устройства, не должна превышать 10 Н.

Конфигурация стержня, головки и способ регулировки пружины должны быть такими, чтобы максимальная накопленная энергия была получена ударником на расстоянии 1 мм до места удара. Таким образом, на последнем миллиметре своего движения, непосредственно перед ударом, ударник (если пренебречь трением) обладает только кинетической энергией. Более того, при наладке устройства, после того как кончик головки проходит плоскость удара, ударник может продолжать двигаться свободно, без помех, на расстояние от 8 мм до 12 мм.

Пример испытательного устройства для энергии удара не более 1 Дж приведен в приложении Д.

Для соответствия требованиям таблицы 1 для 2 Дж форма головки ударника должна быть цилиндрической, длиной 23 мм и диаметром 35 мм (смотри рисунок 3).

Рисунок 3 — Форма головки ударника для 2 Дж


Рисунок 3 — Форма головки ударника для 2 Дж

5.2 Влияние силы тяжести

Если пружинное ударное устройство используется не в горизонтальном положении, то фактическая энергия, Дж, будет отличаться на величину . Эта величина будет положительной, если удар направлен вниз, и отрицательной при направлении вверх.

,

где

— масса ударника, кг;

— путь ударника внутри пружинного ударного устройства, м;

— угол оси ударника к горизонтали.

Это отклонение должно учитываться при установлении фактической энергии.

5.3 Калибровка

Пружинное ударное устройство должно быть откалибровано. В приложении Б приведена стандартная методика (смотри Б.2 для 2 Дж). Могут быть использованы другие методы регулировки, если они обеспечивают требуемую точность.

6 Испытание 118-3: Вертикальное ударное устройство

6.1 Определение

«Высота перемещения» — по 4.1.2.

6.2 Испытательное устройство

Устройство состоит, в основном, из ударника, который свободно перемещается по вертикали с места крепления на поверхность образца, находящегося в горизонтальной плоскости; высоту перемещения выбирают по таблице 2. Характеристики ударника должны удовлетворять требованиям таблицы 1. Перемещение ударника должно осуществляться по направляющей, например трубе, при этом торможение незначительно и не учитывается. Направляющая не должна касаться образца и ударник не должен соприкасаться с направляющей в момент удара об образец. Для уменьшения трения длина ударника не должна быть меньше его диаметра , и должен быть предусмотрен небольшой зазор (например, 1 мм) между ударником и направляющей.

6.3 Высота перемещения

Высоту перемещения выбирают по таблице 2, эквивалентная масса, установленная в ней, должна быть равна фактической массе ударника.

Приложение А (обязательное). Форма ударника

Приложение А
(обязательное)

На рисунках А.1-А.6 приведены виды ударников, отвечающие характеристикам, определенным в таблице 1. Необходимо отметить, что длину ударника вычисляют для маятникового ударного устройства, пренебрегая массой плеча, или как для вертикального ударного устройства. Если массой плеча нельзя пренебречь, она должна быть уменьшена настолько, чтобы эквивалентная масса удовлетворяла требованиям таблицы 1 (смотри 4.1.3). Для 20 Дж и 50 Дж чтобы согласовать эквивалентную массу с другими параметрами по таблице 1, необходимо выдолбить конец, противоположный ударяющей поверхности, чтобы уменьшить влияние массы этого конца на общую эквивалентную массу пары «ударник — плечо».

Рисунок А.1 — Пример ударника для энергии <-1 Дж


Рисунок А.1 — Пример ударника для энергии 1 Дж

Рисунок А.2 — Пример ударника для энергии 2 Дж


Рисунок А.2 — Пример ударника для энергии 2 Дж

Рисунок А.3 — Пример ударника для энергии 5 Дж


Рисунок А.3 — Пример ударника для энергии 5 Дж

Рисунок А.4 — Пример ударника для энергии 10 Дж


Рисунок А.4 — Пример ударника для энергии 10 Дж

Рисунок А.5 — Пример ударника для энергии 20 Дж


Рисунок А.5 — Пример ударника для энергии 20 Дж

Рисунок А.6 — Пример ударника для энергии 50 Дж


Рисунок А.6 — Пример ударника для энергии 50 Дж

Все кромки должны быть отшлифованы.

Размеры даны в миллиметрах. Допуски как для класса по ГОСТ 11472, если иное не указано в НД на изделие.

Приложение Б (обязательное). Метод калибровки пружинного ударного устройства

Приложение Б
(обязательное)

Б.1 Принцип калибровки

Принцип данного метода калибровки — это сравнение энергии, вырабатываемой пружинным ударным устройством (которую сложно измерить непосредственно) с энергией маятника, рассчитанной исходя из его массы и высоты перемещения.

Б.2 Конструкция калибровочного устройства

Собранное калибровочное устройство приведено на рисунке Б.1. Кроме стойки, основными частями устройства являются: ось — 1; маркер — 2; маятник — 3; ячейка для спускового устройства — 4; спусковое устройство — 5.

Рисунок Б.1 — Регулировочное устройство

1 — ось;

2 — маркер;

3 — маятник;

4 — ячейка для спускового устройства;

5 — спусковое устройство;

6 — шкала;

7 — точка соприкосновения ударника с маятником, т.е. точка удара

Рисунок Б.1 — Регулировочное устройство

Основной частью калибровочного устройства является маятник «3», приведенный на рисунке Б.2. На нижнем конце этого маятника закреплена стальная пружина, детально представленная на рисунке Б.3. Пружину изготовляют из пружинной стали любой марки, не требующей специальной обработки, и жестко закрепляют на маятнике «3».

Рисунок Б.2 — Маятник «3»


Рисунок Б.2 — Маятник «3»

Рисунок Б.3 — Стальная пружина маятника «3»


Рисунок Б.3 — Стальная пружина маятника «3»

На рисунке Б.4 представлены некоторые детали в большем масштабе.

Рисунок Б.4 — Детали наладочного устройства


Рисунок Б.4 — Детали наладочного устройства

Следует отметить, что конструкция пружины по рисунку Б.3 предназначена для калибровки пружинного ударного устройства, характеристики которого по таблице 1 относятся к энергетическому уровню равному или меньшему 1 Дж. Для калибровки пружинного ударного устройства, характеристики которого по таблице 1 относятся к энергетическому уровню равному 2 Дж, конструкция пружины для маятника калибровочного устройства должна быть другой.

Для получения большей равномерности нажима маркера и смягчения толчков маятника во время калибровки, между металлическими поверхностями оси и отверстиями в стойке прокладывают полоску тонкой ткани, которую слегка прикрепляют к оси путем бандажирования мягкой проволокой.

Поскольку спусковое устройство перемещается во время калибровки, его привинчивают к ячейке для спускового устройства.

Б.3 Метод калибровки калибровочного устройства

Калибровку калибровочного устройства (рисунок Б.5) осуществляют путем использования калибровочного ударника «8», извлеченного из пружинного ударного устройства. Калибровочный ударник подвешивают на четырех льняных нитях «9», закрепленных на горизонтальной плоскости, находящейся на высоте 2000 мм над местом соприкосновения маятника с калибровочным ударником, в момент, когда последний находится в состоянии покоя. Калибровочный ударник может быть отклонен от маятника, причем точка соприкосновения движущегося обратно ударника с маятником — точка «7» — не должна более чем на 1 мм отстоять от точки соприкосновения маятника с ударником в состоянии покоя последнего. Таким образом, устройство следует расположить так, чтобы места подвеса нитей находились над местами соприкосновения калибровочного ударника с маятником.

Рисунок Б.5 — Устройство для наладки регулировочного устройства

3 — маятник с рисунка Б.1

7 — точка удара

8 — наладочный ударник

9 — льняные нити

10 — стеклянные трубки

11 — шкала

12 — тонкая нить

Для ясности на данном рисунке из регулировочного устройства показан только маятник «3»

Рисунок Б.5 — Устройство для наладки регулировочного устройства

После регулировки системы подвеса ось калибровочного ударника «8» должна находиться под прямым углом к плоскости удара о пружину маятника «3» и калибровочный ударник в момент удара должен находиться в горизонтальном положении.

Когда калибровочный ударник находится в состоянии покоя, калибровочное устройство располагают таким образом, чтобы точка «7» находилась точно около головки калибровочного ударника.

Для получения удовлетворительного результата калибровочное устройство жестко фиксируют на массивной опоре, например, на строительной конструкции здания.

Высоту перемещения измеряют от центра масс калибровочного ударника; измерение можно облегчить, используя жидкостное устройство для определения уровня, состоящее из двух стеклянных трубок «10», с миллиметровой шкалой, соединенных гибким шлангом. Одну из трубок закрепляют и совмещают со шкалой «11».

Калибровочный ударник может быть удержан в верхнем положении при помощи тонкой нити «12», при обрезке которой калибровочный ударник освобождается.

Для разметки калибровочного устройства на шкале указателя рисуют окружность, центр которого совпадает с центом оси маятника, а радиус таков, чтобы круг достигал маркера. На этом круге точку 0 Дж, показанную на рисунке Б.6, отмечают в точке, находящейся напротив маркера, когда последний соприкасается с маятником, находящимся в состоянии покоя.

Рисунок Б.6 — Разметка шкалы «6»


Рисунок Б.6 — Разметка шкалы «6»

Точку на шкале, соответствующую 1 Дж, получают путем отклонения подвешенного калибровочного ударника от точки «7» на пружине маятника. После удара о маятник калибровочный ударник должен быть остановлен. При этом высота перемещения калибровочного ударника массой 250 г должна составлять 408 мм ±1 мм.

Эту операцию проводят, как минимум 10 раз, и точку, соответствующую 1 Дж устанавливают как средний из всех результатов.

Другие точки на шкале определяют следующим образом:

а) проводят прямую линию из центра окружности до точки 0 Дж;

б) ортогональную проекцию точки 1 Дж на этой линии обозначают ;

в) расстояние между точками 0 Дж и делят на 10 равных частей;

г) через каждую отмеченную точку проводят перпендикуляр к линии 0 Дж — ;

д) точки пересечения этих линий с окружностью представляют собой значения энергии удара 0,1 Дж; 0,2 Дж; …0,9 Дж.

По аналогичному принципу размечают шкалу для точек более 1 Дж. Разметка шкалы «6» показана на рисунке Б.6.

Б.4 Применение калибровочного устройства

Пружинное ударное устройство, которое должно быть откалибровано, помещают в ячейку для спускового устройства. Затем ударник выпускают три раза при помощи спускового устройства; это не следует делать вручную.

Для каждого замера ударник пружинного ударного устройства поворачивают вокруг оси. За фактическое значение ударной энергии принимают среднее из трех замеров.

Приложение В (справочное). Руководство

Приложение В
(справочное)

В.1 Применимость испытаний по настоящему стандарту

Применимость испытаний по настоящему стандарту — по разделу 1.

Энергетический диапазон ударов по настоящему стандарту, как правило, перекрывает энергетический диапазон для тех случаев, когда в эксплуатации возможны удары по оболочке посторонними предметами. Требования для более ограниченных случаев, как правило, находятся в нижней части энергетического диапазона. Более высокие энергии удара могут возникать в некоторых частных случаях, таких, как вандализм или дорожно-транспортное происшествие. В этих случаях применяют специальные методы испытаний, не установленные в настоящем стандарте, или используют дополнительную защиту, например, барьеры или стены.

Испытание частично применимо для хрупких изделий.

В.2 Выбор испытательного устройства

В настоящем стандарте приведены три метода испытаний, которые дают сопоставимые результаты. С точки зрения достижения повторяющихся и воспроизводимых результатов учитывают, что это испытание более зависимо от деталей испытательных устройств по сравнению с другими методами, предусмотренными комплексом стандартов ГОСТ 30630.

Выбор испытательного устройства зависит от расположения поверхности, которая подлежит испытанию и от уровня энергии удара. Не все методы могут быть использованы в каждом частном случае. Очевидно, что метод маятника может быть применен только для вертикальных поверхностей без выступающих деталей. Подобно этому вертикальное ударное устройство обычно может быть использовано только для подходящих горизонтальных поверхностей. Если образец, по какой-либо причине, нельзя передвинуть или повернуть, то выбор метода ограничен. Преимущество пружинного ударного устройство состоит в том, что его можно использовать в любом положении образца, ограниченном только достаточными размерами окружающего пространства, чтобы его можно было приложить к образцу, и тем, что нормированная энергия удара не может превышать 2 Дж. Для более высоких уровней энергии пружинное ударное устройство может быть неудобно для перемещения и представлять опасность для оператора.

В.3 Выбор уровня энергии

Энергия ударов зависит от массы ударника и его скорости. В таблице В.1 приведены теоретические уровни энергии, которая может быть достигнута при вертикальном перемещении, соответствующие значениям, приведенным в настоящем стандарте. Величины, указанные в таблице В.1, соответствуют ударам, направленным перпендикулярно к поверхности образца. Такие же значения энергии могут быть достигнуты при той же массе ударника и при указанных в таблице В.1 скоростях, полученных другими способами.


Таблица В.1 — Уровни энергии, в Джоулях

Высота перемещения, м

Скорость, м/сек

Масса ударяющего объекта, кг

0,1

0,2

0,5

1

2

5

0,1

1,4

0,1

0,2

0,5

1

2

5

0,2

2

0,2

0,4

0,5

1

2

5

0,5

3,1

0,5

1

2,5

5

10

25

1

4,4

1

2

5

10

20

50

В.4 Информация для испытаний

В НД на изделие должно быть учтено, что температура образца может повлиять на результаты испытаний.

Испытания по настоящему стандарту могут быть предусмотрены в составе циклических испытаний совместно с другими испытаниями, но следует принять во внимание, что некоторые нормированные испытания проводят на новых образцах, в этих случаях они должны быть включены в цикл перед испытаниями по настоящему стандарту.

Основным характеристическим критерием является то, каким образом воздействие ударов влияет на работоспособность и долговечность образца.

Другим важным аспектом является безопасность, которая должна быть приоритетной при прочих равных условиях.

Приложение Г (справочное). Пример испытательного устройства для маятникового копра

Приложение Г
(справочное)

На рисунке Г.1 приведен пример испытательного устройства для испытания на маятниковом копре для энергии, не превышающий 1 Дж. Ударник соответствует 4.2.1 и рисунку Г.1. Плечо изготовлено из стальной трубки с наружным диаметром 9 мм (номинальным) и толщиной стенки 0,5 мм (номинальной).

Рисунок Г.1 — Испытательная аппаратура


Рисунок Г.1 — Испытательная аппаратура

Рисунок Г.2 — Ударник для маятникового копра для энергии <-1 Дж


Примечание — смотри таблицу 1

Размеры указаны в миллиметрах

Рисунок Г.2 — Ударник для маятникового копра для энергии 1 Дж

Образцы размещают на квадратном листе из клееной фанеры любой марки толщиной 8 мм со стороной 175 мм. Лист закреплен сверху и со стороны боковых граней при помощи жесткой крепежной скобы, являющейся частью крепежного приспособления, пример которого приведен на рисунке Г.3. Крепежное приспособление имеет массу 10 кг ±1 кг и крепится на жесткой раме при помощи болтов. Рама, в свою очередь, фиксируется на твердой стене.

Рисунок Г.3 — Монтажное приспособление


Размеры указаны в миллиметрах

Рисунок Г.3 — Монтажное приспособление

Устройство крепления должно быть таким, чтобы:

а) образец был размещен таким образом, чтобы точка удара лежала в вертикальной плоскости, проходящей через ось стержня маятника;

б) образец можно было передвигать горизонтально, а затем поворачивать вокруг своей оси перпендикулярно поверхности фанеры;

в) фанера может поворачиваться вокруг вертикальной оси.

Образцы устанавливают на фанере в нормальном эксплуатационном положении. Если невозможно установить образцы прямо на фанеру, то в НД на изделие должно быть предусмотрено соответствующее крепление. Например, крепление для внутренних выключателей показано на рисунке Г.4, а крепление для патрона лампы — на рисунке Г.5.

Рисунок Г.4 — Крепление для внутренних выключателей


Размеры указаны в миллиметрах

Рисунок Г.4 — Крепление для внутренних выключателей

Рисунок Г.5 — Крепление для патрона лампы


Размеры указаны в миллиметрах

Рисунок Г.5 — Крепление для патрона лампы

Приложение Д (справочное). Пример испытательного пружинного ударного устройства


Приложение Д
(справочное)

На рисунке Д.1 приведен пример испытательного пружинного ударного устройства, соответствующего требованиям раздела 5, для энергии удара не более 1 Дж. Масса корпуса 1250 г ±10 г. Головка ударника прикреплена к его стержню таким образом, чтобы расстояние от ее кончика до плоскости удара, в момент, когда ударник находится во взведенном состоянии, имело приблизительное значение, приведенное для сжатой пружины в таблице Д.1.

Рисунок Д.1 — Испытательное пружинное ударное устройство


1 — спусковой конус; 2 — пружина направляющего конуса; 3 — спусковой кулачок; 4 — пружина спускового механизма; 5 — спусковой зажим; 6 — головка ударяющего элемента; 7 — пружина ударяющего элемента; 8 — стержень ударяющего элемента; 9 — круглая ручка

Рисунок Д.1 — Испытательное пружинное ударное устройство

Таблица Д.1 — Кинетическая энергия ударника

Кинетическая энергия непосредственно перед ударом, Дж

Приблизительное значение сжатия пружины (пружинная постоянная 2,7510 Н/м), мм

0,14±0,014

10

0,20±0,02

13

0,35±0,03

17

0,50±0,04

20

0,70±0,05

24

1,00±0,05

28

Примечание. Приблизительное значение кинетической энергии в Дж непосредственно перед ударом, может быть вычислено по формуле:

,

где

— сила, действующая на ударник при полном сжатии пружины, Н;

— сжатие пружины, мм.

Энергия, указанная выше, достигается в горизонтальном положении.


Масса головки приблизительно 60 г, в тот момент, когда зажимы спускового механизма освобождают ударник, пружина конуса создает усилие 5 Н. Пружины спускового механизма регулируют таким образом, чтобы их нажатие было достаточно для удержания спускового механизма в состоянии зацепления.

Ударник приводят в рабочее состояние путем отвода ручки так, чтобы кулачки спускового механизма вошли в канавки в стержне ударника. Силу отвода постепенно увеличивают таким образом, чтобы головка перемещалась назад до тех пор, пока ударник не соединится с кулачками спускового механизма, которые, затем перемещаясь, приводят в действие спусковой механизм и позволяют ударнику нанести удар. Удары наносятся посредством приложения спускового конуса к образцу в направлении, перпендикулярном ударяемой поверхности, в точке, подвергаемой испытанию.

Приложение Е (справочное). Аутентичный текст пунктов (абзацев) МЭК 60068-2-75:1997, уточненных и измененных в тексте настоящего стандарта

Приложение Е
(справочное)

Номер раздела, пункта, абзаца

Аутентичный текст МЭК 60068-2-75:1997

Примечание

Настоящего стандарта

МЭК 60068-2-75:1997

Введение

Введение

Уровни жесткостей взяты, в основном, из МЭК 60721-1.

Для целей координации необходимо выбрать некоторые конкретные основные параметры из предыдущих испытаний Ef: «Удар, маятниковый копёр» и Eg: «Удар, пружинное ударное устройство». Во всех случаях, как набор параметров, показываемый в подходящем месте текста, так и их величины не должны меняться в течение пяти лет после публикации настоящего стандарта. В то же время параметры, указанные в скобках могут быть изменены.

К моменту принятия настоящего стандарта текст потерял актуальность

3.0

1

Идентичен


— (0,3) — 0,35 — (0,4) — 0,5 — 0,7 — 1 — 5 — 10 — 20 — 50 (Дж)

Примечание. Значения, указанные в скобках ранее 5-летнего срока после выхода стандарта в действие.

3.0, второй абзац

1, второй абзац

Методы применяют, в частности, для подтверждения способности изделий выдерживать предписанное количество и уровень жесткости ударов, допустимого уровня износа (повреждения) при котором сохраняется безопасность продукции и, в первую очередь, предназначены для испытания электротехнических изделий. Они представляют собой воздействие на образец предписанного числа ударов с определяемой энергией удара и приложенных в предписанных направлениях.


3.1, первый абзац

3.1, первый абзац

Термины, используемые для целей настоящего стандарта, в основном определены в ИСО 2041 или в МЭК 60068-1.


3.3.1, второй абзац

3.3.1, второй абзац

В зависимости от типа испытательного устройства, в разделах 4, 5 и 6 испытания обозначены Eha; Ehb и Ehc соответственно.

Приведение нумерации испытаний в соответствие с общей системой нумерации испытаний по ГОСТ 30630.0.0

Таблица 1

Таблица 1, примечание

Примечание. Значения для эквивалентных масс, указанные в скобках, и диаметр ударника для значения энергии равной или менее 1 Дж, такие же, как в действующем испытании Ef. Значения, действующие в испытании Eg, также указаны для этих двух параметров. С целью координации значения, указанные в скобках не следует применять через пять лет после вступление стандарта в действие.

К моменту принятия настоящего стандарта текст потерял актуальность

Таблица 1, сноска; 3.3.2, второй абзац

Таблица 1, сноска; 3.3.2, второй абзац

ИСО 2039-2


Таблица 1, сноска; 3.3.2, второй абзац

Таблица 1, сноска; 3.3.2, второй абзац

ИСО 6508


3.4.2

3.4

Начальная стабилизация


Раздел В.1, первый абзац

Раздел В.1, первый абзац

Испытание на воздействие ударов по оболочке применяют для оборудования, которое, главным образом, используют в неограниченных случаях, и где, главным образом, возможны удары по оболочке. Для оборудования, предназначенного для применения в ограниченных случаях, испытание на воздействие ударов по оболочке может применяться, но, как правило, с пониженными жесткостями.


В.2, конец первого абзаца

В.2, конец первого абзаца

предусмотренными стандартами МЭК публикаций 60068.


Приложение Ж (обязательное). Порядок введения в действие настоящего стандарта

Приложение Ж
(обязательное)

Дата введения в действие настоящего стандарта с учетом введения в действие комплекса стандартов по вопросам стойкости технических изделий к внешним воздействующим факторам и аспектах безопасности, определяемых указанным комплексом, устанавливается:

1) для вновь разрабатываемых стандартов и изделий, а также модернизируемых изделий — с 01.01.2015;

2) для ранее разработанных стандартов и изделий стандарт вводится в течение двух лет после даты введения, указанной в 1).

Примечание. Для изделий, разработанных до даты введения по п.1), при проведении после этой даты введения первых испытаний на подтверждение требований по стойкости к ВВФ, а также периодических испытаний изделий, находящихся в производстве, целесообразно руководствоваться требованиями настоящего стандарта.


УДК 002:006.1.05:006.354

ОКС 01.120

ОКП 31 0000-52 0000;

60 0000-80 0000;

94 0000

Ключевые слова: удар по оболочке изделия, методы испытаний, механические внешние воздействующие факторы, воздействие ударов, технические изделия

Электронный текст документа
подготовлен АО «Кодекс» и сверен по:
официальное издание
М.: Стандартинформ, 2015

Механические колебания. | Физика | Тесты

Механические колебания.

Задания первого уровня

5.01. Период колебания пружинного маятника 0,005 с. Чему равна частота колебаний маятника?
А) 500 Гц; Б) 200 Гц; В) 2000 Гц.

5.02. За 6 сек маятник совершает 12 колебаний. Чему равна частота колебаний маятника?
А) 0,5 Гц; Б) 2 Гц; В) 72 Гц; Г) 6 Гц.

5.03. Координата колеблющегося тела изменяется в пределах от 10 до 30 см. Чему равна амплитуда колебаний тела?
А) 10 см; Б) 20 см; В) 30 см; Г) 5 см.

5.04. По какой формуле можно определить период колебаний математического маятника? A) T = 2π ; Б) T = ; B) T = 2π .

5.05. По какой формуле можно определить частоту колебаний математического маятника?

5.06. От чего зависит высота тона звука?
А) от частоты колебаний; Б) от амплитуды колебаний;
В) от частоты и амплитуды; Г) не зависит от частоты и амплитуды.

5.07. По какой формуле определяется период колебания груза на пружине?
А) Т = 2π ; Б) Т = ; В) T = 2π ; Г) Т = π .

5.08. Как связаны между собой скорость v, длина волны λ и период колебаний Т частиц в волне?
А) λ = vT; Б) λ = ; В) λ = ; Г) λ = .

5.09. Как связаны между собой скорость, длина волны и частота колебаний частиц в волне?
A) v = λν; Б) v = ; B) v = ; Г) v = .

5.10. От чего зависит громкость звука?
А) от частоты колебаний; Б) от амплитуды; В) от длины волны.

5.11. Как называется движение, при котором траектория движения тела повторяется через
одинаковые промежутки времени?
А) поступательное; Б) равномерное;
В) свободного падения; Г) механические колебания.

5.12. Какие из перечисленных ниже движений являются механическими колебаниями?
1) движение звучащей струны гитары;
2) движение спортсмена, совершающего прыжок в длину?
А) ни 1, ни 2; Б) 1; В) 2; Г) 1 и 2.

5.13. Какие из перечисленных ниже колебаний являются вынужденными?
1) колебания груза на нити, одни раз отведенного от положения равновесия;
2) колебания качелей, раскачиваемых человеком, стоящим на земле.
А) 1 и 2; Б) только 1; В) только 2; Г) ни 1 ни 2.

5.14. При свободных колебаниях шар на нити проходит путь от левого крайнего положения до положения равновесия за 0,2 с. Каков период колебаний?
А) 0,2 с; Б) 0,4 с; В) 0,8 с; Г) 2,5 с.

5.15. По поверхности воды распространяется волна. Расстояние между ближайшими «горбом» и «впадиной» 2 м. Между ближайшими «горбами» 4 м. Какова длина волны?
А) 2 м; Б) 4 м; В) 6 м; Г) 8 м.

5.16. Какова примерно скорость распространения звуковых волн в воздухе?
А) 300 м/с; Б) 30 м/с; В) 3000 м/с; Г) 30000 м/с.

5.17. В каких направлениях движутся частицы среды при распространении продольных
механических волн?
A) только параллельно распространению волн;
Б) в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волн;
B) во всех направлениях.

5.18. В процессе гармонических колебаний тела вдоль прямой амплитуда колебаний
составляла 0,5 м. Чему равен путь, пройденный телом за период колебаний?
А) 0; Б) 0,5 м; В) 1 м; Г) 2 м.

5.19. Чему равна примерно самая большая частота звука, слышимого человеком?
А) 2 Гц; Б) 20 Гц; В) 20000 Гц; Г) 2000 Гц.

5.20. За 3 сек маятник совершил 6 колебаний. Чему равен период колебаний маятника?
А) 6 с; Б) 3 с; В) 2 с; Г) 0,5 с.

5.21. Тело совершает свободные колебания вдоль оси ОХ, максимальное смещение тела относительно положения равновесия 10 см. За одно колебание тело проходит путь 40 см. Вычислите амплитуду колебания?
А) 5 см; Б) 10 см; В) 20 см; Г) 40 см.

5.22. Какого типа механические волны могут распространяться в воздухе и земной коре?
А) только продольные; Б) только поперечные; В) продольные и поперечные;
Г) в воздухе – продольные, в земной коре – поперечные и продольные.

5.23. Какая из систем не является колебательной?
А) линейка, висящая на гвозде; Б) весы;
В) шарик, лежащий на горизонтальном столе; Г) шарик, прикрепленный к пружине.

5.24. Камертон имеет собственную частоту колебаний 440 Гц. Какой частоты надо взять
другой камертон, чтобы наблюдать явление резонанса?
А) 400 Гц; Б) 300 Гц; В) 410 Гц; Г) 440 Гц.
5.25. Частота колебаний математического маятника 1,25 Гц. Чему равен период колебаний?
А) 1,25 с; Б) 0,8 с; В) 0,5 с; Г) 0,25 с.

5.26. На рисунках приведены графики зависимости координаты Х колеблющего тела от времени t при свободных колебаниях. На каком рисунке показан график колебаний в отсутствии работы силы трения?

5.27. В каких направлениях совершаются колебания в поперечной волне?
А) во всех направлениях; Б) только перпендикулярно распространению волны;
В) только параллельно распространению волны.

5.28. Амплитуда тела, совершающего гармонические колебания, равна 0,5 м. Какой путь
пройдет тело за период колебаний?
А) 2 м; Б) 1 м; В) 0,5 м; Г) 0.

5.29. За 4 секунды маятник совершает 8 колебаний. Чему равен период колебаний маятника?
А) 8 Гц; Б) 4 Гц; В) 2 с; Г) 0,5 с.

5.30. За 4 секунды маятник совершает 8 колебаний. Чему равна частота колебаний маятника?
А) 8 Гц; Б) 4 Гц; В) 2 Гц; Г) 0,5 Гц.

Задания второго уровня

5.31. Период колебаний пружинного маятника 1 с, масса груза 100 г. Чему равна жесткость пружины (примерно)?
А) 4 Н/м; Б) 0,6 Н/м; В) 0,4 Н/м; Г) 6 Н/м.

5.32. Амплитуда колебаний двух пружинных маятников А1 и А2, а период колебаний Т1 и Т2, причем T1 > Т2. Какое соотношение между амплитудами справедливо?
A) А1 > А2; Б) А1 = А2; B) А1 5.33. Как изменится период колебаний груза на пружине, если массу груза уменьшить
в 2 раза?
А) увеличится в раз; Б) уменьшится в раз;
В) увеличится в 2 раза; Г) уменьшится в 2 раза.

5.34. Как изменится период колебаний груза на пружине, если жесткость пружины
уменьшить в 4 раза?
А) увеличится в 4 раза; Б) увеличится в 2 раза;
В) уменьшится в 2 раза; Г) уменьшится в 4 раза.

5.35. Математический маятник колеблется с частотой 100 Гц. За какое время маятник
совершает 10 полных колебаний?
А) 10 с; Б) 1 с; В) 0,1 с; Г) 0,01 с.

5.36. Ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. Что можно
сказать о периоде колебаний математического маятника на Луне по сравнению с периодом
колебаний этого же маятника на Земле?
А) больше в 6 раз; Б) больше в раз; В) меньше в 6 раз; Г) меньше в раз.

5.37. Чему равен период колебаний математического маятника длиной 10 метров
(примерно)?
А) 1/6 с; Б) 1 с; В) 3 с; Г) 6 с.

5.38. Как изменится период колебаний математического маятника, если его длина
уменьшится в 4 раза?
А) увеличится в 2 раза; Б) увеличится в 4 раза;
В) уменьшится в 2 раза; Г) уменьшится в 4 раза.

5.39. При совершении колебаний шарик математического маятника массой 100 г в положении равновесия получает скорость 10 м/с. Какова энергия колебании?
А) 5 Дж; Б) 0,5 Дж; В) 5 кДж; Г) 0,5 кДж.

5.40. Груз на нити совершает свободные колебания между точками 1 и 3. В каком положении груза равнодействующая силы равна нулю?

А) в точке 2; Б) в точке 1 и 3;
В) в точках 1, 2, 3; Г) ни в одной точке.

5.41. Мальчик, качающийся на качелях, проходит положение равновесия 30 раз в минуту.
Чему равна частота колебаний качелей?
А) 5 Гц; Б) 2,5 Гц; В) 2 Гц; Г) 0,5 Гц.

5.42. Чему равен период колебаний маятника длиной 2,5 м (примерно)?
А) ≈ 3,14 с; Б) ≈ 0,32с; В) 0,5 с; Г) 1 с.

5.43. Гиря массой 2 кг подвешена на пружине жесткостью 50 Н/м. Каков примерно период свободных колебаний гири?
А) ≈ 31 с; Б) ≈ 5 с; В) ≈ 1,26 с; Г) ≈ 0,8 с.

5.44. Небольшое тело на нити совершает свободные колебания как математический маятник. В каких точках траектории движения тела его ускорение равно 0?
А) ни в одной точке; Б) в двух крайних точках и в положении равновесия;
А) только в положении равновесия; Г) только в левой и правой крайних точках.

5.45. Как изменится период колебаний математического маятника при увеличении его длины в 2 раза и уменьшении массы в 2 раза?
А) увеличится в 4 раза; Б) увеличится в раз;
В) уменьшится в 4 раза; Г) уменьшится в раз.

5.46. При свободных колебаниях пружинного маятника максимальное значение его
потенциальной энергии 10 Дж. Чему равно максимальное значение кинетической энергии
маятника? (сопротивлением воздуха пренебречь)
А) 20 Дж; Б) 10 Дж; В) 0 Дж; Г) 5 Дж.

5.47. Наблюдатель находится на расстоянии 85 м от отвесной скалы. Через какое время он
услышит эхо от произнесенного им звука? (Скорость звука в воздухе принять равной 340 м/с)
А) 1,5 с; Б) 2,5 с; В) 0,5 с; Г) 0,05 с.

5.48. Максимальное значение потенциальной энергии свободно колеблющегося маятника
10 Дж, а максимальное значение кинетической энергии 10 Дж. В каких пределах изменяется полная механическая энергия маятника? (сопротивлением воздуха пренебречь)
А) не изменяется и равна 20 Дж; Б) не изменяется и равна 10 Дж;
В) изменяется от 0 другой ответ 10 Дж; Г) изменяется от 0 другой ответ 20 Дж.

5.49. По графику на рисунке определите частоту колебаний.

А) 4 Гц;
Б) 2 Гц;
В) 1/4 Гц;
Г) 1/2 Гц.

5.50. Как изменится период колебаний груза на пружине, если массу груза увеличить в 4
раза?
А) увеличится в 4 раза; Б) увеличится в 2 раза;
В) не изменится; Г) уменьшится в 2 раза.

5.51. За какую часть периода шарик математического маятника проходит весь путь от среднего положения до крайнего?
А) ; Б) ; В) ; Г) .

5.52. Груз, подвешенный на пружине, совершает свободные колебания между крайними точками 1 и 3. Точка 2 находится посредине. При прохождении каких точек величина равнодействующей сил, приложенных к грузу, максимальна?
А) в точках 1 и 3; Б) в точке 2; В) в точках 1, 2, 3; Г) ни в одной точке.

5.53. Как изменится частота колебаний стального шарика, подвешенного на нити, если под
ним поместить сильный магнит?
А) уменьшится; Б) увеличится; В) не изменится.

5.54. Волна с частотой колебания 165 Гц распространяется в среде, в которой скорость волны равна 330 м/с. Чему равна длина волны?
А) 1 м; Б) 2 м; В) 3 м; Г) 3,5 м.

5.55. Рыбак заметил, что гребни волны проходят мимо его лодки, стоящей на якоре, через
каждые 6 с. Он заметил, что расстояние между соседними гребнями примерно равно 20 см.
Какова скорость волны?
А) 0,03 м/с; Б) 3,3 м/с; В) 3,6 м/с; Г) 0,06 м/с.

5.56. Динамик подключен к выходу звукового генератора электрических колебаний с частотой 170 Гц. Какова длина звуковой волны при скорости звука в воздухе 340 м/с?
А) 0,5 м; Б) 1 м; В) 2 м; Г) 57800 м.

5.57. Удар грома был услышан через 8 с после того как сверкнула молния. На каком расстоянии от наблюдателя произошел громовой разряд? (скорость звука 343 м/с)
А) 3,5 км; Б) 2,7 км; В) 1,37 км; Г) 4,2 км.

5.58. Маятник совершил 24 колебания за 30 с. Чему равен период и частота колебаний?
А) 1,8 с, 1,5 Гц; Б) 1,25 с, 0,8 Гц; В) 2,3 с, 0,5 Гц.

5.59. Чему равна частота колебаний тела массой 100 г, прикрепленного к пружине, жесткость которой равна 40 Н/м?
А) 3 Гц; Б) 5 Гц; В) 4,5 Гц; Г) 6,5 Гц.

5.60. Длина подвеса маятника 2,5 м. С какой частотой он колеблется? (g ≈ 10 м/с2)
А) 0,3 Гц; Б) 1,3 Гц; В) 0,05 Гц; Г) 1,05 Гц.

Задания третьего уровня

5.61. Четыре тела совершают гармонические колебания вдоль оси ОХ. Какие из выражений определяют зависимость координат от времени?
1) х = x0sinωt; 2) х = х0cosωt; 3) х = х0cos2ωt; 4) х = x0sin2ωt.
А) только 1; Б) только 2; В) 1 и 4; Г) 1 и 2; Д) 3 и 4.

5.62. С вершины вертикальной скалы высотой 1000 м упал камень. Через какое время
наблюдатель на вершине услышит звук удара камня при его падения? (скорость звука 343 м/с)
А) 25 с; Б) 13 с; В) 17 с; Г) 19 с.

5.63. Какими будут результаты, если с одним и тем же маятником провести опыт по точному определению периода колебаний сначала на экваторе, затем на полюсе Земли?
А) периоды будут одинаковыми; Б) период будет больше на полюсе;
В) период будет больше на экваторе, чем на полюсе.

5.64. Период колебаний груза массой m на пружине равен Т. Каков период колебаний груза массой 2m подвешенного на двух таких же пружинах, соединенных последовательно?
А) 2Т; Б) Т; В) 4Т; Г) Т .

5.65. Ультразвуковой сигнал с частотой 30 Гц возвратился после отражения от дна моря на
глубине 150 м через 0,2 с после отправления сигнала. Какова длина волны?
А) 0,5 м; Б) 0,03 м; В) 0,25 м; Г) 0,05 м.

5.66. Тело совершает колебания вдоль оси ОХ. Его координата изменяется со временем но
закону х = 0,2cos0,63t. Чему равны амплитуда и период колебания тела?
А) 0,2 м, 0,63 с; Б) 0,63 м, 0,2 с; В) 0,2 м, 10 с; Г) 0,2 м, 0,1 с.

5.67. На рисунке представлен график волны. Определите скорость ее распространения, если период колебаний частиц составляет 0,05 с.
А) 100 м/с;
Б) 1000 м/с;
В) 800 м/с;
Г) 50 м/с.

5.68. Тело совершает колебательное движение вдоль оси ОХ. Его координата изменяется по закону х = 0,5cos2πt. Чему равна амплитуда и период колебания тела?
А) 0,5 м, 1 с; Б) 0,5 м, 0,5 с; В) 1 м, 1 с; Г) 1 м, 0,5 с.

5.69. Маятник, который на Земле совершал свободные колебания с частотой 0,5 Гц, был
доставлен на Луну. С какой частотой маятник будет колебаться на поверхности Луны, где
ускорение свободного падения в 6 раз меньше, чем на Земле?
А) 0,2 Гц; Б) 0,04 Гц;

Колебания — Физика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Гармонические колебания

К оглавлению…

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебаниями называют изменения физической величины, происходящие по определенному закону во времени. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник. Для существования в системе гармонических колебаний необходимо, чтобы у нее было положение устойчивого равновесия, то есть такое положение, при выведении из которого на систему начала бы действовать возвращающая сила.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

Простейшим видом колебательного процесса являются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называемые гармоническими колебаниями. Уравнение описывающее физические системы способные совершать гармонические колебания с циклической частотой ω0 задаётся следующим образом:

Решение предыдущего уравнения является уравнением движения для гармонических колебаний, которое имеет вид:

где: x – смещение тела от положение равновесия, A – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний (ω = 2Π/T), t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса: φ = ωt + φ0, называется фазой гармонического процесса. Смысл фазы колебаний: стадия, в которой колебание находится в данный момент времени. При t = 0 получаем, что φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой (то есть той стадией, из которой начиналось колебание).

Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Если же количество колебаний N, а их время t, то период находится как:

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – Герц (Гц). Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Зависимость скорости от времени при гармонических механических колебаниях выражается следующей формулой:

Максимальное значение скорости при гармонических механических колебаниях:

Максимальные по модулю значения скорости υm = ωA достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = ax тела при гармонических колебаниях. Зависимость ускорения от времени при гармонических механических колебаниях:

Максимальное значение ускорения при механических гармонических колебаниях:

Знак минус в предыдущем выражении означает, что ускорение a(t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x(t), и, следовательно, возвращает тело в начальное положение (x = 0), т.е. заставляет тело совершать гармонические колебания.

Следует обратить внимание на то, что:

  • физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω0 или период T.
  • Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда A = xm и начальная фаза φ0, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени, т.е. начальными условиями.
  • При колебательном движении тело за время, равное периоду, проходит путь, равный 4 амплитудам. При этом тело возвращается в исходную точку, то есть перемещение тела будет равно нулю. Следовательно, путь равный амплитуде тело пройдет за время равное четверти периода.

Чтобы определить, когда в уравнение колебаний подставлять синус, а когда косинус, нужно обратить внимание на следующие факторы:

  • Проще всего, если в условии задачи колебания названы синусоидальными или косинусоидальными.
  • Если сказано, что тело толкнули из положения равновесия – берем синус с начальной фазой, равной нулю.
  • Если сказано, что тело отклонили и отпустили – косинус с начальной фазой, равной нулю.
  • Если тело толкнули из отклоненного от положения равновесия состояния, то начальная фаза не равна нолю, а брать можно и синус и косинус.

 

Математический маятник

К оглавлению…

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой, длинной и нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. Только в случае малых колебаний математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические (по закону sin или cos) колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 5–10°. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Циклическая частота колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:

Период колебаний математического маятника:

Полученная формула называется формулой Гюйгенса и выполняется, когда точка подвеса маятника неподвижна. Важно запомнить, что период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Такое свойство маятника называется изохронностью. Как и для любой другой системы, совершающей механические гармонические колебания, для математического маятника выполняются следующие соотношения:

  1. Путь от положения равновесия до крайней точки (или обратно) проходится за четверть периода.
  2. Путь от крайней точки до половины амплитуды (или обратно) проходится за одну шестую периода.
  3. Путь от положения равновесия до половины амплитуды (или обратно) проходится за одну двенадцатую долю периода.

 

Пружинный маятник

К оглавлению…

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Таким свойством обладает сила упругости.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют пружинным маятником.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника рассчитывается по формуле:

Период колебаний пружинного маятника:

При малых амплитудах период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды (как и у математического маятника). При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную:

А колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае. Таким образом, полученная формула для периода колебаний груза на пружине остается справедливой во всех случаях, независимо от направления колебаний, движения опоры, действия внешних постоянных сил.

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а, следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругой деформации пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией (как правило, потенциальную энергию в положении равновесия полагают равной нулю). Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и так далее.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной. При этом, максимальное значение кинетической энергии при механических гармонических колебаниях задаётся формулой:

Максимальное значение потенциальной энергии при механических гармонических колебаниях пружинного маятника:

Взаимосвязь энергетических характеристик механического колебательного процесса (полная механическая энергия равна максимальным значениям кинетической и потенциальной энергий, а также сумме кинетической и потенциальной энергий в произвольный момент времени):

 

Механические волны

К оглавлению…

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические волны бывают разных видов. Если при распространении волны частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, такая волна называется поперечной. Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна называется продольной.

Как в поперечных, так и в продольных волнах не происходит переноса вещества в направлении распространения волны. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют немеханические волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые, т.е. электромагнитные волны могут распространяться в вакууме).

  • Продольные механические волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.
  • Поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой ν и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

Длиной волны λ называют расстояние между двумя соседними точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны λ, волна пробегает за время равное периоду T, следовательно, длина волны может быть рассчитана по формуле:

где: υ – скорость распространения волны. При переходе волны из одной среды в другую длина волны и скорость ее распространения меняются. Неизменными остаются только частота и период волны.

Разность фаз колебаний двух точек волны, расстояние между которыми l рассчитывается по формуле:

 

Электрический контур

К оглавлению…

В электрических цепях, так же, как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный LC-контур. В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими. Энергетические характеристики и их взаимосвязь при колебаниях в электрическом контуре:

Период гармонических колебаний в электрическом колебательном контуре определяется по формуле:

Циклическая частота колебаний в электрическом колебательном контуре:

Зависимость заряда на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре описывается законом:

Зависимость электрического тока протекающего через катушку индуктивности от времени при колебаниях в электрическом контуре:

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре:

Максимальное значение силы тока при гармонических колебаниях в электрическом контуре может быть рассчитано по формуле:

Максимальное значение напряжения на конденсаторе при гармонических колебаниях в электрическом контуре:

Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в теплоту, выделяющуюся на резисторе, и колебания становятся затухающими.

 

Переменный ток. Трансформатор

К оглавлению…

Основная часть электроэнергии в мире в настоящее время вырабатывается генераторами переменного тока, создающими синусоидальное напряжение. Они позволяют наиболее просто и экономно осуществлять передачу, распределение и использование электрической энергии.

Устройство, предназначенное для превращения механической энергии в энергию переменного тока, называется генератором переменного тока. Он характеризуется переменным напряжением U(t) (индуцированной ЭДС) на его клеммах. В основу работы генератора переменного тока положено явление электромагнитной индукции.

Переменным током называется электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому закону. Величины U0, I0 = U0/R называются амплитудными значениями напряжения и силы тока. Значения напряжения U(t) и силы тока I(t), зависящие от времени, называют мгновенными.

Переменный ток характеризуется действующими значениями силы тока и напряжения. Действующим (эффективным) значением переменного тока называется сила такого постоянного тока, который, проходя по цепи, выделил бы в единицу времени такое же количество теплоты, что и данный переменный ток. Для переменного тока действующее значение силы тока может быть рассчитано по формуле:

Аналогично можно ввести действующее (эффективное) значение и для напряжения, рассчитываемое по формуле:

Таким образом, выражения для мощности постоянного тока остаются справедливыми и для переменного тока, если использовать в них действующие значения силы тока и напряжения:

Обратите внимание, что если идет речь о напряжении или силе переменного тока, то (если не сказано иного) имеется в виду именно действующее значение. Так, 220В – это действующее напряжение в домашней электросети.

Конденсатор в цепи переменного тока

Строго говоря, конденсатор ток не проводит (в том смысле, что носители заряда через него не протекают). Поэтому, если конденсатор подключен в цепь постоянного тока, то сила тока в любой момент времени в любой точке цепи равна нулю. При подключении в цепь переменного тока из-за постоянного изменения ЭДС конденсатор перезаряжается. Ток через него по-прежнему не течет, но ток в цепи существует. Поэтому условно говорят, что конденсатор проводит переменный ток. В этом случае вводится понятие сопротивления конденсатора в цепи переменного тока (или емкостного сопротивления). Это сопротивление определяется выражением:

Обратите внимание, что емкостное сопротивление зависит от частоты переменного тока. Оно в корне отличается от привычного нам сопротивления R. Так, на сопротивлении R выделяется теплота (поэтому его часто называют активным), а на емкостном сопротивлении теплота не выделяется. Активное сопротивление связано со взаимодействием носителей заряда при протекании тока, а емкостное – с процессами перезарядки конденсатора.

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

При протекании переменного тока в катушке возникает явление самоиндукции, и, следовательно, ЭДС. Из-за этого напряжение и сила тока в катушке не совпадают по фазе (когда сила тока равна нулю, напряжение имеет максимальное значение и наоборот). Из-за такого несовпадения средняя тепловая мощность, выделяющаяся в катушке, равна нулю. В этом случае вводится понятие сопротивления катушки в цепи переменного тока (или индуктивного сопротивления). Это сопротивление определяется выражением:

Обратите внимание, что индуктивное сопротивление зависит от частоты переменного тока. Как и емкостное сопротивление, оно отличается от сопротивления R. Как и на емкостном сопротивлении, на индуктивном сопротивлении теплота не выделяется. Индуктивное сопротивление связано с явлением самоиндукции в катушке.

Трансформаторы

Среди приборов переменного тока, нашедших широкое применение в технике, значительное место занимают трансформаторы. Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении электромагнитной индукции. Простейший трансформатор состоит из сердечника замкнутой формы, на который намотаны две обмотки: первичная и вторичная. Первичная обмотка подсоединяется к источнику переменного тока с некоторым напряжением U1, а вторичная обмотка подключается к нагрузке, на которой появляется напряжение U2. При этом, если число витков в первичной обмотке равно n1, а во вторичной n2, то выполняется следующее соотношение:

Коэффициент трансформации вычисляется по формуле:

Если трансформатор идеальный, то выполняется следующее соотношение (мощности на входе и выходе равны):

В неидеальном трансформаторе вводится понятие КПД:

 

Электромагнитные волны

К оглавлению…

Электромагнитные волны – это распространяющееся в пространстве и во времени электромагнитное поле. Электромагнитные волны поперечны – векторы электрической напряженности и магнитной индукции перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью, которая может быть рассчитана по формуле:

где: ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, ε0 и μ0 – электрическая и магнитная постоянные: ε0 = 8,85419·10–12 Ф/м, μ0 = 1,25664·10–6 Гн/м. Скорость электромагнитных волн в вакууме (где ε = μ = 1) постоянна и равна с = 3∙108 м/с, она также может быть вычислена по формуле:

Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных. Если электромагнитная волна распространяется в какой-либо среде, то скорость ее распространения также выражается следующим соотношением:

где: n – показатель преломления вещества – физическая величина, показывающая во сколько раз скорость света в среде меньше чем в вакууме. Показатель преломления, как видно из предыдущих формул, может быть рассчитан следующим образом:

  • Электромагнитные волны переносят энергию. При распространении волн возникает поток электромагнитной энергии.
  • Электромагнитные волны могут возбуждаться только ускоренно движущимися зарядами. Цепи постоянного тока, в которых носители заряда движутся с неизменной скоростью, не являются источником электромагнитных волн. А вот цепи, в которых протекает переменный ток, т.е. такие цепи в которых носители заряда постоянно меняют направление своего движения, т.е. двигаются с ускорением – являются источником электромагнитных волн. В современной радиотехнике излучение электромагнитных волн производится с помощью антенн различных конструкций, в которых возбуждаются быстропеременные токи.

15.2 Энергия в простом гармоническом движении

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Опишите энергосбережение системы массы и пружины
  • Объясните концепции стабильных и нестабильных точек равновесия

Чтобы вызвать деформацию объекта, мы должны выполнять работу. То есть, дергаете ли вы гитарную струну или сжимаете амортизатор автомобиля, сила должна передаваться на расстоянии.Если единственным результатом является деформация, и никакая работа не переходит в тепловую, звуковую или кинетическую энергию, тогда вся работа изначально сохраняется в деформированном объекте в виде некоторой формы потенциальной энергии.

Рассмотрим пример блока, прикрепленного к пружине на столе без трения, колеблющегося в SHM. Сила пружины — это консервативная сила (которую вы изучали в главе о потенциальной энергии и сохранении энергии), и мы можем определить для нее потенциальную энергию. Эта потенциальная энергия — это энергия, запасенная в пружине, когда пружина растягивается или сжимается.{2} [/ латекс] хранится весной. В SHM системы массы и пружины нет диссипативных сил, поэтому полная энергия является суммой потенциальной энергии и кинетической энергии. В этом разделе мы рассмотрим сохранение энергии системы. Рассмотренные концепции справедливы для всех простых гармонических осцилляторов, включая те, в которых сила тяжести играет роль.

Рассмотрим (рисунок), на котором показан качающийся блок, прикрепленный к пружине. В случае незатухающего SHM энергия колеблется между кинетической и потенциальной, полностью переходя от одной формы энергии к другой по мере того, как система колеблется.Итак, для простого примера объекта на поверхности без трения, прикрепленной к пружине, движение начинается со всей энергией, запасенной в пружине, как потенциальная энергия упругости . Когда объект начинает двигаться, упругая потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию, становясь полностью кинетической энергией в положении равновесия. Затем энергия преобразуется обратно в упругую потенциальную энергию пружиной при ее растяжении или сжатии. Скорость становится равной нулю, когда кинетическая энергия полностью преобразована, и этот цикл затем повторяется.{2}. [/ latex] Полная энергия системы постоянна.

Более пристальный взгляд на энергию системы показывает, что кинетическая энергия колеблется как функция синус-квадрат, а потенциальная энергия колеблется как функция косинуса-квадрата. Однако полная энергия для системы постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды. (Рисунок) показывает график потенциальной, кинетической и полной энергии системы блока и пружины как функции времени. Также показаны положение и скорость как функция времени.{2} [/ latex], и сила на блоке максимальна и указывает в отрицательном направлении x [латекс] ({F} _ {S} = \ text {-} kA) [/ latex]. Скорость и кинетическая энергия блока равны нулю в момент времени [latex] t = 0.00 \, \ text {s} \ text {.} [/ Latex] Во время [latex] t = 0.00 \, \ text {s,} [/ latex] блок освобождается от покоя.

Рисунок 15.12 График кинетической энергии, потенциальной энергии и полной энергии блока, колеблющегося на пружине в SHM. Также показаны графики зависимости положения от времени и скорости от времени.Полная энергия остается постоянной, но энергия колеблется между кинетической и потенциальной энергией. Когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия равна нулю. Это происходит, когда скорость максимальна и масса находится в положении равновесия. Потенциальная энергия максимальна при нулевой скорости. Полная энергия — это сумма кинетической энергии плюс потенциальная энергия, и она постоянна.

Колебания относительно положения равновесия

Мы только что рассмотрели зависимость энергии SHM от времени.Другой интересный взгляд на простой гармонический осциллятор — это рассмотрение энергии как функции положения. (Рисунок) показывает график зависимости энергии от положения системы, подвергающейся SHM.

Рисунок 15.13 График кинетической энергии (красный), потенциальной энергии (синий) и полной энергии (зеленый) простого гармонического осциллятора. Сила равна [латексу] F = — \ frac {dU} {dx} [/ latex]. Положение равновесия показано черной точкой и является точкой, в которой сила равна нулю.Сила положительная, когда [latex] x <0 [/ latex], отрицательная, когда [latex] x> 0 [/ latex], и равна нулю, когда [latex] x = 0 [/ latex].

Кривая потенциальной энергии на (Рисунок) напоминает чашу. Когда шарик помещается в чашу, он достигает положения равновесия в самой нижней точке чаши [латекс] (x = 0) [/ латекс]. Это происходит потому, что восстанавливающая сила указывает на точку равновесия. Эту точку равновесия иногда называют фиксированной точкой .Когда шарик перемещается в другое положение [латекс] (x = + A) [/ латекс], шарик колеблется вокруг положения равновесия. Оглядываясь назад на график потенциальной энергии, силу можно найти, посмотрев на наклон графика потенциальной энергии [латекс] (F = — \ frac {dU} {dx}) [/ latex]. Поскольку сила по обе стороны от фиксированной точки направлена ​​обратно к точке равновесия, точка равновесия называется точкой устойчивого равновесия . Точки [латекс] x = A [/ latex] и [latex] x = \ text {-} A [/ latex] называются поворотными точками.(См. Потенциальная энергия и сохранение энергии.)

Стабильность — важное понятие. Если точка равновесия стабильна, небольшое возмущение объекта, который изначально находится в точке устойчивого равновесия, заставит объект колебаться вокруг этой точки. Точка устойчивого равновесия возникает из-за того, что к ней направлена ​​сила с обеих сторон. В случае неустойчивой точки равновесия, если объект слегка потревожить, он не вернется в точку равновесия.

Рассмотрим пример мрамора в чаше.Если чаша находится правой стороной вверх, мрамор, если его слегка потревожить, будет колебаться вокруг точки устойчивого равновесия. Если чашу перевернуть вверх дном, шарик можно уравновесить сверху, в точке равновесия, где результирующая сила равна нулю. Однако, если мрамор слегка потревожить, он не вернется в точку равновесия, а вместо этого скатится с чаши. Причина в том, что сила по обе стороны от точки равновесия направлена ​​от этой точки. Эта точка является неустойчивой точкой равновесия.

(рисунок) показывает три условия. Первая — это точка устойчивого равновесия (a), вторая — точка неустойчивого равновесия (b), а последняя — также точка неустойчивого равновесия (c), потому что сила только с одной стороны направлена ​​в сторону точки равновесия.

Рисунок 15.14 Примеры точек равновесия. а) точка устойчивого равновесия; (б) точка неустойчивого равновесия; (c) точка неустойчивого равновесия (иногда называемая точкой полустабильного равновесия).

Процесс определения того, является ли точка равновесия стабильной или нестабильной, можно формализовать.Рассмотрим кривые потенциальной энергии, показанные на (Рисунок). Силу можно найти, проанализировав наклон графика. Сила [латекс] F = — \ frac {dU} {dx}. [/ latex] В (a) фиксированная точка находится в [latex] x = 0.00 \, \ text {m} \ text {.} [/ latex] Когда [latex] x <0.00 \, \ text {m, } [/ latex] сила положительная. Когда [latex] x> 0.00 \, \ text {m,} [/ latex], сила отрицательна. Это стабильная точка. В (b) фиксированная точка находится в [latex] x = 0.00 \, \ text {m} \ text {.} [/ Latex] Когда [latex] x <0.00 \, \ text {m,} [/ latex ] сила отрицательная.Когда [latex] x> 0.00 \, \ text {m,} [/ latex], сила также отрицательна. Это нестабильная точка.

Рисунок 15.15 Два примера функции потенциальной энергии. Сила в позиции равна отрицательной величине наклона графика в этой позиции. (а) Функция потенциальной энергии с устойчивой точкой равновесия. (б) Функция потенциальной энергии с неустойчивой точкой равновесия. Эту точку иногда называют полустабильной, потому что сила с одной стороны направлена ​​в сторону фиксированной точки.

Практическое применение концепции устойчивых точек равновесия — сила между двумя нейтральными атомами в молекуле. Если две молекулы находятся в непосредственной близости, разделенных несколькими атомными диаметрами, они могут испытывать силу притяжения. Если молекулы перемещаются достаточно близко, так что электронные оболочки других электронов перекрываются, сила между молекулами становится отталкивающей. Сила притяжения между двумя атомами может заставить атомы образовать молекулу. Сила между двумя молекулами не является линейной силой и не может быть смоделирована просто как две массы, разделенные пружиной, но атомы молекулы могут колебаться вокруг точки равновесия при смещении на небольшую величину от положения равновесия.Атомы колеблются из-за силы притяжения и силы отталкивания между двумя атомами.

Рассмотрим один пример взаимодействия между двумя атомами, известный как взаимодействие Ван-дер-Ваальса. Подробное обсуждение взаимодействия двух атомов выходит за рамки данной главы, но колебания атомов можно изучить, рассмотрев один пример модели потенциальной энергии системы. Одно из предложений по моделированию потенциальной энергии этой молекулы связано с потенциалом Леннарда-Джонса 6-12:

[латекс] U (x) = 4 \ epsilon [{(\ frac {\ sigma} {x})} ^ {12} — {(\ frac {\ sigma} {x})} ^ {6}].[/ латекс]

График этой функции показан на (Рисунок). Два параметра [латекс] \ эпсилон [/ латекс] и [латекс] \ сигма [/ латекс] находятся экспериментально.

Рисунок 15.16 Функция потенциальной энергии Леннарда-Джонса для системы двух нейтральных атомов. Если энергия ниже некоторого максимального значения, система колеблется около положения равновесия между двумя точками поворота.

На графике вы можете видеть, что существует яма потенциальной энергии, которая имеет некоторое сходство с ямой потенциальной энергии функции потенциальной энергии простого гармонического осциллятора, обсуждаемого на (Рисунок).Потенциал Леннарда-Джонса имеет устойчивую точку равновесия, где потенциальная энергия минимальна, а сила по обе стороны от точки равновесия указывает на точку равновесия. Обратите внимание, что в отличие от простого гармонического осциллятора, потенциальная яма потенциала Леннарда-Джонса не является симметричной. Это связано с тем, что сила между атомами не является силой закона Гука и не является линейной. Атомы все еще могут колебаться вокруг положения равновесия [латекс] {x} _ {\ text {min}} [/ latex], потому что, когда [latex] x <{x} _ {\ text {min}} [/ latex], сила положительная; когда [латекс] x> {x} _ {\ text {min}} [/ latex], сила отрицательная.Обратите внимание, что по мере приближения x к нулю наклон становится довольно крутым и отрицательным, что означает, что сила большая и положительная. Это говорит о том, что требуется большая сила, чтобы попытаться сблизить атомы. По мере увеличения размера x наклон становится менее крутым, а сила меньше и отрицательна. Это говорит о том, что если дать достаточно большую энергию, атомы можно разделить.

Если вас интересует это взаимодействие, найдите силу между молекулами, взяв производную функции потенциальной энергии.{3} + \ cdots, [/ latex]

сила может быть аппроксимирована силой закона Гука.

Скорость и сохранение энергии

Возвращаясь к системе блока и пружины (рисунок), как только блок выходит из состояния покоя, он начинает двигаться в отрицательном направлении к положению равновесия. Потенциальная энергия уменьшается, а величина скорости и кинетической энергии увеличивается. В момент времени [latex] t = T \ text {/} 4 [/ latex] блок достигает положения равновесия [latex] x = 0.{2}. [/ latex] В этот момент сила на блоке равна нулю, но импульс переносит блок, и он продолжается в отрицательном направлении к [latex] x = \ text {-} A [/ latex]. По мере того как блок продолжает двигаться, сила, действующая на него, действует в положительном направлении, и величина скорости и кинетической энергии уменьшается. Потенциальная энергия увеличивается по мере сжатия пружины. В момент времени [latex] t = T \ text {/} 2 [/ latex] блок достигает [latex] x = \ text {-} A [/ latex]. Здесь скорость и кинетическая энергия равны нулю.{2})}. [/ латекс]

Энергия простого гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды. При рассмотрении многих форм колебаний вы обнаружите, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды.

Проверьте свое понимание

Почему было бы больнее, если бы вы щелкнули рукой линейкой, чем ослабленной пружиной, даже если смещение каждой системы одинаково?

Показать решение

Линейка — более жесткая система, которая несет большую силу при том же смещении.Линейка сильнее щелкает по руке, от чего больнее.

Проверьте свое понимание

Определите один способ уменьшить максимальную скорость простого гармонического осциллятора.

Показать решение

Вы можете увеличить массу колеблющегося объекта. Другими вариантами могут быть уменьшение амплитуды или использование менее жесткой пружины.

Сводка

  • Самый простой тип колебаний относится к системам, которые могут быть описаны законом Гука, F = — kx , где F — возвращающая сила, x — смещение от равновесия или деформации, а k — силовая постоянная системы.{2})}. [/ латекс]

Концептуальные вопросы

Опишите систему, в которой хранится упругая потенциальная энергия.

Показать решение

В автомобиле потенциальная энергия упругости накапливается при растяжении или сжатии амортизатора. В некоторых кроссовках потенциальная энергия упругости сохраняется при сжатии материала подошвы кроссовок. При прыжках с шестом упругая потенциальная энергия сохраняется при изгибе шеста.

Объясните с точки зрения энергии, как диссипативные силы, такие как трение, уменьшают амплитуду гармонического осциллятора.Также объясните, как приводной механизм может компенсировать это. (Маятниковые часы — такая система.)

Температура атмосферы колеблется от максимума около полудня до минимума около восхода солнца. Считаете ли вы, что атмосфера находится в стабильном или нестабильном равновесии?

Показать решение

В целом система стабильна. Бывают случаи, когда стабильность нарушается штормом, но движущая сила, создаваемая солнцем, возвращает атмосферу в стабильный характер.

Проблемы

Рыбы подвешивают на пружинных весах для определения их массы. (а) Какова постоянная силы пружины в таком масштабе, если пружина растягивается на 8,00 см при нагрузке 10,0 кг? б) Какова масса рыбы, растягивающей пружину на 5,50 см? (c) Как далеко друг от друга находятся отметки в полкилограмма на шкале?

Сейчас время взвешивания местной команды по регби до 85 кг. Шкала для ванной комнаты, используемая для оценки соответствия критериям, может быть описана законом Гука и находится в пониженном значении 0.{5} \, \ text {Н / м} [/ латекс]; б. 77 кг, да, он имеет право играть

В одном из типов пулеметов BB используется плунжер с пружинным приводом для выдува BB из ствола. (a) Рассчитайте силовую постоянную пружины его плунжера, если вы должны сжать ее на 0,150 м, чтобы привести плунжер весом 0,0500 кг до максимальной скорости 20,0 м / с. б) Какая сила должна быть приложена, чтобы сжать пружину?

Когда человек весом 80,0 кг стоит на пого-палке, пружина сжимается на 0,120 м. а) Какова сила постоянной пружины? б) Будет ли пружина сжиматься больше, когда он прыгает по дороге?

Показать решение

а.{3} \, \ text {Н / м} [/ латекс]; б. да, когда человек находится в самой низкой точке подпрыгивания, пружина будет сжата максимально

Пружина имеет длину 0,200 м, когда на ней висит груз весом 0,300 кг, и длину 0,750 м, когда на ней висит груз весом 1,95 кг. {4} \, \ text {Н / м} [/ latex].(а) С какой частотой он подпрыгивает, учитывая его массу плюс 90,0 кг? (b) Насколько натянутая веревка могла бы прервать падение альпиниста, если бы он упал в свободном падении на 2,00 м до того, как веревка иссякнет? (Подсказка : Используйте сохранение энергии.) (C) Повторите обе части этой задачи в ситуации, когда используется двойная длина нейлоновой веревки.

Показать решение

а. 1,99 Гц; б. 50,2 см; c. 0,710 м

Глоссарий

упругая потенциальная энергия
потенциальная энергия, запасенная в результате деформации упругого объекта, например растяжения пружины
возвращающая сила
Сила, действующая против силы, вызванной деформацией
точка устойчивого равновесия
точка, где результирующая сила в системе равна нулю, но небольшое смещение массы вызовет возвращающую силу, которая указывает на точку равновесия

10.4 Момент инерции и вращательной кинетической энергии — University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Опишите разницу между вращательной и поступательной кинетической энергией
  • Определите физическое понятие момента инерции в терминах распределения массы от оси вращения
  • Объясните, как момент инерции твердых тел влияет на их кинетическую энергию вращения
  • Использование сохранения механической энергии для анализа систем, подвергающихся как вращению, так и поступательному перемещению
  • Расчет угловой скорости вращающейся системы при наличии потерь энергии из-за неконсервативных сил

До сих пор в этой главе мы работали с кинематикой вращения: описанием движения вращающегося твердого тела с фиксированной осью вращения.В этом разделе мы определяем две новые величины, которые полезны для анализа свойств вращающихся объектов: момент инерции и кинетическая энергия вращения. Определив эти свойства, мы получим два важных инструмента, которые нам понадобятся для анализа динамики вращения.

Кинетическая энергия вращения

Любой движущийся объект обладает кинетической энергией. Мы знаем, как рассчитать это для тела, совершающего поступательное движение, но как насчет твердого тела, совершающего вращение? Это может показаться сложным, потому что каждая точка твердого тела имеет разную скорость.Однако мы можем использовать угловую скорость — которая одинакова для всего твердого тела — для выражения кинетической энергии вращающегося объекта. (Рисунок) показывает пример очень энергичного вращающегося тела: электрический точильный камень, приводимый в движение двигателем. Когда точильный камень выполняет свою работу, летят искры, возникает шум и вибрация. Эта система обладает значительной энергией, часть которой находится в форме тепла, света, звука и вибрации. Однако большая часть этой энергии находится в форме кинетической энергии вращения .

Рисунок 10.17 Кинетическая энергия вращения точильного камня преобразуется в тепло, свет, звук и вибрацию. (Источник: Захари Дэвид Белл, ВМС США)

Энергия во вращательном движении — не новая форма энергии; скорее, это энергия, связанная с вращательным движением, такая же, как кинетическая энергия в поступательном движении. Однако, поскольку кинетическая энергия задается

, а скорость — величина, которая различается для каждой точки вращающегося тела вокруг оси, имеет смысл найти способ записать кинетическую энергию через переменную

, который одинаков для всех точек твердого вращающегося тела.Для одиночной частицы, вращающейся вокруг фиксированной оси, это легко вычислить. Мы можем связать угловую скорость с величиной поступательной скорости, используя соотношение

, где r — расстояние частицы от оси вращения, а

— его тангенциальная скорость. Подставляя в уравнение для кинетической энергии, находим

В случае твердого вращающегося тела мы можем разделить любое тело на большое количество меньших масс, каждая из которых имеет массу

и расстояние до оси вращения

, так что общая масса тела равна сумме индивидуальных масс:

.Каждая меньшая масса имеет тангенциальную скорость

.

, где на данный момент мы опустили индекс t . Полная кинетическая энергия твердого вращающегося тела

и с

для всех масс,

Единицы измерения (Рисунок) — джоули (Дж). Уравнение в этой форме полное, но неудобное; нам нужно найти способ его обобщить.

Момент инерции

Если мы сравним (рисунок) с тем, как мы записали кинетическую энергию в работе и кинетической энергии, то

, это говорит о том, что у нас есть новая переменная вращения, которую нужно добавить к нашему списку наших отношений между переменными вращения и поступательными переменными.Количество

— аналог массы в уравнении кинетической энергии вращения. Это новый важный термин для обозначения вращательного движения. Эта величина называется моментом инерции I , с единицей измерения

.

:

А пока оставим выражение в форме суммирования, представляющее момент инерции системы точечных частиц, вращающихся вокруг фиксированной оси. Отметим, что момент инерции одиночной точечной частицы относительно фиксированной оси просто равен

, где r — расстояние от точечной частицы до оси вращения.В следующем разделе мы исследуем интегральную форму этого уравнения, которую можно использовать для вычисления момента инерции некоторых твердых тел правильной формы.

Момент инерции — это количественная мера инерции вращения, как и в поступательном движении, а масса — это количественная мера линейной инерции, то есть чем массивнее объект, тем больше у него инерции и тем больше у него сопротивление изменению линейной скорости. Точно так же, чем больше момент инерции твердого тела или системы частиц, тем больше его сопротивление изменению угловой скорости вокруг фиксированной оси вращения.Интересно посмотреть, как момент инерции изменяется в зависимости от r, расстояния до оси вращения массовых частиц (рисунок). Твердые тела и системы частиц с большей массой, сосредоточенные на большем расстоянии от оси вращения, обладают большими моментами инерции, чем тела и системы такой же массы, но сосредоточенные около оси вращения. Таким образом, мы можем видеть, что полый цилиндр имеет большую инерцию вращения, чем твердый цилиндр той же массы при вращении вокруг оси, проходящей через центр.Подставляя (рисунок) в (рисунок), выражение для кинетической энергии вращающегося твердого тела становится

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия вращающегося твердого тела прямо пропорциональна моменту инерции и квадрату угловой скорости. Это используется в устройствах накопления энергии с маховиком , которые предназначены для хранения большого количества кинетической энергии вращения. Многие автопроизводители сейчас тестируют в своих автомобилях маховик-накопители энергии, такие как маховик или система рекуперации кинетической энергии, показанные на (Рисунок).

Рисунок 10.18 Маховик KERS (система рекуперации кинетической энергии), используемый в автомобилях. (кредит: «cmonville» / Flickr)

Вращательные и поступательные величины кинетической энергии и инерции приведены на (Рисунок). Столбец отношений не включен, потому что не существует константы, на которую мы могли бы умножить вращательную величину, чтобы получить поступательную величину, как это можно сделать для переменных на (рисунок).

Вращательная и поступательная кинетическая энергия и инерция
ротационный Трансляционный

Пример

Момент инерции системы частиц

Шесть маленьких шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы и 0.Длина 5 м. Масса каждой шайбы — 20 г. Стержень вращается вокруг оси, расположенной на высоте 25 см, как показано на (Рисунок). а) Каков момент инерции системы? (b) Если снять две ближайшие к оси шайбы, каков момент инерции остальных четырех шайб? (c) Если система с шестью шайбами ​​вращается со скоростью 5 об / с, какова ее кинетическая энергия вращения?

Рисунок 10.19 Шесть шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы, вращающемся вокруг вертикальной оси.
Стратегия
  1. Мы используем определение момента инерции для системы частиц и выполняем суммирование, чтобы оценить эту величину. Все массы одинаковы, поэтому мы можем поставить это количество перед символом суммирования.
  2. Делаем аналогичный расчет.
  3. Подставим результат из (а) в выражение для кинетической энергии вращения.
Решение
  1. .

  2. .

  3. .

Значение

Мы можем видеть индивидуальные вклады в момент инерции. Массы, близкие к оси вращения, вносят очень небольшой вклад. Когда мы их сняли, это очень мало повлияло на момент инерции.

В следующем разделе мы обобщаем уравнение суммирования для точечных частиц и разрабатываем метод вычисления моментов инерции для твердых тел. На данный момент, однако, (рисунок) дает значения инерции вращения для обычных форм объектов вокруг заданных осей.

Рисунок 10.20. Значения инерции вращения для обычных форм объектов.

Применение кинетической энергии вращения

Теперь давайте применим идеи вращательной кинетической энергии и таблицы моментов инерции, чтобы получить представление об энергии, связанной с несколькими вращающимися объектами. Следующие ниже примеры также помогут вам освоить эти уравнения. Во-первых, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем с вращательной энергией.

Стратегия решения проблем: энергия вращения

  1. Определите, какая энергия или работа задействованы во вращении.
  2. Определите интересующую систему. Обычно помогает набросок.
  3. Проанализируйте ситуацию, чтобы определить виды работ и задействованные энергии.
  4. Если нет потерь энергии из-за трения и других неконсервативных сил, механическая энергия сохраняется, то есть

    .

  5. Если присутствуют неконсервативные силы, механическая энергия не сохраняется, и другие формы энергии, такие как тепло и свет, могут входить в систему или выходить из нее.Определите, что они собой представляют, и при необходимости рассчитайте их.
  6. По возможности исключите термины, чтобы упростить алгебру.
  7. Оцените численное решение, чтобы увидеть, имеет ли оно смысл в физической ситуации, представленной в формулировке задачи.

Пример

Расчет энергии вертолета

Типичный небольшой спасательный вертолет имеет четыре лопасти: каждая длиной 4,00 м и массой 50,0 кг ((Рисунок)). Лопасти можно представить как тонкие стержни, которые вращаются вокруг одного конца оси, перпендикулярной их длине.Вертолет имеет полную массу в снаряженном состоянии 1000 кг. (а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения лопастей, когда они вращаются со скоростью 300 об / мин. (b) Рассчитайте поступательную кинетическую энергию вертолета, когда он летит со скоростью 20,0 м / с, и сравните ее с энергией вращения лопастей.

Рис. 10.21 (a) Эскиз четырехлопастного вертолета. (b) Спасательная операция на воде с участием вертолета спасательной службы Окленда Вестпак. (кредит b: «111 Emergency» / Flickr)
Стратегия

Вращательная и поступательная кинетические энергии могут быть вычислены по их определениям.Формулировка задачи дает все необходимые константы для вычисления выражений для вращательной и поступательной кинетической энергии.

Решение
  1. Кинетическая энергия вращения равна

    Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и вычислить момент инерции, прежде чем сможем найти K . Угловая скорость

    это

    Момент инерции одной лопасти — это момент инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг своего конца, указанного на (Рисунок).Общий I в четыре раза больше этого момента инерции, потому что имеется четыре лопасти. Таким образом,

    Ввод

    и I в выражение для кинетической энергии вращения дает

  2. Вводя данные значения в уравнение для поступательной кинетической энергии, получаем

    Чтобы сравнить кинетические энергии, мы берем отношение поступательной кинетической энергии к вращательной кинетической энергии.Это соотношение

Значение

Отношение поступательной энергии к вращательной кинетической энергии составляет всего 0,380. Это соотношение говорит нам о том, что большая часть кинетической энергии вертолета находится в его вращающихся лопастях.

Пример

Энергия в бумеранге

Человек бросает бумеранг в воздух со скоростью 30,0 м / с под углом

.

относительно горизонтали ((рисунок)).Он имеет массу 1,0 кг и вращается со скоростью 10,0 об / с. Момент инерции бумеранга равен

.

где

. а) Какова полная энергия бумеранга, когда он покидает руку? б) Насколько высоко бумеранг идет от высоты руки, если не учитывать сопротивление воздуха?

Рис. 10.22 Бумеранг подбрасывается в воздух под начальным углом

.

Стратегия

Мы используем определения вращательной и линейной кинетической энергии, чтобы найти полную энергию системы.Задача состоит в том, чтобы пренебречь сопротивлением воздуха, поэтому нам не нужно беспокоиться о потере энергии. В части (b) мы используем закон сохранения механической энергии, чтобы найти максимальную высоту бумеранга.

Решение
  1. Момент инерции:

    . Угловая скорость:

    .

    . Таким образом, кинетическая энергия вращения равна

    .

    Поступательная кинетическая энергия

    Таким образом, полная энергия в бумеранге равна

    .

  2. Мы используем консервацию механической энергии.Поскольку бумеранг запускается под углом, нам нужно записать полную энергию системы в терминах ее линейной кинетической энергии, используя скорость в направлениях x и y . Полная энергия, когда бумеранг покидает руку, составляет

    Полная энергия на максимальной высоте

    За счет сохранения механической энергии,

    , так что после отмены подобных условий имеем

    с

    , находим

Значение

В части (b) решение демонстрирует, что сохранение энергии является альтернативным методом решения проблемы, которая обычно решается с использованием кинематики.В отсутствие сопротивления воздуха кинетическая энергия вращения не учитывалась при расчете максимальной высоты.

Проверьте свое понимание

Винт атомной подводной лодки имеет момент инерции

. Если погружной гребной винт имеет скорость вращения 4,0 об / с при выключенном двигателе, какова скорость вращения гребного винта через 5,0 с, когда водонепроницаемость системы снизилась на 50 000 Дж?

[показывать-ответ q = ”fs-id1167133407380 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167133407380 ″]

Начальная кинетическая энергия вращения винта

.

При 5,0 с новая кинетическая энергия вращения гребного винта составляет

.

.

, а новая угловая скорость —

.

, что составляет 3,58 об / с.

[/ hidden-answer]

Сводка

  • Кинетическая энергия вращения — это кинетическая энергия вращения вращающегося твердого тела или системы частиц, которая определяется выражением

    , где I — момент инерции или «вращательная масса» твердого тела или системы частиц.

  • Момент инерции системы точечных частиц, вращающихся вокруг фиксированной оси, равен

    , где

    — масса точечной частицы и

    — расстояние от точечной частицы до оси вращения. Из-за

    , момент инерции увеличивается как квадрат расстояния до фиксированной оси вращения. Момент инерции — это вращательный аналог массы при линейном движении.

  • В системах, которые одновременно вращаются и поступательно, можно использовать сохранение механической энергии, если нет действующих неконсервативных сил. Полная механическая энергия сохраняется и является суммой вращательной и поступательной кинетической энергии и гравитационной потенциальной энергии.

Концептуальные вопросы

Что, если бы другая планета того же размера, что и Земля, была выведена на орбиту вокруг Солнца вместе с Землей. Будет ли момент инерции системы увеличиваться, уменьшаться или оставаться прежним?

Твердая сфера вращается вокруг своей оси с постоянной скоростью.Другая полая сфера той же массы и радиуса вращается вокруг своей оси через центр с той же скоростью вращения. Какая сфера имеет большую кинетическую энергию вращения?

[show-answer q = ”fs-id1167133686306 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167133686306 ″]

Полая сфера, поскольку масса распределена дальше от оси вращения.

[/ hidden-answer]

Проблемы

Система точечных частиц показана на следующем рисунке.Каждая частица имеет массу 0,3 кг, и все они лежат в одной плоскости. а) Каков момент инерции системы относительно данной оси? (b) Если система вращается со скоростью 5 об / с, какова ее кинетическая энергия вращения?

(a) Рассчитайте кинетическую энергию вращения Земли вокруг своей оси. б) Какова кинетическая энергия вращения Земли на ее орбите вокруг Солнца?

[показывать-ответ q = ”fs-id1167133871955 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167133871955 ″]

а.

г.

[/ hidden-answer]

Рассчитайте кинетическую энергию вращения колеса мотоцикла весом 12 кг, если его угловая скорость составляет 120 рад / с, а его внутренний радиус равен 0,280 м, а внешний радиус — 0,330 м.

Бейсбольный питчер бросает мяч движением, при котором предплечье вращается вокруг локтевого сустава, а также другие движения. Если линейная скорость мяча относительно локтевого сустава составляет 20,0 м / с на расстоянии 0.480 м от сустава и момент инерции предплечья

, какова кинетическая энергия вращения предплечья?

[показывать-ответ q = ”fs-id1167133328943 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167133328943 ″]

[/ hidden-answer]

Дайвер делает сальто во время ныряния, подвернув конечности. Если ее кинетическая энергия вращения составляет 100 Дж, а момент инерции в складке равен

, какова ее частота вращения во время сальто?

Самолет выходит на посадку на высоте 300 метров, пропеллер падает.Самолет летит со скоростью 40,0 м / с по горизонтали. Пропеллер имеет скорость вращения 20 об / с, момент инерции

.

, а массой 200 кг. Пренебрегайте сопротивлением воздуха. а) С какой поступательной скоростью пропеллер ударяется о землю? (б) Какова частота вращения гребного винта при ударе?

[показывать-ответ q = ”fs-id1167132287070 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167132287070 ″]

а.

;
г.Скорость вращения винта остается прежней — 20 об / с.

[/ hidden-answer]

Если сопротивление воздуха присутствует в предыдущей задаче и снижает кинетическую энергию вращения воздушного винта при ударе на 30%, какова скорость вращения воздушного винта при ударе?

Нейтронная звезда с массой

и радиусом 10 км вращается с периодом 0,02 секунды. Какова его кинетическая энергия вращения?

[show-answer q = ”fs-id1167132279482 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167132279482 ″]

[/ hidden-answer]

Электрическая шлифовальная машина, состоящая из вращающегося диска массой 0.7 кг и радиусом 10 см вращается со скоростью 15 об / сек. При нанесении на грубую деревянную стену скорость вращения уменьшается на 20%. а) Какова конечная кинетическая энергия вращения вращающегося диска? б) Насколько уменьшилась его кинетическая энергия вращения?

Система состоит из диска массой 2,0 кг и радиусом 50 см, на котором установлен кольцевой цилиндр массой 1,0 кг с внутренним радиусом 20 см и внешним радиусом 30 см (см. Ниже). Система вращается вокруг оси через центр диска и кольцевой цилиндр со скоростью 10 об / с.а) Каков момент инерции системы? б) Какова его кинетическая энергия вращения?

[показать-ответ q = ”535401 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 535401 ″] а.

; б.

[/ hidden-answer]

Глоссарий

момент инерции
вращательная масса твердого тела, которая относится к тому, насколько легко или сложно будет изменить угловую скорость вращающегося твердого тела
кинетическая энергия вращения
кинетическая энергия от вращения объекта; это часть его полной кинетической энергии

122 Домашнее задание Стива Боддекера

13.2 # 16

Объект движется с простым гармоническим движением с периодом T и амплитудой A . В течение один полный цикл, за какой промежуток времени скорость объекта больше чем в макс ?

Мы знаем, что v max = Aω, поскольку v max = Aω

Aω = Aω sin (ωt)

= грех (ωt)

ωt = 30, 150

(или π / 6 и 5π / 6)

π / 6 = ω т

π / 6 = 2π / Т т

т = Т / 12

5π / 6 = ω т

5π / 6 = 2π / Т т

т = 5 т / 12

Также T / 12 после середину и снова прямо перед тем, как волна начнет повторяться.

(5 т / 12 т / 12) + (11 лет / 12 7 лет / 12 лет) = 2/3

13,5

Объект весом 50,0 г соединенный с пружиной с силовой постоянной 35,0 Н / м, колеблется на горизонтальная поверхность без трения с амплитудой 4,00 см. Найдите (а) общую энергия системы и (б) скорость объекта в положении 1.00 см. Найдите (c) кинетическую энергию и (d) потенциальную энергию, когда положение составляет 3,00 см.

ответа: 28 мДж б.1,02 м / с c. 12,2 мДж d. 15,8 мДж

ω 2 = к / м

ω = 26,46 рад / с

х (т) = А cos (ωt)

0,01 = 0,04 cos (26,46 т)

т = 0,050 с

0,03 = 0,04 cos (26,46 т)

т = 0,0273 с

(а)

E = кА 2

E = 35 (0,04) 2

E = 0,028 Дж = 28 мДж

(б)

v = -A ω грех (ωt)

v = -.04ωsin (26,46 * 0,05)

| v | знак равно 1,02 м / с

(в)

K = кА 2 sin 2 (ωt)

K = 35 (0,04) 2 sin 2 (26,46 * 0,0273)

К = 0,01225 Джоуль = 12,3 мДж

(г)

U = кА 2 cos 2 (ωt)

U = 35 (0,04) 2 cos 2 (26,46 * 0,0273)

U = 15,8 мДж

13.6 # 58

Отстранен от Потолок лифта представляет собой простой маятник длиной L . Что период этого маятника, если лифт (а) ускоряется вверх с ускорение, а; (б) ускоряется вниз с ускорением, величина которого больше нуля, но меньше g? Дайте свой ответ в виде L, g и a.

(а) T = 2π √ (л / г)

Т = 2π √ (L / (г + а))

(б) T = 2π √ (л / г)

Т = 2π √ (л / (г-а))

Как в машине Этвудса при расчете натяжения или вращательного Динамика при расчете динамики вращения

когда вы сначала спускаетесь в лифте,

вы меньше весите (g эффективный = г а)

когда вы сначала поднимаетесь на лифте,

вы весите больше (g эффективный = г + а)

# 1

Мяч упал с высоты 4.00 м совершает совершенно упругое столкновение с землей. Предполагая, что механическая энергия не теряется из-за сопротивления воздуха, (а) показывают, что последующее движение является периодическим и (б) определяет период движения. (c) Является ли движение простое гармоническое? Объяснять.

a) Поскольку столкновение является упругим, энергия не передается вне системы во время отскока. Мы всегда игнорируем трение воздуха, если только сказал иначе, мяч будет продолжать повторять свой отскок до 4 метров. каждый отскок.

б)

г = по телефону 2

т = √ (2д / а)

т вниз = 0,9035 с

т = 1,807 с

в)

г. сила равна mg, а не kx, поэтому сила не зависит от положения, поэтому не синусоидальный, то есть не простой гармонический.

Эта верхняя диаграмма это смещение пружины. Пока весна уходит от равновесие, мы имеем отрицательное ускорение.

Дальнейшее объяснение пункта (c). Посмотрим на восстановление вектор силы (следовательно, ускорение, F = ma) на положение в зависимости от времени диаграмма.

Это дно диаграмма — это перемещение шара. Когда мяч падает, он ускоряется и по мере его роста он замедляется.

волна

Частица с амплитуда 6.00 см, а частота 4,00 Гц движется по оси x в простые гармонические колебания. Частица стартует из положения равновесия, origin, при t = 0 и перемещается вправо.

(а) Докажите, что положение частицы определяется выражением x = (6,00 см) sin (8πt)

(b) Определить максимальная скорость и самое раннее время (t> 0), при котором частица скорость, (c) максимальное ускорение и самое раннее время (t> 0) при которое частица имеет это ускорение, и (d) полное расстояние проехал между t = 0 и t = 1 секунда.

ДЛЯ ВЕСЕЛЫ, не проблема 122

(а) Правильно ли ω?

ω = 2πf

ω = 2π (4)

ω = 8π Есть

Is частица на

происхождения при t = 0;

х (0) = 6 грех (8π (0))

x (0) = 0 Да

@ t = 0; v равно +

v = d х / дт

v (0) = d (6sin (ωt)) / dt

v (0) = 6ω cos (ωt)

v (0) = + 6ω Да

, таким образом,

х (т) = 2 син (3π т)

(б) v макс = А ω

в макс = 6 (8π)

v макс = 151 см / с

пика возникают, когда производная = 0

в макс происходит при t = 0 и в каждом последующем T.

дв / дт = -А ω 2 sin (ωt)

0 = -А ω 2 sin (ωt)

т = 0

Если T = 1 / f = 1/4 сек, затем следующие

пик при T = 1/8 секунды

(в) a = dv / dt = -6 ω 2 sin (ωt)

а макс = +6 ω 2

а макс = +6 (8π) 2

a макс = 3790 см / с 2

да / дт = -6 ω 3 cos (ωt) пики возникают, когда

0 = -6 ω 3 производная cos (ωt) = 0

π / 2 = ωt

t = 1/16 сек (это 1 st отрицательный пик ускорения)

т = 1/16 + 1/8 (это положительный пик ускорения 1 st )

т = 3/16 = 0.1875 секунд

(д) с = А (4 / Т) * т

с = 6 см (4 / 1/8) 1 сек

с = 192 см

волна распространяется на одну амплитуду каждую четверть периода (T / 4)

(А) 0 амплитуда до пика (T / 4)

(В) пик назад к 0

(К) От 0 до кормушки

(Г) лоток обратно в 0

# 19

А 50.0 г объект подключен к пружине с силовой постоянной 35,0 Н / м колеблется по горизонтали, поверхность без трения с амплитудой 4,00 см. Найдите а) полную энергию система и (б) скорость объекта в положении 1,00 см. Находить (c) кинетическая энергия и (d) потенциальная энергия, когда положение равно 3,00 см. ответ: 28 мДж б. 1,02 м / с c. 12,2 мДж d. 15,8 мДж

ω 2 = к / м

ω = 26,46 рад / с

х (т) = А cos (ωt)

0.01 = 0,04 cos (26,46 т)

т = 0,050 с

0,03 = 0,04 cos (26,46 т)

т = 0,0273 с

(а)

E = кА 2

E = 35 (0,04) 2

E = 0,028 Дж = 28 мДж

(б)

v = -A ω грех (ωt)

v = -.04ωsin (26,46 * 0,05)

| v | знак равно 1,02 м / с

(в)

K = кА 2 sin 2 (ωt)

К = 35 (.04) 2 sin 2 (26,46 * 0,0273)

К = 0,01225 Джоуля = 12,3 мДж

(г)

U = кА 2 cos 2 (ωt)

U = 35 (0,04) 2 cos 2 (26,46 * 0,0273)

U = 15,8 мДж

маятник

A 1,00 кг маятник длиной 2,00 м выпущен под углом 10,0 м. от вертикали.Какая (а) скорость внизу и (б) восстанавливающая сила в крайних точках, используя простую модель гармонического движения?

(c) Решить эту проблему более точно, используя более общие принципы законов Ньютона (гл. 6).

А = г q

A = 2 м (10 (п / 180)

А = 0,349 м

ω 2 = г / л

ω 2 = 9.8/2

ω 2 = 4,90 рад / сек

(а)

в макс = А ω

в макс = 0,349 * 4,9

в макс = 0,820 м / с

(б) F макс = m a макс

F макс. = м А ω 2

F макс. = 1 (0,349) (4,9 2 )

F макс. = 8.38 N

(г)

h = r — cosqr

ч = 0,0341

мв 2 = mgh

v = 0,8176 м / с

F = ma = mgsinq

a = 2,54 м / с 2

а = а r

a = 2,54 м / с 2

F = мгsinq

F = 0.635 N

# 40

Покажи, что время скорость изменения механической энергии для демпфированного, не приводимого в действие осциллятора дана на dE / dt = bv 2 и, следовательно, всегда отрицательно. Действуйте следующим образом: Продифференцируем выражение для механической энергии осциллятора E = mv 2 + kx 2 и используйте уравнение ma = -kx bv, где a = d 2 x / dt 2 .

ДЛЯ УДОВОЛЬСТВИЯ

TE = м v 2 + k x 2 взять производную по времени

dE / dt = mv d 2 x / dt 2 + kx dx / dt

dE / dt = v m d 2 x / dt 2 + kx v

(Дано: m d 2 x / dt 2 = -kx bv)

dE / dt = v (-kx bv) + kx v

dE / dt = -vkx bv 2 + kx v

dE / dt = bv 2 <0

# 48

Демпфирование незначительно для 0.150 кг предмет висит на легкой пружине 6,30 Н / м. А синусоидальная сила с амплитудой 1,70 Н приводит в движение систему. С какой периодичностью заставит ли сила вибрировать объект с амплитудой 0,440 м? 1,31 Гц или 0,641 Гц

; ω o 2 = к / м

Когда b можно пренебречь, приведенное выше уравнение упрощается до ω 2 = к / м F o / (м * A)

A = (F o / м) / (ω 2 — ω o 2 )

ω 2 = ω o 2 F o / (м * А)

ω 2 = к / м F o / (м * A)

ω 2 = 6.3 / 0,15 1,7 / (0,15 * 0,44)

ω = 8,23 или 4,03 рад / с

ω = 2πf

f = 1,31 Гц или 0,641 Гц

# 11

Объект 0,500 кг прикрепленный к пружине с силовой константой 8,00 Н / м, вибрирует простым гармоническое движение с амплитудой 10,0 см. Рассчитайте (а) максимальное значение его скорость и ускорение, (б) скорость и ускорение, когда объект 6,00 см от положения равновесия, и (c) временной интервал, необходимый для объект переместиться от x = 0 к x = 8.00 см.

и: б) 0,32 м / с, -0,96 м / с 2 c) 0,232 с

ω 2 = к / м

ω 2 = 8 / 0,5

ω = 4

(а) x (t) = 0,1 cos (4 т)

v (t) = -0,4 грех (4т)

в макс = 0,4 м / с

а (т) = -1,6 cos (4 т)

а макс = 1,6 м / с 2

(б)

х (т) = 0.1 cos (4т)

0,06 = 0,1 cos (4т)

т = 0,232 с

v (t) = -0,4 грех (4т)

| v | = 0,32 м / с

а (т) = -1,6 cos (4т)

а = -.96 м / с 2

(в)

х (т) = 0,1 cos (4т)

0 = 0,1 cos (4t)

т = 0,393 с

х (т) = 0,1 cos (4т)

8 = 0,1 cos (4t)

т = 0.131 сек

Δt = .393-.131

Δt = 0,232 с

# 14

Висящая частица от пружины будет колебаться с угловой частотой w, когда в движении. Пружина подвешена к потолку кабины лифта. и висит неподвижно (относительно кабины лифта) при спуске кабины постоянная скорость, v. Автомобиль внезапно останавливается. (а) С какой амплитудой частица колеблется? б) Какое уравнение движения частицы? (Выберите положительное направление вверх.)

х (т) = А cos (ωt + φ)

v = dx / dt = -A ω sin (ωt + φ)

в макс = wA

А = v макс / w

x (t) = A cos (ωt)

x (t) = — (v макс. / w) cos (ωt)

(так как up — это +, нам нужен -знак)

(без вычета при неправильной подписи)

(Здесь необходимо использовать косинус, так как при t = 0 сек, были на максимальной амплитуде)

Инструкторские решения неправильно не давать никакого кредита для x = -v / w грех (ωt)

# 23

Частица выполняет простое гармоническое движение с амплитудой 3.00 см. На какой позиции равна ли его скорость половине максимальной скорости?

v = -A ω грех (ωt)

| v макс | = А ω

| v макс | когда sin (ωt) =

грех (ωt) =

ωт = 0,5235

х (т) = А cos (ωt)

х (т) = 0,03 cos (0,5235)

х = 0,0260 м

# 25

Во время езды за автомобилем, едущим в 3.00 м / с, вы замечаете, что у одной из шин автомобиля есть небольшая полусферическая выпуклость на ободе со стороны колеса. (а) Объясните почему неровность, с вашей точки зрения позади машины, выполняет простую гармоническую движение. (б) Если радиусы шин автомобиля 0,300 м, то какие неровности? период колебания? (б) 0,628 с

(a) Скорость постоянна, также если вы положите мел постоянно вращающееся колесо будет рисовать на доске синусоидальную волну.

(б) v = ωr

3 = ω (.3)

ω = 10 рад / с

ω = 2π (1 / Т)

т = 0,628 с

# 33

Частица масса m скользит без трения внутри полусферической чаши радиуса R. Показать что, если он начинается из состояния покоя с небольшим отклонением от положения равновесия, частица движется в простом гармоническом движении с угловой частотой, равной простой маятник длиной R.То есть ω = (г / R) 1/2 .

θ <10; тангенс θ = грех θ = θ

(θ должно быть в радианах)

тангенс угла θ = x / R

грех θ = х / R

F = -mgsinθ

F = -мг (x / R)

F = -kx

-мг (x / R) = -kx

к = мг / р

ω = √ (k / m) (уравнение 15.9 книга)

ω = √ (г / об)

# 39

Часовой баланс колесо имеет период колебаний 0,250 сек. Колесо построено так что его масса 20,0 г сосредоточена вокруг обода радиусом 0,500 см. Что — это (а) момент инерции колес и (б) постоянная кручения прикрепленная пружина? ANS: 5×10 -7 кгм 2 (б) 3,16×10 -4 Дж / рад

Дано:

(а) I = r 2 дм

я знак равно005 2 (.02)

I = 5×10 -7 кгм 2

(б) T = 2π √ (I / κ)

0,25 = 2π √ (5×10 -7 / κ)

κ = 3,16 x 10 -4 Дж / рад

т = 0,250

А = 0,5 см

ω = 2π (1 / Т)

ω = 8π

# 43

А 10.Объект весом 6 кг колеблется на конце вертикальной пружины с жесткостью пружины 2,05×10 4 Н / м. Влияние сопротивления воздуха выражается коэффициентом демпфирования b. = 3,00 Н * с / м. (а) Рассчитайте частоту затухающих колебаний. (б) Автор на какой процент уменьшается амплитуда колебаний в каждом цикле (c) Найдите временной интервал, который проходит, пока энергия системы падает до 5,00% от первоначальной стоимости? (а) 7 Гц (б) 2% (в) 10,6 с

(а)

ω 2 = 2.05×10 4 / 10,6 (3/21,2) 2

ω = 43,98 рад / с

ω = 2πf

f = 7 Гц

(б)

один полный цикл происходит в 2π

или ωt = 2π t = 0,143 с

e -bt / 2m при t = 0,143 сек

e -bt / 2m = 0,980

Так 2% теряется каждый цикл

(в) b = 3; м = 10.6

E = k (A) 2 ; А = A o e -bt / 2m

E = k (A o e -bt / 2m ) 2

E = кА o 2 e -bt / m

E начальный = kA o 2 (t = 0)

5% (кА o 2 ) = 100% кА o 2 e -bt / m

5% = 100% e -bt / m

лн (0.05) = -3т / 10,6

т = 10,6 с

Дайте полную оценку нижеприведенному (но метод выше правильно ниже неверно)

e -bt / 2m = 0,05 (снижение на 95%)

-bt / 2m = ln 0,05

т = 21,2 с

15.2 Энергия в простом гармоническом движении — Университетская физика, том 1

Задачи обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Опишите энергосбережение системы массы и пружины
  • Объясните концепции стабильных и нестабильных точек равновесия

Чтобы вызвать деформацию объекта, мы должны выполнять работу.То есть, дергаете ли вы гитарную струну или сжимаете амортизатор автомобиля, сила должна передаваться на расстоянии. Если единственным результатом является деформация, и никакая работа не переходит в тепловую, звуковую или кинетическую энергию, тогда вся работа изначально сохраняется в деформированном объекте в виде некоторой формы потенциальной энергии.

Рассмотрим пример блока, прикрепленного к пружине на столе без трения, колеблющегося в SHM. Сила пружины — это консервативная сила (которую вы изучали в главе о потенциальной энергии и сохранении энергии), и мы можем определить для нее потенциальную энергию.Эта потенциальная энергия — это энергия, запасенная в пружине, когда пружина растягивается или сжимается. В этом случае блок колеблется в одном измерении с силой пружины, действующей параллельно движению:

W = ∫xixfFxdx = ∫xixf − kxdx = [- 12kx2] xixf = — [12kxf2−12kxi2] = — [Uf − Ui] = — ΔU.W = ∫xixfFxdx = ∫xixf − kxdx = [- 12kx2] xixf = [- 12kx2] xixf [12kxf2−12kxi2] = — [Uf − Ui] = — ΔU.

При рассмотрении энергии, запасенной в пружине, положение равновесия, обозначенное как xi = 0,00 м, xi = 0,00 м, является положением, в котором энергия, запасенная в пружине, равна нулю.Когда пружина растягивается или сжимается на расстояние x , потенциальная энергия, запасенная в пружине, составляет

.

Энергия и простой гармонический осциллятор

Чтобы изучить энергию простого гармонического осциллятора, нам нужно рассмотреть все формы энергии. Рассмотрим пример блока, прикрепленного к пружине, расположенной на поверхности без трения, колеблющейся в SHM. Потенциальная энергия, запасенная при деформации пружины, составляет

.

В простом гармоническом осцилляторе энергия колеблется между кинетической энергией массы K = 12mv2K = 12mv2 и потенциальной энергией U = 12kx2U = 12kx2, накопленной в пружине.В SHM системы массы и пружины нет диссипативных сил, поэтому полная энергия является суммой потенциальной энергии и кинетической энергии. В этом разделе мы рассмотрим сохранение энергии системы. Рассмотренные концепции справедливы для всех простых гармонических осцилляторов, включая те, в которых сила тяжести играет роль.

Рассмотрим рисунок 15.11, на котором показан качающийся блок, прикрепленный к пружине. В случае незатухающего SHM энергия колеблется между кинетической и потенциальной, полностью переходя от одной формы энергии к другой по мере того, как система колеблется.Итак, для простого примера объекта на поверхности без трения, прикрепленной к пружине, движение начинается со всей энергии, хранящейся в пружине, в виде упругой потенциальной энергии. Когда объект начинает двигаться, упругая потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию, становясь полностью кинетической энергией в положении равновесия. Затем энергия преобразуется обратно в упругую потенциальную энергию пружиной при ее растяжении или сжатии. Скорость становится равной нулю, когда кинетическая энергия полностью преобразована, и этот цикл затем повторяется.Понимание сохранения энергии в этих циклах даст дополнительное понимание здесь и в более поздних применениях SHM, таких как переменные цепи.

Рис. 15.11. Преобразование энергии в SHM для объекта, прикрепленного к пружине на поверхности без трения. (a) Когда масса находится в положении x = + Ax = + A, вся энергия сохраняется в виде потенциальной энергии в пружине U = 12kA2U = 12kA2. Кинетическая энергия равна нулю, потому что скорость массы равна нулю. (b) Когда масса движется к x = −Ax = −A, масса пересекает позицию x = 0x = 0.В этот момент пружина не растягивается и не сжимается, поэтому потенциальная энергия, запасенная в пружине, равна нулю. При x = 0x = 0 полная энергия — это вся кинетическая энергия, где K = 12m (−vmax) 2K = 12m (−vmax) 2. (c) Масса продолжает двигаться, пока не достигнет x = −Ax = −A, где масса останавливается и начинает двигаться в направлении x = + Ax = + A. В позиции x = -Ax = -A полная энергия сохраняется как потенциальная энергия в сжатом U = 12k (-A) 2U = 12k (-A) 2, а кинетическая энергия равна нулю. (d) Когда масса проходит через положение x = 0x = 0, кинетическая энергия составляет K = 12mvmax2K = 12mvmax2, а потенциальная энергия, запасенная в пружине, равна нулю.(e) Масса возвращается в положение x = + Ax = + A, где K = 0K = 0 и U = 12kA2U = 12kA2.

Рассмотрим рисунок 15.11, на котором показана энергия в определенных точках периодического движения. Оставаясь постоянной, энергия колеблется между кинетической энергией блока и потенциальной энергией, запасенной в пружине:

Итого = U + K = 12kx2 + 12мв2. EОбщее = U + K = 12kx2 + 12mv2.

Движение блока на пружине в SHM определяется положением x (t) = Acos (ωt + ϕ) x (t) = Acos (ωt + ϕ) со скоростью v (t) = — Aωsin ( ωt + ϕ) v (t) = — Aωsin (ωt + ϕ).Используя эти уравнения, тригонометрическое тождество cos2θ + sin2θ = 1cos2θ + sin2θ = 1 и ω = kmω = km, мы можем найти полную энергию системы:

ETotal = 12kA2cos2 (ωt + ϕ) + 12mA2ω2sin2 (ωt + ϕ) = 12kA2cos2 (ωt + ϕ) + 12mA2 (км) sin2 (ωt + ϕ) = 12kA2cos2 (ωt + ϕ) + 12kA2sin2 (ωt + ϕ) = 12kA cos2 (ωt + ϕ) + sin2 (ωt + ϕ)) = 12kA2.ETotal = 12kA2cos2 (ωt + ϕ) + 12mA2ω2sin2 (ωt + ϕ) = 12kA2cos2 (ωt + ϕ) + 12mA2 (км) sin2 (ωt + ϕ) = 12kA2cos2 (ωt + ϕ) + 12kA2sin2 (ωt + ϕ) = 12kA2 (cos2 (ωt + ϕ) + sin2 (ωt + ϕ)) = 12kA2.

Полная энергия системы блока и пружины равна сумме потенциальной энергии, запасенной в пружине, плюс кинетическая энергия блока и пропорциональна квадрату амплитуды ETotal = (1/2) kA2 .ETotal = (1/2) кА2. Полная энергия системы постоянна.

Более пристальный взгляд на энергию системы показывает, что кинетическая энергия колеблется как функция синус-квадрат, а потенциальная энергия колеблется как функция косинуса-квадрата. Однако полная энергия для системы постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды. На рисунке 15.12 показан график потенциальной, кинетической и полной энергии системы блока и пружины в зависимости от времени. Также показаны положение и скорость как функция времени.До момента времени t = 0,0 с, t = 0,0 с блок прикрепляют к пружине и помещают в положение равновесия. Работа выполняется с блоком путем приложения внешней силы, вытягивая его в положение x = + Ax = + A. Теперь в системе хранится потенциальная энергия весны. В момент времени t = 0,00 с, t = 0,00 с положение блока равно амплитуде, потенциальная энергия, запасенная в пружине, равна U = 12kA2U = 12kA2, а сила на блоке максимальна и указывает на отрицательное направление x (FS = -kA) (FS = -kA).Скорость и кинетическая энергия блока равны нулю в момент времени t = 0,00 с. T = 0,00 с. В момент времени t = 0,00 с, t = 0,00 с блок выходит из состояния покоя.

Рисунок 15.12 График кинетической энергии, потенциальной энергии и полной энергии блока, колеблющегося на пружине в SHM. Также показаны графики зависимости положения от времени и скорости от времени. Полная энергия остается постоянной, но энергия колеблется между кинетической и потенциальной энергией. Когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия равна нулю.Это происходит, когда скорость максимальна и масса находится в положении равновесия. Потенциальная энергия максимальна при нулевой скорости. Полная энергия — это сумма кинетической энергии плюс потенциальная энергия, и она постоянна.

Колебания относительно положения равновесия

Мы только что рассмотрели зависимость энергии SHM от времени. Другой интересный взгляд на простой гармонический осциллятор — это рассмотрение энергии как функции положения. На рис. 15.13 показан график зависимости энергии от положения системы, подвергающейся SHM.

Рисунок 15.13 График кинетической энергии (красный), потенциальной энергии (синий) и полной энергии (зеленый) простого гармонического осциллятора. Сила равна F = −dUdxF = −dUdx. Положение равновесия показано черной точкой и является точкой, в которой сила равна нулю. Сила положительная, когда x <0x <0, отрицательная, когда x> 0x> 0, и равна нулю, когда x = 0x = 0.

Кривая потенциальной энергии на рис. 15.13 напоминает чашу. Когда шарик помещается в чашу, он достигает положения равновесия в самой нижней точке чаши (x = 0) (x = 0).Это происходит потому, что восстанавливающая сила направлена ​​к точке равновесия. Эту точку равновесия иногда называют фиксированной точкой . Когда шарик перемещается в другое положение (x = + A) (x = + A), шарик колеблется вокруг положения равновесия. Оглядываясь назад на график потенциальной энергии, силу можно найти, посмотрев на наклон графика потенциальной энергии (F = −dUdx) (F = −dUdx). Поскольку сила по обе стороны от фиксированной точки направлена ​​обратно к точке равновесия, точка равновесия называется точкой устойчивого равновесия.Точки x = Ax = A и x = −Ax = −A называются точками поворота. (См. Потенциальная энергия и сохранение энергии.)

Стабильность — важное понятие. Если точка равновесия стабильна, небольшое возмущение объекта, который изначально находится в точке устойчивого равновесия, заставит объект колебаться вокруг этой точки. Точка устойчивого равновесия возникает из-за того, что к ней направлена ​​сила с обеих сторон. В случае неустойчивой точки равновесия, если объект слегка потревожить, он не вернется в точку равновесия.

Рассмотрим пример мрамора в чаше. Если чаша находится правой стороной вверх, мрамор, если его слегка потревожить, будет колебаться вокруг точки устойчивого равновесия. Если чашу перевернуть вверх дном, шарик можно уравновесить сверху, в точке равновесия, где результирующая сила равна нулю. Однако, если мрамор слегка потревожить, он не вернется в точку равновесия, а вместо этого скатится с чаши. Причина в том, что сила по обе стороны от точки равновесия направлена ​​от этой точки.Эта точка является неустойчивой точкой равновесия.

На рисунке 15.14 показаны три условия. Первая — это точка устойчивого равновесия (a), вторая — точка неустойчивого равновесия (b), а последняя — также точка неустойчивого равновесия (c), потому что сила только с одной стороны направлена ​​в сторону точки равновесия.

Рисунок 15.14 Примеры точек равновесия. а) точка устойчивого равновесия; (б) точка неустойчивого равновесия; (c) точка неустойчивого равновесия (иногда называемая точкой полустабильного равновесия).

Процесс определения того, является ли точка равновесия стабильной или нестабильной, можно формализовать. Рассмотрим кривые потенциальной энергии, показанные на рисунке 15.15. Силу можно найти, проанализировав наклон графика. Сила равна F = −dUdx.F = −dUdx. В (а) фиксированная точка находится в точке x = 0,00 м. X = 0,00 м. Когда x <0,00 м, x <0,00 м, сила положительная. Когда x> 0,00 м, x> 0,00 м, сила отрицательная. Это стабильная точка. В (b) фиксированная точка находится в точке x = 0,00 м. X = 0,00 м. Когда x <0,00 м, x <0.00м, сила отрицательная. Когда x> 0,00 м, x> 0,00 м, сила также отрицательна. Это нестабильная точка.

Рисунок 15.15 Два примера функции потенциальной энергии. Сила в позиции равна отрицательной величине наклона графика в этой позиции. (а) Функция потенциальной энергии с устойчивой точкой равновесия. (б) Функция потенциальной энергии с неустойчивой точкой равновесия. Эту точку иногда называют полустабильной, потому что сила с одной стороны направлена ​​в сторону фиксированной точки.

Практическое применение концепции устойчивых точек равновесия — сила между двумя нейтральными атомами в молекуле. Если две молекулы находятся в непосредственной близости, разделенных несколькими атомными диаметрами, они могут испытывать силу притяжения. Если молекулы перемещаются достаточно близко, так что электронные оболочки других электронов перекрываются, сила между молекулами становится отталкивающей. Сила притяжения между двумя атомами может заставить атомы образовать молекулу. Сила между двумя молекулами не является линейной силой и не может быть смоделирована просто как две массы, разделенные пружиной, но атомы молекулы могут колебаться вокруг точки равновесия при смещении на небольшую величину от положения равновесия.Атомы колеблются из-за силы притяжения и силы отталкивания между двумя атомами.

Рассмотрим один пример взаимодействия между двумя атомами, известный как взаимодействие Ван-дер-Ваальса. Подробное обсуждение взаимодействия двух атомов выходит за рамки данной главы, но колебания атомов можно изучить, рассмотрев один пример модели потенциальной энергии системы. Одно из предложений по моделированию потенциальной энергии этой молекулы связано с потенциалом Леннарда-Джонса 6-12:

U (x) = 4ε [(σx) 12− (σx) 6].U (x) = 4ε [(σx) 12− (σx) 6].

График этой функции показан на рисунке 15.16. Два параметра εε и σσ находятся экспериментально.

Рис. 15.16. Функция потенциальной энергии Леннарда-Джонса для системы двух нейтральных атомов. Если энергия ниже некоторого максимального значения, система колеблется около положения равновесия между двумя точками поворота.

На графике вы можете видеть, что существует яма потенциальной энергии, которая имеет некоторое сходство с ямой потенциальной энергии функции потенциальной энергии простого гармонического осциллятора, показанного на рисунке 15.13. Потенциал Леннарда-Джонса имеет устойчивую точку равновесия, где потенциальная энергия минимальна, а сила по обе стороны от точки равновесия указывает на точку равновесия. Обратите внимание, что в отличие от простого гармонического осциллятора, потенциальная яма потенциала Леннарда-Джонса не является симметричной. Это связано с тем, что сила между атомами не является силой закона Гука и не является линейной. Атомы все еще могут колебаться вокруг положения равновесия xminxmin, потому что, когда x xminx> xmin, сила отрицательна.Обратите внимание, что по мере приближения x к нулю наклон довольно крутой и отрицательный, что означает, что сила большая и положительная. Это говорит о том, что требуется большая сила, чтобы попытаться сблизить атомы. По мере того, как x становится все больше, наклон становится менее крутым, а сила меньше и отрицательна. Это говорит о том, что если дать достаточно большую энергию, атомы можно разделить.

Если вас интересует это взаимодействие, найдите силу между молекулами, взяв производную функции потенциальной энергии.Вы сразу увидите, что сила не похожа на силу закона Гука (F = −kx) (F = −kx), но если вы знакомы с биномиальной теоремой:

(1 + x) n = 1 + nx + n (n − 1) 2! X2 + n (n − 1) (n − 2) 3! X3 + ⋯, (1 + x) n = 1 + nx + n ( п — 1) 2! х2 + п (п — 1) (п — 2) 3! х3 + ⋯,

сила может быть аппроксимирована силой закона Гука.

Скорость и сохранение энергии

Возвращаясь к системе блока и пружины на рисунке 15.11, как только блок выходит из состояния покоя, он начинает двигаться в отрицательном направлении к положению равновесия.Потенциальная энергия уменьшается, а величина скорости и кинетической энергии увеличивается. В момент времени t = T / 4t = T / 4 блок достигает положения равновесия x = 0,00 м, x = 0,00 м, где сила, действующая на блок, и потенциальная энергия равны нулю. В положении равновесия блок достигает отрицательной скорости с величиной, равной максимальной скорости v = −Aωv = −Aω. Кинетическая энергия максимальная и равна K = 12mv2 = 12mA2ω2 = 12kA2.K = 12mv2 = 12mA2ω2 = 12kA2. В этот момент сила на блоке равна нулю, но импульс переносит блок, и он продолжается в отрицательном направлении к x = −Ax = −A.По мере того как блок продолжает двигаться, сила, действующая на него, действует в положительном направлении, и величина скорости и кинетической энергии уменьшается. Потенциальная энергия увеличивается по мере сжатия пружины. В момент времени t = T / 2t = T / 2 блок достигает x = −Ax = −A. Здесь скорость и кинетическая энергия равны нулю. Сила, действующая на блок, равна F = + kAF = + kA, ​​а потенциальная энергия, запасенная в пружине, составляет U = 12kA2U = 12kA2. Во время колебаний общая энергия постоянна и равна сумме потенциальной энергии и кинетической энергии системы,

ETotal = 12kx2 + 12mv2 = 12kA2.ETotal = 12kx2 + 12mv2 = 12kA2.

15,12

Уравнение для энергии, связанной с SHM, может быть решено, чтобы найти величину скорости в любом положении:

| v | = км (A2 − x2). | v | = км (A2 − x2).

15,13

Энергия простого гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды. При рассмотрении многих форм колебаний вы обнаружите, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды.

Проверьте свое понимание 15.1

Почему было бы больнее, если бы вы щелкнули рукой линейкой, чем ослабленной пружиной, даже если смещение каждой системы одинаково?

Проверьте свое понимание 15.2

Определите один способ уменьшить максимальную скорость простого гармонического осциллятора.

Решения для домашних заданий

Канал 13 Колебательное движение

Домашнее задание: Ch23: 1, 3, 7, 8, 12, 30, 36, 71

Вопросы 2, 4, 6, 8, 9

| Hmwk, Ch 12 | Домашнее задание Задания | Дом PHY 1350 | Hmwk, Ch 14 |


Дополнительные задачи из четвертого издания Serway


(4 изд) 13.1 Блок 1,5 кг, покоящийся на столешнице, прикреплен к горизонтальному пружина с жесткостью пружины 19,6 Н / м. Пружина изначально не растянута. К объекту прилагается постоянная горизонтальная сила 20,0 Н, из-за чего пружина растянуть.

(a) Определите скорость блока после того, как он переместился на 0,30 м от положения равновесия. если поверхность между блоком и столешницей не имеет трения.

(b) Ответьте на часть (a), если коэффициент кинетического трения между блоками а столешница — 0.20.


(4 ed) 13,2 Масса весом 50 г, соединенная с пружиной с силовой константой 35 Н / м колеблется на горизонтальной поверхности без трения с амплитудой 4,0 см. Найдите

(а) полная энергия системы и

(б) скорость массы при смещении 1,0 см.

При смещении 3,0 см найти

(c) кинетическая энергия и

(г) потенциальная энергия.


(4-е изд.) 13.3 Автомобиль с плохими амортизаторами раскачивается вверх-вниз с точкой 1,5 с после наезда на кочку. Автомобиль имеет массу 1500 кг и поддерживается четырьмя пружинами одинаковой силы постоянной k. Определите значение k.

(4 ed) 13,4 Масса m свободно колеблется на вертикальной пружине (рис. P13.56). При m = 0,810 кг период равен 0,910 с. Неизвестная масса на той же пружине имеет период 1,16 с. Определите (а) жесткость пружины k и (б) неизвестную масса.


Концептуальные вопросы


Q13. Если координата частицы изменяется как x = — A cos т, что это фазовая постоянная в уравнении 13.3? В какой позиции начинается частица его движение (при t = 0)?

Уравнение 13.3, стр. 391, равно

x = A cos ( т +)

Имеем x = — A cos wt

, а это на самом деле всего

x = A cos (wt +)

так что фазовый угол или фазовая постоянная есть (измеряется в радианах).Если вы предпочитаете измерять углы, то это 180 o .

Для t = 0 это дает

х (t = 0) = A cos (0 +) = A cos () = A (- 1) = — А

х (t = 0) = — А


Q13.4 Определите, могут ли следующие количества то же направление для простого гармонического осциллятора:

(а) смещение и скорость,

(б) скорость и ускорение,

(в) перемещение и ускорение.

Начнем с уравнения 13.3, со страницы 391,

x = A cos ( т +)

v = dx / dt = — A грех ( т + )

a = dv / dt = d 2 x / dt 2 = — A 2 cos ( т + )

Теперь мы можем посмотреть направления.

Смещение и скорость иногда будут в одном направлении а иногда и в противоположных направлениях.

Скорость и ускорение иногда будут в одном направлении а иногда и в противоположных направлениях.

Однако смещение x и ускорение a будут всегда быть в противоположных направлениях!


Q13.6 Качественно описать движение массы-пружины система, когда масса пружины не пренебрегается.

Пружина движется, в ней задействована кинетическая энергия, и в ней задействованы F = ma.Подвижная пружина включает в себя дополнительную массу. Включая массу пружин означает, что нам нужно описать масс-пружину SHO (простой гармонический осциллятор) с массой больше, чем просто масса , прикрепленная к пружине . Оказывается, увеличение массы системы на треть массы весны — это как раз необходимое исправление.


Q13.8 Система блок-пружина совершает простое гармоническое движение с амплитудой A. Изменится ли полная энергия, если масса удвоится, но амплитуда не меняется? Зависимы ли кинетическая и потенциальная энергии по массе?

Полная энергия равна максимальной потенциальной энергии

E общ = U макс = (1/2) k x макс 2 = (1/2) к A 2

, поэтому полная энергия не зависит от массы .Что повлияет изменение массы? Максимальная кинетическая энергия по-прежнему равна к общей энергии,

E общ = K макс = (1/2) м v макс 2

Если масса в складке , то максимальная скорость, v max , должен de складка. Таким образом, изменение массы изменяет максимальную скорость. Но максимальная кинетическая энергия, максимальная потенциальная энергия и полная энергия зависят только от амплитуды (и жесткости пружины k).


Q13.9 Что произойдет с периодом простого маятника, если длина маятника увеличена вдвое? Что будет с периодом, если масса каре удвоено?

Удлинение струны маятника увеличивает его период.

Период простого маятника независимых масса.


Задачи из текущего (5-го) издания Serway and Beichner.


13,1 Смещение частицы при t = 0,25 с определяется выражением

x = (4,0 м) cos (3,0 p t + p), где x — в метрах, а t — в секунд. Определить

(а) частота и период движения,

(б) амплитуда движения,

(c) фазовая постоянная, а

(г) смещение частицы при t = 0,25 с

13.3 Частица весом 20 г движется простым гармоническим движением с частотой 3,0 колебаний / с (3,0 Гц) и амплитудой 5,0 см.

(a) На какое общее расстояние перемещается частица во время один цикл его движения?

(b) Какова его максимальная скорость? Где это происходит?

(c) Найдите максимальное ускорение частицы. Где же что происходит?

13.12 К пружине жесткости пружины прикреплен блок неизвестной массы. 6.50 Н / м и совершает простое гармоническое движение с амплитудой 10,0 см. Когда масса находится на полпути между положением равновесия и конечной точкой, его скорость составляет + 30,0 см / с. Вычислить

(а) масса блока,

(б) период движения, а

(в) максимальное ускорение блока.

13,7 Пружина растягивается на 3,9 см при подвешивании груза массой 10 г.Если Масса 25 г, прикрепленная к этой пружине, колеблется в простом гармоническом движении, рассчитайте период движения

13,8 Простому генератору гармоник требуется 12,0 с, чтобы пройти пять полных вибрации. Найдите

(а) период его движения,

(б) частота в Гц, а

(в) угловая частота в рад / с


13.30 Простой маятник — 5.Длина 0 м.

а) Каков период простого гармонического движения для этого? маятник, если он расположен в лифте, ускоряющемся вверх со скоростью 5,0 м / с 2 ?

(б) Каков ответ на часть (а), если лифт ускорение вниз со скоростью 5,0 м / с 2 ?

(c) Какой период простого гармонического движения для этого маятник, если он помещен в грузовик, который ускоряется в горизонтальном направлении при 5,0 м / с 2 ?

13.36 Торсионный маятник образуется путем прикрепления проволоки к центру метра массой 2,0 кг. Если результирующий период равен 3.0 miutes, какова постоянная кручения проволоки?


13,71 Масса m связана с двумя пружинами силовых постоянных k 1 и k 2 , как на рисунке P13.71. В каждом случае масса движется без трения. стол и перемещается из равновесия и освобождается.Покажи, что в каждом конкретном случае масса демонстрирует простую гармонику с периодами


Решения дополнительных проблем от четвертого Serway выпуск


(4-е изд.) 13,1 Блок 1,5 кг, покоящийся на столешнице, прикреплен к горизонтальному пружина с жесткостью пружины 19.6 Н / м. Пружина изначально не растянута. К объекту прилагается постоянная горизонтальная сила 20,0 Н, из-за чего пружина растянуть.

(a) Определите скорость блока после того, как он переместился на 0,30 м от положения равновесия. если поверхность между блоком и столешницей не имеет трения.

(b) Ответьте на часть (a), если коэффициент кинетического трения между блоками а столешница — 0,20.


(4 изд) 13.2 Груз массой 50 г соединен с пружиной с силовой постоянной 35 Н / м колеблется на горизонтальной поверхности без трения с амплитудой 4,0 см. Найдите

(а) полная энергия системы и

(б) скорость массы при смещении 1,0 см.

При смещении 3,0 см найти

(c) кинетическая энергия и

(г) потенциальная энергия.


(4 изд) 13.3 Автомобиль с плохими амортизаторами раскачивается вверх-вниз с периодом 1,5 с после наезда на кочку. Автомобиль имеет массу 1500 кг и поддерживается четырьмя пружинами одинаковой силы постоянной k. Определите значение k.


(4 ed) 13,4 Масса m свободно колеблется на вертикальной пружине (рис. P13.56). При m = 0,810 кг период равен 0,910 с. Неизвестная масса на той же пружине имеет период 1,16 с. Определите (а) жесткость пружины k и (б) неизвестную масса.


| Hmwk, Ch 12 | Домашнее задание Задания | Дом PHY 1350 | Hmwk, Ch 14 |

(c) Дуг Дэвис, 2001; все права защищены

Учебное пособие по физике: движение маятника

Простой маятник состоит из относительно массивного объекта, подвешенного на веревке к неподвижной опоре. Обычно он висит вертикально в положении равновесия. Этот массивный объект ласково называют маятником bob .Когда боб смещается из состояния равновесия, а затем отпускается, он начинает свое возвратно-поступательное колебание относительно своего фиксированного положения равновесия. Движение регулярное и повторяющееся, пример периодического движения. Движение маятника было описано ранее в этом уроке, когда мы пытались понять природу вибрирующих объектов. Маятник снова обсуждался, когда мы рассматривали математические свойства объектов, находящихся в периодическом движении. Здесь мы исследуем движение маятника еще более подробно, поскольку мы сосредоточимся на том, как различные величины меняются с течением времени.Такие величины будут включать силы, положение, скорость и энергию — как кинетическую, так и потенциальную энергию.

Расчет силы маятника

Ранее в этом уроке мы узнали, что на вибрирующий объект действует восстанавливающая сила. Возвратная сила заставляет вибрирующий объект замедляться при удалении от положения равновесия и ускоряться при приближении к положению равновесия. Именно эта восстанавливающая сила отвечает за вибрацию.Итак, какие силы действуют на качение маятника? А какова восстанавливающая сила маятника? На маятник bob постоянно действуют две доминирующие силы во время его движения. Есть сила тяжести, которая действует на боб. Это результат того, что масса Земли притягивает массу боба. И есть сила натяжения, действующая вверх и к точке поворота маятника. Сила натяжения возникает в результате натяжения струны на боб маятника.В нашем обсуждении игнорирует влияние сопротивления воздуха — третьей силы, которая всегда противодействует движению боба, когда он раскачивается взад и вперед. Сила сопротивления воздуха относительно мала по сравнению с двумя доминирующими силами.

Сила тяжести очень предсказуема; она всегда в одном направлении (вниз) и всегда одной величины — масса * 9,8 Н / кг. Сила натяжения значительно менее предсказуема. И его направление, и величина меняются по мере того, как боб качается взад и вперед.Направление силы натяжения всегда к точке поворота. Таким образом, когда боб качается влево от своего положения равновесия, сила натяжения находится под углом — направлена ​​вверх и вправо. И когда боб качается вправо от своего положения равновесия, натяжение направляется вверх и влево. На приведенной ниже диаграмме показано направление этих двух сил в пяти разных положениях на пути маятника.

В физических ситуациях, когда силы, действующие на объект, не имеют одинаковых, противоположных или перпендикулярных направлений, принято разделять одну или несколько сил на компоненты.Эта практика использовалась при анализе задач по вывешиванию вывесок и задач с наклонной плоскостью. Обычно одна или несколько сил разделяются на перпендикулярные составляющие, которые лежат вдоль координатных осей, направленных в направлении ускорения или перпендикулярно ему. Таким образом, в случае маятника разрешается сила тяжести, поскольку сила натяжения уже направлена ​​перпендикулярно движению. На диаграмме справа показан маятник в положении справа от его положения равновесия и на полпути к точке максимального смещения.Система координатных осей изображена на схеме, а сила тяжести разделена на две составляющие, лежащие вдоль этих осей. Одна из составляющих направлена ​​по касательной к дуге окружности, по которой движется маятник; эта компонента помечена как Fgrav-касательная. Другой компонент направлен перпендикулярно дуге; он обозначен как Fgrav-perp. Вы заметите, что перпендикулярная составляющая силы тяжести находится в направлении, противоположном силе натяжения. Вы также можете заметить, что сила натяжения немного больше, чем этот компонент силы тяжести.Тот факт, что сила натяжения (Ftens) больше, чем перпендикулярная составляющая силы тяжести (Fgrav-perp), означает, что будет чистая сила, перпендикулярная дуге движения боба. Это должно быть так, поскольку мы ожидаем, что объекты, движущиеся по круговой траектории, будут испытывать внутреннюю или центростремительную силу. Тангенциальная составляющая силы тяжести (F-тангенс) неуравновешивается любой другой силой. Таким образом, существует результирующая сила, направленная по другим координатным осям. Именно этот тангенциальный компонент силы тяжести действует как восстанавливающая сила.Когда маятник движется вправо от положения равновесия, эта составляющая силы направляется против его движения назад к положению равновесия.

Приведенный выше анализ применим для одного места вдоль дуги маятника. В других местах по дуге сила натяжения будет изменяться. Тем не менее, процесс разделения гравитации на две составляющие вдоль осей, перпендикулярных и касательных к дуге, остается прежним. На диаграмме ниже показаны результаты силового анализа для нескольких других положений.

Следует сделать пару комментариев. Во-первых, обратите внимание на диаграмму, когда боб смещен до максимального смещения вправо от положения равновесия. Это положение, в котором маятник на мгновение имеет скорость 0 м / с и меняет свое направление. Сила натяжения (Ftens) и перпендикулярная составляющая силы тяжести (Fgrav-perp) уравновешивают друг друга. В этот момент времени нет результирующей силы, направленной вдоль оси, перпендикулярной движению.Поскольку движение объекта приостанавливается на мгновение , центростремительная сила не требуется.

Во-вторых, обратите внимание на диаграмму, когда боб находится в положении равновесия (струна полностью вертикальна). В этом положении компонент силы в касательном направлении отсутствует. При перемещении через положение равновесия восстанавливающая сила на мгновение отсутствует. После того, как вернул в положение равновесия, восстанавливающая сила отсутствует.Возвратная сила необходима только тогда, когда маятник смещен из положения равновесия. Вы также можете заметить, что сила натяжения (Ftens) больше, чем перпендикулярная составляющая силы тяжести (Fgrav-perp), когда боб движется через это положение равновесия. Поскольку боб движется по дуге окружности, в этом положении должна быть чистая центростремительная сила.

Синусоидальная природа движения маятника

В предыдущей части этого урока мы исследовали синусоидальный характер движения массы на пружине.Мы проведем аналогичное исследование здесь для движения маятника. Предположим, что мы можем измерить величину, на которую маятник смещается влево или вправо от своего положения равновесия или покоя с течением времени. Смещение вправо от положения равновесия будет рассматриваться как положительное смещение; а смещение влево будет рассматриваться как отрицательное смещение. Используя эту систему отсчета, положение равновесия будет рассматриваться как нулевое положение.И предположим, что мы построили график, показывающий изменение положения во времени. Полученный график зависимости положения от времени показан ниже. Подобно тому, что наблюдалось для груза на пружине, положение маятника (измеренное по дуге относительно его положения покоя) является функцией синуса времени.

Теперь предположим, что мы используем наш детектор движения, чтобы исследовать, как скорость маятника изменяется во времени.По мере того как маятник совершает движение вперед и назад на , скорость непрерывно изменяется. Бывают моменты, когда скорость является отрицательной величиной (для движения влево), а в другие моменты времени она будет положительной (для движения вправо). И, конечно же, будут моменты времени, когда скорость будет равна 0 м / с. Если бы были нанесены изменения скорости с течением времени, результирующий график был бы похож на показанный ниже.

Теперь давайте попробуем понять взаимосвязь между положением боба по дуге его движения и скоростью, с которой он движется.Предположим, мы идентифицируем несколько точек вдоль дуги, а затем связываем эти положения со скоростью качания маятника. На рисунке ниже показана попытка установить такую ​​связь между положением и скоростью.

Как часто говорят, картинка стоит тысячи слов. А вот и слова. График выше основан на положении равновесия (D), обозначенном как нулевое положение. Смещение влево от положения равновесия считается отрицательным положением.Смещение вправо считается положительной позицией. Анализ графиков показывает, что скорость наименьшая, когда смещение наибольшее. И скорость наибольшая, когда смещение боба наименьшее. Чем дальше боб отходит от положения равновесия, тем медленнее он движется; и чем ближе боб находится к положению равновесия, тем быстрее он движется. Это можно объяснить тем, что по мере того, как боб движется от положения равновесия, возникает возвращающая сила, которая препятствует его движению.Эта сила замедляет качание. Таким образом, когда боб движется влево из положения D в E, затем из положения F в G, сила и ускорение направляются вправо, а скорость уменьшается по мере его движения по дуге от D к G. В G — максимальное смещение влево — маятник. Боб имеет скорость 0 м / с. Вы можете думать о бобе как о , который на мгновение остановился, и готов изменить свое направление. Затем боб движется вправо по дуге от G к F, от E к D. При этом восстанавливающая сила направляется вправо в том же направлении, что и боб.Эта сила ускоряет боб, придавая ему максимальную скорость в положении D — положении равновесия. Когда боб движется мимо позиции D, он движется вправо по дуге в направлении C, затем B и затем A. При этом возникает восстанавливающая сила влево, противодействующая его движению и заставляющая его замедляться. Таким образом, когда смещение увеличивается от D до A, скорость уменьшается из-за противодействующей силы. Как только боб достигает положения А — максимального смещения вправо — он достигает скорости 0 м / с.Еще раз, скорость боба наименьшая, когда смещение наибольшее. Боб завершает свой цикл, перемещаясь влево от A к B к C к D. По этой дуге от A к D восстанавливающая сила действует в направлении движения, тем самым ускоряя боб вверх. Таким образом, было бы логично заключить, что по мере уменьшения положения (по дуге от A до D) скорость увеличивается. Попав в положение D, боб будет иметь нулевое смещение и максимальную скорость. Скорость наибольшая, когда смещение наименьшее.Анимация справа (используется с разрешения Wikimedia Commons; особая благодарность Hubert Christiaen) визуально отображает эти принципы. Показанный вектор ускорения объединяет как перпендикулярное, так и тангенциальное ускорения в один вектор. Вы заметите, что этот вектор полностью касается дуги при максимальном смещении; это согласуется с анализом сил, обсужденным выше. И вектор вертикальный (по направлению к центру дуги) в положении равновесия.Это также согласуется с анализом сил, рассмотренным выше.

Энергетический анализ

В предыдущей главе Учебника по физике обсуждалась энергия, которой обладает маятник. Мы продолжим это обсуждение здесь, поскольку мы попытаемся связать описанные выше характеристики движения с концепциями кинетической энергии, потенциальной энергии и полной механической энергии.

Кинетическая энергия, которой обладает объект, — это энергия, которой он обладает благодаря своему движению.Это количество, которое зависит как от массы, так и от скорости. Уравнение, связывающее кинетическую энергию (KE) с массой (m) и скоростью (v), равно

.

KE = ½ • м • v 2

Чем быстрее движется объект, тем большей кинетической энергией он будет обладать. Мы можем объединить эту концепцию с приведенным выше обсуждением того, как изменяется скорость во время движения. Такое смешение концепций привело бы нас к выводу, что кинетическая энергия качающегося маятника увеличивается по мере приближения качающегося элемента к положению равновесия.И кинетическая энергия уменьшается по мере того, как боб перемещается дальше от положения равновесия.


Потенциальная энергия, которой обладает объект, — это запасенная энергия положения. В Учебнике по физике обсуждаются два типа потенциальной энергии — гравитационная потенциальная энергия и упругая потенциальная энергия. Упругая потенциальная энергия присутствует только тогда, когда пружина (или другая упругая среда) сжимается или растягивается. Простой маятник не состоит из пружины.Форма потенциальной энергии, которой обладает маятник, — это потенциальная энергия гравитации. Количество гравитационной потенциальной энергии зависит от массы (m) объекта и высоты (h) объекта. Уравнение для гравитационной потенциальной энергии (PE) равно

PE = м • г • ч

, где g представляет собой напряженность гравитационного поля (иногда называемую ускорением свободного падения) и имеет значение 9,8 Н / кг.

Высота объекта выражается относительно некоторого произвольно назначенного нулевого уровня .Другими словами, высота должна измеряться как расстояние по вертикали над некоторой исходной позицией. Для маятникового боба принято называть самое низкое положение опорным положением или нулевым уровнем. Таким образом, когда боб находится в положении равновесия (самое нижнее положение), его высота равна нулю, а его потенциальная энергия равна 0 Дж. Поскольку маятниковый боб совершает назад и вперед , бывают моменты, в течение которых боб движется от положение равновесия. При этом его высота увеличивается по мере того, как он движется все дальше и дальше.Он достигает максимальной высоты, когда достигает положения максимального смещения от положения равновесия. По мере того, как боб движется к своему положению равновесия, он уменьшает свою высоту и снижает свою потенциальную энергию.

Теперь давайте объединим эти две концепции кинетической энергии и потенциальной энергии, когда мы рассмотрим движение маятника, движущегося по дуге, показанной на диаграмме справа. Мы будем использовать гистограмму энергии, чтобы представить изменения в двух формах энергии.Количество каждой формы энергии представлено полосой. Высота планки пропорциональна количеству этой формы энергии. Помимо столбца потенциальной энергии (PE) и столбца кинетической энергии (KE), есть третий столбец, обозначенный TME. Полоса TME представляет собой общее количество механической энергии, которой обладает маятник. Полная механическая энергия — это просто сумма двух форм энергии — кинетической и потенциальной энергии. Найдите время, чтобы изучить гистограммы, показанные ниже, для позиций A, B, D, F и G.Что ты заметил?

Когда вы просматриваете гистограммы, становится очевидно, что по мере того, как боб движется от A к D, кинетическая энергия увеличивается, а потенциальная энергия уменьшается. Однако общее количество этих двух форм энергии остается постоянным. Потенциальная энергия, которая теряется при переходе из положения A в положение D, отображается как кинетическая энергия. Потенциальная энергия трансформируется в кинетическую, когда боб перемещается из положения A в положение D.Однако общая механическая энергия остается постоянной. Мы бы сказали, что механическая энергия сохраняется. Когда боб перемещается из положения D в положение G, наблюдается обратное. Кинетическая энергия уменьшается по мере того, как боб движется вправо и (что более важно) вверх по направлению к положению G. Это уменьшение кинетической энергии сопровождается увеличением потенциальной энергии. Энергия трансформируется из кинетической формы в потенциальную. Тем не менее, как показано на шкале TME, общее количество механической энергии сохраняется.Этот самый принцип сохранения энергии был объяснен в главе «Энергия» учебного пособия по физике.

Период маятника

Наше последнее обсуждение будет относиться к периоду маятника. Как обсуждалось ранее в этом уроке, период — это время, за которое вибрирующий объект завершает свой цикл. В случае маятника настало время для маятника стартовать с одной из крайних точек , переместиться на противоположную точку , крайнюю точку , а затем вернуться в исходное положение.Здесь нас будет интересовать вопрос Какие переменные влияют на период маятника? Мы займемся возможными переменными. Переменными являются масса маятника, длина веревки, на которой он висит, и угловое смещение . Угловое смещение или угол дуги — это угол, который образует струна с вертикалью при выходе из состояния покоя. Эти три переменные и их влияние на период легко изучаются и часто находятся в центре внимания физической лаборатории на вводном уроке физики.В таблице ниже представлены репрезентативные данные для такого исследования.

Пробная

Масса (кг)

Длина (м)

Угол дуги (°)

Период (ы)

1

0.02–

0,40

15,0

1,25

2

0,050

0,40

15,0

1,29

3

0.100

0,40

15,0

1,28

4

0.200

0,40

15,0

1,24

5

0.500

0,40

15,0

1,26

6

0.200

0.60

15,0

1,56

7

0.200

0,80

15,0

1,79

8

0.200

1,00

15,0

2,01

9

0.200

1,20

15,0

2,19

10

0.200

0,40

10,0

1,27

11

0.200

0,40

20,0

1,29

12

0.200

0,40

25,0

1,25

13

0.200

0,40

30,0

1,26

В опытах с 1 по 5 масса боба систематически изменялась, при этом остальные количества оставались постоянными. Таким образом экспериментаторы смогли исследовать возможное влияние массы на период. Как видно из этих пяти испытаний, изменение массы мало влияет на период маятника.

В испытаниях 4 и 6-9, масса оставалась постоянной на уровне 0,200 кг, а угол дуги — постоянным на уровне 15 °. Однако длина маятника различна. Таким образом, экспериментаторы смогли исследовать возможное влияние длины струны на период. Как видно из этих пяти испытаний, изменение длины определенно влияет на период маятника. По мере удлинения струны период маятника увеличивается. Между периодом и длиной существует прямая зависимость.

Наконец, экспериментаторы исследовали возможное влияние угла дуги на период в опытах 4 и 10-13. Масса остается постоянной на уровне 0,200 кг, а длина струны остается постоянной на уровне 0,400 м. Как видно из этих пяти испытаний, изменение угла дуги практически не влияет на период маятника.

Итак, вывод из такого эксперимента состоит в том, что единственная переменная, влияющая на период маятника, — это длина струны.Увеличение длины приводит к увеличению периода. Но расследование не должно останавливаться на достигнутом. Количественное уравнение, связывающее эти переменные, может быть определено, если данные нанесены на график и выполнен линейный регрессионный анализ. Два графика ниже представляют такой анализ. На каждом графике значения периода (зависимой переменной) отложены по вертикальной оси. На графике слева длина маятника отложена по горизонтальной оси. Форма кривой указывает на какое-то соотношение мощности между периодом и длиной.На графике справа нанесен квадратный корень из длины маятника (длина в ½ степени). Показаны результаты регрессионного анализа.

Наклон: 1,7536
Y-пересечение: 0,2616
COR: 0,9183

Наклон: 2.0045
Y-пересечение: 0.0077
COR: 0,9999

Анализ показывает, что данные и линия регрессии лучше подходят для графика справа. Таким образом, график справа является основой уравнения, связывающего период и длину. Для этих данных уравнение

Период = 2,0045 • Длина 0,5 + 0,0077

Используя T как символ периода и L как символ длины, уравнение можно переписать как

Т = 2.0045 • L 0,5 + 0,0077

Обычно сообщается уравнение, основанное на теоретических разработках:

T = 2 • Π • (л / г) 0,5

, где g — постоянная, известная как сила гравитационного поля или ускорение свободного падения (9,8 Н / кг). Значение 2,0045, полученное в результате экспериментального исследования, хорошо согласуется с тем, что можно было бы ожидать из этого теоретически описанного уравнения. Подставляя значение g в это уравнение, получаем константу пропорциональности 2Π / g 0.5 , что равно 2,0071, очень похоже на константу пропорциональности 2,0045, разработанную в эксперименте.

Расследовать! Используйте виджет Investigating a Pendulum ниже, чтобы исследовать влияние длины маятника на период маятника. Просто введите значение длины в поле ввода и нажмите кнопку Отправить . Поэкспериментируйте с различными значениями длины маятника.

Проверьте свое понимание

1. Маятниковый боб возвращается в положение A и выводится из состояния покоя. Боб движется по своей обычной дуге окружности и застревает в позиции C. Определите позицию (A, B, C или все то же самое), где…

а. … Сила тяжести самая большая?
б. … Восстанавливающая сила самая большая?
c. … Скорость самая большая?
d.… Потенциальная энергия наибольшая?
е. … Кинетическая энергия самая большая
f. … Общая механическая энергия самая большая?

2. Воспользуйтесь функцией энергосбережения, чтобы заполнить пробелы на следующей диаграмме.

3. Пара танцоров-трапеций в цирке раскачивается на веревках, прикрепленных к большой возвышенной платформе. Предположим, что исполнителей можно рассматривать как простой маятник длиной 16 м.Определите период для одного полного цикла вперед-назад.

4. Какая будет самая высокая частота вибрации?

Маятник A: Груз весом 200 г, прикрепленный к струне длиной 1,0 м.
Маятник B: гиря массой 400 г, прикрепленная к струне длиной 0,5 м

5. Анна Литикал хочет сделать простой маятник, служащий устройством отсчета времени. Она планирует сделать его таким, чтобы его период равнялся 1.00 секунд. Какой длины должен быть маятник?

Энергетический метод для моделирования консервативных динамических систем — x-engineer.org

Энергетический метод предоставляет альтернативный способ определения математической модели (уравнений движения) динамической системы. Это также альтернативный метод расчета собственной частоты системы.

Многие современные инженерные системы являются / имеют:

  • мультидисциплинарными: они содержат механические, тепловые, электрические и т. Д. Подсистемы
  • сложные и нелинейные
  • расширенные проектные требования / уточнения
  • трудно уловить в простых, но представительных математических моделях

Энергетический метод — это общий метод моделирования, любая многопрофильная динамическая система может быть захвачена Энергетическим методом (кинетическая энергия, потенциальная энергия, работа).

Перед тем, как погрузиться в энергетический метод, мы должны вспомнить определение потенциала и кинетической энергии .

Потенциальная и кинетическая энергия

Для данного тела с массой Г [Н] , на высоте ч [м] , мы можем вычислить гравитационную потенциальную энергию U [Дж] как:

\ [U = Gh = mgh \]

где:

м [кг] — масса тела
г [м / с 2 ] — ускорение свободного падения

Упругая пружина с жесткостью k [Н / м] и удлинение x [м] имеет упругую потенциальную энергию U [Дж] , равную:

\ [U = \ frac {1} {2} kx ^ 2 \]

Кинетическая энергия связана со скоростью.2 \]

Тело, которое имеет комбинированное поступательно-вращательное движение, имеет общую кинетическую энергию Т [Дж] , равную:

\ [T = T_t + T_r \]

Полная энергия E [Дж ] системы — это сумма потенциальной и кинетической энергии.

\ [E = T + U \]

Энергетический метод

Энергетический метод утверждает, что для простой консервативной (без демпфирования) системы общая энергия E системы сохраняется. Это переводится в:

\ [E = \ text {constant} \]

Это означает, что производная полной энергии равна нулю:

\ [\ bbox [# FFFF9D] {\ frac {dE} {dt} = \ frac {d} {dt} \ left (T + U \ right) = 0} \]

Энергетический метод применяется в следующих простых шагах:

  1. вычислить потенциальную энергию U системы
  2. вычислить кинетическую энергию T системы
  3. вычислить полную энергию E системы
  4. вычислить производную dE / dt
  5. определить уравнение движения ( dE / dt = 0)

Для шага 4 стоит запомнить правило сумм дифференцирования для функций u и v :

\ [\ frac {d} {dx} \ left (u + v \ right) = \ frac {du} {dx} + \ frac {dv} {dx} \]

Примечание : поскольку он работает по принципу сохранения энергии, Энергетический метод может применяться только к системам без плотины. ping (компоненты, рассеивающие энергию).2) = \ frac {1} {2} k 2x \ dot {x} & = kx \ dot {x}
\ end {split} \]

Шаг 5 . Определим уравнение движения

Складывая результаты дифференцирования, получаем:

\ [\ begin {split}
m \ dot {x} \ ddot {x} + kx \ dot {x} = 0 \\
\ dot {x} (m \ ddot {x} + kx) = 0
\ end {split} \]

Разделив со скоростью dx / dt и m , мы получим уравнение равновесия :

\ [\ ddot {x} + \ frac {k} {m} x = 0 \]

Чтобы убедиться, что мы правильно определили уравнение движения, мы собираемся смоделировать и смоделировать его в Xcos.

Изображение: Простая поступательная масса — модель блок-схемы Xcos

Для моделирования модели:

  • установите конечное время интегрирования на 10 с
  • установите Начальное условие блока интегратора положения на 0,25 m
  • задайте параметры модели в контекстном меню Set : m = 0,3 кг, k = 2,5 N / m

Запустите модель и проанализируйте результат:

Изображение: простой график трансляционной массы

Как и ожидалось, масса начинает двигаться в начальный момент времени ( t 0 = 0 с ) из исходного положения ( x 0 = 0.2 & = \ frac {k} {m} \\
\ omega_n & = \ sqrt {\ frac {k} {m}}
\ end {split} \]

Как мы видим, частота в радианах равна квадрату корень зависимой переменной x коэффициент.

Замена параметров системы в уравнение дает значение радианной частоты:

\ [\ omega_n = \ sqrt {\ frac {2.5} {0.3}} = 2.8867513 \ quad \ text {rad / s} \]

. собственная частота f n [Гц] системы составляет:

\ [f_n = \ frac {\ omega_n} {2 \ pi} \]

, что дает:

\ [f_n = \ frac {2.8867513} {2 \ pi} = 0,4594407 \ quad \ text {Hz} \]

Пример 2. Простой маятник

Изображение: Простой маятник

где:

L [м] — длина плеча маятника
θ [рад. ] — угол маятника
м [кг] — масса подвешенного маятника

Шаг 1 . Рассчитайте потенциальную энергию U системы

В этом случае потенциальная энергия имеет гравитационную форму. Чем выше угол наклона маятника, тем выше потенциальная энергия. Высота массы маятника h [м] вычисляется функцией положения равновесия маятника ( θ = 0 рад ) и определяется как:

\ [h = L — L cos (\ theta) = L (1 — cos (\ theta)) \]

Потенциальная энергия равна:

\ [U = Gh = mgL (1-cos (\ theta)) \]

, где G [N] — вес маятника. и g [м / с 2 ] — ускорение свободного падения.2 \ ddot {\ theta} + mgL sin (\ theta) = 0 \]

Разделив на мл 2 , мы получим упрощенную форму уравнения равновесия :

\ [\ ddot {\ theta} + \ frac {g} {L} sin (\ theta) = 0 \]

Чтобы убедиться, что мы правильно определили уравнение движения, мы собираемся смоделировать и смоделировать его в Xcos.

Изображение: Простой маятник — модель блок-схемы Xcos

Для моделирования модели:

  • установите конечное время интегрирования на 10 с
  • установите Начальное условие блока интегратора положения на π / 4 rad
  • установите параметры модели в контекстном меню Set : g = 9.81 м / с 2 , L = 0,25 м

Запустите модель и проанализируйте результат:

Изображение: График простого маятника

Как и ожидалось, маятник начинает движение в начальный момент времени ( t 0 = 0 с ) из исходного положения ( θ 0 = π / 4 рад ). Поскольку в системе нет демпфирования, маятник бесконечно колеблется вокруг точки 0 рад, .

Радианная частота системы:

\ [\ omega_n = \ sqrt {\ frac {g} {L}} = 6.2641839 \ quad \ text {rad / s} \]

Собственная частота системы:

\ [f_n = \ frac {\ omega_n} {2 \ pi} = 0.9969758 \ quad \ text {Hz} \]

Пример 3. Простое поступательно-вращательное тело с пружиной

Изображение: Простое поступательно-вращательное тело

где:

k [Н / м] — жесткость пружины
x [м] — линейное перемещение
ω [рад / с] — угловое скорость
м [кг] — масса тела
Дж [кгм 2 ] — момент инерции
r [м] — радиус тела

Шаг 1 .2 + J} \ right) \ theta = 0 \]

Чтобы убедиться, что мы правильно определили уравнение движения, мы собираемся смоделировать и смоделировать его в Xcos.

Изображение: Простая поступательно-вращательная масса — модель блок-схемы Xcos

Для моделирования модели:

  • установите время окончательного интегрирования на 100 с
  • установите Начальное условие блока интегратора положения на π rad
  • установите параметры модели в контекстном меню Set : m = 0.3 кг, k = 2,5 Н / м, J = 0,01 кгм 2 , r = 0,02 м.

Запустите модель и проанализируйте результат:

Изображение: Простой график поступательно-вращательной массы

Как и ожидалось, маятник начинает двигаться в начальный момент времени ( t 0 = 0 с ) от исходного положения ( θ 0 = π рад ). Поскольку в системе нет демпфирования, маятник бесконечно колеблется вокруг точки 0 рад, .