В момент времени t 0 частица вышла из начала координат: Физика. Иродов Е.А. Задача № 1.21.

Задачи по физике и математике с решениями и ответами

Задача по физике — 3286

Точка движется вдоль оси $x$ со скоростью, проекция которой $v_{x}$ как функция времени описывается графиком (рис.). Имея в виду, что в момент $t = 0$ координата точки $x = 0$, начертить примерные графики зависимостей от времени ускорения $a_{x}$, координаты $x$ и пройденного пути $s$.
Подробнее

Задача по физике — 3287

За промежуток времени $\tau = 10,0 с$ точка прошла половину окружности радиуса $R = 160 см$. Вычислить за это время:
а) среднюю скорость $\langle v \rangle$;
б) модуль среднего вектора скорости $| \langle \vec{v} \rangle |$;
в) модуль среднего вектора полного ускорения $| \langle \vec{a} \rangle |$, если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением. Подробнее

Задача по физике — 3288

Радиус-вектор частицы меняется со временем $t$ по закону $\vec{r} = \vec{a} t (1 — \alpha t)$, где $\vec{a}$ — постоянный вектор, $\alpha$ — положительная постоянная. Найти:
а) скорость $\vec{v}$ и ускорение $\vec{w}$ частицы в зависимости от времени;
б) промежуток времени $\Delta t$, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь $s$, который она пройдет при этом. Подробнее

Задача по физике — 3289

В момент $t = 0$ частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по закону $\vec{v} = \vec{v}_{0} (1 — t/ \tau)$, где $\vec{v}_{0}$ — вектор начальной скорости, модуль которого $v_{0} = 10,0 см/с, \tau = 5,0 с$.

{2}$, где $a$ и $b$ — положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат. Подробнее

Задача по физике — 3296

Небольшое тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью $\vec{v}_{0}$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) перемещение тела в функции времени $\vec{r}(t)$;
б) средний вектор скорости $\langle v \rangle$ за первые $t$ секунд и за все время движения. Подробнее

Задача по физике — 3297

Тело бросили с поверхности Земли под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) время движения;
б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком значении угла $\alpha$ они будут равны друг другу;
в) уравнение траектории $y(x)$, где $y$ и $x$ — перемещения тела во вертикали и горизонтали соответственно;
г) радиусы кривизны начала и вершины траектории. Подробнее

Задача по физике — 3298

Имея в виду условие предыдущей задачи, изобразить примерные графики зависимости от времени модулей векторов нормального $w_{n}$ и тангенциального $w_{ \tau}$ ускорений, а также проекции вектора полного ускорения $w_{v}$ на направление вектора скорости. Подробнее

Задача по физике — 3299

Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом. Пролетев расстояние $h$, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразится второй раз? Подробнее

Задача по физике — 3300

Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха? Подробнее

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. За промежуток времени точка прошла половину окружности радиуса Вычислить за это время: а) средне-путевую скорость ; б) модуль средней скорости ; в) модуль среднего вектора полного ускорения , если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением.

О т в е т. а) б) в)

Задача 2. Радиус- вектор точки относительно начала координат меняется по закону , где и – постоянные, и – орты осей и . Найти: а) уравнение траектории точки ; б) зависимости от времени скорости , ускорения и модули этих величин; в) зависимость от времени угла между векторами и .

О т в е т. а) ; б) , , , ; в) .

Задача 3. В момент времени частица вышла из начала координат в положительном направлении оси . Ее скорость меняется по закону , где – начальная скорость, модуль которой , с. Найти: а) координату частицы в момент времени 6, 10 и 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10см от начала координат.

О т в е т. а) ; 0.24, 0 и –2 м; б) 1.1, 9 и 11с.

Задача 4.

Частица движется в положительном направлении оси так, что ее скорость меняется по закону , где – положительная постоянная. Имея в виду, что в момент она находилась в точке , найти: а) зависимости от времени скорости и ускорения частицы; б) среднюю скорость частицы за время, в течении которого она пройдет первые метров пути.

О т в е т. а) , ; б) .

Задача 5. Точка движется в плоскости по закону где и – положительные постоянные. Найти: а) путь проходимый точкой за время б) угол между скоростью и ускорением точки.

О т в е т. а) б)

Задача 6. Точка движется в плоскости с постоянным ускорением направление которого противоположно положительному направлению оси Уравнение траектории частицы имеет вид где и – положительные постоянные. Найти скорость частицы в начале координат.

О т в е т.

Задача 7. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости где – постоянная, – высота подъема. Найти зависимости от высоты подъема: а) величины сноса шара б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.

О т в е т. а) б)

Задача 8. Частица движется в плоскости со скоростью где и – орты осей и и – постоянные. В начальный момент частица находилась в точке Найти: а) уравнение траектории б) радиус кривизны траектории в зависимости от

О т в е т. а) б)

Задача 9. Точка движется по окружности со скоростью , где . Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет длины окружности после начала движения.

О т в е т. .

Задача 10. Точка движется по дуге окружности радиуса . Ее скорость зависит от пройденного пути по закону , где – постоянная.

Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от .

О т в е т. .

15

Решение задач по физике разноуровневые (10, 11 классы)

МКТ 1

1. В баллоне объёмом V = 10 л находится гелий под давлением p1 = 1 МПа при температуре T1 = 300 К. После того, как из баллона был израсходован гелий массой m = 10 г, температура в баллоне понизилась до T2 = 290 К. Определить давление p2 гелия, оставшегося в баллоне.

2. Масса m = 12 г газа занимает объём V = 4 л при температуре t1 = 7°C. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равна ρ = 0,6 кг/м3. До какой температуры T2нагрели газ?

3. В сосуде находится масса m1 = 14 г азота и масса m2 = 9 г водорода при температуре T = 10°Cи давлении p = 1 МПа. Найти молярную массу Mсм смеси и объём V сосуда.

4. Водород массой m = 4 г был нагрет на ΔT = 10 К при постоянном давлении. Определить работу A расширения газа.

5. Газ, занимавший объём V1 = 12 л под давлением p1 = 100 кПа, был изобарно нагрет от температуры T1 = 300 К до T2 = 400 К. Определить работу A расширения газа.

6. В баллоне содержится газ при температуре t1 = 100°C. До какой температуры T2 нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в два раза?

7. В сосуде вместимостью V = 15 л находится смесь азота и водорода при температуре T = 23°C и давлении p = 200 кПа. Определить массы смеси и её компонентов, если массовая доля ω1 азота в смеси равна 0,7.

8. Какая работа A совершается при изотермическом расширении водорода массой m = 5 г, взятого при температуре T = 290 К, если объём газа увеличивается в три раза?

9. В сосуде объёмом V = 30 л содержится идеальный газ при температуре 0°C. После того, как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось на 0,78 атм (без изменения температуры). Найти массу выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях ρ= 1,3 г/л.

10. Сосуд объёмом V = 20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре t = 20°C и давлении p = 2,0 атм. Масса смеси m = 5 г. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси.

———————————————————————————————————

МКТ 2

1. Определить молярную массу M углекислого газа CO2.

2. Найти молярную массу M смеси кислорода массой m1 = 25 г и азота массой m2 = 75 г. 3. Определить: а) число N молекул воды, занимающей при температуре t = 4°C объём V = 1 мм3; б) массу m1 молекулы воды; в) диаметр d молекулы воды, считая, что молекулы имеют формы шариков, соприкасающихся друг с другом.

4. В баллоне вместимостью V = 2 л находится кислород массой m = 1,17 г. Концентрация n молекул газа равна 1,1*1025 м-3. Определить по этим данным постоянную Авогадро NA.

5. Кислород при нормальных условиях занимает сосуд вместимостью V = 11,2 л. Определить количество вещества ν газа и его массу m.

6. Определить молярную массу: а) воды; б) поваренной соли NaCl; в) серной кислоты h3SO4.

7. Определить количество вещества ν и число N молекул азота массой m = 0,2 кг. 8. Колба вместимостью V = 0,5 л содержит газ при нормальных условиях. Определить число N молекул газа, находящихся в колбе.

9. Газ массой m = 58,5 г находится в сосуде вместимостью V = 5 л. Концентрация n молекул газа равна 2,2*1026 м-3. Какой это газ?

10. Идеальный газ находится при нормальных условиях в закрытом сосуде. Определить концентрацию n молекул газа.

МКТ 3

1. Вычислить удельные теплоёмкости неона и водорода при постоянных cV и давлении cp, принимая эти газы за идеальные.

2. Определить количество теплоты, поглощаемой водородом массой m = 0,2 кг при нагревании его от температуры T1 = 0°C до температуры T2 = 100°C при постоянном давлении. Найти также изменение внутренней энергии газа и совершаемую им работу. 3. Кислород занимает объём V1 = 1 м3 и находится под давлением p1 = 200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объёма V2 = 3 м3, а затем при постоянном объёме до давления p2 = 500 кПа. Построить график процесса и найти: а) изменение ΔU внутренней энергии газа; б) совершённую им работу A; в) количество теплоты Q, переданное газу.

4. Азот нагревался при постоянном давлении, причём ему было сообщено количество теплоты Q = 21 кДж. Определить работу A, которую совершил при этом газ, и изменение ΔU его внутренней энергии.

5. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре T1 = 300 К. Водород начал расширяться адиабатно, увеличив свой объём в пять раз, а затем был сжат изотермически, причём объём газа уменьшился в пять раз. Найти температуру T2 в конце адиабатного расширения и работу A, совершённую газом. Изобразить процесс графически.

6. Водород занимает объём V1 = 10 м­­3 при давлении p1 = 100 кПа. Газ нагрели при постоянном объёме до давления p2 = 300 кПа. Определить: а) изменение ΔU внутренней энергии газа; б) работу A, совершённую газом; в) количество теплоты Q, сообщённое газу.

7. Баллон вместимостью V = 20 л содержит водород при температуре T1 = 300 К под давлением p1= 0,4 МПа. Каковы будут температура T2 и давление p2, если газу сообщить количество теплоты Q= 6 кДж.

8. Некоторую массу азота сжали в n = 5 раз (по объёму) один раз адиабатически, другой раз изотермически. Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково. Найти отношение соответствующих работ, затраченных на сжатие.

9. Азот массой m = 200 г расширяется изотермически при температуре T = 280 К, причём объём газа увеличивается в два раза. Найти: а) изменение ΔU внутренней энергии газа; б) совершённую при расширении газа работу A; в) количество теплоты Q, полученное газом.

10. При адиабатном расширении кислорода с начальной температурой T1 = 320 К внутренняя энергия уменьшилась на ΔU = 8,4 кДж, а его объём увеличился в n = 10 раз. Определить массу m кислорода.

—————————————————————————————————————————

МКТ 4

1. Определить среднюю и наиболее вероятную скорости молекул кислорода при 132°C.

2. При каком значении скорости пересекаются кривые распределения Максвелла для температур T1и T2 = 2T1?

3. Какая температура соответствует средней квадратичной скорости молекул углекислого газа 7200 км/ч?

4. Масса m каждой из пылинок, взвешенных в воздухе, равна 10­-18 г. Отношение концентрации n1пылинок на высоте h2 = 1 м к концентрации их на высоте h0 = 0 равно 0,787. Температура воздуха T = 300 К. Найти по этим данным значение числа Авогадро NA.

5. На какой высоте h плотность кислорода уменьшится на  ?

Температура кислорода t = 27°C.

6. Какое изменение высоты соответствует изменению температуры атмосферы на 1°C, если у поверхности Земли температура 0°C?

7. Определить силу F, действующую на частицу, находящуюся во внешнем однородном поле тяжести, если отношение  концентраций частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на 1 м, равно e. Температуру T считать не зависящей от высоты и равной T = 300 К.

Дополнительная задача 1. Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных условиях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа?

Дополнительная задача 2. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.

Дополнительная задача 3. При какой температуре T молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость , как молекулы водорода при температуре T1 = 100 К?

Дополнительная задача 4. Найти среднюю кинетическую энергию одной молекулы аммиака Nh4при температуре t = 27 °C и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.

Дополнительная задача 5.На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на её поверхности? Считать, что температура T воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

Дополнительная задача 6.  Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m = 10-18 г. Во сколько раз уменьшится их концентрация n при увеличении высоты на Δh = 10 м? Температура воздуха T = 300 К.

Дополнительная задача 7. Барометр в кабине летящего самолёта всё время показывает одинаковое давление p = 79 кПа, благодаря чему лётчик считает высоту h2 полёта неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолёта изменилась с t = 5 °C до t = 1 °C. Какую ошибку Δh в определении высоты допустил лётчик? Давление p0 у поверхности Земли считать нормальным.

Дополнительная задача 8. Колба вместимостью V = 4 л содержит некоторый газ массой m = 0,6 г под давлением p = 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.

—————————————————————————————————————————-

МЕХАНИКА ДВИЖЕНИЯ 1

1. Радиус-вектор частицы определяется выражением (м). Найти  и  .

2. Начальное значение радиус-вектора равно  (м), конечное  (м). Найти: а) приращение радиус-вектора  ; б) модуль приращения радиус-вектора  .

3. Написать выражение для косинус угла α между векторами с компонентами (ax,ay,az) и (bx,by,bz).

4. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону  (м). Найти: а) скорость  и ускорение  частицы; б) модуль скорости v в момент времени t = 1с; в) приближенное значение пути S, пройденного частицей за 11-ю секунду движения.

5. Начальное значение скорости равно  (м/с), конечное  (м/с). Найти: а) приращение скорости  ; б) модуль приращения скорости  ; в) приращение модуля скорости Δv.

6. Компоненты одного вектора равны (1,3,5), другого (6,4,2). Найти угол α между векторами.

7. Радиус-вектор частицы определяется выражением  (м). Вычислить: а) путь S, пройденный частицей за первые 10 секунд движения; б) модуль перемещения  за то же время.

8. Частица движется со скоростью  (м/с). Найти: а) перемещение частицы за первые 2 секунды ее движения; б) модуль скорости v в момент времени t = 2с.

—————————————————————————————————————————

МЕХАНИКА ДВИЖЕНИЯ 2

1. Точка движется в плоскости xy по закону: x = αt, y = at (1 – αt), где α и a – положительные постоянные, t – время. Найти: а) уравнение траектории точки y(x), изобразить её график; б) модуль скорости v и модуль ускорения w точки в зависимости от времени; в) момент τ, в котором вектор скорости составляет угол  c вектором ускорения.

2. Тело бросили с поверхности Земли под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) время движения τ; б) максимальную высоту подъёма h и горизонтальную дальность полёта L, при каком значении угла α0 они будут равны; в) уравнение траектории y(x), где x и y – перемещения тела по горизонтали и вертикали соответственно; г) полное, тангенциальное и нормальное ускорение в начале и середине траектории; д) радиус кривизны R начала и вершины траектории.

3. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?

4. Тело брошено под углом α = 60° к горизонту с начальной скоростью v0 = 20 м/с. Найти: а) максимальную высоту подъёма и горизонтальную дальность полёта; б) под каким углом β1 к горизонту движется тело через τ1 = 1,5 с после начала движения? Через τ1 = 2,5 с? в) через сколько времени τ0 и на какой высоте h тело будет двигаться под углом β2 = 45° к горизонту?

5. Над колодцем глубиной h = 10 м бросают вертикально вверх камень с начальной скоростью v0= 14 м/с. Через сколько времени камень достигнет дна колодца?

6. Точка движется в плоскости xy по закону x = a sin ωt, y = a (1 – cos ωt), где ω и a – положительные постоянные, t – время. Найти: а) путь S, проходимый точкой за время τ; б) угол между векторами скорости и ускорения точки.

7. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v0 = 250 м/с: первый – под углом α1 = 60° к горизонту, второй – под углом α2 = 45° (азимут один и тот же). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

8. Снаряд, выпущенный из орудия под углом α = 30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h спустя время t1 = 10 с и t2 = 50 с после выстрела. Определить начальную скорость v0 и высоту h.

9. Частица движется в положительном направлении оси так, что её скорость меняется по закону  , где α – положительная постоянная. Имея в виду, что в момент времени t = 0 она находилась в точке x = 0, найти: а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы; б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдёт первые S метров пути.

——————————————————————————————————————————

МЕХАНИКА ДВИЖЕНИЯ 3

1. Точка движется, замедляясь, по окружности радиусом R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорение по модулю равны друг другу. В начальный момент t = 0 скорость точки равна v0. Найти: а) скорость точки в зависимости от времени и от пройденного пути S; б) полное ускорение точки в функции скорости и пройденного пути.

2. Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = at – bt3, где a = 6 рад/с, b = 2 рад/с3. Найти: а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.

3. Точка движется по плоскости так, что её тангенциальное ускорение wτ = a, а нормальное wn =bt2, где a и b – положительные постоянные, t – время. В момент t = 0 точка покоилась. Найти зависимости от пройденного пути S радиуса кривизны R траектории точки и её полного ускорения w.

4. Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота по закону ω = ω0 – aφ, где ω0 и a – положительные постоянные. В момент времени t = 0 угол φ = 0. Найти зависимости от времени: а) угла поворота; б) угловой скорости.

5. Частица движется по дуге окружности радиуса R по закону l = A sin ωt, где l – смещение из начального положения, A и ω постоянные. Найти полное ускорение частиц в точках l = 0 и l = ±A.

6. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол φ его поворота зависит от времени какφ = at2, где a = 0,2 рад/с2. Найти полное ускорение w точки A на ободе колеса в момент времени t= 2,5 с, если линейная скорость A в этот момент v = 0,65 м/с.

7. В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси x. Её скорость меняется со временем по закону  , где  — вектор начальной скорости, модуль которого v0 = 10 см/с, τ = 5,0 с. Найти: а) координату x частицы в момент времени 6, 10 и 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10 см от начала координат; в) путь S, пройденный частицей за первые 4 и 8 с.

8. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от её скорости v по закону  , где a – положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна v0. Какой путь она пройдёт до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

9. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону  , где  — положительный вектор, α – положительная постоянная. Найти: а) скорость  и ускорение частицы в зависимости от времени; б) промежуток времени Δt, по истечении которого частица вернётся в исходную точку, а также путь S, который она пройдёт при этом.

—————————————————————————————————————————-

МЕХАНИКА ДВИЖЕНИЯ 4

1. Брусок массой m = 2 кг движется по шероховатой горизонтальной поверхности с ускорением w = 3 м/с2, когда на него действуют силой F = 14 Н, направленной под углом α = 45° к горизонту. Какой минимальной силой F0 и под каким углом α0 нужно подействовать на брусок, чтобы его только сдвинуть с места?

2. Наклонная плоскость, образующая угол α = 25° с плоскостью горизонта, имеет длину l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения μ тела о плоскость.

3. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость v0. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен k. При каком значении угла наклона α шайба пройдёт вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?

4. Аэростат массы m начал опускаться с постоянным ускорением w. Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.

5. На столе стоит тележка массой m = 4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением w будет двигаться тележка, если к другому

6. Какова начальная скорость шайбы, пущенной по поверхности льда, если она остановилась через 40 с. Коэффициент трения равен 0,05.концу шнура привязать гирю массой m2 = 1 кг? Коэффициент трения k = 0,2

7.  Два соприкасающихся бруска скользят по наклонной доске. Масса первого бруска m1 = 2 кг, масса второго бруска m2 = 3 кг. Коэффициент трения между бруском и доской равен μ1 = 0,1 для бруска 1 и μ2 = 0,2 для бруска 2. Угол наклона доски α = 45°. Определить: а) ускорение, с которым движутся бруски; б) силу F, с которой бруски давят друг на друга.

8. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α = 15° с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъёма тела оказалось в ŋ = 2,0 раза меньше времени спуска.

——————————————————————————————————————————-

МЕХАНИКА ДВИЖЕНИЯ

Самолёт делает мёртвую петлю радиуса R с постоянной скоростью v. Найти вес лётчика массы m в нижней и верхней точках петли.

—————————————————————————————————————————

З. С.И. 1

1. Два шара массами m1 = 2,5 кг и m2 = 1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями v1 = 6 м/с и v2 = 2 м/с. Определить: а) скорость шаров после удара; б) кинетическую энергию шаров T1 до и T2 после удара; в) долю кинетической энергии ω шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.

2.  Летевшая горизонтально пуля массой m попала, застряв, в тело массой M (баллистический маятник), которое подвешено на двух одинаковых нитях длиной l. В результате нити отклонились на угол θ. Найти: а) скорость пули v перед попаданием в тело; б) относительную долю ŋ первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тело.

3. В результате лобового упругого столкновения частицы 1 массы m1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2.

4. После упругого столкновения частицы 1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично первоначального движения частицы 1, и угол между их направлениями разлёта θ = 60°. Найти отношение масс этих частиц.

5. Снаряд, выпущенный со скоростью v0 = 100 м/с под углом α = 45° к горизонту, разорвался в верхней точке O траектории на два одинаковых осколка. Один осколок упал на землю под точкой O со скоростью v1 = 97 м/с. С какой скоростью упал на землю второй осколок?

6. На покоящийся шар налетает со скоростью v1 = 2 м/с другой шар одинаковой с ним массой. В результате столкновения этот шар изменил направление движения на угол α = 30°. Определить: а) скорости u1 и u2 шаров после удара; б) угол β между вектором скорости второго шара и первоначальным направлением движения первого шара. Удар считать упругим.

7. Маятник представляет собой прямой тонкий стержень длиной l = 1,5 м, на конце которого находится стальной шар массой M = 1 кг. В шар попадает летящий горизонтально со скоростью v = 50 м/с стальной шарик массой m = 20 г. Определить угол максимального отклонения маятника, считая удар упругим и центральным. Массой стержня пренебречь.

8. Дополнительная задача 3. Автомашина массой m = 1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути. Определите: а) работу, совершаемую двигателем автомашины на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; б) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолён за 5 мин.

—————————————————————————————————————————

З.С.И. 2

1. Небольшая шайба соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высоты H, имеющей горизонтальный трамплин. При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние s? Чему оно равно?

2.  Небольшое тело массы m медленно втащили на горку, действуя силой  , которая в каждой точке направлена по касательной к траектории. Найти работу этой силы, если высота горки h, длина основания l и коэффициент трения k.

Рассмотрим элемент горки равного наклона:

3. Шайба массы m = 50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол α = 30°, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l = 50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всём пути, считая всюду коэффициент трения k = 0,15.

4. Тело массы m = 1,5 кг, брошенное вертикально вверх с высоты h = 4,9 м со скоростью v0 = 6 м/с, упало на землю со скоростью v = 5 м/с. Определить работу сил сопротивления воздуха.

5. Конькобежец массой M = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении гирю массой m = 3 кг со скоростью v = 3 м/с относительно Земли. Найти, на какое расстояние Sоткатится при этом конькобежец, если коэффициент трения k = 0,02.

6. Пуля массой m = 50 г, летевшая горизонтально со скоростью v0 = 20 м/с, ударилась в свободно подвешенный на длинной нити деревянный брусок массой m = 50 кг и застряла в нём, углубившись на S = 10 см. Найти силу Fс сопротивления дерева движению пули. На какую глубинуS1 войдёт пуля, если тот же брусок закрепить?

7. С горки высотой h = 2 м и основанием b = 5 м съезжают санки, которые затем останавливаются, пройдя по горизонтали путь l = 35 м от основания горки. Найти коэффициент трения.

8. Локомотив массой m начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону  , где a – постоянная, S – пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые t0 секунд после начала движения.

9. Брусок массы m = 1,00 кг находится на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k = 0,27. В некоторый момент ему сообщили начальную скорость v0 = 1,5 м/с. Найти среднюю мощность силы трения за всё время движения бруска.

10. Тело массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за всё время движения тела и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

Дополнительная задача 1. Вычислить работу A, совершаемую при равноускоренном подъёме груза массой m = 100 кг на высоту h = 4 м за время t = 2 с.

Дополнительная задача 2. Тело массой m = 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью v0 = 20 м/с, через t = 3 с упало на землю. Определить кинетическую энергию T, которую имело тело в момент удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Іродов — Skyscraper

1.1. Катер, двигаясь вниз по реке, обогнал плот в пункте А. Через τ = 60 мин после этого он повернул обратно и затем встретил плот на расстоянии l = 6,0…

1.2. Точка прошла половину пути со скоростью v₀. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью v₁, а последний участок…

1.3. Автомашина движется с нулевой начальной скоростью по прямому пути сначала с ускорением w = 5,0 м/с², затем равномерно и, наконец, замедляясь…

1.4. Точка движется по прямой в одну сторону. На рис. 1.1 показан график пройденного ею пути s в зависимости от времени t. Найти с помощью этого графика: а)…

1.5. Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями v₁ и v₂. Их радиус-векторы в начальный момент равны r₁ и r₂…

1.6. Корабль движется по экватору на восток со скоростью v₀ = 30 км/ч. С юго-востока под углом φ = 60° к экватору дует ветер со скоростью…

1.7. Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку…

1.8. От бакена, который находится на середине широкой реки, отошли две лодки, А и В. Обе лодки стали двигаться по взаимно перпендикулярным прямым: лодка А —…

1.9. Лодка движется относительно воды со скоростью, в n = 2,0 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать…

1.10. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно — вертикально вверх, другое — под углом ϑ = 60° к горизонту. Начальная скорость каждого…

1.11. Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле тяжести. В начальный момент частицы находились в одной точке и имели скорости v₁ = 3,0…

1.12. Три точки находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Они начинают одновременно двигаться с постоянной по модулю скоростью v, причем…

1.14. Поезд длины l = 350 м начинает двигаться по прямому пути с постоянным ускорением w = 3,0*10^-2 м/с². Через t = 30 с после начала движения…

1.15. Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно 2,7 м, начала подниматься с постоянным ускорением 1,2 м/с². Через 2,0 с после начала…

1.16. Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями v₁ и v₂ по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В…

1.17. Из пункта A, находящегося на шоссе (рис. 1.2), необходимо за кратчайшее время попасть на машине в пункт В, расположенный в поле на расстоянии l от шоссе…

1.19. За промежуток времени τ = 10,0 с точка прошла половину окружности радиуса R = 160 см. Вычислить за это время: а) среднюю скорость <v>; б) модуль…

1.20. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону г = at (1-αt), где а — постоянный вектор, α — положительная постоянная. Найти: а) скорость…

1.21. В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по закону v = v₀ (1 — t/τ),…

1.22. Частица движется в положительном направлении оси x так, что ее скорость меняется по закону v = α*sqrt(x), где α — положительная постоянная…

1.23. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v по закону w = а*sqrt(v), где а — положительная постоянная…

1.24. Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со временем t по закону r = ati—bt²j, где а и b — положительные постоянные, i и…

1.25. Точка движется в плоскости ху по закону: х = at, у = at (1 — αt), где a и α — положительные постоянные, t — время. Найти: а) уравнение траектории…

1.26. Точка движется в плоскости ху по закону х = a sin ωt, у = а (1-cos ωt), где а и ω — положительные постоянные. Найти: а) путь s, проходимый…

1.27. Частица движется в плоскости ху с постоянным ускорением w, направление которого противоположно положительному направлению оси у. Уравнение траектории частицы…

1.29. Тело бросили с поверхности Земли под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) время…

1.31. Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом. Пролетев расстояние h, он упруго…

1.32. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в…

1.33. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v₀ = 250 м/с: первый — под углом ϑ₁ = 60° к горизонту, второй…

1.34. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъема постоянна и равна v₀. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную…

1.35. Частица движется в плоскости ху со скоростью v = аi + + bxj, где i и j — орты осей х и у, а и b — постоянные. В начальный момент частица находилась в точке…

1.36. Частица А движется в одну сторону по некоторой заданной траектории с тангенциальным ускорением w_τ = аτ, где а — постоянный вектор, совпадающий…

1.37. Точка движется по окружности со скоростью v = at, где а = 0,50 м/с². Найти ее полное ускорение в момент, когда она Пройдет n = 0,10 длины окружности…

1.38. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса R так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу…

1.39. Точка движется по дуге окружности радиуса R. Ее скорость зависит от пройденного пути s по закону v = a*sqrt(s), где а — постоянная. Найти угол α…

1.40. Частица движется по дуге окружности радиуса R по закону l = a sin ωt, где l — смещение из начального положения, отсчитываемое вдоль дуги, a и ω…

1.41. Точка движется по плоскости так, что ее тангенциальное ускорение w_τ = а, а нормальное ускорение w_n = bt⁴, где а и…

1.42. Частица движется с постоянной по модулю скоростью v по плоской траектории у (х). Найти ускорение частицы в точке х = 0 и радиус кривизны траектории в этой…

1.43. Частица А движется по окружности радиуса R = 50 см так, что ее радиус-вектор r относительно точки О (рис. 1.5) поворачивается с постоянной угловой скоростью…

1.44. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол φ его поворота зависит от времени как φ = at², где а = 0,20 рад/с²…

1.45. Снаряд вылетел со скоростью v = 320 м/с, сделав внутри ствола n = 2,0 оборота. Длина ствола l = 2,0 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным,…

1.46. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = at — bt³, где а = 6,0 рад/с, b = 2,0 рад/с³. Найти: а) средние значения…

1.47. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением β = at, где а = 2,0*10^-2 рад/с³. Через сколько времени…

1.48. Твердое тело вращается, замедляясь, вокруг неподвижной оси с угловым ускорением β ∼ sqrt(ω), где ω — его угловая скорость. Найти среднюю…

1.49. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота φ по закону ω = ω₀ — аφ,…

1.50. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением β = β₀ cos φ, где β₀ — постоянный…

1.51. Вращающийся диск (рис. 1.6) движется в положительном направлении оси х. Найти уравнение у (х), характеризующее положения мгновенной оси вращения, если…

1.52. Точка А находится на ободе колеса радиуса R = 0,50 м, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью v = 1,00 м/с. Найти: а)…

1.53. Шар радиуса R = 10,0 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что его центр движется с постоянным ускорением w = 2,50 см/с²…

1.54. Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус цилиндра равен r. Найти радиусы кривизны траекторий точек А и В (см. рис. 1.7).

1.55. Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных взаимно перпендикулярных пересекающихся осей с постоянными угловыми скоростями ω₁ = 3,0. ..

1.56. Твердое тело вращается с угловой скоростью ω = ati + bt²j, где a = 0,50 рад/с², b = 0,060 рад/с³, i и j — орты осей…

1.57. Круглый конус с углом полураствора α = 30° и радиусом основания R = 5,0 см катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости, как…

1.58. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью ω₀ = 0,50 рад/с вокруг горизонтальной оси АВ. В момент t = 0 ось АВ начали поворачивать…

1.59. Аэростат массы m начал опускаться с постоянным ускорением w. Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое…

1.60. В установке (рис. 1.9) массы тел равны m₀, m₁ и m₂, массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найти…

1.61. На наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом, поместили два соприкасающихся бруска 1 и 2 (рис. 1.10). Массы брусков равны m₁…

1.62. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α = 15° с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема…

1.63. В установке (рис. 1.11) известны угол α наклонной плоскости с горизонтом и коэффициент трения k между телом m₁ и наклонной плоскостью…

1.64. Наклонная плоскость (см. рис. 1.11) составляет угол α = 30° с горизонтом. Отношение масс тел m₂/m₁ = η = 2/3. Коэффициент…

1.65. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m₁ и на ней брусок массы m₂. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся…

1.66. Небольшое тело А начинает скользить с вершины клина, основание которого l = 2,10 м (рис. 1.12). Коэффициенты трения между телом и поверхностью клина k…

1.67. Брусок массы m втаскивают за нить с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом (рис. 1.13). Коэффициент…

1.68. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = at,…

1.69. К бруску массы m, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу F = mg/3. В процессе его прямолинейного движения угол…

1.70. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k находятся два тела: брусок и электромотор с батарейкой на подставке. На ось электромотора намотана…

1.71. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами m₁ и m₂. Кабина начинает…

1.72. Найти ускорение w тела 2 в системе (рис. 1.15), если его масса в η раз больше массы бруска 1 и угол между наклонной плоскостью и горизонтом равен α…

1.73. В системе рис. 1.16 массы тел равны m₀, m₁, m₂, трения нет, массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Найти ускорение тела…

1.74. В установке (рис. 1.17) известны массы стержня M и шарика m, причем M > m. Шарик имеет отверстие и может скользить по нити с некоторым трением. Масса…

1.75. В установке (рис. 1.18) шарик 1 имеет массу в η = 1,8 раза больше массы стержня 2. Длина последнего l = 100 см. Массы блоков и нитей, а также трение…

1.76. В системе (рис. 1.19) масса тела 1 в η = 4,0 раза больше массы тела 2. Высота h = 20 см. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. В…

1.77. Найти ускорения стержня А и клина В в установке (рис. 1.20), если отношение массы клина к массе стержня равно η и трение между всеми соприкасающимися…

1.79. С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок А (рис. 1.22), чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него? Массы…

1.80. Призме 1, на которой находится брусок 2 массы m, сообщили направленное влево горизонтальное ускорение w (рис. 1.23). При каком максимальном значении этого…

1.81. На горизонтальной поверхности находится призма 1 массы m₁ с углом α (см. рис. 1.23) и на ней брусок 2 массы m₂. Пренебрегая…

1.84. Самолет делает «мертвую петлю» радиуса R = 500 м с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Найти вес летчика массы m = 70 кг в нижней, верхней и средней точках…

1.85. Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти: а) полное ускорение…

1.86. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол…

1.87. Небольшое тело А начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса R. Найти угол ϑ (рис. 1.25), соответствующий точке отрыва тела от сферы, и…

1.88. Прибор (рис. 1.26) состоит из гладкого Г-образного стержня, расположенного в горизонтальной плоскости, и муфточки А массы m, соединенной невесомой пружинкой…

1.89. Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке, радиус которой R, а коэффициент трения зависит только от расстояния r до центра О площадки по закону…

1.90. Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением w_τ = 0,62 м/с² по горизонтальной поверхности, описывая окружность…

1.91. Автомашина движется равномерно по горизонтальному пути, имеющему форму синусоиды y = a sin (x/α), где a и α — некоторые постоянные. Коэффициент…

1.92. Цепочка массы m, образующая окружность радиуса R, надета на гладкий круговой конус с углом полураствора ϑ. Найти натяжение цепочки, если она вращается…

1.95. Найти модуль и направление вектора силы, действующей на частицу массы m при ее движении в плоскости ху по закону х = a sin ωt, у = b cos ωt,…

1.96. Тело массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) приращение импульса Δр…

1.97. На покоившуюся частицу массы m в момент t = 0 начала действовать сила, меняющаяся со временем по закону F = at (τ — t), где а — постоянный вектор,…

1.98. Частица массы m в момент t = 0 начинает двигаться под действием силы F = F₀ sin ωt, где F₀ и ω — постоянные. Найти путь,…

1.99. Частица массы m в момент t = 0 начинает двигаться под действием силы F = F₀cos ωt, где F₀ и ω — постоянные. Сколько…

1.100. Катер массы m движется по озеру со скоростью v₀. В момент t = 0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления воды движению катера пропорциональной…

1.101. Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою скорость от v₀ до v. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной…

1.102. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути х по…

1.103. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k лежит тело массы m. В момент t = 0 к нему приложили горизонтальную силу, меняющуюся со временем по…

1.104. Тело массы m бросили вертикально вверх со скоростью v₀. Найти скорость v’, с которой тело упадет обратно, если сила сопротивления воздуха равна…

1.105. Частица массы m движется в некоторой плоскости P под действием постоянной по модулю силы F, вектор которой поворачивается в этой плоскости с постоянной…

1.106. Небольшую шайбу А положили на наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом, и сообщили начальную скорость v₀ (рис. 1.27). Найти…

1.107. Цепочку длины l поместили на гладкую сферическую поверхность радиуса R так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. С каким ускорением w начнет двигаться…

1.108. Небольшое тело поместили на вершину гладкого шара радиуса R. Затем шару сообщили в горизонтальном направлении постоянное ускорение w₀, и тело…

1.109. Частица массы m равномерно движется по окружности с заданной, скоростью v под действием силы F = а/rⁿ, где а и n — постоянные, r — расстояние…

1.111. Винтовку навели на вертикальную черту мишени, находящейся точно в северном направлении, и выстрелили. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на сколько…

1.112. Горизонтальный диск вращают с постоянной угловой скоростью ω = 6,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По одному из диаметров…

1.113. Горизонтально расположенный гладкий стержень АВ вращают с постоянной угловой скоростью ω = 2,00 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его…

1.114. Горизонтальный диск радиуса R вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его край. По периферии…

1.115. С вершины гладкой сферы радиуса R = 1,00 м начинает соскальзывать небольшое тело массы m = 0,30 кг. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью ω…

1.117. На экваторе с высоты h = 500 м на поверхность Земли падает тело (без начальной скорости относительно Земли). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти,…

1.118. Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости ху из точки 1 с радиус-вектором r₁ = i + 2j в точку 2 с радиус-вектором r₂…

1.119. Локомотив массы m начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону v = a*sqrt(s), где а —постоянная, s — пройденный путь. Найти суммарную…

1.120. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса R, зависит от пройденного пути s по закону Т = as², где а — постоянная. Найти…

1.121. Тело массы m медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории (рис. 1.29). Найти работу этой…

1.122. Шайба массы m = 50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной…

1.123. Два бруска с массами m₁ и m₂, соединенные недеформированной легкой пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения…

1.124. Цепочка массы m = 0,80 кг, длины l = 1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать,…

1.125. Тело массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время…

1.126. Частица массы m движется по окружности радиуса R с нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону w_n = at², где а…

1.127. Небольшое тело массы m находится на горизонтальной плоскости в точке О. Телу сообщили горизонтальную скорость v₀. Найти: а) среднюю мощность,…

1.130. Тело массы m начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу F, которую изменяют с высотой подъема y по закону F = 2 (ay — 1) mg, где а —…

1.131. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид U = а/r² — b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние от центра поля…

1.133. Имеются два стационарных силовых поля: F = ayi и F = axi + byj, где i, j — орты осей x и y, a и b — постоянные. Выяснить, являются ли эти поля потенциальными…

1.134. Тело массы m пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Начальная скорость тела равна v₀, коэффициент трения…

1.135. Небольшая шайба А соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высоты H, имеющей горизонтальный трамплин (рис. 1.30). При какой высоте…

1.136. Небольшое тело А начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса h/2 (рис. 1.31). Пренебрегая трением, найти…

1.137. На нити длины l подвешен шарик массы m. С какой наименьшей скоростью надо начать перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал…

1.141. На горизонтальной плоскости лежит доска и на ней брусок массы m = 1,0 кг, соединенный с точкой О (рис. 1.35) легкой упругой недеформированной нитью длины…

1.142. Гладкий легкий горизонтальный стержень АВ может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшая муфточка…

1.143. Через блок, укрепленный к потолку комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела с массами m₁ и m₂. Массы блока и нити…

1.145. Замкнутая цепочка А массы m = 0,36 кг соединена нитью с концом вертикальной оси центробежной машины (рис. 1.37) и вращается с постоянной угловой скоростью…

1.147. В К-системе отсчета вдоль оси x движутся две частицы: одна массы m₁ — со скоростью v₁ другая массы m₂ — со скоростью v₂…

1.149. На гладкой горизонтальной плоскости находятся две небольшие шайбы с массами m₁ и m₂, которые соединены между собой невесомой пружинкой…

1.151. На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска с массами m₁ и m₂, соединенные невесомой пружинкой жесткости χ (рис…

1.153. Система состоит из двух одинаковых кубиков, каждый массы m, между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости χ (рис. 1.41). Кубики связаны…

1.154. Две одинаковые тележки 1 и 2, на каждой из которых находится по одному человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам…

1.155. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью v₀. На задней тележке находится человек массы…

1.156.  На краю покоящейся тележки массы M стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба…

1.157. Цепочка массы m = 1,00 кг и длины l = 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол…

1.161. Пушка массы M начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели…

1.162. Летевшая горизонтально пуля массы m попала, застряв, в тело массы M, которое подвешено на двух одинаковых нитях длины l (рис. 1.42). В результате нити…

1.163. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массы M (рис. 1.43) и на нем небольшая шайба массы m. Последней сообщили в горизонтальном направлении…

1.164. Небольшая шайба массы m без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой h и попадает на доску массы M, лежащую у основания горки на гладкой…

1.166. Частица массы 1,0 г, двигавшаяся со скоростью v₁ = 3,0i — 2,0j, испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой 2,0…

1.167. Найти приращение кинетической энергии замкнутой системы из двух шариков с массами m₁ и m₂ при их абсолютно неупругом столкновении,…

1.168. Частица массы m₁ испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей массы m₂. Какую относительную часть кинетической…

1.169. Частица 1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей 2. Найти отношение их масс, если: а) столкновение лобовое и частицы разлетелись…

1.170. Шар, двигавшийся поступательно, испытал упругое соударение с другим, покоившимся, шаром той же массы. При соударении угол между прямой, проходящей через…

1.171. Снаряд, летящий со скоростью v = 500 м/с, разрывается на три одинаковые осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в η = 1,5 раза…

1.172. Частица 1, имевшая скорость v = 10 м/с, испытала лобовое столкновение с покоившейся частицей 2 той же массы. В результате столкновения кинетическая энергия…

1.173. Частица массы m испытала столкновение с покоившейся частицей массы M, в результате которого частица m отклонилась на угол π/2, а частица M отскочила…

1.174. Замкнутая система состоит из двух частиц с массами m₁ и m₂, которые движутся под прямым углом друг к другу со скоростями v₁…

1.175. Частица массы m₁ испытала абсолютно упругое соударение с покоившейся частицей массы m₂, причем m₁ > m₂…

1.179. Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную струю газа со скоростью u, постоянной относительно ракеты. Найти скорость ракеты v в момент,…

1.180. Найти закон изменения массы ракеты со временем, если ракета движется в отсутствие внешних сил с постоянным ускорением w, скорость истечения газа относительно…

1.181. Космический корабль массы m₀ движется в отсутствие внешних сил с постоянной скоростью v₀. Для изменения направления движения включили…

1.182. Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок…

1.184. Цепочка АВ длины l находится в гладкой горизонтальной трубке так, что часть ее длины h свободно свешивается, касаясь, своим концом В поверхности стола…

1.186. Шарик массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти модуль вектора момента импульса шарика относительно точки…

1.187. Шайба А массы m, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v, испытала в точке О (рис. 1.48) абсолютно упругий удар с гладкой неподвижной…

1.188. Небольшой шарик массы m, привязанный на нити длины l к потолку в точке О, движется по горизонтальной окружности с постоянной угловой скоростью ω…

1.189. Шарик массы m падает без начальной скорости с высоты h над поверхностью Земли. Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика за время падения…

1.190. Горизонтальный гладкий диск вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр — точку О…

1.191. Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия U = kr², k — положительная постоянная, r —…

1.192. Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нитя длиной l. Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол ϑ от вертикали, и…

1.193. На гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массы m, привязанное к нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие О (рис…

1.195. Однородный шар массы m и радиуса R начинает скатываться без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найти зависимость…

1.198. Шарик массы m, двигавшийся со скоростью v₀, испытал упругое лобовое соударение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели, как показано…

1.200. Некоторая планета массы M движется по окружности вокруг Солнца со скоростью v = 34,9 км/с (относительно гелиоцентрической системы отсчета). Найти период…

1.201. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего периода для Земли. Считая орбиты планет круговыми, найти: а) во сколько раз расстояние…

1.202. Некоторая планета массы M движется вокруг Солнца по эллипсу так, что минимальное расстояние между ней и Солнцем равно r, а максимальное — R. Найти с помощью…

1.205. Двойная звезда — это система из двух звезд, движущихся под действием притяжения вокруг центра инерции системы. Найти расстояние между компонентами двойной…

1.208. Доказать с помощью законов сохранения, что полная механическая энергия планеты массы m, движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой…

1.216. Однородный шар имеет массу M и радиус R. Найти давление p внутри шара, обусловленное гравитационным сжатием, как функцию расстояния r от его центра. Оценить…

1.221. Телу сообщили на полюсе Земли скорость v₀, направленную вертикально вверх. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности,…

1.224. Спутник, движущийся по круговой орбите радиуса R = 2,00*10⁴ км в экваториальной плоскости Земли с Запада на Восток, появляется над некоторым…

1.234. Тонкий однородный стержень АВ массы m = 1,0 кг движется поступательно с ускорением w = 2,0 м/с² под действием двух антипараллельных сил F₁…

1.236. К точке с радиус-вектором r₁ = ai приложена сила F₁ = Аj, а к точке с r₂ = bj — сила F₂ = Bi. Здесь оба радиус-вектора…

1.238. Найти момент инерции: а) тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня m и…

1.240. Показать, что для тонкой пластинки произвольной формы имеется следующая связь между моментами инерции: I₁ + I₂ = I₃, где…

1.241. Однородный диск радиуса R = 20 см имеет круглый вырез, как показано на рис. 1.54. Масса оставшейся (заштрихованной) части диска m = 7,3 кг. Найти момент…

1.242. Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы m и радиуса R относительно оси, проходящей…

1.243. На однородный сплошной цилиндр массы M и радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплено тело массы m (рис. 1.55). В момент t = 0 система пришла…

1.245. Горизонтальный тонкий однородный стержень АВ массы m и длины l может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. В некоторый…

1.246. В установке (рис. 1.56) известны масса однородного сплошного цилиндра m, его радиус R и массы тел m₁ и m₂. Скольжения нити и трения…

1.247. В системе (рис. 1.57) известны массы тел m₁ и m₂, коэффициент трения k между телом m₁ и горизонтальной плоскостью, а также…

1.248. Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости ω₀ и поместили затем в угол (рис. 1.58). Коэффициент трения…

1.249. Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорости ω и осторожно положили на горизонтальную поверхность. Сколько времени диск будет вращаться…

1.250. Маховик с начальной угловой скоростью ω₀ начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси пропорционален квадратному корню…

1.252. Однородный шар массы m и радиуса R скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найти: а) значения коэффициента…

1.253. Однородный цилиндр массы m = 8,0 кг и радиуса R = 1,3 см (рис. 1.60) в момент t = 0 начинает опускаться под действием силы тяжести. Пренебрегая массой…

1.255. На гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° с горизонтом, находится катушка с ниткой, свободный конец которой укреплен, как показано…

1.256. Однородный сплошной цилиндр массы m лежит на двух горизонтальных брусьях. На цилиндр намотана нить, за свешивающийся конец которой тянут с постоянной вертикально…

1.257. На горизонтальной шероховатой плоскости лежит катушка ниток массы m. Ее момент инерции относительно собственной оси I = βmR², где β…

1.258. Установка (рис. 1.64) состоит из двух одинаковых сплошных однородных цилиндров каждый массы m, на которые симметрично намотаны две легкие нити. Найти натяжение…

1.259. В системе (рис. 1.65) известны масса m груза А, масса M блока В, момент инерции I последнего относительно его оси и радиусы блока R и 2R. Масса нитей пренебрежимо…

1.261. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы m₁ и на ней однородный шар массы m₂. К доске приложили постоянную горизонтальную…

1.262. Сплошному однородному цилиндру массы m и радиуса R сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью ω₀, затем его положили боковой…

1.264. Сплошной однородный цилиндр радиуса R = 15 см катится по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол α =…

1.270. Конический маятник — тонкий однородный стержень длины l и массы m — вращается равномерно вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω (верхний конец…

1.272. Гладкий однородный стержень АВ массы M и длины l свободно вращается с угловой скоростью ω₀ в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной…

1.273. На гладкой горизонтальной поверхности лежит однородный стержень массы m = 5,0 кг и длины l = 90 см. По одному из концов стержня произвели удар в горизонтальном…

1.274. Однородная тонкая квадратная пластинка со стороной l и массы M может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с одной из ее…

1.275. Вертикально расположенный однородный стержень массы M и длины l может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально…

1.276. Горизонтально расположенный однородный диск массы M и радиуса R свободно вращается вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. Диск…

1.279. На гладкой горизонтальной плоскости лежат небольшая шайба и тонкий однородный стержень длины l, масса которого в η раз больше массы шайбы. Шайбе сообщили…

1.280. На неподвижной платформе Р, которая может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси 00′ (рис. 1.72), установлен мотор М и уравновешивающий противовес…

1.281. Горизонтально расположенный однородный стержень AB массы m = 1,40 кг и длины l₀ = 100 см вращается свободно вокруг неподвижной вертикальной…

1.283. Волчок массы m = 0,50 кг, ось которого наклонена под углом ϑ = 30° к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка…

1.286. Однородный шар массы m = 5,0 кг и радиуса R = 6,0 см вращается с угловой скоростью ω = 1250 рад/с вокруг горизонтальной оси, проходящей через его…

1.288. Корабль движется со скоростью v = 36 км/ч по дуге окружности радиуса R = 200 м. Найти момент гироскопических сил, действующих на подшипники со стороны…

1.290. Какое давление необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его не изменилась при повышении температуры на 100 °C?

1.291. Какое давление изнутри (при отсутствии наружного давления) может выдержать: а) стеклянная трубка; б) стеклянная сферическая колба, у которых радиус r =…

1.293. Кольцо радиуса r = 25 см, сделанное из свинцовой проволоки, вращают вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной…

1.294. Стальная проволока диаметра d = 1,0 мм натянута в горизонтальном положении между двумя зажимами, находящимися на расстоянии l = 2,0 м друг от друга. К…

1.295. Однородный упругий брусок движется по гладкой горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F₀, равномерно распределенной по торцу…

1.296. Тонкий однородный медный стержень длины l и массы m равномерно вращается с угловой скоростью ω в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси,…

1.297. Сплошной медный цилиндр длины l = 65 см поставили на горизонтальную поверхность и сверху приложили вертикальную сжимающую силу F = 1000 Н, которая равномерно…

1.313. Найти распределение объемной плотности энергии упругой деформации в стальном стержне в зависимости от расстояния r до его оси. Длина стержня l, угол закручивания…

1.314. Определить объемную плотность энергии упругой деформации в пресной воде на глубине h = 1000 м.

1.316. Две манометрические трубки установлены на горизонтальной трубе переменного сечения в местах, где сечения трубы равны S₁ и S₂ (рис…

1.319. На столе стоит широкий цилиндрический сосуд высотой 50 см. Сосуд наполнен водой. Пренебрегая вязкостью, найти, на какой высоте от дна сосуда следует сделать…

1.328. Вода вытекает из большого бака по изогнутой под прямым углом трубке, внутренний радиус которой r = 0,50 см (рис. 1.87). Длина горизонтальной части трубки…

1.334. По трубке длины l и радиуса R течет стационарный поток жидкости, плотность которой ρ и вязкость η. Скорость течения жидкости зависит от расстояния…

1.338. Свинцовый шарик равномерно опускается в глицерине, вязкость которого η = 13,9 П. При каком наибольшем диаметре шарика его обтекание еще остается ламинарным?…

1.339. Стальной шарик диаметра d = 3,0 мм опускается с нулевой начальной скоростью в прованском масле, вязкость которого η = 0,90 П. Через сколько времени…

1.340. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью v относительно инерциальной K-системы отсчета. При каком значении v длина стержня в этой…

1.342. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость v = с/2, длина l = 1,00 м и угол между ним и направлением движения ϑ…

1.346. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы Δt₀ = 10 нс. Найти путь, который пролетит эта частица до распада в лабораторной…

1.347. В К-системе отсчета мю-мезон, движущийся со скоростью v = 0,990 c, пролетел от места своего рождения до точки распада расстояние l = 3,0 км. Определить:…

1.348. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью v = 3/4 c, попали в неподвижную мишень с интервалом времени…

1.349. Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов данного стержня одновременно в системе отсчета,…

1.351. Две нестабильные частицы движутся в К-системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении со скоростью v = 0,990 c. Расстояние между ними в этой системе…

1.353. Стержень А’В’ движется с постоянной скоростью v относительно стержня АВ (рис. 1.91). Оба стержня имеют одинаковую собственную длину l₀ и на…

1.356. В двух точках К-системы отсчета произошли события, разделенные промежутком времени Δt. Показать, что если эти события причинно связаны в К-системе…

1.357. На диаграмме пространства — времени (рис. 1.93) показаны три события А, В и С, которые произошли на оси x некоторой инерциальной системы отсчета. Найти:…

1.359. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями v₁ = 0,50с и v₂ = 0,75с по отношению к лабораторной системе отсчета. Найти:…

1.361. Две релятивистские частицы движутся под прямым углом друг к другу в лабораторной системе отсчета, причем одна со скоростью v₁, а другая со скоростью…

1.363. Частица движется в К-системе со скоростью v под углом ϑ к оси x. Найти соответствующий угол в К’-системе, перемещающейся со скоростью V относительно…

1.364. Стержень АВ ориентирован параллельно оси х’ К’-системы отсчета и движется в этой системе со скоростью v’ вдоль ее оси у’. К’-система в свою очередь движется…

1.365. К’-система перемещается с постоянной скоростью V относительно К-системы. Найти ускорение w’ частицы в К’-системе, если в К-системе она движется со скоростью…

1.369. Плотность покоящегося тела равна ρ₀. Найти скорость системы отсчета относительно данного тела, в которой его плотность будет на η =…

1.370. Протон движется с импульсом p = 10,0 ГэВ/с, где с — скорость света. На сколько процентов отличается скорость этого протона от скорости света?

1.376. Пучок релятивистских частиц с кинетической энергией T падает на поглощающую мишень. Сила тока в пучке I, заряд и масса покоя каждой частицы e и m₀…

1.385. Частица с массой покоя m₀ и кинетической энергией T налетает на покоящуюся частицу с той же массой покоя. Найти массу покоя и скорость составной…

1.386. Какова должна быть кинетическая энергия протона, налетающего на другой, покоящийся протон, чтобы их суммарная кинетическая энергия в системе центра инерции…

2.1. В сосуде объемом V = 30 л содержится идеальный газ при температуре 0 °С. После того, как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось…

2.2. Два одинаковых баллона соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений Δp ≥ 1,10 атм. Сначала…

2.3. Сосуд объемом V = 20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре t = 20 °С и давлении р = 2,0 атм. Масса смеси m = 5,0 г. Найти отношение массы…

2.4. В сосуде находится смесь m₁ = 7,0 г азота и m₂ = 11 г углекислого газа при температуре Т = 290 К и давлении р₀ = 1,0 атм…

2.6. В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится легкоподвижный поршень, по обе стороны которого — по одному молю воздуха. В равновесном состоянии…

2.7. Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом V. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем ΔV. Сколько следует сделать циклов, чтобы…

2.8. Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки t. Объем сосуда V, первоначальное давление р₀. Процесс считать изотермическим…

2.9. Камеру объемом V = 87 л откачивают насосом, скорость откачки которого (см. примечание к предыдущей задаче) С= 10 л/с. Через сколько времени давление в…

2.10. В гладкой открытой с обоих концов вертикальной трубе, имеющей два разных сечения (рис. 2.1), находятся два поршня, соединенные нерастяжимой нитью, а между…

2.11. Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов: а) p = p₀ — αV²; б) p = p₀e^-βV,…

2.12. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону Т = Т₀ + αV², где Т₀…

2.13. Высокий цилиндрический сосуд с газообразным азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Температура азота…

2.17. Идеальный газ с молярной массой М находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого S и высота h. Температура газа Т,…

2.18. Идеальный газ с молярной массой М находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде в однородном поле тяжести, для которого ускорение свободного…

2.19. Идеальный газ с молярной массой М находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Найти давление газа как функцию…

2.20. Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец…

2.21. Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при температуре Т = 300 К, чтобы его плотность оказалась равной ρ = 500 г/л? Расчет провести…

2.22. Один моль азота находится в сосуде объемом V = 1,00 л. Найти: а) температуру азота, при которой ошибка в давлении, определяемом уравнением состояния идеального…

2.23. Один моль некоторого газа находится в сосуде объемом V = 0,250 л. При температуре T₁ = 300 К давление газа p₁ = 90 атм, а при Т₂…

2.26. Показать, что внутренняя энергия U воздуха в комнате не зависит от температуры, если наружное давление р постоянно. Вычислить U, если р равно нормальному…

2.28. Два теплоизолированных баллона 1 и 2 наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с краном. Известны объемы баллонов, а также давление и температура…

2.29. Газообразный водород, находившийся при нормальных условиях в закрытом сосуде объемом V = 5,0 л, охладили на ΔT = 55 К. Найти приращение внутренней…

2.30. Какое количество тепла необходимо сообщить азоту при его изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу А = 2,0 Дж?

2.31. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на ΔT = 72 К, сообщив ему количество тепла Q = 1,60 кДж. Найти совершенную газом работу,…

2.32. Два моля идеального газа при температуре Т₀ = 300 К охладили изохорически, вследствие чего его давление уменьшилось в n = 2,0 раза. Затем газ…

2.33. Вычислить величину γ = C_p/C_V для газовой смеси, состоящей из ν₁ = 2,0 моля кислорода и ν₂ = 3,0…

2.34. Вычислить удельные теплоемкости с_v и c_p для газовой смеси, состоящей из 7,0 г азота и 20 г аргона. Газы считать идеальными.

2.35. В вертикальном цилиндре под поршнем находится один моль некоторого идеального газа при температуре Т. Пространство над поршнем сообщается с атмосферой…

2.36. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра находится легкоподвижный поршень. Первоначально поршень делит цилиндр на две равные части, каждая…

2.37. Три моля идеального газа, находившегося при температуре Т₀ = 273 К, изотермически расширили в n = 5,0 раза и затем изохорически нагрели так,…

2.39. Один моль кислорода, находившегося при температуре Т₀ = 290 К, адиабатически сжали так, что его давление возросло в η = 10,0 раза. Найти:…

2.40. Некоторую массу азота сжали в η = 5,0 раза (по объему) один раз адиабатически, другой раз изотермически. Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково…

2.41. Внутри закрытого теплоизолированного цилиндра с идеальным газом находится легкоподвижный теплопроводящий поршень. При равновесии поршень делит цилиндр…

2.42. Определить скорость v истечения гелия из теплоизолированного сосуда в вакуум через малое отверстие. Считать, что при этом условии скорость потока газа…

2.43. Объем идеального газа с показателем адиабаты γ изменяют по закону V = a/T, где a — постоянная. Найти количество тепла, полученное одним молем газа…

2.44. Показать, что процесс, при котором работа идеального газа пропорциональна соответствующему приращению его внутренней энергии, описывается уравнением pVⁿ…

2.45. Найти молярную теплоемкость идеального газа при политропическом процессе pVⁿ= const, если показатель адиабаты газа равен γ. При каких…

2.46. При некотором политропическом процессе объем аргона был увеличен в α = 4,0 раза. Давление при этом уменьшилось в β = 8,0 раза. Найти молярную…

2.47. Один моль аргона расширили по политропе с показателем n = 1,50. При этом температура газа испытала приращение ΔT = —26 К. Найти: а) количество полученного…

2.48. Идеальный газ с показателем адиабаты γ расширили по закону p = αV, где α — постоянная. Первоначальный объем газа V₀. В результате…

2.49. Идеальный газ, показатель адиабаты которого γ, расширяют так, что сообщаемое газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти: а) молярную теплоемкость…

2.51. Идеальный газ с показателем адиабаты γ совершает процесс, при котором его внутренняя энергия зависит от объема по закону U = aV^α,…

2.52. Имеется идеальный газ, молярная теплоемкость которого при постоянном объеме равна C_V. Найти молярную теплоемкость этого газа как функцию его…

2.53. Один моль идеального газа с показателем адиабаты γ совершает процесс по закону p = p₀ + α/V, где p₀ и α — положительные…

2.54. Один моль идеального газа, теплоемкость которого при постоянном давлении равна С_p, совершает процесс по закону Т = Т₀ + αV,…

2.55. Найти для идеального газа уравнение процесса (в переменных T, V), при котором молярная теплоемкость газа изменяется по закону: а) С = C_V + αТ;…

2.56. Имеется идеальный газ с показателем адиабаты γ. Его молярная теплоемкость при некотором процессе изменяется по закону C = α/T, где α…

2.57. Найти работу, совершаемую одним молем ван-дер-ваальсовского газа при изотермическом расширении его от объема V₁ до V₂ при температуре…

2.60. Два теплоизолированных баллона соединены между собой трубкой с краном. В одном баллоне объемом V₁ = 10 л находится ν = 2,5 моля углекислого…

2.62. Современные вакуумные насосы позволяют получать давления до p = 4*10^-15 атм (при комнатной температуре). Считая, что газом является азот, найти…

2.63. В сосуде объемом V = 5,0 л находится азот массы m = 1,4 г при температуре Т = 1800 К. Найти давление газа, имея в виду, что при этой температуре η…

2.64. Плотность смеси гелия и азота при нормальных условиях ρ = 0,60 г/л. Найти концентрацию атомов гелия в данной смеси.

2.65. Параллельный пучок молекул азота, имеющих скорость v = 400 м/с, падает на стенку под углом ϑ = 30° к ее нормали. Концентрация молекул в пучке…

2.66. Найти число степеней свободы молекулы газа, если при нормальных условиях плотность газа ρ = 1,3 мг/см³ и скорость распространения звука…

2.67. Определить отношение скорости v звука в газе к средней квадратичной скорости молекул газа, если молекулы: а) одноатомные; б) жесткие двухатомные.

2.68. Газ, состоящий из N-атомных молекул, имеет температуру Т, при которой у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные)…

2.69. Пусть газ нагрет до температуры, при которой у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные). Найти молярную теплоемкость…

2.70. Идеальный газ, состоящий из N-атомных молекул, расширяют изобарически. Считая, что у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные…

2.71. Найти молярную массу и число степеней свободы молекул газа, если известны его удельные теплоемкости: c_V = 0,65 Дж/(г * К) и c_p =…

2.73. Вычислить показатель адиабаты γ для смеси, состоящей из ν₁ молей одноатомного газа и ν₂ молей двухатомного газа из жестких…

2.75. Вычислить при температуре t = 17 °С: а) среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы кислорода; б)…

2.76. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в η =…

2.77. Азот массы m = 15 г находится в закрытом сосуде при температуре T = 300 К. Какое количество тепла необходимо сообщить азоту, чтобы средняя квадратичная…

2.79. Газ из жестких двухатомных молекул, находившийся при нормальных условиях, адиабатически сжали в η = 5,0 раза по объему. Найти среднюю кинетическую…

2.80. Во сколько раз изменится число ударов жестких двухатомных молекул газа о поверхность стенки в единицу времени, если газ адиабатически расширить в η…

2.81. Объем газа, состоящего из жестких двухатомных молекул, увеличили в η = 2,0 раза по политропе с молярной теплоемкостью С = R. Во сколько раз изменилась…

2.82. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, расширили политропически так, что частота ударов молекул о стенку сосуда не изменилась. Найти молярную теплоемкость…

2.85. Определить температуру газа, для которой: а) средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Δv = 400 м/с;…

2.86. Найти для газообразного азота: а) температуру, при которой скоростям молекул v₁ = 300 м/с и v₂ = 600 м/с соответствуют одинаковые…

2.89. При какой температуре газа число молекул со скоростями в заданном интервале v, v + dv будет максимально? Масса каждой молекулы равна m.

2.92. Найти с помощью распределения Максвелла <v_x²> — среднее значение квадрата v_x-проекции скорости молекул газа при…

2.95. Воспользовавшись распределением Максвелла, найти <1/v> — среднее значение обратной скорости молекул идеального газа, находящегося при температуре…

2.100. Идеальный газ, состоящий из молекул массы m с концентрацией n, имеет температуру Т. Найти с помощью распределения Максвелла число молекул, падающих в единицу…

2.103. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее число их в слоях, расстояние между которыми h = 40 мкм, отличается друг…

2.104. Пусть η₀ — отношение концентрации молекул водорода к концентрации молекул азота вблизи поверхности Земли, а η — соответствующее отношение…

2.105. В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами m₁ и m₂, причем m₂ > m₁…

2.106. В очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде находится углекислый газ при некоторой температуре Т. Считая поле тяжести однородным, найти, как изменится…

2.107. Газ находится в очень высоком цилиндрическом сосуде при температуре Т. Считая поле тяжести однородным, найти среднее значение потенциальной энергии молекул…

2.109. Найти массу моля коллоидных частиц, если при вращении центрифуги с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси концентрация этих частиц на расстоянии…

2.110. Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через один из…

2.113. В каком случае к. п. д. цикла Карно повысится больше: при увеличении температуры нагревателя на ΔT или при уменьшении температуры холодильника на…

2.114. Водород совершает цикл Карно. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличивается в n = 2,0 раза; б) давление уменьшается…

2.115. Тепловую машину, работавшую по циклу Карно с к. п. д. η = 10%, используют при тех же тепловых резервуарах как холодильную машину. Найти ее холодильный…

2.116. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из чередующихся изотерм и адиабат (рис. 2.2). Температуры, при которых происходят изотермические процессы, равны…

2.117. Найти к. п. д. цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется в n = 10 раз. Рабочим веществом…

2.120. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из: а) изохоры, адиабаты и изотермы; б) изобары, адиабаты и изотермы, причем изотермический процесс происходит…

2.121. То же, что в предыдущей задаче, только изотермический процесс происходит при максимальной температуре цикла.

2.124. Вычислить к. п. д. цикла, состоящего из изотермы, изобары и изохоры, если при изотермическом процессе объем идеального газа с показателем адиабаты γ:…

2.128. Воспользовавшись неравенством Клаузиуса, показать, что к. п. д. всех циклов, у которых одинакова максимальная температура T_макс и одинакова…

2.131. Во сколько раз следует увеличить изотермически объем ν = 4,0 моля идеального газа, чтобы его энтропия испытала приращение ΔS = 23 Дж/К?

2.132. Два моля идеального газа сначала изохорически охладили, а затем изобарически расширили так, что температура газа стала равна первоначальной. Найти приращение…

2.133. Гелий массы m = 1,7 г адиабатически расширили в n = 3,0 раза и затем изобарически сжали до первоначального объема. Найти приращение энтропии газа в этом…

2.134. Найти приращение энтропии ν = 2,0 моля идеального газа с показателем адиабаты γ = 1,30, если в результате некоторого процесса объем газа увеличился…

2.135. В сосудах 1 и 2 находится по ν = 1,2 моля газообразного гелия. Отношение объемов сосудов V₂/V₁ = α = 2,0, а отношение абсолютных…

2.136. Один моль идеального газа с показателем адиабаты γ совершает политропический процесс, в результате которого абсолютная температура газа увеличивается…

2.137. Процесс расширения ν = 2,0 моля аргона происходит так, что давление газа увеличивается прямо пропорционально его объему. Найти приращение энтропии газа…

2.138. Идеальный газ с показателем адиабаты γ совершает процесс по закону p = p₀ — αV, где p₀ и α — положительные постоянные,…

2.139. Один моль идеального газа совершает процесс, при котором энтропия газа изменяется с температурой T по закону S = aT + C_V ln T, где a — положительная…

2.140. Найти приращение энтропии одного моля ван-дер-ваальсовского газа при изотермическом изменении его объема от V₁ до V₂. Поправки Ван-дер-Ваальса…

2.141. Один моль ван-дер-ваальсовского газа, имевший объем V₁ и температуру T₁, переведен в состояние с объемом V₂ и температурой…

2.142. При очень низких температурах теплоемкость кристаллов C = aT³, где a — постоянная. Найти энтропию кристалла как функцию температуры в этой области…

2.143. Найти приращение энтропии алюминиевого бруска массы m = 3,0 кг при нагревании его от температуры T₁ = 300 К до T₂ = 600 К, если в…

2.144. В некотором процессе температура вещества зависит от его энтропии S по закону T = aSⁿ, где a и n — постоянные. Найти соответствующую теплоемкость…

2.145. Найти температуру Т как функцию энтропии S вещества для политропического процесса, при котором теплоемкость вещества равна С. Известно, что при температуре…

2.146. Один моль идеального газа с известным значением теплоемкости C_V совершает процесс, при котором его энтропия S зависит от температуры Т как S…

2.148. Идеальный газ в количестве ν = 2,2 моля находится в одном из двух теплоизолированных сосудов, соединенных между собой трубкой с краном. В другом сосуде…

2.149. Теплоизолированный цилиндр разделен невесомым поршнем на две одинаковые части. По одну сторону поршня находится один моль идеального газа с показателем…

2.152. Кусок меди массы m₁ = 300 г при температуре t₁ = 97 °С поместили в калориметр, где находится вода массы m₂ = 100 г…

2.154. N атомов газообразного гелия находятся при комнатной температуре в кубическом сосуде, объем которого равен 1,0 см³. Найти: а) вероятность того,…

2.157. В сосуде объемом V₀ находится N молекул идеального газа. Найти вероятность того, что в некоторой выделенной части этого сосуда, имеющей объем…

2.161. В дне сосуда со ртутью имеется круглое отверстие диаметра d = 70 мкм. При какой максимальной толщине слоя ртути она еще не будет вытекать через это отверстие?…

2.165. Найти разность уровней ртути в двух сообщающихся вертикальных капиллярах, диаметры которых d₁ = 0,50 мм и d₂ = 1,00 мм, если краевой…

2.169. Стеклянный стержень диаметром d₁ = 1,5 мм вставили симметрично в стеклянный капилляр с диаметром внутреннего канала d₂ = 2,0 мм…

2.171. Из круглого отверстия вытекает вертикальная струя воды так, что в одном из горизонтальных сечений ее диаметр d = 2,0 мм, а в другом сечении, расположенном…

2.172. Капля воды равномерно падает в воздухе. Найти разность между радиусом кривизны поверхности капли в ее верхней точке и радиусом кривизны в нижней точке,…

2.173. Между двумя горизонтальными стеклянными пластинками находится капля ртути в форме лепешки радиуса R и толщины h. Считая, что h << R, найти массу…

2.175. Два стеклянных диска радиуса R = 5,0 см смочили водой и сложили вместе так, что толщина слоя воды между дисками h = 1,9 мкм. Считая смачивание полным,…

2.178. Вертикальный капилляр привели в соприкосновение с поверхностью воды. Какое количество тепла выделится при поднятии воды по капилляру? Смачивание считать…

2.180. Вычислить приращение свободной энергии поверхностного слоя при изотермическом слиянии двух одинаковых капель ртути, каждая диаметра d = 1,5 мм.

2.185. Насыщенный водяной пар находится при температуре t = 100 °С в цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем. При медленном вдвигании поршня небольшая…

2.186. Вода со своим насыщенным паром находится в сосуде объемом V = 6,0 л при температуре 250 °С и давлении 40 атм. Удельный объем пара при этих условиях…

2.191. В теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем находится один грамм насыщенного водяного пара. Наружное давление нормальное. В цилиндр ввели m = 1,0…

2.192. Если дополнительное давление Δp насыщенных паров над выпуклой сферической поверхностью жидкости значительно меньше давления пара у плоской поверхности,…

2.196. Найти внутреннее давление p_i в жидкости, если известны ее плотность ρ и удельная теплота парообразования q. Считать, что теплота q равна…

2.197. Показать, что для вещества, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, в критическом состоянии справедливы соотношения (2.6а) и (2.6б). Указание. Использовать…

2.198. Вычислить постоянные Ван-дер-Ваальса для углекислого газа, если его критическая температура T_кр = 304 К и критическое давление p_кр…

2.200. Записать уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенных параметрах π, ν и τ, приняв за единицы давления, объема и температуры соответствующие критические…

2.210. Найти давление насыщенного пара как функцию температуры p (Т), если при температуре T₀ его давление p₀. Считать, что: удельная теплота…

2.223. Найти среднюю длину свободного пробега и среднее время между столкновениями молекул газообразного азота, находящегося: а) при нормальных условиях; б) при…

2.242. Гелий при нормальных условиях заполняет пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами. Средний радиус цилиндров R, зазор между ними ΔR,…

2.243. Газ заполняет пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами, радиусы которых R₁ и R₂, причем R₁ < R₂…

2.244. Два одинаковых параллельных диска, оси которых совпадают, расположены на расстоянии h друг от друга. Радиус каждого диска a, причем a >> h. Один…

2.247. Один конец стержня, заключенного в теплоизолирующую оболочку, поддерживается при температуре T₁, а другой конец — при температуре T₂…

Практикум по решению задач тема «Механика»

Приложение № 9.

 

Департамент лесного хозяйства Новосибирской области

государственное бюджетное образовательное учреждение

 среднего профессионального образования Новосибирской области

«Тогучинский лесхоз-техникум»

 

 

 

 

 

 

ПРАКТИКУМ ПО  УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

«ФИЗИКА»

для студентов 1 курса специальности 250110 «Лесное и лесопарковое хозяйство»

по теме «Механика»

 

 

 

 

 

 

 

 

2013 год

Одобрено цикловой комиссией

общеобразовательных дисциплин

Председатель_______________________

___________________________________

«____» ________________ 2013г

Протокол №_________________

 

 

Рассмотрено на

заседании методического совета

« ________» ______________ 2013г.

                                                                          Протокол  №_________

 

 

Аннотация

Практикум по дисциплине «Физика» по теме «Механика» предназначен для студентов очного отделения по специальности 250110 «Лесное и лесопарковое хозяйство» на базе основного общего образования. Расположение тем и заданий к ним соответствует структуре примерной программы учебной дисциплины.

 

 

 

Автор:

Медведева Ирина Николаевна

преподаватель ГБОУ СПО НСО  «Тогучинский лесхоз-техникум»

 

 

 

 

 

 

Введение

Курс изучения физики в средних специальных учебных заведениях несет двойную нагрузку. Это самостоятельный предмет, в котором должна соблюдаться строгая логичность изложения материала, и в тоже время, аппарат для широкого применения в изучении специальных дисциплин, для профессиональной деятельности и продолжения образования.

Изучение физики направлено на достижение следующих целей:

• освоение знаний о фундаментальных физических законах и принципах, лежащих в основе современной физической картины мира; наиболее важных открытиях в области физики, оказавших определяющее влияние на развитие техники и технологии; методах научного познания природы;
• овладение умениями проводить наблюдения, планировать и выполнять эксперименты, выдвигать гипотезы и строить модели, применять полученные знания по физике для объяснения разнообразных физических явлений и свойств веществ; практического использования физических знаний; оценивать достоверность естественнонаучной информации;
• развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей в процессе приобретения знаний и умений по физике с использованием различных источников информации и современных информационных технологий;
• воспитание убежденности в возможности познания законов природы; использования достижений физики на благо развития человеческой цивилизации; необходимости сотрудничества в процессе совместного выполнения задач, уважительного отношения к мнению оппонента при обсуждении проблем естественнонаучного содержания; готовности к морально-этической оценке использования научных достижений, чувства ответственности за защиту окружающей среды.

В результате изучения учебной дисциплины «Физика» студенты должны:

уметь:

• применять полученные знания для решения физических задач.

Одно из труднейших звеньев учебного процесса – научить студентов решать задачи. Физическая задача – это ситуация, требующая от обучаемых мыслительных и практических действий на основе законов и методов физики, направленных на овладение знаниями по физике и на развитие мышления. Хотя способы решения традиционных задач хорошо известны (логический (математический), экспериментальный), но организация деятельности студентов по решению задач является одним из условий обеспечения глубоких и прочных знаний у них.

Цели практикума:

 

1.               развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей в процессе решения физи­ческих задач и самостоятельного приобретения новых знаний;
2.               совершенствование полученных в основном курсе знаний и умений;
3.               формирование представителей о постановке, классификаций,  приемах и методах решения физических задач;
4.               применять знания по физике для объяснения явлений природы, свойств вещества, решения физических за­дач, самостоятельного приобретения и оценки новой информации физического содержания.

При реше­нии задач особое внимание уделяется последовательнос­ти действий, анализу физического явления, проговариванию вслух решения, анализу полученного ответа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема «Механика».

Кинематика.

Задачи по кинематике, разбираемые в курсе элементарной физики, включают в себя задачи о равнопеременном прямолинейном движении одной или нескольких точек и задачи о криволинейном движении точки на плоскости.

Общие правила решения задач по кинематике

1. Сделать схематический чертеж, на котором следует, прежде всего, изобразить систему отсчета и указать траекторию движения точки. Удачно выбранная система координат может значительно упростить решение и сделать кинематические уравнения предельно простыми. Начало координат удобно совмещать с положением движущейся точки в начальный рассматриваемый момент времени, а оси направлять так, чтобы приходилось делать как можно меньше разложений векторов. 
2. Установить связь между величинами, отмеченными на чертеже. При этом следует иметь в виду, что в уравнения скорости и перемещения входят все кинематические характеристики равнопеременного прямолинейного движения (скорость, ускорение, время, перемещение).

 

3. Составляя полную систему кинематических уравнений, описывающих движение точки, нужно записать в виде вспомогательных уравнений все дополнительные условия задачи, после чего, проверив число неизвестных в полученной системе уравнений, можно приступать к ее решению относительно искомых величин. Если неизвестных величин в уравнениях оказалось больше, то это может означать, что в процессе их определения, «лишние неизвестные» сократятся.

 

4. Составляя уравнения, необходимо следить за тем, чтобы начало отсчета времени было одинаковым для всех тел, участвующих в движении.

 

5. Решая задачи на движение тел, брошенных вертикально вверх, нужно обратить особое внимание на следующее. Уравнения скорости и перемещения для тела, брошенного вертикально вверх, дают общую зависимость скорости V и высоты h от времени t для всего времени движения тела. 
   Они справедливы (со знаком минус) не только для замедленного подъема вверх, но и для дальнейшего равноускоренного падения тела, поскольку движение тела после мгновенной остановки в верхней точке траектории происходит с прежним ускорением. 
   Под высотой h при этом всегда подразумевают перемещение движущейся точки по вертикали, т.е. ее координату в данный момент времени — расстояние от начала отсчета движения до точки.

 

6. Движение тел, брошенных под углом к горизонту, можно рассматривать как результат наложения двух одновременных прямолинейных движений по осям ОХ и OУ, направленных вдоль поверхности Земли и по нормали к ней. 
   Учитывая это, решение всех задач такого типа удобно начинать с разложения вектора скорости и ускорения по указанным осям и затем составлять кинематические уравнения движения для каждого направления. 
   Необходимо при этом иметь в виду, что тело, брошенное под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления воздуха и небольшой начальной скорости летит по параболе и время движения по оси ОХ равно времени движения по оси OY, поскольку оба эти движения происходят одновременно.

 

7. Время падения тела в исходную точку равно времени его подъема на максимальную высоту, а скорость падения равна начальной скорости бросания.

 

8. Решение задач о движении точки по окружности принципиально ничем не отличается от решения задач о прямолинейном движений. Особенность состоит лишь в том, что здесь наряду с общими формулами кинематики приходится учитывать связь между угловыми и линейными характеристиками движения.

Динамика.

Основная задача динамики материальной точки состоит в том, чтобы найти законы движения точки, зная приложенные к ней силы, или, наоборот, по известным законам движения определить силы, действующие на материальную точку.

Общие правила решения задач по динамике

Характерная особенность решения задач механики о движении материальной точки, требующих применения законов Ньютона, состоит в следующем:

1. Сделать схематический чертеж и указать на нем все кинематические характеристики движения, о которых говорится в задаче. При этом, если возможно, обязательно проставить вектор ускорения.
2. Изобразить все силы, действующие на данное тело (материальную точку), в текущий (произвольный) момент времени. 
   Выражение «на тело действует сила» всегда означает, что данное тело взаимодействует с другим телом, в результате чего приобретает ускорение. Следовательно, к данному телу всегда приложено столько сил, сколько имеется других тел, с которыми оно взаимодействует
   Расставляя силы, приложенные к телу, необходимо все время руководствоваться третьим законом Ньютона, помня, что силы могут действовать на это тело только со стороны каких-то других тел: со стороны Земли это будет сила тяжести ,  со стороны нити — сила натяжения, со стороны поверхности — силы нормальной реакции опоры  и трения .
   Полезно также иметь в виду и то обстоятельство, что для тел, расположенных вблизи поверхности Земли, надо учитывать только силу тяжести и силы, возникающие в местах непосредственного соприкосновения тел.
   Силы притяжения, действующие между отдельными телами, настолько малы по сравнению с силой земного притяжения, что во всех задачах, где нет специальных оговорок, ими пренебрегают.
3. Говоря о движении какого-либо тела, например поезда, самолета, автомобиля и т.д., то под этим подразумевают движение материальной точки. 
   Материальную точку нужно при этом изображать отдельно от связей, заменив их действие силами. Связями в механике называют тела (нити, опоры, подставки и т.д.), ограничивающие свободу движения рассматриваемого тела.
4. Расставив силы, приложенные к материальной точке, необходимо составить основное уравнение динамики: 

   .

5. Далее, пользуясь правилом параллелограмма, определяют величину равнодействующей, выразив ее через заданные силы, и подставляют выражение для модуля равнодействующей в исходное уравнение.
   В большинстве случаев, и особенно когда дается три и более сил, выгоднее поступать иначе: движение частицы (на плоскости) описывать двумя скалярными уравнениями. Для этого нужно разложить все силы, приложенные к частице, по линии скорости (касательной к траектории движения — оси ОХ) и по направлению, ей перпендикулярному (нормали к траектории — оси 0Y), найти проекции F_x и F_yсоставляющих сил по этим осям и затем составить основное уравнение динамики точки в проекциях:

   , 
   где а_x и а_y — ускорения точки по осям.

   Положительное направление осей удобно выбирать так, чтобы оно совпадало с направлением ускорения частицы. При указанном выборе осей легко установить, какие из приложенных сил (или их составляющие) влияют на величину вектора скорости, какие — на направление. 
   Само собой разумеется, что, если все силы действуют по одной прямой или по двум взаимно перпендикулярным направлениям, раскладывать их не надо и можно сразу записывать уравнение динамики в проекциях. 
   В случае прямолинейного движения материальной точки одно из ускорений (а_x или а_y) обычно равно нулю.
   При наличии трения силу трения, входящую в уравнение динамики, нужно сразу же представить через коэффициент трения и силу нормального давления, если известно, что тело скользит по поверхности или находится на грани скольжения. 

6. Составив основное уравнение динамики и, если можно, упростив его (проведя возможные сокращения), необходимо еще раз прочитать задачу и определить число неизвестных в уравнении. Если число неизвестных оказывается больше числа уравнений динамики, то недостающие соотношения между величинами, фигурирующими в задаче, составляют на основании формул кинематики, законов сохранения импульса и энергии. 
   После того как получена полная система уравнений, можно приступать к ее решению относительно искомого неизвестного.
7. Выписав числовые значения заданных величин в единицах одной системы, принятой для расчета, и подставив их в окончательную формулу, прежде чем делать арифметический подсчет, нужно проверить правильность решения методом сокращения наименований. В задачах динамики, особенно там, где ответ получается в виде сложной формулы, этого правила в начальной стадии обучения желательно придерживаться  всегда,  поскольку  в этих  задачах делают много ошибок.
8. Задачи на динамику движения материальной точки по окружности с равномерным движением точки по окружности решают только на основании законов Ньютона и формул кинематики с тем же порядком действий, о котором говорилось в пп. 1-7, но только уравнение второго закона динамики здесь нужно записывать в форме:

или

 

Примеры решения типовых задач.

Пример 1.
Сложить две силы F ₁ = 3 Н и F₂ = 4 Н, векторы F₁ и F₂ составляют с горизонтом углы α₁ = 10° и α₂ = 40°, соответственно
 F = F₁ + F₂ (рис. 4).
 

Решение.

Результатом сложения этих двух сил является сила, называемая равнодействующей. Вектор  F направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах F₁ и F₂, как сторонах, и по модулю равен ее длине.
Модуль вектора  F находим по теореме косинусов
 

F = √{F₁² + F₂² + 2F₁F₂cos(α₂ − α₁)},

 

F = √{3² + 4² + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)} ≈ 6,8 H.

Если
 

(α₂ − α₁) = 90°, то F = √{F₁² + F₂²}.

Угол, который вектор  F составляет с осью Ox, находим по формуле

α = arctg((F₁sinα₁ + F₂sinα₂)/(F₁cosα₁ + F₂cosα₂)),

 

α = arctg((3•0,17 + 4•0,64)/(3•0,98 + 4•0,77)) = arctg0,51, α ≈ 0,47 рад.

Пример2.
Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с. (рис. 10) 

Решение.

Импульс тела p = mv; p = 2 кг•м/с = 10 кг•м/с и направлен в сторону скорости v.

Пример 3.
Найти работу постоянной силы F = 20 Н, если перемещение S = 7,5 м, а угол α между силой и перемещением α = 120°. 

Решение.

Работа силы равна по определению скалярному произведению силы и перемещения 

A = (F•S) = FScosα = 20 H × 7,5 м × cos120° = −150 × 1/2 = −75 Дж.

Пример 4.
Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны a, если модуль их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а; г) a√{2}; д) a√{3}? 

 Решение.
а) Два вектора направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сумма этих векторов равна нулю. 

б) Два вектора направлены вдоль одной прямой в одном направлении. Сумма этих векторов равна 2a. 
 

в) Два вектора направлены под углом 120° друг к другу. Сумма векторов равна a. Результирующий вектор находим по теореме косинусов: 
 

 

a² + a² + 2aacosα = a²,

 

cosα = −1/2 и α = 120°.

г) Два вектора направлены п од углом 90° друг к другу. Модуль суммы равен
 

a² + a² + 2aacosα = 2a²,

 

cosα = 0 и α = 90°.

 

д) Два вектора направлены под углом 60° друг к другу. Модуль суммы равен 
 

a² + a² + 2aacosα = 3a²,

 

cosα = 1/2 и α = 60°.

 Ответ: Угол α между векторами равен: а) 180°; б) 0; в) 120°; г) 90°; д) 60°.

Пример 5.

Две силы по 1,42 H каждая приложены к одной точке тела под углом 60° друг к другу. Под каким углом надо приложить к той же точке тела две силы по 1,75 H каждая, чтобы действие их уравновешивало действие первых двух сил? 

Решение. 
По условию задачи две силы по 1,75 Н уравновешивают две силы по 1,42 Н. Это возможно, если равны модули результирующих векторов пар сил. Результирующий вектор определим по теореме косинусов для параллелограмма. Для первой пары сил: 

F₁² + F₁² + 2F₁F₁cosα = F²,

для второй пары сил, соответственно
 

F₂² + F₂² + 2F₂F₂cosβ = F².

Приравняв левые части уравнений
 

F₁² + F₁² + 2F₁F₁cosα = F₂² + F₂² + 2F₂F₂cosβ.

Найдем искомый угол β между векторами
 

cosβ = (F₁² + F₁² + 2F₁F₁cosα − F₂² − F₂²)/(2F₂F₂).

После вычислений,
 

cosβ = (2•1,422 + 2•1,422•cos60° − 2•1,752)/(2•1,752) = −0,0124,

 

β ≈ 90,7°.

 Второй способ решения.
Рассмотрим проекцию векторов на ось координат ОХ (рис.). 

Воспользовавшись соотношением между сторонами в прямоугольном треугольнике, получим 
 

2F₁cos(α/2) = 2F₂cos(β/2),

откуда
 

cos(β/2) = (F₁/F₂)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) и β ≈ 90,7°.

Пример 6.

 Посыльный проходит 30 м на север, 25 м на восток, 12 м на юг, а затем в здании поднимается на лифте на высоту 36 м. Чему равны пройденный им путь L и перемещение S?

 Решение.
Изобразим ситуацию, описанную в задаче на плоскости в произвольном масштабе (рис.). 

Конец вектора OA имеет координаты 25 м на восток, 18 м на север и 36 вверх (25; 18; 36). Путь, пройденный человеком равен
 

L = 30 м + 25 м + 12 м +36 м = 103 м.

Модуль вектора перемещения найдем по формуле
 

S = √{(x − x_o)² + (y − y_o)² + (z − z_o)²},

где x_o = 0, y_o = 0, z_o = 0.
 

S = √{25² + 18² + 36²} = 47,4 (м).

 Ответ: L = 103 м, S = 47,4 м.

Пример 7.

 Со станции вышел поезд, идущий со скоростью 20 м/с. Через 10 мин по тому же направлению вышел экспресс, скорость которого 30 м/с. На каком расстоянии (в км) от станции экспресс нагонит товарный поезд?

 Решение:
 При первом прочтении условия пытаемся понять ситуацию, описанную в задаче. Несколько неудобно, что сначала двигался поезд, а уже спустя 10 минут – экспресс. Упростим задачу. За 10 мин = 600 с поезд проедет расстояние S = v_nt = 20 × 600 = 12000 (м). Теперь поезда в «одинаковых» условиях (рис. 1.1).

Составим уравнения движения для поезда и экспресса, приняв за начало отсчета станцию. Тогда
 

x_n = 12000 + 20t и x_э = 30t.

    В момент встречи координаты поезда и экспресса совпадают:
 

12000 + 20t = 30t,

отсюда время до встречи t = 1200 с.
    Подставляя найденное время в любое уравнение движения, находим:
 

30•12000 = 36000 м = 36 км.

   1 замечание. Совсем необязательно было искать расстояние, на котором окажется поезд через 10 минут. Составим уравнения движения для поезда и экспресса, приняв за начала отсчета времени выход поезда:

x_n = 20t и x_э = 30(t – 600).

   Решая эти уравнения, относительно времени, найдем t = 1800 c. В данном случае время получено от начала движения поезда. Расстояние до встречи будет таким же, после подстановки в уравнение движения или поезда или экспресса.
    Если же в качестве отсчета времени выбрать начало движения экспресса, то уравнения координат примут вид:
 

x_э = 30t и x_n = 20(t + 600).

   Решая эти уравнения, относительно времени, найдем t = 1200 c. Подставляя в уравнение движения, например, экспресса, получим все те же 36 км.

   2 замечание. Время до встречи можно найти «проще». Перейдем в систему отсчета связанной, например, с поездом. Сделаем это так – остановим поезд, сообщив ему скорость 20 м/с в противоположную сторону. Поезд стоит на месте. Останавливая поезд мы сообщаем всем телам такую же скорость 20 м/с в том же направлении. Экспресс будет приближаться к поезду со скоростью 30 м/с – 20 м/с = 10 м/с, и проходит расстояние 12000 м за 1200 с.

   3 замечание. Задачу можно решить графически.
   Уравнения движения

x_n = 12000 + 20t и x_э = 30t.

представляют собой линейные зависимости координаты от времени. Достаточно двух точек для построения графиков зависимости координат от времени.

xЭ, м	t, с	xП, м	t, с
0	0	12 000	0
36 000	1200	36 000	1200

    На рисунке 1.2

точка пересечения графиков соответствует времени встречи поезда и экспресса – по оси t и месту встречи – по оси x. Метод достаточно наглядный, но менее точный.
   Вывод: на примере этой простой задачи мы рассмотрели несколько методов достижения поставленной цели.
   1) Координатный метод. Выбираем начало отсчета, направление. Составляем уравнения движения тел, в момент встречи координаты совпадают. Приравняв координаты, получаем уравнение относительно времени, находим время до встречи и подставляем в любое уравнение движения.
   2) Графический метод. По точкам строим графики зависимости координаты от времени. Точка пересечения прямых на графике позволяет определить время и место встречи.
   3) Изменение системы отсчета. Позволяет гораздо проще определить время тел до встречи.

 

Пример 8.

Через блок перекинули нерастяжимую нить, к концам которой прикрепили два шарика. Ось блока поднимают вертикально вверх со скоростью 4 м/с, удерживая при этом на месте один из шариков. С какой скоростью движется другой шарик?

 Решение 1.

 Ось блока движется в вверх с постоянной скоростью v = 4 м/с, тем самым вытягивая нить с левой стороны и увлекая за собой груз с некоторой скоростью v₁, направленной также вверх, так как правый груз удерживается на месте (рис. 2.1).

При этом совершается работа по подъему блока равная  A = F₁ × S, работа по подъему левого груза равна A = F₂ × L. Воспользуемся золотым правилом механики: блок не дает выигрыша в работе, тогда
 

F₁ × S = F₂ × L или F₁ × vt = F₂ × v₁t.

Свяжем силы, приложенные к грузу и к блоку следующим образом: 
 

F₁R = F₂D.

Откуда следует, что  F₁/F₂ = D/R = 2 (рис. 2.2),
 

следовательно, F₁/F₂ = v₁/v = 2.
   Искомая скорость груза в два раза больше скорости движения блока и равна 8 м/с.

 Решение 2.

Изменим систему отсчета, связав ее (например) с осью блока. В этой системе отсчета блок является неподвижным. Это сделаем следующим образом: зададим блоку скорость v в противоположную сторону его движения. Тогда все тела также получат скорость v в том же направлении. В результате изменения системы отсчета мы имеем: остановленный блок, движение правого груза вниз со скоростью v, движение левого груза со скоростью v₁ – v вверх (рис. 2.3).

Осталось сделать правильный вывод: так как нить нерастяжима, то грузы будут двигаться со скоростью, модуль которой равен v. Тогда для левого груза v₁ – v = v или v₁ = 2v = 8 м/с.

 Замечание 1.

Выбор системы отсчета может, как упростить, так и усложнить решение задачи.
 Замечание 2.

При изменении системы отсчета все тела получают как модуль скорости движущейся системы, так и направление (противоположное) вектора скорости.
 Замечание 3.

При изменении системы отсчета, следует учесть, что Земля, также изменяет свое состояние.
 Замечание 4.

Решая задачу, в которой происходит движение нескольких тел, задайте себе вопрос: а что если изменить систему отсчета?

 Пример 9.

На гладкой горизонтальной поверхности на расстоянии 2l друг от друга неподвижно лежат два шарика, массой m каждый, связанные невесомой нерастяжимой нитью длиной 2l. Среднюю точку нити A начинают двигать с постоянной скоростью v в горизонтальном направлении, перпендикулярном нити. Какой путь пройдет точка A до момента столкновения шаров?

 Решение.
   Представить данную задачу не очень трудно. Условие достаточно понятно (см. рис. 2.4).

Для решения задачи перейдем в систему отсчета связанную с центром масс ( т. А). «Остановим», мысленно, точку A, сообщив ей скорость в противоположном направлении. Тогда шарики будут двигаться со скоростью центра масс v навстречу друг другу. Точку Aможно представить (условно) в виде гвоздя. Аналогия вполне уместна. Шарики будут двигаться по дугам окружности и ее четверть, длиной 2πl/4 = πl/2, пройдут за время 

t = πl/(2v) (рис. 2.5).
 

Таким образом, мы определили время шариков до столкновения. Для определения пути пройденной точкой  A до момента столкновения шаров вернемся обратно в первоначальную систему отсчета. Найдем расстояние, пройденное средней точкой за это время
 

S = vt = v × πl(2v) = πl/2

Пример 10.

 Охотник стреляет дробью в птицу, летящую по прямой со скоростью v₁ = 15 м/с. Какое упреждение S нужно сделать, если в момент выстрела птица находилась на минимальном от охотника расстоянии, равном l = 30 м? Скорость дроби v₂ = 375 м/c.

Рассуждение.

Читая условие задачи, возникает вопрос − что понимает автор под упреждением? В таких случаях можно предложить следующее: рисовать задачу, внося на рисунок все, что известно в задаче и, возможно, вопрос задачи прояснится. 
Мы последуем этому совету. Птица летит горизонтально со скоростью  v₁ = 15 м/с (например) слева направо. Охотник находится в момент выстрела на минимальном расстоянии, а это будет перпендикуляр, проведенный от птицы к охотнику. Теперь осталось сообразить, как нужно стрелять охотнику, чтобы попасть в птицу (см. рис. 2.6).

Расстояние  AB и будет упреждением, которое должен сделать охотник, чтобы попасть в летящую птицу.

 Решение 1. Рассмотрим систему отсчета связанную с землей. Треугольник OAB прямоугольный. Тогда, по теореме Пифагора

OA² + AB² = OB² или l² + (v₁t)² = (v₂t)².

   Решая последнее уравнение, относительно времени, получим
 

t = l/√(v₂² – v₁²).

   Нахождение времени, является ключевым моментом решения задачи. Определим упреждение
 

S = AB = v₁t = v₁l/√(v₂² – v₁²) = 1,2 м.

 Решение 2. Изменим систему отсчета, связав ее с птицей. В этой системе отсчета птица покоится в т. A. Для этого мы ей сообщим скорость v₁ направленную в противоположную сторону. Тогда дробь также получит в этом же направлении скорость v₁. Дробь полетит по направлению к птице со скоростью, вектор которой мы находим по правилу параллелограмма, а численное значение по теореме Пифагора (см. рис. 2.7).

 

v = √(v₂² – v₁²).

За время
 

t = l/v = l/√(v₂² – v₁²).

дробь прилетит в точку A. Время найдено, вернувшись в первоначальную систему отсчета, найдем упреждение S = 1,2 м.

 Решение 3. Свяжем систему отсчета с дробью «остановив» ее и она ни куда не летит. Тогда птица получит скорость дроби в противоположном направлении. Воспользовавшись правилом параллелограмма, найдем направление относительной скорости птицы (на дробь) и по теореме Пифагора найдем ее значение (см. рис. 2.8).

 

v = √(v₂² – v₁²).

За время 
 

t = l/v = l/√(v₂² – v₁²).

птица прилетит в точку O (условие задачи выполнено). Время найдено, вернувшись в первоначальную систему отсчета, найдем упреждение S = 1,2 м.

 Замечание 1.

Выбор системы отсчета позволяет значительно упростить нахождение времени полета птицы-дроби до встречи.
 Замечание 2.

Если внимательно прочитать условие задачи «упреждение S», в физике приняты условные обозначения S – расстояние, но не угол и не время точно.
 Замечание 3.

Для отработки устойчивых навыков иногда полезнее решать задачу разнообразными методами, в различных системах отсчета.

Пример 11.

С какой скоростью должны вылететь мина из миномета в момент старта ракеты, вылетающей вертикально вверх с ускорением 3g без начальной скорости, чтобы поразить эту ракету? Расстояние от миномета до места старта ракеты 250 м, мина вылетает под углом 45° к горизонту.

 Решение.  

Ось XOY направим так, как показано на рисунке.

   Мина поразит ракету в точке A. По горизонтали она пролетит расстояние равное
 

S = v_xt = v_ocosα•t, (1)

где t −− время полета мины.
   По вертикали мина пролетит расстояние равное высоте подъема ракеты (должна попасть в ракету).
 

H = v_yt − gt²/2 = v_osinα•t − gt²/2. (2)

   Высота подъема ракеты до точки A
 

H = 3gt²/2. (3)

Приравняем (2) и (3)
 

v_osinα•t − gt²/2 = 3gt²/2.

Сократив на время, имеем уравнение
 

v_osinα − gt/2 = 3gt/2. (4)

Из уравнения (4) выразим время полета мины (ракеты)
 

t = v_osinα/(2g). (5)

Теперь подставим в уравнение (1)
 

S = v_xt = v_ocosα•v_osinα/(2g).

Откуда выражаем искомую скорость мины
 

v_o = [2gS/(cosα•sinα)]^1/2 = 2[gS/(sin2α)]^1/2.

Вычислим скорость мины
 

v_o = 2[10•250/sin(2•45°)]^1/2 = 100 м/с.

   Вывод: для ответа на вопрос задачи мы решали три уравнения:
 

S = v_ocosα•t, H = v_osinα•t − gt²/2, H = 3gt²/2.

   В которых три неизвестных: высота, на которой произошло попадание, время попадания мины в ракету и начальная скорость мины (искомая). Три уравнения с тремя неизвестными дают решение.

   Решение 2.

Изменим систему отсчета. Предлагаю «выключить гравитационное поле Земли».
   Земля действует на оба тела, отключив ее мы получим ситуацию равномерного движения мины и равноускоренного движения ракеты с ускорением 4g = 3g + g. Правда и Земля будет двигаться вверх с ускорением g, но она нас не интересует.
   Итак, мина летит по прямой и пролетает расстояние равное L = S(2)^1/2, так как мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник (смотри на рисунке).

   Ракета до точки попадания мины пролетает расстояние
 

S = 4gt²/2 = 2gt².

Откуда время t = [S/(2g)]^1/2.
Теперь определим скорость мины
 

v_o = L/t = S√2/√{S/(2g)} = 2√(gS).

Подставим численные значения
 

v_o = 2√(10•250) = 100 м/с.

   Изменив систему отсчета, мы гораздо проще определили время полета мины и ракеты до попадания.

 Пример 12.

С высоты 1,5 м на наклонную плоскость вертикально падает шарик и абсолютно упруго отражается от нее. На каком расстоянии от места падения он снова ударится о туже плоскость? Угол наклона плоскости к горизонту 30°.

   Решение 1.

Выберем оси координат, так как показано на рисунке.

   По вертикали, до точки удара о плоскость, тело пролетит расстояние H, уравнение координаты вдоль оси OY имеет вид
 

0 = H + v_osinα•t − gt²/2. (1)

   Дальность полета вдоль оси OX равна
 

S = v_ocosα•t. (2)

Выразим из уравнения (2) время полета и подставим в (1) уравнение
 

0 = H + Stgα − (g/2)S²/(v_ocosα) ². (3)

Из соотношения в прямоугольном треугольнике свяжем высоту и дальность полета по горизонтали с дальностью полета вдоль плоскости
 

H = Lsinα, S = Lcosα.

Подставим в уравнение (3)
 

0 = Lsinα + Lcosαtgα − (g/2)(Lcosα)²/(vocosα)²,

или
 

0 = 2sinα − gL/(2v_o²),

Выразим дальность полета вдоль наклонной плоскости
 

L = 4v_o²sinα/g.

Так как скорость тела перед падением на плоскость равна v_o² = 2gh (свободное падение), то
 

L = 8hsinα,

После подстановки L = 8•1,5•sin30 = 6 м.

   Решение 2.

Решим задачу в системе координат, так как показано на рисунке, развернув ее на 30° по отношению к первоначальной по часовой стрелке.

   В новой системе координат, тело брошено под углом к горизонту 90° − &alpha = 60°. Обратим внимание на то, что в новой системе координат тело движется равноускоренно вдоль оси OX с ускорением g_x = gsinα и дальность полета равна
 

L = v_ocos(90° − α)•t + gsinαt²/2, (1)

где t – время полета, которое найдем из уравнения скорости вдоль оси OY. Учтем, что тело движется с ускорением g_y = −gcosα в проекции на ось OY
 

v_y = v_osin(90° − α) ? gcosαt.

   В верхней точке траектории v_y = 0, тогда
 

v_osin(90° − α) − gcosαt₁ = 0 и t₁ = v_o/g,

а время полета t = 2t₁ = 2v_o/g.
   Подставим время полета в уравнение (1)
 

L = v_osinα•2v_o/g + gsinα (2v_o/g)²/2 = 4v_osinα/g.

C учетом того, что скорость тела перед падением на плоскость равна v_o² = 2gh получим дальность полета
 

L = 8hsinα,

   Мы получили тот же результат, но, может быть чуть с более сложной математикой.

   Решение 3.
    «Выключим Землю», тогда тело будет двигаться прямолинейно и равномерно со скоростью v_o, а горка придет в движение с ускорением g и придет в точку A одновременно с телом.

   Проанализировав углы треугольника OAB видим, что все они равны 60°. Тогда OA = AB = OB = L.
   Расстояние OA = v_o•t, а AB = gt²/2. Приравняв правые части v_o•t = gt²/2, найдем время полета тела t = 2v_o/g.
   Тогда дальность полета
 

L = OA = 2v_o•v_o/g = 2v_o²/g.

   C учетом того, что скорость тела перед падением на плоскость равна v_o² = 2gh получим дальность полета L = 4h = 4•1,5 = 6 м.

   Замечание:

• Третьим способом время полета определяется гораздо проще.
• Если решать задачу в общем виде, то формула дальности полета будет такой же L = 8hsinα.

Пример 13. Стоящий на коньках человек массой 60 кг ловит мяч массой 500 грамм, летящий горизонтально со скоростью 72 км/ч, определите расстояние на которое откатится при этом человек, если коэффициент трения 0,05.

Решение:

Пример 14.

Тела массами m₁=3,0 кг и m2=2,0 кг, связанные нитью, находятся на горке, как это указано на рисунке. Найтинатяжение нити, если горка помещена в лифт, движущийся вертикально вверх с ускорением а₀=2,0 м/с с. Коэффициент трения равен µ=0,40, угол наклона горы равен α=30˚.

Два тела массами m₁и m₂ расположены так, как это указано на рисунке. Найдем ускорение, с которым движутся тела, если предположить, что тела движутся вправо, а коэффициент трения о поверхность известен и равен µ . Наклонная плоскость составляет угол α  с горизонтом. Как обычно укажем силы, действующие на каждое из тел, и напишем для каждого из них второй закон Ньютона. Тогда для первого и второго тела

N+T+m1g+Fтр=m₁(a+a₀),: m₂g+T=m ₂(a+a₀)

(здесь мы воспользовались фактом, что натяжение вдоль всей нити одинаково и равно Т)

Для описания движения тела на наклонной плоскости выберем систему координат, в которой ось x направлена вдоль наклонной плоскости по направлению движения, а ось у к ней перпендикулярна. Спроектируем на них уравнение движения:

 T-m₁g₀ sin α -Fтр=m₁a, N — m₁g₀ cos α =0,

причем учитывая тот факт, что ускорение лифта нам известно и направлено вертикально как и сила тяжести удобно ввести величину g₀

=g+a₀. Для второго тела возьмем систему отсчета ось х которой направлена вертикально вниз ( второй оси нам не понадобиться т.к. 3 это тело не касается поверхности и реакции опоры находить не нужно). Проекция второго закона Ньютона на эту ось имеет вид:

m₂g₀-T=m₂a.

Далее используем связь между силой трения и реакцией опоры, которую найдем из уравнения по у

Fтр= µ m₁g₀ cos α .

Подставляя выражение для силы трения в уравнение по х для первого тела и затем складывая оба уравнения по х, получим:

 T-F-m₁g₀ sin α — µ m₁g₀ cos α +m₂g₀ -T=m₁a+m₂a.

Отсюда следует выражение для ускорения

а=(m₂g₀ -m₁g₀ sin α — µ m₁g₀cos α )/(m₁+m₂).

Для гладкой поверхности в этом случае

а=(m₂g₀ -m₁g₀ sin α )/(m₁+m₂).

Подставляя численные значения масс и ускорения свободного падения, убедимся, что ускорение меньше нуля. Если бы трение отсутствовало, то ускорение было бы положительно. Но наличие трения не может изменить направление движения, а значит ускорение в нашем случае равно нулю. Отсюда найдем

T=m₂(g+a₀)=24 H.

Ответ: 24 Н.

 

Оптимизация. Обзор методов

Оптимизация — важный раздел современной прикладной математики, объединяющий широкий спектр разнообразный методов, позволяющих решать важные  практические задачи.

Например, задачу о распределении инвестиций по разным проектам и предприятиям, нахождение оптимальных сроков замены и ремонта оборудования, если известны годовой доход и остаточная стоимость в зависимости от времени эксплуатации.

Именно такие задачи возникают в нефтедобывающей отрасли, когда необходимо обоснованно принимать решение о сроках ремонта или замены насосного оборудования. Это оборудование может выходить из строя в случайные моменты времени, что приводит к существенному ущербу и неоправданным потерям.

Очевидно, задачи оптимизации тесно связаны с теорией вероятностей, статистикой и анализом данных в самом широком смысле, так как требуется оценить состояние системы по реальным данным и далее применить принципы оптимального управления.

Имеется несколько важных принципов, которые нужно знать и с пользой применять на практике, например, принцип оптимальности Беллмана или принцип оптимальности Понтрягина и др.

Вы можете не знать детали методов, но должны понимать существо дела и основной стрим оптимизационных моделей, детали выяснятся позднее, их можно найти в справочниках и специализированных изданиях.

Мы начнем с увлекательной задачи о линии наискорейшего спуска или задачи о брахистохроне, в действительности это целый класс очень интересных задач.

Начнем с практического вопроса.

Представьте, вы возводите жилое здание и у вас возникает вопрос, как кратчайшим образом доставлять предметы с верхних этажей на нижние, используя только силу тяжести.

Естественно рассмотреть наклонный пандус, который позволяет за оптимальное время скатывать предметы с верхних этажей на нижние.

Задача о брахистохроне (линии наибыстрейшего ската).

Термин брахистохрон имеет греческое происхождение и состоит из двух слов хронос – время, брахисто – самый короткий (βραχιστoζ – короткий, χρoνoζ – время).

Формальная постановка задачи такая.

В вертикальной плоскости даны точки A и B. Определить путь, по которому под действием собственной тяжести, тело, начав двигаться из точки A, достигнет точку B за кратчайшее время.

Дадим набросок решения, стараясь выделить главный аналитический принцип.

Рассматривается идеальный случай, предмет скатывается только под действием силы тяжести.

Прежде всего мы можем предположить, что нам достаточно провести прямую линию, соединяющую точки А и В.

Отрезок прямой будет кратчайшим расстоянием между А и В, однако не факт, что время, затраченное на движение по этому отрезку будет наименьшим.

Из физических соображений ясно, что вначале тело должно максимально ускориться, чтобы затем это ускорение работало на всем пути. Двигаясь по прямой, тело имеет постоянное ускорение.

Это заставляет предположить, что есть траектории, которые позволяют спускать груза за время меньшее, чем при движении по прямой.

Продолжим рассуждения.

Введем декартову систему координат с центром в точке А, пусть точка В располагается, для определенности, в 4-м квадранте, ее координаты x1 > 0, y1 < 0.

Конечно, возможно симметричное расположение точки В относительно оси y, но мы рассмотрим именно этот случай.

Если точка В лежит просто на оси y, то решение очевидно, это отрезок прямой (0, y1).

Проведем какую-то линию, соединяющую точки А и В, обозначим ее y = y(x).

Всякой линии y = y(x), соединяющей точки А и В, сопоставим время спуска T по этой линии.

Ясно, что время Т зависит от самой линии, где-то тело сильнее ускоряется, где-то слабее, мы рассматриваем движение только под действием силы тяжести.

Заметим, что в начальный момент времени t = 0, y(0) = 0 (тело находится в точке А), в момент окончания спуска тело попадает в точку В, следовательно, y(T) = y1.

Итак, формально нам нужно перебрать все линии, соединяющие А и В, и найти оптимальную линию, для которой время Т минимально.

Это и будет линия наискорейшего спуска.

Вопрос: как это сделать?

Воспользуемся символистикой математического анализа.

Формально скорость скатывания тела по дуге определяется выражением

Отсюда:

Время спуска Т по всей линии вычисляется как сумма

=

Интеграл берется по кривой .

Линия задана в явном виде как функция от , поэтому можно считать, что интегрирование ведется от 0 до .

Дифференциал дуги можно вычислить (проделайте это упражнение или обратитесь к стандартной книге по математическому анализу)

Итак, время спуска по кривой задается выражением:

(1)

В этом выражении присутствует скорость тела , ее нужно найти.

Попадая в точку по оси х, тело проходит по оси y расстояние , закон сохранения энергии дает равенство:

В начальный момент времени скорость и высота равны 0, следовательно, поэтому:

(2)

Подставляя формулу (2) в формулу (1), имеем окончательное выражение для времени движения по нашей линии :

(3)

 

Итак, формально нужно найти минимум функционала (3) на кривых удовлетворяющих условию:

Следующие калькуляции потребуют некоторого напряжения, хотя идея простая.

Нам удобно ввести обозначение для подынтегральной функции в (3).

Обозначим:

Принцип Эйлера утверждает, что экстремальное значение функционала

является решением уравнения:

= с (4)

это частная производная по ,

Следовательно, формально имеем:

(5)

Подставим (5) в (4) и проведем алгебраические преобразования.

После возведения в квадрат имеем выражение через :

(6)

Данное дифференциальное уравнение можно решить, формально имеем:

(7)

Проинтегрируем левую и правую часть (7), получим:

(8)

Для сокращения калькуляций обозначим новая константа, сделаем стандартную замену переменных:

После элементарных вычислений (проделайте их!) получим следующие уравнения линии :

(9)

 

(10)

Константу нужно подобрать так, чтобы кривая проходила через конечную точку В с координатами .

Как пользоваться этими уравнениями?

Достаточно просто, это время, представьте, вы выбрали константу например, положив далее берем последовательные значения = 0, 0.1 и тд.

На рисунке ниже показана одна такая кривая:

Рис. 1

С помощью уравнений (9), (10) мы можем определить положение тела, двигающегося под действием силы тяжести по линии наискорейшего спуска, в любой момент времени.

Уравнения (9), (10) позволяют определить пару констант t1, c1 и тем самым определить отрезок кривой кратчайшего спуска между точками А и В.

Эта замечательная кривая называется циклоидой!

Эта кривая относится к классу трансцендентных кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочленов от x, y, однако параметрические уравнений (9), (10) позволяют исследовать эту кривую и вывести ее замечательные свойства.

Для приближенного решения уравнений (9), (10), — а так и поступают на практике! — воспользуйтесь численными методами решения уравнений, описанными на нашем портале.

Итак, если вам необходимо сконструировать пандус для скорейшего спуска грузов с верхних этажей на нижние, то его образующими будут циклоиды!

Заметьте, важен принцип рассуждения, вначале мы поняли, что решение может быть отличным от прямой линии, затем формализовали задачи и использовали математическую символику, позволяющую записать решение в виде уравнений (9), (10).

Конечно, это задача имеет много вариаций, можно рассматривать движение частицы в поле действия определенных сил, движение луча в неоднородной среде и тд.

Обсуждение задачи.

Мы свели задачу о линии кратчайшего времени спуска к нахождению экстремума некоторого функционала

Термина функционал не нужно бояться, это то же самое что функция, только немного сложнее, его значение зависит от самой линии и ее производной

Возникает вопрос, как находить экстремумы функционалов, например, минимальные или максимальные значения.

Мы знаем, как находить максимальные или минимальные значения функций. Необходимым условием таких экстремумов является обращение в нуль производной.

Естественная идея состоит в том, чтобы обобщить методы нахождения экстремумов функций на функционалы.

Это естественное обобщение достигается с помощью принципа Эйлера.

В нашем рассуждении использовался знаменитый принцип Эйлера, см. (4), утверждающий, что экстремальное значение функционала

является решением уравнения:

= с

Имеется множество численных методов поиска экстремума функций, очевидно, эти методы можно распространить и на поиск экстремумов функционалов.

Приведем несколько задач на брахистохрону:

Найдите длину брахистохроны между точками А и В, сравните ее с длиной прямой АВ. Объясните качественно, за счет чего достигается эффект меньшего времени спуска по циклоиде.

Объясните, почему выпуклая вверх циклоида, симметричная относительно прямой АВ, не является брахистохроной.

Ограничим возможные кривые только ломаными линиями, рассмотрим различные ломанные линии, соединяющие точки А и В. Как нужно расположить N точек А, , N > 1 чтобы ломаная линия была линией наикратчайшего спуска. Какой принцип оптимальности здесь можно применить? Заметьте, что в точках излома отсутствуют производные.

Дальнейшие задачи для самостоятельных размышлений:

Найти плоскую кривую, соединяющую две заданные точки плоскости и лежащую выше оси x , которая при вращении вокруг этой оси образует поверхность наименьшей (наибольшей) площади.

Найти форму тяжелой однородной нерастяжимой нити, подвешенной за концы (изгиб нити возникает за счет силы тяжести).

В заключении заметим, что знаменитая задача Дидоны, описанная нами в разделе геометрия, также может быть решена аналитическими методами, попробуйте найти это решение.

Для этого, прежде всего, введите декартову систему координат и запишите функционал, экстремум которого нужно найти.

Далее примените принцип Эйлера для нахождения экстремума и проведите математические выкладки.

Изобразим графически задачу наискорейшего спуска, чтобы наглядно убедиться в том, что материальная точка быстрее спустится именно по брахистохроне, а не по прямой. Для этого напишем небольшой макрос в Microsoft Excel во встроенной среде разработки Visual basic for Application (VBA).

Для начала сделаем некоторую предварительную подготовку: построим графики брахистохроны и прямой в Microsoft Excel. Согласно теории, уравнение брахистохроны в декартовых координатах имеет вид:

Введем в первый столбец рабочего листа цифры от 0 до 2 с шагом 0.1.

Рис. 2

Во второй столбец введем следующую формулу и растянем ее на 22 строки:

Рис. 3

В итоге получим следующие данные:

Рис. 4

Теперь займемся построением прямой, с которой будем сравнивать брахистохрону. Мы знаем, что данная прямая должна проходить через точки (0;0) и (2; 3.14). Воспользуемся уравнением прямой по двум точкам:

Решаем уравнение:

Получаем уравнение прямой: y = 1.57x

Теперь вбиваем в третий столбец следующую формулу, и растягиваем ее на 22 строки:

Рис. 5

Получаем в итоге:

Рис. 6

Построим точечный график по имеющимся столбцам. Для этого выделим прямоугольную область A1:С22, затем выберем пункт меню Вставить -> Диаграмма -> Точечная.

Рис. 7

В результате у нас должен получиться следующий график:

Рис. 8

Теперь займемся созданием шариков, которые будут скатываться по нашим кривым. Начальное положение шариков уже известно, это точка (2; 3.14). Чтобы шарики красиво, реалистично скатывались, сделаем координату по Oy немного побольше, чтобы шарики не были «нанизаны» на кривые, а находились на их поверхности.

Сделаем следующую табличку для координат шариков на брахистохроне (шарик БР) и на прямой (шарик ПР).

Рис. 9

Кликнем правой кнопкой мыши на графике, выберем пункт «Выбрать данные».

Рис. 10

Затем нажмем «Добавить ряд», в названии укажем «Шарик БР», в поле «Значения Х» укажем ячейку F2, в поле «Значения Y» укажем ячейку G2.

Рис. 11

 

Рис. 12

Аналогичным образом добавим шарик на прямой (ячейки будут соответственно h3 и I2).

Чтобы кривые были более красивыми и цельными, изменим тип диаграмм. Кликнем правой кнопкой мыши на кривой брахистохроны и прямой, выберем пункт «Изменить тип диаграммы для ряда…»:

Рис. 13

И в том же меню Диаграмма -> Точечная, выберем третий по счету вид (Точечная с гладкими кривыми):

Рис. 14

Получим такой график:

Рис. 15

На следующем этапе сделаем наши шарики более круглыми и объемными. Нажмем на один из них правой кнопкой мыши, выберем «Формат ряда данных».

Рис. 16

В следующем меню сделаем настройки:

Рис. 17

 

Рис. 18

Аналогичным образом сделаем синий объемный шарик на брахистохроне. Получим такой вид:

Рис. 19

Теперь напишем макрос на VBA, который будет управлять нашими шариками. Нажмем Alt+F11, и перейдем в среду разработки VBA. В приложении приведен подробный листинг макроса с комментариями.

А вот и результат нашей работы:

Рис. 20

Sub Лист3_Кнопка1_Щелчок()

Dim BrahY(22), BrahX(22) As Double

Dim i As Double

Cells(2, 6) = 2 ‘начальное положение шариков

Cells(2, 7) = 3.3

Cells(2, 8) = 2

Cells(2, 9) = 3.3

BrahX(1) = 1.9 ‘координаты Х брахистохроны

BrahX(2) = 1.8

BrahX(3) = 1.7

BrahX(4) = 1.6

BrahX(5) = 1.5

BrahX(6) = 1.4

BrahX(7) = 1.3

BrahX(8) = 1.2

BrahX(9) = 1.1

BrahX(10) = 1

BrahX(11) = 0.8

BrahX(12) = 0.7

BrahX(13) = 0.6

BrahX(14) = 0.5

BrahX(15) = 0.3

BrahX(16) = 0.18

BrahX(17) = 0.12

BrahX(18) = 0.08

BrahX(19) = 0.04

BrahX(20) = 0.015

BrahX(21) = 0

BrahX(22) = 0

BrahY(1) = 3.141592654 ‘ координаты Y брахистохроны

BrahY(2) = 2.254675947

BrahY(3) = 1.898091545

BrahY(4) = 1.632050981

BrahY(5) = 1.414297436

BrahY(6) = 1.28369699

BrahY(7) = 1.05798034

BrahY(8) = 0.921549779

BrahY(9) = 0.79235835

BrahY(10) = 0.675976311

BrahY(11) = 0.570796327

BrahY(12) = 0.475641469

BrahY(13) = 0.389642509

BrahY(14) = 0.312164471

BrahY(15) = 0.242764342

BrahY(16) = 0.181172147

BrahY(17) = 0.127295218

BrahY(18) = 0.081255987

BrahY(19) = 0.043501109

BrahY(20) = 0.015136917

BrahY(21) = 0

BrahY(22) = 0

Application.Wait (Now + TimeValue(«0:00:1»))

For i = 0 To 2.2 Step 0.1 ‘ в цикле меняем координаты шариков

Cells(2, 6) = BrahX(i * 10 + 1)

Cells(2, 7) = BrahY(i * 10 + 1)

Cells(2, 8) = 2.2 — i

Cells(2, 9) = 1.57 * (2.2 — i) + 0.22 ‘немножко поднимаем шарик над прямой

Application.Wait (1000)

Next i

Application.Wait (Now + TimeValue(«0:00:2»))

Cells(2, 6) = 2

Cells(2, 7) = 3.3

Cells(2, 8) = 2

Cells(2, 9) = 3.3

End Sub

В начало

Содержание портала

одно вертикально вверх, другое под углом ϑ = 60° к горизонту. Начальная скорость каждого тела V

Вариант№1 Два тела бросили одновременно из одной точки: одно — вертикально вверх, другое — под углом ϑ = 60° к горизонту. Начальная скорость каждого тела v0 = 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через t = 1,70 с. По наклонной плоскости с углом α наклона к горизонту, равным 30°, скользит тело. Определите скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения k = 0,25. В закрытом сосуде вместимостью 20 л находятся водород массой 6 г и гелий массой 12 г. Определите: 1) давление смеси; 2) молярную массу газовой смеси в сосуде, если температура смеси Τ = 300 К. Азот массой 300 г, находящийся под давлением р1 = 1 МПа при температуре t1 = 127 °С, подвергли изотермическому расширению, в результате которого давление газа уменьшилось в η = 4 раза. После этого газ подвергли адиабатному сжатию до начального давления, а затем он был изобарно сжат до начального объема. Постройте график цикла и определите работу, совершенную газом за цикл. Сила гравитационного притяжения двух водяных одинаково заряженных капель радиусами 0,1 мм уравновешивается кулоновской силой отталкивания. Определите заряд капель. Плотность воды равна 1 г/см³. Разность потенциалов между точками А и В U = 9 В. Емкость конденсаторов соответственно равна С1 = 3 мкФ и С2 = 6 мкФ. Определите: 1) заряды Q1 и Q2; 2) разность потенциалов U1 и U2 на обкладках каждого конденсатора. Батареи имеют ЭДС и , сопротивления , . Найти показание амперметра . Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, W = 30 мкДж; максимальная сила, действующая на тело, Fmax = 1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний m = 2 с и начальная фаза φ = π/3. В цепь переменного тока напряжением U = 220 В включены последовательно емкость С, сопротивление R и индуктивность L. Найти падение напряжения UR на сопротивлении, если известно, что падение напряжения на конденсаторе UC = 2UR на индуктивности UL = 3U R. Электрон движется в магнитном поле с индукцией B = 1мТл по окружности радиусом R = 0,5 см. Какова кинетическая энергия Т электрона? Ответ дать и джоулях и электрон-вольтах. Вариант №2 Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле тяжести. В начальный момент частицы находились в одной точке и имели скорости v1 = 3,0 м/с и v2 = 4,0 м/с, направленные горизонтально и в противоположные стороны. Найти расстояние между частицами в момент, когда векторы их скоростей окажутся взаимно перпендикулярными. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = at, где a — постоянная. Направление этой силы все время составляет угол α с горизонтом. Найти: скорость тела в момент отрыва от плоскости. Определите плотность смеси газов водорода массой m1 = 8 г и кислорода массой m2 = 64 г при температуре Τ = 290 К и при давлении 0,1 МПа. Газы считать идеальными. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в n = 4 раза. Определите термический КПД цикла. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин плотностью 0,8 г/см³. Какой должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина ε = 2. Определите расстояние между пластинами плоского конденсатора, если между ними приложена разность потенциалов U = 150 В, причем площадь каждой пластины S = 100 см², ее заряд Q = 1O нКл. Диэлектриком служит слюда (ε = 7). Батареи имеют ЭДС и , сопротивление Падение потенциала на сопротивлении равно (ток через направлен справа налево). Найти показание амперметра . Начальная фаза гармонического колебания φ = 0. При смещении точки от положения равновесия x1 = 2,4 см скорость точки v1 = 3 см/с, а при смещении х2 = 2,8 см ее скорость v2 = 2 см/с. Найти амплитуду А и период T этого колебания. Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллельно и включены в цепь переменного тока напряжением U = 127 В и частотой ν = 50 Гц. Найти сопротивление R и индуктивность L, если известно, что цепь поглощает мощность Р = 404 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током φ = 60°. Протон влетел в однородное магнитное поле под углом α = 30° к направлению поля и движется по спирали, радиус которой R = 1,5см. Индукция магнитного поля B = 0,1 Тл. Найти кинетическую энергию протона. Вариант №3 Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно 2,7 м, начала подниматься с постоянным ускорением 1,2 м/с2. Через 2,0 с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти: время свободного падения болта. Тело массой m = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость пройденного телом пути 5 от времени t дается уравнением s = A−Bt+Ct2−Dt3, где С = 5 м/с2 и D = 1 м/с3. Найти силу F, действующую на тело в конце первой секунды движения. В баллоне вместимостью 15л находится азот под давлением 100 кПа при температуре t1 = 27 °С. После того как из баллона выпустили азот массой 14 г, температура газа стала равной t2 = 17 °С. Определите давление азота, оставшегося в баллоне. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя Т1 = 500 К, холодильника Т2 = 300 К. Работа изотермического расширения газа составляет 2 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла; 2) количество теплоты, отданное газом при изотермическом сжатии холодильнику. В вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые положительные заряды Q = 2 нКл. Какой отрицательный заряд Q1 необходимо поместить в центр треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы отталкивания положительных зарядов? Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последовательно соединенными конденсаторами, С = 100 пФ, а заряд Q = 20 нКл. Определите емкость второго конденсатора, а также разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора, если С1 = 200 пФ. Батареи имеют ЭДС и , сопротивления , . Найти показание амперметра . Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, W = 30 мкДж; максимальная сила, действующая на тело, Fmax = 1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний m = 2 с и начальная фаза φ = π/3. Индуктивность L = 22,6 мГн и сопротивление R включены параллельно в цепь переменного тока частотой ν = 50 Гц. Найти сопротивление R, если известно, что сдвиг фаз между напряжением и током φ = 60°. Электрон движется в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. Определить силу F, действующую на электрон со стороны поля, если индукция поля B = 0,1 Т, а радиус кривизны траектории R = 0,5 см. Вариант №4 За промежуток времени τ = 10,0 с точка прошла половину окружности радиуса R = 160 см. Вычислить за это время: а) среднюю скорость v;б) б) модуль среднего вектора полного ускорения |а|, если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением. Тело лежит на наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 4°. При каком предельном коэффициенте трения к тело начнет скользить по наклонной плоскости? С каким ускорением a будет скользить тело по плоскости, если коэффициент трения k = 0,03? Баллон вместимостью V = 20 л содержит смесь водорода и азота при температуре 290 К и давлении 1 МПа. Определите массу водорода, если масса смеси равна 150 г. Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревателя количество теплоты 5,5 кДж и совершил работу 1,1 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла; 2) отношение температур нагревателя и холодильника. Свинцовый шарик (ρ = 11,3 г/см³) диаметром 0,5 см помещен в глицерин (ρ = 1,26 г/см³). Определите заряд шарика, если в однородном электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине. Электростатическое поле направлено вертикально вверх, и его напряженность Е = 4 кВ/см. Определите емкость С батареи конденсаторов, изображенной на рисунке. Емкость каждого конденсатора С1 = С2=С3=С4=С5=1 мкФ. ЭДС батареи ε=12 В. При силе тока I=4 А КПД батареи=0,6. Определить внутреннее сопротивление r батареи. Уравнение колебаний материальной точки массой m = 10 г имеет вид x = 5sin см. Найти максимальную силу fmax, действующую на точку, и полную энергию W колеблющейся точки. В цепь переменного тока напряжением U = 220 В и частотой ν = 50 Гц включены последовательно емкость С = 35,4 мкФ, сопротивление R = 100 Ом и индуктивность L = 0,7 Гн. Найти ток I в цепи и падения напряжения UC, UR и UL на емкости, сопротивлении и индуктивности. По двум параллельным проводам длиной l = 2,5м каждый текут одинаковые токи силой I = 1000A. Расстояние между проводами d = 20 см. Определить силу F взаимодействия проводов. Вариант №5 Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону г = at (1-αt), где а — постоянный вектор, α — положительная постоянная. Найти: а) скорость v и ускорение а частицы в зависимости от времени. На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила трения Fтр, равная 0,1 действующей на него силе тяжести mg. Какова должна быть сила тяги F, развиваемая мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением a = 1 м/с2 в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути. Азот массой 7 г находится под давлением р = 0,1 МПа и температуре T1 = 290 К. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем V2 = 10 л. Определите: 1) объем V1 газа до расширения; 2) температуру Т2 газа после расширения; 3) плотность газа до и после расширения. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70 % количества теплоты, полученного от нагревателя, отдает холодильнику. Количество теплоты, получаемое от нагревателя, равно 5 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла; 2) работу, совершенную при полном цикле. Электростатическое поле создается бесконечным цилиндром радиусом 8 мм, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии r1 = 2 мм и r2 = 7 мм от поверхности этого цилиндра. Два плоских воздушных конденсатора одинаковой емкости соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов U = 300 В. Определите разность потенциалов этой системы, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнено слюдой (ε = 7). Батареи имеют ЭДС и , сопротивления , Через амперметр течет ток , направленный от к . Найти сопротивление . Уравнение колебания материальной точки массой m = 16 г имеет вид x = 0,1sin м. Построить график зависимости от времени t (в пределах одного периода) силы F, действующей на точку. Найти максимальную силу Fmax. Конденсатор емкостью С = 1 мкФ и резистор с сопротивлением R = 3 кОм включены в цепь переменного тока частотой ν = 50 Гц. Найти полное сопротивление Z цепи, если конденсатор и резистор включены: а) последовательно; б) параллельно. Проволочный виток радиусом R = 20 см расположен в плоскости магнитного меридиана. В центре витка установлена небольшая магнитная стрелка, могущая вращаться вокруг вертикальной оси. На какой угол отклонится стрелка, если но витку пустить ток силой I = 12 А? Горизонтальную составляющую индукции земного магнитного поля принять равной В = 20 мкТл. Вариант №6 В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по закону v = v0 (1 — t/τ), где v0 — вектор начальной скорости, модуль которого v0 = 10,0 см/с, τ = 5,0 с. Найти: а) координату x частицы в моменты времени 6,0, 10 и 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10,0 см от начала координат; в) путь s, пройденный частицей за первые 4,0 и 8,0 с; изобразить примерный график s (t). Тело массой m1 = 4 кг движется со скоростью v1 = 3 м/с и нагоняет тело массой m2 = 10 кг, движущееся со скоростью v2 = 1 м/с. Считая удар центральным, найти скорости u1 и u2 тел после удара, если удар а) неупругий; б) упругий. В сосуде вместимостью 5 л при нормальных условиях находится азот. Определите: 1) количество вещества ν; 2) массу азота; 3) концентрацию n его молекул в сосуде. Азот массой 500 г, находящийся под давлением р1 = 1 МПа при температуре t1 = 127 °С, подвергли изотермическому расширению, в результате которого давление газа уменьшилось в η = 3 раза. После этого газ подвергли адиабатному сжатию до начального давления, а затем он был изобарно сжат до начального объема. Постройте график цикла и определите работу, совершенную газом за цикл. Электростатическое поле создается шаром радиусом R = 10 см, равномерно заряженным с объемной плотностью ρ = 20 нКл/м³. Определите разность потенциалов между точками, лежащими внутри шара на расстояниях r1 = 2 см и r2 = 8 см от его центра. Разность потенциалов между точками А и В U = 9 В. Емкость конденсаторов соответственно равна С1 = 3 мкФ и С2 = 6 мкФ. Определите: 1) заряды Q1 и Q2; 2) разность потенциалов U1 и U2 на обкладках каждого конденсатора. Элемент, амперметр и некоторое сопротивление соединены последовательно. Если взять сопротивление из медной проволоки длиной l = 100 м и поперечным сечением S = 2 мм2, то амперметр показывает ток I1 = 1,43 А. Если же взять сопротивление из алюминиевой проволоки длиной l = 57,3 м и поперечным сечением S = 1 мм2, то амперметр показывает ток I2 = 1 А. Сопротивление амперметра RA = 0,05 Ом. Найти э. д. с. элемента и его внутреннее сопротивление r. За время, в течение которого система совершает N = 50 полных колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определите добротность Q системы. Катушка с активным сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L включена в цепь переменного тока напряжением U = 127 В и частотой ν = 50 Гц. Найти индуктивность L катушки, если известно, что катушка поглощает мощность Р = 400 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током φ = 60°. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток силой I = 40 А. Сторона треугольника а = 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот. Вариант №7 Точка движется в плоскости ху по закону: х = at, у = at (1 — αt), где a и α — положительные постоянные, t — время. Найти: а) скорость v и ускорение

Задача 5: Определение движения частиц и расчет

Положение частицы (в дюймах), движущейся по оси x по истечении t секунд, определяется следующим уравнением:

с = f ( т ) = т ⁴ -2 т ³ -6 т ² + 9 т

(a) Рассчитайте скорость частицы в момент времени t .

(b) Вычислите скорость частицы при t = 1, 2 и 4 секунды.

(c) Когда частица находится в состоянии покоя?

(d) Когда частица движется в прямом (положительном) направлении?

(e) Рассчитайте общее расстояние, пройденное частицей (т.е. вперед и назад) за t = 5 секунд.

(f) Рассчитайте ускорение частицы через 4 секунды.

(г) Когда скорость частицы постоянна?

---

Решение:

(a) Скорость является производной от положения, поэтому скорость равна v ( t ) = 4 t ³ — 6 t ² — 12 t + 9.

(b) Просто вставьте уравнение скорости, чтобы получить: v (1) = –5 дюймов / сек, v (2) = –7 дюймов / сек, v (4) = 121 дюйм / сек. .

(c) Если вы построите график функции скорости на своем калькуляторе, вы увидите, что она проходит через x = –1,5. Используйте синтетическое деление, чтобы убедиться, что это правда, и разложить уравнение на множители. Вы получите:

( т — 1/2) (4 т ² -12 т + 6)

Теперь используйте квадратичную формулу для решения квадратичной части, и вы увидите, что скорость равна нулю (другими словами, остановлена), когда t = –1.5, 0,6339745962, 2,366025404. Несмотря на то, что вы можете округлить до третьего десятичного знака, вам необходимо использовать эти значения для решения оставшейся части проблемы.

(d) Если вы подставите значения в уравнение скорости между интервалами x , указанными выше, вы получите положительные значения на интервалах (–1,5, 0,6339) и (2,366, ∞). Обратите внимание, что отрицательное время не имеет смысла, поэтому (0, 0,6339) так же приемлемо, а, возможно, даже больше, для первого интервала. Мы делаем это, потому что положительная скорость подразумевает движение вперед.

(e) Сначала подставьте «точки поворота», найденные в части (c), в уравнение положения. Когда в этой задаче скорость равна нулю, частица останавливается, потому что она поворачивается в другую сторону. Вы обнаружите, что ‘ s (0,6339) = 2,946152423, s (2,366) = –7,446152423, и s (5) = 270. Обратите внимание, что отрицательный интервал x игнорируется, потому что вы не можете вернуться в время.

Эти числа показывают, как далеко частица находится от начала координат в определенные моменты времени.Итак, частица перемещается на 2,9 дюйма вправо от начала координат, затем перемещается на 7,44 дюйма влево от него и, наконец, заканчивается на 270 дюймов вправо от него. К моменту времени t = 2,366 секунды частица переместилась вправо на 2,9 дюйма, назад на 2,9 дюйма до начала координат, а затем влево на 7,4 дюйма. Затем он перемещается на 7,4 дюйма назад к исходному положению и заканчивается еще на 270 дюймов справа от него. Окончательный ответ — 290,785 дюйма.

(f) Ускорение является производной скорости, поэтому a (t) = v ’ (t) = 12 t ² — 12 t — 12.Ускорение при t = 4 секунды составляет a (4) = 132 дюйм / с ² .

(g) Установите ускорение равным нулю и решите, используя квадратное уравнение: t = –0,618 с или 1,618 с.

Загрузка видео может занять несколько секунд. Возникли проблемы с просмотром видеоконтента? Некоторые браузеры не поддерживают эту версию — попробуйте другой браузер.

Прямолинейное движение

Прямолинейное движение — это движение частицы или объекта по прямой.{{t_2}}} = {v \ left ({{t_2}} \ right) — v \ left ({{t_1}} \ right),}} \]

, где величина \ (v \ left ({{t_2}} \ right) — v \ left ({{t_1}} \ right) \) представляет собой чистое изменение скорости за интервал времени \ ({t_1} \ le t \ le {t_2}. \)

Скорость \ (\ left | {v \ left (t \ right)} \ right | \) — это абсолютное значение скорости, т.е. скорость всегда положительна.

Средняя скорость \ ({v_ {av}} \) определяется как

\ [{{{v_ {av}} = \ frac {{\ text {общее пройденное расстояние}}} {{\ text {общее время}}}.{{t_2}} {\ left | {v \ left (t \ right)} \ right | dt}. \]

---

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

Пример 1

График на рисунке \ (2 \) ниже показывает скорость частицы, движущейся по координатной линии. При \ (t = 0, \) положение равно \ (x = 0. \)

1. Изобразите график зависимости ускорения \ (a \) от времени \ (t \), соответствующий этому графику зависимости скорости от времени;
2. Изобразите график зависимости положения \ (x \) от времени \ (t \), соответствующего скорости в зависимости от2} — 4. \)

   Пример 8

   Частица движется вдоль оси \ (x \), так что ее положение в момент времени \ (t \ ge 0 \) задается уравнением \ (x \ left (t \ right) = t \ ln t. \) Определите ускорение частицы, когда скорость равна нулю.

   Пример 9

   Когда две частицы начинают в начале координат со скоростями \ (v \ left (t \ right) = \ cos t \) и \ (u \ left (t \ right) = \ sin 2t, \) сколько раз в интервале \ (\ left [{0,2 \ pi} \ right] \) будут ли их скорости равны?

   Пример 10

   Частица движется по прямой в соответствии с уравнением \ (x \ left (t \ right) = {t ^ 3} — 6 {t ^ 2} + 5, \), где \ (x \) выражается в метрах, \ (t \) находится в секундах.Найдите общее расстояние, пройденное частицей за 6 секунд.

   Пример 1.

   График на рисунке \ (2 \) ниже показывает скорость частицы, движущейся по координатной линии. При \ (t = 0, \) положение равно \ (x = 0. \)
   1. Изобразите график зависимости ускорения \ (a \) от времени \ (t \), соответствующий этому графику зависимости скорости от времени;
   2. Изобразите график зависимости положения \ (x \) от времени \ (t \), соответствующий графику зависимости скорости от времени;
   3. Определите среднюю скорость частицы между \ (t = 0 \) и \ (t = 60 \, \ text {sec}.2}}}.} \]
      Рис. 3.

      \ (2. \) График зависимости положения от времени.

      \ [{t = 20 \, \ text {s:} \; \;} \ kern0pt {x = 20 \ cdot 5 = 100 \, \ text {m};} \]

      \ [{t = 30 \, \ text {s:} \; \;} \ kern0pt {x = 100 + 10 \ cdot 5 \ cdot \ frac {1} {2} = 125 \, \ text {m} ;} \]

      \ [{t = 40 \, \ text {s:} \; \;} \ kern0pt {x = 125 + 10 \ cdot \ left ({- 5} \ right) \ cdot \ frac {1} {2} = 100 \, \ text {m};} \]

      \ [{t = 60 \, \ text {s:} \; \;} \ kern0pt {x = 100 + 20 \ cdot \ left ({- 5} \ right) = 0 \, \ text {m}. } \]

      Рисунок 4.

      \ (3.\ prime} = {\ frac {1} {t}.} \]

      Скорость равна нулю при времени

      \ [{v \ left (t \ right) = 0, \; \;} \ Rightarrow {\ ln t + 1 = 0, \; \;} \ Rightarrow {\ ln t = — 1, \; \; } \ Rightarrow {t = \ frac {1} {e}.} \]

      Подставляя это значение времени, находим ускорение в этот момент:

      \ [a = \ frac {1} {{\ frac {1} {e}}} = e. \]

      Пример 9.

      Когда две частицы начинают в начале координат со скоростями \ (v \ left (t \ right) = \ cos t \) и \ (u \ left (t \ right) = \ sin 2t, \) сколько раз в интервале \ (\ left [{0,2 \ pi} \ right] \) будут ли их скорости равны?

      Решение.

      Решаем эту задачу графически. Нарисуем графики функций скорости \ (\ left | {v \ left (t \ right)} \ right | = \ left | {\ cos t} \ right | \) и \ (\ left | {u \ left (t \ right)} \ right | = \ left | {\ sin 2t} \ right | \) на интервале \ (\ left [{0,2 \ pi} \ right]. 2} + 5, \), где \ (x \) выражается в метрах, \ (t \) находится в секундах.6} = {- \ left [{\ left ({64 — 96 + 5} \ right) — 5} \ right]} + {\ left [{\ left ({216 — 216 + 5} \ right) — \ left ({64 — 96 + 5} \ right)} \ right]} = {32 + 32} = {64.} \]

      Итак, общее расстояние, пройденное частицей, равно \ (64 \, \ text {m}. \)

      3.1 Положение, смещение и средняя скорость

      Цели обучения

      К концу этого раздела вы сможете:

      • Определите положение, смещение и пройденное расстояние.
      • Рассчитайте общее смещение с учетом положения как функцию времени.
      • Определите общее пройденное расстояние.
      • Рассчитайте среднюю скорость с учетом смещения и затраченного времени.

      Когда вы находитесь в движении, вам нужно задать следующие основные вопросы: где вы? Куда ты идешь? Как быстро ты туда добираешься? Ответы на эти вопросы требуют, чтобы вы указали свое положение, смещение и среднюю скорость — термины, которые мы определяем в этом разделе.

      Позиция

      Чтобы описать движение объекта, вы должны сначала уметь описать его положение ( x ): , где он находится в любой конкретный момент времени . Точнее, нам нужно указать его положение относительно удобной системы отсчета. Система отсчета — это произвольный набор осей, по которым описывается положение и движение объекта. Земля часто используется в качестве системы отсчета, и мы часто описываем положение объекта по отношению к стационарным объектам на Земле.Например, запуск ракеты можно описать с точки зрения положения ракеты по отношению к Земле в целом, тогда как положение велосипедиста можно описать с точки зрения ее положения по отношению к зданиям, мимо которых он проезжает (рисунок). В других случаях мы используем системы отсчета, которые не являются стационарными, но движутся относительно Земли. Например, чтобы описать положение человека в самолете, мы используем самолет, а не Землю в качестве системы отсчета. Чтобы описать положение объекта, совершающего одномерное движение, мы часто используем переменную x .Позже в этой главе, при обсуждении свободного падения, мы будем использовать переменную y .

      Рис. 3.2 Этих велосипедистов во Вьетнаме можно описать по их положению относительно зданий или канала. Их движение можно описать изменением положения или перемещением в системе отсчета. (кредит: Сьюзан Блэк)

      Рабочий объем

      Если объект перемещается относительно системы отсчета, например, если профессор перемещается вправо относительно доски (рисунок), то положение объекта изменяется.Это изменение положения называется смещением . Слово смещение означает, что объект переместился или был перемещен. Хотя позиция — это числовое значение x вдоль прямой линии, на которой может быть расположен объект, смещение дает изменение положения на вдоль этой линии. Поскольку смещение указывает направление, оно является вектором и может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от выбора положительного направления. Кроме того, в анализ движения может быть встроено множество смещений.Если значение right положительно и объект перемещается на 2 м вправо, затем на 4 м влево, отдельные смещения равны 2 м и [латекс] -4 [/ латекс] м соответственно.

      Рис. 3.3 Профессор ходит влево и вправо во время лекции. Ее положение относительно Земли обозначено x. Смещение профессора на +2,0 м относительно Земли показано стрелкой, указывающей вправо.

      Рабочий объем

      Displacement [latex] \ text {Δ} x [/ latex] — изменение положения объекта:

      [латекс] \ text {Δ} x = {x} _ {\ text {f}} — {x} _ {0}, [/ latex]

      где [latex] \ text {Δ} x [/ latex] — это смещение, [latex] {x} _ {\ text {f}} [/ latex] — это конечное положение, а [latex] {x} _ { 0} [/ latex] — начальная позиция.

      Мы используем прописную греческую букву дельта (Δ) для обозначения «изменения» любой величины, следующей за ней; таким образом, [latex] \ text {Δ} x [/ latex] означает изменение в позиции (конечная позиция минус исходная позиция). Мы всегда вычисляем смещение, вычитая начальную позицию [latex] {x} _ {0} [/ latex] из конечной позиции [latex] {x} _ {\ text {f}} [/ latex]. Обратите внимание, что единицей СИ для смещения является метр, но иногда мы используем километры или другие единицы длины. Имейте в виду, что когда в задаче используются единицы, отличные от метров, вам может потребоваться преобразовать их в метры, чтобы завершить расчет (см. Коэффициенты преобразования).

      Движущиеся объекты также могут иметь серию перемещений. В предыдущем примере с профессором кардиостимулятора отдельные смещения равны 2 м и [латекс] -4 [/ латекс] м, что дает общее смещение -2 м. Мы определяем общее смещение [латекс] \ text {Δ} {x} _ {\ text {Total}} [/ latex] как сумму отдельных смещений и выражаем это математически уравнением

      [латекс] \ text {Δ} {x} _ {\ text {Total}} = \ sum \ text {Δ} {x} _ {\ text {i}}, [/ latex]

      где [латекс] \ text {Δ} {x} _ {i} [/ latex] — индивидуальные смещения.В предыдущем примере

      [латекс] \ text {Δ} {x} _ {1} = {x} _ {1} — {x} _ {0} = 2-0 = 2 \, \ text {m.} [/ Latex]

      Аналогично

      [латекс] \ text {Δ} {x} _ {2} = {x} _ {2} — {x} _ {1} = — 2- (2) = — 4 \, \ text {m.} [/ латекс]

      Таким образом,

      [латекс] \ text {Δ} {x} _ {\ text {Total}} = \ text {Δ} {x} _ {1} + \ text {Δ} {x} _ {2} = 2-4 = -2 \, \ text {m} \ text {.} [/ Latex]

      Полное смещение составляет 2–4 = −2 м влево или в отрицательном направлении. Также полезно рассчитать величину смещения или его размер.Величина смещения всегда положительная. Это абсолютное значение смещения, поскольку смещение является вектором и не может иметь отрицательного значения величины. В нашем примере величина полного смещения составляет 2 м, тогда как величина отдельных смещений составляет 2 м и 4 м.

      Величину общего смещения не следует путать с пройденным расстоянием. Пройденное расстояние [latex] {x} _ {\ text {Total}} [/ latex] — это общая длина пути, пройденного между двумя позициями.В предыдущей задаче пройденное расстояние является суммой величин отдельных смещений:

      [латекс] {x} _ {\ text {Total}} = | \ text {Δ} {x} _ {1} | + | \ text {Δ} {x} _ {2} | = 2 + 4 = 6 \, \ text {m} \ text {.} [/ Latex]

      Средняя скорость

      Чтобы вычислить другие физические величины в кинематике, мы должны ввести переменную времени. Переменная времени позволяет нам не только указывать, где находится объект (его положение) во время его движения, но и насколько быстро он движется.Скорость движения объекта определяется скоростью, с которой положение изменяется со временем.

      Для каждой позиции [latex] {x} _ {\ text {i}} [/ latex] мы назначаем определенное время [latex] {t} _ {\ text {i}} [/ latex]. Если детали движения в каждый момент не важны, скорость обычно выражается как средняя скорость [латекс] \ overset {\ text {-}} {v} [/ latex]. Эта векторная величина представляет собой просто общее смещение между двумя точками, деленное на время, необходимое для путешествия между ними.Время, необходимое для путешествия между двумя точками, называется прошедшим временем [латекс] \ text {Δ} t [/ latex].

      Средняя скорость

      Если [латекс] {x} _ {1} [/ latex] и [latex] {x} _ {2} [/ latex] — это позиции объекта, временами [латекс] {t} _ {1} [ / latex] и [latex] {t} _ {2} [/ latex] соответственно, то

      [латекс] \ begin {array} {cc} \ text {Средняя скорость} = \ overset {\ text {-}} {v} = \ frac {\ text {Смещение между двумя точками}} {\ text {Затраченное время между двумя точками}} \\ \ overset {\ text {-}} {v} = \ frac {\ text {Δ} x} {\ text {Δ} t} = \ frac {{x} _ {2} — {x} _ {1}} {{t} _ {2} — {t} _ {1}}.\ end {array} [/ latex]

      Важно отметить, что средняя скорость является вектором и может быть отрицательной в зависимости от положения [латекс] {x} _ {1} [/ latex] и [latex] {x} _ {2} [/ latex] .

      Пример

      Доставка листовок

      Джилл отправляется из своего дома, чтобы доставить листовки о распродаже во дворе, двигаясь на восток по своей улице, усеянной домами. На [latex] 0,5 [/ latex] км и через 9 минут у нее заканчиваются листовки, и ей приходится возвращаться домой, чтобы получить больше.Это займет еще 9 минут. Собрав еще листовки, она снова отправляется по тому же пути, продолжая с того места, где остановилась, и заканчивается в 1,0 км от своего дома. Этот третий этап ее путешествия занимает [латекс] 15 [/ латекс] минут. В этот момент она поворачивает обратно к своему дому, направляясь на запад. Через [латекс] 1,75 [/ латекс] км и [латекс] 25 [/ латекс] минут она останавливается, чтобы отдохнуть.

      1. Каково полное перемещение Джилл до точки, в которой она останавливается, чтобы отдохнуть?
      2. Какова величина окончательного смещения?
      3. Какая средняя скорость во время всего путешествия?
      4. Какое общее расстояние пройдено?
      5. Постройте график зависимости положения от времени.

      Набросок движений Джилл показан на (Рисунок).

      Рис. 3.4 График перемещений Джилл.

      Стратегия

      Задача содержит данные о различных этапах путешествия Джилл, поэтому было бы полезно составить таблицу физических величин. Нам дается позиция и время в формулировке задачи, чтобы мы могли рассчитать смещения и затраченное время. Мы принимаем восток как положительное направление. Из этой информации мы можем найти полное смещение и среднюю скорость.Дом Джилл — отправная точка [латекс] {x} _ {0} [/ latex]. В следующей таблице указаны время и позиция Джилл в первых двух столбцах, а смещения рассчитываются в третьем столбце.

      Время т i (мин)	Позиция [латекс] {x} _ {i} [/ latex] (км)	Смещение [латекс] \ text {Δ} {x} _ {\ text {i}} [/ latex] (км)
      [латекс] {t} _ {0} = 0 [/ латекс]	[латекс] {x} _ {0} = 0 [/ латекс]	[латекс] \ text {Δ} {x} _ {0} = 0 [/ латекс]
      [латекс] {t} _ {1} = 9 [/ латекс]	[латекс] {x} _ {1} = 0.5 [/ латекс]	[латекс] \ text {Δ} {x} _ {1} = {x} _ {1} — {x} _ {0} = 0,5 [/ латекс]
      [латекс] {t} _ {2} = 18 [/ латекс]	[латекс] {x} _ {2} = 0 [/ латекс]	[латекс] \ text {Δ} {x} _ {2} = {x} _ {2} — {x} _ {1} = — 0,5 [/ латекс]
      [латекс] {t} _ {3} = 33 [/ латекс]	[латекс] {x} _ {3} = 1,0 [/ латекс]	[латекс] \ text {Δ} {x} _ {3} = {x} _ {3} — {x} _ {2} = 1.0 [/ latex]
      [латекс] {t} _ {4} = 58 [/ латекс]	[латекс] {x} _ {4} = — 0,75 [/ латекс]	[латекс] \ text {Δ} {x} _ {4} = {x} _ {4} — {x} _ {3} = — 1.75 [/ латекс]

      Решение

      1. Показать ответ

         Из приведенной выше таблицы полное смещение составляет [латекс] \ sum \ text {Δ} {x} _ {\ text {i}} = 0,5-0,5 + 1,0-1,75 \, \ text {km} = — 0,75 \ , \ text {km} \ text {.} [/ latex]

      2. Показать ответ

         Величина полного смещения равна [latex] | -0.75 | \, \ text {km} = 0.75 \, \ text {km} [/ latex].

      3. Показать ответ

         [латекс] \ text {Средняя скорость} = \ frac {\ text {Total} \, \ text {displacement}} {\ text {Elapsed} \, \ text {time}} = \ overset {\ text {-} } {v} = \ frac {-0.75 \, \ text {км}} {58 \, \ text {min}} = — 0,013 \, \ text {км / мин} [/ latex]

      4. Показать ответ

         Общее пройденное расстояние (сумма величин отдельных смещений) составляет [латекс] {x} _ {\ text {Total}} = \ sum | \ text {Δ} {x} _ {\ text {i}} | = 0,5 + 0,5 + 1,0 + 1,75 \, \ text {km} = 3,75 \, \ text {km} [/ latex].

      5. Показать ответ Мы можем построить график зависимости положения Джилл от времени, чтобы помочь увидеть движение; график показан на (рисунок).

         Рис. 3.5 На этом графике показано положение Джилл в зависимости от времени.Средняя скорость — это наклон линии, соединяющей начальную и конечную точки.

      Значение

      Полное перемещение Джилл составляет -0,75 км, что означает, что в конце поездки она оказывается [латексной] 0,75 \, \ text {км} [/ латексной] к западу от своего дома. Средняя скорость означает, что если кто-то будет идти прямо на запад со скоростью [латекс] 0,013 [/ латекс] км / мин, начиная с того же времени, когда Джилл вышла из дома, они оба достигнут конечной точки остановки одновременно. Обратите внимание, что если бы Джилл закончила поездку в своем доме, ее полное смещение было бы равно нулю, как и ее средняя скорость.Общее расстояние, пройденное за 58 минут времени ее поездки, составляет 3,75 км.

      Проверьте свое понимание

      Велосипедист едет на 3 км на запад, затем разворачивается и едет на 2 км на восток. а) Каково его смещение? б) Какое расстояние пройдено? в) Какова величина его перемещения?

      Показать ответ

      (a) Перемещение всадника [латекс] \ text {Δ} x = {x} _ {\ text {f}} — {x} _ {0} = — 1 \, \ text {km} [/ latex ]. (Смещение отрицательное, потому что мы считаем восток положительным, а запад — отрицательным.) (b) Пройденное расстояние составляет 3 км + 2 км = 5 км. (c) Величина смещения составляет 1 км.

      Концептуальные вопросы

      Приведите пример, в котором есть четкие различия между пройденным расстоянием, смещением и величиной смещения. Определите каждое количество в вашем примере отдельно.

      Показать решение

      Вы едете на машине в город и возвращаетесь, чтобы проехать мимо своего дома к дому друга.

      При каких обстоятельствах пройденное расстояние равно величине смещения? Каков единственный случай, когда величина смещения и смещения точно совпадают?

      Бактерии перемещаются вперед и назад, используя свои жгутики (структуры, похожие на маленькие хвосты).Наблюдались скорости до 50 мкм / с (50 × 10 ⁻⁶ м / с). Общее расстояние, которое проходит бактерия, велико для ее размера, тогда как перемещение невелико. Почему это?

      Показать решение

      Если бактерии перемещаются вперед и назад, то смещения компенсируют друг друга, и окончательное смещение невелико.

      Приведите пример устройства, используемого для измерения времени, и определите, какое изменение в этом устройстве указывает на изменение времени.

      Измеряет ли одометр автомобиля пройденное расстояние или перемещение?

      В течение заданного промежутка времени средняя скорость объекта равна нулю.Какие выводы можно сказать о его перемещении за промежуток времени?

      Проблемы

      Рассмотрим систему координат, в которой положительная ось x направлена ​​вверх вертикально. Каково положение частицы (а) на 5,0 м непосредственно над началом координат и (б) на 2,0 м ниже начала координат?

      Автомобиль находится в 2,0 км к западу от светофора при t = 0 и 5,0 км к востоку от светофора при t = 6,0 мин. Предположим, что начало системы координат — свет, а положительное направление x — восточное.(а) Каковы векторы положения автомобиля в эти два момента времени? (б) Какой рабочий объем автомобиля составляет от 0 до 6,0 мин?

      Показать решение

      а. [латекс] {\ overset {\ to} {x}} _ {1} = (- 2.0 \, \ text {m}) \ hat {i} [/ latex], [латекс] {\ overset {\ to} {x}} _ {2} = (5.0 \, \ text {m}) \ hat {i} [/ latex]; б. 7,0 м на восток

      Шанхайский поезд на магнитной подвеске соединяет Longyang Road с международным аэропортом Пудун, расстояние до которого составляет 30 км. В среднем дорога занимает 8 минут. Какова средняя скорость поезда на магнитной подвеске?

      Положение частицы, движущейся по оси x , определяется как [latex] x (t) = 4.0-2.0т [/ латекс] м. а) В какое время частица пересекает начало координат? (b) Каково смещение частицы между [latex] \ text {t} = 3.0 \, \ text {s} [/ latex] и [latex] \ text {t} = 6.0 \, \ text {s} ? [/ латекс]

      Показать решение

      а. [латекс] t = 2,0 [/ latex] s; б. [латекс] x (6.0) -x (3.0) = — 8.0 — (- 2.0) = — 6.0 \, \ text {m} [/ latex]

      Велосипедист проезжает 8,0 км на восток в течение 20 минут, затем поворачивает и направляется на запад 8 минут и 3,2 км. Наконец, он едет на восток 16 км, что занимает 40 минут.а) Каково окончательное перемещение велосипедиста? б) Какова его средняя скорость?

      15 февраля 2013 г. суперболидный метеор (ярче Солнца) вошел в атмосферу Земли над Челябинском, Россия, и взорвался на высоте 23,5 км. Очевидцы могли почувствовать сильный жар от огненного шара, а взрывная волна от взрыва выбила окна в зданиях. Взрывная волна достигла уровня земли примерно за 2 минуты 30 секунд. а) Какова была средняя скорость взрывной волны? б) Сравните это со скоростью звука, которая составляет 343 м / с на уровне моря.

      Показать решение

      а. 150,0 с, [латекс] \ overset {\ text {-}} {v} = 156,7 \, \ text {м / с} [/ latex]; б. 45,7% скорость звука на уровне моря

      Глоссарий

      средняя скорость

      смещение, деленное на время, за которое смещение происходит

      рабочий объем

      изменение положения объекта

      пройденное расстояние

      общая длина пути, пройденного между двумя позициями

      Истекшее время

      разница между временем окончания и временем начала

      кинематика

      описание движения с помощью таких свойств, как положение, время, скорость и ускорение

      позиция

      местоположение объекта в определенный момент времени

      полный рабочий объем

      сумма индивидуальных перемещений за данный период времени

      Как найти ускорение — Расчет 1

      Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

      Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

      Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

      Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

      Вы должны включить следующее:

      Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

      Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

      Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
      101 S. Hanley Rd, Suite 300
      St. Louis, MO 63105
      

      Или заполните форму ниже:

      EM3SolSupp.dvi

      % PDF-1.4 % 1 0 obj >>>] / ON [1229 0 R] / Заказ [] / RBGroups [] >> / OCGs [1229 0 R] >> / Страницы 3 0 R / Тип / Каталог >> эндобдж 1228 0 объект > / Шрифт >>> / Поля 1233 0 R >> эндобдж 1227 0 объект > поток GPL Ghostscript 8.702013-07-19T16: 07: 55 + 02: 002013-07-19T09: 14: 28 + 02: 00dvips (k) 5.98 Авторские права 2009 Radical Eye Software2013-07-19T16: 07: 55 + 02: 0066061264-285f-11ee -0000-a83325857ed1uuid: 157c1e4d-2bbf-473d-acd1-2b762ae690d5application / pdf

   4. EM3SolSupp.dvi
   конечный поток эндобдж 3 0 obj > эндобдж 4 0 obj > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 18 0 объект > / XObject >>> / Тип / Страница >> эндобдж 19 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 25 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 44 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 52 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 59 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 66 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 71 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 76 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 81 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 88 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 93 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 98 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 105 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 110 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 115 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 120 0 объект > / ExtGState> / Font> / Pattern> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 130 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 135 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 142 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 147 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 152 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 161 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 166 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 171 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 176 0 объект > / ExtGState> / Font> / Pattern> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 186 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 197 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 202 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 207 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 212 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 217 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 224 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 229 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 234 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 239 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 246 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 252 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 257 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 262 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 267 0 объект > / ExtGState> / Font> / Pattern> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 278 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 283 0 объект > / XObject >>> / Тип / Страница >> эндобдж 284 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 289 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 295 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 303 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 308 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 315 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 320 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 327 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 332 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 340 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 345 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 352 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 357 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 362 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 367 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 372 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 377 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 382 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 391 0 объект > / ExtGState> / Font> / Pattern> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 401 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 406 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 413 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 418 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 424 0 объект > / XObject >>> / Тип / Страница >> эндобдж 425 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 430 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 438 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 446 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 458 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 463 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 470 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 475 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 484 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 489 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 498 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 503 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 508 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 513 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 518 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 527 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 532 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 538 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 543 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 548 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 553 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 558 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 563 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 569 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 574 0 объект > / ExtGState> / Font> / Pattern> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 582 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 589 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 594 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 599 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 606 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 611 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 616 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 621 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 626 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 634 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 639 0 объект > / ExtGState> / Font> / Pattern> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 647 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 652 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 657 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 662 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 667 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 672 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 679 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 684 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 689 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 694 0 объект > / XObject >>> / Тип / Страница >> эндобдж 695 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 700 0 объект > / ExtGState> / Font> / Pattern> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 708 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 713 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 719 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 724 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 729 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 734 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 739 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 744 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 749 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 754 0 объект > / ExtGState> / Font> / Pattern> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 763 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 768 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 773 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 778 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 784 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 789 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 794 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 799 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 804 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 809 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 814 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 819 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 824 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 829 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 834 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 839 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 844 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 849 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 854 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 860 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 867 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 872 0 объект > / ExtGState> / Font> / Pattern> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 880 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 885 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 892 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 897 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 904 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 910 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 915 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 923 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 928 0 объект > / ExtGState> / Font> / Pattern> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 936 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 941 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 946 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 952 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 957 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 968 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 977 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 985 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 990 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB / ImageC] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 997 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1002 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1011 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1016 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1021 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1026 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1032 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1037 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1043 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1048 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1053 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1062 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1067 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1074 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1080 0 объект > / Font> / ProcSet [/ PDF / Text / ImageB] / XObject >>> / Rotate 0 / Type / Page >> эндобдж 1780 0 объект > поток HWnF3b% Р.