Угол между секущей и хордой: Центральные углы. Вписанные углы. Угол между хордами. Угол между секущими. Угол между касательной и хордой

Здравствуйте! Сегодня мы собираемся исследовать, что может произойти, когда встречаются круг и линия или две линии. Начнем с определения словаря, который нам понадобится. Линия, пересекающая окружность и касающаяся двух точек вне окружности, равна секансе окружности.

Вот пример. Мы можем видеть, что линия пересекает внешнюю сторону круга в двух точках и создает отрезок линии между теми точками, которые выделены красным цветом. Этот отрезок называется хордой .

У нас также может быть более одной секущей окружности, взаимодействующей друг с другом, например:

Теперь наши две хорды создали вписанный угол в нашу окружность, которую мы обозначили символом \(x \) и знак степени. Напротив угла находится часть окружности между точками, где хорды пересекают окружность, выделенные желтым цветом. это перехваченная дуга . Мы можем найти меру нашего вписанного угла \(x\), если мы знаем длину дуги, на которую опираемся, в градусах. Перехваченная дуга является той же мерой, что и центральный угол , который использует те же две точки, что и наш вписанный угол, но с вершиной в центре окружности.

Центральный угол равен 120°, поэтому наша дуга, на которую опираются, также имеет размер 120°. Обратите внимание, что центральный угол немного «шире», чем вписанный угол. Это потому что так! На самом деле он ровно в два раза шире. {\circ}\div 2\), или 60°! Центральный угол всегда вдвое больше вписанного угла, когда вершина вписанного угла лежит на самой окружности. Это также означает, что мы можем легко найти центральный угол или дугу, на которую опираемся, если мы знаем меру вписанного угла — все, что нам нужно сделать, это удвоить меру вписанного угла! 9{\circ}\)

Мы можем сделать небольшую проверку на здравый смысл, чтобы убедиться, что мы используем правильную версию этой формулы. Если бы мы случайно воспользовались формулой сложения, то получили бы угол, равный 65°, что кажется слишком большим для нашего маленького угла. Однако будьте осторожны. Задачи стандартизированных тестов иногда не соответствуют масштабу — следите за предупреждением об этом в любой задаче, которую вы решаете.

Касательные линии
При взаимодействии линии и окружности секущие иногда не создаются. Если линия проходит через окружность и касается ее только в одной точке, она создает то, что мы называем линией, состоящей из касательной к окружности. Точка, в которой линия и окружность соприкасаются, называется точкой касания .

Слово тангенциальный мы иногда встречаем и за пределами математики, описывая тему, которая лишь немного связана с обсуждаемой темой. Здесь это означает линию, которая касается окружности как можно мельчайшим образом – только в одной точке.

В любом случае, если внимательно посмотреть на нашу диаграмму, мы можем увидеть радиус окружности, встречающейся с нашей касательной на 9угол 0°. Чтобы наша линия была действительно касательной, это должно быть правдой. Если наша линия не будет точно перпендикулярна радиусу в точке касания, она на самом деле коснется круга дважды, хотя, возможно, очень близко друг к другу. Это фактически создаст секущую вместо касательной. Мы можем видеть это, увеличив масштаб круга, показывающего углы, которые всего на несколько градусов отличаются от 90°:

происходит, хотя это было бы очень трудно показать на диаграмме!

Надеюсь, это видео о секущих, аккордах и тангенсах было полезным! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

 
Сопоставьте правильное имя с каждой строкой.

Black-Secant Red-Chord Orange-Tangent

Black-Hord Red-Secant Orange-Tangent

Black-Tangent Red-Chord Orange-Secant

Black-Secant Red-Tangent Orange-Hord

Секущая: линия, которая касается двух точек на окружности окружности.
Хорда: отрезок, соединяющий две точки на окружности окружности.
Касательная: Линия, которая касается окружности только один раз.

 
Каково значение \(x\)?

\(82°\)

\(31°\)

\(42°\)

\(41°\)

На рисунке \(x\) является мерой вписанного угла. Вписанный угол составляет половину дуги, на которую опирается. В этом случае пересекаемая дуга равна \(82°\). Половина \(82°\) равна \(41°\). Значит, вписанный угол равен \(41°\).

 
Какова мера внутреннего угла с мерой \(x°\)?

\(125°\)

\(230°\)

\(115°\)

\(46°\)

Внутренний угол \(x\) можно определить по формуле \(x=\frac{1}{2}(a°+b°)\), где \(a\) и \(b\) — пересекаемые дуги.

\(x=\frac{1}{2}(92°+138°)\)
\(x=\frac{1}{2}(230°)\)
\(x=115° \)

 
Фонарик светит в лес в точке \(x°\). Соответствующие перехваченные дуги, образованные сияющим светом, равны \(21°\) и \(162°\). Под каким углом свет падает от фонарика?

\(70,5°\)

\(114°\)

\(39°\)

\(74,5°\)

Угол \ (x\) можно определить по формуле \(x=\frac{1}{2}(a°-b°)\), где \(a\) и \(b\) представляют пересекаемые дуги.

\(x=\frac{1}{2}(162°-21°)\)
\(x=\frac{1}{2}(141°)\)
\(x=70,5° \)

Угол падения света от фонарика равен \(70,5°\).

 
Вы привариваете круглые серьги для продажи на местном фермерском рынке. Каждая серьга круглая с двумя стержнями через круг. Вы хотите, чтобы каждая серьга выглядела одинаково, поэтому вам нужно рассчитать точную угловую меру внутреннего угла. Меры двух дуг, пересекаемых стержнями, равны \(72°\) и \(70°\) соответственно. Какова мера угла \(x\)?

\(70°\)

\(71°\)

\(72°\)

\(74°\)

Неизвестный угол находится внутри круга, поэтому угол \(x\) можно вычислить по формуле \(x=\frac{ 1}{2}(a°+b°)\), где \(a\) и \(b\) представляют пересекаемые дуги.

\(x=\frac{1}{2}(72°+70°)\)
\(x=\frac{1}{2}(142°)\)
\(x=71° \)

Вернуться к видео о геометрии

Другие ракурсы

Теорема 73:  Если касательная и диаметр пересекаются в точке касания, то они перпендикулярны друг другу.

На рисунке 1 диаметр AB пересекается с касательной в точке B . Согласно теореме 73 , AB ⊥  , что означает, что м ∠ ABC  = 90° и м ∠ ABD  = 90°.

Рисунок 1 Касательная к окружности и диаметр окружности, пересекающиеся в точке касания.

Теорема 74:  Если хорда перпендикулярна касательной в точке касания, то это диаметр.

Пример 1:   Теорему 74  можно использовать для нахождения центра окружности, если известны две касательные к окружности. На рисунке 2 – касается окружности в точке  P , – касается окружности в точке  S . Используйте эти факты, чтобы найти центр круга.

Рисунок 2 Нахождение центра окружности, когда известны две касательные к окружности.

Согласно Теореме 74 , если хорда проведена перпендикулярно P , это диаметр, а это значит, что она проходит через центр окружности.

Точно так же, если хорда проведена перпендикулярно точке

Рисунок 3 Аккорды, проведенные перпендикулярно касательным, помогают найти центр окружности.

Теорема 75:  Мера угла, образованного двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равна половине суммы мер дуг, захваченных этим углом и его вертикальным аналогом угла.

На рисунке 4 хорды AC и BD пересекаются внутри круга в точке

Рисунок 4 Углы, образованные двумя хордами, пересекающимися внутри окружности.

По Теорема 75: ,

Теорема 76:  Мера угла, образованного касательной и хордой, пересекающейся в точке касания, равна половине меры дуги, на которую она опирается.

На рис. 5 хорда QR и касательная пересекаются в точке R . По теореме 76 , м ∠1 = 1/2 ( м ) и м ∠ 2 = ½ ( м ).

Теорема 77:  Мера угла, образованного двумя секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности мер пересекаемых дуг.