Задачи на тригонометрические формулы, алгебра

Дата публикации: .

Задачи c ответами и рекомендациями по решению к учебнику Мордковича А.Г. на тему: «Тригонометрические формулы. Упрощение выражений. Доказательства тождеств»


Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Скачать:Тригонометрические формулы (PDF)


Ребята, мы предлагаем Вам решение некоторых типовых задач для 10 класса на тему: «Тригонометрические формулы». Опираясь на приведенные решения, попробуйте решить аналогичные задачи под номерами 7–12 и сверьте с правильными ответами.

1. Упростите выражение: $\frac{cos(4t)}{cos(2t)-sin(2t)}-cos(2t)$.

Решение.
$\frac{cos(4t)}{cos(2t)-sin(2t)}-cos(2t)= \frac{cos^2(2t)-sin^2(2t)}{cos(2t)-sin(2t)} — cos(2t)=$ $=\frac{(cos^(2t)-sin(2t))(cos(2t)+sin(2t))}{cos(2t)-sin(2t)} — cos(2t)=cos(2t)+ sin(2t)-cos(2t)=sin(2t)$. 2(t)$.
8. $x=\frac{πn}{10}$; $x=\frac{πn}{2}$.
10. 0.
11. $x=\frac{π}{4}+2πn$; n∈Z.
12. $x=\frac{π}{20}+\frac{πn}{10}$; $x=±\frac{π}{9}+\frac{2πn}{3}$.

Тригонометрия — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

  • Основные теоретические сведения
    • Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований
    • Основные тригонометрические формулы
    • Дополнительные тригонометрические формулы
    • Тригонометрические формулы приведения
    • Тригонометрическая окружность
    • Тригонометрические уравнения

 

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

К оглавлению…

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

  1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
  2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
  3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
  4. Верьте, что всё будет хорошо.

 

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла.  Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

 

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени.  Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

 

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению…

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

  • Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
  • Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
  • При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т. е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

 

Тригонометрическая окружность

К оглавлению…

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

  • Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
  • Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
  • При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
  • Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
  • Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
  • Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
  • Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Карьерные приложения — Реальный мир: тригонометрия

Художники: Большая часть природы следует шаблонам. Эти узоры моделируются такими формами, как треугольники, круги и эллипсы. Нравится абстракция? Абстрактное искусство также имеет аспекты тригонометрии.

Архитектура/Строительство:  Теорема Пифагора помогает в строительстве устойчивых зданий, мостов и т. д. .

Художники-мультипликаторы: Вы фанат Marvel или DC? В любом случае, оба этих комикса, в дополнение ко многим другим, используют тригонометрию для определения пропорций своих героев и злодеев.


Картологи: Я карта, я карта, я КАРТА! Любой тип карты… был создан с помощью триггера!

Инженеры по чистой энергии: Вы когда-нибудь задумывались, как смоделировать траекторию движения воздуха через воздушную ферму? Ты угадал, триггер!

Следователи на месте преступления: Следователи используют тригонометр для определения положения лиц, причастных к преступлению, точек входа и выхода пулевых ранений и т.

д. Что общего у этих фильмов? Хе-хе… Триггер! Цифровая визуализация с точки зрения анимации или любого типа компьютерного изображения использует тригонометрические уравнения для моделирования движений и поведения.

Пожарные: Определение угла, под которым можно войти в здание после повреждения конструкции, важно для безопасности пожарного и пострадавшего. Определение того, где расположить грузовик по отношению к огню, чтобы максимальное количество воды потушило огонь, обеспечивает минимальные потери воды.


Теория музыки: Оценка звуковых волн производится с точки зрения синуса и косинуса, а также изучение частот этих волн.


Бурение нефтяных скважин: Все дело в углах. При обнаружении нефтяной скважины рассчитываются траектории, обеспечивающие максимальную добычу нефти с минимальными потерями.

Пилоты: Просто переведите самолет в режим автопилота и пусть он летит сам, верно? НЕПРАВИЛЬНЫЙ! От пилотов требуется обширное знание триггеров.

Если вы занесете самолет под слишком крутым углом, вы разобьетесь.

Врачи: Вы когда-нибудь ломали кость? Вы получили касту? Хорошо, что ваш рентгенолог сделал триггер! Ортопеды, рентгенологи и другие врачи используют элементы тригонометрии для диагностики и лечения.

Смотрители парка: Оценка ландшафта и определение состояния леса требует измерения высоты деревьев и других растений в этом районе.

Моряки : Волны в океане действуют как синусоидальные и косинусоидальные волны. Использование тригонометрии позволяет морякам и военно-морским офицерам определять условия плавания и вероятность шторма.


Лесная промышленность: ДРЕВЕСИНА! Деревья необходимо спиливать под правильным углом, чтобы убедиться, что дерево не упадет на оборудование.

Если вы не заметили. .. большинство профессий и работ используют какой-то триггер. Думаешь, ты сможешь поставить нас в тупик? Отправьте название работы или карьеры на адрес [email protected], и мы покажем вам, что в ней используется триг!


Примеры применения тригонометрии в строительстве | Work

Даниэль Смит Обновлено 21 мая 2021 г.

Тригонометрия — один из краеугольных камней математики, физики и техники, использующий универсальные свойства треугольников для вычисления неизвестных расстояний и углов с ограниченной исходной информацией. Он используется астрофизиками для получения информации о небесных телах и инженерами для определения необходимых длин, углов и опор на основе прочности различных материалов. Из-за множества применений в строительстве базовые знания тригонометрии очень важны для многих строительных работ.

Тригонометрия в гражданском строительстве

Авторы SBE Builders объясняют, что, хотя тригонометрия происходит от греческих слов «trigōnon» и «metron», что означает треугольник и измерение соответственно, менее важным аспектом тригонометрии является то, что это метод вычисление значений x и y точки на периметре круга из его центра.

Многие работы используют тригонометрию. Авторы из Reference.com отмечают, что инженеры-строители входят в число многих профессий, ежедневно использующих тригонометрию. Гражданское строительство является важной частью строительного процесса, поскольку инженеры-строители проектируют сооружения до их возведения. Инженеры-строители взаимодействуют со строительными компаниями и подрядчиками, которые выполняют работы по их проектам.

Независимо от того, сколько раскосов требуется для поддержки моста, или планирования крутизны дороги вдоль холма, вокруг него или через холм, инженеры и бригады строителей очень сосредоточены на математике своих проектов, включая тригонометрию.

Мосты и строительство

Мосты, в частности, связаны с треугольниками и тригонометрией. Команда TeachEngineering предлагает краткий обзор истории и базовое или углубленное обучение по строительству мостов, объясняя, что изначально они были арками или простыми балками на короткие расстояния, и показывая, как они превратились в современные конструкции.

Глядя на многие исторические и некоторые современные мосты, вы увидите много повторяющихся и вложенных друг в друга треугольников. Треугольники равномерно распределяют вес с любого направления при правильном применении. Используя тригонометрию для решения задач, связанных с мостом, вы можете определить, какая сила будет приложена к стыкам между треугольниками и в каком направлении.

Хотя проектирование моста в виде одного огромного треугольника или пересечения двух треугольников кажется простым, часто для этого просто нет материалов или, по крайней мере, это экономически неэффективный метод. Кроме того, ландшафт местности, где должен быть построен мост, играет математическую роль в том, как в конечном итоге будет построен мост.

Тригонометрия в строительстве

Даже в небольших проектах вы найдете таких строителей, как плотники, ландшафтные дизайнеры и кровельщики, которые полагаются на тригонометрию для расчета необходимых углов и фитингов, чтобы эффективно и в достаточной степени соответствовать требованиям строительных норм и правил.

Авторы из журнала «Легкое строительство» описывают пошаговый метод сочетания тригонометрии и геометрии для более эффективного проектирования и создания конструкции крыши вместо того, чтобы измерять и резать каждое отдельное стропило или балку.

При регулировке уровня или уклона ландшафта, окружающего собственность, вы хотите наклонить его так, чтобы вода стекала от фундамента. Но как понять, где добавить или убрать землю? Вы уже догадались: тригонометрия. Команда Johnson Level описывает, как вы можете использовать лазер или веревку и колышки, спиртовой уровень и измерительную ленту, чтобы оценить, как ландшафт поднимается и опускается на расстоянии. Используя эту информацию, вы можете рассчитать угол, наклон или «градус», а также место, где вода будет течь естественным образом, и исправить его.

Команда Explore the Trades объясняет, что электрики, сантехники и специалисты по системам отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха используют тригонометрию для расчета наилучших углов, кривых и расстояний для обеспечения эффективного потока и равного давления воздуха и воды или наилучшего места для выключателей, розеток и приборов. .

В то время как алгебра и основы математики пригодятся вам в любой работе, особенно в строительстве, тригонометрия поможет вам понять, почему система отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха, мост или двор спроектированы именно так.

Ссылки

  • SBE Builders: Геометрия каркаса крыши
  • Ссылка: Как тригонометрия используется в гражданском строительстве?
  • TeachEngineering: Математика: Анализ сил в ферменном мосту
  • Журнал легкого строительства: Разметка и резка стропил Fast Jack
  • Компания Johnson Level & Tool Mfg. Какую математику используют в своей работе сантехники, электрики и специалисты по системам отопления, вентиляции и кондиционирования воздуха?

Писатель Биография

Даниэль Смит — писатель и контент-маркетолог из северной части штата Нью-Йорк. Она пишет на темы, связанные с бизнесом, уже почти 10 лет. Ей принадлежит собственное агентство контент-маркетинга Wordsmyth Creative Content Marketing, и она работает с рядом малых предприятий над разработкой контента B2B для их веб-сайтов, аккаунтов в социальных сетях и маркетинговых материалов.