Точка движется по окружности радиусом r с частотой обращения v: Page not found | Объединение учителей Санкт-Петербурга

Тренировочные задания.

Движение тела по окружности. Часть А.

Любое криволинейное движение можно представить

как движение по отрезкам прямых и дугам окружностей,

с радиусами R₁, R₂, R₃ R₁ R₂ R₃

А

В φ – угол поворота радиуса вектора

ω = Угловая скорость — физическая величина,

показывающая угловое перемещение за единицу времени.

Линейная скорость – физическая величина, показывающая путь,

пройденный телом за единицу времени.

V = где l – длина дуги АВ, R — радиус

Период – время одного оборота. Т = Единица измерения – 1 сек.

Частота – число оборотов за единицу времени. ν = Единица измерения – 1 Гц.

Связь линейной и угловой скорости: V = ω R;

При движении тела по окружности вектор перемещения направлен по хорде, вектор скорости – по касательной, а ускорение – к центру.

А

B а =

·O a

V_B

Тренировочные задания. Часть А. Движение тела по окружности.

1(6-2006) Кубик массой 100г лежит без скольжения на вращающемся горизонтальном диске на расстоянии 50 см от оси вращения, при этом относительно модуль скорости кубика равен 2 м/с. Центростремительное ускорение кубика равно: 1) 12, 5м/с²; 2) 0,08м/с²; 3) 8м/с²; 4) 25м/с²;

2.(ЕГЭ-07.Тр). Материальная точка, двигаясь равномерно А

по окружности против часовой стрелки, через 3 с

первый раз попала из точки А в точку В.

Частота обращения точки равна …

1); 2) ;3) ; 4) ; В

3.(ЕГЭ-07) Автомобиль движется с постоянной 1

по модулю скоростью по траектории,

представленной на рисунке. В какой из 2

указанных точек траектории центростремительное

ускорение максимально? 3

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) Во всех точках одинаково.

4.(1-07 ТР) Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R₁ и R₂ = 2R₁ с одинаковыми по модулю скоростями. Их периоды обращения по окружностям связаны соотношением 1) Т₁ = 0,5 Т₂ ; 2) Т₁ = Т₂; 3) Т₁ = 2Т₂; 4) Т₁ = 4Т₁;

5. (Дем. Вар 07). Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R₁ и R₂ = 2R₁. При условии равенства линейных скоростей точек их центростремительные ускорения связаны соотношением 1) а₁ = 2 а₂; 2) а₁ = а₂; 3) а₁ = 0,5 а₂; 4) а₁ = 4 а₂;

6.(62-06) Материальная точка движется по окружности. Как изменится величина ее центростремительного ускорения, если скорость увеличить в 2 раза, а радиус окружности в 2 раза уменьшить?

1) увеличится в 2 раза; 2) уменьшится в 2 раза; 3) увеличится в 4 раза; 4) уменьшится в 4 раза;

7.(254-05) Точка движется по окружности радиуса R со скоростью V. Как нужно изменить радиус окружности, сохранив скорость точки прежней, чтобы ее центростремительное ускорение при этом увеличилось вдвое? 1) увеличить в 2 раза; 2) увеличить в 4 раза; 3) уменьшить в 2 раза; 4) уменьшить в 4 раза;

8 (134-05) Самолет движется с постоянной по модулю скоростью по горизонтальной окружности. Как направлен вектор ускорения самолета при таком движении? 1) в плоскости окружности от ее центра. 2) в направлении вектора скорости. 3) противоположно вектору скорости.

4) в плоскости окружности к ее центру.

9. Материальная точка движется по окружности. Ее скорость увеличивают в 2 раза. Как нужно изменить радиус окружности, чтобы величина центростремительного ускорения точки не изменилась? 1) увеличить в 4 раза; 2) увеличить в 2 раза; 3) уменьшить в 2 раза; 4) уменьшить в 4 раза;

10. Автомобиль движется по окружности радиусом 100 м со скоростью 10 м/с. Центростремительное ускорение автомобиля равно 1) 1 м/с²; 2) 5 м/с² 3) 10 м/с² 4) 0,1 м/с².

11. При равномерном движении тела по окружности остается постоянной6 1) линейная скорость. 2) угловая скорость. 3) период обращения. 4) частота обращения.

12. Тело движется равномерно по окружности в направлении 2

против часовой стрелки. Какая стрелка (рис) указывает направление 2

вектора скорости при таком движении? 1

А)1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5; 5

13. . Тело движется равномерно по окружности в направлении 2

против часовой стрелки. Какая стрелка (рис) указывает направление 2

вектора ускорения при таком движении? 1

А)1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5; 5

14. Автомобиль массой 1000 кг движется по выпуклому мосту радиус кривизны которого равен 40 м. Какую скорость должен иметь автомобиль в верхней точке моста, чтобы пассажиры в этой точке почувствовали состояние невесомости?1) 0,05 м/с 2) 20 м/с 3) 25 м/с 4) 400 м/с

15. Чему равна линейная скорость верхней точки протектора колеса автомобиля относительно земли, если скорость движения автомобиля 15 м/с?

1) 0; 2) 15 м/с; 3) 30 м/с 4) 60 м/с;

16. Тело совершает 50 оборотов за π секунд. На каком расстоянии от оси вращения находится точка, движущаяся со скоростью 10 м/с

1) 0,1 м; 2) 1 м; 3) 0,2π м; 4) 0,1π м

17. Круглый диск радиусом R катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости, вращаясь с угловой скоростью ω. Чему равны скорости точек А, В, С (рис. ) относительно земли? 1) 0, ; 2ωR.2) ωR, ωR,ωR. 3) ; 2ωR.4) 0;2ωR ;/2;5) ) 0; 4ωR ;; 5

18. Циркулярная пила имеет диаметр D = 600 мм. На ось пилы насажен шкив диаметром d₁ = 300 мм, который приводится во вращение посредством ременной передачи от шкива диаметром d₂ = 120 мм, насаженного на вал электродвигателя (рис. 41). Какова скорость пилы, если вал двигателя совершает 1200 об/мин? ( Ответ: 15 м/с)

19. Шарик на стержне равномерно вращается в горизонтальной плоскости. На графике (рис. 42) представлена зависимость центростремительного ускорения шарика от его линейной скорости. Какова длина стержня? (Размеры шарика много меньше длины стержня.)

1) 1 м. 2)1,5 м. 3)З м. 4)9 м. 5)27м.

20. За 10 с точка прошла равномерно половину окружности, радиус которой 100 см. Определить линейную скорость.1)0,314м/с; 2) 0,1 м/с; 3)10 м/с; 4) 6,28 м/с;

21(136). Каков период вращения секундной, минутной и часовой стрелки часов? Какова частота вращения?

22(141). Скорость поезда 72 км/ч. Сколько оборотов в минуту делают колеса локомотива, радиус которых 1,2 м?1)2,65 об; 2)159об; 3) 38,2об; 4)60 об.

23(144). Обтачиваемый на токарном станке вал диаметром 80 мм вращается с частотой 600 об/мин. Определить скорость резания.

24.(254) Точка движется по окружности радиуса R со скоростью V. Как нужно изменить радиус окружности, сохранив скорость точки прежней, чтобы ее центростремительное ускорение при этом увеличилось вдвое? 1) увеличить в 2 раза; 2) увеличить в 4 раза; 3) уменьшить в 2 раза; 4) уменьшить в 4 раза;

25 (134) Самолет движется с постоянной по модулю скоростью по горизонтальной окружности. Как направлен вектор ускорения самолета при таком движении? 1) в плоскости окружности от ее центра. 2) в направлении вектора скорости. 3) противоположно вектору скорости.

4) в плоскости окружности к ее центру.

26. Материальная точка движется по окружности. Ее скорость увеличивают в 2 раза. Как нужно изменить радиус окружности, чтобы величина центростремительного ускорения точки не изменилась? 1) увеличить в 4 раза; 2) увеличить в 2 раза; 3) уменьшить в 2 раза; 4) уменьшить в 4 раза;

27. Автомобиль движется по окружности радиусом 100 м со скоростью 10 м/с. Центростремительное ускорение автомобиля равно 1) 1 м/с²; 2) 5 м/с² 3) 10 м/с² 4) 0,1 м/с².

150. Какова частота, и угловая скорость вращения колеса ветродвигателя, если за 2 мин (точно) колесо сделало 500 оборотов?

151. Во сколько раз угловая скорость минутной стрелки часов больше угловой скорости часовой стрелки?

152. На вал плотно насажены два шкива; диаметр первого 10 см, а второго 20см (сравнить угловые скорости шкивов.

154. Ветряное колесо радиусом 2,0 м делает 40,0 об/мин. Каково центростремительное ускорение концевых точек лопастей колеса? При какой частоте вращения центростремительное ускорение будет в 2 раза больше?

155. Какова линейная скорость тела, движущегося равномерно по окружности радиусом 3,0 м, если центростремительное ускорение равно 12 см/с2?

156. При постоянной скорости 900 км/ч самолет описывает вертикальную петлю. При каком радиусе петли центростремительное ускорение не превысит 5g?

157. Шкив вращается с угловой скоростью 50 рад/с. Определить центростремительные ускорения точек, находящихся на расстоянии 20 и 80 мм от оси вращения.

24(148). Определить угловые, скорости валов, Вращающихся с периодами Т₁ = 10 с, Т₂ = 0,050 с, Т₃ = 1,00∙10 с.

25(149). Определить угловые скорости валов, частоты, вращения которых 24, 60, 1800 об/мин.

Равномерное движение точки по окружности

Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения. Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость.

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть \(v = const,\) а изменяется только направление вектора скорости. Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует \( (a_r = 0),\) а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительным ускорением (нормальное ускорение) \(a_n\), или \(a_{цс}\). В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен \(a_{цс}=\frac{υ_2}{ R},\) где \(υ\) – линейная скорость, \(R\) – радиус окружности. \circ18\)’ . Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина \(\omega\), равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот: \(ω = \frac φ t \). Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени \(t: υ= \frac l t \). Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина \(l\) дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением \(l = Rφ\), где \(R\) – радиус окружности.

Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:

\(υ = \frac l t =\frac{ Rφ} t = Rω\), или \(υ = Rω\).

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности. 2\).

4.4 Равномерное круговое движение | University Physics Volume 1

Частица, совершающая круговое движение, может быть описана ее вектором положения [latex] \ overset {\ to} {r} (t). [/ latex] (Рисунок) показывает частицу, совершающую круговое движение против часовой стрелки. Когда частица движется по кругу, ее вектор положения сметает угол [латекс] \ тета [/ латекс] с осью x —. Вектор [латекс] \ overset {\ to} {r} (t) [/ latex], образующий угол [латекс] \ theta [/ latex] с осью x- , показан с его компонентами вдоль оси x — и y — оси.Величина вектора положения [латекс] A = | \ overset {\ to} {r} (t) | [/ latex] и также является радиусом круга, так что с точки зрения его компонентов,

Здесь [latex] \ omega [/ latex] — это постоянная, называемая угловой частотой частицы. Угловая частота измеряется в радианах (рад) в секунду и представляет собой просто количество радианов угловой меры, через которую проходит частица за секунду. {2} \ overset {\ to} {r} (t).{-7} \ text {s} = 200 \, \ text {ns} \ text {.} [/ Latex] Показана траектория протона. Угол, под которым протон движется по окружности, составляет 5,712 рад, что немного меньше одного полного оборота.

Значение

Мы выбрали начальное положение частицы на оси x —. Это было совершенно произвольно. Если бы была задана другая начальная позиция, у нас было бы другое конечное положение при t = 200 нс.

Равномерное круговое движение

Введение

Аппарат UCM

Рисунок 1

Рисунок 2

Процедура

Выравнивание прибора

• 1

  Чтобы примерно выровнять платформу, поместите пузырьковый уровень в середину платформы и отрегулируйте два регулировочных винта на основании устройства, пока пузырь не будет отцентрирован.

• 2

  Поместите дополнительную массу (~ 500 г) на тот же конец вращающейся платформы, что и вращающаяся масса. Если платформа неровная, тяжелый конец будет качаться в низкую сторону.

• 3

  Отрегулируйте регулировочные винты на ножках основания до тех пор, пока конец платформы не будет качаться равномерно при легком вращении рукой.

Установка радиуса

• 1

  Осторожно отсоедините вращающуюся массу от струн. Используйте весы, чтобы взвесить его, и запишите значение массы.

• 2

  Подвесьте вращающуюся гирю к боковой стойке и подсоедините шнур от пружины к гири.Убедитесь, что эта струна проходит под (а не за) маленьким шкивом на центральной стойке.

• 3

  Переместите кронштейн индикатора на центральной стойке в самое нижнее положение.

• 4

  Потяните вращающуюся массу в сторону от центральной стойки, пока оранжевый индикатор не окажется в центре кронштейна. Если струна, поддерживающая вращающийся груз, не является вертикальной, когда индикатор совмещен с кронштейном, боковую стойку следует перемещать внутрь или наружу, пока струна не станет вертикальной.Используйте вертикальную линию на боковой стойке, чтобы облегчить это выравнивание. При затягивании боковой стойки, нажмите на платформу, чтобы убедиться, что она надежно удерживается в вертикальном положении, и избегайте чрезмерного затягивания и поломки пластикового винта с накатанной головкой!

• 5

  Измерьте и запишите радиус вместе с оценкой погрешности на основании центровки.

• 6

  Теперь ваш аппарат должен быть готов к работе в максимально широком диапазоне центростремительных сил.(Почему это важно?) Центростремительную силу можно изменять, перемещая опору пружины вверх и вниз, при этом другие части устройства остаются на месте. Этот диапазон движение по центральной стойке должно составлять не менее 5 см, что соответствует диапазону натяжения пружины примерно 1,2 Н.

Установка величины центростремительной силы

• 1

  Прикрепите фиксирующий шкив к концу платформы, ближайшему к вращающейся массе. Прикрепите шнур к вращающейся массе и навесьте известную массу (начиная с 20 г) над зажимным роликом. Отрегулируйте прижимной шкив вверх или вниз по мере необходимости так, чтобы шнур между шкивом и вращающаяся масса расположена горизонтально. (Почему это важно?)

• 2

  Запишите значение этой статической массы , которая будет определять центростремительную силу.

• 3

  Отрегулируйте опору пружины по вертикали, пока оранжевый индикаторный диск не окажется в центре держателя индикатора. Теперь устройство должно быть выровнено, чтобы точно знать радиус движения вращающейся массы, когда платформа вращается.

КПП 1:
Прежде чем продолжить, попросите ТА проверить ваше устройство.

Измерение периода

• 1

  Снимите статическую массу и струну с вращающейся массы. (Зачем?)

• 2

  Поверните устройство, равномерно повернув стержень с накаткой по часовой стрелке. Уделите минуту, чтобы прочувствовать поворот платформы с постоянной скоростью. Увеличивайте скорость до тех пор, пока оранжевый индикаторный диск не окажется по центру кронштейна индикатора на центральной стойке.Это указывает на то, что струна, поддерживающая вращающуюся массу, вертикальна и, следовательно, масса находится на желаемом радиусе.

• 3

  Когда один партнер по лаборатории вращает платформу, другой должен использовать секундомер для измерения времени, необходимого для совершения одного оборота. Сделайте десять таких измерений.

• 4

  Альтернативный метод измерения среднего периода заключается в использовании секундомера для измерения времени для N (например, 10) оборотов и деления на N, чтобы получить T .Сделайте это хотя бы для одного испытания и сравните со значением, полученным с помощью процедуры, приведенной в шаге 3. Какой метод, по вашему мнению, более точен?

• 5

  Прежде чем продолжить, проверьте свои результаты для этой единственной точки данных и подтвердите, что ваше эмпирическое значение для вращающейся массы является разумным. Если ваш результат не имеет смысла, проанализируйте свою процедуру и исправьте все ошибки, прежде чем брать дополнительные данные.

КПП 2:
Перед тем, как продолжить, ваш технический специалист должен проверить ваши данные и результаты расчетов.

Изменение центростремительной силы

Анализ

• 1

  Вес статической массы, висящей на шкиве, равен центростремительной силе F , приложенной пружиной. Вычислите эту силу для каждого из пяти испытаний, умножив статическую массу на г , и запишите результаты.

• 2

  Для каждой центростремительной силы F вычислите средний период вращения T и его стандартную ошибку.

• 3

  Для каждого значения F рассчитайте ω ² и его неопределенность из

• 4

  Постройте график ω ² против F (с планками ошибок) и выполните аппроксимацию методом наименьших квадратов.

• 5

  Определите экспериментальное значение вращающейся массы, м , исходя из наклона графика и уравнения центростремительной силы.Определите пересечение и линейного соответствия вашим данным. Это то, чего вы ожидаете?

Обсуждение

Copyright © 2011 Advanced Instructional Systems, Inc. и Университет Северной Каролины | Кредиты

Страница не найдена | MIT

• Образование
• Исследование
• Инновации
• Прием + помощь
• Студенческая жизнь
• Новости
• Выпускников
• О MIT
• Подробнее ↓
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О MIT

Предложения или отзывы?

Веб-сайт класса физики

Круговое движение и гравитация: обзор набора задач

Этот набор из 27 задач нацелен на вашу способность комбинировать законы Ньютона и уравнения кругового движения и гравитации, чтобы анализировать движение объектов, движущихся по кругу, включая орбитальные спутники. Проблемы варьируются по сложности от очень простых и простых до очень сложных и сложных. Более сложные задачи обозначены цветом , синие задачи .

Характеристики движения объектов, движущихся по кругам

Объекты, движущиеся по кругу, имеют скорость, равную пройденному за время пути расстоянию. Расстояние по окружности эквивалентно длине окружности и рассчитывается как 2 • pi • R, где R — радиус.Время на один оборот по окружности называется периодом и обозначается символом T. Таким образом, средняя скорость объекта, движущегося по кругу, определяется выражением 2 • pi • R / T. Часто в постановке задачи указывается частота вращения в оборотах в минуту или в оборотах в секунду. Каждый оборот по окружности эквивалентен длине окружности. Таким образом, умножение частоты вращения на длину окружности позволяет определить среднюю скорость объекта.

Ускорение объектов, движущихся по кругу, в первую очередь основано на изменении направления. Фактическая скорость ускорения зависит от того, насколько быстро меняется направление, и напрямую связана со скоростью, и обратно пропорциональна радиусу поворота. В итоге ускорение определяется выражением v ² / R, где v — скорость, а R — радиус окружности.

Уравнения для средней скорости (v) и среднего ускорения (a) приведены ниже.

v = d / t = 2 • pi • R / T = частота • 2 • pi • R
а = v ² / R

Направленные величины для объектов, движущихся по кругам

Успешный математический анализ объектов, движущихся по кругу, во многом зависит от концептуального понимания направления вектора ускорения и результирующей силы. Движение по круговой траектории требует чистой силы, направленной к центру круга.В каждой точке пути результирующая сила должна быть направлена ​​внутрь. Хотя может существовать отдельная сила, направленная наружу, должна быть внутренняя сила, которая подавляет ее по величине и удовлетворяет требованию для внутренней чистой силы. Поскольку чистая сила и ускорение всегда в одном направлении, ускорение объектов, движущихся по кругу, также должно быть направлено внутрь.

Диаграммы свободного тела и второй закон Ньютона

Часто силовой анализ необходимо проводить для объекта, движущегося по кругу.Цель анализа — определить величину отдельной силы, действующей на объект, или использовать значения отдельных сил для определения ускорения. Как и любая задача анализа сил, эти задачи должны начинаться с построения диаграммы свободного тела, показывающей тип и направление всех сил, действующих на объект. Из диаграммы F _net = m • можно написать уравнение. При написании уравнения помните, что сеть F представляет собой векторную сумму всех индивидуальных сил.Лучше всего это записывать, складывая все силы, действующие в направлении ускорения (внутрь), и вычитая те, которые ему противостоят. Два примера показаны на рисунке ниже.

Закон всемирного тяготения Ньютона

Орбитальные спутники — это просто снаряды — объекты, на которые действует только сила тяжести. Сила, управляющая их движением, — это сила гравитационного притяжения к объекту, который находится в центре их орбиты.Планеты вращаются вокруг Солнца в результате гравитационной силы притяжения к Солнцу. Естественные луны вращаются вокруг планет в результате гравитационной силы притяжения к планете. Гравитация — это сила, которая действует на больших расстояниях таким образом, что любые два объекта с массой будут притягиваться. Ньютон был первым, кто предложил теорию, чтобы описать это универсальное массовое притяжение и выразить его математически. Закон, известный как закон всемирного тяготения, гласит, что сила гравитационного притяжения прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. В форме уравнения

F _grav = G • m ₁ • m ₂ / d ²

где m ₁ и m ₂ — массы притягивающих объектов (в кг), d — расстояние разделения, измеренное от центра объекта до центра объекта (в метрах), а G — константа пропорциональности (иногда называемая всемирная гравитационная постоянная). Значение G составляет 6,673 x 10 ^-11 Н • м ² / кг ² .

Ускорение свободного падения

Поскольку на орбитальные спутники действует только сила тяжести, их ускорение является ускорением силы тяжести (g). На земной поверхности это значение составило 9,8 м / с ² . Для местоположений, отличных от поверхности Земли, необходимо уравнение, которое выражает g через соответствующие переменные. Ускорение свободного падения зависит от массы объекта, который находится в центре орбиты (M _{центральный} ) и расстояния разделения от этого объекта (d). Уравнение, связывающее эти две переменные с ускорением свободного падения, выводится из закона всемирного тяготения Ньютона. Уравнение

g = G • M _{центральный} / d ²

где G составляет 6,673 x 10 ^-11 Н • м ² / кг ² .

Орбитальная скорость

Скорость, необходимая для того, чтобы спутник оставался на орбите вокруг центрального тела (планеты, солнца, другой звезды и т. Д.).) зависит от радиуса орбиты и массы центрального тела. Уравнение, выражающее связь между этими переменными, получается путем объединения определений ускорения кругового движения с законом всемирного тяготения Ньютона. Уравнение

v = SQRT (G • M _{центральный} / R)

где M _central — это масса центрального тела, вокруг которого вращается спутник, R — радиус орбиты, а G — 6,673 x 10 ^-11 Н • м ² / кг ² .

Орбитальный период

Для общего движения объекта по кругу период связан с радиусом круга и скоростью объекта уравнением v = 2 • pi • R / T. В случае орбитального спутника это уравнение для скорости можно приравнять к уравнению для орбитальной скорости, полученной из всемирного тяготения, чтобы получить новое уравнение для орбитального периода. Результат вывода —

T ² / R ³ = 4 • pi ² / (G • M _{центральный} )

где M _central — масса центрального тела, вокруг которого вращается спутник, R — радиус орбиты, а G — 6.673 x 10 ^-11 Н • м ² / кг ² . Выраженное таким образом уравнение показывает, что отношение квадрата периода к радиусу в кубе для любого спутника, вращающегося вокруг центрального тела, одинаково независимо от природы спутника или радиуса его орбиты. Это соотношение зависит только от массы объекта, который втягивает орбитальный спутник внутрь. Этот принцип согласуется с третьим законом движения планет Кеплера.

Резюме математических формул

Одна из трудностей, с которыми студент может столкнуться в этом наборе задач, — это путаница относительно того, какую формулу использовать.В приведенной ниже таблице приводится полезное резюме формул, относящихся к круговому движению и движению спутника. В таблице многие формулы получены из других уравнений. Таким образом, часто будет несколько способов определения неизвестной величины. Подходя к этим проблемам, рекомендуется практиковать обычные привычки эффективного решателя проблем; определить известные и неизвестные величины в виде символов физических формул, наметить стратегию использования известных для решения неизвестного, а затем, наконец, выполнить необходимые алгебраические шаги и замены, необходимые для решения.

Привычки эффективного решателя проблем

Эффективный решатель проблем по привычке подходит к физической проблеме таким образом, чтобы отражать набор дисциплинированных привычек. Хотя не все эффективные специалисты по решению проблем используют один и тот же подход, все они имеют общие привычки. Эти привычки кратко описаны здесь. Эффективное решение проблем …

• … внимательно читает задачу и создает мысленную картину физической ситуации. При необходимости они набрасывают простую схему физической ситуации, чтобы помочь визуализировать ее.
• … определяет известные и неизвестные величины в организованном порядке, часто записывая их на диаграмме.Они приравнивают заданные значения к символам, используемым для представления соответствующей величины (например, m = 61,7 кг, v = 18,5 м / с, R = 30,9 м, F _norm = ???).
• … строит стратегию решения неизвестной величины; стратегия, как правило, сосредоточена вокруг использования физических уравнений и во многом зависит от понимания физических принципов.
• … определяет подходящую (ые) формулу (ы) для использования, часто записывая их. При необходимости они выполняют необходимое преобразование количеств в правильные единицы.
• … выполняет подстановки и алгебраические манипуляции, чтобы найти неизвестную величину.

Подробнее …

Дополнительная литература / Учебные пособия:

Следующие страницы учебного пособия по физике могут быть полезны для понимания концепций и математики, связанных с этими проблемами.

Набор задач кругового движения и гравитации

Просмотреть набор задач

Решения с аудиогидом для кругового движения и гравитации

6.3 Центростремительная сила — Университетская физика, том 1

Цели обучения

К концу раздела вы сможете:

• Объясните уравнение центростремительного ускорения
• Примените второй закон Ньютона, чтобы получить уравнение для центростремительной силы
• Используйте концепции кругового движения при решении задач, связанных с законами движения Ньютона

В «Движении в двух и трех измерениях» мы рассмотрели основные концепции кругового движения. Объект, совершающий круговое движение, как одна из гоночных машин, показанных в начале этой главы, должен ускоряться, потому что он меняет направление своей скорости. Мы доказали, что это центрально направленное ускорение, называемое центростремительным ускорением , задается формулой

где v — скорость объекта, направленная по касательной к кривой в любой момент времени. Если мы знаем угловую скорость

, тогда мы можем использовать

Угловая скорость показывает скорость, с которой объект поворачивает кривую, в рад / с.Это ускорение действует по радиусу криволинейной траектории и поэтому также называется радиальным ускорением.

Ускорение должно производиться силой. Любая сила или комбинация сил могут вызвать центростремительное или радиальное ускорение. Вот лишь несколько примеров: натяжение веревки на тросе, сила притяжения Земли на Луне, трение между роликовыми коньками и полом катка, сила наклона проезжей части, действующая на автомобиль, и силы, действующие на трубу вращающейся центрифуги. . Любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение, называется центростремительной силой .Направление центростремительной силы — к центру кривизны, то же самое, что и направление центростремительного ускорения. Согласно второму закону движения Ньютона, чистая сила равна массе, умноженной на ускорение:

Для равномерного кругового движения ускорением является центростремительное ускорение: _.

Таким образом, величина центростремительной силы

это

Подставляя выражения для центростремительного ускорения

получаем два выражения для центростремительной силы

по массе, скорости, угловой скорости и радиусу кривизны:

Вы можете использовать любое более удобное выражение для центростремительной силы.Центростремительная сила

всегда перпендикулярно траектории и указывает на центр кривизны, потому что

перпендикулярно скорости и указывает на центр кривизны. Обратите внимание, что если вы решите первое выражение для r , вы получите

Это означает, что для данной массы и скорости большая центростремительная сила вызывает малый радиус кривизны, то есть резкую кривую, как на (Рисунок).

, тем меньше радиус кривизны r и круче кривая. У второй кривой такой же v, но больше

дает меньшее r ‘.

Пример

Какой коэффициент трения нужен автомобилям на плоской кривой?

(a) Рассчитайте центростремительную силу, действующую на 900.Автомобиль весом 0 кг, который преодолевает поворот радиусом 500,0 м со скоростью 25,00 м / с. (b) Предполагая, что кривая без кренована, найдите минимальный статический коэффициент трения между шинами и дорогой, поскольку статическое трение является причиной, по которой автомобиль не скользит ((Рисунок)).

Стратегия

1. Мы знаем, что

   Таким образом,

2. (рисунок) показывает силы, действующие на автомобиль на кривой без наклона (ровной поверхности). Трение направлено влево, предотвращая скольжение автомобиля, и поскольку это единственная горизонтальная сила, действующая на автомобиль, трение в данном случае является центростремительной силой. Мы знаем, что максимальное статическое трение (при котором шины катятся, но не скользят) составляет

   где

   — статический коэффициент трения, а Н, — нормальная сила. Нормальная сила равна массе автомобиля на ровной поверхности, поэтому

   Таким образом, центростремительная сила в данной ситуации равна

   Теперь у нас есть связь между центростремительной силой и коэффициентом трения. Используя уравнение

   получаем

   Решаем это для

   , отмечая, что масса отменяется, и получаем

   Замена известных,

   (Поскольку коэффициенты трения являются приблизительными, ответ дается только двумя цифрами.)

Значение

Коэффициент трения, указанный на (Рисунок) (b), намного меньше, чем обычно наблюдается между шинами и дорогой. Автомобиль все еще движется по кривой, если коэффициент больше 0,13, потому что трение покоя — это сила реакции, которая может принимать значение меньше, но не больше

Более высокий коэффициент также позволит автомобилю преодолевать поворот на более высокой скорости, но если коэффициент трения меньше, безопасная скорость будет меньше 25 м / с. Обратите внимание, что масса отменяется, что означает, что в этом примере не имеет значения, насколько сильно загружена машина для прохождения поворота. Масса сокращается, потому что трение считается пропорциональным нормальной силе, которая, в свою очередь, пропорциональна массе. Если бы поверхность дороги была наклонной, нормальная сила была бы меньше, как обсуждается далее.

Проверьте свое понимание

Автомобиль, движущийся со скоростью 96,8 км / ч, движется по круговой кривой радиусом 182,9 м по ровной проселочной дороге. Какой должен быть минимальный коэффициент статического трения, чтобы автомобиль не скользил?

[показать-ответ q = ”694795 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 694795 ″] 0.40 [/ hidden-answer]

Кривые с наклоном

Давайте теперь рассмотрим кривых с наклоном , где наклон дороги помогает вам преодолевать кривую ((Рисунок)). Чем больше угол

, тем быстрее вы сможете пройти кривую. Например, гоночные трассы для велосипедов и автомобилей часто имеют крутые повороты. На «кривой с идеальным наклоном» угол

такова, что вы можете преодолевать поворот на определенной скорости без трения между шинами и дорогой.Получим выражение для

для кривой с идеальным наклоном и рассмотрим связанный с ней пример.

Для с идеальным креном чистая внешняя сила равна горизонтальной центростремительной силе в отсутствие трения. Составляющие нормальной силы Н в горизонтальном и вертикальном направлениях должны равняться центростремительной силе и массе автомобиля соответственно.В случаях, когда силы не параллельны, удобнее всего рассматривать компоненты вдоль перпендикулярных осей — в данном случае вертикального и горизонтального направлений.

(рисунок) показывает диаграмму свободного тела для автомобиля на кривой без трения с наклоном. Если угол

идеально подходит для скорости и радиуса, тогда чистая внешняя сила равна необходимой центростремительной силе. На автомобиль действуют только две внешние силы — это его вес

и нормальная сила дороги

(Поверхность без трения может оказывать только силу, перпендикулярную поверхности, то есть нормальную силу.Эти две силы должны складываться, чтобы получить чистую внешнюю силу, горизонтальную по направлению к центру кривизны и имеющую величину

Поскольку это решающая сила и она горизонтальна, мы используем систему координат с вертикальной и горизонтальной осями. Только нормальная сила имеет горизонтальную составляющую, поэтому она должна равняться центростремительной силе, то есть

Поскольку автомобиль не отрывается от поверхности дороги, чистая вертикальная сила должна быть равна нулю, что означает, что вертикальные компоненты двух внешних сил должны быть равными по величине и противоположными по направлению. Из (Рисунок) мы видим, что вертикальная составляющая нормальной силы равна

, а единственная другая вертикальная сила — это вес автомобиля. Они должны быть равными по величине; таким образом,

Теперь мы можем объединить эти два уравнения, чтобы исключить N и получить выражение для

, по желанию. Решение второго уравнения для

и подставив его в первое, получим

Взяв арктангенс, получаем

Это выражение можно понять, рассмотрев, как

зависит от v и r .Большой

получается для большого v и маленького r. То есть дороги должны иметь крутой уклон для высоких скоростей и крутых поворотов. Трение помогает, потому что оно позволяет вам двигаться по кривой с большей или меньшей скоростью, чем если бы по кривой не было трения. Обратите внимание, что

не зависит от массы автомобиля.

Пример

Какая идеальная скорость для прохождения крутой крутой кривой?

Кривые на некоторых испытательных треках и гоночных трассах, таких как Международная гоночная трасса Дейтона во Флориде, имеют очень крутой наклон.Этот вираж с помощью трения шин и очень стабильной конфигурации автомобиля позволяет преодолевать повороты на очень высокой скорости. Чтобы проиллюстрировать это, вычислите скорость, с которой кривая радиусом 100,0 м выходит на угол

следует ездить, если на дороге нет трения.

Стратегия

Прежде всего отметим, что все члены в выражении для идеального угла кривой с наклоном, кроме скорости, известны; таким образом, нам нужно только переставить его так, чтобы скорость отображалась слева, а затем подставить известные величины.

Решение

Начиная с

получаем

Отметив, что

получаем

Значение

Это примерно 165 км / ч, что соответствует очень крутому и довольно крутому повороту. Трение шин позволяет автомобилю двигаться по кривой на значительно более высоких скоростях.

Самолеты также совершают развороты по крену. Подъемная сила, создаваемая силой воздуха, воздействующего на крыло, действует под прямым углом к ​​крылу.Когда самолет кренится, пилот получает большую подъемную силу, чем необходимо для горизонтального полета. Вертикальная составляющая подъемной силы уравновешивает вес самолета, а горизонтальная составляющая ускоряет самолет. Угол крена, показанный на (Рисунок), равен

. Мы анализируем силы так же, как и в случае поворота автомобиля по кривой.

. Сравните векторную диаграмму с диаграммой, показанной на (Рисунок).

Силы инерции и неинерциальные (ускоренные) кадры: сила Кориолиса

Что общего между взлетом на реактивном самолете, поворотом на машине, катанием на карусели и круговым движением тропического циклона? Каждый из них демонстрирует силы инерции — силы, которые кажутся просто возникающими в результате движения, потому что система отсчета наблюдателя ускоряется или вращается. Большинство людей согласятся, что при взлете на реактивном самолете создается ощущение, будто вас толкают обратно в кресло, когда самолет ускоряется по взлетно-посадочной полосе. Однако физик сказал бы, что вы, , склонны оставаться неподвижными, в то время как сиденье толкает вас вперед. Еще более распространенный опыт происходит, когда вы делаете крутой поворот на своей машине, скажем, вправо ((рисунок)). Вы чувствуете, как будто вас отбрасывает (то есть форсированный ) влево относительно машины. Опять же, физик сказал бы, что вы, , движетесь по прямой (вспомните первый закон Ньютона), но автомобиль движется вправо, а не то, что вы испытываете силу слева.

Мы можем согласовать эти точки зрения, исследуя используемые системы координат.Давайте сконцентрируемся на людях в машине. Пассажиры инстинктивно используют автомобиль в качестве ориентира, тогда как физик может использовать Землю. Физик мог бы сделать этот выбор, потому что Земля является почти инерциальной системой отсчета, в которой все силы имеют идентифицируемое физическое происхождение. В такой системе отсчета законы движения Ньютона принимают форму, данную в Законах Ньютона. Автомобиль представляет собой неинерциальную систему отсчета , потому что он ускоряется в сторону. Сила слева, воспринимаемая пассажирами автомобиля, — это сила инерции , не имеющая физического происхождения (она возникает исключительно из-за инерции пассажира, а не из-за какой-либо физической причины, такой как напряжение, трение или гравитация).Автомобиль, как и водитель, действительно ускоряется вправо. Эта сила инерции называется силой инерции, потому что она не имеет физического происхождения, например гравитации.

Физик выберет ту систему отсчета, которая наиболее удобна для анализируемой ситуации. Для физика, как обычно, нет проблем с включением сил инерции и второго закона Ньютона, если это удобнее, например, на карусели или на вращающейся планете. Неинерционные (ускоренные) системы отсчета используются, когда это полезно.При обсуждении движения космонавта в космическом корабле, движущемся со скоростью, близкой к скорости света, необходимо учитывать различные системы отсчета, как вы это поймете при изучении специальной теории относительности.

Давайте теперь мысленно прокатимся на карусели — а именно, на быстро вращающейся игровой площадке ((Рисунок)). Вы берете карусель в качестве системы отсчета, потому что вы вращаетесь вместе. Вращаясь в этой неинерциальной системе отсчета, вы чувствуете инерционную силу, которая имеет тенденцию сбивать вас с толку; это часто называют центробежной силой (не путать с центростремительной силой). Центробежная сила — это широко используемый термин, но на самом деле его не существует. Вы должны держаться крепче, чтобы противодействовать своей инерции (которую люди часто называют центробежной силой). В системе отсчета Земли нет силы, пытающейся сбить вас с толку; мы подчеркиваем, что центробежная сила — это фикция. Вы должны держаться, чтобы заставить себя двигаться по кругу, потому что в противном случае вы бы пошли по прямой, прямо с карусели, в соответствии с первым законом Ньютона. Но сила, которую вы прилагаете, действует к центру круга.

и голов по прямой). Сила,

, необходим для создания кругового пути.

Этот инерционный эффект, уносящий вас от центра вращения, если нет центростремительной силы, вызывающей круговое движение, хорошо используется в центрифугах ((Рисунок)). Центрифуга вращает образец очень быстро, как упоминалось ранее в этой главе. Если смотреть из вращающейся системы координат, сила инерции выбрасывает частицы наружу, ускоряя их осаждение. Чем больше угловая скорость, тем больше центробежная сила. Но на самом деле происходит то, что инерция частиц уносит их по линии, касательной к окружности, в то время как пробирка движется по круговой траектории центростремительной силой.

Давайте теперь рассмотрим, что происходит, если что-то движется во вращающейся системе отсчета.Например, что, если вы сдвинете мяч прямо от центра карусели, как показано на (Рисунок)? Мяч движется по прямой относительно Земли (при незначительном трении) и по изогнутой вправо траектории на поверхности карусели. Человек, стоящий рядом с каруселью, видит, как мяч движется прямо, а под ним вращается карусель. В системе отсчета карусели мы объясняем кажущуюся кривую вправо с помощью силы инерции, называемой силой Кориолиса , которая заставляет мяч изгибаться вправо.Сила Кориолиса может быть использована любым человеком в этой системе отсчета, чтобы объяснить, почему объекты следуют изогнутыми путями, и позволяет нам применять законы Ньютона в неинерциальных системах отсчета.

До сих пор мы считали Землю инерциальной системой отсчета, почти не беспокоясь о эффектах, возникающих из-за ее вращения, или совсем не волновались. Однако такие эффекты и существуют — например, во вращении погодных систем. Большинство последствий вращения Земли качественно можно понять по аналогии с каруселью. Если смотреть сверху на Северный полюс, Земля вращается против часовой стрелки, как и карусель на (Рисунок). Как и в случае с каруселью, любое движение в Северном полушарии Земли испытывает силу Кориолиса вправо.Прямо противоположное происходит в Южном полушарии; там сила слева. Поскольку угловая скорость Земли мала, сила Кориолиса обычно незначительна, но для крупномасштабных движений, таких как характер ветра, она оказывает существенное влияние.

Сила Кориолиса заставляет ураганы в северном полушарии вращаться против часовой стрелки, тогда как тропические циклоны в южном полушарии вращаются по часовой стрелке. (Термины ураган, тайфун и тропический шторм являются региональными названиями циклонов, которые представляют собой штормовые системы, характеризующиеся центрами низкого давления, сильными ветрами и проливными дождями.) (Рисунок) помогает показать, как происходят эти вращения. Воздух течет в любую область низкого давления, а тропические циклоны имеют особенно низкое давление. Таким образом, ветры движутся к центру тропического циклона или погодной системы низкого давления на поверхности. В Северном полушарии эти внутренние ветры отклоняются вправо, как показано на рисунке, создавая циркуляцию против часовой стрелки на поверхности для зон низкого давления любого типа. Низкое давление у поверхности связано с поднимающимся воздухом, который также вызывает охлаждение и образование облаков, что делает картины низкого давления вполне заметными из космоса.И наоборот, циркуляция ветра вокруг зон высокого давления в Южном полушарии происходит по часовой стрелке, но она менее заметна, потому что высокое давление связано с опусканием воздуха, обеспечивающим чистое небо.

Вращение тропических циклонов и траектория шара на карусели также могут быть объяснены инерцией и вращением системы под ним. Когда используются неинерциальные системы отсчета, для объяснения искривленной траектории должны быть изобретены силы инерции, такие как сила Кориолиса.Физического источника этих сил инерции нет. В инерциальной системе отсчета инерция объясняет путь, и не обнаруживается силы без идентифицируемого источника. Любая точка зрения позволяет нам описывать природу, но взгляд в инерциальной системе отсчета является самым простым в том смысле, что все силы имеют истоки и объяснения.

Концептуальные вопросы

Если вы хотите уменьшить нагрузку (которая связана с центростремительной силой) на высокоскоростные шины, вы бы использовали шины большого или малого диаметра? Объясни.

Определите центростремительную силу. Может ли сила любого типа (например, натяжение, сила тяжести, трение и т. Д.) Быть центростремительной силой? Может ли любое сочетание сил быть центростремительной силой?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165039453744 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165039453744 ″]

Центростремительная сила определяется как любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение. Центростремительная сила — это не новый вид силы. Метка «центростремительная» относится к любой силе , которая заставляет что-то вращаться по кругу. Эта сила может быть напряжением, гравитацией, трением, электрическим притяжением, нормальной силой или любой другой силой. Любая их комбинация может быть источником центростремительной силы, например, центростремительная сила в верхней части траектории троса, проходящего через вертикальный круг, является результатом как натяжения, так и силы тяжести.

[/ hidden-answer]

Если центростремительная сила направлена ​​к центру, почему вы чувствуете, что вас «отбрасывает» от центра, когда машина движется по кривой? Объясни.

Водители гоночных автомобилей обычно срезают углы, как показано ниже (Путь 2). Объясните, как это позволяет снимать кривую с максимальной скоростью.

[раскрыть-ответ q = «329939 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =» 329939 ″] Водитель, который срезает угол (на пути 2), имеет более плавную кривую с большей радиус. Это будет лучшая гоночная трасса. Если водитель слишком быстро завернет за угол, используя гоночную трассу, он все равно соскользнет с трассы; Ключевым моментом является максимальное значение статического трения. Итак, водитель хочет максимально возможной скорости и максимального трения. Рассмотрим уравнение для центростремительной силы:

где v — скорость, а r — радиус кривизны. Таким образом, уменьшая кривизну (1 / r) пути, по которому движется автомобиль, мы уменьшаем силу, которую шины должны оказывать на дорогу, что означает, что теперь мы можем увеличить скорость v. Глядя на это с точки зрения вид водителя на Пути 1, мы можем рассуждать так: чем круче поворот, тем меньше радиус поворота; чем меньше диаметр поворота, тем больше требуется центростремительная сила.Если эта центростремительная сила не действует, результатом будет занос. [/ Hidden-answer]

Во многих парках развлечений есть аттракционы с вертикальными петлями, как показано ниже. В целях безопасности вагоны прикреплены к рельсам таким образом, чтобы они не могли упасть. Если автомобиль преодолевает вершину с правильной скоростью, только сила тяжести будет обеспечивать центростремительную силу. Какая еще сила действует и в каком направлении, если:

(a) Автомобиль переезжает через вершину быстрее этой скорости?

(b) Автомобиль переезжает через вершину со скоростью ниже этой?

Что заставляет воду удаляться с одежды в центрифуге?

[show-answer q = ”fs-id1165039477270 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165039477270 ″]

Цилиндр сушилки создает центростремительную силу на одежде (включая капли воды), заставляя ее двигаться по круговой траектории. Когда капля воды попадает в одно из отверстий бочки, она перемещается по касательной к окружности.

[/ hidden-answer]

Когда фигурист образует круг, какая сила отвечает за его поворот? Используйте в своем ответе диаграмму свободного тела.

Предположим, что ребенок едет на карусели на расстоянии примерно посередине между ее центром и краем. У нее есть коробка для завтрака, стоящая на вощеной бумаге, так что между ней и каруселью очень мало трения.По какому пути, показанному ниже, пойдет коробка для завтрака, когда она отпустит? Ланч-бокс оставляет след в пыли на карусели. Эта тропа прямая, изогнута влево или вправо? Поясните свой ответ.

[раскрыть-ответ q = ”60053 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 60053 ″] Если нет трения, значит и центростремительной силы нет. Это означает, что коробка для завтрака будет двигаться по касательной к кругу и, таким образом, будет следовать по пути B. След пыли будет прямым. Это результат первого закона движения Ньютона. [/ Hidden-answer]

Чувствуете ли вы, что вас бросает в любую сторону, когда вы проезжаете поворот, идеально подходящий для скорости вашего автомобиля? В каком направлении на вас действует автокресло?

Предположим, что масса движется по круговой траектории на столе без трения, как показано ниже. В земной системе координат центробежная сила, оттягивающая массу от центра вращения, отсутствует, но есть сила, растягивающая нить, прикрепляющую массу к гвоздю.Используя концепции, связанные с центростремительной силой и третьим законом Ньютона, объясните, какая сила натягивает струну, указав ее физическое происхождение.

[показать-ответ q = ”965193 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 965193 ″] Для поддержания кругового движения необходима центростремительная сила; это обеспечивается гвоздем в центре. Третий закон Ньютона объясняет это явление. Сила воздействия — это сила струны, действующая на массу; сила реакции — это сила массы на струне. Эта сила реакции заставляет струну растягиваться. [/ Hidden-answer]

Когда сливают унитаз или слив из раковины, вода (и другие материалы) по пути вниз начинает вращаться вокруг слива. Предполагая, что начального вращения нет и поток изначально направлен прямо к водостоку, объясните, что вызывает вращение и какое направление оно имеет в Северном полушарии. (Обратите внимание, что это небольшой эффект, и в большинстве туалетов вращение вызывается направленными струями воды.) Будет ли направление вращения измениться на противоположное, если вода будет вытесняться в канализацию?

Автомобиль объезжает поворот и наталкивается на кусок льда с очень низким коэффициентом кинетической фиксации.Автомобиль съезжает с дороги. Опишите путь, по которому машина съезжает с дороги.

[Показать-ответ q = ”fs-id116503

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503

Поскольку радиальное трение с шинами обеспечивает центростремительную силу, а трение почти равно нулю, когда автомобиль сталкивается со льдом, автомобиль подчиняется первому закону Ньютона и съезжает с дороги по прямой линии, касательной к кривой. Распространенное заблуждение состоит в том, что автомобиль будет двигаться по извилистой дороге за пределами дороги.

[/ hidden-answer]

Во время одной поездки в парке развлечений всадники входят в большую вертикальную бочку и становятся у стены на ее горизонтальном полу. Бочка раскручивается, и пол падает. Всадники чувствуют себя так, как будто они прижаты к стене силой, похожей на силу гравитации. Это сила инерции, которую всадники воспринимают и используют для объяснения событий во вращающейся системе отсчета ствола. Объясните в инерциальной системе отсчета (Земля почти что одна), что прижимает всадников к стене, и определите все силы, действующие на них.

Два друга разговаривают. Анна говорит, что спутник на орбите находится в свободном падении, потому что спутник продолжает падать на Землю. Том говорит, что спутник на орбите не находится в свободном падении, потому что ускорение свободного падения не равно

. С кем вы согласны и почему?

[show-answer q = ”fs-id116503

36 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503

36 ″]

Анна права. Спутник свободно падает на Землю из-за силы тяжести, хотя сила тяжести на высоте спутника слабее, и g — это не

.Свободное падение не зависит от стоимости г ; то есть вы можете испытать свободное падение на Марсе, если спрыгнете с Олимпа (самого высокого вулкана в Солнечной системе).
[/ hidden-answer]

Невращающаяся система отсчета, помещенная в центр Солнца, очень близка к инерциальной. Почему это не совсем инерциальная система отсчета?

Проблемы

(a) Ребенок весом 22,0 кг катается на детской карусели, которая вращается со скоростью 40,0 об / мин. Какая центростремительная сила действует, если он равен 1.25 м от центра? (b) Какая центростремительная сила действует, если карусель вращается со скоростью 3,00 об / мин и находится на расстоянии 8,00 м от ее центра? (c) Сравните каждую силу с его весом.

[show-answer q = ”fs-id116503

11 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503

11 ″]

а. 483 Н; б. 17,4 Н; c. 2,24, 0,0807

[/ hidden-answer]

Рассчитайте центростремительную силу на конце лопасти ветряной турбины радиусом 100 м, которая вращается на 0.5 об / с. Предположим, что масса 4 кг.

Каков идеальный угол крена для пологого поворота радиусом 1,20 км на шоссе с ограничением скорости 105 км / ч (около 65 миль / ч), если все едут на пределе?

[show-answer q = ”fs-id1165039344901 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165039344901 ″]

[/ hidden-answer]

Какова идеальная скорость для прохождения кривой радиусом 100,0 м с наклоном на

угол?

(а) Каков радиус бобслейного поворота с креном

и взято в 30.0 м / с при условии идеального наклона? (b) Рассчитайте центростремительное ускорение. (c) Вам кажется это ускорение большим?

[show-answer q = ”fs-id116503

09 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503

09 ″]

а. 24,6 м; б.

г. 3,73 раза г
[/ hidden-answer]

Часть езды на велосипеде включает наклон под правильным углом при повороте, как показано ниже. Чтобы быть стабильным, сила, действующая на землю, должна быть на линии, проходящей через центр тяжести.Сила, действующая на колесо велосипеда, может быть разделена на две перпендикулярные составляющие: трение параллельно дороге (оно должно обеспечивать центростремительную силу) и вертикальную нормальную силу (которая должна равняться весу системы). а) Покажите, что

(как показано) относится к скорости v и радиусу кривизны r поворота так же, как и для проезжей части с идеальным уклоном, то есть

(б) Вычислить

за 12.0-м / с разворот радиусом 30,0 м (как в гонке).

Если автомобиль движется по крутому повороту со скоростью ниже идеальной, необходимо трение, чтобы не допустить скольжения внутрь поворота (проблема на обледенелых горных дорогах). (a) Рассчитайте идеальную скорость, чтобы взять кривую радиусом 100,0 м с наклоном

. (b) Какой минимальный коэффициент трения нужен для того, чтобы напуганный водитель проехал по той же кривой на скорости 20,0 км / ч?

[show-answer q = ”fs-id1165038980331 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038980331 ″]

а.16,2 м / с; б. 0,234

[/ hidden-answer]

Современные американские горки имеют вертикальные петли, подобные показанной здесь. Радиус кривизны вверху меньше, чем по бокам, поэтому центростремительное ускорение вниз вверху будет больше, чем ускорение свободного падения, удерживая пассажиров плотно прижатыми к своим сиденьям. (a) Какова скорость американских горок в верхней части петли, если радиус кривизны там 15,0 м, а ускорение машины вниз равно 1.50 г ? (b) На какой высоте над вершиной петли американские горки должны начинаться из состояния покоя, если трение пренебрежимо мало? (c) Если он действительно начинается на 5,00 м выше, чем ваш ответ на вопрос (b), сколько энергии он потерял на трение? Его масса

.

Ребенок массой 40,0 кг находится в машине с американскими горками, которая движется по петле радиусом 7,00 м. В точке А скорость автомобиля составляет 10,0 м / с, а в точке B — 10,5 м / с. Предположим, что ребенок не держится и не пристегнут ремнем безопасности.(а) Какое усилие автомобильного кресла действует на ребенка в точке А? (b) Какое усилие автомобильного кресла действует на ребенка в точке B? (c) Какая минимальная скорость требуется, чтобы удерживать ребенка на сиденье в точке A?

[показать-ответ q = ”484990 ″] Показать решение [/ показать-ответ]
[скрытый-ответ a =” 484990 ″] a. 179 Н; б. 290 Н; c. 8,3 м / с [/ hidden-answer]

В простой модели Бора основного состояния атома водорода электрон движется по круговой орбите вокруг фиксированного протона.Радиус орбиты

, а скорость электрона —

Масса электрона

. Какая сила действует на электрон?

Железнодорожные пути следуют круговой кривой радиусом 500,0 м и имеют крен под углом

. Для поездов какой скорости предназначены эти пути?

[show-answer q = ”fs-id116503

32 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503

32 ″]

20.7 м / с

[/ hidden-answer]

Ускоритель частиц в ЦЕРНе имеет форму окружности 7,0 км. (а) Какое ускорение протонов

, которые вращаются вокруг ускорителя на

скорости света? (Скорость света

) (б) Какая сила действует на протоны?

Автомобиль объезжает кривую без кренов радиусом 65 м. Если коэффициент статического трения между дорогой и автомобилем равен 0.70, какова максимальная скорость, с которой автомобиль преодолевает поворот без скольжения?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165039269152 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165039269152 ″]

21 м / с

[/ hidden-answer]

Трасса с наклоном предназначена для движения со скоростью 90,0 км / ч. Радиус поворота 310 м. Какой угол крена шоссе?

Глоссарий

наклонная кривая

поворот на дороге с уклоном, который помогает транспортному средству преодолевать поворот

центростремительная сила

любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение

Сила Кориолиса

Сила инерции, вызывающая кажущееся отклонение движущихся объектов при просмотре во вращающейся системе отсчета

Идеальное банковское дело

уклон кривой дороги, где угол наклона позволяет транспортному средству преодолевать поворот с определенной скоростью без помощи трения между шинами и дорогой; чистая внешняя сила на транспортном средстве равна горизонтальной центростремительной силе при отсутствии трения

инерционная сила

сила, не имеющая физического происхождения

неинерциальная система отсчета

ускоренная система отсчета

Механика с анимацией и фильмом.

Эта страница поддерживает мультимедийные учебные пособия «Вес, контактные силы и вращение». Что происходит, когда колесо катится? Какая часть поезда движется вдвое быстрее поезда? Какая часть поезда движется назад? Анимация справа показывает путь (фиолетовая кривая) точки на ободе катящегося колеса.Эта кривая называется циклоидой. Колесо вращается вокруг своей оси по часовой стрелке. Мы измеряем его угловую скорость ω в радианах в секунду. Таким образом, количество полных оборотов в секунду равно ω / 2π. Если он поворачивается на угол dθ за время dt, то Пусть точка на ободе колеса проходит расстояние ds за время dt, поэтому v = ds / dt. Из определения угла ds = rdθ получаем v = rdθ / dt, или v = rω На диаграмме показано, что все точки обода колеса движутся со скоростью v по отношению к оси, хотя их направления различаются. Верхняя часть колеса движется вправо, нижняя — влево и так далее. Теперь предположим, что колесо катится по земле — представим его как колесо велосипеда — и мы настаиваем на том, чтобы оно катилось, а не буксовало.Вид, который мы представили выше слева, — это вид велосипедиста, который в этом случае едет вправо. По отношению к гонщику положение оси фиксировано, верхняя часть колеса движется вперед в точке v, а нижняя часть колеса движется назад в точке v, как указано выше. Разница между качением и заносом состоит в том, что при качении в точке контакта отсутствует относительное движение.Чтобы прочувствовать это (буквально), проделайте такой эксперимент: сначала катите по руке бутылку или мяч. Затем проведите им по руке. В первом случае нет (горизонтального) относительного движения между контактом бутылки и вашей кожей, тогда как во втором случае вы чувствуете, как бутылка скользит по коже. Острие в нижней части катящегося колеса мгновенно становится неподвижным. Ось движется вперед со скоростью v, поэтому, исходя из показанной геометрии, верхняя часть колеса движется вперед на 2v.Мы также можем понять это с точки зрения относительных скоростей. Для наблюдателя, стоящего на дороге, ось велосипеда движется в точке v. Велосипедист видит, что нижняя часть колеса движется со скоростью -v (скорость v назад, см. Диаграмму выше), поэтому наблюдатель видит в этой точке скорость vv. = 0. Велосипедист видит, что верх колеса «обгоняет» его на скорости v, поэтому наблюдатель видит, что оно движется со скоростью 2v. Смотрим повнимательнее. Снова посмотрев на анимированный график, мы можем наблюдать изменение положения и скорости точки на ободе колеса. В клипе кусок белой ленты на задней шине обозначает такую ​​точку. В частности, обратите внимание на горизонтальные (и вертикальные) компоненты смещения от одного кадра к другому. Давайте будем количественными. Для точки, вращающейся по часовой стрелке по окружности радиуса r с угловой частотой ω, начиная с вершины круга, координаты равны x = r sin ωt, y = r cos ωt (Вы можете проверить, что его центр находится в точке (0,0) и что x 2 + y 2 = r 2 .) Чтобы заставить его катиться по оси x, как в анимации, ось должна двигаться вправо со скоростью v = rω и должна быть на r выше оси, поэтому мы помещаем центр вращения в (vt, r) . Итак, мы поднимаем все точки на r и перемещаем их вправо на v = rω. Координаты точки, изначально находящейся наверху колеса (точка, обведенная в анимации, или белая лента на колесе), теперь x = rωt + r sin ωt, y = r + r cos ωt или х = г (ωt + sin ωt), y = r (1 + cos ωt) Давайте теперь посмотрим на горизонтальную составляющую скорости этой точки: dx / dt = r (ω + ω cos ωt) = rω (1 + cos ωt) Значение функции cos изменяется от -1 до +1. Таким образом, dx / dt для этой точки, горизонтальная составляющая скорости, имеет максимальное значение 2r ω = 2v, когда она находится наверху колеса — вершина колеса обгоняет ось с удвоенной скоростью. Он имеет минимальное значение, равное нулю, когда его значение мгновенно равно нулю, когда он касается земли. Теперь ответим на вопрос: Какая часть поезда идет задом? На рисунке справа показано поперечное сечение железнодорожного колеса (не в масштабе).Фланец вокруг обода колеса выступает ниже поверхности рельса. Фланцы внутри рельсов с обеих сторон — это то, что не дает поезду сходить с путей. Теперь точка колеса, касающаяся рельса, — поверхность качения — мгновенно становится неподвижной, а части колеса над ней, как и велосипедное колесо, движутся вперед. А как насчет части под рельсом? Следующая анимация показывает это. Синий кружок — это поверхность качения колеса, зеленый кружок — край фланца.Маленькие синие и зеленые кружки обозначают точки, закрепленные на колесе, а их движение отслеживается фиолетовой и красной кривыми соответственно. Точка C на диаграмме выше соответствует самой низкой точке красной кривой.

Согласование импеданса и импеданс по диаграмме Смита | Максим Интеграт

При практической реализации ВЧ-приложений всегда возникают кошмарные задачи.Одна из них — необходимость согласования различных сопротивлений соединенных между собой блоков. Обычно они включают антенну на малошумящий усилитель (МШУ), выход усилителя мощности (RFOUT) на антенну и выход МШУ / ГУН на входы смесителя. Задача согласования требуется для правильной передачи сигнала и энергии от «источника» к «нагрузке». На высоких радиочастотах паразитные элементы (например, индуктивности проводов, межслойные емкости и сопротивления проводников) оказывают значительное, но непредсказуемое влияние на согласующую сеть.Выше нескольких десятков мегагерц теоретических расчетов и моделирования часто бывает недостаточно. Для определения правильных окончательных значений необходимо учитывать лабораторные измерения РЧ на месте, а также работу по настройке. Вычислительные значения требуются для установки типа конструкции и значений целевых компонентов. Есть много способов согласования импеданса, в том числе: Компьютерное моделирование: Сложный, но простой в использовании, поскольку такие симуляторы предназначены для различных функций конструкции, а не для согласования импеданса.Дизайнеры должны быть знакомы с множеством входных данных, которые необходимо ввести, и правильными форматами. Им также нужен опыт, чтобы найти полезные данные среди множества получаемых результатов. Кроме того, программное обеспечение для моделирования схем не устанавливается на компьютеры заранее, если они не предназначены для такого приложения. Вычисления вручную: Утомительно из-за длины («километр») уравнений и сложной природы чисел, с которыми нужно работать. Instinct: Его можно приобрести только после того, как кто-то посвятил много лет работе с радиочастотами.Короче, это для супер-специалиста. Таблица Смита: , на которой сконцентрировано внимание в данной статье. Основная цель этой статьи — рассмотреть конструкцию и предысторию диаграммы Смита, а также обобщить практические способы ее использования. Рассматриваемые темы включают практические иллюстрации параметров, такие как поиск совпадающих значений компонентов сети. Конечно, согласование для передачи максимальной мощности — не единственное, что мы можем сделать с помощью диаграмм Смита. Они также могут помочь проектировщику в таких задачах, как оптимизация для достижения наилучших показателей шума, обеспечение влияния фактора качества и оценка анализа устойчивости. Рис. 1. Основы импеданса и диаграмма Смита. Быстрая грунтовка Перед тем, как представить служебные программы диаграммы Смита, было бы разумно представить краткий обзор явления распространения волн для проводки ИС в условиях РЧ (выше 100 МГц). Это может быть справедливо для непредвиденных обстоятельств, таких как линии RS-485, между PA и антенной, между LNA и понижающим преобразователем / микшером и так далее. Хорошо известно, что для передачи максимальной мощности от источника к нагрузке полное сопротивление источника должно равняться комплексно-сопряженной величине полного сопротивления нагрузки, или: R S + jX S = R L — jX L Рисунок 2.Схема R S + jX S = R L — jX L . Для этого условия энергия, передаваемая от источника к нагрузке, максимальна. Кроме того, для эффективной передачи мощности это условие необходимо, чтобы избежать отражения энергии от нагрузки обратно к источнику. Это особенно верно для высокочастотных сред, таких как видеолинии, радиочастотные и микроволновые сети. Что это такое Диаграмма Смита представляет собой круговой график с множеством переплетенных кругов.При правильном использовании согласование импедансов с очевидной сложной структурой может быть выполнено без каких-либо вычислений. Единственное, что требуется, — это считывать значения по кругам и следовать им. Диаграмма Смита представляет собой полярный график комплексного коэффициента отражения (также называемый гаммой и обозначаемый символом Γ). Или он определяется математически как параметр однопортового рассеяния s или s 11 . Диаграмма Смита разработана путем исследования нагрузки, для которой необходимо согласовать полное сопротивление. Вместо того, чтобы напрямую рассматривать его импеданс, вы выражаете его коэффициент отражения Γ L , который используется для характеристики нагрузки (например, проводимости, усиления и крутизны). Γ L более полезен при работе с радиочастотами. Мы знаем, что коэффициент отражения определяется как отношение между отраженной волной напряжения и падающей волной напряжения: Рис. 3. Импеданс на нагрузке. Количество отраженного сигнала от нагрузки зависит от степени рассогласования между импедансом источника и импедансом нагрузки.Его выражение было определено следующим образом: Поскольку импедансы являются комплексными числами, коэффициент отражения также будет комплексным числом. Чтобы уменьшить количество неизвестных параметров, полезно заморозить те, которые часто появляются и являются общими в приложении. Здесь Z 0 (характеристический импеданс) часто является постоянным и действительным нормированным значением, например 50 Ом, 75 Ом, 100 Ом и 600 Ом. Затем мы можем определить нормализованный импеданс нагрузки следующим образом: С таким упрощением мы можем переписать формулу коэффициента отражения как: Здесь мы можем увидеть прямую зависимость между импедансом нагрузки и ее коэффициентом отражения.К сожалению, сложный характер отношения практически бесполезен, поэтому мы можем использовать диаграмму Смита как тип графического представления приведенного выше уравнения. Чтобы построить диаграмму, уравнение необходимо переписать, чтобы выделить стандартные геометрические фигуры (например, круги или случайные линии). Во-первых, уравнение 2.3 переворачивается, чтобы получить: и Уравнивая действительные и мнимые части уравнения 2.5, мы получаем два независимых новых соотношения: Уравнение 2.6 затем обрабатывается преобразованием уравнений с 2.8 по 2.13 в окончательное уравнение 2.14. Это уравнение является соотношением в форме параметрического уравнения (x — a) ² + (y — b) ² = R² в комплексной плоскости (Γr, Γi) круга с центром в координатах [r / (r + 1 ), 0] и радиусом 1 / (1 + r). Подробнее см. Рисунок 4a . Рисунок 4а. Точки, расположенные на круге, представляют собой все импедансы, характеризующиеся одним и тем же значением части реального импеданса.Например, окружность r = 1 центрирована в координатах (0,5, 0) и имеет радиус 0,5. Он включает в себя точку (0, 0), которая является нулевой точкой отражения (нагрузка согласована с характеристическим сопротивлением). Короткое замыкание в качестве нагрузки представляет собой круг с центром в координате (0, 0) и радиусом 1. Для нагрузки разомкнутой цепи круг вырождается в единственную точку (с центром в 1, 0 и с радиус 0). Это соответствует максимальному коэффициенту отражения, равному 1, при котором вся падающая волна полностью отражается. При разработке диаграммы Смита следует соблюдать определенные меры предосторожности. Это одни из самых важных: Все круги имеют одну и ту же уникальную точку пересечения в координате (1, 0). Круг с нулевым сопротивлением без сопротивления (r = 0) является наибольшим. Бесконечный круг резистора уменьшен до одной точки в (1, 0). Отрицательного сопротивления быть не должно. Если одно (или несколько) произойдет, мы столкнемся с возможностью возникновения колебательных условий. Можно выбрать другое значение сопротивления, просто выбрав другой кружок, соответствующий новому значению. Вернуться к чертежной доске Двигаясь дальше, мы используем уравнения с 2.15 по 2.18 для дальнейшего преобразования уравнения 2.7 в другое параметрическое уравнение. Это приводит к уравнению 2.19. Опять же, 2.19 представляет собой параметрическое уравнение типа (x — a) ² + (y — b) ² = R² в комплексной плоскости (Γr, Γi) круга с центром в координатах (1, 1 / x ) и радиусом 1 / x. Подробнее см. Рисунок 4b . Рисунок 4б. Точки, расположенные на окружности, представляют собой все импедансы, характеризующиеся одним и тем же значением мнимой части импеданса x. Например, круг × = 1 центрирован в координате (1, 1) и имеет радиус 1. Все круги (постоянный x) включают точку (1, 0). В отличие от кругов действительной части, × может быть положительным или отрицательным. Это объясняет повторяющиеся зеркальные круги в нижней части комплексной плоскости.Все центры окружностей расположены на вертикальной оси, пересекающей точку 1. Получить изображение? Чтобы завершить нашу диаграмму Смита, мы наложим два семейства кругов. Тогда можно увидеть, что все круги одного семейства пересекают все круги другого семейства. Зная импеданс в виде r + jx, можно определить соответствующий коэффициент отражения. Необходимо только найти точку пересечения двух окружностей, соответствующих значениям r и x. Это тоже возвратно-поступательное движение Возможна и обратная операция. Зная коэффициент отражения, найдите две окружности, пересекающиеся в этой точке, и прочтите соответствующие значения r и × на кружках. Процедура для этого следующая: Определите импеданс как точку на диаграмме Смита. Найдите коэффициент отражения (Γ) для импеданса. Имея характеристический импеданс и Γ, найдите полное сопротивление. Преобразуйте полное сопротивление в полную проводимость. Найдите эквивалентное сопротивление. Найдите значения компонентов для желаемого коэффициента отражения (в частности, элементы согласующей сети, см. Рисунок 7 ). Экстраполировать Поскольку метод разрешения диаграммы Смита в основном является графическим методом, точность решений напрямую зависит от определений графиков. Вот пример, который может быть представлен диаграммой Смита для радиочастотных приложений: Пример: Рассмотрим характеристическое сопротивление оконечной нагрузки 50 Ом и следующие импедансы: Z 1 = 100 + j50Ω Z 2 = 75 — j100 Ом Z 3 = j200 Ом Z 4 = 150 Ом Z 5 = ∞ (обрыв) Z 6 = 0 (короткое замыкание) Z 7 = 50 Ом Z 8 = 184 — j900 Ом Затем выполните нормализацию и нанесите на график (см. Рисунок 5 ).Точки расположены следующим образом: z 1 = 2 + j z 2 = 1,5 — j2 z 3 = j4 z 4 = 3 z 5 = 8 z 6 = 0 z 7 = 1 z 8 = 3,68 — j18 Для увеличения изображения (PDF, 502K) Рис. 5. Точки, нанесенные на диаграмму Смита. Теперь можно напрямую извлечь коэффициент отражения Γ на диаграмме Смита на рисунке 5.После того, как точка импеданса нанесена на график (точка пересечения круга постоянного сопротивления и круга постоянного реактивного сопротивления), просто прочтите прямоугольную проекцию координат на горизонтальной и вертикальной оси. Это даст Γr, действительную часть коэффициента отражения, и Γi, мнимую часть коэффициента отражения (см. , рис. 6, ). Также можно взять восемь случаев, представленных в примере, и извлечь их соответствующие Γ непосредственно из диаграммы Смита на рисунке 6. Номера: Γ 1 = 0,4 + 0,2j Г 2 = 0,51 — 0,4j Γ 3 = 0,875 + 0,48j Г 4 = 0,5 Γ 5 = 1 Γ 6 = -1 Г 7 = 0 Γ 8 = 0,96 — 0,1j Рис. 6. Прямое извлечение коэффициента отражения Γ, действительного и мнимого, вдоль оси X-Y. Работа с допуском Диаграмма Смита построена с учетом импеданса (резистора и реактивного сопротивления). Как только диаграмма Смита построена, ее можно использовать для анализа этих параметров как в последовательном, так и в параллельном мире. Добавление элементов в серию очень просто. Можно добавлять новые элементы и определять их эффекты, просто перемещаясь по кругу до соответствующих значений. Однако параллельное суммирование элементов — другое дело. Это требует учета дополнительных параметров. Часто в мире допуска проще работать с параллельными элементами. Мы знаем, что по определению Y = 1 / Z и Z = 1 / Y. Адмиттанс был выражен в mhos или Ω -1 , хотя теперь выражается в siemens или S. И, поскольку Z является сложным, Y также должен быть сложным. Следовательно, Y = G + jB (2.20), где G называется «проводимостью», а B — «проводимостью» элемента. Однако важно проявлять осторожность. Следуя логическому предположению, мы можем заключить, что G = 1 / R и B = 1 / X.Однако это не так. Если использовать это предположение, результаты будут неверными. При работе с допуском первое, что мы должны сделать, это нормализовать y = Y / Y 0 . Это приводит к y = g + jb. Итак, что происходит с коэффициентом отражения? Проработав следующее: Оказывается, выражение для G противоположно по знаку z, и Γ (y) = -Γ (z). Если мы знаем z, мы можем поменять местами знаки Γ и найти точку, расположенную на том же расстоянии от (0, 0), но в противоположном направлении. Тот же результат может быть получен путем поворота на угол 180 ° вокруг центральной точки (см. Рисунок 7). Рисунок 7. Результаты поворота на 180 °. Конечно, хотя Z и 1 / Y действительно представляют один и тот же компонент, новая точка отображается как другой импеданс (новое значение имеет другую точку на диаграмме Смита и другое значение отражения и т. Д.). Это происходит потому, что график представляет собой график импеданса. Но новая точка — это, по сути, допуск. Следовательно, значение, указанное на диаграмме, следует читать как сименс. Хотя этого метода достаточно для выполнения преобразований, он не работает для определения разрешения схемы при работе с элементами параллельно. График Смита В предыдущем обсуждении мы видели, что каждую точку на диаграмме Смита импеданса можно преобразовать в ее аналог проводимости, повернув на 180 ° вокруг начала координат комплексной плоскости Γ. Таким образом, диаграмму Смита полного сопротивления можно получить, повернув всю диаграмму Смита полного сопротивления на 180 °. Это очень удобно, так как избавляет от необходимости строить еще одну диаграмму. Точка пересечения всех окружностей (постоянная проводимость и постоянная проводимость) автоматически находится в точке (-1, 0). С этим сюжетом также становится проще добавлять элементы параллельно. Математически диаграмма Смита строится следующим образом: , затем обратное уравнение: Далее, путем задания действительной и мнимой частей уравнения 3.3 равны, получаем два новых независимых соотношения: Развивая уравнение 3.4, мы получаем следующее: , которое снова является параметрическим уравнением типа (x — a) ² + (y — b) ² = R² (уравнение 3.12) в комплексной плоскости (Γr, Γi) круга с координатами с центром в [-g / (g + 1), 0] и радиусом 1 / (1 + g). Кроме того, развивая уравнение 3.5, мы показываем, что: , которое снова является параметрическим уравнением типа (x — a) ² + (y — b) ² = R² (уравнение 3.17). Разрешение эквивалентного импеданса При решении задач, в которых элементы последовательно и параллельно смешаны вместе, мы можем использовать одну и ту же диаграмму Смита и вращать ее вокруг любой точки, где существуют преобразования из z в y или y в z. Рассмотрим сеть Рисунок 8 (элементы нормализованы с Z 0 = 50 Ом). Последовательное реактивное сопротивление (x) положительно для индуктивности и отрицательно для емкости. Подверженность (b) положительна для емкости и отрицательна для индуктивности. Рисунок 8. Многоэлементная схема. Схема должна быть упрощена (см. Рисунок 9 ). Начиная с правой стороны, где есть резистор и катушка индуктивности со значением 1, мы строим последовательную точку, где круг r = 1 и круг l = 1. Это становится точкой A. Поскольку следующий элемент является элементом в шунте (параллельно) переключаемся на диаграмму Смита адмиттанса (поворот всей плоскости на 180 °). Однако для этого нам нужно преобразовать предыдущую точку в допуск.Это становится А ‘. Затем мы поворачиваем самолет на 180 °. Сейчас мы находимся в режиме допуска. Шунтирующий элемент можно добавить, пройдя по окружности проводимости на расстояние, соответствующее 0,3. Это нужно сделать против часовой стрелки (отрицательное значение) и получить точку B. Затем у нас есть еще один элемент серии. Мы снова переключаемся обратно на диаграмму Смита импеданса. Рисунок 9. Сеть, показанная на Рисунке 8, с элементами, выделенными для анализа. Перед тем, как сделать это, необходимо снова преобразовать предыдущую точку в импеданс (это была полная проводимость).После преобразования мы можем определить B ‘. Используя ранее установленную процедуру, диаграмма снова поворачивается на 180 °, чтобы вернуться в режим импеданса. Для добавления элемента серии необходимо пройти по кругу сопротивления на расстояние, соответствующее 1,4, и отметить точку C. Это нужно сделать против часовой стрелки (отрицательное значение). Для следующего элемента выполняется такая же операция (преобразование в проводимость и поворот плоскости). Затем переместите заданное расстояние (1.1) по часовой стрелке (поскольку значение положительное) вдоль окружности постоянной проводимости.Мы отмечаем это как D. Наконец, мы возвращаемся обратно в режим импеданса и добавляем последний элемент (последовательный индуктор). Затем мы определяем требуемое значение z, расположенное на пересечении круга резистора 0,2 и круга реактивного сопротивления 0,5. Таким образом, z определено равным 0,2 + j0,5. Если характеристическое сопротивление системы составляет 50 Ом, тогда Z = 10 + j25 Ом (см. , рисунок 10 ). Для большого изображения (PDF, 600K) Рис. 10. Сетевые элементы, нанесенные на диаграмму Смита. Согласование импедансов по ступеням Другой функцией диаграммы Смита является возможность определения согласования импеданса.Это операция, обратная нахождению эквивалентного импеданса данной сети. Здесь импедансы фиксированы на двух концах доступа (часто источник и нагрузка), как показано на рис. 11 . Задача состоит в том, чтобы спроектировать сеть, которая будет вставлена ​​между ними, чтобы обеспечить надлежащее согласование импеданса. Рис. 11. Типичная схема с известными импедансами и неизвестными компонентами. На первый взгляд кажется, что это не сложнее, чем найти эквивалентный импеданс. Но проблема в том, что может существовать бесконечное количество подходящих комбинаций компонентов сети, которые дают аналогичные результаты. И другие входные данные, возможно, также должны быть рассмотрены (например, структура типа фильтра, коэффициент качества и ограниченный выбор компонентов). Подход, выбранный для этого, требует добавления последовательных и шунтирующих элементов на диаграмму Смита до тех пор, пока не будет достигнут желаемый импеданс. Графически это выглядит как способ связать точки на диаграмме Смита. Опять же, лучший способ проиллюстрировать подход — это рассмотреть требование в качестве примера. Цель состоит в том, чтобы согласовать импеданс источника (Z S ) с нагрузкой (z L ) на рабочей частоте 60 МГц (см. Рисунок 11). Сетевая структура была зафиксирована как низкочастотный тип L (альтернативный подход состоит в том, чтобы рассмотреть проблему, как заставить нагрузку проявляться как импеданс со значением = Z S , комплексно сопряженным Z S ). Вот как находится решение. Для увеличенного изображения (PDF, 537K) Рисунок 12. Сеть на Рисунке 11 с точками, нанесенными на диаграмму Смита. Первое, что нужно сделать, это нормализовать различные значения импеданса. Если это не указано, выберите значение, которое находится в том же диапазоне, что и значения нагрузки / источника. Предположим, что Z 0 составляет 50 Ом. Таким образом, z S = 0,5 — j0,3, z * S = 0,5 + j0,3 и z L = 2 — j0,5. Затем разместите две точки на графике. Отметьте A для z L и D для z * S . Затем определите первый элемент, подключенный к нагрузке (конденсатор в шунте), и преобразуйте его в проводимость.Это дает нам точку А ‘. Определите участок дуги, на котором появится следующая точка после подключения конденсатора C. Поскольку мы не знаем значение C, мы не знаем, где остановиться. Однако направление нам известно. Шунт C означает движение по часовой стрелке на диаграмме Смита, пока не будет найдено значение. Это будет точка B (вход). Поскольку следующий элемент является последовательным элементом, точка B должна быть преобразована в плоскость импеданса. Тогда можно получить точку B ‘.Точка B ‘должна быть расположена на той же окружности резистора, что и D. Графически существует только одно решение от A’ до D, но промежуточная точка B (и, следовательно, B ‘) должна быть проверена с помощью «теста и -попробовать «setup. Найдя точки B и B ‘, мы можем измерить длины дуги A’ через B и дуги B ‘через D. Первая дает нормированное значение проводимости C. Вторая дает нормированное значение реактивного сопротивления L. Дуга A ‘через B измеряет b = 0,78 и, следовательно, B = 0,78 × Y 0 = 0.0156S. Поскольку ωC = B, тогда C = B / ω = B / (2πf) = 0,0156 / [2π (60 × 10 6 )] = 41,4 пФ. Дуга от B ‘до D измеряет x = 1,2, таким образом, X = 1,2 × Z 0 = 60 Ом. Поскольку ωL = X, то L = X / ω = X / (2πf) = 60 / [2π (60 × 10 6 )] = 159nH. Рис. 13. Типовая рабочая схема MAX2472. Второй пример соответствует выходу MAX2472 с сопротивлением нагрузки 50 Ом (z L ) на рабочей частоте 900 МГц (см. Рисунок 14 ).Эта сеть будет использовать ту же конфигурацию, что и в таблице данных MAX2472. На приведенном выше рисунке показана согласующая схема с шунтирующим индуктором и последовательным конденсатором. Вот как находится решение. Рис. 14. Сеть на Рис. 13 с точками, нанесенными на диаграмму Смита. Первое, что нужно сделать, это преобразовать параметр рассеяния S 22 в его эквивалентный нормированный импеданс источника. MAX2472 использует Z 0 как 50 Ом.Таким образом, S 22 = 0,81 / -29,4 ° становится z S = 1,4 — j3,2, z L = 1 и z L * = 1. Затем поместите две точки на диаграмма. Отметьте A для z S и D для z L *. Поскольку первый элемент, подключенный к источнику, представляет собой шунтирующую катушку индуктивности, преобразуйте полное сопротивление источника в полную проводимость. Это дает нам точку А ‘. Определите участок дуги, на котором появится следующая точка после подключения индуктора L MATCH .Поскольку нам неизвестно значение L MATCH , мы не знаем, где остановиться. Однако мы знаем, что после добавления L MATCH (и обратного преобразования в импеданс) результирующий импеданс источника должен лежать на окружности r = 1. Следовательно, дополнительный последовательный конденсатор C MATCH может довести результирующий импеданс до z = 1 + j0. Поворачивая круг r = 1 на 180 ° вокруг начала координат, мы наносим на график все возможные значения проводимости, соответствующие кругу r = 1. Пересечение этого отраженного круга и круга постоянной проводимости, используемого с точкой A ‘, дает нам точку B (проводимость).Отражение точки B на импеданс становится точкой B ‘. Найдя точки B и B ‘, мы можем измерить длины дуги A’ через B и дуги B ‘через D. Первое измерение дает нормированное значение чувствительности L MATCH . Второй дает нормированное значение реактивного сопротивления C MATCH . Дуга от A ‘до B имеет размер b = -0,575 и, следовательно, B = -0,575 × Y 0 = 0,0115S. Поскольку 1 / ωL = B, то L MATCH = 1 / Bω = 1 / (B2πf) = 1 / (0,01156 × 2 × π × 900 × 10 6 ) = 15.38nH, что округляется до 15nH. Дуга от B ‘до D имеет размер × = -2,81, таким образом, X = -2,81 × Z 0 = -140,5 Ом. Поскольку -1 / ωC = X, тогда C MATCH = -1 / Xω = -1 / (X2πf) = -1 / (- 140,5 × 2 × π × 900 × 10 6 ) = 1,259 пФ, что округляет до 1 пФ. Хотя эти рассчитанные значения не учитывают паразитные индуктивности и емкости компонентов, они дают значения, близкие к значениям, указанным в технических данных: L MATCH = 12 нГн и C MATCH = 1 пФ. Заключение Учитывая сегодняшнее богатство программного обеспечения и доступность высокоскоростных мощных компьютеров, можно усомниться в необходимости такого базового и фундаментального метода определения основных схем. Share This Story, Choose Your Platform! FacebookTwitterLinkedInRedditWhatsappGoogle+TumblrPinterestVkEmail Related Posts Насморк при прорезывании зубов у детей: причины, симптомы и лечение Насморк при прорезывании зубов у детей: причины, симптомы и лечение Как развивать ребенка в 10 месяцев: игры и занятия для малыша Как развивать ребенка в 10 месяцев: игры и занятия для малыша Во сколько месяцев можно ставить мальчиков в ходунки: оптимальный возраст и безопасность использования Во сколько месяцев можно ставить мальчиков в ходунки: оптимальный возраст и безопасность использования УЗИ брюшной полости у детей: подготовка, проведение и расшифровка результатов УЗИ брюшной полости у детей: подготовка, проведение и расшифровка результатов Когда и как вводить прикорм грудному ребенку: рекомендации педиатров Когда и как вводить прикорм грудному ребенку: рекомендации педиатров Leave A Comment Отменить ответ Comment Save my name, email, and website in this browser for the next time I comment.