Основные понятия стереометрии ℹ️ определения, теоремы с доказательствами, аксиомы и следствия из них, названия фигур и их свойства

Основные понятия стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.

Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.

Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.

Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются

противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.

Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.

Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.

Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.

Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы.

Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.

Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается Sполн).

Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.

Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн).

Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.

Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.

Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Аксиома 4. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Таким образом, в любой плоскости пространства можно использовать все доказанные теоремы и формулы из планиметрии.

Следствия из аксиом

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна. 

Следствие 4. Из аксиомы 2 следует, что прямая, не лежащая в плоскости, не может иметь с плоскостью более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость.

Основные теоремы стереометрии

Теоремы о параллельности прямых и плоскостей

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут: a // β

Теорема 1: Если прямая AB параллельна какой-нибудь прямой CD, расположенной в плоскости P, то она параллельна самой плоскости.

Теорема 2: Если плоскость R проходит через прямую AB, параллельную другой плоскости P, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения CD параллельна первой прямой AB.

Теорема 3: Если две параллельные плоскости P и Q пересекаются третьей плоскостью R, то линии пересечения AB и CD параллельны.

Теорема 4: Если две пересекающиеся прямые AB и DC одной плоскости соответственно параллельны двум прямым A1 Bи C1 D1  другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Теоремы о перпендикулярности прямых и плоскостей

Теорема 1: Для того что бы прямая AB была перпендикулярна плоскости P, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна двум произвольным непараллельным прямым CD и EF, лежащим в этой плоскости.

Теорема 2: Для того, чтобы прямая DE проведенная на плоскости P через основание наклонной AC была ей перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна к проекции BC, наклонной на плоскость P (Достаточное условие этой теоремы называется «Теоремой о трех перпендикулярах»: AC, BC, DE).

Теорема 3: Если две прямые AB и CD перпендикулярны одной плоскости P, то они параллельны между собой.

Теорема 4: Если две плоскости P и Q перпендикулярны одной прямой AB, то они параллельны друг другу.

Теоремы о перпендикулярности плоскостей

Двугранный угол называется прямым, если его линейный угол прямой. Прямой двугранный угол равен смежному с ним двугранному углу.

Определение: Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если они образуют прямые двугранные углы.

Теорема 1:Перпендикулярность прямых в пространстве. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они то же перпендикулярны.

Теорема 2: Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Следствие 1: Если из точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей проведен перпендикуляр к другой плоскости, то он принадлежит первой плоскости.

Следствие 2: Если две плоскости, перпендикулярные к третьей плоскости, пересекаются, то их линия пересечения есть перпендикуляр к этой плоскости.

Теорема о скрещивающихся прямых

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема 1: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.


Доказательство

Пусть нам дана плоскость α. Прямая АВ лежит в плоскости α, а прямая DC пересекается с плоскостью α в точке С, которая не лежит на прямой АВ (Рис. 1.). Докажем, что прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости β лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость — α. Значит, такой плоскости β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. Теорема доказана.


Теорема 2: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство.

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD, и притом только одна.

Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой DC (Рис. 6.). По теореме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственная. Тогда через две пересекающиеся прямые АВ и АЕ можно провести единственную плоскость α. Так как прямая DC, которая не лежит в плоскости α, параллельна прямой АЕ, лежащей в плоскости α,  значит, что прямая DC параллельна плоскости α, по признаку параллельности прямой и плоскости. Существование доказано.

Докажем единственность такой плоскости. Пусть существует другая плоскость β, которая проходит через прямую АВ и параллельна прямой DC. Тогда прямая АЕ пересекает плоскость β, а значит и параллельная ей прямая DC пересекает плоскость β, по лемме. То есть, прямая DC не параллельна плоскости β. Получили противоречие. Следовательно, плоскость α – единственная. Теорема доказана.

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема 1: Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение:

Теорема 2: (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость.


Доказательство.

Пусть AB — перпендикуляр к плоскости a, AC — наклонная и c — прямая в плоскости 

, проходящая через точку C и перпендикулярная проекции BC. Проведём прямую CK параллельно прямой AB. Прямая CK перпендикулярна плоскости a (так как она параллельна AB), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, CK перпендикулярна прямой c. Проведём через параллельные прямые AB и CK плоскость b (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости b, это BC по условию и CK по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой AC.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут лежать в одной плоскости или в разных плоскостях.
  1. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
  2. Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют общую точку.
  3. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости

Основные фигуры в стереометрии

Симметрия фигур

  1. Точки M и M1 называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка MM1.
  2. Точки M и M1 называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна ему.
  3. Точки M и M1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна этому отрезку.
  4. Точка O (прямая l, плоскость α) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (прямой l, плоскости α) некоторой точке этой же фигуры.
  5. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). 

Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.

Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

Теорема 1: (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема 2: Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

Призма

Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP.

Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK, BCML, CDNM, DEPN и EAKP.

Боковая поверхность – объединение боковых граней.

Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.

Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK, BL, CM, DN и EP.

Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR.

Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP.

Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.

Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP.

Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру. Площадь поверхности и объём призмы.

Площадь поверхности и объём призмы

Пусть H — высота призмы, A1 B1 — боковое ребро призмы, Pосн — периметр основания призмы, осн S площадь основания призмы, бок S — площадь боковой поверхности призмы, полн S — площадь полной поверхности призмы, V — объем призмы, P — периметр перпендикулярного сечения призмы, S — площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

Свойства призмы:
  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания

Параллелепипед

Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются его гранями, их стороны – ребрами, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда.

У параллелепипеда все грани — параллелограммы.

Параллелепипеды, как и всякие призмы, могут быть прямые и наклонные.

Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани ― боковыми гранями параллелепипеда.

Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами.

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда. A1 H h2 A2 An A3 B1 B2 n B3 B A B C D A1 B1 C1 D1 7

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.

Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).

Свойства параллелепипеда:

1. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
3. Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.
4. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. 

Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE.

Грани, отличные от основания, называются боковыми

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины). 

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. 

Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания.

Свойства пирамиды:

1. Боковые ребра пирамиды равны.
2. Боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию пирамиды.
3. Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.
4. Высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны, а высота пирамиды лежит внутри пирамиды.
5. Все двугранные углы при основании пирамиды равны.
6. Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание.
7. Высоты всех боковых граней пирамиды, проведённые из вершины пирамиды, равны, а высота пирамиды лежит вне пирамиды.
8. Двугранные углы между боковыми гранями и плоскостью основания пирамиды равны.
9. Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вневписанной в основание пирамиды.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Свойства правильной пирамиды:

1. В правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны.
2. Боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.
3. Двугранные углы при основании правильной пирамиды равны между собой.
4. Двугранные углы при боковых рёбрах правильной пирамиды равны.

Тетраэдр

Тетраэдр – простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Тетраэдр называется правильным, если все его грани – равносторонние треугольники.

Свойства тетраэдра:

1. Все ребра правильного тетраэдра равны между собой.
2. Все грани правильного тетраэдра равны между собой.
3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой.

Прямоугольная пирамида

При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. 

Усечённая пирамида

Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию.

Свойства усечённой пирамиды:

1. Основания усечённой пирамиды — подобные многоугольники.
2. Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции.
3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
4. Боковые грани правильной усечённой пирамиды — равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.
5. Двугранные углы при боковых рёбрах правильной усечённой пирамиды равны.

Сфера и шар

Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.

Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.

Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра.

Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.

Радиусом, хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.

Теорема 1: (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
Теорема 2: (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Доказательство

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару). По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теорема 1: (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
Теорема 2: (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Многогранники

Геометрическим телом (или просто телом) называется ограниченная связная фигура в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причем сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры. Границу геометрического тела называют также его поверхностью и говорят, что поверхность ограничивает тело.

Плоскость, по обе стороны которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью.

Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью, называется сечением тела.

Многогранником или многогранной поверхностью называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют его гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

Свойства многогранников:

1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.
2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.
3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти.

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны, все двугранные углы правильного многогранника равны, все многогранные углы правильного многогранника равны.

Существует ровно пять выпуклых правильных многогранников:

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Все ребра правильного многогранника равны друг другу. Равны также все его двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

1.Правильный тетраэдр (четырехгранник) ― многогранник, составленный из четырех правильных треугольников. 

2. Правильный гексаэдр (шестигранник) или куб ― многогранник, составленный из шести правильных четырехугольников (квадратов) .

3. Правильный октаэдр (восьмигранник) ― многогранник, составленный из восьми правильных треугольников.

4. Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) ― многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

5. Правильный икосаэдр (двадцатигранник) ― многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников.


Цилиндр

В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. 

Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.

Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра – это два равных круга.

Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.

Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.

Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей.

Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.

Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.

Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.

Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.   

Свойства цилиндра:

1. Основания цилиндра равны
2. Основания лежат в параллельных плоскостях
3. Образующие цилиндра параллельны и равны

Справочник стереометрия

Теоретический материал по теме «Стереометрия на ЕГЭ по математике, часть 2».

1. Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей
Плоскость, прямая, точка — основные понятия геометрии.

Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются. Примеры в окружающем пространстве найти легко.

Мы не рассматриваем отдельно случай «плоскости совпадают». Раз совпадают — значит, это одна плоскость, а не две.

2. Прямые в пространстве. Пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые

На плоскости две прямые или пересекаются, или параллельны друг другу. А в пространстве возможны три случая взаимного расположения прямых.

Две прямые в пространстве параллельны друг другу, пересекаются или скрещиваются.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны друг другу. Через них невозможно провести плоскость. Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

3. Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость могут пересекаться или быть параллельными друг другу. Еще один случай — прямая лежит в плоскости.

Определение: Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек.

Но как на практике проверить, что бесконечная прямая нигде не пересечет бесконечную плоскость? Для практического применения используется признак параллельности прямой и плоскости:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

 

Этот признак часто используется в решении задач по стереометрии. Например, в правильной четырехугольной пирамиде SABCD прямая АВ параллельна прямой СD — значит, АВ параллельна всей плоскости SCD.

 

4. Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости

Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью?

Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.

Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.

 

Определение. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.

Определение. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

 

 

5. Параллельность плоскостей

Определение. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

В практических целях чаще используется признак параллельности плоскостей:

Плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

 

Свойства параллельных плоскостей:

1) Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны друг другу.

 

2) Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

3) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

 

 

6. Угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с.

Определение. Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Другими словами, в плоскости α мы провели прямую а, перпендикулярную с. В плоскости β — прямую b, также перпендикулярную с. Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между плоскостями мы берем острый угол.

Определение. Если угол между плоскостями равен 90 градусов, то плоскости перпендикулярны.

Решая задачи по стереометрии, мы используем также признак перпендикулярности плоскостей:
Если плоскость α проходит через перпендикуляр к плоскости β, то плоскости α и β перпендикулярны.

 

7. Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними.

Скрещивающиеся прямые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях, и поместить их в одну плоскость невозможно.

Часто в задачах требуется найти угол между скрещивающимися прямыми. Как это сделать?

Угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, найти нетрудно. Можно измерить его транспортиром. Можно найти из какого-нибудь треугольника по теореме синусов или косинусов.

Пусть скрещивающиеся прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Проведем в плоскости β прямую с, параллельную прямой а. Угол между прямыми а и b равен углу между прямыми b и с.

 

 

Можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми — это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.

8. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

 

 

Другими словами, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти также как расстояние от одной из них до параллельной ей плоскости, в которой лежит вторая прямая.

Все три способа используются при решении задач.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из любой точки этой прямой.

Заметим, что расстояние от точки до плоскости или угол между скрещивающимися прямыми иногда проще найти с помощью координатно-векторного метода.

9. Теорема о трех перпендикулярах

Рассмотрим чертеж. На нем изображены плоскость α и лежащая в ней прямая m. Наклонная a пересекает плоскость α в точке М. Прямая а1 — проекция наклонной а на плоскость α.

Сформулируем теорему о трех перпендикулярах:

Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.

 

 

На рисунке показаны все три перпендикуляра.
Если прямая m, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Слова «тогда и только тогда» в формулировке теоремы означают, что прямая m перпендикулярна одновременно и наклонной, и ее проекции. Если m перпендикулярна наклонной, значит, перпендикулярна и ее проекции, и наоборот.

На нашем чертеже прямая m проведена через основание наклонной. Этого требует формулировка теоремы о трех перпендикулярах в большинстве учебников. Но прямая m, лежащая в плоскости, вовсе не обязана проходить через основание наклонной. Главное — чтобы она была перпендикулярна проекции наклонной. Тогда она будет перпендикулярна и самой наклонной:

Теорема о трех перпендикулярах — полезный инструмент для решения задач.

Например, с ее помощью можно доказать, что диагональ куба АС1 перпендикулярна прямой BD:

 

 

Или — что скрещивающиеся ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны:

 

Или — что в правильной треугольной призме прямая А1М (где М — середина ВС) перпендикулярна ребру ВС.

 

10. Параллельное проецирование. Площадь проекции фигуры

В задачах по геометрии успех зависит не только от знания теории, но от качественного чертежа.
С плоскими чертежами все более-менее понятно. А в стереометрии дело обстоит сложнее. Ведь изобразить надо трехмерное тело на плоском чертеже, причем так, чтобы и вы сами, и тот, кто смотрит на ваш чертеж, увидели бы то же самое объемное тело.

Как это сделать?
Конечно, любое изображение объемного тела на плоскости будет условным. Однако существует определенный набор правил. Существует общепринятый способ построения чертежей — параллельное проецирование.

Возьмем объемное тело.
Выберем плоскость проекции.
Через каждую точку объемного тела проведем прямые, параллельные друг другу и пересекающие плоскость проекции под каким-либо углом. Каждая из этих прямых пересекает плоскость проекции в какой-либо точке. А все вместе эти точки образуют проекцию объемного тела на плоскость, то есть его плоское изображение.

 

Как строить проекции объемных тел?
Представьте, что у вас есть каркас объемного тела — призмы, пирамиды или цилиндра. Освещая его параллельным пучком света, получаем изображение — тень на стене или на экране. Заметим, что в разных ракурсах получаются разные изображения, но некоторые закономерности все же присутствуют:

Проекцией отрезка будет отрезок.

 

Конечно, если отрезок перпендикулярен плоскости проекции — он отобразится в одну точку.
Проекцией круга в общем случае окажется эллипс.

 

 

Проекцией прямоугольника — параллелограмм.

 

Вот как выглядит проекция куба на плоскость:

Здесь передняя и задняя грани параллельны плоскости проекции

Можно сделать по-другому:

Какой бы ракурс мы ни выбрали, проекциями параллельных отрезков на чертеже тоже будут параллельные отрезки. Это один из принципов параллельного проецирования.

Рисуем проекции пирамиды,

цилиндра:

и шара:

Еще раз повторим основной принцип параллельного проецирования. Выбираем плоскость проекции и через каждую точку объемного тела проводим параллельные друг другу прямые. Эти прямые пересекают плоскость проекции под каким-либо углом. Если этот угол равен 90° — речь идет о прямоугольном проецировании. С помощью прямоугольного проецирования строятся чертежи объемных деталей в технике. В этом случае мы говорим о виде сверху, виде спереди и виде сбоку.

 

Иногда в задачах требуется найти площадь прямоугольной проекции фигуры.

Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна S cosφ, где φ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

 

11. Как строить чертежи в задачах по стереометрии

Часто бывает так, что вы построили чертеж — и непонятно, что делать дальше. На чертеже ничего хорошего не видно. Почему?

Не спешите обвинять себя в отсутствии пространственного мышления. Может быть, просто ракурс выбран неудачно.

Очень важно, чтобы объемное тело на вашем чертеже выглядело действительно объемным, а не складывалось, как зонтик. Следите, чтобы одна грань не накладывалась на другую, а непараллельные отрезки (например, ребро куба и его диагональ) не совпадали.

Приведем примеры удачных и неудачных чертежей.

Мы рисуем чертеж крупным, чтобы на нем всё было хорошо видно.

Видимые линии изображаем сплошными, невидимые — штриховыми. Если решаете задачу векторно-координатным методом, ставьте рядом с точками их координаты. Это удобно.

Общий принцип: не понравился чертеж – не возитесь с ним, сделайте другой. Посмотрите на задачу с другого ракурса.

Иногда одного чертежа недостаточно. Чаще всего для решения задач по стереометрии, кроме «объемного» чертежа, нужен один или несколько плоских.

Чем же все-таки признак отличается от определения? Есть, например, определение перпендикулярности прямой и плоскости — и признак перпендикулярности прямой и плоскости. В чем разница между ними?

Предположим, в конкретной задаче нам надо доказать, что прямая l перпендикулярна плоскости α.

Если применять определение – придется перебрать все прямые, лежащие в плоскости α. Сделать это невозможно, да и не нужно. Достаточно, чтобы прямая l была перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости α

12. Еще две полезные теоремы для решения задач по стереометрии:

1) Теорема о прямой и параллельной ей плоскости.

Пусть прямая а параллельна плоскости α,
плоскость β проходит через прямую а.
Тогда линия пересечения плоскостей α и β параллельна прямой а.

 

2) Теорема о трех плоскостях, пересекающихся по параллельным прямым.
Пусть пересекающиеся плоскости α и β проходят через параллельные прямые а и b. Тогда линия пересечения плоскостей α и β параллельна прямым а и b.

Легко запомнить – на рисунке эта конструкция похожа на домик : -)

13. Правила решения задач по стереометрии:

1. Начинаем с построения чертежа.

Строим чертеж ручкой,( не карандашом!), с помощью линейки. Невидимые элементы объемного тела изображаем штриховыми линиями.

2. Записываем каждый шаг решения. Помним, что в задаче по стереометрии необходимы подробные объяснения. Не просто «Прямая АВ перпендикулярна плоскости  », а «Прямая АВ перпендикулярна плоскости , потому что она перпендикулярна пересекающимся прямым  и , лежащим в плоскости ». Конечно, все это лучше записать не словами, а символами.

3. От объемной задачи переходим к плоской, планиметрической. Все необходимые плоские чертежи рисуем отдельно.

Основные понятия и аксиомы стереометрии

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

 

Основные понятия и аксиомы стереометрии


Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
 Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
 Плоскость. 

 Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит

 через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко

 это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. 

 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. 

 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.


 

Аксиома 3. 

 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. 

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты

.

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Теорема 1. 

 Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2. 

 Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Стереометрия. Материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

На этой странице – все необходимое для освоения стереометрии и решения задач ЕГЭ.

Для того чтобы справиться с задачей 8 из первой части Профильного ЕГЭ, вам нужно знать формулы объемов и площадей поверхности. Объем конуса, площадь боковой поверхности призмы, длина диагонали куба – все это вы найдете здесь:

Многогранники: формулы объема и площади поверхности

Тела вращения: формулы объема и площади поверхности

Не ждите, когда конус или сферу будут «проходить» в школе. Начинайте решать задачи по стереометрии из первой части ЕГЭ. Это задание №8 

Вам помогут наши методические материалы:

Задачи по стереометрии часть 1: Просто применяем формулы

Стереометрия на ЕГЭ.  Приемы и секреты

Для решения задачи №14 из второй части Профильного ЕГЭ по математике надо повторить весь курс стереометрии. Нет, не обязательно перечитывать весь учебник. Полный курс стереометрии – здесь:

Задача 14 (часть 2 ЕГЭ по математике). Программа по стереометрии 

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей

Прямые в пространстве. Пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые

Параллельность прямой и плоскости

Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости

Параллельность плоскостей

Угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей

Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми. Расстояние от точки до плоскости   –

Метод объемов

Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема о прямой и параллельной ей плоскости

Параллельное проецирование

Как строить чертежи в задачах по стереометрии

Построение сечений в задачах по стереометрии

Можно ли, посмотрев на задачу, сразу понять, что с ней делать и каким методом решать? Да, можно! Для вас — наш новый уникальный материал:

Стереометрия, задача 14 Профильного ЕГЭ по математике. Классификация задач и методы их решения

Обратите внимание на координатный метод. Если вы в 10-м классе – у вас есть время освоить оба способа решения задач по стереометрии, классический и векторно-координатный.

Векторы и метод координат. Задача 14,  часть 2 на ЕГЭ по математике

Для старшеклассников и учителей – дополнительные материалы, автор В.М. Мамаева.

 «Перпендикулярность. Книга для учащихся»

 «Перпендикулярность. Книга для учителя»

 «Тела вращения. Книга для учащихся»

 «Тела вращения. Книга для учителя»

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 6, задача 14

Несколько полезных советов тем, кто решает задачи по стереометрии

1. Учитесь строить чертежи. Изучите правила построения чертежей. Хороший чертеж – это половина решения. И если чертеж вам не нравится, бросайте его и рисуйте другой.

2. Выучите теорему о прямой и параллельной ей плоскости. Ее очень трудно найти в учебнике. Однако множество задач решаются с помощью этой теоремы.

3. Запомните формулу для площади прямоугольной проекции фигуры. И посмотрите, как решаются с ее помощью задачи на нахождение угла между плоскостями.

4. Учитесь правильно оформлять решения. Часто старшеклассники говорят: «Сделаем параллельный перенос и перенесем прямую АВ так, чтобы она проходила через точку М». Однако, если вы решили ввести параллельный перенос, вам надо его описать. В каком направлении, на какое расстояние. И зачем вам лишние сложности? Намного проще сказать: «Проведем через точку М прямую, параллельную АВ.

 

Геометрия для 10 класса | Интернет — шпаргалка

1. Аксиомы стереометрии

1.1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

1.2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

 1.3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

2. Некоторые следствия из аксиом.

2.1 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

2.2 Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только  одна.

3. Параллельность прямых, прямой и плоскости.

3.1 Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3.2 Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

3.3 Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3.4 Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

3.5 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

3.6 Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

4.1 Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

4.2 Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся

4.3 Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой, и притом только одна.

4.4 Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

5. Параллельность плоскостей.

5.1 Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

5.2 Если две пересекающиеся прямые одной        плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

6. Перпендикулярность прямой и плоскости.

6.1 Если одна из двух параллелельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

6.2 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

6.3 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

6.4 Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

6.5 Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

6.6 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

7. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.

7.1 Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

7.2 Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекции на плоскость.

8. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.

8.1 Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

8.2 Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900.

8.3 Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

8.4 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трёх измерений.

8.5 Сумма плоских углов многогранного угла меньше 3600.

9. Теорема Эйлера.

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и вершин больше числа рёбер на 2.

10. Призма

10.1 Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

11. Пространственная теорема Пифагора.

Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра – прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площади остальных граней.

12. Пирамида

12.1 Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

12.2 Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

13. Вектор

13.1 Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором.

13.2 Для любых трёх точек A, B и C имеет место равенство

13.3

13.4

13.5 Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор длина которого равна причём векторы и сонаправлены при k>0 и противоположно направлены при k<0. Произведением нулевого вектора на число считается нулевой вектор.

13.6

13.7

13.8

13.9 Любой вектора можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

14. Координаты точки и координаты вектора

14.1 Любой вектор можно представить в виде причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

14.2 Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

14.3 Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

14.4 Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на число.

14.5 Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

14.6 Расстояние между точками вычисляется по формуле

15. Скалярное произведение векторов.

15.1 Скалярным произведением двух векторов является произведение их длин на косинус угла между ними.

15.2 Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

15.3 Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

15.4

15.5

15.6

15.7

16. Движения

16.1 Движение пространства – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками.

16.2 Осевой симметрией с осью a называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в симметричную ей точку  относительно оси a.

16.3 Зеркальной симметрией называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в симметричную ей относительно плоскости α точку M1.

16.4 Параллельным переносом на вектор  называется отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в такую точку M1, что .

16.5 Центральным подобием с центром O и коэффициентом k ≠ 0 называется отображение пространства на себя, при котором каждая точка M переходит в точку M1, что

17. Цилиндр и конус.

17.1 Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1, называется цилиндром.

17.2 Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

17.3 Площадь цилиндра находится по формуле

17.4 Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

17.5 Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

17.6 Площадь полной поверхности конуса находится по формуле

17.7 Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т.е.

18. Сфера

18.1 Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

18.2 Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

18.3 Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

18.4 Площадь сферы вычисляется по формуле

18.5 Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и прямой, перпендикулярен к этой прямой

18.6 Если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта прямая является касательной к сфере.

18.7 Отрезки касательных к сфере, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

две задачи с применением теоремы Менелая.

Обе задачи очень интересные. Взяты из пособия В.В. Мирошина “ЕГЭ 2018. Тренировочные задания” – первая из варианта 4, вторая – из 27.

Задача 1. Основанием пирамиды  SABCD является параллелограмм ABCD. Точки  K, L и M расположены на ребрах SA, SB, SC соответственно, и при этом

    \[\frac{SK}{SA}=\frac{1}{3}, \frac{SL}{SB}=\frac{1}{4}, \frac{SM}{SC}=\frac{1}{2}\]

А) Докажите, что прямые  KM и LD пересекаются.

Б) Найдите отношение объема пирамиды SKLMD к объему пирамиды SABCD.

Отношение объемов

Рисунок 1

Проведем высоту пирамиды. Основание высоты пирамиды – точка пересечения диагоналей параллелограмма H. Проведем прямую LD и рассмотрим треугольник BSH.

Отношение объемов

Рисунок 2

Отношение объемов

Рисунок 3

Пусть прямая LD пересекает высоту SH в точке O. Определим, в каком отношении точка O делит высоту SH. По теореме Менелая для треугольника BSH

    \[\frac{SO}{OH}\cdot\frac{HD}{BD}\cdot \frac{BL}{LS}=1\]

BD – диагональ параллелограмма, точка пересечения диагоналей в параллелограмме делит каждую из них пополам, поэтому \frac{HD}{BD}=\frac{1}{2}. Ребро SB по условию разделили на 4 части, отрезок SL – одна из них, поэтому SL=\frac{1}{4}SB, BL=\frac{3}{4}SB. Тогда \frac{BL}{LS}=3. Следовательно,

    \[\frac{SO}{OH}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{1}=1\]

И тогда

    \[\frac{SO}{OH}=\frac{2}{3}\]

Теперь рассмотрим плоскость ASC и треугольник ASH. Пусть прямая KM пересекает высоту SH в точке O. Тогда, если точка O делит высоту SH в таком же отношении, как и точка O, то это одна и та же точка, и тогда именно в ней и пересекаются прямые KM и LD.

Отношение объемов

Рисунок 4

Продлим прямые KM  и AC до пересечения. Точку пересечения обозначим T. Запишем теорему Менелая для треугольника ASH:

    \[\frac{SK}{KA}\cdot\frac{AT}{HT}\cdot \frac{HO

Отношение \frac{SK}{KA}=\frac{1}{2} по условию (ребро SA разделили на три части, одна из них – отрезок SK, две – отрезок KA).

Далее необходимо определить длины отрезков AT и HT. Для этого рассмотрим подобные треугольники KWT и MVT. Запишем отношения для его сходственных сторон:

    \[\frac{KW}{MV}=\frac{WT}{VT}\]

Или

    \[\frac{KW}{MV}=\frac{WH+HT}{HT-HV}\]

Так как \frac{SK}{SA}=\frac{1}{3}, то из подобных треугольников ASH и AKW  \frac{KW}{SH}=\frac{2}{3}. Из этих же треугольников \frac{AW}{AH}=\frac{2}{3}, следовательно, WH=\frac{1}{3}AH=\frac{1}{6}AC.

Так как  \frac{SM}{SC}=\frac{1}{2}, то из подобных треугольников SHC и VMC   \frac{MV}{SH}=\frac{1}{2}. Из этих же треугольников \frac{VC}{HC}=\frac{1}{2}, следовательно, VH=\frac{1}{2}HC=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{4}AC.

Тогда

    \[\frac{\frac{2}{3}SH}{\frac{1}{2}SH}=\frac{\frac{1}{6}AC +HT}{HT-\frac{1}{4}AC }\]

Или

    \[\frac{2}{3}\left(HT-\frac{1}{4}AC \right)= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}AC +HT \right)\]

Или HT=1,5AC, то есть CT=HT-HC=HT-\frac{1}{2}AC=AC.

Тогда AT=2AC. Возвращаемся к нашей теореме Менелая:

    \[\frac{SK}{KA}\cdot\frac{AT}{HT}\cdot \frac{HO

    \[\frac{1}{2}\cdot\frac{2AC}{1,5AC}\cdot \frac{HO

Или

    \[\frac{HO

Перепишем:

    \[\frac{ O

Мы получили то же отношение, следовательно, точки O и O совпадают и прямые KM и LD в точке O пересекаются.

Теперь определим объем пирамиды SKLMD.

Объем пирамиды SABCD можно представить как сумму объемов пирамид SBCD и SBAD, у которых объемы равны:

    \[V=V_{ SBCD}+V_{ SBAD}\]

    \[V_{ SBCD}=V_{ SBAD}=\frac{1}{2}V\]

Объем пирамиды SKLMD можно представить как сумму объемов пирамид SLMD и SKLD:

Отношение объемов

Рисунок 5

Отношение объемов

Рисунок 6

    \[V_{ SKLMD }=V_{ SLMD }+V_{ SKLD }\]

Причем у пирамид SBCD и SLMD одна и та же высота, а также у пирамид SBAD и SKLD также одна и та же высота. Поэтому

    \[\frac{ V_{ SLMD }}{ V_{ SBCD}}=\frac{S_{SLM}}{S_{BSC}}\]

И

    \[\frac{ V_{ SKLD }}{ V_{ SBAD}}=\frac{S_{SKL}}{S_{BSA}}\]

Определим отношения площадей:

    \[\frac{S_{SLM}}{S_{BSC}}=\frac{SL\cdot SM}{SB\cdot SC}=\frac{\frac{1}{4}SB\cdot \frac{1}{2}SC}{SB\cdot SC}=\frac{1}{8}\]

    \[\frac{S_{SKL}}{S_{BSA}}=\frac{SL\cdot SK}{SB\cdot SA}=\frac{\frac{1}{4}SB\cdot \frac{1}{3}SA}{SB\cdot SC}=\frac{1}{12}\]

Поэтому

    \[V_{ SLMD }=\frac{1}{8} V_{ SBCD}=\frac{1}{16} V\]

    \[V_{ SKLD }=\frac{1}{12} V_{ SBAD}=\frac{1}{24} V\]

 

    \[\frac{V_{ SKLMD }}{V}=\frac{ V_{ SLMD }+V_{ SKLD }}{ V}=\frac{ \frac{1}{16} V +\frac{1}{24} V }{ V}=\frac{5}{48}\]

Ответ: Б) \frac{5}{48}.

 

Задача 2. Точки  K, L и M расположены на ребрах SA, SB, SC правильной четырехугольной пирамиды SABCD  соответственно, и при этом

    \[\frac{SK}{KA}=\frac{3}{2}, \frac{SL}{SB}=\frac{3}{7}, \frac{SM}{SC}=\frac{3}{5}\]

А) Докажите, что плоскость  KLM проходит через вершину D пирамиды SABCD.

Б) Найдите  угол между плоскостью KLM и плоскостью основания пирамиды ABCD, если SA=b=5, AB=a=4.

Отношение объемов

Рисунок 7

Если внимательно посмотреть на данные отношения, то можно заметить, что \frac{SM}{MC}=\frac{3}{2}, то есть точки K и M расположены на одной высоте. Проведем прямую LK до пересечения с прямой AB, а прямую LM – до пересечения с прямой BC. Обозначим точки этих пересечений соответственно T и Z. Тогда прямая TZ – линия пересечения плоскостей KLM и ABCD.

Отношение объемов

Рисунок 8

Рассмотрим треугольник BAS и пересекающую его прямую LT. Запишем теорему Менелая:

    \[\frac{SL}{LB}\cdot \frac{BT}{TA}\cdot\frac{AK}{KS}=1\]

Отношение \frac{SL}{LB}=\frac{3}{4}, тогда

    \[\frac{3}{4}\cdot \frac{BT}{TA}\cdot\frac{2}{3}=1\]

Откуда

    \[\frac{BT}{TA}=2\]

В силу того, что \frac{SM}{MC}=\frac{3}{2}, при записи теоремы Менелая для треугольника BSC и пересекающей его прямой LZ можно найти, что

    \[\frac{BZ}{ZC}=2\]

Это означает, что треугольник TBZ – равнобедренный прямоугольный, и прямая TZ обязательно пройдет через точку D – это можно установить через площадь, например, или определив длину гипотенузы TZ.

    \[TZ=\sqrt{TB^2+BZ^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\]

    \[TD=DZ=BD=4\sqrt{2}\]

Таким образом, BD – высота треугольника TBZ, а по теореме о трех перпендикулярах наклонная LD \perp TZ. Следовательно, угол LDB – искомый угол между плоскостями. Определим тангенс этого угла.

    \[\operatorname{tg}{LDB}=\frac{LN}{ND}\]

Найдем длины этих отрезков.

Высота пирамиды SH равна

    \[SH=\sqrt{SD^2-HD^2}=\sqrt{25-8}=\sqrt{17}\]

Рассмотрим подобные  треугольники BSH и BLN, где N – основание перпендикуляра, опущенного из точки L к плоскости основания.

Отношение объемов

Рисунок 9

Запишем отношения сходственных сторон:

    \[\frac{SH}{LN}=\frac{BS}{BL}=\frac{7}{4}\]

    \[LN=\frac{4}{7}SH=\frac{4\sqrt{17}}{7}\]

    \[\frac{BH}{BN}=\frac{BS}{BL}=\frac{7}{4}\]

Тогда BN=\frac{4}{7}BH=\frac{4}{7}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}}{7}, а

    \[NH=BH-BN=2\sqrt{2}-\frac{8\sqrt{2}}{7}=\frac{6\sqrt{2}}{7}\]

Тогда

    \[ND=NH+HD=\frac{6\sqrt{2}}{7}+2\sqrt{2}=\frac{20\sqrt{2}}{7}\]

Угол будет равен

    \[\angle {LDB}=\operatorname{arctg}{\frac{LN}{ND}}=\operatorname{arctg}{\frac{\frac{4\sqrt{17}}{7}}{\frac{20\sqrt{2}}{7}}=\frac{\sqrt{34}}{5}\]

Ответ: \angle {LDB}=\operatorname{arctg}{\frac{\sqrt{34}}{5}}.

Стереометрия. Страница 1

 
         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Стереометрия. Страница 1  
   
   
 


1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4.Пересечение прямой с плоскостью.
5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
6.Примеры.

 

   
1 2 3 4 5 6 7 8
         

1. Основные фигуры стереометрии

   Стереометрия — это раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и их свойства в пространстве. Основные фигуры в пространстве — это точка, прямая, плоскость. Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ.

   Аксиомы планиметрии описывают свойства простейших геометрических фигур на плоскости. Так как стереометрия изучает фигуры в пространстве и в пространстве может быть великое множество плоскостей, то аксиомы стереометрии состоят из аксиом планиметрии с уточнением «на» или «в заданной плоскости» и 3-х дополнительных аксиом.  

 

 

2. Группа дополнительных аксиом стереометрии

   

   1. Для любой плоскости в пространстве, существуют точки принадлежащие данной плоскости и точки не принадлежащие ей.

   
 

   2. Две различные плоскости, имеющие одну общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

   
 

   3. Через две различные прямые, имеющие общую точку, можно провести только одну плоскость.

 

(Рис.1)

 

Рис. 1. Аксиомы стереометрии.

 
         
 

Пример

   Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две прямые пересечения из них пересекаются. Доказать, что три прямые пересечения этих плоскостей пересекаются в одной точке.

 
         
 

Доказательство.

   Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости α, β и γ. Плоскость α пересекает плоскость β по прямой а. А плоскость β пересекает плоскость γ по прямой с (Рис. 2 а).

   а ∈ α,β
   c ∈ β,γ

    точка Е ∈ а,с (прямые пересекаются в точке Е по условию задачи)

    Тогда плоскости α и γ пересекаются по прямой b.

    b ∈ α,γ

    Отсюда следует, что, т.к. прямые b,с ∈ γ, то они либо параллельны, либо пересекаются в какой-то точке Е1.

   Если они параллельны, то у них нет общих точек, а следовательно, плоскости α и β пересекаются по прямой а, параллельной b и с (Рис. 2 б). А это противоречит условию задачи. Следовательно, прямые b и с пересекаются в какой-то точке Е1.

т.Е1 ∈ b,с
Следовательно, т.Е1 ∈ α,β,γ.

   Отсюда можно сделать вывод, что точка Е1 принадлежит трем плоскостям α,β,γ и, следовательно, она лежит одновременно на трех прямых а, b и с. А это возможно только, если три прямые пересекаются в одной точке. И, следовательно, прямая b пересекает прямую с в точке Е1, которая является точкой пересечения прямых а и с. Таким образом, точки Е и Е1 совпадают.

 

 

Рис.2. Даны три попарно пересекающиеся плоскости…

 
         
 
   
 

3. Плоскость, проходящая через данную прямую и точку

   Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость.

Доказательство.

 
 

   Пусть АВ данная прямая и Е не принадлежащая ей точка. (Рис.3) Проведем через точки А и Е прямую. Тогда прямые АВ и АЕ пересекаются в точке А. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость α, проведенная через эти прямые, единственная. Т.к. точка Е принадлежит прямой АЕ, то она принадлежит плоскости α.

   Если допустить, что существует еще одна плоскость α’, проходящая через прямую АВ и точку Е, то эта плоскость пересекает плоскость α по прямой, на которой лежат точки А, В, и Е согласно аксиоме 2. А это противоречит условию, т.к. точки А, В, и Е не лежат на одной прямой. Следовательно, плоскость α единственная.

 

Рис. 3 Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.

 
         

4. Пересечение прямой с плоскостью

   Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит данной плоскости.

Доказательство.

 
 

   Пусть а — данная прямая, А и В принадлежащие этой прямой точки, α — данная плоскость. Точки А и В принадлежат плоскости α. Согласно аксиоме 1, существует точка С, не лежащая на прямой а. (Рис.4)

   Проведем через прямую а и точку С плоскость β. Тогда, если плоскости α и β совпадают, то прямая а принадлежит плоскости α, что и утверждает данная теорема. Если плоскости α и β не совпадают, то они пересекаются по прямой а’. Таким образом, имеем:

точки А и В ∈ а, α
прямая а ∈ β
следовательно, точки А и В ∈β

   Отсюда следует, что две точки А и В принадлежат двум плоскостям: α и β. И, согласно аксиоме, они могут лежать только на прямой а’, которая является прямой пересечения этих плоскостей. Т.к. через две точки можно провести только одну прямую, и по условию теоремы эта прямая есть а, то следовательно, она и является прямой пересечения двух плоскостей. Т.е. прямые а и а’ совпадают. А следовательно, прямая а принадлежит плоскости α.

   Из данной теоремы следует, что плоскость и не принадлежащая ей прямая, либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

 

 

Рис. 4 Пересечение прямой с плоскостью.

 
         

5. Существование плоскости, проходящей через три данные точки

   Теорема. Через три точки, не лежащие на данной прямой, можно провести только одну плоскость. Рис.5

 
 

   Доказательство. Пусть А, В, С три точки, не лежащие на одной прямой. Проведем через точки А,С и В,С прямые. Тогда они пересекаются в точке С. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость, проведенная через эти прямые, единственная. По теореме о пересечении прямой с плоскостью, обе прямые целиком принадлежат данной плоскости.

 

Рис. 5 Существование плоскости, проходящей через три данные точки.

 
         
         

6.Пример 1

 

   Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дана данная прямая а и точка О, не принадлежащая прямой а. И даны пересекающие ее прямые b, c, d в точках B, C, D, которые пересекаются в точке О. Проведем через прямую а и точку О плоскость α (Рис.6).

    По теореме о пересечении прямой и плоскости, если провести прямую b, проходящую через точку О и точку В прямой а, то она целиком будет принадлежать плоскости α, так как две точки прямой b принадлежат плоскости α.

    Если допустить, что прямая b не принадлежит плоскости α, то в этом случае мы можем провести плоскость α’, проходящую через точки В и О. Тогда плоскости α и α’ пересекаются по прямой b’, проходящей через точки В и О. А так как через две точки можно провести только одну прямую, то прямые b и b’ совпадают. Следовательно, прямая b целиком принадлежит плоскости α.

   Точно так же доказывается, что прямые с и d принадлежат плоскости α. Отсюда можно сделать вывод, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

 

Рис.6 Задача. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую…

 
         
         
 

Пример 2

 

   Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть даны две непересекающиеся плоскости α и α’. И прямая а, которая пересекает плоскость α в точке В (Рис.7). Необходимо доказать, что прямая а пересекает плоскость α’ в точке В’.

   Возьмем на плоскости α’ точку А и проведем через нее и прямую а плоскость β. Тогда плоскость β будет пересекать плоскости α и α’ по параллельным прямым b и b’. Точка В принадлежит прямой b, так как она принадлежит плоскости α и лежит на прямой а. И следовательно, она принадлежит двум плоскостям α и β.

   Таким образом получается, что на плоскости β лежат две параллельные прямые b и b’. Одну из них пересекает прямая а в точке В. Следовательно, прямая а пересекает и вторую прямую b’. Так как согласно аксеоме, через точку В, не лежащей на данной прямой b’, можно провести только одну, параллельную прямой b’, прямую b. Отсюда следует, что прямая а не параллельна прямой b’, она ее пересекает в точке B’.

 

Рис.7 Задача. Даны две непересекающиеся плоскости…

 
         
         
 

Пример 3

 

   Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а. И прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А (Рис.8). Необходимо доказать, что прямая b пересекает прямую а.

   По условию задачи, прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А. Следовательно, точка А принадлежит двум плоскостям α и β.

   Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что, так как точка А принадлежит двум плоскостям, то она лежит на прямой а, потому что прямая а является прямой пересечения двух плоскостей α и β.

   Таким образом, точка А принадлежит двум прямым а и b. А следовательно, эти прямые пересекаются.

 

Рис.8 Задача. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а…

 
         
         
 

Пример 4

 

   Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Точки А, В, С одновременно принадлежат двум плоскостям α и β (Рис.9). Необходимо доказать, что все три точки принадлежат прямой а.

   Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что все три точки А, В и С лежат на прямой пересечения двух плоскостей, т.е. прямой а, так как они принадлежат обоим плоскостям α и β.

   Пусть дана точка D, принадлежащая только плоскости β. Тогда она не может лежать на прямой а, так как она не принадлежит плоскости α. Точно так же точка Е не может принадлежать прямой а, так как она принадлежит только плоскости α. Точка F не принадлежит плоскостям α и β, а следовательно, и прямой а.

   Отсюда можно сделать вывод, что, если точка принадлежит обоим плоскостям α и β, то она обязательно лежит на прямой а. Так как прямая а — это множество точек, принадлежащих двум пересекающимся плоскостям α и β.

 

Рис.9 Задача. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей…

 
         
         
 

Пример 5

 

   Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

 
         
 

   Доказательство:

    Пусть даны четыре точки А, В, С, D. Допустим, что все четыре точки лежат в одной плоскости α.

    Прямая АВ не пересекается с прямой CD. Прямая АС также не пересекается с прямой BD. Если провести прямую AD, то точки В и С окажутся в разных полуплоскостях. Следовательно, прямая AD пересекается с прямой ВС в точке О (Рис.10 а).

    Допустим, что прямая AB не пересекает прямую DС (Рис.10 б). АD не пересекает прямую BC. Тогда, если провести прямую АС, то точки B и D окажутся в разных полуплоскостях. И прямая АС будет пересекать прямую BD в точке О.

    Теперь допустим, что прямая AC не пересекает прямую ВD (Рис.10 в). АD не пересекает прямую ВC. Тогда, если провести прямую АВ, то точки D и C окажутся в разны полуплоскостях. А следовательно, прямая АВ будет пересекать прямую СD в точке О.

    Отсюда можно сделать вывод, для того, чтобы выполнялось условие, при котором прямые АВ, АС, АD, одновременно не пересекали бы прямые CD, BD, BC, необходимо чтобы четыре точки А, В, С и D лежали в разных плоскостях.

 

Рис.10 Задача. Даны четыре точки. Известно, что прямая…

 
         
 
   
 
         
         
1 2 3 4 5 6 7 8
         
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 5  
  1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4.Пересечение прямой с плоскостью.
5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
  1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений.
3.Параллелепипед.
4.Прямоугольный параллелепипед.
5.Пирамида.
6.Усеченная пирамида.
7.Правильные многогранники.
 
         
  Страница 2   Страница 6  
  1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых.
3.Признак параллельности плоскостей.
4.Свойства параллельных плоскостей.
  1.Цилиндр.
2.Конус.
3.Вписанная и описанная призма.
4.Вписанная и описанная пирамида.
5.Шар.
6.Симметрия шара.
 
         
  Страница 3   Страница 7  
  1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3.Теорема о трех перпендикулярах.
4.Признак перпендикулярности плоскостей.
5.Расстояние между скрещивающимися прямыми.
  1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед.
3.Объем пирамиды.
4.Объем призмы.
5.Равновеликие тела.
6.Объемы подобных тел.
 
         
  Страница 4   Страница 8  
  1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками.
3.Преобразование симметрии в пространстве.
4.Движение в пространстве.
5.Угол между прямой и плоскостью.
6.Угол между плоскостями.
7.Векторы в пространстве.
8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.
  1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра.
3.Площадь боковой поверхности конуса.
4.Объем конуса.
5.Объем тел вращения.
6.Объем шара.
7.Объем шарового сегмента и сектора.
8.Площадь сферы.
 
 
     
 
    Комментарий:  
         
 
90000 Kiselev’s Geometry, Book II: Stereometry 90001 90002 Adapted from Russian by A. Givental, 90003 Stereometry 90004 is the second part of the legendary 90003 Kiselev’s Geometry 90004. It first appeared in 1892 as a second half of a single textbook and, for a long time, the two co-existed between the same covers. Indeed, the idea of ​​a 90003 plane 90004 was introduced on page 1 while the last chapter of the book (that followed the stereometry part) was devoted to the geometric constructions in two dimensions.90003 Kiselev’s Geometry 90004 has demonstrated an unusual staying power, being in an uninterrupted circulation for a good part of a century. (For the historic outline, see the review of the first part.) As a matter of fact, the first part of the book met with stiffer competition so that, while its rule was weakened in the 1960s, the second part reigned in the textbook market well into the 1970s. 90011 90002 The combined 1980 edition came out under the title 90003 Elementary Geometry for Teacher Colleges 90004 with a foreword by A.N. Tikhonov who observed, albeit with some reservations, that the pedagogical mastery with which the book was written, the simplicity and consistency of the exposition, kept the book from becoming obsolete. 90011 90002 The 1980s saw the beginning of tremendous upheavals in Russia culminating in Perestroika and ultimately the disintegration of the USSR. The educational system became decentralized, market liberalization led to the creation and spread of private schools, each in a position to choose and even publish its own texts.That generation also had its own share of talented authors. An exceptional geometer and a pedagogue, the late I. F. Sharygin, authored a dozen geometry manuals and problem books for all school levels. By 2004 90003 Kiselev’s Geometry 90004 was said to become a bibliographic rarity (although there was a тисяча дев’ятсот дев’яносто вісім edition) and has been republished again as a textbook for teacher colleges. The latest promotional material reads: «Further improvement in teaching of mathematics is impossible unless the teachers become acquainted with the former staples of math education.»90011 90002 The same argument applies to the English speaking market. A good teacher should have deep understanding of the subject matter that comes from being acquainted with multiple pedagogical views and approaches. 90003 Kiselev’s Geometry 90004 is an invaluable source of inspiration for teachers of geometry. 90011 90002 Kiselev’s brevity is notorious. The sentences have been polished through many revisions and by assiduously heeding advice of generations of reviewers, teachers and students.In this respect, I have only a minor grievance. In both parts of the book, whenever the question is of lines or planes being parallel, the author consistently appends to the phrase «… do not intersect each other» the redundant expression «no matter how far they are extended,» probably trying to appeal to the power of visual perception. This practice, in my view, may result in confusion: is it possible 90003 not 90004 to extend «however far» a straight line (as opposed to a line segment)? May a line be unextended? (I do believe, though, that the usage is not a slip of the tongue, but is likely to have a pedagogical reason suppoted by experience.) 90011 90002 The pursuit of brevity is also manifest in a superb balance between what is actually proved in the text, what is left to be proved by the reader, and what is assumed. Kiselev is never dogmatic. His books are the epitome of the logical structure, proof being the main vehicle for building up the material, rather like in Euclid’s 90003 Elements 90004. The diagrams — newly created by the translator — are abundant. On the whole, the economy of presentation is nothing short of remarkable.90011 90002 Just to take one example: 90003 Cavalieri’s Principle 90004. Kiselev rightly observes (p. 45) that to justify it one needs methods that would go beyond elementary mathematics. However, the principle is elegant and useful and mentioning it supplies an engaging historical background along with a viable demonstration of the continuity of the evolution of mathematics over time. So, based on the theory of limits developed in the first part (Planimetry), Kiselev 90003 proves 90004 (although without ever employing the symbol 90003 lim 90004) the principle for triangular pyramids and uses the occasion to mention Hilbert’s third problem.Later on, he applies the principle to determine the volume of a ball (but now without proof) and makes use of the opportunity to mention the work of Archimedes and of the recovery of his tomb by Cicero. 90011 90002 The book is comprised of three original chapters (Lines and Planes, Polyhedra, Round Solids) and one (Vectors and Foundations) added by the translator who also wrote an afterword. The add-on chapter is an excellent introduction to vectors spaces and space dimension that fits snugly into Kiselev’s text and style.The 50+ page chapter (one third of the book, actually) develops a solid foundation for Kiselev’s Geometry and forms an extra link between the Planimetry and Stereometry parts. For example, this is where we meet the notions of 90003 material point 90004 and 90003 barycenter 90004 which lead to the plane theorems of Ceva and Menelaus. The chapter also provides several examples for the views expressed later in the afterword. One of these concerns with role of axioms: nowadays axioms are used for unification purposes, to study similar articles at once.For example, the axioms of the inner product underly the geometry of both Euclidean and Minkowski spaces. The chapter also includes an introduction into other non-Euclidean geometries: spherical and hyperbolic. 90011 90002 Each section of the book is accompanied by a judicious selection of exercises (about 250 of which have been added in the translation.) Many problems are solved in the body of the book, but the exercises come without solutions. The chapters on space symmetries and regular polyhedra have been expanded by the translator; this is the only stereometry book I am aware of which discusses the symmetry about a line along with the central and mirror symmetries in space.90011 90002 In the afterword, Givental offers his thoughts on the changing role of axiomatics (with a reference to Chapter 4) in modern mathematics and the contemporary ideology of math education as related to the teaching of geometry. His analysis of the 90003 van Hiele model 90004 and the supporting research is remarkable. The van Hiele model stipulates that the ability of a learner to process geometric knowledge is determined by the level of geometric abstraction achieved by the learner. The prerequisite for attempting the next level is the mastering of the previous one.The five levels are 90011 90052 90053 90054 Visualization 90055: student identifies shapes. 90056 90053 90054 Analysis 90055: student attributes properties to shapes. 90056 90053 90054 Abstraction 90055: student derives relationships between the properties of shapes. 90056 90053 90054 Deduction 90055: student develops an appreciation of the logical structure that tracks the properties of shapes to axioms. 90056 90053 90054 Rigor 90055: student is able to handle any axiomatic approach without relying on intuition.90056 90073 90002 Since it originated in 1957 van Hiele’s theory has been supported by research and numerous field studies. Givental observes that van Hiele’s theory consists of four independent assertions about the possibility of four transitions between the five levels. The claims regarding the last two transitions hold 90003 logically 90004, from the definition, 90003 simply because many is more than one 90004. The ability to handle an axiomatic approach in general (level 4) implies the ability to handle one of them (level 3).Likewise, the ability to derive 90003 all 90004 properties of shapes from axioms (level 3) implies the ability to derive 90003 some 90004 of them (level 2). 90011 90002 It is possible, perhaps, to justify the need for research regarding the first two transitions: what the theory claims is that the ability to abstract can be achieved only after the two preliminary stages. Giventhal argues, however, that 90003 any 90004 meaningful study or activity in which children get involved in school and elsewhere would bring the same result, implying that the informal geometry need not precede a more rigorous study.This conclusion is reinforced by the fact that the customary approach to informal geometry is mostly preoccupied with naming objects and tautological questions about their names. Givental gives several convincing examples to illustrate this point. 90011 90002 I wish to end the review with a general remark. Although we owe the English edition of 90003 Kiselev’s Geometry 90004 to the private initiative of a single individual, its appearance should be considered in a broader context of the changes in school programs that are shaking the US math education establishment once more.90011 90002 However good or theoretically justified a particular reform might be, its failure is practically a foregone conclusion if forced en masse on the unprepared population of students and teachers. The history of math education reform in the US in the 20 90093 th 90094 century is a sequence of failed innovations. So much so that US educators have begun to look elsewhere for successful practices. Singapore textbooks are now commonly used by individual tutors and crowds of teachers at independent schools.90003 Lessons in Geometry 90004 by Jacques Hadamard is in preparation by the Education Development Center and is due in December 2008. 90003 Kiselev’s Geometry 90004 was one of the cornerstones of the Soviet school of math education — admittedly one of the best in the world. For generations, it influenced geometry teaching in the Eastern Europe and China. Its appearance in the US should be embraced by every single teacher and teacher college: the text worked well for generations of Soviet boys and girls and their teachers.Its introduction to the American user does not come too soon. 90011 90100 90002 90011 90002 Note that while the book’s list price is $ 30, it can be had directly at sumizdat for $ 20. The two books go for a sale price of $ 45. 90011 90002 90011 90100 90002 Alex Bogomolny is a business and educational software developer who lives with his wife and a little son in East Brunswick, NJ. His popular web site Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles is set to welcome its 30,000,000 90093 th 90094 visitor.90011 90100 90002 90011 .90000 Pythagorean Theorem — math word definition 90001 Pythagorean Theorem — math word definition — Math Open Reference 90002 90003 90004 90005 90006 90004 c 90008 2 90009 = a 90008 2 90009 + b 90008 2 90009 90006 90015 90016 Try this Drag the orange dots on each vertex of the right triangle below. The formula showing the calculation of the Pythagorean Theorem will change accordingly. 90017 Although Pythagoras ‘name is attached to this theorem, it was actually known centuries before his time by the Babylonians.There are many proofs of this theorem, some graphical in nature and others using algebra. See A graphical proof of the Pythagorean Theorem for one such proof. 90018 90017 On the web site «cut-the-knot», the author collects proofs of the Pythagorean Theorem, and as of this writing has listed over 70, but hundreds are actually known. 90018 90021 Solving the right triangle 90022 The term «solving the triangle» means that if we start with a right triangle and know any two sides, we can find, or ‘solve for’, the unknown side.This involves a simple re-arrangement of the Pythagoras Theorem formula to put the unknown on the left side of the equation. 90023 Find the hypotenuse 90024 If we know the two legs of a right triangle we can solve for the hypotenuse using the formula: where 90025 90026 a 90027 90028 and 90025 90026 b 90027 90028 are the lengths of the two legs of the triangle, and 90033 90025 90026 h 90027 90028 is the hypotenuse. 90023 Find a leg 90024 If we know the hypotenuse and one leg, we can find the other leg using the formula: where 90025 90026 a 90027 90028 is the leg we wish to find 90033 90025 90026 b 90027 90028 is the known leg 90033 90025 90026 h 90027 90028 is the hypotenuse.90021 The Converse of the Pythagorean Theorem 90022 The converse of this theorem is also true. That is, if a triangle satisfies Pythagoras ‘theorem, then it is a right triangle. Put another way, 90056 only 90057 right triangles will satisfy the theorem. 90021 Things to try 90022 90060 90061 In the figure above, click on ‘reset’. 90062 90061 Check one of the ‘hide’ checkboxes. 90062 90061 Adjust the triangle by dragging an orange dot. 90062 90061 Use the Pythagorean Theorem to find the missing side.90062 90061 Uncheck the ‘hide’ box to check your answer. 90062 90071 90021 Other triangle topics 90022 90023 General 90024 90023 Perimeter / Area 90024 90023 Triangle types 90024 90023 Triangle centers 90024 90023 Congruence and Similarity 90024 90023 Solving triangles 90024 90023 Triangle quizzes and exercises 90024 90017 (C) 2011 Copyright Math Open Reference. 90033 All rights reserved 90018 .90000 Remainder Theorem Formulae and Concepts 90001 90002 The basic remainder formula is: 90003 90004 Dividend = Divisor * Quotient + Remainder 90005 90004 If remainder = 0, then it the number is perfectly divisible by divisor and divisor is a factor of the number e.g. when 8 divides 40, the remainder is 0, it can be said that 8 is a factor of 40. 90005 90002 Formulas Based Concepts for Remainder: 90003 90010 90011 (a 90012 n 90013 + b 90012 n 90013) is divisible by (a + b), when n is odd.90016 90011 (a 90012 n 90013 — b 90012 n 90013) is divisible by (a + b), when n is even. 90016 90011 (a 90012 n 90013 — b 90012 n 90013) is always divisible by (a — b), for every n. 90016 90029 90002 Concept of Negative Remainder: 90003 90004 By definition, remainder can not be negative. But in certain cases, you can assume that for your convenience. But a negative remainder in real sense means that you need to add the divisor in the negative remainder to find the real remainder.90005 90002 Cyclicity in Remainders: 90003 90004 Cyclicity is the property of remainders, due to which they start repeating themselves after a certain point. 90005 90002 Cyclicity Table: 90003 90040 90041 90042 90043 Number 90044 90043 Cyclicity 90044 90047 90042 90049 1 90050 90049 1 90050 90047 90042 90049 2 90050 90049 4 90050 90047 90042 90049 3 90050 90049 4 90050 90047 90042 90049 4 90050 90049 2 90050 90047 90042 90049 5 90050 90049 1 90050 90047 90042 90049 6 90050 90049 1 90050 90047 90042 90049 7 90050 90049 4 90050 90047 90042 90049 8 90050 90049 4 90050 90047 90042 90049 9 90050 90049 2 90050 90047 90042 90049 10 90050 90049 1 90050 90047 90108 90109 90002 Role of Euler’s Number in Remainders: 90003 90004 Euler’s Remainder theorem states that, for co-prime numbers M and N, Remainder [M 90012 E (N) 90013 / N] = 1, i.e. number M raised to Euler number of N will leave a remainder 1 when divided by N. Always check whether the numbers are co-primes are not as Euler’s theorem is applicable only for co-prime numbers. 90005 90002 Important Points 90003 90010 90011 The sum of consecutive five whole numbers is always divisible by 5. 90016 90011 The square of any odd number when divided by 8 will leave 1 as the remainder. 90016 90011 The product of any three consecutive natural numbers is divisible by 8.90016 90011 The unit digit of the product of any nine consecutive numbers is always zero. 90016 90011 For any natural number n, 10 90012 n 90013 -7 is divisible by 3. 90016 90011 Any three-digit number having all the digits same will always be divisible by 37. 90016 90029 .

One Comment

  1. RonaldTax 09.08.2021 at 09:59 - Reply

    free free viagra need prescription for viagra in cyprus? — brand viagra canadian pharmacies

Leave A Comment