Теорема если две стороны и угол между ними: 3 признака равенства треугольников

3 признака равенства треугольников

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Чего только не приходится делать на уроках геометрии! Но нет ничего приятнее, чем сесть и доказать равенство треугольников, используя три признака равенства.

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать. 

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников. 

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. 

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.  

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых AC = A₁C₁,  AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁.

Докажите, что △ABC  =  △A₁B₁C₁.

Доказательство:

При наложении △A

1B₁C₁ на △ABC вершина  A₁  совмещается с вершиной  A,  и сторона  A₁B₁ накладывается на сторону AB,  AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

B₁C₁ = BC, следовательно, △ABC совмещается с △A₁B₁C_{, значит, △ABC = △A1B1C1.}

Теорема доказана.

Важно!

Первый признак используют при доказательстве второго и третьего признаков равенства треугольников.

Познавайте математику вместе с нашими лучшими преподавателями на курсах по математике для учеников с 1 до 11 класса!

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. 

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых:
AC = A₁C₁,  ∠A = ∠A₁,  ∠C = ∠C₁.

Докажите, что △ABC  =  △A₁B₁C₁.

Доказательство:

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной  A

1, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с  A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Если АВ совмещается с А₁В₁, ВС совмещается с В₁С₁, то △ABC совмещается с △A

1B₁C₁, значит, △ABC = △A₁B₁C₁ .

Теорема доказана.

Пройдите тест и узнайте, какие темы отделяют от пятёрки по математике

Добро пожаловать в школу магии.

О нет! Мальчик-молния случайно попал в школьные часы. Теперь они отстают. Мы все можем задержаться в школе

Жми на стрелки сверху, чтобы путешествовать в истории→

‌

Одна ученица когда-то была в школьной кладовке и видела там схему часов

Но в кладовку просто так не попадёшь→

‌

Реши два примера от волшебной статуи на входе в кладовку

\frac{1}{7} + \frac{3}{7} =\frac{4}{7}\frac{5}{7}\frac{4}{14}\frac{2}{7}

\frac{4}{15} — \frac{1}{15} =\frac{1}{3}\frac{1}{5}\frac{3}{30}\frac{1}{10}

‌

Деталь можно сделать из проволоки и формы для заливки металла. Найди их на картинке

‌

Теперь осталось взять инструменты у садовника! Он обменяет их на волшебные бобы для его сада

‌

Для починки часов нужны: молоток, отвертка и плоскогубцы.

2

‌

Мальчик-молния выплавил деталь, часы должны работать! Но они почему-то не идут… Кажется, одной шестерёнки не хватает — она куда-то упала

‌

В коробке, шкатулке, ящике и банке находятся пыльца, волчий корень, золото и шестерёнка. Шестерёнка и пыльца не в коробке, ёмкость с волчьим корнем стоит между ящиком и ёмкостью с золотом, в банке не волчий корень и не шестерёнка. Шкатулка стоит около банки и ёмкостью с пыльцой. В какой ёмкости что находится?

Соедини ёмкости с содержимым на картинках ниже

ШестерёнкаЗолотоВолчий кореньПыльца

‌

Дальше узнаешь свои результаты →

‌

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC  и  △A₁B₁C₁,  у которых:
AC = A₁C₁,
AB = A₁B₁,

CB = C₁B₁.   

Докажите, что △ABC  = △A₁B₁C₁.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, то △A₁C₁С и △B₁C₁С — равнобедренные.

∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника), значит,
∠A₁СB₁ = ∠A₁C₁B₁.
AC = A₁C₁, BC = B₁C₁. 
∠C = ∠C₁, тогда △ABC  = △A₁B₁C₁ (по первому признаку равенства треугольников).

Теорема доказана. 

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

 

1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
   


2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
   


3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
   


4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
   


5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
   

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Анастасия Белова

К предыдущей статье

Как умножать отрицательные числа

К следующей статье

102.8K

Сумма разрядных слагаемых

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Основные факты о треугольниках, теория в ЕГЭ по математике

\[{\Large{\text{Основные сведения}}}\]

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки.

\circ\).

Вертикальные углы равны: \(\alpha=\gamma\).

 

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

 

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. \circ\).

 

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

 

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

 

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

 

\[{\Large{\text{Параллельные прямые}}}\]

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

 

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. \circ\), то \(\angle 4 = \angle 1 + \angle 2\), что и требовалось доказать.  

\[{\Large{\text{Равнобедренный треугольник}}}\]

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона — основанием.

 

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

 

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

 

Доказательство

Пусть \(ABC\) – равнобедренный треугольник, \(AB = BC\), \(BD\) – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(BCD\): \(AB = BC\), \(\angle ABD = \angle CBD\), \(BD\) – общая. Таким образом, \(\triangle ABD = \triangle BCD\) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства этих треугольников следует, что \(AD = DC\), следовательно, \(BD\) – медиана. \circ = \angle CDB\), то есть \(BD\) – высота.

 

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

 

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

 

Доказательство

Проведем биссектрису \(BD\) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда \(\triangle ABD=\triangle CBD\) по первому признаку, следовательно, \(\angle A=\angle C\).

 

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

 

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.  

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. \circ\).

 

Решение треугольников SAS

«SAS» означает «сторона, угол, сторона»

« SAS » — это когда мы знаем две стороны и угол между ними.

Решение треугольника SAS

• использовать закон косинусов для вычисления неизвестной стороны,
• затем используйте закон синусов, чтобы найти меньший из двух других углов,
• , а затем прибавьте к трем углам 180°, чтобы найти последний угол.

Пример 1

В этом треугольнике мы знаем:

• угол А = 49°
• б = 5
• и с = 7

 

Чтобы решить треугольник, нам нужно найти сторону a и углы B и C .

Используйте закон косинусов, чтобы найти сторону a сначала:

a ² = b ² + c ² − 2bc cosA

a ² = 5 ² + 7 ² − 2 × 5 × 7 × cos(49°)

a ² = 25 + 49 − 70 × cos(49°)

a6 2 − 70 × 0,6560. ..

а ² = 74 − 45,924… = 28,075…

а = √28,075…

а = 5,298…

7 до а = 9004 2 знака после запятой

 

Теперь воспользуемся законом синусов, чтобы найти меньший из двух других углов.

Почему меньший угол? Поскольку функция обратного синуса дает ответы менее 90° даже для углов больше 90°. Выбирая меньший угол (у треугольника не может быть двух углов больше 90°), мы избегаем этой проблемы. Примечание: меньший угол обращен к более короткой стороне.

 

Выберите угол B:

sin B / b = sin A / a

sin B / 5 = sin(49°) / 5,298…

Вы заметили, что мы не использовали a = 5.30 . Это число округляется до 2 знаков после запятой. Гораздо лучше использовать неокругленное число 5,298… которое все еще должно быть в нашем калькуляторе с момента последнего расчета.

sin B = (sin(49°) × 5) / 5,298…

sin B = 0,7122…

B = sin ^-1 (0,7122. ..)

B = 45,4° с точностью до одного десятичного знака

 

Теперь находим угол C, который легко найти, используя формулу «углы треугольника прибавляют 180°»:

C = 180° − 49° − 45,4° до одного знака после запятой

 

Теперь мы полностью решили треугольник, т.е. нашли все его углы и стороны.

 

Пример 2

Это также треугольник SAS.

Прежде всего найдем r по закону косинусов:

r ² = p ² + q ² − 2pq cos R

9 90905 r 900 0059 2 + 2,6 ² — 2 х 6,9 х 2,6 х cos(117°)

r ² = 47,61 + 6,76 — 35,88 х cos(117°)

r ^{2 х 2 х 54,7-} = 54,3 … )

р ² = 54,37 + 16,289… = 70,659…

r = √70,659…

r = 8,405… = 8,41 до 2 знаков после запятой

 

Теперь о законе синусов.

Выбрать меньший угол? Мы не должны! Угол R больше 90°, поэтому углы P и Q должны быть меньше 90°.

 

sin P / p = sin R / r

sin P / 6,9 = sin(117°) / 8,405…

sin P = (sin(117°) × 6,9) / 8,405…

sin P = 0,7313…

P = sin ^-1 (0,7313…)

P = 47,0° с точностью до одного десятичного знака

 

Теперь найдем угол Q, используя формулу «углы треугольника прибавить к 180°05»:

 

Q = 180° − 117° − 47,0°

Q = 16,0° с точностью до одного десятичного знака

Для овладения этим навыком требуется много практики, поэтому попробуйте ответить на эти вопросы:

265, 3961, 1546, 266, 1547, 1548, 1562, 2374, 2375, 3962

Угол Боковой Угол (ASA) Теорема

В геометрии теорема об угле, стороне и угле утверждает, что если два угла и не включенная в них сторона одного треугольника конгруэнтны двум углам и не входящей в них стороне другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны.

 

Эта теорема полезна по-разному. Во-первых, его можно использовать для доказательства конгруэнтности двух треугольников без прохождения всего процесса Side Side Side (SSS) или Side Angle Side (SAS). Во-вторых, его можно использовать в обратном порядке, чтобы помочь вам решить проблемы. Например, если у вас есть ASA и два угла, но только одна длина стороны, вы можете использовать теорему, чтобы вычислить недостающую длину стороны.

 

Как доказать соответствие треугольника с ASA

Чтобы доказать конгруэнтность двух треугольников с помощью ASA, необходимо выполнить несколько шагов. Сначала обозначьте каждый треугольник соответствующими углами и сторонами. Затем составьте утверждение о конгруэнтности, например, «Угол A равен углу J», «Угол B равен углу K» и «Сторона a равна стороне j». Как только вы настроите утверждение о конгруэнтности, вы можете приступить к индивидуальным доказательствам.

 

Для этого вам потребуется использовать один или несколько из следующих постулатов или теорем: 

 

Рефлексивное свойство конгруэнтности: если точка A конгруэнтна точке A, то отрезок AB конгруэнтен отрезку AB.

 

Подстановочное свойство: если отрезок AB конгруэнтен отрезку CD, а отрезок BC конгруэнтен отрезку AD, то треугольник ABC конгруэнтен треугольнику CDA.

 

CPCTC: Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны.

 

ASA: Если угол A равен углу J, угол B равен углу K, а сторона a равна стороне j, то треугольник ABC равен треугольнику JKL.

   

После того, как вы доказали, что все три соответствующие части действительно конгруэнтны, вы можете заявить, что, поскольку ASA выполняется, треугольники ABC и JKLa, следовательно, конгруэнтны по ASA! Обязательно напишите это в своем окончательном доказательстве, чтобы потом не возникло путаницы.

   

Заключение

Теорема об угле, стороне и углу — это мощный инструмент в геометрии, который можно использовать для быстрого доказательства SSS или SAS, а также для помощи в решении задач при наличии конкретной информации. Просто помните, что при использовании ASA все три соответствующие части должны быть конгруэнтны, чтобы общее доказательство было верным!

 

Часто задаваемые вопросы

Что такое боковой угол в геометрии?

Side Side Angle (SSA) — это теорема геометрии, которая утверждает, что если две стороны и угол между ними одного треугольника конгруэнтны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны.

 

Что такое SSS SAS ASA AAS в геометрии?

SSS, SAS, ASA и AAS — это разные теоремы, которые можно использовать для доказательства равенства треугольников. SSS утверждает, что если все три стороны одного треугольника конгруэнтны всем трем сторонам другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны. SAS утверждает, что если две стороны и угол между ними одного треугольника конгруэнтны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны. АСА утверждает, что если два угла и сторона между ними одного треугольника равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, то эти два треугольника равны. Согласно ААС, если два угла и сторона, не заключенная между ними, одного треугольника равны двум углам и стороне, не заключенной между ними, другого треугольника, то эти два треугольника равны.

 

Что такое формула угла стороны угла?

Формула угла стороны угла (ASA) утверждает, что если два угла и сторона между ними одного треугольника конгруэнтны двум углам и стороне между ними другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны.