Закон сохранения импульса на плоскости

Оглавление:

  • Теория
  • Задачи
  • Задача 1
  • Задача 2.
  • Задача 3.
  • Задача 4.

Из кодификатора по физике, 2020.
«1.4.3. Закон сохранения импульса: в ИСО

Теория

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела m на его скорость :

— Обозначается буквой , измеряется в килограмм-метр в секунду (кг∙м/с).
— Импульс тела направлен в ту же сторону, что и скорость тела, и наоборот.

Изменение импульса тела

где и — конечный и начальный импульсы тела, и — конечная и начальная скорости тела, m — масса тела.

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов тел входящих в эту систему

где m1, m2, … — массы тел системы, — скорости тел системы.

Изменение импульса системы тел

где — конечный импульс системы тел, — начальный импульс системы тел, m1, m2, … — массы тел системы, — конечные скорости тел системы, — начальные скорости тел системы.

Импульс силы — векторная физическая величина, равная произведению силы на время t ее действия:

— Обозначается буквой , измеряется в Ньютон на секунду (Н∙с).
— Импульс силы направлен в ту же сторону, что и сила, и наоборот.

Закон сохранения импульса:

в инерциальной системе отсчета (ИСО) векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю.

Задачи на применение закона сохранения импульса тел (системы тел) решайте, придерживаясь следующего плана:

1. Сделайте схематический чертеж. Укажите направления осей координат ОX и ОY.

— Материальную точку изобразите в виде двух прямоугольников (или окружностей) и укажите над ними (если это известно) направления скорости или импульса до и после взаимодействия.
— Индексы скоростей, импульсов на рисунке должны соответствовать индексам скоростей, импульсов в условии.

2. Определите, векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю или нет. Если равна нулю, то запишите закон сохранения импульса тел в векторном виде и в проекциях.

Определите значения проекций всех величин.

3. Решите полученные уравнения.
 

к оглавлению ▴

Задачи

Задача 1

Два тела движутся по взаимно перпендикулярным пересекающимся прямым, как показано на рисунке. Модуль импульса первого тела p1 = 4 кг⋅м/с, а второго тела p2= 3 кг⋅м/с . Чему равен модуль импульса системы этих тел после их абсолютно неупругого удара?

Решение. Импульс тел изменяет их столкновение. До удара двигались тела отдельно друг от друга. После неупругого удара тела двигались вместе.

Внешних сил нет, поэтому запишем закон сохранения импульса

1 способ (координатный). Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда импульс тел (направление которого неизвестно) будет равен (рис. 2, а)

Направление осей OХ и OY показаны на рисунке условия. Запишем уравнение (1) в проекциях на оси:

После подстановки уравнений (3) и (4) в (2) получаем:

2 способ (векторный). Построим треугольник импульсов по уравнению (1) (рис. 2, б). Модуль импульса p после удара найдем по теореме Пифагора


 

к оглавлению ▴

Задача 2.

По гладкой горизонтальной плоскости движутся вдоль осей X и Y две шайбы с импульсами, равными по модулю p10 = 5 кг·м/с и p20 = 3 кг·м/с (рис. 3). После их соударения первая шайба продолжает двигаться по оси Y в прежнем направлении. Модуль импульса первой шайбы после удара равен p1 = 2 кг·м/с. Найдите модуль импульса второй шайбы после удара. Ответ округлите до десятых.

Решение. Импульс шайб изменяет их столкновение. До удара шайбы двигались отдельно друг от друга. После удара шайбы так же двигались отдельно.

Внешних сил нет, поэтому запишем закон сохранения импульса

1 способ (координатный). Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда импульс вто-рой шайбы (направление которого неизвестно) будет равен

Направление осей OХ и OY показаны на рисунке 4. Запишем уравнение (1) в проекциях на оси:

После подстановки уравнений (3) и (4) в (2) получаем:

 

к оглавлению ▴

Задача 3.

Лодка массой 100 кг плывет без гребца вдоль пологого берега со скоростью 1 м/с. Мальчик массой 50 кг прыгает с берега в лодку со скоростью 2 м/с так, что векторы скорости лодки и мальчика составляют прямой угол. Определите значение и направление скорости лодки (в см/с) с мальчиком. Ответ округлите до целых.

Решение. Скорость лодки изменяет прыжок мальчика. До прыжка двига-лись лодка и мальчик отдельно друг от друга. После прыжка мальчик и лодка двигались вместе.

Векторная сумма внешних сил (силы тяжести и силы реакции опоры) равна нулю, поэтому запишем закон сохранения импульса


1 способ (координатный). Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда скорость лодки с мальчиком (направление которой неизвестно) будет равна

Направим ось OХ вдоль начальной скорости лодки, ось OY — вдоль начальной скорости мальчика, т.к. векторы скорости лодки и мальчика составляют прямой угол (рис. 5, а). Запишем уравнение (1) в проекциях на оси:

После подстановки уравнений (3) и (4) в (2) получаем:


Направление скорости υ определим следующим образом (рис. 5, б):

Примечание. Угол α можно было определить и через другие формулы


2 способ (векторный). Построим треугольник импульсов по уравнению (1) (рис. 5, в). Модуль скорости υ после прыжка найдем по теореме Пифагора

Направление скорости υ определим следующим образом (см. рис. 5, в):


 

к оглавлению ▴

Задача 4.

Летящий снаряд разрывается на два осколка, при этом первый осколок летит со скоростью 50 м/с под углом 90° по отношению к направлению движения снаряда, а второй — со скоростью 200 м/с под углом 30°. Найдите отношение массы первого осколка к массе второго осколка.

Скорость снаряда изменяет взрыв. До взрыва двигался только снаряд. После взрыва осколки снаряда двигались отдельно друг от друга.

Внешних сил нет, поэтому запишем закон сохранения импульса

1 способ (координатный). Направим ось OХ вдоль начальной скорости снаряда, ось OY — вдоль конечной скорости первого осколка (рис. 6, а). Запишем уравнение (1) в проекции на ось:

2 способ (векторный). Построим треугольник импульсов по уравнению (1) (рис. 6, б). Тогда из прямоугольного треугольника получаем

Автор Сакович А.Л.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Закон сохранения импульса на плоскости» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08. 04.2023

Тесты для подготовки к ЕГЭ по физике

Импульс тела (2018).

1. Навстречу друг другу летят шарики из пластилина. Модули их импульсов равны  соответственно 0,05 кг м /с и 0,03 кгм/с. Столкнувшись, шарики слипаются. Импульс слипшихся шариков равен…

2. Санки после толчка движутся по горизонтальной дорожке. Как изменится модуль импульса санок, если на них в течение 5 с действует сила трения о снег, равная 20 Н?

3. На неподвижный бильярдный шар налетел другой – такой же. После удара шары разлетелись под углом 90˚ так, что импульс одного Р1 = 0,3 кг∙м/с, а другого Р2 = 0,4 кг∙м/с (см. рисунок). Налетевший шар имел до удара импульс, равный …

5. Если на вагонетку массой m, движущуюся по горизонтальным рельсам со скоростью v, сверху вертикально опустить груз, масса которого равна половине массы вагонетки, то скорость вагонетки с грузом станет равной …

6. На рисунке представлена установка, собранная для измерения скорости пули. Если  пуля массой m попадает в брусок массой М и застревает в нем, то брусок поднимается на высоту h. Как определить скорость пули v0?

 

7. С балкона высотой 20 м упал на землю мяч массой 0,2 кг. Из-за сопротивления воздуха скорость мяча у земли оказалась на 20% меньше скорости тела, свободно падающего с высоты 20 м. Импульс мяча в момент падения равен …

8. Пластилиновый шар массой 0,1 кг имеет скорость 1 м/с. Он налетает на неподвижную тележку массой 0,1 кг, прикрепленную к пружине, и прилипает к тележке (см. рисунок). Чему равна полная механическая энергия системы при ее дальнейших колебаниях? Трением пренебречь. 

9. Скорость тела массой m = 0,1 кг изменяется в соответствии с уравнением Vx = 0,05sin10∙t. Его импульс в момент времени 0,2 с приблизительно равен …

10. Всегда ли в инерциальных системах отсчета выполняются законы сохранения механической энергии и импульса системы тел, на которые не действуют внешние силы?

  

 1) 

всегда выполняются оба закона

  

 2) 

закон сохранения механической энергии выполняется всегда, закон сохранения импульса может не выполняться

  

 3) 

закон сохранения импульса выполняется всегда, закон сохранения механической энергии может не выполняться

  

 4) 

оба закона могут не выполняться

11. Тело свободно падает на Землю. Изменяются ли при падении тела импульс тела, импульс Земли и суммарный импульс системы «тело–Земля», если считать эту систему замкнутой?

  

 1) 

импульс тела, импульс Земли и импульс системы «тело–Земля» не изменяются

  

 2) 

импульс тела изменяется, а импульс Земли и импульс системы «тело–Земля» не изменяются

  

 3) 

импульс тела и импульс Земли изменяются, а импульс системы «тело–Земля» не изменяется

  

 4) 

импульс тела, импульс Земли и импульс системы «тело–Земля» изменяются

13. Шар массой 200 г падает с начальной скоростью 10 м/с на неподвижную, горизонтально расположенную платформу, под углом 45˚ к ней. Модуль изменения импульса шара в результате абсолютно упругого удара шара о платформу равен …

16. Две тележки движутся вдоль одной прямой в одном направлении. Массы тележек m  и 2m, скорости – соответственно 2v и v. Какой будет их скорость после абсолютно неупругого столкновения?

17. На графике показана зависимость проекции импульса Рх тележки от времени. Какой вид имеет график изменения проекции равнодействующей всех сил Fх, действующих на тележку, от времени?

  

 1) 

  

 2) 

  

 3) 

 4) 

  

18. Шарик массой 100 г, движущийся со скоростью 1 м/с, абсолютно упруго ударяется о горизонтальную плоскость. Направление скорости шарика составляет  с плоскостью угол 30˚. Определите модуль изменения импульса шарика в результате удара.

19. Тело массой 2 кг движется вдоль оси ОХ. Его координата меняется в соответствии с уравнением х = А +Bt + Ct2, где А = 2 м, В = 3 м/с, С = 5 м/с2. Чему равен импульс тела в момент времени t = 2 c?

20. Мальчик массой 50 кг, стоя на очень гладком льду, бросает груз массой 8 кг под углом 60о к горизонту со скоростью 5 м/с. Какую скорость приобретет мальчик?

24. Мяч массой m брошен вертикально вверх с начальной скоростью  . Каково изменение импульса мяча за время от начала движения до возвращения в исходную точку, если сопротивление воздуха пренебрежимо мало?

25. Два автомобиля одинаковой массы m движутся со скоростями v и 2v относительно Земли в противоположных направлениях. Чему равен модуль импульса второго автомобиля в системе отсчета, связанной с первым автомобилем?

27. Тело движется по прямой. Под действием постоянной силы  5 Н импульс тела уменьшился от 25 кг∙м/с до 15 кг∙м/с. Для этого потребовалось … времени.

29. Скорость брошенного мяча непосредственно перед ударом о стену была вдвое больше его скорости сразу после удара. Какое количество теплоты выделилось при ударе, если перед ударом кинетическая энергия мяча была равна 20 Дж?

30. Шар массой 1 кг, подвешенный на нити длиной 90 см, отводят от положения равновесия на угол 60º и отпускают. В момент прохождения шаром положения равновесия в него попадает пуля массой 10 г, летящая навстречу шару со скоростью 300 м/с. Она пробивает его и вылетает горизонтально со скоростью 200 м/с, после чего шар продолжает движение в прежнем направлении. На какой максимальный угол отклонится шар после попадания в него пули? (Массу шара считать неизменной, диаметр шара ­– пренебрежимо малым по сравнению с длиной нити. ) ­

32. Брусок массой m1 = 500 г соскальзывает по наклонной плоскости с высоты  h = 0,8 м и, двигаясь по горизонтальной поверхности, сталкивается с неподвижным бруском массой m2 = 300 г. Считая столкновение абсолютно неупругим, определите общую кинетическую энергию брусков после столкновения. Трением при движении пренебречь. Считать, что наклонная плоскость плавно переходит в горизонтальную.

35. Кусок пластилина сталкивается со скользящим навстречу по горизонтальной поверхности стола бруском и прилипает к нему. Скорости пластилина и бруска перед ударом направлены противоположно и равны vпл = 15 м/с и vбр = 5 м/с. Масса бруска в 4 раза больше массы пластилина. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом μ = 0,17. На какое расстояние переместятся слипшиеся брусок с пластилином к моменту, когда их скорость уменьшится на 30%?

39. Легковой автомобиль и грузовик движутся со скоростями ϑ1 = 108 км/ч и ϑ2 = 54 км/ч. Масса автомобиля  m = 1000 кг. Какова масса грузовика, если  отношение импульса грузовика к импульсу автомобиля равно 1,5?

41. Два шарика, массы которых m = 0,1 кг и М = 0,2 кг, висят, соприкасаясь, на вертикальных нитях длиной l = 1,5 м (см. рисунок). Левый шарик отклоняют на угол 90° и отпускают без начальной скорости. Какое количество теплоты выделится в результате абсолютно неупругого удара шариков?

43. Два тела движутся по взаимно перпендикулярным пересекающимся прямым, как показано на рисунке. Модуль импульса первого тела р1 = 4 кг · м/с, а второго тела р2 = 3 кг · м/с. Чему равен модуль импульса системы этих тел после их абсолютно неупругого удара?

  

 1) 

1 кг · м/с

  

 2) 

4 кг · м/с

  

 3) 

5 кг · м/с

  

 4) 

7 кг · м/с

46. Шайба съезжает без трения из состояния покоя с горки высотой H. Ускорение свободного падения равно g. У подножия горки кинетическая энергия шайбы равна Eк. Чему равны масса шайбы и модуль её импульса у подножия горки?

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

  

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА

 

ФОРМУЛА

А) 

масса шайбы

Б) 

модуль импульса шайбы у подножия горки

   

1) 

2) 

3) 

4) 

47. Два пластилиновых шарика массами 2m и m находятся на горизонтальном гладком столе. Первый из них движется ко второму со скоростью → , а второй покоится относительно стола. Укажите формулы, по которым можно рассчитать модули изменения скоростей шариков в результате их абсолютно неупругого удара. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

  

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

 

ФОРМУЛЫ

А) 

модуль изменения скорости первого шарика

Б) 

модуль изменения скорости второго шарика

   

1) 

2) 

3) 

4) 

48. На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0-1 и 1-2?

  

 1) 

в интервале 0–1 не двигалось, в интервале 1–2 двигалось равномерно

  

 2) 

в интервале 0–1 двигалось равномерно, в интервале 1–2 двигалось равноускоренно

  

 3) 

в интервалах 0-1 и 1-2 двигалось равномерн

  

 4) 

в интервалах 0-1 и 1-2 двигалось равноускоренно

51. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка с двумя вершинами, высоты которых h и 5/2 h (см. рисунок). На правой вершине горки находится шайба. От незначительного толчка шайба и горка приходят в движение, причём шайба движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. Скорость шайбы на левой вершине горки оказалась равной v. Найдите отношение масс шайбы и горки.

53. Дом стоит на краю поля. С балкона с высоты 5 м мальчик бросил камешек в горизонтальном направлении. Начальная скорость камешка 7 м/с, его масса 0,1 кг. Через 2 с после броска импульс камешка приблизительно равен …

55. Перед ударом два пластилиновых шарика движутся по одной прямой навстречу друг другу. При ударе они останавливаются, при этом выделяется 7,5 Дж теплоты. Массы шариков m1 =100 г и m2=200 г. Модуль импульса первого шарика перед ударом равен …

58. Мяч массой 0,1 кг падает с высоты 1,6 м из состояния покоя на горизонтальный пол. В результате удара об пол модуль импульса мяча уменьшается на 10%. При ударе выделилось количество теплоты, равное …

60. На движущееся тело массой 2 кг начала действовать постоянная тормозящая сила. Величина импульса этой силы к моменту остановки тела составила 
4 Н . с. Какой была скорость тела в момент начала торможения?

Значение g

В блоке 2 кабинета физики было дано уравнение для определения силы тяжести ( F grav ), с которой объект массой м притянулся к земле

 

F грав = м*г

Теперь в этой единице введено второе уравнение для расчета силы тяжести, с которой объект притягивается к земле.

где д представляет собой расстояние от центра объекта до центра земли.

В первом уравнении g называется ускорением свободного падения. Его значение составляет 9,8 м/с 2 на Земле.

То есть ускорение свободного падения на поверхности земли на уровне моря составляет 9,8 м/с 2 . При обсуждении ускорения свободного падения было упомянуто, что значение g зависит от местоположения. Существуют небольшие вариации значения g относительно земной поверхности. Эти вариации являются результатом различной плотности геологических структур под каждым конкретным местом на поверхности. Они также являются результатом того факта, что Земля не имеет истинной сферической формы; земная поверхность дальше от центра на экваторе, чем на полюсах. Это привело бы к большим значениям g на полюсах. По мере того, как человек продвигается дальше от земной поверхности — скажем, в положение на орбите вокруг Земли — значение g все еще меняется.

Значение g зависит от местоположения

Чтобы понять, почему значение g так сильно зависит от местоположения, мы воспользуемся двумя приведенными выше уравнениями, чтобы вывести уравнение для значения g. Во-первых, оба выражения для силы тяжести приравниваются друг к другу.

Теперь заметим, что масса объекта — м — присутствует по обе стороны от знака равенства. Таким образом, m можно исключить из уравнения. Это оставляет нам уравнение для ускорения свободного падения.

Приведенное выше уравнение показывает, что ускорение свободного падения зависит от массы Земли (приблизительно 5,98×10

24 кг) и расстояния ( d ), на котором объект находится от центра Земли. Если для расстояния от центра Земли используется значение 6,38×10 6 м (типичное значение радиуса Земли), то g будет рассчитано как 9,8 м/с 2 . И, конечно же, значение g будет меняться по мере удаления объекта от центра Земли. Например, если объект был перемещен в место, которое находится на расстоянии двух земных радиусов от центра Земли, то есть в два раза больше 6,38×10 6 м — тогда будет найдено существенно другое значение g.
Как показано ниже, на удвоенном расстоянии от центра Земли значение g становится равным 2,45 м/с 2 .


В таблице ниже показано значение g в различных точках от центра Земли.

Местоположение

Расстояние от центра Земли
(м)

Значение г
(м/с 2 )

Поверхность Земли

6,38 x 10 6 м

9,8

1000 км над поверхностью

7,38 х 10 6 м

7,33

2000 км над поверхностью

8,38 x 10 6 м

5,68

3000 км над поверхностью

9,38 x 10 6 м

4,53

4000 км над поверхностью

1,04 x 10 7 м

3,70

5000 км над поверхностью

1,14 x 10 7 м

3,08

6000 км над поверхностью

1,24 x 10 7 м

2,60

7000 км над поверхностью

1,34 x 10 7 м

2,23

8000 км над поверхностью

1,44 x 10 7 м

1,93

9000 км над поверхностью

1,54 x 10 7 м

1,69

10000 км над поверхностью

1,64 x 10 7 м

1,49

50000 км над поверхностью

5,64 x 10 7 м

0,13


Как видно из приведенного выше уравнения и таблицы, значение g изменяется обратно пропорционально расстоянию от центра Земли.

Фактически изменение g с расстоянием следует закону обратных квадратов, где g обратно пропорционально расстоянию от центра Земли. Эта зависимость обратного квадрата означает, что при удвоении расстояния значение g уменьшается в 4 раза. При утроении расстояния значение g уменьшается в 9 раз.. И так далее. Эта обратная квадратичная зависимость изображена на рисунке справа.

 


Расчет g на других планетах

То же уравнение, используемое для определения значения g на поверхности Земли, можно также использовать для определения ускорения свободного падения на поверхности других планет. Значение g на любой другой планете можно рассчитать по массе планеты и радиусу планеты. Уравнение принимает следующий вид:

С помощью этого уравнения можно рассчитать следующие значения ускорения силы тяжести для различных планет.

Планета

Радиус (м)

Масса (кг)

г (м/с 2 )

Меркурий

2,43 x 10 6

3,2 x 10 23

3,61

Венера

6,073 x 10 6

4,88 x 10 24

8,83

Марс

3,38 x 10 6

6,42 x 10 23

3,75

Юпитер

6,98 x 10 7

1,901 x 10 27

26,0

Сатурн

5,82 x 10 7

5,68 x 10 26

11,2

Уран

2,35 х 10 7

8,68 x 10 25

10,5

Нептун

2,27 x 10 7

1,03 x 10 26

13,3

Плутон

1,15 x 10 6

1,2 x 10 22

0,61

 

Ускорение свободного падения объекта является измеримой величиной. Тем не менее, из универсального закона всемирного тяготения Ньютона вытекает предсказание, в котором говорится, что его значение зависит от массы Земли и расстояния объекта от центра Земли. Значение g не зависит от массы объекта и зависит только от местоположение — планета, на которой находится объект, и расстояние от центра этой планеты.

 

Расследуй!

Даже на поверхности Земли существуют локальные вариации значения g. Эти вариации обусловлены широтой (Земля не идеальная сфера, она имеет выпуклость посередине), высотой и местной геологической структурой региона. Используйте виджет Gravitational Fields ниже, чтобы исследовать, как местоположение влияет на значение g. А чтобы получить более наглядное представление, попробуйте соответствующий Value of g Interactive из раздела Physics Interactives на нашем веб-сайте.

Мы хотели бы предложить . ..

Иногда недостаточно просто прочитать об этом. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего Интерактивного Гравитации и/или нашего Интерактивного Значения g на Других Планетах. Вы можете найти их в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Оба интерактива позволяют учащемуся в интерактивном режиме исследовать влияние характеристик планеты на гравитационное поле.


Посетите:  Гравитация  | Значение g на других планетах

 

Перейти к следующему уроку:

8.3 Упругие и неупругие столкновения — физика

Раздел Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Различать упругие и неупругие столкновения
  • Решите задачи о столкновениях, применив закон сохранения импульса

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим учащимся освоить следующие стандарты:

  • (6) Научные концепции. Учащийся знает, что изменения происходят в физической системе, и применяет законы сохранения энергии и импульса. Ожидается, что студент:
    • (C) вычислить механическую энергию, мощность, генерируемую внутри, приложенный к ней импульс и импульс физической системы;
    • (D) продемонстрировать и применить законы сохранения энергии и сохранения количества движения в одном измерении.

Основные термины раздела

Упругие и неупругие столкновения

Когда объекты сталкиваются, они могут либо слипаться, либо отскакивать друг от друга, оставаясь отдельными. В этом разделе мы рассмотрим эти два разных типа столкновений, сначала в одном измерении, а затем в двух измерениях.

При упругом столкновении объекты разделяются после удара и не теряют своей кинетической энергии. Кинетическая энергия — это энергия движения, и она подробно описана в другом месте. Здесь очень полезен закон сохранения количества движения, и его можно использовать всякий раз, когда результирующая внешняя сила, действующая на систему, равна нулю. На рис. 8.6 показано упругое столкновение, при котором импульс сохраняется.

Рисунок 8,6 На диаграмме показано одномерное упругое столкновение двух объектов.

Анимацию упругого столкновения шаров можно посмотреть, посмотрев это видео. Он воспроизводит упругие столкновения между шарами разной массы.

Совершенно упругие столкновения могут происходить только с субатомными частицами. Ежедневно наблюдаемых примеров идеально упругих столкновений не существует — часть кинетической энергии всегда теряется, поскольку она преобразуется в теплопередачу из-за трения. Однако столкновения между повседневными объектами почти идеально эластичны, когда они происходят с объектами и поверхностями, которые почти не имеют трения, например, с двумя стальными блоками на льду.

Теперь для решения задач, связанных с одномерными упругими столкновениями двух объектов, мы можем использовать уравнение сохранения импульса. Во-первых, уравнение сохранения количества движения двух тел при одномерном столкновении имеет вид

.

p1+p2=p’1+p’2(Fnet=0).p1+p2=p’1+p’2(Fnet=0).

Подставляя определение импульса p = m v для каждого начального и конечного импульсов, получаем

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2,m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2,

, где штрихи (‘) обозначают значения после столкновения; В некоторых текстах вы можете увидеть и для начального (до столкновения) и f для конечного (после столкновения). Уравнение предполагает, что масса каждого объекта не меняется во время столкновения.

Смотреть физику

Импульс: фигуристка бросает мяч

В этом видео рассматривается задача об упругом столкновении, в которой мы находим скорость отдачи фигуриста, бросающего мяч прямо вперед. Чтобы уточнить, Сал использует уравнение

mballVball+mskaterVskater=mballv’ball+mskaterv’skatermballVball+mskaterVskater=mballv’ball+mskaterv’skater .

Результирующий вектор сложения векторов \overrightarrow{\text{a}} и \overrightarrow{\text{b}} равен \overrightarrow{\text{r}}. Величины \overrightarrow{\text{a}}, \overrightarrow{\text{b}} и \overrightarrow{\text{r}} равны A, B и R соответственно. Какие из следующих утверждений верно?

  1. Р_х + Р_у = 0

  2. A_x + A_y = \overrightarrow{\text{A}}

  3. А_х + В_у = В_х + А_у

  4. А_х + В_х = Р_х

Теперь обратимся ко второму типу столкновения. Неупругое столкновение — это столкновение, при котором кинетическая энергия не сохраняется. Совершенно неупругое столкновение (также иногда называемое полностью или максимально неупругим) — это столкновение, при котором объекты слипаются после удара и теряется максимальное количество кинетической энергии. Это отсутствие сохранения означает, что силы между сталкивающимися объектами могут преобразовывать кинетическую энергию в другие формы энергии, такие как потенциальная энергия или тепловая энергия. Понятия энергии обсуждаются более подробно в другом месте. При неупругих столкновениях кинетическая энергия может теряться в виде тепла. На рис. 8.7 показан пример неупругого столкновения. Два объекта с одинаковой массой движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью, а затем слипаются. Два объекта останавливаются после слипания, сохраняя импульс, но не кинетическую энергию после столкновения. Часть энергии движения преобразуется в тепловую энергию или тепло.

Рисунок 8,7 Одномерное неупругое столкновение двух объектов. Импульс сохраняется, но кинетическая энергия не сохраняется. а) Два тела одинаковой массы первоначально движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью. (b) Объекты слипаются, создавая совершенно неупругое столкновение. В случае, показанном на этом рисунке, объединенные объекты останавливаются; Это верно не для всех неупругих столкновений.

Поскольку два объекта слипаются после столкновения, они движутся вместе с одинаковой скоростью. Это позволяет упростить уравнение сохранения импульса из

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2

от

до

m1v1+m2v2= (m1+m2)v’m1v1+m2v2= (m1+m2)v’

для неупругих столкновений, где v ′ — конечная скорость обоих объектов, когда они слипаются, либо в движении, либо в состоянии покоя.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL][OL] Повторите понятие внутренней энергии. Спросите учащихся, что они понимают под словами эластичный и неэластичный.

[AL] Начать обсуждение коллизий. Попросите учащихся привести примеры упругих и неупругих столкновений.

Смотреть физику

Введение в Импульс

В этом видео рассматриваются определения импульса и импульса. Также рассматривается пример использования закона сохранения импульса для решения задачи о неупругом столкновении автомобиля с постоянной скоростью и неподвижного грузовика. Обратите внимание, что Сал случайно называет единицей измерения импульса джоули; на самом деле это N ⋅⋅ с или k ⋅⋅ г/с.

Проверка захвата

Как изменилась бы конечная скорость системы «автомобиль плюс грузовик», если бы грузовик имел некоторую начальную скорость, движущуюся в том же направлении, что и автомобиль? Что, если бы грузовик изначально двигался в направлении, противоположном легковому? Почему?

  1. Если бы грузовик изначально двигался в том же направлении, что и автомобиль, конечная скорость была бы больше. Если бы грузовик изначально двигался в направлении, противоположном легковому, конечная скорость была бы меньше.
  2. Если бы грузовик изначально двигался в том же направлении, что и автомобиль, конечная скорость была бы меньше. Если бы грузовик изначально двигался в направлении, противоположном легковому, конечная скорость была бы больше.
  3. Первоначальное направление движения грузовика не имело значения. Если бы грузовик изначально двигался в любом направлении, конечная скорость была бы меньше.
  4. Первоначальное направление движения грузовика не имело значения. Если бы грузовик изначально двигался в любом направлении, конечная скорость была бы больше.

Снап Лаборатория

Кубики льда и упругие столкновения

В этом упражнении вы будете наблюдать упругое столкновение, вставляя кубик льда в другой кубик льда на гладкой поверхности, так что незначительное количество энергии преобразуется в тепло.

  • Несколько кубиков льда (Лед должен быть в форме кубиков.)
  • Гладкая поверхность

Процедура

  1. Найдите несколько кубиков льда примерно одинакового размера и гладкую кухонную столешницу или стол со стеклянной столешницей.
  2. Положите кубики льда на поверхность на расстоянии нескольких сантиметров друг от друга.
  3. Подбросьте один кубик льда к неподвижному кубику льда и наблюдайте траекторию и скорость кубиков льда после столкновения. Старайтесь избегать боковых столкновений и столкновений с вращающимися кубиками льда.
  4. Объясните скорости и направления кубиков льда, используя импульс.

Удар был упругим или неупругим?

  1. идеально эластичный

  2. абсолютно неэластичный

  3. Почти идеальная эластичность

  4. Почти идеальная неэластичность

Советы для успеха

Вот уловка, позволяющая запомнить, какие столкновения являются упругими, а какие неупругими: Эластичный — это упругий материал, поэтому, когда объекты отскакивают друг от друга при столкновении и разделяются, это упругое столкновение. Когда их нет, столкновение неупругое.

Решение проблем столкновений

Видео Академии Хана, упомянутые в этом разделе, показывают примеры упругих и неупругих столкновений в одном измерении. В одномерных столкновениях входящая и исходящая скорости лежат на одной линии. А как насчет столкновений, например, между бильярдными шарами, при которых предметы разлетаются в стороны? Это двумерные столкновения, и так же, как мы делали это с двумерными силами, мы решим эти проблемы, выбрав сначала систему координат и разделив движение на его 9 частей.Компоненты 0622 x и y .

Одна из сложностей с двумерными столкновениями заключается в том, что объекты могут вращаться до или после столкновения. Например, если два фигуриста берутся за руки, проходя мимо друг друга, они будут вращаться по кругу. Такой поворот мы будем рассматривать позже, а пока устроим так, что поворот невозможен. Чтобы избежать вращения, мы рассматриваем только рассеяние точечных масс, то есть бесструктурных частиц, которые не могут вращаться или вращаться.

Начнем с предположения, что F net = 0, так что импульс p сохраняется. Простейшим столкновением является такое, при котором одна из частиц изначально покоится. Наилучший выбор системы координат — с осью, параллельной скорости приближающейся частицы, как показано на рис. 8.8. Поскольку импульс сохраняется, компоненты импульса вдоль осей x и y отображаются как p x и p y , также будут сохранены. В выбранной системе координат p y изначально равно нулю, а p x является импульсом налетающей частицы.

Рисунок 8,8 Двумерное столкновение с системой координат, выбранной так, что м 2 изначально покоятся, а v 1 параллельны оси x .

Теперь возьмем уравнение сохранения импульса 004 2 и разбить его на его х и Компоненты и .

Вдоль оси x уравнение сохранения импульса имеет вид

p1x+p2x=p’1x+p’2x.p1x+p2x=p’1x+p’2x.

В терминах масс и скоростей это уравнение равно

m1v1x+m2v2x=m1v′1x+m2v′2x.m1v1x+m2v2x=m1v′1x+m2v′2x.

8.3

Но поскольку частица 2 изначально покоится, это уравнение принимает вид

m1v1x=m1v′1x+m2v′2x.m1v1x=m1v′1x+m2v′2x.

8.4

Компоненты скоростей вдоль оси x имеют вид v cos θ . Поскольку частица 1 изначально движется вдоль оси x , мы находим v 1 x = v 1 . Сохранение импульса вдоль x — ось дает уравнение

m1v1=m1v′1cosθ1+m2v′2cosθ2,m1v1=m1v′1cosθ1+m2v′2cosθ2,

, где θ1θ1 и θ2θ2 показаны на рис. 8.8.

Вдоль оси y уравнение сохранения импульса имеет вид

p1y+p2y=p’1y+p’2y,p1y+p2y=p’1y+p’2y,

8,5

или

m1v1y+m2v2y=m1v′1y+m2v′2y.m1v1y+m2v2y=m1v′1y+m2v′2y.

8.6

Но v 1 y равно нулю, так как частица 1 первоначально движется по x — ось. Поскольку частица 2 изначально покоится, v 2 y также равно нулю. Уравнение сохранения импульса вдоль оси y принимает вид

0 =m1v′1y+m2v′2y.0 =m1v′1y+m2v′2y.

8.7

Компоненты скоростей вдоль оси y имеют вид v sin θθ . Таким образом, сохранение импульса вдоль оси y дает следующее уравнение:

0=m1v′1sinθ1+m2v′2sinθ20=m1v′1sinθ1+m2v′2sinθ2

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Повторите закон сохранения импульса и уравнения, полученные в предыдущих разделах этой главы. Скажем, в задачах этого раздела все объекты предполагаются точечными. Объясните точечные массы.

Виртуальная физика

Лаборатория столкновений

В этой симуляции вы будете исследовать столкновения на столе для аэрохоккея. Поставьте галочки рядом с параметрами векторов импульсов и диаграмм моментов. Поэкспериментируйте с изменением массы шаров и начальной скорости шара 1. Как это повлияет на импульс каждого шара? А общий импульс? Далее поэкспериментируйте с изменением упругости столкновения. Вы заметите, что столкновения имеют разную степень упругости, от абсолютно упругой до совершенно неупругой.

Проверка захвата

Если бы вы хотели максимизировать скорость мяча 2 после удара, как бы вы изменили настройки масс мячей, начальную скорость мяча 1 и настройки упругости? Почему? Подсказка. Установка галочки рядом с векторами скорости и удаление векторов импульса поможет вам визуализировать скорость мяча 2, а нажатие кнопки «Дополнительные данные» позволит вам снять показания.

  1. Максимизируйте массу шара 1 и начальную скорость шара 1; минимизировать массу шара 2; и установите эластичность на 50 процентов.
  2. Максимизируйте массу шара 2 и начальную скорость шара 1; минимизировать массу шара 1; и установите эластичность на 100 процентов.
  3. Максимизируйте массу шара 1 и начальную скорость шара 1; минимизировать массу шара 2; и установите эластичность на 100 процентов.
  4. Максимизируйте массу шара 2 и начальную скорость шара 1; минимизировать массу шара 1; и установите эластичность на 50 процентов.

Рабочий пример

Расчет скорости: неупругое столкновение шайбы и вратаря

Найдите скорость отдачи хоккейного вратаря массой 70 кг, который ловит брошенную в него хоккейную шайбу массой 0,150 кг со скоростью 35 м/с. Предположим, что вратарь находится в состоянии покоя перед тем, как поймать шайбу, а трение между льдом и системой шайба-вратарь пренебрежимо мало (см. рис. 8.9).

Рисунок 8,9 Хоккейный вратарь ловит хоккейную шайбу и отскакивает назад в результате неупругого столкновения.

Стратегия

Импульс сохраняется, поскольку результирующая внешняя сила, действующая на систему «шайба-вратарь», равна нулю. Следовательно, мы можем использовать закон сохранения импульса, чтобы найти конечную скорость системы шайбы и вратаря. Обратите внимание, что начальная скорость вратаря равна нулю, а конечная скорость шайбы и вратаря одинакова.

Решение

Для неупругого столкновения закон сохранения импульса равен

m1v1+m2v2= (m1+m2)v’,m1v1+m2v2= (m1+m2)v’,

8,8

, где v ′ есть скорости вратаря и шайбы после удара. Поскольку вратарь изначально находится в состоянии покоя, мы знаем, что v 2 = 0. Это упрощает уравнение до

m1v1= (m1+m2)v′.m1v1= (m1+m2)v′.

8,9

Решение для v ′ дает

v′=(m1m1+m2)v1.v′=(m1m1+m2)v1.

8.10

Подставляя известные значения в это уравнение, получаем кг)(35м/с)=7,48×10-2м/с.

8.11

Обсуждение

Эта скорость отдачи мала и направлена ​​в том же направлении, что и первоначальная скорость шайбы.

Рабочий пример

Расчет конечной скорости: упругое столкновение двух тележек

Две твердые стальные тележки сталкиваются лоб в лоб, а затем рикошетят друг от друга в противоположных направлениях на поверхности без трения (см. рис. 8.10). Тележка 1 имеет массу 0,350 кг и начальную скорость 2 м/с. Тележка 2 имеет массу 0,500 кг и начальную скорость -0,500 м/с. После столкновения тележка 1 отскакивает со скоростью -4 м/с. Какова конечная скорость тележки 2?

Рисунок 8. 10 Две тележки сталкиваются друг с другом при упругом столкновении.

Стратегия

Поскольку на пути нет трения, F net = 0, и мы можем использовать закон сохранения импульса, чтобы найти конечную скорость тележки 2.

Решение

Как и прежде, уравнение сохранения импульса для одномерного упругого столкновения в системе из двух тел имеет вид

2.

8.12

Единственным неизвестным в этом уравнении является v ′ 2 . Решение для v ′ 2 и подстановка известных значений в предыдущее уравнение дает м/с)−(0,350 кг)(−4,00 м/с)0,500 кг=3,70 м/с.v′2=m1v1+m2v2−m1v′1m2=(0,350 кг)(2,00 м/с)+(0,500 кг)( −0,500 м/с)−(0,350 кг)(−4,00 м/с)0,500 кг=3,70 м/с.

8.13

Обсуждение

Конечная скорость тележки 2 большая и положительная, что означает, что после столкновения она движется вправо.

Рабочий пример

Вычисление конечной скорости при двумерном столкновении

Предположим, проводится следующий эксперимент (рис. 8.11). Объект массой 0,250 кг ( м 1 ) скользит по гладкой поверхности в темную комнату, где он сталкивается с изначально неподвижным объектом массой 0,400 кг ( м 2 ). Объект массой 0,250 кг выходит из комнаты под углом 45º к направлению входа. Скорость объекта массой 0,250 кг изначально равна 2 м/с, а после столкновения — 1,50 м/с. Вычислите модуль и направление скорости ( v ′ 2 и θ2θ2 ) объекта массой 0,400 кг после столкновения.

Рисунок 8.11 Влетающий объект массой м 1 рассеивается изначально неподвижным объектом. Известна только масса стационарного объекта м 2 . Измеряя угол и скорость, с которой объект массой м 1 выходит из комнаты, можно вычислить величину и направление скорости первоначально неподвижного объекта после столкновения.

Стратегия

Импульс сохраняется, потому что на поверхности нет трения. Мы выбрали систему координат так, чтобы начальная скорость была параллельна оси х , и сохранялся импульс вдоль осей х и и .

В этих уравнениях известно все, кроме v ′ 2 и θ 2 , которые нам нужно найти. Мы можем найти два неизвестных, потому что у нас есть два независимых уравнения — уравнения, описывающие сохранение импульса в x и y направлений.

Решение

Сначала решим оба уравнения сохранения импульса ( m1v1=m1v′1cosθ1+m2v′2cosθ2m1v1=m1v′1cosθ1+m2v′2cosθ2 и m2v′ 2sinθ2 ) для v ′ 2 sin θ2θ2 .

Для сохранения импульса вдоль оси абсцисс заменим cos θ2θ2 sin θ2θ2 /tan θ2θ2, чтобы позже члены могли сокращаться. Это происходит из-за изменения определения тригонометрического тождества tan θθ = sin θθ /cos θθ . Это дает нам

m1v1=m1v′1cosθ1+m2v′2sinθ2tanθ2.m1v1=m1v′1cosθ1+m2v′2sinθ2tanθ2.

8.14

Решение для v ′ 2 sin θ2θ2 дает

v′2sinθ2=(m1v1−m1v′1cosθ1)(tanθ2)m2.v′2s inθ2=(m1v1−m1v′1cosθ1)(tanθ2)m2 .

8.15

Для сохранения импульса вдоль оси y решение для v ′ 2 sin θ2θ2 дает

v′2sinθ2=−(m1v′1s inθ1)m2.v′2sinθ2=−(m1v′ 1sinθ1)m2.

8.16

Так как оба уравнения равны v ′ 2 sin θ2θ2, мы можем положить их равными друг другу, что даст

(m1v1−m1v′1cosθ1)(tanθ2)m2=−(m1v′1sinθ1)m2. (m1v1−m1v′1cosθ1)( tanθ2)m2=−(m1v′1sinθ1)m2.

8.17

Решая это уравнение для тангенса θ2θ2, получаем

8,18

Ввод известных значений в предыдущее уравнение дает

tanθ2=(1,50)(0,707)(1,50)(0,707)−2,00=−1,129.tanθ2=(1,50)(0,707)(1,50)(0. 707)- 2,00=-1,129.

8,19

Следовательно,

θ2=tan−1(−1,129)=3120,θ2=tan−1(−1,129)=3120.

8.20

Поскольку углы определяются как положительные в направлении против часовой стрелки, м 2 рассеивается вправо.

Воспользуемся уравнением сохранения импульса по оси Y, чтобы найти v ′ 2 .

v′2=−m1m2v′1sinθ1sinθ2v′2=−m1m2v′1sinθ1sinθ2

8,21

Ввод известных значений в это уравнение дает

v’2=-(0,250)(0,400)(1,50)(0,7071-0,7485).v’2=-(0,250)(0,400)(1,50)(0,7071-0,7485).

8,22

Следовательно,

v′2= 0,886 м/с.v′2= 0,886 м/с.

8.23 ​​

Обсуждение

Любое уравнение для оси x или y могло быть использовано для решения для v ′ 2 , но уравнение для и -ось проще, т.к. в нем меньше терминов.

Практические задачи

10.

При упругом столкновении объект с импульсом 25\,\text{кг} \cdot \text{м/с} сталкивается с другим объектом, движущимся вправо и имеющим импульс 35\,\text{кг} \cdot \text{м/с}. После столкновения оба объекта продолжают двигаться вправо, но импульс первого объекта меняется на 10 \,\text{kg} \cdot \text{м/с}. Чему равен конечный импульс второго объекта?

  1. 10\,\text{кг} \cdot \text{м/с}

  2. 20\,\text{кг} \cdot \text{м/с}

  3. 35\,\text{кг} \cdot \text{м/с}

  4. 50\,\text{кг} \cdot \text{м/с}

11.

При упругом столкновении тело с импульсом 25 кг ⋅ м/с сталкивается с другим телом с импульсом 35 кг ⋅ м/с. Импульс первого объекта изменится на 10 кг ⋅ м/с. Чему равен конечный импульс второго объекта?

  1. 10 кг ⋅ м/с
  2. 20 кг ⋅ м/с
  3. 35 кг ⋅ м/с
  4. 50 кг ⋅ м/с

Проверьте свое понимание

12.

Что такое упругое столкновение?

  1. Упругое столкновение — это столкновение, при котором объекты после удара постоянно деформируются.
  2. Упругое столкновение — это столкновение, при котором объекты после удара теряют часть своей внутренней кинетической энергии.
  3. Упругое столкновение — это столкновение, при котором объекты после удара не теряют своей внутренней кинетической энергии.
  4. Упругое столкновение — это столкновение, при котором объекты после удара слипаются и движутся с общей скоростью.

13.

Возможны ли абсолютно упругие столкновения?

  1. Совершенно упругие столкновения невозможны.

  2. Совершенно упругие столкновения возможны только с субатомными частицами.

  3. Совершенно упругие столкновения возможны только тогда, когда объекты слипаются после удара.

  4. Совершенно упругие столкновения возможны, если объекты и поверхности почти не имеют трения.

14.

Related Posts

Leave A Comment