Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия
Вписанные и центральные углы
Определение 1. Центральным угломназывают угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Рис. 1
Определение 2. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Рис. 2
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3. Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Теоремы о вписанных и центральных углах
| Фигура | Рисунок | Теорема |
| Вписанный угол |  | Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Посмотреть доказательство |
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. |
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды |
| Вписанный угол |  | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды |
| Вписанный угол |  | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр |
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |  | Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной Посмотреть доказательство |
| Вписанный угол |
Теорема: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Посмотреть доказательство |
Теорема: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
|
Теорема: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
|
Теорема: Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
|
Теорема: Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
|
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Теорема: Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
Посмотреть доказательство |
Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
| Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
| Угол, образованный пересекающимися хордами |  | Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Посмотреть доказательство |  |
| Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга |  | Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |  |
| Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания |  | Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами Посмотреть доказательство |  |
| Угол, образованный касательной и секущей |  | Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство | |
| Угол, образованный двумя касательными к окружности |  | Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |  |
| Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
|
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный секущими секущими, которые пересекаются вне круга |
 |
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный касательной и хордой хордой, проходящей через точку касания |
|
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
 |
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
 |
| Формулы: |
Теорема Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
Теорема 1. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Доказательство. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).
Рис. 5
Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB. Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB, то справедливы равенства
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.
Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).
Рис. 6
В этом случае справедливы равенства
и теорема 1 в этом случае доказана.
Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).
Рис. 7
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1.
Теорема 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 8.
Рис. 8
Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Величина угла, образованного секущими секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.
Рис. 9
Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 10.
Рис. 10
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать
Теорема 5. Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.
Рис. 11
Нас интересует величина угла BED, образованного касательной AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE, а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB, в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 6.Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 12.
Рис. 12
Нас интересует величина угла BED, образованного касательными AB и CD. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство
α = π – γ .
Далее получаем
что и требовалось доказать.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Центральный и вписанный угол, свойства
Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.
На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.
Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в градусов, то есть на шестую часть круга.
Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу
Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».
Равные центральные углы опираются на равные хорды.
1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Ответ: .
2. Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .
Мы знаем, что .
Отсюда ,
.
Ответ: .
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
3. Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
Пусть хорда равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим .
В треугольнике стороны и равны , сторона равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол равен .
Вписанный угол опирается на дугу и равен половине угловой величины этой дуги, то есть .
Ответ: .
4. Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки ?»
Очевидно, что найти нужно угол .
Сумма двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна , то есть
Отсюда , и тогда вписанный угол опирается на дугу, равную .
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол равен .
Ответ: .
Геометрия. Урок 5. Окружность — ЁП
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности.
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.
Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. ∪ A B = ∠ A O B = α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360 ° .
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ A C B – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .
M N – диаметр.
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .
Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .
∪ A B = ∪ C D = α
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
l = 2 π R
Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Вписанный угол
Вписанный угол, теория задачи. Друзья! В этой статье речь пойдёт о заданиях, для решения которых необходимо знать свойства вписанного угла. Это целая группа задач, они включены в ЕГЭ. Большинство из них решаются очень просто, в одно действие.
Есть задачи посложнее, но и они большой трудности для вас не представят, необходимо знать свойства вписанного угла. Постепенно мы разберём все прототипы задач, приглашаю вас на блог!
Теперь необходимая теория. Вспомним, что такое центральный и вписанный угол, хорда, дуга, на которые опираются эти углы:
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.
Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности.
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, называется вписанным в окружность, если вершина угла лежит на окружности, а стороны угла пересекают эту окружность.
Отрезок соединяющий две точки окружности называется хордой. Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.
Для решения задач на вписанные в окружность углы, вам необходимо знать следующие свойства:
1. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
2. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
3. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.
4. Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.
Следствие: противолежащие углы четырёхугольника вписанного в окружность в сумме составляют 180 градусов.
5. Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
Вообще, это свойство является следствием из свойства (1), это его частный случай. Посмотрите – центральный угол равен 180 градусам (и этот развёрнутый угол есть не что иное, как диаметр), значит по первому свойству вписанный угол С равен его половине, то есть 90 градусам.
Знание данного свойства помогает в решении многих задач и часто позволяет избежать лишних расчётов. Хорошо усвоив его — вы более половины задач такого типа сможете решать устно. Два следствие, которые можно сделать:
Следствие 1: если в окружность вписан треугольник и одна его сторона совпадает с диаметром этой окружности, то треугольник является прямоугольным (вершина прямого угла лежит на окружности).
Следствие 2: центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой его гипотенузы.
Многие прототипы стереометрических задач также решаются благодаря использованию этого свойства и данных следствий. Запомните сам факт: если диаметр окружности является стороной вписанного треугольника, то этот треугольник прямоугольный (угол лежащий против диаметра равен 90 градусов). Все остальные выводы и следствия вы сможете сделать сами, учить их не надо.
Как правило, половина задач на вписанный угол даётся с эскизом, но без обозначений. Для понимания процесса рассуждения при решении задач (ниже в статье) введены обозначения вершин (углов). На ЕГЭ вы можете этого не делать. Рассмотрим задачи:
Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
Построим центральный угол для заданного вписанного угла, обозначим вершины:
По свойству вписанного в окружность угла:
Угол АОВ равен 600, так как треугольник АОВ равносторонний, а в равностороннем треугольнике все углы равны по 600. Стороны треугольника равны, так как в условии сказано, что хорда равна радиусу.
Таким образом, вписанный угол АСВ равен 300.
Ответ: 30
Найдите хорду, на которую опирается угол 300, вписанный в окружность радиуса 3.
Это по сути обратная задача (предыдущей). Построим центральный угол.
Он в два раза больше вписанного, то есть угол АОВ равен 600. От сюда можно сделать вывод, что треугольник АОВ равносторонний. Таким образом, хорда равна радиусу, то есть трём.
Ответ: 3
Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную корню из двух. Ответ дайте в градусах.
Построим центральный угол:
Зная радиус и хорду мы можем найти центральный угол АСВ. Это можно сделать по теореме косинусов. Зная центральный угол мы без труда найдём вписанный угол АСВ.
Теорема косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Следовательно, второй центральный угол равен 3600 – 900 = 2700.
Угол АСВ по свойству вписанного угла равен его половине, то есть 135 градусам.
Ответ: 135
Найдите хорду, на которую опирается угол 120 градусов, вписанный в окружность радиуса корень из трёх.
Соединим точки А и В с центром окружности. Обозначим её как О:
Нам известен радиус и вписанный угол АСВ. Мы можем найти центральный угол АОВ (больший 180 градусов), затем найти угол АОВ в треугольнике АОВ. А далее по теореме косинусов вычислить АВ.
По свойству вписанного угла центральный угол АОВ (который больше 180 градусов) будет равен вдвое больше вписанного, то есть 240 градусам. Значит, угол АОВ в треугольнике АОВ равен 3600 – 2400 = 1200.
По теореме косинусов:
Ответ:3
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.
По свойству вписанного угла он вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, в данном случае речь идёт о дуге АВ.
Сказано, дуга АВ составляет 20 процентов от окружности. Это означает, что центральный угол АОВ составляет так же 20 процентов от 3600. *Окружность это угол в 360 градусов. Значит,
Таким образом, вписанный угол АСВ равен 36 градусам.
Ответ: 36
Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200 градусов. А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80 градусов. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Обозначим для наглядности дуги, угловые меры которых даны. Дуга соответствующая 200 градусам – синий цвет, дуга соответствующая 80 градусам – красный цвет, оставшаяся часть окружности – жёлтый цвет.
Таким образом, градусная мера дуги АВ (жёлтый цвет), а значит и центральный угол АОВ составляет: 3600 – 2000 – 800 = 800.
Вписанный угол АСВ вдвое меньше центрального угла АОВ,то есть равен 40 градусам.
Ответ: 40
Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
Найдите хорду, на которую опирается угол 900, вписанный в окружность радиуса 1.
Посмотреть решение
Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную корню из двух. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
Центральный угол на 360 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу АВ, которая составляет 0,2 окружности. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
На что обратить внимание при решении подобных задач?
Необходимо знать свойство вписанного угла; понимать, когда и как необходимо использовать теорему косинусов, подробнее о ней посмотрите здесь.
На этом всё! Успехов Вам!
С уважением, Александр Крутицких
Учительница математики в школе в третьем классе:
— Дети, а скажите мне, сколько будет 6*6?
Дети дружно хором отвечают:
— Семьдесят шесть!
— Ну, что вы, такое говорите детки! Шесть на шесть будет тридцать шесть… ну может быть еще 37, 38, 39… ну максимум 40… но никак не семьдесят шесть!
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Углы по кругу — манекены
- Образование
- Математика
- Тригонометрия
- Углы по кругу
Есть несколько способов нарисовать угол в круге, и каждый из них имеет особый способ вычисления размера этого угла. Четыре различных типа углов: центральный, вписанный, внутренний и внешний. Здесь вы видите примеры этих различных типов углов.
Центральный угол
Центральный угол имеет вершину в центре окружности, а стороны угла лежат на двух радиусах окружности. Мера центрального угла такая же, как мера дуги, которую две стороны вырезают из круга.
Уголок вписанный
Вписанный угол имеет вершину на окружности, а стороны угла лежат на двух хордах окружности. Размер вписанного угла составляет половину дуги, которую две стороны вырезают из круга.
Уголок внутренний
Внутренний угол
Внешний угол
Внешний угол имеет вершину, в которой два луча имеют общую конечную точку вне круга. Стороны угла — это два луча.Меру внешнего угла находят делением разницы между размерами пересеченных дуг на два.
Пример: Найдите угол EXT , учитывая, что внешний угол отсекает дуги в 20 градусов и 108 градусов.
Найдите разницу между размерами двух пересеченных дуг и разделите на 2:
Угол наклона EXT
Сектора секций
Сектор круга круга — это участок круга между двумя радиусами (радиус во множественном числе).Вы можете рассматривать эту часть как кусок пирога, вырезанный из круглой тарелки.
Вы можете найти площадь сектора круга, если знаете угол между двумя радиусами. Круг имеет в общей сложности 360 градусов вокруг центра, поэтому, если этот центральный угол, определяющий сектор, имеет угловую меру 60 градусов, тогда сектор занимает 60/360 или 1/6 градусов на всем протяжении. вокруг. В этом случае сектор составляет 1/6 площади всего круга.
Пример: Найдите площадь сектора круга, если угол между двумя радиусами, образующими сектор, составляет 80 градусов, а диаметр круга равен 9 дюймам.
Найдите площадь круга.
Площадь всего круга
или около 63,6 квадратных дюймов.
Найдите часть круга, которую представляет сектор.
Сектор занимает всего 80 градусов окружности. Разделите 80 на 360, чтобы получить
теорем о круге
Некоторые интересные вещи об углах и окружностях.
Угол с надписью
Прежде всего, определение:
Inscribed Angle : угол, образованный точками, лежащими на окружности круга.
A и C — «конечные точки»
B — «вершины»
Когда вы перемещаете точку «B», что происходит с углом?
Теоремы о вписанных углах
Вписанный угол a ° равен половине центрального угла 2a °
(называется углом в центральной теореме )
И (с фиксированными конечными точками)…
… угол a ° всегда один и тот же ,
независимо от того, где он находится на той же дуге между конечными точками:
Угол а ° тот же .
(называется углов, подчиненных теореме о той же дуге )
Пример: Каков размер POQ Angle? (О — центр круга)
Угол POQ = 2 × Угол PRQ = 2 × 62 ° = 124 °
Пример: Какой размер Angle CBX?
Угол ADB = 32 ° также равен углу ACB.
А Angle ACB также равен углу XCB.
Итак, в треугольнике BXC мы знаем, что угол BXC = 85 °, а угол XCB = 32 °.
Теперь используем углы треугольника и прибавляем к 180 °:
Угол CBX + Угол BXC + Угол XCB = 180 °
Угол CBX + 85 ° + 32 ° = 180 °
Угол CBX = 63 °
Угол в полукруге (теорема Фалеса)
Угол вписанный поперек диаметра окружности всегда прямой угол:
(Конечные точки — это любой конец диаметра окружности,
вершина может находиться в любом месте окружности.)
Почему? Потому что: Вписанный угол 90 ° составляет половину центрального угла 180 ° (с использованием «теоремы об углу в центре» выше) |
Еще одна веская причина, почему это работает
Мы также можем повернуть фигуру на 180 °, чтобы получился прямоугольник!
Это — это прямоугольник, потому что все стороны параллельны и обе диагонали равны.
Итак, его внутренние углы прямые (90 °).
Итак, поехали! Независимо от , где этот угол равен
по окружности, всегда 90 °
Пример: Какой размер Angle BAC?
Угол в теореме о полукруге говорит нам, что угол ACB = 90 °
Теперь используйте углы треугольника и прибавьте к 180 °, чтобы найти угол ВАС:
Угол ВАС + 55 ° + 90 ° = 180 °
Угол ВАС = 35 °
В поисках центра круга
Мы можем использовать эту идею, чтобы найти центр круга:
- нарисуйте прямой угол из любой точки окружности круга, затем нарисуйте диаметр, в котором две ноги касаются круга
- сделайте то же самое, но для другого диаметра
Где пересечение диаметров — центр!
Циклический четырехугольник
«Циклический» четырехугольник имеет каждую вершину на окружности: | |
противоположных углов циклического четырехугольника в сумме дают 180 ° :
|
Пример: Каков размер угла WXY?
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника дает 180 °
Угол WZY + Угол WXY = 180 °
69 ° + угол WXY = 180 °
Угол WXY = 111 °
Касательный уголКасательная линия просто касается окружности в одной точке. Всегда образует прямой угол с радиусом круга. |
| Начните с данного круга, центр O. Если центральная точка окружности не указана, вы можете построить центр, используя метод, показанный на Нахождение центра круга. |  | |
| 1 | Отметьте точку A на окружности. Это станет одной из вершин квадрата. |  |
| 2 | Проведите линию диаметра из точки A через центр и далее, чтобы снова пересечь круг, создав точку C. |  |
| 3 | Установите компас на A и установите ширину немного больше, чем расстояние на O. |  |
| 4 | Нарисуйте дугу сверху и снизу О. |  |
| 5 | Переместите компас в положение C и повторите. |  |
| 6 | Проведите линию в месте пересечения пар дуг, сделав ее достаточно длинной, чтобы касаться круга сверху и снизу,
создание новых точек B и D. Диаметр под прямым углом к первому AC. |  |
| 7 | Проведите линию между каждыми последовательными парами точек A, B, C, D |  |
| Готово.ABCD — это квадрат, вписанный в данную окружность. |  |
| После этого | Ваша работа должна выглядеть так |
|---|---|
| Начинаем с данного круга, центр О. Примечание: Если вам не дали центр, вы можете найти его, используя метод, показанный на Нахождение центра круга с помощью циркуля и линейки. |  |
| 1. Проведите диаметр круга через центральную точку и отметьте его конечные точки C и M. Он не обязательно должен быть вертикальным. |  |
2. Постройте перпендикуляр к CM в точке O. Подробнее об этом см. Построение перпендикуляра в точке на прямой. |  |
| 3. Отметьте точку S, где она пересекает круг. |  |
4. Найдите середину L отрезка SO, построив его серединный перпендикуляр. Для получения дополнительной информации см. Построение серединного перпендикуляра отрезка прямой. |  |
| 5. Установите циркуль на L, отрегулируйте его ширину на S или O и нарисуйте круг. |  |
| 6. Проведите линию от M через L, чтобы она пересекала маленький кружок в двух местах.Обозначьте их N и P. |  |
| 7. Установите циркуль на M и отрегулируйте его ширину на P. |  |
| 8. Нарисуйте широкую дугу, пересекающую заданный круг в двух местах. Обозначьте их A и E. |  |
| 9. Установите циркуль на M и отрегулируйте его ширину на N. |  |
| 10. Нарисуйте широкую дугу, пересекающую заданный круг в двух местах. Обозначьте их B и D. |  |
| 11. Проведите линию от A к B, затем от B к C и т. Д., Пока не проведете все пять сторон пятиугольника. |  |
| Готово. ABCDE — правильный пятиугольник, вписанный в данную окружность. |  |
Leave A Comment