2
Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7. 3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь

Другие функции:

asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3.
14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град.
)
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Math Scene — Тригонометрические функции — Более сложные уравнения и неравенства

Math Scene — Тригонометрические функции — Более сложные уравнения и неравенства — Урок 5

2008 Расмус Эхф
и Джанн Сак

  Печать

Урок 5   Подробнее сложные уравнения и неравенства

Пример 1

Решите уравнение sin x = cos x и затем неравенство

грех x > cos x на интервале 0 x < 2,

Из единичного круга мы видим, что sin x и cos x может иметь одинаковое значение только в двух местах, в x = /4 и х = 5/4 (45 и 225 ).

Уравнение sin x = cos x также можно решить путем деления на cos x.

     тангенс х = 1

         x = тангенс −1 (1)

         х = 45 ∙ /180 + к∙

         x = /4 + k∙        (k — любое целое число, положительное или отрицательное)

Если положить k = 0 и k = 1, получим решения /4 (45 ) и /4 + = 5/4 (45 + 180 = 225 ).

Чтобы решить неравенство  sin x > cos x, нам нужно увидеть, что больше sin x или cos x на интервалах между решениями /4 и 5/4. Решения можно увидеть, если мы нарисуем графики f(x) = sin x и g(x) = cos Икс. График sin x лежит над графиком cos x на интервале /4 x 5x/4 (см. заштрихованную область на диаграмме).

sin x cos x на интервале /4 x 5x/4.

Пример 2

Решить уравнение sin x ∙ cos x = 0 и затем неравенство

sin x ∙ cos x > 0 на интервале 0 x < 2.

Неравенство не имеет решение, когда sin x или cos x принимают значение 0. Это происходит с интервалом 90.

Решения уравнение sin x ∙ cos x = 0 на интервале  0 x < 2, поэтому  0, /2 и 3/2 (0 , 90 , 180 и 270 ).

Решение sin x ∙ cos x > 0 можно найти, взглянув на единичный круг. Нам нужно найти где sin x, умноженный на cos x, является положительным. Другими словами, sin x и cos x имеют иметь один и тот же знак, оба должны быть положительный или оба отрицательные. Это происходит в первом и третьем квадранте. поэтому решения
0 < х < /2 и р < х < 3/2.

Мы также можем увидеть это по построение графика
f(x) = sin x ∙ cos x.

Пример 3

Решите уравнение sin x ∙ cos x − sinx = 0 и тогда неравенство sin x ∙ cos x − sin x > 0 на интервале 0 x < 2,

   sin x ∙ cos x − sinx = 0 

   sin x (cos x − 1) = 0

Нам нужно чтобы разложить уравнение на множители, взяв sin x за скобки.

Уравнение имеет решения когда sin x = 0 или скобка (cos x − 1) = 0,

   sin x = 0

         x = 0 или (180 ).

или

   потому что х — 1 = 0

   потому что х = 1

          х = 0

Единственные решения уравнение поэтому 0 и .

Неравенство sin x ∙ cos x − sin x > 0 можно переписать как sin x (cos x − 1) > 0,

Теперь полезно сделать таблицу знаков и посмотрите на знаки sin x и cos x − 1.


Решение

Мы видим, что оба фактора отрицательно на интервале
< x < 2,

Теперь давайте посмотрим, как это подходит в с графиком
f(x) = sin x ∙ cos x − sin x

Заштрихованная область над крестиком ось показывает, где
sin x (cos x − 1) > 0, что согласуется с нашими расчетами.

Пример 4

Найти все решения уравнения cos 2 x − cos x = 0,

       cos 2 x − cos х = 0

    потому что х ∙ (кос х — 1) = 0

Решения можно найти, когда cos x = 0 или cos x − 1 = 0

    cos х = 0

           x =/ 2 или 3/ 2 (90 или 270 )

           х = / 2 + к∙

или

   потому что х — 1 = 0

         потому что х = 1

               x = 0 + k∙2 = k∙2

Все решения укладываются в шаблон x = /2 + к∙

Пример 5

Найти все решения уравнения sin 2 x − 5 sin x + 4 = 0,

Это квадратное уравнение с sin x в качестве переменная. Поэтому мы можем найти sin x, используя квадратичную формулу. а = 1, б = -5 или с = 4,

Синус мы не можем принять значение 4 поэтому нам не нужно рассматривать sin x = 4. Другая возможность — sin x = 1, решение которой /2 (90 ). Таким образом, полное решение:

   х = / 2 + к∙2

Пример 6

Решите уравнение sin 5x = грех х .

Возможно, что позиция 5х на единичном круге совпадает с позицией x и поскольку эта позиция повторяется с интервалом в 360, мы получаем следующее уравнение:

1) 5x = x + к∙360

4x = к∙360

   х = к∙90

Мы показываем эту возможность в диаграмма.

Появляется вторая возможность от того что
грех x = грех (180 − х ). Это дает нам следующее решение:

5 х = 180 — х + к∙360

6x = 180 + к∙360

х = 30 + к∙60

Это решение показано на схему справа.

Но мы замечаем, что первое решение содержится в второе решение, поэтому достаточно дать второе решение

х = 30 + к∙60

Пример 7

Решите уравнение cos 2x = cos x на интервале 0 x < 2,

1)   Сначала рассмотрим вероятность того, что x и 2x находятся в одном и том же месте на единичной окружности.

         2x = x + k∙2

           x = k∙2   

           х = 0

Вычесть x из обеих частей уравнения, а затем выберите k = 0 (k = 1 дает 2, что находится за пределами интервала

2) Второй вариант. с факта
потому что v = cos (-v). Тогда решение будет следующим:

           2x = −x + к∙2

           3x = k∙2

             x = k∙2/ 3

Это дает решения 2/3 (120 ) для k = 1 и 4/3 (240 ) для k = 2. поэтому полное решение:
0, 2/3 и 4/3.

Пример 8

Решите уравнение tan 3x = загар 2x.

Уравнения Тана во многих способов самое простое из тригонометрических уравнений, так как существует только возможность учтите, что это повторяется с интервалом 180 .

   3x = x + k∙180

     2x = к∙180

       х = к∙90

или в радианах

     х = к∙/ 2

Попробуйте викторину 5 по триггерным функциям.
Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Синус, косинус и тангенс в четырех квадрантах

Синус, косинус и тангенс

Три основные функции в тригонометрии — это синус, косинус и тангенс.

Их легко вычислить:

Разделить длину одной стороны прямоугольного треугольника
на другую сторону


. .. но надо знать с каких сторон!

Для угла θ функции вычисляются следующим образом:

Синусоидальная функция:

sin( θ ) = Противоположный / Гипотенуза

Функция косинуса:

cos( θ ) = Смежный / Гипотенуза

Функция касания: 

tan( θ ) = Противоположный / Смежный

Пример: чему равен синус 35°?

Используя этот треугольник (длина только до одного десятичного знака):

sin(35°) = противоположность / гипотенуза = 2,8/4,9= 0,57…

Декартовы координаты

Используя декартовы координаты, мы отмечаем точку на графике , как далеко вдоль и , как далеко вверх по :


Точка (12,5) находится на 12 ед. вдоль и на 5 ед. вверх.

 

Четыре квадранта

Когда мы включаем отрицательных значений , оси x и y делят пространство на 4 части:

Квадранты I, II, III и IV

(Нумерация против часовой стрелки)

  • В Квадранте I и x, и y положительны,
  • в квадранте II x отрицательное (y все еще положительное),
  • в квадранте III и x, и y отрицательны, а
  • в квадранте IV x снова положительный, а y отрицательный.

Вот так:

Квадрант X
(по горизонтали) 		Y
(вертикальный) 		Пример
я Положительный Положительный (3,2)
II Отрицательный Положительный  (−5,4)
III Отрицательный Отрицательный (-2,-1)
IV Положительный Отрицательный  (4,−3)

Пример: Точка «C» (-2,-1) находится на 2 единицы вперед в отрицательном направлении и на 1 единицу вниз (т. е. в отрицательном направлении).

И x, и y отрицательны, поэтому эта точка находится в «Квадранте III»

Контрольный угол

Углы могут быть больше 90°

Но мы можем вернуть их ниже 90º, используя ось x в качестве точки отсчета.

Думайте, что «ссылка» означает «ссылка x»

Самый простой способ — сделать набросок!

Пример: 160º

Начните с положительной оси x и поверните на 160º


Затем найдите угол к ближайшей части оси x,
в данном случае 20º

Базовый угол для 160º равен 20º

3

3

Здесь мы видим четыре примера с опорным углом 30º:

Вместо эскиза можно использовать следующие правила:

Квадрант Контрольный угол
я θ
II 180º − θ
III θ − 180º
IV 360º − θ

Синус, косинус и тангенс в Четыре квадранта

Теперь давайте посмотрим на детали прямоугольного треугольника с углом 30° в каждом из 4 квадрантов.

В квадранте I все в норме, а синус, косинус и тангенс положительны:

Пример: синус, косинус и тангенс угла 30°

Синус

sin(30°) = 1/2 = 0,5

Косинус

cos(30°) = 1,732 / 2 = 0,866

Касательная

тангенс (30°) = 1 / 1,732 = 0,577

 

Но в квадранте II направление x отрицательно , а косинус и тангенс становятся отрицательными:

Пример: синус, косинус и тангенс угла 150°

Синус

sin(150°) = 1/2 = 0,5

Косинус

cos(150°) = -1,732 / 2 = -0,866

Касательная

тангенс (150°) = 1 / −1,732 = −0,577

 

В квадранте III синус и косинус отрицательны:

Пример: синус, косинус и тангенс 210°

Синус

sin(210°) = −1 / 2 = −0,5

Косинус

cos(210°) = −1,732 / 2 = −0,866

Касательная

тангенс (210°) = −1 / −1,732 = 0,577

Примечание. Тангенс равен положительному числу , потому что деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное значение.

 

В квадранте IV синус и тангенс отрицательны:

Пример: синус, косинус и тангенс 330°

Синус

sin(330°) = −1 / 2 = −0,5

Косинус

cos(330°) = 1,732 / 2 = 0,866

Касательная

тангенс (330°) = -1 / 1,732 = -0,577

Есть выкройка! Посмотрите, когда синус, косинус и тангенс положительны …

  • Все трое положительные в квадранте I
  • Синус положительный только в Квадранте II
  • Только тангенс положителен в квадранте III
  • Косинус положителен только в квадранте IV

Это можно показать еще проще:


На этом графике также отображается «ASTC».