Самое большое семизначное число четыре раза 0 и четыре раза 1: Запиши самое большое семизначное число в записи которого входит три раза цифру 0 и 4…

Замечательные «смиты»

Наталья Карпушина,
кандидат педагогических наук
«Наука и жизнь» №3, 2009

История науки знает немало примеров случайных открытий. Кто не слышал предание о том, как Архимед, принимая ванну, открыл закон о телах, погружённых в жидкость, или байку о Ньютоне, который, наблюдая за падением с дерева яблока, создал теорию тяготения? Сколько раз пытливые умы находили источник озарения в живой природе! А как много блестящих идей посетили учёных во сне! Д. И. Менделееву приснилась его периодическая таблица элементов, а Ф. Кекуле — структурная формула бензола. Но иногда важное открытие, сделанное специалистом, запоминается куда меньше, чем нехитрая закономерность, подмеченная человеком, вовсе её не искавшим, да и вообще далёким от науки. Каким-то непостижимым образом та находит его сама. И чем необычнее обстоятельства, сопутствующие этому событию, тем более яркое впечатление оно производит.

Невероятное везение профессора Смита

Один из примечательных случаев такого рода произошёл четверть века назад с любителем чисел, наблюдательным профессором психологии Гарольдом Смитом, которому (безо всякого преувеличения) крупно повезло: он сумел войти в историю математики, не имея к ней, в сущности, никакого отношения. А счастливым для Смита оказался… номер собственного телефона! Как-то профессор заметил, что этот номер, выражающийся составным семизначным числом 4 937 775, обладает любопытным свойством — сумма цифр номера равна сумме цифр всех его простых делителей:

4 937 775 = 3 · 5 · 5 · 65 837,
4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42,
3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42.

Быть может, этот факт так и остался бы в разряде числовых курьёзов, не вмешайся в историю родственник Смита — математик, профессор одного из американских университетов Альберт Виланский. Он опубликовал в 1982 году заметку об обнаруженном свойстве, а обладающие им составные числа назвал именем Смита. Тогда же Виланский предположил, что таких чисел существует бесконечно много. И оказался прав: вскоре эту гипотезу доказал его коллега. Так было положено начало исследованию весьма интересного множества чисел.

Самое удивительное, что изучение чисел Смита, или просто «смитов», началось с семизначного (!) числа, но ещё поразительнее то, что их не открыли гораздо раньше. Даже любой школьник знает: 2 + 2 = 4, и это никакой не курьёз!

Диковинки среди смитов

Числа Смита обладают многими замечательными свойствами. Мы не станем на них останавливаться, заметим только, что смиты тесно связаны с другими известными математикам числами, через которые могут выражаться: репьюнитами (они записываются с помощью одних единиц) и простыми числами Мерсенна.

В семействе cмитов найдётся немало настоящих диковинок! Одни числа отличаются красивым сочетанием цифр: 654, 44733, 67067. Другие — их повторяемостью: 666, 1111, 4444444444. Третьи — симметрией записи (палиндромностью): 3663, 22522, 864468. А разве не радует глаз разложение некоторых смитов на множители?

3663 = 3 · 1221 = 33 · 111,
864468 = 2 · 432234 = 111 · 7788, 

К изюминкам множества смитов можно смело отнести и десятизначные числа, у которых все цифры различные. Укажем наименьшее и наибольшее из них:

1 023 465 798 и 9 876 542 103.

А вот семизначное число 1 346 269 привлекает внимание тем, что это самый маленький смит, встречающийся в знаменитой последовательности Фибоначчи (31-й её член). Не редкость смиты и среди так называемых фигурных чисел, учение о которых восходит ещё к пифагорейцам. Так, смит 121 — квадратное число, 378 — треугольное, а 22 — пятиугольное.

Кроме того, во множестве смитов имеются примечательные пары чисел, отличающихся друг от друга всего на 1. Вероятно, по аналогии с числами-близнецами (простыми числами, отличающимися на 2), их прозвали братьями смита. Наименьшую такую пару составляют числа 728 и 729. Для примера именно она выбрана потому, что каждый из «братьев» интересен сам по себе: первый — сумма двух смитов, второй — квадрат смита:

728 = 706 + 22,   729 = 27²,

то есть они оба порождены числами Смита.

Надо сказать, некоторые члены этого семейства образуются из других его представителей более простыми путями. Иногда бывает достаточно записать рядом (без пробела) два смита. Таким способом из чисел 22 и 27 получаются четырёхзначные числа Смита 2227 и 2722. В ином случае в запись исходного смита-палиндрома добавляются нули. Например, числа 22 и 535 порождают смиты 202 и 50305. Нередко нужный результат достигается простой перестановкой цифр (как в тройке смитов 319, 391, 913) или благодаря симметрии их расположения, приводящей к повтору цифр в образующихся числах (454, 45454, 454454).

В этом удивительном множестве выделяют также числа, у которых сумма цифр выражается числом Смита. Им даже дали собственное название — суперчисла Смита. Таким свойством обладают, к примеру, числа 202 (2 + 0 + 2 = 4) и 778 (7 + 7 + 8 = 22).

Особо ценятся среди смитов рекордсмены по числу цифр, присутствующих в их записи. К ним относится, в частности, исполин

9R₁₀₃₁ × (10⁶⁹⁸⁸² + 3 × 10³⁴⁹⁴¹ + 1)¹⁴⁷⁶ × 10^3913210,

где  — наибольший из известных простых репьюнитов.

В этом числе Смита насчитывается 107 060 074 цифры! С трудом верится — так компактно оно «упаковано» с помощью степеней. А знаете, сколько времени потребовалось бы, чтобы записать это число полностью? Даже при непрерывной работе с высокой скоростью письма 90 цифр в минуту на это ушло бы 2 года и 3 месяца!

«Смиты» в квадрате

В книге М.  Гарднера «От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам» приведён магический квадрат третьего порядка, составленный из чисел Смита (рис. 1). Его магическая постоянная равна 822 и является, по словам автора, наименьшей из возможных для такого квадрата.

Все указанные в клетках числа — чётные. Разделив каждое из них на 2, получим новый магический квадрат с постоянной (суммой чисел в каждой строке, каждом столбце и на диагоналях), равной 411 (рис. 2). Примечателен он тем, что состоит из девяти простых чисел; согласитесь, неплохое наблюдение автора. Но если бы дело было только в обнаруженном им свойстве… Ведь известны и другие магические квадраты, составленные из простых чисел.

Однако нас сейчас интересуют вовсе не они, а числа Смита. Какое отношение имеют они к получившейся таблице?

Приглядитесь внимательнее, и вы заметите, что суммы некоторых её чисел дают числа Смита. Так, в простейшем случае

11 + 47 = 58.

Разность магической постоянной 411 и числа 137 из центральной клетки равна другому представителю семейства смитов — числу 274. Это означает, что сумма любых двух простых чисел, занимающих центрально-симметричные клетки квадрата, оказывается числом Смита:

11 + 263 = 83 + 191 = 47 + 227 = 101 + 173 = 274.

А вот ещё один любопытный факт: суммы пар чисел, стоящих вдоль линий, параллельных главным диагоналям, также равны числам Смита. Действительно:

11 + 83 = 94,          83 + 263 = 346,

263 + 191 = 454,    191 + 11 = 202.

Все пять смитов есть в исходной таблице и, что характерно, красиво располагаются в её угловых клетках и в центре (рис. 1), в то время как сами слагаемые размещаются в средних клетках по сторонам второй таблицы (рис. 2). Если собрать все девять чисел

в новую таблицу (рис. 3), они образуют двойной симметричный узор (рис. 4).

К тому же теперь наглядно видно, как просто и разумно связаны между собой тройки чисел, входящих в каждое из четырёх последних равенств (рис. 5, 6).

Можно также рассматривать суммы трёх или более чисел второго квадрата, при выборе которых логично руководствоваться симметрией их расположения — к примеру, относительно главной диагонали. Возьмём для определённости диагональ

квадрата, идущую из левого нижнего в правый верхний угол. Она даёт три числа: 101, 137 и 173. Добавим к ним ещё четыре: 47, 263, 227 и 83 (рис. 7).

Оказывается, их различные комбинации приводят к разным числам Смита. Скажем, каждая из троек 47, 263, 173 и 227, 83, 173 при сложении даёт 483.

47 + 263 + 173 = 227 + 83 + 173 = 483.

Весьма любопытная картина вырисовывается при игре с четвёрками чисел. Легко заметить, что смит 483 получается также при сложении 346 и 137 (оба числа встретились в рассмотренных магических квадратах, рис. 1 и 2). Тогда смит 346 можно представить в виде разности 483 и 137:

(47 + 263 + 173) – 137 = (227 + 83 + 173) – 137 = 346.

Аналогично 483 = 382 + 101, откуда 382 = 483 – 101, 
или (47 + 263 + 173) – 101 = (227 + 83 + 173) – 101 = 382.

Пойдём дальше: 274 = 411 – 137, где 411 есть магическая постоянная второго квадрата, а значит, выполняются равенства

(47 + 263 + 101) – 137 = (227 + 83 + 101) – 137 = 274.

Итак, задействовав возможные пары чисел главной диагонали этого квадрата, удалось «сконструировать» три числа Смита, присутствующие в исходном квадрате: 346, 382 и 274. И если в первый раз такой результат мог быть случайностью, а во второй — простым совпадением, то в третий раз начинает проявляться вполне определённая закономерность. А какой истинный любитель математики откажется её проверить?

Если теперь ограничиться рассмотрением чисел 47, 263, 83 и 227, нетрудно получить хотя и не столь очевидные, но уже вполне ожидаемые и даже предсказуемые результаты:

227 + 83 – 263 + 47 = 94,
227 + 83 – 47 + 263 = 526,
47 + 263 – 227 + 83 = 166,
47 + 263 – 83 + 227 = 454.

И вот перед нами ещё четыре смита из исходного квадрата. Любопытно, что они занимают такие же клетки, что и числа второго квадрата, из которых получены. Мозаика почти сложилась, осталось всего ничего — выразить ещё два смита: 22 и 202. А в том, что эта задача разрешима, сомнений не осталось.

Воспользуемся тем, что уже известно. Ближайший к числу 22 смит из составленного Гарднером магического квадрата — число 94; 22 = 94 – 72, или (227 + 83 – 263 + 47) – (173 – 101) = 22. Аналогично 202 = 166 + 36, или (47 + 263 – 227 + 83) + (173 – 137) = 202. Впрочем, в этом случае можно обойтись и четвёркой чисел: 202 = 303 – 101 = 47 + 83 + 173 – 101.

Между тем попытки выразить аналогичным образом число 22 приводят к ещё одному открытию: оказывается, смиты из исходной таблицы можно получить из четвёрок чисел, занимающих соседние центрально-симметричные клетки второй таблицы (рис. 8), например:

58 – 36 = (47 + 11) – (263 – 227) = 22,
58 + 36 = (47 + 11) + (263 – 227) = 94,
(173 + 83) – (191 – 101) = 166,
(173 + 83) + (191 – 101) = 346.

Получается изящная головоломка: как, имея набор простых чисел, составить простейший магический квадрат из составных чисел Смита, да ещё и с наименьшей постоянной?

Такие простые закономерности.

..

Поразмышляв немного, вы обнаружите и, возможно, обоснуете немало интересных закономерностей, связывающих числа Смита. А начать можно с чего-нибудь совсем простого.

Скажем, 58 – 36 = 22, а 58 + 36 = 94, откуда 58 = (22 + 94) : 2, следовательно, смит 58 — среднее арифметическое смитов 22 и 94. В свою очередь 94 — среднее арифметическое 22 и 166, а вот число 22 — среднее геометрическое смитов 4 и 121 (22 = 2 · 11 = ).

Или другой пример. Выпишем по порядку первые пятнадцать чисел Смита и выделим из них каждое второе:

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166,
202, 265, 274, 319, 346, 355, 378.

Посмотрите, как интересно они связаны:

22 = 58 – 6² = 94 – 2 · 6² = 166 – 4 · 6²,

22 = 265 – 1 · З⁵ = 319 – 11 · 3³ = 355 – 111 · 3.

А вот ещё одно наблюдение. Оно касается многозначных чисел Смита, у которых всего два простых множителя.

22 = 2 · 11 = 22 + 0,      2+1 + 1 = 2 + 2 + 0 = 4,
58 = 2 · 29 = 22 + 36,    2 + 2 + 9 = 2 + 2 + 3 + 6 = 13,
85 = 5 · 17 = 22 + 63,    5 + 1+7 = 2 + 2 + 6 + 3 = 13,
94 = 2 · 47 = 22 + 72,    2 + 4 + 7 = 2 + 2 + 7 + 2 = 13.

Как видим, если такое число представить в виде суммы двух слагаемых, причём одно из них 22 (смит), то сумма цифр его множителей будет такой же, как и сумма цифр слагаемых, и равна либо 4, либо 13.

Оказывается, аналогичным свойством обладают и трёхзначные числа Смита, при этом повторяется слагаемое 202 (снова смит!), а суммы цифр равны 4, 13 или 22. Например:

355 = 5 · 71 = 202 + 153 (суммы цифр — 13),
778 = 2 · 389 = 202 + 576 (суммы цифр — 22).

Любопытно также, что у всех ключевых чисел (4, 13, 22, 202) сумма цифр равна наименьшему смиту, а два из них (22 и 202) — суперчисла Смита.

Можно изучать самые разные группы смитов и даже отдельных представителей этого семейства, открывая всё новые и новые их свойства. Чем, например, примечательна тройка 27, 58 и 85? Что общего у чисел 4, 121 и 10 201? А какое отношение к смитам имеет число 31? Как говорил в таких случаях один из героев Гарднера, не существует ни одного числа, которое не обладало бы какими-нибудь необычными свойствами. И представители многочисленного семейства смитов лишь подтверждают это.

Запиши самое большое семизначное число, в запись которого входит три раза цифра 0 и четыре раза цифра 1. — Знания.site

Последние вопросы

• Литература

  4 минуты назад

  Помогите с литературой пожалуйста

• Другие предметы

  4 минуты назад

  Ребят, помогите, пожалуйста, сделать тест по ОБЖ)

• География

  4 минуты назад

  Домашние задание по географии

• Другие предметы

  4 минуты назад

  Помогите, пожалуйста, сделать тест по ОБЖ!

• Математика

  4 минуты назад

  повна відповідь по ліях дякую добра людина ​

• Литература

  4 минуты назад

  50 балов , каждый ответ на 3-6 предложений1. Які деталі свідчать про те, що Гітчі-Маніто є володарем природ ного світу? 2. Якими постали перед Владикою Життя iндiанцi? Із чим у пере- кладі поеми порівнюються їхні розфарбовані тіла? Поміркуйте, які саме кольори переважають у бойовій розкрасці воїнів. 3. Для чого Гітчі-Маніто скликав народ? Як він розмовляв із ворогу- ючими племенами? 4. Як змінилася вода в річці після того, як індіанці змили в ній «фарби бою»? Що ця змiна означає?​

• Геометрия

  4 минуты назад

  Відрізок АВ-діаметр кола с центром О,Ас і СВ-рівні хорди цього кола.Знайти кут СОВ (Можно рисунок кола)ДАЮ 80 БАЛЛОВ. СРОЧНО!!!! ПЛИХ​

• Русский язык

  4 минуты назад

  СРОЧНО твір на тему стосунки між сучасними підлітками бажано використовуючи твір «шпага Славка беркута»​

• Английский язык

  4 минуты назад

  помогите пожалуйста!!​

• Русский язык

  4 минуты назад

  Ты гей???????????? ¿?????????????????????

• История

  4 минуты назад

  який кочовий народ В. Мономаха був надовго відкинути від кордонів Русі-України

• Математика

  4 минуты назад

  2-6= срочняк (рофл) фаст

• Физика

  4 минуты назад

  муха может лететь вверх с максимальной скоростью 1 м/с, а вниз — со скоростью 3 м/с. С какой максимальной скоростью муха может лететь под углом 30 градусов к горизонту, если сила сопротивления пропорциональна скорости.

• Алгебра

  9 минут назад

  Помогите решить примеры по алгебре, я в ней 0.

• Геометрия

  9 минут назад

  Как без транспортира определить, какой из углов на клетчатой бумаге больше

Все предметы

Выберите язык и регион

English

United States

Polski

Polska

Português

Brasil

English

India

Türkçe

Türkiye

English

Philippines

Español

España

Bahasa Indonesia

Indonesia

Русский

Россия

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

РАЗВЛЕЧЕНИЯ С ЦИФРАМИ – EduSpots

ЗАГАДКА 1

Есть трехзначное нечетное число. Вторая цифра в четыре раза больше третьей, а первая цифра в три раза меньше второй. Какой номер?

ОТВЕТ

Преамбулы: 1. Номер состоит из трех цифр. 2. Нечетное число.

Примечания: Чтобы любое число было нечетным, последняя цифра номера также должна быть нечетной. Таким образом  17 является нечетным, поскольку последняя цифра «7» нечетная;

12 — это , а не , нечетное, потому что последняя цифра «2» нечетная. Это верно, когда мы работаем с основанием 10, что в данном случае и есть.

Следовательно, последняя цифра искомого числа не может быть четной. 0, 2, 4, 6, 8 , таким образом, являются , а не возможными значениями третьей цифры. Теперь давайте найдем наше трехзначное число, выполнив следующие шаги:

Шаг 1: Из преамбулы и примечаний выше единственными возможными значениями для третьей цифры являются 9.

0003 1, 3, 5, 7 и 9.

Шаг 2. Вторая цифра в четыре раза больше третьей . Если мы выберем 3, 5, 7 или  9 в качестве третьей цифры, любое из этих чисел, умноженное на четыре, даст нам двузначное число. Пример: 4*3=12; 4*5=20; 4*7=28; 4*9 = 36 . Но поскольку число, которое мы ищем, является трехзначным числом, вторая цифра должна быть однозначной. Таким образом, третья цифра числа не может быть 3, 5, 7 или 9.

Если мы выбрали 1 в качестве третьей цифры, вторая цифра будет = 4*1 = 4. «4» удовлетворяет преамбуле, потому что 4 в четыре раза больше, чем 1, а четыре — однозначное число.

Таким образом, третья цифра — «1», а вторая цифра — «4».

Шаг 3. Первая цифра на три меньше второй означает, что первая цифра должна быть 1, , потому что 1 на 3 меньше 4.

Следовательно, число равно 141. СЕБЯ

Без условия нечетного числа для вопроса, какое другое возможное число(я) удовлетворило бы вопросу?

ЗАГАДКА 2

Спортсмен может прыгать вечно. Однако каждый раз, когда она прыгает, она немного больше устает, и каждый прыжок проходит на 1/2 дальше, чем ее предыдущий прыжок. Итак, для своего самого первого прыжка она преодолевает 1/2 метра. Во втором прыжке она проходит 1/4 метра и так далее и тому подобное. Сколько прыжков ей нужно, чтобы пройти 1 метр?

ОТВЕТ

Спортсмен не устает ни чуть больше после каждого дополнительного прыжка и e каждый прыжок в два раза ниже его предыдущего прыжка. Ее первый прыжок — полметра = 1/2 м; ее второй прыжок = 1/2(1/2) = 1/4 м; ее третий прыжок = 1/2(1/4) = 1/8 м и т. д.

Общее количество пройденных метров = 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 +…

тенденция показывает, что ответ приближается к 1 для каждого дополнительного прыжка, но никогда не достигает ровно 1.

Бросьте вызов себе

Но существует мнимое количество (прыжков), при котором спортсмен преодолел бы 1 метр. Вы можете сделать вывод?

Математическая задача: Неизвестное число — вопрос № 5522, алгебра, уравнение

Адела задумала двузначное число. Она прибавила его десять раз и получила 407. Какое число она думает?

Правильный ответ:

a =  37

Пошаговое объяснение:

a+10a=407  a+10⋅ a=407  11a=407 a=11407​=37  a=37

найти ошибку или неточность? Смело звоните по номеру

, пишите нам

. Спасибо!

Подсказки для связанных онлайн-калькуляторов

У вас есть линейное уравнение или система уравнений и вы ищете ее решение? Или у вас есть квадратное уравнение?

You need to know the following knowledge to solve this word math problem:

• algebra
• equation
• numbers
• natural numbers

Grade of the word problem:

• practice for 10-летние

• Умноженное 17563 901:12 Джон подумал о числе. Он умножил его на четыре и прибавил к результату 18. В результате получилось число 8, умноженное на десять. Какое число придумал Хонза?
• Z9-I-4
  Кейт придумала пятизначное целое число. Она записала сумму этого числа и его половины в первую строку рабочей тетради. Во второй строке напишите сумму этого числа и его одну пятую часть. Она написала сумму этого числа и его одной девятки в третьей строке.
• Неизвестный номер 2
  Думаю номер. Когда я уменьшу его в четыре раза, я получу 11. Какое число я думаю?
• Характеристики 2104
  Бетка придумала натуральное число с разными цифрами и написала его на доске. Подень написал цифры исходного номера на обороте и таким образом получил новый номер. Сложив эти два числа, он получил число с тем же количеством цифр, что и целое число
• Неизвестное число 24
  Думаю, число: а — такое же, как площадь квадрата с 12-й окружностью. Что это за номер? б — его половина в семь раз больше четверти. Это номер?
• Неизвестный номер 4
  Думаю, номер. Когда я разделил его квадратный корень на 1/9, я получил число 1. О каком числе я думаю?
• Тринадцать 68474
  Думаю, число. Из его тринадцати раз я вычту 97 и получу число 46. Какое число я думаю?
• Умножение 4545
  Филип дважды подряд умножил число 4 на свое счастливое число. Он прибавил к результату 4 и получил результат 200. Какое счастливое число у Филипа?
• Мысль 8153
  Когда я добавляю половину числа мыслей к 3/5 числа мыслей, я получаю в сумме 22. Какое число я думаю?
• Пропорция 5684
  Думаю число. Если я уменьшу его в три раза, увеличу пропорцию на 5/6 и уменьшу сумму в 0,5 раза, то получу 2 1/7. Какой номер?
• Умножить 2874
  Думаю число. Если умножить на семь и прибавить к произведению 3, получится 80. Какое число я думаю?
• Думаю,
  Думаю, число. Когда я умножаю его на пять и вычитаю 477, я получаю то же число, как если бы я умножил его дважды. Какую цифру я думаю?
• Думаю, номер
  Думаю, номер. Когда я добавляю к нему 432 и вычитаю 197, я получаю число, которое на 39 больше, чем 1824. О каком числе я думаю?
• Двузначное 6212
  Загадываю число, складываю его само с собой, вычитаю 6, затем делю на 2, прибавляю 7 и умножаю на 8.