Дана правильная треугольная призма периметр основания призмы равен 12 см: дана правильная треугольная призма периметр основания равен 12 см, диагональ боковой грани равен 5 см .найдите площадь боковой поверхности призмы

Тема 10. Стереометрия

1. Углы между прямыми и плоскостями

Угол между прямой l и плоскостью L – это угол между прямой l и ее проекцией на плоскость l’.

Угол между плоскостями L  и M – это угол между прямыми l и m, лежащими в этих плоскостях, такими, что и

 (линейный угол). Угол между плоскостями также называется двугранным углом.

Угол между скрещивающимися прямыми l и m, лежащими в параллельных плоскостях, равен углу между проекцией l’  прямой l на плоскость, где лежит прямая m, и прямой m.

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Признак параллельности плоскостей:

Если AB||A’B’ и BC||B’C’, то плоскости ABC и A’B’C’ параллельны.

Теорема о трех перпендикулярах:

Прямая BC, лежащая в плоскости ABC, перпендикулярна наклонной DB, тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ее проекции на плоскость AB.

2. Призма

Объем наклонной призмы: V=S_осн∙H , где S_осн – площадь основания призмы.

Площадь поверхности: S=2S_осн+S_бок, где S_бок – площадь боковой поверхности, равная сумме площадей всех граней.

Прямая призма – призма, боковое ребро которой перпендикулярно основанию.

Объем: V=S_осн∙l .

Площадь боковой поверхности: S_бок=P∙l, где P – периметр основания. 

Правильная призма – прямая призма, основание которой – правильный многоугольник. 

Параллелепипед – призма, основание которой – параллелограмм. Все грани параллелепипеда являются параллелограммами.

Прямоугольный параллелепипед – призма, все грани которой – прямоугольники.

Свойства диагоналей: AC₁=BD₁=CA₁=DB₁=d; d2=a

Объем: V=abc.

                                     Площадь поверхности: S=2∙(ab+ac+bc).

Куб – призма, все грани которой – квадраты (a=b=c). Куб является параллелепипедом и обладает всеми его свойствами.

; V=a³; S=6a².

Пример 1. Чему равна полная поверхность прямой треугольной призмы, если ее высота равна 50, а стороны основания 13, 37 и 40?

    Решение:

        Периметр основания призмы равен P=13+17+40=90. Площадь боковой поверхности S_бок= 90∙50=4500.

        Площадь основания найдем по формуле Герона. Его полупериметр p=45 и .

        Осталось вычислить полную поверхность призмы: S=2∙240+4500=4980.

    Ответ: 4980.

Пример 2. В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат со стороной 2. Боковое ребро призмы равно . Найдите градусную меру угла между плоскостью треугольника AB₁C  и плоскостью основания призмы.

    Решение:

        Плоскость AB₁C  пересекает плоскость основания про прямой AC. Построим линейный угол, соответствующий углу между этими плоскостями. Т.к. ABCD – квадрат, то его диагонали пересекаются под прямым углом, т.е. . Далее, т.к. призма правильная, то B

        Рассмотрим треугольник B₁OB. Поскольку призма – прямая, то угол B в треугольнике – прямой. B₁B=по условию задачи.  . Т.к. катеты в прямоугольном треугольнике B₁OB равны, то =45⁰.

3. Пирамида

Объем: .

Площадь поверхности:.

Особые случаи пирамиды:

    1. Если все боковые ребра равны, то

• высота проходит через центр описанной окружности основания;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.

    2. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то

• высота проходит через центр вписанной окружности;
• высоты боковых граней равны.

    Правильная n-угольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник, а высота проходит через центр основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны. Все боковые грани – равные между собой равнобедренные треугольники. Высота h боковой грани называется апофемой. Правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны, называется тетраэдром.

    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: , где P – периметр основания.

Усеченная пирамида 

Плоскость ABC параллельна плоскости A₁B₁C₁. Грани ABC и A₁B₁C₁ – основания усеченной пирамиды; h – апофема (в правильной пирамиде).

Объем: , где S₁ и S₂ – площади оснований.

Площадь боковой поверхности: S=S₁+S₂+S_бок .

                               Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: , где P₁ и P₂ – периметры оснований.

Пример 3. Высота правильной пирамиды равна , апофема 4. Найдите длину бокового ребра.

    Решение:

На чертеже изобразим пирамиду SABC, ее высоту SO и апофему SD. Т.к. пирамида правильная, точка O является центром вписанной окружности – точкой пересечения биссектрис, которые также являются высотами и медианами.

Найдем отрезок OD, как катет прямоугольного треугольника SOD: .

Медианы AD и BM правильного треугольника ABC равны и точкой O делятся в отношении 2:1. Следовательно .

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. Боковое ребро SB является его гипотенузой. По теореме Пифагора .

    Ответ: 7.

Пример 4. Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна , а ее грани наклонены к плоскости основания под углом 60⁰. Найдите объем пирамиды.
    Решение:
        Воспользуемся чертежом к предыдущей задаче. Т.к. SABC правильная пирамида, точка O является центром вписанной окружности – точкой пересечения биссектрис, которые также являются высотами и медианами. Следовательно,

. SD также является медианой и высотой равнобедренного треугольника CSB. Значит, .
Таким образом, линейный угол SDO равен двугранному углу между плоскостью основания пирамиды и плоскостью грани SBC и равен 60⁰.
        Рассмотрим правильный треугольник ABC. Путь его сторона равна a. Тогда его площадь равна  , откуда . Найдем высоту треугольника: . По свойству медиан.
        Рассмотрим прямоугольный треугольник SOD.

        .

        Вычислим объем пирамиды: .
    Ответ: 3.

Пример 5. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 2. Через середины боковых ребер проведена плоскость. Найти объем многогранника, заключенного между этой плоскостью и плоскостью основания пирамиды.

    Решение:

    Отрезки, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, и D₁A₁, соединяющие середины боковых ребер, являются средними линиями боковых граней. Таким образом, A₁B₁||AB и A₁C₁||AC, и,  в соответствии с признаком параллельности плоскостей плоскость, содержащая точки A₁, B₁, C₁ и D₁ параллельна плоскости основания. Следовательно, многогранник ABCDA₁B₁C1D₁  является усеченной пирамидой.

    По свойству средней линии сторона верхнего основания равна . Площадь верхнего основания: S₁=1²=1.

    Площадь нижнего основания S₂=2²=4 . Диагональ нижнего основания – квадрата ABCD: . Поскольку пирамида правильная, то O – центр квадрата, т.е. точка пересечения диагоналей, и .

    Рассмотрим прямоугольный треугольник SOD. Вычислим высоту пирамиды SO как длину одного из катетов этого треугольника: . Отрезок O₁D₁ – средняя линия этого треугольника, т.к. параллелен основанию OD и проходит через середину стороны SD. Таким образом, – высота усеченной пирамиды.

    Вычислим объем усеченной пирамиды:

.

Ответ: .

4. Цилиндр

OO₁ – ось цилиндра; A₁ABB₁ – осевое сечение.

Объем: .

Площадь боковой поверхности: .

Площадь поверхности: .

Пример 6. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной 50. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 7 от нее.

    Решение:

    Высота и диаметр цилиндра равны 50, его радиус равен 25.

    Поскольку плоскость параллельна оси OO₁, то она пересекает боковую поверхность цилиндра по прямым AA₁ и BB₁, параллельным OO₁ и перпендикулярным основаниям. Таким образом, сечение, площадь которого требуется найти, представляет собой прямоугольник, стороны  AA₁ и BB₁ которого равны 50.

    Расстояние от оси цилиндра до плоскости AA₁B  равно длине перпендикуляра OE, опущенного из точки O на прямую AB. Чтобы вычислить длину AB, рассмотрим верхнее основание подробнее.   является высотой и, следовательно, медианой равнобедренного треугольника AOB. Таким образом, AE=EB.

    В прямоугольном треугольнике OEB гипотенуза OB является радиусом цилиндра и равна 25; катет OE равен 7 по условию задачи. Найдем катет EB: . Отсюда AB=2•24=48.

    Площадь сечения AA₁BB₁  равна 48•50=2400.

Ответ: 2400.

5. Конус

L – образующая конуса; OO₁ – ось конуса; – осевое сечение;  – угол раствора конуса.

Объем: .

Площадь боковой поверхности: .

Площадь поверхности:.

    Усеченный конус

Объем: .

Площадь боковой поверхности: .

Площадь поверхности: .

Пример 7. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45⁰. Расстояние от центра основания до образующей равно. Найдите высоту конуса.

    Решение:

    Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник ABC, углы при основании которого равны 45⁰. Угол в вершине B треугольника – прямой. BO – ось конуса – является также высотой треугольника ABC, а, следовательно, биссектрисой угла B. Таким образом, .

    Опустим перпендикуляр OE на отрезок BC. Его длина и есть расстояние от центра основания O   до образующей BC, которое равно .

    Рассмотрим прямоугольный треугольник OBE. Высота конуса BO является его гипотенузой. 

    .

    Ответ: 6.

6. Шар и сфера

Объем шара: .

Площадь сферы: .

Объем шарового сегмента:.

Площадь сферического сегмента: .

Объем шарового сектора: .

Площадь боковой поверхности сектора: .

Пример 8. Шар, радиус которого равен 13, пересечен плоскостью на расстоянии 10 от центра. Найдите площадь сечения.

    Решение:

    Проведем осевое сечение шара плоскостью, перпендикулярной той, которая дана в условии задачи. Две плоскости пересекаются по прямой AB.

    Искомое сечение является окружностью, диаметр которой равен длине отрезка AB. В плоскости AOB  опустим перпендикуляр OH из точки O на прямую AB. Поскольку плоскости перпендикулярны, длина OH и есть расстояние от точки O до заданной плоскости, т.е. OH=10.

    Рассмотрим прямоугольный треугольник OHB. Его гипотенуза OB является радиусом сферы и равна 13. Найдем катет HB: . 

    Поскольку OH – высота равнобедренного треугольника AOB, то O – середина AB, т.е. радиус сечения. Таким образом, площадь сечения равна .

    Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

    1) В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 и 12. Высота призмы равна 8. Найдите полную поверхность призмы.

    2) В прямой треугольной призме основания равны 36, 29 и 25, а полная поверхность призмы 1620. Найдите высоту призмы.

    3) В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной . Диагональ боковой грани, соответствующей катету, равна 13. Найдите объем призмы.

    4) Стороны основания прямой треугольной призмы равны 10, 17 и 21, а ее боковое ребро равно меньшей из высот основания. Найдите объем призмы.

    5) Объем правильной треугольный призмы равен . Найдите высоту призмы, если радиус описанной около основания окружности равен 2.

    6) Высота правильной треугольной призмы равна 8, а площадь основания . Найдите диагональ боковой грани призмы.

    7) Все ребра прямой треугольной призмы равны. Найдите площадь основания призмы, если площадь ее полной поверхности равна .

    8) Высота правильной четырёхугольной призмы равна , а диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Найти сторону основания призмы.

    9) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 6м и 8м, а диагональ большей по площади боковой грани равна м. Найдите объём призмы.

    10) Найдите площадь поверхности куба, диагональ которого равна .

    11) Площадь диагонального сечения куба равна . Найдите ребро куба.

    12) Сумма длин всех ребер куба равна 48. Чему равна площадь всех его граней?

    13) Если ребро куба уменьшить на 10%, на сколько процентов уменьшится его объем?

    14) В прямом параллелепипеде проведено сечение через диагональ нижнего основания и середину непересекающегося с этой диагональю бокового ребра. Расстояние от плоскости сечения до вершины нижнего основания, не лежащей в плоскости сечения, равно 5см. Площадь сечения равна 10см². Найти объём параллелепипеда.

    15) В прямом параллелепипеде проведено сечение через диагональ нижнего основания и середину непересекающегося с этой диагональю бокового ребра. Объём меньшего из двух многогранников, на которые параллелепипед делится плоскостью сечения, равен 40см³. Найдите объём параллелепипеда.

    16) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6м и 8м, а угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания 30⁰. Найдите диагональ параллелепипеда.

    17) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 4м и 3м, а угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания 45⁰. Найдите длину диагонали параллелепипеда.

    18) Сторона основания правильной треугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 12, а боковое ребро . Найдите градусную меру угла между плоскостями A₁BC и ABC.

    19) ABCDA₁B₁C₁D₁ – призма, в основании которой лежит квадрат, боковые ребра которой наклонены к плоскости основания под углом 30⁰. Диагональ AD₁ перпендикулярна плоскости основания. Площадь боковой поверхности призмы равна . Найдите объем призмы.

    20) В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат. Боковое ребро равно . Найдите длину стороны основания, если угол между плоскостью AB₁C и плоскостью основания призмы равен 30⁰.

    21) Ребра треугольной пирамиды длины 4, 5 и 9 взаимно перпендикулярны. Чему равен объем пирамиды?

    22) Пирамида имеет 28 ребер. Сколько у нее граней?

    23) Высота правильной треугольной пирамиды равна 15, а высота ее основания 12. Найдите длину бокового ребра.

    24) Высота правильной треугольной пирамиды в два раза меньше стороны основания. Найдите угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания.

    25) Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 10 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45⁰. Найдите высоту пирамиды.

    26) Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 10, а периметр  основания 36. Найдите высоту пирамиды.

    27) В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3см, а площадь боковой поверхности 80см². Найти объём пирамиды. 

    28) Боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60⁰. Площадь основания равна 14м². Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

    29) В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60⁰. Сторона основания пирамиды равна 6см. Найдите объём пирамиды.

    30) В правильной четырёхугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60⁰. Высота пирамиды равна 8см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

    31) В правильной треугольной пирамиде высота равна , а величина двугранного угла при основании 60⁰. Найдите сторону основания пирамиды.

    32) В правильной треугольной пирамиде высота равна 4, а апофема равна 5. Найдите сторону основания пирамиды.

    33) Высота треугольной пирамиды SABC равна 8, а площадь треугольника ABC 12. Точки A₁, B₁, C₁ делят ребра SA, SB  и SC в отношении 1 : 1. Найдите объем усеченной пирамиды ABCA₁B₁C₁.

    34) В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=4 и BC=3. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, тангенс которого равен 4/5. Найдите объем пирамиды.

    35) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его осевого сечения равна 12.

    36) Площадь основания цилиндра равна 4, а площадь его боковой поверхности равна . Найдите высоту цилиндра.

    37) Высота и радиус основания цилиндра равны, соответственно, 9 и 6. Концы отрезка AB длины  лежат на окружностях верхнего и нижнего оснований. Найдите расстояние от оси цилиндра до отрезка AB.

    38) Радиус основания конуса равен 6, а образующая составляет с плоскостью основания угол, равный 30⁰. Найдите расстояние от центра основания до образующей.

    39) Образующая конуса равна диаметру его основания. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна .

    40) Площадь осевого сечения конуса равна 8, а радиус основания 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

    41) Осевое сечение конуса – правильный треугольник со стороной . Найдите полную поверхность конуса.

    42) Из точки M вне шара проведена касательная AM к его поверхности. Кратчайшее расстояние от этой точки до поверхности шара равно 6, а до центра шара 15. Найдите длину AM.

    43) Если радиус сферы увеличить на 50%, на сколько процентов увеличится площадь ее поверхности?

    44) Радиус шара равен . Через конец радиуса под углом 600 к нему проведена плоскость. Найти площадь сечения шара плоскостью.

    45) Стороны треугольника, равные 10, 10 и 12 касаются поверхности шара Найдите радиус шара, если расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 4.

    46) Как относятся объемы куба и описанного около него шара?

    47) В шар объема  вписан конус, таким образом, что основанием конуса является осевое сечение шара. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Ответы

1) 300; 2) 10; 3) 360; 4) 672; 5) 9; 6) 10; 7) 4; 8) 6; 9) 240м³; 10) 12; 11) 2; 12) 96; 13) 27,1%; 14) 200см³; 15) 480см³; 16); 17) ; 18) 30⁰; 19) 24; 20) 150; 21) 30; 22) 15; 23) 17; 24) 60⁰; 25) ; 26) ; 27) 64см³; 28) 28м²; 29) ;            30) 256см²; 31) ; 32) ; 33) 28; 34) 4; 35) ; 36) 3; 37) ; 38) 3; 39) 8/3; 40) ; 41); 42) 12; 43) 125%;      44) 16; 45) 5; 46); 47) 9.