ПРОШУ, УМОЛЯЮ. !!!рис. 160. ABCD — трапеция. Найти: углы трапеции.рис. 162. ABCD

Последние вопросы

  • Геометрия

    42 минут назад

    Математика, не могу решить

  • Геометрия

    1 час назад

    СРОЧНО ПОМОГИТЕ! 7 КЛАСС! только распишите всё пожалуйста правильно, формулу по которой решаете и самое решение​

  • Геометрия

    1 час назад

    Срочно нужны ответы

  • Геометрия

    1 час назад

    Найди длину отрезка TR

  • Геометрия

    1 час назад

    Найди длину медианы

  • Геометрия

    1 час назад

    Помогите пожалуйста с геометрией!

  • Геометрия

    2 часа назад

    ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ СРОЧНО!!!!!! ДАМ 30 БАЛЛОВ!!!При паралельному перенесенні центр кола (х+1)2 + (y — 6)2 = 25 пере- ходить у точку перетину прямої y=-2x+5 з віссю ординат. Виконай побудову і запиши координати точки, у яку перейде точка В(4;-2) при цьому паралельному перенесенні.​

  • Геометрия

    2 часа назад

    Реши задачу и запиши ответ В окружности с центром в точке О построили хорду PR и диаметр ST, которые пересекаются в точке Q под прямым углом. Найди расстояние PS, если PR = 20 см, SQ = 24 см.

  • Геометрия

    2 часа назад

    помогите пожалуйста

  • Геометрия

    2 часа назад

    Помогите решить дз по геометрии

  • Геометрия

    3 часа назад

    помогите с геометрией пожалуйстаОтрезок АК – биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая сторону АЕ в точке N. Найдите углы треугольника АКN, если угол САЕ равен 98°.

  • Геометрия

    3 часа назад

    Найдите длину отрезков, на которые точка пересечения медиан делит медиану, равную а) 27 см б) 36 см

  • Геометрия

    4 часа назад

    Найдите тангенс острого угла, если его синус равен 8/17 Ответ запишите в виде числа, округленного до сотых.

  • Геометрия

    5 часов назад

    Помогите пожалуйста с геометрией, нужно решить через подобия

  • Геометрия

    5 часов назад

    У Саши было два яблока он съел один и осталось пять. где он взял эти яблоки?

Все предметы

English

United States

Polski

Polska

Bahasa Indonesia

Indonesia

English

India

Türkçe

Türkiye

English

Philippines

Español

España

Português

Brasil

Русский

Россия

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

   Периметр треугольника равен

   а площадь 1/2 аb. Получаем систему уравнений:

   Пусть

   48х = 672:х = 14.

   а = 8; b = 6.
   Так как центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, то радиус окружности

   Ответ: 25? см2.
 
   29. На катете АС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найти площадь треугольника СКВ, если длина катета AС равна b и величина угла ABC равна ? (рис. 141). (3)

   Рис. 141.
 
   Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Так как АС – диаметр окружности, то угол СКА прямой и треугольник СКА прямоугольный. Поскольку величина угла САК равна 90° – ?, то величина угла КСА равна ?. Из прямоугольного треугольника СКА имеем, что СК = bcos ?. Из прямоугольного треугольника СКВ находим ВК = СК ctg? = bcos ? ctg?. Но тогда площадь треугольника СКВ равна

   Ответ:

 
   30.  В треугольнике ABC угол А прямой, величина угла В равна 30°. В треугольник вписана окружность, радиус которой равен ?3. Найти расстояние от вершины С до точки N касания этой окружности с катетом АВ (рис. 142). (3)

   Рис. 142.
 
   Решение. Пусть ABC – прямоугольный треугольник, удовлетворяющий условию задачи. Обозначим через О центр окружности, вписанной в этот треугольник, а через M и N – точки касания этой окружности соответственно с катетами AС и АВ. Поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то ОМ ? АС и ON ? АВ. Так как угол А прямой, то четырёхугольник AMON – прямоугольник. Отсюда следует, что AM = ON = ?3 и AN = OM = ?3. Рассмотрим треугольник ОМС. Это прямоугольный треугольник, у которого ?ОСМ = 1/2 (?АСВ) = ?/6. Так как ОМ = ?3 то МС = QM ? ctg ?/6 = 3. Но тогда AC = AM + МС = ?3 + 3. Из прямоугольного треугольника ANC находим, что

   Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

   31.  В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза равна 12 см. Определите высоту треугольника, опущенную из прямого угла. (1)
   32. В прямоугольном треугольнике ABC даны: длина катета ВС, равная 36, и косинус угла ВАС, равный 8/17. Найдите длину другого катета АС и площадь треугольника. (1)
   33. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определите углы прямоугольного треугольника. (2)

   34. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и 16. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности. (2)
   35. В треугольнике ABC угол ВАС прямой, длины сторон АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону АС в точке L, G – точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше, длина BL или длина BG? (2)
   36. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину. Поворотом в этой плоскости данного треугольника вокруг вершины его прямого угла на угол 45° получается другой равнобедренный прямоугольный треугольник. Найти площадь четырехугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников. (3)

1.4. Задачи на трапецию


   При решении задач на трапецию нужно помнить следующие положения:
   1)

   где а, b – длины оснований, h – высота трапеции;
   2) Если около трапеции ABCD можно описать окружность, то она равнобокая. Если при этом требуется найти радиус этой окружности, то он совпадает с радиусом окружности, описанной около любого из треугольников: ABC, ABD, ACD, BCD.
   3) Если в трапецию ABCD вписана окружность, то AB + CD = BC + AD.

   4) Трапецию принято изображать как на рис. 143.

   Рис. 143.
 
   При нижнем основании оба угла – острые, но она может выглядеть и как на рис.  144.

   Рис. 144.
 
   Поэтому, например, задача «Одно из оснований трапеции равно 6, боковые стороны трапеции равны ?5 и ?13. Высота трапеции равна 2. Найдите площадь трапеции» имеет 4 решения:16, 14, 10 и 8.

Примеры решения задач

   37. В равнобокой трапеции ABCD высоты ВК и CL отсекают на основании AD отрезки АК и LD. Найдите длины этих отрезков, если AD = 19, ВС = 7 (рис. 145). (1)

   Рис. 145.
 
   Решение. Так как трапеция равнобокая, то треугольники АВК и CLD равны. В самом деле, АВ = CD по условию, ВК = CL как высоты трапеции. Значит, прямоугольные треугольники АВК и CLD равны по гипотенузе и катету. Так как KBCL – прямоугольник, то KL = ВС = 7; АК + LD = AD – KL = 19 – 7 = 12; AK = LD = 6.
   Ответ: 6; 6.
 
   38. Углы при основании трапеции равны 60° и 45°, высота трапеции равна 6 см. Найдите боковые стороны трапеции (рис. 146). (1)

   Рис. 146.
 
   Решение. Построим трапецию ABCD и проведём высоты ВК и СМ. Из прямоугольного ?АВК находим:

   Из прямоугольного ?CMD получаем:

   Ответ: 4?3 см; 6?2 см.
 
   39. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите длины оснований этой трапеции. (2)

   Рис. 147.
 
   Решение. Рассмотрим трапеции EBCF и AEFD (рис. 147). Введем обозначения: AD = х, ВС = у; высоты трапеций EBCF и AEFD обозначим через h. Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции, то

   Отсюда

   Из свойства средней линии трапеции:

   Таким образом, получаем систему уравнений:

   Ответ: 5; 15.
 
   40. В равнобедренной трапеции даны основания а = 21, b = 9 и высота h = 8. Найдите длину описанной около трапеции окружности (рис. 148; окружность на рисунке не показана). (2)

   Рис. 148.
 
   Решение. Проведём высоты трапеции ВК и СМ. Так как АВ = CD, то

   Из ?АВК по теореме Пифагора получаем:

   тогда

   KD = KM + MD = 9 + 6 = 15. Так как окружность, описанная около трапеции, совпадает с окружностью, описанной около треугольника ABD, то по теореме синусов имеем:

   Отсюда

   или

   Длина окружности

   Ответ: 85?/4.
 
   41. В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а величина угла при вершине М равна arctg2/3. Найти длину диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN (рис.  149). (2)

   Рис. 149.
 
   Решение: Из условия задачи следует, что угол NMQ острый. Пусть QK – высота треугольника MNQ. По условию LN ? MN и LN ? LQ, следовательно, MN||LQ и LN||QK, т. е. четырёхугольник KNLQ – параллелограмм. Тогда QK = LN и NK = LQ. Имеем, пользуясь условием задачи: QK = LN = LQ – 2, КМ = NM – NK = 2LQ – LQ = LQ. В прямоугольном треугольнике QKM отрезки QK и КМ являются катетами, следовательно,

   и, значит, LQ – 2 = 2/3 LQ, откуда LQ = 6 и LN = 4. Из прямоугольного треугольника NLQ, наконец, по теореме Пифагора находим:

   Ответ:

 
   42. В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника, ВСЕ, если АВ = 30 см, DC = 24 см, AD = 3 см и ?DAB = ?/3. (рис. 150). (3)

   Рис. 150.
 
   Решение. Обозначим через h длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины В на продолжение стороны АС. Так как этот отрезок одновременно является и высотой в треугольнике ВСЕ, то имеем:

   Из полученных равенств находим:

   В треугольниках ABE и CED равны величины соответствующих углов (?АЕВ = ?CED, ?ABE = ?CDE). Значит, эти треугольники подобны и

   Теперь из (1) и (2) находим, что

   Треугольники ABC и ABD имеют общее основание АВ. Поскольку АВ||CD, то их высоты, опущенные соответственно из вершин С и D, имеют равную величину. Поэтому

   Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

   43. Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее основания равны 12 и 4 см, а боковая сторона образует с одним из оснований угол в 45°. (1)
   44. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно высоте и равно h. Острый угол трапеции равен 30°. Найдите периметр трапеции. (1)
   45. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины боковых сторон равны 20 и 13. Найдите высоту трапеции. (2)
   46. Основания трапеции равны а и b, боковые стороны равны с. Найдите длину диагонали трапеции. (2)
   47. Определите длину высоты трапеции, если её основания равны 28 и 16 см, а боковые стороны равны 25 и 17 см. (2)
   48. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. (2)
   49. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС и с боковыми сторонами АВ и CD вписана окружность с центром О. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, ОС = 2 и OD = 4. (3)

1.5. Задачи на параллелограмм


   Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом ? между ними вычисляется по формуле S = absin ?. Можно также воспользоваться формулой S = 1/2 d1d2 sin? где d1, d2 – длины диагоналей, ? – угол между ними (или S = aha, где ha – высота). Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб. Если около параллелограмма можно описать окружность, то это прямоугольник.

Примеры решения задач

   50. В параллелограмме сумма двух противолежащих углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из углов параллелограмма (рис. 151). (1)

   Рис. 151.
 
   Решение. По условию задачи ?А + ?С = 132°. Но, так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ?А = ?С = 132°/2 = 66°. Учтём также, что ?А + ?В = ?С + ?D = 180°. Имеем:?В = ?D = 180° – 66° = 114°.
   Ответ: 66°, 114°, 66°, 114°.
 
   51. Одна из диагоналей параллелограмма разбивает его на два равносторонних треугольника со стороной а. Найдите длину другой диагонали (рис. 152). (1)

   Рис. 152.
 
   Решение. Раз ?ABD и ?BCD – равносторонние, то углы ?BAD = ?BCD = 60°, тогда ?ABC = 120°.
   По теореме косинусов из треугольника ABC получаем:

   Ответ:

 
   52.  Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали 3 и 5, а острый угол параллелограмма 60° (рис. 153). (2)

   Рис. 153.
 
   Решение. Обозначим стороны параллелограмма: AD = а, АВ = b, ?BAD = 60°. BD = 3; АС = 5. Очевидно, что ?ABC = 120°. По теореме косинусов из треугольников ABD и АСВ имеем:

   Вычитая первое уравнение из второго, получим 2ab = 16. Тогда площадь будет равна:

   Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

   53. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найдите длины сторон параллелограмма. (1)
   54. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной стороне АВ, равна 6. Длина диагонали АС равна 2?22. Найдите длину стороны AD. (1)
   55. Параллелограмм ABCD, у которого АВ = 153, AD = 180, BE = 135 (BE – высота), разделен на три одинаковые по площади фигуры прямыми, перпендикулярными AD. На каком расстоянии от точки А находятся точки пересечения этих перпендикуляров с AD? (2)

1.6. Задачи на ромб


   Для ромба характерны все формулы для параллелограмма, только а = b.

Примеры решения задач

   56. Тупой угол ромба в 5 раз больше его острого угла. Во сколько раз сторона ромба больше радиуса вписанной в него окружности (рис. 154)? (1)

   Рис. 154.
 
   Решение. Пусть сторона ромба равна а. В ромбе, как и во всяком параллелограмме, сумма внутренних односторонних углов BAD (обозначим этот угол ?А) и ABC (обозначим его ?В) равна 180°. Получаем систему уравнений:

   Радиус r вписанной окружности, как видно из рисунка, равен половине высоты ВН ромба (2r = MN = ВН). Но из ?АВН следует, что

   Ответ: в 4 раза.
   57. Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей равна 15. Найдите площадь ромба (рис. 155). (2)

   Рис. 155.
 
   Решение. Для нахождения площади ромба нам нужно знать длину стороны ромба и хотя бы один из его углов. Пусть АВ = а; ?А = ?. Проведём высоту ВН. Из ?АВН находим, что ВН = AB ? sin ?; 12 = asin ?. Из ?ABD по теореме косинусов BD2= АВ2+ AD2– 2AB ? AD ? cos ?; 152= а2 + а2– 2 ? a ? acos ?; 225 = 2а2(1 – cos ?). Получаем систему уравнений:

   Делим первое уравнение на второе:

   Ответ: 150.

Задачи для самостоятельного решения

   58. Диагональ ромба равна его стороне, ее длина 10 см. Найдите вторую диагональ и углы ромба. (1)
   59. В ромб, сторона которого 20 см, вписан круг. Найти площадь круга, если одна диагональ ромба больше другой в 4/3 раза. (2)
   60. В ромб с острым углом 30° вписан круг, площадь которого равна Q. Найдите площадь ромба. (2)

1.

7. Задачи на прямоугольник

   Для прямоугольника справедливы все формулы для параллелограмма, только угол между сторонами равен 90°. Поэтому S = ab = 1/2d2d2 sin?.

Примеры решения задач

   61. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника (рис. 156). (1)

   Рис. 156.
 
   Решение. Очевидно, что центр описанной около прямоугольника окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника. Из рисунка видно, что ОВ = 5, BE = BC/2 = 8/2 = 4.
   Тогда по теореме Пифагора находим:

   Ответ: 6 см; 8 см; 6 см.
 
   62. Стороны прямоугольника 5 и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на 3 части. Найдите длины этих частей (рис. 157). (2)

   Рис. 157.
 
   Решение. Проведем в прямоугольнике ABCD биссектрисы AM и DK (см. рис. 157). Получим:?ВАМ = 1/2 ?BAD = 1/2 ?90° = 45°. Отсюда следует, что ?АВМ – равнобедренный (?ВMA = 45°) и, значит, ВМ = АВ = 4. МС = ВС – ВМ = 5–4 = 1.
   Очевидно, что ВК = МС = 1;
   КМ = ВС – ВК – МС = 5–1 – 1 = 3.
   Ответ: 1; 3; 1.
 
   63. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найти прямоугольник наибольшей площади (рис. 158). (3)

   Рис. 158.
 
   Решение. Обозначив ?АОВ =?, получим: АВ = R sin ?, АО = R cos ?, S = AB ? AD = AB ? 2AO = 2R2sin ? ? cos ?, 0° < ? < 90°.
   Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и будем иметь:
   S = R2sin2?. Так как sin2? ? 1, то S максимальна при условии sin2? = 1, т. е. когда 2? = 90°, ? = 45°. При этом S = R2. Стороны прямоугольника при этом будут равны

   Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

   64.  Диагональ прямоугольника делит угол в отношении 2:1. Найдите отношение сторон прямоугольника. (1)
   65. Площадь прямоугольника равна 9?3 см2, а величина одного из углов, образованного диагоналями, равна 120°. Найдите стороны прямоугольника. (2)
   66. Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а длина диагонали равна 10. На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка О так, что OB = OD = 13. Найти расстояние от точки О до наиболее удаленной от нее вершины прямоугольника. (3)

1.8. Задачи на квадрат


   Если а – сторона квадрата, d – его диагональ, то S = a2= d2/2.

Примеры решения задач

   67. Радиус окружности, в которую вписали квадрат, равен 6. Найдите площадь квадрата (рис. 159). (1)

   Рис. 159.
 
   Решение. Очевидно, что центр описанной около квадрата окружности есть точка пересечения его диагоналей. Это означает, что ОВ – радиус окружности и ОВ = 6. Тогда АВ = 12 и по теореме Пифагора AC2+ ВС2= AB2. Обозначив длину стороны квадрата через а, получим: а2+ а2= 122; 2 ? а2= 144; а2 = 72. Sквадрата = a2= 72.
   Ответ: 72.
 
   68. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого (2? – 4) см2. Найдите периметр квадрата (рис. 160). (2)

   Рис. 160.
 
   Решение. Площадь заштрихованного сегмента, как видно из рисунка, можно вычислить по формуле:

   где а – длина стороны квадрата, R – радиус описанной окружности. Выразим R через а.

   Таким образом,

   С учётом условия получаем уравнение:

   Рквадрата = 4a = 4 ? 4 = 16 см.
   Ответ: 16 см.
 
   69. В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами А, В, С, D и точка О. Известно, что OB = OD = 13, ОС = 5?2 и что площадь квадрата больше 225. Найти длину стороны квадрата и выяснить, где расположена точка О – вне или внутри квадрата (рис. 161). (3)

   Рис. 161.
 
   Решение. Так как OB = OD, то точка О лежит на перпендикуляре к середине отрезка BD, т. е. на прямой АС. Обозначим через К точку пересечения диагоналей квадрата. Из условия следует, что ОВ > ОС; значит, точка О лежит по одну сторону с точкой С относительно перпендикуляра к середине отрезка ВС. Отсюда следует, что точка О лежит на луче КС.
   Обозначим КО через х и АВ = CD через y. Так как

   и

   Применяя к прямоугольному треугольнику KOD теорему Пифагора, получаем: OD2= КО2+ KD2или 169 = х2+ 1/2 у2.
   Предположим, что КО ? КС или

   тогда х2 ? 1/2 у2(заметим, что числа x и y неотрицательны) и

   т. е. площадь квадрата не превосходит 169, что противоречит условию. Следовательно,

   т. е. КО < КС, и точка О лежит внутри квадрата. Теперь получаем

   Из первого уравнения

   Подставляя

   вместо х во второе уравнение, после арифметических преобразований получаем уравнение у2– 10у – 119 = 0. Это квадратное уравнение имеет корни у1 = -7 и у2 = 17. Так как у есть длина отрезка, то у > 0 и, значит, y = 17.
   Ответ: длина стороны квадрата равна 17; точка О лежит внутри квадрата.

Задачи для самостоятельного решения

   70. Сторона квадрата равна 7 см. Определите диаметр окружности, описанной около квадрата. (1)
   71. В квадрат вписан круг, а в полученный круг вписан квадрат. Найдите отношение площадей квадратов. (1)
   72. Квадрат со стороной 3 см срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найдите сторону восьмиугольника. (2)
   73.  Дан квадрат ABCD. На его сторонах вовне построены равносторонние треугольники ABM, BCN, CDK, DAL. Найдите площадь четырёхугольника MNKL, если АВ = 1. (2)

1.9. Задачи на n-угольник (n > 3)


   Для произвольного выпуклого четырёхугольника S = 1/2 d1d2 sin?. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, a S = рr, где р – полупериметр, r – радиус вписанной окружности.
   Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны по 180°.
   Для правильного n-угольника:

   (R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, а – длина стороны правильного n-угольника).
   Полезно также помнить, что в правильном шестиугольнике a6 = R.

Примеры решения задач

   74. Сторона правильного шестиугольника равна 6. Найдите длину вписанной в него окружности (рис.  162). (1)

   Рис. 162.
 
   Решение. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Значит, треугольник АВО – правильный, угол АВО составляет 60°, a OB = R = 6. Радиусы вписанной в правильный шестиугольник окружности перпендикулярны его сторонам. В частности на рис. показано, что r ? АВ, где r = ОР. Тогда из прямоугольного треугольника ОРВ имеем:

   Ответ:

 
   75. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°? (2)
   Решение. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°, сумма внутренних углов равна 180°(n – 2). Величина угла в правильном n-угольнике равна

   Получаем уравнение:

   180°(n – 2) = 108°n;
   72°n = 360°; n = 5.
   Ответ: 5.

Задачи для самостоятельного решения

   76.  Сторона правильного шестиугольника равна 14. Найдите сторону равновеликого ему правильного треугольника. (1)
   77. В правильный треугольник вписана окружность, а в неё – правильный шестиугольник. Найдите отношение площадей треугольника и шестиугольника. (2)
   78. Выпуклый четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке О, при этом АО = ОС = 1, ВО = OD = 2. Найти периметр четырёхугольника ABCD. (3)

1.10. Задачи на окружность и круг


   При решении задач на окружность и круг применяются следующие формулы:

   если ? выражена в радианах. Sсегмента = Sсектора – Sтреугольника.
   Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Примеры решения задач

   79. Даны две концентрические окружности. Длина одной из них равна 33?, другой 27?. Найдите ширину кольца (рис. 163). (1)

   Рис. 163.
 
   Решение. Очевидно, что ширина кольца hкольца = R – r (см. рис). Зная длины окружностей, найдём их радиусы.

   Ответ: 3.
 
   80. Найдите площадь сектора круга с радиусом R = 4 и центральным углом в 30°. (1)
   Решение. Площадь сектора с углом в 30° в 36°/3° = 12 раз меньше площади всего круга. Значит, площадь сектора

   Ответ: 4/3?.
 
   81. Две окружности с радиусами R = 3 и r = 1 касаются внешним образом. Найдите расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных (рис. 164, а; б). (2)

   Рис. 164.
 
   Решение. Из рисунка видно, что четырёхугольник АВ02О1 – трапеция. В самом деле, радиусы О1А и О2В перпендикулярны общей касательной АВ, а значит, параллельны друг другу. Проведём среднюю линию EF трапеции АВO2О1. По свойству средней линии трапеции находим

   Легко видеть, что КМ – средняя линия трапеции EВО2F(см. рис. 164, б).

   Ответ: 3/2.
 
   82. В сектор с центральным углом в 60° вписан круг. При каком радиусе сектора площадь круга равна ? (рис. 165)? (2)

   Рис. 165.
 
   Решение. Пусть АО = ОВ = ОС = х (см. рис). D – центр вписанного в сектор круга. Тогда ОС – биссектриса ?АОВ и ?СОВ = 1/2 ?АОВ = 1/2 ? 60° = 30°. Из прямоугольного треугольника ODK:

   Ответ: 3.
 
   83. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника. Вычислите площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга (рис. 166). (2)

   Рис. 166.
 
   Решение. Как видно из рисунка, треугольники ADO и ОЕС – равносторонние (например, у ?ADO ?А = 60°; АО = OD, значит, ?ADO = 60°).

   Искомая площадь:

   Ответ:

 
   84.  На плоскости даны две окружности с радиусами 12 см и 7 см и центрами в точках О1 и О2 касающиеся некоторой прямой в точках М1 и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка М1М2 к длине отрезка О1O2 равно

   Вычислить длину отрезка М1М2 (рис. 167). (3)

   Рис. 167.
 
   Решение. Пусть S1 и S2 – две окружности, удовлетворяющие условию задачи. Поскольку точки М1 и М2 являются точками касания окружностей S1 и S2 с прямой М1М2, то О1М1 ? М1М2 и O2М2 ? М1М2. Соединим центры О1 и O2 этих окружностей и проведём через точку О1 прямую, параллельную прямой М1М2. Пусть точка К будет точкой пересечения прямых O2М2 и прямой, проведённой параллельно прямой М1М2 через точку О1. Получим прямоугольный треугольник O1O2K с гипотенузой O1O2. Применяя к прямоугольному треугольнику О1КO2 теорему Пифагора, имеем:
   О1О22= O1K2+ KO22(1)
   Поскольку

   то

   Поскольку КМ2 = О1М1 и КO2 = КМ2 – М2O2, то КO2 = 5 см. Наконец,

   Теперь из равенства (1) с учётом (2) и (3), а также КO2 = 5 см, следует, что 5/4 М1М22= М1М22+ 25, откуда

   Ответ: 10 см.

Задачи для самостоятельного решения

   85. Дуги А1В1 и А2В2 равной длины 1 принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам. (1)
   86. Точка лежит вне круга на расстоянии диаметра от центра круга. Найдите угол между касательными, проведенными из данной точки к данному кругу. (1)
   87. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус окружностей. (2)

Как найти угол трапеции

Все математические ресурсы ACT

14 Диагностические тесты 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

ACT Math Help » Геометрия » Плоская геометрия » Четырехугольники » Трапеции » Как найти угол трапеции

Найдите величину угла равнобедренной трапеции, изображенной ниже.

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Сумма углов любого четырехугольника равна 360 ° , а свойства равнобедренной трапеции диктуют, что наборы углов, соединенные параллельными прямыми (в данном случае нижний набор и верхний набор углов), равны равный. Вычитание 2(72 ° ) из 360 ° дает сумму двух верхних углов и деление полученного 216 ° на 2 дает измерение x , что составляет 108 ° .

Сообщить об ошибке

Трапеция – это равнобедренная трапеция с углом . Если   и   в паре, какова мера ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Как правило, смежные (непарные) углы в трапеции являются дополнительными. Таким образом, мы знаем, что если , то . Так как нам говорят, что и спарены, а трапеция равнобедренная, то должны быть равны.

Сообщить об ошибке

В равнобедренной трапеции выше 

 . и .

Что измеряется в градусах  ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти меру угла DAC, мы должны знать, что сумма внутренних углов всех треугольников равна 180 градусам. Кроме того, поскольку это равнобедренная трапеция,  и  равны друг другу. Две диагонали внутри трапеции делят пополам углы и под одним и тем же углом.

Таким образом, также должен быть равен 50 градусам.

Таким образом, .

Теперь, когда мы знаем два угла из трех в треугольнике слева, мы можем вычесть их из 180 градусов, чтобы найти:

Сообщить об ошибке

Учитывая следующий равнобедренный треугольник:

В градусах , найдите меру суммы  и   на рисунке выше.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Сумма внутренних углов всех четырехугольников равна 360°. У равнобедренных трапеций два верхних угла равны друг другу.

Точно так же равны два нижних угла.

Таким образом, чтобы найти сумму двух нижних углов, мы вычитаем из 360 меры двух верхних углов:

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

767 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

Форма, площадь, углы, свойства, типы и стороны

Что я узнаю из этой статьи?

Прочитав эту статью, вы сможете:

  • правильно определить трапецию;
  • знать исключительное и всеобъемлющее определение трапеции;
  • отличить трапецию от трапеции;
  • выучить части трапеции;
  • указать все свойства трапеции;
  • определить различные типы трапеций;
  • вычислить периметр трапеции; и
  • найти площадь трапеции.

Что такое трапеция?

В евклидовой геометрии выпуклый четырехугольник с хотя бы одной парой параллельных сторон за пределами Северной Америки называется трапецией, а в американском и канадском английском – трапецией.

Трапеция — замкнутая двумерная фигура с четырьмя сторонами. Две параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции. Непараллельные стороны трапеции называются катетами или боковыми сторонами. Высота – это кратчайшее расстояние между двумя параллельными сторонами.

На рисунке ниже показаны части и пример того, как выглядит трапеция.

Эксклюзивное определение

Существуют некоторые споры о том, следует ли считать параллелограммы, имеющие две параллельные пары сторон, трапециями. По некоторым данным, трапеция определяется как четырехугольник с ровно одной парой параллельных сторон, за исключением параллелограммов.

Включающее определение

Другие определяют трапецию как четырехугольник по крайней мере с одной парой параллельных сторон, классифицируя параллелограмм как подтип трапеции. Это определение соответствует его применению в высшей математике, например в исчислении.

Все параллелограммы (включая ромбы, прямоугольники и квадраты) являются трапециями по включительному определению. Прямоугольники имеют зеркальную симметрию посередине; ромбы имеют зеркальную симметрию в своих вершинах, а квадраты имеют как середины, так и вершины.

Это трапеция или трапеция?

Евклид, древнегреческий математик, определил пять типов четырехугольников, четыре из которых имели два набора параллельных сторон: квадрат, прямоугольник, ромб и ромб. И один из которых не имел двух наборов параллельных сторон – это τραπέζια. Трапеция означает «стол» от (tetrás) «четыре» и (péza) «нога; конец, граница, край».

Прокл (412–485 гг. н.э.) в своем комментарии к первой книге «Начал» Евклида ввел два типа трапеций:

  • одна пара параллельных сторон – трапеция (τραπέζιοv), которую можно классифицировать как равнобедренную (равнобедренную) или разносторонние (неравнобедренные) трапеции; и
  • без параллельных сторон — трапеция (τραπεζoειδή, trapezoeidé, буквально трапециевидный (εἶδος означает «похожий»), точно так же, как прямоугольный и ромбовидный оба означают кубоподобный.

Все европейские языки, включая английский, следовали Структура Прокла до конца 18 века, когда в 179 г. был опубликован влиятельный математический словарь.5 Чарльза Хаттона неявно поддерживает перестановку терминов. Эта ошибка была исправлена ​​в британском английском примерно в 1875 году, но оставалась в американском английском до начала двадцатого века.

Точное определение трапеции и трапеции, данное Хаттоном в 1795 году в книге «Философско-математический словарь: содержащий объяснение терминов», приводится ниже: не параллельны. Когда у этой фигуры две стороны параллельны друг другу, ее иногда называют трапецией.

  • Трапеция, иногда обозначает трапецию, две стороны которой параллельны друг другу; а иногда и неправильную фигуру, имеющую четыре стороны, не параллельные друг другу.

    • Из каких частей состоит трапеция?

    Частями трапеции являются ее основание, катет или боковая сторона, высота, середина и углы при основании.

    • Основаниями трапеции являются пара параллельных прямых.
    • Ноги или боковые стороны — это пара непараллельных сторон трапеции.
    • Высота или высота — это расстояние между двумя основаниями.
    • Угол при основании — это внутренний угол по ту же сторону трапеции.
    • Срединный сегмент — это сегмент, соединяющий середины ножек и всегда параллельный основанию.

    Какими свойствами обладает трапеция?

    Следующие свойства подразумевают и отличают выпуклую трапецию от других четырехугольников:

    • Она имеет два смежных угла, которые являются дополнительными, что означает, что сумма двух углов равна 180°.
    • Угол, образованный стороной и диагональю, равен углу, образованному противолежащей стороной и той же диагональю.
    • Диагонали пересекают друг друга в одинаковом соотношении.
    • Диагонали делят четырехугольник на четыре треугольника, каждый из которых подобен одной из своих противоположных пар.
    • Диагонали делят четырехугольник на четыре равновеликих треугольника.
    • Произведение площадей двух треугольников, образованных одной диагональю, равно произведению площадей двух треугольников, образованных другой диагональю.
    • Медиана трапеции параллельна обоим основаниям.
    • Если обе пары противоположных сторон трапеции параллельны, то она называется параллелограммом.
    • Когда обе пары противоположных сторон параллельны, все стороны равны по длине и все стороны перпендикулярны друг другу, то трапеция называется квадратом.
    • Если обе пары противоположных сторон параллельны, равны по длине и перпендикулярны друг другу, трапеция считается прямоугольником.

    Какие бывают виды трапеций?

    Есть три типа трапеций, а именно; равнобедренная трапеция, разносторонняя трапеция и правильная трапеция.

    Равнобедренная трапеция

    Когда стороны или непараллельные стороны трапеции равны по длине, трапеция называется равнобедренной. Параллельные стороны (основание) равнобедренной трапеции имеют равные углы. У равнобедренной трапеции есть линия симметрии и обе диагонали равны по длине.

    В равнобедренной трапеции ABCD, AB и CD называются основаниями равнобедренной трапеции. AC и BD называются катетами трапеции, потому что они не параллельны друг другу.

    Свойства равнобедренной трапеции

    Равнобедренная трапеция обладает следующими свойствами:

    • Имеет ось симметрии. Он не имеет вращательной симметрии и имеет только одну линию симметрии, соединяющую середины параллельных сторон.
    • Одна пара параллельных сторон называется базовыми сторонами. В трапеции ABCD параллельными сторонами являются AB и CD.
    • Остальные стороны, кроме основания, непараллельны и равны по длине. Катетами или боковыми сторонами трапеции ABCD являются AC и CD.
    • Диагонали равны по длине. Диагонали трапеции ABCD равны AD и CB.
    • Углы у основания одинаковые. У трапеции ABCD углы при основании ∠A и ∠B равны.
    • Сумма противоположных углов является дополнительной или равна 180°. Таким образом, в трапеции ABCD ∠A+ ∠D=180° и ∠B+ ∠C=180°.
    • Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен основаниям. Так, в трапеции ABCD, если отрезок MP соединяет стороны AB и CD, то образуемый угол P равен 90°.

    Разносторонняя трапеция

    Когда стороны и углы трапеции не равны, ее называют разносторонней трапецией.

    В разносторонней трапеции EFGH каждая из четырех сторон, EF, FH, GH и EG, имеет разную длину. Основания EF и GH параллельны, но различаются по длине.

    Прямоугольная трапеция

    Прямоугольная трапеция (также называемая прямоугольной трапецией) представляет собой многоугольник с двумя смежными прямыми углами. Правило трапеций используется для определения площади под кривой.

    В данной прямоугольной трапеции или прямоугольной трапеции LMNO прямые углы лежат при L и N. Параллельными сторонами являются DC и AB.

    Как найти периметр трапеции?

    Периметр трапеции равен сумме длин каждой из ее сторон. Периметр трапеции указывается в единицах измерения, например, в дюймах, футах, м или см.

    Чтобы найти периметр трапеции:

    Шаг 1: Определите размеры всех сторон трапеции.
    Шаг 2: Добавьте размеры всех сторон.
    Шаг 3: Найдя периметр трапеции, запишите соответствующие единицы измерения.

    Таким образом, формула получения периметра трапеции:

    P = a + b + c + d

    где:
    P – периметр; и
    a, b, c, d — стороны трапеции
     
    Рассмотрим трапецию JKLM,

    Чтобы вычислить периметр трапеции JKLM со сторонами 5 дюймов, 11 дюймов, 6 дюймов и 6 дюймов. , мы просто добавляем все побочные меры. Таким образом,

    P JKLM =a+b+c+d
    P JKLM =5+11+6+6
    P JKLM =28

    Следовательно, периметр трапеции JKLM равен 28 дюймам.

    Пример #1

    Вычислите периметр трапеции с параллельными сторонами 13 см и 17 см и непараллельными сторонами 10 см и 11 см.

    Раствор

    Учитывая, что:
    основания трапеции равны 13 см и 17 см, а
    катеты имеют размеры 10 см и 11 см;

    Таким образом, периметр трапеции определяется как:

    P = сумма всех сторон трапеции
    P = 13 + 17 + 10 + 11
    P = 51

    Следовательно, периметр трапеции равен 51 см.

    Пример #2

    Рассчитайте периметр трапециевидного двора со сторонами 30 м, 12 м, 11 м и 11 м.

    Решение

    Даны все стороны трапеции с размерами 30 м, 12 м, 11 м и 11 м, тогда периметр трапеции равен:

    P = сумма всех сторон трапеции
    P = 30 + 12 + 11 + 11
    P = 64

    Следовательно, периметр трапециевидного заднего двора равен 64 метрам.

    Пример №3

    Определите периметр трапеции, показанной на рисунке ниже.

    Решение

    Как показано на рисунке, трапеция LMNP имеет размеры сторон 21 мм, 35 ​​мм, 13 мм и 10 мм. Таким образом, периметр трапеции равен:

    P = сумма всех сторон трапеции
    P = 21 + 35 + 13 + 10
    P = 79

    Следовательно, периметр трапеции LMNP равен 79 мм.

    Как найти площадь трапеции?

    Площадь трапеции определяется как количество единичных квадратов, которые она может содержать, и выражается в квадратных единицах (например, см 2 , м 2 , 2 и т. д.).

    Площадь трапеции определяется путем умножения средней длины ее параллельных сторон на ее высоту. Таким образом, формула для нахождения площади трапеции имеет вид:

    A=$\frac{1}{2}$(b 1 +b 2 )(h)

    где
    A — площадь трапеции;
    б 1 , б 2 — основания трапеции; а
    h — высота трапеции

    Скажем, например, трапеции ABCD,

    Если нам нужно найти площадь трапеции ABCD с основаниями 12 см и 8 см, а высотой 6 см. Таким образом, площадь будет равна:

    A ABCD =$\frac{1}{2}$(b 1 +b 2 )(h)
    A ABCD =$\frac{1}{2}$(12+8)(6)
    A ABCD =$\frac{1}{2}$(20)(6) )
    A ABCD =(10)(6)
    A ABCD =60

    Следовательно, площадь трапеции ABCD равна 60 см 2 .

    Пример №1

    Найдите площадь трапеции с основаниями 21 см и 15 см, а высотой 8 см.

    Решение

    Используя формулу получения площади трапеции,

    A=$\frac{1}{2}$(b 1 +b 2 )(h)
    A=$\frac{1}{2}$(21+15)(8)
    A=$\frac{1}{2}$(36)( 8)
    A=(18)(8)
    A=144

    Следовательно, площадь трапеции равна 144 см 2 .

    Пример #2

    Какова площадь трапеции с размерами основания 8 дюймов и 12 дюймов и высотой 5 дюймов?

    Решение

    Чтобы получить площадь трапеции, используйте формулу A=$\frac{1}{2}$(b 1 +b 2 )(h)). Таким образом,
    A=$\frac{1}{2}$(8+12)(5)
    A=$\frac{1}{2}$(20)(5)
    A=(10)(5)
    A=50

    Таким образом, площадь трапеции равна 50 в 2 .

    Пример №3

    Одно из оснований трапеции имеет длину 9 метров. Если высота равна 7 м, а площадь 77 м 2 , то какова мера другого основания?

    Решение

    Шаг 1: Данной информацией в задаче является мера одного основания, мера высоты и площадь трапеции. Следовательно, нам нужно найти меру другого основания. Таким образом, выведите формулу, используя площадь трапеции.

    A= $\frac{1}{2}$(b 1 +b 2 )(h)
    2A=(b 1 +b 2

    8 9(h)

    8 9(h)
    $\frac{2A}{h}$=(b 1 +b 2 )
    $\frac{2A}{h}$-b 1 =b 2
    b 2 = $\frac{2A}{h}$-b 1

    		Умножьте $\frac{1}{2}$ на обе части уравнения.
    Разделите h на обе части уравнения.

    Используйте дополнительное свойство равенства.

    Шаг 2: Рассчитайте меру основания, используя производную формулу, и подставьте всю предоставленную информацию. Таким образом,

    b 2 =$\frac{2A}{h}$-b 1
    b 2 =$\frac{2(77)}{7}$-9
    b 2 =$\frac{154}{7}$-9
    b 2 =22-9
    b 2 =13

    Следовательно, длина другого основания равна 13 метрам.

    Пример #4

    Если площадь трапеции равна 160 квадратных футов, а длина ее параллельных сторон равна 21 футу и ​​19футов, каково расстояние между двумя параллельными сторонами?

    Решение:

    Шаг 1: По определению, расстояние между двумя параллельными сторонами является высотой. Таким образом, чтобы найти высоту трапеции, просто выведите ее, используя формулу нахождения площади трапеции. Таким образом,

    A= $\frac{1}{2}$(b 1 +b 2 )(h)
    2A=(b 1 +b 2 )(h)
    h=$\frac{2A}{b_1+b_2}$    		 Умножить как левую, так и правую часть
    рядом с 2.
    Приравнивается к h.

    Шаг 2: Подставьте всю полученную информацию в формулу h=$\frac{2A}{b_1+b_2}$ . Таким образом,

    h=$\frac{2(160)}{(21+19)}$
    h=$\frac{320}{40}$
    h=8

    Следовательно, высота данной трапеции составляет 8 квадратных футов.

    Что такое средний сегмент?

    Срединный отрезок (также называемый медианой или средней линией) трапеции — это отрезок, соединяющий середины сторон. Она параллельна основаниям трапеции. Длина среднего отрезка равна средней длине оснований трапеции. Таким образом, математически мы можем представить средний отрезок как:

    м= $\frac{1}{2}$(b 1 +b 2 )

    где
    м — середина трапеции; а
    b 1 , b 2 — основания трапеции.

    Скажем, например, у нас есть длина основания 40 метров и 46 метров, чтобы найти середину трапеции, используйте формулу m = $\frac{1}{2}$(b 1 + б 2 ). Таким образом,
    м= $\frac{1}{2}$(40+46)
    м= $\frac{1}{2}$(86)
    м=43

    Следовательно, середина трапеции равна 43 метра.

    Концепции трапеций могут применяться в различных областях помимо геометрии, таких как архитектура, биология и вычислительная техника.

    В геометрии задача о перекрещенных лестницах определяет расстояние между параллельными сторонами прямоугольной трапеции, учитывая длины диагоналей и расстояние между перпендикулярным катетом и пересечением диагоналей.

    Между тем, в архитектуре термин трапеция относится к симметричным дверям, окнам и конструкциям, которые больше у основания и уже вверху, в египетском стиле. Обычно это равнобедренные трапеции, если они имеют прямые стороны и острые углы. Это был типичный дизайн дверей и окон инков.

    Кроме того, в морфологии , таксономии и других описательных дисциплинах часто используется такая терминология, как трапециевидная или трапециевидная, для описания определенных органов или структур.

    Наконец, трапеции часто используются в вычислительной технике, особенно в цифровой логике и компьютерной архитектуре, для представления мультиплексоров.