Решите неравенство (x^2-36)*(x+6)

Дано неравенство:
$$\left(x + 6\right) \left(x^{2} — 36\right) \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 6\right) \left(x^{2} — 36\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 6\right) \left(x^{2} — 36\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x + 6 = 0$$
$$x^{2} — 36 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x + 6 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -6$$
Получим ответ: x1 = -6
2.
$$x^{2} — 36 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -36$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(0)^2 - 4 * (1) * (-36) = 144

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = -6$$
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = -6$$
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 6$$
Данные корни
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 6\right) \left(x^{2} — 36\right) \leq 0$$
$$\left(-36 + \left(- \frac{61}{10}\right)^{2}\right) \left(- \frac{61}{10} + 6\right) \leq 0$$
-121      
----- 
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -6$$
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -6$$
$$x \geq 6$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство x^2+y^2

Дано неравенство:
$$x^{2} + y^{2} \leq 36$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + y^{2} = 36$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + y^{2} = 36$$
в
$$x^{2} + y^{2} — 36 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = y^{2} — 36$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(0)^2 - 4 * (1) * (-36 + y^2) = 144 - 4*y^2

Уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144}$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144}$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144}$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144}$$
$$x_{2} = — \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
   ____________     
  /          2      
\/  144 - 4*y     1 
--------------- - --
       2          10

=
$$\frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + y^{2} \leq 36$$
                      2           
/   ____________     \            
|  /          2      |            
|\/  144 - 4*y     1 |     2      
|--------------- - --|  + y  
                             2      
     /          ____________\       
     |         /          2 |       
 2   |  1    \/  144 - 4*y  |  
Тогда
$$x \leq \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144} \wedge x \leq - \frac{1}{2} \sqrt{- 4 y^{2} + 144}$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство 3*x^2>36 (3 умножить на х в квадрате больше 36)

Дано неравенство:
$$3 x^{2} > 36$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3 x^{2} = 36$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$3 x^{2} = 36$$
в
$$3 x^{2} — 36 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 0$$
$$c = -36$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(0)^2 - 4 * (3) * (-36) = 432

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 2 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = — 2 \sqrt{3}$$
$$x_{1} = 2 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = — 2 \sqrt{3}$$
$$x_{1} = 2 \sqrt{3}$$
$$x_{2} = — 2 \sqrt{3}$$
Данные корни
$$x_{2} = — 2 \sqrt{3}$$
$$x_{1} = 2 \sqrt{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
      ___   1 
- 2*\/ 3  - --
            10

=
$$- 2 \sqrt{3} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$3 x^{2} > 36$$
                  2     
  /      ___   1 \      
3*|- 2*\/ 3  - --|  > 36
  \            10/      
                  2     
  /  1        ___\      
3*|- -- - 2*\/ 3 |  > 36
  \  10          /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 2 \sqrt{3}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство x^4-13*x^2+36>=0 ( х в степени 4 минус 13 умножить на х в квадрате плюс 36 больше или равно 0)

Дано неравенство:
$$x^{4} — 13 x^{2} + 36 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{4} — 13 x^{2} + 36 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$x^{4} — 13 x^{2} + 36 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} — 13 v + 36 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -13$$
$$c = 36$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(-13)^2 - 4 * (1) * (36) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 9$$
$$v_{2} = 4$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = — \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = — \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = 4$$
Данные корни
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 9$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{4} — 13 x^{2} + 36 \geq 0$$
    4          2          
/39\       /39\           
|--|  - 13*|--|  + 36 >= 0
\10/       \10/           
696141     
------ >= 0
10000

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 4$$
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 4$$
$$x \geq 9$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (x^2-36)*(x+7)

Дано неравенство:
$$\left(x + 7\right) \left(x^{2} — 36\right) \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x + 7\right) \left(x^{2} — 36\right) = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(x + 7\right) \left(x^{2} — 36\right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$x + 7 = 0$$
$$x^{2} — 36 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$x + 7 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -7$$
Получим ответ: x1 = -7
2.
$$x^{2} — 36 = 0$$
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -36$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(0)^2 - 4 * (1) * (-36) = 144

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = -6$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = -6$$
$$x_{1} = -7$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = -6$$
Данные корни
$$x_{1} = -7$$
$$x_{3} = -6$$
$$x_{2} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 7\right) \left(x^{2} — 36\right) \leq 0$$
$$\left(-36 + \left(- \frac{71}{10}\right)^{2}\right) \left(- \frac{71}{10} + 7\right) \leq 0$$
-1441      
------ 
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -7$$
 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x1      x3      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -7$$
$$x \geq -6 \wedge x \leq 6$$

www.kontrolnaya-rabota.ru