Точное решение уравнения

Для поиска точного решения уравнения, рассмотренного в разделе Графическое решение уравнений, будем использовать инструмент Поиск решения.

Это специальная надстройка Excel, которая по умолчанию отключена. Чтобы ее включить необходимо выполнить следующие действия: кнопка Office → внизу Параметры Excel → слева Надстройки → справа внизу щелкнуть кнопку Перейти…:

В открывшемся окне нужно поставить “галочку” напротив пункта Поиск решения и нажать OK:

Теперь на вкладке Данные в группе Анализ станет доступна кнопка Поиск решения, которая вызывает соответствующее диалоговое окно:

В диалоговом окне
Поиск решения устанавливаем следующие параметры:
  1. Установить целевую ячейку: $D$17 (это первая ячейка из столбца D с наиболее близким к нулю значением. В рассмотренном примере два корня, и наиболее близкие к нулю значения (разностной функции f1-f2) соответствуют ячейкам D17 и D23).
  2. Равной: значению: 0 (если это будет так, то функции f1 и f2 будут равны и, следовательно, значение x будет первым корнем).
  3. Изменяя ячейки: $E$4:$E$5 (разрешаем менять границы изменения аргумента функций x для нахождения корней уравнения).
  4. Ограничения: (нужно добавить три условия):
    • Кнопка Добавить → $E$4 ≤ $E$5 (это ограничение устанавливает, что границы области построения функций не могут поменяться местами — начальное значение
      x       не может стать больше конечного значения x) → кнопка OK.
    • Кнопка Добавить → $E$4 ≥ $F$4 (это ограничение устанавливает, что начальное значение x может только увеличиваться) → кнопка OK.
    • Кнопка Добавить → $E$5 ≤ $F$5 (это ограничение устанавливает, что конечное значение x может только уменьшаться) → кнопка
      OK      .

Теперь нажимаем кнопку Выполнить:

Оставляем пункт Сохранить найденное решение → кнопка OK (предварительно убедившись, что в ячейке D17 получилось нулевое значение).

Теперь в ячейке A17 будет записано точное значение первого корня уравнения. При этом изменится значение Xk в ячейке E5.

Затем надо выделить всю строку таблицы A17:D17 с найденным корнем и скопировать ее в область результатов (для дальнейшего переноса в отчет) ниже основной таблицы.

Причем копировать надо ЗНАЧЕНИЯ (иначе из-за использования относительной ссылки в формуле первого столбца, на новое месте скопируется измененная соответствующим образом формула и значение x, вычисленное по этой формуле, не будет корнем). Рассмотрим, как это сделать.

Копирование из ячеек значений, а не формул

Иногда при копировании содержимого какой-то области рабочего листа необходимо вставить только значения (результаты расчетов по формулам), а не сами формулы. В данном случае нам надо скопировать ЗНАЧЕНИЕ КОРНЯ УРАВНЕНИЯ (точнее — всю строку таблицы).

Для этого копируем исходную область (A17:D17) обычным способом, но для вставки в новое место используем нижнюю часть большой кнопки Вставить на вкладке Главная в группе Буфер обмена:

В открывшемся списке выбираем пункт Вставить значения:

Теперь восстанавливаем начальные значения ячеек E4:E5, так как одна из них изменится (возвращаем основную таблицу и диаграмму в первоначальный вид) и ищем второй корень уравнения (целевая ячейка теперь $D$23):

В результате получим:

Выделяем всю строку таблицы A23:D23 с найденным вторым корнем и копируем ее в область результатов, вставляя ЗНАЧЕНИЯ. Затем восстанавливаем начальные значения ячеек E4:E5 и форматируем область результатов:

Копирование и переименование рабочих листов в Excel

Лабораторные работы выполняются в одной рабочей книге Excel (в одном файле типа *.xlsx). Каждая работа находится на одном или нескольких листах рабочей книги. На ярлыках листов пишется номер работы и режим отображения. Например, ЛР-1 (Значения) или ЛР-1 (Формулы).

После того, как лабораторная работа полностью выполнена на одном из рабочих листов (в режиме отображения значений), нужно переименовать рабочий лист (например, Лист1) в соответствии с номером лабораторной работы и режимом отображения (например, ЛР-1 (Значения)).

Для этого правой кнопкой мыши щелкаем по ярлыку Лист1 (внизу рабочего окна слева), в контекстном меню выбираем пункт Переименовать, затем вводим новое имя и нажимаем клавишу <Enter>:

Теперь создаем копию этого листа. Для этого правой кнопкой мыши щелкаем по ярлыку рабочего листа (например, ЛР-1 (Значения)), в контекстном меню выбираем пункт Переместить/Скопировать…:

В открывшемся окошке ставим “галочку” в пункте Создать копию и выбираем место расположения:

Копию рабочего листа можно создать другим способом. Нажимаем ЛЕВУЮ кнопку мыши на ярлыке текущего рабочего листа, затем (не отпуская) нажимаем клавишу <Ctrl>. Теперь не отпуская обе кнопки, перемещаем маленькую иконку с крестиком вдоль ярлычков других листов. В нужном месте отпускаем сначала кнопку мыши, а затем клавишу <Ctrl>.

Переименовываем новый лист (например, в ЛР-1 (Формулы)), затем удаляем с листа формул все ненужные объекты (математический текст из редактора формул, диаграммы, результаты нахождения корней и т.п.). Этот лист понадобится для проверки формул в отчете, поэтому нужно включить на этом листе РЕЖИМ ОТОБРАЖЕНИЯ ФОРМУЛ (по умолчанию включен режим отображения значений).

Режим формул

Для того, чтобы в ячейках рабочего листа отображались не результаты вычислений по формулам, а сами формулы, нужно включить режим формул: кнопка Office → внизу Параметры Excel → слева Дополнительно → справа поставить “галочку” в пункте Показывать формулы, а не их значения в середине окна (в группе Показать параметры для следующего листа):

Удобнее включать режим формул маленькой кнопкой Показать формулы в группе Зависимости формул на вкладке Формулы:

« Назад

Вперед »

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математикеАлгебраУравнения четвертой степени
Схема метода Феррари
Приведение уравнений 4-ой степени
Разложение на множители. Кубическая резольвента
Пример решения уравнения 4-ой степени

Схема метода Феррари

      Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a0x4 + a1x3 + a2x2 +
+ a3x + a4 = 0,		(1)

где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 +
+ cx + d = 0,		(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,(5)

где p, q, r – вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy2 + s2,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

(7)

то уравнение (6) примет вид

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

(9)

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

(10)

а также квадратное уравнение

(11)

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

x4 + 4x3 – 4x2 –
– 20x – 5 = 0.		(12)

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

x = y – 1.(13)

      Поскольку

x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 =
= (y – 1)4 + 4(y – 1)3 –
– 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 =
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 +
+ 4y3 – 12y2 + 12y – 4 –
– 4y2 + 8y – 4 –
– 20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.(14)

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8.(15)

      В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.(16)

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

s = – 3.(17)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y2 – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

(18)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y2 + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

(19)

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Ответ.

      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y4 – 10y2 – 4y + 8 =
= (y2 – 2y – 4) (y2 +
+ 2y – 2).		(20)

      Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

 

Упростите радикальное, рациональное выражение с помощью Пошагового решения математических задач

В разделе 3 главы 1 есть несколько очень важных определений, которые мы использовали много раз. Поскольку эти определения приобретают новое значение в этой главе, мы повторим их.

Когда алгебраическое выражение состоит из частей, соединенных знаками + или -, эти части вместе со своими знаками называются

членами выражения.

a + b имеет два термина.
2x + 5y — 3 имеет три члена.

В a + b термины a и b. В 2x + 5y — 3 члены равны 2x, 5y и -3.

Когда алгебраическое выражение состоит из частей, подлежащих умножению, эти части называются множителями выражения.

ab имеет множители a и b.

Очень важно уметь различать термины и факторы. Правила, применимые к терминам, в общем случае не будут применяться к факторам. При именовании терминов или факторов необходимо учитывать выражение целиком.

С этого момента во всей алгебре вы будете использовать слова термин и фактор . Убедитесь, что вы понимаете определения.

Показатель степени — это число, используемое для обозначения того, сколько раз коэффициент должен использоваться в продукте. Показатель степени обычно записывается в виде меньшего (по размеру) числа немного выше и правее множителя, на который влияет показатель степени.

Показатель степени иногда называют степенью. Например, 5 3 можно назвать «пять в третьей степени».

Обратите внимание на разницу между 2x 3 и (2x) 3 . Используя круглые скобки в качестве группирующих символов, мы видим, что

2x 3 означает 2(x)(x)(x), тогда как (2x) 3 означает (2x)(2x)(2x) или 8x 3 .

Если не используются круглые скобки, показатель степени влияет только на множитель, непосредственно предшествующий ему.

В таком выражении, как 5x 4
5 — коэффициент

,
x — основание ,
4 — показатель степени .
5x 4 означает 5(x)(x)(x)(x).

Обратите внимание, что показатель степени влияет только на основание.

Многие студенты совершают ошибку, умножая основание на показатель степени. Например, они скажут 3 4 = 12 вместо правильного ответа,
3 4 = (3)(3)(3) (3) = 81.

Когда мы записываем буквальное число, такое как x, будет понятно, что коэффициент равен единице, а показатель степени равен единице. Это может быть очень важно во многих операциях.

х означает 1 х 1 .

Также понятно, что письменное числительное, такое как 3, имеет показатель степени 1. Мы просто не утруждаем себя записью показателя степени 1. вы должны быть в состоянии правильно применить первый закон показателей.

Теперь, когда мы рассмотрели эти определения, мы хотим установить очень важные законы показателей. Эти законы выводятся непосредственно из определений.

Первый закон степеней Если a и b — положительные целые числа, а x — действительное число, то

Чтобы умножить множители с одинаковым основанием, сложите показатели степени.

Для любого правила, закона или формулы мы всегда должны быть очень осторожны, чтобы выполнить необходимые условия, прежде чем пытаться применить их. Обратите внимание, что в приведенном выше законе основание одинаково для обоих множителей. Этот закон применяется только при соблюдении этого условия.

Эти факторы не имеют одинаковой базы.

Показатель степени 1 обычно не пишется. Когда мы пишем x, предполагается показатель степени: x = x1. Этот факт необходим для применения законов экспонент.

Если выражение содержит произведение различных оснований, мы применяем закон к одинаковым основаниям.

УМНОЖЕНИЕ МОНОМИАЛОВ

ЗАДАЧИ

После заполнения этого раздела вы сможете:

  1. Распознать моном.
  2. Найдите произведение нескольких одночленов.

Одночлен — это алгебраическое выражение, в котором буквенные числа связаны только операцией умножения.

не является мономом, так как задействована операция сложения.
предполагает операцию деления.

Чтобы найти произведение двух мономов , умножьте числовые коэффициенты и примените первый закон показателей к буквальным множителям.

Вы помните первый закон показателей?

Умножьте 5 на 3 и сложите показатели x.
Помните, что если показатель степени не указан, то понимается показатель степени единицы.

МОНОМЫ, УМНОЖЕННЫЕ НА ПОЛИНОМЫ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

  1. Распознавание многочленов.
  2. Определите двучлены и трехчлены.
  3. Найдите произведение одночлена на двучлен.

Многочлен представляет собой сумму или разность одного или нескольких одночленов.

Обычно, если имеется более одной переменной, многочлен записывается в алфавитном порядке.

Для некоторых многочленов используются специальные имена. Если многочлен имеет два члена, он называется

бином .

Если многочлен состоит из трех членов, он называется трехчленом .

В процессе удаления круглых скобок мы уже заметили, что на все термины в круглых скобках влияет знак или число, предшествующее скобкам. Теперь мы расширим эту идею, чтобы умножить одночлен на многочлен.

Размещение 2x непосредственно перед скобками означает умножение выражения в круглых скобках на 2x. Обратите внимание, что каждый член умножается на 2x.

Снова каждое слагаемое в скобках умножается на 3y 2
Снова каждое слагаемое в скобках умножается на3.
В каждом из этих примеров мы используем свойство распределения .

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОЛИНОМОВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

  1. Найдите произведение двух двучленов.
  2. Используйте свойство дистрибутивности для умножения любых двух многочленов.

В предыдущем разделе вы узнали, что произведение A(2x + y) расширяется до A(2x) + A(y).

Теперь рассмотрим произведение (3x + z)(2x + y).

Поскольку (3x + z) заключено в круглые скобки, мы можем рассматривать его как один множитель и разложить (3x + z)(2x + y) так же, как A(2x + y). Это дает нам

Если мы теперь расширим каждое из этих условий, мы получим

Обратите внимание, что в окончательном ответе каждый член одной скобки умножается на каждый член других скобок.

Обратите внимание, что это применение свойства распределения.

Обратите внимание, что это применение распределительного свойства.

Так как — 8x и 15x похожи, мы можем объединить их, чтобы получить 7x.

В этом примере мы смогли объединить два термина, чтобы упростить окончательный ответ.

Здесь мы снова объединили некоторые термины, чтобы упростить окончательный ответ. Обратите внимание, что порядок членов в окончательном ответе не влияет на правильность решения.

Свойство коммутативности позволяет менять порядок.

Попробуйте установить систему умножения каждого члена одной скобки на каждый член другой скобки. В этих примерах мы взяли первый член в первом наборе скобок и умножили его на каждый член во втором наборе скобок. Затем мы взяли второй член первого набора и умножили его на каждый член второго набора, и так далее.

СТЕПЕНИ СТЕПЕН И КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

  1. Правильно применить второй закон показателей.
  2. Найдите квадратные корни и главные квадратные корни чисел, являющихся полными квадратами.

Теперь мы хотим установить второй закон показателей. Обратите внимание на следующие примеры, как этот закон выводится с использованием определения показателя степени и первого закона показателей степени.

по смыслу показателя степени 3.

Теперь по первому закону показателей имеем

В общем заметим, что

Это значит, что ответ будет

112

3

Запомним чтобы умножить общие основания, добавьте показатели степени.

Если мы суммируем член a b раз, мы получим произведение a и b. Отсюда мы видим, что

Второй закон показателей Если a и b — натуральные числа, а x — действительное число, то
.

Другими словами, «чтобы возвести степень основания x в степень, умножьте показатели».

.

Обратите внимание, что каждый показатель должен быть умножен на 4.

Обратите внимание, что когда факторы сгруппированы в скобках, каждый фактор зависит от показателя степени.

.

Опять же, каждый множитель нужно возвести в третью степень.

Используя определение степени, (5) 2 = 25. Мы говорим, что 25 есть квадрат 5. Теперь мы вводим новый термин в наш алгебраический язык. Если 25 — это квадрат 5, то говорят, что 5 — это квадратный корень из 25.

Если x 2 = y, то x является квадратным корнем из y.

Обратите внимание, мы говорим, что 5 — это квадратный корень из , а не — квадратный корень из . Вскоре вы увидите, почему.

.

Из последних двух примеров вы заметите, что 49 имеет два квадратных корня, 7 и — 7. Действительно, каждое положительное число имеет два квадратных корня.

На самом деле, один квадратный корень положительный, а другой отрицательный.

.

Сколько квадратных корней из 36?

главный квадратный корень из положительного числа является положительным квадратным корнем.

Символ «» называется подкоренным знаком и указывает на главное значение.

указывает на главный квадратный корень или положительный квадратный корень из 9.

Обратите внимание на разницу в этих двух задачах.

а. Найдите квадратный корень из 25.
б. Находить .

Очень важно понимать разницу между этими двумя утверждениями.

Для а. ответ равен +5 и -5, так как ( + 5) 2 = 25 и ( — 5) 2 = 25.
Для b. ответ равен +5, так как знак радикала представляет главный или положительный квадратный корень.
Целые числа, такие как 16, 25, 36 и т. д., квадратные корни которых являются целыми числами, называются совершенными квадратными числами . В настоящее время нас интересуют только квадратные корни из совершенных квадратных чисел. В одной из последующих глав мы займемся оценкой и упрощением указанного квадратного корня из чисел, не являющихся совершенными квадратными числами.

Иногда вы можете увидеть символ +/- . Это означает, что требуются оба квадратных корня числа. Например,

+/- 5 — это сокращенный способ записи + 5 и -5.

ЗАКОН ДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете правильно применять третий закон показателей.

Прежде чем приступить к установлению третьего закона показателей, мы сначала рассмотрим некоторые факты о операции деления.

  1. Разделение двух чисел может быть обозначено знаком деления или записью одного числа над другим с чертой между ними. Шесть разделить на два записывается как
    2. .
  2. Деление связано с умножением по правилу, если тогда a = be. Это проверка на все проблемы деления. Например, мы знаем это, потому что 18 = (6)(3).
  3. Деление на ноль невозможно. Для оценки нам требуется найти число, которое при умножении на ноль даст 5. Такого числа не существует.
  4. Ненулевое число, разделенное само на себя, равно 1.
. Умножьте обведенные количества, чтобы получить a.
Это очень важно! Если a — любое ненулевое число, то оно не имеет значения.

Из (3) мы видим, что такое выражение, как не имеет смысла, если мы не знаем, что y ≠ 0. В этом и последующих разделах всякий раз, когда мы пишем дробь, предполагается, что знаменатель не равен нулю. Теперь, чтобы установить закон деления показателей, воспользуемся определением показателей.

Важно! Прочтите этот абзац еще раз!

Мы знаем, что = 1. Мы также предполагаем, что x представляет собой ненулевое число.

В таком примере нам не нужно разделять количества, если мы помним, что количество, деленное само на себя, равно единице. В приведенном выше примере мы могли бы написать

Три крестика в знаменателе делят три крестика в числителе.

Помните, что 1 должна быть написана, если это единственный член в числителе.

Из предыдущих примеров мы можем обобщить и получить следующий закон: использовать только ту часть закона, в которой говорится о таком выражении, как мы получили бы
На данный момент отрицательные показатели не определены. Мы обсудим их позже.

ДЕЛЕНИЕ МОНОМА НА МОНОМ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете упростить выражение, сократив дробь с коэффициентами, а также используя третий закон показателей.

Мы должны помнить, что коэффициенты и показатели степени управляются разными законами, потому что они имеют разные определения. При делении одночленов коэффициенты делятся, а показатели степени вычитаются по закону деления показателей.

Если деление невозможно или если с коэффициентами возможно только сокращение дроби, это не влияет на использование закона показателей деления.

Сократите этот тип дроби в два приема:
1. Сократите коэффициенты.
2. Используйте третий закон показателей.

ДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМА НА МОНОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь делить многочлен на моном.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, помимо того, что мы уже использовали, требуется еще один очень важный факт. Дело в том, что если в числителе дроби несколько членов, то каждое из них нужно разделить на знаменатель.

Таким образом, мы фактически используем свойство распределения в этом процессе.

ДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМА НА ДВУНОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете правильно применять алгоритм деления в длину для деления многочлена на двучлен.

Процесс деления многочлена на другой многочлен будет полезен в следующих темах. Здесь мы разработаем методику и обсудим причины, по которым она будет работать в будущем.

Этот метод называется алгоритмом длинного деления . Алгоритм — это просто метод, которому нужно точно следовать. Поэтому представим его в пошаговом формате и на примере.

Вспомните три выражения в делении:

Если бы нас попросили расположить выражение в убывающей степени, мы бы написали . Нулевой коэффициент дает 0x 3 = 0. По этой причине член x 3 отсутствовал или не был записан в исходном выражении.

Решение

Шаг 1: Расположите и делитель, и делимое в порядке убывания степеней переменной (это означает, что сначала наивысший показатель степени, затем следующий наивысший второй и т. д.) и укажите нулевой коэффициент для любых отсутствующих членов. . (В этом примере расположение менять не нужно, и нет пропущенных членов. ) Затем расположите делитель и делимое следующим образом:

Шаг 2: Чтобы получить первый член частного, разделите первый член делимого на первый член делителя, в данном случае . Запишем это так:

Шаг 3: Умножьте весь делитель на член, полученный на шаге 2. Вычтите результат из делимого следующим образом:

Убедитесь, что вы записываете частное прямо количество, на которое вы делите. В этом случае x делится на x 2 х раз.

Шаг 4: Разделите первый член остатка на первый член делителя, чтобы получить следующий член частного. Затем умножьте весь делитель на полученный член и снова вычтите следующим образом:

Первый член остатка (-2x — 14) равен -2x.
Умножить (x + 7) на -2.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока либо остаток не станет равным нулю (как в этом примере), либо степень первого члена остатка не станет меньше степени первого члена делителя.

Как и в арифметике, деление проверяется умножением. Мы должны помнить, что (частное) X (делитель) + (остаток) = (делимое).

Чтобы проверить этот пример, мы умножаем (x + 7) и (x — 2), чтобы получить x 2 + 5x — 14.

Поскольку это делимое, ответ правильный.

Снова (частное) X (делитель) + (остаток) = (делимое)

Ответ: x — 3. Проверяя, находим (x + 3)(x — 3)

Распространенная ошибка — забыть записать пропущенный член с нулевым коэффициентом.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

  • Одночлен представляет собой алгебраическое выражение, в котором буквенные числа связаны только операцией умножения.
  • Многочлен представляет собой сумму или разность одного или нескольких одночленов.
  • Бином — многочлен, имеющий два члена.
  • А трехчленный представляет собой многочлен, состоящий из трех членов.
  • Если x 2 = y, то x является квадратным корнем из y.
  • главный квадратный корень из положительного числа является положительным квадратным корнем.
  • Символ называется подкоренным знаком и указывает на главный квадратный корень числа.
  • идеально квадратное число имеет целые числа в качестве квадратных корней.

Процедуры

  • Первый закон показателей x а х б = х а+б .
  • Чтобы найти произведение двух одночленов, умножьте числовые коэффициенты и примените первый закон показателей к буквальным множителям.
  • Чтобы умножить многочлен на другой многочлен, умножьте каждый член одного многочлена на каждый член другого и объедините одинаковые члены.
  • Второй закон показателей равен (x a ) b = x ab .
  • Третий закон показателей равен
  • Чтобы разделить одночлен на одночлен, разделите числовые коэффициенты и используйте третий закон показателей для буквенных чисел.
  • Чтобы разделить многочлен на одночлен, разделите каждый член многочлена на одночлен.
  • Чтобы разделить многочлен на двучлен, используйте алгоритм длинного деления.

8.4. Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон (часть 1)

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    5021
    • OpenStax
    • OpenStax
    Цели обучения
    • Решить уравнение с константами с обеих сторон
    • Решите уравнение с переменными с обеих сторон
    • Решить уравнение с переменными и константами с обеих сторон
    • Решение уравнений с использованием общей стратегии
    будь готов!

    Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

    1. Упрощение: 4y − 9 + 9. Если вы пропустили эту задачу, просмотрите пример 2.3.10.
    2. Решите: y + 12 = 16. Если вы пропустили эту задачу, просмотрите пример 2.5.4.
    3. Решите: −3y = 63. Если вы пропустили эту задачу, просмотрите пример 3.9.6.

    Решение уравнения с константами в обеих частях

    Возможно, вы заметили, что во всех уравнениях, которые мы до сих пор решали, все переменные члены находились только в одной части уравнения, а константы — в другой. Это происходит не постоянно, поэтому сейчас мы посмотрим, как решать уравнения, в которых переменные и/или постоянные члены находятся в обеих частях уравнения.

    Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы выбрать одну часть уравнения как переменную, а другую — как постоянную. Затем мы будем использовать свойства равенства вычитания и сложения, шаг за шагом, чтобы собрать вместе все переменные члены с одной стороны уравнения и постоянные члены с другой стороны.

    Сделав это, мы преобразуем уравнение, которое начиналось с переменных и констант с обеих сторон, в форму ax = b. Мы уже знаем, как решать уравнения этой формы, используя свойства деления или умножения равенства.

    Пример \(\PageIndex{1}\):

    Решите: 4x + 6 = −14.

    Решение

    В этом уравнении переменная находится только в левой части. Левую часть имеет смысл называть переменной стороной. Следовательно, правая часть будет постоянной стороной. Мы напишем метки над уравнением, чтобы помочь нам запомнить, что куда идет.

    Поскольку левая сторона является переменной стороной, цифра 6 неуместна. Мы должны «отменить» добавление 6, вычитая 6, и, чтобы сохранить равенство, мы должны вычесть 6 с обеих сторон. Используйте свойство вычитания равенства. $$4x + 6 \textcolor{red}{-6} = -14 \textcolor{red}{-6}$$
    Упрощение. $$4x = -20$$
    Теперь все x слева, а константа справа.  
    Используйте раздел имущества равенства. $$\dfrac{4x}{\textcolor{red}{4}} = \dfrac{-20}{\textcolor{red}{4}}$$
    Упрощение. $$x = -5$$
    Проверка: Пусть x = −5. $$\begin{split} 4x + 6 &= -14 \\ 4(\textcolor{red}{-5}) + 6 &= -14 \\ -20 + 6 &= -14 \\ -14 & = -14\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{1}\):

    Решите: 3x + 4 = −8.

    Ответить

    х = -4

    Упражнение \(\PageIndex{2}\):

    Решите: 5a + 3 = −37.

    Ответить

    а = -8

    Пример \(\PageIndex{2}\):

    Решите: 2y − 7 = 15.

    Решение

    Обратите внимание, что переменная находится только в левой части уравнения, поэтому это будет переменная сторона и правая сторона будут постоянной стороной. Поскольку левая сторона является переменной стороной, цифра 7 неуместна. Оно вычитается из 2y, поэтому, чтобы «отменить» вычитание, прибавьте 7 к обеим частям.

    Добавьте 7 с обеих сторон. $$2 года — 7 \textcolor{red}{+7} = 15 \textcolor{red}{+7}$$
    Упрощение. $$2г = 22$$
    Переменные теперь с одной стороны, а константы с другой.  
    Разделите обе части на 2. $$\dfrac{2y}{\textcolor{red}{2}} = \dfrac{22}{\textcolor{red}{2}}$$
    Упрощение. $$y = 11$$
    Проверить: Подставить: y = 11. $$\begin{split} 2y — 7 &= 15 \\ 2 \cdot \textcolor{red}{11} — 7 &\stackrel{?}{=} 15 \\ 22 — 7 &\stackrel{?} {=} 15 \\ 15 &= 15\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{3}\):

    Решите: 5y − 9 = 16.

    Ответ

    г = 5

    Упражнение \(\PageIndex{4}\):

    Решите: 3m − 8 = 19.

    Ответ

    м = 9

    Решение уравнения с переменными в обеих частях

    Что делать, если в обеих частях уравнения есть переменные? Мы начнем, как и выше, — выберем переменную сторону и постоянную сторону, а затем воспользуемся свойствами равенства вычитания и сложения, чтобы собрать все переменные с одной стороны и все константы с другой стороны. Помните: то, что вы делаете с левой частью уравнения, вы должны делать и с правой.

    Пример \(\PageIndex{3}\):

    Решите: 5x = 4x + 7.

    Решение

    Здесь переменная x указана с обеих сторон, но константы появляются только с правой стороны , так что давайте сделаем правую часть «постоянной». Тогда левая сторона будет «переменной».

    Нам не нужны никакие переменные справа, поэтому вычтите 4x. $$5x \textcolor{red}{-4x} = 4x \textcolor{red}{-4x} + 7$$
    Упрощение. $$x = 7$$
    У нас есть все переменные с одной стороны и константы с другой. Мы решили уравнение.  
    Проверить: заменить x на 7. $$\begin{split} 5x &= 4x + 7 \\ 5(\textcolor{red}{7}) &\stackrel{?}{=} 4(\textcolor{red}{7}) + 7 \ \ 35 &\stackrel{?}{=} 28 + 7 \\ 35 &= 35\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{5}\):

    Решите: 6n = 5n + 10.

    Ответ

    n = 10

    Упражнение \(\PageIndex{6}\):

    Решите: −6c = −7c + 1.

    Ответ

    с = 1

    Пример \(\PageIndex{4}\):

    Решите: 5y − 8 = 7y.

    Решение

    Единственная константа −8 находится в левой части уравнения, а переменная y — в обеих частях уравнения. Оставим константу слева и соберем переменные справа.

    Вычтите 5 лет с обеих сторон. $$5 лет \textcolor{red}{-5 лет} -8 = 7 лет \textcolor{red}{-5 лет}$$
    Упрощение. $$-8 = 2г$$
    У нас есть переменные справа и константы слева. Разделите обе части на 2. $$\dfrac{-8}{\textcolor{red}{2}} = \dfrac{2y}{\textcolor{red}{2}}$$
    Упрощение. $$-4 = у$$
    Перепишите переменную слева. $$y = -4$$
    Проверка: Пусть y = −4. $$\begin{split} 5y — 8 &= 7y \\ 5(\textcolor{red}{-4}) -8 &\stackrel{?}{=} 7(\textcolor{red}{-4} ) \\ -20 — 8 &\stackrel{?}{=} -28 \\ -28 &= -28\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{7}\):

    Решите: 3p − 14 = 5p.

    Ответить

    р = -7

    Упражнение \(\PageIndex{8}\):

    Решите: 8 м + 9 = 5 м.

    Ответить

    м = -3

    Пример \(\PageIndex{5}\):

    Решите: 7x = − x + 24.

    Решение

    Единственная константа 24 находится справа, поэтому пусть левая часть будет переменной сторона.

    Удалите -x с правой стороны, добавив x к обеим сторонам. $$7x \textcolor{red}{+x} = -x \textcolor{red}{+x} + 24$$
    Упрощение. $$8x = 24$$
    Все переменные слева, константы справа. Разделите обе части на 8. $$\dfrac{8x}{\textcolor{red}{8}} = \dfrac{24}{\textcolor{red}{8}}$$
    Упрощение. $$x = 3$$
    Проверить: Подставить x = 3. $$\begin{split} 7x &= -x + 24 \\ 7(\textcolor{red}{3}) &\stackrel{?}{=} -(\textcolor{red}{3}) + 24 \\ 21 &= 21\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{9}\):

    Решите: 12j = −4j + 32.

    Ответ

    Дж = 2

    Упражнение \(\PageIndex{10}\):

    Решите: 8h = −4h + 12.

    Ответ

    ч = 1

    Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон

    Следующий пример будет первым, в котором переменные и константы будут с обеих сторон уравнения. Как и раньше, мы соберем переменные члены в одну сторону, а константы — в другую.

    Пример \(\PageIndex{6}\):

    Решите: 7x + 5 = 6x + 2.

    Решение

    Начните с выбора, какая сторона будет переменной стороной, а какая постоянной стороной. . Переменные члены 7x и 6x. Поскольку 7 больше 6, сделайте левую часть переменной, а правую часть — постоянной.

    Соберите переменные с левой стороны, вычитая 6x с обеих сторон. $$7x \textcolor{red}{-6x} + 5 = 6x \textcolor{red}{-6x} +2$$
    Упрощение. $$x + 5 = 2$$
    Теперь соберите константы в правую часть, вычитая 5 с обеих сторон. $$x + 5 \textcolor{red}{-5} = 2 \textcolor{red}{-5}$$
    Упрощение. $$x = -3$$
    Решение x = −3.  
    Проверка: Пусть x = −3. $$\begin{split} 7x + 5 &= 6x + 2 \\ 7(\textcolor{red}{-3}) + 5 &\stackrel{?}{=} 6(\textcolor{red}{- 3}) + 2 \\ -21 + 5 &\stackrel{?}{=} -18 + 2 \\ -16 &= -16\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{11}\):

    Решите: 12x + 8 = 6x + 2.

    Ответ

    х = -1

    Упражнение \(\PageIndex{12}\):

    Решить: 9y + 4 = 7y + 12.

    Ответ

    г = 4

    Мы подытожим шаги, которые мы предприняли, чтобы вы могли легко найти их.

    КАК: РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ И ПОСТОЯННЫМИ НА ОБЕИХ СТОРОНАХ

    Шаг 1. Выберите одну сторону как переменную, а другую – как постоянную.

    Шаг 2. Соберите переменные термины в переменную сторону, используя свойство равенства сложения или вычитания.

    Шаг 3. Соберите константы на другую сторону, используя свойство равенства сложения или вычитания.

    Шаг 4. Сделайте коэффициент переменной 1, используя свойство равенства умножения или деления.

    Шаг 5. Проверьте решение, подставив его в исходное уравнение.

    Рекомендуется сделать переменной стороной ту, в которой переменная имеет больший коэффициент. Обычно это облегчает арифметику.

    Пример \(\PageIndex{7}\):

    Решите: 6n — 2 = -3n + 7.

    Решение

    У нас есть 6n слева и -3n справа. Поскольку 6 > − 3, сделайте левую часть «переменной».

    Нам не нужны переменные с правой стороны — добавьте 3n с обеих сторон, чтобы справа остались только константы. $$6n \textcolor{red}{+3n} — 2 = -3n \textcolor{red}{+3n} +7$$
    Объедините похожие термины. $9n — 2 = 7$$
    Нам не нужны константы в левой части, поэтому добавьте 2 к обеим сторонам. $$9n — 2 \textcolor{red}{+2} = 7 \textcolor{red}{+2}$$
    Упрощение. $$9n = 9$$
    Переменный член слева, а постоянный член справа. Чтобы коэффициент при n был равен единице, разделите обе части на 9. $$\dfrac{9n}{\textcolor{red}{9}} = \dfrac{9}{\textcolor{red}{9}}$$
    Упрощение. $$n = 1$$
    Проверить: заменить 1 на n. $$\begin{split} 6n — 2 &= -3n + 7 \\ 6(\textcolor{red}{1}) — 2 &\stackrel{?}{=} + 7 \\ 4 &= 4\ ; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{13}\):

    Решите: 8q — 5 = -4q + 7.

    Ответить

    q = 1

    Упражнение \(\PageIndex{14}\):

    Решите: 7n − 3 = n + 3.

    Ответ

    n = 1

    Пример \(\PageIndex{8}\):

    Решите: 2a − 7 = 5a + 8.

    Решение

    В этом уравнении 2a слева и 5a справа. Так как 5 > 2, сделайте правую часть переменной частью, а левую часть постоянной частью.

    $$
    Вычтите 2a с обеих сторон, чтобы удалить переменный член слева. $$2a \textcolor{red}{-2a} — 7 = 5a \textcolor{red}{-2a} + 8$$
    Объедините похожие термины. $$-7 = 3a + 8$$
    Вычтите 8 с обеих сторон, чтобы удалить константу справа. $$-7 \textcolor{red}{-8} = 3a + 8 \textcolor{red}{-8}$$
    Упростить. $$-15 = 3a$$
    Разделите обе части на 3, чтобы получить 1 как коэффициент a. $$\dfrac{-15}{\textcolor{red}{3}} = \dfrac{3a}{\textcolor{red}{3}}$$
    Упрощение. $$-5 =
    Проверка: Пусть a = −5. $$\begin{split} 2a — 7 &= 5a + 8 \\ 2(\textcolor{red}{-5}) — 7 &\stackrel{?}{=} 5(\textcolor{red}{- 5}) + 8 \\-10 — 7 &\stackrel{?}{=} -25 + 8 \\-17 &= -17\; \checkmark \end{split}$$

    Обратите внимание, что мы могли бы сделать левую часть переменной вместо правой, но это привело бы к отрицательному коэффициенту при переменной. Хотя мы могли бы работать с негативом, при работе с позитивом вероятность ошибки меньше. Изложенная выше стратегия помогает избежать негатива!

    Упражнение \(\PageIndex{15}\):

    Решите: 2a − 2 = 6a + 18.

    Ответ

    а = -5

    Упражнение \(\PageIndex{16}\):

    Решите: 4k − 1 = 7k + 17.

    Ответ

    к = -6

    Чтобы решить уравнение с дробями, мы по-прежнему выполняем те же шаги, чтобы получить решение.

    Пример \(\PageIndex{9}\):

    Решите: \(\dfrac{3}{2}\)x + 5 = \(\dfrac{1}{2}\)x — 3.

    Решение

    Так как \(\dfrac{3}{2} > \dfrac{1}{2}\), сделайте левую часть переменной, а правую — постоянной.

    $
    Вычтите \(\dfrac{1}{2}\)x с обеих сторон. $$\dfrac{3}{2} x \textcolor{red}{- \dfrac{1}{2} x} + 5 = \dfrac{1}{2} x \textcolor{red}{\dfrac{ 1}{2}х} — 3$
    Объедините похожие термины. $$x + 5 = -3$$
    Вычтите 5 с обеих сторон. $$x + 5 \textcolor{red}{-5} = -3 \textcolor{red}{-5}$$
    Упрощение. $$x = -8$$
    Проверка: Пусть x = −8. $$\begin{split} \dfrac{3}{2} x + 5 &= \dfrac{1}{2} x — 3 \\ \dfrac{3}{2} (\textcolor{red}{- 8}) + 5 &\stackrel{?}{=} \dfrac{1}{2} (\textcolor{red}{-8}) — 3 \\ -12 + 5 &\stackrel{?}{=} -4 — 3 \\ -7 &= -7\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{17}\):

    Решите: \(\dfrac{7}{8}\)x — 12 = \(- \dfrac{1}{8}\)x — 2.

    Ответить

    х = 10

    Упражнение \(\PageIndex{18}\):

    Решите: \(\dfrac{7}{6}\)y + 11 = \(\dfrac{1}{6}\)y + 8.

    Ответить

    г = -3

    Мы выполняем те же действия, когда в уравнении есть десятичные дроби.

    Пример \(\PageIndex{10}\):

    Решите: 3,4x + 4 = 1,6x — 5.

    Решение

    Так как 3.4 > 1.6, сделайте левую часть переменной, а правую часть постоянная сторона.

    Вычтите 1,6x с обеих сторон. $3,4x \textcolor{красный}{-1,6x} + 4 = 1,6x \textcolor{красный}{-1,6x} — 5$$
    Объедините похожие термины. $$1,8x + 4 = -5$$
    Вычтите 4 с обеих сторон. $$1,8x + 4 \textcolor{red}{-4} = -5 \textcolor{red}{-4}$$
    Упрощение. $$1,8x = -9$$
    Воспользуйтесь Свойством Разделения Равенства.

    Related Posts

    Leave A Comment