Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения
Вообще говоря, на сайте уже есть один калькулятор, решающий СЛАУ методом Гаусса — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Он даже расписывает решение пошагово.
Однако, у него есть некоторые недостатки, которые будет решать новый калькулятор из этой статьи:
Во-первых, предыдущий калькулятор выдает решение в формате с плавающей запятой, тогда как во многих задачниках ответ обычно дается в виде дроби.
Во-вторых, предыдущий калькулятор только определяет факт наличия бесконечного множества решений (неопределенная система), но не выдает решение в общем виде.
В-третьих, предыдущий калькулятор работает только в случае когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, и таким образом, не может решать недоопределенных (число неизвестных больше числа уравнений) и переопределенных систем (число неизвестных меньше числа уравнений).
Что касается, второго и третьего пунктов, то универсальность метода Гаусса состоит в том, что на самом деле он годится для систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных, просто это не было использовано.
Описание самого метода Гаусса можно посмотреть по ссылке выше, а под калькулятором подробнее рассмотрены разные случаи (виды систем).
Сам калькулятор, помимо нахождения единственного решения, может находить и общее решение в случае неопределенной системы уравнений.
Матрица уравнений из случая 2 ниже (совместная неопределенная система линейных уравнений) использована в нем в качестве входных данных по умолчанию:
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса для любого числа уравнений и неизвестных
1 2 -3 5 1 1 3 -13 22 -1 3 5 1 -2 5 2 3 4 -7 4СЛАУ в матричном виде
Количество решений
Коэффициенты решения
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Загрузить close
content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет
1. Совместная определенная система линейных уравнений (имеющая одно решение)
Пример: пусть дана система линейных уравнений
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Откуда обратным ходом находим единственное решение:
Система совместна и определена.
2. Совместная неопределенная система линейных уравнений (имеющая бесконечное множество решений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
В результате приходим к системе:
Последние два уравнения верны при любых значениях переменных:
Чтобы найти решения оставшихся двух уравнений, x1 и x2 можно выразить через x3 и x4.
При этом сами x3 и x4 могут принимать любые значения
Полученная эквивалентная система совместна, но неопределена. Формулы:
;
при произвольных x3 и x4 описывают бесконечное множество решений заданной системы.
3. Несовместная система линейных уравнений (не имеющая решений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Полученная эквивалентная система несовместна, так как последнее уравнение:
не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных.
Эта система несовместна, т. е. не имеет решения.
4. Переопределенная система линейных уравнений (число неизвестных меньше числа уравнений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим
Как видим, в данном случае «лишнее» уравнение можно просто отбросить. Также в результате преобразований можно получить одинаковые строки, «лишние» из которых тоже можно отбросить — после чего задача сводится к случаям 1 или 2.
5. Недоопределенная система линейных уравнений (число неизвестных больше числа уравнений)
Пример: пусть дана система линейных уравнений:
После приведения матрицы к трапециевидной форме методом Гаусса получим:
Полученная эквивалентная система имеет вид:
Как видно, в ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для x3 и x4, что равносильно появлению уравнений вида:
которые можно отбросить.
Таким образом этот случай сводится к случаю 2 с бесконечным множеством решений, которые описываются следующими формулами:
Решение системы линейных уравнений (СЛАУ) онлайн
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений онлайн (СЛУ онлайн) методом подстановки.
Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки онлайн выберите количество неизвестных величин: 2345
Заполните систему линейных уравнений
Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например:
Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)
Решение системы линейных уравнений (матричный метод)
Решение системы линейных уравнений онлайн
Метод подстановки
Решение системы линейных уравнений методом подстановки осуществляется следующим образом: сперва в одном из уравнений произвольная переменная выражается через остальные. Затем данное выражение подставляется во все остальные уравнения системы. Тем самым система из n уравнений превращается в систему n-1 уравнений с n-1 неизвестными. Затем аналогичные действия повторяются до тех пор, пока мы не приходим к конечному выражению для одной из переменных системы. Получив её значения, мы через неё выражаем пошагово все остальные неизвестные.
Данный метод решения СЛАУ называется методом подстановки (мы вместо некоторой переменной подставляем её выражение через другие переменные). Метод классический и простой в понимании, но на практике для больших систем уравнений очень громоздкий и сложный в вычислениях.{2}-5\geq11\\3+\frac{1}{x}>7\end{cases}\)
— а это совокупность линейных неравенств, а не система
Решение систем линейных неравенств
Чтобы
решить систему неравенств мы должны найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе.
Пример: Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала
Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку, то есть любой икс из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:
А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.
Ответ: \((4;7]\)
Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.
Если в системе находятся требующие преобразований неравенства, то при решении системы каждое неравенство независимо от других
Пример: Решить систему \(\begin{cases}x-4\geq0\\x-0,3\geq1\end{cases}\)
Решение:
|
\(\begin{cases}x-4\geq0\\x-0,3\geq1\end{cases}\) |
Перенесем \(-4\) и \(-0,3\) в правую сторону, меняя при этом их знак |
|
|
|
Отметим решения на числовой оси |
|
|
|
Запишем общее решения неравенств |
Ответ: \([4;+\infty)\)
Пример: Решить систему \(\begin{cases}4(x-1)<3x+1\\-3x+7\geq4(1-x)\end{cases}\)
Решение:
|
\(\begin{cases}4(x-1)<3x+1\\-3x+7\geq4(1-x)\end{cases}\) |
Раскроем в каждом неравенстве скобки |
|
| \(\begin{cases}4x-4<3x+1\\-3x+7\geq4-4x\end{cases}\) |
Слагаемые с иксом в одну сторону,слагаемые без икса в другую |
|
|
\(\begin{cases}4x-3x<1+4\\-3x+4x\geq4-7\end{cases}\) |
Приведем подобные слагаемые |
|
|
\(\begin{cases}x<5\\x\geq-3\end{cases}\) |
Объединим решения на числовой оси |
|
| Запишем ответ |
Ответ: \([-3;5)\)
Заметьте, что для решения первой системы мы использовали две числовые оси, пересекая их пунктиром, а для решения второй и третьей – одну ось. Вы можете сами выбирать сколько осей вам рисовать, оба варианта допустимы. Однако в больших системах (\(3\) или более неравенства) советую для каждого неравенства чертить свою ось.
Системы линейных неравенств и двойные неравенства
Помимо рассмотренных выше примеров, есть особый вид систем линейных неравенств: двойные неравенства. Они притворяются, что совсем не системы, но на самом деле еще какие системы!
Например:
— неравенство \(3<x-1<7\) можно записать как \(\begin{cases}x-1>3\\x-1<7\end{cases}\)
— неравенство \(2x-5<3x+7≤8x\) можно записать как \(\begin{cases}2x-5< 3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)
Первое неравенство удобнее решать в виде двойного, из-за того, что в левой и правой части нет переменных. А вот второе лучше решать как систему из-за того, что иксы есть во всех трех частях неравенства.
Скачать статьюСистемы линейных уравнений | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU
Система линейных уравнений состоит из нескольких (от двух) уравнений с количеством переменных не менее количества уравнений в системе. Например, если в уравнениях, из которых состоит система, три неизвестных – x, y и z, то уравнений в системе должно быть не менее трех. Если уравнений больше, чем неизвестных, то добавочные уравнения служат для проверки совместности системы – то есть, если корни, найденные в первых уравнениях, удовлетворяют добавочным уравнениям.
Уравнения в системе могут быть первой и второй степени, реже встречаются кубические уравнения в системах, а если таковые и попадаются, то, скорее всего, третья степень нивелируется при решении остальных уравнений.
Рассмотрим решение системы линейных уравнений на примере системы из двух уравнений первой степени. Первое, что нужно сделать в любой системе, это выбрать наиболее простое уравнение и выразить в нем одну переменную через другие, то есть сделать так, чтобы справа от знака «равно» осталась только одна неизвестная с единичным коэффициентом. Затем, полученное для этой неизвестной выражение нужно подставить вместо нее во второе уравнение, и продолжить так, пока в последнем (или нет) уравнении не останется только одна неизвестная. Уравнение первой или второй степени с одной неизвестной решается согласно алгоритму, приведенному в соответствующем разделе. Найдя одну из переменных, возвращаемся в обратном порядке к первому уравнения, вычисляя все остальные.
Если есть добавочные уравнения, осуществляем проверку корней в них.
Существуют и другие способы решения систем линейных уравнений, более непостоянные и требующие внимательного подхода к заданным уравнениям, тем не менее, метод подстановки остается самым простым и действенным для любых систем уравнений.
Он-лайн калькулятор решения систем линейных уравнений вычисляет сразу готовый результат в виде корней уравнения, по введенным в него исходным коэффициентам и количеству переменных/уравнений.
Системы линейных неравенств с одной переменной
Предварительные навыкиПримеры решения систем линейных неравенств с одной переменной
Несколько линейных неравенств, удовлетворяющих одним и тем же решениям, образуют систему.
Рассмотрим простейший пример. Система состоит из двух неравенств, которые уже решены.
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 4. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше 9.
Изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой и запишем ответы к ним в виде числовых промежутков:
Но дело в том, что неравенства x > 4 и x < 9 соединены знаком системы, а значит зависимы друг от друга. Им не дозволяется раскидываться решениями, как захочется. Наша задача указать решения, которые одновременно будут удовлетворять и первому неравенству и второму.
Говоря по-простому, нужно указать числа, которые больше 4, но меньше 9. Очевидно, что речь идет о числах, находящихся в промежутке от 4 до 9.
Значит решениями системы являются числа от 4 до 9. Границы 4 и 9 не включаются во множество решений системы, поскольку неравенства x > 4 и x < 9 строгие. Ответ можно записать в виде числового промежутка:
x ∈ ( 4 ; 9 )
Также, нужно изобразить множество решений системы на координатной прямой.
Для системы линейных неравенств решение на координатной прямой изображают так:
Сначала указывают границы обоих неравенств:
На верхней области отмечают множество решений первого неравенства x > 4
На нижней области отмечают множество решений второго неравенства x < 9
Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 4 до 9. Для наглядности выделим эту область красным цветом:
Для проверки можно взять любое число из этого промежутка и подставить его в исходную систему . Возьмем, например, число 6
Видим, что решение 6 удовлетворяет обоим неравенствам. Возьмём ещё какое-нибудь число из промежутка (4; 9), например, число 8
Видим, что решение 8 удовлетворяет обоим неравенствам.
Исходя из рассмотренного примера, можно сформировать правило для решения системы линейных неравенств:
Чтобы решить систему линейных неравенств, нужно по отдельности решить каждое неравенство, и указать в виде числового промежутка множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству.
Пример 2. Решить систему неравенств
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 17. Решениями второго неравенства являются все числа, которые больше 12.
Решениями же обоих неравенств являются все числа, которые больше 17.
Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.
Для начала отметим на координатной прямой границы обоих неравенств:
На верхней области отметим множество решений первого неравенства x > 17
На нижней области отметим множество решений второго неравенства x > 12
Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 17 до плюс бесконечности. Запишем ответ в виде числового промежутка:
x ∈ ( 17 ; +∞ )
Пример 3. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности. Делать это можно внутри системы. Если испытываете затруднения при решении каждого неравенства, обязательно изучите предыдущий урок
Получили систему . На этом решение завершается. Осталось изобразить множество решений системы на координатной прямой и записать ответ в виде числового промежутка.
Как и в прошлом примере, сначала нужно отметить границы обоих неравенств, затем отметить множество решений каждого неравенства (x > 6 и x > 3). Область координатной прямой, отмеченная с обеих сторон, будет промежутком, в котором располагается множество решений системы
x ∈ ( 6 ; + ∞ )
Пример 4. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Пример 5. Решить неравенство
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:
Когда решений нет
Если неравенства, входящие в систему, не имеют общих решений, то говорят, что система не имеет решений.
Пример 1. Решить неравенство
Решим каждое неравенство по отдельности:
Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 7, включая число 7. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше −3, включая число −3.
Видим, что у данных неравенств нет общих решений. Увидеть это наглядно позволит координатная прямая. Отметим на ней множество решений каждого неравенства:
На координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Это говорит о том, что неравенства y ≥ 7 и y ≤ −3 не имеют общих решений. Значит не имеет решений система
А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система
Ответ: решений нет.
Пример 2. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности:
Изобразим множество решений неравенств x ≤ −3 и x ≥ 9 на координатной прямой:
Видим, что на координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Значит неравенства x ≤ −3 и x ≥ 9 не имеют общих решений. А значит не имеет решений система
А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система
Ответ: решений нет.
Пример 3. Решить систему неравенств
Решим каждое неравенство по отдельности:
Получили неравенства 0 < −0,2 и a > 5. Первое неравенство не является верным и не имеет решений. Решением второго неравенство a > 5 являются все числа, которые больше 5. Но поскольку первое неравенство не будет верным ни при каком a, то можно сделать вывод, что у неравенств нет общих решений. А значит не имеет решений исходная система
Ответ: решений нет.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Решите неравенство:
Решение:
Задание 2. Решите неравенство:
Задание 3. Решите неравенство:
Задание 4. Решите неравенство:
Задание 5. Решите неравенство:
Задание 6. Решите неравенство:
Задание 7. Решите неравенство:
Задание 8. Решите неравенство:
Решение:
Решений нет
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек
Неравенство — это два числа или математических выражения, соединённых одним из знаков: > (больше, в случае строгих неравенств), < (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).
Неравенство является линейным при тех же условиях, что и уравнение: оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.
Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств неразрывно связано с их геометрическим смыслом: решением линейного неравенства является некоторая полуплоскость, на которые всю плоскость делит прямая, уравнением которой задано линейное неравенство. Эту полуплоскость, а в случае системы линейных неравенств — часть плоскости, ограниченную несколькими прямыми, требуется найти на чертеже.
К решению систем линейных неравенств с большим числом переменных сводятся многие экономические задачи, в частности, задачи линейного программирования, в которых требуется найти максимум или минимум функции.
Одно неравенство с двумя неизвестными, так же как и уравнение, имеет бесчисленное множество решений. Решением данного неравенства назовём пару чисел , удовлетворяющих этому неравенству. Геометрически множество решений неравенства изображается в виде полуплоскости, ограниченной прямой
,
которую назовём граничной прямой.
Шаг 1. Построить прямую, ограничивающую множество решений линейного неравенства
Для этого надо знать какие-либо две точки этой прямой. Найдём точки пересечения с осями координат. Ордината точки пересечения A равна нулю (рисунок 1). Числовые значения на осях на этом рисунке относятся к примеру 1, который разберём сразу после этого теретического экскурса.
Абсциссу найдём, решая как систему уравнение прямой с уравнением оси .
Найдём пересечение с осью :
Подставляя значение в первое уравнение, получаем
, откуда .
Таким образом, нашли абсциссу точки A .
Найдём координаты точки пересечения с осью .
Абсцисса точки B равна нулю. Решим уравнение граничной прямой с уравнением оси координат:
Решение:
,
следовательно, координаты точки B: .
Шаг 2. Начертить прямую, ограничивающую множество решений неравенства. Зная точки A и B пересечения граничной прямой с осями координат, можем начертить эту прямую. Прямая (снова рисунок 1) делит всю плоскость на две части, лежащие справа и слева (выше и ниже) от этой прямой.
Шаг 3. Установить, которая из полуплоскостей является решением данного неравенства. Для этого нужно в это неравенство подставить начало координат (0; 0). Если координаты начала удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, в которой находится начало координат. Если же координаты не удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, которая не содержит начала координат. Полуплоскость решения неравенства будем обозначать штрихами от прямой внутрь полуплоскости, как на рисунке 1.
Если решаем систему линейных неравенств, то каждый шаг выполняется для каждого из неравенств системы.
Пример 1. Решить неравенство
Решение. Начертим прямую
Подставив в уравнение прямой , получим , а подставив , получим . Следовательно, координаты точек пересечения с осями будут A(3; 0), B(0; 2). Через эти точки проведём прямую (опять рисунок 1).
Выберем полуплоскость решений неравенства. Для этого в неравенство подставим координаты начала (0; 0):
,
получим , т. е. координаты начала удовлетворяют данному неравенству. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая в себе начало координат, т. е. левая (она же нижняя) полуплоскость.
Если бы данное неравенство было строгим, то есть имело бы вид
,
то точки граничной прямой не являлись бы решением, так как они не удовлетворяют неравенству.
Теперь рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными:
Каждое из неравенств этой системы на плоскости определяет полуплоскость. Система линейных неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Решением системы линейных неравенств называется любая пара чисел (), удовлетворяющая всем неравенствам данной системы.
Геометрически решением системы линейных неравенств является множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам системы, то есть, общая часть получаемых полуплоскостей. Поэтому геометрически в общем случае решение может быть изображено в виде некоторого многоугольника, в частном случае — может быть линия, отрезок и даже точка. Если система линейных неравенств несовместна, то на плоскости не существует ни одной точки, удовлетворяющей всем неравенствам системы.
Пример 2. Решить систему линейных неравенств
Решение. Итак, требуется найти многоугольник решений этой системы неравенств. Построим граничную прямую для первого неравенства, то есть прямую , и граничную прямую для второго неравенства, то есть прямую .
Делаем это пошагово, как было показано в теоретической справке и в примере 1, тем более, что в примере 1 строили граничную прямую для неравенства, которое является первым в данной системе.
Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, на рисунке 2 заштрихованы вовнутрь. Общая часть полуплоскостей решений представляет собой открытый угол ABC. Это означает, что множество точек плоскости, составляющих открытый угол ABC, является решением как первого, так и второго неравенства системы, то есть, является решением системы двух линейных неравенств. Иначе говоря, кординаты любой точки из этого множества удовлетворяют обоим неравенствам системы.
Пример 3. Решить систему линейных неравенств
Решение. Построим граничные прямые, соответствующие неравенствам системы. Делаем это, выполняя шаги, данные в теоретической справке, для каждого неравенства. Теперь определим полуплоскости решений для каждого неравенства (рисунок 3).
Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, заштрихованы вовнутрь. Пересечение полуплоскостей решений изображается, как показано на рисунке, в виде четырёхугольника ABCE. Получили, что многоугольник решений системы линейных неравенств с двумя переменными является четырёхугольником ABCE.
Всё описанное выше о системах линейных неравенств с двумя неизвестными относится и к системе неравенств с любым числом неизвестных, с той лишь разницей, что решением неравенства с n неизвестными будет совокупность n чисел (), удовлетворяющих всем неравенствам, а вместо граничной прямой будет граничная гиперплоскость n-мерного пространства. Решением будет многогранник решений (симплекс), ограниченный гиперплоскостями.
Так же, как и в двухмерном пространстве (на плоскости), каждое из неравенств системы определяет n-мерное полупространство. Пересечение всех этих полупространств образует многогранник решений. Но изобразить этот многогранник (называемый симплексом) геометрически невозможно. Лишь в случае, когда число неизвестных не больше трёх, то есть в действительном пространстве, многогранник решений можно изобразить геометрически.
Множество решений линейных неравенств геометрически составляет выпуклый многогранник или выпуклое множество точек.
Как уже отмечалось, системы линейных неравенств играют важную роль в линейном программировании. Теоремы линейного программирования содержат такие понятия, как выпуклые множества и крайние точки. Разберёмся бегло, о чём речь.
Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их. Если же существует хотя бы такая пара точек множества, что отрезок, соединяющий эти точки, не принадлежит целиком этому множеству, то такое множество называется невыпуклым. На рисунке 4 слева изображено выпуклое множество, а справа — невыпуклое.
Выпуклые множества обладают важным свойством, которое устанавливается следующей теоремой.
Теорема. Пересечение двух выпуклых множеств — также выпуклое множество.
Через любую внутреннюю точку выпуклого множества можно провести отрезок, для которого она является внутренней, а сам отрезок целиком принадлежит этому множеству. Но есть точки (для выпуклого многоугольника это его вершины), для которых такое построение выполнить нельзя: нет ни одного отрезка, для которого вершина являлась бы внутренней, а отрезок целиком бы принадлежал мноргоугольнику.
Точка выпуклого множества называется угловой (или крайней), если через неё нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества и для которого она была бы внутренней.
Продолжение темы «Систем уравнений и неравенств»
Начало темы «Линейная алгебра»
Поделиться с друзьями
ФРС. Фундаментальное решение системы уравнений
| Исходная система уравнений |
| Фундаментальная система решений (ФСР) данной системы уравнений |
| База системы/знаменатель |
Попробуем решить систему уравнений, типа
Решение подобных систем неразрывно связывают с формулой приведения матрицы к треугольному виду. Это наглядно, красиво и никогда не дает сбоев. Есть только одно но, нужно делать очень много ручной работы и использовать понятия ранга матрицы
Нет никаких сомнений подвергать выверенную веками технологию, но есть не менее красивое решение используя векторное произведение. Информации по ним на январь 2019 года в интернете нет, поэтому скромно назовемся первооткрывателем.
Это решение конечно же не оптимально (по быстродействию), так как при вычислении векторного произведения, надо вычислять определитель матрицы, а это так или иначе вычисление треугольной матрицы.
Но решение красиво и наглядно, кроме этого легко видеть критерий при котором система не имеет решений.
В чем же суть методики?
Решая эту систему как произведение двух векторов, мы получим
А следоватетельно, корни системы равны
Для тех кто не верит, это легко проверяется подстановкой
Такой же нехитрый прием используется и при системах где количество переменных может быть и пять и десять.
Рассмотрим, как же решаются такие системы с помощью векторных произведений.
Итак, у нас есть исходная система
Приведем её вот в такой вид
У нас получилось 6 столбцов.
На этом этапе не будем вводить новых сущностей и не используем в своей работе понятия ранга матрицы. Мы просто видим что уравнений 3, а переменных 5-ть. Следовательно общее решение будет использовать 5-3=2 независимых переменных.
На этом же шаге, мы можем определить, какие же из переменных будут свободными. Так как фантазии ноль, то те из переменных, которые будут правее всех, те и станут свободными.
То есть свободными у нас будут две переменных
А теперь за три шага определяем фундаментальное решение исходной системы
Шаг1.
Шаг 2.
Шаг 3.
Нет необходимости подробно рассказывать откуда мы берем данные. Это очевидно
Интереснее то, что мы с этими «векторами» делать будем.
Разделим их на -81
получаем следующие три вектора
Таким образом фундаментальное решение принимает вид
Великолепно! Не правда ли….
Хочется еще что то решить…. Еще один пример
Это интересное уравнение, так вектора в любом сочетании будут давать ноль.
Это говорит нам о том, что одно из уравнений «лишнее». Согласимся с этим и уберем его. Например последнее.
Тогда нам надо выбрать две свободных переменных, пусть это будут переменные с индексами 2 и 4.
Тогда вектора находятся как
Разделим на -3 и наше общее решение будет иметь вид
Не каждому сразу становиться ясно откуда у нас появляются нули и единицы в нашем стройном вектором ряде. Это связано с тем, что мы свободные переменные выбрали как нашей душе угодно, а не самые крайние правые.
Если бы мы взяли переменные с индексами 3 и 4 как свободные то решение бы мы переписали так как нам бы выдала машина.
В начале статьи мы упомянули о критерии неразрешимости той или иной системы уравнений. В классической версии для этого исползуется правило Кронекера-Копелли, здесь же просто анализируется результат векторного произведения.
Если результирующий вектор имеет вид
где , а среди всех оставшихся есть хотя бы один не нулевой, то такая система решений не имеет
Примеры, неразрешимых систем уравнений
Если результирующий вектор имеет все нулевые коэффициенты ( мы такой пример рассмотрели выше), то это говорит о том, что или как минимум одно из уравнений есть линейное представление другого, и/или одна из переменных пропорциональна другой.
Калькулятор, представленный здесь, дает Вам возможность самому проанализировать исходную систему, за Вас он лишь сделает точные расчеты, по тем данным, что Вы ему введете.
Вот один из примеров
| Исходная система уравнений |
| Фундаментальная система решений (ФСР) данной системы уравнений |
| База системы/знаменатель |
- Функция ошибок >>
Системы линейных неравенств (стр. 1 из 2) Как только вы узнаете, как построить линейный график неравенство, вы можно перейти к решению систем линейных неравенств. А «система» линейные неравенства — это набор линейных неравенств, с которыми вы имеете дело все вместе.Обычно вы начинаете с двух или трех линейных неравенств. Методика решения этих систем довольно проста. Вот пример.
Как и при решении одиночных линейных неравенств, обычно лучше всего решать как можно больше возможные неравенства для « y » с одной стороны. Решая первые два неравенства, я переставляю система: «Решающие» системы линейных неравенств означает «графическое отображение каждого отдельного неравенства, а затем нахождение совпадений различных решений «.Итак, я рисую каждое неравенство, а затем найти перекрывающиеся части решения регионы.
Верх | 1 | 2 | Возвращаться к указателю Вперед >>
|
Система линейных неравенств — объяснение и примеры
Перед тем, как решать системы линейных неравенств , давайте посмотрим, что означает неравенство.Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу.
Как правило, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.
Это меньше (<), больше (>), меньше или равно (≤), больше или равно (≥) и символ «не равно» (≠). Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.
Что такое система линейных неравенств?
Система линейных неравенств — это система уравнений линейных неравенств, содержащих одинаковые переменные.
Некоторые методы решения систем линейных уравнений переводятся в систему линейных неравенств. Однако решение системы линейных неравенств несколько отличается от линейных уравнений, потому что знаки неравенства мешают нам решить с помощью метода замены или исключения. Возможно, лучший метод решения систем линейных неравенств — это построение графиков неравенств.
Как решать системы линейных неравенств?
Ранее вы научились решать простое линейное неравенство с помощью построения графиков.В этой статье мы узнаем, как найти решения для системы линейных неравенств путем одновременного построения графиков двух или более линейных неравенств.
Решением системы линейных неравенств является область, в которой пересекаются графики всех линейных неравенств в системе.
Чтобы решить систему неравенств, изобразите каждое линейное неравенство в системе на одной оси x-y, выполнив следующие шаги. :
- Выделите переменную y в каждом линейном неравенстве.
- Нарисуйте и заштрихуйте область над линией границы, используя пунктирные и сплошные линии для символов> и ≥ соответственно.
- Аналогичным образом нарисуйте и закрасьте область под линией границы, используя пунктирные и сплошные линии для символов <и ≤ соответственно.
- Закрасьте область, где все уравнения перекрываются или пересекаются. Если области пересечения нет, то делаем вывод, что система неравенств не имеет решения.
Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы понять эти шаги.
Пример 1
Изобразите следующую систему линейных неравенств:
y ≤ x — 1 и y <–2x + 1
Решение
Изобразите первое неравенство y ≤ x — 1.
- Из-за символа «меньше или равно» мы нарисуем сплошную границу и сделаем штриховку под линией.
- Также изобразите второе неравенство y <–2x + 1 на той же оси x-y.
- В этом случае наша граница будет пунктирной или пунктирной из-за символа «меньше».Заштрихуйте область ниже границы.
Следовательно, решением этой системы неравенств является более темная заштрихованная область, продолжающаяся вечно в направлении вниз, как показано ниже.
Пример 2
Решите следующую систему неравенств:
x — 5y ≥ 6
3x + 2y> 1
Решение
- Сначала выделите переменную y слева в каждом неравенстве.
Для x — 5y ≥ 6;
=> x ≥ 6 + 5y
=> 5y ≤ x — 6
=> y ≤ 0.2 x — 1,2
А для 3x + 2y> 1;
=> 2y> 1 — 3x
=> y> 0,5 — 1,5x
- Мы построим график y ≤ 2 x — 1,2 и y> 0,5 — 1,5x, используя сплошную и ломаную линии соответственно .
Решение системы неравенства — более темная заштрихованная область, которая является перекрытием двух отдельных областей решения.
Пример 3
Изобразите следующую систему линейных неравенств.
y ≤ (1/2) x + 1,
y ≥ 2x — 2,
y ≥ — (1/2) x — 3.
Решение
Эта система неравенств имеет три уравнения, которые все связаны символом «равно». Это говорит нам о том, что все границы будут прочными. График трех неравенств показан ниже.
Заштрихованная область трех уравнений перекрывается прямо в средней части. Следовательно, решения системы лежат в ограниченной области, как показано на графике.
Пример 4
Изобразите следующую систему линейных неравенств:
x + 2y <2, y> –1,
x ≥ –3.
Решение
Выделите переменную y в первом неравенстве, чтобы получить;
y <- x / 2 +1 Обратите внимание, что неравенства y> –1 и x ≥ –3 будут иметь горизонтальные и вертикальные граничные линии соответственно. Давайте изобразим три неравенства, как показано ниже.
Более темная заштрихованная область, окруженная двумя сегментами пунктирной линии и одним сегментом сплошной линии, дает три неравенства.
Пример 5
Решите следующую систему линейных неравенств:
–2x -y <-1
4x + 2y ≤-6
Решение
Изолировать переменную y в каждом неравенство.
–2x -y <-1 => y> –2x + 1
4x + 2y ≤ -6 => y ≤ -2x -3
Давайте продолжим и построим график y> –2x + 1 и y ≤ — 2x -3:
Поскольку заштрихованные области двух неравенств не перекрываются, мы можем сделать вывод, что система неравенств не имеет решения.
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урокРешение систем линейных неравенств
Решение систем линейных неравенствВведение
Методы решения систем линейных неравенств отличаются от методов решения линейных уравнений, потому что знаки неравенства не позволяют нам выполнять замену, как мы это делаем с уравнениями. Тем не менее, мы все еще можем решить эти проблемы.
Ключевые термины
o Система линейных неравенств
o Линейная оптимизация
o Линейное программирование
Цели
o Научиться решать задачи, связанные с системами линейных неравенств
o Понять базовый подход к решению задач линейной оптимизации.
Системы линейных неравенств
Система линейных неравенств включает несколько выражений, решение которых может дать ряд решений. Многие концепции, которые мы усвоили при изучении систем линейных уравнений, можно преобразовать в решение системы линейных неравенств, но этот процесс может быть несколько сложным. Возможно, наиболее наглядный способ одновременного решения набора линейных неравенств — использование графиков.Давайте сразу рассмотрим пример в двух измерениях.
2 x -5 y ≤ 3
y — 3 x ≤ 1
Из-за неравенства мы не можем использовать подстановку так же, как мы это делали с системами линейных уравнений. Посмотрим на графики этих неравенств. Во-первых, мы упрощаемся до формы, которую легко построить графически.
2 x -5 y ≤ 3 y -3 x ≤ 1
2 x ≤ 3 + 5 y y ≤ 3 x + 1
5 y ≥ 2 x — 3
y ≥ 0.4 х — 0,6
Теперь построим график этих неравенств.
На графике видно, что есть две заштрихованные области, соответствующие решениям каждого неравенства. Линии заштрихованы, потому что неравенства не строгие (используются ≥ и ≤). Решением системы неравенств является более темная заштрихованная область, которая представляет собой перекрытие двух отдельных областей, и части линий (лучей), которые граничат с этой областью.Символически мы, пожалуй, лучше всего можем выразить решение в этом случае как
0,4 x — 0,6 ≤ y ≤ 3 x + 1
Решение систем неравенств в трех или более измерениях возможно, но это намного сложнее — построить графики твердых областей, которые составляют решения, также сложнее.
Практическая задача: Найдите и изобразите множество решений следующей системы неравенств:
x -5 y ≥ 6
3 x + 2 y > 1
Решение : Сначала решим выражения для y .
x — 5 y ≥ 6 3 x + 2 y > 1
x ≥ 6 + 5 y 2 y > 1-3 x
5 y ≤ x -6 y > 0,5 — 1,5 x
y ≤ 0,2 x — 1,2
Тогда мы можем выразить решение этой системы неравенств следующим образом:
0.5 — 1,5 x < y ≤ 0,2 x — 1,2
Построим график набора решений. Сначала мы нанесем на график линии, соответствующие двум отдельным неравенствам (и выберем сплошную линию для первого и ломаную для второго), а затем соответствующим образом закрасим две области.
Решение — это более темная заштрихованная область (которая является перекрытием двух отдельных областей решения), но давайте изобразим ее отдельно, чтобы было немного четче.
Линейная оптимизация
Мы можем применить то, что мы узнали выше, к линейной оптимизации (также называемой линейным программированием ), которая представляет собой процесс поиска максимального или минимального значения для некоторой функции при определенных условиях (например, линейных неравенствах). Решение задач, связанных с линейной оптимизацией, не требует от вас приобретения каких-либо новых навыков; они просто требуют, чтобы вы применяли то, что уже знаете.Итак, перейдем к практической задаче.
Практическая задача: Найдите максимальное значение y при –3 x + 2 y ≤ 4 и x + y ≤ 1 при условии, что x ≥ 0.
Решение: Нам дана система неравенств, для которой мы должны сначала найти соответствующее множество решений. Затем в этом наборе решений мы можем найти максимальное значение y .Итак, мы можем сначала применить то, что мы уже знаем: давайте перестроим неравенства в форму, которую мы можем легко изобразить.
–3 x + 2 y ≤ 4 x + y ≤ 1 x ≥ 0
2 y ≤ 3 x + 4 y ≤ 1- x
y ≤ 1,5 x + 2
Теперь давайте изобразим каждое из этих неравенств, отмечая, что мы должны использовать сплошные линии в каждом случае.
Самая темная заштрихованная область (клин в правом нижнем углу графика) удовлетворяет всем ограничениям задачи. Затем мы хотим найти максимальное значение y , которое явно равно 1. (Мы также можем найти это значение, подставив x = 0 в x + y ≤ 1 и найдя максимальное значение y. , что также явно 1.)
Графические системы линейных неравенств
Чтобы построить линейный неравенство в двух переменных (скажем, Икс и y ), сначала получите y один на одной стороне.Затем рассмотрим соответствующее уравнение, полученное заменой знака неравенства на знак равенства. График этого уравнения представляет собой линию.
Если неравенство строгое ( < или же > ), начертите штриховой линией. Если неравенство не строгое ( ≤ или же ≥ ), начертите сплошной линией.
Наконец, выберите одну точку, которая не находится ни на одной строке ( ( 0 , 0 ) обычно самый простой) и решите, удовлетворяют ли эти координаты неравенству или нет.Если это так, заштрихуйте полуплоскость, содержащую эту точку. Если нет, закройте другую полуплоскость.
Аналогичным образом изобразите каждое из неравенств в системе. Решение система неравенства — область пересечения всех решений в системе.
Пример 1:
Решите систему неравенств, построив графики:
y ≤ Икс — 2 y > — 3 Икс + 5
Сначала изобразим неравенство y ≤ Икс — 2 .Связанное уравнение y знак равно Икс — 2 .
Поскольку неравенство ≤ , не строгий, граница сплошная.
Постройте прямую линию.
Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем, ( 0 , 0 ) — и подставляем в неравенство y ≤ Икс — 2 .
0 ≤ 0 — 2 0 ≤ — 2
Это неправда.Итак, решение не содержит точки ( 0 , 0 ) . Заштрихуйте нижнюю половину линии.
Аналогичным образом нарисуйте пунктирную линию для соответствующего уравнения второго неравенства y > — 3 Икс + 5 которое имеет строгое неравенство. Точка ( 0 , 0 ) не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки ( 0 , 0 ) .
Решение системы неравенств — это область пересечения решений двух неравенств.
Пример 2:
Решите систему неравенств, построив графики:
2 Икс + 3 y ≥ 12 8 Икс — 4 y > 1 Икс < 4
Перепишем первые два неравенства с y один на одной стороне.
3 y ≥ — 2 Икс + 12 y ≥ — 2 3 Икс + 4 — 4 y > — 8 Икс + 1 y < 2 Икс - 1 4
Теперь изобразим неравенство y ≥ — 2 3 Икс + 4 .Связанное уравнение y знак равно — 2 3 Икс + 4 .
Поскольку неравенство ≥ , не строгий, граница сплошная.
Постройте прямую линию.
Рассмотрим точку, которая не находится на линии — скажем, ( 0 , 0 ) — и подставляем в неравенство.
0 ≥ — 2 3 ( 0 ) + 4 0 ≥ 4
Это неправда.Итак, решение не содержит точки ( 0 , 0 ) . Заштрихуйте верхнюю половину линии.
Аналогичным образом проведем пунктирную линию соответствующего уравнения второго неравенства y < 2 Икс - 1 4 которое имеет строгое неравенство. Точка ( 0 , 0 ) не удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, не содержащую точки ( 0 , 0 ) .
Нарисуйте пунктирную вертикальную линию Икс знак равно 4 которое является родственным уравнением третьего неравенства.
Здесь точка ( 0 , 0 ) удовлетворяет неравенству, поэтому заштрихуйте половину, содержащую точку.
Решение системы неравенств — это область пересечения решений трех неравенств.
Линейные неравенства и системы линейных неравенств от двух переменных
Цели обучения
- Определите решения линейного неравенства с двумя переменными
- Определите и выполните шаги для построения графика линейного неравенства с двумя переменными
- Определить, входит ли упорядоченная пара в набор решений линейного неравенства
- Определите решения систем линейных неравенств
- Построить график системы линейных неравенств и определить область решений
- Проверить, является ли точка решением системы неравенств
- Определите, когда система неравенства не имеет решения
- Решения из графиков линейных неравенств
- Решите системы линейных неравенств, построив область решения
- Графические решения системы, содержащей составное неравенство
- Приложения систем линейных неравенств
- Напишите и изобразите систему, моделирующую количество, которое должно быть продано для достижения заданного объема продаж
- Напишите систему неравенств, которая представляет область прибыли для бизнеса
- Интерпретация решений системы неравенства затрат / доходов
Неравенства по двум переменным
Знаете ли вы, что при совершении покупок в Интернете вы используете линейное неравенство? Когда вы используете опцию для просмотра товаров в определенном ценовом диапазоне, вы просите поисковую систему использовать линейное неравенство, основанное на цене.По сути, вы говорите «покажите мне все товары на продажу от 50 до 100 долларов», что можно записать как [латекс] {50} \ le {x} \ le {100} [/ latex], где x цена. В этом разделе вы примените все, что вы знаете о построении графиков линейных уравнений, для построения графиков линейных неравенств.
Так как же перейти от алгебраической формы неравенства, такой как [latex] y> 3x + 1 [/ latex], к графику этого неравенства? Построить график неравенства довольно просто, если вы выполните пару шагов.
Графическое изображение неравенств
Чтобы построить график неравенства:
- Постройте соответствующую граничную линию. Замените знак <,>, ≤ или ≥ в неравенстве на =, чтобы найти уравнение граничной линии.
- Определите хотя бы одну упорядоченную пару по обе стороны от граничной линии и подставьте эти значения [latex] (x, y) [/ latex] в неравенство. Заштрихуйте область, содержащую упорядоченные пары, которые делают неравенство истинным.
- Если точки на граничной линии являются решениями, используйте сплошную линию для рисования граничной линии.Это произойдет при неравенствах ≤ или ≥.
- Если точки на граничной линии не являются решениями, используйте пунктирную линию для граничной линии. Это произойдет при неравенствах <или>.
Построим график неравенства [latex] x + 4y \ leq4 [/ latex].
Чтобы изобразить граничную линию, найдите по крайней мере два значения, которые лежат на линии [латекс] x + 4y = 4 [/ latex]. Для этого уравнения можно использовать интерцепты x и y , подставив сначала 0 вместо x и найдя значение y ; затем подставьте 0 вместо y и найдите x .
Постройте точки [latex] (0,1) [/ latex] и [latex] (4,0) [/ latex] и проведите линию через эти две точки для линии границы. Линия сплошная, потому что ≤ означает «меньше или равно», поэтому все упорядоченные пары вдоль линии включены в набор решений.
Следующий шаг — найти область, содержащую решения. Это выше или ниже границы? Чтобы определить область, в которой выполняется неравенство, вы можете протестировать пару упорядоченных пар, по одной с каждой стороны граничной линии.
Если вы замените [latex] (- 1,3) [/ latex] на [latex] x + 4y \ leq4 [/ latex]:
[латекс] \ begin {array} {r} −1 + 4 \ left (3 \ right) \ leq4 \\ — 1 + 12 \ leq4 \\ 11 \ leq4 \ end {array} [/ latex]
Это ложное утверждение, поскольку 11 не меньше или равно 4.
С другой стороны, если вы замените [latex] (2,0) [/ latex] на [latex] x + 4y \ leq4 [/ latex]:
[латекс] \ begin {array} {r} 2 + 4 \ left (0 \ right) \ leq4 \\ 2 + 0 \ leq4 \\ 2 \ leq4 \ end {array} [/ latex]
Это правда! Область, которая включает [latex] (2,0) [/ latex], должна быть заштрихована, так как это область растворов.
И вот он — график множества решений для [latex] x + 4y \ leq4 [/ latex].
Графическое изображение линейных неравенств с двумя переменными
Пример
Изобразите неравенство [latex] 2y> 4x – 6 [/ latex].
Показать решениеРешить относительно и .
[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 2y> 4x-6 \\\\\ frac {2y} {2}> \ frac {4x} {2} — \ frac {6} {2} \ \\\ y> 2x-3 \\\ end {array} [/ latex]
Создайте таблицу значений, чтобы найти две точки на линии [latex] \ displaystyle y = 2x-3 [/ latex], или изобразите ее на основе метода пересечения наклона, значение b из y — перехват — [латекс] -3 [/ латекс], а наклон равен 2.
Постройте точки и нанесите линию на график. Линия пунктирна, потому что знак в неравенстве>, а не ≥, и поэтому точки на линии не являются решениями неравенства.
[латекс] \ displaystyle y = 2x-3 [/ латекс]
| x | y |
|---|---|
| 0 | [латекс] −3 [/ латекс] |
| 2 | 1 |
Найдите упорядоченную пару по обе стороны от граничной линии.Вставьте значения x и y в неравенство
[латекс] 2y> 4x – 6 [/ latex] и посмотрите, какая упорядоченная пара дает истинное утверждение. Поскольку [latex] (- 3,1) [/ latex] приводит к истинному утверждению, область, которая включает [latex] (- 3,1) [/ latex], должна быть заштрихована.
[латекс] \ begin {array} {l} 2y> 4x – 6 \\\\\ text {Test} 1: \ left (−3,1 \ right) \\ 2 \ left (1 \ right)> 4 \ left (−3 \ right) –6 \\\, \, \, \, \, \, \, 2> –12–6 \\\, \, \, \, \, \, \, 2> −18 \\\ text {TRUE} \\\\\ text {Test} 2: \ left (4,1 \ right) \\ 2 (1)> 4 \ left (4 \ right) — 6 \\\, \, \, \, \, \, 2> 16–6 \\\, \, \, \, \, \, 2> 10 \\\ text {FALSE} \ end {array} [/ latex]
Ответ
График неравенства [латекс] 2y> 4x – 6 [/ латекс] равен:
Краткое примечание о проблеме выше — обратите внимание, что вы можете использовать точки [latex] (0, −3) [/ latex] и [latex] (2,1) [/ latex] для построения линии границы, но это эти точки не входят в область решений, так как область не включает граничную линию!
Наборы решений неравенств
На графике ниже показана область значений, которая делает неравенство [латекс] 3x + 2y \ leq6 [/ latex] истинным (заштриховано красным), граничная линия [латекс] 3x + 2y = 6 [/ latex], а также горстка заказанных пар.Граничная линия сплошная, потому что точки на граничной линии [латекс] 3x + 2y = 6 [/ latex] сделают неравенство [латекс] 3x + 2y \ leq6 [/ latex] истинным.
Вы можете подставить значения x- и y- в каждую из упорядоченных пар [latex] (x, y) [/ latex] в неравенство, чтобы найти решения. Иногда для более сложных неравенств имеет смысл составить таблицу значений.
| Заказанная пара | Делает неравенство [латекс] 3x + 2y \ leq6 [/ латекс] истинное заявление | Делает неравенство [латекс] 3x + 2y \ leq6 [/ латекс] ложное заявление |
|---|---|---|
| [латекс] (- 5, 5) [/ латекс] | [латекс] \ begin {array} {r} 3 \ left (−5 \ right) +2 \ left (5 \ right) \ leq6 \\ — 15 + 10 \ leq6 \\ — 5 \ leq6 \ end {массив } [/ латекс] | |
| [латекс] (- 2, −2) [/ латекс] | [латекс] \ begin {array} {r} 3 \ left (−2 \ right) +2 \ left (–2 \ right) \ leq6 \\ — 6+ \ left (−4 \ right) \ leq6 \\ –10 \ leq6 \ end {array} [/ latex] | |
| [латекс] (2,3) [/ латекс] | [латекс] \ begin {array} {r} 3 \ left (2 \ right) +2 \ left (3 \ right) \ leq6 \\ 6 + 6 \ leq6 \\ 12 \ leq6 \ end {array} [/ латекс] | |
| [латекс] (2,0) [/ латекс] | [латекс] \ begin {array} {r} 3 \ left (2 \ right) +2 \ left (0 \ right) \ leq6 \\ 6 + 0 \ leq6 \\ 6 \ leq6 \ end {array} [/ латекс] | |
| [латекс] (4, -1) [/ латекс] | [латекс] \ begin {array} {r} 3 \ left (4 \ right) +2 \ left (-1 \ right) \ leq6 \\ 12+ \ left (-2 \ right) \ leq6 \\ 10 \ leq6 \ end {array} [/ latex] |
Если замена [latex] (x, y) [/ latex] в неравенство дает истинное утверждение, то упорядоченная пара является решением неравенства, и точка будет нанесена на заштрихованную область или точку будет частью сплошной границы.Ложное утверждение означает, что упорядоченная пара не является решением, и точка будет отображаться вне заштрихованной области, или точка будет частью пунктирной линии границы.
Пример
Используйте график, чтобы определить, какие упорядоченные пары, изображенные ниже, являются решениями неравенства [латекс] x – y <3 [/ latex].
Показать решение Решениябудут расположены в затененной области. Поскольку это проблема «меньше чем», упорядоченные пары на граничной линии не включаются в набор решений.
Эти значения расположены в заштрихованной области, как и решения. (При подстановке в неравенство [латекс] x – y <3 [/ latex] они дают истинные утверждения.)
[латекс] (- 1,1) [/ латекс]
[латекс] (- 2, −2) [/ латекс]
Эти значения не находятся в затененной области, поэтому не являются решениями. (При подстановке в неравенство [латекс] x-y <3 [/ latex] они дают ложные утверждения.)
[латекс] (1, -2) [/ латекс]
[латекс] (3, -2) [/ латекс]
[латекс] (4,0) [/ латекс]
Ответ
[латекс] (- 1,1) \, \, \, (- 2, −2) [/ латекс]
В следующем видео показан пример определения того, является ли упорядоченная пара решением неравенства.
Пример
Является ли [latex] (2, −3) [/ latex] решением неравенства [latex] y <−3x + 1 [/ latex]?
Показать решениеЕсли [latex] (2, −3) [/ latex] является решением, тогда оно даст истинное утверждение при подстановке в неравенство [latex] y <−3x + 1 [/ latex].
[латекс] y <−3x + 1 [/ латекс]
Заменить [латекс] x = 2 [/ латекс] и [латекс] y = −3 [/ латекс] в неравенство.
[латекс] −3 <−3 \ влево (2 \ вправо) +1 [/ латекс]
Оценить.
[латекс] \ begin {массив} {l} −3 <−6 + 1 \\ - 3 <−5 \ end {array} [/ latex]
Это утверждение равно , а не , поэтому упорядоченная пара [latex] (2, −3) [/ latex] — это , а не как решение.
Ответ
[latex] (2, −3) [/ latex] не является решением.
В следующем видео показан еще один пример определения того, является ли упорядоченная пара решением неравенства.
Постройте систему двух неравенств
Рассмотрим график неравенства [латекс] y <2x + 5 [/ латекс].
Пунктирная линия [латекс] y = 2x + 5 [/ latex]. Каждая упорядоченная пара в заштрихованной области под линией является решением [latex] y <2x + 5 [/ latex], поскольку все точки под линией делают неравенство истинным. Если вы сомневаетесь в этом, попробуйте подставить координаты x и y точек A и B в неравенство — вы увидите, что они работают. Итак, заштрихованной областью показаны все решения этого неравенства.
Граничная линия делит координатную плоскость пополам.В этом случае он показан пунктирной линией, поскольку точки на линии не удовлетворяют неравенству. Если бы неравенство было [латекс] y \ leq2x + 5 [/ латекс], то граница была бы сплошной.
Изобразим еще одно неравенство: [latex] y> −x [/ latex]. Вы можете проверить пару точек, чтобы определить, какую сторону границы нужно заштриховать. Контрольные точки M и N дают верные утверждения. Итак, заштриховываем область над линией. Линия пунктирна, поскольку точки на линии не соответствуют действительности.
Чтобы создать систему неравенств, вам необходимо построить график двух или более неравенств вместе.Давайте использовать [latex] y <2x + 5 [/ latex] и [latex] y> −x [/ latex], поскольку мы уже изобразили каждый из них.
Фиолетовая область показывает, где перекрываются решения двух неравенств. Эта область является решением системы неравенств . Любая точка в этой фиолетовой области будет верна как для [latex] y> −x [/ latex], так и для [latex] y <2x + 5 [/ latex].
В следующих видео-примерах мы покажем, как построить график системы линейных неравенств и определить область решения.
В следующем разделе мы увидим, что точки могут быть решениями систем уравнений и неравенств. Проверим алгебраически, является ли точка решением линейного уравнения или неравенства.
Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
На приведенном выше графике вы можете видеть, что точки B и N являются решениями для системы, потому что их координаты делают оба неравенства истинными.
Напротив, точки M и A лежат за пределами области решения (фиолетовый). Хотя точка M является решением неравенства [latex] y> −x [/ latex], а точка A является решением неравенства [latex] y <2x + 5 [/ latex], ни одна из точек не является решением для система . В следующем примере показано, как проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением системы неравенств.
Пример
Является ли точка (2, 1) решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 2x + y <8 [/ latex]?
Показать решение Проверьте суть каждого неравенства.Замените 2 на x и 1 на y . Является ли дело решением обоих неравенств?[латекс] \ begin {массив} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]
(2, 1) — решение для [латекса] x + y> 1 [/ latex].
[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y <8 \\ 2 \ left (2 \ right) +1 <8 \\ 4 + 1 <8 \\ 5 <8 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]
(2, 1) — решение для [латекса] 2x + y <8. [/ Latex]
Поскольку (2, 1) является решением каждого неравенства, оно также является решением системы.
Ответ
Точка (2, 1) является решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 2x + y <8 [/ latex].
Вот график системы в примере выше. Обратите внимание, что (2, 1) находится в фиолетовой области, которая является областью перекрытия для двух неравенств.
Пример
Является ли точка (2, 1) решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 3x + y <4 [/ latex]?
Показать решениеОтметьте точку с каждым неравенством.Замените 2 на x и 1 на y . Является ли дело решением обоих неравенств?
[латекс] \ begin {массив} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]
(2, 1) — решение для [латекса] x + y> 1 [/ latex].
[латекс] \ begin {array} {r} 3x + y <4 \\ 3 \ left (2 \ right) +1 <4 \ 6 + 1 <4 \\ 7 <4 \\\ text {FALSE} \ end {array} [/ latex]
(2, 1) — это , а не как решение для [латекса] 3x + y <4 [/ latex].
Поскольку (2, 1) — это , а не как решение одного из неравенств, это не решение системы.
Ответ
Точка (2, 1) не является решением системы [латекс] x + y> 1 [/ latex] и [latex] 3x + y <4 [/ latex].
Вот график этой системы. Обратите внимание, что (2, 1) не находится в фиолетовой области, которая является перекрывающейся областью; это решение одного неравенства (красная область), но не решение второго неравенства (синяя область).
В следующем видео мы показываем еще один пример определения, находится ли точка в решении системы линейных неравенств.
Как показано выше, нахождение решений системы неравенств может быть выполнено путем графического отображения каждого неравенства и определения области, в которой они находятся. Ниже приведены дополнительные примеры, показывающие весь процесс определения области решений на графике для системы двух линейных неравенств. Общие шаги описаны ниже:
- Изобразите каждое неравенство в виде линии и определите, будет ли оно сплошным или пунктирным
- Определите, с какой стороны каждой граничной линии представлены решения неравенства, проверив точку на каждой стороне
- Заштрихуйте область, которая представляет решения для обоих неравенств
Системы без решений
В следующем примере мы покажем решение системы двух неравенств, граничные линии которых параллельны друг другу.Когда графики системы двух линейных уравнений параллельны друг другу, мы обнаружили, что у системы нет решения. Мы получим аналогичный результат для следующей системы линейных неравенств.
Примеры
Изобразите систему [latex] \ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ y \ lt2x-3 \ end {array} [/ latex]
Показать решениеГраничные линии этой системы параллельны друг другу, обратите внимание, как они имеют одинаковый уклон.
[латекс] \ begin {array} {c} y = 2x + 1 \\ y = 2x-3 \ end {array} [/ latex]
Построение граничных линий даст график ниже.Обратите внимание, что неравенство [latex] y \ lt2x-3 [/ latex] требует рисования пунктирной линии, а неравенство [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex] требует сплошной линии.
Теперь нам нужно добавить регионы, представляющие неравенства. Для неравенства [латекс] y \ ge2x + 1 [/ latex] мы можем проверить точку по обе стороны от линии, чтобы увидеть, какую область закрасить. Давайте проверим [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex], чтобы упростить задачу.
Заменить [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex] на [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex]
[латекс] \ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ 0 \ ge2 \ left (0 \ right) +1 \\ 0 \ ge {1} \ end {array} [/ latex]
Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex].График теперь будет выглядеть так:
Теперь закрасим область, которая показывает решения неравенства [latex] y \ lt2x-3 [/ latex]. Опять же, мы можем выбрать [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] для тестирования, потому что это упрощает алгебру.
Заменить [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex] на [latex] y \ lt2x-3 [/ latex]
[латекс] \ begin {array} {c} y \ lt2x-3 \\ 0 \ lt2 \ left (0, \ right) x-3 \\ 0 \ lt {-3} \ end {array} [/ latex ]
Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства [латекс] y \ lt2x-3 [/ latex].График теперь будет выглядеть так:
У этой системы неравенства нет общих черт.
В следующих примерах мы продолжим практиковаться в построении графика области решения для систем линейных неравенств. Мы также построим график решений системы, которая включает составное неравенство.
Пример
Закрасьте область графика, которая представляет решения для обоих неравенств. [латекс] x + y \ geq1 [/ латекс] и [латекс] y – x \ geq5 [/ латекс].
Показать решение Изобразите одно неравенство. Сначала нарисуйте граничную линию, используя таблицу значений, пересечений или любой другой метод, который вы предпочитаете. Граница для [латекса] x + y \ geq1 [/ latex] — это [латекс] x + y = 1 [/ latex] или [латекс] y = −x + 1 [/ latex]. Поскольку знак равенства стоит вместе со знаком «больше», граница будет сплошной.Найдите упорядоченную пару по обе стороны от ограничивающей линии. Вставьте значения x и y в неравенство [latex] x + y \ geq1 [/ latex] и посмотрите, какая упорядоченная пара дает истинное утверждение.
[латекс] \ begin {array} {r} \ text {Test} 1: \ left (−3,0 \ right) \\ x + y \ geq1 \\ — 3 + 0 \ geq1 \\ — 3 \ geq1 \\\ text {FALSE} \\\\\ text {Test} 2: \ left (4,1 \ right) \\ x + y \ geq1 \\ 4 + 1 \ geq1 \\ 5 \ geq1 \\\ текст {ИСТИНА} \ end {array} [/ latex]
Поскольку (4, 1) приводит к истинному утверждению, область, которая включает (4, 1), должна быть заштрихована.
Проделайте то же самое со вторым неравенством. Постройте граничную линию, затем проверьте точки, чтобы определить, какая область является решением неравенства. В этом случае граница [латекс] y – x = 5 \ left (\ text {или} y = x + 5 \ right) [/ latex] сплошная.Контрольная точка (−3, 0) не является решением [latex] y – x \ geq5 [/ latex], а контрольная точка (0, 6) является решением.
Ответ
Фиолетовая область на этом графике показывает набор всех решений системы.
В следующих видеороликах показаны другие примеры построения графиков множества решений системы линейных неравенств.
Система в нашем последнем примере включает составное неравенство. Мы увидим, что вы можете относиться к составному неравенству как к двум линиям, когда строите их график.
Пример
Найдите решение системы 3 x + 2 y <12 и −1 ≤ y ≤ 5.
Покажи ответИзобразите одно неравенство. Сначала нарисуйте граничную линию, затем контрольные точки.
Помните, поскольку неравенство 3 x + 2 y <12 не включает знак равенства, проведите пунктирную линию границы.
Проверка точки (например, (0, 0) покажет, что область под линией является решением этого неравенства.
Неравенство −1 ≤ y ≤ 5 на самом деле представляет собой два неравенства: −1 ≤ y и y ≤ 5. Другой способ представить это: y должно быть между −1 и 5. Граница линии для обоих горизонтальные. Область между этими двумя линиями содержит решения −1 ≤ y ≤ 5. Мы делаем линии сплошными, потому что мы также хотим включить y = −1 и y = 5.
Изобразите эту область на тех же осях, что и другое неравенство.
Фиолетовая область на этом графике показывает набор всех решений системы.
Ответ
В следующем видео мы покажем, как решить еще одну систему неравенств.
Приложения
В нашем первом примере мы покажем, как написать и изобразить систему линейных неравенств, которая моделирует объем продаж, необходимый для получения определенной суммы денег.
Пример
Кэти продает рожки мороженого на школьном мероприятии по сбору средств.Она продает два размера: маленький (в котором 1 мерная ложка) и большой (в котором 2 мерные ложки). Она знает, что может получить максимум 70 шариков мороженого из своего запаса. Она берет 3 доллара за маленький конус и 5 долларов за большой.
Кэти хочет заработать не менее 120 долларов, чтобы отдать их школе. Напишите и изобразите систему неравенств, которая моделирует эту ситуацию.
Покажи ответСначала определите переменные. Есть две переменные: количество маленьких шишек и количество больших шишек.
с = маленький конус
л = большой конус
Напишите первое уравнение: максимальное количество ложек, которое она может выдать. Количество совков, имеющихся у нее в наличии (70), должно быть больше или равно количеству совков для маленьких ( s ) и больших (2 l ), которые она продает.
[латекс] s + 2l \ le70 [/ латекс]
Напишите второе уравнение: сумму денег, которую она собирает. Она хочет, чтобы общая сумма денег, заработанных на маленьких шишках (3 s ) и больших (5 l ), составляла не менее 120 долларов.
[латекс] 3s + 5l \ ge120 [/ латекс]
Запишите систему.
[латекс] \ begin {case} s + 2l \ le70 \\ 3s + 5l \ ge120 \ end {case} [/ latex]
Теперь изобразите систему. Переменные x и y были заменены на s и l ; график s по оси x и l по оси y .
Первый график области s + 2 l ≤ 70. Постройте граничную линию, а затем проверьте отдельные точки, чтобы увидеть, какую область закрасить.График показан ниже.
Теперь нарисуйте область [latex] 3s + 5l \ ge120 [/ latex]. Постройте граничную линию, а затем проверьте отдельные точки, чтобы увидеть, какую область закрасить. График показан ниже.
Изобразив регионы вместе, вы обнаружите следующее:
И представленный как перекрывающийся регион, у вас есть:
Ответ
Область фиолетового цвета — это решение. Пока комбинация маленьких и больших рожков, которые продает Кэти, может быть нанесена на карту в фиолетовой области, она заработает не менее 120 долларов и не потратит более 70 шариков мороженого.
В предыдущем примере поиска решения системы линейных уравнений мы ввели уравнения затрат и доходов производителя:
Стоимость: [латекс] y = 0,85x + 35 000 [/ латекс]
Доход: [латекс] y = 1,55x [/ латекс]
Уравнение затрат показано синим цветом на графике ниже, а уравнение доходов — оранжевым. Точка пересечения двух линий называется точкой безубыточности, мы узнали, что это решение системы линейных уравнения, которые в данном случае включают уравнения затрат и доходов.
Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, от которых компания получает прибыль. Область слева представляет количества, по которым компания терпит убытки.
В следующем примере вы увидите, как информацию, которую вы узнали о системах линейного неравенства, можно применить для ответа на вопросы о затратах и доходах.
Обратите внимание, как заштрихованная синим цветом область между уравнениями затрат и доходов обозначена как «Прибыль». Это «золотая середина», которую компания хочет достичь, когда они производят достаточное количество велосипедных рам с минимальными затратами, чтобы зарабатывать деньги.Они не хотят, чтобы денег уходило больше, чем приходило!
Пример
Определите область прибыли для бизнеса по производству скейтбордов с помощью неравенств, учитывая систему линейных уравнений:
Стоимость: [латекс] y = 0,85x + 35 000 [/ латекс]
Доход: [латекс] y = 1,55x [/ латекс]
Показать решениеМы знаем, что графически решения линейных неравенств представляют собой целые области, и мы узнали, как графически отображать системы линейных неравенств ранее в этом модуле.Основываясь на приведенном ниже графике и уравнениях, определяющих затраты и доход, мы можем использовать неравенства для определения региона, в котором производитель скейтбордов будет получать прибыль.
Начнем с уравнения дохода. Мы знаем, что точка безубыточности находится на (50,000, 77,500), а область прибыли — это синяя область. Если мы выберем точку в регионе и протестируем ее, как мы это делали для поиска областей решения неравенств, мы будем знать, какой знак неравенства использовать.
Давайте проверим точку [латекс] \ влево (65,00,100,000 \ вправо) [/ латекс] в обоих уравнениях, чтобы определить, какой знак неравенства использовать.
Стоимость:
[латекс] \ begin {array} {l} y = 0,85x + {35 000} \\ {100 000} \ text {? } 0,85 \ влево (65,000 \ вправо) +35,000 \\ 100,000 \ text {? } 90,250 \ end {array} [/ latex]
Нам нужно использовать>, потому что 100,000 больше 90,250
Неравенство затрат, которое обеспечит получение компанией прибыли, а не только безубыточности, составляет [латекс] y> 0,85x + 35,000 [/ латекс]
Теперь проверьте точку в уравнении доходов:
Выручка:
[латекс] \ begin {array} {l} y = 1.55x \\ 100,000 \ text {? } 1,55 \ влево (65 000 \ вправо) \\ 100 000 \ text {? } 100,750 \ end {array} [/ latex]
Нам нужно использовать <, потому что 100,000 меньше 100,750
Неравенство доходов, которое обеспечит получение компанией прибыли, а не только безубыточности, составляет [латекс] y <1,55x [/ латекс]
Система неравенств, определяющая область прибыли производителя велосипеда:
[латекс] \ begin {array} {l} y> 0,85x + 35,000 \\ y <1,55x \ end {array} [/ latex]
Ответ
Стоимость производства 50 000 единиц составляет 77 500 долларов США, а выручка от продажи 50 000 единиц также составляет 77 500 долларов США.Чтобы получить прибыль, бизнес должен произвести и продать более 50 000 единиц. Система линейных неравенств, которая представляет количество единиц, которые компания должна произвести, чтобы получить прибыль:
[латекс] \ begin {array} {l} y> 0,85x + 35,000 \\ y <1,55x \ end {array} [/ latex]
В следующем видео вы увидите пример того, как найти точку безубыточности для небольшого бизнеса по производству снобоксов.
А вот еще один видео-пример решения приложения с использованием системы линейных неравенств.
Мы увидели, что системы линейных уравнений и неравенств могут помочь определить поведение рынка, которое очень полезно для бизнеса. Пересечение уравнений затрат и доходов дает точку безубыточности, а также помогает определить регион, в котором компания будет получать прибыль.
Системы линейных неравенств, решения этих систем. Картинки, примеры и практические задачи.
Система линейных неравенств — это просто два или более линейных неравенства в одной плоскости.Другими словами, система линейных неравенств — это просто два или более неравенства вместе.
Самый простой способ запомнить, что означает «система» в этом контексте, — это ответить на следующий вопрос: «Относится ли когда-либо слово система только к одной вещи или система всегда относится к нескольким вещам?»
Ответ — более чем одно.
Точно так же «система линейных неравенств» — это «более одного линейного неравенства». Интерактивная Системалинейных неравенств
Щелкните и перетащите точки ниже, и система линейных неравенств изменится соответствующим образом. (Полноразмерная интерактивная система линейных неравенств)
Привязки к сетке
Y ≥ X ≥
?
Y ≥ X ≥
Используйте его для включения или отключения привязки
Щелкните уравнение, чтобы изменить тип неравенства между ≤,
<,> и ≥Можно перетащить точки, чтобы изменить уравнение линии
Ниже приведены графики линейных неравенств: y
На фото выше система неравенств, состоящая из двух одинаковых линейных неравенств:
у <х + 1
у> х
Когда мы возьмем оба линейных неравенства, изображенных выше, и построим их график на одной декартовой плоскости, получаем систему линейных неравенств.Решение этой системы — желтая область которая является площадью перекрытия. Другими словами, решение системы — это область, в которой оба неравенство верно. Координаты y всех точек в желтой области: и больше x + 1, а также меньше x.
Примерсистемы линейных неравенств
На рисунке ниже изображена система линейных неравенств.
Слева график двух линейных неравенств. Каково решение этой системы линейных неравенств?
(Напоминание: решение — это область, охватываемая как , так и неравенствами)
Задача 1
Ниже представлен график следующей системы неравенств:
По картинке вы можете определить, в какой области находится решение этой системы?
Покажи ответЗадача 2
Слева график
Какая область слева является решением этой системы линейных неравенств?
- у ≥ х + 1
- y ≥ –3 / 2x + 1
Помните: это просто означает, в какой регион входят и следующих линейных неравенств:
y ≥ x + 1 и y ≥ –x + 1
Покажи ответ# 2
Задача 3
Каково решение следующей системы линейных неравенств (линии которой показаны справа)
у ≤ -½x + 2
у ≥ ½x — 1
Розовая область представляет собой решение этой системы линейных неравенств.
Калькулятор графических систем неравенств
Графики неравенств на числовых линиях. Целые числа Math. Чтобы создать ссылку на эту страницу, скопируйте следующий код на свой сайт:
Построение графика с использованием угла наклона и точки пересечения по оси Y Есть еще один способ построить график уравнения, используя ваши знания о наклоне и точке пересечения по оси Y. Посмотрите на уравнение еще раз. Мы можем найти наклон и точку пересечения по оси y линии, просто посмотрев на уравнение: m = 1/2 и точка пересечения по оси y = 2.
Улучшите свои математические знания с помощью бесплатных вопросов из раздела «Решите системы линейных неравенств с помощью построения графиков» и тысяч других математических навыков.
16 сен, 2020 · Рабочие листы 2d-фигур, рабочий лист 1 для детей, выпущенный тест 2015, ответы, решение уравнений, генератор ответов, Малые отрывки для понимания. Рабочие листы для понимания естественных наук для печати Рабочие листы для чтения в 5-х классах Печатные математические упражнения Рабочий лист пропорций График Решение следующей системы неравенств Калькулятор Черный
Графический калькулятор ti 83 специально разработан, чтобы помочь учащимся от средней до старшей школы.Он работает как естественный помощник, который предлагает отличную поддержку для всех математических курсов, от предварительной алгебры до математического анализа, статистики, а также курсов AP или курсов Advanced Placement. Что касается графического калькулятора ti84, то это …
Чтобы добавить оригинальный графический калькулятор, написанный Ричардом Йе, на свой веб-сайт, перейдите на GitHub и загрузите код оттуда. Чтобы добавить версию графического калькулятора Calculator.com на свой веб-сайт, скопируйте и вставьте следующий код в любое место, где вы хотите, чтобы калькулятор отображался.
Чтобы добавить оригинальный графический калькулятор, написанный Ричардом Йе, на свой веб-сайт, перейдите на GitHub и загрузите оттуда код. Чтобы добавить версию графического калькулятора Calculator.com на свой веб-сайт, скопируйте и вставьте следующий код в любое место, где вы хотите, чтобы калькулятор отображался. Обозначение
множество решений (2, inf). Есть еще один способ использовать графическую утилиту для решения этого неравенства. (7-2 * x) L3 имеет значение 1 для чисел x, удовлетворяющих неравенству, и значение 0 для других чисел. На рисунке ниже показан график (7-2 * x) L3, нарисованный Grapher.
Цель использования. мой калькулятор умер. Комментарий / Запрос. очень полезно, если вы уже знаете, что означают значения. Цель использования. Пришло время вычислить n-е простое число с помощью реализации Решета Эратосфена в Rust.
Graph-inequality.com содержит интересные и полезные стратегии онлайн-калькулятора ограничений неравенств, сложения и вычитания рациональных выражений и сложения, а также других предметных областей алгебры.
Вопрос о системе линейных неравенств двух переменных.Вопрос: Решите следующую систему линейных неравенств от двух переменных графически. х + у ≥ 5; х — у ≤ 3; Решение. Для начала нарисуем график уравнения x + y = 5. Теперь мы определим, удовлетворяет ли точка (0, 0), лежащая в полуплоскости I, …
Desmos предлагает лучшее -классные калькуляторы, цифровые математические задания и учебная программа, которые помогут каждому ученику полюбить математику и полюбить ее изучение.
10 нояб.2020 г. · Система нелинейных неравенств — это система из двух или более неравенств с двумя или более переменными, содержащая по крайней мере одно неравенство, которое не является линейным.Построение графа системы нелинейных неравенств аналогично графическому изображению системы линейных неравенств. Разница в том, что на нашем графике может появиться больше затемненных областей, которые представляют …
Привет, я новичок в средней школе, и у меня проблемы с домашним заданием. Одна из моих проблем связана с манипуляциями с калькулятором уравнений; может кто-нибудь помочь мне понять, о чем идет речь?
Moviemela xyz Студенты узнают, что при решении неравенства, такого как –3x 12, цель такая же, как и при решении уравнения: получить переменную отдельно от одной стороны.
Leave A Comment