Решение примеров со степенями: Свойства степеней, действия со степенями

В этом и следующем разделах вы познакомитесь с некоторыми распространенными геометрическими формулами. Мы адаптируем нашу стратегию решения задач для приложений геометрии. Геометрическая формула назовет переменные и даст нам уравнение для решения.

Кроме того, поскольку все эти приложения будут включать в себя геометрические фигуры, будет полезно нарисовать фигуру, а затем подписать ее информацией из задачи. Мы включим этот шаг в стратегию решения задач для приложений геометрии.

Используйте стратегию решения задач для геометрических приложений.

1. Прочтите задачу и убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи. Нарисуйте рисунок и обозначьте его данными.
2. Определите , что вы ищете.
3. Назовите то, что вы ищете, и выберите переменную для ее представления.
4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для данной ситуации. Замените предоставленную информацию. 9\циркуляр[/латекс].

   1. Найдите его дополнение

   2. Найдите его дополнение

   Решение

   1.
   Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
   Шаг 2. Определите , что вы ищете.	Дополнение к углу [латекс]40°[/латекс].
   Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления.	Пусть [latex]s=[/latex]мера добавки.
   Шаг 4. Перевести. Напишите формулу, соответствующую ситуации, и замените ее в данной информации.	[латекс]м\угол А+м\угол В=180[/латекс] [латекс]s+40=180[/латекс]
   Шаг 5. Решите уравнение.	[латекс]s=140[/латекс]
   Шаг 6. Проверка: [латекс]140+40\stackrel{?}{=}180[/латекс] [латекс]180=180\галочка[/латекс]
   Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Дополнение к углу [латекс]40°[/латекс] составляет [латекс]140°[/латекс].

   2.
   Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
   Шаг 2. Определите , что вы ищете.	Дополнение угла [латекс]40°[/латекс].
   Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления.	Пусть [latex]c=[/latex]мера дополнения.
   Шаг 4. Перевести. Напишите формулу, соответствующую ситуации, и замените ее в данной информации.	[латекс]м\угол А+м\угол В=90[/латекс]
   Шаг 5. Решите уравнение.	[латекс]с+40=90[/латекс] [латекс]с=50[/латекс]
   Шаг 6. Проверка: [латекс]50+40\stackrel{?}{=}90[/латекс] [латекс]90=90\четверка\галочка[/латекс]
   Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Дополнение угла [латекс]40°[/латекс] равно [латекс]50°[/латекс].

    

   попробуй 9\circ[/latex] больше, чем меньший угол. Найдите величину обоих углов.

   Показать решение

    

   попробуйте

   Как решать уравнения 1-й, 2-й и 3-й степени

   Содержание

   При изучении математики мы можем столкнуться с задачей решения различных типов уравнений, поэтому в этом посте мы увидим, как решать уравнения первой, второй и третьей степени.

   Возможные варианты решений

   Сначала нам нужно понять, какие есть возможные решения для решения уравнений, вот они:

   Определим как множество возможных решений уравнения.

   1-Нет решения: некоторые уравнения не имеют решения, т. е. для переменной нет значения, которое могло бы сделать уравнение проверенным или истинным. Вот пример:

   Мы упрощаем уравнение, умножая через круглые скобки, мы получаем

   и вычитая обе части, мы получаем 6 = 10, что неверно, и поэтому мы делаем вывод, что для этого уравнения нет решения. то есть пусто или .

   2- Уникальное решение: уравнения могут иметь единственное решение, которое их подтверждает, а это означает, что существует одно и только одно значение переменной, которое необходимо принять, чтобы сделать уравнение верным. Вот несколько примеров:

   Пример 1:

   вычитая 5 с обеих сторон, мы получаем

   и разделив на 3 обе стороны, мы получаем

   Вот это решение, которое мы ищем, и оно уникален. является единственным значением для того, чтобы уравнение было верным, .

   Пример 2:

   Вычитая из обеих частей, чтобы исключить правую часть уравнения, мы получаем

   и, добавляя 14 к обеим частям, мы получаем, разделив на 4, мы получаем, мы получаем одно и только одно значение для i.e.

   3- Несколько решений: уравнения могут иметь несколько решений, где есть несколько значений для проверки уравнения, вот пример этого:

   мы можем сделать умножение скобок и получить

   Используя факторизованную запись уравнения, чтобы правая часть была равна 0, одна из двух скобок должна равняться 0, и для этого у нас есть два случая:

   Либо вычитая 5, мы получаем, либо делим на 2 получаем

   или и прибавляя 3 к обеим сторонам получаем .

   Итак, у этого уравнения есть два возможных решения.

   4- Бесконечные решения: Уравнение с бесконечными решениями — это уравнение, всегда проверяемое независимо от значения , давайте посмотрим на следующий пример:

   упрощая обе стороны, мы получаем

   и затем

   вычитая из обеих сторон мы получаем .

   Путем упрощения уравнения мы получили, что оно всегда истинно, оно не зависит от значения , поэтому независимо от значения уравнения всегда истинно, и, поскольку оно имеет бесконечные возможные значения, у нас есть бесконечные решения для этого уравнение.

   Теперь, увидев различные варианты числа возможных решений, давайте посмотрим, как решать уравнения первой, второй и третьей степени.

   Решение уравнений первой степени

   Определение

   Мы называем уравнением первой степени каждое уравнение, записанное следующим образом: степень не находится в этой форме, но после упрощения она всегда заканчивается формой выше.

   Мы называем это уравнением первой степени из-за того, что переменная начинается до степени 1, и это самая высокая степень переменной в уравнении, что означает .

   Алгебраический метод

   Чтобы решить уравнение первой степени, мы сначала упрощаем его, если оно не упрощается, чтобы получить вид, а затем все, что нам нужно, это перевести b в другую сторону и разделить на a, т. е.

   и вот оно решение уравнения

   Пример:

   Упростим уравнение

   тогда получим вид

   и решение т.е.

   Геометрический метод

   Мы можем решить уравнение геометрически, рассматривая обе части уравнения как уравнение прямой линии, что означает, что левая часть является уравнением прямой, а правая часть — уравнением прямой.

   Затем мы можем провести обе линии в ортометрической плоскости, и мы нарисуем линию и линию, эквивалентную оси x (поскольку ось x — это линия с )

   (т. е. ) означает точку, где две линии пересекаются, поэтому, рисуя линию и беря место ее пересечения с осью x, мы получаем наше решение, и оно совпадает с алгебраическим методом.

   Пример:

   Давайте решим уравнение

   Мы нарисуем линию с помощью уравнения

   Мы выберем 2 значения и получим соответствующее значение, а затем нарисуем две точки на плоскости и нарисуем новую линию проходящей через две точки, а координата точки пересечения прямой и оси абсцисс является решением уравнения.

   Решение уравнений второй степени

   Определение

   Уравнением второй степени мы называем каждое уравнение стандартной формы с , действительные числа и отличные от нуля. Оно называется уравнением второй степени, потому что наибольшая степень в этом уравнении равна 2 (т.е. ).

   Разложение на умножение двух уравнений первой степени

   Метод решения уравнения второй степени состоит в том, чтобы записать его в виде умножения двух уравнений первой степени и решить путем нахождения решения двух уравнений первой степени.

   Как разложить уравнение второй степени на множители?

   Если мы рассмотрим уравнение второй степени, подобное следующему:

   Итак, чтобы перейти от правосторонней формы к левосторонней факторизованной форме, нам нужно выяснить значения и знать значение и из правосторонней формы . Давайте попробуем пример:

   Нам нужно разделить на 2, чтобы удалить множитель и получить форму

   , поэтому мы получаем:

   Теперь с этой формой мы знаем, что и .

   Итак, нам нужно найти два числа и что их сумма равна 10 и их произведение равно 21.

   У нас есть и 21 может быть записано как произведение как или , а так как должно равняться 10 у нас есть , значит значения и те, которые делают и .

   После этого все, что нам нужно сделать, это записать уравнение в виде .

   итак, получаем:

   Теперь решение простое, так как произведение двух первой степени равно нулю, то мы точно знаем, что либо первый член произведения равен нулю, либо второй равен к нулю, что означает либо или , мы решаем каждый член первой степени левой части, мы получаем:

   и, следовательно, мы имеем два решения уравнения второй степени , .

   Мы можем проверить, указав значение или , как показано ниже:

   Решение уравнения второй степени с использованием дискриминанта

   Дискриминантом уравнения назовем выражение , обычно оно обозначается буквой , т.е.

   В зависимости от знака дискриминанта мы можем определить количество и значение, если оно есть, из решений, и возможные случаи следующие:

   1- Если дискриминант строго положителен (), то уравнение имеет два различных решения, и решения таковы:

   .

   Пример:

   Определим решения уравнения:

   Вычислим:

   поэтому имеем

   Мы заключаем, что уравнение имеет два различных решения, и они следующие: 90 011

   2- Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один двойной корень, а это означает, что уравнение имеет два одинаковых решения, то есть одно повторяющееся (или удвоенное) решение. Решение дается следующим образом:

   Пример:

   Определим решения уравнения:

   вычисляя получаем:

      

   Делаем вывод, что уравнение имеет одно решение, и решение: ; .

   Причина, по которой мы называем это решение двойным корнем или повторным решением, состоит в том, что уравнение на самом деле может быть записано как произведение одного и того же полинома первой степени и, следовательно, одного и того же решения для двух полиномов первой степени.

   Если взять предыдущий пример, то имеем:

   3-Если дискриминант строго отрицательный (), то уравнение не имеет решений.

   Пример:

   Давайте решим уравнение

   вычислив, что получим: не брать квадратный корень из дельты, так как он отрицательный).

   Решение уравнения второй степени с использованием алгебраических тождеств

   В этом методе мы используем алгебраическое тождество

   ,

   , где переменная и действительное число.

   Чтобы решить уравнение, мы делаем следующие шаги:

   1- Делим обе части на , получаем: .

   2- Вычитаем с каждой стороны, получаем: .

   3- Добавляем значение (т.е. квадрат одной половины ) к обеим сторонам и получаем:

   .

   4- Теперь у нас левая часть записывается как Расширение алгебраического тождества, поэтому мы можем записать левую часть следующим образом:

   .

   5- Извлекаем корень из обеих частей и решаем полученное уравнение.

   Для лучшего объяснения воспользуемся этим методом на примере:

   Сначала делим на 3, получаем: .

   Во-вторых, вычитаем по 4 с обеих сторон, получаем: .

   В-третьих, прибавляем к обеим сторонам, получаем: .

   Упрощаем правую часть:

   ,

   ,

   .

   Далее, запишем левую часть как алгебраическое тождество, получим: .

   В-пятых, извлекаем квадратный корень из обеих частей, получаем: .

   В-шестых, вычитаем с обеих сторон, получаем: .

   Итак, у нас есть два решения уравнения второй степени, решения:

   .

   Решая геометрически

   мы можем построить график функции и найти какие значения с помощью графического программного обеспечения или графического калькулятора.

   Построив график функции , мы получим график, представляющий собой параболу, решение уравнения эквивалентно определению значения для точек пересечения графика с осью x. Есть три случая:

   • Во-первых, график пересекается с осью x в двух точках, что означает, что уравнения имеют два различных решения (соответствует случаю, когда ).
   • Во-вторых, график пересекается с осью x только в одной точке, а это означает, что уравнение имеет одно двойное решение (соответствует случаю, когда ).
   • В-третьих, график не пересекается с осью x, то есть уравнение не имеет решений (соответствует случаю, когда ).

   На следующем рисунке показаны три возможных случая:

   Решение уравнений третьей степени

   Определение

   Мы называем уравнением третьей степени или кубическим уравнением каждое уравнение в упрощенном виде имеет следующую стандартную форму:

   где , и — действительные числа, отличные от 0.

   Это уравнение называется уравнением третьей степени, потому что наибольшая степень в этом уравнении равна 3 (т.е. ).

   Решение уравнения третьей степени

   По числу возможных решений, в отличие от уравнений первой и второй степени, уравнение третьей степени имеет хотя бы одно решение. Алгебраически причина в том, что член с наибольшей степенью , т. е. зарастает остальными членами и стремится к бесконечности в обе стороны в зависимости от знака, а это означает, что при очень малых отрицательных значениях для () стремятся к , а при очень больших положительных значения для () стремятся (или наоборот, в зависимости от знака коэффициента при члене ), то есть при переходе от одной бесконечности к другой она хотя бы один раз проходила нулем.

   Возможны три случая: одно, два или три решения.

   Чтобы решить уравнение третьей степени, было бы полезно, если бы мы знали одно решение (или корень) для начала. Зная одно решение (помните, что каждое кубическое уравнение имеет по крайней мере одно решение), мы продолжаем разлагать уравнение третьей степени на множители в виде произведения полинома первой степени (используя известное нам решение) на полином второй степени. На данный момент мы не знаем коэффициентов многочлена второй степени, поэтому мы узнаем их значение, а затем решаем уравнение второй степени, и, следовательно, получаем решения уравнения третьей степени.

   Чтобы лучше понять, давайте попробуем решить это уравнение:

   зная, что это решение.

   Так как это решение, то левая часть уравнения третьей степени может быть представлена ​​как произведение полинома первой степени на полином второй степени, что означает, что мы можем записать уравнение в виде:

   Теперь нам нужно найти значения и , для этого воспользуемся первой развернутой формой полинома третьей степени, т. е.

   , развернув левую часть, получим:

   Так как обе стороны теперь имеют стандартную форму, нужно выяснить значения , и . Все, что нам нужно сделать, это приравнять каждый коэффициент слева к соответствующему коэффициенту справа, другими словами:

   • Во-первых, коэффициенты члена равны, т.е.
   • Во-вторых, коэффициенты при члене равны, т.е.
   • В-третьих, коэффициенты при члене равны, т.е.
   • В-четвертых, константы (коэффициенты члена , означающего действительное число без ) равны, т.е.

   Теперь определяем значения и :

   Итак, у нас есть

   и поэтому

   у нас есть , заменив a на 1, мы получим

   Таким образом, мы имеем значения , , .

   , поэтому факторизованная форма теперь выглядит следующим образом:

   Теперь все, что осталось, это решить уравнение второй степени

   , используя любой из методов, которые мы видели ранее, мы получаем два решения

   Таким образом, уравнение третьей степени имеет три различных решения, и уравнение можно записать в факторизованной форме

   .

   Как мы упоминали ранее, существует три возможных случая количества решений: одно, два или три решения, и, поскольку мы начинаем с известного решения, для определения количества решений используется полином второй степени, и оно выглядит следующим образом:

   • Если многочлен второй степени не имеет решения, то у нас есть только одно решение, с которого мы начали.
   • В случае, если многочлен второй степени имеет одно решение (удвоенный корень), то для уравнения третьей степени мы имеем всего два решения, то, с которого мы начали, и то, что из многочлена второй степени.
   • Если многочлен второй степени имеет два различных решения, то всего у нас есть три решения: то, с которого мы начали, и два решения из многочлена второй степени.

   Обратите внимание, что в случае, если константа в стандартной форме третьего уравнения равна нулю, это означает, что уравнение имеет форму

   мы знаем, что это решение, поскольку каждый член имеет

   , поэтому нам не нужно проходить весь процесс, чтобы определить коэффициенты второй степени, мы просто берем в качестве множителя и получаем нашу факторизованную форму следующим образом.

   с , а уже известны и определять их нет необходимости, поэтому приступим непосредственно к решению уравнения второй степени.

   Пример:

   давайте решим уравнение

   так как константы нет то берем множитель

   Мы знаем, что это решение, поэтому мы приступаем к решению уравнения второй степени

   , используя один из показанных методов, прежде чем получим два решения или .

   Мы заключаем, что уравнение имеет три решения, и факторизованная форма .

   решение геометрически

   Геометрически, причина, по которой уравнение третьей степени имеет хотя бы одно решение, состоит в том, что график проходит от к или наоборот (от к ), и поэтому мы уверены, что график пересекается с осью x по крайней мере один раз.

   Чтобы решить уравнение третьей степени, мы можем построить график функции и найти ее значения с помощью графического программного обеспечения или графического калькулятора.

   Решение уравнения эквивалентно определению значения для точки пересечения графика и оси x.