Системы уравнений с параметром
1. Системы линейных уравнений с параметром
Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.
Пример 1.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.
{х + (а2 – 3)у = а,
{х + у = 2.
Решение.
Рассмотрим несколько способов решения данного задания.
1 способ. Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а1 = b/b1 ≠ c/c1). Тогда имеем:
1/1 = (а
{а2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.
Из первого уравнения а2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.
Ответ: а = -2.
2 способ. Решаем методом подстановки.
{2 – у + (а2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,
или
{(а2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.
После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:
{(а2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.
Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть
{а2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.
Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.
Ответ: а = -2.
Пример 2.
Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.
{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.
Решение.
По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а1 = b/b1 = c/c1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.
Ответ: а = 4.
2. Системы рациональных уравнений с параметром
Пример 3.
Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.
{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.
Решение.
Умножим первое уравнение системы на 2:
{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.
Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).
Ответ: а = 4.
Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.
{х + у = а,
{у – х2 = 1.
Решение.
Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1). Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:
1,25 = 0,5 + а;
а = 0,75.
Ответ: а = 0,75.
Пример 5.
Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.
Решение.
Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:
{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.
Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:
ах + а2х – а2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;
а2х + 3ах = 2 + а
Квадратный трехчлен а2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок
(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:
(а2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).
Очевидно, что а2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,
а2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.
Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.
Пример 6.
Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.
{х2 + у2 = 9,
{у – |х| = а.
Решение.
Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы
х2 + у2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.
Ответ: а = 3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Решение неравенств онлайн
Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения.
Не важно каким является неравенство – строгим () или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).
Поясним что означает решить неравенство?
После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!
Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?
Как решать неравенства?
Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.
Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.
Можно сказать на этом полдела сделано. Далее, взяв любую точку на каждом интервале, осталось определить выполняется ли само неравенство? Если выполняется, то он входит в решение неравенства. Ели нет, то пропускаем его.
Как правильно записывать решение неравенства?
Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?
Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.
Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.
Важный момент
Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.
Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.
А у неравенства |x|
Для чего нужен калькулятор неравенств?
Калькулятор неравенств выдает правильный итоговый ответ. При этом в большинстве случаев приводится иллюстрация числовой оси или плоскости. Видно, входят ли границы интервалов в решение или нет – точки отображаются закрашенными или проколотыми.
Благодаря онлайн калькулятору неравенств можно проверить правильно ли вы нашли корни уравнения, отметили их на числовой оси и проверили на интервалах (и границах) выполнение условия неравенства?
Если ваш ответ расходится с ответом калькулятора, то однозначно нужно перепроверить свое решение и выявить допущенную ошибку.
ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (варианты № 31 и № 32)
ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 31)
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
((а -1)х2 + 3х)2-2((а-1)х2 + 3х) + 1-а2 = 0
имеет ровно два решения.
Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений, преобразуем данное выражение к виду:
((а-1)х2 + 3х-1)2-а2 = 0. Применим формулу разности квадратов двух выражений и разложим левую часть на множители:
((а-1)х2 + 3х-1-а)((а-1)х2 + 3х-1 + а) = 0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные при этом значении не теряют смысла.
(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 или (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0.
1) (а-1)х2 + 3х-1-а = 0. Найдём дискриминант.
D = 32-4 ∙ (a-1) ∙ (-1-a) = 9 + 4 ∙ (a-1) ∙ (1 + a) = 9 + 4 ∙ (a2-1) = 9 + 4a2-4 = 5 + 4a2 > 0 при любом значении а, следовательно, уравнение
(а-1)х2 + 3х-1-а = 0 имеет два действительных корня.
2) (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0. Найдём дискриминант.
D = 32-4 ∙ (a-1) ∙ (-1 + a) = 9 + 4 ∙ (a-1)2 = 9-4 ∙ (a2-2а + 1) = 9-4a2 + 8а-4 = -4а2 + 8а + 5. Если и этот дискриминант будет больше нуля, то мы получим к уже имеющимся двум действительным корням ещё два. Но если этот дискриминант будет меньше нуля, то новых корней не будет. Найдём значения а, при которых дискриминант был меньше нуля. Решим неравенство:
-4а2 + 8а + 5 < 0 → 4а2-8а-5 > 0. Решаем уравнение 4а2-8а-5 = 0. Второй коэффициент – чётный, поэтому, находим
D1 = — ac = 42— 4 ∙ (-5) = 16 + 20 = 36 = 62 > 0; два действительных корня.
Неравенство 4а2-8а-5 > 0 будет верным при а ∈ (-∞ ; а1) (a2; +∞ ), т.е. при
а ∈ (-∞ ; -0,5) (2,5; +∞ ). Итак, при этом условии уравнение (а-1)х2 + 3х-1 + а = 0 не будет иметь действительных корней, и данное в условии уравнение будет иметь ровно два решения.
Ответ: а∈ (- ∞; -0,5) (2,5; +∞ ).
ЕГЭ-2016 ФИПИ, задача 18 (вариант № 32)
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства
Решение. Преобразуем данное неравенство к виду:
Приведём левую часть к общему знаменателю.
Так как -1 ≤ cos4x ≤ 1, то знаменатель дроби при любом значении а положителен, поэтому равенство будет верным, если числитель окажется меньшим нуля. Решаем неравенство:
a-(a2-2a)cos2x + 2-3 + cos4x-a2 < 0. Применим формулу: 1 + cos2α = 2cos2α, тогда cos4x = 2cos22х-1. Получаем неравенство:
a-(a2-2a)cos2x + 2-3 + 2cos22х-1-a2 < 0;
2cos22x-(a2-2a)cos2x-(а2-а + 2) < 0. Это квадратное уравнение относительно переменной cos2x. Сделаем замену: cos2x = z. Получаем:
2z2-(a2-2a)z-(а2-а + 2) < 0. ( * )
Проиллюстрируем последнее утверждение – рассмотрим график функции y = cos2x на промежутке
Неравенство ( * ) должно выполняться и при z =-1 и при z = 1. Искомыми будут являться те значения параметра а, при которых неравенство ( * ) будет выполнено.
1) z =-1.
2 ∙ (-1)2-(a2-2a) ∙ (-1)-(а2 — а + 2) < 0;
2 + а2-2а-а2 + а-2 < 0 → -а < 0 → а > 0.
2) z = 1.
2 ∙ 12-(a2-2a) ∙ 1-(а2-а + 2) < 0;
2-а2 + 2а-а2 + а-2 < 0 → -2а2 + 3a < 0 → 2а2-3a > 0 → a(2a-3) > 0.
Общее решение: а ∈ (1,5; + ∞). Ответ: а > 1,5.
Что значит упростить выражение
Когда говорят упростить выражение, подразумевают конкретные математические действия с этим выражением, в результате чего оно примет иной вид.
Такими действиями могут быть раскрытие скобок, внесение и вынесение множителя за скобку, деление (сокращение), умножение, возведение в степень, приведение дробей к общему знаменателю и много других операций.
При этом часто используют формулы сокращенного умножения и теоремы, а в тригонометрии от простых формул приведения до самых сложных тригонометрических выражений.
Чем старше школьник, тем больше формул он знает и обладает богатым арсеналом математических действий.
В чем смысл таких действий
Задачи на упрощение выражений встречаются с самых младших классов. Дети сами того не осознавая, учатся шевелить мозгами в нужном направлении, чтобы преобразовать одно выражение в другое.
Разумеется, все задания составляются таким образом, что в любом случае они приводятся к более простому виду или подходящему для дальнейших операций.
Однако, при таком подходе теряется общий смысл поставленной задачи.
Когда ученик слышит, что надо что-то упростить, то машинально начинает перебирать всевозможные математические действия в голове, не задаваясь вопросом, а для чего упрощать?
Приведем наглядный пример
Допустим, сказано упростить выражение (a+b)2. В этом случае абсолютно каждый нормальный школьник раскроет скобки и будет доволен самим собой. Без сарказма это действительно так и это нормально.
Но вот другая постановка задачи: упростите выражение (a+b)2, затем подставьте следующие числовые значения a=⅔, b=⅓ и запишите получившееся число.
Кто теперь скажет, что раскрыть скобки, затем подставить a=⅔ и b=⅓, а затем вычислить ответ, это легче, чем сразу найти a+b=⅔+⅓=1? После этого возводи единицу хоть в сотую степень!
Заключение
Итак, главная цель задач на упрощение выражений в том, чтобы научить вас применять те или иные математические действия над выражениями.
Это обязательно нужно уметь делать. Но более важная проблема в том, чтобы научиться применять необходимые действия в нужный момент и воспользоваться результатом преобразования.
Благо есть онлайн калькуляторы упрощения выражений, например, такой как наш, с помощью которого можно проверить свои вычислительные результаты.
Желаем успехов!
90000 ВІДПОВІДІ (ГДЗ англійська мова) SOLUTIONS Elementary Workbook and Student’s Book (third edition, 2nd edition Ukraine) by Tim Falla, Paul A Davies »Допомога учням 90001 90002 90003 Unit 1 90004 90005 90002 90003 Сторінка 4,5 90004 IA, IB 90005 90002 90003 Cторінка 6,7 90004 IC, ID 90005 90002 90003 Сторінка 8,9,10 90004 ІA, 1B 90005 90002 90003 Сторінка 11,12 90004 1C 1D 90005 90002 90003 Сторінка 13,14,15 90004 ІE, 1F 90005 90002 90003 Сторінка 16,17 90004 1G 1H 90005 90002 90003 Unit 2 90004 90005 90002 90003 Сторінка 18,19,20 90004 2A, 2B 90005 90002 90003 Сторінка 21,22 90004 2C, 2D 90041 90003 Сторінка 23,24,25 90004 2E 2F 90005 90002 90003 Сторінка 26,27 90004 2G 2H 90005 90002 90003 Сторінка 90004 90003 28, 29.90004 Exam … 90041 90003 Unit 3 90004 90041 90003 Cторінка 30,31,32. 90004 3A, 3B 90005 90002 90003 Сторінка 33,34. 90004 3C, 3D 90005 90002 90003 Сторінка 35,36,37. 3E, 3F 90004 90041 90003 Сторінка 38,39. 90004 3G, 3H 90005 90002 90003 Unit 4 90004 90005 90002 90003 Сторінка 40,41,42. 90004 4A, 4B 90005 90002 90003 Сторінка 43,44. 90004 4С, 4D 90041 90003 Сторінка 45,46,47. 90004 4E, 4F 90041 90003 Сторінка 48,49.90004 4G, 4H 90005 90002 90003 Сторінка 90004 90003 50,51. 90004 Exam … 90041 90003 Unit 5 90004 90041 90003 Сторінка 52,53,54. 90004 5A, 5B 90005 90002 90003 Сторінка 55,56. 90004 5C, 5D 90041 90003 Сторінка 57,58,59. 90004 5E, 5F 90005 90002 90003 Сторінка 60,61. 90004 5G, 5H 90005 90002 90003 Unit 6 90004 90041 90003 Сторінка 62,63,64 90004. 6A, 6B 90005 90002 90003 Сторінка 65,66. 90004 BC, BD 90041 90003 Сторінка 67,68,69.90004 6E, 6F 90041 90003 Сторінка 70,71. 90004 6G, 6H 90005 90002 90003 Сторінка 90004 90003 72,73. 90004 Exam … 90005 90002 90003 Unit 7 90004 90041 90003 Сторінка 74,75,76. 90004 7A, 7B 90005 90002 90003 Сторінка 77,78. 90004 7C, 7D 90041 90003 Сторінка 79,80,81. 90004 7E 7F 90041 90003 Сторінка 82,83. 90004 7G, 7H 90005 90002 90003 Unit 8 90004 90041 90003 Сторінка 84,85,86. 90004 8A, 8B 90005 90002 90003 Сторінка 87,88.90004 8C, 8D 90041 90003 Сторінка 89,90,91. 90004 8E, 8F 90041 90003 Сторінка 92,93. 90004 8G, 8H 90005 90002 90003 Сторінка 90004 90003 94,95. 90004 Exam … 90005 90002 90003 Unit 9 90004 90041 90003 Сторінка 96,97,98. 90004 9A, 9B 90041 90005 90002 90003 Сторінка 99,100. 90004 9C, 9D 90041 90003 Сторінка 101,102,103 90004 90003. 90004 9E, 9F 90041 90005 90002 90003 Сторінка 104,105 90004 90003. 90004 9G, 9H 90041 90005 90002 90003 Сторінка 90004 90003 106,107.90004 Exam … 90005 90002 90003 Сторінка 108,109,110. 90004 90005 90002 90003 Сторінка 111,112,113. 90004 90005 90002 90003 Сторінка 114,115,116. 90004 90005 90002 90003 Сторінка 117, 90004 Unit 1 90005 90002 90003 Сторінка 118, 90004 Unit 2, Unit 3 90005 90002 90003 Сторінка 119. 90004 Unit 4, Unit 5 90005 90002 90003 Сторінка 120. 90004 Unit 6, Unit 7 90005 90002 90003 Сторінка 121. 90004 Unit 8, Unit 9 90005 90002 90003 Сторінка 122.90004 Grammar I 90005 90002 90003 90003 Сторінка 124. 90004 90004 Grammar 1 90005 90002 90003 90003 Сторінка 126. 90004 90004 Grammar 2 90005 90002 90003 Сторінка 128. 90004 Grammar 3 90005 90002 90003 90003 Сторінка 130. 90004 90004 Grammar 4 90005 90002 90003 Сторінка 132. 90004 Grammar 5 90005 90002 90003 Сторінка 134. 90004 Grammar 6 90005 90002 90003 90003 Сторінка 136. 90004 90004 Grammar 7 90005 90002 90003 Сторінка 138.90004 Grammar 8 90005 90002 90003 Сторінка 140. 90004 Grammar 9 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 90002 90005 .90000 90001 ВІДПОВІДІ / ГДЗ SOLUTIONS PreIntermediate Workbook (third edition, 2nd edition Ukraine) by Tim Falla, Paul A Davies »Допомога учням 90002 90003 90004 90005 UNIT I. Introduction 90006 90007 90004 90005 Сторінка 4. 90006 ІA Likes snd dislikes 90005 90012 90006 90005 Сторінка 5. 90006 ІВ 90007 90004 90005 Сторінка 90006 90005 6. 90006 ІC 90012 90005 Cторінка 7. 90006 ІD 90007 90004 90005 Сторінка 8. 90006 1A Feelings 90012 90005 Cторінка 9.90006 1B 90012 90005 Сторінка 10. 90006 1C 90007 90004 90005 Сторінка 11. 90006 1D 90007 90004 90005 Сторінка 12-13. 90006 1E, 1F 90007 90004 90005 Сторінка 14, 15. 90006 1G, 1H 90007 90004 90005 Сторінка 16-17. 90006 Review Unit 1 90007 90004 90005 Сторінка 18-19. 90006 Exam Unit 1 90007 90004 90005 Unit 2. Adventure 90006 90012 90005 Сторінка 20. 90006 2A 90012 90005 Сторінка 21. 90006 2B 90012 90005 Cторінка 22. 90006 2C 90012 90005 Сторінка 23-24.90006 2D, 2E 90012 90005 Cторінка 25-27. 90006 2F, 2G, 2F 90007 90004 90005 Сторінка 28, 29. 90006 Review Unit 2 90007 90004 90005 Unit 3 On Screen 90006 90012 90005 Cторінка 30. 90006 3A 90012 90005 Сторінка 31. 90006 3B 90012 90005 Сторінка 32. 90006 3C 90012 90005 Сторінка 33. 90006 3D 90012 90005 Сторінка 34-35. 90006 3E, 3F 90012 90005 Cторінка 36-37, 90006 3G, 3H 90007 90004 90005 Сторінка 38, 39. 90006 Review Unit 3 90007 90004 90005 Сторінка 40, 41.90006 Exam Unit 3 90007 90004 90005 Unit 4 Our planet 90006 90012 90005 Сторінка 42. 90006 4A 90012 90005 Сторінка 43. 90006 4B 90012 90005 Сторінка 44. 90006 4C 90012 90005 Сторінка 45. 90006 4D 90012 90005 Сторінка 46-47. 90006 4E, 4F 90012 90005 Сторінка 48-49. 90006 4G, 4H 90007 90004 90005 Сторінка 50, 51. 90006 Review Unit 4 90007 90004 90005 Unit 5 Ambition 90006 90005 90006 90012 90005 Сторінка 52. 90006 5A 90012 90005 Сторінка 53.90006 5B 90012 90005 Сторінка 54. 90006 5C 90012 90005 Сторінка 55. 90006 5D 90007 90004 90005 Сторінка 56-57. 90006 5E, 5F 90007 90004 90005 Сторінка 90006 90005 58-59. 90006 5G, 5H 90007 90004 90005 Сторінка 60, 61. 90006 Review Unit 5 90007 90004 90005 Сторінка 62, 63. 90006 Exam Unit 5 90007 90004 90005 Unit 6 Tourism 90006 90012 90005 Сторінка 64 90006. 6A 90012 90005 Сторінка 65. 90006 6B 90012 90005 Сторінка 66. 90006 6C 90007 90004 90005 Сторінка 67.90006 6D 90012 90005 Сторінка 68-69. 90006 6E, 6F 90012 90007 90004 90005 Сторінка 90006 90005 70-71. 90006 6G, 6H 90007 90004 90005 Сторінка 72, 73. 90006 Review Unit 6 90007 90004 90005 Unit 7 Money 90006 90012 90005 Сторінка 74. 90006 7A 90012 90005 Сторінка 75. 90006 7B 90012 90005 Сторінка 76. 90006 7C 90012 90005 Сторінка 77. 90006 7D 90007 90004 90005 Сторінка 78-79. 90006 7E, 7F 90005 90012 90006 90007 90004 90005 Сторінка 90006 90005 80-81.90006 7G, 7H 90007 90004 90005 Сторінка 82, 83. 90006 Review Unit 7 90007 90004 90005 Сторінка 84, 85. 90006 Exam Unit 7 90012 90005 Unit 8 Crime 90006 90012 90005 Сторінка 86. 90006 8A 90012 90005 Сторінка 87. 90006 8B 90012 90005 Сторінка 88. 90006 8C 90012 90005 Сторінка 89. 90006 8D 90012 90005 Сторінка 90 91. 90006 8E, 8F 90007 90004 90005 Сторінка 92-93. 90006 8G, 8H 90007 90004 90005 Сторінка 94, 95. 90006 Review Unit 8 90007 90004 90005 Unit 9 Science 90006 90012 90005 Сторінка 96.90006 9A 90012 90005 Сторінка 97. 90006 9B 90007 90004 90005 Сторінка 98. 90006 9C 90007 90004 90005 Ст 90006 90005 орінка 99. 90006 9D 90012 90005 Сторінка 100-101. 90006 9E, 9F 90012 90005 Сторінка 102-103 90006 9G, 9H 90007 90004 90005 Сторінка 104-105. 90006 Review Unit 9 90007 90004 90005 Сторінка 106-107. 90006 Exam Unit 9 90007 90004 90005 Сторінка 108-111. 90006 Cumulative Review 1, 2 90007 90004 90005 Сторінка 112-115. 90006 Cumulative Review 3, 4 90007 90004 90005 Сторінка 116, 117.90006 Cumulative Review 5 90007 90311 90003 90004 90005 UNIT 1 90006 90007 90004 90005 Сторінка 4,5. 90006 IA, IB 90007 90004 90005 Сторінка 6,7. 90006 IC, ID 90007 90004 90005 Сторінка 8, 9, 10. 90006 1A, 1B 90007 90004 90005 Сторінка 11, 12. 90006 1C, 1D 90007 90004 90005 Сторінка 13, 14. 90006 1E, 1F 90007 90004 90005 Сторінка 16, 17. 90006 1 G, 1H 90007 90004 90005 UNIT 2 90006 90007 90004 90005 Сторінка 18, 19, 20.90006 2A, 2B 90007 90004 90005 Сторінка 21, 22. 90006 2C, 2D 90007 90004 90005 Сторінка 23, 24, 25. 90006 2E, 2F 90007 90004 90005 Сторінка 26, 27. 90006 2G, 2H 90007 90004 90005 Сторінка 28, 29. 90006 Exam … 90007 90004 90005 UNIT 3 90006 90007 90004 90005 Сторінка 30, 31, 32. 90006 3A, 3B 90007 90004 90005 Сторінка 33, 34. 90006 3C, 3D 90007 90004 90005 Сторінка 35, 36, 37. 90006 3E, 3F 90007 90004 90005 Сторінка 38, 39.90006 3G, 3H 90007 90004 90005 UNIT 4 90006 90007 90004 90005 Сторінка 40, 41, 42. 90006 4A, 4B 90007 90004 90005 Сторінка 43, 44. 90006 4C, 4D 90007 90004 90005 Сторінка 45, 46, 47. 90006 4E, 4F 90007 90004 90005 Сторінка 48, 49. 90006 4G, 4H 90007 90004 90005 Сторінка 50, 51. 90006 Exam … 90007 90004 90005 UNIT 5 90006 90007 90004 90005 Сторінка 52, 53, 54. 90006 5A, 5B 90007 90004 90005 Сторінка 55, 56. 90006 5C, 5D 90007 90004 90005 Сторінка 57, 58, 59.90006 5E, 5F 90007 90004 90005 Сторінка 60, 61. 90006 5G, 5H 90007 90004 90005 UNIT 6 90006 90007 90004 90005 Сторінка 62, 63, 64. 90006 6A, 6B 90007 90004 90005 Сторінка 65, 66. 90006 6C, 6D 90007 90004 90005 Сторінка 67, 68, 69. 90006 6E, 6F 90007 90004 90005 Сторінка 70, 71. 90006 6G, 6H 90007 90004 90005 Сторінка 72, 73. 90006 Exam … 90007 90004 90005 UNIT 7 90006 90007 90004 90005 Сторінка 74, 75, 76. 90006 7A, 7B 90007 90004 90005 Сторінка 77, 78.90006 7C, 7D 90007 90004 90005 Сторінка 79, 80, 81. 90006 7E, 7F 90007 90004 90005 Сторінка 82, 83. 90006 7G, 7H 90007 90004 90005 UNIT 8 90006 90007 90004 90005 Сторінка 84, 85, 86. 90006 8A, 8B 90007 90004 90005 Сторінка 87, 88. 90006 8C, 8D 90007 90004 90005 Сторінка 89, 90, 91. 90006 8E, 8F 90007 90004 90005 Сторінка 92, 93. 90006 8G, 8H 90007 90004 90005 Сторінка 94, 95. 90006 Exam … 90007 90004 90005 UNIT 9 90006 90007 90004 90005 Сторінка 96, 97, 98.90006 9A, 9B 90007 90004 90005 Сторінка 99, 100. 90006 9C, 9D 90007 90004 90005 Сторінка 101, 102, 103. 90006 9E, 9F 90007 90004 90005 Сторінка 104, 105. 90006 9G, 9H 90007 90004 90005 Сторінка 106, 107. 90006 Exam … 90007 90004 90005 Сторінка 108,109,110. 90006 90007 90004 90005 90005 Сторінка 111,112,113. 90006 90006 90007 90004 90005 Сторінка 114,115,116. 90006 90007 90004 90005 Сторінка 117, 90006 Unit 1 90007 90004 90005 Сторінка 118, 90006 Unit 2, Unit 3 90007 90004 90005 Сторінка 119.90006 Unit 4, Unit 5 90007 90004 90005 Сторінка 120. 90006 Unit 6, Unit 7 90007 90004 90005 Сторінка 121. 90006 Unit 8, Unit 9 90007 90004 90005 Сторінка 122. 90006 Grammar I 90007 90004 90005 90005 Сторінка 124. 90006 90006 Grammar 1 90007 90004 90005 90005 Сторінка 126. 90006 90006 Grammar 2 90007 90004 90005 Сторінка 128. 90006 Grammar 3 90007 90004 90005 90005 Сторінка 130. 90006 90006 Grammar 4 90007 90004 90005 Сторінка 132.90006 Grammar 5 90007 90004 90005 Сторінка 134. 90006 Grammar 6 90007 90004 90005 90005 Сторінка 136. 90006 90006 Grammar 7 90007 90004 90005 90005 Сторінка 138. 90006 90006 Grammar 8 90007 90004 90005 Сторінка 140. 90006 Grammar 9 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90004 90005 90006 90007 90311 90658.90000 90001 ВІДПОВІДІ / ГДЗ SOLUTIONS Intermediate Workbook (2nd and 3rd editions Ukraine) by Jane Hudson, Tim Falla, Paul A Davies »Допомога учням 90002 90003 90004 90005 Unit 1 90006 90007 90004 90005 Сторінка 4. 90006 ІA 90005 90012 90006 90005 Сторінка 5. 90006 ІВ 90007 90004 90005 Сторінка 90006 90005 6. 90006 ІC 90012 90005 Cторінка 7. 90006 ІD 90007 90004 90005 Сторінка 8. 90006 1E 90012 90005 Cторінка 9. 90006 1F 90012 90005 Сторінка 10, 11.90006 1G 90007 90004 90005 Unit 2. 90006 90012 90005 Сторінка 12. 90006 2A 90012 90005 Сторінка 13. 90006 2B 90012 90005 Cторінка 14. 90006 2C 90012 90005 Сторінка 15. 90006 2D 90012 90005 Сторінка 16. 90006 2E 90012 90005 Cторінка 17. 90006 2F 90012 90005 Сторінка 18. 90006 2G 90007 90004 90005 Сторінка 19, 20, 21. 90006 Self … 90012 90005 Unit 3 90006 90012 90005 Cторінка 22. 90006 3A 90012 90005 Сторінка 23. 90006 3B 90012 90005 Сторінка 24.90006 3C 90012 90005 Сторінка 25. 90006 3D 90012 90005 Сторінка 26. 90006 3E 90012 90005 Cторінка 27. 90006 3F 90012 90005 Cторінка 28, 29. 90006 3G, Self … 90007 90004 90005 Unit 4 90006 90012 90005 Сторінка 30. 90006 4A 90012 90005 Сторінка 31. 90006 4B 90012 90005 Сторінка 32. 90006 4C 90012 90005 Сторінка 33. 90006 4D 90012 90005 Сторінка 34. 90006 4E 90012 90005 Сторінка 35. 90006 4F At the doctor’s 90012 90005 Сторінка 36, 37, 38, 39. 90006 4G, Self… 90007 90004 90005 Unit 5 90006 90012 90005 Сторінка 40. 90006 5A 90012 90005 Сторінка 41. 90006 5B 90012 90005 Сторінка 42. 90006 5C 90012 90005 Сторінка 43. 90006 5D 90007 90004 90005 Сторінка 44. 90006 5E 90007 90004 90005 Сторінка 45. 90006 5F 90007 90004 90005 Сторінка 90006 90005 46, 47. 90006 5G, Self … 90007 90004 90005 Unit 6 90006 90012 90005 Сторінка 48 90006. 6A 90012 90005 Сторінка 49. 90006 6B 90012 90005 Сторінка 50.90006 6C 90007 90004 90005 Сторінка 51. 90006 6D 90012 90005 Сторінка 52. 90006 6E 90012 90005 Сторінка 53. 90006 6F 90007 90004 90005 Сторінка 90006 90005 54, 55, 56, 57. 90006 6G, Self … 90012 90007 90004 90005 Unit 7 90006 90012 90005 Сторінка 58. 90006 7A 90012 90005 Сторінка 59. 90006 7B 90012 90005 Сторінка 60. 90006 7C 90012 90005 Сторінка 61. 90006 7D 90007 90004 90005 Сторінка 62. 90006 7E 90012 90005 Сторінка 63. 90006 7F 90007 90004 90005 Сторінка 90006 90005 64, 65.90006 7G 90005, 90006 Self … 90012 90005 Unit 8 90006 90012 90005 Сторінка 66. 90006 8A 90012 90005 Сторінка 67. 90006 8B 90012 90005 Сторінка 68. 90006 8C 90012 90005 Сторінка 69. 90006 8D 90012 90005 Сторінка 70. 90006 8E 90007 90004 90005 Сторінка 71. 90006 8F 90012 90005 Сторінка 72, 73,74, 75. 90006 8G, Self … 90007 90004 90005 Unit 9 90006 90012 90005 Сторінка 76. 90006 9A 90012 90005 Сторінка 77. 90006 9B 90012 90007 90004 90005 Сторінка 78.90006 9C 90012 90007 90004 90005 Ст 90006 90005 орінка 79. 90006 9D 90012 90005 Сторінка 80. 90006 9E 90012 90005 Сторінка 81. 90006 9F 90012 90005 Сторінка 82, 83. 90006 9G, Self … 90012 90005 Unit 10 90006 90012 90005 Сторінка 84. 90006 10A 90012 90005 Сторінка 85. 90006 10B 90012 90007 90004 90005 Сторінка 86. 90006 10C 90012 90005 Сторінка 87. 90006 10D 90007 90004 90005 Сторінка 88. 90006 10E 90012 90005 Сторінка 89. 90006 10F 90012 90007 90004 90005 Сторінка 90, 91, 92, 93.90006 10G 90005, 90006 Self … 90007 90004 90005 Сторінка 94, 95, 96, 97. 90006 10G 90005, 90006 Get … 90007 90004 90005 Сторінка 98, 99, 100, 101, 102. 90006 Review … 90007 90302 90003 90004 90005 Unit 1 90006 90007 90004 90005 Сторінка 4,5,6,7. 90006 ІA, 1B 1C 1D 90005 90012 90006 90005 Сторінка 8,10,11. 90006 ІE IF IG 90007 90004 90005 Сторінка 90006 90005 12,13. 90006 Get … 90012 90005 Unit 2 90006 90007 90004 90005 Сторінка 14,15,16.90006 2A, 2B, 2C 90012 90005 Сторінка 17,18,19,21. 90006 2D 2E 2F 2G 90012 90005 Cторінка 22,23. 90006 Language … 90012 90005 Unit 3 90006 90012 90005 Cторінка 24,25,26. 90006 3A, 3B, 3C 90012 90005 Сторінка 27,28,30,31. 90006 3D, 3E, 3F 90012 90005 Сторінка 32,33. 90006 3G 90012 90005 Unit 4 90006 90007 90004 90005 Сторінка 34,35,36,37. 90006 4A, 4B, 4C, 4D 90012 90005 Сторінка 38,39,40. 90006 4E, 4F 90012 90005 Сторінка 41,42,43. 90006 4G, Review… 90012 90005 Unit 5 90006 90012 90005 Сторінка 44,45,46. 90006 5A, 5B, 5C 90012 90005 Сторінка 47,48,49. 90006 5D, 5E, 5F 90012 90005 Сторінка 51,52,53. 90006 5G 90007 90004 90005 Unit 6 90006 90012 90005 Сторінка 54,55,56 90006. 6A, 6B, 6C 90012 90005 Сторінка 57,58,59,60. 90006 6D, 6E, 6F 90012 90005 Сторінка 61,62,63. 90006 6G 90007 90004 90005 Unit 7 90006 90012 90005 Сторінка 64,65,66. 90006 7A, 7B, 7C 90012 90005 Сторінка 67,68,69,70.90006 7D 7E 7F 90012 90005 Сторінка 71,72,73. 90006 7G 90012 90005 Unit 8 90006 90012 90005 Сторінка 74,75,76. 90006 8A, 8B, 8C 90012 90005 Сторінка 77,78,79.80 90006 8D, 8E, 8F 90012 90005 Сторінка 81,82,83. 90006 8G 90007 90004 90005 Unit 9 90006 90012 90005 Сторінка 84,85,86. 90006 9A, 9B, 9C 90012 90005 Сторінка 87,88,89 90006 90005. 90006 9D, 9E, 9F 90012 90007 90004 90005 Сторінка 90,91,92,93 90006 90005. 90006 9G 90012 90007 90004 90005 Unit 10 90006 90012 90005 Сторінка 94,95,96.90006 10A, 10D, 10C 90012 90005 Сторінка 97,98,99. 90006 10D, 10E 90012 90007 90004 90005 Сторінка 100,101,102, 103. 90006 10F, 10G 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90004 90007 90302 90533.90000 Small Business ERP | ERP Software for Small & Medium Business 90001 90002 First name * 90003 90002 Last name * 90003 90002 Job position * -Choose your positionCEO / President / General Manager / OwnerIT — CTO / CIO / IT VP / Dir / ExecIT — Professional / ManagerOperations — COO / VP / Dir / ExecOperations — Professional / ManagerSales — CSO / VP / Dir / ExecSales — Professional / ManagerProduction — Head / DirProduction — Professional / ManagerProject — HeadProject — Professional / ManagerFinance — CFO / VP / Dir / ExecFinance — Professional / ManagerProcurement — Head / DirProcurement — Professional / ManagerHead of ProductDevelopment — Head / DirDevelopment — Professional / ManagerDevelopment — DeveloperOther 90003 90002 Company * 90003 90002 Country * _Choose your countryAfghanistanAland IslandsAlbaniaAlgeriaAmerican SamoaAndorraAngolaAnguillaAntarcticaAntigua and BarbudaArgentinaArmeniaArubaAustraliaAustriaAzerbaijanBahamasBahrainBangladeshBarbadosBelarusBelgiumBelizeBeninBermudaBhutanBoliviaBonaire, Sint Eustatius and SabaBosnia and HerzegovinaBotswanaBouvet IslandBrazilBritish Indian Ocean TerritoryBrunei DarussalamBulgariaBurkina FasoBurundiCambodiaCameroonCanadaCabo VerdeCayman IslandsCentral African RepublicChadChileChinaChristmas IslandCocos (Keeling) IslandsColombiaComorosCongoCongo, the democratic republic of theCook IslandsCosta RicaCote d’IvoireCroatiaCubaCuracaoCyprusCzech RepublicDenmarkDjiboutiDominicaDominican RepublicEcuadorEgyptEl SalvadorEquatorial GuineaEritreaEstoniaEthiopiaFalkland Islands (Malvinas) Faroe IslandsFijiFinlandFranceFrench GuianaFrench PolynesiaFrench Southern TerritoriesGabonGambiaGeorgiaGermanyGhanaGibraltarGreeceGreenlandGrenadaGuadeloupeGuamGuatemalaGuernseyGuineaGuinea-bissauGuyanaHaitiHeard Is land and Mcdonald IslandsHondurasHong KongHungaryIcelandIndiaIndonesiaIran, Islamic republic ofIraqIrelandIsle of manIsraelItalyJamaicaJapanJerseyJordanKazakhstanKenyaKiribatiKorea, democratic people’s republic ofKorea, republic ofKuwaitKyrgyzstanLao people’s democratic republicLatviaLebanonLesothoLiberiaLibyaLiechtensteinLithuaniaLuxembourgMacaoMacedonia, the former yugoslav republic ofMadagascarMalawiMalaysiaMaldivesMaliMaltaMarshall IslandsMartiniqueMauritaniaMauritiusMayotteMexicoMicronesia, federated states ofMoldova, republic ofMonacoMongoliaMontenegroMontserratMoroccoMozambiqueMyanmarNamibiaNauruNepalNetherlandsNetherlands AntillesNew CaledoniaNew ZealandNicaraguaNigerNigeriaNiueNorfolk IslandNorthern Mariana IslandsNorwayOmanPakistanPalauPalestine, State ofPanamaPapua New GuineaParaguayPeruPhilippinesPitcairnPolandPortugalPuerto RicoQatarReunionRomaniaRussian FederationRwandaSaint BarthelemySaint Helena, Ascension and Tristan da CunhaSaint Kitts and NevisSaint LuciaSaint Martin Saint Pierre and MiquelonSaint Vincent and the GrenadinesSamoaSan MarinoSao Tome and PrincipeSaudi ArabiaSenegalSerbiaSeychellesSierra LeoneSingaporeSint MaartenSlovakiaSloveniaSolomon IslandsSomaliaSouth AfricaSouth Georgia and the South Sandwich IslandsSouth SudanSpainSri LankaSudanSurinameSvalbard and Jan MayenSwazilandSwedenSwitzerlandSyrian Arab RepublicTaiwanTajikistanTanzania, United Republic OfThailandTimor-lesteTogoTokelauTongaTrinidad and TobagoTunisiaTurkeyTurkmenistanTurks and Caicos IslandsTuvaluUgandaUkraineUnited Arab EmiratesUnited KingdomUnited StatesUnited States Minor Outlying IslandsUruguayUzbekistanVanuatuVatican City StateVenezuela, Bolivarian Republic OfVietnamVirgin Islands, BritishVirgin Islands, U.S.Wallis and FutunaWestern SaharaYemenZambiaZimbabwe 90003 90002 Company size * _Choose your company size1-1011-5051-100101-10001001 + 90003 90002 Number of seats in the project * 90003 90002 Application of interest * _Choose your application of interest1C: Drive1C: ERPAccountingSuiteOther 90003 90002 Phone * 90003 90002 Email * 90003 90002 Request a Demo 90003 .
Leave A Comment