Решение 1 3: СГК оценивает решение проблемы с горячей водой в Рубцовске в 1,3 млрд руб - Сибирь

25/05 — Архив судебных решений

РЕШЕНИЕ

от 14 мая 2005 года Дело N 3-25/05

Санкт-Петербургский городской суд в составе судьи … с участием прокурора … при секретаре … рассмотрел в открытом судебном заседании дело по заявлению заместителя прокурора Санкт-Петербурга о признании недействующими подп.1-3, 5-6, 10 п.1 ст.11-1 Закона Санкт-Петербурга «О налоговых льготах» (в ред. Закона Санкт-Петербурга от 02.04.2004 N 146-24 и Закона Санкт-Петербурга от 16.12.2004 N 630-92).

Установлено:

28 июня 1995 года Законодательным Собранием Санкт-Петербурга был принят Закон Санкт-Петербурга N 81-11 «О налоговых льготах», действующий в редакциях законов Санкт-Петербурга от 02.04.2004 N 146-24, от 16.12.2004 N 630-92.

В соответствии с п.п.1-3, 5-6, 10 п.1 ст.11-1 указанного Закона от уплаты налога на имущество организаций освобождаются:

— организации, основным видом деятельности которых является изготовление специального оборудовался, обеспечивающего жизнедеятельность инвалидов, а также технических и иных средств реабилитации инвалидов (пп.

1 п.1 ст.11-1);

— органы государственной власти Санкт-Петербурга и государственные учреждения, которые созданы органами государственной власти Санкт- Петербурга и деятельность которых осуществляется за счет средств бюджета Санкт-Петербурга на основе сметы доходов и расходов (пп.2 п.1 ст.11-1);

— жилищно-строительные кооперативы, жилищные кооперативы, товарищества собственников жилья, товарищества домовладельцев — в отношении жилых помещений, а также общего имущества жилого дома и имущества, используемого для обеспечения эксплуатации многоквартирного дома (пп.3 п.1 ст.11-1);

— организации — в отношении имущества, находящегося в собственности Санкт- Петербурга и предназначенного для водоснабжения и водоотведения: зданий предприятий коммунального хозяйства специализированных, сооружений коммунального хозяйства специализированных, машин и оборудования для коммунального хозяйства, автомобилей специальных для коммунального хозяйства (пп.5 п.1 ст.11-1);

— садоводческие, огороднические и дачные некоммерческие объединения граждан — в отношении имущества, используемого в целях обеспечения социально-хозяйственных задач ведения садоводства, огородничества и дачного хозяйства (пп.

6 п.1 ст.11-1);

— государственные учреждения, осуществляющие аварийно-спасательные работы в соответствии с Федеральным законом «Об аварийно-спасательных службах и статусе спасателей», в отношении аварийно-спасательных средств (пп.10 п.1 ст.1-1).

Заместитель прокурора Санкт- Петербурга, полагая, что указанные пункты Закона Санкт-Петербурга «О налоговых льготах» противоречат федеральному законодательству, обратился в Санкт-Петербургский городской суд с заявлением, в котором просил признать недействующими со дня вступления решения суда в законную силу подп.1-3, 5-6, 10 п.1 ст.11-1 Закона Санкт-Петербурга «О налоговых льготах» (в ред. Закона Санкт-Петербурга от 02.04.2004 N 146-24 и Закона Санкт-Петербурга от 16.12.2004 N 630-92) (л.д.4-6, 33-35).

В обоснование своих требований заместитель прокурора Санкт-Петербурга указал следующее.

Согласно п.2 ст.372 Налогового кодекса РФ, устанавливая налог, законодательные (представительные) органы субъектов Российской Федерации определяют налоговую ставку в пределах, установленных главой 30 Кодекса, порядок и сроки уплаты налога, форму отчетности по налогу.

При установлении налога законами субъектов Российской Федерации могут также предусматриваться налоговые льготы и основания для их использования налогоплательщиками.

Вместе с тем, законодатель определил перечень налоговых льгот статьей 381 Налогового кодекса РФ, которой предоставлена льгота по налогу на имущество организаций в виде освобождения от уплаты данного налога различного рода организациям и учреждениям в отношении имущества, используемого для осуществления основной деятельности этих организаций и учреждений и т.п.

Перечень освобожденных от налогообложения организаций, предусмотренный ст.381 Налогового кодекса РФ, не содержит вышеперечисленных категорий организаций, освобожденных от уплаты налога на имущество Законом Санкт-Петербурга, что является, по утверждению заместителя прокурора Санкт-Петербурга, прямым противоречием п.п.1-3, 5-6, 10 п.1 ст.4-1 Закона Санкт-Петербурга «О налоге на имущество организаций» федеральному законодательству.

По смыслу п.

2 ст.372 Налогового кодекса РФ субъектам Российской Федерации не предоставлено право устанавливать «дополнительные» налоговые льготы.

Законами субъектов Российской Федерации, как указал в своем заявлении заместитель прокурора Санкт-Петербурга, могут предусматриваться льготы по налогу на имущество организаций и основания для их использования налогоплательщиками.

Следовательно, Законодательное Собрание Санкт-Петербурга, устанавливая льготы по налогу на имущество организаций, обязано одновременно указать основания для их использования налогоплательщиками.

Так, освобождены от уплаты налога на имущество организаций органы государственной власти Санкт-Петербурга и государственные учреждения, которые созданы органами государственной власти Санкт-Петербурга и деятельность которых осуществляется за счет средств бюджета Санкт-Петербурга на основе сметы доходов и расходов. При этом Законодательным Собранием Санкт-Петербурга не указаны основания для их освобождения от уплаты налогов.

В то же время федеральные органы государственной власти и федеральные государственные учреждения, расположенные на территории Санкт-Петербурга, названным Законом Санкт-Петербурга не освобождаются от уплаты налога.

В силу ст.3 Налогового кодекса РФ законодательство о налогах и сборах основывается на признании всеобщности и равенства налогообложения. Не допускается устанавливать дифференцированные ставки налогов и сборов, налоговые льготы в зависимости от формы собственности, гражданства физических лиц или места происхождения капитала.

Закон Санкт-Петербурга «О налоговых льготах» в п.п.1-3, 5-6, 10 п.1 ст.11-1 в нарушение принципов равенства органов государственной власти устанавливает дифференцированные налоговые льготы в зависимости от того, финансируется ли деятельность государственного органа и учреждения за счет средств бюджета Санкт-Петербурга или федерального бюджета.

Представитель заместителя прокурора Санкт-Петербурга … в судебном заседании поддержала заявление заместителя прокурора Санкт-Петербурга.

Законодательное Собрание Санкт-Петербурга и Губернатор Санкт-Петербурга просили суд отказать заместителю прокурора Санкт-Петербурга в удовлетворении заявления, полагая, что Закон Санкт-Петербурга «О налоге на имущество организаций» в оспоренной заместителем прокурора Санкт-Петербурга части не противоречит федеральному законодательству, представив письменные объяснения в обоснование своих доводов (л.д.16-21, 28-30).

Выслушав объяснения лиц, участвующих в деле, исследовав представленные сторонами доказательства, заслушав заключение прокурора …, полагавшей, что заявление заместителя прокурора Санкт-Петербурга подлежит удовлетворению, суд находит, что заявление заместителя прокурора Санкт-Петербурга не подлежит удовлетворению по следующим основаниям.

В силу п.»и» ч.1 ст.72 и ч.5 ст.76 Конституции РФ установление общих принципов налогообложения и сборов в Российской Федерации находится в совместном ведении Российской Федерации и субъектов Российской Федерации.

Согласно статье 12 Налогового кодекса Российской Федерации в Российской Федерации устанавливаются федеральные, региональные и местные виды налогов и сборов.

Региональными признаются налоги и сборы, устанавливаемые Кодексом и законами субъектов Российской Федерации, вводимые в действие в соответствии с Кодексом законами субъектов Российской Федерации и обязательные к уплате на территориях соответствующих субъектов Российской Федерации. При установлении регионального налога законодательными (представительными) органами субъектов Российской Федерации определяются следующие элементы налогообложения: налоговые ставки в пределах, установленных настоящим Кодексом, порядок и сроки уплаты налога, а также формы отчетности по данному региональному налогу. При установлении регионального налога законодательными (представительными) органами субъектов Российской Федерации могут также предусматриваться налоговые льготы и основания для их использования налогоплательщиком.

Данное правило, предусмотренное частью I Налогового кодекса Российской Федерации, распространяется на все региональные налоги, установленные Налоговым кодексом Российской Федерации.

В соответствии с п.1 ч.1 ст.14 Налогового кодекса РФ налог на имущество организаций относится к региональным налогам.

Налог на имущество организаций урегулирован главой 30 Налогового кодекса Российской Федерации, включающей ст.ст.272-386.

В соответствии с ч.1 ст.372 Налогового кодекса РФ налог на имущество организаций устанавливается настоящим Кодексом и законами субъектов Российской Федерации, вводится в действие в соответствии с настоящим Кодексом законами субъектов Российской Федерации и с момента введения в действие обязателен к уплате на территории соответствующего субъекта Российской Федерации.

Согласно ч.2 ст.372 Налогового кодекса РФ, устанавливая налог на имущество организаций, законодательные (представительные) органы власти субъектов Российской Федерации определяют налоговую ставку в пределах, установленных настоящей главой, порядок и сроки уплаты налога, форму отчетности по налогу.

При установлении налога на имущество организаций законами субъектов Российской Федерации могут также предусматриваться налоговые льготы и основания для их использования налогоплательщиками.

Действительно, в ст.381 Налогового кодекса РФ федеральный законодатель предусмотрел льготы по указанному выше налогу для организаций, перечисленных в данной статье.

Однако установленные ст.381 Налогового кодекса РФ льготы подлежат применению непосредственно на территории всех субъектов Российской Федерации в порядке, установленном Кодексом, то есть независимо от того, установлены ли такие льготы законом соответствующего субъекта Российской Федерации.

Вместе с тем, по мнению суда, установление федеральным законодателем льгот, перечисленных в ст.381 Налогового кодекса РФ, не препятствует субъекту Российской Федерации установить дополнительно льготы по данному налогу и основания для их использования на территории соответствующего субъекта Российской Федерации, поскольку такое право предоставлено субъекту Российской Федерации ст.12, ч.2 ст.372 Налогового кодекса РФ.

Данный вывод суда подтверждается письмом Министерства Российской Федерации по налогам и сборам от 9 июня 2004 года «О налоге на имущество организаций», из которого следует, что льготы по налогу на имущество организаций, предусмотренные ст.

381 Налогового кодекса РФ, должны непосредственно применяться на территории всех субъектов Российской Федерации в порядке, установленном Кодексом. К компетенции же субъектов Российской Федерации пунктом 2 статьи 372 Кодекса отнесено, в частности, установление дополнительных льгот по налогу и основания для их использования (л.д.42).

Согласно статье 56 Налогового кодекса Российской Федерации льготами по налогам и сборам признаются предоставляемые отдельным категориям налогоплательщиков и плательщиков сборов предусмотренные законодательством о налогах и сборах преимущества по сравнению с другими налогоплательщиками или плательщиками сборов, включая возможность не уплачивать налог или сбор либо уплачивать их в меньшем размере.

Таким образом, устанавливая льготы в соответствии с ч.2 ст.372 Налогового кодекса РФ, субъект Российской Федерации вправе самостоятельно установить все составные части налоговой льготы, определенной ст.56 Налогового кодекса РФ, то есть установить категории налогоплательщиков, которым предоставляются предусмотренные законодательством о налогах и сборах преимущества по сравнению с другими налогоплательщиками или плательщиками сборов и установить вид таких преимуществ: возможность не уплачивать налог или сбор либо уплачивать его в меньшем объеме.

С учетом изложенного суд находит несостоятельным довод заместителя прокурора Санкт-Петербурга о том, что прямым противоречием п.п.1-3, 5-6, 10 п.1 ст.11-1 Закона Санкт-Петербурга «О налоговых льготах» федеральному законодательству является то обстоятельство, что перечень освобожденных от налогообложения организаций, предусмотренный ст.381 Налогового кодекса РФ, не содержит вышеперечисленных категорий организаций, освобожденных от уплаты налога на имущество Законом Санкт-Петербурга.

Суд также находит необоснованными доводы заместителя прокурора Санкт-Петербурга о том, что Законодательным Собранием Санкт-Петербурга не указаны основания для использования налогоплательщиками налоговых льгот, установленных указанными выше подпунктами пункта 1 ст.11-1 оспоренного Закона Санкт-Петербурга, полагая, что данные доводы основаны на неправильном толковании п.п.1-3, 5-6, 10 п.1 ст.11-1 Закона Санкт-Петербурга «О налоге на имущество организаций».

При этом суд считает возможным согласиться с доводами Законодательного Собрания Санкт-Петербурга о том, что в соответствии с п.

п.1-3, 5-6, 10 п.1 ст.4-1 Закона Санкт-Петербурга «О налоге на имущество организаций» основанием для использования налоговых льгот:

— для организаций (подп.1 п.1 ст.11-1) является основной вид деятельности: изготовление специального оборудования, обеспечивающего жизнедеятельность инвалидов, а также технических и иных средств реабилитации инвалидов;

— для органов государственной власти Санкт-Петербурга и государственных учреждений, которые созданы органами государственной власти Санкт-Петербурга (подп.2 п.1 ст.11-1), основанием является осуществление их деятельности за счет средств бюджета Санкт-Петербурга на основе сметы доходов и расходов;

— для товариществ собственников жилья, товариществ домовладельцев, жилищных и жилищно-строительных кооперативов в отношении имущества, используемого для обеспечения эксплуатации многоквартирного дома и общим имуществом жилого дома (подп.3 п.1 ст.11-1), основанием является полностью выплаченный паевой взнос хотя бы одним членом;

— для организаций — в отношении имущества, находящегося в собственности Санкт-Петербурга и предназначенного для водоснабжения и водоотведения: зданий предприятий коммунального хозяйства, специализированных сооружений коммунального хозяйства, специализированных машин и оборудования для коммунального хозяйства, автомобилей специальных для коммунального хозяйства — основанием является назначение имущества, указанного в подп.

5 п.1 ст.11-1 Закона Санкт-Петербурга «О налоговых льготах» для водоснабжения и водоотведения;

— для садоводческих, огороднических и дачных некоммерческих объединений граждан (подп.6 п.1 ст.11-1) — в отношении имущества, используемого в целях обеспечения социально-хозяйственных задач ведения садоводства, огородничества и дачного хозяйства, основанием соответственно является цель использования данного имущества: для обеспечения социально-хозяйственных задач ведения садоводства, огородничества и дачного хозяйства.

— для государственных учреждений — в отношении аварийно-спасательных средств (подп.10 п.1 ст.11-1) основанием является осуществление аварийно-спасательных работ в соответствии с Федеральным законом «Об аварийно-спасательных службах и статусе спасателей».

По мнению суда, также являются необоснованными доводы заместителя прокурора Санкт-Петербурга о том, что указанный Закон Санкт-Петербурга в оспоренной части противоречит ст.3 Налогового кодекса РФ, поскольку в нарушение принципов равенства органов государственной власти устанавливает дифференцированные налоговые льготы в зависимости от того, финансируется ли деятельность государственного органа и учреждения за счет средств бюджета Санкт-Петербурга или за счет средств федерального бюджета.

Действительно, согласно ст.3 Налогового кодекса РФ законодательство о налогах и сборах основывается на признании всеобщности и равенства налогообложения. Не допускается устанавливать дифференцированные ставки налогов и сборов, налоговые льготы в зависимости от формы собственности, гражданства физических лиц или места происхождения капитала.

Грамматическое толкование указанной ст.3 Налогового кодекса РФ позволяет сделать вывод о том, что понятие «дифференцированные» в данной статье относится лишь к ставкам налогов и сборов.

Кроме того, как следует из п.1 ст.56 Налогового кодекса Российской Федерации, дающего определение понятия налоговых льгот, данная норма не указывает на такой признак как «дифференцированные налоговые льготы». Таким образом, налоговое законодательство не содержит такого понятия как «дифференцированные льготы».

Кроме того, поскольку в соответствии с ч.2 п.2 ст.372 Налогового кодекса Российской Федерации при установлении налога на имущество организаций законами субъектов Российской Федерации могут также предусматриваться налоговые льготы и основания для их использования налогоплательщиками, то в соответствии [с] вышеуказанными положениями Налогового кодекса РФ Законодательное Собрание Санкт-Петербурга было вправе определить отдельные категории налогоплательщиков, освободив их от уплаты налога на имущество организаций.

При этом, по мнению суда, не имеется препятствий, установленных законом, для отнесения к такой категории налогоплательщиков и органов государственной власти Санкт-Петербурга и государственных учреждений, которые созданы органами государственной власти Санкт-Петербурга и деятельность которых осуществляется за счет средств бюджета Санкт-Петербурга на основе сметы доходов и расходов (пп.2 п.1 ст.11-1 Закона Санкт-Петербурга).

С учетом изложенного суд находит, что оспариваемый пп.2 п.1 ст.11-1 Закона Санкт-Петербурга «О налоге на имущество организаций» не устанавливает дифференцированных льгот в зависимости от того, финансируется ли деятельность государственного органа и учреждения за счет средств бюджета Санкт-Петербурга или федерального бюджета, как указано в заявлении заместителя прокурора Санкт-Петербурга, а в соответствии с положениями Налогового кодекса Российской Федерации лишь определяет категорию налогоплательщиков, которым предоставляются преимущество — право не уплачивать налог на имущество организаций: это органы государственной власти Санкт-Петербурга и государственные учреждения, которые созданы органами государственной власти Санкт-Петербурга и деятельность которых осуществляется за счет средств бюджета Санкт-Петербурга на основе сметы доходов и расходов.

Кроме того, законодательством не установлен принцип равенства органов государственной власти, указанный в заявлении заместителя прокурора Санкт-Петербурга. Следовательно, отсутствие в указанном выше Законе Санкт-Петербурга льготы в виде освобождения от налога на имущество федеральных органов государственной власти и федеральных государственных учреждений не может рассматриваться как нарушение принципов законодательства.

На основании изложенного, руководствуясь ст.ст.197, 253 ГПК РФ, суд

решил:

Отказать заместителю прокурора Санкт-Петербурга в удовлетворении заявления о признании недействующим подп.1-3, 5-6, 10 п.1 ст.11-1 Закона Санкт-Петербурга «О налоговых льготах» (в ред. Закона Санкт-Петербурга от 02.04.2004 N 146-24 и Закона Санкт-Петербурга от 16.12.2004 N 630-92).

На решение суда может быть подана сторонами кассационная жалоба или принесено кассационное представление прокурором, участвующим в деле, в Верховный суд Российской Федерации через Санкт-Петербургский городской суд в течение 10 дней.

Текст документа сверен по:
рассылка

ВТБ будет принимать 95 % решений по кредитам за 1-3 минуты

ВТБ запустил новую технологию формирования предодобренных предложений по кредитам наличными и кредитным картам. Это начальный этап внедрения первого в России кредитного конвейера, основанного на микросервисной платформе с применением продвинутой аналитики. В 2022 году он позволит ВТБ принимать 95 % решений по выдаче кредитов розничным клиентам за 1-3 минуты. Кроме того, с 20 % до 5 % снизится доля клиентов, которые для получения кредита предоставляют подтверждающую доход и занятость справку.

Новый процесс даст возможность формировать кредитные предложения для 30 млн клиентов менее чем за четыре дня. До конца года на новый кредитный конвейер будет переведено формирование предодобренных предложений по всем кредитам, входящие заявки клиентов будут переведены на новую платформу до конца 2021 года.

Чтобы клиенты получали наиболее точные предложения по кредитам, уже используются статистические модели оценки кредитного риска клиента и разработанные на основе анализа внешних и внутренних данных модели склонности к тому или иному кредиту. Осенью текущего года будут внедрены модели оценки дохода, оценки обязательств и наиболее подходящего по размеру кредитного предложения.

«ВТБ разработал первый в России розничный кредитный конвейер на микросервисной архитектуре. Его применение в сочетании с разработками лаборатории продвинутой аналитики ВТБ позволит не только быстро и качественно отвечать на запросы клиентов, но и практически предугадывать их. Кроме того, новое ИТ-решение обеспечит возможность постоянного совершенствования системы и увеличения производительности отдельных сервисов», – заявил заместитель президента-председателя правления ВТБ Вадим Кулик.

«ВТБ решил заняться разработкой и внедрением нового кредитного конвейера, чтобы сделать обслуживание розничных клиентов еще более персональным и быстрым. Полноценная реализация проекта позволит принимать 95 % решений по выдаче кредита за 1-3 минуты. Используемые статистические модели помогут нам сделать предложения для клиентов еще более индивидуальными: заемщики будут получать от банка уже предодобренные необходимые им кредитные продукты в подходящий момент времени, в удобном формате и канале обслуживания», – отметила руководитель департамента розничных кредитных рисков ВТБ Наталья Ревина.

ВТБ будет принимать 95% решений по кредитам за 1-3 минуты | ДЕНЬГИ: Финансы | ДЕНЬГИ

ВТБ запустил новую технологию формирования предодобренных предложений по кредитам наличными и кредитным картам. Это начальный этап внедрения первого в России кредитного конвейера, основанного на микросервисной платформе с применением продвинутой аналитики. В 2022 году он позволит ВТБ принимать 95% решений по выдаче кредитов розничным клиентам за 1-3 минуты. Кроме того, с 20% до 5% снизится доля клиентов, которые для получения кредита предоставляют подтверждающую доход и занятость справку.

Чтобы клиенты получали наиболее точные предложения по кредитам уже используются статистические модели оценки кредитного риска клиента и разработанные на основе анализа внешних и внутренних данных модели склонности к тому или иному кредиту. Осенью текущего года будут внедрены модели оценки дохода, оценки обязательств и наиболее подходящего по размеру кредитного предложения.

«ВТБ разработал первый в России розничный кредитный конвейер на микросервисной архитектуре. Его применение в сочетании с разработками лаборатории продвинутой аналитики ВТБ позволит не только быстро и качественно отвечать на запросы клиентов, но и практически предугадывать их. Кроме того, новое ИТ-решение обеспечит возможность постоянного совершенствования системы и увеличения производительности отдельных сервисов», — заявил заместитель президента-председателя правления ВТБ Вадим Кулик.

«ВТБ решил заняться разработкой и внедрением нового кредитного конвейера, чтобы сделать обслуживание розничных клиентов еще более персональным и быстрым. Полноценная реализация проекта позволит принимать 95% решений по выдаче кредита за 1-3 минуты. Используемые статистические модели помогут нам сделать предложения для клиентов еще более индивидуальными: заемщики будут получать от банка уже предодобренные необходимые им кредитные продукты в подходящий момент времени, в удобном формате и канале обслуживания», — отметила руководитель департамента розничных кредитных рисков ВТБ Наталья Ревина.

На правах рекламы

Решение по делу № 11/1 3

РЕШЕНИЕ

по делу № 11/1 3

о нарушении законодательства о размещении заказов

«11» января 2013 г. г. Барнаул

Комиссия управления Федеральной антимонопольной службы по Алтайскому краю по контролю в сфере размещения заказов (далее – Комиссия) в составе:

Заместителя Председателя Комиссии:

<…>;

Членов Комиссии:

<…>; <…>;

с участием представителей:

— Заявителя – ООО «Дежане»- не явились, уведомлены;

-Заказчика –Управления Министерства внутренних дел Российской Федерации по г. Барнаулу- <…>;

рассмотрев жалобу ООО «Дежане» на действие аукционной комиссии государственного заказчика- УМВД России по АК при проведении открытого аукциона в электронной форме № 0117100008812000077 «Оказание услуг по уборке помещений и прилегающих территорий подразделений УМВД России по г. Барнаулу в 1-ом квартале 2013 г.», в соответствии с Федеральным Законом от 21.07.2005 года № 94-ФЗ «О размещении заказов на поставки товаров, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд» (далее – Законом о размещении заказов),

УСТАНОВИЛА:

Заказчиком – Управлением Министерства внутренних дел Российской Федерации по г. Барнаулу (далее – Заказчик) 12.12.2012 г. объявлен открытый аукцион в электронной форме № 0117100008812000077 «Оказание услуг по уборке помещений и прилегающих территорий подразделений УМВД России по г. Барнаулу в 1-ом квартале 2013 г.».

В соответствии с протоколом рассмотрения заявок на участие в открытого аукциона в электронной форме от 21.12.2012 г. участнику размещения заказа ООО «Дежане» было отказано на основании п.1 ч. 4 ст. 41.9 Закона о размещении заказов, а именно ввиду непредставления сведений, предусмотренных ч. 4 с. 41.8 Закона о размещении заказов- первая часть заявки на участие в конкурсе содержит только согласие участника на условиях, предусмотренных документацией об открытом аукционе в электронной форме, при условии размещения заказа на выполнение работ, оказание услуг, конкретные показатели предлагаемого к использованию товара, соответствующие значениям, установленным документацией об открытом аукционе в электронной форме, и указание на товарный знак не представлены.

ООО «Дежане» не согласно с решением аукционной комиссии, поскольку в первой части заявки ООО выразило свое согласие на поставку товаров, выполнение работ, оказание услуг. Заявитель так же обжалует положения аукционной документации.

На основании изложенного, ООО «Дежане» просит признать отказ в допуске к участию в аукционе незаконным, аннулировать результаты аукциона.

До заседания Комиссии УФАС по Алтайскому краю от ООО «Дежане» поступило ходатайство об аннулировании жалобы на действия конкурсной комиссии по проведению открытого аукциона в электронной форме. Данное ходатайство адресовано в Управление Федеральной антимонопольной службы по Новосибирской области. Из текста жалобы не следует, что Заявитель отзывает поданную ранее жалобу, а просит принять решение об отсутствии нарушений антимонопольного законодательства и направить Заявителю мотивированный отказ в срок, установленный п.3.20, 3.23 Административного регламента Федеральной антимонопольной службы по исполнению государственной функции по рассмотрению жалоб на действия (бездействие) заказчика, уполномоченного органа, специализированной организации, конкурсной, аукционной или котировочной комиссии при размещении заказа на поставку товара, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд.

На основании изложенного Комиссия УФАС по Алтайскому краю пришла к следующим выводам:

Рассмотреть жалобу ООО «Дежане» по существу;
Копию решения направить Заявителю в установленном законом порядке.

Представитель Заказчика представил возражения, по доводам, указанным в жалобе, пояснил, что заявка общества не содержит конкретных показателей товара, при таких обстоятельствах решение аукционной комиссии является законным и обоснованным.

Заслушав пояснения лиц, участвующих в деле, а также изучив представленные документы, Комиссия УФАС по Алтайскому краю в сфере размещения заказов пришла к следующим выводам:

в соответствии с п.1 ч. 4 ст.41.6 документация об открытом аукционе в электронной форме должна содержать требования к качеству, техническим характеристикам товара, работ, услуг, требования к их безопасности, требования к функциональным характеристикам (потребительским свойствам) товара, требования к размерам, упаковке, отгрузке товара, требования к результатам работ и иные показатели, связанные с определением соответствия поставляемого товара, выполняемых работ, оказываемых услуг потребностям заказчика.

В пункте 2 документации об аукционе указано, что требования к качеству, техническим характеристикам товара, работ, услуг, требования к их безопасности, требования к функциональным характеристикам товара (потребительским свойствам) товара, требования к размерам, упаковке, отгрузке товара, требования к результатам работ и иные показатели, связанные с определением соответствия поставляемого товара, выполняемых работ, оказываемых услуг потребностям заказчика, определены разделом IV документации.

Разделом II Информационной карты открытого аукциона в электронной форме установлено: требования к содержанию и составу заявки на участие в открытом аукционе в электронной форме в соответствии с требованиями Закона № 94- ФЗ и настоящей документацией об открытом аукционе в электронной форме.

Согласно пунктам 2.2.1, абзаца б подпункта 3 пункта 2.2.1 документации об аукционе, при заполнении первой части заявки в случае, если в документации об открытом аукционе в электронной форме не содержится указание на товарный знак используемого товара, участник размещения заказа обязан указать — согласие на оказание услуг на условиях, предусмотренных документацией об открытом аукционе в электронной форме, а так же конкретные показатели, соответствующие значениям, установленным в документации об открытом аукционе в электронной форме, и товарный знак (при его наличии) предлагаемого к использованию товара.

Согласно подпункту б) пункта 3 части 4 статьи 41.8 Закона о размещении заказа, первая часть заявки на участие в открытом аукционе в электронной форме должна содержать согласие, предусмотренное пунктом 2 данной части, а так же конкретные показатели используемого товара, соответствующие значениям, установленным документацией об открытом аукционе в электронной форме, и указание на товарный знак (его словесное обозначение) (при его наличии) предлагаемого для использования товара при условии отсутствия в документации об открытом аукционе в электронной форме указания на товарный знак используемого товара.

ООО «Дежане» выразило согласие на оказание услуг на условиях, предусмотренных документацией об открытом аукционе в электронной форме, однако конкретных показателей используемого товара представлено не было.

В соответствии с пунктом 1 части 4 статьи 41.9 Закона о размещении заказов участник размещения заказа не допускается к участию в открытом аукционе в электронной форме в случае непредставление сведений, предусмотренных частью 4 статьи 41. 8 настоящего Федерального закона, требованиям документации об открытом аукционе в электронной форме.

Таким образом, действия аукционной комиссии Заказчика по отклонению заявки участника размещения заказа, являются законными и обоснованными.

Кроме того, в соответствии с приказом № 489 от 24.07.2012 г. «Об утверждении административного регламента Федеральной антимонопольной службы по исполнению государственной функции по рассмотрению жалоб на действия (бездействие) заказчика, уполномоченного органа, специализированной организации, конкурсной, аукционной или котировочной комиссии при размещении заказа на поставку товара, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд», в случае если одним из доводов жалобы является обжалование положений конкурсной документации, документации об аукционе (в том числе документации об открытом аукционе в электронной форме) или извещения о проведении запроса котировок в случае подачи жалобы после окончания срока подачи соответственно заявок на участие в конкурсе, заявок на участие в аукционе (в том числе заявок на участие в открытом аукционе в электронной форме) или котировочных заявок, рассмотрение данного довода жалобы не проводится в соответствии с частями 2, 2. 1 статьи 57 Закона о размещении заказов.

Согласно части 2.1 статьи 57 Закона о размещении заказов жалоба на положение документации об открытом аукционе в электронной форме может быть подана участником размещения заказа до окончания срока подачи заявок на участие в открытом аукционе в электронной форме. По истечении указанных сроков обжалование соответствующих действий (бездействия) заказчика, уполномоченного органа, специализированной организации, оператора электронной площадки, аукционной комиссии осуществляется только в судебном порядке.

Жалоба ООО «Дежане» на положения аукционной документации подана после окончания срока подачи заявок, следовательно, не подлежит рассмотрению.

Комиссия, руководствуясь ст. 60 Федерального закона от 21.07.2005 года № 94-ФЗ «О размещении заказов на поставки товаров, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд», приказом № 489 от 24.07.2012 г. «Об утверждении административного регламента Федеральной антимонопольной службы по исполнению государственной функции по рассмотрению жалоб на действия (бездействие) заказчика, уполномоченного органа, специализированной организации, конкурсной, аукционной или котировочной комиссии при размещении заказа на поставку товара, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд»,

РЕШИЛА:

признать жалобу ООО «Дежане» необоснованной;

Решение может быть обжаловано в судебном порядке в течение трёх месяцев со дня его принятия.

Заместитель председателя Комиссии: _____________________________ <…>;

Члены комиссии ______________________________ <…>; <…>.

<div></div>РЕШЕНИЕпо делу № 11/1 3о нарушении законодательства о размещении заказов «11» января  2013 г.                                                                                                        г. Барнаул Комиссия управления Федеральной антимонопольной службы по Алтайскому краю по контролю в сфере размещения заказов (далее – Комиссия) в составе:Заместителя Председателя Комиссии:<…>;Членов Комиссии:<…>; <…>;с участием представителей:- Заявителя – ООО «Дежане»- не явились, уведомлены;-Заказчика –Управления Министерства внутренних дел Российской Федерации по г. Барнаулу- <…>;рассмотрев жалобу ООО «Дежане» на действие аукционной комиссии государственного заказчика- УМВД России по АК при проведении открытого аукциона в электронной форме № 0117100008812000077 «Оказание услуг по уборке помещений и прилегающих территорий подразделений УМВД России по г. Барнаулу в 1-ом квартале 2013 г.», в соответствии с Федеральным Законом от 21.07.2005 года № 94-ФЗ «О размещении заказов на поставки товаров, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд» (далее – Законом о размещении заказов),  УСТАНОВИЛА: Заказчиком – Управлением Министерства внутренних дел Российской Федерации по г. Барнаулу (далее – Заказчик) 12.12.2012 г. объявлен открытый аукцион в электронной форме № 0117100008812000077 «Оказание услуг по уборке помещений и прилегающих территорий подразделений УМВД России по г. Барнаулу в 1-ом квартале 2013 г.».В соответствии с протоколом рассмотрения заявок на участие в открытого аукциона в электронной форме от 21.12.2012 г. участнику размещения заказа ООО «Дежане» было отказано на основании  п. 1 ч. 4 ст. 41.9 Закона о размещении заказов, а именно ввиду  непредставления сведений, предусмотренных ч. 4 с. 41.8 Закона о размещении заказов- первая часть заявки на участие в конкурсе содержит только согласие участника на условиях, предусмотренных документацией об открытом аукционе в электронной форме, при условии размещения заказа на выполнение работ, оказание услуг, конкретные показатели предлагаемого  к использованию товара, соответствующие значениям, установленным документацией об открытом аукционе в электронной форме, и указание на товарный знак не представлены.ООО «Дежане» не согласно с решением аукционной комиссии,  поскольку в первой части заявки  ООО выразило свое согласие на поставку товаров, выполнение работ, оказание услуг. Заявитель так же обжалует положения аукционной документации.   На основании изложенного, ООО «Дежане» просит признать отказ в допуске к участию в аукционе незаконным, аннулировать результаты аукциона. До заседания Комиссии УФАС по Алтайскому краю от ООО «Дежане» поступило ходатайство об аннулировании жалобы на действия конкурсной комиссии по проведению открытого аукциона в электронной форме. Данное  ходатайство адресовано в Управление  Федеральной антимонопольной службы по Новосибирской области. Из текста жалобы не следует, что Заявитель отзывает поданную ранее жалобу, а просит  принять решение об отсутствии нарушений антимонопольного законодательства и направить Заявителю  мотивированный отказ в срок, установленный п.3.20, 3.23 Административного регламента Федеральной антимонопольной службы по исполнению государственной функции по рассмотрению жалоб на действия (бездействие) заказчика, уполномоченного органа, специализированной организации, конкурсной, аукционной или котировочной комиссии при размещении заказа на поставку товара, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд.На основании изложенного Комиссия УФАС по Алтайскому краю пришла к следующим выводам:<ol><li>Рассмотреть жалобу ООО «Дежане» по существу;</li><li>Копию решения направить Заявителю в установленном законом порядке. </li></ol>Представитель Заказчика представил возражения, по доводам, указанным в жалобе, пояснил, что заявка общества не содержит конкретных показателей товара, при таких обстоятельствах решение аукционной комиссии является законным и обоснованным.  Заслушав пояснения лиц, участвующих в деле, а также изучив представленные документы, Комиссия УФАС по Алтайскому краю в сфере размещения заказов пришла к следующим выводам:в соответствии с п.1 ч. 4 ст.41.6 документация об открытом аукционе в электронной форме должна содержать  требования к качеству, техническим характеристикам товара, работ, услуг, требования к их безопасности, требования к функциональным характеристикам (потребительским свойствам) товара, требования к размерам, упаковке, отгрузке товара, требования к результатам работ и иные показатели, связанные с определением соответствия поставляемого товара, выполняемых работ, оказываемых услуг потребностям заказчика. В пункте 2 документации об аукционе указано, что требования к качеству, техническим характеристикам товара, работ, услуг, требования к их безопасности, требования к функциональным характеристикам товара (потребительским свойствам) товара, требования к размерам, упаковке, отгрузке товара, требования к результатам работ и иные показатели, связанные с определением соответствия поставляемого товара, выполняемых работ, оказываемых услуг потребностям заказчика, определены разделом IV документации. Разделом II Информационной карты открытого аукциона в электронной форме установлено: требования к содержанию и составу заявки на участие в открытом  аукционе в электронной форме в соответствии с требованиями Закона № 94- ФЗ и настоящей документацией об открытом аукционе  в электронной форме.Согласно пунктам 2.2.1, абзаца б подпункта 3 пункта 2.2.1 документации об аукционе, при заполнении первой части заявки  в случае, если в документации об открытом аукционе в электронной форме не содержится указание на товарный знак используемого товара, участник размещения  заказа обязан указать — согласие на оказание  услуг на  условиях, предусмотренных документацией об открытом аукционе в электронной форме, а так же конкретные показатели, соответствующие значениям, установленным в документации об открытом аукционе  в электронной форме, и товарный знак (при его наличии) предлагаемого  к использованию товара. Согласно подпункту б) пункта 3 части 4 статьи 41.8 Закона о размещении заказа, первая часть заявки  на участие в открытом аукционе в электронной форме должна содержать согласие, предусмотренное пунктом 2 данной части, а так же конкретные показатели используемого товара, соответствующие значениям, установленным документацией об открытом аукционе в электронной форме, и указание на товарный знак (его словесное обозначение) (при его наличии) предлагаемого  для использования товара при условии отсутствия в документации об открытом аукционе в электронной форме указания на  товарный знак используемого товара.ООО «Дежане» выразило согласие на оказание  услуг на  условиях, предусмотренных документацией об открытом аукционе в электронной форме, однако конкретных показателей используемого товара представлено не было.В соответствии с пунктом 1 части 4 статьи 41.9 Закона о размещении заказов участник размещения заказа не допускается к участию в открытом аукционе в электронной форме в случае непредставление сведений, предусмотренных частью 4 статьи 41. 8 настоящего Федерального закона, требованиям документации об открытом  аукционе в электронной форме.Таким образом, действия аукционной комиссии Заказчика по отклонению заявки  участника размещения заказа, являются законными и обоснованными.Кроме того, в соответствии с приказом № 489 от 24.07.2012 г. «Об утверждении административного регламента Федеральной антимонопольной службы по исполнению государственной функции по рассмотрению жалоб на действия (бездействие) заказчика, уполномоченного органа, специализированной организации, конкурсной, аукционной или котировочной комиссии при размещении заказа на поставку товара, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд», в случае если одним из доводов жалобы является обжалование положений конкурсной документации, документации об аукционе (в том числе документации об открытом аукционе в электронной форме) или извещения о проведении запроса котировок в случае подачи жалобы после окончания срока подачи соответственно заявок на участие в конкурсе, заявок на участие в аукционе (в том числе заявок на участие в открытом аукционе в электронной форме) или котировочных заявок, рассмотрение данного довода жалобы не проводится в соответствии с <a href=»consultantplus://offline/ref=F9C40711392C20D5A3689AE1054D19EAEDA8861BB79126678D357CBCBCDF515D9BEDFBF397A53159d5k1D»>частями 2</a>, <a href=»consultantplus://offline/ref=F9C40711392C20D5A3689AE1054D19EAEDA8861BB79126678D357CBCBCDF515D9BEDFBF397A53159d5k6D»>2. 1 статьи 57</a> Закона о размещении заказов.Согласно части 2.1 статьи 57 Закона о размещении заказов  жалоба на положение документации об открытом аукционе в электронной форме может быть подана участником размещения заказа до окончания срока подачи заявок на участие в открытом аукционе в электронной форме. По истечении указанных сроков обжалование соответствующих действий (бездействия) заказчика, уполномоченного органа, специализированной организации, оператора электронной площадки, аукционной комиссии осуществляется только в судебном порядке.Жалоба ООО «Дежане» на положения аукционной документации подана после окончания срока подачи заявок, следовательно, не подлежит рассмотрению.Комиссия, руководствуясь ст. 60 Федерального закона от 21.07.2005 года № 94-ФЗ «О размещении заказов на поставки товаров, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд», приказом № 489 от 24. 07.2012 г. «Об утверждении административного регламента Федеральной антимонопольной службы по исполнению государственной функции по рассмотрению жалоб на действия (бездействие) заказчика, уполномоченного органа, специализированной организации, конкурсной, аукционной или котировочной комиссии при размещении заказа на поставку товара, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд», РЕШИЛА: признать жалобу ООО «Дежане» необоснованной; Решение может быть обжаловано в судебном порядке в течение трёх месяцев со дня его принятия.  Заместитель председателя Комиссии:          _____________________________  <…>;Члены комиссии                                             ______________________________ <…>; <…>.    <div><a href=»http://www.altk.fas.gov.ru/node/5728″>полная версия статьи</a></div>

stdClass Object ( [vid] => 5728 [uid] => 5 [title] => Решение по делу № 11/1 3 [log] => [status] => 1 [comment] => 1 [promote] => 0 [sticky] => 0 [nid] => 5728 [type] => solution [language] => ru [created] => 1358683418 [changed] => 1370521052 [tnid] => 0 [translate] => 0 [revision_timestamp] => 1370521052 [revision_uid] => 0 [body] => Array ( [ru] => Array ( [0] => Array ( [value] =>

РЕШЕНИЕ

по делу № 11/1 3

о нарушении законодательства о размещении заказов

«11» января 2013 г. г. Барнаул

Заместителя Председателя Комиссии:

<…>;

Членов Комиссии:

<…>; <…>;

с участием представителей:

— Заявителя – ООО «Дежане»- не явились, уведомлены;

-Заказчика –Управления Министерства внутренних дел Российской Федерации по г. Барнаулу- <…>;

УСТАНОВИЛА:

На основании изложенного Комиссия УФАС по Алтайскому краю пришла к следующим выводам:

Рассмотреть жалобу ООО «Дежане» по существу;
Копию решения направить Заявителю в установленном законом порядке.

РЕШИЛА:

признать жалобу ООО «Дежане» необоснованной;

Решение может быть обжаловано в судебном порядке в течение трёх месяцев со дня его принятия.

Заместитель председателя Комиссии: _____________________________ <…>;

Члены комиссии ______________________________ <…>; <…>.

[summary] => [format] => full_html [safe_value] =>

РЕШЕНИЕ

по делу № 11/1 3

о нарушении законодательства о размещении заказов

«11» января 2013 г. г. Барнаул

Заместителя Председателя Комиссии:

<…>;

Членов Комиссии:

<…>; <…>;

с участием представителей:

— Заявителя – ООО «Дежане»- не явились, уведомлены;

-Заказчика –Управления Министерства внутренних дел Российской Федерации по г. Барнаулу- <…>;

УСТАНОВИЛА:

В соответствии с протоколом рассмотрения заявок на участие в открытого аукциона в электронной форме от 21. 12.2012 г. участнику размещения заказа ООО «Дежане» было отказано на основании п.1 ч. 4 ст. 41.9 Закона о размещении заказов, а именно ввиду непредставления сведений, предусмотренных ч. 4 с. 41.8 Закона о размещении заказов- первая часть заявки на участие в конкурсе содержит только согласие участника на условиях, предусмотренных документацией об открытом аукционе в электронной форме, при условии размещения заказа на выполнение работ, оказание услуг, конкретные показатели предлагаемого к использованию товара, соответствующие значениям, установленным документацией об открытом аукционе в электронной форме, и указание на товарный знак не представлены.

На основании изложенного Комиссия УФАС по Алтайскому краю пришла к следующим выводам:

Рассмотреть жалобу ООО «Дежане» по существу;
Копию решения направить Заявителю в установленном законом порядке.

В соответствии с пунктом 1 части 4 статьи 41.9 Закона о размещении заказов участник размещения заказа не допускается к участию в открытом аукционе в электронной форме в случае непредставление сведений, предусмотренных частью 4 статьи 41.8 настоящего Федерального закона, требованиям документации об открытом аукционе в электронной форме.

Кроме того, в соответствии с приказом № 489 от 24.07.2012 г. «Об утверждении административного регламента Федеральной антимонопольной службы по исполнению государственной функции по рассмотрению жалоб на действия (бездействие) заказчика, уполномоченного органа, специализированной организации, конкурсной, аукционной или котировочной комиссии при размещении заказа на поставку товара, выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд», в случае если одним из доводов жалобы является обжалование положений конкурсной документации, документации об аукционе (в том числе документации об открытом аукционе в электронной форме) или извещения о проведении запроса котировок в случае подачи жалобы после окончания срока подачи соответственно заявок на участие в конкурсе, заявок на участие в аукционе (в том числе заявок на участие в открытом аукционе в электронной форме) или котировочных заявок, рассмотрение данного довода жалобы не проводится в соответствии с частями 2, 2.1 статьи 57 Закона о размещении заказов.

РЕШИЛА:

признать жалобу ООО «Дежане» необоснованной;

Решение может быть обжаловано в судебном порядке в течение трёх месяцев со дня его принятия.

Заместитель председателя Комиссии: _____________________________ <…>;

Члены комиссии ______________________________ <…>; <…>.

[safe_summary] => ) ) ) [field_solution_num] => Array ( ) [field_solution_file_num] => Array ( [ru] => Array ( [0] => Array ( [value] => 11/13 [format] => [safe_value] => 11/13 ) ) ) [field_solution_preview] => Array ( ) [field_solution_cat] => Array ( [ru] => Array ( [0] => Array ( [tid] => 11 [taxonomy_term] => stdClass Object ( [tid] => 11 [vid] => 3 [name] => Решения по делам [description] => [format] => full_html [weight] => 1 [vocabulary_machine_name] => category_solutions [rdf_mapping] => Array ( [rdftype] => Array ( [0] => skos:Concept ) [name] => Array ( [predicates] => Array ( [0] => rdfs:label [1] => skos:prefLabel ) ) [description] => Array ( [predicates] => Array ( [0] => skos:definition ) ) [vid] => Array ( [predicates] => Array ( [0] => skos:inScheme ) [type] => rel ) [parent] => Array ( [predicates] => Array ( [0] => skos:broader ) [type] => rel ) ) ) ) ) ) [field_solution_file] => Array ( ) [field_solution_scope] => Array ( [ru] => Array ( [0] => Array ( [tid] => 4 [taxonomy_term] => stdClass Object ( [tid] => 4 [vid] => 6 [name] => Контроль госзакупок [description] =>

Деятельность Алтайского краевого УФАС России, направленная на устранение нарушений Закона о контрактной системе в сфере закупок товаров, работ, услуг для обеспечения государственных и муниципальных нужд, и восстановление конкурентных условий для их осуществления.

Учебно-методический и информационный центр работников культуры и искусства Ярославской области

Подробности: Обновлено 22.03.2017 06:58; Опубликовано 26.12.2016 11:09; Просмотров: 2720

РЕШЕНИЕ Всероссийской научно-практической конференции «Детская школа искусств – 2016: образование, управление, развитие», проведенной в рамках V Санкт-Петербургского международного культурного форума 1-3 декабря 2016 г. г.Санкт-Петербург.

Участники Всероссийской конференции «Детская школа искусств – 2016: образование, управление и развитие» (далее – Всероссийская конференция) заслушали и обсудили доклады участников Всероссийской конференции — представителей органов исполнительной власти субъектов Российской Федерации и муниципальных образований в сфере культуры, руководителей и преподавателей детских школ искусств, представителей методических служб субъектов Российской Федерации, специалистов Института развития образования в сфере культуры и искусства и Российской академии музыки имени Гнесиных, руководителей и специалистов различных организаций, деятельность которых направлена на поддержку отечественного художественного образования.

Участники Всероссийской конференции отмечают, что российская система образования в сфере культуры и искусства имеет базовую ступень обучения, которой является детская школа искусств. Детская школа искусств сегодня — это многофункциональный образовательный, культурно-просветительский, социально ориентированный центр. При этом в основе образовательного процесса детской школы искусств лежат дополнительные предпрофессиональные программы в области искусств, обеспечивающие качество и преемственность содержания образования; общедоступность и многообразие отражают дополнительные общеразвивающие программы.

Детская школа искусств, являясь хранителем лучших традиций отечественного образования в сфере искусств, одновременно готова к восприятию нового, к развитию и обновлению, реализации инновационных проектов. Детская школа искусств включается в активную деятельность по реализации адаптированных программ, к инклюзивному обучению.

Внимание государства к дополнительному образованию детей и системе детских школ искусств, в частности, определено в целом ряде документов концептуального характера: Концепции развития дополнительного образования детей в Российской Федерации, утвержденной распоряжением Правительства Российской Федерации от 04.09.2014 № 1726-р, Распоряжении Правительства Российской Федерации от 24.04.2015 № 729-р «Об утверждении плана мероприятий на 2015 — 2020 годы по реализации Концепции развития дополнительного образования детей», Стратегии развития воспитания на период до 2025 года, утвержденной распоряжением Правительства Российской Федерации от 29.05.2015 № 996-р.

Благодаря активной, целенаправленной деятельности Министерства культуры Российской Федерации сложная и многоступенчатая система образовательных учреждений искусств, наконец, обрела правовую основу, имеет четкую нормативную базу. Это качественно новые условия для дальнейшего развития.

Между тем, участники Всероссийской конференции выделяют целый ряд проблем, для решения которых необходима консолидация сил – профессионального сообщества, учредителей, деятелей культуры и искусства, заинтересованных органов власти.

Это вопросы, связанные с сохранением детских школ искусств как самостоятельных юридических лиц, недопущением сворачивания системы детских школ искусств, объединения их с центрами дополнительного образования и общеобразовательными школами. Ежегодно количество детских школ искусств сокращается, а в условиях прогнозируемого ежегодного увеличения количества детей школьного возраста, обучение в детских школах искусств может уже в ближайшие годы стать малодоступным.

Проблемой последнего периода стало обострившееся противоречие между значимостью введения предпрофессиональных программ в образовательный процесс детских школ искусств и недостаточностью их финансирования.

Препятствием к решению стратегической задачи сохранения классических основ музыкального образования становится не преодоленная до сих пор тенденция уменьшения количества учащихся, обучающихся по программам академического направления в области музыкального искусства.

По-прежнему острой остается и проблема кадрового обеспечения отрасли, особенно – в условиях ужесточения требований к профильному образованию и квалификации педагогических работников.

Требует особого решения и проблема материально-технического обеспечения учебного процесса. Реализация дополнительных образовательных программ в области искусств сопряжена с особым оснащением образовательного процесса, необходимостью его обеспечения специальным инструментарием и оборудованием.

Участники Всероссийской конференции отмечают также, что сложный и разнонаправленный образовательный процесс современной детской школы искусств требует и соответствующего учебно-методического обеспечения. В настоящее время возрастает необходимость в оснащении каждого предмета учебной литературой, в том числе, учебниками и учебными пособиями, наглядными и мультимедийными материалами.

Реализация образовательных программ в детских школах искусств осложняется проблемой загруженности детей в общеобразовательной школе, в том числе, необходимостью посещать занятия в рамках внеурочной деятельности и дополнительного образования. И, несмотря на разъяснения, данные Министерством образования и науки Российской Федерации о предоставлении академических прав обучающимся на зачет часов дополнительных образовательных программ соответствующей направленности, осваиваемых в организациях дополнительного образования, руководство общеобразовательных школ в большинстве своем требует от своих учащихся обязательного посещения занятий внеурочной деятельности.

Отмечая необходимость в совершенствовании системы проведения творческих мероприятий, участники конференции поддерживают инициативы организаторов конкурсов различных уровней, которые проводятся с очным участием конкурсантов и направлены на выявление и поддержку одаренных детей – учащихся детских школ искусств.

Участники Всероссийской научно-практической конференции обращаются с предложениями:

к Министерству образования и науки Российской Федерации:

Разработать Порядок взаимодействия общеобразовательных школ с детскими школами искусств по обеспечению академических прав учащихся на зачет часов дополнительных образовательных программ, реализуемых в детских школах искусств.

к Министерству культуры Российской Федерации:

1. Продолжить работу по организации и обеспечению комплекса мероприятий, направленных на выявление и поддержку одаренных учащихся и талантливых педагогов.

2. Содействовать созданию постоянно действующих творческих и профессиональных связей между образовательными учреждениями, представляющими три ступени образования в сфере культуры и искусства – школа-училище-вуз, в том числе по вопросам создания учебно-методических комплексов, обеспечивающих реализацию дополнительных предпрофессиональных программ в области искусств в детских школах искусств.

Участники Всероссийской научно-практической конференции рекомендуют:

органам управления культурой субъектов Российской Федерации

1. Рассмотреть вопросы, связанные с реализацией права органов государственной власти субъектов Российской Федерации на «предоставление государственной поддержки дополнительного образования детей, в том числе финансовое обеспечение предоставления дополнительного образования детей в муниципальных образовательных организациях и частных образовательных организациях, реализующих дополнительные общеобразовательные программы для детей» (на основании части 2 статьи 8 Федерального закона от 29.12.2012 № 272-ФЗ в редакции Федерального закона от 03.07.2016 № 313-ФЗ).

2. В региональных программах развития дополнительного образования детей, дорожных картах отрасли культуры предусмотреть: увеличение и развитие сети детских школ искусств регионального подчинения, строительство новых зданий детских школ искусств при принятии решений, принимаемых в рамках территориального планирования в части размещения на территории субъектов Российской Федерации объектов сферы образования.

3. Включить в региональные программы развития образования финансовое обеспечение мероприятий, направленных на реализацию прав педагогических работников детских школ искусств в части обеспечения повышения квалификации и профессиональной переподготовки.

4. Рассмотреть вопрос о создании общедоступной региональной базы данных разработанных дополнительных адаптированных общеобразовательных программ в области искусств для детей с ОВЗ и детей-инвалидов.

5. Создать условия для обеспечения деятельности региональных методических служб по организационно-методическому сопровождению реализации образовательных программ в детских школах искусств.

учредителям детских школ искусств

1. Не допускать необоснованной оптимизации сети детских школ искусств.

2. Не допускать в государственных (муниципальных) заданиях сокращения количества обучающихся в детских школах искусств, содействовать развитию предпрофессионального образования.

3. В государственных (муниципальных) заданиях предусматривать субсидии на организацию и проведение детскими школами искусств творческих мероприятий — конкурсов, фестивалей, выставок как формы выявления и поддержки одаренных детей.

руководителям детских школ искусств

1. Создавать организационно-педагогические условия для введения дополнительных предпрофессиональных программ в области искусств.

2. Предусматривать в программах развития детских школ искусств проекты и мероприятия, обеспечивающие высокое качество методической деятельности педагогических работников.

3. Направлять деятельность педагогических коллективов на разработку мероприятий по сохранности контингента, увеличению конкурса на дополнительные предпрофессиональные программы.

4. Разрабатывать систему мер по сохранению и развитию академических направлений в обучении детей в детских школах искусств.

Методы принятия управленческих решений в 2 ч. Часть 1

Это пособие посвящено методике подготовки и реализации эффективных управленческих решений руководителей любого ранга. Оно поможет студентам овладеть основными методами принятия управленческих решений и их комплексному применению, освоить типы управленческих решений и этапы их разработки. Отличительная особенность учебника использование в качестве примеров исторических фактов из практики принятия управленческих решений, а также афоризмов и юмористических законов, обобщающих реальную практику в этой области. Учебник состоит из двух частей, первая часть посвящена основным понятиям теории принятия эффективных решений, методам системного анализа и методам измерений, а также типам задач принятия решений.

Бакалавр. Академический курс

Укажите параметры рабочей программы

Дисциплина

Методы принятия управленческих решений

УГС

09.00.00 «ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА»01.00.00 «МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА»44.00.00 «ОБРАЗОВАНИЕ И ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ»41.00.00 «ПОЛИТИЧЕСКИЕ НАУКИ И РЕГИОНОВЕДЕНИЕ»21.00.00 «ПРИКЛАДНАЯ ГЕОЛОГИЯ, ГОРНОЕ ДЕЛО, НЕФТЕГАЗОВОЕ ДЕЛО И ГЕОДЕЗИЯ»37.00.00 «ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ НАУКИ»43.00.00 «СЕРВИС И ТУРИЗМ»39.00.00 «СОЦИОЛОГИЯ И СОЦИАЛЬНАЯ РАБОТА»42.00.00 «СРЕДСТВА МАССОВОЙ ИНФОРМАЦИИ И ИНФОРМАЦИОННО-БИБЛИОТЕЧНОЕ ДЕЛО»23.00.00 «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ НАЗЕМНОГО ТРАНСПОРТА»20.00.00 «ТЕХНОСФЕРНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ И ПРИРОДООБУСТРОЙСТВО»27.00.00 «УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ»38.00.00 «ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ»40.00.00 «ЮРИСПРУДЕНЦИЯ»45.00.00 «ЯЗЫКОЗНАНИЕ И ЛИТЕРАТУРОВЕДЕНИЕ»

Направление подготовки

Уровень подготовки

Смешанные числа (дроби), формулы и онлайн калькуляторы

Определение

Число, записанное в виде суммы натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом.

Рациональная дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Если же числитель дроби равен или больше ее знаменателя, то дробь называется неправильной.

Пример

$\frac{3}{5}$ — правильная дробь;

$\frac{5}{3}$ — неправильная дробь.

Правильная дробь меньше единицы, неправильная — больше или равна единице.

Чтобы выделить наибольшее целое число, содержащееся в неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Если деление выполняется без остатка, то взятая неправильная дробь равна частному.

Слишком сложно?

Смешанные числа (дроби) не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Если деление выполняется с остатком, то неполное частное дает искомое целое число, остаток стает числителем искомой дробной части, а знаменатель совпадает со знаменателем неправильной дроби.

Пример

Задание. Представить неправильную дробь $\frac{16}{5}$ в виде суммы целого числа и правильной дроби.

Решение. Делим 16 на 5, получаем частное 3 и остаток 1. То есть $\frac{16}{5}=3+\frac{1}{5}$

Данное выражение можно было получить и так:

$\frac{16}{5}=\frac{15+1}{5}=\frac{15}{5}+\frac{1}{5}=3+\frac{1}{5}$

Число, записанное в виде суммы натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом.

Пример

$\frac{16}{5}=3+\frac{1}{5}=3 \frac{1}{5}$

Число $3 \frac{1}{5}$ является смешанным числом или смешанной дробью.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.

Пример

Задание. Записать смешанное число $4 \frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби.

Решение. $4 \frac{3}{5}=\frac{4 \cdot 5+3}{5}=\frac{23}{5}$

Читать следующую тему: десятичные дроби.

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3 — Квадратные уравнения

2008 Rasmus ehf и Jhann sak

Уравнения III

Урок 3 Пересечение точек графиков

Как приступить к поиску точек, в которых два графика y = f (x) и y = g (x) пересекаются?

Мы уже знаем, как найти график f (x) пересекает ось x.Здесь y = 0. Мы вычисляем его, решая уравнение f (x) = 0.
Когда графики y = f (x) и y = g (x) пересекаются, оба графа имеют точно такие же значения x и y. Итак, мы можем найти точку или точки пересечения путем решения уравнения f (x) = g (x). Решение этого уравнения даст нам значение (я) x точка (и) пересечения. Затем мы можем найти значение y, поместив значение для x, который мы нашли в одном из исходных уравнений.То есть путем расчета либо f (x), либо g (x).

Пример 1

Рассчитать точку пересечение двух прямых f (x) = 2x — 1 и g (x) = x + 1. Сначала давайте посмотрим на график двух функций. Мы видим смысл пересечение есть (2, 3).

Рассчитываем точку пересечения по решение уравнения f (x) = g (x). То есть:

2х — 1 = х + 1

2x — х = 1 + 1

х = 2

Координата Y теперь может быть найдена вычисление f (2):

f (2) = 2 × 2 — 1 = 3

Точка пересечения (2, 3) .

Пример показывает, что мы можем найти точку пересечения двумя способами.
Либо графически, нарисовав два графика в одной системе координат, либо алгебраически, решив уравнение, такое как в приведенном выше примере.

Графическое решение уравнения легко с помощью графический калькулятор или компьютерная программа, например Excel.
Некоторые уравнения нельзя решить алгебраически, но мы можем найти решения, которые исправляем до любого количества значащих цифр, используя компьютеры и калькуляторы.

Пример 2

Решите уравнение x ² — 2x — 3 = 2x — 3 сначала графически, затем алгебраически.

Рисуем графики f (x) = x ² — 2x — 3 и g (x) = 2x — 3 путем составления таблицы значений и построения графика точки. Как из графика, так и из таблицы значений видно, что графики пересекаются при x = 0 и x = 4 .

Решает алгебраически:

x ² — 2x — 3 = 2x — 3

x ² — 4x = 0

х (х — 4) = 0

Даем решения x = 0 и x = 4 .

Пример 3

Решите уравнение x ² — 1 = 2x — 3

Сначала переместите все термины перейдите к левой части уравнения и упростите.

Это дает x ² — 2x + 2 = 0

Используем формулу корней квадратного уравнения с a = 1, b = −2 и c = 2.

Число под знаком квадратного корня: отрицательный, что означает, что это уравнение не имеет решения.
Чтобы понять, почему это так, мы рисуем графики в левой части оригинала. уравнение

f (x) = x ² — 1 и правая часть g (x) = 2x — 3.

Мы видим, что парабола f (x) и прямая g (x) не пересекаются.Легко видеть, что мы не может вычислить точку проникновения просто потому, что такой точки нет.

Пример 4

Решите уравнение x ³ — 3x + 2 = x ² — 2x + 1

Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все слагаемые в левую часть уравнения.

х ³ — 3x + 2 = x ² — 2x + 1

x ³ — x ² — x + 1 = 0

(x ³ — x ²) — (x — 1) = 0

x ² (x — 1) — (x — 1) = 0

(х — 1) (х ² — 1) = 0

(х — 1) (х — 1) (х + 1) = 0

Расчеты показывают, что их всего два решений, x = 1 и x = −1, но кубическое уравнение может иметь три решения.График показывает нам, что происходит.

Графики f (x) = x ² — 2x + 1 и g (x) = x ³ — 3x + 2 пересекаются только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями уравнение.

Пример 5

Решите уравнение x ² = x

Легко видеть, что x = 0 и x = 1 являются решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень вероятно, но давайте посмотрим на графики.

Назовите левую часть f (x) = x ² и правую часть g (x) = x. Помните, что g (x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких отрицательные точки пересечения.

На графике видно, что точек всего две пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х = 1.
Вот как решить уравнение расчетом:

x ² = x

х ⁴ = х

х ⁴ — х = 0

x (x ³ — 1) = 0

Квадрат обе стороны уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня .

Это дает решение x = 0 и x = 1 .

Пример 6

Решите уравнение ln x = x ² — 1

Это уравнение не так-то просто решить. Если мы помните определение логарифма, мы видим, что x = 1 делает обе стороны уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем графики, чтобы увидеть, есть ли другие решения.

График показывает нам, что есть два решения. Одно решение — ровно x = 1, поскольку e ⁰ = 1.

Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице значений. Таким образом мы можем выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность.

Пример 7

EXCEL

Если использовать графический калькулятор, мы можем найти решение уравнения ln x = x ² — 1 намного проще. 2-ln (B2)

Теперь выберите Инструменты а затем «Поиск цели» в строке меню.В на экране появляется следующее:

Пишем D2, 1 и B2 в промежутках, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным к значению 1, изменив значение в B2.

Когда нажимаем ОК, появляется следующая информация.

Это говорит нам о том, что аппроксимация x ≈ 0,45, которую мы нашли графически в примере 6, довольно хорошее решение x ≈ 0.4500289, найденный с помощью EXCEL, не намного лучше.

Попробуйте пройти тест 3 по уравнениям III.

Не забудьте использовать контрольный список для следите за своей работой.

систем линейных уравнений, примеры решений, изображения и практические задачи. Система просто ..

Что такое система уравнений?

Отвечать

Система уравнений просто означает «более одного уравнения». Система линейных уравнений — это не более 1 строки, см. Рисунок:

Хорошо, а каково решение

системы уравнений? Отвечать

Решение находится там, где уравнения «встречаются» или пересекаются.Красная точка — это решение системы.

Сколько решений могут иметь системы линейных уравнений?

Отвечать

Может быть нулевое решение, одно решение или бесконечное количество решений — каждый случай подробно описан ниже. Примечание. Хотя системы линейных уравнений могут иметь 3 или более уравнений, мы собираемся обратиться к наиболее распространенному случаю — стержню с ровно 2 линиями.

Вариант I: 1 Решение

Это наиболее распространенная ситуация, когда линии пересекаются ровно в одной точке.

Случай 2: Нет решений

Это происходит только тогда, когда линии параллельны. Как видите, параллельные линии никогда не встретятся.

Пример стержня, у которого нет решения:

Строка 1: $$ y = 5x + 13 $$
Строка 2: $$ y = 5x + 12 $$

Случай III: Бесконечные решения

Это самый редкий случай, и он возникает только тогда, когда у вас есть такая же строка
Рассмотрим, например, две строки ниже (y = 2x + 1 и 2y = 4x + 2).Эти два уравнения — одна и та же линия.

Пример системы с бесконечным числом решений:

Строка 1: y = 2x + 1
Строка 2: 2y = 4x + 2

Как мы можем найти решения систем уравнений?

Найти решение системы линейных уравнений вы можете любым из следующих способов:

Вирусная головоломка 1 + 4 = 5.Разъясненный правильный ответ — помните о своих решениях

Эта загадка была опубликована в Facebook с утверждением, что только один из тысячи сможет ее разгадать.

1 + 4 = 5
2 + 5 = 12
3 + 6 = 21
8 + 11 =?

Как вы думаете, ответ?

Проблема стала вирусной и вызвала более 3 миллионов комментариев, и люди спорили о правильном ответе. Как вы думаете, какой ответ правильный?

Я объясняю то, что многие считают правильным ответом, в следующем видео.

Вирусная головоломка 1 + 4 = 5. Объяснение правильного ответа

Продолжайте читать, чтобы найти текстовое объяснение.
.
.

«Все будет хорошо, если вы будете использовать свой разум для принятия решений, и думать только о своих решениях». С 2007 года я посвятил свою жизнь разделению радостей теории игр и математики. MindYourDecisions теперь имеет более 1000 бесплатных статей без рекламы благодаря поддержке сообщества! Помогите и получите ранний доступ к сообщениям с обещанием на Patreon.

.
.

.
.
.
.
M
I
N
D
.
Y
O
U
R
.
D
E
C
I
S
I
O
N
S
.
.
.
.
Ответ на 1 + 4 = 5 Головоломка

Математик может использовать буквальный подход.

1 + 4 = 5
2 + 5 = 12
3 + 6 = 21
8 + 11 =?

Первое уравнение верно, второе и третье неверны, и ответ на уравнение должен быть 19.

Но такие загадки не о буквальном толковании математических символов. Они касаются выявления закономерностей в системе уравнений и применения их к неизвестному.

Ответ, который пришел мне в голову, — добавить первое число к произведению двух чисел, чтобы получить ответ. То есть:

a + b означает a + ab

Это работает для известных уравнений.

1 + 4 означает 1 + 1 (4) = 5
2 + 5 означает 2 + 2 (5) = 12
3 + 6 означает 3 + 3 (6) = 21

Применение шаблона к последнему уравнению дает ответ 96.

8 + 11 означает 8 + 8 (11) = 96

Ответ 96 действителен согласно этой интерпретации. Более того, многие другие тесты IQ имеют такую схему, когда вы берете два числа и находите скрытое уравнение, которое включает простые операции, такие как сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

Но некоторые люди интерпретировали проблему по-другому и пришли к другому ответу.

Другая интерпретация: промежуточная сумма

Некоторые люди считали, что закономерность представляет собой промежуточную сумму: добавьте результат в предыдущей строке к новым числам, чтобы получить новый ответ.

Первая строка верна математически.

1 + 4 = 5

Для следующей строки возьмите результат 5 и прибавьте его к новым числам, чтобы получить новый ответ.

5 + 2 + 5 = 12

Сделайте то же самое для следующей строки: добавьте результат предыдущей строки, равный 12, к новым числам, чтобы получить следующий результат.

12 + 3 + 6 = 21

Чтобы решить головоломку, сделайте то же самое для последней строки.

21 + 8 + 11 = 40

Этот образец дает ответ 40, и многие люди предположили, что этот ответ более верен.

Так что же ответ? Это 40 или 96? Хотя мы не можем точно знать, что имел в виду создатель головоломки, есть способ согласовать эти два подхода. Оказывается, промежуточная сумма также может привести к ответу 96, если вы решите немного дополнить шаблон.

Промежуточное итоговое количество пропущенных строк

Предположим, что ответ в каждой строке — это промежуточная сумма предыдущего результата и новых чисел.

1 + 4 = 5
5 + 2 + 5 = 12
12 + 3 + 6 = 21

Обратите внимание, что в каждой строке новые числа увеличиваются на 1 больше, чем предыдущие линия. Например, 1 + 4 превращается в 2 + 5; поэтому оба числа 1 и 4 увеличиваются на 1. Затем 2 + 5 увеличивается до 3 + 6.

Мы можем продолжить этот шаблон, так что следующие строки будут 4 + 7, затем 5 + 8, затем 6 + 9 , затем 7 + 10, а затем 8 + 11.

Каков будет промежуточный итог, если мы включим эти «недостающие» строки?

1 + 4 = 5
5 + 2 + 5 = 12
12 + 3 + 6 = 21
21 + 4 + 7 = 32
32 + 5 + 8 = 45
45 + 6 + 9 = 60
60 + 7 + 10 = 77
77 + 8 + 11 = 96

Мы снова доберемся до ответ 96, что несколько удивительно!

Фактически, промежуточная сумма с пропущенными строками генерирует тот же ответ, строка за строкой, что и алгебраический результат первого подхода:

a + b означает a + ab = a (1 + b )

Как мы можем видеть, что эти два подхода одинаковы? В строке 8 есть 7 предыдущих строк.Мы можем получить 11, соединив первое число каждой строки со вторым числом другой строки: мы можем связать 1 с 10, 2 с 9, 3 с 8, 4 с 7, 5 с 6, 6 с 5 и 7 с 4. Это 7 пар по 11. В последней строке есть еще 11. Это означает, что нам нужно взять 8 и прибавить к нему еще 8 раз, что составляет 8 + 8 (11) = 96.

В общем, строка n имеет уравнение n + ( n + 3), которое равно результату n + n ( n + 3) = n ( n + 4).

Докажем справедливость этой формулы по индукции. Предполагая, что формула верна до строки n , мы рассматриваем следующую строку. В следующей строке n + 1 складываем числа ( n + 1) + ( n + 4). Результат в строке n равен n ( n + 4), поэтому, когда мы добавляем ( n + 1) + ( n + 4), получаем:

n ( n + 4) + ( n + 1) + ( n + 4)
= n ² + 6 n + 5
= ( n + 1) ( n + 5)
= ( n + 1) [( n + 1)) + 4]

На этом индукция завершена.

Большинство людей считают, что ответ будет либо 96 — с уравнением a + ab — либо 40 — с промежуточным итогом. Поскольку промежуточная сумма также может дать ответ 96 при расширении шаблона до пропущенных строк, многие считают, что 96 — это ответ, который имеет наибольший смысл.

Третье толкование: ответ 201.

Был еще один неясный ответ, который я нашел в своем исследовании, которое я пропустил. Но я обновляю этот пост 3 января 2018 года, так как несколько человек написали мне по электронной почте и хотели бы, чтобы этот ответ тоже был представлен.

Примерно 10 человек увидели эту закономерность из более чем 5 миллионов просмотров этого видео / публикации. Так что, если вы нашли этот образец, значит, вы являетесь частью особой группы 1 из 500 000!

Идея состоит в том, чтобы вычислить суммы по основанию 10, а затем преобразовать ответ в убывающую систему счисления 6, 5, 4 и т. Д. Построчно. Итак, шаблон следующий:

1 + 4 = 5 (основание 10) = 5 (основание 6)

2 + 5 = 7 (основание 10) = 5 × 1 + 2 = 12 (основание 5)

3 + 6 = 9 (основание 10) = 4 × 2 + 1 = 21 (основание 4)

Итак, если мы сделаем то же самое для последней строки, нам нужно будет использовать основание 3, чтобы получить:

8 + 11 = 19 (основание 10) = 9 × 2 + 3 × 0 + 1 = 201 (основание 3)

Итак, если у вас есть 201, это еще один способ, которым люди увидели образец.Объяснить, что происходит, немного сложнее, и вы не можете согласовать результат с интерпретацией «недостающей строки». Но некоторые люди видели эту закономерность.

Источник сообщения в Facebook
https://www.facebook.com/randall.joneslatinjuggalo/posts/1048238075247858

Телеграфное покрытие
http://www.telegraph.co.uk/education/2016/04/ 22 / эта-математическая-проблема-имеет-тысячи-людей-сбитых с толку-можете-вы-работать /

Пазлы Reddit
https: // www.reddit.com/r/puzzles/comments/4gbxst/how_to_come_up_with_the_most_correct_answer_on_a/

МОИ КНИГИ

Если вы совершите покупку по этим ссылкам, я могу получить компенсацию за покупки, сделанные на Amazon. Как партнер Amazon я зарабатываю на соответствующих покупках. Это не влияет на цену, которую вы платите.

(ссылки для США и других стран)
https://mindyourdecisions.com/blog/my-books

Mind Your Decisions — это сборник из 5 книг:

(1) The Joy of Game Theory: An Introduction to Strategic Мышление
(2) 40 парадоксов в теории логики, вероятностей и игр
(3) Иллюзия иррациональности: как принимать разумные решения и преодолевать предвзятость
(4) Лучшие уловки в области умственной математики
(5) Умножать числа, рисуя линии

Радость теории игр показывает, как можно использовать математику, чтобы перехитрить своих конкурентов.(рейтинг 4,2 / 5 звезд в 177 отзывах)

40 парадоксов в логике, вероятностях и теории игр содержит наводящие на размышления и противоречащие интуиции результаты. (рейтинг 4/5 звезд в 27 обзорах)

Иллюзия иррациональности: как принимать разумные решения и преодолевать предвзятость — это руководство, в котором объясняются многие способы предвзятости при принятии решений и предлагаются методы для принятия разумных решений. (рейтинг 3,8 / 5 звезд в 15 отзывах)

Лучшие уловки в области ментальной математики учит, как можно выглядеть как гений математики, решая задачи в уме (оценка 4.3/5 звезд в 47 обзорах)

Умножение чисел на рисование линий Эта книга представляет собой справочное руководство для моего видео, которое набрало более 1 миллиона просмотров по геометрическому методу умножения чисел. (рейтинг 4,4 / 5 звезд в 21 обзоре)

Mind Your Puzzles представляет собой сборник из трех книг «Математические головоломки», тома 1, 2 и 3. Темы головоломок включают математические предметы, включая геометрию, вероятность, логика и теория игр.

Math Puzzles Volume 1 содержит классические головоломки и загадки с полными решениями задач счета, геометрии, вероятности и теории игр.Том 1 получил оценку 4,6 / 5 звезд в 39 отзывах.

Math Puzzles Volume 2 — это продолжение книги с более серьезными задачами. (рейтинг 4,2 / 5 звезд в 19 обзорах)

Math Puzzles Volume 3 — третий в серии. (рейтинг 4,2 / 5 звезд по 15 отзывам)

KINDLE UNLIMITED

Учителя и студенты со всего мира часто пишут мне о книгах. Поскольку образование может иметь огромное влияние, я стараюсь сделать электронные книги доступными как можно шире по как можно более низкой цене.

В настоящее время вы можете читать большинство моих электронных книг с помощью программы Amazon Kindle Unlimited. Включив подписку, вы получите доступ к миллионам электронных книг. Вам не нужно устройство Kindle: вы можете установить приложение Kindle на любой смартфон / планшет / компьютер и т. Д. Ниже я собрал ссылки на программы в некоторых странах. Пожалуйста, проверьте свой местный веб-сайт Amazon, чтобы узнать о доступности и условиях программы.

США, список моих книг (США)
Великобритания, список моих книг (Великобритания)
Канада, результаты книги (CA)
Германия, список моих книг (DE)
Франция, список моих книг (FR)
Индия , список моих книг (IN)
Австралия, результаты книги (AU)
Италия, список моих книг (IT)
Испания, список моих книг (ES)
Япония, список моих книг (JP)
Бразилия, книга results (BR)
Mexico, book results (MX)

MERCHANDISE

Купите кружку, футболку и многое другое на официальном сайте товаров: Mind Your Decisions at Teespring .

Решение | Разница двух фракций | Размышляя о числах

Даны следующие восемь единичных дробей: \ [\ dfrac12 \ quad \ dfrac13 \ quad \ dfrac14 \ quad \ dfrac15 \ quad \ dfrac16 \ quad \ dfrac17 \ quad \ dfrac18 \ quad \ dfrac19 \]

Какова вероятность того, что пара отдельных дробей, случайно выбранных из них, будет иметь различие, которое также является единичной дробью?

Если я рассмотрю все возможные пары карт, которые я мог бы выбрать, и записать их различия, я получу следующие результаты:

	\ (\ frac {1} {2} \)	\ (\ frac {1} {3} \)	\ (\ frac {1} {4} \)	\ (\ frac {1} {5} \)	\ (\ frac {1} {6} \)	\ (\ frac {1} {7} \)	\ (\ frac {1} {8} \)	\ (\ frac {1} {9} \)
\ (\ frac {1} {2} \)	Икс	\ (\ frac {1} {6} \)	\ (\ frac {1} {4} \)	\ (\ frac {3} {10} \)	\ (\ frac {1} {3} \)	\ (\ frac {5} {14} \)	\ (\ frac {3} {8} \)	\ (\ frac {7} {18} \)
\ (\ frac {1} {3} \)	\ (\ frac {1} {6} \)	Икс	\ (\ frac {1} {12} \)	\ (\ frac {2} {15} \)	\ (\ frac {1} {6} \)	\ (\ frac {4} {21} \)	\ (\ frac {5} {24} \)	\ (\ frac {2} {9} \)
\ (\ frac {1} {4} \)	\ (\ frac {1} {4} \)	\ (\ frac {1} {12} \)	Икс	\ (\ frac {1} {20} \)	\ (\ frac {1} {12} \)	\ (\ frac {3} {28} \)	\ (\ frac {1} {8} \)	\ (\ frac {5} {36} \)
\ (\ frac {1} {5} \)	\ (\ frac {3} {10} \)	\ (\ frac {2} {15} \)	\ (\ frac {1} {20} \)	Икс	\ (\ frac {1} {30} \)	\ (\ frac {2} {35} \)	\ (\ frac {3} {40} \)	\ (\ frac {4} {45} \)
\ (\ frac {1} {6} \)	\ (\ frac {1} {3} \)	\ (\ frac {1} {6} \)	\ (\ frac {1} {12} \)	\ (\ frac {1} {30} \)	Икс	\ (\ frac {1} {42} \)	\ (\ frac {1} {24} \)	\ (\ frac {1} {18} \)
\ (\ frac {1} {7} \)	\ (\ frac {5} {14} \)	\ (\ frac {4} {21} \)	\ (\ frac {3} {28} \)	\ (\ frac {2} {35} \)	\ (\ frac {1} {42} \)	Икс	\ (\ frac {1} {56} \)	\ (\ frac {2} {63} \)
\ (\ frac {1} {8} \)	\ (\ frac {3} {8} \)	\ (\ frac {5} {24} \)	\ (\ frac {1} {8} \)	\ (\ frac {3} {40} \)	\ (\ frac {1} {24} \)	\ (\ frac {1} {56} \)	Икс	\ (\ frac {1} {72} \)
\ (\ frac {1} {9} \)	\ (\ frac {7} {18} \)	\ (\ frac {2} {9} \)	\ (\ frac {5} {36} \)	\ (\ frac {4} {45} \)	\ (\ frac {1} {18} \)	\ (\ frac {2} {63} \)	\ (\ frac {1} {72} \)	Икс

Из этого я могу видеть, что есть \ (56 \) пар дробей, которые я мог бы выбрать (где я рассматриваю сначала выбор \ (\ frac {1} {2} \), а затем \ (\ frac {1} { 3} \) в отличие от выбора сначала \ (\ frac {1} {3} \), а затем \ (\ frac {1} {2} \)), \ (28 \) из которых имеют различия, которые являются единичными дробями .Следовательно, вероятность того, что пара различных дробей, выбранных случайным образом из этого списка, будет иметь разность, равную единице, равна \ (\ frac {28} {56} = \ frac {1} {2} \).

Когда я заполнял таблицу различий, я заметил, что есть два «типа» пар дробей, разность которых составляет единичную дробь. Во-первых, есть те, которые «сразу» приводят к единичной дроби, например \ [\ frac {1} {2} — \ frac {1} {3} = \ frac {3} {6} — \ frac {2 } {6} = \ frac {1} {6}. \] Затем есть те, которые приводят к единичной дроби после упрощения, например \ [\ frac {1} {2} — \ frac {1} {6} = \ frac {3} {6} — \ frac {1} {6} = \ frac {2} {6}, \], который затем упрощается до единичной дроби \ (\ frac {1} {3} \).

Если я рассматриваю те пары, которые «сразу» приводят к единичной дроби, то я могу искать любые закономерности: \ [\ begin {align *} \ frac {1} {2} \ quad & \ text {and} \ quad \ frac {1} {3}, & \ frac {1} {2} \ quad & \ text {and} \ quad \ frac {1} {4}, \\ \ frac {1} {3} \ quad & \ text {and} \ quad \ frac {1} {4}, & \ frac {1} {3} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {1} {6}, \\ \ frac {1} {4} \ quad & \ text {and} \ quad \ frac {1} {5}, & \ frac {1} {4} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {1} {6}, \\ \ frac {1} {4} \ quad & \ text {and} \ quad \ frac {1} {8}, & \ frac {1} {5} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {1} {6}, \\ \ frac {1} {6} \ quad & \ text {and} \ quad \ frac {1} {7}, & \ frac {1} {6} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {1} {8}, \\ \ frac {1} {6} \ quad & \ text {and} \ quad \ frac {1} {9}, & \ frac {1} {7} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {1} {8}, \\ \ frac {1} {8} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {1} {9}.\ конец {выравнивание *} \]

Среди них я заметил, что есть много пар дробей, знаменатели которых идут подряд. Фактически, каждая возможная такая пара появляется в этом списке, поэтому кажется, что всякий раз, когда две единичные дроби имеют знаменатели, идущие подряд, их разница будет единицей дроби. Чтобы решить, всегда ли это правда, мне нужно это доказать.

Две единичные дроби с последовательными знаменателями могут быть представлены как \ [\ frac {1} {n} \ quad \ text {и} \ quad \ frac {1} {n + 1}.\] Чтобы найти разницу между этими двумя дробями, мне нужно найти общий знаменатель. В этом случае я мог бы перемножить знаменатели вместе, получив \ (n (n + 1) \) в качестве общего знаменателя.

Запись каждой дроби со знаменателем \ (n (n + 1) \) дает \ [\ frac {1} {n} = \ frac {n + 1} {n (n + 1)} \ quad \ text { и} \ quad \ frac {1} {n + 1} = \ frac {n} {n (n + 1)}. \]

Теперь я могу найти разницу между двумя дробями \ [\ frac {n + 1} {n (n + 1)} — \ frac {n} {n (n + 1)} = \ frac {1} {n (n + 1)}, \] что является единичной дробью!

Однако я еще не знаю, что делать с другими парами дробей.С некоторыми из них есть определенные закономерности, но не все. Думаю, я выберу некоторые из них, в которых я смогу определить закономерность, а остальные пока оставлю.

Теперь я рассмотрю другие пары дробей, разность которых составляет единичную дробь. Я заметил, что для некоторых из этих пар знаменатель одной равен половине (или удваивается) другой. Например, \ (\ frac {1} {2} \) и \ (\ frac {1} {4} \); \ (\ frac {1} {3} \) и \ (\ frac {1} {6} \); Разница между \ (\ frac {1} {4} \) и \ (\ frac {1} {8} \) составляет единичную дробь.

Я мог бы представить пару единичных дробей этой формы как \ [\ frac {1} {n} \ quad \ text {и} \ quad \ frac {1} {2n}. \] Затем найти разницу, которая у меня есть \ [\ frac {1} {n} — \ frac {1} {2n} = \ frac {2} {2n} — \ frac {1} {2n} = \ frac {1} {2n} \], который является единица фракции. Так что этот тип пары всегда работает.

Мне все еще нужно рассмотреть несколько пар дробей, некоторые из которых имеют различие в виде единичной дроби после упрощения, а другие сразу дают единичную дробь. Поскольку мне непонятно, что делать с оставшимися примерами в приведенном выше списке, я переключу свое внимание на один имеющийся у нас пример, который дает единичную дробь после упрощения.

Есть одна пара дробей: \ [\ frac {1} {2} \ quad \ text {и} \ quad \ frac {1} {6}, \], которая дает единичную дробь после упрощения. Как это произошло?

У нас есть \ [\ frac {1} {2} — \ frac {1} {6} = \ frac {3} {6} — \ frac {1} {6} = \ frac {2} {6} = \ frac {1} {3}. \] Немного поразмыслив, я заметил, что множитель \ (2 \), который отменяется в конце, был множителем исходных знаменателей и фактически был их наибольшим общим знаменателем. фактор (HCF). Это заставляет меня оглянуться на исходный список пар дробей, чтобы увидеть, есть ли другие примеры, в которых знаменатели имеют наибольший общий множитель \ (2 \).

И действительно есть! Пары \ [\ frac {1} {4} \ quad \ text {и} \ quad \ frac {1} {6}; \ qquad \ frac {1} {6} \ quad \ text {и} \ quad \ frac {1} {8} \] также обладают этим свойством.

Итак, мы можем переписать три пары дробей сверху следующим образом: \ [\ begin {align *} \ frac {1} {2 \ times 1} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {1} {2 \ times 3}, \\ \ frac {1} {2 \ times 2} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {1} {2 \ times 3}, \\ \ frac {1} {2 \ times 3} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {1} {2 \ times 4}, \ конец {выравнивание *} \]

Мы могли бы даже добавить \ (\ frac {1} {2} \) и \ (\ frac {1} {4} \) в этот список, даже если он имеет форму \ (\ frac {1} {n } \) и \ (\ frac {1} {2n} \), с которыми мы уже разбирались.

Эти пары дробей имеют вид \ (\ dfrac {1} {2a} \) и \ (\ dfrac {1} {2b} \), где \ (a \) и \ (b \) взаимно просты.

Вычисление разницы между этой парой общих дробей дает \ [\ frac {1} {2a} — \ frac {1} {2b} = \ frac {b} {2ab} — \ frac {a} {2ab} = \ frac {ba} {2ab}. \] Это будет единичная дробь, если \ (ba = 1 \) или если \ (ba \) множитель \ (2ab \).

Это объясняет все приведенные здесь примеры: для первой пары \ (a = 1 \) и \ (b = 3 \) отличаются на \ (2 \); для остальных пар (\ (a = 2 \) и \ (b = 3 \); \ (a = 3 \) и \ (b = 4 \)) разница составляет \ (b-a = 1 \).

Какие возможные значения могут принять \ (b-a \), если это упростить до единичной дроби?

Возможности

Результат является единичной дробью тогда и только тогда, когда \ (b-a \) является множителем \ (2 \).

Если \ (b-a \) является множителем \ (2 \), то дробь определенно упрощается до единичной дроби.

С другой стороны, если дробь действительно упрощается, то \ (b-a \) должно быть множителем \ (2ab \), как мы сказали.

Поскольку \ (a \) и \ (b \) взаимно просты, \ (b-a \) и \ (a \) также должны быть взаимно просты.Ведь если \ (d> 1 \) является множителем как \ (ba \), так и \ (a \), то \ (d \) также будет множителем \ ((ba) + a = b \), поэтому \ (d \) будет общим делителем для \ (a \) и \ (b \). Но это невозможно, поскольку \ (a \) и \ (b \) взаимно просты.

Точно так же \ (b-a \) и \ (b \) взаимно просты. Итак, если \ (b-a \) является фактором \ (2ab \), это должно быть так, что \ (b-a \) является фактором \ (2 \).

Следовательно, мы получим единичную дробь, если \ (b-a = 1 \) или \ (b-a = 2 \). Кроме того, если \ (b-a = 2 \), то и \ (a \), и \ (b \) должны быть нечетными.(Почему?)

Другие идеи в этом направлении рассматриваются в разделе «Делимость и индукция».

Одна пара дробей остается неучтенной: \ (\ frac {1} {6} \) и \ (\ frac {1} {9} \). Эти знаменатели имеют HCF, равную \ (3 \), поэтому было бы интересно подумать в целом о паре единичных дробей, знаменатели которых имеют HCF, отличные от \ (1 \) или \ (2 \).

Пара дробей, имеющая HCF \ (c \), может быть записана в виде \ [\ frac {1} {ac} \ qquad \ text {and} \ qquad \ frac {1} {bc} \] где \ (a \) и \ (b \) взаимно просты.Вычисляя их разницу, я обнаружил, что \ [\ frac {1} {ac} — \ frac {1} {bc} = \ frac {ba} {abc}. \] Я вижу, что, как и раньше, это будет единичная дробь тогда и только тогда, когда \ (ba = 1 \) или если \ (ba \) является фактором \ (abc \). Фактически, поскольку \ (1 \) является множителем \ (c \), мы можем просто сказать, что это будет единичная дробь тогда и только тогда, когда \ (b-a \) является множителем \ (c \).

Как и прежде, какие возможные значения могут принимать \ (b-a \), если это упрощается до единичной дроби?

Возможности

Аналогично предыдущему (по существу с теми же аргументами), должно быть так, что \ (b-a \) является фактором \ (c \), поскольку \ (a \) и \ (b \) взаимно просты.

Теперь я понимаю, что впервые заметил. Если я запишу свою пару единичных дробей как \ [\ frac {1} {ac} \ quad \ text {и} \ quad \ frac {1} {bc} \], где \ (c \) — HCF знаменателей , так что \ (a \) и \ (b \) взаимно просты, тогда это упростится до единичной дроби, если \ (ba \) является множителем \ (abc \) (фактически, если это множитель \ (с \)). Он немедленно даст единичную дробь, если \ (b-a = 1 \), то есть, если знаменатели отличаются своим наивысшим общим множителем или являются последовательными кратными их HCF.Они дадут единицу после упрощения, если \ (b-a> 1 \), но все же фактор их HCF.

Все дроби в этой задаче — единичные дроби. Можете ли вы найти пару дробей, \ (\ frac {a} {b} \) и \ (\ frac {c} {d} \), где \ (a \ neq 1 \) и \ (c \ neq 1 \ ), которые имеют разницу в единичных долях?
Не могли бы вы расширить свой ответ на предыдущий вопрос — при каких условиях будет пара дробей, \ (\ frac {a} {b} \) и \ (\ frac {c} {d} \), где \ ( a \ neq 1 \) и \ (c \ neq 1 \), есть разница в единичной дроби?

Я нашел несколько примеров: \ [\ begin {align *} \ frac {11} {7} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {3} {2}, \\ \ frac {11} {2} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {5} {1}, \\ \ frac {8} {9} \ quad & \ text {и} \ quad \ frac {9} {10}.\ конец {выравнивание *} \]

Если я рассмотрю более общие дроби \ (\ frac {a} {b} \) и \ (\ frac {c} {d} \), то я могу определить условия, при которых они будут иметь различие, то есть единицу дробная часть.

Вычисление разницы между двумя общими дробями дает \ [\ frac {a} {b} — \ frac {c} {d} = \ frac {ad-bc} {bd}. \] Для того, чтобы это было единичной дробью Я требую, чтобы \ (ad-bc = 1 \) или \ (ad-bc \) был множителем \ (bd \), чтобы разница упростилась до единичной дроби.

Решение повторяющихся отношений

Расследовать!

Рассмотрим рекуррентное соотношение

\ begin {уравнение *} a_n = 5a_ {n-1} — 6a_ {n-2} \ text {.} \ end {уравнение *}

Какую последовательность вы получите, если начальные условия \ (a_0 = 1 \ text {,} \) \ (a_1 = 2 \ text {?} \) Дайте замкнутую формулу для этой последовательности.
Какую последовательность вы получите, если начальные условия \ (a_0 = 1 \ text {,} \) \ (a_1 = 3 \ text {?} \) Приведите замкнутую формулу.
Что делать, если \ (a_0 = 2 \) и \ (a_1 = 5 \ text {?} \) Найти замкнутую формулу.

Мы видели, что часто легче найти рекурсивные определения, чем замкнутые формулы.К счастью для нас, существует несколько методов преобразования рекурсивных определений в замкнутые формулы. Это называется решением рекуррентного соотношения . Напомним, что рекуррентное отношение — это рекурсивное определение без начальных условий. Например, рекуррентное соотношение для последовательности Фибоначчи: \ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \ text {.} \) (Это вместе с начальными условиями \ (F_0 = 0 \) и \ (F_1 = 1 \) дают полное рекурсивное определение для последовательности.)

Пример 2.4.1.

Найдите рекуррентное соотношение и начальные условия для \ (1, 5, 17, 53, 161, 485 \ ldots \ text {.} \)

Решение

Найти рекуррентное отношение было бы проще, если бы у нас был некоторый контекст для проблемы (например, Ханойская башня). Увы, у нас есть только последовательность. Помните, что отношение повторения говорит вам, как перейти от предыдущих терминов к будущим. Что здесь происходит? Мы могли бы посмотреть на различия между терминами: \ (4, 12, 36, 108, \ ldots \ text {.} \) Обратите внимание, что они увеличиваются в 3 раза. Является ли исходная последовательность тоже? \ (1 \ cdot 3 = 3 \ text {,} \) \ (5 \ cdot 3 = 15 \ text {,} \) \ (17 \ cdot 3 = 51 \) и так далее. Похоже, что мы всегда получаем на 2 меньше, чем следующий член. Ага!

Итак, \ (a_n = 3a_ {n-1} + 2 \) — это наше рекуррентное отношение, а начальное условие — \ (a_0 = 1 \ text {.} \)

Мы попытаемся решить этих рекуррентных отношений. Под этим мы подразумеваем нечто очень похожее на решение дифференциальных уравнений: мы хотим найти функцию от \ (n \) (замкнутую формулу), которая удовлетворяет рекуррентному соотношению, а также начальному условию.п +1 \\ \ amp = a_n \ text {.} \ end {выровнять *}

Вот что говорит наше рекуррентное отношение! У нас есть решение.

Иногда мы можем проявить смекалку и разрешить повторяющееся отношение путем проверки. Мы генерируем последовательность, используя отношение рекуррентности, и отслеживаем, что мы делаем, чтобы увидеть, как перейти к поиску только члена \ (a_n \). Вот два примера того, как вы могли бы это сделать.

Телескопирование относится к явлению, когда многие члены в большой сумме уравновешиваются, поэтому сумма «телескопы».”Например:

\ begin {уравнение *} (2 — 1) + (3 — 2) + (4 — 3) + \ cdots + (100 — 99) + (101 — 100) = -1 + 101 \ end {уравнение *}

, потому что каждый третий член выглядит так: \ (2 + -2 = 0 \ text {,} \), а затем \ (3 + -3 = 0 \) и так далее.

Мы можем использовать это поведение для решения повторяющихся отношений. Вот пример.

Пример 2.4.3.

Решите рекуррентное соотношение \ (a_n = a_ {n-1} + n \) с начальным членом \ (a_0 = 4 \ text {.} \)

Решение

Чтобы почувствовать рекуррентное отношение, выпишите несколько первых членов последовательности: \ (4, 5, 7, 10, 14, 19, \ ldots \ text {.} \) Посмотрите на разницу между терминами. \ (a_1 — a_0 = 1 \) и \ (a_2 — a_1 = 2 \) и так далее. Ключевым моментом здесь является то, что разница между терминами \ (n \ text {.} \) Мы можем написать это явно: \ (a_n — a_ {n-1} = n \ text {.} \) Конечно, мы мог прийти к такому выводу непосредственно из рекуррентного соотношения, вычитая \ (a_ {n-1} \) из обеих частей.

Теперь используйте это уравнение снова и снова, каждый раз меняя \ (n \):

\ begin {align *} а_1 — а_0 \ amp = 1 \\ а_2 — а_1 \ amp = 2 \\ а_3 — а_2 \ amp = 3 \\ \ vdots \ quad \ amp \ quad \ vdots \\ a_n — a_ {n-1} \ amp = n \ text {.} \ end {выровнять *}

Сложите все эти уравнения вместе. В правой части мы получаем сумму \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + n \ text {.} \) Мы уже знаем, что это можно упростить до \ (\ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \) Что происходит с левой стороны? Получаем

\ begin {уравнение *} (a_1 — a_0) + (a_2 — a_1) + (a_3 — a_2) + \ cdots (a_ {n-1} — a_ {n-2}) + (a_n — a_ {n-1}) \ text {. nf (k) \) имеет известная закрытая формула.n f (k) \ text {,} \), поэтому нам нужно знать замкнутую формулу для этой суммы.

Однако телескопирование не поможет нам с такой рекурсией, как \ (a_n = 3a_ {n-1} + 2 \), поскольку левая сторона не будет телескопировать. У вас будет \ (- 3a_ {n-1} \), но только один \ (a_ {n-1} \ text {.} \) Тем не менее, мы все еще можем быть умными, если будем использовать итерацию .

Мы уже видели пример итерации, когда мы нашли замкнутую формулу для арифметических и геометрических последовательностей. Идея в том, что мы повторяем процесс поиска следующего члена, начиная с известного начального условия, до тех пор, пока не получим \ (a_n \ text {.} \) Затем мы упрощаем. В примере с арифметической последовательностью мы упростили, умножив \ (d \) на количество раз, которое мы добавляем к \ (a \), когда мы добираемся до \ (a_n \ text {,} \), чтобы получить из \ (a_n = от a + d + d + d + \ cdots + d \) до \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

Чтобы увидеть, как это работает, давайте рассмотрим тот же пример, который мы использовали для телескопирования, но на этот раз используем итерацию.

Пример 2.4.4.

Используйте итерацию для решения рекуррентного отношения \ (a_n = a_ {n-1} + n \) с \ (a_0 = 4 \ text {.} \)

Решение

Опять же, начните с записи отношения повторения, когда \ (n = 1 \ text {.} \) На этот раз не вычитайте члены \ (a_ {n-1} \) с другой стороны:

\ begin {уравнение *} a_1 = a_0 + 1 \ text {.} \ end {уравнение *}

Теперь \ (a_2 = a_1 + 2 \ text {,} \), но мы знаем, что такое \ (a_1 \). Подстановкой получаем

\ begin {уравнение *} a_2 = (a_0 + 1) + 2 \ текст {.} \ end {уравнение *}

Теперь перейдите к \ (a_3 = a_2 + 3 \ text {,} \), используя известное нам значение \ (a_2 \ text {:} \)

\ begin {уравнение *} а_3 = ((а_0 + 1) + 2) + 3 \ текст {.} \ end {уравнение *}

Заметим закономерность. Каждый раз мы берем предыдущий член и добавляем текущий индекс. Итак

\ begin {уравнение *} a_n = ((((a_0 + 1) +2) +3) + \ cdots + n-1) + n \ text {.} \ end {уравнение *}

Перегруппировывая термины, мы замечаем, что \ (a_n \) — это просто \ (a_0 \) плюс сумма целых чисел от \ (1 \) до \ (n \ text {.} \). Итак, поскольку \ (a_0 = 4 \ text {,} \)

\ begin {уравнение *} a_n = 4 + \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \ end {уравнение *}

Конечно, в этом случае нам все еще нужно было знать формулу для суммы \ (1, \ ldots, n \ text {.} \) Попробуем повторить итерацию с последовательностью, для которой телескопирование не работает.

Пример 2.4.5.

Решите рекуррентное отношение \ (a_n = 3a_ {n-1} + 2 \) при условии \ (a_0 = 1 \ text {.} \)

Решение

Снова, мы повторяем рекуррентное отношение, наращивая до индекса \ (n \ text {.} \)

\ begin {align *} a_1 \ amp = 3a_0 + 2 \\ a_2 \ amp = 3 (a_1) + 2 = 3 (3a_0 + 2) + 2 \\ a_3 \ amp = 3 [a_2] + 2 = 3 [3 (3a_0 + 2) + 2] + 2 \\ \ vdots \ amp \ qquad \ vdots \ qquad \ qquad \ vdots \\ a_n \ amp = 3 (a_ {n-1}) + 2 = 3 (3 (3 (3 \ cdots (3a_0 + 2) + 2) + 2) \ cdots + 2) + 2 \ text {.п — 1 \ текст {.} \ end {уравнение *}

Итерация может быть беспорядочной, но когда отношение повторения относится только к одному предыдущему члену (и, возможно, к некоторой функции от \ (n \)), оно может работать хорошо. Однако попытка повторить рекуррентное отношение, такое как \ (a_n = 2 a_ {n-1} + 3 a_ {n-2} \), будет слишком сложной. Нам нужно будет отслеживать два набора предыдущих терминов, каждый из которых выражен двумя предыдущими терминами, и так далее. Длина формулы будет расти экспоненциально (фактически вдвое каждый раз).К счастью, существует метод решения рекуррентных отношений, который очень хорошо работает с такими отношениями.

Подраздел Методика характерного корня

Предположим, мы хотим решить рекуррентное отношение, выраженное как комбинация двух предыдущих членов, таких как \ (a_n = a_ {n-1} + 6a_ {n-2} \ text {.} \) Другими словами, мы хотите найти функцию от \ (n \), которая удовлетворяет \ (a_n — a_ {n-1} — 6a_ {n-2} = 0 \ text {.} \) Теперь итерация слишком сложна, но подумайте только о Во-вторых, что произойдет, если мы выполним итерацию . 2 + \ альфа х + \ бета = 0 \ текст {.п \ текст {.} \ end {уравнение *}

Возможно, наиболее известным рекуррентным соотношением является \ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \ text {,} \), которое вместе с начальными условиями \ (F_0 = 0 \) и \ (F_1 = 1 \) определяет последовательность Фибоначчи. Но обратите внимание, что это именно тот тип рекуррентного отношения, для которого мы можем использовать характерный метод корня. Когда вы это делаете, единственное, что изменяется, — это то, что характеристическое уравнение не учитывается, поэтому вам нужно использовать формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти характеристические корни.Фактически, это дает третьему наиболее известному иррациональному числу \ (\ varphi \ text {,} \) золотое сечение .

Прежде чем отказаться от метода характеристического корня, мы должны подумать о том, что может произойти, когда вы решите характеристическое уравнение. У нас есть пример выше, в котором характеристический многочлен имеет два различных корня. Эти корни могут быть целыми или, возможно, иррациональными числами (для их нахождения требуется квадратичная формула). В этих случаях мы знаем, как выглядит решение рекуррентного отношения.п \), если было 3 различных корня). Также возможно, что корни характеристик являются комплексными числами.

Однако метод характеристического корня полезен только для решения рекуррентных соотношений в определенной форме: \ (a_n \) задается как линейная комбинация некоторого количества предыдущих членов. Эти рекуррентные соотношения называются линейными однородными рекуррентными соотношениями с постоянными коэффициентами . «Однородный» относится к тому факту, что в рекуррентном соотношении нет дополнительных членов, кроме кратных членов \ (a_j \).Например, \ (a_n = 2a_ {n-1} + 1 \) неоднороден из-за дополнительной константы 1. Существуют общие методы решения таких задач, но мы не будем рассматривать их здесь, кроме как через использование телескопирования или итераций, описанных выше.

Упражнения Упражнения

1.

Найдите следующие два термина в \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \) начало \ (3, 5, 11, 21, 43, 85 \ ldots \ text {.} \) Затем дайте рекурсивное определение для последовательность. Наконец, используйте технику характерного корня, чтобы найти замкнутую формулу для последовательности.2 — x — 2 = 0 \ text {,} \), чтобы получить характеристические корни \ (x = 2 \) и \ (x = -1 \ text {.} \). Затем решить систему

\ begin {align *} 3 \ amp = а + Ь \\ 5 \ amp = 2a — b \ end {выровнять *}

2.

Рассмотрим последовательности \ (2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, \ ldots \) (с \ (a_0 = 2 \)).

Опишите скорость роста этой последовательности.
Найдите рекурсивное определение последовательности.
Найдите замкнутую формулу последовательности.n \) также является решением рекуррентного соотношения для любых констант \ (c, d \ text {.} \)
9.
Вспомните волшебный кондитерский автомат в ближайшем продуктовом магазине. Предположим, что в первый раз, когда в автомат кладут четвертак, выходит кегля. Второй раз 4 Skittles, третий раз 16 Skittles, четвертый раз 64 Skittles и т. Д.
1. Найдите рекурсивную и закрытую формулу для определения количества Skittles, которое получит n -й покупатель.
2. Проверьте свое решение на предмет замкнутой формулы, решив рекуррентное соотношение с помощью метода характеристического корня.
10.
Пусть \ (a_n \) будет количеством \ (1 \ times n \) дизайнов плитки, которые вы можете сделать, используя \ (1 \ times 1 \) квадраты четырех цветов и \ (1 \ times 2 \) домино, доступные в 5 цветов.
1. Сначала найдите рекуррентное соотношение для описания проблемы. Объясните, почему рекуррентное соотношение является правильным (в контексте проблемы).
2. Запишите первые 6 членов последовательности \ (a_1, a_2, \ ldots \ text {.} \)
3. Решите рекуррентное соотношение.п \ text {.} \)
11.
У вас есть доступ к тайлам \ (1 \ times 1 \), которые бывают двух разных цветов, и \ (1 \ times 2 \), которые бывают трех разных цветов. Мы хотим выяснить, сколько разных \ (1 \ times n \) дизайнов путей мы можем сделать из этих плиток.
1. Найдите рекурсивное определение для последовательности \ (a_n \) путей длины \ (n \ text {.} \)
2. Решите рекуррентное отношение, используя метод характеристического корня.2 — 2x + 1 \ text {,} \), в котором \ (x = 1 \) является единственным повторяющимся корнем. Таким образом, используя технику характеристического корня для повторяющихся корней, общее решение будет \ (a_n = a + bn \), где \ (a \) и \ (b \) зависят от начальных условий.
  1. \ (a_n = 1 + n \ text {.} \)
  2. Например, мы могли бы иметь \ (a_0 = 21 \) и \ (a_1 = 22 \ text {.} \)
  3. Для каждого \ (x \ text {.} \) Возьмите \ (a_0 = x-9 \) и \ (a_1 = x-8 \ text {.} \)
  13.
  Рассмотрим рекуррентное отношение \ (a_n = 4a_ {n-1} — 4a_ {n-2} \ text {.} \)
  1. Найдите общее решение рекуррентного отношения (остерегайтесь повторяющегося корня).
  2. Найдите решение, когда \ (a_0 = 1 \) и \ (a_1 = 2 \ text {.} \)
  3. Найдите решение, когда \ (a_0 = 1 \) и \ (a_1 = 8 \ text {.} \)
  Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.
  Настройка вашего браузера для приема файлов cookie
  Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно.Ниже приведены наиболее частые причины:
  - В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
  - Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
  - Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
  - Дата на вашем компьютере в прошлом.Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
  - Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или уточнить у системного администратора.
  Почему этому сайту требуются файлы cookie?
  Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу.Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует от сайта создания нового сеанса для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.
  Что сохраняется в файлах cookie?
  Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.
  Как правило, в cookie-файлах может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта.Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.
  систем линейных уравнений
  систем линейных уравнений
  Часто приходится смотреть на несколько функций одного и того же независимого Переменная. Рассмотрим предыдущий пример, где x — количество произведенных товаров. и продано, была независимой переменной в трех функциях: функции затрат, функция дохода и функция прибыли.
  В целом там может быть:
  n уравнений
  v переменные
  Решение систем уравнений
  Есть четыре метода решения систем линейных уравнений:
  а. графическое решение
  б. алгебраическое решение
  c. метод исключения
  d.метод замещения
  Графическое решение
  Пример 1
  даны являются два следующих линейных уравнения:
  f (x) = y = 1 + 0,5x
  f (x) = y = 11 — 2x
  Изобразите первое уравнение , найдя две точки данных. Установив сначала x, а затем y равны нулю, можно найти точку пересечения y на вертикальная ось и точка пересечения x на горизонтальной оси.
  Если x = 0, тогда f (0) = 1 + .5 (0) = 1
  Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 1 + 0,5x
  -,5x = 1
  х = -2
  Результирующий точки данных: (0,1) и (-2,0)
  Постройте график второго уравнения , найдя две точки данных. К установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y по вертикальной оси и точка пересечения x по горизонтальной оси.
  Если x = 0, тогда f (0) = 11-2 (0) = 11
  Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 11 — 2x
  2x = 11
  х = 5,5
  Результирующий точки данных: (0,11) и (5.5,0)
  В точке пересечения двух уравнений x и y имеют одинаковые значения. На графике эти значения можно прочитать как x = 4 и y = 3.
  Пример 2
  даны являются два следующих линейных уравнения:
  f (x) = y = 15 — 5x
  f (x) = y = 25 — 5x
  Изобразите первое уравнение , найдя две точки данных. Установив сначала x, а затем y равны нулю, можно найти точку пересечения y на вертикальная ось и точка пересечения x на горизонтальной оси.
  Если x = 0, тогда f (0) = 15-5 (0) = 15
  Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 15 — 5x
  5x = 15
  х = 3
  Результирующий точки данных: (0,15) и (3,0)
  Постройте график второго уравнения , найдя две точки данных. К установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y по вертикальной оси и точка пересечения x по горизонтальной оси.
  Если x = 0, тогда f (0) = 25-5 (0) = 25
  Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 25 — 5x
  5x = 25
  х = 5
  Результирующий точки данных: (0,25) и (5,0)
  Из графика видно, что эти линии не пересекаются. Они параллельны. У них одинаковый наклон.Нет однозначного решения.
  Пример 3
  даны являются два следующих линейных уравнения:
  21x — 7y = 14
  -15x + 5y = -10
  Переписать уравнения, поместив их в форму пересечения наклона.
  Первый уравнение становится
  7y = -14 + 21x
  у = -2 + 3х
  Второй уравнение становится
  5y = -10 + 15x
  у = -2 + 3х
  Изобразите любое уравнение, найдя две точки данных.Установив сначала x, а затем y равный нулю, можно найти точку пересечения y по вертикали ось и точку пересечения x на горизонтальной оси.
  Если x = 0, тогда f (0) = -2 +3 (0) = -2
  Если y = 0, тогда f (x) = 0 = -2 + 3x
  3x = 2
  х = 2/3
  Результирующий точки данных: (0, -2) и (2 / 3,0)
  Из графика видно, что эти уравнения эквивалентны.Там — бесконечное количество решений.
  Алгебраическое решение
  Этот метод будет проиллюстрирован с помощью анализа спроса и предложения. Этот Тип анализа основан на работе великого английского экономиста Альфреда Маршалл.
  Q = количество и P = цена
  P (s) = функция предложения и P (d) = функция спроса
  При построении графика цена располагается на вертикальной оси. Таким образом, цена — это зависимая переменная.Было бы логичнее рассматривать количество как зависимая переменная, и этот подход использовал великий французский экономист, Леон Вальрас. Однако по соглашению экономисты продолжают строить графики, используя Анализ Маршалла, который называют крестом Маршалла.
  Цель — найти равновесную цену и количество, т. Е. Решение где цена и количество будут иметь одинаковые значения в функции предложения и функция цены.
  Q _E = равновесная величина P _E = равновесная цена
  Для равновесия
  предложение = спрос
  или P (s) = P (d)
  Учитывая следующие функции
  P (т) = 3Q + 10 и P (d) = -1 / 2Q + 80
  Приравняйте уравнения друг к другу и решите относительно Q.
  P (т) = 3Q + 10 = -1 / 2Q + 80 = P (d)
  3.5Q = 70
  Q = 20 Равновесное количество 20.
  Подставьте это значение вместо Q в любое уравнение и решите для P.
  P (т) = 3 (20) + 10
  P (т) = 70
  П (г) = -1/2 (20) + 80
  П (г) = 70 Цена равновесия — 70.
  
  Метод исключения
  Этот метод включает удаление переменных из уравнений. Переменные удаляются последовательно, пока не останется только одна последняя переменная, т.е. пока не будет одно уравнение с одним неизвестным. Затем это уравнение решается для одного неизвестного. Затем решение используется для нахождения второго последняя переменная. Процедура повторяется путем добавления переменных в качестве их решений. найдены.
  Пример 1
  2х + 3у = 5
  -5x — 2y = 4
  Порядок действий: удалить y.Коэффициенты при y не совпадают в два уравнения, но если бы они были, можно было бы сложить два уравнения и члены y будут сокращаться. Однако это возможно через умножение каждого уравнения, чтобы заставить члены y иметь одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.
  Шаг 1: Умножьте первое уравнение на 2, а второе уравнение умножьте на 3. Это дает
  4х + 6у = 10
  -15x — 6y = 12
  Шаг 2: Сложите два уравнения.Это дает
  -11x = 22
  х = -2
  Шаг 3: Решить относительно y в любом из исходных уравнений
  2 (-2) + 3у = 5
  3 года = 9
  г = 3 или
  -5 (-2) — 2у = 4
  10 — 2y = 4
  2y = 6
  г = 3
  Альтернативная процедура: удалить x.Коэффициенты при x не совпадают в двух уравнениях, но если бы они были, можно было бы добавить два уравнения и члены y будут сокращаться. Однако возможно путем умножения каждого уравнения, чтобы заставить члены x равняться имеют одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.
  Шаг 1: Умножьте первое уравнение на 5, а второе уравнение умножьте на 2. Это дает
  10x + 15y = 25
  -10x — 4y = 8
  Шаг 2: Сложите два уравнения.Это дает
  11лет = 33
  y = 3
  Шаг 3: Решить относительно x в любом из исходных уравнений
  2x + 3 (3) = 5
  2x = -4
  х = -2 или
  -5x — 2 (3) = 4
  — 5x = 10
  х = -2
  Пример 2
  2x ₁ + 5x ₂ + 7x ₃ = 2
  4x ₁ — 4x ₂ — 3x ₃ = 7
  3x ₁ — 3x ₂ — 2x ₃ = 5
  В этом примере есть три переменные: x ₁, x ₂ и х ₃.Одна из возможных процедур — удалить первые x ₁, , чтобы исключить следующие x ₂, а затем найти x ₃. Значение, полученное для x ₃, используется для решения x ₂ и наконец, значения, полученные для x ₃ и x ₂, используются для решить относительно x ₁.
  Процедура Часть A Сначала удалите x ₁.
  Шаг 1 Умножение первое уравнение на 2 и вычтите второе уравнение из первого уравнение.Это дает
  4x ₁ + 10x ₂ + 14x ₃ = 4 первое уравнение
  4x ₁ — 4x ₂ — 3x ₃ = 7 второе уравнение
  14x ₂ + 17x ₃ = -3 второе уравнение вычитается из первого
  Шаг 2 Умножение первое уравнение на 3, третье уравнение умножьте на 2 и вычтите третье уравнение из первого уравнения.Это дает
  6x ₁ + 15x ₂ + 21x ₃ = 6 первое уравнение
  6x ₁ — 6x ₂ — 4x ₃ = 10 третье уравнение
  21x ₂ + 25x ₃ = -4 третье уравнение вычитается из первого
  Процедура Часть B Второе устранение x ₂. Из Части А осталось два уравнения. Из этих двух уравнений исключить х ₂.
  14x ₂ + 17x ₃ = -3 первое уравнение
  21x ₂ + 25x ₃ = -4 второе уравнение
  Шаг 1 Умножение первое уравнение на 21, второе уравнение умножьте на 14. и вычтите второе уравнение из первого уравнения.Это дает
  294x ₂ + 357x ₃ = -63 первое уравнение
  294x ₂ + 350x ₃ = -56 второе уравнение
  7x ₃ = -7 второе уравнение вычитается из первого
  х ₃ = -1
  Часть C Решите относительно x ₂, вставив значение, полученное для x ₃ в любое уравнение из части B.
  14x ₂ + 17 (-1) = -3
  1 4x ₂ = 14
  х ₂ = 1 или
  21x ₂ + 25 (-1) = -4
  21x ₂ = 21
  х ₂ = 1
  Часть D Решите относительно x ₁, вставив полученные значения x ₂ andx ₃ в любом из трех исходных уравнений.
  2x ₁ + 5x ₂ + 7x ₃ = 2 первое исходное уравнение
  2x ₁ + 5 (1) + 7 (-1) = 2
  2x ₁ = 4
  x ₁ = 2 или
  4x ₁ — 4x ₂ — 3x ₃ = 7 секунд исходное уравнение
  4x ₁ — 4 (1) — 3 (-1) = 7
  4x ₁ = 8
  х ₁ = 2 или же
  3x ₁ — 3x ₂ — 2x ₃ = 5 третье исходное уравнение
  3x ₁ — 3 (1) -2 (-1) = 5
  3x ₁ = 6
  х ₁ = 2
  Метод замещения
  Это включает выражение одной переменной через другую, пока не будет одно уравнение с одним неизвестным.Затем это уравнение решается для этого один неизвестный. Затем результат используется для поиска переменной, которая была выражается через переменную, решение которой было только что найдено.
  Пример
  12x — 7лет = 106 первое уравнение
  8x + У = 82 второе уравнение
  Решите второе уравнение для y, а затем подставьте полученное значение y в первое уравнение.
  г = 82 — 8x второе уравнение, решенное относительно y
  12x — 7 (82 — 8х) = 106 первое уравнение переписано в x
  12x — 574 + 56x = 106
  68x = 680
  х = 10
  Подставьте полученное значение x в любое из исходных эквивалентов.
  12x — 7лет = 106 первое уравнение
  12 (10) — 7лет = 106
  7лет = 14
  г = 2
  8 (10) + У = 82 второе уравнение
  г = 2
  [индекс]
  .

Решение 1 3: СГК оценивает решение проблемы с горячей водой в Рубцовске в 1,3 млрд руб — Сибирь |

25/05 — Архив судебных решений

ВТБ будет принимать 95 % решений по кредитам за 1-3 минуты

ВТБ будет принимать 95% решений по кредитам за 1-3 минуты | ДЕНЬГИ: Финансы | ДЕНЬГИ

Решение по делу № 11/1 3

Учебно-методический и информационный центр работников культуры и искусства Ярославской области

Методы принятия управленческих решений в 2 ч. Часть 1

Смешанные числа (дроби), формулы и онлайн калькуляторы

Математическая сцена — Уравнения III — Урок 3

Уравнения III

систем линейных уравнений, примеры решений, изображения и практические задачи. Система просто ..

Что такое система уравнений?

Хорошо, а каково решение

Сколько решений могут иметь системы линейных уравнений?

Как мы можем найти решения систем уравнений?

Вирусная головоломка 1 + 4 = 5.Разъясненный правильный ответ — помните о своих решениях

МОИ КНИГИ

KINDLE UNLIMITED

MERCHANDISE

Решение | Разница двух фракций | Размышляя о числах

Решение повторяющихся отношений

Расследовать!

Пример 2.4.1.

Пример 2.4.3.

Пример 2.4.4.

Пример 2.4.5.

Подраздел Методика характерного корня

Упражнения Упражнения

1.

2.

9.

10.

11.

13.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Что сохраняется в файлах cookie?

систем линейных уравнений

Алгебраическое решение

Метод исключения

Метод замещения

Share This Story, Choose Your Platform!

Related Posts

Насморк при прорезывании зубов у детей: причины, симптомы и лечение

Как развивать ребенка в 10 месяцев: игры и занятия для малыша

Во сколько месяцев можно ставить мальчиков в ходунки: оптимальный возраст и безопасность использования

УЗИ брюшной полости у детей: подготовка, проведение и расшифровка результатов

Когда и как вводить прикорм грудному ребенку: рекомендации педиатров

Leave A Comment Отменить ответ