Решение 1 3 – Решение задачи 9 – 3 ÷ 1/3 + 1 =?

Решение задачи 9 – 3 ÷ 1/3 + 1 =?

В социальных сетях разгорелись жаркие споры на тему решения казалось бы крайне простой задачи 9 – 3 ÷ 1/3 + 1 и в описании этой задачи говорилось что особую популярность она получила в Японии где ее не могли решить 60% взрослых.

Давайте разберем решение этой задачи и в чем может быть проблема. Начнем пожалуй с популярных ошибок.

1. Не правильная очередность операций. Вспоминаем что деление и умножение имеют приоритет перед плюсом и минусом, поэтому сначала надо выполнить среднюю часть, а затем боковые.
2. Возникает проблема с выяснением числителя и знаменателя.  Числитель либо 1, либо 3:1

Если с первой ошибкой все ясно, то вторую мы разберем подробнее. Средняя часть у нас выглядит так: 3 ÷ 1/3

Поскольку деление и знак дроби одно и тоже действие то можно переписать по другому: 3/1/3. Из математики пятого класа мы знаем что это выражение можно сократить, для этого нижнюю дробь мы просто переворачиваем с противоположным знаком и выходит 3*3/1 что равно 9.

Вторым способом решения этой дроби может быть более простой способ для взрослого человека который забыл что такое дроби. Помним что 1/3 это 0.3333333. Делим на калькуляторе 3 на 0.3333333 и получаем все туже девятку.

Но не забывает что это еще не ответ, а просто решение средней части. Нам осталось решить задачу до конца.

Итак у нас осталось 9-9 +1 что равно 1.

Ну или англоговорящие посетители блога могут посмотреть ролик где решение описывают аж в 4-х минутном видео:

На этом все, но если у вас остались вопросы или пожелания  — напишите в комментариях, попробую вам помочь.

 

Об авторе

Andrey

Администратор блога. Специалист по маркетингу, развитию бизнеса, здоровому образу жизни. Владелец и директор двух компаний в Украине. Сертифицированный специалист Apple. Увлечения: бизнес, спорт, дайвинг.

napositive.com.ua

Mathway | Популярные задачи

1	Вычислить	6^3-4^3-7^2
2	Найти медиану	11 , 13 , 5 , 15 , 14	, , , ,
3	Найти объем	сфера (5)	
4	Вычислить	квадратный корень 12
5	Преобразовать в десятичную форму	3/8
6	Преобразовать в десятичную форму	5/8
7	Найти длину окружности	окружность (5)	
8	Вычислить	10^2
9	Вычислить	квадратный корень 75
10	График	y=2x
11	Вычислить	квадратный корень 48
12	Найти площадь	окружность (5)	
13	Найти площадь	окружность (6)	
14	Вычислить	3^4
15	Вычислить	5^3
16	Вычислить	2^4
17	Вычислить	квадратный корень 32
18	Вычислить	квадратный корень 18
19	Вычислить	квадратный корень 2
20	Вычислить	квадратный корень 25
21	Вычислить	квадратный корень 8
22	Найти площадь	окружность (4)	
23	Разложить на простые множители	360
24	Вычислить	3^-2
25	Вычислить	2+2
26	Преобразовать в десятичную форму	1/3
27	Вычислить	квадратный корень 9
28	Вычислить	квадратный корень 64
29	Преобразовать в десятичную форму	3/5
30	Вычислить	квадратный корень 20
31	Вычислить	pi
32	Вычислить	-3^2
33	Вычислить	2^3
34	Вычислить	(-3)^3
35	Вычислить	квадратный корень 27
36	Вычислить	квадратный корень 5
37	Вычислить	квадратный корень 50
38	Вычислить	квадратный корень 16
39	Преобразовать в десятичную форму	3/4
40	Преобразовать в десятичную форму	2/3
41	Найти площадь	окружность (3)	
42	Вычислить	3^2
43	Вычислить	-9^2
44	Вычислить	квадратный корень 72
45	Преобразовать в десятичную форму	2/5
46	Вычислить	квадратный корень 100
47	Найти объем	сфера (3)	
48	Вычислить	2^5
49	Множитель	x^2-4
50	Вычислить	-8^2
51	Вычислить	-6^2
52	Вычислить	-7^2
53	Вычислить	-3^4
54	Вычислить	(-2)^3
55	Множитель	x^2-9
56	Найти объем	сфера (6)	
57	Найти площадь	окружность (8)	
58	Вычислить	квадратный корень 81
59	Вычислить	кубический корень 64
60	Вычислить	кубический корень 125
61	Вычислить	квадратный корень 169
62	Вычислить	квадратный корень 225
63	Вычислить	квадратный корень 3
64	Преобразовать в десятичную форму	1/4
65	Преобразовать в смешанную дробь	5/2
66	Преобразовать в десятичную форму	1/2
67	Множитель	x^2-16
68	Вычислить	5^2
69	Вычислить	4^-2
70	Вычислить	8^2
71	Преобразовать в смешанную дробь	13/4
72	Вычислить	квадратный корень 24
73	Вычислить	квадратный корень 28
74	Вычислить	кубический корень 27
75	Найти длину окружности	окружность (4)	
76	Найти площадь	окружность (7)	
77	Найти объем	сфера (2)	
78	График	y=3x
79	Найти объем	сфера (4)	
80	Найти длину окружности	окружность (6)	
81	Вычислить	квадратный корень 150
82	Вычислить	квадратный корень 45
83	Вычислить	4^3
84	Вычислить	2^-3
85	Вычислить	2^2
86	Вычислить	-(-3)^3
87	Вычислить	3^3
88	Вычислить	квадратный корень 54
89	Вычислить	квадратный корень 10
90	Найти длину окружности	окружность (3)	
91	Преобразовать в смешанную дробь	10/3
92	Преобразовать в десятичную форму	2/5
93	Разложить на простые множители	36
94	Вычислить	квадратный корень 144
95	Вычислить	(-7)^2
96	Множитель	x^2+5x+6
97	Вычислить	(-4)^3
98	Вычислить	(-5)^3
99	Вычислить	10^2
100	Вычислить	6^2

www.mathway.com

1.3.1.2. Решение задачи Запуск задачи на решение

Запуск задачи на решение производится из окна Поиск решенияпутем нажатия кнопкиВыполнить.

После запуска на решение задачи ЛП на экране появляется окно Результаты поиска решения с одним из сообщений, представленных на рис.1.7, 1.8 и 1.9.

Рис.1.7. Сообщение об успешном решении задачи

Рис.1.8. Сообщение при несовместной системе ограничений задачи

Рис.1.9. Сообщение при неограниченности ЦФ в требуемом направлении

Иногда сообщения, представленные на рис.1.8 и 1.9, свидетельствуют не о характере оптимального решения задачи, а о том, что при вводе условий задачи в Excelбыли допущеныошибки, не позволяющиеExcelнайти оптимальное решение, которое в действительности существует (см. ниже подразд.1.3.5).

Если при заполнении полей окна Поиск решения были допущены ошибки, не позволяющие Excel применить симплекс-метод для решения задачи или довести ее решение до конца, то после запуска задачи на решение на экран будет выдано соответствующее сообщение с указанием причины, по которой решение не найдено. Иногда слишком малое значение параметра Относительная погрешность не позволяет найти оптимальное решение. Для исправления этой ситуации увеличивайте погрешность поразрядно, например от 0,000001 до 0,00001 и т. д.

В окне Результаты поиска решения представлены названия трех типов отчетов: Результаты, Устойчивость, Пределы. Они необходимы при анализе полученного решения на чувствительность. Для получения же ответа (значений переменных, ЦФ и левых частей ограничений) прямо в экранной форме просто нажмите кнопку OK. После этого в экранной форме появляется оптимальное решение задачи (рис.1.10).

Рис.1.10. Экранная форма задачи (1.1) после получения решения

1.3.2. Целочисленные задачи линейного программирования

Допустим, что к условию задачи (1.1) добавилось требование целочисленности значений всех переменных. В этом случае описанный выше процесс ввода условия задачи необходимо дополнить следующими шагами.

В окне Поиск решения(менюСервис  Поиск решения), нажмите кнопкуДобавитьи в появившемся окнеДобавление ограничений введите ограничения следующим образом (рис.1.11):

• в поле Ссылка на ячейку введите адреса ячеек переменных задачи, то есть$B$3:$C$3;

• в поле ввода знака ограничения установите целое;

• подтвердите ввод ограничения нажатием кнопки OK.

На рис.1.13 представлено решение задачи (1.1), к ограничениям которой добавлено условие целочисленности значений ее переменных.

Рис.1.11. Ввод условия целочисленности переменных задачи (1.1)

Рис.1.12. Окно

Поиск решенияпри условии целочисленности переменных задачи (1.1)

Рис.1.13. Решение задачи (1.1) при условии целочисленности ее переменных

Лабораторная работа №2 «двухиндексные задачи линейного программирования. Стандартная транспортная задача»

2.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков построения математических моделей стандартных транспортных задач линейного программирования (ЛП) и решения их в MicrosoftExcel.

2.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Для транспортной модели ЛП, соответствующей номеру вашего варианта, найдите оптимальное решение в табличном редакторе MicrosoftExcelи продемонстрируйте его преподавателю.

2.3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.3.1. Стандартная модель транспортной задачи (ТЗ)

Стандартная ТЗ определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного видаиз нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозкуединицы продукции.

Исходные параметры модели ТЗ

1. m– количество пунктов отправления;

2. n– количество пунктов назначения;

3. 

   – запас продукции в пункте отправления() [ед. тов.];

4. – спрос на продукцию в пункте назначения() [ед. тов.];

5. – тариф (стоимость) перевозки единицы продукции из пункта отправленияв пункт назначения[д.ед./ед. тов.].

Искомые параметры модели ТЗ

1. – количество продукции, перевозимой из пункта отправленияв пункт назначения[ед. тов.].

2. – транспортные расходы на перевозку всей продукции [д.ед.].

Этапы построения модели

1. Определение переменных.

2. Проверка сбалансированности задачи.

3. Построение сбалансированной транспортной матрицы.

4. Задание ЦФ.

5. Задание ограничений.

Транспортная модель

(2.1)

Целевая функция представляет собой транспортные расходы на осуществление всех перевозок. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте. Наглядной формой представления модели ТЗ является транспортная матрица (табл.2.1).

Таблица 2.1

studfiles.net

1.3 Решение задачи 1.3

Максимизировать целевую функцию:

Y=-4x₁-x₂+3x₃-2x₄ → max

При ограничениях:

1x₁+2x₂+0x₃+0x₄ ≥ 3

-2x₁+0x₂+0x₃+2x₄ ≤ -9

-x₁-x₂+x₃+2x₄ ≤ -5

x₁+0x₂-2x₃+x₄ ≥ 2

x_1,2,3,4 ≥ 0

Нужно привести систему ограничений к каноническому виду. Для этого следует добавить дополнительные переменные x₅, x₆, x₇ и x₈.

1x₁+2x₂+0x₃+0x₄ -1x₅+0x₆+0x₇+0x₈=3

2x₁+0x₂+0x₃-2x₄ +0x₅-1x₆+0x₇+0x₈=9

x₁+x₂

-x₃-2x₄ +0x₅+0x₆-1x₇+0x₈=5

x₁+0x₂-2x₃+x₄ +0x₅+0x₆+0x₇-1x₈=2

Выразим допустимый базис в форме Таккера:

X₅=-3-(-1x₁-2x₂+0x₃+0x₄)

X₆=-9-(-2x₁+0x₂+0x₃+2x₄)

X₇=-5-( -x₁-x₂+x₃+2x₄)

X₈=-2-( -x₁+0x₂+2x₃-x₄)

Целевая функция в форме Таккера:

Y=0-(4x₁+x₂-3x₃+2x₄)

На основании целевой функции и полученных ограничений можно составить симплекс-таблицу (Таблица 1.10).

Таблица 1.10

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5	-3	-1	-2	0	0	1	0	0	0
X6	-9	-2	0	0	2	0	1	0	0
X7	-5	-1	-1	1	2	0	0	1	0
X8	-2	-1	0	2	-1	0	0	0	1
Y	0	4	1	-3	2	0	0	0	0

Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Вводим в базис X1, выводим из базиса X6. Результат отображен в таблице 1.11.

Таблица 1.11

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5	3/2	0	-2	0	-1	1	-1/2	0	0
X1	9/2	1	0	0	-1	0	-1/2	0	0
X7	-1/2	0	-1	1	1	0	-1/2	1	0
X8	5/2	0	0	2	-2	0	-1/2	0	1
Y	-18	0	1	-3	6	0	2	0	0

Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Вводим в базис X2, выводим из базиса X7. Результат отображен в таблице 1.12.

Таблица 1.12

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5	5/2	0	0	-2	-3	1	1/2	-2	0
X1	9/2	1	0	0	-1	0	-1/2	0	0
X2	1/2	0	1	-1	-1	0	1/2	-1	0
X8	5/2	0	0	2	-2	0	-1/2	0	1
Y	-37/2	0	0	-2	7	0	3/2	1	0

Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем обычный симплекс-метод. Вводим в базис X3, выводим из базиса X8. Результат отображен в таблице 1.13.

Таблица 1.13

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5	5	0	0	0	-5	1	0	-2	1
X1	9/2	1	0	0	-1	0	-1/2	0	0
X2	7/4	0	1	0	-2	0	1/4	-1	1/2
X3	5/4	0	0	1	-1	0	-1/4	0	1/2
Y	-16	0	0	0	5	0	1	1	1

В столбце свободных членов и в строке коэффициентов отсутствуют отрицательные элементы, а следовательно, полученный план оптимален. Произведём проверку, подставив полученные значения для переменных в начальные условия и убедившись в их верности, выписываем ответ.

Ответ : Решение оптимально

Y=-16

X=(9/2;7/4;5/4;0;5;0;0;0)

Количество итераций=3

studfiles.net

3.1. Решение уравнений

3.1.1. Решение нелинейных уравнений. Положим, нужно найти корень квадратного уравнения вида 0,5X²–3X+4=0. Решение будем искать в клетке А1, куда занесем исходное значение корня, например 0. Само уравнение внесем в А2. На рис.3.1.1а изображены эти клетки в числовой форме, на рис.3.1б – в виде формул. На рис.3.1в – результат вычислений, полученный с помощью инструментаПодбора параметра.

	A		A		A
1	0		0		1,999964
2	4		=0,5*A1^2-3*A1+4		3,56Е-05
Рис. 3.1.1а			Рис. 3.1.1б	Рис. 3.1.1в

Исходные значения параметров, участвующих в вычислениях, изображены на рис.3.1.1г в окне Подбор параметра. Точный корень нашего уравнения, как мы знаем, равен 2. Полученный результат очень близок, но не равен 2. Это естественно, поскольку Excel использует не аналитические (как мы привыкли), а численные, итерационные методы, заключающиеся в постепенном прибли­жении получаемого решения к точному.

Критерием сходимости процесса считается близость очередного и предшествующего значений подбираемых решений. По умолчанию Excel выполняет до 1000 итераций или продолжает вычисления до достижения погрешности, не превышающей 0,0001. Если вы хотите изменить эти значения, следует в меню Сервис+Пара­метрыво вкладкеВычисленияосуществить необходимые установки. Нами получено одно из решений квадратного уравнения. Другое вещественное решение (если есть) возможно будет найдено, если задать иное начальное значение Х.

	A	B	C
1	Начальное значение	Формулы	Целевая ячейка
2	10	=-1+A2^2	=СРОТКЛ (B2;B3)
3		=2-A2	Рис.3.1.2б

3.1.2. Решение систем нелинейных уравнений. Положим, имеется система двух нелинейных уравнений:

Y= 2 – X

Y= –1+X²,

которые надо решить, т.е. найти точки их пересечения. Как видно на рис.3.1.2а, система имеет две такие точки.

Для решения системы построим таблицу (рис.3.1.2б), где в клетки В2 и В3 введем обе функции, которые в качестве аргумента Х ссылаются на ячейку А2. Кроме того, для контроля вычислений в С2 вводится целевая функция, которая вычисляет среднее отклонение значений функций друг от друга. Очевидно, если эти функции пересекаются (т.е. имеются решения), С2=0. Для розыска корня в окно Поиск решениявводятся необходимые параметры процесса (рис. 3.1.2в). Результат вычислений существенно зависит от начального значения, заданного в качестве решения. На рис.3.1.2г приведены исходный и конечный вид таблицы, если задать его равным +10 (решение Х=1,30278), а на рис. 3.1.2д, если -10 (решение Х=-2,303).

	A	B	C			A	B	C
1	Начальное значение	Формулы	Целевая ячейка		1	Начальное значение	Формулы	Целевая ячейка
2	10	99	53,5		2	1,30278	0,69722	2E-10
3		-8			3		0,69722
			Рис.3.2	г
	A	B	C			A	B	C
1	Начальное значение	Формулы	Целевая ячейка		1	Начальное значение	Формулы	Целевая ячейка
2	-10	99	43,5		2	-2,303	4,303	1E-08
3		12			3		4,303
			Рис.3.2	д

Таким образом, в обоих случаях найдены два разных решения.

3.1.3. Решение систем линейных уравнений. Положим, нужно найти решение (корни) следующей системы линейных алгебраических уравнений:

2X₁–1X₂ + 1X₃=3

1X₁+3X₂– 2X₃=1

0X₁+1X₂ + 2X₃=8

Внесем коэффициенты системы в таблицу на рис.3.1.3а. Свободные члены внесем в столбец Е. В столбец D внесем формулы вычисления свободных членов (D2=СУММПРОИЗВ($A$6:$C$6;A2:C2)). Наша задача – добиться совпадения значений вычисленных и фактических значений столбцов D и Е. В качестве изменяемых значений используются ячейки А6, В6, С6. Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю.

	A	B	C	D	E
1	Х1	Х2	X3	Левая часть	Свободные члены
2	2	-1	1	3	3
3	1	3	-2	1	1
4	0	1	2	8	8
5	Корни:
6	1,00	2,00	3,00		Рис.3.1.3а

В окне Поиск решения вводятся значения только параметров:Изменя­емые ячейкииОграничения(рис.3.1.3б). Видим, что получены три корня: Х₁=1, Х₂=2, Х₃=3.

 Тест. 3.1.1. Что такое корень уравнения? 1). точка пересечения кривой с осью Х, 2). точка пересечения кривой с осью Y.

 Тест. 3.1.2. Что такое линейное уравнение? 1). уравнение не содержащее произведений переменных, 2). уравнение не содержащее переменных в знаменателе, 3) уравнение не содержащее ни того и другого.

studfiles.net

tg x = 1/3 решение

Доброй ночи!
Уравнения вида, которое вы нам предоставили — очень часто вызывает различные затруднение. Но это, на самом деле, не так страшно и не так сложно. Прежде, чем разобраться с Вашей уравнением tg x = 1/3 решение, нужно подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке: 

   

Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло. Но для решения этого уравнения есть определённое правило решения подобных уравнений, которое примет такой общий вид: 

   

 

   

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения:  

   

Значение  мы не найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, у нас будет неопределённое решение данного уравнения.
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

   

 

   

 

Ответ: 

ru.solverbook.com

1.3 Решение задачи 1.3

Максимизировать целевую функцию:

Y=-4x₁-x₂+3x₃-2x₄ → max

При ограничениях:

1x₁+2x₂+0x₃+0x₄ ≥ 3

-2x₁+0x₂+0x₃+2x₄ ≤ -9

-x₁-x₂+x₃+2x₄ ≤ -5

x₁+0x₂-2x₃+x₄ ≥ 2

x_1,2,3,4 ≥ 0

Нужно привести систему ограничений к каноническому виду. Для этого следует добавить дополнительные переменные x₅, x₆, x₇ и x₈.

1x₁+2x₂+0x₃+0x₄ -1x₅+0x₆+0x₇+0x₈=3

2x₁+0x₂+0x₃-2x₄ +0x₅-1x₆+0x₇+0x₈=9

x₁+x₂-x₃-2x₄ +0x₅+0x₆-1x₇+0x₈=5

x₁+0x₂-2x₃+x₄ +0x₅+0x₆+0x₇-1x₈=2

Выразим допустимый базис в форме Таккера:

X₅=-3-(-1x₁-2x₂+0x₃+0x₄)

X₆=-9-(-2x₁+0x₂+0x₃+2x₄)

X₇=-5-( -x₁-x₂+x₃+2x₄)

X₈=-2-( -x₁+0x₂+2x₃-x₄)

Целевая функция в форме Таккера:

Y=0-(4x₁+x₂-3x₃+2x₄)

На основании целевой функции и полученных ограничений можно составить симплекс-таблицу (Таблица 1.10).

Таблица 1.10

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5	-3	-1	-2	0	0	1	0	0	0
X6	-9	-2	0	0	2	0	1	0	0
X7	-5	-1	-1	1	2	0	0	1	0
X8	-2	-1	0	2	-1	0	0	0	1
Y	0	4	1	-3	2	0	0	0	0

Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Вводим в базис X1, выводим из базиса X6. Результат отображен в таблице 1.11.

Таблица 1.11

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5	3/2	0	-2	0	-1	1	-1/2	0	0
X1	9/2	1	0	0	-1	0	-1/2	0	0
X7	-1/2	0	-1	1	1	0	-1/2	1	0
X8	5/2	0	0	2	-2	0	-1/2	0	1
Y	-18	0	1	-3	6	0	2	0	0

Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем двойственный симплекс-метод. Вводим в базис X2, выводим из базиса X7. Результат отображен в таблице 1.12.

Таблица 1.12

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5	5/2	0	0	-2	-3	1	1/2	-2	0
X1	9/2	1	0	0	-1	0	-1/2	0	0
X2	1/2	0	1	-1	-1	0	1/2	-1	0
X8	5/2	0	0	2	-2	0	-1/2	0	1
Y	-37/2	0	0	-2	7	0	3/2	1	0

Решение не оптимально, так как имеем в строке Y отрицательные элементы. Используем обычный симплекс-метод. Вводим в базис X3, выводим из базиса X8. Результат отображен в таблице 1.13.

Таблица 1.13

БП	СЧ	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
X5	5	0	0	0	-5	1	0	-2	1
X1	9/2	1	0	0	-1	0	-1/2	0	0
X2	7/4	0	1	0	-2	0	1/4	-1	1/2
X3	5/4	0	0	1	-1	0	-1/4	0	1/2
Y	-16	0	0	0	5	0	1	1	1

В столбце свободных членов и в строке коэффициентов отсутствуют отрицательные элементы, а следовательно, полученный план оптимален. Произведём проверку, подставив полученные значения для переменных в начальные условия и убедившись в их верности, выписываем ответ.

Ответ : Решение оптимально

Y=-16

X=(9/2;7/4;5/4;0;5;0;0;0)

Количество итераций=3

studfiles.net