2
Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7. 3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь

Другие функции:

asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3.
14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности

Решить уравнение

  • Короткое обучающее видео

    Посмотрите Обучающее Видео, объясняющее как вводить условие задачи.

  • Как ввести условие задачи

    Нажмите на кнопку «Ввести свою задачу». После этого вводите условие либо с вашей клавиатуры, либо с клавиатуры на экране. Для добавления специальных математических конструкций, таких как интеграл или дробь, пользуйтесь клавиатурой на странице. По условию можно перемещаться с помошью кнопок на вашей клавиатуре: влево, вправо, вверх, вниз или с помощью мыши кликая в нужную область.

    Если вы хотите скопировать условие или чсть условия, выделите ее(зажимаете кнопку shift и стрелочками влево или вправо выделяете нужную область) и нажмите ctrl+c. Для вставки в необходимое место нажите ctrl+v. При копировании происходит автоматическая трансформация в математический формат латех, поэтому ваше условие вы можете скопировать как в свой текстовый редактор, так и в другое окно ввода на сайте. За один раз можно решить только одну задачу.

  • Как ввести систему уравнений

    Если вы ввели несколько условий, они буду рассматриваться как система, например система уравнений или неравенств.

  • Как упростить выражение

    Просто введите ваше выражение как условие и нажмите на кнопку «Решить». Не нужно ставить знак «=» в конце вашего выражения или выполнять какие-либо еще другие действия

  • Переменные и параметры

    По умолчанию при решении переменными являются x,y,z, a параметрами:a,b,c. Если у вас в задаче указаны другие переменные или параметры, нажмите на кнопку «Настройки», введите ваши переменные и параметры через запятую в соответствующие поля и нажмите на кнопку «ОК». При решении следующей задачи не забудьте вернуть исходный вариант. Для этого просто очистите поля и нажмите кнопку «ОК».

  • Как вводить геометрию

    Старайтесь вводить геометрию точь в точь как в учебнике. Орфография очень важна. Используйте перенос строки на клавиатуре.

  • Как заполнять серые квадратики

    Чтобы заполнить серый квадратик переведите в него курсор.

    Сделать это можно либо нажимая стрелки <-,-> на клавиатуре, либо просто кликните мышкой в него. Далее введите туда ваши данные и нажмите на пробел либо на стрелку ->.

  • Как вводить начальные условия для дифференциальных уравнений

    Начальные условия вводите как обычные условия. Порядок не важен. Например:
    Условие 1: y’=y+x
    Условие 2: y(0)=1

  • Сдвиг курсора на один символ влево: ←

    Чтобы сдвинуть курсор влево от текущей позиции, нажмите на кнопку ←.

  • Сдвиг курсора на один символ вправо: →

    Чтобы сдвинуть курсор вправо от текущей позиции, нажмите на кнопку →.

  • Удаление одного символа назад: ←

    Чтобы удалить символ, поставьте курсор после символа и нажмите на кнопку ←. Передвинуть курсор можно либо с помошью стрелок влево и вправо на клавиатуре либо кликнуть мышью в область после символа.

  • Удаление одного символа вперед: del

    Чтобы удалить символ, поставьте курсор перед символом и нажмите на кнопку del. Передвинуть курсор можно либо с помошью стрелок влево и вправо на клавиатуре либо кликнуть мышью в область перед символом.

  • Цифра: 0

    Чтобы ввести цифру 0, нажмите на кнопку 0.

  • Цифра: 1

    Чтобы ввести цифру 1, нажмите на кнопку 1.

  • Цифра: 2

    Чтобы ввести цифру 2, нажмите на кнопку 2.

  • Цифра: 3

    Чтобы ввести цифру 3, нажмите на кнопку 3.

  • Цифра: 4

    Чтобы ввести цифру 4, нажмите на кнопку 4.

  • Цифра: 5

    Чтобы ввести цифру 5, нажмите на кнопку 5.

  • Цифра: 6

    Чтобы ввести цифру 6, нажмите на кнопку 6.

  • Цифра: 7

    Чтобы ввести цифру 7, нажмите на кнопку 7.

  • Цифра: 8

    Чтобы ввести цифру 8, нажмите на кнопку 8.

  • Цифра: 9

    Чтобы ввести цифру 9, нажмите на кнопку 9.

  • Точка для ввода нецелых чисел

    Чтобы ввести точку для ввода нецелого числа(например 10.2), нажмите на кнопку .

  • Ввести переменную: x

    Чтобы ввести переменную x, нажмите на кнопку x. Стандартными переменными являются: x,y,z. Для ввода нестандартной переменной, нажмите на соответствующий символ на вашей клавиатуре и добавьте данную переменную в настройках. См. подсказку «Переменные и параметры»

  • Ввести переменную: y

    Чтобы ввести переменную y, нажмите на кнопку y. Стандартными переменными являются: x,y,z. Для ввода нестандартной переменной, нажмите на соответствующий символ на вашей клавиатуре и добавьте данную переменную в настройках. См. подсказку «Переменные и параметры»

  • Ввести переменную: z

    Чтобы ввести переменную z, нажмите на кнопку z. Стандартными переменными являются: x,y,z. Для ввода нестандартной переменной, нажмите на соответствующий символ на вашей клавиатуре и добавьте данную переменную в настройках. См. подсказку «Переменные и параметры»

  • Ввести корень

    Чтобы ввести корень, установите курсор в место, куда необходимо ввести корень (сделать это можно либо кликнув мышью в нужную область, либо используя стрелки влево, вправо на клавиатуре). Далее нажмите на кнопку на клавиатуре. Появится корень. Курсор автоматически окажется под корнем. Далее введите подкоренное выражение и после этого нажмите на стрелку вправо.

  • Ввести переменную в степени

    Чтобы ввести переменную в степени, установите курсор в место, куда необходимо ввести (сделать это можно либо кликнув мышью в нужную область, либо используя стрелки влево, вправо на клавиатуре). Далее нажмите на кнопку на клавиатуре. Появится x в степени. Курсор автоматически окажется в степени. Далее введите степень и после этого нажмите на стрелку вправо. Если нужно изменить перемменную, кликнете на x мышью либо передвиньтесь на него используя стрелки влево, вправо на клавиатуре. Далее удалите x с помошью красных клавиш на клавиатуре(красная стрелка влево или del) и введите нужную вам переменную. Чтобы продолжить ввод формулы справа, кликнете в самую правую часть мышью либо используя стрелку вправо переведите курсор максимально в правую часть.

  • Ввести выражение в степень

    Чтобы ввести выражение в степень, установите курсор в место, куда необходимо ввести (сделать это можно либо кликнув мышью в нужную область, либо используя стрелки влево, вправо на клавиатуре). Далее нажмите на кнопку на клавиатуре. Появится () в степени. Курсор автоматически окажется в степени. Далее введите степень и после этого перейдите внутрь скобок(сделать это можно либо кликнув мышью в нужную область, либо используя стрелки влево, вправо на клавиатуре). Далее введите нужное выражение в скобках. Чтобы продолжить ввод формулы справа, кликнете в самую правую часть мышью либо используя стрелку вправо переведите курсор максимально в правую часть.

  • Корень n-ой степени

    Чтобы ввести корень n-ой степени, установите курсор в место, куда необходимо ввести корень (сделать это можно либо кликнув мышью в нужную область, либо используя стрелки влево, вправо на клавиатуре). Далее нажмите на кнопку на клавиатуре. Появится корень. Курсор автоматически окажется под корнем. Далее введите подкоренное выражение и после этого нажмите на квадратик степени мышью, либо перейдите туда использую стрелки влево, вправо на клавиатуре. Введите степень.

  • Дробь

    Чтобы ввести дробь, установите курсор в место, куда необходимо ввести дробь (сделать это можно либо кликнув мышью в нужную область, либо используя стрелки влево, вправо на клавиатуре). Далее нажмите на кнопку на клавиатуре. Появится дробь. Курсор автоматически окажется в числителе. Далее введите числитель и после этого нажмите на квадратик знаменателя мышью, либо перейдите туда использую стрелки влево, вправо на клавиатуре. Введите знаменатель.

  • +

    Чтобы ввести +, нажмите на кнопку +

  • —

    Чтобы ввести -, нажмите на кнопку —

  • Знак умножения

    Чтобы ввести знак умножения, нажмите на кнопку $\cdot$·​

  • Знак деления

    Чтобы ввести знак деления, нажмите на кнопку :

  • Модуль

    Чтобы ввести модуль, нажмите на кнопку, курсор автоматически окажется внутри моддуля, введите выражение, далее нажмите на стрелку вправо.

  • Круглые скобки

    Чтобы ввести круглые скобки, нажмите на кнопку, курсор автоматически окажется внутри скобок, введите выражение, далее нажмите на стрелку вправо.

  • cos

    Чтобы ввести cos, нажмите на кнопку, введите выражение, далее нажмите на стрелку вправо.

  • sin

    Чтобы ввести sin, нажмите на кнопку, введите выражение, далее нажмите на стрелку вправо.

  • tan

    Чтобы ввести tan, нажмите на кнопку, введите выражение, далее нажмите на стрелку вправо.

  • cot

    Чтобы ввести cot, нажмите на кнопку, введите выражение, далее нажмите на стрелку вправо.

  • ln

    Чтобы ввести ln, нажмите на кнопку, введите выражение, далее нажмите на стрелку вправо.

  • lg

    Чтобы ввести lg, нажмите на кнопку, введите выражение, далее нажмите на стрелку вправо.

  • log

    Чтобы ввести log, нажмите на кнопку, введите выражение под логарифмом, далее нажмите на квадратик для ввода основания(сделать это можно либо кликнув мышью в нужную область, либо используя стрелки влево, вправо на клавиатуре), введите основание и перейдите стрелками в нужную область для продолжения ввода.

  • a

    Параметр a. Стандартными параметрами являются: a,b,c. Для ввода нестандартного параметра, добавьте данный параметр в настройках. См. подсказку «Переменные и параметры»

  • b

    Параметр b. Стандартными параметрами являются: a,b,c. Для ввода нестандартного параметра, добавьте данный параметр в настройках. См. подсказку «Переменные и параметры»

  • c

    Параметр c. Стандартными параметрами являются: a,b,c. Для ввода нестандартного параметра, добавьте данный параметр в настройках. См. подсказку «Переменные и параметры»

  • arccos

    Чтобы ввести arccos, нажмите на кнопку, введите выражение, нажмите на стрелку вправо.

  • arcsin

    Чтобы ввести arcsin, нажмите на кнопку, введите выражение, далее нажмите на стрелку вправо.

  • arctan

    Чтобы ввести arctan, нажмите на кнопку, введите выражение, далее нажмите на стрелку вправо.

  • arccot

    Чтобы ввести arccot, нажмите на кнопку, введите выражение, далее нажмите на стрелку вправо.

  • ‘

    Чтобы ввести значок производной, нажмите на кнопку.

  • ∫

    Чтобы ввести неопределенный интеграл, нажмите на кнопку. Далее введите подинтегральное выражение, после этого нажмите на кнопку d и введите переменную, по которой нужно провести интегрирование. Серые квадратики оставьте незаполненными. Чтобы ввести определенный интеграл, нажмите на кнопку. Далее введите подинтегральное выражение, после этого нажмите на кнопку d(на своей клавиатуре или клавиатуре сайта) и введите переменную, по которой нужно провести интегрирование. После этого кликните на нижний серый квадратик и введите нижний пределе, кликните на верхний серый квадратик и введите верхний предел.(перейти на серые квадраты можно либо кликнув на них, либо используя кнопки влево, вправо)

  • d

    Знак дифференциала. Обозначение переменной, по которой нужно произвести интегрирование.

  • lim

    Чтобы ввести предел нажмите на кнопку lim на клавиатуре. Курсор автоматически установится в место, где нужно ввести функцию. Далее нажмите на серый квадратик ниже значка lim мышью либо перейдите туда используя клавишы влево, вправо. Введите условие предела. Далее нажмите на кнопку решить(писать знак равенства после предела не нужно).

  • ->(стремится)

    Чтобы ввести значок ->(стремится), нажмите на кнопку.

  • Знак бесконечности

    Чтобы ввести значок бесконечности, нажмите на соответствующую кнопку.

  • Знак суммы(ряда)

    Чтобы ввести ряд, нажмите на кнопку суммы на клавиатуре. Курсор автоматически установится в место, где нужно ввести ряд. Далее нажмите на серый квадратик ниже значка суммы мышью либо перейдите туда используя клавишы влево, вправо. Введите нижнее условие. Далее нажмите на серый квадратик выше значка суммы мышью либо перейдите туда используя клавишы влево, вправо. Введите верхнее условие. Далее нажмите на кнопку Проверить сходимость.

  • Матрица

    Чтобы ввести матрицу, нажмите на кнопку. Появится матрица 2 на 2. Каждая ячейка матрицы должна быть в фигурных скобках {}. Чтобы ввести данные в ячейку, кликните мышью внутрь фигурных скобок либо перейдите туда используя кнопки влево, вправо. Для того чтобы добавить ячейку, установите курсор вне фигурных скобок с помошью мыши либо кнопок влево, вправо и нажмите кнопку добавления элемента. Появятся фигурные скобки, введите туда значение элемента. Для добавления строки нажмите кнопку добавления строки.

  • Добавить элемент в матрицу

    Для того чтобы добавить новый элемент(ячейку) в матрицу, установите курсор вне фигурных скобок с помошью мыши либо кнопок влево, вправо и нажмите кнопку добавления элемента.

  • Добавить строку в матрицу

    Для того чтобы добавить новую строку в матрицу, нажмите кнопку добавления строки.

  • Факториал(!)

    Чтобы ввести факториал, нажмите на кнопку !

  • n

    Чтобы ввести переменную n, нажмите на кнопку n

  • Разложить в ряд Фурье

    Чтобы разложить в ряд Фурье, необходимо ввести задачу в виде двух условий, например:

    1. y(x) = 5x

    2. (-3,3)

  • Разложить в ряд Тэйлора

    Чтобы разложить в ряд Тэйлора, необходимо ввести задачу в виде двух условий, например:

    1. y(x) = sinx

    2. x = 0

  • Провести анализ функции

    Полное исследование функций:

    — Промежутки возрастания, убывания

    — Экстремумы

    — Промежутки выпуклости, вогнутости

    Задайте функцию в виде одного условия, например:

    1. y(x) = x+5

Equation Solver: Wolfram|Alpha

WolframAlpha

Solve linear, quadratic and polynomial systems of equations with Wolfram|Alpha

Basic Math

More чем просто онлайн-решатель уравнений

Wolfram|Alpha — отличный инструмент для поиска корней многочленов и решения систем уравнений. Он также факторизует полиномы, строит наборы полиномиальных решений и неравенств и многое другое. 92<=5

  • Посмотреть другие примеры »

Доступ к инструментам мгновенного обучения

Получите немедленную обратную связь и рекомендации с пошаговыми решениями и генератором проблем Wolfram

Узнайте больше о:

  • Шаг за шагом пошаговые решения »
  • Генератор задач Wolfram »

О решении уравнений

Значение называется корнем многочлена, если .

Наибольший показатель появления в называется степенью . Если имеет степень , то хорошо известно, что есть корни, если принять во внимание кратность. Чтобы понять, что подразумевается под множественностью, возьмем, например, . Считается, что этот многочлен имеет два корня, оба равны 3,9.0003

О «теореме о факторах» узнают обычно на втором курсе алгебры, как о способе нахождения всех корней, являющихся рациональными числами. Также учатся находить корни всех квадратных многочленов, используя при необходимости квадратные корни (вытекающие из дискриминанта). Существуют более сложные формулы для выражения корней многочленов кубической и четвертой степени, а также ряд численных методов аппроксимации корней произвольных многочленов. В них используются методы комплексного анализа, а также сложные численные алгоритмы, и действительно, это область постоянных исследований и разработок.

Системы линейных уравнений часто решаются методом исключения Гаусса или подобными методами. Это также обычно встречается в учебных программах по математике средних школ или колледжей. Необходимы более совершенные методы для нахождения корней одновременных систем нелинейных уравнений. Аналогичные замечания справедливы для работы с системами неравенств: линейный случай можно обрабатывать с помощью методов, описанных в курсах линейной алгебры, тогда как полиномиальные системы более высокой степени обычно требуют более сложных вычислительных инструментов.

Как Wolfram|Alpha решает уравнения

Для решения уравнений Wolfram|Alpha вызывает функции Solve and Reduce языка Wolfram Language, которые содержат широкий спектр методов для всех видов алгебры, от основных линейных и квадратных уравнений до многомерных нелинейных систем. В некоторых случаях используются методы линейной алгебры, такие как исключение Гаусса, с оптимизацией для повышения скорости и надежности. Другие операции основаны на теоремах и алгоритмах из теории чисел, абстрактной алгебры и других продвинутых областей для вычисления результатов. Эти методы тщательно разработаны и выбраны, чтобы позволить Wolfram|Alpha решать самые разнообразные задачи, а также минимизировать время вычислений.

Хотя такие методы полезны для прямых решений, для системы также важно понимать, как человек решит ту же проблему. В результате, Wolfram|Alpha также имеет отдельные алгоритмы для пошаговой демонстрации алгебраических операций с использованием классических методов, которые люди легко распознают и которым легко следовать. Это включает в себя исключение, замену, квадратичную формулу, правило Крамера и многое другое.

Фактор многочлена или выражения с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений высших степеней. На самом деле процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, кроме этого пункта, можно выполнить без его понимания.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами . Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение находится в факторизованной форме , только если все выражение является указанным произведением.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны учитывать выражение целиком. Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс преобразования выражения из суммы или разности терминов в произведение множителей.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не изменяется — только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите, какие факторы являются общими для всех членов выражения.
  2. Фактор общих факторов.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5(2x + 1), чтобы получить 10x + 5. Обычно факторизация «отменяет» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет множитель 5, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители, удалив общие множители, действуйте, как в примере 1.

3x — наибольший общий множитель всех трех членов.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и отыщите наибольший из них. Это самый большой общий фактор. В этом случае наибольший общий делитель равен 3x.

Продолжайте, поставив 3x перед скобками.

Члены в скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Обратите внимание, что это свойство распределения. Это обратный процесс, который мы использовали до сих пор.

Исходное выражение теперь преобразуется в факторизованную форму. Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, то должно быть верно, что . Умножьте, чтобы увидеть, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано. Другими словами: «Удалили ли мы все общие факторы? Можем ли мы еще добавить факторы?»

Если бы мы удалили только множитель «3» из 3x 2 + 6xy + 9xy 2 , ответ был бы

3(x 2 + 2xy + 3xy 2 ).

Умножая для проверки, мы находим, что ответ на самом деле равен исходному выражению. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не является полностью факторизованным.

Это выражение факторизовано, но не полностью.

Чтобы факторинг был правильным, решение должно соответствовать двум критериям:

  1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
  2. FВыражение должно быть полностью разложено на .

Пример 2 Коэффициент 12x 3 + 6x 2 + 18x.

Решение

На данный момент нет необходимости перечислять факторы каждого термина. Вы должны быть в состоянии мысленно определить наибольший общий множитель. Хорошей процедурой для подражания является продумывание элементов по отдельности. Другими словами, не пытайтесь сразу получить все общие множители, а сначала получите число, а затем каждую соответствующую букву. Например, 6 — это множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Отсюда 12x 3 + 6х 2 + 18х = 6х(2х 2 + х + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Спросите себя: «Каков наибольший общий делитель чисел 12, 6 и 18?»
Затем «Каков наибольший общий делитель x 3 , x 2 и x?»
Помните, это проверка, чтобы убедиться, что мы правильно рассчитали.

Снова умножьте в качестве чека.

Снова найдите наибольший общий делитель чисел и каждой буквы в отдельности.

Если выражение нельзя разложить на множители, оно называется простым .

Помните, что 1 всегда является делителем любого выражения.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ПО ГРУППИРОВКЕ

ЦЕЛИ

После завершения этого раздела вы сможете:

  1. Факторные выражения, когда общий фактор включает более одного термина.
  2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, относится к методу факторинга, который называется группировкой .

Во-первых, мы должны отметить, что общий множитель не обязательно должен быть одним термином. Например, в выражении 2y(x + 3) + 5(x + 3) есть два члена. Это 2y(x + 3) и 5(x + 3). В каждом из этих терминов у нас есть множитель (x + 3), состоящий из терминов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда имеется четыре или более членов, мы должны вставить один или два промежуточных шага, чтобы произвести факторизацию.

Решение

Во-первых, обратите внимание, что не все четыре члена в выражении имеют общий делитель, но некоторые из них имеют. Например, мы можем разложить первые два члена на 3, что даст 3(ax + 2y). Если мы разложим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Теперь выражение равно 3(ax + 2y) + a(ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), и мы можем разложить как (ax + 2y)(3 + a). Умножая (ax + 2y)(3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a 2 x + 2ay и убедитесь, что факторинг правильный.

Это пример факторизации путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Умножьте (x — y)(a + 2) и посмотрите, получится ли исходное выражение.
Опять умножить как чек.

Иногда члены должны быть сначала переставлены, прежде чем можно будет выполнить разложение по группам.

Пример 7 Коэффициент 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего делителя, но первый и третий члены имеют, поэтому мы переставим члены так, чтобы третий член располагался после первого. Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором термины могут быть расположены.

Во всех случаях важно убедиться, что коэффициенты в скобках абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Помните, свойство коммутативности позволяет нам переставлять эти термины.
Умножить как чек.

Пример 8 Коэффициент ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что если мы разложим a из первых двух членов, мы получим a(x — y). Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 даст 2(-x + y), но разложение на множители «-2» дает -2(x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому мы действуем таким образом.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ТРЕХНОМОВ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

  1. Умножьте в уме два двучлена.
  2. Разложить на множители трехчлен с коэффициентом первого члена, равным 1.
  3. Найдите делители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих задач будет связано с разложением трехчленов на множители как произведений двух двучленов. В предыдущей главе вы научились умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух двучленов и разработать шаблон для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

Из примера (2x + 3)(3x — 4) = 6x 2 + x — 12 обратите внимание, что первый член ответа (6x 2 ) получен из произведения двух первых членов множители, то есть (2x)(3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) получен из произведения вторых членов факторов, то есть (+ 3)(-4).

Теперь у нас есть следующая часть шаблона:

Теперь снова взглянув на пример, мы видим, что средний член (+x) получен из суммы двух произведений (2x)(-4) и (3)(3x).

Теперь для любых двух биномов у нас есть эти четыре произведения:

  1. Первый срок за первым сроком
  2. Внешние условия
  3. Внутренние условия
  4. Последний срок за последним сроком

Эти продукты показаны этим шаблоном.

Когда произведения внешних и внутренних членов дают одинаковые члены, их можно объединить, и решение будет трехчленным.

Этот метод умножения двух двучленов иногда называют методом FOIL.
FOIL расшифровывается как First, Outer, Inner, Last.

Это упрощенный метод умножения двух двучленов, и его полезность будет видна, когда мы разложим трехчлены.

Вы должны запомнить эту схему.

Опять же, возможно, запоминание слова ФОЛЬГА поможет.

Этот образец следует не только запомнить, но и научиться переходить от задачи к ответу без каких-либо письменных шагов. Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Работая над следующими упражнениями, попытайтесь найти правильный ответ, ничего не записывая, кроме самого ответа. Чем больше вы практикуете этот процесс, тем лучше у вас будет факторинг.

Теперь, когда мы установили схему умножения двух двучленов, мы готовы разложить трехчлены на множители. Сначала мы рассмотрим разложение на множители только тех трехчленов, у которых коэффициент первого члена равен 1.

Решение

Поскольку это трехчлен и не имеет общего делителя, мы будем использовать схему умножения для факторизации.

На самом деле мы будем работать в обратном порядке по сравнению с предыдущим упражнением.

Сначала напишите скобки под задачей.

Теперь мы хотим заполнить термины так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x)(x) = x 2 .

Помните, произведение первых двух членов двучлена дает первый член трехчлена.

Теперь мы должны найти числа, которые при умножении дают 24 и в то же время складывают, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих у нас будет правильный первый и последний термин.

Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение

Этот метод факторинга называется методом проб и ошибок — по понятным причинам.

Здесь могут быть полезны некоторые числовые факты из арифметики.
  1. Произведение двух нечетных чисел нечетно.
  2. Произведение двух четных чисел четно.
  3. Произведение нечетного и четного числа равно четному.
  4. Сумма двух нечетных чисел четна.
  5. Сумма двух четных чисел четна.
  6. Сумма нечетного и четного числа нечетна.
Следовательно, когда мы факторизуем такое выражение, как x 2 + 11x + 24, мы знаем, что произведение двух последних членов бинома должно быть 24, что является четным, а их сумма должна быть равна 11, что является нечетным.
Таким образом, будет работать только нечетное и четное число. Нам даже не нужно пробовать такие комбинации, как 6 и 4 или 2 и 12 и так далее.

Решение

Здесь проблема немного другая. Мы должны найти числа, которые при умножении дают 24 и при этом при сложении дают — 11. Всегда нужно помнить о закономерности. Последний член получается строго путем умножения, а средний член получается, наконец, из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

Решение

Здесь мы сталкиваемся с отрицательным числом для третьего слагаемого, и это несколько усложняет задачу. трудный. Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, а средний член должен исходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить в терминах различия. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Порядок факторов не важен.

по коммутативному закону умножения.

Следующие пункты помогут вам разложить трехчлены на множители:

  1. Когда знак третьего члена положителен, оба знака в множителях должны быть одинаковыми — и они должны быть одинаковыми со знаком среднего члена.
  2. Когда знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть подобен знаку среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент при каждом из первых членов был равен 1. Когда коэффициент при первом члене не равен 1, проблема разложения на множители значительно усложняется, поскольку число возможностей значительно увеличивается.

Выполнив предыдущий набор упражнений, вы теперь готовы попробовать еще несколько сложных трехчленов.

Обратите внимание, что есть двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один из них имеет 17x в качестве среднего члена.

Вы, конечно, можете попробовать каждое из них мысленно, вместо того, чтобы записывать их.

Есть только один способ получить все три условия:

В этом примере одна из двенадцати возможностей верна. Таким образом, проб и ошибок может занять очень много времени.

Несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «обоснованное угадывание», в котором мы применяем все наши знания о числах и упражняемся в умственной арифметике. В предыдущем примере мы бы сразу отбросили многие комбинации. Поскольку мы ищем 17x в качестве среднего члена, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12 и т. д., поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетно, мы знаем, что это сумма четного числа и нечетного числа. Все эти вещи помогают сократить количество возможных попыток.

Сначала найдите числа, которые дают правильный первый и последний члены трехчлена. Затем добавьте внешний и внутренний продукт, чтобы проверить правильность среднего члена.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

  1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
  2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
  3. Множители 6×2 равны x, 2x, 3x, 6x. Делители 15 равны 1, 3, 5, 15.
  4. Исключить как слишком большое произведение 15 на 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.
Это автоматически дало бы слишком большой средний член.

Посмотрите, как сокращается количество возможностей.

Раствор

Анализ:

  1. Последний член отрицательный, поэтому отличается от знаков.
  2. Мы должны найти произведения, отличающиеся на 5 с большим отрицательным числом.
  3. Мы исключаем произведение 4x и 6 как возможно слишком большое.
  4. Попробуйте несколько комбинаций.
Помните, мысленно попробуйте различные возможные комбинации, которые являются разумными. Это процесс факторинга методом проб и ошибок. Вы станете более опытным в этом процессе благодаря практике.

(4x — 3)(x + 2): Здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принять это как решение, а поменяйте знаки так, чтобы большее произведение совпадало по знаку со средним членом.

К тому времени, когда вы закончите следующий набор упражнений, вы должны чувствовать себя намного более комфортно при разложении трехчлена на множители.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ В ФАКТОРИНГЕ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

  1. Найдите и разложите на множители разности двух полных квадратов.
  2. Определите и разложите на множители совершенный квадратный трехчлен.

В этом разделе мы хотим рассмотреть некоторые частные случаи факторинга, которые часто встречаются в задачах. Если эти особые случаи признаются, факторинг значительно упрощается.

Первый частный случай, который мы обсудим, это разность двух полных квадратов .

Напомним, что при умножении двух двучленов на образец средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если эти два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

Когда сумма двух чисел равна нулю, одно из чисел называется аддитивным обратным другого.
Например: ( + 3) + (-3) = 0, поэтому + 3 является аддитивной инверсией — 3, а также -3 является аддитивной инверсией +3.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два двучлена умножаются, чтобы получить двучлен (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Правило можно записать как = (a — b)(a + b). Это форма, которую вы найдете наиболее полезной в факторинге.

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема для факторизации и если она имеет форму , факторами будут (a — b)(a + b).

Решение

Здесь оба члена являются полными квадратами и разделены знаком минус.

Где a = 5x и b = 4.

Особые случаи действительно облегчают факторинг, но не забудьте признать, что особый случай — это именно то, что он особенный. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разность двух полных квадратов».

Сумма двух квадратов не разлагается.

Вы также должны быть осторожны, чтобы распознать правильные квадраты. Помните, что совершенные квадратные числа — это числа, квадратные корни которых являются целыми числами. Кроме того, совершенные квадратные показатели четны.

Студенты часто упускают из виду тот факт, что (1) является полным квадратом. Таким образом, такое выражение, как x 2 — 1, представляет собой разность двух полных квадратов и может быть разложено на множители этим методом.

Другим частным случаем факторинга является трехчлен с совершенным квадратом. Заметьте, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы узнаем этот случай, отмечая особенности. Три вещи очевидны.

  1. Первый член — полный квадрат.
  2. Третий член — полный квадрат.
  3. Средний член равен удвоенному произведению квадратного корня из первого и третьего членов.
Для целей факторинга удобнее записать выражение как

Решение

  1. 25x 2 — это совершенный квадратный главный квадратный корень = 5x.
  2. 4 — это совершенный квадратный главный квадратный корень = 2.
  3. 20x — удвоенное произведение квадратных корней из 25x 2 и
  4. 20х = 2(5х)(2).

Чтобы разложить на множители идеальный квадратный трехчлен , сформируйте двучлен из квадратного корня из первого члена, квадратного корня из последнего члена и знака среднего члена и укажите квадрат этого двучлена.

Таким образом, 25x 2 + 20x + 4 = (5x + 2) 2

Всегда возводите бином в квадрат, чтобы убедиться, что средний член правильный.

Не частный случай совершенного квадратного трехчлена.

15 ≠ 2(2x)(3)

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОРРЕКТЫ ДЛЯ ФАКТОРИНГА ПРОБ И ОШИБОК

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Найдите ключевое число трехчлена.
  2. Используйте номер ключа для факторизации трехчлена.

В этом разделе мы хотим обсудить некоторые упрощения метода проб и ошибок. Они необязательны по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти сокращения не всегда практичны для больших чисел. Однако они увеличат скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первым шагом в этих ярлыках является поиск номер ключа . После того, как вы нашли номер ключа, его можно использовать более чем одним способом.

В разлагаемом на множители трехчлене ключевое число есть произведение коэффициентов первого и третьего членов.


Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».

Первое использование номера ключа показано в примере 3.

Решение
Шаг 1 Найдите номер ключа. В этом примере (4)(-10)=-40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые в сумме дадут коэффициент среднего члена ( + 3). В этом случае (+8)(-5)=-40 и (+8)+(-5)=+3.
Шаг 3 Множители ( + 8) и ( — 5) будут перекрестными произведениями в схеме умножения.


Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».

Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые при умножении дают произведение. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые при умножении дают +8x. Это 4x от 4×2 и (+2) от (-10).
Поместите эти факторы на первую и последнюю позиции в шаблоне

Есть только один способ сделать это правильно.

Шаг 5 Забудьте номер ключа на этом этапе и вернитесь к исходной проблеме. Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.

Опять же, это можно сделать только одним способом.

Мы знаем, что произведение двух первых слагаемых должно давать 4×9.0165 2 и 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме х.

Обратите внимание, что на шаге 4 мы могли бы начать с внутреннего продукта вместо внешнего продукта. Мы получили бы те же коэффициенты. Наиболее важным является систематический процесс факторинга.

Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10) и (+2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме как (- 5).

Помните, если трехчлен можно разложить на множители, существует только один возможный набор множителей.

Если не удается найти множителей ключевого числа, сумма которых является коэффициентом при средних членах, то трехчлен является простым и не имеет множителей.

Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг путем группирования. Работает как в примере 5.

Решение
Шаг 1 Найдите число ключа (4)(-10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители (-40), которые в сумме дадут коэффициент среднего члена (+3).

Шаги 1 и 2 в этом методе такие же, как и в предыдущем методе.

Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, найденные в шаге 2. 8x — 5x = 3x, так что мы можем написать

Шаг 4 Разложите эту задачу из шага 3 по метод группировки, изученный в разделе 8-2


Теперь это становится обычной задачей факторизации по группировке.

Следовательно,

Опять же, есть только одна возможная пара множителей, которые могут быть получены из данного трехчлена.

Помните, что если шаг 2 невозможен, трехчлен является простым и не может быть разложен на множители.

ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы сможете разложить трехчлен на множители, выполнив следующие два шага:

  1. Сначала найдите общие факторы.
  2. Разложите на множители оставшийся трехчлен, применяя методы, описанные в этой главе.

Итак, мы изучили все обычные методы факторизации, встречающиеся в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов. Помните, что существует две проверки правильности факторинга.

  1. Будут ли множители умножаться, чтобы дать исходную задачу?
  2. Все ли множители простые?
Как только общий множитель найден, вы должны проверить, является ли полученный трехчлен факторизуемым.

Если у трехчлена есть какие-либо общие делители, обычно проще сначала разложить их на множители.

При разложении на множители рекомендуется всегда сначала удалять наибольший общий множитель, а затем, если возможно, факторизовать то, что осталось.

SUMMARY

Ключевые слова

  • Выражение находится в факторизованной форме, только если все выражение является указанным произведением.
  • Факторинг — это процесс, который превращает сумму или разность условий в произведение факторов.
  • Простое выражение нельзя разложить на множители.