Равнозамедленное движение формула: Формулы равномерного и равноускоренного движения

Равнопеременное прямолинейное движение | Физика для всех

Равномерное прямолинейное движение – это частный случай неравномерного движения.

Неравномерное движение – это движение, при котором тело (материальная точка) за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения. Например, городской автобус движется неравномерно, так как его движение состоит в основном из разгонов и торможений.

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении

остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.

vcp = s / t

Мгновенная скорость – это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

vx = x’

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

Ускорение – это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения

можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

 

Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

vx = v0x ± axt

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

0a = v0
bc = v

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).

Общая формула для определения проекции перемещения:

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t₁ равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Формула сокращённого умножения разности квадратов поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то уравнение движения тела будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а_x < 0 и х₀ = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Репетитор-онлайн — подготовка к ЦТ

Пример 2. Материальная точка движется вдоль оси Ox. Проекция ее скорости с течением времени меняется по закону v = 9,0 − 1,5t, где скорость задана в метрах в секунду, время — в секундах. Определить путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от 4,0 с до 7,0 с.

Решение. При равнопеременном движении зависимость проекции скорости от времени имеет вид:

v_x = v_0x + a_xt,

где v_0x = 9,0 м/с — проекция начальной скорости; a_x = −1,5 м/с² — проекция ускорения на указанную координатную ось.

Запишем уравнение движения материальной точки:

x(t)=x0+v0xt+axt22=x0+9,0t−0,75t2,

где x0 — начальная координата точки.

Точка остановки, вычисленная по формуле

τост=v0a=9,01,5=6,0 c,

попадает в интервал времени, указанный в условии задачи.

В интервале времени от t1 = 4,0 c до τост = 6,0 с точка движется равнозамедленно. Следовательно, пройденный путь вычисляем по формуле

S1=|x(τост)−x(t1)|,

где

x ( τ ост ) = x 0 + 9,0 τ ост − 0,75 τ ост 2 =

=x0+9,0⋅6,0−0,75⋅(6,0)2=(x0+27) м;

x(t1)=x0+9,0t1−0,75t12=x0+9,0⋅4,0−0,75⋅(4,0)2=(x0+24) м.

Таким образом, путь S1, пройденный материальной точкой в указанном интервале времени, равен:

S1=|x(τост)−x(t1)|=|(x0+27)−(x0+24)|=3,0 м.

В интервале времени от τост = 6,0 с до t2 = 7,0 c точка движется равноускоренно. Следовательно, пройденный путь вычисляем по формуле

S1=|x(t2)−x(τост)|,

где

x ( τ ост ) = x 0 + 9,0 τ ост − 0,75 τ ост 2 =

=x0+9,0⋅6,0−0,75⋅(6,0)2=(x0+27) м;

x ( t 2 ) = x 0 + 9,0 t 2 − 0,75 t 2 2 =

=x0+9,0⋅7,0−0,75⋅(7,0)2=(x0+26,25) м.

Таким образом, путь S₂, пройденный материальной точкой в указанном интервале времени, равен:

S2=|x(t2)−x(τост)|=|(x0+26,25)−(x0+27)|=0,75 м≈0,8 м.

Суммарный путь S, пройденный материальной точкой в интервале времени от 4,0 с до 7,0 с, составляет

S=S1+S2≈3,0+0,8=3,8 м.

Равнозамедленное движение Википедия

Равноускоренное движение в поле тяжести Земли. На рисунке видно, что перемещение складывается из прямолинейного равномерного движения и свободного падения

Равноуско́ренное движе́ние — движение тела, при котором его ускорение a → {\displaystyle {\vec {a}}} постоянно по модулю и направлению^[1].

Скорость при этом определяется формулой

v → ( t ) = v → 0 + a → t {\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t} ,

где v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} — начальная скорость тела, t {\displaystyle t} — время. Траектория имеет вид участка параболы или прямой.

Примером такого движения является полёт камня, брошенного под углом α {\displaystyle \alpha } к горизонту в однородном поле силы тяжести: камень летит с постоянным ускорением a → = g → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {g}}} , направленным вертикально вниз.

Частным случаем равноускоренного движения является равнозамедленное, когда векторы v → {\displaystyle {\vec {v}}} и a → {\displaystyle {\vec {a}}} противонаправлены, а модуль скорости равномерно уменьшается со временем (в примере с камнем реализуется для α = 90 0 {\displaystyle \alpha =90^{0}} при подъёме).

Содержание

• 1 Характер равноускоренного движения
• 2 Перемещение и скорость
• 3 Условие осуществления
• 4 Теорема о кинетической энергии точки
• 5 Криволинейное равноускоренное движение
• 6 См. также

Равнопеременное прямолинейное движение

Равномерное прямолинейное движение – это частный случай неравномерного движения.

Неравномерное движение – это движение, при котором тело (материальная точка) за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения. Например, городской автобус движется неравномерно, так как его движение состоит в основном из разгонов и торможений.

Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение – это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение – это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости – м/с.

vcp = s / t

Мгновенная скорость – это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

= ‘

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

vx = x’

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

Ускорение – это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

 = ' = "

Учитывая, что ₀ – скорость тела в начальный момент времени (начальная скорость), – скорость тела в данный момент времени (конечная скорость), t – промежуток времени, в течение которого произошло изменение скорости, формула ускорения будет следующей:

Отсюда формула скорости равнопеременного движения в любой момент времени:

 = 0 + t

Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

vx = v0x ± axt

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения – это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени – это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

0a = v0
bc = v

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «–» (минус).

Общая формула для определения проекции перемещения:

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t₁ равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Формула сокращённого умножения разности квадратов поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то уравнение движения тела будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а_x < 0 и х₀ = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Равнозамедленное движение Википедия

Равноускоренное движение в поле тяжести Земли. На рисунке видно, что перемещение складывается из прямолинейного равномерного движения и свободного падения

Равноуско́ренное движе́ние — движение тела, при котором его ускорение a → {\displaystyle {\vec {a}}} постоянно по модулю и направлению^[1].

Скорость при этом определяется формулой

v → ( t ) = v → 0 + a → t {\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t} ,

где v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} — начальная скорость тела, t {\displaystyle t} — время. Траектория имеет вид участка параболы или прямой.

Примером такого движения является полёт камня, брошенного под углом α {\displaystyle \alpha } к горизонту в однородном поле силы тяжести: камень летит с постоянным ускорением a → = g → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {g}}} , направленным вертикально вниз.

Частным случаем равноускоренного движения является равнозамедленное, когда векторы v → {\displaystyle {\vec {v}}} и a → {\displaystyle {\vec {a}}} противонаправлены, а модуль скорости равномерно уменьшается со временем (в примере с камнем реализуется для α = 90 0 {\displaystyle \alpha =90^{0}} при подъёме).

Характер равноускоренного движения

Равноускоренное движение происходит в плоскости, содержащей векторы ускорения a → {\displaystyle {\vec {a}}} и начальной скорости v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} . С учётом того, что v → = d r → / d t {\displaystyle {\vec {v}}={\rm {d}}{\vec {r}}/{\rm {d}}t} (здесь r → {\displaystyle {\vec {r}}} — радиус-вектор), траектория описывается выражением

r → ( t ) = r → 0 + v → 0 t + a → t 2 2 {\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}} .

На заданном интервале времени она представляет собой участок параболы, который при параллельности (то есть со- или противо- направленности) векторов a → {\displaystyle {\vec {a}}} и v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} превращается в отрезок прямой.

Для каждой из координат, скажем y {\displaystyle y} , могут быть записаны аналогичные по структуре выражения:

y ( t ) = y 0 + v 0 y t + a y t 2 2 {\displaystyle y(t)=y_{0}+v_{0y}t+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}} ,

где a y {\displaystyle a_{y}} — составляющая ускорения вдоль оси y {\displaystyle y} , а r → 0 = x 0 i → + y 0 j → + z 0 k → {\displaystyle {\vec {r}}_{0}=x_{0}{\vec {i}}+y_{0}{\vec {j}}+z_{0}{\vec {k}}} — радиус-вектор материальной точки в момент t = 0 {\displaystyle t=0} ( i → {\displaystyle {\vec {i}}} , j → {\displaystyle {\vec {j}}} , k → {\displaystyle {\vec {k}}} — орты).

В примере с камнем x 0 = y 0 = z 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=y_{0}=z_{0}=0} , компоненты ускорения a x = a z = 0 {\displaystyle a_{x}=a_{z}=0} , a y = − g {\displaystyle a_{y}=-g} , начальной скорости v x 0 = v 0 cos ⁡ α {\displaystyle v_{x0}=v_{0}\cos \alpha } , v y 0 = v 0 sin ⁡ α {\displaystyle v_{y0}=v_{0}\sin \alpha } , v z 0 = 0 {\displaystyle v_{z0}=0} , при этом x ( t ) = v 0 x t {\displaystyle x(t)=v_{0x}t} , а значит, y = tg ⁡ α ⋅ x − g / 2 v 0 2 cos 2 ⁡ α ⋅ x 2 {\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha \cdot x-g/2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha \cdot x^{2}} .

Перемещение и скорость

В случае равноускоренного движения любая из компонент скорости, например v x {\displaystyle v_{x}} , зависит от времени линейно:

v x = v 0 x + a x t {\displaystyle v_{x}=v_{0x}+a_{x}t} .

При этом имеет место следующая связь между перемещением ( Δ x = x − x 0 {\displaystyle \Delta x=x-x_{0}} ) вдоль координаты x {\displaystyle x} и скоростью вдоль той же координаты:

Δ x = v x 2 − v 0 x 2 2 a x {\displaystyle \Delta x={\frac {v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a_{x}}}} .

Отсюда можно получить выражение для x {\displaystyle x} -составляющей конечной скорости тела при известных x {\displaystyle x} -составляющих начальной скорости и ускорения:

v x = ± v 0 x 2 + 2 a x Δ x {\displaystyle v_{x}=\pm {\sqrt {v_{0x}^{2}+2a_{x}\Delta x}}} .

Если a x = 0 {\displaystyle a_{x}=0} , то v x = v o x {\displaystyle v_{x}=v_{ox}} , а Δ x = v 0 x t {\displaystyle \Delta x=v_{0x}t} .

Выражения для смещений Δ y {\displaystyle \Delta y} , Δ z {\displaystyle \Delta z} и компонент скорости вдоль координат y {\displaystyle y} и z {\displaystyle z} принимают точно такой же вид, как для Δ x {\displaystyle \Delta x} и v x {\displaystyle v_{x}} , но символ x {\displaystyle x} всюду заменяется на y {\displaystyle y} или z {\displaystyle z} .

Суммарно, по теореме Пифагора, перемещение составит

| Δ r → | = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 {\displaystyle |\Delta {\vec {r}}|={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}} ,

а модуль конечной скорости находится как

| v → | = v x 2 + v y 2 + v z 2 {\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}} .

Равноускоренное движение не может происходить неограниченно долго: это означало бы, что, начиная с какого-то момента времени t {\displaystyle t} , модуль скорости тела | v → | {\displaystyle |{\vec {v}}|} превысит величину скорости света в вакууме c {\displaystyle c} , что исключается теорией относительности.

Условие осуществления

Равноускоренное движение реализуется при действии на тело (материальную точку) постоянной силы F → {\displaystyle {\vec {F}}} , обычно в однородном гравитационном или электростатическом поле, если величина скорости тела значительно меньше, чем скорость света c {\displaystyle c} . Тогда, по второму закону Ньютона, ускорение составит

a → = F → m , {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}},}

где через m {\displaystyle m} обозначена масса тела. В примере с камнем роль F → {\displaystyle {\vec {F}}} играет сила тяжести.

Если же скорость тела сопоставима со скоростью света, то закон Ньютона в выписанном виде неприменим. При этом, в случае действия постоянной силы, происходит так называемое релятивистски равноускоренное движение, при котором постоянно только собственное ускорение, а ускорение в фиксированной ИСО приближается к нулю со временем по мере приближения величины скорости к её пределу c {\displaystyle c} .

Теорема о кинетической энергии точки

Формула перемещения при равноускоренном движении используется при доказательстве теоремы о кинетической энергии. Для этого необходимо перенести ускорение в левую часть и домножить обе части на массу тела:

m a x Δ x = m v x 2 2 − m v 0 x 2 2 {\displaystyle ma_{x}\Delta x={\frac {mv_{x}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0x}^{2}}{2}}} .

Записав аналогичные соотношения для координат y {\displaystyle y} и z {\displaystyle z} и просуммировав все три равенства, получим соотношение:

F → ⋅ Δ r → = m v 2 2 − m v 0 2 2 {\displaystyle {\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {r}}={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0}^{2}}{2}}} .

Слева стоит работа постоянной равнодействующей силы F → {\displaystyle {\vec {F}}} , а справа — разность кинетических энергий в конечный и начальный моменты движения. Полученная формула представляет собой математическое выражение теоремы о кинетической энергии точки для случая равноускоренного движения^[2].

Криволинейное равноускоренное движение

Криволинейным равноускоренным (равнопеременным) называется движение по любой кривой, при котором составляющая ускорения, параллельная скорости, является постоянной. Такое движение не подпадает под определение равноускоренного, но в математическом плане может быть рассмотрено аналогично.

В этом случае вводится обобщённая координата S {\displaystyle S} , часто называемая путём. Эта координата соответствует длине пройденной траектории (длине дуги кривой). Таким образом, формула приобретает вид:

Δ S = v 2 − v 0 2 2 a τ {\displaystyle \Delta S={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a_{\tau }}}} ,

где a τ {\displaystyle a_{\tau }} — тангенциальное ускорение, которое «отвечает» за изменение модуля скорости тела. Для скорости получаем:

v = ± v 0 2 + 2 a τ Δ S {\displaystyle v=\pm {\sqrt {v_{0}^{2}+2a_{\tau }\Delta S}}} .

При a τ = 0 {\displaystyle a_{\tau }=0} имеем движение с постоянной по модулю скоростью.

См. также

Равноускоренное движение

Примечания