Радиус вписанной окружности правильного треугольника: Радиус вписанной окружности в треугольник

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности 9 класс

Тема 7: Длина окружности и площадь круга

Урок 2: Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

Тема 34.

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

Пусть S— площадь правильного n — угольника, a_n – его сторона,

P – периметр, а r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей. Докажем, что S=12Pr

Соединим центр данного многоугольника с его вершинами

Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна

S=12anh, в данном случае h = r

S=12anr

Следовательно, площадь n — угольника равна

S=n⋅12anr

S=12nαnr

S=12Pr

Выведем далее формулы:

an=2Rsin⁡180°n

r=Rcos⁡180°n

Рассмотрим правильный n — угольник A₁A₂A₃…A_n, где О – центр данного многоугольника.

Рассмотрим ∆OA₁H₁

∠A1=αn2=n-22n⋅180°=90°-180°n

∆OA₁H_{1– прямоугольный, следовательно}

cos⁡A1=A1h2OA1

OA₁= Rcos⁡A1=A1h2R

A₁H₁ = R cos A₁

A1h2=Rcos⁡90°-180°n=Rsin⁡180°n

an=A1A2=2A1h2=2Rsin⁡180°n

r=Oh2=OA1∙sin⁡A1=Rsin90°-180°n=Rcos180°n

Далее из формулы an=2Rsin⁡180°n выразим стороны правильного треугольника, четырехугольника и шестиугольника. Для этого вместо n подставим числа 3,4 и 6, получим:

a3=2Rsin⁡180°4=2Rsin⁡60°=2R⋅32=R3

a4=2Rsin⁡180°4=2Rsin⁡45°=2R⋅22=R2,

a6=2Rsin⁡180°6=2Rsin⁡30°=2R⋅12=R

Рассмотрим пример.

Найдем площадь правильного шестиугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 9 см.

Воспользуемся формулой: S=12Pr

Найдем периметр данного шестиугольника. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то есть a₆ = R

r=Rcos180°n

9=Rcos⁡180°6

9=Rcos⁡30°

9=R32

R=9÷32=9∙23=1833=63

a6=R=63 см

P=6∙63=363 см

S=12363∙9=1623 см²

Ответ :1623 см²

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Площади

Формулы для площади треугольника

Вывод формул для площади произвольного треугольника

Вывод формул для площади равностороннего (правильного) треугольника

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

Формулы для площади треугольника

      Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Произвольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону
		Посмотреть вывод формулы	a и b – две любые стороны, С – угол между ними
		. Посмотреть вывод формулы Герона	a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона»
		Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы
		Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
		Посмотреть вывод формулы	a, b, c  – стороны, R – радиус описанной окружности
		S = 2R2 sin A sin B sin C Посмотреть вывод формулы	A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности
Равносторонний (правильный) треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – сторона
		Посмотреть вывод формулы	h – высота
		Посмотреть вывод формулы	r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	R – радиус описанной окружности
Прямоугольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a и b – катеты
		Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – прилежащий острый угол
		Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – противолежащий острый угол
		Посмотреть вывод формулы	c – гипотенуза, φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник
	где a – любая сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы
	где a и b – две любые стороны, С – угол между ними Посмотреть вывод формулы
	. где a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона» Посмотреть вывод формулы Герона
	где a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c  – стороны, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
	S = 2R2 sin A sin B sin C где A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
Равносторонний (правильный) треугольник
	где a – сторона Посмотреть вывод формулы
	где h – высота Посмотреть вывод формулы
	где r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
	где R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
Прямоугольный треугольник
	где a и b – катеты Посмотреть вывод формулы
	где a – катет, φ – прилежащий острый угол Посмотреть вывод формулы
	где a – катет, φ – противолежащий острый угол Посмотреть вывод формулы
	где c – гипотенуза, φ – любой из острых углов Посмотреть вывод формулы

Произвольный треугольник

где a – любая сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы

где a и b – две любые стороны, С – угол между ними Посмотреть вывод формулы

. где a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона» Посмотреть вывод формулы Герона

где a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы Посмотреть вывод формулы

где a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр Посмотреть вывод формулы

где a, b, c  – стороны, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin A sin B sin C где A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник

где a – сторона Посмотреть вывод формулы

где h – высота Посмотреть вывод формулы

где r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы

где R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где a и b – катеты Посмотреть вывод формулы

где a – катет, φ – прилежащий острый угол Посмотреть вывод формулы

где a – катет, φ – противолежащий острый угол Посмотреть вывод формулы

где c – гипотенуза, φ – любой из острых углов Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для площади произвольного треугольника

      Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а h_a – высота, опущенная на эту сторону.

      Доказательство.

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

      Доказательство.

Рис. 2

Поскольку

h_a = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

      Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

      Доказательство.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = h_actg C ,       y = h_actg B ,

то

a = x + y =
= h_actg C + h_actg B =
= h_a( ctg C + ctg B) .

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R² sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Поэтому

a = 2R sin A ,    
b = 2R sin B ,    
c = 2R  sin C ,

      В силу утверждения 5

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

1. Если a – сторона равностороннего треугольника, то его площадь

2. Если h – высота равностороннего треугольника, то его площадь

3. Если r – радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, то его площадь

4. Если R – радиус описанной около равностороннего треугольника окружности, то его площадь

      Доказательство.

1. Рассмотрим рисунок 7.

Рис. 7

В силу утверждения 2

2. Рассмотрим рисунок 8.

Рис. 8

Поскольку

то

3. Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство   h = 3r.  Следовательно,

4. Рассмотрим рисунок 10.

Рис. 10

Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Следовательно,

      Доказательство утверждения 7 завершено.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

      Утверждение 8.

1. Если a и b – катеты прямоугольного треугольника, то его площадь

2. Если a – катет прямоугольного треугольника, а φ – прилежащий к этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника

3. Если a – катет прямоугольного треугольника, а φ – противолежащий этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника

4. Если c – гипотенуза прямоугольного треугольника, а φ – острый угол, то площадь прямоугольного треугольника

      Доказательство.

1. Рассмотрим рисунок 11.

Рис. 11

В силу утверждения 2

2. Рассмотрим рисунок 12.

Рис. 12

Поскольку

b = a tg φ ,

то

3. Рассмотрим рисунок 13.

Рис. 13

Поскольку

b = a ctg φ ,

то

4. Рассмотрим рисунок 14.

Рис. 14

Поскольку

a = c cos φ ,    
b = c sin φ ,

то

      Доказательство утверждения 8 завершено.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник в блоге Вилли Даффа

Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник в блоге Вилли Даффа

Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник . Нам нужно найти радиус вписанного. Веб-периметр равен 12sqrt(3), есть много способов решить эту проблему.

Найдите радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, если радиус — изображение кредита: brainly. com

Для нахождения радиуса окружности воспользуемся формулой r= (s−a)tana2 и известным фактом, что s от a. Внутренняя сторона равностороннего треугольника равна длине радиуса наибольшей окружности, содержащейся в треугольнике; Вот один из них.

Найдите радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, если радиус

Веб-ответ (1 из 7): = цифра 2 1 2 4 6 10 f Для нахождения радиуса окружности используйте формулу r= (s−a)tana2 и известную вещь, что s of a. Эта длина называется основанием или сокращенно b, а высота обозначается h.

изображение предоставлено: www.youtube.com

Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник — Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении. Снова формируем равнобедренный треугольник, как показано на рисунке. Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник.

изображение предоставлено: www.youtube.com

Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник — Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиусом r, будет равна 20,784, тогда как сторона треугольника будет равна 6,928. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении. Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник.

изображение предоставлено: math.stackexchange.com

Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник — Веб-ответ (1 из 7): Для нахождения радиуса окружности используйте формулу r= (s−a)tana2 и известную вещь, что s от a. Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник.

изображение предоставлено: mathcountsnotes.blogspot.ca

Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник — Паутина Каков радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник? Мы видим, что ∠acb — вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности (подсказка в задаче «Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник».

изображение предоставлено: mathibayon.blogspot.com

Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник — Web Найдите площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиусом 5. Периметр сети равен 12sqrt(3) Есть много способов решить эту проблему. Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник.

изображение предоставлено: www.quora.com

Как найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник — Найдите радиус вписанной окружности и площадь заштрихованной области. Web как построить (начертить) равносторонний треугольник, вписанный в заданную окружность с помощью циркуля и линейки или линейки. Как найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник.

Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной s.

Выберите область веб-сайта для поиска

MathAllУчебные пособияПомощь в выполнении домашних заданийПланы уроков

Искать на этом сайте

Цитата страницы Начать эссе значок-вопрос Задайте вопрос

Начать бесплатную пробную версию

Скачать PDF PDF Цитата страницы Цитировать Поделиться ссылкой Делиться

Ссылайтесь на эту страницу следующим образом:

«Вычислите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной s». eNotes Editorial , 18 февраля 2012 г., https://www.enotes.com/homework-help/derive-radius-circle-inscribed-an-equilateral-315894. По состоянию на 28 апреля 2023 г.

Ответы экспертов

У равностороннего треугольника со сторонами, равными s, все стороны равны s.

Радиус вписанной окружности треугольника со сторонами a, b и c определяется по формуле

r = `sqrt(((S — a)(S — b)(S — c))/S)` где s — полупериметр треугольника. 92/12)`

=> r = `(sqrt 3/6)*s`

Радиус внутреннего радиуса равностороннего треугольника со стороной s равен `(sqrt 3/6)*s`

См. eNotes без рекламы

Начните с 48-часовой бесплатной пробной версией , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые наши эксперты ответили.

Получите 48 часов бесплатного доступа

Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Утверждено редакцией eNotes

Задайте вопрос

Похожие вопросы

Просмотреть все

Математика

Последний ответ опубликован 07 сентября 2010 г. в 12:47:25.

Что означают буквы R, Q, N и Z в математике?

14 Ответы педагога

Математика

Последний ответ опубликован 07 октября 2013 г. в 20:13:27.

Как определить, является ли это уравнение линейной или нелинейной функцией?

84 Ответы педагога

Математика

Последний ответ опубликован 25 февраля 2016 г. в 18:48:45.

Сколько времени (в часах) займет ваше путешествие, если вы проедете 350 км со средней скоростью 80 км/ч? Какова формула с данными: время, расстояние, скорость или скорость?

1 Ответ учителя

Математика

Последний ответ опубликован 09 октября 2017 г. в 00:54:39

Добавьте 1 плюс 2 плюс 3 плюс 4. . . вплоть до 100.

3 Ответа воспитателя

Математика

Последний ответ опубликован 02 сентября 2012 г.