Радиус описанной около равнобедренного треугольника. Все формулы радиуса описанной окружности

Вам понадобится

  • Треугольник с заданными параметрами
  • Циркуль
  • Линейка
  • Угольник
  • Таблица синусов и косинусов
  • Математические понятия
  • Определение высоты треугольника
  • Формулы синусов и косинусов
  • Формула площади треугольника

Инструкция

Начертите треугольник с нужными параметрами. Треугольник либо по трем сторонам, либо по двум сторонам и углу между ними, либо по стороне и двум прилежащим к ней углам. Обозначьте вершины треугольника как А, В и С, углы — как α, β, и γ, а противолежащие вершинам углом стороны — как а, b и c.

Проведите ко всем сторонам треугольника и найдите точку их пересечения. Обозначьте высоты как h с соответствующими сторонам индексами. Найдите точку их пересечения и обозначьте ее О. Она и будет являться центром окружности. Таким образом, радиусами этой окружности будут являться отрезки ОА, ОВ и ОС.

Радиус найти по двум формулам. Для одной вам необходимо сначала вычислить . Она равна всех сторон треугольника на синус любого из углов, деленному на 2.

В этом случае радиус описанной окружности вычисляется по формуле

Для другой достаточно длину одной из сторон и синус противолежащего угла.

Вычислите радиус и опишите треугольника окружность.

Полезный совет

Вспомните, что такое высота треугольника. Это перпендикуляр, проведенный из угла к противолежащей стороне.

Площадь треугольника может быть представлена и как произведение квадрата одной из сторон на синусы двух прилежащих углов, деленное на удвоенный синус суммы этих углов.
S=а2*sinβ*sinγ/2sinγ

Источники:

  • таблица с радиусами описанной окружности
  • Радиус окружности, описанной около равностороннего

Считается описанной вокруг многоугольника в том случае, если она касается всех его вершин. Что примечательно, центр подобной окружности совпадает с точкой пересечения перпендикуляров, проведенных из середин сторон многоугольника. Радиус описанной окружности полностью зависит от того многоугольника, вокруг которого она описана.

Вам понадобится

  • Знать стороны многоугольника, его площадь/периметр.

Инструкция

Обратите внимание

Вокруг многоугольника можно описать окружность только в том случае, если он правильный, т.е. все его стороны равны и все его углы равны.

Тезис, гласящий, что центром описанной вокруг многоугольника окружности является пересечение его серединных перпендикуляров, справедлив для всех правильных многоугольников.

Источники:

  • как найти радиус многоугольника

Если для многоугольника удается построить и описанную окружности, то площадь этого многоугольника меньше площади описанной окружности, но больше площади вписанной окружности. Для некоторых многоугольников известны формулы для нахождения радиуса вписанной и описанной окружностей.

Инструкция

Вписанной в многоугольник окружность, касающаяся всех сторон многоугольника.1/2.

Для многоугольников не всегда возможно выяснить соотношение радиусов вписанных и и длин его сторон. Чаще ограничиваются построением таких окружностей около многоугольника, а затем физического

радиуса окружностей с помощью измерительных приборов или векторного пространства.
Для построения описанной окружности выпуклого многоугольника строят биссектрисы двух его углов, на их пересечении лежит центр описанной окружности. Радиусом будет расстояние от точки пересечения биссектрис до вершины любого угла многоугольника. Центр вписанной на пересечении перпендикуляров, построенных вовнутрь многоугольника из центров сторон (эти перпендикуляры срединными). Достаточно построить два таких перпендикуляра. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки пересечения срединных перпендикуляров до стороны многоугольника.

Видео по теме

Обратите внимание

В произвольно заданный многоугольник нельзя вписать окружность и описать окружность вокруг него.

Полезный совет

В четырехугольник можно вписать окружность, если a+c = b+d, где a, b, с, d — стороны четырехугольника по порядку.2). Подставляя синус в формулу для площади и расписывая его, можно прийти к формуле для площади треугольника ABC.

Видео по теме

Три точки, однозначно определяющие треугольник в Декартовой системе координат — это его вершины. Зная их положение относительно каждой из координатных осей можно вычислить любые параметры этой плоской фигуры, включая и ограничиваемую ее периметром

площадь . Это можно сделать несколькими способами.

Инструкция

Используйте формулу Герона для расчета площади треугольника . В ней задействованы размеры трех сторон фигуры, поэтому вычисления начините с . Длина каждой стороны должна быть равна корню из суммы квадратов длин ее проекций на координатные оси. Если обозначить координаты A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃), длины их сторон можно выразить так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Для упрощения расчетов введите вспомогательную переменную — полупериметр (Р). Из , что это половина суммы длин всех сторон: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Рассчитайте площадь (S) по формуле Герона — извлеките корень из произведения полупериметра на разность между ним и длиной каждой из сторон. В общем виде ее можно записать так: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

Для практических расчетов удобно пользоваться специализированными -калькуляторами. Это скрипты, размещенные на серверах некоторых сайтов, которые проделают все необходимые расчеты на основе координат, введенных вами в соответствующую форму. Единственный такого сервиса — он не дает объяснений и обоснований для каждого шага вычислений. Поэтому, если вас интересует только конечный результат, а не вычисления в общем виде, перейдите, например, на страницу http://planetcalc.ru/218/.

В поля формы введите каждую координату каждой из вершин треугольника — они здесь как Ax, Ay, Az и т.д. Если треугольник задан двухмерными координатами, в поля — Az, Bz и Cz — пишите ноль. В поле «Точность вычисления» установите нужное число знаков после запятой, кликая мышкой плюса или минуса. Помещенную под формой оранжевую кнопку «Рассчитать» нажимать не обязательно, вычисления будут произведены и без этого. Ответ вы найдете рядом с надписью «Площадь

треугольника » — она размещена сразу под оранжевой кнопкой.

Источники:

  • найдите площадь треугольника с вершинами в точках

Иногда около выпуклого многоугольника можно начертить таким образом, чтобы вершины всех углов лежали на ней. Такую окружность по отношению к многоугольнику надо называть описанной. Ее центр не обязательно должен находиться внутри периметра вписанной фигуры, но пользуясь свойствами описанной окружности , найти эту точку, как правило, не очень трудно.

Вам понадобится

  • Линейка, карандаш, транспортир или угольник, циркуль.

Инструкция

Если многоугольник, около которого нужно описать окружность, начерчен на бумаге, для нахождения

центр а круга достаточно линейки, карандаша и транспортира либо угольника. Измерьте длину любой из сторон фигуры, определите ее середину и поставьте в этом месте чертежа вспомогательную точку. С помощью угольника или транспортира проведите внутри многоугольника перпендикулярный этой стороне отрезок до пересечения с противоположной стороной.

Проделайте эту же операцию с любой другой стороной многоугольника. Пересечение двух построенных отрезков и будет искомой точкой. Это вытекает из основного свойства описанной окружности — ее центр в выпуклом многоугольнике с любым сторон всегда лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к этим

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны .

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры , проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке .

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы .

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R 2 sin A sin B sin C ,

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность . Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Очень часто при решении геометрических задач приходится совершать действия со вспомогательными фигурами. Например, находить радиус вписанной или описанной окружности и т.д. Данная статья покажет, как находить радиус окружности, описанной около треугольника. Или, иными словами, радиус окружности, в которую вписан треугольник.

Как найти радиус окружности, описанной около треугольника – общая формула

Общая формула выглядит следующим образом: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), где R – радиус описанной окружности, p – периметр треугольника поделенный на 2 (полупериметр). a, b, c – стороны треугольника.

Найти радиус описанной окружности треугольника, если a = 3, b = 6, c = 7.

Таким образом, исходя из вышеприведенной формулы, вычисляем полупериметр:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Подставляем значения в формулу и получаем:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16√5.

Ответ: R = 126/16√5

Как найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника

Для нахождения радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, существует довольно простая формула: R = a/√3, где a – величина его стороны.

Пример: Сторона равностороннего треугольника равна 5. Найти радиус описанной окружности.

Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, для решения задачи нужно всего лишь вписать ее значение в формулу. Получим: R = 5/√3.

Ответ: R = 5/√3.


Как найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Формула выглядит следующим образом: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, где a и b – катеты и c – гипотенуза. Если сложить квадраты катетов в прямоугольном треугольнике, то получим квадрат гипотенузы. Как видно из формулы, данное выражение находится под корнем. Вычислив корень из квадрата гипотенузы, мы получим саму длину. Умножение получившегося выражения на 1/2 в итоге приводит нас к выражению 1/2 × c = c/2.

Пример: Вычислить радиус описанной окружности, если катеты треугольника равны 3 и 4. Подставим значения в формулу. Получим: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

В данном выражение 5 – длина гипотенузы.

Ответ: R = 2.5.


Как найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Формула выглядит следующим образом: R = a²/√(4a² – b²), где a – длина бедра треугольника и b – длина основания.

Пример: Вычислить радиус окружности, если его бедро = 7, а основание = 8.

Решение: Подставляем в формулу данные значения и получаем: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Ответ можно записать прямо так.

Ответ: R = 49/√132


Онлайн ресурсы для вычисления радиуса окружности

Можно очень легко запутаться во всех этих формулах. Поэтому при необходимости можно воспользоваться онлайн калькуляторами, которые помогут вам в решении задач на нахождение радиуса. Принцип работы таких мини-программ очень прост. Подставляете значение стороны в соответствующее поле и получаете готовый ответ. Можно выбрать несколько вариантов округления ответа: до десятичных, сотых, тысячных и т.д.

Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.

Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы. Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.
Для каждого треугольника существует только одна описанная окружность. Это такая окружность, на которой лежат все три вершины треугольника с заданными параметрами. Найти ее радиус может понадобиться не только на уроке геометрии. С этим приходится постоянно сталкиваться проектировщикам, закройщикам, слесарям и представителям многих других профессий. Для того, чтобы найти ее радиус, необходимо знать параметры треугольника и его свойства. Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров треугольника.
Предлагаю вашему вниманию все формулы нахождения радиуса описанной окружности и не только треугольника. Формулы для вписанной окружности можно посмотреть .

a, b. с — стороны треугольника,

α — угол, лежащий против стороны a,
S — площадь треугольника ,

p — полупериметр.

Тогда для нахождения радиуса (R ) описанной окружности используют формулы:

В свою очередь площадь треугольника можно вычислить по одной из следующих формул:

А вот еще несколько формул.

1. Радиус описанной окружности около правильного треугольника. Если a сторона треугольника, то

2. Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника. Пусть a, b — стороны треугольника, тогда

Диаметром окружности называют отрезок прямой, которая соединяет две наиболее удаленные друг от друга точки окружности, проходя через центр окружности. Название диаметр, произошло с греческого языка и в дословном переводе обозначало – поперечный. Диаметр обозначают букой D латинского алфавита или значком O.

Диметр окружности

Для того, что бы знать, как найти диаметр окружности, нужно обратиться к формулам. Основных формул, по которым можно вычислить диаметр окружности две. Первая — D = 2R. Здесь диаметр равен удвоенному радиусу, где радиус – промежуток от центра до любой из точек окружности (R). Рассмотрим пример, если в задании известен радиус и он равен 10 см, то можно легко найти диаметр. Для этого значения радиуса подставим в формулу D = 2 * 10 = 20 см

Вторая формула дает возможность найти диаметр по длине окружности и выглядит она так D = L/П, где L- величина длины окружности, а П – это число Пи, которое примерно равно 3,14. Эту формулу очень удобно применять в практике. Если вам нужно знать диаметр люка, крышки на бак, какого-то котлована, стоит, лишь замерить их длину окружности и поделить ее на 3,14. Например, длина окружности равна 600 см, отсюда D = 600/3,14 = 191,08 см.

Диаметр описанной окружности

Диаметр описанной окружности также можно найти, если он описан или вписан в треугольник. Для этого сначала нужно найти радиус для вписанной окружности по формуле: R = S/p, где S обозначает площадь треугольника, а р – его полупериметр, p приравнивается к (a + b + c)/2. После того, как известен радиус, нужно воспользоваться первой формулой. Либо же сразу подставить все значения в формулу D = 2S/p.

Если вы не знаете, как найти диаметр описанной окружности, воспользуйтесь формулой, для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника. R = (a * b * c)/4 * S, S в формуле обозначает величину площади треугольника. Потом, точно также подставьте значение радиуса в формулу D = 2R.

Радиус описанной около треугольника окружности

В этой статье приведены формулы для расчёта радиуса описанной около треугольника окружности для различных случаев, а именно: для прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников.

Также приведена формула для описанной около треугольника окружности в общей форме и добавлены онлайн-калькуляторы для быстрого расчёта.

Определение 1

Описанной около треугольника окружностью называется окружность, внутри которой расположен треугольник, причём все три вершины этого треугольника лежат на окружности.

Ниже приведён онлайн-калькулятор для расчёта радиуса описанной окружности для любого треугольника. Для того чтобы воспользоваться им — введите имеющиеся данные в поля для ввода онлайн-калькулятора.

Радиус описанной около треугольника окружности через стороны

Чтобы определить радиус описанной вокруг треугольника окружности, нужно воспользоваться формулой:

$R = \frac{a\cdot b \cdot c}{4 \cdot \sqrt{P \cdot(P — a)\cdot(P — c) \cdot(P — b)}}$  (1), причём

$P$ — это полупериметр треугольника.

Он определяется по формуле:

$P = \frac12 \cdot (a + b + c)$, где

$a, b, c$ — стороны треугольника.

Рассмотрим пример на поиск радиуса описанной около треугольника окружности.

Пример 1

Задача

Дан треугольник со сторонами $3, 4, 5$ см. Найдите, чему равен радиус описанной вокруг него окружности.

Решение:

Сосчитаем полупериметр:

$P = \frac12 \cdot (3 + 4 + 5) = 6$ см.

Теперь воспользуемся формулой (1):

$R = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5} {4 \cdot \sqrt{6 \cdot (6 — 3) \cdot (6 — 4) \cdot (6 — 5)}} = 2,5$ см.

Результат совпадает с ответом онлайн-калькулятора, следовательно, задача решена правильно.

Также существуют формулы для расчёта радиуса описанной около прямоугольного и равнобедренного треугольников окружностей.

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности через стороны

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

 

$R = \frac12 \cdot \sqrt{d^2 + b^2}$, здесь

 

$d, b$ — катеты прямоугольного треугольника.2}}$, здесь

$d$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника;

$b$ — длина основания.

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности через сторону

В этом случае радиус определяется через формулу:

$R = \frac{a}{\sqrt3}$, здесь

$a$ — сторона равностороннего треугольника.

Рассмотрим в качестве второго примера поиск радиуса описанной окружности через сторону равностороннего треугольника.

Пример 2

Задача

В равностороннем треугольнике сторона $a$ равна $3$ см. Чему равен радиус описанной вокруг него окружности?

Решение:

$R = \frac{a}{\sqrt3} = 1, 73$ см.

Ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, а значит, решение найдено верно.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Если в задача дана окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, в ее решении могут быть использованы свойства касательных и свойство биссектрисы треугольника.

Замечание.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Поскольку в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой, то центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности лежит на высоте и медиане, проведенных к основанию.

Рассмотрим две задачи на вписанную в равнобедренный треугольник окружность.

Задача 1.

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8:9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найти площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

 

Дано: ∆ ABC, AC=BC,

окружность (O, r) — вписанная,

F, K, M,  — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

AM:MC=8:9, r=16 см.

Найти:

   

Решение:

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AM=8k см, MC=9k см.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AF=AM=8k см, CK=MC=9k см.

Так как AC=BC, то BK=AM и BF=BK=8k см.

3) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Так как ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB, то CF — высота, медиана и биссектриса ∆ ABC.

4) Рассмотрим треугольник AFC.

∠AFC=90, AF=8k см, AC=AM+MC=17k см.

По свойству биссектрисы треугольника:

   

OF=r.  Пусть CO=x см, тогда

   

   

   

CO=34 см, CF=CO+OF=34+16=50 см.

По теореме Пифагора:

   

   

   

   

   

Таким образом,

   

   

   

Ответ: 1333 1/3 кв.см.

Задача 2.

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5:4. Найти периметр треугольника, если боковая сторона меньше основания на 15 см.

 Дано: ∆ ABC, AC=BC,

окружность (O, r) — вписанная,

CF — высота, CO:OF=5:4, AC<AB на 15 см.

Найти:

   

Решение:

1) Рассмотрим ∆ ACF — прямоугольный (так как CF — высота треугольника по условию).

Центр вписанной в треугольник окружности есть точка пересечения его биссектрис.

По свойству биссектрисы треугольника,

   

или

   

Пусть k — коэффициент пропорциональности, тогда AC=5k см, AF=4k см, AB=2AF=8k см.

По условию, AC<AB на 15 см. Поэтому 8k-5k=15, 3k=15, k=5.

Следовательно, AC=BC=5∙5=25 см, AB=8∙5=40 см.

   

Ответ: 90 см.

 

Сканави. Планиметрия. Задачи 51 – 100 с ответами и решениями

Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями

Группа А. Задачи 51 — 100 (с ответами и решениями)

  • Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Определить отношение площадей этих сегментов. Ответ:  Решение

  • Круг, радиус которого равен R, разделен на два сегмента хордой, равной стороне вписанного квадрата. Определить площадь меньшего из этих сегментов. Ответ:  Решение

  • В круге радиуса R по разные стороны от центра проведены две параллельные хорды, одна из которых равна стороне правильного вписанного треугольника, а другая — стороне правильного вписанного шестиугольника. Определить площадь части круга, содержащейся между хордами. Ответ:   Решение

  • Три окружности радиусов R1= 6 см, R2 = 7 см, R3 = 8 см попарно касаются друг друга. Определить площадь треугольника, вершины которого совпадают с центрами этих окружностей. Ответ: 84 Решение

  • Каждая из трех равных окружностей радиуса r касается двух других. Найти площадь треугольника, образованного общими внешними касательными к этим окружностям. Ответ:  Решение

  • В круг радиуса R вписаны два правильных треугольника так, что при их взаимном пересечении каждая из сторон разделилась на три равных отрезка. Найти площадь пересечения этих треугольников. Ответ:  Решение

  • Общая хорда двух окружностей служит для одной из них стороной вписанного квадрата, а для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найти расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей из них равен r (рассмотреть два возможных случая расположения окружностей). Ответ:  Решение

  • Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного треугольника, а для другой — стороной вписанного квадрата. Определить расстояние между центрами окружностей (рассмотреть два возможных случая). Ответ:   Решение

  • Одна из двух параллельных прямых касается окружности радиуса R в точке А, а другая пересекает эту окружность в точках В и С. Выразить площадь треугольника ABC как функцию расстояния х между прямыми. Ответ:   Решение

  • В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти катеты треугольника. Ответ: 8; 15 Решение

  • Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 3 и 5 см. Найти катеты треугольника. Ответ: 6; 8 Решение

  • Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 15 см, а радиус вписанной в него окружности равен 6 см. Найти стороны треугольника. Ответ: 18, 24, 30 Решение

  • Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см. Найти площадь треугольника. Ответ: 60 Решение

  • Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен а. Ответ:  Решение

  • В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20 см. Найти площадь треугольника и длину вписанной полуокружности. Ответ: 294;  Решение

  • На большем катете треугольника как на диаметре построена полуокружность. Найти ее длину, если длина меньшего катета 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы и полуокружности, равна 24 см. Ответ:  Решение

  • Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника. Каков радиус окружности, если длины катетов равны 5 и 12? Ответ: 65/18 Решение

  • Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а один из катетов равен 10 см. Ответ: 7,25 Решение

  • Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник. Ответ: 5 Решение

  • Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза равна с. Определить площадь круга, вписанного в треугольник. Ответ:  Решение

  • Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 м. Ответ:  Решение

  • Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, проведенная к гипотенузе, делит последнюю на отрезки длиной 25,6 и 14,4 см. Ответ:  Решение

  • Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, площадь его равна 24 см2. Найти площадь описанного круга. Ответ:  Решение

  • Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найти расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра описанной около него окружности. Ответ:  Решение

  • Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противоположного острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен а. Ответ:  Решение

  • Найти отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, к высоте, проведенной к гипотенузе. Ответ:   Решение

  • Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, основание 12 см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от данного треугольника два прямоугольных треугольника. Найти длины сторон этих треугольников. Ответ: 3, 4, 5 Решение

  • Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, равна 25 см, а радиус вписаннной окружности равен 8 см. Найти длину основания треугольника. Ответ: 80/3 Решение

  • В равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине и боковой стороной а вписана окружность. Найти радиус этой окружности. Ответ:   Решение

  • В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга. Ответ: 10 Решение

  • Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 120°,  если радиус вписанного круга равен см. Ответ:  Решение

  • В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона равна 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Ответ: 8/3, 25/3, 5 Решение

  • Найти площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание этого треугольника равно 24 см, а боковая сторона 13 см. Ответ: Решение

  • К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между сторонами треугольника. Ответ: 3 Решение

  • На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найти радиус окружности, если длина высоты, проведенной к основанию треугольника, равна 3 см. Ответ: 20/3 Решение

  • Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса R в точках В к С так, что треугольник ABC — равносторонний. Найти его площадь. Ответ:  Решение

  • Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна . Доказать, что радиус окружности равен .

  • В окружность, диаметр которой равен , вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найти радиус этой окружности. Ответ:  3/4 Решение

  • В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найти площадь образовавшегося кольца, если сторона треугольника равна а. Ответ:  Решение

  • Каждая сторона правильного треугольника разделена на три равные части, и соответственные точки деления, считая в одном направлении, соединены между собой. В полученный правильный треугольник вписана окружность радиуса r = 6 см. Определить стороны треугольников. Ответ:  Решение

  • Дан правильный треугольник ABC. Точка K делит сторону АС в отношении 2:1, а точка М — сторону АВ в отношении 1:2 (считая в обоих случаях от вершины А). Показать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.

  • В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r. Ответ:  Решение

  • На диаметре 2R полуокружности построен правильный треугольник, сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен по ту же сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить площадь той части треугольника, которая лежит вне круга. Ответ:  Решение

  • На диаметре 2R полукруга построен правильный треугольник, стороны которого равны диаметру. Как относятся площади частей треугольника, лежащих вне и внутри круга? Ответ:  Решение

  • В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15° и 60°. Найти площадь треугольника. Ответ:  Решение

  • Стороны треугольника равны 13,14 и 15 см. Найти отношение площадей описанного и вписанного в треугольник кругов. Ответ:   Решение

  • В треугольнике длины сторон относятся как 2:3:4. В него вписан полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найти отношение площади полукруга к площади треугольника. Ответ:  Решение

  • Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18 см. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большей стороне. Найти отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника. Ответ:  Решение

  • Расстояние от центра круга до хорды длиной 16 см равно 15 см. Найти площадь треугольника, описанного около круга, если периметр треугольника равен 200 см. Ответ: 1700 Решение

  • Доказать, что отношение периметра треугольника к одной из его сторон равно отношению высоты, проведенной на эту сторону, к радиусу вписанной окружности.2}{pabc}=\frac{4(p-a)(p-b)(p-c)}{abc}$$ с учётом формулы Герона. Достаточно, таким образом, убедиться в справедливости неравенства $%abc\ge8(p-a)(p-b)(p-c)$%.

    Применим к положительным числам $%p-a$% и $%p-b$% неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Из него следует, что $%2\sqrt{(p-a)(p-b)}\le(p-a)+(p-b)=c$%. Аналогично, имеем ещё два неравенства: $%2\sqrt{(p-b)(p-c)}\le a$% и $%2\sqrt{(p-c)(p-a)}\le b$%. Перемножение полученных неравенств доказывает то, что требовалось. Все неравенства становятся равенствами только тогда, когда $%a=b=c$%.

    Томас Симпсон и Максима и Минима — Наименьший равнобедренный треугольник, описывающий круг

    Для определения размеров наименьшего равнобедренного треугольника ACD , который может описывать данную окружность (Пример VI, стр. 18).

    Пусть O будет центром окружности с радиусом a , вписанной в равнобедренный треугольник ACD . Нарисуйте высоту DB и пусть x = OD . У нас D DSO аналогичен D DBC .Таким образом, DS / DB = SO / BC . Следовательно,

    до н.э. = ( x + a ) a , поэтому площадь ( x ) = ( x + a ) 2 a .

    Определить

    , который представляет собой квадрат площади, умноженный на 1/, а 2 .Обратите внимание, что

    f ( x ) = ( x + a ) 3 x — а
    		, поэтому f ¢ ( x ) = 3 ( x + a ) 2 ( x — a ) — ( x + a ) 3 ( x — и ) 2
    		.

    Числитель будет равен нулю, если x = 2 a . Следовательно, площадь достигает минимума при x = 2 a . Из подобия треугольников D DSO и D DBC получаем DC / OD = BC / SO . Таким образом, DC = x · BC / a = 2 a · BC / a = 2 BC = AC .Другими словами, решение состоит в том, чтобы построить равносторонний треугольник, описывающий данную окружность.

    Примечание: Интересно отметить, что Симпсон неявно предполагает, что высота BD проходит через центр окружности. Несомненно, он считает, что его читатели разбираются в геометрии и поймут, что центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов данного треугольника. Поскольку последний равнобедренный, BD — это и высота, и биссектриса угла; таким образом, BD проходит через O .

    Мишель Хелфготт, «Томас Симпсон и Максима и Минима — Наименьший равнобедренный треугольник, описывающий круг», Конвергенция (август 2010 г.)

    Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник

    Мы можем использовать свойства равностороннего треугольника и прямоугольного треугольника 30-60-90, чтобы найти площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник, используя только длину стороны треугольника.

    Задача

    В равносторонний треугольник с длиной стороны x вписан круг.Найдите площадь круга через x.

    Стратегия

    Мы знаем, что круг полностью определяется длиной своего радиуса r, поэтому ключевым моментом здесь будет найти это — длину сегмента OD.

    Есть несколько быстрых способов найти эту длину, которые зависят от свойств центроида — точки, где встречаются все три медианы треугольника. Центроид равностороннего треугольника лежит на срединных линиях, которые также перпендикулярны основаниям, и разделяет средние на два сегмента, измеряющих ⅓ длины и длины соответственно.

    Но доказать эти свойства центроида (например, тот факт, что все три медианы действительно встречаются в одной точке или что центроид также является центром круга) довольно сложно и выходит за рамки школьной геометрии.

    Так что вместо этого я буду использовать более длинный процесс, который опирается только на то, что мы уже доказали с помощью конгруэнтности треугольников.

    Окружность вписана в треугольник, поэтому два радиуса, OE и OD, перпендикулярны сторонам треугольника (AB и BC) и равны друг другу.BE = BD, используя теорему о двух касательных.

    BEOD, таким образом, является воздушным змеем, и мы можем использовать свойства воздушного змея, чтобы показать, что ΔBOD представляет собой треугольник 30-60-90. Затем, если мы найдем длину одной из его сторон, мы сможем найти все три стороны, включая OD.

    Показав соответствие треугольников ΔBOD и ΔCOD, мы обнаружим, что BD составляет половину BC и равна x / 2, OD будет тогда (x / 2) / √3, и мы закончили.

    Доказательство: определение площади круга, вписанного в равносторонний треугольник

    (1) OE = OD = r // все радиусы круга равны друг другу
    (2) BE = BD // Теорема о двух касательных
    (3) BEOD — воздушный змей // (1), (2), определение воздушного змея
    (4) m∠ODB = ∠OEB = 90 ° // радиусы перпендикулярны касательной
    (5) m∠ABD = 60 ° // Учитывая, что ΔABC равносторонний
    (6) m∠OBD = 30 ° // (3) В кайте диагональ делит пополам углы между двумя равными сторонами
    (7) ΔBOD представляет собой треугольник 30-60-90 / / (4), (5), (6)
    (8) r = OD = BD / √3 // Свойства треугольника 30-60-90
    (9) m∠OCD = 30 ° // повторяем шаги (1 ) — (6) для треугольника ΔOCD, симметрия
    (10) ∠OCD≅∠OBD // (6), (9)
    (11) ∠DOB≅∠DOC // (10), (4), сумма углов в треугольнике
    (12) OD = OD // общая сторона, рефлексивное свойство равенства
    (13) ΔBOD≅ΔCOD // Угол-сторона-постулат угла
    (14) BD = CD = x / 2 // Соответствующие стороны в конгруэнтные треугольники (CPCTC)
    (15) OD = (x / 2) / √3 // (8), подстановка
    (16) Площадь 9025 5 круг = πr 2
    (17) Площадь = π [(x / 2) / √3] 2
    (18) Площадь = πx 2 /12

    Вычисление числа пи.Площадь круга. Темы по тригонометрии

    Темы | Дом

    11

    Вписанный многоугольник

    Отношение хорды к диаметру

    Площадь круга

    π — ОТНОШЕНИЕ длины окружности к диаметру. (Тема 9.) Но как мы можем сравнить изогнутую линию с прямой? Ответ в том, что мы не можем сделать это напрямую.Мы можем связать только прямые линии с прямыми линиями, поэтому мы должны аппроксимировать кривую линию серией прямых линий. В этом случае мы аппроксимируем круг вписанным многоугольником или описанным многоугольником.

    Периметр вписанного многоугольника будет меньше длины окружности круга, а периметр описанного многоугольника будет больше. Затем мы можем сформировать отношение каждого периметра к диаметру. Это даст все большее и меньшее приближение к π.Ясно, что чем больше сторон мы принимаем, тем выше ценность.

    Вписанный многоугольник

    Каждая сторона вписанного многоугольника — это хорда круга. Периметр многоугольника — приближение к длине окружности — будет суммой всех хорд. Из следующей теоремы мы можем вычислить π:

    Отношение хорды окружности к диаметру
    задается синусом половины центрального угла
    , который проходит хорда.

    Мы говорим, что аккорд проходит, буквально, проходит под центральным углом.

    Таким образом, если AB — хорда окружности, а CD — диаметр, то

    AB
    CD    		 = грех θ
    2    		.

    Прежде чем доказывать эту теорему, приведем несколько примеров.

    Пример 1.Хорда образует центральный угол 100 °. Какое отношение имеет хорда к диаметру?

    Ответ . Согласно теореме

    Хорда
    Диаметр    		 = sin ½ (100 °)
    Хорда
    Диаметр    		 = грех 50 °
    Хорда
    Диаметр    		 = 0,766, из Таблицы.

    Это означает, что длина хорды составляет 766 тысячных или чуть больше трех четвертей диаметра.

    Задача 1. Какое отношение к диаметру имеет хорда, которая образует центральный угол 60 °?

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).

    Этот пояс составляет половину диаметра. Этот хорда равна радиусу!

    Пример 2.В круг вписан правильный многоугольник с 8 сторонами. Какой центральный угол образует каждая сторона? Какое отношение каждой стороны к диаметру? Какое отношение имеет весь периметр к диаметру?

    Ответ . Поскольку многоугольник имеет 8 сторон, каждый центральный угол составляет восьмую часть всего круга, то есть восьмую часть от 360 °. 360 ° ÷ 8 = 45 °.

    Далее,

    Хорда
    Диаметр    		 = sin ½ (45 °)
    Хорда
    Диаметр    		 = грех 22.5 °
    Хорда
    Диаметр    		 .383, из табл.

    Что касается всего периметра, то он состоит из 8 таких хорд. Следовательно, отношение периметра к диаметру будет

    .

    8 × 0,383 = 3,064

    Это приближение к π For,

    π = Окружность
    Диаметр    		 Периметр
    Диаметр

    Аппроксимация не очень хорошая, потому что мы аппроксимировали окружность многоугольником с 8 сторонами.

    Задача 2. Пусть в круг вписан правильный многоугольник с 20 сторонами.

    a) Какой центральный угол образует каждая сторона? 360 ° ÷ 20 = 18 °

    б) Какое отношение каждой стороны к диаметру? (Стол)

    Хорда
    Диаметр    		 = sin ½ (18 °) = sin 9 ° = 0,156
    в) Какое отношение имеет весь периметр к диаметру? То есть
    приблизительное число π.

    По всему периметру состоит из 20 таких аккордов. Следовательно, отношение периметра к диаметру будет

    .

    20 × 0,156 = 3,12

    Мы можем обобщить то, что мы сделали, следующим образом. Впишем в круг многоугольник из n сторон. Тогда каждая сторона образует центральный угол θ:

    .

    Следовательно,

    θ
    2    		 = 180 °
    n     		,
    Хорда
    Диаметр    		 = грех 180 °
    n

    Наконец, поскольку n таких хорд приблизительно соответствует окружности, то отношение этих n хорд к диаметру является приближением к π:

    π n sin 180 °
    n

    Мы будем использовать это ниже, чтобы доказать, что площадь круга A равна

    Вот доказательство отношения хорды к диаметру.

    Теорема. Отношение хорды окружности к диаметру определяется синусом половины центрального угла, который образует хорда.

    Пусть E — центр окружности с хордой AB, диаметром CD и центральным углом AEB, который мы будем называть θ; затем

    Нарисуйте EF так, чтобы угол θ делился пополам. Тогда EF также является серединным перпендикуляром к AB,

    .

    , потому что EA и EB — радиусы, поэтому треугольник AEB равнобедренный. (Теорема 2).

    Следовательно,

    AF = ½ AB.
    А так как EA — это радиус,
    EA = ½ CD.

    Сейчас,

    AF
    EA    		 = грех θ
    2    		.
    То есть
    ½ AB
    ½ CD    		 = грех θ
    2    		.
    Следовательно, при умножении обоих членов на 2,
    AB
    CD    		 = грех θ
    2    		.
    Хорда
    Диаметр    		 = грех θ
    2    		.

    Это то, что мы намеревались доказать.

    Площадь круга

    В предыдущем уроке мы увидели, как узнать эту область методом перестановки. Здесь мы докажем формулу с помощью вписанных многоугольников.

    Теорема. Площадь круга A

    А = π r 2 или π
    4    		 Д 2

    , где r — радиус окружности, а D — диаметр.

    Доказательство . Пусть правильный многоугольник n сторон вписать в круг радиусом r , и пусть s будет длиной каждой стороны.

    Разобьем многоугольник на n равнобедренных треугольников и обозначим площадь каждого треугольника A T . Тогда площадь этих n треугольников будет приблизительно равна площади круга.

    Теперь площадь каждого треугольника равна половине основания s, умноженной на высоту h .

    A T = ½ шиллингов . . . . . . . . . (1)

    Теперь выразим s и h через радиус r , а затем подставим эти выражения в строку (1).

    Как мы видели выше, каждая хорда s образует центральный угол 360 °
    n     		.

    Поскольку сторона каждого равнобедренного треугольника равна радиусу r , тогда h / r является косинусом половины этого центрального угла:

    h
    r     		= cos ½ 360 °
    n     		= cos 180 °
    n

    или,

    h = r cos 180 °
    n     		.. . . . . . . (2)

    Также в каждом равнобедренном треугольнике

    с /2
    с     		= грех 180 °
    n

    так что

    с = 2 r sin 180 °
    n     		.. . . . . . . (3)

    Подставив строки (3) и (2) в строку (1), получим

    A T = ½ sh = ½ · ​​ 2 r sin 180 °
    n     		· ​​ r cos 180 °
    n
    A T = ½ sh = r 2 sin 180 °
    n     		· ​​ cos 180 °
    n

    Это площадь одного из треугольников.Площадь A всего круга аппроксимируется всеми n треугольниками:

    A = n A T = n · ​​ r 2 sin 180 °
    n     		· ​​ cos 180 °
    n

    Но мы видели, что

    n sin 180 °
    n     		π.

    Следовательно, окончательно

    Aπ r 2 cos 180 °
    n     		. . . . . . . . (4)

    Предположим теперь, что количество сторон n является чрезвычайно большим числом — больше, чем количество звезд в миллионе галактик. Тогда

    многоугольник «исчерпает» круг.Центральный угол 180 °
    n     		(строка 4)

    будет неотличим от 0 °. У нас будет

    A = π r 2 cos 0 °.

    Но cos 0 ° = 1. Следовательно,

    A = π r 2 .

    Или при замене r 2 на ( Д
    2    		) 2 = Д 2
    4    		,

    Это то, что мы хотели доказать.

    Когда n является чрезвычайно большим числом, то на языке математических расчетов «Предел n становится бесконечным.

    Следующая тема: Углы и их измерение

    Темы | Дом

    Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Эл. Почта: [email protected]


    Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 10 см

    Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 10 см

    Равносторонний треугольник — это частный случай треугольника, в котором все 3 стороны имеют одинаковую длину и все 3 угла равны 60 градусам. .Показанная высота h — это h b или высота b.

    Теорема Пифагора применяется к треугольникам с целыми числами сторон, таким как треугольник 3-4-5. Вот онлайн-калькуляторы, генераторы и средства поиска с методами генерации троек, чтобы исследовать закономерности и свойства этих прямоугольных треугольников с целыми сторонами.

    Равносторонний треугольник — это треугольник, все три стороны которого имеют одинаковую длину. Это единственный правильный многоугольник с тремя сторонами, который появляется в различных контекстах, как в базовой геометрии, так и в более сложных темах, таких как геометрия комплексных чисел и геометрические неравенства.

    Вопрос: Найдите длину стороны равностороннего треугольника с высотой 6 единиц. Равносторонний треугольник — высота и основание: в двумерном пространстве замкнутая геометрия, которая …

    5 февраля 2020 г. · 97. Основание определенного твердого тела — это треугольник с основанием b и высотой h. если все сечения, перпендикулярные высоте треугольника, представляют собой правильные шестиугольники, найти объем твердого тела. 98. Объем, создаваемый окружностью, образованной окружностью x2 + y2 + 4x — 6y — 12 = 0, вращающейся вокруг прямой 2x — 3y — 12 = 0, равен: A.3242 кубических единицы

    Найдите значения x и y в каждом треугольнике. 4. 600 12 600 600 600 600 12 3 5.5 <600 6 Нарисуйте описанный рисунок. Затем найдите требуемую меру. 10. У равностороннего треугольника длина стороны 10 дюймов. Найдите длину треугольников на высоте. 11. Высота равностороннего треугольника 18 дюймов. Найдите длину стороны. - 3

    29 марта 2019 г. · Метод 1 Вам нужно нарисовать этот треугольник в масштабе 1: 1 и измерить. Проведите высотную линию, где AC — база.Теперь вы можете измерить высоту с помощью шкалы. Метод 2 Формула площади любого треугольника: A = 1/2 * b * h b = основание AC h = Высота …

    В круг вписан равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдите радиус окружности 0 0 78; Ша. 8 сен 2020. высота треугольника 5√3 Высоты также являются медианами. Медианы пересекают 2/3 пути от вершины до стороны. Это также центр круга. Итак, r = 2/3 * 5√3 = 10 / √3 0 …

    Mag 322 Wi-Fi адаптер не подключен

    Стороны треугольника указаны.Треугольник острый, прямой или тупой? а. Ил, 60, 61 с. 0,2, 0,3, 0,4 Прямоугольник имеет длину 8 и ширину 4. Найдите длины диагоналей. Найдите периметр квадрата с диагоналями 10 см. Стороны равностороннего треугольника имеют длину 12 см. Найдите длину треугольника. высота большего треугольника 5 см, найдите соответствующую высоту другого. [CBSE 2002] 34. Площадь двух одинаковых треугольников составляет 121 см2 и 64 см2 соответственно. Если медиана первого треугольника равна 12.1 см, найдите соответствующую середину другого. [CBSE 2001] 35. Площади двух одинаковых треугольников ABC и PQR находятся в соотношении …

    Части планшета Ematic

    Равносторонний треугольник — это особый случай треугольника, в котором все три стороны имеют одинаковую длину и все 3 угла равны 60 градусам. Показанная высота h — это h b или высота b.

    И знаменатель, у нас есть 2 умножить на 2. И все это больше 4. Так, например, если у вас есть равносторонний треугольник, каждая из сторон которого равна 1, то его площадь будет квадратным корнем из 3 на 4.Если бы у вас был равносторонний треугольник, в котором каждая из сторон равнялась 2, то получилось бы 2 в квадрате на 4, что составляет всего 1. Таким образом, это будет просто квадрат …

    11 октября 2008 г. · Стороны равностороннего треугольника все одинаковой длины. Пусть x = длина одной стороны треугольника. Высота делит пополам одну сторону треугольника (x / 2), образуя правый треугольник с … 29 декабря 2017 г. · Длина каждой стороны равностороннего треугольника площадью 9√3 см2 равна (a) 8 см (б) 36 см (в) 4 см (г) 6 см, заданный 2 февраля 2018 г. в классе IX по математике экспертом saurav24 (1.4k баллов) формула цапли

    Велосипедный блок

    a) b) c) Найдите BC. . Пример 4: равносторонний треугольник имеет длину стороны 16 м. Найдите длину треугольника. База (в см) (Сторона, противоположная углу 30 °) Высота (Сторона, противоположная углу 60 °) Гипотенуза (Сторона, противоположная углу 90) 6

    09 июня 2012 г. · 1. Площадь треугольника составляет 30 см2. Найдите основание, если высота превышает основание на 7 см. [5 см, 12 см.] 2. Из точки внутри равностороннего треугольника перпендикуляры, проведенные к трем сторонам, составляют 8 см, 10 см и 11 см соответственно. .2 = 100/3, поэтому b = квадратный корень из 100/3. Периметр будет 6b. также . 30º-60º-90º Треугольники

    Стандартное уравнение в форме пересечения наклона

    BCDE — это квадрат со стороной 10 см. Остальные грани пирамид представляют собой равносторонние треугольники с длиной стороны 10 см. а) рассчитать объем пирамиды?

    Равносторонний треугольник — это треугольник, все три стороны которого имеют одинаковую длину. Это единственный правильный многоугольник с тремя сторонами, который появляется в различных контекстах, как в базовой геометрии, так и в более сложных темах, таких как геометрия комплексных чисел и геометрические неравенства.

    Две возможности: две равные стороны могут составлять в сумме 12 или сумма двух неравных сторон = 12. т.е. сумма двух равных сторон = 12 Сумма двух неравных сторон = 12 ⇒ Если сумма двух равных сторон равна 12, стороны треугольник должен быть 6, 6, х. Какие значения может принимать ‘x’? Значение x может находиться в диапазоне от 1 до 11. Итак, существует 11 целочисленных значений. Наши онлайн-инструменты предоставят быстрые ответы на ваши потребности в расчетах и ​​конвертации. На этой странице вы можете решать математические задачи с использованием прямоугольных треугольников. Вы можете рассчитать угол, сторону (прилегающую, противоположную, гипотенузу) и площадь любого прямоугольного треугольника и использовать их в реальном мире для определения высоты и расстояний.

    Lannett generic adderall

    9 июня 2012 г. · 1. Площадь треугольника 30 см2. Найдите основание, если высота превышает основание на 7 см. [5 см, 12 см.] 2. Из точки внутри равностороннего треугольника перпендикуляры, проведенные к трем сторонам, составляют 8 см, 10 см и 11 см соответственно. .

    15 июля, 2016 · 41.6cm to 1dp Давайте нарисуем ситуацию. Каждая сторона равностороннего треугольника по определению имеет одинаковую длину, поэтому, как только мы найдем одну сторону, у нас будет периметр.Глядя на правую часть треугольника, мы видим, что он образует прямоугольный треугольник меньшего размера. Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти x. Вспомните SOH CAH TOA и обратите внимание, что у нас есть противоположная сторона и мы ищем …

    В прямоугольном треугольнике найдите гипотенузу, если основание и перпендикуляр равны соответственно 36015 см и 48020 см. (а) 69125 см (б) 60025 см (в) 3 см (г) 60125 см. 2. Периметр равностороннего треугольника 72 см. Найдите его высоту. (а) 63 метра (б) 24 метра (в) 18 метров (г) 36 метров.3. Внутренняя окружность круговой дорожки равна … Найдите длину стороны равностороннего треугольника, имеющего высоту 24 фута. 62 / 87,21 Пусть x будет длиной каждой стороны равностороннего треугольника. Высота от одной вершины до противоположной стороны делит равносторонний треугольник на два — — WULDQJOHV, QD — — WULDQJOH WKHOHQJWKRIWKH

    Powerapps автоматически заполняет имя пользователя

    29 марта, 2019 · Метод 1 Вам нужно нарисовать этот треугольник с 1: 1 шкала и мера.Проведите высотную линию, где AC — база. Теперь вы можете измерить высоту с помощью шкалы. Метод 2 Формула площади любого треугольника: A = 1/2 * b * hb = base AC h = Altitude …

    Построение высоты по любому основанию делит равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет гипотенузу, равную стороне исходного равностороннего треугольника, и катет ½ этой длины. Другой катет прямоугольного треугольника — это высота равностороннего треугольника, поэтому решите, используя теорему Пифагора: a 2 + b 2 = c 2

    10 июня 2017 г. · ABC — равносторонний треугольник со стороной 2a.Найдите его высоту. … Когда солнце находится на высоте 30 градусов, чем когда оно составляет 60 градусов. … С точки на расстоянии 10 см от … 23 ноя.2020 г. · a. Найдите площадь треугольника ABC. б. Найдите соотношение сторон треугольника, имеющего углы 30 °, 45 °, 105 ° [Оценка: 5, Время: 8 минут] Ответ: a. Углы ΔABC — 45 °, 45 °, 90 °. Углы ΔBDC — 30 °, 60 °, 90 °. (1) Вопрос 36. Диагональ прямоугольника составляет 12 см, а угол с одной стороны составляет 35 °. Найдите периметр …

    Как долго хирургический клей остается на

    Для тупого треугольника высота показана в треугольнике ниже.Высота равностороннего треугольника. Высота или высота равностороннего треугольника — это отрезок линии от вершины, перпендикулярной противоположной стороне. Интересно отметить, что высота равностороннего треугольника делит пополам его основание и противоположный угол.

    16. Стороны треугольника находятся в соотношении 13:14:15, а его периметр равен 84 см. Найдите площадь треугольника. Также найдите высоту треугольника, соответствующую самой длинной стороне. Раздел-D 17. Если найти значения a и b 18.Если x =, найдите значение x 3 — 2x 2-7x + 5 19.

    Jul 09, 2019 · 1. Используя формулу Герона, найдите площадь треугольника, стороны которого (i) 10 см, 24 см, 26 см (ii) 1,8 м, 8 м, 8,2 м 2. Стороны треугольной площадки равны 22 м, 120 м и 122 м. Найдите площадь и стоимость выравнивания земли из расчета 20 за м2. 3. Периметр треугольного участка 600 м. Если стороны находятся в соотношении 5:12:13 … Если линия проведена параллельно одной стороне треугольника, чтобы пересечь две другие стороны в разных точках, тогда две другие стороны будут разделены в том же соотношении.10. ОБРАТИТЬСЯ К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ: Если прямая делит любые две стороны треугольника в одинаковом соотношении, то эта прямая параллельна третьей стороне. 11.

    Hazbin hotel x innocent reader

    14 августа 2020 г. · В треугольнике, если квадрат на одной стороне равен сумме квадратов на двух других сторонах, докажите, что угол, противоположный первому сторона — прямой угол. Используйте приведенную выше теорему, чтобы найти меру ∠PKR на рис. 7.51.

    29.05.2018 · Стенограмма.Пример 6.5,6 ABC — равносторонний треугольник со стороной 2a. Найдите каждую из его высот. Дано: Равносторонний треугольник ABC с каждой стороной 2a Высота AD нарисована так, что AD BC Найти: AD Решение: В ADB и ADC AB = AC AD = AD ADB = ADC Следовательно, ADB ADC Следовательно, BD = DC BD = DC BD = DC = 1 / 2BC BD = DC = 2/2 BD = DC = a Следовательно, BD = a Следовательно, справа Используя теорему Пифагора (гипотенуза) 2 …

    Дан равносторонний треугольник со стороной 6 см, найдите площадь круговой сектор, определяемый окружностью, описанной вокруг треугольника, и радиусом, проходящим через вершины.Вычислите сторону равностороннего треугольника, вписанного в круг радиусом 10 см.

    Загрузить FLAC Rolling Stones

    Liberty civil Defense 40 обзор

    Icebear maddog 150cc сиденье

    Отсутствует обновление oregon hiker

    J30 hondata

    00 letter

    1

    1

    Как установить дверной звонок на кирпич без сверления

    Sheeko somali

    Budweiser clydesdale horse for sale

    Dollar500 dollar cars san antonio

    Skyloong gk61 2020 print

    1

    1 календарь с праздниками

    Мальчик на лужайке 66 7460

    Ck2 динамические названия провинций

    Наборы рыболовных приманок walmart

    Ошибка разрешения Heroku отказано в создании базы данных

    red Cbdit

    red Cbdнайти радиус круга, вписанного в треугольник

    Когда ученик пытается определить радиус круга, вписанного в очевидный треугольник, это может создать затруднительную проблему.Казалось бы, простое решение основного вопроса о геометрии с использованием уроков, извлеченных на курсах математики, которые ранее посещались за годы обучения. Окружающий кадр может быть очевиден, но то, что находится между ними, может вызвать загадку. Определение радиуса — это вопрос нескольких уравнений, которые, когда-то известные, могут открыть мир возможностей во многих областях математики.

    Расчет окружности круга

    Во-первых, изучите основы. Понимание того, как рассчитать длину окружности круга, является обязательным.Не путайте это с вычислением периметров других геометрических объектов. Периметр — это расстояние вокруг фигуры, например прямоугольника или квадрата. У кружка есть свой набор словоблудия. Расстояние по всему кругу — это длина окружности.

    Диаметр — это расстояние от одной равной стороны круга до другой или прямая линия, проведенная через круг с последующим разрезанием круга пополам. Радиус равен половине диаметра или промежутку от середины диаметра до краев внешнего круга.Радиус — это самый мощный строительный блок для понимания других измерений круга. Он дает наибольшее количество информации, которой можно манипулировать для выяснения других данных. Он дает его окружность, диаметр, площадь и объем.

    Как найти размеры треугольника

    Площадь треугольника можно найти, используя длину и высоту только одной стороны. Эта длина называется базой, или сокращенно b, а высота обозначается буквой h. Высота образует прямой угол с основанием.Формула для определения площади треугольника: A = 1 / 2xbxh. Когда у вас будет вся необходимая информация, вы сможете найти общую площадь треугольника.

    Соединим все вместе

    Давайте для примера возьмем треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Круг вписан в треугольник. Каждая сторона касается фактического круга. Теперь нужно раскрыть радиус, чтобы проработать остальную часть вопроса и найти правильный ответ. Радиус измеряет длину от центра до окружности, а также расстояние от центра круга до каждой из сторон треугольника.