Путь равен путь на время: Расчет пути, скорости и времени движения: равномерное и неравномерное

{2}} d t(3)$$

Местоположение перемещающейся материальной точки в фиксированный момент времени, например t=t₁ называют начальным положением. Очень часто полагают t₁=0. Длин пути, который прошла материальная точка из начального положения – скалярная функция времени: s=s(t).

Считают, что за промежуток времени $d t \rightarrow 0$ материальная точка проходит путь ds, который называют элементарным. При этом:

$$d s=|d \bar{r}|=v d t$$

где $\bar{r}$ – вектор элементарного перемещения материальной точки, v – модуль скорости ее движения.

Виды движения и формулы длины пути

Длина пути при равномерном движении (v=const) точки равна:

$$s=v\left(t_{2}-t_{1}\right)(5)$$

где t₁ – начало отсчета движения, t₂ – окончание отсчета. Формула (5) показывает то, что длина пути, который проходит равномерно движущаяся материальная точка – это линейная функция времени.

{2}}{2}(7)$$

где a – постоянное ускорение, v₀ – начальная скорость движения.

Единицы измерения пути

Основной единицей измерения пути в системе СИ является: [s]=м

В СГС: [s]=см

Примеры решения задач

Пример

Задание. Траектория движения материальной точки изображена на рис. 1. Каков путь, пройденный точкой, чему равно перемещение, если точка двигалась 1-2-3-4.

Решение. Перемещение – кратчайшее расстояние между точками 1 и 4. Следовательно, перемещение точки равно:

$$6 — 2 = 4 (m)$$

Путь – длина траектории. Рассматривая график на рис.1 получаем, что путь материальной точки равен:

$$8 + 4 + 8 = 20 (m)$$

Ответ. Путь равен 20 м, перемещение равно 4 м.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. {5}=5(m)$$

Ответ. s=5м.

Читать дальше: Формула равноускоренного движения.

Глава 1. Путь, перемещение, скорость. Движение с постоянной скоростью. Относительность движения

В рамках этой темы необходимо знать ряд простых определений, понимать логику определения скорости и закона сложения скоростей.

Перемещением тела называется вектор, связывающий начальное и конечное положение тела, а пройденным путем — длина траектории. Поэтому величина(или модуль) перемещения — это расстояние от конечной до начальной точки по прямой, а путь — расстояние траектории тела. В

задаче 1.1.1 пройденный телом за четверть периода путь — длина четверти окружности , перемещение — (см. рисунок), правильный ответ — 3.
Скорость тела определяется как отношение перемещения тела ко времени , затраченному на это перемещение

(1.1)

Для прямолинейного движения в одном направлении для величины вектора скорости получаем из (1.
1)

(1.2)

где — путь, пройденный за время . Если определение (1.1) приводит к одной и той же величине для любого интервала времени , то скорость тела есть величина постоянная, а такое движение называется равномерным (задача 1.1.2 — ответ 4). В этом случае согласно (1.1) и (1.2) перемещение и пройденный путь линейно зависят от времени и . По этой причине линейно зависят от времени и координаты тела в любой системе координат. Поэтому графиком зависимости координат тела от времени для равномерного движения является прямая (
задача 1.1.3 — ответ 1). Как следует из (1.1), (1.2), наклон этой прямой определяется скоростью: чем больше скорость, тем «круче» наклонен график зависимости координаты тела от времени к оси времени. Поэтому в задаче 1.1.4 на каждом из интервалов времени — от 0 до 1 с, от 1 до 2 с, от 2 до 3 с и от 3 до 4 с движение тела будет равномерным, а самой большой скорость тела будет в интервале времени от 3 до 4 с, в котором наклон графика максимален (ответ 4).
В задаче 1.1.5 нужно по графику зависимости координаты тела от времени найти его скорость. Это можно сделать так. Перемещение тела внутри каждого из интервалов времени — 0–1, 1–2 и 2–3 с — разность координат тела вначале и в конце этого интервала. Поэтому из графика находим

Таким образом, скорость тела равна 2 м/с внутри интервала времени 1–2 с (ответ 2).
Задача 1.1.6 посвящена размерности скорости. Из определения заключаем, что размерность скорости есть
И, следовательно, размерностью скорости могут быть
(или любые другие отношения единиц расстояний и времени). Для пересчета скорости из одних единиц в другие нужно выразить расстояние и время в требуемых единицах. Например, в задаче 1.1.6 имеем
(правильный ответ — 3).
При движении с постоянной скоростью определения (1.1) или (1.2) могут быть применены к любым этапам движения. Например, в

задаче 1.1.7 можно из данных о движении жука вдоль периметра прямоугольника найти его скорость (=14/7=2 см/с), а затем использовать ее для описания движения жука вдоль диагонали (длина которой составляет 5 см): ₁=5/2=2,5 с (правильный ответ 2).
Аналогичные соотношения используются в задаче 1.1.8. Рассматривая движение автомобиля на одной трети пути, получаем , где — расстояние между городами. А на оставшихся двух третях (с учетом трехкратного увеличения скорости)
1. Поэтому полное время движения равно (ответ 1).
В задаче 1.1.9 следует использовать следующее свойство графика зависимости проекции скорости тела на некоторую ось от времени: площадь под этим графиком есть проекция перемещения тела на рассматриваемую ось. Причем площадь под участками графика, лежащими выше оси времени, нужно считать положительной, ниже оси времени — отрицательной. Если же все площадь под всеми участками графика считать положительной, площадь под графиком скорости дает пройденный телом путь. Находя площадь под данным в условии графиком, получаем
(ответ — 4).
Важным физическим законом, знание которого часто проверяется на едином государственном экзамене по физике, является закон сложения скоростей.
Этот закон утверждает, что скорости одного и того же тела по отношению к разным системам отсчета связаны соотношением

(1.3)

Здесь и — скорости тела относительно первой и второй системы отсчета, — скорость второй системы отсчета относительно первой. Закон сложения скоростей является векторным. Это означает, три вектора , и образуют треугольник векторного сложения, и соотношение между величинами скоростей , и — такое же, как и между длинами сторон треугольника. Углы этого треугольника равны углам между направлениями скоростей , и .

Примеры треугольников сложения скоростей приведены на рисунке, причем на среднем и правом рисунке приведены примеры «треугольников» скоростей в случаях, когда скорость тела в системе 2 и скорость системы 2 относительно системы 1 направлены одинаково (средний рисунок) и противоположно (правый рисунок). Из этих рисунков следует, что скалярное соотношение, аналогичное (1. 3) для величин скоростей , справедливо только, если векторы и направлены одинаково (средний рисунок). Если же векторы и направлены противоположно, для значений скоростей справедливо соотношение (или наоборот , если — правый рисунок. Из этих рассуждений ясно, что поскольку в
задаче 1.1.10 векторы скорости пассажира относительно поезда и поезда относительно земли направлены одинаково, скорость пассажира относительно земли равна (правильный ответ — 2). В задаче 1.2.1 ситуация обратная — вектор скорости первой машины относительно земли и второй машины относительно земли направлены противоположно. Поэтому , направлен вектор на север — правильный ответ 4.
В задаче 1.2.2 эти идеи применяются к движению лодки по и против течения. Из закона сложения скоростей заключаем, что при движении лодки по течению ее скорость относительно земли равна , при движении против течения — ( — скорость лодки в стоячей воде, — скорость течения). Отсюда находим, что при движении лодки по течению, ее скорость относительно земли 15 км/ч, а при движении против течения — 5 км/ч.

Поэтому время движения между городами и по течению втрое больше времени движения лодки между этими городами против течения (ответ — 2).
Все следующие задачи этой главы являются более сложными, поскольку в них рассматривается движение не одного, а двух тел, а закон сложения скоростей используется в случаях, когда векторы скоростей не направлены вдоль одной прямой. В
задаче 1.2.3 встреча тел происходит в такой точке, что расстояния, пройденные первым и вторым телом, отличаются втрое (так как в три раза отличаются скорости тел). Поэтому при выходе из точки тела встретятся в такой точке , что длины дуг отличаются в три раза. Следовательно, угол — прямой, и длина отрезка равна . (ответ 4).
Если два тела, начав движение одновременно, движутся навстречу друг другу (задача 1.2.4), то время встречи тел можно найти следующим образом. Так как тела двигались до встречи одинаковое время, они прошли расстояния и , сумма которых равна первоначальному расстоянию между телами . Поэтому (ответ 2). Отметим, что данные в условии задачи ответы 3 и 4 имеют неправильную размерность — 1/с и потому могут быть отброшены сразу. Задача 1.2.5 решается с помощью таких соображений: время движения первого пешехода между городами , второго — , встречи пешеходов (см. предыдущую задачу). Отсюда
Сокращая в этой формуле величину , получаем
или ч (правильный ответ — 1).
В задаче 1.2.6 начальное и конечное положения вагона и человека показаны на правой и левой частях рисунка.
Отсюда заключаем, что разность перемещений вагона и человека равна длине вагона . Поэтому время, через которое провожающий окажется около конца вагона, определяется из соотношения . Из этой формулы находится время, а затем и расстояние, пройденное провожающим (ответ 1). Отметим, что ответы 3 и 4 могли быть отброшены сразу, поскольку не описывают случай одинаковых скоростей. Действительно, при одинаковых скоростях вагон никогда не обгонит провожающего, и расстояние, пройденное при «обгоне» провожающим, должно обратиться в бесконечность. Другими словами, ответ должен содержать нуль в знаменателе при .
Задача 1.2.7 посвящена вычислению средней скорости движения на некотором пути, которая определяется как отношение этого пути к затраченному времени. Если расстояние между городами и равно , то полное время движения между городами складывается из времен, затраченных на первую и вторую половины пути
Отсюда находим км/ч (правильный ответ — 3).
В задачах 1.2.8–1.2.9 закон сложения скоростей рассматривается в ситуациях, когда векторы , и направлены не вдоль одной прямой. В этом случае необходимо использовать закон сложения скоростей в векторной форме (1.3). Когда человек в поезде идет перпендикулярно направлению его движения (задача 1.2.8), треугольник сложения скоростей (1.3) имеет вид, показанный на рисунке.
Здесь — вектор скорости поезда относительно земли, — вектор скорости человека относительно поезда, который по условию направлен перпендикулярно вектору . Поэтому согласно закону сложения скоростей вектор скорости человека относительно земли представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются векторы и (см. рисунок). Следовательно, величину скорости человека относительно земли можно найти по теореме Пифагора (ответ 3).
Задачи 1.2.9. и 1.2.10 удобнее решать, переходя из той системы отсчета, в которой задача поставлена (в системе отсчета, связанной с землей) в некоторую другую систему, в которой рассматриваемое явление является более простым. При переправе через реку (задача 1.2.9) скорость лодки относительно земли зависит от траектории — на траекториях, направленных под острыми углами к течению, скорость лодки больше, чем на траекториях, на которых угол между скоростью лодки и скоростью течения — тупой. Поэтому время переправы по самой короткой траектории (перпендикулярной берегам) не является минимальным. Траекторию с минимальным временем переправы легко найти в системе отсчета, связанной с водой. В этой системе отсчета вода покоится, и, следовательно, минимальное время переправы достигается на такой траектории, на которой вектор скорости лодки относительно воды перпендикулярен берегам реки. Поэтому вектор скорости лодки относительно земли на этой траектории наклонен под углом к течению (см. рисунок). Под таким углом к берегу и расположена траектория, на переправу по которой лодка затрачивает минимальное время (правильный ответ — 1).
В задаче 1.2.10 рассматривается движение трех тел. В системе отсчета, связанной с землей ответ неочевиден. Быстрый катер дольше уплывет от лодки, но будет двигаться быстрее и при обратном движении, медленный — наоборот. Однако если перейти в систему отсчета, связанную с водой, решение очень несложно. В этой системе отсчета плот покоится, каждый катер при движении от плота и к плоту движется с одинаковой скоростью. Поэтому каждый катер вернется к плоту через то же самое время после разворота, в течение которого он двигался от плота. Следовательно, катера вернутся одновременно (ответ 3).
Документация JDK 20 — Главная
Главная
Ява
Java SE
20
Обзор
Прочтите меня
Примечания к выпуску
Что нового
Руководство по миграции
Загрузить JDK
Руководство по установке
Формат строки версии
Инструменты
Технические характеристики инструментов JDK
Руководство пользователя JShell
Руководство по JavaDoc
Руководство пользователя средства упаковки
Язык и библиотеки
Обновления языка
Основные библиотеки
HTTP-клиент JDK
Учебники по Java
Модульный JDK
Руководство программиста API бортового регистратора
Руководство по интернационализации
Технические характеристики
Документация API
Язык и ВМ
Имена стандартных алгоритмов безопасности Java
банок
Собственный интерфейс Java (JNI)
Инструментальный интерфейс JVM (JVM TI)
Сериализация
Проводной протокол отладки Java (JDWP)
Спецификация комментариев к документации для стандартного доклета
Прочие характеристики
Безопасность
Руководство по безопасному кодированию
Руководство по безопасности
Виртуальная машина HotSpot
Руководство по виртуальной машине Java
Настройка сборки мусора
Управление и устранение неполадок
Руководство по устранению неполадок
Руководство по мониторингу и управлению
Руководство по JMX
Client Technologies
Руководство по специальным возможностям Java
рекурсия — временная сложность возврата каждого пути в двоичном дереве, путь которого равен целевой сумме
Мне пришлось использовать оператор распространения, чтобы создать новый экземпляр действительного пути для добавления в мой массив путей, выполнив paths. push([...currPath])
Да, это необходимо, иначе у вас будет только один путь, который продолжает мутировать.
операция распространения имеет временную сложность O(n), где n — размер пути. Я не уверен, как это влияет на временную сложность алгоритма.
Вы правы в том, что 𝑛 в этом O(𝑛) ограничен размером пути, который ограничен высотой дерева. В среднем высота дерева равна O(log𝑛), где 𝑛 — количество узлов в дереве, так что средняя временная сложность операции распространения равна O(log𝑛).
Поскольку в описании задачи указано, что значения узла могут быть как положительными, так и отрицательными, также могут быть случаи, когда подходящий путь может быть расширен до другого подходящего пути (путем добавления общего значения 0).
есть ли другой способ написать это, чтобы у меня не было операции O (n), когда я нахожу правильный путь?
Нет. Ожидаемый результат должен включать все пути, и, поскольку все эти пути различны, каждый из них занимает отдельную память для содержащихся в них ссылок на узлы.
Возьмем, к примеру, это дерево, и с 5 в качестве требуемой суммы
0 / \ 5 1 / \ / \ -2 -1 4 2 // / / 2 1 0 2
Тогда ожидаемый результат будет (в любом порядке):
[[0,5],[0,5,-2,2],[0,5,-1,1],[5],[ 5,-2,2],[5,-1,1],[0,1,4],[0,1,2,2],[1,4],[1,2,2]]
…где числа на самом деле являются экземплярами узлов.
Обратите внимание, что в этом выводе 29 узлов, а в дереве всего 11 узлов. Многие узлы появляются более одного раза, потому что они являются частью разных путей.
Таким образом, временная сложность напрямую связана с размером выходных данных.
Самый худший случай — входные данные идеального бинарного дерева, где значение каждого узла равно 0, а ожидаемая сумма равна 0. Это означает, что все возможные (нисходящие) пути (без каких-либо ограничений, вызванных суммой) должны быть включены в выход:
0 / \ 0 0 / \ / \ 0 0 0 0 /\ /\ /\ /\ 0 0 0 0 0 0 0 0
Пути можно классифицировать по их длине:
Имеется 𝑛 путей длины 1
Имеется 𝑛−1 путей длины 2
Имеется 𝑛−3 пути длины 3
.