Пружинный маятник совершает незатухающие колебания между точками а и б: Пружинный маятник совершает незатухающие колебания между точками А и В. Точка О соответствует положению равновесия маятника. Выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номер

Вариант 1 | Варианты ЕГЭ

Вариант 1 | Варианты ЕГЭ | Решутест. Продвинутый тренажёр тестов

Назад

Время

3:0:00

№1

Установите соответствие между физическими величинами и приборами для измерения этих величин. К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ФИЗИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ	ПРИМЕРЫ
А) атмосферное давление Б) температура воздуха B) влажность воздуха	1) манометр 2) термометр 3) калориметр 4) барометр-анероид 5) гигрометр

№2

Установите соответствие между формулами для расчёта физических величин и названиями этих величин.

В формулах использованы обозначения: m — масса грузика; k — жесткость пружины, l — длина нити, g — модуль свободного падения. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ФОРМУЛЫ	ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
А) $2 \pi \sqrt{\displaystyle \frac{l}{g}}$ Б) $ \displaystyle \frac{\sqrt k}{2 \pi \sqrt m}$	1) циклическая частота свободных гармонических колебаний математического маятник 2) период свободных гармонических колебаний пружинного маятника 3) частота колебаний свободных гармонических колебаний пружинного маятника 4) период свободных гармонических колебаний математического маятника

№3

На рисунке приведён график зависимости температуры t воды от времени τ при нормальном атмосферном давлении. Какое из утверждений является неверным?

1) Нагревание воды происходит на участке АБ

2) Внутренняя энергия системы вода — пар увеличивается на участке БВ.

3) В точке Е вода находится в твердом состоянии.

4) На участке ЕЖ внутренняя энергия воды уменьшается

№4

Прочитайте текст и вставьте на места пропусков слова (словосочетания) из приведённого списка.

Реактивным называется движение, которое происходит под действием ________ (А), действующей на движущееся тело со стороны струи вещества, выбрасываемого из двигателя. Пояснить принцип реактивного движения можно на примере движения ракеты.

Пусть в двигателе, установленном на ракете, происходит сгорание топлива и продукты горения (горячие газы) под высоким давлением выбрасываются из сопла двигателя. На каждую порцию газов, выброшенных из сопла, со стороны двигателя действует некоторая сила, которая приводит эту порцию газов в движение. В соответствии с ________ (Б) законом Ньютона, на двигатель со стороны выбрасываемых газов действует сила, такая же по модулю и противоположная по направлению.

Эта сила называется реактивной. Под её действием ракета приобретает ускорение и разгоняется в направлении, ________ (В) выбрасывания газов.

При реактивном движении ракеты её масса непрерывно уменьшается из-за сгорания топлива и выбрасывания наружу продуктов сгорания. По этой причине модуль ускорения ракеты всё время ________ (Г), а скорость ракеты нелинейно зависит от массы сгоревшего топлива. Впервые задача об отыскании модуля конечной скорости v ракеты, масса которой изменилась от значения   до величины m, была решена русским учёным, пионером космонавтики К. Э. Циолковским.

 

Список слов и словосочетаний:  

1) сила реакции

2) сила тяжести

3) первый

4) второй

5) третий

6) противоположное направление

7) совпадающий с направлением

8) изменяется

9) остаётся постоянным

№5

Сосновый брусок, имеющего размеры a = 30 см, b = 20 см и c = 10 см, начинают осторожно опускать в ванну с водой (как показано на рисунке).

{24} Na$. Чему равно зарядовое число частицы, которая испускается при этом ядерном превращении?

№11

Пружинный маятник совершает незатухающие гармонические колебания между точками А и В. Точка О соответствует положению равновесия маятника. Как меняется кинетическая и потенциальная энергия маятника при переходе из точки B в точку O?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается

2) уменьшается

3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

№12

Как меняются частота и скорость звука при переходе звуковой волны из воды в воздух?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается

2) уменьшается

3) не изменяется

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

№13

Небольшое тело начинает движение вдоль оси OX из точки с координатой   и движется в течение 5 секунд. График зависимости проекции скорости V этого тела на ось 

OX от времени t показан на рисунке. Используя рисунок, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

1) В момент времени t = 2 с координата тела равна 0 м.

2) В момент времени t = 3 c координата тела равна (–3) м.

3) За 5 с перемещение тела равно 7 м.

4) Направление движения тела за рассматриваемый промежуток времени не менялось.

5) За последние 4 с движения тело прошло путь 6 м.

№14

В справочнике физических свойств различных материалов представлена следующая таблица:

* Плотность расплавленного металла считать практически равной его плотности в твёрдом состоянии.

Используя данные таблицы, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

1) Кольцо из серебра нельзя расплавить в свинцовой посуде.

2) Алюминиевая проволока утонет в расплавленном олове.

3) Для нагревания 1 кг меди на 10 °С потребуется такое же количество теплоты, что и для нагревания 1 кг цинка на 10 С.

4) Свинцовый шарик будет плавать в расплавленной меди при частичном погружении.

5) Для плавления серебряного и оловянного шаров одинаковой массы при температуре их плавления потребуется одинаковое количество теплоты.

№15

Цена деления и предел измерения динамометра (см. рисунок) равны соответственно

1) 1 Н, 4 Н

2) 4 Н, 1 Н

3) 0,5 Н, 4 Н

4) 0,5 Н, 5 Н

№16

В два цилиндрических сосуда налили равное количество воды, находящейся при комнатной температуре (см. рисунок). В результате наблюдений было отмечено, что вода во втором сосуде испарилась быстрее.

Выберите из предложенного перечня два утверждения, которые соответствуют результатам проведённых экспериментальных наблюдений.

Укажите их номера.

1) Процесс испарения воды происходит при комнатной температуре.

2) Скорость испарения жидкости увеличивается с увеличением её температуры.

3) Скорость испарения жидкости зависит от площади её поверхности.

4) Скорость испарения жидкости зависит от рода жидкости.

5) При наличии ветра испарение воды происходит быстрее.

№17

Используя штатив с муфтой и лапкой, пружину, динамометр, линейку и один груз, соберите экспериментальную установку для измерения жёсткости пружины. Определите жёсткость пружины, подвесив к ней один груз. Для измерения веса груза воспользуйтесь динамометром. Абсолютная погрешность измерения длины составляет ±1 мм, абсолютная погрешность измерения силы составляет ±0,05 Н.

В ответе:

1) сделайте рисунок экспериментальной установки;

2) запишите формулу для расчёта жёсткости пружины;

3) укажите результаты измерения веса груза и удлинения пружины с учётом абсолютных погрешностей измерений;

4) запишите числовое значение жёсткости пружины.

ответ

1. Схема экспериментальной установки изображена на рисунке.
2. F_упр=mg=P; F_упр=kx, следовательно, k=P/x
3. x=(25±1)мм=(0,025±0,001)м,P=(1,00±0,05)Н
4. k=1,00/0,025=40 Н/м

№18

Установите соответствие между техническими устройствами и физическими явлениями, лежащими в основе принципа их действия. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца.

ТЕХНИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА	ФИЗИЧЕСЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
А) тепловизор (прибор ночного видения, основанный на улавливании тепловых лучей) Б) приборы для получения снимков участков скелета человека	1) излучение нагретым телом инфракрасных лучей 2) рентгеновское излучение 3) отражение световых лучей 4) дисперсия света

 

№19

Насыщенность цвета

Окраска различных предметов, освещённых одним и тем же источником света (например, Солнцем), бывает весьма разнообразна. Это объясняется тем, что свет, падающий на предмет, частично отражается (рассеивается), частично пропускается и частично поглощается им. Доля светового потока, участвующего в каждом из этих процессов, определяется с помощью соответствующих коэффициентов: отражения, пропускания, поглощения.

Эти коэффициенты могут зависеть от длины световой волны, поэтому при освещении тел наблюдаются различные световые эффекты. Тела, у которых коэффициент поглощения близок к единице, будут чёрными непрозрачными телами, а те тела, у которых коэффициент отражения близок к единице, будут белыми непрозрачными телами.

Кроме обозначения цвета — красный, жёлтый, синий и т. д. — мы нередко различаем цвет по насыщенности, то есть по чистоте оттенка, отсутствию белесоватости. Примером глубоких или насыщенных цветов являются спектральные цвета. В них представлена узкая область длин волн без примеси других цветов. Цвета же тканей и красок, покрывающих предметы, обычно бывают менее насыщенными и в большей или меньшей степени белесоватыми.

Причина в том, что коэффициент отражения большинства красящих веществ не равен нулю ни для одной длины волны. Таким образом, при освещении окрашенной в красный цвет ткани белым светом мы наблюдаем в рассеянном свете преимущественно одну область цвета (красную), но к ней примешивается заметное количество и других длин волн, дающих в совокупности белый свет. Но если такой рассеянный тканью свет с преобладанием одного цвета (например, красного) направить не прямо в глаз, а заставить вторично отразиться от той же ткани, то доля преобладающего цвета усилится по сравнению с остальными, и белесоватость уменьшится. Многократное повторение такого процесса может привести к получению достаточно насыщенного цвета.

Поверхностный слой любой краски всегда рассеивает белый свет в количестве нескольких процентов. Это обстоятельство портит насыщенность цветов картин. Поэтому картины, написанные масляными красками, обычно покрывают слоем лака. Заливая все неровности краски, лак создает гладкую зеркальную поверхность картины. Белый свет от этой поверхности не рассеивается во все стороны, а отражается в определённом направлении. Конечно, если смотреть на картину из неудачно выбранного положения, то такой свет будет очень мешать (отсвечивать). Но если рассматривать картину с других положений, то благодаря лаковому покрытию белый свет от поверхности в этих направлениях не распространяется, и цвета картины выигрывают в насыщенности.

Какая физическая величина характеризует свет разного цвета?

1. амплитуда колебаний
2. частота волны
3. плотность среды, на поверхность которой падает свет
4. оптическая плотность среды

№20

Насыщенность цвета

Окраска различных предметов, освещённых одним и тем же источником света (например, Солнцем), бывает весьма разнообразна. Это объясняется тем, что свет, падающий на предмет, частично отражается (рассеивается), частично пропускается и частично поглощается им. Доля светового потока, участвующего в каждом из этих процессов, определяется с помощью соответствующих коэффициентов: отражения, пропускания, поглощения.

Эти коэффициенты могут зависеть от длины световой волны, поэтому при освещении тел наблюдаются различные световые эффекты. Тела, у которых коэффициент поглощения близок к единице, будут чёрными непрозрачными телами, а те тела, у которых коэффициент отражения близок к единице, будут белыми непрозрачными телами.

Кроме обозначения цвета — красный, жёлтый, синий и т. д. — мы нередко различаем цвет по насыщенности, то есть по чистоте оттенка, отсутствию белесоватости. Примером глубоких или насыщенных цветов являются спектральные цвета. В них представлена узкая область длин волн без примеси других цветов. Цвета же тканей и красок, покрывающих предметы, обычно бывают менее насыщенными и в большей или меньшей степени белесоватыми.

Причина в том, что коэффициент отражения большинства красящих веществ не равен нулю ни для одной длины волны. Таким образом, при освещении окрашенной в красный цвет ткани белым светом мы наблюдаем в рассеянном свете преимущественно одну область цвета (красную), но к ней примешивается заметное количество и других длин волн, дающих в совокупности белый свет. Но если такой рассеянный тканью свет с преобладанием одного цвета (например, красного) направить не прямо в глаз, а заставить вторично отразиться от той же ткани, то доля преобладающего цвета усилится по сравнению с остальными, и белесоватость уменьшится. Многократное повторение такого процесса может привести к получению достаточно насыщенного цвета.

Поверхностный слой любой краски всегда рассеивает белый свет в количестве нескольких процентов. Это обстоятельство портит насыщенность цветов картин. Поэтому картины, написанные масляными красками, обычно покрывают слоем лака. Заливая все неровности краски, лак создает гладкую зеркальную поверхность картины. Белый свет от этой поверхности не рассеивается во все стороны, а отражается в определённом направлении. Конечно, если смотреть на картину из неудачно выбранного положения, то такой свет будет очень мешать (отсвечивать). Но если рассматривать картину с других положений, то благодаря лаковому покрытию белый свет от поверхности в этих направлениях не распространяется, и цвета картины выигрывают в насыщенности.

Что происходит при покрытии лаком картин, написанных масляными красками?

1) уменьшается коэффициент преломления света

2) увеличивается коэффициент поглощения света

3) отражение света становится направленным

4) свет еще больше рассеивается

№21

Где (сверху или сбоку от картины) лучше поместить светильник для освещения картины, покрытой лаком? Ответ поясните.

№22

Автомобиль может спуститься с горы на равнину по одной из двух дорог: по короткой достаточно прямой дороге и по длинной извилистой. Сравните работу силы тяжести в этих случаях. Ответ поясните.

№23

Двигатель трактора совершил полезную работу 23 МДж, израсходовав при этом 2 кг бензина. Найдите КПД двигателя трактора.

№24

Потенциальная энергия стрелы, выпущенной из лука со скоростью 30 м/с вертикально вверх, через 2 с после начала движения равна 40 Дж. Чему равна масса стрелы? Потенциальная энергия стрелы отсчитывается от уровня старта.

№25

При прохождении электрического тока через спираль нагревателя, изготовленную из никелиновой проволоки длиной 80 м и площадью поперечного сечения 0,84 мм2, за 10 мин выделилось количество теплоты 726000 Дж. Чему равно напряжение сети, в которую включили нагреватель?

Нажми, чтобы завершить тест и увидеть результаты

Так твой прогресс будет сохраняться.

Регистрация

Мы отправили код на:

Изменить

Получить код повторно через 00:00

Я прочитал(-а) Политику конфиденциальности и согласен(-на) с правилами использования моих персональных данных

Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно

Пружинный маятник, теория и онлайн калькуляторы

Пружинный маятник, теория и онлайн калькуляторы

Определение пружинного маятника

Определение

Пружинный маятник представляет собой груз массой $m$, подвешенный на пружине, которую считают абсолютно упругой (ее коэффициент упругости равен $k$).

Рассмотрим вертикальные движения груза, которое происходит под воздействием силы упругости пружины и силы тяжести, если система выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. Массу пружины учитывать не будем, считая ее малой в сравнении с массой груза. Начало отсчета поместим на оси X (ось направлена вниз) в точке равновесия груза. По закону Гука, при растяжении или сжатии пружины возникает противодействующая сила, которая пропорциональна величине растяжения (сжатия):

\[F_u=-kx\ \left(1\right).\]

Тело на пружине совершает линейные колебания. Колебания пружинного маятника часто рассматривают как свободные и незатухающие. Уравнением движения считают выражение:

\[m\ddot{x}=-kx\ (2)\]

или

\[\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0\ \left(3\right).\]

Решением уравнения (3) является гармоническая функция:

\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=B{\sin \left({\omega }_0t+{\varphi }_1\right)\ }\ }\left(4\right),\]

где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ и $B$ — амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi )$ — фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ — начальные фазы колебаний. Функция (4) является периодической.

Период колебаний пружинного маятника равен:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\left(5\right).\]

Формула (5) является справедливой для упругих колебаний, колебаний для которых выполняется закон Гука (масса пружины должна быть существенно меньше массы тела, которое к ней подвешено).

Пружинный маятник является примером гармонического осциллятора. Колебания гармонического осциллятора служат важным примером периодического движения и являются моделью во многих задачах физики.

Амплитуда и начальная фаза прежинного маятника

Для нахождения амплитуды и начальной фазы колебаний маятника необходимо знать положение и скорость колебаний маятника в некоторый момент времени. Пусть колебания описывают уравнением вида:

\[x(t)=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\]

координата груза в момент времени $t=0$ равна $x_0$, скорость в этот момент времени равна $v_0$, тогда на основе уравнения $x(t)$ запишем:

\[x_0=A{\cos \varphi ;;{\ \dot{x}}_0=v_0=-A\ }{\omega }_0{\sin \varphi \ \left(7\right),\ }\]

тогда из уравнений (7) амплитуда равна:

\[A=\sqrt{x^2_0+\frac{v^2_0}{{\omega }^2_0}}\left(8\right),\]

начальная фаза при этом:

\[tg\ \varphi =-\frac{v_0}{x_0{\omega }_0}\left(9\right). \]

Зная начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника.

Энергия прежинного маятника

Представление о потенциальной энергии имеет смысл только в том случае, если силы потенциальны. При одномерном движении, как у пружинного маятника между двумя точками есть только один путь. То есть автоматически обеспечивается условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). (Отметим, что сила трения не является потенциальной даже в одномерном случае, так как она зависит от направления скорости).

В случае пружинного маятника удобно за ноль потенциальной энергии считать энергию маятника в положении равновесия, поместив его в начале координат. Используя формулу связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

\[E_p=-\frac{dF}{dx}(10)\]

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$, получаем\textit{ }потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:\textit{}

\[E_p=\frac{kx^2}{2}=\frac{m{\omega }^2x^2}{2}\left(11\right). 2}{2}=const\ \left(12\right).\]

Закон сохранения энергии можно получить непосредственно из уравнения движения (3).

Из закона сохранения энергии можно сделать следующие выводы:

1. Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
2. Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Груз, висящий на упругой пружине, совершает колебания по вертикали с амплитудой равной $A=0,08$ м. Какова жесткость пружины, если максимальная кинетическая энергия груза равна $E_{k\ max}=0,8$ Дж?

Решение.Для решения задачи воспользуемся первым следствием закона сохранения (Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии):

\[E_{k\ max}=E_{p\ max}\left(1.1\right).\]

Потенциальная энергия груза на пружине равна:

\[E_{p\ }=\frac{kx^2}{2}\ \left(1. 2}=250\ (\frac{Н}{М}).\]

Ответ. $k=250\frac{Н}{М}$

   

Пример 2

Задание. При увеличении массы груза, прикрепленного к вертикальной упругой пружине, на величину $\Delta m,$ период колебаний увеличился в $n$ раз. Какова масса первого груза?\textit{}

Решение. Основой для решения задачи служит формула периода колебаний пружинного маятника:

\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\ \left(2.1\right).\]

Эту формулу следует записать для первого груза:

\[T_1=2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}(2.2)\]

и второго груза:

\[T_2=2\pi \sqrt{\frac{m_1+\Delta m}{k}}(2.2)\]

По условию $\frac{T_2}{T_1}=n$, найдем отношение правых частей выражений (2.2) и (2.1):

\[\frac{T_2}{T_1}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{m_1+\Delta m}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}}=\sqrt{\frac{m_1+\Delta m}{m_1}}=n\ \left(2. 2-1}$

   

Читать дальше: работа.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Лабораторная работа 7 — Простое гармоническое движение

Введение

Вы когда-нибудь задумывались, почему напольные часы показывают точное время? Движение маятника представляет собой особый вид повторяющегося или периодического движения, называемого простым гармоническим движением или SHM. Положение колеблющегося объекта изменяется во времени по синусоидальному закону. Многие объекты колеблются взад и вперед. Движение ребенка на качелях можно аппроксимировать синусоидальным и, следовательно, рассматривать как простое гармоническое движение. Некоторые сложные движения, такие как турбулентные волны на воде, не считаются простым гармоническим движением. Когда объект находится в простом гармоническом движении, можно легко определить скорость, с которой он колеблется вперед и назад, а также его положение во времени. В этой лабораторной работе вы проанализируете простой маятник и систему пружинных масс, обе из которых демонстрируют простое гармоническое движение.

Обсуждение принципов

Частица, вибрирующая вертикально в простом гармоническом движении, движется вверх и вниз между двумя крайними значениями y = ± A . Максимальное смещение А называется амплитудой . Это движение показано графически на графике зависимости положения от времени на рис. 1.

Рисунок 1 : График положения, показывающий синусоидальное движение объекта в SHM

Одно полное колебание или цикл или колебание — это движение, например, от

y = −A

к

y = +A

и обратно к

9 0020 г = -А.

Интервал времени T , необходимый для совершения одного колебания, называется периодом . Родственной величиной является частота f , которая представляет собой количество колебаний, совершаемых системой в единицу времени. Частота обратна периоду и измеряется в герцах, сокращенно Гц;

1 Гц = 1 с ⁻¹ .

( 1 )

f = 1/T

Если частица колеблется вдоль оси y , то ее положение на оси y в любой данный момент времени t , отсчитываемое от начала колебаний, определяется уравнением

( 2 )

y = A sin(2 π футов)

Напомним, что скорость объекта — это первая производная, а ускорение — вторая производная функции смещения по времени. Скорость v и ускорение a частицы в момент времени t определяются выражением

( 3 )

v = 2 π fA cos(2 π фута)

( 4 )

a = −(2 π f) 9 0053 2 [А грех(2 π футов)]

Обратите внимание, что скорость и ускорение также являются синусоидальными. Однако функция скорости имеет разность фаз 90° или π /2, в то время как функция ускорения имеет разность фаз 180° или π разность фаз относительно функции смещения. Например, когда смещение максимально положительно, скорость равна нулю, а ускорение максимально отрицательно. Замена из

уравнения. (1)

f = 1/T

в

Ур. (4)

a = −(2 π f) ² [A sin(2 π футов)]

дает

( 5 )

a = −4 π ² f ² y

Из уравнения

. (5)

a = −4 π ² f ² y

мы видим, что ускорение объекта в СГМ пропорционально смещению и противоположно по знаку. Это основное свойство любого объекта, совершающего простое гармоническое движение. Рассмотрим несколько критических точек в цикле, как в случае колеблющейся системы пружина-масса. Пружинно-массовая система состоит из массы, прикрепленной к концу пружины, подвешенной к стойке. Масса немного притягивается вниз и отпускается, чтобы заставить пружину и массу колебаться в вертикальной плоскости. На рис. 2 показаны пять критических точек, когда масса пружины проходит полный цикл. Положением равновесия системы пружина-масса является положение массы, когда пружина не растянута и не сжата.

Рисунок 2 : Пять ключевых точек массы, колеблющейся на пружине.

Масса завершает полный цикл, перемещаясь из положения A в положение E. Описание каждого положения выглядит следующим образом:

• Положение A: пружина сжата; масса находится выше точки равновесия при

  y = A

  и вот-вот высвободится.
• Положение B: масса движется вниз, проходя через точку равновесия.
• Положение C: масса на мгновение покоится в самой нижней точке, прежде чем начать движение вверх.
• Положение D: масса движется вверх, когда она проходит через точку равновесия.
• Положение E: груз на мгновение находится в покое в самой высокой точке, прежде чем снова начать опускаться.

Отмечая время, когда возникают отрицательное максимальное, положительное максимальное и нулевое значения для положения, скорости и ускорения колеблющегося объекта, вы можете построить график функции синуса (или косинуса). Это сделано для случая колеблющейся системы пружины и массы в таблице ниже, а три функции показаны на рис. 3. Обратите внимание, что положительное направление обычно выбирается как направление растяжения пружины. Следовательно, положительное направление в данном случае вниз и исходное положение на рис. 2 на самом деле является отрицательным значением. Наиболее сложным для анализа параметром является ускорение. Это помогает использовать второй закон Ньютона, который говорит нам, что отрицательное максимальное ускорение возникает, когда результирующая сила равна отрицательному максимуму, положительное максимальное ускорение возникает, когда результирующая сила положительна, а ускорение равно нулю, когда результирующая сила равна нулю.

9017 макс. 2 позиции

	Положение	Скорость	Ускорение
Точка A	макс. отр.	ноль	макс. позиция
точка B	ноль	макс. 2 ноль
Точка C	pos max	ноль	neg max
Точка D	ноль	отрицательный максимум	ноль
Точка E	отрицательный максимум	ноль

Рисунок 3 : Положение, скорость и ускорение в зависимости от времени

Для этого конкретного начального условия (начальное положение в точке A на рис. 2) кривая положения представляет собой косинусоидальную функцию (фактически отрицательную косинусоидальную функцию), кривая скорости представляет собой синусоидальную функцию, а кривая ускорения представляет собой просто отрицательную величину положения. изгиб.

Масса и пружина

Груз, подвешенный на конце пружины, растянет пружину на некоторое расстояние г . Сила, с которой пружина тянет вверх массу, выражается как где k — жесткость пружины, а y — растяжение пружины при приложении к ней силы F . Постоянная пружины k является мерой жесткости пружины. Постоянную пружины можно определить экспериментально, позволив массе неподвижно висеть на пружине, а затем добавив дополнительную массу и записав дополнительное растяжение пружины, как показано ниже. На рис. 4а подвес груза подвешен к концу пружины. На рис. 4b к подвеске добавлена ​​дополнительная масса, и теперь пружина растянута на величину

Δy

. Эта экспериментальная установка также показана на фотографии аппарата на рис. 5.

Рисунок 4 : Установка для определения жесткости пружины

Рисунок 5 : Фото установки для определения жесткости пружины

Когда масса неподвижна, ее ускорение равно нулю. Следовательно, согласно второму закону Ньютона результирующая сила должна быть равна нулю. На массу действуют две силы; направленная вниз сила тяжести и направленная вверх сила пружины. См. диаграмму свободного тела на рис. 6 ниже.

Рисунок 6 : Схема свободного тела для системы пружины-массы

Итак, второй закон Ньютона дает нам

( 7 )

Δmg − kΔy = 0

где

Δm

— изменение массы,

Δy

— изменение растяжения пружины, вызванное изменением массы, g — ускорение свободного падения, k — постоянная пружины.

уравнение (7)

Δmg − kΔy = 0

также можно выразить как

( 8 )

Δm = Δy

Второй закон Ньютона, примененный к этой системе, равен

мА = F = −ky.

Заменитель

Экв. (5)

a = −4 π ² f ² y

для ускорения, чтобы получить

( 9 )

м(−4 π ² f ² y) = −ky

откуда получаем выражение для частоты f и период T .

( 10 )

f =

( 11 )

T = 2 π

Используя уравнение

. (11)

T = 2 π

мы можем предсказать период, если мы знаем массу пружины и константу пружины. С другой стороны, зная массу пружины и экспериментально измерив период, мы можем определить жесткость пружины. Обратите внимание, что в

Уравнение (11)

T = 2 π

Связь между T и M не является линейной. График зависимости периода от массы не будет прямой линией. Если возвести в квадрат обе части уравнения

. (11)

T = 2 π

, получаем

( 12 )

Т ² = 4 π ²

Теперь график зависимости

T ²

от м будет представлять собой прямую линию, и по наклону можно определить постоянную пружины.

Простой маятник

Другой пример простого гармонического движения, который вы будете исследовать, — это простой маятник . Простой маятник состоит из груза массой м , называемого грузом маятника, прикрепленного к концу нити. Длина L простого маятника измеряется от точки подвеса струны до центра груза, как показано на рис. 7 ниже.

Рисунок 7 : Экспериментальная установка для простого маятника

Если груз отодвинуть от положения покоя на некоторый угол смещения θ , как на рис. 7, возвращающая сила вернет груз обратно в положение равновесия. Силы, действующие на груз, — это сила тяжести и сила натяжения струны. Сила натяжения струны уравновешивается той составляющей силы тяжести, которая находится на одной линии со струной (т. е. перпендикулярно движению груза). Возвращающей силой здесь является тангенциальная составляющая силы тяжести.

Рисунок 8 : Простой маятник

Применив тригонометрию к меньшему треугольнику на рис. 8, мы получим величину возвращающей силы

|F| = мг sin θ .

Эта сила зависит от массы шарика, ускорения свободного падения g и синуса угла, на который натянута нить. Снова должен применяться второй закон Ньютона, поэтому

( 13 )

мА = F = −mg sin

где отрицательный знак означает, что восстанавливающая сила действует против направления движения груза. Поскольку груз движется по дуге окружности, угловое ускорение равно

α = a/L.

Из

экв. (13)

ma = F = −mg sin θ

получаем

( 14 )

α = − sin θ

На рис. 9 синяя сплошная линия — это график θ в зависимости от sin( θ ), а прямая линия представляет собой график зависимости θ в градусах от θ в радианах. При малых углах эти две кривые почти неразличимы. Следовательно, пока смещение θ мало, мы можем использовать аппроксимацию sin θ ≅ θ .

Рисунок 9 : Графики sin θ по сравнению с θ

С этим приближением

Eq. (14)

α = − sin θ

становится

( 15 )

α = − θ

Уравнение (15) показывает, что (угловое) ускорение пропорционально отрицательному значению (углового) смещения, и, следовательно, движение груза является простой гармоникой, и мы можем применить уравнение

. (5)

a = −4 π ² f ² y

, чтобы получить

( 16 )

α = −4 π ² f ² θ

Объединение уравнения

. (15)

α = − θ

и

Ур. (16)

α = −4 π ² f ² θ

, и упрощая, получаем

( 17 )

f =

и

( 18 )

Т = 2 π

Обратите внимание, что частота и период простого маятника не зависят от массы.

Объектив

Цель этой лабораторной работы — понять поведение объектов в простом гармоническом движении путем определения жесткости пружины системы масса-пружина и простого маятника.

Оборудование

• Ассорти массы
• Весна
• метр палка
• Стоять
• Секундомер
• Нить
• маятниковый боб
• Транспортир
• Баланс

Процедура

Используя закон Гука, вы определите жесткость пружины путем измерения растяжения пружины по мере того, как к пружине добавляются дополнительные массы. Вы определите период колебаний системы пружина-масса для различных масс и используете его для определения жесткости пружины. Затем вы сравните значения жесткости пружины, полученные двумя методами. В случае простого маятника вы измерите период колебаний для струн маятника различной длины и сравните эти значения с предсказанными значениями периода.

Процедура A. Определение жесткости пружины с использованием закона Гука

• 1

  Начиная с 50 г, добавляйте на вешалку грузы с шагом 50 г. Добавляя каждые 50 г груза, измерьте соответствующее удлинение y пружины, произведенной весом этих добавленных грузов. Введите эти значения в Таблицу данных 1.

• 2

  Используйте Excel для построения графика м против y . См. Приложение G.

• 3

  Используйте параметр линии тренда в Excel, чтобы определить наклон графика. Запишите это значение в рабочий лист. См. Приложение Н.

• 4

  Используйте значение наклона, чтобы определить жесткость пружины k . Запишите это значение в рабочий лист.

КПП 1:
Попросите вашего ТА проверить вашу таблицу и график Excel.

Процедура B: Определение жесткости пружины по

T ²

по сравнению с м График

Мы предположили, что пружина не имеет массы, но у нее есть некоторая масса, которая повлияет на период колебаний. Теория предсказывает, а опыт подтверждает, что если одну треть массы пружины добавить к массе м в

уравнении. (11)

T = 2 π

, период будет таким же, как у массы такой полной величины, колеблющейся на безмассовой пружине.

• 5

  С помощью весов измерьте массу пружины и запишите это в рабочий лист. Добавьте одну треть этой массы к колеблющейся массе перед вычислением периода колебаний. Если масса пружины намного меньше колеблющейся массы, вам не нужно добавлять одну треть массы пружины.

• 6

  Добавьте 200 г на вешалку.

• 7

  Потяните массу вниз на короткое расстояние и отпустите, чтобы произвести устойчивое движение вверх и вниз без бокового раскачивания или поворота. По мере того, как масса движется вниз мимо точки равновесия, запустите часы и отсчитайте «ноль». Затем считайте каждый раз, когда масса перемещается вниз за точку равновесия, и на 50-м проходе останавливайте часы.

• 8

  Повторите шаг 7 еще два раза и запишите значения для трех испытаний в таблице данных 2 и определите среднее время для 50 колебаний.

• 9

  Определите период по этому среднему значению и запишите его в рабочий лист.

• 10

  Повторите шаги с 7 по 9 для трех других существенно отличающихся масс.

• 11

  Используйте Excel, чтобы построить график зависимости

  T ²

  от

  m

  .

• 12

  Используйте опцию линии тренда в Excel, чтобы определить наклон и записать это значение на листе.

• 13

  Определите жесткость пружины k по наклону и запишите это значение в рабочий лист.

• 14

  Рассчитайте процентную разницу между этим значением k и значением, полученным в процедуре А, используя закон Гука. См. Приложение Б.

КПП 2:
Попросите вашего ТА проверить значения и расчеты в вашей таблице.

Процедура C: Простой маятник

• 15

  Отрегулируйте маятник на максимально возможную длину и прочно закрепите шнур. Двухметровой палкой тщательно измерьте длину струны, включая длину маятника. С помощью штангенциркуля измерьте длину маятника. См. Приложение D. Вычтите половину этого значения из ранее измеренной длины, чтобы получить значение L , и запишите это в Таблицу данных 3 на рабочем листе.

• 16

  Используя принятое значение 9,81

  м/с ²

  для g , предскажите и запишите период маятника для этого значения L .

• 17

  Потяните маятник в сторону и отпустите. Используйте как можно меньший угол, менее 10°. Убедитесь, что боб качается вперед и назад, а не движется по кругу. С помощью секундомера измерьте время, необходимое для 50 колебаний маятника, и запишите это в таблицу данных 3.

• 18

  Повторите шаг 17 еще два раза и запишите значения для трех испытаний в таблице данных 3 и определите среднее время для 50 колебаний.

• 19

  Определите период по этому среднему значению и запишите его в рабочий лист.

• 20

  Вычислите процентную ошибку между этим значением и предсказанным значением периода.

• 21

  Повторите шаги с 16 по 20 для трех других значительно отличающихся длин.

КПП 3:
Попросите вашего ТА проверить значения и расчеты в вашей таблице.

Гармоническое движение

Гармоническое движение

Говорят, что объект, движущийся вдоль оси X, демонстрирует простое гармоническое движение , если его положение как функция времени изменяется как

x(t) = x ₀ + A cos(ωt + φ).

Объект колеблется вокруг положения равновесия x ₀ . Если мы выберем начало нашей системы координат так, что x ₀ = 0, тогда смещение x от положения равновесия в зависимости от времени равно

x(t) = A cos(ωt + φ).

А — амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение объекта из положения равновесия либо в положительное или отрицательное направление x. Простое гармоническое движение повторяется. период T — время, за которое объект совершить одно колебание и вернуться в исходное положение. угловая частота ω определяется как ω = 2π/T. Угловая частота измеряется в радианах в секунду. Обратная сторона период частота f = 1/T. частота f = 1/T = ω/2π движения дает число полных колебаний в единицу времени. Измеряется в герцах (1 Гц = 1/с).

Скорость объекта как функция времени определяется как

v(t) = -ω A sin(ωt + φ),

а ускорение дается

a(t) = -ω ² A cos(ωt + φ) = -ω ² x.

Величина φ называется фазовой постоянной . Он определяется начальными условиями движения. Если при t = 0 объект имеет максимальное смещение в положительном направлении x, тогда φ = 0, если он имеет максимальное смещение в отрицательном направлении x, тогда φ = π. Я толстый t = 0 частица движется через положение равновесия с максимальным скорость в отрицательном направлении x, тогда φ = π/2. Величина ωt + φ равна называется фаза .

На рисунке ниже положение и скорость представлены как функция времени для колебательного движения с периодом 5 с. Амплитуда и максимальная скорость имеют условные единицы. Положение и скорость вне фазы . Скорость равна нулю при максимальном смещении, и смещение равно нулю на максимальной скорости.

Для простого гармонического движения ускорение a = -ω ² x равно пропорционально смещению, но в обратном направлении. Простой гармоническое движение — ускоренное движение 908:50 . Если объект демонстрирует простое гармоническое движение, на него должна действовать сила. объект. Сила

F = ma = -mω ² х.

Он подчиняется закону Гука , F = -kx, при k = mω ² .

Внешняя ссылка: Простой гармоническое движение (Youtube)

---

Сила пружины подчиняется закону Гука. Предположим, что объект прикреплен к пружине, которая растягивается или сжимается. Тогда пружина давит сила на объект. Эта сила пропорциональна смещению х тела. пружинит из положения равновесия и движется в направлении, противоположном смещение.

Ф = -кх

Предположим, что пружина растянута на расстояние A от положения равновесия, а затем отпущена. Объект прикрепленный к пружине, ускоряется, возвращаясь к положению равновесия.

a = -(к/м)х

Он набирает скорость по мере движения к положению равновесия, потому что его ускорение направлено в сторону его скорости. Когда он находится в равновесии положение, ускорение равно нулю, но объект имеет максимальная скорость. Он выходит за пределы положения равновесия и начинает замедляться. вниз, потому что ускорение теперь в направлении, противоположном направлению от его скорости. Пренебрегая трением, он останавливается, когда пружина сжимается на расстояние А, а затем ускоряется обратно к равновесию позиция. Он снова промахивается и останавливается в исходном положении, когда пружина растягивается на расстояние A. Движение повторяется. Объект колеблется взад и вперед. Он выполняет простое гармоническое движение. Угловой частота движения

ω = √(к/м),

период

Т = 2π√(м/к),

и частота

ф = (1/(2π))√(к/м).

Резюме: Если единственная сила, действующая на тело массой m, является силой закона Гука, F = -kx тогда движение объекта представляет собой простое гармоническое движение. Если x — смещение от равновесия, мы имеем . х(t) = Acos(ωt + φ), v(t) = -ωAsin(ωt + φ), a(t) = -ω 2 Acos(ωt + φ) = -ω 2 x. ω = (к/м) ½ = 2πf = 2π/T. А = амплитуда ω = угловая частота f = частота Т = период φ = фазовая постоянная

Проблема:

Частица совершает колебания с простым гармоническим движением, так что ее перемещение изменяется согласно выражению x = (5 cm)cos(2t + π/6) где x в сантиметрах, t в секундах. При t = 0 найти
(а) смещение частицы,
(б) его скорость и
(c) его ускорение.
(d) Найдите период и амплитуду движения.

Решение:

• Рассуждение:
  Анализ простого гармонического движения.
  x(t) = A cos(ωt + φ). A = амплитуда, ω = угловая частота, φ = фазовая постоянная.
  v(t) = -ω A sin(ωt + φ), a(t) = -ω ² A cos(ωt + φ) = -ω ² x.
• Детали расчета:
  (a) Смещение как функция времени: x(t) = Acos(ωt + ф). Здесь ω = 2/s, φ = π/6, A = 5 см.
  Перемещение при t = 0 равно x(0) = (5 см)cos(π/6) = 4,33 см.
  (b) Скорость при t = 0 равна v(0) = -ω(5 см)sin(π/6) = -5 см/с.
  (c) Ускорение при t = 0 равно a(0) = -ω ² (5 см)cos(π/6) = -17,3 см/с ² .
  (d) Период движения T = 2π/ω = π с, а амплитуда равна 5 см.

Проблема:

Частица массой 20 г совершает простое гармоническое движение с частотой 3 колебаний в секунду и амплитудой 5 см.
(а) Какое общее расстояние проходит частица за один цикл его движение?
(b)  Какова его максимальная скорость? Где это происходит?
(c) Найдите максимальное ускорение частицы. Где в движении делает происходит максимальное ускорение?

Решение:

• Рассуждение:
  Проанализируйте простое гармоническое движение, x(t) = A cos(ωt + φ).
• Детали расчета:
  (a) Общее расстояние d, которое проходит частица за один цикл, равно от x = -A до x = +A и обратно к x = -A, поэтому d = 4A = 20 см.
  (b) Максимальная скорость частицы
  против _макс. = ωA = 2πfA = 2π 15 см/с = 0,94 м/с.
  Частица имеет максимальную скорость при прохождении через положение равновесия.
  (c) Максимальное ускорение частицы равно
  и _макс. = ω ² А = (2πf) ² А = 17,8 м/с ² .
  Частица имеет максимальное ускорение в точках поворота, где имеет максимальное водоизмещение.

Предположим, что масса подвешена к вертикальной пружине с жесткостью k. В равновесия пружина растянута на расстояние x ₀ = mg/k. Если масса смещается из положения равновесия вниз, а пружина растягивается дополнительное расстояние x, то полная сила, действующая на массу, равна mg — k(x ₀ + x) = -kx направлена ​​в сторону положения равновесия. Если масса смещен вверх на расстояние x, то полная сила, действующая на массу, равна mg — k(x ₀ — х) = kx, направленный к положению равновесия. Масса будет выполнять простые гармонические движения. Угловая частота ω = SQRT(k/m) такая же для массы, колеблющейся на пружине в вертикальном или горизонтальном положении. Но равновесная длина пружины, вокруг которой она колеблется, различна для вертикальное положение и горизонтальное положение.

---

Предположим, что объект, прикрепленный к пружине, демонстрирует простое гармоническое движение. Позволять один конец пружины прикрепите к стене и дайте предмету двигаться горизонтально на столе без трения.

Какова полная энергия объекта?

Кинетическая энергия объекта

К = ½mv ² = ½mω ² А ² sin ² (ωt + ф).

Его потенциальная энергия является упругой потенциальной энергией. Упругий потенциал энергия, накопленная в пружине, смещенной на расстояние x от положения равновесия U = ½kx ² . Таким образом, потенциальная энергия объекта равна

.

U = ½kx ² = ½mω ² x ² = ½mω ² A ² cos ² (ωt + φ).

Полная механическая энергия объекта

E = K + U = ½mω ² A ² (sin ² (ωt + φ) + cos ² (ωt + φ)) = ½mω ² A ² .

Энергия E в системе пропорциональна квадрат амплитуды .

E = ½ кА ² .

Это постоянно меняющаяся смесь кинетической и потенциальной энергии.

Для любого объекта, совершающего простое гармоническое движение с угловой частотой ω, восстанавливающая сила F = -mω ² x подчиняется закону Гука и, следовательно, является консервативная сила . Мы можем определить потенциальную энергию U = ½mω ² x ² , а полная энергия объекта определяется выражением E = ½mω ² А ² . Поскольку v _max = ωA, мы также можем написать E = ½mv _max ² .

Проблема:

Частица, подвешенная на пружине, совершает колебания с угловой частотой 2 рад/с. Пружина подвешена к потолку кабины лифта и висит неподвижно (относительно автомобиля) по мере снижения автомобиля с постоянной скоростью 1,5 РС. Затем машина внезапно останавливается. Массой пружины пренебречь.
С какой амплитудой колеблется частица?

Решение:

• Рассуждение:
  При движении в лифте с постоянной скоростью общая сила, действующая на масса равна нулю. Сила, действующая на пружину, по величине равна силе силы тяжести, действующей на массу, пружина имеет равновесную длину вертикальная пружина. Когда лифт внезапно останавливается, конец пружины крепятся к потолочным упорам. Однако масса имеет импульс, p = mv, и поэтому начинает растягивать пружину. Он движется через положение равновесия вертикальной пружины с ее максимальной скоростью v _макс. = 1,5 м/с.
  Его скорость как функция времени равна v(t) = -ωAsin(ωt + φ).
• Детали расчета:
  Поскольку v _max = ωA и ω = 2/с, амплитуда амплитуды колебания А = 0,75 м.