Производная корня

См. также: 

таблица производных простых функций

таблица производных логарифмических функций

таблица производных тригонометрических функций

  1. Общий случай формулы производной корня произвольной степени — дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе число, равное степени корня, для которого вычислялась производная, умноженная на корень такой же степени, подкоренное выражение которого — переменная в степени корня, для которого вычислялась производная, уменьшенной на единицу
  2. Производная квадратного корня — является частным случаем предыдущей формулы. Производная квадратного корня из x — это дробь, числитель которого равен единице, а знаменатель — двойка, умноженная на квадратный корень х
  3. Производная кубического корня, также частный случай общей формулы. Производная кубического корня — это единица, деленная на три кубических корня из икс квадрат.

Ниже приведены преобразования, поясняющие, почему формулы нахождения производной квадратного и кубического корня именно такие, как приведены на рисунке. 

Разумеется, данные формулы можно вообще не запоминать, если принять во внимание, что извлечение корня производной степени — это то же самое, что возведение в степень дроби, знаменатель которой равен той же степени. Тогда нахождение производной корня сводится к применению формулы нахождения производной степени соответствующей дроби.

Производная переменной под квадратным корнем

( √x )’ = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х
-1/2
  

 
Пояснение:
( √x )’ = ( х1/2 )’   

Квадратный корень — это точно то же самое действие, что и возведение в степень 1/2, значит для нахождения производной корня можно применить формулу из правила нахождения производной от переменной в произвольной степени:

( х1/2 )’ = 1/2 х-1/2 = 1 / (2√х)  

Производная кубического корня  (производная корня третьей степени)

Производная кубического корня находится точно по такому же принципу, что и квадратного.

Представим себе кубический корень как степень 1/3 и найдем производную по общим правилам дифференцирования. Краткую формулу можно посмотреть на картинке выше, а ниже расписано пояснение, почему именно так.

Степень -2/3 получается в следствие вычитания единицы из 1/3

Производная переменной под корнем произвольной степени 

Данная формула пригодна для нахождения производной корня любой степени:

n√x )’ = 1 / ( n n√xn-1 ) 

В более удобном для глаза виде она представлена на картинке выше.

Здесь:

n — степень корня, для которой находится производная

x — переменная, для которой находится производная

2080.1947  

 Производная дроби | Описание курса | Нахождение экстремума функции 

   

Mathway | Популярные задачи

1Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм x
2Вычислим интегралинтеграл натурального логарифма x по x
3Trovare la Derivata — d/dxe^x
4Вычислим интегралинтеграл e^(2x) по x
5Trovare la Derivata — d/dx1/x
6Trovare la Derivata — d/dxx^2
7Trovare la Derivata — d/dx1/(x^2)
8Trovare la Derivata — d/dxsin(x)^2
9Trovare la Derivata — d/dxsec(x)
10Вычислим интегралинтеграл e^x по x
11Вычислим интегралинтеграл x^2 по x
12Вычислим интегралинтеграл квадратного корня из x по x
13Trovare la Derivata — d/dxcos(x)^2
14Вычислим интегралинтеграл 1/x по x
15Вычислим интегралинтеграл sin(x)^2 по x
16Trovare la Derivata — d/dxx^3
17Trovare la Derivata — d/dxsec(x)^2
18Вычислим интегралинтеграл cos(x)^2 по x
19Вычислим интегралинтеграл sec(x)^2 по x
20Trovare la Derivata — d/dxe^(x^2)
21Вычислим интегралинтеграл в пределах от 0 до 1 кубический корень из 1+7x по x
22Trovare la Derivata — d/dxsin(2x)
23Trovare la Derivata — d/dxtan(x)^2
24Вычислим интегралинтеграл 1/(x^2) по x
25Trovare la Derivata — d/dx2^x
26Графикнатуральный логарифм a
27Trovare la Derivata — d/dxcos(2x)
28Trovare la Derivata — d/dxxe^x
29Вычислим интегралинтеграл 2x по x
30Trovare la Derivata — d/dx( натуральный логарифм от x)^2
31Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм (x)^2
32Trovare la Derivata — d/dx3x^2
33Вычислим интегралинтеграл xe^(2x) по x
34Trovare la Derivata — d/dx2e^x
35Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм 2x
36Trovare la Derivata — d/dx-sin(x)
37Trovare la Derivata — d/dx4x^2-x+5
38Trovare la Derivata — d/dxy=16 корень четвертой степени из 4x^4+4
39Trovare la Derivata — d/dx2x^2
40Вычислим интегралинтеграл e^(3x) по x
41Вычислим интегралинтеграл cos(2x) по x
42Trovare la Derivata — d/dx1/( квадратный корень из x)
43Вычислим интегралинтеграл e^(x^2) по x
44Вычислитьe^infinity
45Trovare la Derivata — d/dxx/2
46Trovare la Derivata — d/dx-cos(x)
47Trovare la Derivata — d/dxsin(3x)
48Trovare la Derivata — d/dx1/(x^3)
49Вычислим интегралинтеграл tan(x)^2 по x
50Вычислим интегралинтеграл 1 по x
51Trovare la Derivata — d/dxx^x
52Trovare la Derivata — d/dxx натуральный логарифм от x
53Trovare la Derivata — d/dxx^4
54Оценить пределпредел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55Вычислим интегралинтеграл x^2 натуральный логарифм x по x
56Trovare la Derivata — d/dxf(x) = square root of x
57Trovare la Derivata — d/dxx^2sin(x)
58Вычислим интегралинтеграл sin(2x) по x
59Trovare la Derivata — d/dx3e^x
60Вычислим интегралинтеграл xe^x по x
61Trovare la Derivata — d/dxy=x^2
62Trovare la Derivata — d/dxквадратный корень из x^2+1
63Trovare la Derivata — d/dxsin(x^2)
64Вычислим интегралинтеграл e^(-2x) по x
65Вычислим интегралинтеграл натурального логарифма квадратного корня из x по x
66Trovare la Derivata — d/dxe^2
67Trovare la Derivata — d/dxx^2+1
68Вычислим интегралинтеграл sin(x) по x
69Trovare la Derivata — d/dxarcsin(x)
70Оценить пределпредел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71Вычислим интегралинтеграл e^(-x) по x
72Trovare la Derivata — d/dxx^5
73Trovare la Derivata — d/dx2/x
74Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм 3x
75Trovare la Derivata — d/dxx^(1/2)
76Trovare la Derivata — d/d@VARf(x) = square root of x
77Trovare la Derivata — d/dxcos(x^2)
78Trovare la Derivata — d/dx1/(x^5)
79Trovare la Derivata — d/dxкубический корень из x^2
80Вычислим интегралинтеграл cos(x) по x
81Вычислим интегралинтеграл e^(-x^2) по x
82Trovare la Derivata — d/d@VARf(x)=x^3
83Вычислим интегралинтеграл 4x^2+7 в пределах от 0 до 10 по x
84Вычислим интегралинтеграл ( натуральный логарифм x)^2 по x
85Trovare la Derivata — d/dxлогарифм x
86Trovare la Derivata — d/dxarctan(x)
87Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм 5x
88Trovare la Derivata — d/dx5e^x
89Trovare la Derivata — d/dxcos(3x)
90Вычислим интегралинтеграл x^3 по x
91Вычислим интегралинтеграл x^2e^x по x
92Trovare la Derivata — d/dx16 корень четвертой степени из 4x^4+4
93Trovare la Derivata — d/dxx/(e^x)
94Оценить пределпредел arctan(e^x), если x стремится к 3
95Вычислим интегралинтеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x
96Trovare la Derivata — d/dx3^x
97Вычислим интегралинтеграл xe^(x^2) по x
98Trovare la Derivata — d/dx2sin(x)
99Вычислитьsec(0)^2
100Trovare la Derivata — d/dxнатуральный логарифм x^2

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найти производную — d/dx
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценка интеграла 9бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92

исчисление — производная квадратного корня

спросил

Изменено 1 год, 5 месяцев назад

Просмотрено 309 тысяч раз

$\begingroup$

Какой будет производная квадратных корней? Например, если у меня есть $2 \sqrt{x}$ или $\sqrt{x}$.