Производная функции отрицательна когда: Производная - Умскул Учебник

Производная функции. Исследование графиков при помощи производной

Тогда скорость изменения функции на этом промежутке будет равна нулю: $$K_{AC}=\frac{\Delta f(x)_{AC}}{\Delta x_{AC}}=\frac{f(x_C)-f(x_A)}{x_C-x_A}=\frac{0}{x_C-x_A}=0;$$ Но это не так. График между точками $A$ и $C$ меняется. Просто так получилось, что конечное и начальное значения оказались равны, а между ними функция растет и снижается.

Проблема подсчета скорости изменения функции $K$ по нашей формуле на отрезке $AC$ в том, что мы взяли слишком большой промежуток $\Delta x_{AC}$. Оказывается, чем меньше промежуток $\Delta x$ между двумя точками, тем точнее можно посчитать скорость изменения функции.

Для идеальных расчетов скорости изменения функции $K$ нужно брать $\Delta x$ очень-очень маленьким: точки должны быть очень близки друг к другу. Математики, чтобы все было точно, говорят, что $\Delta x$ должно стремиться к нулю: $$\Delta x \to 0;$$ Это означает, что $\Delta x$ бесконечно мало, но не равно нулю.

{/}(x)=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{f_B-f_A}{\Delta x} \quad при \quad \Delta x \to 0;$$

Исходя из приведенных выше выводов про скорость изменения графика функции, можно сделать вывод, что производная функции положительна, когда функция возрастает (ее график идет вверх), и отрицательна, когда функция убывает (график идет вниз). Это очень важный вывод, который нам пригодится при решении большого числа задач на производные.

У внимательного читателя также должен возникнуть вопрос, а может ли производная равняться нулю? Да, может. Производная, согласно определению, это скорость изменения функции. Если скорость на промежутке $\Delta x$ равна нулю, то это означает, что функция не растет и не падает, а значит функция не должна изменяться. То есть значения функции будут одинаковы на бесконечно малом промежутке.

Места на графике, где производная равна нулю, можно увидеть в «вершинах» и «впадинах» графика (см. Рис. 4) в красных точках. Если взять точку $A$ слева от вершины, но очень близкую к ней, и точку $B$ справа от вершины, также бесконечно близкую к вершине, то значения в этих точках будут одинаковы, а значит производная на этом промежутке будет равна нулю: $$f^{/}=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f_B-f_A}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}=0 \quad при \quad x \to 0;$$ На (Рис. 4) я попытался изобразить две близкие к вершине точки $A$ и $B$ слева и справа от вершины.

Связь производной с монотонностью и точками экстремума функции

Функция $f$ возрастает на множестве $M$, если для любых двух точек $x_1 < x_2$ из $M$ справедливо неравенство $f(x_1) < f(x_2)$ (чем больше аргумент из $M$, тем больше значение $f$).

Функция $f$ убывает на множестве $M$, если для любых двух точек $x_1 < x_2$ из $M$ справедливо неравенство $f(x_1) > f(x_2)$ (чем больше аргумент из $M$, тем меньше значение $f$).

Функция $f$ неубывает на множестве $M$, если для любых двух точек $x_1 < x_2$ из $M$ справедливо неравенство $f(x_1) \leq f(x_2)$ (при увеличении аргумента из $M$, значение $f$ по крайней мере не уменьшается).

Функция $f$ невозрастает на множестве $M$, если для любых двух точек $x_1 < x_2$ из $M$ справедливо неравенство $f(x_1) \geq f(x_2)$ (при увеличении аргумента из $M$, значение $f$ по крайней мере не увеличивается).

Замечание

Если функция возрастает на $M$, то про неё также верно, что она неубывает на $M$.

Если функция убывает на $M$, то про неё также верно, что она невозрастает на $M$.

Стоит также отметить, что фразы “функция неубывает на $M$”$\ $ и “функция не является убывающей на $M$”$\ $в общем случае значат совсем не одно и тоже.

Теорема

Если дифференцируемая на некотором интервале $I$ функция неубывает на нём, то её производная не отрицательна на $I$.

Если производная функции не отрицательна на некотором интервале $I$, то эта функция неубывает на $I$.

Если производная функции не отрицательна на некотором интервале $I$, причём производная равна 0 не более чем в конечном числе точек из $I$, то эта функция возрастает на $I$.

Теорема

Если дифференцируемая на некотором интервале $I$ функция невозрастает на нём, то её производная не положительна на $I$.

Если производная функции не положительна на некотором интервале $I$, то эта функция невозрастает на $I$.

Если производная функции не положительна на некотором интервале $I$, причём производная равна 0 не более чем в конечном числе точек из $I$, то эта функция убывает на $I$.

Определение

Точка $x_0$ называется точкой строгого локального максимума функции $f(x)$, если существует некоторый интервал $I$, содержащий точку $x_0$, такой что для любой точки $a$ из $I$, отличной от $x_0$, верно $f(x_0) > f(a)$.

Точка $x_0$ называется точкой строгого локального минимума функции $f(x)$, если существует некоторый интервал $I$, содержащий точку $x_0$, такой что для любой точки $a$ из $I$, отличной от $x_0$, верно $f(x_0) < f(a)$.

Точка $x_0$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует некоторый интервал $I$, содержащий точку $x_0$, такой что для любой точки $a$ из $I$ верно $f(x_0) \geq f(a)$.

Точка $x_0$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует некоторый интервал $I$, содержащий точку $x_0$, такой что для любой точки $a$ из $I$ верно $f(x_0) \leq f(a)$. Точка $x_0$ называется точкой локального экстремума функции $f(x)$, если она является точкой её локального максимума или точкой локального минимума.

Замечание

Всякая точка строгого локального максимума функции $f$ является также и точкой её локального максимума.

Всякая точка строгого локального минимума функции $f$ является также и точкой её локального минимума.

Теорема

Если функция имеет экстремум в точке $x_0$, то её производная в этой точке либо равна $0$, либо не существует.

Определение

Точка $x_0$, в которой $f'(x_0)$ равно нулю или не существует, называется критической точкой функции $f(x)$.

Таким образом, все точки экстремума функции $f(x)$ являются и её критическими точками. Обратное, вообще говоря, не верно.

Правило первой производной

Главная > Математика > Предварительное исчисление > Правило первой производной

Первая производная может использоваться для определения точек локального минимума и/или максимума функции, а также интервалов возрастания и убывания.

На рис. 1 представлен график полиномиальной функции 2х

3 + 3х ² — 30х.

Первая производная точки — это наклон касательной в этой точке. Когда наклон касательной равен 0, точка является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом. Таким образом, когда первая производная точки равна 0, точка является местоположением локального минимума или максимума.

ПРОВЕРКА ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ:

Предположим, что c является точкой, в которой первая производная равна 0, f ^‘ (c) = 0

, тогда c является локальным максимумом .
Если f ^‘ меняется с отрицательного на положительное в точке c, то c является локальным минимумом
.
Если f ^‘ не изменяется в точке с, то минимума/максимума в точке с не существует.

Поскольку производная представляет собой наклон касательной, если производная положительна, это означает, что наклон положителен и функция возрастает. Точно так же, если производная отрицательна, наклон отрицателен, и функция убывает. Поэтому у нас есть тест, чтобы определить, увеличивается или уменьшается интервал.

Если первая производная на интервале положительна, функция на этом интервале возрастает. Если первая производная на интервале отрицательна, то функция на этом интервале убывает.

ПРОВЕРКА ПОВЫШЕНИЯ/УМЕНЬШЕНИЯ:

Если f ^‘ > 0 на интервале, функция увеличивается на этом интервале.
Если f ^‘

Рассмотрим несколько примеров.

Для работы с этими примерами требуется использование различных производных правил. Если вы не знакомы с правилом, перейдите в соответствующую тему для ознакомления.

Пример 1: Определить локальные точки минимума и максимума и интервалы возрастания и убывания функции для f(x) = 2x

3 + 3x ² — 36x.

Шаг 1: Найдите значения x, когда первая производная равна 0, f′(x)=0.

Найдите первую производную:

f(x) = 2x ³ + 3x ² — 36x

f′(x)=6×2+6x−36

Установите производную равной нулю:

0 = 6x

2 + 6x — 36

Фактор:

0 = 6(х ² + х — 6)

0 = 6 (х + 3) (х — 2)

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите:

6 ≠ 0

х + 3 = 0; х = -3

х — 2 = 0; х = 2

Шаг 2: Создайте таблицу интервалов, которые заканчиваются/начинаются с таких значений x, что f′(x)=0

Возьмите значения x, найденные на шаге 1, и создайте таблицу интервалов.

Чтобы определить знак первой производной, выберите число в интервале и решите.

Если первая производная на отрезке положительна, функция возрастает. Если первая производная на отрезке отрицательна, то функция снижается.

Интервал	f′(x)=6×2+6x−36		ф
−∞≤x≤−3	f′(−4)=6(−4)2+6(−4)−36=36	+	Увеличение по −∞≤x≤−3
−3≤x≤2	f′(0)=6(0)2+6(0)−36=−36	—	Уменьшение на −3≤x≤2
2≤x≤∞	f′(3)=6(3)2+6(3)−36=36	+	Возрастая на 2≤x≤∞

Шаг 3: Примените тест первой производной, чтобы определить точки минимума/максимума.

Поскольку первая производная изменяется с положительной на отрицательную при -3, при -3 имеется локальный максимум. Максимальное значение в этот момент:

f(−3)=2(−3)3+3(−3)2−30(−3)=63 Локальный максимум: (-3, 63)

Поскольку первая производная изменяется с отрицательной на положительную в точке 2, в точке 2 имеется локальный минимум. Максимальное значение в этой точке равно:

f(2)=2(2)3+3(2)2−30(2)=−32 Локальный минимум: (2, -32)

Пример 2: Определить локальные точки минимума и максимума, а также интервалы возрастания и убывания функции для f(x) = 2 sin x на интервале 0≤x≤2π.

Шаг 1: Найдите значения x, когда первая производная равна 0, f′(x)=0.

Найдите первую производную:

f(x)=2sinx

f′(x)=2cosx

Установите производную равной нулю:

0 = 2 потому что х

Решите для х:

0 = потому что х

cos−10=x

π2, −3π2=x

Шаг 2: Создайте таблицу интервалов, которые заканчиваются/начинаются с таких значений x, что f′(x)=0.

Возьмите значения x, найденные на шаге 1, и создайте таблицу интервалов.

Чтобы определить знак первой производной, выберите число в интервале и решите.

Интервал	f′(x)=2cosx		ф
0≤x≤π2	f′(1)=2cos1≈1,08	+	Возрастание на 0≤x≤π2
π2≤x≤3π2	f′(2)=2cos2≈−0,83	—	Убывающий по π2≤x≤3π2
3π2≤x≤2π	f′(6)=2cos6≈1,92	+	Возрастая по 3π2≤x≤2π

Шаг 3: Примените тест первой производной, чтобы определить точки минимума/максимума.

Поскольку первая производная меняется с положительной на отрицательную в точке π2, в точке π2 имеется локальный максимум. Максимальное значение в этот момент:

f(π2)=2sinπ2=2 Локальный максимум: (π2, 2)

Поскольку первая производная меняется с отрицательной на положительную в точке 3π2, в точке 3π2 имеется локальный минимум. Максимальное значение в этот момент:

f(3π2)=2sin3π2=−2 Локальный минимум: (3π22, −2)

Степенное правило для производных 9{545}\)

Как видите, все дело в запоминании шаблона. Теперь мы увидим, как этот шаблон можно применить к более сложным примерам.

Производные полиномиальных функций

Напомним, что производная константы всегда равна нулю. Таким образом, производная от 5 равна 0, а производная от 2000 также равна 0. Кроме того, вы можете разбить производную на сложение/вычитание и умножение на константы. Сочетание этих идей со степенным правилом позволяет нам использовать его для нахождения производной любого многочлена. 92 – 6х + 10}\)

Вы можете подумать, что это все, что вы можете сделать с правилом мощности. Однако пара старых фактов из алгебры может помочь нам применить это к более широкому кругу функций. Ниже мы рассмотрим два таких случая.

Производные функций с отрицательными показателями

Правило степени применяется независимо от того, положительный или отрицательный показатель. Но иногда функцию, не имеющую показателей степени, можно переписать, используя отрицательные показатели степени. Если это так, то мы можем применить правило степени, чтобы найти производную. Основное свойство, которое мы будем использовать: 9{3}}}\конец{выравнивание}\)

Обратите внимание, что на последнем шаге в нижнюю часть дроби были перемещены только члены с отрицательным показателем степени. У восьмерки не было отрицательного показателя, поэтому она осталась.

Производные функций с радикалами (квадратный корень и другие корни)

Другое полезное свойство из алгебры заключается в следующем.

Используя это правило, мы можем взять функцию, записанную с корнем, и найти ее производную, используя степенное правило.

Пример

Найдите производную функции. 9{\ frac {1} {3}}} \\ & = \ dfrac {2} {\ sqrt {x}} — \ dfrac {4} {\ sqrt [3] {x}} \ end {align} \)

Во многих классах любая из двух последних строк может быть записана как ваш окончательный ответ. Они эквивалентны. Однако у вашего учителя или профессора могут быть предпочтения, поэтому всегда спрашивайте!

Резюме

Будучи студентом, изучающим математику, вы хотите, чтобы правило степени было вашей второй натурой. Оно будет применяться не только таким образом — само по себе — но и как часть других правил, таких как цепное правило, частное правило и правило произведения.

Производная функции. Исследование графиков при помощи производной

Связь производной с монотонностью и точками экстремума функции

Правило первой производной