При свободном падении мяча без начальной скорости за третью секунду: При свободном падении мяча без начальной скорости за третью секунду его скорость возрасла на 1) 20м/с 2) 0 м/с 3)10 м/с 4)5м/с…

Движение тела брошенного вертикально вверх вниз. Движение тела, брошенного вертикально вверх

Закономерности падения тел открыл Галилео Галилей.

Знаменитый опыт с бросанием шаров с наклонной Пизанской башни (рис. 7.1, а) подтвердил его предположение, что если сопротивлением воздуха можно пренебречь, то все тела падают одинаково. Когда с этой башни бросили одновременно пулю и пушечное ядро, они упали практически одновременно (рис. 7.1, б).

Падение тел в условиях, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, называют свободным падением.

Поставим опыт
Свободное падение тел можно наблюдать с помощью так называемой трубки Ньютона. Положим в стеклянную трубку металлический шарик и перышко. Перевернув трубку, мы увидим, что перышко падает медленнее, чем шарик (рис. 7.2, а). Но если откачать из трубки воздух, то шарик и перышко будут падать с одинаковой скоростью (рис. 7.2, б).

Значит, различие в их падении в трубке с воздухом обусловлено только тем, что сопротивление воздуха для перышка играет большую роль.

Галилей установил, что при свободном падении тело движется с постоянным ускорением, Его называют ускорением свободного падения и обозначают . Оно направлено вниз и, как показывают измерения, равно по модулю примерно 9,8 м/с 2 . (В разных точках земной поверхности значения g немного различаются (в пределах 0,5%).)

Из курса физики основной школы вы уже знаете, что ускорение тел при падении обусловлено действием силы тяжести.

При решении задач школьного курса физики (в том числе заданий ЕГЭ) для упрощения принимают g = 10 м/с 2 . Далее мы тоже будем поступать так же, не оговаривая этого особо.

Рассмотрим сначала свободное падение тела без начальной скорости.

В этом и следующих параграфах мы будем рассматривать также движение тела, брошенного вертикально вверх и под углом к горизонту. Поэтому введем сразу систему координат, подходящую для всех этих случаев.

Направим ось x по горизонтали вправо (в этом параграфе она нам пока не понадобится), а ось y – вертикально вверх (рис. 7.3). Начало координат выберем на поверхности земли. Обозначим h начальную высоту тела.

Свободно падающее тело движется с ускорением , и поэтому при равной нулю начальной скорости скорость тела в момент времени t выражается формулой

1. Докажите, что зависимость модуля скорости от времени выражается формулой

Из этой формулы следует, что скорость свободно падающего тела ежесекундно увеличивается примерно на 10 м/с.

2. Начертите графики зависимости v y (t) и v(t) для первых четырех секунд падения тела.

3. Свободно падающее без начальной скорости тело упало на землю со скоростью 40 м/с. Сколько времени длилось падение?

Из формул для равноускоренного движения без начальной скорости следует, что

s y = g y t 2 /2. (3)

Отсюда для модуля перемещения получаем:

s = gt 2 /2. (4)

4. Как связан пройденный телом путь с модулем перемещения, если тело свободно падает без начальной скорости?

5. Найдите, чему равен путь, пройденный свободно падающим без начальной скорости телом за 1 с, 2 с, 3 с, 4 с. Запомните эти значения пути: они помогут вам устно решать многие задачи.

6. Используя результаты предыдущего задания, найдите пути, проходимые свободно падающим телом за первую, вторую, третью и четвертую секунды падения. Разделите значения найденных путей на пять. Заметите ли вы простую закономерность?

7. Докажите, что зависимость координаты y тела от времени выражается формулой

y = h – gt 2 /2. (5)

Подсказка. Воспользуйтесь формулой (7) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении и тем, что начальная координата тела равна h, а начальная скорость тела равна нулю.

На рисунке 7.4 изображен пример графика зависимости y(t) для свободно падающего тела до момента его падения на землю.

8. С помощью рисунка 7.4 проверьте полученные вами ответы на задания 5 и 6.

9. Докажите, что время падения тела выражается формулой

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения на землю координата y тела равна нулю.

10. Докажите, что модуль конечной скорости тела vк (непосредственно перед падением на землю)

Подсказка. Воспользуйтесь формулами (2) и (6).

11. Чему была бы равна скорость капель, падающих с высоты 2 км, если бы сопротивлением воздуха для них можно было бы пренебречь, то есть они падали бы свободно?

Ответ на этот вопрос удивит вас. Дождь из таких «капелек» был бы губительным, а не живительным. К счастью, атмосфера спасает нас всех: вследствие сопротивления воздуха скорость дождевых капель у поверхности земли не превышает 7–8 м/с.

2. Движение тела, брошенного вертикально вверх

Пусть тело брошено с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью 0 (рис. 7.5).

Скорость v_vec тела в момент времени t в векторном виде выражается формулой

В проекциях на ось y:

v y = v 0 – gt. (9)

На рисунке 7.6 изображен пример графика зависимости v y (t) до момента падения тела на землю.

12. Определите по графику 7.6, в какой момент времени тело находилось в верхней точке траектории. Какую еще информацию можно извлечь из этого графика?

13. Докажите, что время подъема тела до верхней точки траектории можно выразить формулой

t под = v 0 /g. (10)

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в верхней точке траектории скорость тела равна нулю.

14. Докажите, что зависимость координаты у тела от времени выражается формулой

y = v 0 t – gt 2 /2. (11)

Подсказка. Воспользуйтесь формулой (7) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении.

15.На рисунке 7.7 изображен график зависимости y(t). Найдите два разных момента времени, когда тело находилось на одной и той же высоте, и момент времени, когда тело находилось в верхней точке траектории. Заметили ли вы какую-то закономерность?

16. Докажите, что максимальная высота подъема h выражается формулой

h = v 0 2 /2g (12)

Подсказка. Воспользуйтесь формулами (10) и (11) или формулой (9) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении.

17. Докажите, что конечная скорость тела, брошенного вертикально вверх (то есть скорость тела непосредственно перед падением на землю), равна но модулю его начальной скорости:

v к = v 0 . (13)

Подсказка. Воспользуйтесь формулами (7) и (12).

18. Докажите, что время всего полета

t пол = 2v 0 /g. (14)
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения на землю координата y тела становится равной нулю.

19. Докажите, что

t пол = 2t под. (15)

Подсказка. Сравните формулы (10) и (14).

Следовательно, подъем тела до верхней точки траектории занимает такое же время, какое занимает последующее падение.

Итак, если можно пренебречь сопротивлением воздуха, то полет тела, брошенного вертикально вверх, естественно разбивается на два этапа, занимающие одинаковое время, – движение вверх и последующее падение вниз в начальную точку.

Каждый из этих этапов представляет собой как бы «обращенный во времени» другой этап. Поэтому если мы снимем на видеокамеру подъем брошенного вверх тела до верхней точки, а потом будем показывать кадры этой видеосъемки в обратном порядке, то зрители будут уверены, что они наблюдают падение тела. И наоборот: показанное в обратном порядке падение тела будет выглядеть в точности как подъем тела, брошенного вертикально вверх.

Этот прием используют в кино: снимают, например, артиста, который спрыгивает с высоты 2–3 м, а потом показывают эту съемку в обратном порядке. И мы восхищаемся героем, легко взлетающим на высоту, недостижимую для рекордсменов.

Используя описанную симметрию между подъемом и спуском тела, брошенного вертикально вверх, вы сможете выполнить следующие задания устно. Полезно также вспомнить, чему равны пути, проходимые свободно падающим телом (задание 4).

20. Чему равен путь, который проходит брошенное вертикально вверх тело за последнюю секунду подъема?

21. Брошенное вертикально вверх тело побывало на высоте 40 м дважды с интервалом 2 с.
а) Чему равна максимальная высота подъема тела?
б) Чему равна начальная скорость тела?

Дополнительные вопросы и задания

(Во всех заданиях этого параграфа предполагается, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.)

22. Тело падает без начальной скорости с высоты 45 м.
а) Сколько времени длится падение?
б) Какое расстояние пролетает тело за вторую секунду?
в) Какое расстояние пролетает тело за последнюю секунду движения?
г) Чему равна конечная скорость тела?

23. Тело падает без начальной скорости с некоторой высоты в течение 2,5 с.
а) Чему равна конечная скорость тела?
б) С какой высоты падало тело?
в) Какое расстояние пролетело тело за последнюю секунду движения?

24. С крыши высокого дома с интервалом 1 с упали две капли.
а) Чему равна скорость первой капли в момент, когда оторвалась вторая капля?
б) Чему равно в этот момент расстояние между каплями?
в) Чему равно расстояние между каплями через 2 с после начала падения второй капли?

25. За последние τ секунд падения без начальной скорости тело пролетело расстояние l. Обозначим начальную высоту тела h, время падения t.
а) Выразите h через g и t.
б) Выразите h – l через g и t – τ.
в) Из полученной системы уравнений выразите h через l, g и τ.
г) Найдите значение h при l = 30 м, τ = 1 с.

26. Синий шарик бросили вертикально вверх с начальной скоростью v0. В момент, когда он достиг высшей точки, из той же начальной точки с той же начальной скоростью бросили красный шарик.
а) Сколько времени продолжался подъем синего шарика?
б) Чему равна максимальная высота подъема синего шарика?

в) Через какое время после бросания красного шарика он столкнулся с движущимся синим?
г) На какой высоте шарики столкнулись?

27. С потолка лифта, поднимающегося равномерно со скоростью vл, оторвался болт. Высота кабины лифта h.
а) В какой системе отсчета удобнее рассматривать движение болта?
б) Сколько времени будет падать болт?

в) Чему равна скорость болта непосредственно перед касанием пола: относительно лифта? относительно земли?

1588. Как определить ускорение свободного падения, имея в своем распоряжении секундомер, стальной шарик и шкалу высотой до 3 м?

1589. Какова глубина шахты, если свободно падающий в нее камень достигает дна через 2 с после начала падения.

1590. Высота Останкинской телебашни 532 м. С ее самой верхней точки уронили кирпич. За какое время он упадет на землю? Сопротивление воздуха не учитывать.

1591. Здание Московского государственного университета на Воробьевых горах имеет высоту 240 м. С верхней части его шпиля оторвался кусок облицовки и свободно падает вниз. Через какое время он достигнет земли? Сопротивление воздуха не учитывать.

1592. Камень свободно падает с обрыва. Какой путь он пройдет за восьмую секунду с начала падения?

1593. Кирпич свободно падает с крыши здания высотой 122,5 м. Какой путь пройдет кирпич за последнюю секунду своего падения?

1594. Определите глубину колодца, если камень, упавший в него, коснулся дна колодца через 1 с.

1595. Со стола высотой 80 см на пол падает карандаш. Определить время падения.

1596. Тело падает с высоты 30 м. Какое расстояние оно проходит в течение последней секунды своего падения?

1597. Два тела падают с разной высоты, но достигают земли в один и тот же момент времени; при этом первое тело падает 1 с, а второе — 2 с.

На каком расстоянии от земли было второе тело, когда первое начало падать?

1598. Докажите, что время, в течение которого движущееся вертикально вверх тело достигает наибольшей высоты h, равно времени, в течение которого тело падает с этой высоты.

1599. Тело движется вертикально вниз с начальной скоростью. На какие простейшие движения можно разложить такое движение тела? Напишите формулы для скорости и пройденного пути этого движения.

1600. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 40 м/с. Вычислите, на какой высоте будет тело через 2 с, 6 с, 8 с и 9 с, считая от начала движения. Ответы объясните. Для упрощения расчетов принять g равным 10 м/с2.

1601. С какой скоростью надо бросить тело вертикально вверх, чтобы оно вернулось назад через 10 с?

1602. Стрела пущена вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд она упадет обратно на землю? Для упрощения расчетов принять g равным 10 м/с2.

1603. Аэростат равномерно поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. К нему на веревке подвешен груз. На высоте 217 м веревка обрывается. Через сколько секунд груз упадет на землю? Принять g равным 10 м/с2.

1604. Камень бросили вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Через 3 с после начала движения первого камня бросили также вверх второй с начальной скоростью 45 м/с. На какой высоте камни встретятся? Принять g = 10 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1605. Велосипедист поднимается вверх по уклону длиной 100 м. Скорость в начале подъема 18 км/ч, а в конце 3 м/с. Предполагая движение равнозамедленным, определите, как долго длился подъем.

1606. Санки движутся вниз по горе равноускоренно с ускорением 0,8 м/с2. Длина горы 40 м. Скатившись с горы, санки продолжают двигаться равнозамедленно и останавливаются через 8 с….

Пусть тело начинает свободно падать из состояния покоя. В этом случае к его движению применимы формулы равноускоренного движения без начальной скорости с ускорением.

Обозначим начальную высоту тела над землей через, время его свободного падения с этой высоты до земли — через и скорость, достигнутую телом в момент падения на землю, — через . Согласно формулам § 22 эти величины будут связаны соотношениями

(54.1)

(54.2)

В зависимости от характера задачи удобно пользоваться тем или другим из этих соотношений.

Рассмотрим теперь движение тела, которому сообщена некоторая начальная скорость , направленная вертикально вверх. В этой задаче удобно считать положительным направление кверху. Так как ускорение свободного падения направлено вниз, то движение будет равнозамедленным с отрицательным ускорением и с положительной начальной скоростью. Скорость этого движения в момент временивыразится формулой

а высота подъема в этот момент над исходной точкой — формулой

(54.5)

Когда скорость тела уменьшится до нуля, тело достигнет высшей точки подъема; это произойдет в момент, для которого

После этого момента скорость станет отрицательной и тело начнет падать вниз. Значит, время подъема тела

Подставляя в формулу (54.5) время подъема, найдем высоту подъема тела:

(54.8)

Дальнейшее движение тела можно рассматривать как падение без начальной скорости (случай, рассмотренный в начале этого параграфа) с высоты. Подставляя эту высоту в формулу (54.3), найдем, что скорость, которой тело достигнет в момент падения на землю, т. е. вернувшись в точку, откуда оно было брошено вверх, будет равна начальной скорости тела (но, конечно, будет направлена противоположно — вниз). Наконец, из формулы (54.2) заключим, что время падения тела с высшей точки равно времени поднятия тела в эту точку.

5 4.1. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 20 м. На какой высоте оно достигнет скорости, равной половине скорости в момент падения на землю?

54.2. Покажите, что тело, брошенное вертикально вверх, проходит каждую точку своей траектории с одной и тон же по модулю скоростью на пути вверх и на пути вниз.

54. 3. Найдите скорость при ударе о землю камня, брошенного с башни высоты : а) без начальной скорости; б) с начальной скоростью , направленной вертикально вверх; в) с начальной скоростью , направленной вертикально вниз.

54.4. Камень, брошенный вертикально вверх, пролетел мимо окна через 1 с после броска на пути вверх и через 3 с после броска на пути вниз. Найдите высоту окна над землей и начальную скорость камня.

54.5. При вертикальной стрельбе по воздушным целям снаряд, выпущенный из зенитного орудия, достиг только половины расстояния до цели. Снаряд, выпущенный из другого орудия, достиг цели. Во сколько раз начальная скорость снаряда второго орудия больше, чем скорость первого?

54.6. Какова максимальная высота, на которую поднимется камень, брошенный вертикально вверх, если через 1,5 с его скорость уменьшилась вдвое?

Как нам уже известно, сила тяжести действует на все тела , которые находятся на поверхности Земли и вблизи неё. При этом не важно, находятся ли они в состоянии покоя или совершают движение.

Если некоторое тело будет свободно падать на Землю, то при этом оно будет совершать равноускоренное движение , причем скорость будет возрастать постоянно, так как вектор скорости и вектор ускорения свободного падения будут сонаправлены между собой.

Суть движения вертикально вверх

Если же подбросить некоторое тело вертикально вверх, и при этом считать что сопротивление воздуха отсутствует, то можно считать что оно тоже совершает равноускоренное движение, с ускорением свободного падения, которое вызвано силой тяжести. Только в этом случае, скорость, которую мы придали телу при броске, будет направлена вверх, а ускорение свободного падения направлено вниз, то есть они будут противоположно направлены друг к другу. Поэтому скорость будет постепенно уменьшаться.

Через некоторое время наступит момент, когда скорость станет равняться нулю. В этот момент тело достигнет своей максимальной высоты и на какой-то момент остановится. Очевидно, что, чем большую начальную скорость мы придадим телу, тем на большую высоту оно поднимется к моменту остановки. 2)/2.

Необходимо также учитывать, что при движении вверх вектор ускорения свободного падения направлен вниз, а вектор скорости вверх, то есть они разнонаправлены, а следовательно, их проекции будут иметь разные знаки.

Например, если Ось Ох направить вверх, то проекция вектора скорости при движении вверх, будет положительна, а проекция ускорения свободного падения отрицательна. Это надо учитывать, подставляя значения в формулы, иначе получится совершенно неверный результат.

Вопросы.

1. Действует ли сила тяжести на подброшенное вверх тело во время его подъема?

Сила тяжести действует на все тела, независимо от того, подброшено оно вверх или находится в состоянии покоя.

2. С каким ускорением движется подброшенное вверх тело при отсутствии трения? Как меняется при этом скорость движения тела?

3. От чего зависит наибольшая высота подъема брошенного вверх тела в том случае, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь?

Высота подъема зависит от начальной скорости. (Вычисления см. предыдущий вопрос).

4. Что можно сказать о знаках проекций векторов мгновенной скорости тела и ускорения свободного падения при свободном движении этого тела вверх?

При свободном движении тела вверх знаки проекций векторов скорости и ускорения противоположны.

5. Как ставились опыты, изображенные на рисунке 30, и какой вывод из них следует?

Описание опытов см. стр. 58-59. Вывод: Если на тело действует только сила тяжести, то его вес равен нулю, т.е. оно находится в состоянии невесомости.

Упражнения.

1. Теннисный мяч бросили вертикально вверх с начальной скоростью 9,8 м/с. Через какой промежуток времени скорость поднимающегося мяча уменьшится до нуля? Какое перемещение от места броска совершит при этом мяч?

Свободное падение и движение тела, брошенного вертикально вверх

1. Свободное падение тела

Закономерности падения тел открыл Галилео Галилей.

Знаменитый опыт с бросанием шаров с наклонной Пизанской башни (рис. 7.1, а) подтвердил его предположение, что если сопротивлением воздуха можно пренебречь, то все тела падают одинаково. Когда с этой башни бросили одновременно пулю и пушечное ядро, они упали практически одновременно (рис. 7.1, б).

Падение тел в условиях, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, называют свободным падением.

Поставим опыт
Свободное падение тел можно наблюдать с помощью так называемой трубки Ньютона. Положим в стеклянную трубку металлический шарик и перышко. Перевернув трубку, мы увидим, что перышко падает медленнее, чем шарик (рис. 7.2, а). Но если откачать из трубки воздух, то шарик и перышко будут падать с одинаковой скоростью (рис. 7.2, б).

Значит, различие в их падении в трубке с воздухом обусловлено только тем, что сопротивление воздуха для перышка играет большую роль.

Галилей установил, что при свободном падении тело движется с постоянным ускорением, Его называют ускорением свободного падения и обозначают . Оно направлено вниз и, как показывают измерения, равно по модулю примерно 9,8 м/с². (В разных точках земной поверхности значения g немного различаются (в пределах 0,5%).)

Из курса физики основной школы вы уже знаете, что ускорение тел при падении обусловлено действием силы тяжести.

При решении задач школьного курса физики (в том числе заданий ЕГЭ) для упрощения принимают g = 10 м/с². Далее мы тоже будем поступать так же, не оговаривая этого особо.

Рассмотрим сначала свободное падение тела без начальной скорости.

В этом и следующих параграфах мы будем рассматривать также движение тела, брошенного вертикально вверх и под углом к горизонту. Поэтому введем сразу систему координат, подходящую для всех этих случаев.

Направим ось x по горизонтали вправо (в этом параграфе она нам пока не понадобится), а ось y – вертикально вверх (рис. 7.3). Начало координат выберем на поверхности земли. Обозначим h начальную высоту тела.

Свободно падающее тело движется с ускорением , и поэтому при равной нулю начальной скорости скорость тела в момент времени t выражается формулой

? 1. Докажите, что зависимость модуля скорости от времени выражается формулой

v = gt.     (2)

Из этой формулы следует, что скорость свободно падающего тела ежесекундно увеличивается примерно на 10 м/с.

? 2. Начертите графики зависимости v_y(t) и v(t) для первых четырех секунд падения тела.

? 3. Свободно падающее без начальной скорости тело упало на землю со скоростью 40 м/с. Сколько времени длилось падение?

Из формул для равноускоренного движения без начальной скорости следует, что

s_y = g_yt²/2. (3)

Отсюда для модуля перемещения получаем:

s = gt²/2. (4)

? 4. Как связан пройденный телом путь с модулем перемещения, если тело свободно падает без начальной скорости?

? 5. Найдите, чему равен путь, пройденный свободно падающим без начальной скорости телом за 1 с, 2 с, 3 с, 4 с. Запомните эти значения пути: они помогут вам устно решать многие задачи.

? 6. Используя результаты предыдущего задания, найдите пути, проходимые свободно падающим телом за первую, вторую, третью и четвертую секунды падения. Разделите значения найденных путей на пять. Заметите ли вы простую закономерность?

? 7. Докажите, что зависимость координаты y тела от времени выражается формулой

y = h – gt²/2.     (5)

Подсказка. Воспользуйтесь формулой (7) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении и тем, что начальная координата тела равна h, а начальная скорость тела равна нулю.

На рисунке 7.4 изображен пример графика зависимости y(t) для свободно падающего тела до момента его падения на землю.

? 8. С помощью рисунка 7.4 проверьте полученные вами ответы на задания 5 и 6.

? 9. Докажите, что время падения тела выражается формулой

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения на землю координата y тела равна нулю.

? 10. Докажите, что модуль конечной скорости тела vк (непосредственно перед падением на землю)

Подсказка. Воспользуйтесь формулами (2) и (6).

? 11. Чему была бы равна скорость капель, падающих с высоты 2 км, если бы сопротивлением воздуха для них можно было бы пренебречь, то есть они падали бы свободно?

Ответ на этот вопрос удивит вас. Дождь из таких «капелек» был бы губительным, а не живительным. К счастью, атмосфера спасает нас всех: вследствие сопротивления воздуха скорость дождевых капель у поверхности земли не превышает 7–8 м/с.

2. Движение тела, брошенного вертикально вверх

Пусть тело брошено с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью ₀ (рис. 7.5).

Скорость v_vec тела в момент времени t в векторном виде выражается формулой

В проекциях на ось y:

v_y = v₀ – gt.     (9)

На рисунке 7.6 изображен пример графика зависимости v_y(t) до момента падения тела на землю.

? 12. Определите по графику 7.6, в какой момент времени тело находилось в верхней точке траектории. Какую еще информацию можно извлечь из этого графика?

? 13. Докажите, что время подъема тела до верхней точки траектории можно выразить формулой

t_под = v₀/g.     (10)

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в верхней точке траектории скорость тела равна нулю.

? 14. Докажите, что зависимость координаты у тела от времени выражается формулой

y = v₀t – gt²/2.     (11)

Подсказка. Воспользуйтесь формулой (7) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении.

? 15.На рисунке 7.7 изображен график зависимости y(t). Найдите два разных момента времени, когда тело находилось на одной и той же высоте, и момент времени, когда тело находилось в верхней точке траектории. Заметили ли вы какую-то закономерность?

? 16. Докажите, что максимальная высота подъема h выражается формулой

h = v₀²/2g     (12)

Подсказка. Воспользуйтесь формулами (10) и (11) или формулой (9) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении.

? 17. Докажите, что конечная скорость тела, брошенного вертикально вверх (то есть скорость тела непосредственно перед падением на землю), равна но модулю его начальной скорости:

v_к = v₀.     (13)

Подсказка. Воспользуйтесь формулами (7) и (12).

? 18. Докажите, что время всего полета

t_пол = 2v₀/g.     (14)
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения на землю координата y тела становится равной нулю.

? 19. Докажите, что

t_пол = 2t_под.     (15)

Подсказка. Сравните формулы (10) и (14).

Следовательно, подъем тела до верхней точки траектории занимает такое же время, какое занимает последующее падение.

Итак, если можно пренебречь сопротивлением воздуха, то полет тела, брошенного вертикально вверх, естественно разбивается на два этапа, занимающие одинаковое время, – движение вверх и последующее падение вниз в начальную точку.

Каждый из этих этапов представляет собой как бы «обращенный во времени» другой этап. Поэтому если мы снимем на видеокамеру подъем брошенного вверх тела до верхней точки, а потом будем показывать кадры этой видеосъемки в обратном порядке, то зрители будут уверены, что они наблюдают падение тела. И наоборот: показанное в обратном порядке падение тела будет выглядеть в точности как подъем тела, брошенного вертикально вверх.

Этот прием используют в кино: снимают, например, артиста, который спрыгивает с высоты 2–3 м, а потом показывают эту съемку в обратном порядке. И мы восхищаемся героем, легко взлетающим на высоту, недостижимую для рекордсменов.

Используя описанную симметрию между подъемом и спуском тела, брошенного вертикально вверх, вы сможете выполнить следующие задания устно. Полезно также вспомнить, чему равны пути, проходимые свободно падающим телом (задание 4).

? 20. Чему равен путь, который проходит брошенное вертикально вверх тело за последнюю секунду подъема?

? 21. Брошенное вертикально вверх тело побывало на высоте 40 м дважды с интервалом 2 с.
а) Чему равна максимальная высота подъема тела?
б) Чему равна начальная скорость тела?

Дополнительные вопросы и задания

(Во всех заданиях этого параграфа предполагается, что сопротивлением воздуха можно пренебречь. )

22. Тело падает без начальной скорости с высоты 45 м.
а) Сколько времени длится падение?
б) Какое расстояние пролетает тело за вторую секунду?
в) Какое расстояние пролетает тело за последнюю секунду движения?
г) Чему равна конечная скорость тела?

23. Тело падает без начальной скорости с некоторой высоты в течение 2,5 с.
а) Чему равна конечная скорость тела?
б) С какой высоты падало тело?
в) Какое расстояние пролетело тело за последнюю секунду движения?

24. С крыши высокого дома с интервалом 1 с упали две капли.
а) Чему равна скорость первой капли в момент, когда оторвалась вторая капля?
б) Чему равно в этот момент расстояние между каплями?
в) Чему равно расстояние между каплями через 2 с после начала падения второй капли?

25. За последние τ секунд падения без начальной скорости тело пролетело расстояние l. Обозначим начальную высоту тела h, время падения t.
а) Выразите h через g и t.
б) Выразите h – l через g и t – τ.
в) Из полученной системы уравнений выразите h через l, g и τ.
г) Найдите значение h при l = 30 м, τ = 1 с.

26. Синий шарик бросили вертикально вверх с начальной скоростью v0. В момент, когда он достиг высшей точки, из той же начальной точки с той же начальной скоростью бросили красный шарик.
а) Сколько времени продолжался подъем синего шарика?
б) Чему равна максимальная высота подъема синего шарика?
в) Через какое время после бросания красного шарика он столкнулся с движущимся синим?
г) На какой высоте шарики столкнулись?

27. С потолка лифта, поднимающегося равномерно со скоростью vл, оторвался болт. Высота кабины лифта h.
а) В какой системе отсчета удобнее рассматривать движение болта?
б) Сколько времени будет падать болт?

в) Чему равна скорость болта непосредственно перед касанием пола: относительно лифта? относительно земли?

3.5 Свободное падение | University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Использовать кинематические уравнения с переменными y и g для анализа движения свободного падения.
• Опишите, как изменяются значения положения, скорости и ускорения во время свободного падения.
• Найдите положение, скорость и ускорение как функции времени, когда объект находится в свободном падении.

Интересное приложение от (Рисунок) до (Рисунок) называется свободное падение , описывающее движение объекта, падающего в гравитационном поле, например вблизи поверхности Земли или других небесных объектов планетарного размера. Предположим, что тело падает по прямой линии, перпендикулярной поверхности, поэтому его движение одномерно. Например, мы можем оценить глубину вертикального ствола шахты, бросив в него камень и прислушиваясь к его падению на дно. Но «падение» в контексте свободного падения не обязательно означает, что тело перемещается с большей высоты на меньшую. Если мяч брошен вверх, уравнения свободного падения в равной степени применимы как к его подъему, так и к его опусканию.

Гравитация

Самый замечательный и неожиданный факт о падающих предметах заключается в том, что если сопротивление воздуха и трение пренебрежимо малы, то в заданном месте все тела падают к центру Земли с одинаковым постоянным ускорением , независимо от их массы . Этот экспериментально установленный факт является неожиданным, поскольку мы настолько привыкли к эффектам сопротивления и трения воздуха, что ожидаем, что легкие предметы будут падать медленнее, чем тяжелые. До Галилео Галилей (1564–1642) доказал обратное, люди считали, что более тяжелый объект имеет большее ускорение при свободном падении. Теперь мы знаем, что это не так. При отсутствии сопротивления воздуха тяжелые предметы падают на землю одновременно с более легкими предметами, падающими с той же высоты (рисунок).

Рисунок 3.26 Молоток и перо падают с одинаковым постоянным ускорением, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Это общая характеристика гравитации, не уникальная для Земли, как продемонстрировал астронавт Дэвид Р. Скотт в 1919 году.71 на Луне, где ускорение свободного падения составляет всего 1,67 м/с2 и нет атмосферы.

В реальном мире сопротивление воздуха может привести к тому, что более легкий объект будет падать медленнее, чем более тяжелый объект того же размера. Теннисный мяч упал на землю после того, как в то же время упал бейсбольный мяч. (Может быть трудно заметить разницу, если высота невелика.) Сопротивление воздуха противостоит движению объекта по воздуху и трению между объектами, например, между одеждой и желобом для белья или между камнем и бассейном при попадании в него. который он роняет, — также препятствует движению между ними.

Для идеальных ситуаций этих первых нескольких глав объект , падающий без сопротивления воздуха или трения , определяется как находящийся в свободном падении . Сила гравитации заставляет объекты падать к центру Земли. Поэтому ускорение свободно падающих объектов называется ускорением свободного падения . Ускорение за счет силы тяжести является постоянным, а это означает, что мы можем применить кинематические уравнения к любому падающему объекту, где сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь. Это открывает перед нами широкий класс интересных ситуаций. 9{2}). [/latex]

Хотя г варьируется от 9,78 м/с ² до 9,83 м/с ² , в зависимости от широты, высоты, подстилающих геологических образований и местного рельефа, давайте использовать среднее значение 9,8 м /s ² в этом тексте округляется до двух значащих цифр, если не указано иное. Пренебрегая этими влияниями на величину г в результате положения на поверхности Земли, а также эффектами, возникающими в результате вращения Земли, мы принимаем направление ускорения силы тяжести как нисходящее (к центру Земли). На самом деле его направление 9{2} [/латекс].

Одномерное движение с участием гравитации

Лучший способ увидеть основные черты движения с участием силы тяжести — начать с самых простых ситуаций, а затем перейти к более сложным. Итак, начнем с рассмотрения прямолинейного движения вверх-вниз без сопротивления воздуха или трения. Эти предположения означают, что скорость (если она есть) вертикальна. Если объект падает, мы знаем, что начальная скорость равна нулю при свободном падении. Когда объект вышел из контакта с тем, что держало или бросило его, объект находится в свободном падении. Когда объект брошен, он имеет ту же начальную скорость в свободном падении, что и до того, как его отпустили. Когда объект соприкасается с землей или любым другим объектом, он больше не находится в свободном падении и его ускорение равно 9{2}-2g(y-{y}_{0}) [/latex]

Стратегия решения проблем: свободное падение

1. Определите знак ускорения свободного падения. От (Рисунок) до (Рисунок) ускорение g отрицательно, что говорит о том, что положительное направление направлено вверх, а отрицательное направление направлено вниз. В некоторых задачах может быть полезно иметь положительное ускорение g , указывающее положительное направление вниз.
2. Нарисуйте схему задачи. Это помогает визуализировать задействованную физику.
3. Запишите известные и неизвестные из описания проблемы. Это помогает разработать стратегию выбора подходящих уравнений для решения задачи.
4. Решите, какие из (Рисунок) до (Рисунок) должны использоваться для поиска неизвестных.

Пример

Свободное падение мяча (Рисунок) показывает положение мяча с интервалом в 1 с с начальной скоростью 4,9 м/с, брошенного вниз с вершины 98-метровой высоты. здание. а) Сколько времени пройдет, прежде чем мяч упадет на землю? б) Какова скорость в момент падения на землю? 9{2} [/латекс].

Раствор

1. Показать ответ

2. Показать ответ

Значение

В ситуациях, когда два корня получаются из квадратного уравнения с переменной времени, мы должны посмотреть на физическое значение обоих корней, чтобы определить, какой из них правильный. Поскольку [латекс] t=0 [/латекс] соответствует времени, когда мяч был выпущен, отрицательный корень будет соответствовать времени до того, как мяч был выпущен, что не имеет физического смысла. Когда мяч ударяется о землю, его скорость не сразу равна нулю, но как только мяч взаимодействует с землей, его ускорение не равно g и разгоняется с другим значением за короткое время до нулевой скорости. Эта задача показывает, насколько важно установить правильную систему координат и сохранить согласованность знаков g в кинематических уравнениях.

Пример

Вертикальное движение бейсбольного мяча

Бьющий отбивает бейсбольный мяч прямо вверх по домашней пластине, и мяч ловится через 5,0 с после удара по нему (рисунок). а) Чему равна начальная скорость мяча? б) Какой максимальной высоты достигает мяч? в) За какое время он достигнет максимальной высоты? г) Чему равно ускорение в начале пути? д) Какова скорость мяча, когда его поймали? Предположим, что мяч ударен и пойман в одном и том же месте. 9{2})т. [/латекс]

Это дает [латекс] t=2.5\,\text{s} [/латекс]. Так как мяч поднимается за 2,5 с, время падения равно 2,5 с.

Показать ответ

Показать ответ

Значение

Мяч возвращается с той скоростью, с которой он вылетел. Это общее свойство свободного падения при любой начальной скорости. Мы использовали одно уравнение для перехода от броска к ловле, и нам не нужно было разбивать движение на два сегмента, вверх и вниз. Мы привыкли думать, что эффект гравитации заключается в создании свободного падения вниз к Земле. Важно понимать, как показано в этом примере, что объекты, движущиеся вверх от Земли, также находятся в состоянии свободного падения.

Проверьте свое понимание

Кусок льда откалывается от ледника и падает с высоты 30 м, прежде чем коснется воды. Если предположить, что он падает свободно (сопротивление воздуха отсутствует), через какое время он ударится о воду? Какая величина увеличивается быстрее: скорость куска льда или пройденное им расстояние?

Показать решение

Пример

Ракетный ускоритель

Небольшая ракета с ускорителем взлетает и летит прямо вверх. На высоте [латекс] 5.0\,\text{км} [/латекс] и скорости 200. 0 м/с он выпускает свой ускоритель. а) Какой максимальной высоты достигает ракета-носитель? б) Какова скорость ракеты-носителя на высоте 6,0 км? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рисунок 3.29 Ракета запускает ракету-носитель на заданной высоте и скорости. Как высоко и как быстро поднимается ракета-носитель?

Стратегия

Нам нужно выбрать систему координат для ускорения свободного падения, которое мы принимаем как отрицательное вниз. Заданы начальная скорость ракеты-носителя и ее высота. Мы рассматриваем точку выпуска в качестве источника. Мы знаем, что скорость равна нулю в максимальном положении в пределах интервала ускорения; таким образом, скорость ракеты-носителя равна нулю на максимальной высоте, поэтому мы можем использовать и эту информацию. Из этих наблюдений мы используем (Рисунок), который дает нам максимальную высоту ракеты-носителя. Мы также используем (рисунок), чтобы получить скорость на 6,0 км. Начальная скорость ракеты-носителя 200,0 м/с.

Решение

1. Из (рисунок),

   Показать ответ

2. Показать ответ

   У нас есть, от (Рисунок),

   Показать ответ

Значение

У нас есть как положительное, так и отрицательное решение в (b). Поскольку наша система координат имеет положительное направление вверх, +142,8 м/с соответствует положительной восходящей скорости на высоте 6000 м на восходящем участке траектории ракеты-носителя. Значение v = -142,8 м/с соответствует скорости на высоте 6000 м на нисходящем участке. Этот пример важен еще и тем, что объекту задана начальная скорость в начале нашей системы координат, но начало координат находится на высоте над поверхностью Земли, что необходимо учитывать при формировании решения.

Посетите этот сайт, чтобы узнать о построении графиков полиномов. Форма кривой изменяется по мере корректировки констант. Просмотрите кривые для отдельных условий (например, y = bx ), чтобы увидеть, как они складываются для создания полиномиальной кривой.

Резюме

• Объект в свободном падении испытывает постоянное ускорение, если сопротивлением воздуха можно пренебречь.
• На Земле все свободно падающие объекты имеют ускорение g из-за силы тяжести, что в среднем [латекс] g=9{2} [/латекс].
• Для объектов в свободном падении направление вверх обычно считается положительным для смещения, скорости и ускорения.

Концептуальные вопросы

Каково ускорение камня, брошенного прямо вверх по пути вверх? На пике своего полета? По пути вниз? Предположим, что сопротивления воздуха нет.

Предмет, брошенный прямо вверх, падает обратно на Землю. Это одномерное движение. а) Когда его скорость равна нулю? б) Изменяет ли его скорость направление? в) Имеет ли ускорение на пути вверх тот же знак, что и на пути вниз?

Показать решение

Предположим, вы бросаете камень почти прямо вверх в кокосовый орех на пальме, и камень просто не попадает в кокосовый орех на пути вверх, но попадает в кокосовый орех на пути вниз. Если пренебречь сопротивлением воздуха и небольшим горизонтальным отклонением в движении, чтобы учесть попадание и промах кокоса, как соотносится скорость камня, когда он ударяется о кокос на пути вниз, по сравнению с тем, что было бы, если бы он ударился о кокос? на пути вверх? Есть ли большая вероятность выбить кокос по пути вверх или вниз? Объяснять.

Тяжесть падения зависит от вашей скорости при ударе о землю. Если все факторы, кроме ускорения силы тяжести, одинаковы, то во сколько раз безопасное падение на Луну может быть выше, чем на Землю (ускорение свободного падения на Луне составляет примерно одну шестую от земного)?

Показать решение

Во сколько раз космонавт может прыгнуть выше на Луне, чем на Земле, если скорость его взлета одинакова в обоих местах (ускорение свободного падения на Луне примерно в шесть раз меньше, чем на Земле)?

Задачи

Рассчитайте перемещение и скорость в моменты времени (а) 0,500 с, (б) 1,00 с, (в) 1,50 с и (г) 2,00 с для мяча, брошенного прямо вверх с начальной скоростью 15,0 м. /с. Возьмем точку выпуска [латекс] {y}_{0}=0 [/латекс].

Рассчитайте перемещение и скорость в моменты времени (a) 0,500 с, (b) 1,00 с, (c) 1,50 с, (d) 2,00 с и (e) 2,50 с для камня, брошенного прямо вниз с начальной скоростью 14,0 м/с от моста через пролив Верразано в Нью-Йорке. Проезжая часть этого моста находится на высоте 70,0 м над водой.

Показать решение

Баскетбольный судья подбрасывает мяч прямо вверх для начала матча. С какой скоростью должен оторваться от земли баскетболист, чтобы подняться на 1,25 м над полом, пытаясь поймать мяч?

Спасательный вертолет завис над человеком, чья лодка затонула. Один из спасателей бросает спасательный жилет прямо вниз пострадавшему с начальной скоростью 1,40 м/с и отмечает, что он достигает воды за 1,8 с. а) Перечислите известные в этой задаче. б) На какую высоту над водой был выпущен консервант? Обратите внимание, что нисходящий поток вертолета уменьшает влияние сопротивления воздуха на падающий спасательный жилет, так что разумным является ускорение, равное ускорению силы тяжести.

Показать решение

Необоснованные результаты Дельфин на водном шоу выпрыгивает прямо из воды со скоростью 15,0 м/с. а) Перечислите известные в этой задаче. б) На какую высоту поднимается его тело над водой? Чтобы решить эту часть, сначала обратите внимание, что конечная скорость теперь известна, и определите ее значение. Затем определите неизвестное и обсудите, как вы выбрали подходящее уравнение для его решения. Выбрав уравнение, покажите свои действия при решении неизвестных, проверив единицы измерения и обсудите, разумен ли ответ. в) Сколько времени дельфин находится в воздухе? Не обращайте внимания на любые эффекты, связанные с его размером или ориентацией.

Дайвер прыгает прямо с трамплина, избегая трамплина на пути вниз, и падает ногами в бассейн. Она стартует со скоростью 4,00 м/с, а ее точка взлета находится на высоте 1,80 м над бассейном. а) Какая у нее самая высокая точка над доской? б) Сколько времени ее ноги находятся в воздухе? в) Какова ее скорость, когда ее ноги коснулись воды?

Показать решение

(a) Рассчитайте высоту обрыва, если камень ударится о землю за 2,35 с, если его бросить прямо вверх со обрыва с начальной скоростью 8,00 м/с. б) Через какое время он достигнет земли, если его бросить прямо вниз с той же скоростью?

Очень сильный, но неумелый толкатель ядра делает бросок вертикально вверх с начальной скоростью 11,0 м/с. За какое время он уйдет с дороги, если выстрел был произведен на высоте 2,20 м, а его рост 1,80 м?

Показать решение

Вы бросаете мяч прямо вверх с начальной скоростью 15,0 м/с. На пути вверх он проходит ветку дерева на высоте 7,0 м. Сколько дополнительного времени проходит до того, как мяч минует ветку дерева на обратном пути?

Кенгуру может перепрыгнуть объект высотой 2,50 м. (a) Учитывая только его вертикальное движение, рассчитайте его вертикальную скорость, когда он отрывается от земли. б) Сколько времени он находится в воздухе?

Показать решение

Стоя у подножия одной из скал горы Арапилес в штате Виктория, Австралия, турист слышит, как с высоты 105,0 м отваливается скала. Он не сразу видит камень, но через 1,50 с видит его. а) На каком расстоянии от путешественника находится скала, когда он ее видит? б) Сколько времени ему нужно сделать, чтобы камень ударил его по голове?

В Хаф-Доуме в Йосемитском национальном парке в Калифорнии находится утес высотой 250 м. Предположим, что с вершины этого утеса отрывается валун. а) С какой скоростью он будет двигаться, когда упадет на землю? (b) Предполагая, что время реакции равно 0,300 с, сколько времени потребуется туристу на дне, чтобы убраться с дороги, услышав звук отрывающейся скалы (без учета роста туриста, который в любом случае стал бы пренебрежимо малым) если попал)? Скорость звука в этот день равна 335,0 м/с.

Показать решение

Глоссарий

ускорение свободного падения

ускорение объекта под действием силы тяжести

свободное падение

состояние движения, возникающее только под действием гравитационной силы

3.

5 Свободное падение. Университетская физика, том 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Используйте кинематические уравнения с переменными y и g для анализа свободного падения.
• Опишите, как изменяются значения положения, скорости и ускорения во время свободного падения.
• Найдите положение, скорость и ускорение как функции времени, когда объект находится в свободном падении.

Интересное применение уравнений с 3.4 по 3.14 называется свободным падением , которое описывает движение объекта, падающего в гравитационном поле, например вблизи поверхности Земли или других небесных объектов планетарного размера. Предположим, что тело падает по прямой линии, перпендикулярной поверхности, поэтому его движение одномерно. Например, мы можем оценить глубину вертикального ствола шахты, бросив в него камень и прислушиваясь к его падению на дно. Но «падение» в контексте свободного падения не обязательно означает, что тело перемещается с большей высоты на меньшую. Если мяч брошен вверх, уравнения свободного падения в равной степени применимы как к его подъему, так и к его опусканию.

Гравитация

Самый замечательный и неожиданный факт о падающих предметах заключается в том, что если сопротивление воздуха и трение пренебрежимо малы, то в данном месте все предметы падают к центру Земли с одинаковым , постоянным ускорением , независимо от их массы . Этот экспериментально установленный факт является неожиданным, поскольку мы настолько привыкли к эффектам сопротивления и трения воздуха, что ожидаем, что легкие предметы будут падать медленнее, чем тяжелые. Пока Галилео Галилей (1564–1642) не доказал обратное, люди считали, что более тяжелый объект имеет большее ускорение при свободном падении. Теперь мы знаем, что это не так. При отсутствии сопротивления воздуха тяжелые предметы падают на землю одновременно с более легкими предметами, падающими с той же высоты (рис. 3.26).

Рисунок 3,26 Молоток и перо падают с одинаковым постоянным ускорением, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Это общая характеристика гравитации, не уникальная для Земли, как продемонстрировал астронавт Дэвид Р. Скотт в 1971 году на Луне, где ускорение от силы тяжести составляет всего 1,67 м/с ² и нет атмосферы.

В реальном мире сопротивление воздуха может привести к тому, что более легкий объект будет падать медленнее, чем более тяжелый объект того же размера. Теннисный мяч упал на землю после того, как в то же время упал бейсбольный мяч. (Может быть трудно заметить разницу, если высота невелика.) Сопротивление воздуха противостоит движению объекта по воздуху и трению между объектами, например, между одеждой и желобом для белья или между камнем и бассейном при попадании в него. который он роняет, — также препятствует движению между ними.

Для идеальных ситуаций этих первых нескольких глав объект , падающий без сопротивления воздуха или трения , определяется как находящийся в свободном падении. Сила гравитации заставляет объекты падать к центру Земли. Поэтому ускорение свободно падающих тел называют ускорением свободного падения. Ускорение за счет силы тяжести является постоянным, а это означает, что мы можем применить кинематические уравнения к любому падающему объекту, где сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь. Это открывает перед нами широкий класс интересных ситуаций.

Ускорение свободного падения настолько важно, что его величине присваивается собственный символ: g . Он постоянен в любой точке Земли и имеет среднее значение

.

g=9,81 м/с2 (или 32,2 фута/с2).g=9,81 м/с2 (или 32,2 фута/с2).

Хотя g варьируется от 9,78 м/с ² до 9,83 м/с ² , в зависимости от широты, высоты, подстилающих геологических образований и местной топографии, давайте использовать среднее значение 9,8 м/с ² округляется до двух значащих цифр в этом тексте, если не указано иное. Пренебрегая этими эффектами на значение g в результате положения на поверхности Земли, а также эффектов, возникающих в результате вращения Земли, мы принимаем направление ускорения свободного падения вниз (к центру Земли). На самом деле его направление определяет то, что мы называем вертикалью. Обратите внимание, что имеет ли ускорение a в кинематических уравнениях значение + g или — g , зависит от того, как мы определяем нашу систему координат. Если мы определим направление вверх как положительное, то a=−g=−90,8 м/с2, a=-g=-9,8 м/с2, и если мы определим направление вниз как положительное, то a=g=9,8 м/с2a=g=9,8 м/с2.

Одномерное движение под действием силы тяжести

Лучший способ увидеть основные черты движения, связанного с гравитацией, — начать с самых простых ситуаций, а затем переходить к более сложным. Итак, начнем с рассмотрения прямолинейного движения вверх-вниз без сопротивления воздуха или трения. Эти предположения означают, что скорость (если она есть) вертикальна. Если объект падает, мы знаем, что начальная скорость равна нулю при свободном падении. Когда объект вышел из контакта с тем, что держало или бросило его, объект находится в свободном падении. Когда объект брошен, он имеет ту же начальную скорость в свободном падении, что и до того, как его отпустили. Когда объект соприкасается с землей или любым другим объектом, он больше не находится в свободном падении и его ускорение равно г больше не действует. При этих обстоятельствах движение является одномерным и имеет постоянное ускорение величиной g . Мы обозначаем вертикальное смещение символом y .

Кинематические уравнения для объектов в свободном падении

Здесь мы предполагаем, что ускорение равно − g (с положительным направлением вверх).

v=v0-gtv=v0-gt

3,15

y=y0+v0t-12gt2y=y0+v0t-12gt2

3,16

v2=v02-2g(y-y0)v2=v02-2g(y-y0)

3,17

Стратегия решения проблем

Свободное падение

1. Определите знак ускорения свободного падения. В уравнениях с 3.15 по 3.17 ускорение g отрицательно, что говорит о том, что положительное направление направлено вверх, а отрицательное направление направлено вниз. В некоторых задачах может быть полезно иметь положительное ускорение g , указывающее положительное направление вниз.
2. Нарисуйте схему проблемы. Это помогает визуализировать задействованную физику.
3. Запишите известные и неизвестные из описания проблемы. Это помогает разработать стратегию выбора подходящих уравнений для решения задачи.
4. Решите, какое из уравнений с 3.15 по 3.17 следует использовать для поиска неизвестных.

Пример 3.14

Свободное падение мяча

На рис. 3.27 показано положение мяча с интервалом в 1 с с начальной скоростью 4,9.м/с вниз, брошенный с вершины здания высотой 98 м. а) Сколько времени пройдет, прежде чем мяч упадет на землю? б) Какова скорость в момент падения на землю?

Рисунок 3,27 Положения и скорости с интервалом в 1 с мяча, брошенного вниз с высокого здания со скоростью 4,9 м/с.

Стратегия

Выберите исходную точку в верхней части здания с положительным направлением вверх и отрицательным направлением вниз. Чтобы найти время, когда положение равно −98 м, мы используем уравнение 3.16, где y0=0, v0=-4,9 м/с, и g=9,8 м/с2, y0=0, v0=-4,9 м/с, и g=9,8 м/с2.

Решение

1. Подставьте данные значения в уравнение:

   y=y0+v0t−12gt2−98,0m=0−(4,9 м/с)t−12(9,8 м/с2)t2. y=y0+v0t−12gt2−98,0m=0−(4,9 м/с) t−12(9,8 м/с2)t2.

   Это упрощает до

   t2+t-20=0.t2+t-20=0.

   Это квадратное уравнение с корнями t=-5,0sandt=4,0st=-5,0sandt=4,0s. Нас интересует положительный корень, поскольку время t=0t=0 — это время, когда мяч выпущен на вершине здания. (Время t=-5,0st=-5,0 с отражает тот факт, что мяч, брошенный вверх с земли, находился бы в воздухе 5,0 с, когда он прошел мимо крыши здания, двигаясь вниз на скорости 4,9 с.м/с.)
2. Используя уравнение 3.15, мы имеем

   v=v0-gt=-4,9 м/с-(9,8 м/с2)(4,0 с)=-44,1 м/с.v=v0-gt=-4,9 м/с-(9,8 м/с2)(4,0 с) = −44,1 м/с.

Значение

В ситуациях, когда два корня получаются из квадратного уравнения с переменной времени, мы должны посмотреть на физическое значение обоих корней, чтобы определить, какой из них правильный. Поскольку t=0t=0 соответствует времени, когда мяч был выпущен, отрицательный корень будет соответствовать времени до того, как мяч был выпущен, что не имеет физического смысла. Когда мяч ударяется о землю, его скорость не сразу равна нулю, но как только мяч взаимодействует с землей, его ускорение не равно г и разгоняется с другим значением за короткое время до нулевой скорости. Эта задача показывает, насколько важно установить правильную систему координат и сохранить согласованность знаков g в кинематических уравнениях.

Пример 3.15

Вертикальное движение бейсбольного мяча

Отбивающий ударяет бейсбольный мяч прямо вверх по домашней пластине, и мяч ловится через 5,0 с после удара. Рисунок 3.28. а) Чему равна начальная скорость мяча? б) Какой максимальной высоты достигает мяч? в) За какое время он достигнет максимальной высоты? г) Чему равно ускорение в начале пути? д) Какова скорость мяча, когда его поймали? Предположим, что мяч ударен и пойман в одном и том же месте.

Рисунок 3,28 Бейсбольный мяч, попадающий прямо вверх, ловится кэтчером через 5,0 с.

Стратегия

Выберите систему координат с положительной осью y , которая направлена ​​прямо вверх и с началом в точке удара и ловли мяча.

Решение

1. Уравнение 3.16 дает

   y=y0+v0t−12gt2y=y0+v0t−12gt2

   0=0+v0(5,0 с)−12(9,8 м/с2)(5,0 с)2,0=0+v0(5,0 с)−12(9,8 м/с2)(5,0 с)2,

   что дает v0=24,5 м/sv0=24,5 м/с.
2. На максимальной высоте v=0v=0. При v0=24,5 м/сv0=24,5 м/с уравнение 3.17 дает

   v2=v02-2g(y-y0)v2=v02-2g(y-y0)

   0=(24,5 м/с)2−2(9,8 м/с2)(y−0)0=(24,5 м/с)2−2(9,8 м/с2)(y−0)

   или

   г=30,6м.г=30,6м.

3. Чтобы найти время, когда v=0v=0, мы используем уравнение 3.15:

   v=v0-gtv=v0-gt

   0=24,5 м/с-(9,8 м/с2)t.0=24,5 м/с-(9,8 м/с2)t.

   Это дает t=2,5ст=2,5с. Так как мяч поднимается за 2,5 с, время падения равно 2,5 с.
4. Ускорение 90,8 м/с ² везде, даже если скорость равна нулю в начале пути. Хотя скорость равна нулю вверху, она изменяется со скоростью 9,8 м/с ² вниз.
5. Скорость при t=5,0st=5,0 с можно определить по уравнению 3.15:

   v=v0-gt=24,5 м/с-9,8 м/с2(5,0 с)=-24,5 м/с.v=v0-gt=24,5 м/с-9,8 м/с2(5,0 с)=-24,5 м/с .

Значение

Мяч возвращается с той скоростью, с которой он вылетел. Это общее свойство свободного падения при любой начальной скорости. Мы использовали одно уравнение для перехода от броска к ловле, и нам не нужно было разбивать движение на два сегмента, вверх и вниз. Мы привыкли думать, что эффект гравитации заключается в свободном падении вниз к Земле. Важно понимать, как показано в этом примере, что объекты, движущиеся вверх от Земли, также находятся в состоянии свободного падения.

Проверьте свое понимание 3,7

Кусок льда отрывается от ледника и падает с высоты 30,0 м, прежде чем коснется воды. Если предположить, что он падает свободно (сопротивление воздуха отсутствует), через какое время он ударится о воду? Какая величина увеличивается быстрее: скорость куска льда или пройденное им расстояние?

Пример 3.

16

Ракетный ускоритель

Маленькая ракета с ускорителем взлетает и летит прямо вверх. На высоте 5,0км5,0км и скорости 200,0 м/с выпускает свой ускоритель. а) Какой максимальной высоты достигает ракета-носитель? б) Какова скорость ракеты-носителя на высоте 6,0 км? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рисунок 3,29 Ракета выпускает ракету-носитель на заданной высоте и скорости. Как высоко и как быстро поднимается ракета-носитель?

Стратегия

Нам нужно выбрать систему координат для ускорения свободного падения, которую мы принимаем отрицательной вниз. Заданы начальная скорость ракеты-носителя и ее высота. Мы рассматриваем точку выпуска в качестве источника. Мы знаем, что скорость равна нулю в максимальном положении в пределах интервала ускорения; таким образом, скорость ракеты-носителя равна нулю на максимальной высоте, поэтому мы можем использовать и эту информацию. Из этих наблюдений мы используем уравнение 3.17, которое дает нам максимальную высоту ракеты-носителя. Мы также используем уравнение 3.17, чтобы получить скорость на высоте 6,0 км. Начальная скорость ракеты-носителя 200,0 м/с.

Решение

1. Из уравнения 3.17 v2=v02-2g(y-y0)v2=v02-2g(y-y0). С v=0andy0=0v=0andy0=0 мы можем найти y :

   y=v022g=(2,0×102 м/с)22(9,8 м/с2)=2040,8m.y=v022g=(2,0×102 м/с)22(9,8 м/с2)=2040,8 м.

   Это решение дает максимальную высоту ракеты-носителя в нашей системе координат, которая начинается в точке выброса, поэтому максимальная высота ракеты-носителя составляет примерно 7,0 км.
2. Высота 6,0 км соответствует toy=1,0×103my=1,0×103 м в используемой нами системе координат. Другие начальные условия: y0=0, и v0=200,0 м/sy0=0, и v0=200,0 м/с.
   Из уравнения 3.17 имеем

   v2=(200,0 м/с)2−2(9,8 м/с2)(1,0×103 м)⇒v=±142,8 м/с.v2=(200,0 м/с)2−2(9,8 м/с2)( 1,0×103 м)⇒v=±142,8 м/с.