При каких условиях меняется знак неравенства – Линейные неравенства. Подробная теория с примерами.

Правила решения неравенств — Науколандия

При решении числовых неравенств пользуются несколькими правилами, основанными на свойствах неравенств. Решить числовое неравенство с переменной — это значит, найти такие значения переменной (область значений), при которых данное неравенство становится верным. Обычно значения переменных выражаются пределами (множествами чисел, лучами, отрезками), которым они принадлежат.

Правила решения неравенств позволяют привести неравенство к виду, когда область значений становится очевидна. Например, x < b, где знак неравенства и число b могут быть любыми.

Перечислим эти правила.

Член неравенства можно перенести из одной его части в другую. При этом следует поменять знак этого члена на противоположный. Например:

3x + 4 < 10
3x < 10 – 4

Здесь положительное число 4 было перенесено из левой части неравенства в правую. При этом число стало отрицательным. Почему можно это делать? Одним из свойств числовых неравенств является следующее:

если a < b, то a + c < b + c. Другими словами, если к обоим частям исходного неравенства прибавить одно и то же число, то получится равносильное неравенство.

Перенос члена неравенства из одной части в другую с противоположным знаком — это по-сути прибавление к обоим частям одного и того же числа. В приведенном выше примере к обоим частям неравенства было прибавлено число –4:

3x + 4 + (–4) < 10 + (–4)
3x < 10 – 4

Левую и правую части неравенства можно одновременно умножить или разделить на одно и тоже число. Если это число положительное, то знак неравенства не меняется. Если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.

Данное правило вытекает из свойства числовых неравенств.

Если a < b и c > 0, то ac < bc; если же с < 0, то ac > bc. Это правило касается только умножения. Однако операцию деления можно представить, как умножение на 1/c (как дробь).

Например, неравенство 3x < 6 можно упростить, разделив обе его части на 3. Так как 3 — положительное число, то знак неравенства остается прежним. В результате получается неравенство вида x < 2, глядя на которое сразу можно сказать, что областью значения переменной x является числовой луч (–∞; 2). Именно при этих значениях переменной x исходное неравенство (которое было дано до упрощения) является верным.

Допустим, дано неравенство –0,5x ≥ 1. Здесь можно умножить обе части на –2 (чтобы получить 1x в левой части). Поскольку умножение выполняется на отрицательное число, то следует поменять знак неравенства на обратный. Получится x ≤ –2. Таким образом, неравенство –0,5x ≥ 1 верно при x ∈ (–∞; 2].

scienceland.info

Неравенства

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

 Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Дробно-рациональные неравенства.

 

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

1. I. Квадратные неравенства, то есть неравенства вида

ax² + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Будем считать, что a>0. Если это не так, то умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим желаемое.

Чтобы решить неравенство можно:

1. Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x — x₁) (x — x₂) > 0 (< 0).

2. Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
3. Определить знак a (x — x₁) (x — x₂) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D<0 и a>0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

Примеры:

• Решить неравенство. x² + x — 6 > 0.

Решение.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x — 2) > 0

Ответ: x  (-∞; -3)  (2; +∞).

2) (x — 6)² > 0

Решение:

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6)  (6; +∞).      

3) x² + 4x + 15 < 0.

Решение:

Здесь D < 0, a = 1 > 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

1. 1 + х — 2х² < 0.                              Ответ:
2. 3х² — 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
3. 3х² — 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
4. 2х² — 12х + 18 > 0.          Ответ:
5. При каких значениях a неравенство

      x² — ax >  выполняется для любых х?               Ответ:

1. II. Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a

0 > 0 (<0), n>2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a_n (x — x₁) (x — x₂) ·…· (x — x_n) > 0 (<0).

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

Примеры:

1) Решить неравенство x⁴ — 6x³ + 11x² — 6x < 0.

Решение:

x⁴ — 6x³ + 11x² — 6x = x (x³ — 6x² + 11x -6) = x (x³ — x² — 5x² + 5x +6x — 6) =x (x — 1)( x² -5x + 6) =

x (x — 1) (x — 2) (x — 3). Итак, x (x — 1) (x — 2) (x — 3)<0

Ответ: (0; 1)  (2; 3).

2) Решить неравенство  (x -1)⁵ (x + 2) (x — ½)⁷ (2x + 1)⁴ <0.

Решение:

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х =  ½, х = — ½.

В точке х = — ½ смены знака не происходит, потому что двучлен (2х + 1) возводится в четную степень, то есть выражение (2x + 1)⁴ не меняет знак при переходе через точку х = — ½.

Ответ: (-∞; -2)  (½; 1).

3) Решить неравенство: х² (х + 2) (х — 3) ≥ 0.

Решение:

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

 Решением (1) является х  (-∞; -2)  (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Ответ: х  (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Решить неравенства:

1. (5х — 1) (2 — 3х) (х + 3) > 0. Ответ:
2. x³ + 5x² +3x — 9 ≤ 0. Ответ:
3. (x — 3) (x — 1)² (3x — 6 — x²) < 0. Ответ:
4. (x² -x)² + 3 (x² — x) + 2 ≥ 0. Ответ:

III. Дробно-рациональные неравенства.

При решении таких неравенств можно придерживаться следующей схемы.

1. Перенести все члены неравенства в левую часть.
2. Все члены неравенства в левой части привести к общему знаменателю, то есть неравенство записать в виде

 > 0 (<0).

3. Найти значения х, при которых функция y=может менять свой знак. Это корни уравнений
4. Нанести найденные точки на числовую ось. Эти точки разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом их которых функция будет знакопостоянной.
5. Определить знак в каждом промежутке, вычисляя, например, значение данного отношения в произвольной точке каждого промежутка.
6. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки промежутков. При решении строгого неравенства >0 (<0) граничные точки в ответ не включаются. При решении нестрогого неравенства ≥ 0 ( ≤ 0), если точка является корнем знаменателя, то она не включается в ответ (даже если она одновременно является корнем числителя). Если же точка является корнем одного числителя, то она включается в ответ.

Примеры.

1). Решить неравенство .

Решение:  > 0, > 0,  > 0

Найдем нули числителя и знаменателя. Это х = 3, х = 5, х=1. Наносим найденные точки на числовую ось и определяем знаки  в каждом промежутке   

Выбираем любой х(5; +), например х = 10. Тогда  < 0.

               Выбираем х = 4 (3; 5).

Получаем  > 0. При х = 2 (1; 3). Получаем > 0.

Наконец, при х = 0 (-; 1). Вычисляем   < 0.

Ответ: х (1; 3)  (3; 5).

2). Найти сумму целых решений неравенства.

Решение. Найдем нули числителя и знаменателя дроби. Это х = -1, х=8, х = 3, х= 5.

Нанесем найденные точки на числовую ось и определим знак дроби в каждом промежутке, вычисляя значение этой дроби в произвольной точке каждого промежутка.

Решением исходного неравенства является

х [-1, 3)  (3; 5)  {8}. Найдем сумму целых решений: -1 +1+0+ 2 + 4 + 8 = =14.

Ответ: 14.

 

ya-znau.ru

Если возводить обе части неравенства в квадрат, меняется ли знак?

Если обе части неравенства положительные (неотрицательные), то знак неравенства не меняется, если обе части неравенства отрицательные, то знак неравенства меняется на противоположный. Если обе части неравенства разных знаков, то привести их к обному знаку. Это свойства числовых неравенств.

Минус на минус даёт плюс!

Это зависит от знаков частей неравенства. «Просто так» возводить в квадрат нельзя.

Возведение в квадрат — неравносильная операция. -1&lt;&gt;1 но (-1)^2=1^2

touch.otvet.mail.ru

Как решать линейные неравенства | Алгебра

Как решать линейные неравенства? Для начала неравенство надо упростить: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.

Рассмотрим примеры решения линейных неравенств с одной переменной.

   

Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем его на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «плюс», знаки в скобках не меняются. Если перед скобками стоит знак «минус», знаки в скобках меняются на противоположные.

   

Приводим подобные слагаемые.

   

Получили неравенство вида ax+b≤cx+d. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками (можно было сначала перенести неизвестные в одну сторону, известные в другую, а уже потом привести подобные слагаемые).

   

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 8 больше нуля, знак неравенства не меняется:

   

   

Так как неравенство нестрогое, точку -2 отмечаем на числовой прямой закрашенной. Штриховка идёт влево от -2, на минус бесконечность.      

Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -2 записываем с квадратной скобкой.

Ответ:

   

   

Чтобы от десятичных дробей перейти к целым числам, можно обе части неравенства умножить на 10 (это не обязательно. Можно работать с десятичными дробями).

   

При умножении обеих частей на положительное число знак неравенства не меняется. Умножать на 10 надо каждое слагаемое. При умножении произведения на 10 используем сочетательное свойство умножения, то есть умножаем на 10 только один множитель.

   

Раскрываем скобки:

   

Приводим подобные слагаемые:

   

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку -6 — отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

   

   

Сокращаем дробь:

   

Так как неравенство строгое, на числовой прямой -2/3 отмечаем выколотой точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:

Неравенство строгое, точка выколотая, поэтому в ответ -2/3 записываем с круглой скобкой:

Ответ:

   

   

   

Раскрываем скобки. Если перед произведением двух скобок стоит знак «минус», удобно сначала выполнить умножение, и только потом раскрывать скобки, изменяя знак каждого слагаемого на противоположный:

   

   

   

   

Приводим подобные слагаемые:

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

   

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:

   

   

Поскольку неравенство строгое, 1,6 отмечаем на числовой прямой выколотой точкой. Штриховка от 1,6 идёт влево, на минус бесконечность:

Так как неравенство строгое и точка выколотая, 1,6 в ответ записываем с круглой скобкой:

Ответ:

   

   

Произведение разности двух выражений на их сумму, стоящее в левой части неравенства, сворачиваем по формуле в разность квадратов.

В правой части неравенства — квадрат разности.

Перед скобками в обеих частях стоит знак «минус», поэтому сначала преобразуем выражения в скобках по формулам, и только потом раскрываем скобки, изменив при этом знак каждого слагаемого на противоположный:

   

   

Переносим неизвестные в одну чторону, известные — в другую с противоположными знаками:

   

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:

   

   

Так как неравенство нестрогое, -0,4 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:

Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -0,4 записываем с квадратной скобкой:

Ответ:

   

Часто в алгебре требуется не просто решить линейное неравенство, а выбрать из множества решений конкретное значение, например, наибольшее целое или наименьшее натуральное решение. Позже мы рассмотрим, как решать такие задачи.

www.algebraclass.ru