Площадь боковой поверхности пирамиды — формула, пример расчета

Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной, если треугольник – то треугольной. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды:

Площадь правильной треугольной пирамиды


Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Площадь усеченной пирамиды


Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Для начала найдем периметр оснований. В большем основании он будет равен:
В меньшем основании:
Посчитаем площадь:

Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

Урок 15. пирамида — Геометрия — 10 класс

Геометрия, 10 класс

Урок № 15. Пирамида

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие пирамиды;
  • Виды пирамид;
  • Элементы пирамиды: вершина, ребра, грани, основание;
  • Площадь боковой поверхности и полной поверхности пирамиды.

Глоссарий по теме

Пирамида

– многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников

Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником

Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях.

Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником

Боковые ребра – общие отрезки боковых граней

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр основания пирамиды, является высотой

Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).

Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех граней пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей боковых граней пирамиды

Основная литература:

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. и профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений.. – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (117 с. – 121 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с. (65 с. – 68 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

Образовательный портал «Решу ЕГЭ». https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение пирамиды

Рассмотрим многоугольник A1A2…An и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA1A2, PA2A3,…, PAnA1.

Многогранник, составленный из n-угольника A1A2…An и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A1A2…An называется основанием, а треугольники PA1A2, PA2A3,…, PAnA1 боковые грани пирамиды, отрезки PA1, PA2,…, PAnбоковые ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A

1A2…An и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают PA1A2…An.

Рисунок 1 — пирамида

Высота пирамиды

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 3) или быть одним из боковых ребер (рис. 4).

Рисунок 3 – высота вне пирамиды

Рисунок 4 – Высота пирамиды — боковое ребро

Правильная пирамида

Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.5).

Рисунок 5 – Правильная пирамида

Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.

Рассмотрим правильную пирамиду PA1A2…An (рис. 5).

Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А1О, А2О,…АnО.

Образованные высотой и радиусами треугольники являются прямоугольными. Причем, эти треугольники имеют общий катет – РО и равные катеты А1О, А2О,…АnО (равны как радиусы). Значит, треугольники РОА1, РОА2,…РОАn равны по двум катетам, значит равны гипотенузы PA1 , РA2… РAn, которые являются боковыми ребрами правильной пирамиды.

Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

Таким образом, верны следующие утверждения:

  • Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
  • Боковые ребра правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 5 PE – одна из апофем.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.

Усеченная пирамида

Возьмем произвольную пирамиду PA1A2…An и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В

1,В2,…Вn (рис. 6). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2…An и В1В2…Вn (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, … A1AnBnB1(боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Рисунок 6 – Усеченная пирамида

Отрезки A1B1, A2B2, … AnBn называют боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду с основаниями A

1A2…An и В1В2…Вn обозначают следующим образом: A1A2…AnВ1В2…Вn.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 7 отрезки HH1 и В1O –высоты усеченной пирамиды.

Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды

Площадь поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Для пирамиды, верно равенство Sполн= Sбок+Sосн.

Докажем теорему для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна следующая теорема

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

Решение

Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.

Ответ: 177

Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

Решение

Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4* 20=80.

Ответ: 80

Пирамида. Формулы и свойства

Определение.

Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основой) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.
Рис.1

Определение. Боковая грань — это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра — это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема — это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение — это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида — это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.


Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Определение. Боковая поверхность пирамиды — это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.

Определение. Полная поверхность пирамиды — это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды.

Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.


Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n — это количество углов в основании пирамиды.


Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.


Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.


Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) — это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции. Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) — это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол.

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида — это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием. Определение. Прямоугольная пирамида — это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида — это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида — это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр — четырехгранник у которого все четыре грани — равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание — правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида — многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

тестовые задания по теме «Многогранники»

Тестовые задания по теме «Многогранники»

 

          Для организации контроля усвоения знаний по теме «Многогранники» можно использовать задания тестового характера. Предложенные задания дают возможность проверить знание определений, свойств таких многогранников как призма, параллелепипед, пирамида.

Тест состоит из двух вариантов. Вопрос может иметь несколько правильных ответов, необходимо указать их все для получения балла за ответ.

Вариант 1

  1. Выберите верные утверждения:

          а) параллелепипед состоит из шести треугольников;

          б) противоположные грани параллелепипеда не имеют общую точку;

          в) диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пресечения делятся пополам.

  1. Количество всех ребер шестиугольной призмы:

          а) 18;           б) 6;             в) 24;           г) 12.

  1. Наименьшее число граней призмы:

          а) 3;             б) 4;             в) 5;             г) 6;             д) 9.

  1. Боковое ребро всегда является высотой:

а) пирамиды;       

б) прямой призмы;          

в) правильной призмы.

  1. Выберите верные утверждения:

          а) пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник;

          б) треугольная пирамида и тетраэдр – это одно и то же;

          в) площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению полупериметра основания на высоту.

  1. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется

а) апофемой;           

         б) медианой;        

         в) диагональю.

  1. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются

а) боковыми гранями;

          б) боковыми сторонами;        

в) боковыми ребрами.

  1. Ребро куба объёмом 27 куб. см равно:

          а) 3;             б) 4;             в) 9.

  1. Диагональ многогранника – это отрезок, соединяющий

          а) любые две вершины многогранника;

          б) две вершины, не принадлежащие одной грани;

          в) две вершины, принадлежащие одной грани.

  1. Выберите верные утверждения:

          а) многогранник, составленный из треугольников, называется пирамидой;

          б) боковое ребро прямой призмы является ее высотой;

в) площадью поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Вариант 2

  1. Выберите верные утверждения:

          а) параллелепипед имеет шесть граней;

          б)отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда, называется его  диагональю;

          в) тетраэдр состоит из четырех параллелограммов.

  1. Количество всех граней шестиугольной призмы:

          а) 6;             б) 8;             в) 10;           г) 12;           д)16.

  1. Наименьшее число ребер призмы:

          а) 9;             б) 8;             в) 7;             г) 6;             д)5.

  1. К многогранникам относятся:

а) призма;  

б) параллелограмм; 

в) пирамида.

  1. Выберите верные утверждения:

а) призма называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник;

б) площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на высоту пирамиды;

в) все боковые грани прямой призмы – прямоугольники.

  1. Четырехугольная пирамида – правильная, тогда

          а) ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания;

          б) ее боковые грани – прямоугольники;

          в) ее основанием служит квадрат.

  1. Свойство пирамиды: если боковое ребро перпендикулярно основанию, то

          а) пирамида – прямая,

          б) оно является высотой;

          в) все боковые ребра пирамиды равны.

  1. Апофема – это

          а) высота пирамиды;    

б) высота боковой грани пирамиды;

в)  высота боковой грани правильной пирамиды.

  1. Ребро куба объемом 64 куб.см равно

          а) 32;           б) 4;             в) 8.

  1. Выберите верные утверждения:

          а) высота призмы – это расстояние между ее основаниями;

          б) все боковые ребра правильной пирамиды равны;

          в) у прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники.

Ответы:

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Вариант 1

а, б, в

а

в

б, в

б

а

в

а

б

б, в

Вариант 2

а, б

б

а

а, б, в

в

а, в

б

в

б

а, б, в

Правильная пирамида

Правильная пирамида — частный случай пирамиды.

Определение 1. Пирамида называется правильной, если её  основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания. 

Определение 2. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Элементы правильной пирамиды

  • Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
  • Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
  • Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)  
  • Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
  • Диагональное сечение пирамиды — это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
  • Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

Свойства правильной пирамиды

Для решения задач необходимо знать свойства отдельных элементов, которые в условии обычно опускаются, так как считается, что ученик должен это знать изначально.

  • боковые ребра равны между собой
  • апофемы равны
  • боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они являются равными треугольниками
  • все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
  • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n — количество сторон многоугольника основания
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
  • около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
  • все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
  • все высоты боковых граней равны между собой

Указания к решению задач. Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.

Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы — треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к отдельным элементам применить знания из курса планиметрии, что существенно упрощает нахождение ответа.

Формулы для правильной пирамиды

Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

Обозначения:
V — объем пирамиды
S — площадь основания
h — высота пирамиды
Sb — площадь боковой поверхности 
a — апофема (не путать с α)
P — периметр основания
n — число сторон основания
b — длина бокового ребра
α — плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

V — объем правильной пирамиды
h — высота правильной пирамиды
n — число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды
a — длина стороны правильного многоугольника

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. 

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

  •  Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
  • Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями 

Примечания

См. также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:

Как воспользоваться приведенными здесь теоретическими материалами для решения своей задачи:

  1. Ознакомьтесь со справочными материалами
  2. Выясните, по условию задачи, о какой именно правильной пирамиде идет речь
  3. После этого в дереве знаний справа, найдите подходящий урок с данной фигурой (см. решение задач про правильную пирамиду с треугольником в основании, с четырехугольником в основании). Если нужного решения не нашлось, попробуйте ознакомиться с содержанием соседних уроков, возможно, решение подобной задачи есть именно там
  4. Если Вы просмотрели весь раздел, но аналогичной задачи не нашлось, напишите о своей проблеме на форуме «раздел для школьников» в соответствующей теме. Обязательно ознакомьтесь предварительно с правилами форума.

Содержание главы:
 Пирамида и вписанный конус | Описание курса | Апофема правильной пирамиды 

   

Формулы объема и площади поверхности. Призма, пирамида

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

  1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
  2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Иногда в задаче  надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.

Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.

В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.


как связаны площади полной поверхности,боковой поверхности и основания пирамиды?

Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной, если треугольник – то треугольной. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен: 
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды: Площадь правильной треугольной пирамиды


Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Дана пирамида с апофемой a = 4 см и гранью основания b = 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет: 
Подставляем значения в формулу: 
Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:

Площадь усеченной пирамиды


Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Для начала найдем периметр оснований. В большем основании он будет равен: 
В меньшем основании: 
Посчитаем площадь: 

Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

Площадь пирамиды

Площадь пирамиды — Math Open Reference

Определение: Количество квадратных единиц, которые точно покроют поверхность пирамиды.

Попробуй это Перетащите оранжевые точки, чтобы отрегулировать базовый размер и высоту пирамиды, и обратите внимание на изменение области.

Общая площадь любого многогранник — сумма площадей каждой грани.
В случае правой пирамиды все боковые грани одинаковы, поэтому мы можем просто найти площадь единицы и умножить ее на количество граней.После того, как мы добавим площадь основания, у нас будет общая площадь поверхности.

База

На рисунке выше основание представляет собой квадрат. Итак, чтобы найти его площадь, мы умножаем длину стороны на себя. Однако основанием может быть любой многоугольник. Чтобы найти площадь многоугольника, см. Площадь правильного многоугольника.

На рисунке выше нажмите «Сброс». Длина стороны основания равна 10, поэтому, поскольку в этом примере основание представляет собой квадрат, площадь основания равна 10 2 или 100.

Боковые

Стороны пирамиды — треугольники.Есть разные способы найти площадь треугольников (см. Площадь треугольников.) Находим площадь одной грани, затем умножаем на количество граней.

На рисунке выше нажмите «сброс». На передней грани мы видим, что основание треугольника равно 10. Нам также дана высота * треугольника — 11. Напомним, что площадь треугольника равна половине длины основания, умноженной на высоту, поэтому каждая грань имеет площадь 55 . (половина 11 раз 10). Сумма для четырех лиц — 220 (4 раза по 55).

* Это также называют «наклонной высотой» пирамиды — чтобы отличить ее от перпендикулярной высоты.

Общая площадь

Таким образом, общая площадь вышеуказанной пирамиды равна
Площадь основания 100
Площадь четырех граней = 4 раза 55 220
ИТОГО 320

Как формула

Поскольку основание пирамиды может быть любым многоугольником, и вам могут быть заданы различные размеры, Лучше всего следовать описанному выше методу, чтобы найти это место.Но в частном случае прямоугольной пирамиды с заданной стороной основания и наклонной высотой, площадь определяется по формуле Где:
b — длина стороны основания
h — высота наклона.

Комбинируя 4 и 2, это немного упрощает Первый лучше, потому что он более четко показывает, как он состоит из частей — базовой области плюс четыре области лица.

Наклонные и неправильные пирамиды

Если пирамида косой (наклоняется в сторону) или основание нерегулярный, нет простого способа найти площадь поверхности.См. Площадь неправильных многоугольников, чтобы найти базовую область. Каждое треугольное лицо будет иметь разную форму и размер, поэтому вам нужно будет найти площадь каждого из них, используя любые указанные вами измерения. См. Различные методы в разделе Площадь треугольника.

Что попробовать


  • На рисунке выше нажмите «скрыть детали».
  • Перетащите оранжевые точки, чтобы установить базовый размер и высоту пирамиды.
  • Рассчитайте поверхность пирамиды по формуле
  • Нажмите «показать подробности», чтобы проверить свой ответ.

Связанные темы

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Калькулятор квадратной пирамиды

Квадратная пирамида в форме

h = высота
s = наклонная высота
a = длина стороны
e = длина боковой кромки
г = а / 2
В = объем
L = площадь боковой поверхности
B = площадь основания
A = общая площадь поверхности

Использование калькулятора

Этот онлайн-калькулятор рассчитает различные свойства квадратной пирамиды с учетом 2 известных переменных.Квадратная пирамида — это частный случай пирамиды, основание которой имеет квадратную форму. Это правильная пирамида с квадратным основанием.

Единицы: Обратите внимание, что единицы показаны для удобства, но не влияют на вычисления. Единицы измерения указывают на порядок результатов, например футы, футы 2 или футы 3 . Например, если вы начинаете с мм и знаете r и h в мм, ваши вычисления приведут к s в мм, V в мм 3 , L в мм 2 , B в мм 2 и A в мм мм 2 .

NAN: означает не число. Это будет видно в результате, если вы используете значения, которые просто не имеют смысла в качестве разумных значений для пирамиды.

Ниже приведены стандартные формулы пирамиды. Вычисления основаны на алгебраической обработке этих стандартных формул.

Формулы квадратной пирамиды, полученные с учетом длины стороны a и высоты h:

  • Объем квадратной пирамиды:
  • Наклонная высота квадратной пирамиды :
    • По теореме Пифагора мы знаем, что
    • с 2 = r 2 + h 2
    • , поскольку r = a / 2
    • с 2 = (1/4) a 2 + h 2 и
    • s = √ (h 2 + (1/4) a 2 )
    • Это также высота стороны треугольника
  • Площадь боковой поверхности квадратной пирамиды (4 равнобедренных треугольника):
    • Для равнобедренного треугольника Площадь = (1/2) Основание x Высота.Наше основание — это длина стороны a, и для этого расчета наша высота треугольника — это наклонная высота s. С 4-х сторон нам нужно умножить на 4.
    • L = 4 x (1/2) as = 2as = 2a√ (h 2 + (1/4) a 2 )
    • Возведение 2 в квадрат, чтобы вернуть его внутрь радикала,
    • L = a√ (a 2 + 4h 2 )
  • Базовая поверхность Площадь квадратной пирамиды (квадрат):
  • Общая площадь квадратной пирамиды :
    • A = L + B = a 2 + a√ (a 2 + 4h 2 ))
    • A = a (a + √ (a 2 + 4h 2 ))

Квадратная пирамида Расчет:

Другие формулы для расчетов взяты из формул выше.

Список литературы

Вайсштейн, Эрик В. «Квадратная пирамида». Из MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram. Квадратная пирамида.

Как найти площадь поверхности пирамиды (формулы и видео)

Предположим, вы прислонили алюминиевую приставную лестницу к внешней стене дома. Может, вам сказали чистить водостоки, кто знает? В душе вы изучаете математику, поэтому задаетесь вопросом: какое расстояние больше, высота стены прямо от земли до точки соприкосновения лестницы или расстояние от земли вверх вдоль наклонной лестницы?

Инстинктивно вы говорите, что наклонная, наклонная лестница преодолевает большее расстояние.Это основная идея вычисления площади поверхности любой пирамиды.

Содержание

  1. Как найти площадь поверхности пирамиды
  2. Наклонная высота пирамиды
  3. Площадь поверхности формулы пирамиды
  4. Площадь квадратной пирамиды
  5. Как найти площадь квадратной пирамиды
  6. Площадь боковой поверхности формулы пирамиды
  7. Как найти площадь поверхности пирамиды по высоте
  8. Площадь прямоугольной пирамиды

Как найти площадь поверхности пирамиды

Пирамида имеет множество возможных базовых форм, от простого квадрата, который можно увидеть в египетских пирамидах, до шестигранных палубных призм, которые использовались на парусных кораблях в старину, чтобы освещать нижние палубы.

Поскольку вы можете найти пирамиды с треугольным, прямоугольным, квадратным, пятиугольным, шестиугольным и восьмиугольным основанием, вас могут попросить выполнить математические упражнения, такие как эти:

  1. Что всегда будет больше, боковая площадь пирамиды или общая площадь поверхности пирамиды?
  2. Вычислите общую площадь прямоугольной пирамиды с основанием 20 на 15 метров и высотой 50 метров.
  3. Какова общая площадь поверхности шестиугольной пирамиды со скошенными сторонами длиной 7 ярдов и каждой стороной основания размером 3 ярда?
  4. Найдите боковую часть пирамиды с квадратным основанием, высотой 150 футов и длиной наклонной стороны 175 футов.
  5. Сравните общую площадь поверхности треугольной пирамиды со сторонами основания 30 см и наклонной высотой трех сторон 60 см с общей площадью поверхности квадратной пирамиды со сторонами основания 20 см и высотой наклона четырех сторон 50 см.

Это все сложные проблемы, которые становятся все более сложными. К счастью, существует несколько формул, которые помогут вам справиться с любым типом пирамиды, независимо от многоугольника, образующего его основу.

Наклонная высота пирамиды

Пирамида имеет высоту, которая представляет собой перпендикулярное измерение от основания до вершины пирамиды (как если бы мы разрезали пирамиду пополам, чтобы заглянуть внутрь).Для измерения площади поверхности нас не интересует высота. Нам нужна высота наклона или длина наклона, которая измеряется от любой стороны основания по треугольной наклонной стороне к верху.

В большинстве формул площади поверхности пирамиды нам нужна наклонная высота l, а не высота h.

Площадь поверхности формулы пирамиды

Вас могут попросить найти два разных типа площадей для пирамид:

  • Общая площадь пирамиды — Площадь наклонных сторон и площадь основания
  • Боковая площадь пирамиды — Площадь только наклонных сторон любой пирамиды

Для пирамид, где A — общая площадь поверхности, p — периметр основания, l — наклонная высота, а B — площадь основания, формула:

Задача, которую вы пытаетесь решить, должна предоставить вам достаточно информации, чтобы знать периметр p, высоту наклона l и площадь основания B.Он может не предоставлять вам эту информацию напрямую; у вас может быть несколько шагов для решения, чтобы добраться до A.

Площадь квадратной пирамиды

Предположим, вы строите квадратную пирамиду для сбора средств для своего математического клуба в школе. Здесь действительно имеет значение общая площадь; Вы не хотите тратить деньги на покупку слишком большого количества фанеры, и вы не можете тратить время на несколько поездок, чтобы получить больше фанеры. Вы рисуете рисунок, зная, что фанера бывает в листах размером 4 x 8 футов:

[вставить трехмерный изометрический или перспективный чертеж квадратной фанерной пирамиды с метками, показывающими стороны 4 ‘и высоту наклона 6’]

Пирамида, которая вам нужна, будет иметь четыре наклонные треугольные стороны, каждая из которых представляет собой треугольник шириной 4 фута и высотой 6 футов.Основание будет 4 х 4 фута. Какая общая площадь поверхности?

Как найти площадь квадратной пирамиды

Сначала посчитайте базовую площадь:

4 фута × 4 фута = 16 футов 2

Далее рассчитываем периметр основания:

4 дюйма × 4 = 16 футов

Затем введите наклонную высоту l и другие числа в формулу:

A = 12pl + B

A = 12 * 16 футов * 6 футов + 16 футов 2

A = 48 футов 2 + 16 футов 2

A = 64 фут2

Если при построении пирамиды мы не против сложить стороны по частям, клуб может купить только два листа фанеры, так как один лист имеет площадь 32 кв. Фута.

Площадь боковой поверхности формулы пирамиды

Теперь у нас есть пирамида; нам нужно его раскрасить. Для этого нам понадобится только площадь боковой поверхности, так как основание не будет видно. Чтобы рассчитать площадь боковой поверхности пирамиды, используйте эту формулу:

Знакомо? Должно; это просто формула общей площади без основания! Нам по-прежнему нужны периметр основания p и наклонная высота l. Итак, для пирамиды нашего клуба математиков площадь боковой поверхности будет:

А = 12пл

A = 12 * 16 ‘* 6’

A = 48 футов 2

Вам понадобится всего треть галлона краски, но на всякий случай купите две литры.

Как найти площадь поверхности пирамиды по высоте

Что, если ваша задача дает вам высоту h пирамиды, но не наклонную высоту l? Доступны две несколько более сложные формулы для ширины основания, w, высоты, h (, а не наклонной высоты) и длины основания, l.

Для общей площади поверхности пирамиды формула выглядит так:

А = lw + l * w22 + h3 + w * l22 + h3

Площадь прямоугольной пирамиды

Давайте попробуем эту формулу с нашей второй задачей из предыдущего: «Вычислить общую площадь поверхности прямоугольной пирамиды с основанием 20 х 15 метров и высотой 50 метров.«

А = lw + l * w22 + h3 + w * l22 + h3

А = 20 * 15 + 20 * 1522 + 502 + 15 * 2022 + 502

А ≈ 3002 + 1011.1874202 + 764.8529272

А ≈ 2,076,040352

Для площади боковой поверхности пирамиды формула аналогична, но немного проще, так как мы оставляем площадь основания:

А = l * w22 + h3 + w * l22 + h3

А = 20 * 1522 + 502 + 15 * 2022 + 502

А ≈ 1,776.040352

Кстати, ответ на первое из приведенных выше упражнений теперь должен быть очевиден: общая площадь поверхности пирамиды на всегда на больше площади боковой поверхности пирамиды.

Следующий урок:

Площадь квадратной пирамиды

В этом разделе мы узнаем о площади поверхности квадратной пирамиды. Пирамида — это трехмерный объект, все боковые грани которого являются конгруэнтными треугольниками, а основанием может быть любой многоугольник. Одна сторона каждого из этих треугольников совпадает с одной стороной основного многоугольника. Квадратная пирамида — это пирамида, основание которой — квадрат. Пирамиды названы в соответствии с формой их оснований. Как и другие трехмерные формы, квадратная пирамида также имеет два типа площадей.

  • Общая площадь поверхности (TSA)
  • Площадь боковой поверхности (LSA)

Давайте узнаем о площади поверхности квадратной пирамиды вместе с формулой и несколькими решенными примерами здесь. В конце вы найдете несколько практических вопросов.

Какова площадь поверхности квадратной пирамиды?

Слово «поверхность» означает «внешняя или внешняя часть объекта или тела». Итак, общая площадь квадратной пирамиды складывается из площадей ее боковых граней и основания.Мы знаем, что в квадратной пирамиде:

  • база, которая представляет собой квадрат.
  • 4 боковые грани, каждая из которых представляет собой треугольник.

Все эти треугольники равнобедренные и конгруэнтные, у каждого из которых есть сторона, совпадающая со стороной основания (квадрата).

Итак, площадь поверхности квадратной пирамиды — это сумма площадей четырех ее треугольных боковых граней и площади основания, которая является квадратной.

Формула площади поверхности квадратной пирамиды

Давайте рассмотрим квадратную пирамиду, у которой длина основания (длина стороны квадрата) равна «a», а высота каждой боковой грани (треугольника) равна «l» (это также известно как наклонная высота).т.е. основание и высота каждой из 4-х треугольных граней равны ‘a’ и ‘l’ соответственно. Таким образом, площадь основания пирамиды, которая является квадратом, равна a × a = a 2 , а площадь каждой такой треугольной грани равна 1/2 × a × l. Таким образом, сумма площадей всех 4 треугольных граней равна 4 (½ al) = 2 al. Таким образом, площадь поверхности квадратной пирамиды = a 2 + 2al.

Что, если нам дана высота пирамиды, а не наклонная высота? Предположим, что высота пирамиды (высота) равна «h».2} \).

Часто задаваемые вопросы о площади квадратной пирамиды

Какова площадь поверхности квадратной пирамиды?

Площадь поверхности квадратной пирамиды — это сумма площадей всех ее четырех треугольных боковых граней с площадью основания квадратной пирамиды. Если a, h и l — длина основания, высота пирамиды и высота наклона соответственно, то площадь поверхности квадратной пирамиды = a 2 + 2al (или) a 2 + 2a \ (\ sqrt {\ dfrac {a ^ {2}} {4} + h ^ {2}} \). {2}} \).{2}} \).

Здесь,

  • a = длина основания (квадрат)
  • l = наклонная высота
  • h = высота пирамиды

Площадь и объем поверхности

Площадь и объем поверхности Вернуться к содержанию

Обзор базовой геометрии — Урок 10

Обзор урока

Боковая зона

Боковая площадь — это площадь поверхности трехмерной фигуры, но без учета площади каких-либо баз. L ateral A rea часто сокращается до L.A. Представьте себе банку для супа. Теперь отрежьте край банки и раскатайте ее. Длина окружности основания теперь равна длине прямоугольника. Чтобы найти площадь этого прямоугольника, которая совпадает с боковой областью, умножьте эту длину на ширину, которая была высотой банки.
Боковая площадь призмы: периметр × высота
Боковая площадь цилиндра: окружность × высота.
Боковая площадь правильной пирамиды: ½ периметра × наклонная высота.
Боковая площадь правого конуса: ½ периметра × наклонная высота.

Боковая поверхность правильной пирамиды или правого конуса аналогична площади правильной пирамиды. призмы, но поскольку каждая грань представляет собой треугольник (или подобный треугольнику), есть коэффициент, равный половине. Таким образом, боковая площадь равна половине высоты наклона, умноженной на периметр. Высота наклона — это расстояние от вершины до края. основания, где он находится на полпути между вершинами основания.Если пирамида неправильная и, конечно, если конус наклонный, площадь поверхности может быть не рассчитана элементарными методами (что является причудливым способом сказать, что вам может понадобиться исчисление). Это зависит от того, можете ли вы получить высоту (наклонную высоту) каждой треугольной грани.

Площадь

Площадь поверхности фигуры — это сумма площадей всех поверхностей фигуры. S urface A rea часто сокращается до S.A. Площадь поверхности призмы или цилиндра равна боковой площади плюс площадь каждой базы.Поскольку основания призмы или цилиндра конгруэнтно, это часто выражается как удвоенная площадь основания.
Площадь поверхности = Боковая площадь + n × Основания
n = 2 для призм / цилиндров; n = 1 для пирамидок / конусов; n = 0 для сфер.

Площадь поверхности пирамиды или конуса равна боковой площади плюс площадь единой базы.

Площадь поверхности шара равна 4 r 2 .Аналогичен единичному кругу единичная сфера. Точно так же, как есть 2 радиана угла за один оборот, есть 4 стерадиана телесного угла во всех направлениях.

Пример: Рассмотрим правую пирамиду A-BCDE с вершиной A и квадратное основание BCDE длиной 20 дюймов на с каждой стороны и наклонной высотой 26 дюймов. Каковы его боковые и поверхностные поверхности?

Ответ: Высота для этого расчета не нужна, но мы все равно рассчитаем, чтобы подчеркнуть разницу между наклонной высотой и высота.Наклонная высота — это гипотенуза прямоугольного треугольника, где высота — одна нога, а 20 дюймов / 2 = 10 дюймов — другая нога. Таким образом, 10 2 + h 2 = 26 2 или 100 + h 2 = 676. Таким образом, h 2 = 576 или h = 24 дюйма. Все боковые поверхности представляют собой треугольники с основанием 20 дюймов. и высота (наклонная высота) 26 дюймов. Их четыре. Таким образом, поперечная площадь составляет 4 × ½ × 20 «× 26» = 1040 в 2 .Основание — квадрат 20 дюймов или 400 дюймов 2 . Таким образом, [общая] площадь поверхности составляет 1440 из 2 .

Понимание площади поверхности может быть более ясным, если вы вернетесь к сети. связанный с объектом. Слева — сеть для куба, а справа — часть сети для сферы. Каждая из этих частей сферы называется кровью .

Сейчас хорошее время, чтобы повторить то, что выучили по алгебре, а именно ( x + y ) 2 = x 2 + xy + xy + y 2 = x 2 + 2 xy + y 2 .Диаграмма справа должна прояснить это дальше, поможет вам запомнить метод FOIL , а также дать физическую основу для этих отношений. (Помните также, квадратный корень из ( x 2 + y 2 ) НЕ равно x + y .) Рассмотрим сначала расширение метода FOIL на трехчлены: ( a + b + c ) ( d + e + f ) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf .Распределительное свойство — еще один способ рассмотреть эту ситуацию. Здесь полезен метод ящика .

d e f
a ad в.в. аф
b bd по bf
c cd CE CF

Теперь расширите метод до трех измерений, чтобы найти: В = ( a + b ) ( c + d ) ( e + f ) = ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf .Это было бы полезно при поиске объема, поэтому его трудно отображать в двух измерениях.

Объем

Объем объекта имеет основные свойства, перечисленные ниже. Обратите внимание, что они аналогичны приведенным ранее для области.
  • Каждая многогранная область имеет уникальный объем , зависит только от вашего блока куб .
  • Коробка имеет объем: длина × ширина × высота ( В, = л / ч, ).
  • Конгруэнтные числа имеют эквивалентный объем.
  • Общий объем — это сумма всех неперекрывающихся регионов.

Зная объем, можно определить размеры многогранника. Специально для куба с ребром с и объемом с 3 , учитывая куб объемом 1000 кубических сантиметров (1 литр), вы можете взять кубический корень, чтобы определить, что каждая сторона имела длину 10 сантиметров или около 3.937 дюймов. Так как один галлон равен 231 кубическому дюйму, это примерно 3,785 л. Можно ожидать и других преобразований единиц, которые суммированы. в Числах урок 9. Кубические корни и объем лежат в основе древнего невозможного геометрического постройка из древности, Проблема удвоения куба Делиана. Еще одна важная концепция заключается в том, что если вы удвоите размеры куба, объем увеличивается в 8 раз = 2 3 , точно так же, как площадь увеличилась в 4 раза = 2 2 .Это проблема, с которой обычно сталкиваются при преобразовании кубических футов. в кубические ярды!

Пример: Предположим, вы хотите залить бетонную дорожку на глубину 4 дюйма. который составляет 90 футов в длину и 9 футов в ширину.

Ответ: Вы быстро обнаружите, что есть 90 × 9 ÷ 3 = 270 футов 3 . Однако есть только 10 ярдов 3 , поскольку каждый ярд составляет 3 фута и 3 3 = 27.

Расчет в «родной единице» ярдов: 30 × 3 ÷ 9 может помогите предотвратить такую ​​ошибку.Под «родным» здесь мы подразумеваем, что окончательные результаты ожидаются в кубических ярдах. Если начальные единицы конвертируются в ярды, будет сделано меньше ошибок. это КРАЙНЕ распространено ошибочное деление на 3 или 9, а не на 27 при преобразовании кубических футов в кубические ярды.

Пример: Предположим, вы хотите найти объем квадратная правая пирамида A-BCDE , приведенная в предыдущем примере с наклонная высота 26 дюймов и основание 20 дюймов с каждой стороны.

Ответ: Высота 24 дюйма, как рассчитано в предыдущем примере. Таким образом, объем равен (1/3) × B × h = (1/3) × 20 дюймов × 20 дюймов × 24 дюйма = 3200 дюймов 3 .

Формулы объема
Призма или цилиндр: В = площадь основания × высота
Пирамида или конус: V = (1/3) × площадь основания × высота
Сфера: V = (4/3) × (радиус) 3

Обычно эта формула записывается как V = Bh (призма или цилиндр), V = (1/3) Bh (пирамида или конус), или В = (4/3) r 3 (сфера).Обратите внимание, как большой B используется для обозначения того, что это двумерный основание или площадь, а не то же самое (линейное) b мы используем в треугольниках.

Косые призмы и цилиндры имеют такой же объем, как и правая призма или цилиндр с такой же высотой и площадью основания. Представьте стопку бумаги, верх которой сдвинут в сторону. Стек больше не вертикальный. Однако объем бумаги не изменился. Обратите внимание, что в формуле для определения объема наклонной призмы высота — это перпендикулярный сегмент между верхним и нижним основаниями.Когда вы изучите математику, вы обнаружите площадь поверхности сферы. быть производной по r формулы объема шара. То же самое происходит между площадью круга и его окружностью. Это может быть случайность или может быть серьезная причина что я хотел бы знать.

Пример: Излюбленная задача объема / площади поверхности заключается в следующем. Бассейн 24 фута в длину, 20 футов в ширину, 3 фута в глубину на мелководье, и 10 футов в глубоком конце.Пол имеет ровный уклон. Что это внутренняя поверхность бассейна и каков объем (в галлонах)?

Ответ: Бассейн представляет собой трапециевидную призму. Пол 25 футов в длину, так как 10 футов — 3 фута = 7 футов и 7 2 +24 2 = 49 + 576 = 625 = 25 2 . Площадь поверхности складывается из 5 поверхностей: 2 конгруэнтных трапециевидных стороны. (½ (3 + 10) • 24), 2 прямоугольных конца (3 • 20 + 10 • 20) и низ (20 • 25).Это 2 • 156 + 60 + 200 + 500 = 1072 футов 2 . Объем: База × высота, где База — это площадь одной стороны. (½ (3 + 10) • 24), а высота равна ширине бассейна (20). Таким образом, объем составляет 3120 футов 3 или 23339 галлонов. (умножьте на 12 3 кубических дюймов на кубический фут и разделите на 231 кубический дюйм на галлон).

мысленный эксперимент (мысленный эксперимент), используемый для обоснования Формула объема для сферы выглядит следующим образом.Во-первых, помните деятельность в области круга, где мы разрезаем круг на 16 клиньев, а затем переставляем клинья в параллелограмм r × r . По тем же линиям разрежьте сферу пирамидками. Общая площадь оснований этих пирамид составляет 4 r 2 . Высота каждого р . Отсюда и выводится формула. В том же духе некоторые предлагают вспомнить 1/3 в формулах конического объема, сопоставив его с аналогичным формула двумерной треугольной площади, в которой есть 1/2.

Принцип Кавальери

Следующая идея была развита намного раньше несколькими группами людей, но итальянский математик 17 века сделал его популярным в как раз в нужное время, и к нему прикрепили его имя.

Даны два тела, заключенные между параллельными плоскостями. Если каждое сечение плоскости параллельно заданным плоскостям имеет одинаковую площадь в обоих твердых телах, тогда объемы твердых тел равны. Это известно как Принцип Кавальери .

Греческий Архимед входит в тройку величайших математиков всех времен. Среди его важных открытий — соотношение объемов конус, сфера и цилиндр. Фактически, это открытие было настолько его фаворита, что он попросил, чтобы это было написано на его надгробие. В частности, рассмотрим сферу радиуса r , два конуса, каждый с одинаковым радиусом и высотой ( r ), и цилиндр того же радиуса и высоты (2 r ).Цилиндр будет содержать либо два конуса, либо сферу. Их объемы легко увидеть как (4/3) r 3 , 2 (1/3) r 3 и 2 r 3 . Таким образом, конусы плюс сфера в точности равны цилиндру. (На самом деле, Архимеду чаще приписывают проявление объем сферы должен составлять 2/3 объема цилиндра.) См. Соответствующие схемы в учебнике, относящиеся к доказательству. Принципа Кавальери.

Пример: Вопрос 10.2 # 24 в нашем тексте задали учащимся. о конусах из окружностей (радиус 4 «) с центральными углами 45 °, 60 ° и 120 ° удалены (которые были заклеены лентой к доске среди шуток Мадонны). Выполните следующее. Найдите объем каждого конуса. Найдите центральный угол, который увеличивает объем. Найдите центральный угол, обеспечивающий максимальное отношение объема к поверхности.

Ответ: За бонусные баллы сдайте свое решение к тому времени, когда должны быть выполнены обзоры глав.

площадь поверхности пирамиды

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

В этом разделе мы обсудим площадь поверхности пирамиды. Пирамида:

932 910 треугольник
Правильная пирамида Треугольная Четырехугольная Пятиугольная Шестиугольная
Форма основания Треугольник или Треугольник 900 ромб Правильный пятиугольник Правильный шестиугольник
Верх Вершина Вершина Вершина Вершина
Форма боковых граней Равносторонний треугольник 14 Равносторонний треугольник Равносторонний треугольник 1610 Равносторонний треугольник
Количество боковых граней 3 4 5 6
Общее количество граней 4 5 6 7

Правая пирамида: 900 Если линия, проведенная через вершину ex пирамиды и перпендикуляр к основанию встречается с основанием в ее центре, он называется правой пирамидой, а длина перпендикуляра называется высотой пирамиды.

Если вершина пирамиды равна P, а ее основание — ΔABC, пирамида обозначается
(P — ABC). Перпендикуляр от точки P встретится с основанием в центре тяжести G кривой ΔABC. Следовательно, высота пирамиды PG. ПБ — наклонная высота.
Площадь боковой поверхности = 1/2 x периметр x высота наклона = 1/2 пл
Общая площадь = площадь основания + боковая площадь = Площадь основания + 1/2 пл

Некоторые решенные примеры площадь поверхности пирамиды

1) Пирамида с треугольным основанием с каждой стороной длиной 10 см.Наклонная высота пирамиды 12 см. Найдите площадь боковой поверхности и общую площадь поверхности этой пирамиды.

Решение:

В пирамиде (P — ABC), AB = BC = CA = 10 см и наклонная высота PD = 12 см
Площадь боковой поверхности = ½ pl = ½ x 30 x 12 = 180 см 2
Площадь ΔABC = (√3 x сторона 2 ) / 4
⇒ = (√3 x 10 2 ) / 4
⇒ = (√3 x 100) / 4
∴ Площадь ΔABC = 25 √3 = 25 x 1,73 = 43,25 см 2
Общая площадь = площадь основания + боковая площадь
⇒ = 43.25 + 180
∴ Общая площадь = 223,25 см 2
________________________________________________________________
2) Если длина каждого края правильной пирамиды (P — ABC) составляет 30 единиц, найдите ее наклонную высоту.
Решение:

В ΔPDC, ∠D — прямой угол,
Итак, по теореме Пифагора
c 2 = a 2 + b 2
30 2 = a 2 + 15 2
900 = a 2 + 225
∴ a 2 = 900 — 225 = 675
∴ a = PD = √675 = 25.98 шт.

Площадь поверхности:

• Площадь поверхности куба
• Площадь поверхности прямоугольной призмы (кубоида)
• Площадь поверхности цилиндра
• Площадь поверхности конуса
• Площадь поверхности сферы и полусферы
• Площадь поверхности призмы
• Площадь поверхности пирамиды

От пирамиды до измерения

От пирамиды до дома Страница

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Площадь пирамиды

Пирамида — это сплошная фигура с плоской формой, образующей основание, вместе с определенным количеством треугольников, составляющих боковые грани или стороны пирамиды.

Боковые грани встречаются в общей точке над основанием, которая является вершиной / вершиной пирамиды.

Названия пирамид

Пирамиды названы в зависимости от формы основания.

На самом деле, другое название треугольной пирамиды — тетраэдр.

Если все стороны основания пирамиды имеют одинаковую длину, пирамида представляет собой правильную пирамиду .

Если все стороны основания НЕ имеют одинаковой длины, пирамида классифицируется как неправильная пирамида .


Наклонная и правая пирамида

В зависимости от того, где находится вершина / вершина пирамиды, пирамида может быть либо «правильной», либо «наклонной».

Вершина правильной пирамиды находится прямо над центром основания.

Где, как вершина наклонной пирамиды, НЕ находится прямо над центром основания.

Определение площади поверхности наклонной пирамиды обычно требует немного больше времени и усилий, чем для построения правильной пирамиды.


Наклонная высота

Наклонная высота пирамиды отличается от высоты вертикального перпендикуляра от основания до вершины.

Высота наклона — это длина от низа одной из граней до верха.

В правильной правильной пирамиде высота наклона одинакова на каждой грани / стороне.


Определение площади поверхности пирамиды

Открытие правильной квадратной пирамиды и выравнивание всех сторон.


s & nbsp — наклонная высота реальной трехмерной пирамиды.

На самом деле пирамида состоит из 2 частей.

Одна часть — это площадь основания.

Вторая часть — это боковая площадь, которая представляет собой площадь всех граней / сторон, сложенных вместе.

Итак, общая площадь поверхности правильной квадратной пирамиды состоит из 1 квадратного основания и 4 граней / сторон треугольника одинакового размера.

Площадь основания & nbsp = & nbsp a × a & nbsp = & nbsp a 2

Площадь 1 треугольной грани & nbsp = & nbsp \ bf {\ frac {1} {2}} × a × s & nbsp, & nbsp & nbsp и их & nbsp4 & nbsp.

Таким образом,

Боковая площадь & nbsp = & nbsp 4 × (\ bf {\ frac {1} {2}} × a × s ) & nbsp = & nbsp 2as

=> & nbsp Общая площадь пирамиды & nbsp = & nbsp a 2 + 2as

Примеры

(1,1)

Какова площадь поверхности следующей квадратной пирамиды?

Решение

Площадь & nbsp = & nbsp 4 2 + ( 2 × 8 × 4 ) & nbsp = & nbsp 16 + 64 & nbsp = & nbsp 80

Площадь 80см 2 .

(1,2)

Какова площадь поверхности следующей квадратной пирамиды?

Решение

У нас изначально нет наклонной высоты пирамиды, но ее можно получить с помощью Пифагора.

Если мы можем представить, смотрим прямо на пирамиду, как будто на уровне глаз.


s 2 & nbsp = & nbsp 4 2 + 3 2 & nbsp = & nbsp 16 + 9 & nbsp = & nbsp 25

с & nbsp = & nbsp √25 & nbsp = & nbsp 5

Сейчас:

Площадь & nbsp = & nbsp 6 2 + ( 2 × 5 × 6 ) & nbsp = & nbsp 36 + 60 & nbsp = & nbsp 96

Площадь 96м 2 .

(1,3)

Какова площадь поверхности следующей квадратной пирамиды?


Решение

Этот пример немного отличается: прямоугольное основание, все стороны которого НЕ одинаковой длины, делает пирамиду неправильной формы.

Требуется еще несколько сумм, чтобы вычислить общую площадь поверхности пирамиды.

Информации достаточно, чтобы рассчитать наклонную высоту. Глядя на каждую сторону пирамиды, можно использовать теорему Пифагора.

Грани в & nbsp A & nbsp и & nbsp C & nbsp будут иметь одинаковую высоту наклона, как и грани по бокам & nbsp B & nbsp и & nbsp D .

Площадь основания прямоугольника равна & nbsp 4 × 6 = 24 .

Теперь общая площадь равна & nbsp 24 + 23,32 + 33,34 & nbsp = & nbsp 79,66

Поскольку некоторые десятичные значения были округлены, это не точное значение площади поверхности.

Но мы достаточно близки, чтобы сказать, что общая площадь поверхности этой прямоугольной пирамиды составляет примерно & nbsp 79,66 м 2 .

Общий случай
Фактически, из проведенных здесь вычислений можно сделать вывод, что для любой правильной прямоугольной пирамиды формы:
Площадь поверхности составляет:

Площадь & nbsp = & nbsp = a × b & nbsp + & nbsp a × s1 & nbsp + & nbsp b × s2

Как & nbsp a × s1 & nbsp и & nbsp b × s2 & nbsp в приведенном выше примере, были умножены на половину, а затем умножены на & nbsp 2 .


Для правильных правильных пирамид, у которых основание — правильный многоугольник, существует более общая формула для определения площади поверхности пирамиды.

Это & nbsp ( БАЗОВАЯ ПЛОЩАДЬ ) & nbsp + & nbsp (\ bf {\ frac {1} {2}} × периметр × высота наклона ).