Отрезки ав и дс лежат на параллельных прямых: ОГЭ. Решение. Задание 24, Вариант 2

Контактный Email:
avcevceru @ g m a i l . 3*(1-cosβ)(2cosβ-1)

11 месяцев назад

Рассмотрим треугольники AKO и APO, Они равны по трём сторонам, AK=AP, как касательные к окружности , KO=OP как радиусы , AO — общая. Из равенства следует что КАО=ОАР=82/2=41, так как АР касательная, а РО радиус то угол АРО равен 90 градусов, отсюда угол АОР равен 90-41=49.

9 месяцев назад

Основание куба — квадрат со стороной a = 5 см.
Его диагональ (по т. Пифагора)
d₁² = a² + a²
d₁² = 5² + 5² = 2*5² = 50
d₁ = 5√2 см — диагональ основания 
—
Пространственную диагональ куба найдём из сечения, проходящего через диагональ основания d₁ как катет, вертикальное ребро как второй катет и пространственную диагональ d₂ как гипотенузу
Снова по т. Пифагора
d₁² + a² = d₂²
50 + 25 = d₂²
d₂² = 75
d₂ = 5√3 см
—
Поверхность одной грани = a²
Всего таких граней 6
S = 6a² 
S = 6*5² = 6*25 = 150 см²

10 месяцев назад

Нехай дано квадрати ABCD, AKLM, AB=a, AL=3*AC
квадрати подібні фігури, тому відношення їх периметрів дорівнює відношенню їх сторін, (їх діагоналей)
тому периметр другого квадрата в 3 рази більший за периметр першого квадрата,
периметр першого квадрата 4*а,
периметр другого квадрата 3*4*а=12а
відповідь: 12 а
\\примітка: у цьому легко персвідчитися з геометричної інтерпретації 

2 месяца назад

% PDF-1. 4 % 364 0 obj> endobj xref 364 126 0000000016 00000 н. 0000006399 00000 н. 0000006536 00000 н. 0000006774 00000 н. 0000006817 00000 н. 0000007435 00000 н. 0000007527 00000 н. 0000007619 00000 н. 0000007710 00000 н. 0000007886 00000 н. 0000008015 00000 н. 0000008109 00000 н. 0000008178 00000 н. 0000008271 00000 н. 0000009621 00000 н. 0000011106 00000 п. 0000012383 00000 п. 0000013889 00000 п. 0000015377 00000 п. 0000015505 00000 п. 0000015574 00000 п. 0000015750 00000 п. 0000015841 00000 п. 0000015933 00000 п. 0000016025 00000 п. 0000016118 00000 п. 0000016531 00000 п. 0000017344 00000 п. 0000018159 00000 п. 0000018538 00000 п. 0000019356 00000 п. 0000019738 00000 п. 0000021382 00000 п. 0000021466 00000 п. 0000021756 00000 п. 0000021976 00000 п. 0000022376 00000 п. 0000022676 00000 п. 0000022865 00000 п. 0000023616 00000 п. 0000023669 00000 п. 0000025104 00000 п. 0000026237 00000 п. 0000026918 00000 п. 0000030197 00000 п. 0000033873 00000 п. 0000037404 00000 п. 0000039445 00000 п. 0000039583 00000 п. 0000040271 00000 п. 0000043261 00000 н. 0000043347 00000 п. 0000043454 00000 п. 0000043563 00000 п. 0000043629 00000 п. 0000043736 00000 п. 0000043845 00000 п. 0000043952 00000 п. 0000044065 00000 п. 0000044137 00000 п. 0000044244 00000 п. 0000044353 00000 п. 0000044420 00000 н. 0000044527 00000 п. 0000044636 00000 п. 0000044706 00000 п. 0000044778 00000 п. 0000044885 00000 п. 0000044994 00000 п. 0000045095 00000 п. 0000045220 00000 п. 0000045313 00000 п. 0000045405 00000 п. 0000045497 00000 п. 0000045588 00000 п. 0000045764 00000 п. 0000045894 00000 п. 0000045965 00000 п. 0000046050 00000 п. 0000046123 00000 п. 0000046179 00000 п. 0000046293 00000 п. 0000046349 00000 п. 0000046464 00000 н. 0000046520 00000 п. 0000046646 00000 п. 0000046702 00000 п. 0000046827 00000 н. 0000046883 00000 п. 0000046990 00000 н. 0000047046 00000 п. 0000047151 00000 п. 0000047207 00000 п. 0000047327 00000 п. 0000047383 00000 п. 0000047496 00000 п. 0000047552 00000 п. 0000047683 00000 п. 0000047739 00000 п. 0000047860 00000 п. 0000047916 00000 п. 0000048057 00000 п. 0000048113 00000 п. 0000048234 00000 п. 0000048290 00000 н. 0000048386 00000 п. 0000048442 00000 п. 0000048556 00000 п. 0000048612 00000 н. 0000048684 00000 п. 0000048754 00000 п. 0000048824 00000 н. 0000048894 00000 п. 0000048964 00000 н. 0000049034 00000 п. 0000049104 00000 п. 0000049176 00000 п. 0000049246 00000 п. 0000049316 00000 п. 0000049386 00000 п. 0000049456 00000 п. 0000049526 00000 п. 0000049596 00000 п. 0000049658 00000 п. 0000049706 00000 п. 0000002816 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 489 0 obj> поток h

Precalculus

% PDF-1.3 % 180 0 объект > / OCGs [804 0 R] >> / Страницы 3 0 R / Тип / Каталог >> endobj 802 0 объект > / Шрифт >>> / Поля 808 0 R >> endobj 803 0 объект > поток application / pdf

Сегменты Средние точки и лучи

Сегменты, середины и лучи

Концепция линий проста, но большая часть геометрии связана с частями линий. Некоторые из этих частей настолько особенные, что имеют свои собственные названия и символы.

Линейный сегмент

Сегмент линии — это соединенный кусок линии. Он имеет две конечные точки и назван по своим конечным точкам. Иногда для обозначения сегмента используется символ, написанный поверх двух букв. Это отрезок линии CD (рисунок 1).

Рисунок 1 Отрезок линии.

Написано CD (Технически CD относится к точкам C, и D и всем точкам между ними, а CD без ссылки относится к расстоянию от C до D . ) Обратите внимание, что CD — это кусок.

Постулат 7 (Постулат Правителя): Каждая точка на линии может быть связана ровно с одним действительным числом, называемым ее координатой . Расстояние между двумя точками — это положительная разница их координат (рисунок 2).

Пример 1 : На рисунке 3 найдите длину QU .

Постулат 8 (Постулат сложения сегментов): Если B лежит между A и C на прямой, то AB + BC = AC (рисунок 4).

Пример 2 : На рисунке 5 A находится между C и T . Найдите CT , если CA = 5 и AT = 8.

Поскольку A находится между C и T , Постулат 8 сообщает вам

Средняя точка

Средняя точка линейного сегмента — это средняя точка или точка, равноудаленная от конечных точек (рисунок 6).

Рисунок 6 Середина отрезка прямой.

R является средней точкой QS , потому что QR = RS или потому что QR = ½ QS или RS = ½ QS

Пример 3: На рисунке 7 найдите среднюю точку KR .

Средняя точка KR будет ½ (24) или 12 пробелов от K или R . Поскольку координата K равна 5, и она меньше, чем координата R (которая равна 29), чтобы получить координату средней точки, вы можете либо добавить 12 к 5, либо вычесть 12 из 29. В любом случае вы Определите, что координата средней точки равна 17.Это означает, что точка O является средней точкой KR , потому что KO = OR .

Другой способ получить координату средней точки — это найти среднее значение координат конечной точки. Чтобы найти среднее двух чисел, вы находите их сумму и делите на два. (5 + 29) ÷ 2 = 17. Координата средней точки равна 17, поэтому средняя точка — это точка O .

Теорема 4: У отрезка прямой есть ровно одна середина.

Луч

Луч также является частью линии, за исключением того, что он имеет только одну конечную точку и продолжается бесконечно в одном направлении.Это можно представить как половину линии с конечной точкой. Он назван по букве его конечной точки и любой другой точки на луче. Символ →, написанный над двумя буквами, используется для обозначения этого луча. Это луч AB (рисунок 8).

Рисунок 8 Ray AB .

Записывается как

Это луч CD (рисунок 9).

Рисунок 9 Ray CD .

Записывается как или

Обратите внимание, что часть символа луча, не являющаяся стрелкой, находится над конечной точкой.

Трапеция, средняя линия и средний сегмент трапеции и треугольника

Четырехугольник с двумя противоположными параллельными сторонами называется трапецией (трапеция) .

Параллельные стороны трапеции называются основаниями (AB и CD), а те, которые не параллельны, называются ногами (AD и BC).
Если ноги равны по длине, трапеция называется , равнобедренная, .
DE и CF — высота .

Средняя линия трапеции

Линия, соединяющая середины сторон, которые не параллельны, называется средней линией (или средним сегментом) трапеции.

Линия MN является средней линией ABCD. А сегмент MN — это средний сегмент ABCD.

AM = MD
BN = NC

Средняя линия трапеции параллельна ее сторонам.
В нашем случае — MN || AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ.

Теорема 1:

Если линия, проходящая через середину отрезка трапеции, параллельна ее основаниям, затем линия проходит через середину другой ноги.

Теорема 2:

Средний отрезок трапеции составляет половину длины двух параллельных сторон.

Другими словами:
$ \ overline {MN} = \ frac {\ overline {AB} + \ overline {DC}} {2} $

Середина треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средним сегментом треугольника.

Он параллелен третьей стороне, а его длина вдвое меньше длины третьей стороны.

Теорема : Если отрезок прямой пересекает середину одной стороны треугольника и параллелен другой стороне того же треугольника, то этот отрезок делит третью сторону пополам.

$ \ overline {AM} = \ overline {MC} $ и $ \ overline {BN} = \ overline {NC} $ =>

$ MN || AB $
$ \ overline {MN} = \ frac {\ overline {AB}} {2} $

Применение свойств средних сегментов

Разделите отрезок на равные отрезки без измерения.

Задание: Разделите данный сегмент $ \ overline {AB} $ на 5 равных сегментов без измерения.

Решение:

Пусть p — произвольный луч с началом A, не лежащий на AB.На п. Рисуем последовательно пять равных отрезков.
$ \ overline {AA_1} = \ overline {A_1A_2} = \ overline {A_2A_3} = \ overline {A_3A_4} = \ overline {A_4A_5} $
Мы соединяем A ₅ с B и проводим линии через A ₄ , A ₃ , A ₂ и A ₁ , которые параллельны A ₅ B.

Они пересекают AB в точках B ₄ , B ₃ , B ₂ и B ₁ соответственно. Эти точки делят отрезок $ \ overline {AB} $ на пять равных отрезков.

Действительно, из трапеции BB ₃ A ₃ A ₅ мы видим, что $ \ overline {BB_4} = \ overline {B_4B_3} $. Таким же образом из трапеции B ₄ B ₂ A ₂ A ₄ , получаем $ \ overline {B_4B_3} = \ overline {B_3B_2} $

При этом от трапеции B ₃ B ₁ A ₁ A ₃ ,
$ \ overline {B_3B_2} = \ overline {B_2B_1} $.
Тогда из B ₂ AA ₂ следует, что $ \ overline {B_2B_1} = \ overline {B_1A} $.В итоге получаем:
$ \ overline {AB_1} = \ overline {B_1B_2} = \ overline {B_2B_3} = \ overline {B_3B_4} = \ overline {B_4B} $

Понятно, что если AB нужно разделить на другое количество равных отрезков, мы должны спроецировать такое же количество равных отрезков на p. Далее поступаем так же.

Трисекция сегмента

Трисекция сегмента

по

I. Инструмент-скрипт предоставляется для этой конструкции.

Первые конструкции для деления отрезка на три части выглядят следующим образом:

Для данного отрезка AB мы разместим на отрезке произвольную точку H (см. Рисунок 1).

рисунок 1

Теперь мы построим круг с центром A, который проходит через точку H (см. Рисунок 2).

рисунок 2

Выбирая произвольную точку (C) на окружности, но не на отрезке AB, мы строим луч, проходящий через точку A и точку C. Мы используем точку C как центр другого круга с тем же радиусом, что и первый, и обозначаем точка пересечения этого круга с лучом.Мы повторяем тот же процесс еще раз (так что теперь у нас есть три круга (см. Рисунок 3).

цифра 3

Обозначьте точку пересечения луча и этого третьего круга (назовите его точкой E), мы соединяем E и B отрезком. Теперь мы построим параллельные прямые, чтобы отрезать EB через две другие точки пересечения, созданные ранее (пересечения окружностей и лучей). См. Рисунок 4.

цифра 4

Точки пересечения с этими параллелями являются точками трисекции.Мы знаем, что это правда, так как мы построили точки вдоль луча на одинаковом расстоянии друг от друга, и, построив параллельные прямые, мы получили аналогичные треугольники.

II . Здесь представлен инструмент-скрипт для этой конструкции.

Сначала построим середину (m) данного отрезка AB. Нашим следующим шагом будет построение окружности с центром B и радиусом BM. Это дает нам новый отрезок AC, который имеет длину 3/2 (AB).

Затем мы будем использовать отрезок AC как радиус окружности с центром в точке C, в результате чего отрезок AD равен 2 (AC) = 3 (AB).

Если мы теперь построим круг с центром в A и через точку B, мы увидим, что он пересекается с кругом из шага выше. Обозначим эту точку пересечения E и построим перпендикуляр к AD через точку E. Пересечение этого перпендикуляра и AD мы обозначим как точку P.

Теперь мы соединяем точки A и E отрезком линии, а также точки E и D, в результате получим следующий рисунок, на котором мы видим два похожих треугольника (EAP) и (DAE)

Мы построили наше доказательство таким образом, что AD = 3AB, а с AE = AB следует, что AD = 3AE.Таким образом, EAP представляет собой увеличение масштабного коэффициента 1/3 треугольника DAE, и мы знаем, что AP соответствует стороне AE, и поэтому AP составляет 1/3 от AB. Итак, как и хотелось, мы построили отрезок, равный 1/3 длины нашего исходного отрезка, от которого мы можем разрезать отрезок AB пополам.

III. Для этой конструкции предусмотрен инструмент

Этот метод трисекции похож по своей природе на первый представленный метод, но немного отличается.

Начнем таким же образом с построения круга с центром в точке A данного отрезка AB.См. Картинку ниже.

На этом этапе доказательства мы отклоняемся от первого метода. Теперь мы построим параллельный луч через точку B, идущий в направлении, противоположном существующему лучу. Вдоль нашего нового луча мы построим те же два круга, что и на предыдущем шаге.

Теперь мы соединим точки D и E отрезком вместе с точками C и F.

Подобными треугольниками мы видим, что треугольник GFB является коэффициентом 2 расширения треугольника HEB, а треугольник HEB конгруэнтен треугольнику GCA.Таким образом, мы можем сказать, что длина AG плюс длина GB равна единице. Таким образом, мы имеем выражение AG + 2AG = AB, из которого получаем

AG = 1 / 3AB.

IV . Здесь предоставляется инструмент, использующий следующий метод.

В этом методе мы докажем, что построение центроида треугольников — это метод разбиения на три отрезка прямой. На картинке ниже мы начинаем с красного сегмента. Мы начинаем с построения двух окружностей с радиусом, равным длине сегмента, и центрируем концы сегментов.Из одной точки пересечения двух окружностей (точка A на схеме) мы протягиваем луч через одну из конечных точек исходного сегмента (создавая отрезок AB). Мы обозначим точку пересечения этого луча и одной из окружностей точкой B. Затем мы создадим сегмент от точки B до еще не использованной конечной точки исходного сегмента. Таким образом, мы фактически построили треугольник. Мы намерены показать, что этот треугольник (ABC) имеет центроид, который лежит на 1/3 длины исходного сегмента и, таким образом, делит сегмент пополам. По построению точка D является серединой отрезка AB, и поэтому наш исходный отрезок является медианой треугольника ABC. Мы знаем, что центроид треугольника ABC разделит каждую медиану в соотношении 1: 2, поэтому, построив вторую медиану, мы находим центроид треугольника ABC, а также точку, которая лежит на 1/3 пути вдоль нашего исходного сегмента ( ОКРУГ КОЛУМБИЯ). Таким образом, мы фактически создали трисечение сегмента DC.

Geometry: Answer Key

Answer Key

Здесь представлены ответы и решения для задания «Поместите меня, тренер!». ящики для упражнений, организованные по секциям.

Снятие бремени доказательств

1. Да
2. Теорема 8.3: Если два угла дополняют один и тот же угол, то эти два угла конгруэнтны.

? A и? B дополняют друг друга, а? C и? B — дополняют друг друга.

Дано:? A и? B дополняют друг друга, а? C и? B дополняют друг друга.

Докажите:? A ~ =? C.

Проверка взаимосвязи сегмента и угла

1. Если E находится между D и F, то DE = DF? EF.

E находится между D и F.

Дано: E находится между D и F

Докажите: DE = DF? EF.

	Утверждения	Причины
1.	E находится между D и F	Дано
2.	D, E и F являются коллинеарными точками, а E находится на DF	Определение между
3.	DE + EF = DF	Постулат добавления сегмента
4.	DE = DF? EF	Свойство вычитания равенства

2. Если? BD делит? ABC на два угла,? ABD и? DBC, то m? ABC = m? ABC — m? DBC.

? BD делит? ABC на два угла,? ABD и? DBC.

Дано:? BD делит? ABC на два угла,? ABD и? DBC

Докажите: m? ABD = m? ABC — m? DBC.

3. биссектриса угла уникальна.

? ABC с двумя биссектрисами:? BD и? BE.

Дано:? ABC с двумя биссектрисами:? BD и? BE.

Доказать: m? DBC = 0.

	Заявления	Причины
1.	? BD и? BE пополам? ABC	Дано
2.	? ABC ~ =? DBC и? ABE ~ =? EBC	Определение биссектрисы ангела
3.	m? ABD = m? DBC и m? ABE ~ = m? EBC	Определение ~ =
4.	m? ABD + m? DBE + m? EBC = m? ABC	Постулат добавления угла
5.	m? ABD + m? DBC = m? ABC и m? ABE + m? EBC = m? ABC	Постулат сложения углов
6.	2m? ABD = m? ABC и 2m? EBC = m? ABC	Замена (шаги 3 и 5)
7.	m? ABD = m? ABC / 2 и m? EBC = м? ABC / 2	Алгебра
8.	м? ABC / 2 + м? DBE + м? ABC / 2 = м? ABC	Замена (шаги 4 и 7)
9.	m? ABC + m? DBE = m? ABC	Алгебра
10.	м? DBE = 0	Свойство вычитания равенства

4. Дополнением прямого угла является прямой угол.

? A и? B — дополнительные углы, а? A — прямой угол.

Дано:? A и? B — дополнительные углы, а? A — прямой угол.

Докажите:? B — прямой угол.

47

1. m? 6 = 105, m? 8 = 75
2. Теорема 10. 3: Если две параллельные линии пересекаются трансверсалью, то чередующиеся внешние углы совпадают.

л? ? м, разрезанный поперечным т. д.

Дано: l? ? м, разрезанный поперечным т. д.

Доказать:? 1 ~ =? 3.

3. Теорема 10.5: Если две параллельные прямые пересекаются трансверсалью, то внешние углы на одной стороне поперечного — дополнительные углы.

л? ? м, разрезанный поперечным т. д.

Дано: l? ? м, разрезанный поперечным т. д.

Докажите:? 1 и? 3 являются дополнительными.

4. Теорема 10.9. чередующиеся внешние углы совпадают, тогда эти прямые параллельны.

Линии l и m пересекаются поперечной t.

Дано: Прямые l и m пересекаются поперечной точкой t, причем? 1 ~ =? 3.

Подтвердить: l? ? м.

5. Теорема 10.11: Если две прямые пересекаются трансверсалью так, что внешние углы на одной стороне трансверсали являются дополнительными, то эти прямые параллельны.

Линии l и m пересекаются t поперечной t.

Дано: Прямые l и m пересекаются поперечиной t,? 1 и? 3 — дополнительные углы.

Подтвердить: l? ? м.

	Заявление	Причины
1.	Линии l и m разрезаны поперечным t, а? 1 -? 3 дополнительных угла	Дано
2.	? 2 и ? 1 — дополнительные углы	Определение дополнительных углов
3.	? 3 ~ =? 2	Пример 2
4.	? 3 и? 2 — соответствующие углы	Определение соответствующих углов
5.	l? ? м	Теорема 10,7

Компания двух. Тройка — это треугольник

1. Равнобедренный тупой треугольник
2. Острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга.

? ABC — прямоугольный треугольник.

Дано:? ABC — прямоугольный треугольник, а? B — прямой угол.

Докажите:? A и? C — дополнительные углы.

	Заявление	Причины
1.	? ABC — прямоугольный треугольник, а? B — прямой угол	Дано
2.	m? B = 90	Определение прямого угла
3.	m? A + m? B + m? C = 180	Теорема 11.1
4.	m? A + 90 + m? C = 180	Замена (шаги 2 и 3)
5.	m? A + m? C = 90	Алгебра
6.	? A и? C — дополнительные углы	Определение дополнительных углов

3. Теорема 11.3: Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух несмежных внутренних углов.

? ABC с внешним углом? BCD.

	Заявление	Причины
1.	? ABC с внешним углом? BCD	Дано
2.	? DCA — прямой угол, и m? DCA = 180
3.	m? BCA + m? BCD = m? DCA	Постулат сложения углов
4.	m? BCA + m? BCD = 180	Замена (шаги 2 и 3)
5.	m? BAC + m? ABC + m? BCA = 180	Теорема 11.1
6.	m? BAC + m? ABC + m? BCA = m? BCA + m? BCD	Замена ( шаги 4 и 5)
7.	m? BAC + m? ABC = m? BCD	Свойство вычитания равенства

4.12 шт. ²

5. 30 шт. ²

6. Нет, треугольник с такими длинами сторон нарушил бы неравенство треугольника.

Конгруэнтные треугольники

1. Отражающее свойство:? ABC ~ =? ABC.

Симметричное свойство: Если? ABC ~ =? DEF, то? DEF ~ =? ABC.

Переходное свойство: Если? ABC ~ =? DEF и? DEF ~ =? RST, то? ABC ~ =? RST.

2. Доказательство: Если AC ~ = CD и? ACB ~ =? DCB, как показано на рисунке 12.5, то? ACB ~ =? DCB.

	Заявление	Причины
1.	AC ~ = CD и? ACB ~ =? DCB	Дано
2.	BC ~ = BC	Отражающее свойство
3.	? ACB ~ =? DCB	Постулат SAS

3. Если CB? AD и? ACB ~ =? DCB, как показано на рисунке 12.8, тогда? ACB ~ =? DCB.

4. Если CB? AD и? CAB ~ =? CDB, как показано на рисунке 12.10, тогда? ACB ~ =? DCB.

	Заявление	Причины
1.	CB? AD и? CAB ~ =? CDB	Дано
2.	? ABC и? DBC — прямые углы	Определение?
3.	m? ABC = 90 и m? DBC = 90	Определение прямых углов
4.	m? ABC = m? DBC	Замена (шаг 3)
5.	? ABC ~ =? DBC	Определение ~ =
6.	BC ~ = BC	Отражающее свойство ~ =
7.	? ACB ~ =? DCB	Теорема AAS

5. Если CB? AD и AC ~ = CD, как показано на рисунке 12.12, тогда? ACB ~ =? DCB.

6. Если? P ~ =? R и M — средняя точка PR, как показано на рисунке 12.17, тогда? N ~ =? Q.

Улыбающиеся треугольники

1. x = 11
2. x = 12
3. 40 и 140
4. Если? A ~ =? D, как показано на рисунке 13.6, затем ^BC / _AB = ^CE / _DE .

	Заявление	Причины
1.	? A ~ =? D	Дано
2.	? BCA и? DCE — вертикальные углы	Определение вертикальных углов
3.	? BCA ~ =? DCE	Теорема 8.1
4.	? ACB ~? DCE	AA Теорема подобия
5.	BC / AB = CE / DE	CSSTAP

5. 150 футов.

Открывающиеся двери с похожими треугольниками

1. Если линия параллельна одной стороне треугольника и проходит через середину второй стороны, то она будет проходить через середину третьей стороны.

DE? ? AC и D — середина AB.

Дано: DE? ? AC и D — середина AB.

Доказательство: E — середина BC.

	Заявление	Причины
1.	DE? ? AC и D — середина AB.	Дано
2.	DE? ? AC и пересекается поперечным? AB	Определение поперечного
3.	? BDE и? BAC — соответствующие углы	Определение соответствующих углов
4.	? BDE ~ =? BAC	Постулат 10.1
5.	? B ~ =? B	Отражающее свойство ~ =
6.	? ABC ~? DBE	AA Теорема подобия
7.		/ AB = BE / BC	CSSTAP
8.	DB = AB / 2	Теорема 9,1
9,1
9,1
9,1 AB = 1 / 2	Алгебра
10.	1 / 2 = BE / BC	Замена (шаги 7 и 9)
11.	BC = 2BE	Алгебра
Постулат добавления сегментов
13.	BE + EC = 2BE	Замена (шаги 11 и 12)
14.	EC = BE	Алгебра	155.	E — середина BC	Определение средней точки

2. AC = 4? 3, AB = 8? , RS = 16, RT = 8? 3

3. AC = 4? 2, BC = 4? 2

Размещение четырехугольника на переднем плане

1. AD = 63, BC = 27, RS = 45
2. AX, CZ и DY

Трапеция ABCD с четырьмя высотами XB CY.

3. Теорема 15.5: У воздушного змея одна пара противоположных углов конгруэнтна.

Воздушный змей ABCD.

Дано: Воздушный змей ABCD.

Докажите:? B ~ =? D.

4. Теорема 15.6. Диагонали воздушного змея перпендикулярны, а диагональ, противоположная конгруэнтным углам, делит другую диагональ пополам.

Воздушный змей ABCD.

Дано: Воздушный змей ABCD.

Подтвердите: BD? AC и BM ~ = MD.

	Заявление	Причины
1.	ABCD — воздушный змей	Дано
2.	AB ~ = AD и BC ~ = DC
3.	AC ~ = AC	Отражательная способность ~ =
4.	? ABC ~ =? ADC	Постулат SSS
5.	? BAC ~ =? DAC	CPOCT
6.	AM ~ = AM	Отражательная способность ~ =
7.	? ABM ~ =? ADM	Постулат SAS
8.	BM ~ = MD
9.	? BMA ~ =? DMA	CPOCTAC
10.	m? BMA = m? DMA	Определение ~ =
11.	? MBD — прямой угол, а m? BMD = 180	Определение прямого угла
12.	m? BMA + m? DMA = m? BMD	Постулат добавления угла
13.	m? BMA + m? DMA = 180	Замена (шаги 9 и 10)
14.	2m? BMA = 180	Замена (шаги 9 и 12)
15.	m? BMA = 90	Алгебра
16.	? BMA — прямой угол	Определение прямой угол
17.	BD? AC	Определение?

5. Теорема 15.9: Противоположные углы параллелограмма равны.

Параллелограмм ABCD.

Дано: Параллелограмм ABCD.

Докажите:? ABC ~ =? ADC.

	Заявление	Причины
1.	Параллелограмм ABCD имеет диагональ переменного тока.	Дано
2.	? ABC ~ =? CDA	Теорема 15. 7
3.	? ABC ~ =? ADC	CPOCTAC

6. 14475 единиц

7. 180 единиц ²

8. Кайт ABCD имеет площадь 48 единиц ² .

Параллелограмм ABCD имеет площадь 150 единиц ² .

Прямоугольник ABCD имеет площадь 104 единицы ² .

Ромб ABCD имеет площадь ³⁵ / ₂ шт. ² .

Анатомия круга

1. Окружность: 20? футов, длина? RST = ¹⁵⁵ / ₁₈ ? ноги
2. 9? футы ²
3. 15? футов ²
4. 28

Единичный круг и тригонометрия

1. ³ /_{? 34} = ^{3? 34} / ₃₄
2. ¹ / _{903 903 / 3}
3. коэффициент касания = ^{? 40} / ₃ , коэффициент синуса = ^{? 40} / ₇
4. коэффициент касания = ⁵ /_{? 56} = ^{5? 56} / ₅₆ , отношение косинуса = ^{? 56} / ₉

Выдержка из The Complete Idiot’s Guide to Geometry 2004, Дениз Сечей, Ph. D .. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

Иллюстративная математика

Задача

Предположим, что $ \ overline {AB} $ — это отрезок прямой, а $ D $ — точка не на $ \ overline {AB} $, как показано ниже:

Пусть $ C $ — точка, в которой $ | CD | = | AB | $, $ \ overleftrightarrow {CD} $ параллельна $ \ overleftrightarrow {AB} $, а $ ABCD $ — четырехугольник.

Нарисуйте картину этой ситуации и покажем, что $ ABCD $ — параллелограмм.

IM Комментарий

Цель этой задачи — применить определение параллелограмма в контексте геометрической конструкции. Задача также обеспечивает основу, необходимую для понимания математического определения перемещения точки отрезком линии. Используя обозначения этой задачи, если $ \ overline {AB} $ — это отрезок прямой, то перемещение точки $ D $ на отрезок $ \ overline {AB} $ можно определить в два этапа:

1. Если $ D $ лежит на $ \ overleftrightarrow {AB} $, то перевод $ D $ на $ \ overline {AB} $ — это точка $ C $, так что $ | CD | = | AB | $ и $ \ overrightarrow {DC} $, пересекающиеся с $ \ overrightarrow {AB} $, являются лучом.
2. Если $ D $ не лежит на $ \ overleftrightarrow {AB} $, то перевод $ D $ на $ \ overline {AB} $ — это точка $ C $, определенная в этой задаче. Как показано здесь, $ C $ — это точка, в которой четырехугольник $ ABCD $ является параллелограммом.

Поскольку определение носит технический характер и физическая интерпретация перевода плоскости с помощью $ \ overline {AB} $ естественна для большинства студентов, не рекомендуется представлять это техническое определение, пока студенты не приобретут большой опыт работы с геометрией в формальная установка: лучшая стратегия здесь — использовать нашу интуицию о переводах, чтобы построить параллелограмм $ ABCD $ и тем самым продемонстрировать одно из фундаментальных свойств переводов.

Геометрическое построение в этой задаче может быть выполнено несколькими способами, включая

• компьютерные технологии
• пирожковая бумага
• линейка и компас

Если используются два последних метода, то эта задача также иллюстрирует G-CO.12. Бумага Patty имеет то преимущество, что позволяет учащимся визуально видеть, складывая, что их конструкция действительно представляет собой параллелограмм.

Если учитель желает дать более открытую версию этого задания, другой запрос будет заключаться в том, чтобы дать баллы $ A, B, D $, без ограничений, если желательно, и спросить учащихся, сколько баллов $ C $ есть. так что $ ABCD $ — параллелограмм.Работа будет такой же, но когнитивные требования будут выше. Еще более общим и сложным было бы спросить, сколько параллелограммов содержит $ A $, $ B $ и $ D $, и на это будет другой ответ, а именно 6.

Учащиеся, работающие над этим заданием, будут «рассуждать абстрактно и количественно» (MP2), поскольку они интерпретируют проблему в терминах изображения, а затем используют изображение, чтобы найти рассматриваемый параллелограмм. Они также будут «разбираться в проблемах и настойчиво их решать», собирая воедино всю предоставленную информацию и выбирая $ C $, и показывая, что полученная форма представляет собой параллелограмм.

Решение

Ниже приведено изображение указанных точек $ A, B, $ и $ D $ вместе с прямой $ \ ell $, параллельной $ \ overleftrightarrow {AB} $ через $ D $:

Также помечены точки $ C $ и $ E $ на $ \ ell $, так что $ \ overline {CD} $, $ \ overline {CE} $ и $ \ overline {AB} $ все совпадают. Обратите внимание, что $ ABED $ не является четырехугольником, поскольку диагонали $ \ overline {AD} $ и $ \ overline {BE} $ пересекаются, поэтому существует только одна точка $ C $, удовлетворяющая критериям задачи.

По построению мы знаем, что $ \ overleftrightarrow {AB} $ и $ \ overleftrightarrow {CD} $ параллельны, поэтому, чтобы показать, что $ ABCD $ — параллелограмм, нам просто нужно показать, что $ \ overleftrightarrow {AD} $ параллельна $ \ overleftrightarrow {BC} $. Сегмент $ \ overline {AC} $ является поперечным для этих прямых, поэтому, если $ m (\ angle ACB) = m (\ angle CAD) $, то мы можем заключить, что $ \ overleftrightarrow {AD} $ параллельна $ \ overleftrightarrow { BC} $. Мы покажем, что $ \ треугольник ACB $ конгруэнтен $ \ треугольник CAD $, и это завершит доказательство того, что $ ABCD $ — параллелограмм.У нас есть

• $ | AB | = | CD | $ по условию,
• $ m (\ angle CAB) = m (\ angle ACD) $, поскольку это альтернативные внутренние углы для $ \ overline {AC} $, который является поперечным для параллельных прямых $ \ overleftrightarrow {AB} $ и $ \ overleftrightarrow {CD} $,
• $ \ overline {AC} $ конгруэнтно $ \ overline {CA} $, поскольку это один и тот же сегмент.