Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения  и и мы хотим найти значение .

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .

Пусть переменная  может принимать любое действительное значение, тогда на переменные  и накладываются такие ограничения: ,  ,  

Если нам известны значения  и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое  действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа  по основанию :

Итак,

Логарифмом числа  по основанию  называется показатель степени, в которую надо возвести  , чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

            ,  ,  

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция  логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(,  ,   ,  ,  

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Следующая группа свойств позволяет представить  показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента  перед знаком логарифма:

6. 

7. 

8. 

9. 

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10. 

11. 

12. (следствие из свойства 11)

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13.  

14. 

15. 

 

Частные случаи:

— десятичный логарифм

 —  натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы  применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

==(по свойству 7)=(по свойству 6) =

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

Ответ: 5,25

 

Пример 2. Вычислить:

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

Применим свойства 4 и 6:

Введем замену  

Получим:

Ответ:  1 

 

Скачать таблицу логарифм и его свойства

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Ограничения логарифма. Логарифм правила действия с логарифмами

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»

И для тех, кто «очень даже…»)

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно — уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 — 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень…

Чувствую, сомневаетесь вы… Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

И логарифм тесно взаимосвязаны. И по сути, является математической записью определения логарифма . Разберем подробно, что такое логарифм, откуда он произошел.

Рассмотрим алгебраическое действие — вычисление показателя х по заданным определенным значениям степени b и основанию а . Это задание в принципе заключается в решении уравнения a x = b , где а и b — некоторые заданные величины, x — неизвестная величина. Обратим внимание, что у данной задачи решения существуют не всегда.

Когда, к примеру, в уравнении a x = b число а положительно, а число b отрицательно , то у такого уравнения корней нет. Но если только

а и b положительны и а ≠ 1, то оно непременно имеет исключительно один единственный корень . Достаточно известный факт, что график показательной функции у = а х непременно пересекается с прямой у = b и притом исключительно в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будут корнем уравнения .

Для обозначения корня уравнения a x = b принято употреблять log a b (произносим: логарифм числа b по основанию а).

Логарифм числа b по основанию а это показатель степени , в которую нужно возвести число а , чтобы получить число b причем a > 0, a

≠ 1, b > 0.

Исходя из определения, получаем основное логарифмическое тождество :

Примеры :

Следствием основного логарифмического тождества является нижеследующее правило .

Из равенства двух вещественных логарифмов получаем равенство логарифмируемых выражений.

Действительно, когда log a b = log a с, то , откуда, b = c .

Рассмотрим, почему для логарифмического тождества взяты ограничения a > 0, a

≠ 1, b > 0 .

Первое условие a ≠ 1 .

Общеизвестно, что единица в любой степени будет единица, и равенство x = log a b может существовать лишь при b = 1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для недопущения этой неоднозначности и принимается a ≠ 1 .

Обоснуем необходимость условия a > 0 .

При a = 0 по определению логарифма может существовать только при b = 0 . И следовательно тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля

действительным числом , так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Не допустить эту неоднозначность дает условие a ≠ 0 . А при a нам бы пришлось отказаться от разбора рациональных и иррациональных значений логарифма , поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для положительных оснований. Именно по этой причине и оговорено условие a > 0 .

И заключительное условие b > 0 является следствием из неравенства a > 0 , так как x = log a b, а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов

и дадим показательные примеры решения .

Сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов .

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log a b) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения log a b = x, что равносильно a x = b, поэтому log a a x = x.

Логарифмы , примеры:

log 2 8 = 3, т.к. 2 3 = 8

log 7 49 = 2, т.к. 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

  • Основное логарифмическое тождество
    a log a b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Логарифм произведения равен сумме логарифмов
    log a (bc) = log a b + log a c

    log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

  • Логарифм частного равен разности логарифмов
    log a (b/c) = log a b — log a c

    9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

  • Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

    Показатель степени логарифмируемого числа log a b m = mlog a b

    Показатель степени основания логарифма log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    если m = n, получим log a n b n = log a b

    log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

  • Переход к новому основанию
    log a b = log c b/log c a,

    если c = b, получим log b b = 1

    тогда log a b = 1/log b a

    log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: » «. Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

    Начнем со свойства логарифма единицы . Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log a 1=0 сразу следует из определения логарифма.

    Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 3 1=0 , lg1=0 и .

    Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице , то есть, log a a=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log a a=1 .

    Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 5 5=1 , log 5,6 5,6 и lne=1 .

    К примеру, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 и .

    Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log a x+log a y =a log a x ·a log a y , а так как по основному логарифмическому тождеству a log a x =x и a log a y =y , то a log a x ·a log a y =x·y . Таким образом, a log a x+log a y =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

    Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 и .

    Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1 , x 2 , …, x n как log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Данное равенство без проблем доказывается .

    Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .

    Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .

    Приведем пример использования этого свойства логарифма: .

    Переходим к свойству логарифма степени . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log a b p =p·log a |b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .

    Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log a b , тогда b p =(a log a b) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log a b . Так мы приходим к равенству b p =a p·log a b , из которого по определению логарифма заключаем, что log a b p =p·log a b .

    Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log a b p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , откуда log a b p =p·log a |b| .

    Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня : логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .

    Доказательство базируется на равенстве (смотрите ), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени: .

    Вот пример использования этого свойства: .

    Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства log c b=log a b·log c a . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a log a b , тогда log c b=log c a log a b . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log c a log a b =log a b·log c a . Так доказано равенство log c b=log a b·log c a , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .

    Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .

    Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов . Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

    Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что log a b и log b a – . К примеру, .

    Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a : .

    Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

    Докажем, что для любых положительных чисел b 1 и b 2 , b 1 log a b 2 , а при a>1 – неравенство log a b 1

    Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 справедливо log a 1 b>log a 2 b . Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу.

    Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2 , то есть, a 1 ≥a 2 . Так мы пришли к противоречию условию a 1

Список литературы.

  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

1.9: Предел показательных функций и логарифмических функций

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    10284

    • Эта страница является черновиком и находится в активной разработке.

    Предел экспоненциальных функций

    Определение

    Величина растет линейно с течением времени, если она увеличивается на фиксированную величину с каждым временным интервалом. Величина уменьшается линейно с течением времени, если она уменьшается на фиксированную величину с каждым временным интервалом.

    Пример \(\PageIndex{1}\):

    Если вы начнете с 1000 долларов и каждый месяц откладываете 200 долларов в банку, чтобы откладывать на отпуск, то каждый месяц отпускные сбережения будут расти на 200 долларов, и через x месяцев у вас будет : Сумма = 1000 + 200x

    Определение

    Количество растет экспоненциально с течением времени, если оно увеличивается на фиксированный процент с каждым временным интервалом. Величина убывает экспоненциально с течением времени, если она уменьшается на фиксированный процент с каждым временным интервалом.

    Пример \(\PageIndex{2}\):

    Если вы начинаете с долга в 1000 долларов США и с вас взимается годовая процентная ставка в размере 24 процентов (обычная процентная ставка по кредитной карте), то сколько вы будете должны через X месяцев ? 9x\), \(b>0\), \(b≠1\), имеет следующие характеристики:

    • функция «один к одному»
    • горизонтальная асимптота: \(y=0\)
    • домен: \((–\infty, \infty)\)
    • диапазон: \((0,\infty)\)
    • x- перехват: нет
    • y- перехват: \((0,1)\)
    • увеличивается, если \(b>1\)
    • уменьшается, если \(b<1\)

    Правило: Законы экспонент

    Для любых констант \(a>0\),\(b>0\), и для всех x и y, 93)\)

    Число e

    Особый тип экспоненциальной функции часто используется в реальных приложениях. Чтобы описать это, рассмотрим следующий пример экспоненциального роста, который возникает из начисления процентов на сберегательном счете. Предположим, человек вкладывает \(P\) долларов на сберегательный счет с годовой процентной ставкой \(r\), начисляемой ежегодно. Сумма денег через 1 год равна

    \(A(1)=P+rP=P(1+r)\).

    Сумма денег через \(2\) лет равна 9m\) приближается к некоторому числу как \(m→∞\). Мы называем этот номер \(e\). С точностью до шести знаков после запятой

    \(e≈2,718282\).

    Буква \(e\) была впервые использована для обозначения этого числа швейцарским математиком Леонардом Эйлером в 1720-х годах. Хотя Эйлер не открыл это число, он показал много важных связей между \(e\) и логарифмическими функциями. Мы до сих пор используем обозначение \(e\) в честь работы Эйлера, потому что оно появляется во многих областях математики и потому что мы можем использовать его во многих практических приложениях. 9x\) имеет касательную с наклоном \(1\) в точке \(x=0\).

    Пример \(\PageIndex{3}\): Начисление процентов

    Предположим, что \(500$\) инвестируется на счет с годовой процентной ставкой \(r=5,5%\), непрерывно начисляемой.

    1. Пусть \(t\) обозначает количество лет после первоначальных инвестиций, а A(t) обозначает сумму денег на счете в момент времени \(t\). Найдите формулу для \(A(t)\).
    2. Найдите сумму денег на счете через \(10\) лет и через \(20\) лет. 9Икс\). Используя этот факт и графики экспоненциальных функций, мы построили графики функций \(log_b\) для нескольких значений b>1 (рисунок).

      Рисунок \(\PageIndex{5}\): Графики \(y=log_b(x)\) показаны для \(b=2,e,10\).

      Прежде чем решать некоторые уравнения с экспоненциальными и логарифмическими функциями, давайте рассмотрим основные свойства логарифмов.

      Свойства логарифмов

      Если \(a,b,c>0,b≠1\) и \(r\) — любое действительное число, то

      1. \(log_b(ac)=log_b(a) +log_b(c)\) (свойство продукта) 93)−4\ln (x)=1\).

        Подсказка

        Сначала используйте свойство степени, затем используйте свойство произведения логарифмов.

        Ответить

        \(х=\dfrac{1}{e}\)

        Вычисляя логарифмическую функцию с помощью калькулятора, вы, возможно, заметили, что единственными вариантами являются \(log_10\) или log, называемый десятичным логарифмом , или \ln , который является натуральным логарифмом. Однако экспоненциальные функции и логарифмические функции могут быть выражены через любое желаемое основание \(b\). Если вам нужно использовать калькулятор для вычисления выражения с другим основанием, вы можете сначала применить формулы изменения основания. Используя эту замену базы, мы обычно записываем данную экспоненциальную или логарифмическую функцию в терминах натуральных экспоненциальных и натуральных логарифмических функций. 9ж\). Поскольку экспоненциальные функции взаимно однозначны, мы можем заключить, что \(u⋅v=w\).

        \(\square\)

        Пример \(\PageIndex{6}\): изменение базы

        Используйте вычислительную утилиту для вычисления \(log_37\) с помощью представленной ранее формулы изменения базы.

        Решение

        Используйте второе уравнение с \(a=3\) и \(e=3\): \(log_37=\dfrac{\ln 7}{\ln 3}≈1,77124\).

        Упражнение \(\PageIndex{6}\)

        Используйте формулу изменения базы и вычислительную утилиту для оценки \(log_46\).

        Подсказка

        Используйте замену основания, чтобы переписать это выражение в терминах выражений, включающих функцию натурального логарифма.

        Ответить

        \(1.29248\)

        Пример \(\PageIndex{7}\): Шкала землетрясений Рихтера

        Рисунок \(\PageIndex{6}\): (кредит: модификация работы Робба Ханнавакера, NPS)

        В 1935 году Чарльз Рихтер разработал шкала (теперь известная как шкала Рихтера) для измерения магнитуды землетрясение . Шкала представляет собой логарифмическую шкалу с основанием 10, и ее можно описать следующим образом: рассмотрим одно землетрясение с магнитудой \(R_1\) по шкале Рихтера и второе землетрясение с магнитудой \(R_2\) по шкале Рихтера. Предположим, \(R_1>R_2\), что означает, что землетрясение с магнитудой \(R_1\) сильнее, но насколько оно сильнее, чем другое землетрясение? Одним из способов измерения интенсивности землетрясения является использование сейсмографа для измерения амплитуды волн землетрясения. Если \(A_1\) — амплитуда, измеренная для первого землетрясения, а \(A_2\) — амплитуда, измеренная для второго землетрясения, то амплитуды и магнитуды двух землетрясений удовлетворяют следующему уравнению:0024

        \(R_1−R_2=log_{10}(\dfrac{A1}{A2})\).

        Рассмотрим землетрясение силой 8 баллов по шкале Рихтера и землетрясение силой 7 баллов по шкале Рихтера. Затем

        \(8−7=log_{10}(\dfrac{A1}{A2})\).

        Следовательно,

        \(log_{10}(\dfrac{A1}{A2})=1\),

        , что означает \(A_1/A_2=10\) или \(A_1=10A_2\). Поскольку \(A_1\) в 10 раз больше \(A_2\), мы говорим, что первое землетрясение в 10 раз сильнее второго. С другой стороны, если одно землетрясение оценивается в 8 баллов по шкале Рихтера, а другое — в 6 баллов, то относительная интенсивность двух землетрясений удовлетворяет уравнению

        \(log_{10}(\dfrac{A1}{A2})=8−6=2\).

        Следовательно, \(A_1=100A_2\). То есть первое землетрясение в 100 раз сильнее второго.

        Как мы можем использовать логарифмические функции для сравнения относительной силы землетрясения силой 9 баллов в Японии в 2011 году с землетрясением силой 7,3 балла на Гаити в 2010 году?

        Решение

        Чтобы сравнить землетрясения в Японии и на Гаити, мы можем использовать представленное ранее уравнение:

        \(9{1.7}\), и делаем вывод, что землетрясение в Японии было примерно в 50 раз более интенсивным, чем землетрясение на Гаити.

        Упражнение \(\PageIndex{7}\)

        Сравните относительную силу землетрясения магнитудой \(8,4\) с землетрясением магнитудой \(7,4\).

        Подсказка

        \(R_1−R_2=log_{10}(A1/A2)\).

        Ответить

        Землетрясение магнитудой \(8,4\) примерно в \(10\) раз сильнее, чем землетрясение магнитудой \(7,4\). 9m\) приближается к некоторому действительному числу; мы определяем это действительное число как e; значение e приблизительно равно \(2,718282\)

        Авторы и авторство

        1. Наверх
          • Была ли эта статья полезной?
          1. Тип изделия
            Раздел или страница
            Лицензия
            CC BY-NC-SA
            Показать страницу TOC
            да
            Сцена
            Проект
          2. Теги
            1. расчет: да
            2. юпитер: питон

          ПРЕДЕЛЫ ЛОГАРИТМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

          Логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функцией. Логарифмическая функция определяется следующим образом:

          y=logax тогда и только тогда, когда x=ay ; для всех x>0, a>0 и a≠1

          Обозначим логарифмическую функцию как

          f(x)=logax   , где a — основание логарифма.

          Есть две наиболее часто используемые базы. Они имеют основание 10 и основание e.

          Когда мы используем основание 10, функция известна как десятичная логарифмическая функция и представляется как f(x)=log10x

          Когда мы используем основание e, функция известна как функция натурального логарифма и представляется как f(x)=logex

          График логарифмической функции выглядит следующим образом:

          Методы нахождения предела логарифмическая функция обсуждается ниже.

          ПРЕДЕЛЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ-

          При вычислении предела логарифмической функции используются два основных свойства. Результаты этих двух свойств можно напрямую использовать в качестве формул для нахождения предела. Два свойства:

          1. x→0loge(1+x)x=1

          2. x→0logb(1+x)x=1logeb

          Мы также можем вычислить предел логарифмической функции, используя правило Госпиталя. Обсудим это правило подробнее.

          Правило Ло Хоспиталя :

          В соответствии с этим правилом для дифференцируемых функций f и g на открытом интервале I за исключением, возможно, точки c, содержащейся в I, если

          x→cf(x)=x→cg(x )=0 или ∞ или -∞ и g'(x)≠0 для всех x в I с x≠c и x→cf'(x)g'(x) существует, то

          x→cf(x)g(x)=x→cf'(x)g'(x)

          Дифференцирование числителя и знаменателя обычно упрощает и преобразует его в форму, которую можно оценить непосредственно.

          ВАЖНЫЕ ПРИМЕРЫ

          1. Вычислить x→elogex-2 / x-2e

          Чтобы оценить этот предел, нам нужно применить правило L’Hospital.

          Используя правило Л’Госпиталя, мы получаем

          НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ЛОГАРИТМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ:

          При работе над нахождением пределов логарифмических функций рекомендуется помнить о некоторых важных пределах. Это ускорит и упростит расчеты. Ниже приведены некоторые важные ограничения.

          АЛГЕБРА ПРЕДЕЛОВ-

          При решении сложных задач на нахождение пределов очень важно понимать алгебру пределов. Таким образом, проблема разбивается на более простые пределы, что облегчает ее решение. Обсудим несколько теорем о пределах и функциях, которые помогают решить проблемы пределов.

            Частный случай – если g является постоянной функцией, такой что g(x)=λ, для некоторого действительного числа λ, то

           x→a[λ f(x)]= λ x→af(x)   

          ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

          Обратные экспоненциальные функции также известны как логарифмические функции. Нахождение предела логарифмических функций может стать сложной задачей без необходимых знаний и понимания.