Неравенства примеры с решением 10 класс: решение неравенств 10 класс

Линейные неравенства, примеры, решения

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения.  Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Определение 1

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a·x+b>0, когда вместо > используется любой знак неравенства <, ≤, ≥, а и b являются действительными числами, где a≠0.

Определение 2

Неравенства a·x<c или a·x>c, с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0, тогда строгое неравенство вида 0·x>c и 0·x<c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a·x≤c, a·x≥c. Такое уравнение считается линейным.

Их различия заключаются в:

• форме записи a·x+b>0 в первом, и a·x>c – во втором;
• допустимости равенства нулю коэффициента a, a≠0 — в первом, и a=0 — во втором.

Считается, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0·x+5>0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем  случай а=0 не подойдет.

Определение 3

Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x  считаются неравенства вида a·x+b<0, a·x+b>0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

Исходя из правила, имеем, что 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, -23·x-2<0 являются примерами линейных неравенств.

  А неравенства такого плана, как 5·x>7, −0,5·y≤−1,2 называют сводящимися к линейному.

Как решить линейное неравенство

Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x<p (≤, >, ≥), p являющееся некоторым числом, при a≠0, а вида a<p (≤, >, ≥) при а=0.

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Чтобы решить линейное неравенство вида a·x+b<0 (≤, >, ≥), необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

Определение 4

Алгоритм решение линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0

• число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a·x<−b (≤, >, ≥);
• будет производиться деление обеих частей неравенства  на число не равное 0. Причем , когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Пример 1

Решить неравенство вида 3·x+12≤0.

Решение

Данное линейное неравенство имеет a=3 и b=12. Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3·x≤−12. Необходимо произвести деление обеих частей на 3. Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3·x):3≤(−12):3, что даст результат x≤−4.

Неравенство вида x≤−4 является равносильным. То есть решение для 3·x+12≤0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4. Ответ записывается в виде неравенства x≤−4, или числового промежутка вида (−∞, −4].

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3·x+12≤0;  3·x≤−12;  x≤−4.

Ответ: x≤−4 или (−∞, −4].

Пример 2

Указать все имеющиеся решения неравенства −2,7·z>0.

Решение

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется -2,7, а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число -2,7. Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7), и дальше z<0.

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

−2,7·z>0; z<0.

Ответ: z<0 или (−∞, 0).

Пример 3

Решить неравенство -5·x-1522≤0.

Решение

По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x, которое равняется -5, с коэффициентом b, которому соответствует дробь -1522. Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести -1522 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на -5, изменить знак неравенства:

-5·x≤1522;-5·x:-5≥1522:-5x≥-322

При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 1522:-5=-1522:5, после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число -1522:5=-1522·15=-15·122·5=-322.

Ответ: x≥-322 и [-322+∞).

Рассмотрим случай, когда а=0. Линейное выражение вида a·x+b<0 является неравенством 0·x+b<0, где на рассмотрение берется неравенство вида b<0, после чего выясняется, оно верное или нет.

Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b<0, потому что при подстановке любого t вместо переменной x, тогда получаем 0·t+b<0, где b<0. В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b<0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥):

Определение 5

Числовое неравенство вида b<0 (≤, >, ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

Пример 4

Решить неравенство 0·x+7>0.

Решение

Данное линейное неравенство 0·x+7>0 может принимать любое значение x. Тогда получим неравенство вида 7>0. Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

Ответ: промежуток (−∞, +∞).

Пример 5

Найти решение неравенства 0·x−12,7≥0.

Решение

При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид −12,7≥0. Оно является неверным. То есть 0·x−12,7≥0 не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение линейных неравенств , где оба коэффициента равняется нулю.

Пример 6

Определить не имеющее решение неравенство из 0·x+0>0 и 0·x+0≥0.

Решение

При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0>0 и 0≥0. Первое является неверным. Значит, 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

Ответ: неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет решения.

Методом интервалов

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0. Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

Определение 6

Метод интервалов – это:

• введение функции y=a·x+b;
• поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
• определение знаков для понятия их на промежутках.

Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 с помощью метода интервалов:

• нахождение нулей функции y=a·x+b, чтобы решить уравнение вида a·x+b=0. Если a≠0, тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х0;
• построение координатной прямой с изображением точки с координатой х0, при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
• определение знаков функции y=a·x+b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
• решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Пример 6

Решить неравенство −3·x+12>0.

Решение

Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения −3·x+12=0. Получаем, что −3·x=−12, x=4. Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4. Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (−∞, 4), необходимо произвести вычисление функции y=−3·x+12 при х=3. Отсюда получим, что −3·3+12=3>0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак из промежутка (4, +∞), тогда  подставляем значение х=5. Имеем, что −3·5+12=−3<0. Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Мы выполняем решение неравенства со знаком >, причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (−∞, 4) или x<4.

Ответ: (−∞, 4) или  x<4.

Графическим способом

Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть  на примере 4 линейных неравенства: 0,5·x−1<0, 0,5·x−1≤0, 0,5·x−1>0 и 0,5·x−1≥0. Их решениями будут значения x<2, x≤2, x>2 и x≥2. Для этого изобразим график линейной функции y=0,5·x−1, приведенный ниже.

Видно, что

Определение 7

• решением неравенства 0,5·x−1<0 считается промежуток, где график функции y=0,5·x−1 располагается ниже Ох;
• решением 0,5·x−1≤0 считается промежуток, где функция y=0,5·x−1 ниже Ох или совпадает;
• решением 0,5·x−1>0 считается промежуток, гре функция располагается выше Ох;
• решением 0,5·x−1≥0 считается промежуток, где график выше Ох или совпадает.

Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y=a·x+b, а правая – y=0, причем совпадает с Ох.

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.

Определение 8

Построение графика функции y=a·x+b производится:

• во время решения неравенства a·x+b<0 определяется промежуток, где график изображен ниже Ох;
• во время решения неравенства a·x+b≤0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси Ох или совпадает;
• во время решения неравенства a·x+b>0 производится определение промежутка, где график изображается выше Ох;
• во время решения неравенства a·x+b≥0 производится определение промежутка, где график находится выше Ох или совпадает.

Пример 7

Решить неравенство -5·x-3>0 при помощи графика.

Решение

Необходимо построить график линейной функции -5·x-3>0. Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения  координат точки его пересечения с Ох-5·x-3>0 получим значение -35. Изобразим графически.

Решение неравенства со знаком >, тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше Ох. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

Необходимый промежуток является частью Ох красного цвета. Значит, открытый числовой луч -∞, -35 будет решением неравенства.  Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки -35 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с Ох.

Ответ: -∞, -35 или x<-35.

Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y=0·x+b, то есть y=b. Тогда прямая будет параллельна Ох или совпадающей при b=0. Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

Пример 8

Определить из неравенств 0·x+7<=0, 0·x+0≥0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Представление y=0·x+7 является y=7, тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной Ох и находящейся выше Ох. Значит, 0·x+7<=0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

График функции y=0·x+0, считается y=0, то есть прямая совпадает с Ох. Значит, неравенство 0·x+0≥0 имеет множество решений.

Ответ: второе неравенство имеет решение при любом значении x.

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, x-35-2·x+1>27·x.

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки  и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства 5−2·x>0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид −2·x+5>0, а для приведения второго получаем, что 7·(x−1)+3≤4·x−2+x. Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7·x−7+3≤4·x−2+x 7·x−4≤5·x−2 7·x−4−5·x+2≤0 2·x−2≤0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства  такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Определение 9

• раскрыть скобки;
• слева собрать переменные, а справа числа;
• привести подобные слагаемые;
• разделить обе части на коэффициент при x.

Пример 9

Решить неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5·x+15+x≤6·x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6·x+15≤6·x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0.   Отсюда имеет неравенство вида 32≤0 из полученного при вычислении 0·x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 52·x−1≥1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2·x−1≥0. Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида. 

Метод интервалов — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим неравенство:

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида  .

, где  и  — корни квадратного уравнения .

Получим:

Рисуем ось X и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя и  — выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя).

Напомним, что мы изображаем точку на числовой прямой выколотой (пустой), если соответствующее значение переменной никак не может быть решением неравенства. В нашем примере точки и выколотые, потому что в них знаменатель обращается в ноль.

Нули числителя и  — закрашены, так как неравенство нестрогое. При  и  наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось X на 5 промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из «скобок» отрицательная. Левая часть имеет знак .

Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .

. Возьмем . При выражение положительно — следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .

При  левая часть неравенства отрицательна. 

И, наконец, . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая «скобочка» положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .

Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:

Ответ: .

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

, или , или , или

(в левой части — дробно-рациональная функция, в правой — нуль).

Затем — отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого — записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

2. Рассмотрим еще одно неравенство:

Решение:

Снова расставляем точки на оси X. Точки и  — выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка  — тоже выколота, поскольку неравенство строгое, и значение переменной не может быть решением неравенства.

При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :

При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :

При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :

Наконец, при все множители положительны, и левая часть имеет знак :

Ответ: .

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку 2 «ответственный» за неё множитель не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель  стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку  знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

Решение:

Левая часть та же, что и в предыдущем примере. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю — следовательно, эта точка является решением.

Ответ: .

В задачах на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

Решение:

Квадратный трехчлен  на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно — положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех .

Придём к равносильному неравенству:

Решим неравенство методом интервалов. Действуем по алгоритму: числитель левой части равен нулю при а знаменатель обращается в ноль при . Отметим эти точки на координатной прямой. Точки выколоты, потому что неравенство строгое. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Найдем знаки на каждом из интервалов. На крайнем правом знак положителен, а дальше знаки чередуются.

Нам нужен «интервал со знаком минус», то есть такой, где Выпишем ответ.

Ответ:

Обратите внимание — мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

Решение:

Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину — знак неравенства меняется.

Мы поступим по-другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

Применим метод интервалов.

Действуем по алгоритму. Отметим на координатной прямой точки и . Они выколотые, потому что неравенство строгое. Эти точки разбивают ось Х на три интервала. Расставим знаки на каждом из них.

Ответ:

6. Решите неравенство:

Решение:

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю и преобразуем числитель:

Применим метод интервалов:

Числитель равен нулю при Знаменатель обращается в ноль при или . Неравенство строгое, поэтому все эти точки на числовой оси отмечаем как пустые.

Если , то . Далее знаки чередуются.

Нам нужны «интервалы со знаком минус». Выпишем их и получим ответ.

Ответ:

7. Решите неравенство

Решение:

Приведем неравенство к виду:

Для этого все перенесем в левую часть, приведем к общему знаменателю и разложим числитель и знаменатель на множители. Применяем формулу разности квадратов и формулу разложения квадратного трехчлена на множители

Получим:

Найдем нули числителя и знаменателя и отметим их на числовой оси:

Выпишем интервалы, где неравенство выполняется, и получим ответ.

Ответ:

8. Решите неравенство:

Решение:

Разложим левую часть неравенства на множители.

Для этого вынесем общий множитель за скобки, а затем воспользуемся формулой:

Получим:

Применим метод интервалов.

Левая часть неравенства обращается в ноль, если , или . Нанесем эти точки на координатную прямую. Все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое, в нем присутствует знак «меньше или равно».

Ответ:

9. Решите неравенство:

Решение:

Разложим числитель на множители с помощью группировки:

Знаменатель тоже разложим на множители:

Неравенство примет вид:

Мы видим, что числитель равен нулю при

Знаменатель равен нулю при . Множитель стоит в числителе и в знаменателе, и он не может равняться нулю.

Отметим полученные точки на координатной прямой. Две из них закрашены (это 3 и 1), а две нет (это -1 и -2). Найдем знаки на каждом промежутке.

При переходе через точку знак не меняется, так как множитель присутствует и в числителе, и в знаменателе.

Выпишем ответ.

Ответ:

10. Решите неравенство:

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Напомним, что выражение мы разложили на множители, решив квадратное уравнение:

Неравенство примет вид:

Воспользуемся методом интервалов.

Числитель дроби в левой части неравенства равен нулю, если Знаменатель обращается в ноль, если или . Отметим эти точки на координатной прямой и определим знаки на интервалах.

Ответ:

11. Решите неравенство:

Решение:

Можно сразу применить метод интервалов.

Но лучше, чтобы не запутаться со знаками, умножить обе части неравенства на (-1) и не забыть поменять знак неравенства на противоположный.

Теперь применим метод интервалов.

Отметим на координатной прямой нули числителя и знаменателя и определим знаки на интервалах.

Обратите внимание, что знак не меняется при переходе через точку , так как множитель входит в выражение в левой части неравенства в четной степени.

Ответ:

12. Решите неравенство:

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Сократим на множитель при условии, что .

Здесь мы действуем чуть иначе, чем в задаче 9.

Неравенство равносильно системе:

Решаем второе неравенство системы методом интервалов:

Второму неравенству удовлетворяют точки .

Точка в этот промежуток не входит.

Ответ:

13. Решите неравенство:

Решение:

Разложив числитель на множители, получим:

Применим метод интервалов.

Отметим на числовой оси точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль. Обратите внимание, что точки -1 и 5 закрашены, а точки 2 и 4 пустые.

Определим знаки на интервалах.

Знак не меняется при переходе через точку , так как множитель входит в выражение в левой части неравенства в четной степени. При переходе через точку 4 знак меняется, степень соответствующего множителя нечетная.

В ответе запишем интервалы, на которых неравенство выполняется.

Ответ:

14. Решите неравенство:

Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения: суммы и разности кубов, разности квадратов.

Кажется, что неравенство сложное. Попробуем разложить на множители выражения и

Оказывается, что дискриминанты соответствующих квадратных уравнений отрицательны, поэтому и при всех х.

Разделим обе части неравенства на эти положительные выражения.

Получим:

Неравенство равносильно системе:

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

Его решением является промежуток [1;4], причем точка в этот промежуток не входит.

Ответ:

Мы показали на различных примерах, как применяется метод интервалов.

Сделаем вывод:
Метод интервалов помогает решать дробно-рациональные неравенства по алгоритму. Правила просты: приводим неравенство к такому виду, что в его левой части – произведение множителей или дробь, а в правой – ноль. Находим точки, в которых левая часть обращается в ноль или не определена. Отмечаем на числовой оси эти точки. Они разбивают числовую ось (или координатную прямую) на интервалы, на каждом из которых функция в левой части неравенства сохраняет свой знак. Определяем знаки на интервалах, помня о правилах чередования знаков. И записываем ответ.

---

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Метод интервалов» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.03.2023

4.7 Решение линейных неравенств | Уравнения и неравенства

Предыдущий 4.6 Буквенные уравнения

Следующий 4.8 Краткое содержание главы

4.7 Решение линейных неравенств (EMA3H)

Линейное неравенство похоже на линейное уравнение в том, что наибольший показатель степени переменной равен \(\текст 1}\). Ниже приведены примеры линейных неравенств.

\начать{выравнивать*} 2х+2&\ле 1\ \frac{2 — x}{3x + 1} & \ge 2 \\ \frac{4}{3}x — 6 & < 7x + 2 \конец{выравнивание*}

Методы, используемые для решения линейных неравенств, аналогичны тем, которые используются для решения линейных уравнений. Единственный разница возникает, когда есть умножение или деление, которое включает знак минус. Например, мы знайте, что \(8>6\). Если обе части неравенства разделить на \(-\text{2}\), то получим \(-4>-3\), что неверно. Следовательно, знак неравенства необходимо поменять местами, что дает \(-4<-3\).

Чтобы сравнить неравенство с нормальным уравнением, мы сначала решим уравнение.

Решите \(2x + 2 = 1\):

\начать{выравнивать*} 2х+2&=1\ 2х & = 1 — 2 \ 2х&=-1\ х & = -\фракция{1}{2} \конец{выравнивание*}

Если мы представим этот ответ на числовой прямой, мы получим:

Теперь найдем \(x\) в неравенстве \(2x + 2 \le 1\):

\начать{выравнивать*} 2х+2&\ле 1\ 2x&\le 1 — 2\ 2х&\ле-1\ х & \ le — \ гидроразрыва {1} {2} \конец{выравнивание*}

Если мы представим этот ответ в числовой строке, мы получим:

Мы видим, что для уравнения существует только одно значение \(х\), для которого уравнение истинно. Однако, для неравенства существует диапазон значений, для которых неравенство верно. Это главное отличие между уравнением и неравенством.

Помните: когда мы делим или умножаем обе части неравенства на отрицательное число, направление изменения неравенства. Например, если \(x<1\), то \(-x>-1\). Также обратите внимание, что мы не можем разделить или умножить на переменную.

Следующее видео знакомит с линейными неравенствами.

Видео: 2FGH

Интервальное обозначение (EMA3J)

Примеры:

\(\влево(4;12\вправо)\)	Круглые скобки означают, что номер не включен. В этот интервал входят все действительные числа больше, но не равны \(\text{4}\) и меньше, но не равны \(\текст{12}\).
\(\влево(-\infty ;-1\вправо)\)	Круглые скобки всегда используются для положительной и отрицательной бесконечности. Этот интервал включает все действительные числа меньше, но не равны \(-\text{1}\).
\(\влево[1;13\вправо)\)	Квадратная скобка означает, что число включено. В этот интервал входят все действительные числа больше или равные \(\text{1}\) и меньше, но не равные \(\текст{13}\).

Важно отметить, что это обозначение может использоваться только для представления интервала действительных чисел.

Мы представим приведенный выше ответ в интервальной нотации как \(\left(-\infty ; -\frac{1}{2}\right]\)

Рабочий пример 17: Решение линейных неравенств

Найдите \(r\):

\[6 — г > 2\]

Ответ представить в числовой строке и в интервальной записи.

Переставить и решить для \(r\)

\начать{выравнивать*} -r & > 2 — 6 \\ -r & > -4 \конец{выравнивание*}

Умножить на \(-\text{1}\) и поменять знак неравенства

\[г < 4\]

Представьте ответ в числовой строке

Представить ответ в виде интервала

\[\влево(-\infty ; 4\вправо)\]

Рабочий пример 18: Решение линейных неравенств

Найдите \(q\):

\[4q + 3 < 2(q + 3)\]

Ответ представить в числовой строке и в интервальной записи.

Развернуть скобу

\начать{выравнивать*} 4q + 3 & < 2(q + 3) \\ 4q + 3 & < 2q + 6 \end{выравнивание*}

Переставить и решить для \(q\)

\начать{выравнивать*} 4q + 3 & < 2q + 6 \\ 4q - 2q & < 6 - 3 \\ 2q & < 3 \конец{выравнивание*}

Разделить обе части на \(\text{2}\)

\начать{выравнивать*} 2q & < 3 \\ д & < \ гидроразрыва {3} {2} \end{выравнивание*}

Представьте ответ в числовой строке

Представить ответ в виде интервала

\(\left(-\infty ; \frac{3}{2}\right)\)

температура текст

Рабочий пример 19: Решение сложных линейных неравенств

Найдите \(x\):

\[5 \le x + 3 < 8\]

Ответ представить в числовой строке и в интервальной записи.

Вычесть \(\text{3}\) из всех частей неравенства

\[\begin{массив}{ccccc} 5 — 3 &\le&x + 3 — 3 &< & 8 - 3 \\ 2 & \le & x & < & 5 \конец{массив}\]

Представьте ответ в числовой строке

Представить ответ в виде интервала

\(\влево[2 ; 5\вправо)\)

температура текст

Учебник Упражнение 4.6

\(x < -1 \text{ и } x \ge 6 ; x \in \mathbb{R}\)

\(3 < x < 6 ; x \in \mathbb{R}\)

\(x \neq 3 ; x \neq 6 ; x \in \mathbb{R}\)

\(x > -10 ; x \in \mathbb{R}\)

\(3x + 4 > 5x + 8\)

\начать{выравнивать*} 3х+4&>5х+8\ 3х — 5х & > 8 — 4\ -2х > 4\ 2х<-4\ х < -2 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-\infty; -2)\)

\(3(x — 1) — 2 \le 6x + 4\)

\начать{выравнивать*} 3(х — 1) — 2 & \le 6x + 4 \\ 3х — 5 и \ле 6х + 4\ 3х — 6х &\ле 4+5\ -3х\ле 9\ х \ge -\frac{9}{3} \\ х \ гэ -3 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([-3; \infty)\)

\(\dfrac{x — 7}{3} > \dfrac{2x — 3}{2} \)

\начать{выравнивать*} \frac{x — 7}{3} & > \frac{2x — 3}{2} \\ 2(х — 7) & > 3(2х — 3) \\ 2х — 14 > 6х — 9\ -4х > 5\ х < -\фракция{5}{4} \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-\infty; -\frac{5}{4})\)

\(-4(x — 1) < x + 2\)

\начать{выравнивать*} -4 (х — 1) & < х + 2 \\ -4x + 4 & < х + 2 \\ -5х < -2\ х > \ гидроразрыва {2} {5} \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((\frac{2}{5}; \infty)\)

\(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1} {3}(x — 1) \ge \dfrac{5}{6}x — \dfrac{1}{3}\)

\начать{выравнивать*} \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}(x — 1) & \ge \frac{5}{6}x — \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x — \frac{1}{3} & \ge \frac{5}{6}x — \frac{1}{3} \ \ \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x — \frac{5}{6}x & \ge \frac{1}{3} — \frac{1}{3} \ \ \frac{3}{6}x + \frac{2}{6}x — \frac{5}{6}x & \ge 0 \\ 0x\ge 0 \конец{выравнивание*}

Неравенство верно для всех действительных значений \(x\).

\(-2 \le x — 1 < 3\)

\[\begin{массив}{ccccc} -2 & \le & x — 1 & < & 3 \\ -1 & \le & x & < & 4 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([-1; 4)\)

\(-5 < 2x - 3 \le 7\)

\[\begin{массив}{ccccc} -5&<&2x - 3&\le&7\ -2 & < & 2x & \le & 10 \\ -1 & < & х & \ле & 5 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-1; 5]\)

\(7(3x + 2) — 5(2x — 3) > 7\)

\начать{выравнивать*} 7 (3x + 2) — 5 (2x — 3) & > 7 \\ 21х + 14 — 10х + 15 и > 7\ 11х&>-22\ х & > -2 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-2; \infty)\)

\(\dfrac{5x — 1}{-6} \ge \dfrac{1 — 2x}{ 3}\)

\начать{выравнивать*} \frac{5x — 1}{-6} & \ge \frac{1 — 2x}{3} \\ 5x — 1 & \ge -2(1 — 2x) \\ 5x — 1 & \ge -2 + 4x \ 5x — 4x & \ge -1\ х & \ ge -1 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([-1; \infty)\)

\(3 \ле 4 — х \ле 16\)

\[\begin{массив}{ccccc} 3&\ле&4 — х&\ле&16\ -1&\le&-x&\le&12\ 1 & \ge & x & \ge & -12 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([1; 12]\)

\(\dfrac{-7y}{3} — 5 > -7\)

\начать{выравнивать*} \frac{-7y}{3} — 5 & > -7 \\ -7у — 15 и > -21\ -7у&>-6\ у & < \ гидроразрыва {6} {7} \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-\infty;\frac{6}{7})\)

\(1 \le 1 — 2y < 9\)

\[\begin{массив}{ccccc} 1&\le&1 — 2у&<&9\ 0&\le&-2y&<&8\ 0 & \ge & y & > & -4 \\ -4 & < & у & \ле & 0 \конец{массив}\]

Представлено в числовой строке:

В интервальных обозначениях: \((-4;0]\)

\(-2 < \dfrac{x - 1}{-3} < 7\)

\[\begin{массив}{ccccc} -2 & < & \dfrac{x - 1}{-3} & < & 7 \\ 6&>&х-1&>&-21\ 7&>&х&>&-20\ -20 & < & х & < & 7 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-20;7)\)

\(2x -1 < 3(x+11)\)

\begin{align*} 2 х -1 &< 3(х +11) \\ 2 х -1 &< 3 х +33 \\ 2 х -3 х &< 33 +1 \ -1 х &< 34\ \поэтому х &> -34 \end{выравнивание*}

\[\left(-34;\infty\right)\]

\(x -1 < -4(x-6)\)

\begin{align*} х-1 &<-4(х-6) \\ х -1 &< -4 х +24 \\ х +4 х &< 24 +1 \\ 5 х &< 25\ \поэтому х &< 5 \end{align*}

\[\left(-\infty;5\right)\]

\(\dfrac{x-1}{8} \leq \dfrac{2(x-2)}{3}\)

\начать{выравнивать*} \frac{x-1}{8} &\leq \frac{2(x-2)}{3} \\ 3(х-1) &\leq 16(х-2) \\ 3x-3 &\leq 16x-32\ 3x -16x &\leq -32 +3\ -13x &\leq -29\ \поэтому х &\geq\frac{29}{13} \конец{выравнивание*}

\(\; x \in \left[ \frac{29}{13} ;\infty\right)\).

\(\dfrac{x+2}{4} \leq \dfrac{-2(x-4)}{7}\)

\начать{выравнивать*} \frac{x+2}{4} &\leq \frac{-2(x-4)}{7} \\ 7(х+2) &\leq -8(х-4) \\ 7x+14 &\leq -8x+32 \\ 7x +8x &\leq 32 -14\ 15x &\leq 18\\ \поэтому х &\leq\frac{6}{5} \конец{выравнивание*}

\(\; x \in \left(-\infty; \frac{6}{5} \right]\).

\(\dfrac{1}{5}x — \dfrac{5}{ 4}(x+2) > \dfrac{1}{4}x + 3\)

\begin{align*} \frac{1}{5}x — \frac{5}{4}(x+2) &> \frac{1}{4}x +3 \\ 4x — 25(x+2) &> 5x +60 \\ 4х — 25х-50 &> 5х +60\ 4х — 25 х -5х &> 60 + 50\\ -26x &> 110\\ \следовательно, x &< -\frac{55}{13} \end{выравнивание*}

Интервал: \[\left(-\infty;-\frac{55}{13}\right)\]

\(\dfrac{1}{5}x — \dfrac{2}{5}(x+3) \geq \dfrac{4}{2}x +3\)

\begin{align*} \frac{1}{5}x — \frac{2}{5}(x+3) &\geq \frac{4}{2}x +3 \\ 2x — 4(x+3) &\geq 20x +30 \\ 2x — 4x-12 &\geq 20x+30\ 2x — 4 x -20x &\geq 30 + 12\\ -22x &\geq 42\\ \поэтому x &\leq -\frac{21}{11} \end{выравнивание*}

Интервал: \[\left(-\infty;-\frac{21}{11}\right]\]

\(4x +3 < -3 \quad\text{or}\quad 4x +3 > 5\)

Решите неравенство: \[\begin{массив}{rclcrcl} 4x +3 &<& -3 &\text{or}& 4x +3 &>& 5 \\ 4x &<& -3-3 &\text{or}& 4x &>& 5-3 \\ х &<& \frac{-3-3}{4} &\text{or}& x &>& \frac{5-3}{4} \\ x &<& - \frac{3}{2} &\text{or}& x &>& \frac{1}{2} \\ \конец{массив}\]

\[\left(-\infty; — \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; \infty\right)\]

\(4 \ ge -6x -6 \ge -3\)

Решите неравенство: \[\begin{массив}{rcccl} 4 &\ge&-6x -6 &\ge&-3 \\ 4+6 &\ge& -6x &\ge& -3+6 \\ \frac{4+6}{-6} &\le& x &\le& \frac{-3+6}{-6} \\ — \frac{5}{3} &\le& x &\le& — \frac{1}{2} \\ \конец{массив}\]

\[\left[- \frac{5}{3}; — \frac{1}{2}\right]\]

\(6b — 3 > b + 2 , ~b \in \mathbb{Z}\)

\начать{выравнивать*} 6b — 3 > b + 2 , ~b \in \mathbb{Z}\\ 5б > 5\ б > 1 \конец{выравнивание*}

\(3a — 1 < 4a + 6 , ~a \in \mathbb{N}\)

\начать{выравнивать*} 3а — 1 < 4а + 6\ -а < 7\ а > -7 \конец{выравнивание*}

Однако нам говорят, что \(a \in \mathbb{N}\) и, следовательно, \(a > 0\).

\(\dfrac{b-3}{2} + 1 < \dfrac{b}{4} - 4 , ~b \in \mathbb{R}\)

\начать{выравнивать*} \frac{b-3}{2} + 1 < \frac{b}{4} - 4 \\ 2б - 6 + 4 < б - 16\ б < -14 \конец{выравнивание*}

\(\dfrac{4a +7}{3} — 5 > a — \dfrac{2}{3} , ~a \in \mathbb{N}\)

\начать{выравнивать*} \frac{4a +7}{3} — 5 > a — \frac{2}{3} \\ 4а + 7 — 15 > 3а — 2\ а > 6 \конец{выравнивание*}

Предыдущий 4.6 Буквенные уравнения

Оглавление

Следующий 4. 8 Краткое содержание главы

Решение неравенств | Определение, примеры, правила, графики и написание

Что такое неравенство?

В математике неравенство определяется как отношение между любыми двумя числами или алгебраическими выражениями, которые не равны. Неравенства можно рассматривать либо как математический вопрос, которым можно манипулировать, чтобы найти значение некоторых переменных, либо как констатацию факта в форме теорем.

Мы используем различные математические термины и символы для сравнения, чтобы показать неравенство. В таблице ниже показаны четыре математических символа, которые мы используем при сравнении и отображении неравенства чисел или математических выражений.

9000 40004

	Символ неравенства
Меньше
больше
, чем или равный, равный
, чем или равный

Каковы правила неравенства?

Есть определенные правила, которым нужно следовать при решении неравенств. В этом разделе мы постараемся понять все правила неравенства.

Law of Trichotomy

The law of trichotomy for real lines states that for any real numbers a and b , only one of

𝑎 < 𝑏 , 𝑎 = 𝑏 и 𝑎 > 𝑏 верно.

Допустим, у нас есть утверждения, 7 < 9, 7 = 9, 7 > 9, только одно из них верно.

Поскольку мы знаем, что 9 больше 7, мы можем сказать, что единственно верное утверждение 7 < 9.

Обратное свойство

Обратное свойство неравенства утверждает, что < и >, ≤ и ≥ являются обратными друг другу соответственно .

Это означает, что для любых действительных чисел a и b , 𝑎 < 𝑏 and 𝑏 > 𝑎 and 𝑎 ≤ 𝑏 and 𝑏 ≥ 𝑎 are equivalent, or we can simply say that:

𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑏 > 𝑎

𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑏 ≥ 𝑎

Например, имеем 6 < 7.

По обратному свойству неравенства 6 < 7 равно 7 > 6. , B и C ,

• IF 𝑎 < 𝑏 и 𝑏 < 𝑐 .
• Если 𝑎 > 𝑏 и 𝑏 > 𝑐 , затем 𝑎 > 042 90.

Предположим, что 14 > 12 и 12 > 6.

По транзитивному свойству неравенства 14 > 6.

Свойство сложения

Дополнительное свойство неравенства, если к обеим частям неравенство тогда для любого действительного числа a , b и c :

• Если 𝑎 < 𝑏 , затем 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + .
• IF 𝑎 ≤ 𝑏 , затем 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + .

Например,

Если мы добавим 15 в неравенстве 10 > 5, используя свойство сложения неравенства, то получим:

10 > 5

10 + 15 > 5 + 15

25 > 20

Правило остается в силе для > и ≥ .

Свойство вычитания

Свойство вычитания неравенства утверждает, что если общий постоянный член c вычесть из обеих частей неравенства, то для любого действительного числа a , b и c : 

• если 𝑎 < 𝑏 , то 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑐
• if 𝑎 ≤ 𝑏 , then 𝑎 − 𝑐 ≤ 𝑏 – 𝑐

Предположим, что у нас есть неравенство 20 < 14, и мы должны вычесть 7. 0007

13 < 7

Правило остается в силе для > и ≥ .

Multiplication Property

For any real numbers a , b , and c≠0, 

• if 𝑎 < 𝑏 and 𝑐 > 0 , то 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
• если 𝑎 < 𝑏 и 𝑐 < 0 , then 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
• if 𝑎 ≤ 𝑏 and 𝑐 > 0 , then 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐
• Если 𝑎 ≤ 𝑏 и 𝑐 <0 , затем 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐 .

Например, нас просят умножить 𝑐 = 8 на неравенство 2 < 4

По свойству умножения неравенства, 

2 < 4

2 x 8 < 4 x 8

16 < 32

Другой пример: 5 < 7 и 𝑐 = −2. Если умножить -2 на неравенство 5 < 7, то получится:

5 < 7

5 x -2 < 7 x -2

-10 > -14

Всегда помните, что символ неравенства должен быть переворачивается каждый раз, когда мы умножаем неравенство на отрицательное число.

Имущество отдела

Для любых вещественных чисел a , b и c≠0,

• если 𝑎 < 𝑏 и 𝑐 > 0 , то $\frac{a}{c} {b}{c}$
• , если 𝑎 < 𝑏 и 𝑐 < 0 , то $\frac{a}{c}$>$\frac{b}{c}$

Например,

Если разделить c = 2 в равенстве 20 < 30. Тогда по свойству деления неравенства

$\frac{20}{2}$ < $\frac{30}{2}$

10 < 15

Additive Inverse Property

The additive inverse property of inequality states that for any real numbers a and b ,

if 𝑎 < 𝑏 , then − 𝑎 > − 𝑏 .

если 𝑎 ≤ 𝑏 , то − 𝑎 ≥ − 𝑏 .

Мультипликативное обратное свойство

Мультипликативное обратное свойство неравенства утверждает, что если для любых действительных чисел a и b , которые оба положительны или оба отрицательны, 

• , если a$\frac{1}{b}$.
• если a>b, то $\frac{1}{a}$<$\frac{1}{b}$.

Как записать неравенства в интервальной записи?

При записи решения неравенства в интервальной записи необходимо учитывать следующие соображения.

1. Если интервалы решения неравенства используют < или >, используйте открывающую скобку ‘(‘ или ‘)’.
2. Если интервалы решения неравенства используют ≤ или ≥, используйте закрытые скобки ‘[‘ или ‘]’.
3. Всегда используйте открывающую скобку для обозначения или -.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже.

Неравенство	.	(-∞, 5]
x ≥ 5	[5, ∞)
1	(1, 5]

Как с графиком неравенства в номере.

При графическом отображении неравенств на числовой прямой нам нужно смотреть на используемый символ неравенства, так как он дает нам подсказку, куда ведет числовая линия. ДИАГРАММА РИСУНОК > Чтобы начертить неравенство с символом больше, используйте открытый кружок, чтобы отметить начальное значение, и направьте стрелку в сторону положительной бесконечности. < Чтобы начертить неравенство, содержащее меньше символа, используйте открытый кружок, чтобы отметить начальное значение, и направьте стрелку в сторону минус бесконечности. ≥ Чтобы начертить неравенство с большим или равным, используйте замкнутый кружок, чтобы отметить начальное значение, и направьте стрелку в сторону положительной бесконечности. ≤ Чтобы на графике было меньше или равно неравенству, используйте тесный кружок, чтобы отметить начальное значение, и направьте стрелку в сторону отрицательной бесконечности.

Как решать неравенства?

Чтобы найти решение любого неравенства, вы можете выполнить следующие шаги:

1. Найдите значение переменной(ых), используя правила неравенства.
2. Представление всех значений в числовой строке.
3. Представление включенных и исключенных значений с помощью закрытых и незакрашенных кружков соответственно.
4. Определите интервалы.
5. Перепроверьте интервал, выбрав случайное число из интервала/сек и подставив его в неравенство.

Пример № 1

Определите решения неравенства x + 5 <13.

Решение

9005 Пошаговый процесс #

.0042
x + 5 < 13	Запишите неравенство и соблюдайте возможные правила, которые нам нужно выполнить, чтобы найти значение x .
x + 5 – 5 < 13 – 5	Чтобы получить значение x , нам нужно удалить 5 из левой части. Следовательно, вычтем 5 из обеих частей неравенства.
х < 8	Упрощение. Пример 2 Решение Пошаговый процесс Объяснение 6x-7> 3x + 2 . Напишите неравное значение и намереваем, что мы нуждаемся в том, что мы нуждаемся в том, что мы нуждаемся в том, что мы нуждаемся в том, что мы нуждаемся в том, что мы нуждаемся в том, что мы нуждаемся в том, что мы нуждаемся в том, что мы нуждаемся в том, что мы нуждаемся в том, что нужно. чтобы найти значение х . 6x -3x -7> 3x -3x + 2 Поместите все x 9040 неравенство. 3x – 7 > 2 Упростить. 3x – 7 + 7 > 2 + 7 Удалить все константы в левой части, используя свойство сложения неравенства. 3x > 9 Упростить. $\frac{3x}{3}$ >  $\frac{9}{3}$ Найдите значение x , разделив 3 на обе части неравенства. x > 3 Упростить. Следовательно, решение неравенства 6x – 7 > 3x + 2 равно x > 3. Как решать линейные неравенства? Линейное неравенство похоже на линейное уравнение, за исключением того, что знак неравенства заменяет знак равенства. Следовательно, решение линейных неравенств почти не отличается от решения линейных уравнений. Решение одношагового линейного неравенства Предположим, у нас есть неравенство 6x > 24. Для нас нужно найти решение этого неравенства, используя только одношаговое. Следовательно, нам нужно разделить обе части неравенства на 6. Таким образом, мы будем иметь x > 6. Следовательно, решение неравенства x > 6 или в интервальной записи решение представлено (6, ). Пример Используя интервальную запись, каково решение неравенства 5x ≤ 70? Решение Пошаговый процесс Объяснение 5x ≤ 7092 . чтобы найти значение x . $\frac{1}{5}$ ∙ 5x ≤ 70 ∙ $\frac{1}{5}$ Умножьте обе части неравенства на $\frac{1}{5 }$. x ≤ 1 4 Упростить. Используя интервальную запись, решение неравенства можно представить в виде (-∞, 14]. Решение линейных неравенств в два этапа Чтобы получить решение этого неравенства, нам нужно решить его, используя всего два шага.Первый шаг, который нам нужно сделать, это добавить 11 к обеим частям неравенства. Следовательно, мы будем иметь 8x < 16. Тогда давайте разделите 8 на обе части неравенства, что приведет к x < 2. Используя интервальную запись, мы можем записать решение 8x – 11 < 5 как (-, 2).  Пример Каково решение неравенства 4x – 17 ≥ 23? Раствор 9 4x-17 ≥ 23 Пошаговый процесс Объяснение 4x-17 ≥ 23 . сделать, чтобы найти значение x . 4x – 17 + 17 ≥ 23 + 17 Добавьте 17 слева и справа. 4x ≥ 40 Упрощение. $\frac{1}{4}$ ∙ 4x ≥ 40 ∙ $\frac{1}{4}$ Умножьте обе части на $\frac{1}{4}$. x ≥ 10 Упростить. Используя интервальную запись, решение неравенства можно представить в виде [ 10, ∞). Решение составных неравенств Составное неравенство представляет собой группу из двух или более неравенств с « и » или « или ». Решение составного неравенства, решение обеих частей должно быть верным. Следовательно, чтобы решить неравенства, имеющие этот случай, все, что нам нужно сделать, это поработать над ним самостоятельно, а затем найти окончательное решение по следующим правилам: пересечение решений двух неравенств. Если в неравенстве есть «или» между ними, то окончательным решением является объединение решений двух неравенств. Пример № 1 Решить решение неравенства соединения 3x + 7> 28 и 5x ≤ 80. Раствор
СТАВЛЯЙКА.
3x + 7 > 28	Работа над первым заданным неравенством.
3x + 7 – 7 > 28 – 7	Вычесть 7 из обеих частей неравенства.
3x > 21	Упростить.
$\frac{1}{3}$ ∙ 3x > 21 ∙ $\frac{1}{3}$	Умножьте $\frac{1}{3}$ на обе части неравенства .
x > 7	Упростить.
5x ≤ 80	Работа над вторым неравенством.
$\frac{1}{5}$ ∙ 5x ≤ 80 ∙ $\frac{1}{5}$	Умножить $\frac{1}{5}$ на обе части неравенство.
x ≤ 16	Упростить.
х > 7 : (7, ∞) х ≤ 16 : (-∞, 16]	Представим решения двух неравенств, используя интервальную запись. составного неравенства.
Следовательно, решением данного составного неравенства является 7 < x ≤ 16 или (7, 16] в интервальной записи.

0042

Каково решение сложного неравенства 4x + 9 ≤ 29 или 9x + 27 > 108?

Решение

Пошаговый процесс	Объяснение
4x + 9 ≤ 29	4X + 29		.
4x + 9 – 9 ≤ 29 – 9	Вычесть 9 из обеих частей неравенства.
4x ≤ 20	Упрощение.
$\frac{1}{4}$ ∙ 4x ≤ 20 ∙ $\frac{1}{4}$	Умножьте обе части на $\frac{1}{4}$.
x ≤ 5	Упростить.
9x + 27 > 108	Работа над вторым неравенством.
9x + 27 – 27 > 108 – 27	Вычесть 27 с обеих сторон.
9x > 81	Упрощение.
$\frac{1}{9}$ ∙ 9x > 81 ∙ $\frac{1}{9}$	Умножьте обе части на $\frac{1}{9}$.
x > 9	Упростить.
x ≤ 5 : (-∞, 5]x > 9 : (9, ∞)	Представьте решения двух неравенств, используя интервальную запись. > 9: (-∞, 5] ∪ (9, ∞)	Получим объединение решений составного неравенства. x > 9 или (-∞, 5] ∪ (9, ∞) , используя интервальную запись.

Как решать квадратные неравенства? , Чтобы решить квадратные неравенства, мы должны сделать следующее: 

1. Перепишите неравенство в виде уравнения.
2. Определите значения x .
3. Представление решений с использованием интервала.
4. Проверьте, верно ли неравенство для интервала, взяв любое число из каждого интервала.
5. Если решение неравенства на каждом интервале верно, то это решение квадратного неравенства.

Пример

Каково решение квадратного неравенства х ² – х – 12 ≤ 0?  

Решение

Шаг 1 : Перепишите неравенство в виде квадратного уравнения. Следовательно, x ² – x – 12 = 0.

Шаг 2 : Используя правила нахождения решений квадратного уравнения, мы можем составить квадратное уравнение в виде (x + 3)(x – 4) = 0.

Шаг 3: Значения x равны x = -3 и x = 4.

Шаг 4 : Составьте таблицу, которая будет представлять решения x , используя интервальную нотацию, и проверьте, сделает ли это случайное число верным.

(2 (2 -x -12 ≤ 0

Интервальная нотация	Случайное число	x на неравенство x 2 -x -12 ≤ 0	119919929292 (2
19 919929192 (2 . -4	(-4) 2 – (-4) – 12 ≤ 0 16 + 4 – 12 ≤ 0 20 – 12 ≤ 0 8 ≤ 0; 4]	х = 0	0 2 – 0 – 12 ≤ 0 -12 ≤ 0; True
[4, ∞)	x = 5	5 2 — 5 — 12 ≤ 0 25 — 5 — 12 ≤ 0 20 — 12 ≤ 0 8 ≤ 0; ложь

Следовательно, решение квадратного неравенства x ² – x – 12≤ 0 равно [-3, 4] .