19. Найдите четырёхзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого… Ященко И. В. ЕГЭ-2017 Математика ГДЗ. Вариант 6.

19. Найдите четырёхзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого… Ященко И. В. ЕГЭ-2017 Математика ГДЗ. Вариант 6. – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

19.


Найдите четырёхзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

ответы

ответ
1024; 2500; 5184; 9604

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

ГИА

ОГЭ

Экзамены

Выпускной

похожие вопросы 5

ГДЗ. Математика. Базовый уровень ЕГЭ — 2017. Вар.№22. Зад.№1.Под руководством Ященко. Помогите найти значение выражения.

Здравствуйте! Помогите найти значение выражения:

  (Подробнее…)

ГДЗЭкзаменыМатематикаЯщенко И.В.

Определите расстояние № 23 ГДЗ Математика 6 класс Никольский С.М.

Расстояние между двумя городами равно 200 км. Определите
расстояние между изображениями этих городов на карте, (Подробнее…)

ГДЗМатематика6 классНикольский С.М.

Определите длину № 25 ГДЗ Математика 6 класс Никольский С.М.

План комнаты имеет вид прямоугольника со сторонами 40 мм
и 31 мм. Определите длину и ширину комнаты, если численный
масштаб (Подробнее…)

ГДЗМатематика6 классНикольский С.М.

Подскажите, могу ли я рассчитывать на пересдачу, если не смогла сдать ЕГЭ по математике профильного уровня?

Если я не сдала ЕГЭ по математике профильного уровня, будет ли пересдача? (Подробнее…)

ШколаЕГЭНовостиЭкзамены

Задание 8 Текст. Текст и его план. Русский язык.4 класс. Канакина В.П., Горецкий В.Г. ГДЗ

Приветствую, как ответить на вопросы к заданию?
Прочитайте.
Первая вахта (Подробнее…)

ГДЗРусский языкКанакина В.П.Горецкий В.Г.4 класс

Решение всех прототипов задания 19 (база ЕГЭ).

 

Задача 1366. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. 

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Задача 1376. Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 2 и все цифры которого четные. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Задача 1398. Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Задача 6089.   Найдите трехзначное число , обладающее следующими свойствами:

  • Сумма цифр числа делится на
  • Сумма цифр числа делится
  • Число больше и меньше

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Задача 6100. Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 35 но меньше 45. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Задача 6112. Найдите четырехзначное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Задача 6123. Найдите четырехзначное число, кратное 44, любые две соседние цифры которого отличаются отличаются на 1. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Задача 6134. Найдите четырехзначное число, кратное 66, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Задача 6176. Найдите трехзначное число, кратное 70, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Задача 6186. Найдите трехзначное натуральное число, большее 400 но меньшее 650, которое делится на каждую свою цифру, и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Задача 6198. Найдите трехзначное натуральное число большее 500, которое при делении на 5 и на 8 дает равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите  какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Задача 6220. Найдите трехзначное натуральное число, кратно 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите како-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Задача 9600. Цифры четырехзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке. Затем из первого числа вычли второе и получили 1458. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Задача 9616. Найдите четырехзначное число, которое в три раза меньше четвертой степени некоторого натурального числа.  В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

 

Теория чисел

.

Найдите целое число, первые 4 цифры которого при возведении в квадрат равны «6666».

Методический способ найти ответ с помощью карандаша и бумаги заключается в использовании алгоритма «длинного деления» для извлечения квадратного корня.

Первым шагом этого алгоритма является группировка цифр вашего входного номера. в парах. Например, чтобы извлечь квадратный корень из $6666$, мы сначала напишем $$ \sqrt{66 \; 66}. $$

Первые несколько шагов алгоритма приводят к

\begin{array}{r} 8 \;\фантом{0}1 \\[-3pt] 4 \sqrt{66 \; 66} \\[-3pt] \подчеркивание{64}\;\фантом{66} \\[-3pt] 16\underline1|\phantom{0}2 \; 66 \\[-3pt] \подчеркнуть{1 \; 61}\\[-3pt] 162\подчеркнуть{\ } |1 \; 05 \\[-3pt] \конец{массив}

Следующим шагом в обычном алгоритме является добавление пары нулей после десятичная точка числа под квадратным корнем для вычисления одна дополнительная цифра после запятой результата. В качестве альтернативы, однако, мы можем просто вставить пару нулей слева десятичной точки, то есть умножить число под квадратным корнем подпишите $100$. Все предыдущие шаги остаются в силе, и мы можем добавить один цифра к результату; то есть, если бы мы предварительно настроили для расчета $\sqrt x$, теперь вычисляем $\sqrt{100x} = 10 \sqrt x$:

\начало{массив}{г} 8 \;\фантом{0}1 \;\фантом{0}6 \\[-3pt] 4 \sqrt{66 \; 66 \; 00} \\[-3pt] \подчеркнуть{64}\; \фантом{66 \; 00} \\[-3pt] 16\underline1|\phantom{0}2 \; 66 \ фантом {\; 00}\\[-3pt] \подчеркнуть{1 \; 61} \фантом{\; 00}\\[-3pt] 162\подчеркивание{6} |1 \; 05 \; 00 \\[-3pt] \подчеркнуть{97 \; 56} \\[-3pt] 7\; 44 \end{array}

Теперь в любом «полностью отработанном» примере алгоритма «длинного деления» для извлечения квадратного корня, таком как пример выше, пусть $x$ будет числом под знаком квадратного корня, пусть $y$ будет результатом (одна цифра для каждой пары цифр в $x$), и пусть $R$ будет результатом последнего шага вычитания.

2 = х — р.$$ 9n$ для четных $n$, используя алгоритм извлечения квадратного корня «длинное деление», увеличивая $n$ на два пока в остатке последнего шага вычитания не будет больше цифр, чем количество завершающих нулей под знаком квадратного корня. В этот момент результатом алгоритма является желаемое число. Это происходит, когда в результате у нас есть четыре цифры:

\begin{array}{r} 8 \;\фантом{0}1 \;\фантом{0}6 \;\фантом{0}5 \\[-3pt] 4 \sqrt{66 \; 67 \; 00 \; 00} \\[-3pt] \подчеркнуть{64}\; \фантом{66 \; 00\; 00} \\[-3pt] 16\underline1|\phantom{0}2 \; 67 \ фантом {\; 00\; 00}\\[-3pt] \подчеркнуть{1 \; 61} \фантом{\; 00\; 00}\\[-3pt] 162\подчеркивание{6} |1 \; 06 \; 00 \ фантом {\; 00}\\[-3pt] \подчеркнуть{94 — 2775,$$ как и ожидалось.

Мы можем продолжить добавление пар нулей, чтобы найти большее число с желаемое свойство. На самом деле, для любого большего количества цифр мы найдем диапазон ответов, максимальным из которых является число, найденное алгоритмом и минимум $8165$, за которым следуют несколько нулей.

Конечно, это дает нам только числа, квадрат которых равен $6666$, за которым следует четное количество цифр. Чтобы найти числа, квадрат которых равен $6666$, за которым следует

нечетное количество цифр, нам нужно начинать с $66670$, а не с $6667$. При применении алгоритма квадратного корня к числу с нечетным числом цифр, мы рассматриваем первую цифру как «пару» саму по себе, поэтому алгоритм выглядит так:

\начало{массив}{г} 2 \;\фантом{0}5 \;\фантом{0}8 \;\фантом{0}2 \\[-3pt] 4 \ кв. 6 \; 66 \; 70 \; 00} \\[-3pt] \подчеркнуть{4}\; \;\фантом{6 \; 00\; 00} \\[-3pt] 4\подчеркнуть5|2 \; 66 \ фантом {\; 00\; 00}\\[-3pt] \подчеркнуть{2 \; 25} \фантом{\; 00\; 00}\\[-3pt] 50\подчеркивание{8}|\фантом{0}\;41 \; 70 \ фантом {\; 00}\\[-3pt] \подчеркнуть{40 \; 64} \фантом{\; 00}\\[-3pt] 516\подчеркивание{2}|\фантом{0}1 \; 06 \; 00 \\[-3pt] \подчеркнуть{1 \; 03 \; 24}\\[-3pt] 2\; 76 \конец{массив} 93 — 276. $$

Таинственный номер 6174 | plus.maths.org

Март 2006 г.


Любой может разгадать тайну

Число 6174 — действительно загадочное число. На первый взгляд это может показаться не столь очевидным. Но, как мы скоро увидим, любой, кто умеет вычитать, может раскрыть тайну, которая делает 6174 таким особенным.

Операция Капрекара

В 1949 году математик Д. Р. Капрекар из Девлали, Индия, разработал процесс, теперь известный как Операция Капрекара . Сначала выберите четырехзначное число, в котором цифры не одинаковы (это не 1111, 2222,…). Затем переставьте цифры, чтобы получить наибольшее и наименьшее числа, которые могут состоять из этих цифр. Наконец, вычтите наименьшее число из наибольшего, чтобы получить новое число, и продолжайте повторять операцию для каждого нового числа.

Это простая операция, но Капрекар обнаружил, что она приводит к удивительному результату. Давайте попробуем, начиная с числа 2005, цифры прошлого года. Максимальное число, которое мы можем составить из этих цифр, — 5200, а минимальное — 0025 или 25 (если одна или несколько цифр равны нулю, вставьте их в левую часть минимального числа). Вычитания:

5200 — 0025 = 5175
7551 — 1557 = 5994
9954 — 4599 = 5355
5553 — 3555 = 1998
9981 — 1899 = 8082
8820 — 0288 = 8532
3. 8532 — 8082
8820 — 0288 = 8532
3. 8532 — 8082
8820 — 0288 = 8532
3. 8532 — 8082
8820 — 0288.

Когда мы достигаем 6174, операция повторяется, каждый раз возвращая 6174. Мы называем число 6174 ядром этой операции. Итак, 6174 — это ядро ​​для работы Kaprekar, но так ли оно особенное, как 6174? Что ж, мало того, что 6174 является единственным ядром для этой операции, у него в рукаве есть еще один сюрприз. Давайте попробуем еще раз, начиная с другого числа, скажем, 1789..

9871 — 1789 = 8082
8820 — 0288 = 8532
8532 — 2358 = 6174

Мы снова достигли 6174!

Очень загадочное число. ..

Когда мы начали с 2005, процесс достиг 6174 за семь шагов, а для 1789 за три шага. Фактически, вы достигаете 6174 для всех четырехзначных чисел, у которых не все цифры одинаковы. Это чудесно, не так ли? Операция Капрекара настолько проста, но дает такой интересный результат. И это станет еще более интригующим, если мы подумаем о причине, по которой все четырехзначные числа достигают это загадочное число 6174.

Только 6174?

Цифры любого четырехзначного числа можно расположить в максимальное число, расположив цифры в порядке убывания, и в минимальное число, расположив их в возрастающем порядке. Итак, для четырех цифр a,b,c,d , где

9 ≥ а ≥ б ≥ в ≥ г ≥ 0

и a, b, c, d не все одинаковые цифры, максимальное число abcd и минимальное dcba .

Мы можем вычислить результат операции Капрекара, используя стандартный метод вычитания, примененный к каждому столбцу этой задачи:

и б в д
— д в б и
А Б С Д

что дает отношения

D = 10 + d — а (так как а > d)
С = 10 + с — 1 — b = 9 + с — b (так как b > с — 1)
B = b — 1 — c (поскольку b > c)
А = а — г

для тех номеров, где a>b>c>d .

Число будет повторяться при операции Капрекара, если полученное число ABCD можно записать, используя начальные четыре цифры a,b,c и d . Таким образом, мы можем найти ядра операции Капрекара, рассматривая все возможные комбинации { a, b, c, d } и проверяя, удовлетворяют ли они приведенным выше соотношениям. Каждый из 4-х! = 24 комбинации дают систему из четырех одновременных уравнений с четырьмя неизвестными, поэтому мы должны решить эту систему для a, b, c и d .

Оказывается, что только одна из этих комбинаций имеет целочисленные решения, удовлетворяющие 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 . Эта комбинация равна ABCD = bdac , а решение уравнений равно a 9.0049 =7, б =6, в =4 и г =1. Это ABCD = 6174. Не существует действительных решений одновременных уравнений, полученных из некоторых цифр в {a,b,c,d} быть равным. Поэтому число 6174 — единственное число, не изменённое операцией Капрекара — наше таинственное число уникально.

Для трехзначных чисел происходит то же самое. Например, применение операции Капрекара к трехзначному числу 753 дает следующее:

753 — 357 = 396
963 — 369 = 594
954 — 459 = 495
954 — 459 = 495

Число 495 является уникальным ядром для операции над трехзначными числами, и все трехзначные числа достигают 495 с помощью операции. Почему бы вам не проверить это самостоятельно?

Как быстро до 6174?

Это было примерно в 1975 году, когда я впервые услышал о числе 6174 от друга, и тогда я был очень впечатлен. Я думал, что будет легко доказать, почему это явление произошло, но я не мог найти причину этого. Я использовал компьютер, чтобы проверить, все ли четырехзначные числа достигли ядра 6174 за ограниченное количество шагов. Программа, в которой было около 50 операторов на языке Visual Базовый, проверено все 8991 четырехзначное число от 1000 до 9999, где цифры не были одинаковыми.

В таблице ниже показаны результаты: каждое четырехзначное число, в котором не все цифры равны, достигает 6174 в процессе Капрекара и не более чем за семь шагов. Если вы не достигли 6174 после семикратного использования операции Капрекара, значит, вы допустили ошибку в своих расчетах и ​​должны попробовать еще раз!

Итерация Частота
0 1
1 356
2 519
3 2124
4 1124
5 1379
6 1508
7 1980

Куда до 6174?

Моя компьютерная программа проверила все 8991 число, но в своей статье Малкольм Лайнс объясняет, что при исследовании операции Капрекара достаточно проверить только 30 из всех возможных четырехзначных чисел.

Как и раньше, предположим, что четырехзначное число равно abcd , где

9 ≥ а ≥ б ≥ в ≥ г ≥ 0 .

Вычислим первое вычитание в процессе. Максимальное число — 1000a+100b+10c+d , а минимальное число — 1000d+100c+10b+a . Итак, вычитание:

1000а + 100b + 10с + d — (1000d + 100с + 10b + а)
= 1000(а-г) + 100(б-в) + 10(в-б) + (д-а)
= 999(а-г). ) + 90(б-в)

Возможное значение (a-d) — от 1 до 9, а (b-c) — от 0 до 9. Перебрав все возможности, мы можем увидеть все возможные результаты первого вычитания в процесс. Они показаны в таблице 1.

Таблица 1: Числа после первого вычитания в процессе Капрекара

Нас интересуют только числа, в которых не все цифры равны и

а ≥ б ≥ в ≥ г ,

поэтому нам нужно рассматривать только те, где (а-г) ≥ (б-в) . Таким образом, мы можем игнорировать серую область в таблице 1, которая содержит те числа, где

(а-г) < (б-в) .

Теперь расположим цифры чисел в таблице в порядке убывания, чтобы получить максимальное число, готовое ко второму вычитанию:

Таблица 2: Максимальное число, готовое ко второму вычитанию

Мы можем игнорировать дубликаты в таблице 2 (серые области), и осталось всего 30 чисел, чтобы пройти остальную часть процесса. На следующем рисунке показаны маршруты, по которым эти числа достигают 6174.

Как эти 30 чисел достигают 6174

Из этого рисунка видно, как все четырехзначные числа достигают 6174 и достигают его не более чем за семь шагов. Даже в этом случае я все еще думаю, что это очень таинственно. Я предполагаю, что Капрекар, который открыл это число, был чрезвычайно умен или имел много времени, чтобы подумать об этом!

Двухзначные, пятизначные, шестизначные и далее…

Мы видели, что четырех- и трехзначные числа достигают уникального ядра, но как насчет других чисел? Оказывается, ответы на них не так впечатляют. Давайте попробуем это для двузначного числа, скажем, 28:

82 — 28 = 54
54 — 45 = 9
90 — 09 = 81
81 — 18 = 63
63 — 36 = 27
72 — 27 = 45
54 — 45 = 9

Не нужно много времени, чтобы убедиться, что все двузначные числа попадут в цикл 9→81→63→27→45→9. В отличие от трех- и четырехзначных чисел, для двузначных чисел нет уникального ядра.

А как насчет пяти цифр? Есть ли ядро ​​для пятизначных чисел, таких как 6174 и 495? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно использовать тот же процесс, что и раньше: проверить 120 комбинаций из {a,b,c,d,e} для ABCDE так, что

9 ≥ а ≥ б ≥ в ≥ г ≥ д ≥ 0

и

abcde-edcba = ABCDE .

К счастью, расчеты уже были выполнены компьютером, и известно, что ядра для работы Капрекара с пятизначными числами нет. Но все пятизначные числа достигают одного из следующих трех циклов:

71973→83952→74943→62964→71973
75933→63954→61974→82962→75933
59994→53955→59994

Как указывает Малкольм Лайнс в своей статье, проверка того, что происходит для шести и более цифр, займет много времени, и эта работа становится крайне скучной! Чтобы избавить вас от этой участи, в следующей таблице показаны ядра для двухзначных и десятизначных чисел (подробнее см. Развлекательная математика). Оказывается, операция Капрекара переводит каждое число в уникальное ядро ​​только для трех- и четырехзначных чисел.

Цифры Ядро
2 Нет
3 495
4 6174
5 Нет
6 549945, 631764
7 Нет
8 63317664, 97508421
9 554999445, 864197532
10   6333176664, 9753086421, 9975084201

Красиво, но особенно?

Мы видели, что все трехзначные числа достигают 495, а все четырехзначные числа достигают 6174 при операции Капрекара. Но я не объяснил, почему все такие числа достигают уникального ядра. Является ли это явление случайным или существует какая-то более глубокая математическая причина, почему это происходит? Каким бы красивым и таинственным ни был результат, он может быть случайным.

Давайте остановимся и рассмотрим красивую головоломку Юкио Ямамото из Японии.

Если перемножить два пятизначных числа, получится 123456789. Сможете ли вы угадать два пятизначных числа?

Это очень красивая головоломка, и можно подумать, что за ней должна скрываться большая математическая теория. Но на самом деле красота эта второстепенна, есть и другие очень похожие, но не такие красивые экземпляры. Например:

(Мы можем дать вам подсказку, чтобы помочь вам решить эти головоломки, и вот ответы.)

Если бы я показал вам головоломку Ямамото, вы бы вдохновились решить ее, потому что она такая красивая, но если я показал вам вторую загадку, которая может вас совсем не заинтересовать. Я думаю, что задача Капрекара похожа на головоломку Ямамото с угадыванием чисел. Нас тянет к обоим, потому что они такие красивые. И поскольку они так прекрасны, мы чувствуем, что в них должно быть что-то большее, хотя на самом деле их красота может просто случайно. Такие недоразумения привели к развитию математики и естественных наук в прошлом.

Достаточно ли знать, что все четырехзначные числа достигают 6174 с помощью операции Капрекара, но не знать, почему? До сих пор никто не мог сказать, что все числа, попадающие в уникальное ядро ​​для трех- и четырехзначных чисел, являются случайным явлением. Это свойство кажется настолько удивительным, что заставляет нас ожидать, что за ним скрывается большая теорема теории чисел. Если мы сможем ответить на этот вопрос, мы может найти это просто красивое недоразумение, но мы надеемся, что нет.

Примечание от редакции: многие читатели заметили, что многократное сложение цифр любого из ядер операции Капрекара всегда равно 9. Узнайте почему в этом продолжении статьи.

Ссылки
  • Капрекар, Д. Р., «Другой пасьянс», Scripta Mathematica , том 15, стр. 244-245 (1949)
  • Гарднер, Мартин, «Волшебные числа доктора Матрицы», японская версия, Токио: Кинокуния (1978)
  • Lines, Малкольм Э.