Контрольные работы по геометрии 8 класс

Просмотр содержимого документа
«Контрольные работы по геометрии 8 класс»

Контрольная работа № 1.

  1. 1 вариант.

1). Диагонали прямоугольника ABCD пересекается в точке О, ABO = 36°. Найдите AOD.

2). Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен 20°.

3). Стороны параллелограмма относятся как 1 : 2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма.

4). В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции.

5).* Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD обра­зует со стороной АВ

угол 30°, АМ = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка М лежит на стороне AD.

  1. 2 вариант.

1). Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке О,MON= 64°. Найдите ОМР. 2). Найдите углы равнобокой трапеции, если один из ее углов на 30° больше второго.

3). Стороны параллелограмма относятся как 3 : 1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма.

4). В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боко­вых сторон равна 48°. Найдите углы трапеции.

5).* Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба

ABCD обра­зует со стороной АВ угол 30°, длина диагонали АС равна 6 см. Най­дите AM, если точка М лежит на продолжении стороны AD.

Контрольная работа № 2.

  1. 1 вариант.

1). Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.

2). Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника.

3). Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны

8 и 10 см.

4).* В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

2 вариант.

1). Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше высоты. Найдите площадь треугольника.

2). Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и гипотенузу треугольника.

3). Диагонали ромба равны 10 и 12 см. Найдите его площадь и пе­риметр.

4).* В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD попо­лам. Найдите площадь трапеции.

Контрольная работа № 3.

1 вариант.

1). По рис. A = B, СО = 4, DO = 6, АО = 5.

Найти: а). ОВ; б). АС : BD; в). .

2 ). В треугольнике ABC сторона АВ = 4 см, ВС = 7 см, АС = 6 см

, а в треугольнике MNK сторона МК = 8 см, MN =12 см, KN = 14 см. Найдите углы треуголь­ника MNK, если A = 80°, B = 60°.

3). Прямая пересекает стороны треугольника ABC в точках М и К соответственно так, что МК || АС, ВМ : АМ = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника ABC равен 25 см.

4). В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересека­ются в точке О, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника

AOD равна 45 см2.

2 вариант.

1). По рис. РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) . МК; б). РЕ : NК; в). .

2). В ∆ АВС АВ = 12 см, ВС = 18 см, В = 70 0, а в ∆ МNК МN = 6 см, NК = 9 см, N = 70 0. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК = 7 см, К = 60 0.

3). Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что ACO = BDO, АО : ОВ

= 2:3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см.

4). В трапеции ABCD ( AD и ВС основания) диагонали пересека­ются в точке О, = 32 см2, = 8 см2. Найдите меньшее осно­вание трапеции, если большее из них равно 10 см.

Контрольная работа № 4.

1 вариант.

1). Средние линии треугольника относятся как 2 : 2 : 4, а периметр треугольника равен

45 см. Найдите стороны треугольника.

2). Медианы треугольника ABC пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекаю­щая стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Найдите EF, если сторона АС равна 15 см.

3). В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90° ) АС = 5 см, ВС = 5 см. Найдите угол В и гипотенузу АВ.

4). В треугольнике ABC A = , C = , сторона ВС = 7 см,

ВН – высота. Найдите АН.

5). В трапеции ABCD продолжения боковых сторон пересекаются в точке К, причем точка В — середина отрезка АК. Найдите сумму оснований трапеции, если AD = 12 см.

  1. 2 вариант.

1). Стороны треугольника относятся как 4 : 5 : 6, а периметр тре­угольника, образованного его средними линиями, равен 30 см. Най­дите средние линии треугольника.

2). Медианы треугольника MNK пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне МК и пересекаю­щая стороны

MN и NK в точках А и В соответственно. Найдите МК, если длина отрезка АВ равна 12 см.

3). В прямоугольном треугольнике РКТ (T = 90° ), РТ = 7см, КТ = 1 см. Найдите угол К и гипотенузу КР.

4). В треугольнике ABC A = , C = , высота ВН равна 4 см. Найдите АС.

5). В трапеции MNKP продолжения боковых сторон пересекаются в точке Е, причем ЕК = КР. Найдите разность оснований трапеции, если NK = 7 см.

  1. Контрольная работа № 5.

1 вариант.

1). АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см.

2). По рисунку АВ : BC = 11 : 12.
Найти: BCA, BAC.

3). Хорды MN и РК пересека-

ются в точке Е так, что

ME = 12 см, NE = 3 см,

РЕ = КЕ. Найдите РК.

4). Окружность с центром О и

радиусом 16 см

описана около треугольника ABC так, что угол OAB равен 30°, угол OCB равен 45°. Найдите стороны АВ и ВС тре­угольника.

2 вариант.

1). MN и МК — отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 5 см. Найдите MN и МК, если МО = 13 см.

2). По рисунку AB : АС=5 : 3.
Найти: BOC, ABC.

3). Хорды АВ и CD пересека –

ются в точке F так, что

AF = 4 см, В

F = 16 см, CF = DF. Найдите CD.

  1. 4). Окружность с центром О и

  2. радиусом 12 см описана около

  3. треугольника MNK так, что угол MON равен 120°, угол NOK равен 90°. Найдите стороны MN и NK тре­угольника.

Контрольные работы по геометрии | Материал по геометрии:

7 класс

                                                          Контрольная работа № 1.

                              1 вариант.

1). Три точки В, С, и D  лежат на одной прямой. Известно, что ВD = 17 см, DC = 25 см. Какой может быть длина отрезка ВС ?

2). Сумма вертикальных углов МОЕ и DOC, образованных при пересечении прямых МС и DE, равна 204 0 . Найдите угол МОD .

3). С помощью транспортира начертите угол, равный 780 , и проведите биссектрису смежного с ним угла.

                               2 вариант.

1). Три точки  М, N и К лежат на одной прямой. Известно, что MN = 15 см, NK = 18 см. Каким может быть расстояние МК ?

2). Сумма вертикальных углов АОВ  и СОD, образованных при пересечении прямых АD  и  ВС, равна 108 0 . Найдите угол ВОD .

3). С помощью транспортира начертите угол, равный 1320 , и проведите биссектрису одного из смежных с ним  углов.

                                                         Контрольная работа № 2.

                              1 вариант.

1). На рисунке 1 отрезки АВ  и  СD  имеют общую середину О. Докажите, что .

                                                                 С

       А                            O

                                 

                                                                   В                       

         D   

2). Луч AD – биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что  АDВ =  АDС . Докажите, что АВ = АС .

3). В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см боковая сторона относится к основанию как 5 : 2 . Найдите стороны треугольника.

                               2 вариант.

1). На рисунке 1 отрезки МЕ и РК  точкой D делятся пополам. Докажите, что  КМD = РЕD.

                                    М                        К

                                      D

        Р                      Е

2). На сторонах угла D отмечены точки М  и  К так, что DМ = DК. Точка Р лежит внутри угла D и РК = РМ . Докажите, что луч DР – биссектриса угла МDК .

3). В равнобедренном треугольнике с периметром 56 см основание относится к боковой стороне как 2 : 3 . Найдите стороны треугольника.

                                                            Контрольная работа № 3.

                                 1 вариант.

1). Отрезки  EF и  PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что РЕ // QF.

2). Отрезок DM – биссектриса треугольника CDE. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне  CD  и  пересекающая  сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если .

3). На рисунке АС // ВD, точка М – середина отрезка АВ. Докажите, что М – середина отрезка CD.

                                                               D 

                                      M

                 A                                        B

              C

                                  2 вариант.

1). Отрезки  МN  и  ЕF  пересекаются в их середине Р. Докажите, что ЕN // МF.

2). Отрезок AD – биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне  FD  и  пересекающая сторону АС  в точке F. Найдите углы треугольника АDF, если .

3). На рисунке AB // DC, АВ = DC. Докажите, что точка О – середина отрезков АС  и  ВD.

                                    В                        С

     

                                                О

                                  А                          D

                                                         

Контрольная работа № 4.

                             1 вариант.

1). На рисунке: . Найдите сторону АВ треугольника АВС.

                                       Е

                                 B              М

                                       

               А                      

                                  C              D      

                                               

                                             F          

2). В треугольнике  СDE  точка  М  лежит на стороне СЕ, причём   — острый. Докажите, что DE > DM.

3). Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой  на  9 см. Найдите стороны треугольника.

                               2 вариант.

1). На рисунке: . Найдите сторону АС треугольника АВС. 

                           Е            М

                                         

                                   A                            С

                                   В

                                                 

                              D          F

2). В треугольнике  MNP  точка  К лежит на стороне  MN, причём   — острый. Докажите , что КР 

3). Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 17 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 77 см.

                                                            Контрольная работа № 5.

                             1 вариант.

1). В остроугольном треугольнике МNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причём ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой МN.

2). Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

3). Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 0, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу .

                               2 вариант.

1). В прямоугольном треугольнике  DCE  с  прямым углом С проведена биссектриса EF, причём  FC = 13 см. Найдите расстояние от точки  F  до прямой DE.

2). Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу.

3). В треугольнике АВС , биссектрисы углов  А  и  С  пересекаются  в  точке  О. Найдите угол АОС.

                                                            Итоговая контрольная работа

                             1 вариант.

1). В равнобедренном треугольнике  АВС  с основанием АС угол В равен 42 0. Найдите два других угла треугольника АВС. 

2). Величины смежных углов пропорциональны числам 5 и 7. Найдите разность между этими углами.

3). В прямоугольном треугольнике  АВС , , АС = 10 см , СD  АВ, DE  АС. Найдите  АЕ.

4). В треугольнике  МРК  угол Р составляет 60 0 угла  К, а угол  М на  40  больше угла Р. Найдите угол Р.

                               2 вариант.

1). В равнобедренном треугольнике  АВС  с основанием АС  сумма углов А и С  равна 156 0. Найдите углы треугольника  АВС.

2). Величины смежных углов пропорциональны числам  4 и 11. Найдите разность между этими углами.

3). В прямоугольном треугольнике  АВС , , ВС = 18 см , СК АВ, КМ ВС. Найдите  МВ.

4). В треугольнике BDE угол  В  составляет  30 0 угла D, а угол Е на 19 0 больше угла D. Найдите угол В.

  

8 класс

                                                             Контрольная работа № 1.

  1.                              1 вариант.

1). Диагонали прямоугольника ABCD пересекается в точке О, ABO = 36°. Найдите AOD.

2).  Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен 20°.

3).  Стороны параллелограмма относятся как 1 : 2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма.

4). В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции.

5).* Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD образует со стороной АВ угол 30°, АМ = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка М лежит на стороне AD.

  1.                                 2 вариант.

1).  Диагонали прямоугольника MNKP  пересекаются в точке О,MON= 64°. Найдите  ОМР.       2).  Найдите углы равнобокой трапеции, если один из ее углов на 30° больше второго.

3). Стороны  параллелограмма  относятся  как       3 : 1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма.

4).  В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равна 48°. Найдите углы трапеции.

5).* Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD образует со стороной АВ угол 30°, длина диагонали  АС  равна 6 см. Найдите AM, если точка М лежит на продолжении стороны AD.

                                                                    Контрольная работа № 2.

  1.                                1 вариант.

1).  Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.

2).  Катеты  прямоугольного  треугольника  равны    6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника.

3).  Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 и 10 см.

4).* В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

                                     2 вариант.

1).  Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше высоты. Найдите площадь треугольника.

2).  Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и гипотенузу треугольника.

3).  Диагонали ромба равны 10 и 12 см. Найдите его площадь и периметр.

4).* В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

                                                             Контрольная работа № 3.

                                   1 вариант.

1).  По рис. A = B, СО = 4, DO = 6, АО = 5.

Найти: а).  ОВ;  б).  АС : BD;  в).  .

2).  В треугольнике  ABC  сторона АВ = 4 см, ВС = 7 см, АС = 6 см, а в треугольнике MNK  сторона МК = 8 см, MN =12 см, KN = 14 см. Найдите углы треугольника MNK, если A = 80°, B = 60°.        

3). Прямая пересекает стороны треугольника ABC в точках М и К соответственно так, что МК || АС, ВМ : АМ = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника  ABC  равен  25 см.

4).  В трапеции  ABCD  (AD и ВС основания)  диагонали  пересекаются  в точке О, AD = 12 см,  ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника  ВОС, если  площадь треугольника  AOD  равна 45 см2. 

                                   2 вариант.

1).  По рис. РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) .  МК;  б).  РЕ : NК;  в). .

                       

2).  В  ∆ АВС  АВ = 12 см, ВС = 18 см, В = 70 0, а  в  ∆ МNК  МN = 6 см, NК = 9 см, N = 70 0. Найдите сторону  АС  и  угол  С  треугольника  АВС, если  МК =  7 см, К = 60 0.

3).  Отрезки АВ и CD пересекаются в точке  О так, что ACO = BDO, АО : ОВ = 2:3. Найдите периметр треугольника  АСО, если  периметр  треугольника  BOD равен 21 см.

4). В трапеции ABCD ( AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О,  = 32 см2,  = 8 см2. Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

                                                                Контрольная работа № 4.

                                     1 вариант.

1).  Средние линии треугольника относятся как     2 : 2 : 4, а периметр треугольника равен 45 см. Найдите стороны треугольника.

2). Медианы треугольника ABC пересекаются в точке О. Через точку  О проведена прямая, параллельная стороне  АС  и пересекающая стороны  АВ  и  ВС  в точках  Е  и  F соответственно. Найдите  EF, если сторона АС равна 15 см.

3).  В прямоугольном треугольнике  ABC (C = 90° )  АС = 5 см, ВС = 5 см. Найдите угол  В  и гипотенузу АВ.

4).  В треугольнике ABC A =, C =, сторона  ВС = 7 см, ВН – высота. Найдите АН.

5).  В трапеции  ABCD  продолжения боковых сторон пересекаются в точке К, причем точка  В — середина отрезка  АК. Найдите сумму оснований трапеции, если  AD = 12 см.

  1.                                        2 вариант.

1).  Стороны треугольника относятся как 4 : 5 : 6,  а периметр треугольника, образованного его средними линиями, равен 30 см. Найдите средние линии треугольника.

2). Медианы треугольника MNK пересекаются в точке О. Через точку  О проведена прямая, параллельная стороне МК и пересекающая стороны MN и NK в точках  А и В соответственно. Найдите МК, если длина отрезка  АВ равна 12 см.

3).  В прямоугольном  треугольнике  РКТ (T = 90° ),  РТ = 7см, КТ = 1 см. Найдите угол К и гипотенузу КР.

4).  В треугольнике  ABC  A = , C =, высота ВН равна 4 см. Найдите АС.

5).  В трапеции MNKP продолжения боковых сторон пересекаются в точке Е, причем ЕК = КР. Найдите разность оснований трапеции, если  NK = 7 см.

  1.                                                                     Контрольная работа № 5.

                              1 вариант.

1).   АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см.

2).  По рисунку  АВ : BC = 11 : 12.
Найти: BCA, BAC.

3).  Хорды MN и РК пересека-

ются в точке Е так, что

ME = 12 см, NE = 3 см,

 РЕ = КЕ. Найдите РК.

4).  Окружность с центром О и

радиусом 16 см описана около треугольника ABC так, что угол OAB равен 30°, угол OCB равен  45°. Найдите стороны АВ и ВС треугольника.

                                   2 вариант.

1).  MN и МК — отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 5 см. Найдите MN и МК, если МО = 13 см.

2).  По рисунку AB : АС=5 : 3.
Найти: BOC,  ABC.

3).  Хорды АВ и CD пересека –

ются в точке  F так, что

AF = 4 см, ВF = 16 см, CF = DF.  Найдите CD.

  1. 4).  Окружность с центром О и
  2.  радиусом 12 см описана около
  3. треугольника MNK так, что угол MON равен 120°, угол NOK равен 90°.  Найдите стороны MN  и  NK треугольника.

Задача по математике: Ромб — вопрос № 4643, алгебра, выражение переменной из формулы

Один угол ромба равен 136°, а длина меньшей диагонали 8 см. Найдите длину большей диагонали и сторону ромба.

Правильный ответ:

u =  19,8007 см
a =  10,6779 см

/2)=8⋅ tan(136/2)=19,8007 см

a=(u/2)2+(v/2)2

​=(19,8007/2)2+(8/2)2

​=10,6779 см

Попробуйте рассчитать с помощью нашего калькулятора треугольников.


Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

пишите нам

. Спасибо!

Советы по использованию связанных онлайн-калькуляторов

См. также наш калькулятор прямоугольного треугольника.
См. также наш калькулятор тригонометрического треугольника.

Для решения этой математической задачи вам необходимо знать следующие знания:

  • algebra
  • expression of a variable from the formula
  • planimetrics
  • Pythagorean theorem
  • right triangle
  • triangle
  • rhombus
  • diagonal
  • goniometry and trigonometry
  • tangent
Units of physical количество:
  • угол
Уровень задачи:
  • практика для 14-летних
  • старшая школа

 

Предлагаем вам посмотреть обучающее видео по этой математической задаче: видео1   видео2   видео3

  • Один из
    Один из внутренних углов ромба равен 120°, а его меньшая диагональ равна 3,4 метра. Найдите периметр ромба.
  • Ромб 4
    Длина стороны ромба 10 см. Найдите углы при каждом углу ромба, если меньшая из двух диагоналей равна 7 см. Дайте свои ответы с точностью до степени и дайте четкие геометрические рассуждения на каждом этапе вашего решения.
  • Диагонали
    Вычислите длину диагоналей ромба, если его сторона 5 и один из внутренних углов равен 80°.
  • Площадь
    Площадь ромба 143 м². Если длинная диагональ равна 26 м, найдите меньшую диагональ в дюймах с именем d1.
  • Окружность 6525
    Окружность треугольника 104 см. Одна сторона на 6 см длиннее и на 8 см короче третьей. Найдите длины его сторон.
  • Диагональ
    Диагональ прямоугольника имеет длину 41,4 см. Угол между диагональю и большей стороной прямоугольника равен 26°. Вычислите площадь прямоугольника.
  • Ромб
    Стороны ромба имеют длину 10 см, а угол между двумя соседними сторонами составляет 76 градусов. Найдите длину большей диагонали ромба.
  • Ромб
    Внутренние углы ромба относятся как 2:3. Во сколько раз меньшая диагональ длиннее стороны ромба?
  • Алмаз и углы
    Внутренние углы в ромбе составляют 60° и 120°. Длина его стороны 5 см. Найдите площадь ромба.
  • Окружность 26361
    Бриллиант ABCD имеет окружность 72 см. Угол большей диагонали животного с отрезком АВ равен 30°. Вычислите площадь ромба ABCD.
  • Клумба 2540
    Клумба имеет форму ромба со стороной а = 35 дм. Длина большей диагонали составляет 56 дм. Рассчитайте площадь клумбы.
  • 30-60-90
    Длина более длинной стороны треугольника 30°-60°-90° 5. Какова длина более короткой стороны?
  • Призма
    Основание призмы представляет собой ромб со стороной 30 см и высотой 27 см. Высота призмы на 180 % больше длины стороны ромба. Вычислите объем призмы.
  • Ромб IV
    Вычислите длины диагоналей ромба, размеры которых относятся как 1:2, а сторона ромба равна 35 см.
  • Ромб
    У ромба площадью 137 одна диагональ длиннее второй на 5. Вычислите длины диагоналей и сторон ромба.
  • Диагонали
    Диагональ ромба имеет длину 20 см. Найдите длину другой диагонали, если ее сторона равна 26 см.
  • Три стороны
    Сторона b на 2 см длиннее стороны c, сторона a равна 9см короче стороны b. Длина окружности треугольника 40 см. Найдите длины сторон а, b и с.

Что это такое?, площадь, периметр, факты и примеры

Ромб представляет собой параллелограмм с четырьмя конгруэнтными сторонами (стороны равной длины). Квадрат – это частный случай ромба. Следовательно, ромб – это четырехугольник с четырьмя равными сторонами. Таким образом, определяя ромб, мы можем сказать, что:

Ромб — это тип четырехугольника, в котором обе пары противоположных сторон параллельны, и все стороны имеют одинаковую длину, а все противоположные углы равны. как алмаз любая сторона ромба может быть выбрана в качестве основания ромба перпендикуляр, опущенный на эту сторону из противоположной вершины, известен как его высота или высота

Свойства ромба:

  1. У ромба две пары параллельных сторон
  2. Противоположные углы в ромбе равны.
  3. У ромба четыре равные стороны. Это означает, что все его стороны равны.
  4. Диагонали ромба делят друг друга пополам
  5. Диагонали ромба перпендикулярны друг другу

Поймем каждое из вышеперечисленных свойств через ромб ABCD.

Свойства ромба

Давайте разберем каждое из вышеперечисленных свойств через изображенный ниже ромб ABCD.

  1. Ромб ABCD имеет две пары параллельных сторон, а именно (AB и CD) и (AD и BC)
  2. У ромба ABCD все стороны равны, т.е. AB = CD = AD = BC
  3. углы равны, то есть ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.
  4. Диагонали ромба делят друг друга пополам, т.е. AP = PC и BP = PD
  5. Диагонали ромба ABCD перпендикулярны друг другу, т.е. АС ⟂ BD.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Некоторые свойства ромба:

  1. Все стороны ромба равны.
  2. Поскольку все стороны ромба равны, он также известен как равносторонний четырехугольник .
  3. Диагонали ромба делят друг друга пополам под прямым углом.
  4. Помимо сторон, площадь ромба можно вычислить и по его диагоналям.

Площадь ромба с учетом его сторон

Так как ромб представляет собой параллелограмм, у которого все стороны равны, то формула площади параллелограмма справедлива и для вычисления площади ромба.

Отсюда

Площадь ромба = основание x высота

Пример :

Пусть у нас есть ромб, высота которого 7 см, а периметр ромба 180 см.

Решение

Дано, что

Высота ромба = 7 см

Периметр ромба = 180 см.

Нам нужно найти площадь ромба. Для этого нужно сначала найти сторону ромба.

Теперь вспомните, что периметр замкнутой фигуры равен сумме всех ее сторон. Так как ромб является четырехугольником, у которого все стороны равны, то можно сказать, что если ромб имеет сторону «а», то

а + а + а + а = 180 см

4а = 180 см

а = 45 см

Отсюда сторона (основание) ромба = 45 см

Теперь, чтобы вычислить площадь ромба, мы знаем, что

Площадь ромба = Основание x Высота

Следовательно,

Площадь = (45 x 7) см 2 = 315 см 2

3 3 Площадь ромба по его диагоналям

Мы также можем вычислить площадь ромба, если знаем его диагонали. Формула для вычисления площади ромба, когда мы знаем его диагонали, задается следующим образом:

Площадь ромба = $\frac{1}{2}$  x (Произведение диагоналей)

Если d 1 и d 2 — две диагонали ромба, то

Площадь ромба = $\frac{1}{2}$  x (d 5 1 2 x 902 2 )

Пример

Если две диагонали ромба равны 9 см и 12 см соответственно, найдите площадь ромба.

Решение

Мы знаем, что нам даны диагонали, площадь ромба = $\frac{1}{2}$  x (d 1 x d 2 )

Здесь две диагонали равны 9 см и 12 см.

Итак, пусть

D1 = 9 см и d2 = 12 см.

Площадь ромба = $\frac{1}{2}$  x (d 1 x d 2 ) = $\frac{1}{2}$  x (9 x 12) см 2 = 54 см 2

Отсюда площадь ромба = 54 см 2

Периметр замкнутой фигуры равен сумме всех ее сторон. Мы знаем, что ромб — это разновидность четырехугольника, у которого все стороны равны. Следовательно, периметр ромба будет полной мерой его границы. Итак, как найти периметр ромба? Давайте узнаем.

Периметр ромба по сторонам

Периметр ромба очень просто найти, если известны размеры его сторон. Чтобы найти периметр, нужно найти сумму всех его сторон. Поскольку у ромба 4 стороны,

Отсюда

Периметр ромба = 4 x Сторона

Разберем это на примере.

Предположим, у нас есть ромб, каждая сторона которого равна 4 см. Каков будет его периметр?

Мы узнали, что периметр ромба равен сумме его четырех сторон. Кроме того, у ромба все четыре стороны равны. У нас есть формула для нахождения периметра ромба:

Периметр ромба = 4 x сторона

Здесь сторона = 4 см

Следовательно, периметр ромба = 4 x 4 = 16 см

Итак, мы теперь знаем, как найти периметр ромба, используя его стороны. А что, если вместо сторон нам известны диагонали ромба? Можем ли мы все же найти его периметр? Давайте узнаем.

Периметр ромба по диагоналям

Мы научились находить периметр ромба, зная его стороны. Но когда мы знаем диагонали вместо сторон, мы используем теорему Пифагора, чтобы узнать стороны. Давайте посмотрим, как.

Для определения длины сторон используются следующие свойства ромба:

  • Ромб разделен на 4 конгруэнтных прямоугольных треугольника двумя диагоналями.
  • Диагонали делят друг друга пополам под прямым углом.

Предположим, у нас есть следующий ромб, где диагональ AC = a и диагональ BD = b

Теперь рассмотрим треугольник APD. Используя теорему Пифагора, мы можем сказать, что

AP 2 + PB 2 9{2}}$

= $2\times\sqrt{36+64}$

= $2\times\sqrt{100}$

 = $2 \times 10 = 20$ см

Следовательно, периметр данный ромб = 20 см

  1. Термин «ромб» был получен из греческого слова «ромб (ῥόμβος)», что означает что-то, что вращается, и этот термин в конечном итоге был получен из греческого глагола «rhembō (ῥέμβω)», который значит крутиться по кругу.
  2. Ромб можно найти в самых разных вещах вокруг нас, таких как воздушный змей, окна автомобиля, серьги в форме ромба, конструкция здания, зеркала и даже участок бейсбольного поля.
  3. Квадраты — это ромбы. Это просто ромб, у которого все углы прямые. Хотя наиболее распространенным термином, используемым для описания этой формы в геометрии, является «ромб», вы также можете услышать, что форма называется ромбом или ромбом. Множественное число для некоторых из них — ромбы или ромбы.

Пример 1    

Сторона ромба равна 6,5 см, а высота 4 см. Найдите его площадь

Решение               

Нам известно, что сторона ромба равна 6,5 см, а его высота равна 4 см.

Теперь мы знаем, что если нам известны сторона ромба и его высота, то площадь ромба рассчитывается по формуле:

Площадь ромба = основание x высота

Подставляя данные значения в Вышеуказанная формула, которую мы получаем,

Площадь ромба = (6,5 x 4) CM 2 = 26 см 2

Отсюда, площадь ромба = 26 см 2

Пример 2 2

Пример 2 2

. Площадь ромба 72 см 2 . Найдите его высоту, если его периметр равен 32 см.

Решение             

Нам известно, что площадь ромба равна 72 см 2 , а его периметр равен 32 см.

Теперь,

Периметр ромба = 32см.

Это означает, что сумма его четырех сторон = 32 см. Пусть одна из сторон ромба равна а. Тогда

4a = 32 см

⇒ a = $\frac{32}{4}$ = 8 см

Итак, теперь мы знаем, что сторона ромба равна 8 см.

Также нам известно, что площадь ромба равна 72 см 2            

Мы также знаем формулу для вычисления площади ромба, которая равна

Площадь ромба = Основание x Высота

Подставляя значения площади и стороны (основания) в приведенном выше уравнении имеем

72 = 8 x Высота

⇒ Высота = $\frac{72}{8}$  см = 9 см

Отсюда высота (высота ) ромба 9 см

Пример 3     

Если сторона квадрата равна 4 м, и он превращается в ромб, большая диагональ которого равна 6 м; найти другую диагональ и площадь ромба.

Решение              

Нам известно, что сторона квадрата превращается в ромб. Пусть ABCD — квадрат, который превратился в ромб. Теперь у нас есть АВ = 4 м. Также известно, что длина большой диагонали равна 6 м. Следовательно,

Пусть AC — большая диагональ, а BD — малая диагональ ромба. Нам дали это,

AC = 6 м

Мы знаем, что диагонали ромба делятся пополам под прямым углом. Пусть диагонали AC и BD пересекают друг друга под прямым углом в точке O.

Следовательно, мы можем сказать, что

OA = $\frac{1}{2}$ x AC = 3 м и ∠AOB = 90 o

Используя теорему Pythagoras, мы будем иметь

AB 2 = OA 2 + OB 2

⇒ 4 2 = 3 2

+ ob 2 = 3 2

+ ob 2 2 + ab 2 + 2 + 2 .0235 2 = 16 – 9

⇒ OB 2 = 7

⇒ OB = $\sqrt{7}$ m

Теперь мы знаем, что диагональ BD = 2 x OB.

Следовательно,

BD = 2 x $\sqrt{7}$ m =2$\sqrt{7}$ m

Отсюда другая диагональ ромба = $2\sqrt{7}$  m

Теперь нам нужно найти площадь ромба.

Мы знаем, что можем найти площадь ромба, если знаем значения его диагоналей, формула для которых равна

Площадь ромба = $\frac{1}{2}$ x (Произведение диагоналей)

Диагонали ромба равны 6 м и $2\sqrt{7}$ м соответственно. Следовательно,

Площадь ромба = $\frac{1}{2}\times (6\times 2\sqrt{7})$

Площадь ромба = $6\sqrt{7}$ м 2

Отсюда площадь данного ромба = $6\sqrt{7}$ м 2

Пример 4    

Одна из диагоналей ромба равна одной из его сторон. Найдите углы ромба.

Решение             

Нам известно, что диагонали ромба равны одной из его сторон. Нам нужно найти углы ромба.

Пусть ABCD — ромб, у которого диагонали BD равны сторонам.

Это означает, что стороны AB = BC = CD = AD = BD

Также можно сказать, что

DABD и DBCD равносторонние. Это означает, что

∠A = ∠C = 60° ……………………………….. (1)

Теперь угол, образованный при A, и угол, образованный при B, являются смежными углами. Поэтому можно сказать, что

∠A + ∠B = 180° ………………………………….. (2)

Подставив значение РA из уравнения (1) в уравнение (2), получим,

60° + ∠B = 180°

∠B = 180° – 60°

∠B = 120°

Теперь, когда у нас есть значения ∠B, а также ∠A, мы можем сказать, что

Следовательно, ∠A = 60° = ∠C и ∠B = ∠D = 120°

Следовательно, четыре угла ромба равны ∠A = ∠C = 60° = и ∠B = ∠D = 120°

Пример 5    

Если площадь ромба 48 кв. см, а одна из его диагоналей 6 см, то найдите его высоту

Решение           

Пусть ABCD — заданный ромб, диагональ AC = 6 см.

Теперь площадь ромба ABCD = 48 кв.см

Теперь мы знаем, что

Площадь ромба = $\frac{1}{2}$ x (Произведение диагоналей)

⇒ Площадь ромб = $\frac{1}{2}$ x 6 x BD

⇒ 48 = $\frac{1}{2}$ x 6 x BD

⇒ BD = 16 см

Поскольку диагонали а ромбы делят друг друга пополам под прямым углом, поэтому

OA = $\frac{1}{2}AC$ = 3 см и OB = $\frac{1}{2}BD$ = 8 см

Кроме того, треугольник OAB является прямым углом. Поэтому, используя теорему Pythagoras, мы имеем

AB 2 = OA 2 + OB 2

⇒ AB 2 = 3 2 + 8 2 = 3 2 + 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2

. 9 + 64

⇒ AB 2 = 73

⇒ AB = $\sqrt{73}$ см

Теперь площадь ромба ABCD = 48 см 2

Это означает, что База x Высота = 48 см 2

⇒ AB x Высота = 48

⇒ Высота x $\sqrt{73}$ = 48

⇒ Высота = $\frac{48}{\sqrt{ 73}}$  см

Следовательно, высота данного ромба = $\frac{48}{\sqrt{73}}$  см

  1. Квадрат, прямоугольник и ромб являются параллелограммами.
  2. Квадрат — это прямоугольник, а также ромб.
  3. Параллелограмм является трапецией, а не ромбом
  4. Воздушный змей не является параллелограммом
  5. Трапеция не является параллелограммом или ромбом (поскольку в трапеции параллельна только одна пара противоположных сторон, и мы требуем, чтобы обе пары были параллельны в параллелограмме).