Найдите отрицательный корень уравнения х2 х 6 0: Найти отрицательный корень: X²-x-6=0 — ответ на Uchi.ru

Задание №7 ЕГЭ по математике базовый уровень

---

---

В задании №7 базового уровня ЕГЭ по математике необходимо решить простейшие уравнения. Для этого нам понадобятся знания логарифмов, степеней и методы решения квадратных уравнений. Перейдем к рассмотрению и разбору подобных примеров.

---

Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике базового уровня

---

Вариант 7МБ1

[su_note note_color=”#defae6″] Найдите корень уравнения  [/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Раскрыть скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.
2. Все, выражения, содержащие переменную перенести в левую часть, а не содержащие в правую.
3. Преобразовать левую часть.
4. Преобразовать правую часть.
5. Решить уравнение относительно x, то есть найти неизвестный множитель.

Решение:

Раскроем скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x² + 6x + 9

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x – 9)² = x² – 2 · x · 9 + 9² = x² – 18x + 81

После преобразования выражение примет вид:

x² + 6x + 9 = x² – 18x + 81

Все выражения, содержащие переменную перенесем в левую часть, а не содержащие – в правую. При переносе из одной части равенства в другую знак меняется на противоположный.

x² + 6x – x² + 18x = 81 – 9

Преобразуем левую часть. Приведем подобные слагаемые. Объединим в скобки, сохранив знаки, те выражения, где содержится x² и x.

x² + 6x – x² + 18x = (x² – x²) + (6x +18x) = 0 + 24x = 24x

Выражение примет вид:

24x = 81 – 9

Преобразуем правую часть. 81 – 9 = 72

Выражение примет вид:

24x = 72

Решим уравнение относительно x, то есть найдем неизвестный множитель. Для того чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

x = 72 : 24

x = 3

Решение в общем виде:

Раскроем скобки в уравнении, получим:       Ответ: 3.

---

Вариант 7МБ2

[su_note note_color=”#defae6″] Найдите корень уравнения  [/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Раскрыть скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.
2. Все, выражения, содержащие переменную перенести в левую часть, а не содержащие в правую.
3. Преобразовать левую часть.
4. Преобразовать правую часть.
5. Решить уравнение относительно x, то есть найти неизвестный множитель.

Решение:

Раскроем скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x + 2)² = x² + 2 · x · 2 + 2² = x² + 4x + 4

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x – 8)² = x² – 2 · x · 8 + 8² = x² – 16x + 64

После преобразования выражение примет вид:

x² + 4x + 4 = x² – 16x + 64

Все выражения, содержащие переменную перенесем в левую часть, а не содержащие – в правую.

При переносе из одной части равенства в другую знак меняется на противоположный.

x² + 4x – x² + 16x = 64 – 4

Преобразуем левую часть. Приведем подобные слагаемые. Объединим в скобки, сохранив знаки, те выражения, где содержится x² и x.

x² + 4x – x² + 16x = (x² – x²) + (4x +16x) = 0 + 20x = 20x

Выражение примет вид:

20x = 64 – 4

Преобразуем правую часть. 64 – 4 = 60

Выражение примет вид:

20x = 60

Решим уравнение относительно x, то есть найдем неизвестный множитель. Для того чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

x = 60 : 20

x = 3

Решение в общем виде:

Раскроем скобки, получим: Ответ: 3.

---

Вариант 7МБ3

[su_note note_color=”#defae6″] Найдите корень уравнения  [/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Перенести вычитаемое в правую сторону равенства с противоположным знаком.
2. Преобразовать правую часть с учетом свойства: log_a 
   x + log_a y = log_a (x · y).
3. Приравнять логарифмические выражения. Можно так поступить, так как основания логарифмов в левой и правой части одинаковы.
4. Решить уравнение относительно x.

Решение:

Перенесем вычитаемое в правую сторону равенства с противоположным знаком. Преобразуем правую часть с учетом свойства: log_a x + log_a y = log_a (x · y). Выполним преобразование: Приравняем логарифмические выражения. Можно так поступить, так как основания логарифмов в левой и правой части одинаковы. Решим уравнение относительно x. Ответ: 1.

---

Вариант 7МБ4

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите корень уравнения 3^{x− 3} = 81.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Привести выражения в степенях к одинаковому основанию. В данном случае – это 3. Теперь необходимо вспомнить, какой степенью тройки является 81.
2. Когда основания равны, можно приравнять значения степеней

Если вы забыли, то для этого необходимо делить 81 на 3 до тех пор, пока не получим 3. Чтобы получить три из 81, нам нужно поделить 81 на 3 три раза: при первом делении мы получим 27, при втором – 9, при третьем – три.

Значит, 81 это три в четвертой степени. Запишем это:

Решение:

3^{x− 3} = 3⁴

х – 3 = 4

Откуда:

х = 7

Ответ: 7

---

Вариант 7МБ5

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите корень уравнения log₂( x − 3) = 6 .

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Логарифм по основанию два показывает нам число, в степень которого нам необходимо возвести основание, то есть двойку, чтобы получить число под логарифмом.

Решение:

x − 3 = 2⁶

x − 3 = 64

x = 67

Ответ: 67

---

Вариант 7МБ6

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите отрицательный корень уравнения x² − x − 6 = 0.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Вычислить дискриминант
2. Найти корни
3. Выбрать необходимый корень

D = b² − 4ac

Решение:

D = -(1)² − 4 • 1 • (-6) = 25

x = (- b ±√D) : 2a

x = (1 + 5) : 2 = 3

x = (1 – 5) : 2 = -2

Так как нам необходим отрицательный корень – ответ -2

Ответ: -2.

---

Вариант 7МБ7

[su_note note_color=”#defae6″]

Решите уравнение х² = –2х + 24.

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите больший из них.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Переносим влево часть ур-ния, стоящую справа от знака «=». Получаем кв.уравнение стандартного вида.
2. Поскольку уравнение является приведенным, используем для нахождения корней т.Виета.
3. Записываем в качестве ответа большее из полученных 2 чисел.

Решение:

х² = –2х +24

х² +2х – 24 = 0

По т.Виета х₁+х₂=–b, x₁·x₂=c. В нашем ур-нии b=2, c=24. Подбираем подходящую пару чисел, получаем: х₁=–6, х₂=4.

Поскольку требуется указать больший из корней, то ответом будет 4.

Ответ: 4

---

Вариант 7МБ8

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите корни уравнения 4^х–6 = 64.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Представляем 64 как степень с основанием 4, т.е. приводим выражения справа и слева к степеням с одинаковым основанием.
2. Опускаем одинаковые основания и переходим к равенству показателей. Ур-ние стало простейшим линейным.
3. Находим корень ур-ния.

Решение:

4^х–6 = 64

4^х–6 = 4³

х – 6 = 3

х = 9

Ответ: 9

---

Вариант 7МБ9

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите корень уравнения log₃ (2x – 5) = 2.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Преобразуем часть уравнения справа от знака «=», используя св-ва логарифмов log_xx=1 и log_xyⁿ=nlog_xy.
2. Переходим от равенства логарифмов к равенству выражений, стоящих под их знаками.
3. Решаем полученное линейное ур-ние.

Решение:

log₃ (2x – 5) = 2

log₃ (2x – 5) = 2 · log₃3

log₃ (2x – 5) = log₃3²

2x – 5 = 3²

2x – 5 = 9

2x = 14

x=7

Ответ: 7

---

Вариант 7МБ10

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите корень уравнения

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Преобразовываем обе части ур-ния: приводим их к степеням с основанием 3. Для этого используем св-во степеней (1/а)^х=а^–х.
2. Поскольку основания степеней слева и справа в ур-нии теперь одинаковы, то можем их опустить и приравнять показатели.
3. Решаем полученное линейное ур-ние.

Решение:

–x + 9 = –2

–x = –2–9

x = 11

Ответ: 11

---

Вариант 7МБ11

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите корень уравнения (х – 8)² = (х – 2)².

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Раскрываем скобки слева и справа, используя ф-лу сокращенного умножения (х–у)²=х²–2ху–у².
2. Переносим влево часть уравнения справа от знака «=». Справа получаем 0.
3. Приводим подобные слагаемые. В результате уравнение стало линейным.
4. Решаем полученное уравнение.

Решение:

(х – 8)² = (х – 2)²

х² – 2 · х ·8 + 8² = х² – 2 · х · 2 + 2²

х² – 16х + 64 = х² – 4х + 4

х² – 16х +64 – х² + 4х – 4 = 0

–12х + 60 = 0

–12х = –60

х = 5

Ответ: 5

---

Вариант 7МБ12

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите корень уравнения

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Преобразовываем обе части ур-ния так, чтобы привести их к степеням с одинаковым основанием 7. Для выражения слева применяем св-во степеней (1/а)^х=а^–х.
2. Применяем св-во показат.уравнений: если степени с одинаковыми основаниями равны, то равны и их показатели. Отсюда переходим к линейному ур-нию.
3. Решаем его.

Решение:

–(x–5) = 2

5 – x = 2

–x = 2 – 5

x = 5 – 2

x = 3

Ответ: 3

---

Вариант 7МБ13

[su_note note_color=”#defae6″]

Решите уравнение х² – 25 = 0

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Переносим 25 в правую часть ур-ния.
2. Выражаем из ур-ния х путем извлечения корня из 25.
3. Определяем корни, сравниваем их, определяем больший.

Решение:

х² – 25 = 0

х² = 25

х = ±√25

х₁ = –5, х₂ = 5

Для ответа берем 5.

Ответ: 5

---

Вариант 7МБ14

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите корень уравнения

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Применим св-во логарифмических равенств: если логарифмы с одинаковыми основания равны, то равны и их подлогарифменные выражения. В результате получаем равенство из выражений, стоящих под знаком логарифма.
2. Решаем полученное линейное ур-ние.

Решение:

log₅ (24 – 7x) = log₅ 3

24 – 7x = 3

–7x = 3 – 24

7x = 21

x = 3

Ответ: 3

---

Вариант 7МБ15

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите корень уравнения

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. Приводим обе части ур-ния к степеням с основанием 2. При этом для преобразования выражения слева используем св-во степеней (1/а)^х=а^–х.
2. Получив слева и справа степени с одинаковым основанием, опускаем это основание и приравниваем показатели этих степеней. Получаем линейное ур-ние.
3. Решаем его.

Решение:

2^–(x–8) = 2³

–x+8 = 3

–x = 3–8

x = 5

Ответ: 5

---

Вариант 7МБ16

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите корень уравнения

[/su_note]

Алгоритм выполнения

1. К левой части уравнения применяем св-во логарифмов log_a(x/y)=log_ax–log_ay. {2}+2 x-3}
   2 «.

   Шаг за пошаговым решением:

   Шаг 1:

   Пытаясь учитывать, разделяя средний термин

   1.1 Факторинг x ² -x -6

   Первый термин -x ² его коэффициент равен 1.
   Средний член равен -x, его коэффициент равен -1.
   Последний член, «константа», равен -6

   Шаг 1: Умножьте коэффициент первого члена на константу   1 • -6 = -6 

   Шаг 2. Найдите два множителя -6 , сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен -1 .
   

   	-6	+	1	=	-5
   	-3	+	2	=	-1	That’s it

   
   Шаг 3. Перепишите полином, разделяющий средний член, используя два множителя, найденные на шаге 2 выше, -3 и 2 0005

   Шаг 4 : Сложите первые 2 члена, выделив одинаковые множители :
                              5 : Сложите четыре условия шага 4 :
                      (x+2)  •  (x-3)
                Какая нужна факторизация

   Уравнение в конце шага 1 :

    (x + 3) = 0
    

   Шаг 2 :

   Теория — корни продукта:

    2. 1    Произведение нескольких слагаемых равно нулю.

    Если произведение двух или более слагаемых равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю.

    Теперь мы будем решать каждый термин = 0 отдельно

    Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов в произведении

    Любое решение термина = 0 также решает произведение = 0.

   Решение уравнения с одной переменной :

    2.2      Решение  :    x+2 = 0 

   Вычитание 2 с обеих сторон уравнения:
   x = -2
   

   Решение единого переменного уравнения:

   2,3 Решение: x -3 = 0

   Добавить 3 к обеим сторонам уравнения:
   x = 3
   

   Приложение: Решение квадратного уравнения напрямую

    Решение  x  2  -x-6  = 0 напрямую 

   Ранее мы факторизовали этот многочлен, разделив средний член. давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратную формулу

   Парабола, нахождение вершины :

    3. 1      Найдите вершину    y = x ² -x-6

   Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной . Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).

    Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.

    Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую ​​информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

    Для любой параболы, Ax ² +Bx+C, x-координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата x равна  0,5000  

   Подставив в формулу параболы 0,5000 вместо x, мы можем вычислить координату y:
   y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 6,0

   Корневой график для:  y = x ² -x-6
   Ось симметрии (штриховая)  {x}={ 0,50} 
   Вершина в  {x,y} = {0,50,-6,25} 
    x -Перехваты (корни ) :
   Корень 1 при {x,y} = {-2,00, 0,00} 
   Корень 2 при {x,y} = {3,00, 0,00} 

   Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

    3.2     Решение   x ² -x-6 = 0 путем заполнения квадрата.

    Прибавьте 6 к обеим частям уравнения:
      x ² -x = 6

   Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент при  x , равный 1, разделите на два, получив 1/2, и, наконец, возведите его в квадрат. что дает 1/4 

   Добавьте 1/4  к обеим частям уравнения:
    В правой части мы имеем:
      6  + 1/4    или (6/1)+(1/4) 
     Общий знаменатель две дроби равны 4   Добавление (24/4)+(1/4) дает  25/4 
     Таким образом, прибавив к обеим сторонам, мы окончательно получим :
      x ² -x+(1/4) = 25/4

   Добавление 1/4  дополнит левую часть до полного квадрата:
      x ² -x+ (1/4)  =
      (x-(1/2)) • (x-(1/2))  =
     (x-(1/2)) ²
   Вещи, равные одной и той же вещи, также равны между собой. Так как
      x ² -x+(1/4) = 25/4 и
      x ² -x+(1/4) = (x-(1/2)) ²
   , то по закону транзитивности,
      (x-(1/2)) ² = 25/4

   Мы будем называть это уравнение уравнением #3.2.1  

   Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

   Обратите внимание, что квадратный корень из
      (x-(1/2)) ²   равен
      (x-(1/2)) ^2/2  =
     (x-(1/2)) ¹  =
      x-(1/2)

   Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению #3.2.1  получаем:
      x-(1/2) = √ 25/4

   Добавьте  1/2 к обеим частям, чтобы получить:
      x = 1/2 + √ 25/4

   Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
      x ² — x — 6 = 0
      имеет два решения:
     x = 1/2 + √ 25/4
      или
     x = 1/2 — √ 25/4

   Обратите внимание, что √ 25/4 может быть записано как
     √ 25 / √ 4   что равно 5/2
   

   Решение квадратного уравнения

    3. 3     Решение    x ² -x-6 = 0 по квадратичной формуле .

    Согласно квадратичной формуле,  x  , решение для   Ax ² +bx +c = 0, где A, B и C -числа, часто называемые коэффициентами, определяется:
   
   -B ± √ B ² -4AC
   x =———— ——
   2A

   В нашем случае A = 1
   B = -1
   C = -6

   Соответственно, B ² -4AC =
   1 -(-24) =
   25

   Применение формулы квадрата:

                 1 ± √ 25
      x  =    —————
                                                 2

   Можно упростить 5 √?

   Да! Разложение числа 25 на простые множители равно
      5•5 
   . Чтобы можно было удалить что-то из-под корня, должно быть 2 этих экземпляра (поскольку мы берем квадрат, т.е. второй корень).

   √ 25   =  √ 5•5   =
                   ±  5 • √ 1   =
                                       ±  5

   Итак, теперь мы смотрим на: 92-x-6=0 Tiger Algebra Solver

   Пошаговое решение :

   Шаг 1 :

   Попытка факторизовать путем разделения среднего члена ,  x

   ²  его коэффициент равен 1 .
   Средний член равен  -x, его коэффициент равен -1 .
   Последний член, «константа», равен -6 

   Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу   1 • -6 = -6 равен коэффициенту среднего члена, который равен   -1 .
   

   	-6	+	1	=	-5
   	-3	+	2	=	-1	That’s it

   
   Шаг 3. Перепишите полином, разделяющий средний член, используя два множителя, найденные на шаге 2 выше, -3 и 2 0005

   Шаг 4 : Сложите первые 2 члена, выделив одинаковые множители :
                              5 : Сложите четыре условия шага 4 :
                      (x+2)  •  (x-3)
                Какая нужна факторизация

   Уравнение в конце шага 1 :

    (x + 3) = 0
    

   Шаг 2 :

   Теория — корни продукта:

    2. 1    Произведение нескольких слагаемых равно нулю.

    Если произведение двух или более слагаемых равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю.

    Теперь мы будем решать каждый термин = 0 отдельно

    Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов в произведении

    Любое решение термина = 0 также решает произведение = 0.

   Решение уравнения с одной переменной :

    2.2      Решение  :    x+2 = 0 

   Вычитание 2 с обеих сторон уравнения:
   x = -2
   

   Решение единого переменного уравнения:

   2,3 Решение: x -3 = 0

   Добавить 3 к обеим сторонам уравнения:
   x = 3
   

   Приложение: Решение квадратного уравнения напрямую

    Решение  x  2  -x-6  = 0 напрямую 

   Ранее мы факторизовали этот многочлен, разделив средний член. давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратную формулу

   Парабола, нахождение вершины :

    3. 1      Найдите вершину    y = x ² -x-6

   Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной . Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).

    Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.

    Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую ​​информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

    Для любой параболы, Ax ² +Bx+C, x-координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата x равна  0,5000  

   Подставив в формулу параболы 0,5000 вместо x, мы можем вычислить координату y:
   y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 6,0

   Корневой график для:  y = x ² -x-6
   Ось симметрии (штриховая)  {x}={ 0,50} 
   Вершина в  {x,y} = {0,50,-6,25} 
    x -Перехваты (корни ) :
   Корень 1 при {x,y} = {-2,00, 0,00} 
   Корень 2 при {x,y} = {3,00, 0,00} 

   Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

    3.2     Решение   x ² -x-6 = 0 путем заполнения квадрата.

    Прибавьте 6 к обеим частям уравнения:
      x ² -x = 6

   Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент при  x , равный 1, разделите на два, получив 1/2, и, наконец, возведите его в квадрат. что дает 1/4 

   Добавьте 1/4  к обеим частям уравнения:
    В правой части мы имеем:
      6  + 1/4    или (6/1)+(1/4) 
     Общий знаменатель две дроби равны 4   Добавление (24/4)+(1/4) дает  25/4 
     Таким образом, прибавив к обеим сторонам, мы окончательно получим :
      x ² -x+(1/4) = 25/4

   Добавление 1/4  дополнит левую часть до полного квадрата:
      x ² -x+ (1/4)  =
      (x-(1/2)) • (x-(1/2))  =
     (x-(1/2)) ²
   Вещи, равные одной и той же вещи, также равны между собой. Так как
      x ² -x+(1/4) = 25/4 и
      x ² -x+(1/4) = (x-(1/2)) ²
   , то по закону транзитивности,
      (x-(1/2)) ² = 25/4

   Мы будем называть это уравнение уравнением #3.2.1  

   Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

   Обратите внимание, что квадратный корень из
      (x-(1/2)) ²   равен
      (x-(1/2)) ^2/2  =
     (x-(1/2)) ¹  =
      x-(1/2)

   Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению #3.2.1  получаем:
      x-(1/2) = √ 25/4

   Добавьте  1/2 к обеим частям, чтобы получить:
      x = 1/2 + √ 25/4

   Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
      x ² — x — 6 = 0
      имеет два решения:
     x = 1/2 + √ 25/4
      или
     x = 1/2 — √ 25/4

   Обратите внимание, что √ 25/4 может быть записано как
     √ 25 / √ 4   что равно 5/2
   

   Решение квадратного уравнения

    3.