Тождества: определение, обозначение, примеры

Начнем разговор о тождествах, дадим определение понятия, введем обозначения, рассмотрим примеры тождеств.

Что представляет собой тождество

Начнем с определения понятия тождества.

Определение 1

Тождество представляет собой равенство, которое верно при любых значениях переменных. Фактически, тождеством является любое числовое равенство.

По мере разбора темы мы можем уточнять и дополнять данное определение. Например, если вспомнить понятия допустимых значений переменных и ОДЗ, то определение тождества можно дать следующим образом.

Определение 2

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

Про любые значения переменных при определении тождества речь идет в пособиях и учебниках по математике для 7 класса, так как школьная программа для семиклассников предполагает проведение действий исключительно с целыми выражениями (одно- и многочленами). Они имеют смысл при любых значениях переменных, которые входят в их состав.

Программа 8 класса расширяется за счет рассмотрения выражений, которые имеют смысл только для значений переменных из ОДЗ. В связи с этим и определение тождества меняется. Фактически, тождество становится частным случаем равенства, так как не каждое равенство является тождеством.

Знак тождества

Запись равенства предполагает наличие знака равенства «=», от которого справа и слева располагаются некоторые числа или выражения. Знак тождества имеет вид трех параллельных линий «≡». Он также носит название знака тождественного равенства.

Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства. Знак тождества может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.

Примеры тождеств

Обратимся к примерам.

Пример 1

Числовые равенства 2≡2 и -3≡-3 это примеры тождеств. Согласно определению, данному выше, любое верное числовое равенство по определению является тождеством, а приведенные равенства верные. Их также можно записать следующим образом 

2≡2 и -3≡-3.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание   Пример 2

Равенства 2+3=5 и 7−1=2·3 также можно считать тождествами, так как они являются вернными. Здесь также допустима запись 2+3≡5 и 7−1≡2·3.

Тождества могут содержать не только числа, но также и переменные.

Пример 3

Возьмем равенство 3·(x+1)=3·x+3. Это равенство является верным при любом значении переменной x. Подтверждает сей факт распределительное свойство умножения относительно сложения. Это значит, что приведенное равенство является тождеством.

Пример 4

Возьмем тождество y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y2:y. Рассмотрим область допустимых значений переменных x и y. Это любые числа, кроме нуля.

Пример 5

Возьмем равенства x+1=x−1, a+2·b=b+2·а и |x|=x. Существует ряд значений переменных, при которых эти равенства неверны. Например, при при x=2 равенство x+1=x−1 обращается в неверное равенство 2+1=2−1. Да и вообще, равенство x+1=x−1не достигается ни при каких значениях переменной x.

Во втором случае равенство a+2·b=b+2·a неверно в любых случаях, когда переменные a и b имеют различные значения. Возьмем a=0 и b=1 и получим неверное равенство 0+2·1=1+2·0.

Равенство, в котором |x| — модуль переменной x, также не является тождеством, так как оно неверно для отрицательных значений x.

Это значит, что приведенные равенства не являются тождествами.

Пример 6

Если вспомнить тригонометрию и логарифмы, то здесь мы также можем найти примеры тождеств. Это основное логарифмическое тождество 

alogab=bи основное тригонометрическое тождество вида sin2α+cos2α=1.

В математике мы постоянно имеем дело с тождествами. Делая записи действий, производимых с числами, мы работаем с тождествами. Тождествами являются записи свойств степеней, свойств корней и прочие.

Контрольная работа №1 «выражения. Тождества». Вариант к 1 (А) Найдите значение выражения

В а р и а н т 1. К – 1 (А)

  1. Найдите значение выражения

а)при , ; б)при , .

  1. Сравните значения выражений:

  1. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в)

  1. Найдите число, которое при увеличении его на 17, увеличивается в 10 раз.

  2. Периметр прямоугольника Р см, а одна из его сторон 0,17 Р.

а) Найдите другую сторону этого прямоугольника.

б) Чему равны стороны прямоугольника, если Р = 50?

6. Раскройте скобки:

В а р и а н т 2. К – 2 (А)

  1. Найдите значение выражения: а)при , ; б)при , .

  2. Сравните значения выражений:

  1. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в)

  1. Найдите число, которое, при увеличении его в 17 раз, увеличивается на 10.

  2. Периметр треугольника Р м, а каждая из двух его сторон равна 0,31Р.

а) Найдите третью сторону этого треугольника.

б) Чему равна третья сторона треугольника, если Р = 40?

6. Раскройте скобки:

Контрольная работа №1 «Выражения, тождества»

В а р и а н т 1
  1. Найдите значение выражения

а)при , ; б)при , .

  1. Сравните значения выражений:

  1. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в)

4. Замените выражение тождественно равным:

5. Упростите выражение и найдите его значение

а) 0,6 (р-3)+2-1р при р= 0,5

6. На первой полке стоит, Х книг, на второй — втрое больше, чем на первой, а на третьей — на 17 книг меньше, чем на первой и второй полках вместе. Запишите в виде выражения число книг на трех полках вместе. Вычислите при Х = 20.

В а р и а н т 2

  1. Найдите значение выражения:
    а)при , ; б)при , .

  2. Сравните значения выражений:

  1. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в)

4. Замените выражение тождественно равным:

5. Упростите выражение и найдите его значение

а) 4 (0,5к -6) – 14к +21при к =1,3

6. За первый день магазин продал b кг сахара, за второй — на 58 кг больше, чем за первый, а за третий — на 12 кг меньше, чем за второй. Запишите в виде выражения количество килограммов сахара, проданного магазином за три дня. Вычислите при b = 45.


В а р и а н т 1
  1. Найдите значение выражения

а)при , ; б)при , .

  1. Сравните значения выражений:

  1. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в)

4. Замените выражение тождественно равным:

5. Упростите выражение и найдите его значение

а) 0,6 (р-3)+2-1р при р= 0,5

6. На первой полке стоит, Х книг, на второй — втрое больше, чем на первой, а на третьей — на 17 книг меньше, чем на первой и второй полках вместе. Запишите в виде выражения число книг на трех полках вместе. Вычислите при Х = 20.

В а р и а н т 2

  1. Найдите значение выражения: а)при , ; б)при , .

  2. Сравните значения выражений:

  1. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в)

4. Замените выражение тождественно равным:

5. Упростите выражение и найдите его значение

а) 4 (0,5к -6) – 14к +21при к =1,3

6. За первый день магазин продал b кг сахара, за второй — на 58 кг больше, чем за первый, а за третий — на 12 кг меньше, чем за второй. Запишите в виде выражения количество килограммов сахара, проданного магазином за три дня. Вычислите при b = 45.


Контрольная работа «Выражения. Тождества. Уравнения»

Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа «Выражения. Тождества. Уравнения»»

Контрольная работа №1

«Выражения. Тождества. Уравнения»

Вариант I

  1. Упростите выражение:

а) 5 – 3 – 8 + 12 ;

б) 7 – 3(6 – 4).

  1. Найдите корень уравнения:

а) 2 + 1 = –3 – 4; б)1,6(5 – 1) = 1,8 – 4,7.

  1. Упростите выражение 1,7( – 4) + 0,6(6 –2 ) и найдите его значение при = 2.

  1. Решите уравнение:

а) ;

б)

  1. Решите задачу.

В одном ящике было в 7 раз больше апельсинов, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 38 апельсинов, а из второго – 14, то во втором осталось на 78 апельсинов меньше, чем в в первом. Сколько апельсинов было в каждом ящике сначала?

Контрольная работа №1

«Выражения. Тождества. Уравнения»

Вариант II

  1. Упростите выражение:

а) 3 +7 – 6 – 4 ;

б) 4 – 5(3 +8).

  1. Найдите корень уравнения:

а) –2 + 1 = – 5; б)2(0,6 + 1,85) = 1,3 + 0,7.

  1. Упростите выражение 0,6( – 3) + 2,1(6 –2 ) и найдите его значение при = 5.

  1. Решите уравнение:

а) ;

б) .

  1. Решите задачу.

В книжном шкафу было в 6 раз больше книг, чем на полке. После того как из шкафа взяли 46 книг, а с полки – 18 книг, на полке осталось на 97 книг меньше, чем в шкафу. Сколько книг было сначала в шкафу и сколько на полке?

Закон тождества и другие важнейшие законы логики

Автор: Дмитрий Алексеевич Гyceв, кандидат философских наук, доцент кафедры философии Московского педагогического государственного университета.

 

Первый и наиболее важный закон логики — это закон тождества, который был сформулирован Аристотелем в трактате «Метафизика» следующим образом: «…иметь не одно значение — значит не иметь ни одного значения; если же у слов нет значений, тогда утрачена всякая возможность рассуждать друг с другом, а в действительности — и с самим собой; ибо невозможно ничего мыслить, если не мыслить что-нибудь одно». Можно было бы добавить к этим словам Аристотеля известное утверждение о том, что мыслить (говорить) обо всем — значит не мыслить (не говорить) ни о чем.

Закон тождества утверждает, что любая мысль (любое рассуждение) обязательно должна быть равна (тождественна) самой себе, т. е. она должна быть ясной, точной, простой, определенной. Говоря иначе, этот закон запрещает путать и подменять понятия в рассуждении (т.е. употреблять одно и то же слово в разных значениях или вкладывать одно и то же значение в разные слова), создавать двусмысленность, уклоняться от темы и т.п.

Например, непонятен смысл фразы: «Из-за рассеянности на турнирах шахматист неоднократно терял очки». Очевидно, что по причине нарушения закона тождества появляются неясные высказывания (суждения). Символическая запись этого закона выглядит так: а → а (читается: «Если а, то а»), где а — это любое понятие, высказывание или целое рассуждение.

Когда закон тождества нарушается непроизвольно, по незнанию, тогда возникают просто логические ошибки; но когда этот закон нарушается преднамеренно, с целью запутать собеседника и доказать ему какую-нибудь ложную мысль, тогда появляются не просто ошибки, а софизмы. Таким образом, софизм — это внешне правильное доказательство ложной мысли с помощью преднамеренного нарушения логических законов.

Приведем пример софизма: «Что лучше: вечное блаженство или бутерброд? Конечно же, вечное блаженство. А что может быть лучше вечного блаженства? Конечно же, ничто! Но бутерброд ведь лучше, чем ничто, следовательно, он лучше вечного блаженства». Попробуйте самостоятельно найти подвох в этом рассуждении, определить, где и как в нем нарушается закон тождества и разоблачить этот софизм.

Вот еще один софизм: «Спросим нашего собеседника: «Согласен ли ты с тем, что если ты что-то потерял, то у тебя этого нет?» Он отвечает: «Согласен». Зададим ему второй вопрос: «А согласен ли ты с тем, что если ты что-то не терял, то у тебя это есть?» — «Согласен», — отвечает он. Теперь зададим ему последний и главный вопрос: «Ты не терял сегодня рога?» Что ему остается ответить? «Не терял», — говорит он. «Следовательно, — торжествующе произносим мы, — они у тебя есть, ведь ты же сам вначале признал, что если ты что-то не терял, то оно у тебя есть». Попробуйте разоблачить и этот софизм, определить, где и как в данном внешне правильном рассуждении нарушается закон тождества.

Однако на нарушениях закона тождества строятся не только неясные суждения и софизмы. С помощью нарушения этого закона можно создать какой-нибудь комический эффект. Например, Николай Bacильeвич Гоголь в поэме «Мертвые души», описывая помещика Ноздрева, говорит, что тот был «историческим человеком», потому что где бы он ни появлялся, с ним обязательно случалась какая-нибудь «история». На нарушении закона тождества построены многие комические афоризмы. Например: «Не стой где попало, а то еще попадет». Также с помощью нарушения этого закона создаются многие анекдоты. Например:

– Я сломал руку в двух местах.
– Больше не попадай в эти места.

Как видим, во всех приведенных примерах используется один и тот же прием: в одинаковых словах смешиваются различные значения, ситуации, темы, одна из которых не равна другой, т. е. нарушается закон тождества.

Нарушение этого закона также лежит в основе многих известных нам с детства задач и головоломок. Например, мы спрашиваем собеседника: «За чем (зачем) находится вода в стеклянном стакане?» — преднамеренно создавая двусмысленность в этом вопросе (зачем — для чего и за чем — за каким предметом, где). Собеседник отвечает на один вопрос, например он говорит: «Чтобы пить, поливать цветы», а мы подразумеваем другой вопрос и, соответственно, другой ответ: «За стеклом».

В основе всех фокусов также лежит нарушение закона тождества. Эффект любого фокуса заключается в том, что фокусник делает что-то одно, а зрители думают совершенно другое, т. е. то, что делает фокусник, не равно (не тождественно) тому, что думают зрители, отчего и кажется, что фокусник совершает что-то необычное и загадочное. При раскрытии фокуса нас, как правило, посещает недоумение и досада: это было так просто, как же мы вовремя этого не заметили.

Закон противоречия говорит о том, что если одно суждение что-то утверждает, а другое то же самое отрицает об одном и том же объекте, в одно и то же время и в одном и том же отношении, то они не могут быть одновременно истинными. Например, два суждения: «Сократ высокий», «Сократ низкий» (одно из них нечто утверждает, а другое то же самое отрицает, ведь высокий — это не низкий, и наоборот), — не могут быть одновременно истинными, если речь идет об одном и том же Сократе, в одно и то же время его жизни и в одном и том же отношении, т. е. если Сократ по росту сравнивается не с разными людьми одновременно, а с одним человеком.

Понятно, что когда речь идет о двух разных Сократах или об одном Сократе, но в разное время его жизни, например в 10 лет и в 20 лет, или один и тот же Сократ и в одно и то же время его жизни рассматривается в разных отношениях, например он сравнивается одновременно с высоким Платоном и низким Аристотелем, тогда два противоположных суждения вполне могут быть одновременно истинными, и закон противоречия при этом не нарушается. Символически он выражается следующей тождественно-истинной формулой: ¬ (а Λ ¬ а), (читается: «Неверно, что а и не а»), где а — это какое-либо высказывание.

Говоря иначе, логический закон противоречия запрещает что-либо утверждать и то же самое отрицать одновременно. Но неужели кто-то станет нечто утверждать и то же самое тут же отрицать? Неужели кто-то будет всерьез доказывать, например, что один и тот же человек в одно и то же время и в одном и том же отношении является и высоким, и низким или что он одновременно и толстый, и тонкий; и блондин, и брюнет и т. п.? Конечно же нет. Если принцип непротиворечивости мышления столь прост и очевиден, то стоит ли называть его логическим законом и вообще уделять ему внимание?

Дело в том, что противоречия бывают контактными, когда одно и то же утверждается и сразу же отрицается (последующая фраза отрицает предыдущую в речи, или последующее предложение отрицает предыдущее в тексте) и дистантными, когда между противоречащими друг другу суждениями находится значительный интервал в речи или в тексте.

Например, в начале своего выступления лектор может выдвинуть одну идею, а в конце высказать мысль, противоречащую ей; так же и в книге в одном параграфе может утверждаться то, что отрицается в другом. Понятно, что контактные противоречия, будучи слишком заметными, почти не встречаются в мышлении и речи. Иначе обстоит дело с дистантными противоречиями: будучи неочевидными и не очень заметными, они часто проходят мимо зрительного или мысленного взора, непроизвольно пропускаются, и поэтому их часто можно встретить в интеллектуально-речевой практике.

Так, Bитaлий Ивaнoвич Свинцов приводит пример из одного учебного пособия, в котором с интервалом в несколько страниц сначала утверждалось: «В первый период творчества Маяковский ничем не отличался от футуристов», а затем: «Уже с самого начала своего творчества Маяковский обладал качествами, которые существенно отличали его от представителей футуризма».

Противоречия также бывают явными и неявными. В первом случае одна мысль непосредственно противоречит другой, а во втором случае противоречие вытекает из контекста: оно не сформулировано, но подразумевается. Например, в учебнике «Концепции современного естествознания» (этот предмет сейчас изучается во всех вузах) из главы, посвященной теории относительности Aльбeрта Эйнштейна, следует, что, по современным научным представлениям, пространство, время и материя не существуют друг без друга: без одного нет другого. А в главе, рассказывающей о происхождении Вселенной, говорится о том, что она появилась примерно 20 млрд. лет назад в результате Большого взрыва, во время которого родилась материя, заполнившая собой все пространство.

Из этого высказывания следует, что пространство существовало до появления материи, хотя в предыдущей главе речь шла о том, что пространство не может существовать без материи. Явные противоречия, так же как и контактные, встречаются редко. Неявные противоречия, как и дистантные, наоборот, в силу своей незаметности намного более распространены в мышлении и речи.

Примером контактного и явного противоречия может служить такое высказывание: «Водитель Н. при выезде со стоянки грубо нарушил правила, т. к. он не взял устного разрешения в письменной форме». Еще пример контактного и явного противоречия: «Молодая девушка преклонных лет с коротким ежиком темных вьющихся белокурых волос изящной походкой гимнастки, прихрамывая, вышла на сцену». Подобного рода противоречия настолько очевидны, что могут использоваться только для создания каких-нибудь комических эффектов.Поэтому наша задача — уметь их распознавать и устранять. Пример контактного и неявного противоречия: «Эта выполненная на бумаге рукопись создана в Древней Руси в XI в. (в XI в. на Руси еще не было бумаги)».

Наконец, наверное каждому из нас знакома ситуация, когда мы говорим своему собеседнику, или он говорит нам: «Ты сам себе противоречишь». Как правило, в этом случае речь идет о дистантных или неявных противоречиях, которые, как мы увидели, довольно часто встречаются в различных сферах мышления и жизни. Поэтому простой и даже примитивный, на первый взгляд, принцип непротиворечивости мышления имеет статус важного логического закона.

Важно отметить, что противоречия также бывают мнимыми. Некая мыслительная или речевая конструкция может быть построена так, что, на первый взгляд, выглядит противоречивой, хотя на самом деле никакого противоречия в себе не содержит. Например, известное высказывание Антона Пaвлoвича Чехова: «В детстве у меня не было детства», — кажется противоречивым, т. к. оно вроде бы подразумевает одновременную истинность двух суждений, одно из которых отрицает другое: «У меня было детство», «У меня не было детства».

Таким образом, можно предположить, что противоречие в данном высказывании не просто присутствует, но и является наиболее грубым — контактным и явным. На самом же деле никакого противоречия в чеховской фразе нет. Вспомним, закон противоречия нарушается только тогда, когда речь идет об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении. В рассматриваемом высказывании речь идет о двух разных предметах: термин «детство» употребляется в различных значениях: детство как определенный возраст; детство как состояние души, пора счастья и безмятежности.

Таким образом, мнимое противоречие можно использовать как художественный прием. Достаточно вспомнить названия известных литературных произведений: «Живой труп» (Л. Н. Толстой), «Мещанин во дворянстве» (Ж. Мольер), «Барышня-крестьянка» (А. С. Пушкин), «Горячий снег» (Ю. В. Бондарев) и др. Иногда на мнимом противоречии строится заголовок газетной или журнальной статьи: «Знакомые незнакомцы», «Древняя новизна», «Необходимая случайность» и т. п.

Итак, закон противоречия запрещает одновременную истинность двух суждений, одно из которых нечто утверждает, а другое то же самое отрицает об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении. Однако этот закон не запрещает одновременную ложность двух таких суждений. Вспомним, суждения: «Он высокий», «Он низкий», — не могут быть одновременно истинными, если речь идет об одном и том же человеке, в одно и то же время его жизни и в одном и том же отношении (относительно какого-то одного образца для сравнения).

Точно так же одновременно ложными (но не одновременно истинными!) могут быть суждения: «Эта вода горячая», «Эта вода холодная»; «Данная речка глубокая», «Данная речка мелкая»; «Эта комната светлая», «Эта комната темная». Одновременную ложность двух суждений мы часто используем в повседневной жизни, когда, характеризуя кого-то или что-то, строим стереотипные обороты типа: «Они не молодые, но и не старые», «Это не полезно, но и не вредно», «Он не богат, однако и не беден», «Данная вещь стоит не дорого, но и не дешево», «Этот поступок не является плохим, но в то же время его нельзя назвать хорошим».

Подумайте

  • В известной песне «Подмосковные вечера» есть такие слова: «…речка движется и не движется… песня слышится и не слышится…» Реальное или мнимое противоречие представляет собой эта фраза?
  • Все помнят знаменитые слова из сказки Пушкина: «Кто на свете всех милее, всех румяней и белее?» Возможно, вы и раньше задумывались над тем, как можно быть румяней и белее одновременно. Реальное или мнимое противоречие присутствует в данном высказывании?

Суждения бывают противоположными и противоречащими. Например, суждения: «Сократ высокий», «Сократ низкий», — являются противоположными, а суждения: «Сократ высокий», «Сократ невысокий», — противоречащими. В чем разница между противоположными и противоречащими суждениями? Нетрудно заметить, что противоположные суждения всегда предполагают некий третий, средний, промежуточный вариант. Для суждений: «Сократ высокий», «Сократ низкий», — третьим вариантом будет суждение: «Сократ среднего роста». Противоречащие суждения, в отличие от противоположных, не допускают или автоматически исключают такой промежуточный вариант. Как бы мы ни пытались, мы не сможем найти никакого третьего варианта для суждений: «Сократ высокий», «Сократ невысокий» (ведь и низкий, и среднего роста — это все невысокий).

Именно в силу наличия третьего варианта противоположные суждения могут быть одновременно ложными. Если суждение: «Сократ среднего роста», — является истинным, то противоположные суждения: «Сократ высокий», «Сократ низкий», — одновременно ложны. Точно так же именно в силу отсутствия третьего варианта противоречащие суждения не могут быть одновременно ложными. Таково различие между противоположными и противоречащими суждениями.

Сходство между ними заключается в том, что и противоположные суждения, и противоречащие не могут быть одновременно истинными, как того требует закон противоречия. Таким образом, этот закон распространяется и на противоположные суждения, и на противоречащие. Однако, как мы помним, закон противоречия запрещает одновременную истинность двух суждений, но не запрещает их одновременную ложность; а противоречащие суждения не могут быть одновременно ложными, т. е. закон противоречия является для них недостаточным и нуждается в каком-то дополнении.

Поэтому для противоречащих суждений существует закон исключенного третьего, который говорит о том, что два противоречащих суждения об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными (истинность одного из них обязательно означает ложность другого, и наоборот).

Закон достаточного основания утверждает, что любая мысль (тезис) для того, чтобы иметь силу, обязательно должна быть доказана (обоснована) какими-либо аргументами (основаниями), причем эти аргументы должны быть достаточными для доказательства исходной мысли, т. е. она должна вытекать из них с необходимостью (тезис должен с необходимостью следовать из оснований).

Приведем несколько примеров. В рассуждении: «Это вещество является электропроводным (тезис), потому что оно — металл (основание)», — закон достаточного основания не нарушен, так как в данном случае из основания следует тезис (из того, что вещество металл, вытекает, что оно электропроводно). А в рассуждении: «Сегодня взлетная полоса покрыта льдом (тезис), ведь самолеты сегодня не могут взлететь (основание)», — рассматриваемый закон нарушен, тезис не вытекает из основания (из того, что самолеты не могут взлететь, не вытекает, что взлетная полоса покрыта льдом, ведь самолеты могут не взлететь и по другой причине).

Так же нарушается закон достаточного основания в ситуации, когда студент говорит преподавателю на экзамене: «Не ставьте мне двойку, спросите еще (тезис), я же прочитал весь учебник, может быть, и отвечу что-нибудь (основание)». В этом случае тезис не вытекает из основания (студент мог прочитать весь учебник, но из этого не следует, что он сможет что-то ответить, так как он мог забыть все прочитанное или ничего в нем не понять и т. п.)

В рассуждении: «Преступление совершил Н. (тезис), ведь он сам признался в этом и подписал все показания (основание)», — закон достаточного основания, конечно же, нарушен, потому что из того, что человек признался в совершении преступления, не вытекает, что он действительно его совершил. Признаться, как известно, можно в чем угодно под давлением различных обстоятельств (в чем только не признавались люди в застенках средневековой инквизиции и кабинетах репрессивных органов власти, в чем только не признаются на страницах бульварной прессы, в телевизионных ток-шоу и т. п.)

Таким образом, на законе достаточного основания базируется важный юридический принцип презумпции невиновности, который предписывает считать человека невиновным, даже если он дает показания против себя, до тех пор, пока его вина не будет достоверно доказана какими-либо фактами.

Закон достаточного основания, требуя от любого рассуждения доказательной силы, предостерегает нас от поспешных выводов, голословных утверждений, дешевых сенсаций, слухов, сплетен и небылиц. Запрещая принимать что-либо только на веру, этот закон выступает надежной преградой для любого интеллектуального мошенничества. Не случайно он является одним из главных принципов науки.

 

Подумайте

Выделите исходную мысль (тезис) и аргументы (основание) в приведенных ниже рассуждениях и определите, нарушен ли в них закон достаточного основания:

  • Эти две прямые параллельны, поскольку у них нет общих точек.
  • Эти две прямые параллельны, т. к. они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
  • Данное вещество является металлом, потому что оно электропроводно.
  • Мой товарищ зарабатывает 10 000 долл. в месяц, в чем нельзя усомниться, ведь он сам это утверждает.
  • В одном американском штате потерпела крушение летающая тарелка, ведь об этом писали в газетах, это передавали по радио и даже показывали по телевидению.
  • Сегодня корабли не могут заходить в бухту, потому что она заминирована.
  • Этот человек не болен, ведь у него не повышена температура.
  • Данное слово надо писать с большой буквы, т.к. оно стоит в начале предложения.

 

Научитесь логично мыслить, думать и поступать:

Практическая логика и аргументация: практический интерактивный мультимедийный дистанционный курс

Алгебраических тождеств и доказательств | Решенные примеры и практические вопросы

Исследуйте мир алгебраических тождеств, изучая его различные аспекты и свойства. Найдите ответы на вопросы, например, что такое идентичности, как они сформированы, простые способы запоминания идентичностей, часто используемые алгебраические идентичности, и узнайте больше интересных фактов о них.

Идентичность означает, что левая часть уравнения тождественно равна правой части для всех значений переменных.2} \)

Алгебраические тождества

Алгебраические тождества — это уравнения, в которых значение левой части уравнения тождественно равно значению правой части уравнения.

Пример:

Рассмотрим уравнения:

\ (5x-3 = 12 \) и \ (10x — 6 = 24 \)

Если вы решите оба уравнения по отдельности, вы увидите значение \ (x = 3 \) в обоих случаях.

Если вы запишете уравнения в форме \ (ax \: — b = c \), вы увидите, что это два уравнения:

  • \ (ах \: — b = c \)
  • \ (2 (ах \: — b) = 2c \)

Большинство математических уравнений работают только для определенных значений.

Пример: \ (4x \: + 5 = 17 \) верно, только если \ (x \: = 3 \)

Идентификаторы полезны, потому что они всегда верны независимо от значений переменных.


Основные алгебраические тождества

Очень важно, чтобы мы узнали об алгебраических тождествах в математике.2 \! + \! х (а \! + \! b) \! + \! ab \ end {align} \]

Помимо этих простых алгебраических тождеств, перечисленных выше, есть и другие алгебраические тождества, которые мы будем использовать в старших классах.

Проверьте их на странице Формула и примеры алгебраических тождеств.


Учите их вместе с алгебраическими тождествами!

Вот еще несколько уроков, связанных с алгебраическими тождествами.

Эти темы не только помогут вам освоить концепцию алгебраических тождеств, но и другие темы, связанные с ней.2 \! + \! х (а \! + \! b) \! + \! ab \ end {align} \)

  • При решении задач, связанных с алгебраическими тождествами, определите шаблон, чтобы проверить, имеет ли он упрощенную форму или факторизованную форму, а затем примените тождество и решите. 2} \)
  • Найдите значение \ (a-b \), если \ ((a + b) = 5 \) и \ (ab = 4 \)
  • Длина и ширина прямоугольника измеряются \ (2x + 3 \) единиц и \ (2x — 3 \) единиц.Найдите площадь прямоугольника через \ (x \)

  • Сводка

    Магия математики заключается в удивительных концепциях, на которых она построена. В Cuemath мы изучаем эти концепции и взаимодействуем с ними в увлекательной игровой форме!

    Математическое путешествие вокруг чисел алгебраической идентичности начинается с того, что студент уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы оно не только было понятным и понятным, но и навсегда осталось с ними.

    Самое приятное, это еще не конец. Благодаря вселенной, построенной на основе алгебраических тождественных чисел в Cuemath, можно продолжить свое математическое путешествие с решенными примерами, практическими вопросами, викторинами, рабочими листами, практическими работами и многим другим. 2 \! + \! x (a \! + \! b) \! + \! ab \ end {align} \)

    Основные полиномы — веб-формулы

    Алгебраические тождества

    (a + b) (a — b) = a 2 — b 2

    (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ac

    (a — б) 2 = a 2 + b 2 — 2ac

    (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2

    (a — b) 3 = a 3 — b 3 — 3a 2 b + 3ab 2

    Пример 1: Упростить (3u + 5w) (3u — 5w)

    Используя алгебраические тождества (a + b) (a — b) = a 2 — b 2 , мы заменяем a на 3u и b на 5w.

    (3u + 5w) (3u — 5w)

    = (3u) 2 — (5w) 2

    = 9u 2 — 25w 2

    Таким образом (3u + 5w) (3u — 5w) = 9u 2 — 25w 2

    Пример 2: Использование алгебраических тождеств для упрощения (3a + 7b) 2

    Использование (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

    В этом случае нам нужно заменить 3a на a , а также 7b на b

    (3a + 7b) 2

    = (3a) 2 + 2 (3a) (7b) + (7b) 2

    = 9a 2 + 42ab + 49b 2

    Таким образом (3a + 7b) 2 = 9a 2 + 42ab + 49b 2

    Пример 3: Упростить (5a — 7b) 2

    Используя (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 , получаем:

    (5a — 7b) 2

    = (5a) 2 -2 (5a) (7b) + (7b) 2

    = 25a 2 — 70ab + 49b 2 .

    Таким образом, (5a — 7b) 2 = 25a 2 — 70ab + 49b 2

    Пример 4: Развернуть (2x + 1) 3
    Используя тождество (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 , получаем:

    (2x + 1) 3

    = (2x) 3 + (1) 3 + 3 (2x) (1) (2x + 1)

    = 8x 3 + 1 + 6x (2x + 1)

    = 8x 3 + 12x 2 + 6x + 1

    Пример 5: Расширить (2x — 3y) 3 .
    Используя тождество (a — b) 3 = a 3 — b 3 — 3a 2 b + 3ab 2 , получаем:
    (2x — 3 года) 3

    = (2x) 3 — (3y) 3 -3 (haha2x) (3y) (2x — 3y)

    = 8x 3 — 27 лет 3 — 18xy (2x — 3 года)

    = 8x 3 — 27 лет 3 — 36x 2 лет + 54xy 2

    Пример 6: Если значения a + b и ab равны 4 и 1 соответственно, найдите значение a 3 + b 3 .

    a 3 + b 3

    = ( a + b ) 3 — 3 ab ( a + b )

    = (4) 3 — 3 (1) (4)

    = 64–12

    = 52

    Пример 7: Разложить на множители 27x 3 + y 3 + z 3 — 9xyz


    27x 3 + y 3 + z 3 — 9xyz

    = (3x) 3 + (y) 3 + (z) 3 — 3 (3x) (y) (z)

    = (3x + y + z) {(3x) 2 + (y) 2 + (z) 2 — (3x) (y) — (y) (z) — (z) (3x )}

    Использование идентификатора x 3 + y 3 + z 3 — 3xyz = (x + y + z) (x 2 + y 2 + z 2 — xy — yz — zx) = (3x + y + z) (9x 2 + y 2 + z 2 — 3xy — yz — 3zx)

    Уравнения и тождества — Решение линейных уравнений — AQA — GCSE Maths Revision — AQA

    Уравнение — это утверждение со знаком равенства, в котором говорится, что два выражения равны по значению, например \ (3x + 5 = 11 \)

    Решение уравнения означает поиск значения или значений, для которых два выражения равны.Это означает, что уравнения не всегда верны. В приведенном выше примере \ (3x + 5 = 11 \) единственное правильное решение для \ (x \) — 2.

    Идентификатор — это уравнение, которое всегда верно, независимо от того, какие значения подставляются. \ (2x + 3x = 5x \) — это тождество, потому что \ (2x + 3x \) всегда будет равно \ (5x \) независимо от значения \ (x \). Идентификаторы могут быть записаны знаком ≡, поэтому пример можно записать как \ (2x + 3x ≡ 5x \).

    Пример

    Покажите, что \ (x = 2 \) является решением уравнения \ (3x + 5 = 11 \)

    BIDMAS означает, что умножение выполняется до сложения:

    \ [3x + 5 = 3 \ times 2 + 5 = 6 + 5 = 11 \]

    Вопрос

    Скажите, является ли каждое из перечисленных ниже тождеством или уравнением.

    • \ [5x + 10 = 3x + 8 \]
    • \ [5x + 10 ≡ 5 (x + 2) \]
    • \ [5x + 10 = 5x +2 \]
    Показать ответ
    • Это уравнение , потому что выражение слева от знака равенства не может быть преобразовано в уравнение справа.Решение уравнения — \ (x = -1 \).
    • Это идентификатор , потому что, когда вы расширяете скобку справа от знака идентичности, она дает то же выражение, что и слева от знака идентичности.
    • Это уравнение , потому что выражение слева от знака равенства не может быть преобразовано в уравнение справа. У этого уравнения нет решения — независимо от того, какое значение \ (x \) подставляется в уравнение, выражение слева никогда не будет иметь того же значения, что и выражение справа.

    Стандартные тождества алгебры, определения и примеры

    Тождества алгебры: Алгебра — один из важных компонентов элементарной математики. Он вводится на уровне начального образования и продолжается до старших классов средней школы и даже выше. Если говорить о важности алгебраических тождеств в математике, то здесь может быть тысяча баллов. Эта статья поможет вам лучше понять эти личности вместе с несколькими определениями и примерами.Более того, эти тождества составляют основу всех формул алгебры .

    Стандартные алгебраические выражения и тождества — это условия равенства, которые, в частности, выполняются для всех значений его переменных. В этой статье мы простыми словами поговорим о различных алгебраических тождествах многочленов и трехчленов. Это поможет вам понять различные стандартные алгебраические тождества, которые в дальнейшем помогут вам поднять ваши математические вычисления на более высокий уровень.

    Загрузить:

    ПРОЙТИ БЕСПЛАТНЫЙ ТЕСТ АЛГЕБРЫ

    Алгебраические тождества: определение и пример

    Давайте рассмотрим простую идентичность, как показано ниже:

    (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

    Если для каждого значения его переменных выполняется тождество, то мы можем легко заменить одну часть равенства другой стороной.Это означает, что если мы нашли (a + b) 2 в других условиях, то мы можем заменить его на 2 + 2ab + b 2 и наоборот. {п-1}.п \)

    1. Identity-I: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
    2. Identity-II: (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
    3. Identity-III: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
    4. Identity-IV: (a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
    5. Identity-V: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
    6. Identity-VI: (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab
    7. Identity-VII: (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
    8. Идентификатор VIIII: (a — b) 4 = a 4 — 4a 3 b + 6a 2 b 2 — 4ab 3 + b 4

    Теперь перейдем к следующим алгебраическим тождествам.

    Факторинговые тождества алгебры

    Эти данные могут быть указаны как:

    1. Идентификатор-I: a 2 — b 2 = (a + b) (a — b)
    2. Идентификатор-II: a 3 — b 3 = (a — b ) (a 2 + ab + b 2 )
    3. Identity-III: a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2 )
    4. Идентичность-IV: a 4 — b 4 = (a 2 — b 2 ) (a 2 + b 2 )

    Тождества трехчленной алгебры

    Соответствующие равенства являются тождествами трехчленной алгебры.Вы можете получить такие идентичности, просто разложив на множители и манипулируя терминами (приведенными ниже):

    1. Identity-I: (a + b) (a + c) (b + c) = (a + b + c) (ab + ac + bc) — abc
    2. Identity-II: a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c) 2 — 2 (ab + ac + bc)
    3. Identity-III: a 3 + b 3 + c 3 — 3abc = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 — ab — ac — bc)
    4. Identity-IV: (a — b) ( a — c) = a 2 — (b + c) a + bc

    Эти тождества помогут вам управлять алгебраическими равенствами и помогут вам в решении многих типов математических выражений.

    Проверьте другие важные математические статьи:

    Решенные примеры алгебраических тождеств

    Давайте посмотрим на некоторые алгебраические тождества с примерами.

    Вопрос 1. Найдите произведение (x + 2) (x + 2), используя стандартные алгебраические тождества.

    Решение : Мы можем записать (x + 2) (x + 2) как (x + 2) 2 . Мы знаем, что (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab.
    Итак, положив значение a = x и b = 2, мы получим
    (x + 2) 2 = x 2 + 2 2 + 2.2.x
    = x 2 + 4 + 4x

    Вопрос 2: Разложите на множители 25x 2 + 16y 2 + 9z 2 — 40xy + 24yz — 30zx, используя стандартные алгебраические тождества.

    Решение : 25x 2 + 16y 2 + 9z 2 — 40xy + 24yz — 30zx имеет вид: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
    Здесь a = 5x, b = -4y и c = -3z
    Подставляя значения a, b и c в уравнение, получаем:
    25x 2 + 16y 2 + 9z 2 — 40xy + 24yz — 30zx = (5x — 4y — 3z) 2

    Вопрос 3: Разложите (x — 3y) 3 , используя стандартные алгебраические тождества.

    Решение: (x– 3y) 3 имеет вид: (a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
    Здесь a = x и b = 3y
    Подставляя значения a и b в уравнение, получаем:
    (x– 3y) 3 = x 3 — 3.x 2 .3y + 3.x. (3y ) 2 — (3 года) 3
    = x 3 — 9x 2 y + 27xy 2 — 9 лет 3

    Вопрос 4: Факторизовать 8x 3 + 27y 3 + 125z 3 — 60xyz с использованием стандартных алгебраических тождеств.

    Решение: 8x 3 + 27y 3 + 125z 3 — 60xyz имеет вид: a 3 + b 3 + c 3 — 3abc = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 — ab — ac — bc)
    Здесь a = 2x, b = 3y и c = 5z
    Подставляя значения a, b и c в уравнение, получаем:
    8x 3 + 27y 3 + 125z 3 — 60xyz = (2x + 3y + 5z) [(2x) 2 + (3y) 2 + (5z) 2 — 2x.3y — 3y.5z — 2x.5z] = (2x + 3y + 5z) (4x 2 + 9y 2 + 25z 2 — 6xy — 15yz — 10xz)

    В Embibe вы можете бесплатно решать практические вопросы по алгебре:

    Список важных математических формул

    Вы можете использовать список важных математических формул, подготовленный Embibe, чтобы хорошо подготовиться к экзаменам. Помимо этих алгебраических тождеств, вы также можете найти другие формулы в таблице, приведенной ниже.Эти формулы могут оказаться полезными для ваших дальнейших экзаменов.

    Алгебра: важные вопросы и ответы

    Вы можете найти важные ответы на часто задаваемые вопросы, связанные с этими тождествами алгебры:

    Q1. Что такое алгебраические тождества?

    A. Проще говоря, алгебраическое тождество включает в себя любое уравнение, которое выполняется для любого значения, данного его переменной. Вы можете использовать примеры, связанные с такими удостоверениями, приведенные в этой статье.

    2 кв. Для каких экзаменов важны эти алгебраические тождества?

    А.Личность по алгебре важна для ваших экзаменов K12, а также других конкурсных экзаменов. Значение этих идентичностей таково, что даже на высших экзаменах, таких как CAT, GATE, IAS, банковское дело и т. Д., Вопросы по алгебре задаются.

    3 кв. Кто открыл алгебраические тождества?

    A. Открытие алгебраических тождеств восходит к средневековью. За его открытием стояли арабы и выходцы из Центральной Азии.

    4 кв. Где используются алгебраические тождества?

    А.Тождества алгебры можно использовать во многих математических вычислениях. Они могут быть связаны с факторизацией, тригонометрией, интегрированием и дифференцированием, квадратными уравнениями и т. Д.

    Изучите основы алгебры у экспертов здесь

    Теперь вы знаете все об алгебре идентичности. Надеемся, эта подробная статья вам поможет.

    Есть вопросы? Запишите их в разделе комментариев ниже. Мы вам поможем. Мы скоро вернемся с некоторыми интересными концепциями.А пока продолжайте учиться и практиковаться на Embibe!

    1469 Просмотры

    Алгебраические тождества

    Методы проверки алгебраических тождеств. (изображение скоро будет обновлено)

    Использование метода замены.

    • Под заменой обычно подразумевается размещение чисел или значений вместо переменных или букв.

    • В методе подстановки арифметическая операция выполняется путем подстановки значений переменных.

    • Например, когда у нас x-2 = 4

    Когда мы подставляем x = 6,

    С правой стороны,

    4

    С левой стороны,

    x -2 = 6 — 2 = 4

    Здесь Правая сторона = Левая сторона, что означает, что (x-2) является тождеством.

    Предположим, (a + 3) (a-3) = (a2-9)

    Подставив a = 1

    В правой части

    (a2-9) = (1-9) = — 8

    С левой стороны

    (a + 3) (a-3) = (1 + 3) (1-3) = (4) (-2) = -8

    Здесь справа side = Левая сторона, что означает, что (a + 3) (a-3) — это тождество.

    Использование метода действий.

    • В этом методе алгебраическая идентичность проверяется геометрически путем взятия различных значений x и y.

    • В методе действий идентификация проверяется путем вырезания и наклеивания бумаги.

    • Чтобы подтвердить личность с помощью этого метода, вам необходимо иметь базовые знания геометрии.

    Класс идентичности 8 —

    Стандартный класс идентичности 8 выводится из биномиальной теоремы.В таблице ниже представлены некоторые стандартные идентификаторы в классе математики 8.

    Идентификатор I

    (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

    Identity II

    (ab) 2 = a2- 2ab + b2

    Identity III

    a2-b2 = (a + b) (ab)

    Identity IV

    ( x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

    Идентификация V

    (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

    Идентификатор VI

    (a + b) 3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)

    Идентификатор VII

    (ab) 3 = a3 -b3- 3ab (ab)

    Идентификация VIII

    a3 + b3 + c3-3abc

    Теперь вы можете подумать, что такое биномиальное T георема есть!

    • В алгебре биномиальная теорема определяется как способ расширения биномиального выражения в большой степени, что может быть проблематичным.

    • Полиномиальное уравнение, в котором всего два члена обычно имеют знак плюс или минус между ними, называется биномиальным выражением.

    Небольшое объяснение вышеуказанных алгебраических тождеств для класса 8.

    Например, возьмем одно из основных тождеств,

    (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2, которое справедливо для всех значения a и b.

    • Идентичность сохраняется для всех значений a и b.

    • Мы можем заменить один экземпляр одной части равенства другой его стороной.

    • Простыми словами, (a + b) 2 можно заменить на a2 + 2ab + b2 и наоборот.

    • Их можно использовать как ярлыки, которые упрощают работу с алгеброй.

    Факторинговые тождества

    Тождества, перечисленные ниже в таблице, являются формулами факторинга для тождеств алгебраических выражений класса 8.

    x2-y2 =

    (x + y) ( xy)

    x3-y3 =

    (xy) (x2 + xy + y2)

    x3 + y3 =

    (x + y) (x2 -xy + y2)

    x4-y4 =

    (x2-y2) (x2 + y2)

    Три переменных идентичности —

    Путем манипулирования различными обсуждаемыми идентичностями

    сущность алгебраических выражений класс 8 мы получаем эти тождества с тремя переменными.

    (x + y) (x + z) (y + z) =

    (x + y + z) (xy + yz + xz) -xyz

    x2 + y2 + z2 =

    (x + y + z) 2-2 (xy + yz + xz)

    x3 + y3 + z3 =

    (x + y + z) (x2 + y2 + z2 -xy-xz-yz)

    Важные алгебраические выражения и тождества Формула 8-го класса —

    Четыре основных тождества в математике 8-го класса перечислены ниже.

    Идентификатор I

    (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

    Идентификатор II

    (ab) 2 = a2- 2ab + b2

    Identity III

    a2-b2 = (a + b) (ab)

    Identity IV

    (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

    Вопросы, которые необходимо решить по Identities Class 8

    Вопрос 1) Найдите произведение (x-1) (x-1)

    Решение) Нам нужно найти продукт ( x-1) (x-1),

    (x-1) (x-1) также можно записать как (x-1) 2.

    Мы знаем формулу для (x-1) 2, расширите ее

    (ab) 2 = a2- 2ab + b2, где a = x, b = 1

    (x-1) 2 = x2- 2x + 1

    Следовательно, произведение (x-1) (x-1) равно x2- 2x + 1

    Вопрос 2) Найдите произведение (x + 1) (x + 1), а также его значение, используя x = 2.

    Решение) Нам нужно найти произведение (x + 1) (x + 1),

    (x + 1) (x + 1) также можно записать как (x + 1) 2.

    Мы знаем формулу для (x + 1) 2, расширяем ее

    (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2, где a = x, b = 1

    (x + 1) 2 = x2 + 2x + 1

    Подставляя значение x = 2 в уравнение 1,

    (2) 2+ 2 (2) +1 = 9

    Следовательно, произведение (x + 1) (x + 1) равно x2 + 2x + 1 а значение выражения — 9.2} — 1}} {5} \]

    = 0

    Вопрос 5) Найти значение x2 + y2 — 10 при x = 0 и y = 0?

    Решение) При x = 0 и y = 0,

    x2 + y2 — 10 = (0) 2+ (0) 2-10

    = -10

    Вопрос 6) Решите следующее (x + 2) 2 с использованием концепции идентичности.

    Решение) Согласно тождествам и классу алгебраических выражений 8,

    Мы знаем формулу,

    (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

    Где, a = x, b = 2

    Давайте расширим данное (x + 2) 2,

    Следовательно, (x + 2) 2 = x2 + 4x + 4 является решением. 2 (x) \)

    Формулы суммы и разности

    \ (\ sin (a + b) = \ sin (a) \ cos (b) + \ cos (a) \ sin (b) \)

    \ (\ sin (a-b) = \ sin (a) \ cos (b) — \ cos (a) \ sin (b) \)

    \ (\ соз (а + Ь) = \ соз (а) \ соз (Ь) — \ грех (а) \ грех (б) \)

    \ (\ соз (а-б) = \ соз (а) \ соз (б) + \ грех (а) \ грех (б) \)

    \ (\ tan (a + b) = \ frac {\ tan (a) + \ tan (b)} {1- \ tan (a) \ tan (b)} \)

    \ (\ tan (a-b) = \ frac {\ tan (a) — \ tan (b)} {1+ \ tan (a) \ tan (b)} \)

    \ (\ sin (x) + \ sin (y) = 2 \ sin (\ frac {x + y} {2}) \ cos (\ frac {x-y} {2}) \)

    \ (\ sin (x) — \ sin (y) = 2 \ cos (\ frac {x + y} {2}) \ sin (\ frac {x-y} {2}) \)

    \ (\ cos (x) + \ cos (y) = 2 \ cos (\ frac {x + y} {2}) \ cos (\ frac {x-y} {2}) \)

    \ (\ cos (x) — \ cos (y) = — 2 \ sin (\ frac {x + y} {2}) \ sin (\ frac {x-y} {2}) \)

    Формулы двойных углов

    \ (\ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x) \)

    \ (\ cos (2x) = \ cos ^ 2 (x) — \ sin ^ 2 (x) = 1-2 \ sin ^ 2 (x) = 2 \ cos ^ 2 (x) -1 \)

    Формулы половинных углов

    \ (\ sin (\ frac {x} {2}) = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos (x)} {2}} \)

    \ (\ cos (\ frac {x} {2}) = \ pm \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (x)} {2}} \)

    \ (\ tan (\ frac {x} {2}) = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos (x)} {1+ \ cos (x)}} = \ frac {1- \ cos (x)} {\ sin (x)} = \ frac {\ sin (x)} {1+ \ cos (x)} \)

    Тригонометрические продукты

    \ (\ sin (x) \ cos (y) = \ frac {\ sin (x + y) + \ sin (x-y)} {2} \)

    \ (\ cos (x) \ cos (y) = \ frac {\ cos (x + y) + \ cos (x-y)} {2} \)

    \ (\ sin (x) \ sin (y) = \ frac {\ cos (x-y) — \ cos (x + y)} {2} \)

    Алгебраические тождества многочленов — A Plus Topper

    Алгебраические тождества многочленов

    Вы также можете прочитать https: // www.{2}}} = 27, \ text {найти значение} x- \ frac {1} {x} \)
    Решение: У нас есть,

    Пример 6: Если x + y = 12 и xy = 32, найдите значение x 2 + y 2
    Решение: У нас есть,

    Пример 7: Докажите, что:
    2a 2 + 2b 2 + 2c 2 — 2ab — 2bc — 2ca = [(a — b) 2 + (b — c) 2 + (c — a) 2 ]
    Решение: У нас есть,

    Пример 8: Если a 2 + b 2 + c 2 — ab — bc — ca = 0, докажите, что a = b = c.
    Решение: У нас есть,

    Пример 9: Запишите следующее в развернутом виде:
    (i) (9x + 2y + z) 2 (ii) (3x + 2y — z) 2
    (iii) (x — 2y — 3z) 2 (iv) (–x + 2y + z) 2
    Решение: Использование идентификатора


    Пример 10: Если 2 + b 2 + c 2 = 20 и a + b + c = 0, найти ab + bc + ca.
    Решение:

    Пример 11: Если a + b + c = 9 и ab + bc + ca = 40, найдите a 2 + b 2 + c 2 .
    Решение: Мы знаем, что

    Пример 12: Если a 2 + b 2 + c 2 = 250 и ab + bc + ca = 3, найдите a + b + c.
    Решение: Мы знаем, что

    Пример 13: Запишите каждое из следующего в развернутом виде:
    (i) (2x + 3y) 3 (ii) (3x — 2y) 3
    Решение:

    Пример 14: Если x + y = 12 и xy = 27, найдите значение x 3 + y 3 .{3}}} \)
    Решение: Мы знаем, что

    Пример 20: Если a + b = 10 и ab = 21, найдите значение a 3 + b 3 .
    Решение: Мы знаем, что

    Пример 21: Если a — b = 4 и ab = 45, найдите значение a 3 — b 3 .
    Решение: У нас есть,

    Пример 22: Если a + b + c = 0, то докажите, что a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
    Решение: Мы знаем, что

    Пример 23: Найдите следующий продукт:
    (x + y + 2z) (x 2 + y 2 + 4z 2 — xy — 2yz — 2zx)
    Решение : У нас есть,

    Пример 24: Если a + b + c = 6 и ab + bc + ca = 11, найдите значение a 3 + b 3 + c 3 — 3abc .
    Решение:
    Мы знаем, что
    a 3 + b 3 + c 3 — 3abc
    = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 — ab — bc — ca)
    ⇒ a 3 + b 3 + c 3 — 3abc =
    (a + b + c) {(a 2 + b 2 + c 2 ) — (ab + bc + ca)}… (i)
    Очевидно, нам нужны значения a + b + c,
    a 2 + b 2 + c 2 и ab + bc + ca, чтобы получить значение a 3 + b 3 + c 3 — 3abc.Нам даны значения a + b + c и ab + bc + ca. Итак, давайте сначала получим значение a 2 + b 2 + c 2 .
    Мы знаем, что
    (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
    ⇒ (a + b + c) 2 = ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 2 (ab + bc + ca)
    ⇒ 6 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 × 11
    [Подставляем значения a + b + c и ab + bc + ca]
    ⇒ 36 = a 2 + b 2 + c 2 + 22
    ⇒ a 2 + b 2 + c 2 = 36-22
    ⇒ a 2 + b 2 + c 2 = 14
    Теперь, положив a + b + c = 6, ab + bc + ca = 1 и a 2 + b 2 + c 2 = 14 в (i), получаем
    a 3 + b3 3 + c 3 — 3abc = 6 × (14-11)
    = 6 × 3 = 18 .

    Пример 25: Если x + y + z = 1, xy + yz + zx = –1 и xyz = –1, найдите значение x 3 + y 3 + z 3 .