Как находить наименьший положительный корень тригонометрического уравнения. Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения. В составе экзамена по математике в первой части имеется задание связанное с решением уравнения — это простые уравнения, которые решаются за минуты, многие типы можно решить устно. Включают в себя: линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

В этой статье мы рассмотрим тригонометрические уравнения. Их решение отличается и по объёму вычисления и по сложности от остальных задач этой части. Не пугайтесь, под словом «сложность», имеется виду их относительную сложность по сравнению с другими заданиями.

Кроме нахождения самих корней уравнения, необходимо определить наибольший отрицательный, либо наименьший положительный корень. Вероятность того, что вам на экзамене попадёт тригонометрическое уравнение, конечно же, мала.

Их в данной части ЕГЭ менее 7%. Но это не означает, что их нужно оставить без внимания. В части С тоже необходимо решить тригонометрическое уравнение, поэтому хорошо разобраться с методикой решения и понимать теорию просто необходимо.

Понимание раздела «Тригонометрия» в математике во многом определяет ваш успех при решении многих задач. Напоминаю, что ответом является целое число или конечная десятичная дробь. После того, как получите корни уравнения, ОБЯЗАТЕЛЬНО сделайте проверку. Много времени это не займёт, а вас избавит от ошибки.

В будущем мы также рассмотрим и другие уравнения, не пропустите! Вспомним формулы корней тригонометрических уравнений, их необходимо знать:



Знание этих значений необходимо, это «азбука», без которой невозможно будет справиться с множеством заданий. Отлично, если память хорошая, вы легко выучили и запомнили эти значения. Что делать, если этого сделать не получается, в голове путаница, да просто вы именно при сдаче экзамена сбились. Обидно будет потерять бал из-за того, что вы запишите при расчётах неверное значение.

Этих значений прост, он также приведён в теории, полученной вами во втором письме после подписки на рассылку. Если ещё не подписались, сделайте это! В будущем также рассмотрим, как эти значения можно определить по тригонометрической окружности. Не даром её называют «Золотое сердце тригонометрии».

Сразу поясню, во избежание путаницы, что в рассматриваемых ниже уравнениях даны определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса с использованием угла

х для соответствующих уравнений: cosx=a, sinx=a, tgx=a, где х может быть и выражением. В примерах ниже у нас аргумент задан именно выражением.

Итак, рассмотрим следующие задачи:

Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решением уравнения cos x = a являются два корня:


Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.

Значит

Выразим x :


Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.

Вычисляем:

При n = – 2 х 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 х 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

При n = – 1 х 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 х 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

При n = 0 х 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При n = 1 х 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При n = 2 х 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 х 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен –1,5

Ответ: –1,5

Решите самостоятельно:


Решите уравнение:

Решением уравнения sin x = a являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):


Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от – 90 о до 90 о синус которого равен a.

Значит

Выразим x (умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n мы получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n = 0,1,2 …

При n = 0 х = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

При n = 1 х = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

При n = 2 х = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Проверим при n = –1 х = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значит наименьший положительный корень равен 4.

Ответ: 4

Решите самостоятельно:


Решите уравнение:

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Достаточно часто в задачах повышенной сложности встречаются тригонометрические уравнения, содержащие модуль . Большинство из них требуют эвристического подхода к решению, который совсем не знаком большинству школьников.

Предлагаемые ниже задачи призваны познакомить вас с наиболее характерными приемами решения тригонометрических уравнений содержащих модуль.

Задача 1. Найти разность (в градусах) наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения 1 + 2sin x · |cos x| = 0.

Решение.

Раскроем модуль:

1) Если cos x ≥ 0, то исходное уравнение примет вид 1 + 2sin x · cos x = 0.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла, получим:

1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Так как cos x ≥ 0, то x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Если cos x заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:

1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Так как cos x

3) Наибольший отрицательный корень уравнения: -π/4; наименьший положительный корень уравнения: 5π/4.

Искомая разность: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 · 180°/2 = 270°.

Ответ: 270°.

Задача 2. Найти (в градусах) наименьший положительный корень уравнения |tg x| + 1/cos x = tg x.

Решение.

Раскроем модуль:

1) Если tg x ≥ 0, тогда

tg x + 1/cos x = tg x;

В полученном уравнении корней нет.

2) Если tg x

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 и cos x ≠ 0.

С помощью рисунка 1 и условия tg x

3) Наименьший положительный корень уравнения 5π/6. Переведем это значение в градусы:

5π/6 = 5 · 180°/6 = 5 · 30° = 150°.

Ответ: 150°.

Задача 3. Найти количество различных корней уравнения sin |2x| = cos 2x на промежутке [-π/2; π/2].

Решение.

Запишем уравнение в виде sin|2x| – cos 2x = 0 и рассмотрим функцию y = sin |2x| – cos 2x. Так как функция является четной, то найдем ее нули при x ≥ 0.

sin 2x – cos 2x = 0; разделим обе части уравнения на cos 2x ≠ 0, получим:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Z.

Воспользовавшись четностью функции, получим, что корнями исходного уравнения являются числа вида

± (π/8 + πn/2), где n € Z.

Промежутку [-π/2; π/2] принадлежат числа: -π/8; π/8.

Итак, два корня уравнения принадлежат заданному промежутку.

Ответ: 2 .

Данное уравнения можно было бы решить и раскрытием модуля.

Задача 4. Найти количество корней уравнения sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x на промежутке [-π; 2π].

Решение.

1) Рассмотрим случай, когда 2cos x – 1 > 0, т.е. cos x > 1/2, тогда уравнение принимает вид:

sin x – sin 2 x = sin 2 x;

sin x – 2sin 2 x = 0;

sin x(1 – 2sin x) = 0;

sin x = 0 или 1 – 2sin x = 0;

sin x = 0 или sin x = 1/2.

Используя рисунок 2 и условие cos x > 1/2, найдем корни уравнения:

x = π/6 + 2πn или x = 2πn, n € Z.

2) Рассмотрим случай, когда 2cos x – 1

sin x + sin 2 x = sin 2 x;

x = 2πn, n € Z.

Используя рисунок 2 и условие cos x

Объединим два случая, получим:

x = π/6 + 2πn или x = πn.

3) Промежутку [-π; 2π] принадлежат корни: π/6; -π; 0; π; 2π.

Таким образом, заданному промежутку принадлежат пять корней уравнения.

Ответ: 5 .

Задача 5. Найти количество корней уравнения (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 на промежутке [-π; 2π].

Решение.

1) Если sin x ≥ 0, то исходное уравнение принимает вид (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. После вынесения общего множителя sin x за скобки, получим:

sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; так как (x – 0,7) 2 + 1 > 0 при всех действительных x, то sinx = 0, т.е. x = πn, n € Z.

2) Если sin x

sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;

sinx = 0 или (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Так как sin x квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:

x – 0,7 = 1 или x – 0,7 = -1, а значит x = 1,7 или x = -0,3.

С учетом условия sinx 0, значит только число -0,3 является корнем исходного уравнения.

3) Промежутку [-π; 2π] принадлежат числа: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Таким образом, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.

Ответ: 5 .

Заняться подготовкой к урокам или экзаменам можно при помощи различных образовательных ресурсов, которые есть в сети. В настоящее время любому человеку просто необходимо использовать новые информационные технологии, ведь правильное, а главное уместное их применение будет способствовать повышению мотивации в изучении предмета, повысит интерес и поможет лучше усвоить необходимый материал. Но не стоит забывать о том, что компьютер не учит думать, полученную информацию обязательно необходимо обрабатывать, понимать и запоминать. Поэтому вы можете обратиться за помощью к нашим онлайн репетиторам, которые помогут вам разобраться с решением интересующих вас задач.

Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Корень уравнения – определение (6 класс, математика)

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 162.

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 162.

Тема уравнения сопровождает учеников на протяжении всей школьной программа. Немного странно, что большая часть учащихся 6 класса математики забывают, что же такое корень и решают уравнения, не понимая своих действий. Чтобы не допускать этой ошибки поговорим обо всех особенностях корней уравнения

Неизвестное

Чтобы говорить об уравнениях, нужно вспомнить, что такое неизвестное. Под неизвестным понимается буквенное выражение, которое в общем случае может принимать абсолютно любое значение.

Неизвестные могут перемножаться с числом или друг с другом. Таким образом, получается классический одночлен. Например, выражение 3 а*в является одночленом.

Если одночлены складываются, вычитаются или делятся друг на друга, получается многочлен. Многочлен, приравненный к какому-то числу, называется тождеством.

После того, как многочлен приравняли к какому-то числу, превратив его в тождество, появляются некоторые ограничения. Этих ограничений может быть недостаточно для того, чтобы точно определить значения неизвестных, но они есть.

Функция

Именно такие ограничения и называются функцией. Функцией зовется зависимость одной неизвестной от другой или других неизвестных. Например, в выражении:

х+у=12 – от выбранного значения х зависит значение у и наоборот.

В классическом виде функция имеет вид у(х)=в . В качестве независимого параметра принимается число х, в качестве зависимого – у. Это значит, что число х принимается равным любому числу, а у высчитывается в соответствии с этим равенством. Если х уже задан, то у нельзя принимать любым числом, из-за строгого ограничения функции у числа у появляется единственно определенное значение.

Число у зовется функцией, а число х аргументом. При этом у функции может быть множество аргументов, но у аргумента может быть только одна функция. Например, в функции у=x+z+n – 3 аргумента. Такие функции не используются в школьной программе, но нельзя забывать, что они существуют.

Функции часто изображаются в виде графиков. На плоскости можно отобразить зависимость функции лишь от одного аргумента. Но в пространстве можно отобразить изменение функции в зависимости от двух аргументов.

Существую типовые функции, поведение которых на графике изучено. Каждая из таких функций имеет свое название. Например:

  • Линейная функция
  • Квадратичная функция
  • Степенная функция
  • Логарифмическая функция и так далее

Большую часть типовых функций ученики изучают в математике старших классов.

Корень уравнения

Важно понять, что любое уравнение это частный случай функции. Уравнение это точка или точки пересечения двух функций. Задачей любого уравнения является нахождение координат точки пересечения этих функций. Так как график функции может быть не только прямой линией, то количество корней уравнения может быть разным. Если количество корней определено, то их называют простыми корнями уравнения.

Корнем уравнения называют значение х, при котором тождество выполняется. То есть это значение, при котором не нарушается равенство правой и левой сторон. Приведем пример:

х+10=5 – это уравнение, как и любое другое, представляет собой равенство двух функций:

у=х+10

у=5

Точку пересечения можно найти при х = -5. Корень только один, так как оба графика будут являться прямыми линиями, а прямые пересекаются только в одной точке.

В любом степенном уравнении количество корней равняется старшей степени многочлена. Корни могут быть одинаковыми. Линейное уравнение является частным случаем степенного, со старшей степенью равной 1. По этой же причине, в линейных уравнениях всегда один корень.

Что мы узнали?

Мы подробно разобрали определение корня уравнения. Рассмотрели обозначения неизвестных и узнали, что такое функция.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 162.

А какая ваша оценка?

Как найти корни многочлена

Обновлено 08 декабря 2020 г.

Автор Lisa Maloney

нуль. Когда дело доходит до фактического поиска корней, в вашем распоряжении есть несколько методов; факторинг — это метод, который вы будете использовать чаще всего, хотя построение графиков также может быть полезным.

Сколько корней?

Исследуйте член высшей степени многочлена, то есть член с наивысшим показателем степени. Этот показатель показывает, сколько корней будет иметь многочлен. Итак, если самый высокий показатель степени в вашем многочлене равен 2, у него будет два корня; если наивысший показатель степени равен 3, у него будет три корня; и так далее.

Предупреждения

  • Есть одна загвоздка: корни многочлена могут быть действительными или мнимыми. «Настоящие» корни входят в набор, известный как действительные числа, которым на данном этапе вашей математической карьеры являются все числа, с которыми вы привыкли иметь дело. Овладение мнимыми числами — это совсем другая тема, так что пока просто запомните три вещи:

    • «Мнимые» корни возникают, когда у вас есть квадратный корень из отрицательного числа. Например, √(-9).
    • Мнимые корни всегда идут парами.
    • Корни многочлена могут быть действительными или мнимыми. Итак, если у вас есть многочлен 5-й степени, у него может быть пять действительных корней, у него может быть три действительных корня и два мнимых корня и так далее. Пример 1 Это имеет гораздо больше смысла, если вы проследите за несколькими примерами. Рассмотрим простой полином x ​ 2 – 4​ x: ​

        Краткий анализ показывает, что вы можете разложить ​ x ​ из обоих членов многочлена, что дает:

        x(x — 4 )

        Установить каждый член равным нулю. Это означает решение двух уравнений:

        x = 0

        — первый член, равный нулю, и

        x — 4 = 0

        , — второй член, равный нулю.

        У вас уже есть решение первого члена. Если ​ х ​ = 0, то все выражение равно нулю. Таким образом, x = 0 является одним из корней или нулей многочлена.

        Теперь рассмотрим второе слагаемое и найдем ​ x ​. Если вы прибавите 4 к обеим сторонам, вы получите:

        x — 4 + 4 = 0 + 4

        , что упрощается до:

        x = 4

        Итак, если ​ x ​ = 4, то второй множитель равен равен нулю, что означает, что весь многочлен тоже равен нулю.

        Поскольку исходный многочлен был второй степени (наивысший показатель степени равен двум), вы знаете, что у этого многочлена есть только два возможных корня. Вы уже нашли их обоих, поэтому все, что вам нужно сделать, это перечислить их: 9Пример 2 Рассмотрим многочлен ​ x ​ 4 – 16. Беглый взгляд на его показатели показывает, что у этого многочлена должно быть четыре корня; теперь пришло время найти их.

          Вы заметили, что этот многочлен можно переписать как разность квадратов? Так что вместо 92+4)

          Теперь пришло время найти нули. Быстро становится ясно, что если x = 2, первый множитель будет равен нулю, и, таким образом, все выражение будет равно нулю.

          Аналогично, если ​ x ​ = −2, второй множитель будет равен нулю, а значит, и все выражение будет равным нулю.

          Таким образом, x = 2 и x = −2 являются нулями или корнями этого многочлена.

          А как насчет последнего термина? Поскольку у него показатель степени «2», у него должно быть два корня. Но вы не можете разложить это выражение на множители, используя привычные вам действительные числа. Вам придется использовать очень сложную математическую концепцию, называемую мнимыми числами или, если хотите, комплексными числами. Это выходит далеко за рамки вашей текущей математической практики, так что пока достаточно отметить, что у вас есть два действительных корня (2 и −2) и два мнимых корня, которые вы оставите неопределенными.

        Поиск корней по графику

        Вы также можете найти или хотя бы оценить корни по графику. Каждый корень представляет собой точку, в которой график функции пересекает ось x . Таким образом, если вы нарисуете линию, а затем заметите координаты x , где линия пересекает ось x , вы можете вставить оценочные значения x для этих точек в уравнение и проверить, чтобы увидеть если вы получили их правильно.

        Рассмотрим первый пример, с которым вы работали, для многочлена ​ 92 — 4(4) = 0

        , поэтому x = 4 также является допустимым нулем или корнем для этого многочлена. А поскольку полином был степени 2, вы знаете, что можете перестать искать, найдя два корня.

        Видео с вопросами: Использование итерационной формулы для поиска корня квадратного уравнения

        Стенограмма видео

        Уравнение следующего графика 𝑦 равно 𝑥 в квадрате минус восемь 𝑥 плюс восемь. Используйте итеративную формулу 𝑥 sub 𝑛 плюс один равно восемь минус восемь больше 𝑥 sub 𝑛 начиная с 𝑥 ноль равно семь, чтобы найти наибольший корень уравнения 𝑥 в квадрате минус восемь 𝑥 плюс восемь равно нулю до четырех знаков после запятой.

        Давайте разберем этот вопрос. Наш график представляет собой уравнение 𝑦 равно 𝑥 в квадрате минус восемь 𝑥 плюс восемь. Это квадратное уравнение. И мы знаем это за двоих вещи. Во-первых, наивысшая степень 𝑥 равна два; его порядок равен двум. Итак, это говорит нам о том, что у нас есть Квадратное уравнение. Но также, если мы посмотрим на кривую, мы имеем ту форму параболы, которую обычно ожидаем.

        Мы хотим найти наибольший корень уравнение 𝑥 в квадрате минус восемь 𝑥 плюс восемь равно нулю. Обратите внимание, что все, что мы здесь сделали, это замените 𝑦 нулем в нашем исходном уравнении. Теперь корни — это решения эти уравнения, когда они равны нулю. Но что еще они говорят нам? Ну, они показывают нам ценность 𝑥 где график пересекает ось 𝑥. А это значит наибольший корень здесь будет значение 𝑥.

        Мне кажется, что довольно близко к 𝑥 равно 6,9, но мы хотим быть более точными. Итак, мы используем процесс, называемый итерация. Это когда мы неоднократно применяем формула, которая подводит нас все ближе и ближе к нашему решению. Теперь итерационная формула, которую мы было дано выглядит немного страшно. Но все, что это на самом деле говорит нам, это то, что мы берем значение 𝑥, подставляем его в нашу формулу, и получаем следующее значение 𝑥 обратно.

        Итак, если мы подставим 𝑥 ноль в уравнение, мы получаем 𝑥 один из. Подставив 𝑥 подгруппу в формула дает нам 𝑥 меньше двух и так далее. И, очевидно, чем больше раз мы делаем это, тем ближе мы подходим к фактическому решению. Итак, давайте расчистим место и посмотрим на шагах, которые мы следуем.

        Первым делом начинаем с начальным значением 𝑥 ноль. Очень редко мы можем быть учитывая начальное значение 𝑥 единицы, но это действительно не имеет значения; процесс — это такой же. Обратите также внимание на то, что наше начальное значение для 𝑥 — так что здесь 𝑥 под ноль — обычно будет довольно близко к фактическому решение. Помните, мы оценили его как около 6,9и нам сказали использовать 𝑥 ноль равно семи.

        Следующее, что мы делаем, это берем наш значение для 𝑥 равно нулю, и мы подставляем его в формулу, чтобы найти наше значение для 𝑥 один. В общем случае берем 𝑥 𝑛, подставьте его в формулу, чтобы вычислить 𝑥 𝑛 плюс один. В этом случае 𝑥 один восемь минус восемь больше 𝑥 ноль, то есть восемь минус восемь больше семи. Это дает нам значение 6,85714. и так один.

        Затем мы спрашиваем себя: «Ну, 𝑥 sub 𝑛 равно значению 𝑥 sub 𝑛 плюс единица в требуемой степени точность?» Здесь необходимая степень точность — четыре десятичных знака. И правильно до четырех знаков после запятой, 𝑥 один равен 6,8571. Совершенно ясно, что 𝑥 ничего, что равно семи или 7.0000, не равно нашему значению для 𝑥 единицы. И так, если мы ответим нет, мы вернемся к шагу два. Если мы сможем ответить да, тем не менее, мы останавливаемся, и у нас есть наше решение.

        Конечно, мы ответили нет, так что мы собирается вернуться к шагу два. То есть будем заменять 𝑥 один в нашу итеративную формулу, и это даст нам значение для 𝑥 два. И мы могли бы сделать восемь минус восемь более 6,85714 и так далее. Но на самом деле это очень хороший время, чтобы начать использовать кнопку предыдущего ответа на вашем калькуляторе. Причина в том, что мы мы проделаем этот процесс несколько раз, так что это сэкономит нам немного времени.

        Это 6,83333 и так далее, что, с точностью до четырех знаков после запятой равно 6,8333. Помните, что третий шаг говорит нам сравните наше значение 𝑥 𝑛 и 𝑥 𝑛 плюс один. Итак, теперь мы сравним наше значение для 𝑥 под один и 𝑥 под два. Мы можем совершенно ясно видеть, что 𝑥 один и 𝑥 два не равны правильному из четырех знаков после запятой, поэтому мы возвращаемся к шагу два.

        Если мы используем предыдущий ответ кнопку на нашем калькуляторе, мы просто снова нажимаем равно. Если нет, нам нужно сделать восемь минус восемь более 6,83 повторяющихся. С точностью до четырех знаков после запятой мы найти 𝑥 три равно 6,8293. Однако это не равно 𝑥 двум. это намного ближе; и так, продолжаем.

        𝑥 второстепенная четверка, повторяя это Процесс дает нам 6,8286 с точностью до четырех знаков после запятой. Это не равно 𝑥 трем, и так что мы собираемся найти 𝑥 пять. Мы должны продолжать идти до конца до 𝑥 суб семи. И когда мы это делаем, мы видим, что 𝑥 sub шесть и 𝑥 меньше семи округляются до 6,8284 с правильным числом знаков после запятой. И так, возвращаясь к нашему течению диаграмме, мы можем ответить «да» на третий шаг. А это значит, что мы останавливаемся; у нас есть наш решение. Исправить до четырех знаков после запятой, 𝑥 равно 6,8284 — это наибольший корень уравнения 𝑥 в квадрате минус восемь 𝑥 плюс восемь равно от нуля до четырех знаков после запятой.

        Теперь, конечно, мы можем проверить наш решение, подставив его обратно в уравнение.