Линейные неравенства, решение и примеры

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

  • ax + b < 0,
  • ax + b > 0,
  • ax + b ≥ 0,
  • ax + b ≤ 0,

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье. 

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Типы неравенств

 

  1. Строгие — используют только больше (>) или меньше (<):
  • a < b — это значит, что a меньше, чем b.
  • a > b — это значит, что a больше, чем b.
  • a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.
  1. Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно):
  • a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
  • a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
  • знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.
  1. Другие типы:
  • a ≠ b — означает, что a не равно b.
  • a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
  • a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
  • знаки >> и << противоположны.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

 

  1. Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.

  2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.

  3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.

 

  1. Если а > b и c > d, то а + c > b + d.

Если а < b и c < d, то а + c < b + d.

Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять из-за возможных исключений. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

 

  1. Если а > b и c < d, то а – c > b – d.

Если а < b и c > d, то а – c < b – d.

Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.

 

  1. Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и 

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и 

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

 

  1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.

Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.

Следствие данного правила или квадратный пример: если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

 

  1. Если а > b, где а, b > 0, то 

Если а < b , то 

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Важно знать

Два неравенства можно назвать равносильными, если у них одинаковые решения.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

 
  1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.
  • 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.
  • Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.
  1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
  • Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x < 4,5.

Решение линейных неравенств

Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

  • ax + b < 0,
  • ax + b > 0,
  • ax + b ≤ 0,
  • ax + b ≥ 0,

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Для решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

Алгоритм решения ax + b < 0 при a ≠ 0

  • перенесем число b в правую часть с противоположным знаком,
  • получим равносильное: ax < −b;
  • произведем деление обеих частей на число не равное нулю.

Когда a положительное, то знак неравенства остается без изменений, если a — отрицательное, знак меняется на противоположный.

Рассмотрим пример: 4x + 16 ≤ 0.

Как решаем: В данном случае a = 4 и b = 16, то есть коэффициент при x не равен нулю. Применим вышеописанный алгоритм.

  • Перенесем слагаемое 16 в другую часть с измененным знаком: 4x ≤ −16.
  • Произведем деление обеих частей на 4. Не меняем знак, так как 4 — положительное число: 4x : 4 ≤ −16 : 4 ⇒ x ≤ −4. 
  • Неравенство x ≤ −4 является равносильным. То есть решением является любое действительное число, которое меньше или равно 4.

Ответ: x ≤ −4 или числовой промежуток (−∞, −4].

При решении ax + b < 0, когда а = 0, получается 0 * x + b < 0. На рассмотрение берется b < 0, после выясняется верное оно или нет.

Вернемся к определению решения неравенства. При любом значении x мы получаем числовое неравенство вида b < 0. При подстановке любого t вместо x, получаем 0 * t + b < 0 , где b < 0. Если оно верно, то для решения подойдет любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда данное уравнение не имеет решений, так как нет ни одного значения переменной, которое может привести к верному числовому равенству.

Числовое неравенство вида b < 0 (≤, > , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

  • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
  • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

Ответ: промежуток (− ∞ , + ∞).

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов заключается в следующем:

  • вводим функцию y = ax + b;
  • ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
  • отмечаем полученные корни на координатной прямой;
  • определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

Алгоритм решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

  • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

  • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
  • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

  • если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если < или ≤ — над отрицательным промежутком.

Рассмотрим пример: −6x + 12 > 0.

Как решаем:

  1. В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

    −6x = −12,

    x = 2.

    Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

  2. Определим знаки на промежутках.

    Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

    Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным.

  3. Штриховку сделаем над положительным промежутком.

    По чертежу делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 2) или x < 2.

Ответ: (−∞, 2) или x < 2.

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

  • во время решения ax + b < 0 определить промежуток, где график изображен ниже оси Ох;
  • во время решения ax + b ≤ 0 определить промежуток, где график изображается ниже Ох или совпадает с осью;
  • во время решения ax + b > 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
  • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

  • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
  • Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
  • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
  • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x < −√3 : 5.

Линейные неравенства в 8 классе — это маленький кирпич, который будет заложен в целый фундамент знаний. Мы верим, что у все получится!

Подготовка к ОГЭ по математике.

Решение задачи 8. На каком рисунке изображено множество решений неравенства 3-x >= 3x+5

© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Главная → Видеоуроки →  ОГЭ (ГИА) по математике. Задача 8.

Описание видеоурока:

ОГЭ (ГИА) 2015 по математике. Модуль Алгебра. Задача №8.

Условие задачи: На каком рисунке изображено множество решений неравенства 3-x >= 3x+5

00:02:06

Валерий Волков 9 28.01.2015

Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!

Новости образования

ЕГЭ по математике

Профильный уровень

Задание 1     Задание 2

Задание 3     Задание 4

Задание 5     Задание 6

Задание 7     Задание 8

Задание 9     Задание 10

Задание 11     Задание 12

Задание 13     Задание 14

Задание 15     Задание 16

Задание 17     Задание 18

Задание 19     Задание 20

Задание 21

ГИА по математике

Задача 1     Задача 2

Задача 3     Задача 4

Задача 5     Задача 6

Задача 7     Задача 8

Задача 9     Задача 10

Задача 11     Задача 12

Задача 13     Задача 14

Задача 15     Задача 16

Задача 17     Задача 18

Задача 19     Задача 20

Задача 21     Задача 22

Задача 23     Задача 24

Задача 25     Задача 26

Демонстрационные варианты ОГЭ по математике

Математика. 5 класс.

Натуральные числа

Обыкновенные дроби

Десятичные дроби

Проценты

Математика. 6 класс.

Делимость чисел

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение и деление обыкновенных дробей

Отношения и пропорции

Положительные и отрицательные числа

Измерение величин

Математика. 7 класс.

Преобразование выражений

Многочлены

Формулы сокращенного умножения

Математика. 8 класс.

Модуль числа. Уравнения и неравенства.

Квадратные уравнения

Квадратные неравенства

Уравнения с параметром

Задачи с параметром

Математика. 9 класс.

Функции и их свойства

Прогрессии

Векторы

Комбинаторика, статистика и теория вероятностей

Математика. 10 — 11 класс.

Числовые функции

Тригонометрические функции

Тригонометрические уравнения

Преобразование тригонометрических выражений

Производная

Степенные функции

Показательная функция

Логарифмические функции

Первообразная и интеграл

Уравнения и неравенства

Комбинаторика

Создаёте видеоуроки?

Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала.

Актуально

Физкультминутки для школьников и дошкольников

Подготовка к ЕГЭ Подготовка к ОГЭ

Решите неравенства с помощью Пошагового решения математических задач

В главе 2 мы установили правила решения уравнений с использованием арифметических чисел. Теперь, когда мы изучили операции над числами со знаком, мы будем использовать те же правила для решения уравнений, в которых участвуют отрицательные числа. Мы также изучим методы решения и построения графиков неравенств с одним неизвестным.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ЧИСЛА СО ЗНАКОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать уравнения, содержащие числа со знаком.

Пример 1 Найдите х и проверьте: х + 5 = 3 для x и проверьте: — 3x = 12

Решение

Разделив каждую сторону на -3, мы получим

Всегда проверяйте исходное уравнение.

Другой способ решения уравнения
3x — 4 = 7x + 8
будет сначала вычесть 3x с обеих сторон, получив
-4 = 4x + 8,
, затем вычесть 8 с обеих сторон и получить
-12 = 4x.
Теперь разделите обе части на 4, чтобы получить
— 3 = x или x = — 3.

Сначала удалите скобки. Затем следуйте процедуре, описанной в главе 2.

ЛИТЕРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Найдите буквальное уравнение.
  2. Применяйте ранее изученные правила для решения буквенных уравнений.

Уравнение, состоящее из более чем одной буквы, иногда называют буквальным уравнением . Иногда бывает необходимо решить такое уравнение для одной из букв через другие. Пошаговая процедура, рассмотренная и использованная в главе 2, по-прежнему действительна после удаления любых символов группировки.

Пример 1 Решить для c: 3(x + c) — 4y = 2x — 5c

Решение

Сначала удалите скобки.

Здесь мы отмечаем, что, поскольку мы решаем для c, мы хотим получить c с одной стороны и все остальные члены с другой стороны уравнения. Таким образом, мы получаем

Помните, abx это то же самое, что и 1abx.
Делим на коэффициент при x, который в данном случае равен ab.

Решите уравнение 2x + 2y — 9x + 9a, сначала вычитая 2.v из обеих частей. Сравните решение с полученным в примере.

Иногда форма ответа может быть изменена. В этом примере мы могли бы умножить и числитель, и знаменатель ответа на (-l) (это не меняет значения ответа) и получить

Преимущество этого последнего выражения перед первым состоит в том, что много отрицательных знаков в ответе.

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число является использованием фундаментального принципа дробей.

Наиболее часто используемые буквенные выражения — это формулы из геометрии, физики, бизнеса, электроники и т. д.

Пример 4 – это формула площади трапеции. Решите для с.

Трапеция имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны. Параллельные стороны называются основаниями.
Удаление скобок не означает просто их стирание. Мы должны умножить каждый член в скобках на множитель, стоящий перед скобками.
Изменение формы ответа не обязательно, но вы должны уметь распознавать правильный ответ, даже если форма отличается.

Пример 5 представляет собой формулу, определяющую проценты (I), полученные за период D дней, когда известны основная сумма долга (p) и годовая ставка (r). Найдите годовую ставку, если известны сумма процентов, основная сумма долга и количество дней.

Решение

Задача требует решения для r.

Обратите внимание, что в этом примере r оставлено справа, и поэтому вычисления упростились. Мы можем переписать ответ по-другому, если захотим.

ГРАФИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

ЦЕЛИ

По завершении этого раздела вы должны уметь:

  1. Используйте символ неравенства для представления относительного положения двух чисел на числовой прямой.
  2. Графические неравенства на числовой прямой.

Мы уже обсуждали набор из рациональные числа как те, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел. Существует также набор чисел, называемый иррациональными числами, , которые нельзя выразить как отношение целых чисел. В этот набор входят такие числа как и так далее. Множество, состоящее из рациональных и иррациональных чисел, называется действительных чисел.

Для любых двух действительных чисел a и b всегда можно сказать, что Много раз нас интересует только, равны ли два числа, но бывают ситуации, когда мы также хотим представить относительный размер чисел, которые не равны.

Символы представляют собой символы неравенства или отношений порядка и используются для отображения относительных размеров значений двух чисел. Обычно мы читаем этот символ как «больше чем». Например, a > b читается как «а больше, чем b». Обратите внимание, что мы заявили, что обычно читаем

Утверждение 2

a


Какое положительное число можно прибавить к 2, чтобы получить 5?


Проще говоря, это определение утверждает, что а меньше b, если мы должны добавить что-то к а, чтобы получить b. Конечно, «что-то» должно быть положительным.

Если вы думаете о числовой строке, вы знаете, что добавление положительного числа эквивалентно перемещению вправо по числовой строке. Это приводит к следующему альтернативному определению, которое может быть легче визуализировать.

Пример 1 3


Мы могли бы также написать 6 > 3.

Пример 2 — 4


Мы могли бы также написать 0 > — 4.

Пример 3 4 > — 2, потому что 4 находится справа от -2 на числовой прямой.


Пример 4 — 6


Математическое утверждение x

Вы понимаете, почему невозможно найти наибольшее число меньше 3?

На самом деле, назвать число x, которое является наибольшим числом меньше 3, невозможно. Однако это может быть указано в числовой строке. Для этого нам нужен символ, представляющий значение утверждения, такого как x

Символы ( и ), используемые на числовой прямой, указывают на то, что конечная точка не включена в набор.

Пример 5 График x

Решение


Обратите внимание, что на графике есть стрелка, указывающая, что линия продолжается без конца влево.

Этот график представляет каждое действительное число меньше 3.

Пример 6 График x > 4 на числовой прямой. Пример 7

Решение


На этом графике представлены все действительные числа больше -5.

Пример 8 Постройте линейный график, показывающий, что x > — 1 и x

Решение


Утверждение x > — 1 и x

На этом графике представлены все действительные числа от — 1 до 5.

Пример 9 График — 3

Решение

Если мы хотим включить конечную точку в набор, мы используем другой символ, :. Мы читаем эти символы как «равно или меньше» и «равно или больше».

Пример 10 х >; 4 указывает число 4 и все действительные числа справа от 4 на числовой прямой.

Что означает x

Символы [ и ], используемые в числовой строке, указывают, что конечная точка включена в набор.

Вы обнаружите, что такое использование скобок и квадратных скобок соответствует их использованию в будущих курсах по математике.

Этот график представляет число 1 и все действительные числа больше 1.

Этот график представляет число 1 и все действительные числа, меньшие или равные -3.

Пример 14 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика.

На этом графике представлены все действительные числа от -4 до 5 , включая -4 и 5.

Пример 15 Напишите алгебраическое выражение для следующего графика.

Этот график включает 4, но не -2.

Пример 16 График на числовой прямой.

Решение

В этом примере представлена ​​небольшая проблема. Как мы можем указать на числовой прямой? Если мы оценим точку, то другой человек может неправильно понять утверждение. Не могли бы вы сказать, представляет ли точка или, может быть, ? Поскольку целью графика является уточнение, всегда обозначают конечную точку.

Граф используется для передачи утверждения. Вы всегда должны называть нулевую точку, чтобы показать направление, а также конечную точку или точки, чтобы быть точным.

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать неравенства с одним неизвестным.

Решения неравенств обычно основаны на тех же основных правилах, что и уравнения. Есть одно исключение, которое мы вскоре обнаружим. Однако первое правило аналогично тому, которое используется при решении уравнений.

Если к каждой стороне неравенства добавить одинаковое количество, результаты будут неравными в том же порядке.

Пример 1 Если 5

Пример 2 Если 7

5 + 2 7 — 3

Мы можем использовать это правило для решения некоторых неравенств.

Пример 3 Решить для x: x + 6

Решение

Если мы прибавим -6 к каждой стороне, мы получим

Отобразив это решение на числовой прямой, мы получим

Обратите внимание, что процедура такая же, как и при решении уравнений.

Теперь мы воспользуемся правилом сложения, чтобы проиллюстрировать важную концепцию умножения или деления неравенств.

Предположим, х > а.

Теперь добавьте — x к обеим сторонам по правилу сложения.

Помните, добавление одной и той же величины к обеим частям неравенства не меняет его направления.

Теперь добавьте -a с обеих сторон.

Последнее выражение -a > -x можно переписать как -x < -a. Поэтому мы можем сказать: «Если х > а, то — х

Если неравенство умножить или разделить на отрицательное число, результаты будут неравны в порядке , противоположном .

Например: Если 5 > 3, то -5

Пример 5 Найдите x и нарисуйте решение: -2x>6

Решение

Чтобы получить x в левой части, мы должны разделить каждый член на — 2. Обратите внимание, что, поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства.

Обратите внимание, что как только мы делим на отрицательное число, мы должны изменить направление неравенства.

Обратите внимание на этот факт. Каждый раз, когда вы делите или умножаете на отрицательное число, вы должны изменить направление символа неравенства. Это единственная разница между решением уравнений и решением неравенств.

Когда мы умножаем или делим на положительное число, ничего не меняется. Когда мы умножаем или делим на отрицательное число, направление неравенства меняется. Будьте осторожны — это источник многих ошибок.

После того, как мы удалили круглые скобки и в выражении остались только отдельные члены, процедура поиска решения почти такая же, как в главе 2.

Теперь рассмотрим пошаговый метод из главы 2 и отметим разница при решении неравенств.

Первый Удалите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей. (Без изменений, когда мы умножаем на положительное число.)
Второй Упростите, объединив одинаковые члены с каждой стороны неравенства. (Без изменений)
Третий Сложите или вычтите количества, чтобы получить неизвестное на одной стороне и числа на другой. (без изменений)
Четвертый Разделите каждый член неравенства на коэффициент при неизвестном. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним. Если коэффициент отрицательный, неравенство будет обратным. (Это важное различие между уравнениями и неравенствами.)

Единственная возможная разница заключается в последнем шаге.

Что нужно сделать при делении на отрицательное число?

Не забудьте пометить конечную точку.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

  • Буквенное уравнение — это уравнение, включающее более одной буквы.
  • Символы символов неравенства или порядок отношений .
  • a a находится слева от b на действительной числовой прямой.
  • Двойные символы: указывают, что конечных точек включены в набор решений .

Процедуры

  • Чтобы решить буквальное уравнение для одной буквы через другие, выполните те же шаги, что и в главе 2.
  • Чтобы решить неравенство, выполните следующие шаги:
    Шаг 1 Исключите дроби, умножив все члены на наименьший общий знаменатель всех дробей.
    Шаг 2 Упростите, объединив одинаковые члены с каждой стороны неравенства.
    Шаг 3 Сложите или вычтите количества, чтобы получить неизвестное на одной стороне и числа на другой.
    Шаг 4 Разделите каждый член неравенства на коэффициент неизвестного. Если коэффициент положительный, неравенство останется прежним. Если коэффициент отрицательный, неравенство будет обратным.
    Шаг 5 Проверьте свой ответ.

Неравенства

Неравенства
Графер
Калькулятор
Возврат
Справка
Точечная диаграмма

Содержание : Эта страница соответствует § 2.5 (стр. 216) текст.

Предполагаемые проблемы из текста:

р. 225 #11, 12, 13, 14, 16, 28, 33, 35, 38, 41, 53, 56, 62, 63, 68, 69

Линейные неравенства

Комбинации неравенств

Неравенства, включающие абсолютные значения

Полиномиальные неравенства

Рациональные неравенства

Линейные неравенства

Неравенство — это сравнение выражений либо на «меньше» (<), «меньше или равно». до» (<=), "больше" (>) или «больше или равно» (>=). Обратите внимание, что Html не поддерживает стандартные символы «меньше или равно» и «больше или равно», поэтому мы используем <= и >= для этих отношений.

Пример 1 . х + 3 <= 10

Решение для неравенства относительно х — это такое число, что когда мы подставляем это число вместо х, мы получаем истинное утверждение. Итак, 4 — это решение для примера 1, а 8 — нет. Набор решений неравенства равен множество всех решений. Обычно неравенство имеет бесконечно много решений, и множество решений легко описывается с помощью интервальной записи.

Множество решений примера 1 — это множество всех x <= 7. В интервальной записи это множество (-inf, 7], где мы используем inf для обозначения бесконечности.

Линейное неравенство такое, что если мы заменим неравенство отношением равенства, то мы получим линейное уравнение. Решение линейных неравенств очень похоже на решение линейных уравнений с одним важным отличием.

Когда вы умножаете или делите обе части неравенства на отрицательное число, направление неравенство переворачивается.

Вы можете увидеть это, используя неравенство без переменных.

Пример 2 .

3 < 7. Это ИСТИНА.

(3)(-2) < (7)(-2). Это ЛОЖЬ, потому что -6 находится справа от -14 на числовой прямой. Следовательно, -6 > -14.

(3)(-2) > (7)(-2). Это верно. Итак, когда мы умножаем исходное неравенство на -2, мы должны обратить направление для получения другого истинного утверждения.

Примечание : В общем случае мы не можем умножать или делить обе части неравенства на выражение с переменной, потому что некоторые значения переменной могут сделать выражение положительным, а некоторые — отрицательным.

Пример 3 .

7 — 2x < 3.

-2x < -4.

х > 2,

Примечание : Когда мы разделили обе части неравенства на -2, мы изменили направление неравенства.

Посмотрите на графики функций по обе стороны от неравенства.

Чтобы удовлетворить неравенству, 7 — 2x должно быть меньше 3. Итак, мы ищем такие числа x, что точка на графике y = 7 — 2x ниже точки на графике y = 3. Это верно для x > 2. В интервале обозначения набор решений (2, inf).

Есть еще один способ использовать графическую утилиту для решения этого неравенства. В Java Grapher выражение (7-2*x)L3 имеет значение 1 для чисел x, удовлетворяющих неравенству, и значение 0 для остальных чисел Икс. На рисунке ниже показан график (7-2*x)L3, нарисованный графером.

Упражнение 1:

Решите неравенство 4 — x > 1 + 3x. Ответ

Вернуться к содержанию

Комбинации неравенств

Пример 4 .

Найдите все числа x такие, что -3 < 5 - 2x и 5 — 2x < 9.

-3 < 5 - 2x

-8 < -2x

4 > x

(-inf, 4)

И

5 — 2x < 9

-2x < 4

x > -2

(-2, inf)

Чтобы удовлетворить оба неравенства, число должно быть в обоих наборах решений. Итак, числа, удовлетворяющие обоим неравенства — это значения на пересечении двух наборов решений, которые представляют собой набор (-2, 4) в интервале обозначение.

Задача выше обычно записывается как двойное неравенство .

-3 < 5 - 2x < 9 означает -3 < 5 - 2x и 5 — 2x < 9.

Примечание: Когда мы решали два неравенства по отдельности, шаги в двух задачах были такой же. Следовательно, нотация двойного неравенства может использоваться для одновременного решения неравенств.

-3 < 5 - 2x < 9.

-8 < -2x < 4.

4 > х > -2.

С точки зрения графов, эта задача соответствует нахождению таких значений x, что соответствующая точка на график y = 5 — 2x находится между графиками y = -3 и y = 9.

Пример 5 .

Найдите все числа x такие, что x + 1 < 0 или   x + 1 > 3.

В приведенном выше примере 4 мы искали числа, удовлетворяющие обоим неравенствам. Здесь мы хотим найти числа которые удовлетворяют любому из неравенств. Это соответствует объединению наборов решений вместо пересечения.

Не используйте запись двойного неравенства в этой ситуации.

х + 1 < 0

х < -1

(-inf, -1)

 ИЛИ х + 1 > 3

х > 2

(2, инф)

Набор решений представляет собой объединение двух интервалов (-inf, -1) и (2, inf).

Упражнение 2:

(а) 1 < 3 + 5x < 7 Ответ

(б) 2 — х < 1 или 2 - х > 5 Ответ

Вернуться к содержанию

Неравенства, связанные с абсолютными значениями

Неравенства с абсолютными значениями можно переписать как комбинации неравенств.

Пусть a будет положительным числом.

|х| < а тогда и только тогда, когда -а < х < а.

|х| > а тогда и только тогда, когда х < -а или х > а.

Чтобы понять эти утверждения, подумайте о числовой прямой. Абсолютное значение числа — это расстояние число начинается с 0 на числовой прямой. Итак, неравенство |x| < a удовлетворяют числа, расстояние которых от 0 меньше а. Это набор чисел между -а и а.

Неравенство |x| > a удовлетворяют числа, расстояние которых от 0 больше, чем a. Это означает числа которые либо больше а, либо меньше -а.

Пример 6 .

| 3 + 2x | <= 7.

-7 <= 3 + 2x <= 7.

-10 <= 2x <= 4.

-5 <= х <= 2.

х находится в [-5, 2].

С точки зрения графиков, мы ищем такие значения x, что соответствующая точка на графике y = | 3 + 2x | либо ниже, либо равна точке на графике y = 7,

Пример 7 .

| 5 — 2x | > 3.

5 — 2x < -3 или 5 - 2x > 3.

-2x < -8 или -2x > -2.

х > 4 или х < 1.

x входит в (4, inf) объединение (-inf, 1).

Этот набор решений соответствует области, где график y = | 5 — 2x | находится над графиком y = 3,

Упражнение 3 :

Решите следующие неравенства. Используйте графическую утилиту, чтобы проверить свои ответы.

(а) | 3 + х | < 4.

(б) | 2 — х | > 3.

Вернуться к содержанию

Полиномиальные неравенства

Пример 8 .

х 2 — х — 6 < 0,

Первый шаг — найти нули многочлена x 2 — x — 6.

х 2 — х — 6 = 0,

(х + 2)(х — 3) = 0,

х = -2 или х = 3.

-2 и 3 называются критическими числами неравенства.

Примечание: -2 и 3 не входят в набор решений неравенства. Мы ищем значения x, где многочлен отрицательный. Множество решений неравенства соответствует области, где график полинома находится ниже оси x. Критические числа -2 и 3 — это места пересечения графика. ось х.

Критические числа делят ось x на три интервала, называемых проверочными интервалами для неравенства.

Интервалы проверки: (-inf, -2), (-2, 3), (3, inf).

Мы собираемся использовать тот факт, что полиномиальные функции непрерывны . Это означает, что их графики без рывков и скачков.

Так как мы нашли все точки пересечения x графика x 2 — x — 6, на каждом тестовом интервале график должен располагаться либо над осью X, либо под ней. Здесь нам нужно знать, что граф не имеет любые перерывы. Это означает, что мы можем выбрать любое число на тестовом интервале и оценить полином на это число, чтобы увидеть, находится ли график выше или ниже оси x на протяжении всего интервала тестирования.

(-inf, -2): -5 находится в интервале. (-5) 2 — (-5) — 6 = 24 > 0, поэтому график y = x 2 — x — 6 выше оси x на всем интервале (-inf, -2).

(-2, 3): 0 находится в интервале. 0 2 — 0 — 6 = -6 < 0, поэтому график y = x 2 — x — 6 находится ниже оси абсцисс на всем интервале.

(3, inf): 4 в интервале. 4 2 — 4 — 6 = 6 > 0, поэтому график y = x 2 — х — 6 находится выше оси абсцисс на всем интервале.

Поскольку мы ищем области, где график находится ниже оси, набор решений равен -2 < x < 3 или (-2, 3).

Распространенная ошибка

Мы будем использовать задачу из примера 8, чтобы проиллюстрировать распространенную ошибку.

х 2 — х — 6 < 0,

(x + 2)(x — 3) < 0 ОК на данный момент.

x + 2 < 0 или x - 3 < 0 НЕПРАВИЛЬНО!

Если произведение двух чисел равно до 0, то по крайней мере одно из чисел должно быть 0. Однако произведение двух отрицательных чисел не является отрицательным, поэтому этот подход не подходит для решения неравенств.

Пример 9 .

1,2 х 3 + 3,07 х 2 — х — 3,71 > 0,

Эта задача намного сложнее, чем неравенство в предыдущем примере! Рассчитать не просто, поэтому мы не сможем найти точные значения критических чисел. Мы будем использовать графическую утилиту для аппроксимации критические числа. График полинома показан ниже.

у = 1,2 х 3 + 3,07 х 2 — х — 3,71

Критические числа составляют примерно -2,35, -1,25 и 1,05. В этой задаче мы ищем регионы, где график находится над осью.

Набор растворов : (-2,35, -1,25) соединение (1,05, инф.).

Упражнение 4 :

Решите неравенство x 2 + 3x — 4 > 0. Используйте графическую утилиту, чтобы проверить свое решение.

Вернуться к содержанию

Рациональные неравенства

Рациональное выражение имеет вид полиномиальное деление на полиномиальное. В общем случае графики рациональных функций есть перерывы. Они не определены в нулях знаменателя. Это единственные места, где есть разрывы, поэтому мы можем использовать ту же технику для решения рациональных неравенств, что и для полиномиальных неравенств.

Пример 10 .

Критическими числами рационального неравенства являются все нули числителя и знаменателя. С числитель и знаменатель уже учтены в этом примере, мы видим, что критические числа равны -3, 5 и 1.

Три критических числа делят числовую прямую на четыре тестовых интервала.

(-inf, -3): -4 находится в интервале, а рациональная функция, оцененная в -4, равна -9/15. Поскольку значение отрицательное, график рациональной функции ниже по оси x на протяжении всего интервала.

(-3, 1): 0 находится в интервале. Значение функции в 0 равно 5, что положительно. График функции на 90 379 выше 90 380 по оси абсцисс на протяжении всего интервала.

(1, 5): 2 находится в интервале. Значение 2 равно -5. График функции на 90 379 ниже 90 380 по оси x.

(5, inf): 6 в промежутке. Значение в 6 равно 9/15. График функции над по оси X.

Мы ищем области, где график находится выше оси x, поэтому набор решений представляет собой объединение (-3, 1) (5, инф).

Примечание: Графическую утилиту можно использовать, чтобы увидеть, на какой стороне оси X находится график в различные интервалы проверки. В некоторых случаях вы должны решить алгебраически, чтобы найти точные значения критических чисел, но как только это будет сделано, граф предоставляет быстрый способ решить проблему.

График y = (x + 3)(x — 5)/3(x — 1)

При работе с неравенствами следует помнить о двух важных моментах:

1. Нам нужно сравнить выражение с 0. Итак, если мы начнем с задачи

x 2 — 3x — 11 < x + 10, мы должны вычесть x и 10 с обеих сторон, чтобы получить

x 2 — 4x — 21 < 0,

2. Не умножайте обе части неравенства на выражение с переменной.

Например, учитывая задачу, сделать не умножить обе части на х. Правильный способ решения этой проблемы выглядит следующим образом:

Теперь мы видим, что критическими числами являются 0 (из знаменателя), 1 и -1.

Упражнение 5 :

(a) Завершите решение x 2 — 3x — 11 < x + 10 и проверьте свое решение с помощью графической утилиты.

Related Posts

Leave A Comment