Физические основы механики
Рассмотрим теперь плоское движение твердого тела, то есть движение, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Пример такого движения — вращение колеса автомобиля при его движении по прямой. Можно взять любую точку 0 тела и мысленно провести через нее ось вращения перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела. Тогда ось вращения будет двигаться поступательно, оставаясь все время параллельной самой себе.
Видео 7.2. Плоское движение твердого тела в однородном поле тяжести. Полет плоской картонной фигуры
Соответственно, скорость элементарной массы твердого тела складывается из скорости поступательного движения точки 0 и линейной скорости вращения вокруг связанной с ней (мысленно проведенной) оси:
где — радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке 0.
Кинетическая энергия элементарной массы равна тогда:
Векторное произведение
имеет модуль, равный , где — расстояние массы от оси вращения.
Следовательно, третье слагаемое в скобках равно . Второе слагаемое, представляющее собой смешанное произведение векторов, не меняется при циклической перестановке сомножителей:
В результате получим для кинетической энергии элемента твердого тела следующее выражение
Для нахождения кинетической энергии тела просуммируем по всем элементарным массам:
Сумма элементарных масс
есть масса твердого тела. Выражение
где — радиус-вектор центра масс тела относительно точки 0.
Наконец,
— есть момент инерции тела относительно оси вращения. Поэтому для кинетической энергии твердого тела можно записать формулу:
Поскольку выбор мысленной оси вращения всецело в нашей власти, мы упростим полученное выражение, взяв в качестве точки 0 центр масс тела. Тогда = 0 и кинетическая энергия тела при плоском движении равна
Здесь — скорость движения центра масс, a — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и ортогональной плоскости, где лежат траектории точек тела. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.
Движение твердого тела определяется действующими на тело внешними силами и моментами этих сил
Индекс в обозначениях для момента внешней силы означает проекцию момента на ось вращения.
В следующих примерах мы имеем дело с плоским движением.
Видео 7.3. Зависимость поведения цилиндров на наклонной плоскости от характера распределение массы по их объему
Пример 1. Круглое однородное тело (обруч, цилиндр, шар) радиусом и массой скатывается без скольжения по наклонной плоскости под углом к горизонту с высоты (рис. 7.12). Начальная скорость тела равна нулю. Найдем скорость центра масс каждого тела в конце спуска.
Рис. 7.12. Скатывание тела с наклонной плоскости
Рассмотрение данной задачи можно вести двумя способами.
1-й способ. По условию тело катится без проскальзывания. Это условие используется у нас дважды. Сила трения между телом и плоскостью действует в точке соприкосновения и в отсутствие скольжения не превышает своего максимального значения:
где — коэффициент трения скольжения.
Оси координат удобно направить следующим образом: ось х — вдоль движения, ось у — перпендикулярно наклонной плоскости. Тело движется под действием трех сил: силы тяжести , силы трения и силы нормального давления , так что уравнение поступательного движения центра инерции тела имеет вид:
Вдоль оси у тело не движется. Проецируя уравнение движения центра масс на ось у, получаем для силы нормального давления соотношение:
Проекция уравнения движения на ось х дает:
Так как линейная скорость точек соприкосновения цилиндра с наклонной плоскостью равна нулю (опять используем условие отсутствия проскальзывания), то скорость (ускорение) поступательного движения связаны с угловой скоростью (угловым ускорением) тела обычными соотношениями:
Кроме поступательного движения, тело еще и вращается. Вращение удобно описывать относительно оси z, проходящей через центр масс цилиндра.
Выбор этот обусловлен тем, что линии действия силы тяжести и силы нормального давления плоскости проходят через ось вращения и, следовательно, моменты этих сил равны нулю. Таким образом, цилиндр вращается только под действием силы трения, и уравнение вращательного движения имеет вид:
Таким образом, получается система 4-х уравнений, описывающих поступательное и вращательное движение с дополнительным неравенством, выражающим закон трения. Решая систему уравнений, находим:
Чем больше момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, тем меньше ускорение тела. Мы уже получили ответ на один из вопросов задачи: шар будет двигаться быстрее цилиндра, а цилиндр — быстрее обруча. Подставляя решение для силы трения в неравенство, выражающее закон трения, находим условие, при котором будет отсутствовать проскальзывание:
Смысл этого условия прост: наклон не должен быть слишком крут.
Итак, центр масс тела движется вдоль плоскости с постоянным ускорением a, так что зависимость пройденного пути и скорости от времени имеет вид:
Отсюда следует связь скорости и пройденного пути:
К концу спуска тело проходит путь
так что его скорость достигает величины
Подставляя сюда моменты инерции обруча (), цилиндра () и шара (), находим соответственно:
2-й способ. Используем закон сохранения полной энергии. В конце спуска тело приобретает кинетическую энергию
Эта кинетическая энергия приобретена за счет потенциальной энергии . Отсюда следует найдено выше выражение для скорости тела в конце спуска. Такой способ намного короче, но он не позволяет узнать детали процесса: действующие на тело силы и т.п.
В рассмотренном выше примере мы считали примере мы имели дело со случаем, когда проскальзывание отсутствовало. Это позволило утверждать простую связь () между угловой и линейной скоростями тела и его радиусом. Сила трения покоя находилась при этом в результате решения уравнений движения. В случае, когда тело движется с проскальзыванием, заранее известной связи между линейной и угловой скоростями нет. Зато мы заранее знаем силу трения: раз точка соприкосновения тела с поверхностью скользит по поверхности, сила трения есть сила трения скольжения,модуль которой связан с силой нормального давления законом Амонтона — Кулона.
Силы трения, как уже говорилось, направлены так, чтобы препятствовать относительному проскальзыванию соприкасающихся тел. Часто путают это возможное проскальзывание с осуществляемым поступательным движением. Необходимо четко понимать, что не редки случаи, когда сила трения не тормозит, но ускоряет тело, то есть направлена по его движению. Самый известный пример — трогание автомобиля с места. Колеса начинают вращаться и проскальзывают по земле назад. Соответственно, сила трения направлена вперед, и именно она заставляет автомобиль трогаться. Чтобы ближе познакомиться с подобными случаями, рассмотрим пример.
Пример 2. Цирковой артист бросает на арену обруч массой и радиусом , который начинает катиться в горизонтальном направлении со скоростью (рис. 7.13). При этом обручу придано обратное вращение с угловой скоростью . Найдем, при какой угловой скорости обруч после остановки покатится назад к артисту, а также конечную скорость поступательного движения обруча.
Рис. 7.13. Движение обруча с обратным вращением
При обратном вращении обруча точка его касания с ареной движется вперед как из-за вращения, так и из-за поступательного движения обруча. Поэтому неизбежно существует проскальзывание и, значит, сила трения достигает своего максимального значения. Она тормозит как поступательное движение, так и вращение обруча. Может случиться так, что поступательное движение обруча будет остановлено в тот момент, когда он еще сохраняет обратное вращение. Далее сила трения начнет ускорять обруч по направлению к артисту. Ускорение это прекратится, когда исчезнет тенденция к проскальзыванию, после чего обруч покатится назад равномерно с некоторой установившейся скоростью . Может, однако, случиться и так, что раньше будет остановлено обратное вращение, и тогда обруч сохранит поступательное движение вперед, изменив направление вращения на прямое. Чтобы различить эти два случая, качественных рассуждений недостаточно, и мы обратимся к формулам.
Направим ось ОХ направо (в направлении красной стрелки на рис. 7.13), ось вращения ОZ направим на нас (см. следующий пример, там эту ось удобнее направить от нас, то есть за чертеж), то есть в направлении «обратного» вращения, ось OY направим как обычно, вверх. Плоское движение обруча представим как суперпозицию его поступательного движения вместе с центром масс (геометрическим центром, поскольку обруч предполагается однородным). Спроектируем линейные и угловые скорости на соответствующие оси. Тогда, до тех пор, пока сила трения есть сила трения скольжения и направлена она налево, уравнения движения имеют вид
(7.3.1)
(7.3.2)
Уравнение (7.3.1) описывает движение центра масс обруча, а уравнение (7. 3.2) его вращение вокруг оси проходящей через центр масс в той системе отсчета, в которой она покоится (системе центра масс). В (7.3.2) учтено, что момент инерции однородного обруча относительно его оси симметрии равен . После элементарного интегрирования получаем
(7.3.3)
(7.3.4)
Поступательное движение прекратится, то есть станет равным нулю, в момент времени
(7.3.5)
Вращение прекратится, то есть станет равным нулю,в момент времени
(7.3.6)
Их отношение
(7.3.7)
может быть любым ввиду независимости начальных скоростей поступательного и вращательного движений.
Для дальнейшего анализа введем в рассмотрение скорость нижней точки обруча — той его точки, которая касается поверхности арены. Отметим уже здесь, что условием исчезновения проскальзывания является обращение в ноль скорости именно этой точки, потому что скорость соответствующей точки на поверхности арены (той, которой касается обруч) очевидным образом в нашей системе отсчета, где арена неподвижна, равна нулю. Отсутствие проскальзывания это и есть неподвижность этих двух точек относительно друг друга. При выбранном направлении осей OZ и OX, имеем
(7.3.8)
Если , то первым прекратится поступательное движение обруча. В момент времени скорости (7.3.3) и (7.3.8) будут иметь значения
Нижняя точка обруча, за счет продолжающегося вращения, будет по-прежнему скользить относительно арены направо (направо на рисунке 7.13), сила трения скольжения сохранит свою величину и направление налево. Соответственно, центр обруча начнет ускорятся налево, то есть станет меньше нуля и начнет расти по модулю, вращение против часовой стрелки (на рисунке 7.13) будет продолжать замедлятся. Другими словами, при обруч в момент времени (7.3.5) начинает возвращаться к бросившему его артисту.
Как следует из (7.3.8), в момент времени
(7.3.9)
скорость нижней точки обруча из (7.3.8) обращается в ноль, проскальзывание прекращается, сила трения скольжения скачком сменяется равной нулю силой трения покоя (силой трения качения пренебрегаем) и обруч начинает катится к артисту с постоянной скоростью движения центра масс
(7. 3.10)
вращаясь против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью
(7.3.11)
Если , то первым, в момент времени (7.3.6), прекратится вращение обруча. В момент времени скорость (7.3.8) нижней точки обруча будет равна скорости его центра и положительна:
(7.3.12)
Скольжение остается, сила трения скольжения сохраняет свою величину и направление налево, но обруч под действием этой силы трения скольжения начинает вращаться по часовой стрелке (напоминаем: налево, направо, по или против часовой стрелки — на рисунке 10). В результате этого скорость центра масс (центра обруча) будет уменьшаться, скорость вращения увеличиваться, в момент времени
(7.3.13)
проскальзывание обруча прекратится и обруч начнет равномерно удаляться от артиста со скоростью центра (7.3.10) и угловой скоростью вращения (7.3.11). Напомним, что в этом случае , так что а
Таким образом, ответ на вопрос: «Вернется обруч или укатится?» определяется начальными условиями, а конкретнее величиной параметра , который имеет простой физический смысл: это отношение модуля
скорости любой точки обруча за счет его поступательного движения вместе с центром масс к модулю скорости той же точки за счет вращения обруча вокруг оси, проходящей через его центр масс, в начальный момент времени.
Пример 3. Описать движение обруча (см. предыдущий пример), если ему придано прямое вращение (рис. 7.14). Поскольку обруч вращается теперь на рис. 7.14 по часовой стрелке, направим ось вращения OZ от нас, то есть за чертеж — в отличие от предыдущего случая.
Рис. 7.14. Движение обруча с прямым вращением: 1 – ; 2 –
Начальная скорость нижней точки обруча складывается из скорости поступательного движения и линейной скорости за счет вращения, направленной в противоположную сторону. В связи с этим надо различать два случая.
1 случай или . Тогда начальная скорость нижней точки обода положительна, то есть, направлена в ту же сторону, что и скорость . Значит, сила трения f направлена в противоположную сторону, как показано на рис. 11–1. В связи с изменением положительного направления оси вращения необходимо лишь изменить знак перед вторым слагаемым в уравнении (7.3.4). Решение уравнений движения в рассматриваемом случае имеют вид
(7. 3.14)
(7.3.15)
При новом выборе направления оси вращения скорость нижней точки обруча записывается в виде
(7.3.16)
Момент исчезновения проскальзывания определится из того же соотношения равенства нулю скорости нижней точки обруча или равенства по модулю противоположно направленных скоростей этой точки за счет поступательного движения вместе с центром масс и вращательного движение вокруг оси, проходящей через центр масс:
откуда находим:
Скорость поступательного движения обруча в этот момент становится равной
и остается потом неизменной. Эта скорость меньше начальной скорости поступательного движения обруча.
2 случай или . В этом случае скорость нижней точки обода отрицательна, направлена против скорости . Значит, сила трения направлена по (см. рис.11-2).
Соответственно, в уравнениях движения и их решениях (7.3.14) и (7.3.15) надо изменить знаки на противоположные перед вторыми слагаемыми, содержащими изменившую направление силу трения, получаем:
(7. 3.17)
(7.3.18)
Соответственно, выражение для скорости нижней точки обруча приобретает вид:
(7.3.19)
Момент прекращения проскальзывания определяется аналогично и оказывается равным:
а для скорости установившегося движения получается вновь выражение
но в данном случае она будет больше () начальной скорости поступательного движения.
Объединяя оба случая в один, записываем окончательный результат:
Дополнительная информация
http://www.plib.ru/library/book/14978.html Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. — стр. 256 (§ 48, задача 9): рассмотрено движение маятника Максвелла, включая силу натяжения нитей подвеса в нижней точке.
http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/04/kv0497khorozov.pdf — журнал «Квант» — решение задачи об отскоке вращающегося мяча от плоской стенки (С. Хорозов).
http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1998/04/kv0498chernoutsan.pdf — журнал «Квант» — применение законов динамики твердого тела в задаче о падении вертикальной палочки на горизонтальный стол (А. Черноуцан).
http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1999/02/kv0299chernoutsan.pdf — журнал «Квант» — продолжение задачи о падении вертикальной палочки на горизонтальный стол (А. Черноуцан).
Ответов пока нет | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Физика | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.1 Перекатывание | University Physics Volume 1
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Описывать физику качения без проскальзывания
- Объясните, как линейные переменные связаны с угловыми переменными для случая качения без проскальзывания
- Найти линейное и угловое ускорения при качении с проскальзыванием и без него
- Расчет статической силы трения, связанной с качением без проскальзывания
- Использование энергосбережения для анализа качения
Вращательное движение — это обычное сочетание вращательного и поступательного движения, которое мы видим повсюду, каждый день. Подумайте о различных ситуациях, когда колеса движутся по шоссе, или колеса самолета приземляются на взлетно-посадочную полосу, или колеса робота-исследователя на другой планете. Понимание сил и крутящих моментов, участвующих в качении , является решающим фактором во многих различных ситуациях.
Для анализа качения в этой главе обратитесь к (Рисунок) в разделе Вращение с фиксированной осью, чтобы найти моменты инерции некоторых общих геометрических объектов. Вы также можете найти его полезным в других расчетах, связанных с вращением.
Перекатывание без проскальзывания
Люди наблюдали перекатывание без проскальзывания с момента изобретения колеса. Например, мы можем посмотреть на взаимодействие шин автомобиля и поверхности дороги. Если водитель нажимает педаль акселератора в пол так, что шины крутятся, а автомобиль не движется вперед, между колесами и поверхностью дороги должно быть кинетическое трение. Если водитель медленно нажимает на педаль акселератора, заставляя автомобиль двигаться вперед, то шины катятся без проскальзывания. Для большинства людей удивительно, что на самом деле нижняя часть колеса находится в покое по отношению к земле, что указывает на наличие статического трения между шинами и поверхностью дороги. На (рисунке) велосипед движется, а всадник остается в вертикальном положении. Шины соприкасаются с дорожным покрытием, и, несмотря на то, что они катятся, нижняя часть шин слегка деформируется, не скользит и находится в состоянии покоя относительно дорожного покрытия в течение измеримого промежутка времени. Для этого между шиной и поверхностью дороги должно быть статическое трение.
Рисунок 11.2 (а) Велосипед движется вперед, и его шины не скользят. Нижняя часть слегка деформированной шины находится в покое относительно поверхности дороги в течение измеримого периода времени. (b) На этом изображении видно, что верхняя часть катящегося колеса кажется размытой из-за его движения, но нижняя часть колеса мгновенно остается в покое. (кредит a: модификация работы Нельсона Лоуренсо; кредит b: модификация работы Колина Роуза)
Чтобы проанализировать качение без проскальзывания, мы сначала выводим линейные переменные скорости и ускорения центра масс колеса через угловые переменные, описывающие движение колеса. Ситуация показана на (рис.).
Рисунок 11.3 (a) Колесо тянется по горизонтальной поверхности под действием силы [латекс] \overset{\to }{F} [/латекс]. Сила статического трения [латекс] {\overset{\to }{f}}_{\text{S}},|{\overset{\to }{f}}_{\text{S}}|\ le {\mu }_{\text{S}}N [/latex] достаточно большой, чтобы не скользить. (b) Векторы линейной скорости и ускорения центра масс и соответствующие выражения для [латекс] \omega \,\text{и}\,\alpha [/латекс]. Точка P покоится относительно поверхности. (c) Относительно системы центра масс (ЦМ) точка P имеет линейную скорость [латекс] \текст{−}R\omega \hat{i} [/латекс].
Из (Рисунок)(а) мы видим векторы сил, участвующих в предотвращении проскальзывания колеса. На (b) точка P , которая касается поверхности, покоится относительно поверхности. Относительно центра масс точка P имеет скорость [латекс] \text{−}R\omega \hat{i} [/latex], где R — радиус колеса, а [латекс] \omega [/latex] — угловая скорость колеса относительно своей оси. Поскольку колесо катится, скорость P относительно поверхности равна его скорости относительно центра масс плюс скорость центра масс относительно поверхности:
[латекс] {\ overset {\ to} {v}} _ {P} = \ text {−} R \ omega \ hat {i} + {v} _ {\ text {CM}} \ hat {i }. [/latex]
Поскольку скорость P относительно поверхности равна нулю, [латекс] {v}_{P}=0 [/латекс], это говорит о том, что
[латекс] {v}_{ \text{CM}}=R\omega . [/latex]
Таким образом, скорость центра масс колеса равна его радиусу, умноженному на угловую скорость относительно его оси. Покажем соответствие линейной переменной в левой части уравнения угловой переменной в правой части уравнения. Это сделано ниже для линейного ускорения.
Если продифференцировать (рисунок) в левой части уравнения, то получим выражение для линейного ускорения центра масс. В правой части уравнения R является константой, и поскольку [латекс] \альфа =\фрак{д\омега} {dt}, [/латекс] мы имеем
[латекс] {а}_{\ текст{CM}}=R\alpha . [/latex]
Кроме того, мы можем найти расстояние, которое проходит колесо, в терминах угловых переменных, обратившись к (Рисунок). Когда колесо катится от точки A до точки B , его внешняя поверхность отображается на землю ровно на пройденное расстояние, которое составляет [латекс] {d} _ {\ text {CM}}. [/latex] Мы видим из (Рисунок), что длина внешней поверхности, которая отображается на землю, равна длине дуги [латекс] R\theta \text{} [/латекс]. Приравнивая два расстояния, получаем
[латекс] {d}_{\text{CM}}=R\theta . [/latex]
Рисунок 11.4 Когда колесо катится по поверхности, длина дуги [латекс] R\theta [/латекс] от А до В отображается на поверхность, что соответствует расстоянию [латекс] {d} _{\text{CM}} [/latex], что центр масс сместился.
Пример
Катится по наклонной плоскости
Твердый цилиндр катится по наклонной плоскости без проскальзывания, начиная с состояния покоя. Он имеет массу m и радиус r . а) Чему равно его ускорение? б) Какому условию должен удовлетворять коэффициент трения покоя [латекс] {\му }_{\текст{S}} [/латекс], чтобы цилиндр не скользил?
Стратегия
Нарисуйте эскиз и диаграмму свободного тела и выберите систему координат. Ставим x в направлении вниз по плоскости и y вверх перпендикулярно плоскости. Определить задействованные силы. Это нормальная сила, сила тяжести и сила трения. Запишите законы Ньютона в направлениях x и y и закон Ньютона для вращения, а затем определите ускорение и силу трения.
Решение
- Диаграмма свободного тела и эскиз показаны на (Рисунок), включая нормальную силу, компоненты веса и силу трения покоя. Трения едва хватает, чтобы цилиндр вращался без проскальзывания. Поскольку проскальзывание отсутствует, величина силы трения меньше или равна [латекс] {\ mu }_{S}N [/латекс]. Запись законов Ньютона в x – и y — направления, имеем
[латекс] \сумма {F}_{x}=m{a}_{x};\enspace\sum {F}_{y}=m{a}_{y}.
[/латекс]Рисунок 11.5 Твердый цилиндр катится по наклонной плоскости, не соскальзывая с места. Система координат имеет x в направлении вниз по наклонной плоскости и y перпендикулярно плоскости. Диаграмма свободного тела показана с нормальной силой, статической силой трения и компонентами веса [латекс] m\overset{\to }{g} [/latex]. Трение заставляет цилиндр катиться по плоскости, а не скользить.
Замена из диаграммы свободного тела,
[латекс] \begin{array}{ccc}\hfill mg\,\text{sin}\,\theta -{f}_{\text{S}}& =\hfill & m{({a}_ {\ text {CM}})} _ {x}, \ hfill \\ \ hfill N-mg \, \ text {cos} \, \ theta & = \ hfill & 0, \ hfill \\ \ hfill {f} _{\text{S}}& \le \hfill & {\mu }_{\text{S}}N,\hfill \end{массив} [/latex]
мы можем тогда найти линейное ускорение центра масс из этих уравнений:
[латекс] {({a} _ {\ text {CM}})} _ {x} = g (\ text {sin} \, \ theta — {\ mu } _ {S} \ text {cos} \ ,\тета). [/латекс]
Однако полезно выразить линейное ускорение через момент инерции.
Для этого запишем второй закон Ньютона для вращения[латекс] \sum {\tau}_{\text{CM}}={I}_{\text{CM}}\alpha . [/латекс]
Крутящие моменты рассчитываются относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра. Единственный ненулевой крутящий момент обеспечивается силой трения. У нас есть
[латекс] {f}_{\text{S}}r={I}_{\text{CM}}\alpha . [/латекс]
Наконец, линейное ускорение связано с угловым ускорением на
[латекс] {({a}_{\text{CM}})}_{x}=r\alpha . [/латекс]
Эти уравнения можно использовать для решения для [латекса] {a}_{\text{CM}},\alpha ,\,\text{and}\,{f}_{\text{S}} [/latex ] с точки зрения момента инерции, где мы опустили индекс x -. Запишем [латекс] {а}_{\текст{СМ}} [/латекс] через вертикальную составляющую силы тяжести и силы трения и сделаем следующие замены.
[латекс] {a}_{\text{CM}}=g\text{sin}\,\theta -\frac{{f}_{\text{S}}}{m} [/latex] 9{2})}=\frac{1}{3}\text{tan}\,\theta . [/латекс]
Значение
- Линейное ускорение линейно пропорционально [латекс] \text{sin}\,\theta . [/latex] Таким образом, чем больше угол наклона, тем больше линейное ускорение, как и следовало ожидать. Угловое ускорение, однако, линейно пропорционально [латекс] \текст{sin}\,\тета [/латекс] и обратно пропорционально радиусу цилиндра. Таким образом, чем больше радиус, тем меньше угловое ускорение.
- Чтобы не происходило скольжения, коэффициент статического трения должен быть больше или равен [латекс] (1\текст{/}3)\текст{тан}\,\тета [/латекс]. Таким образом, чем больше угол наклона, тем больше должен быть коэффициент трения покоя, чтобы цилиндр не проскальзывал.
Проверьте свое понимание
Полый цилиндр находится на наклонной поверхности под углом [латекс] 60\text{°}. [/latex] Коэффициент статического трения на поверхности [латекс] {\mu }_{S}=0,6 [/латекс]. а) Катится ли цилиндр без проскальзывания? (b) Будет ли сплошной цилиндр катиться без проскальзывания 9{2})}. [/latex]
Это очень полезное уравнение для решения задач, связанных с качением без проскальзывания. Обратите внимание, что ускорение меньше, чем у объекта, скользящего по плоскости без трения без вращения. Ускорение также будет разным для двух вращающихся цилиндров с разной инерцией вращения.
Качение с проскальзыванием
В случае качения с проскальзыванием мы должны использовать коэффициент кинетического трения, который приводит к кинетической силе трения, поскольку статического трения нет. Ситуация показана на (рис.). В случае проскальзывания [латекс] {v}_{\text{CM}}-R\omega \ne 0 [/латекс], поскольку точка P на колесе не покоится на поверхности, а [латекс] {v}_{P}\ne 0 [/латекс]. Таким образом, [латекс] \omega \ne \frac{{v}_{\text{CM}}}{R},\alpha \ne \frac{{a}_{\text{CM}}}{R} [/латекс].
Рисунок 11.6 (a) Между колесом и поверхностью возникает кинетическое трение, потому что колесо проскальзывает. (b) Простые отношения между линейными и угловыми переменными больше не действительны.
Пример
Скатывание по наклонной плоскости с проскальзыванием
Твердый цилиндр скатывается по наклонной плоскости из состояния покоя и испытывает скольжение ((Рисунок)). Он имеет массу m и радиус r . а) Чему равно его линейное ускорение? б) Чему равно его угловое ускорение относительно оси, проходящей через центр масс?
Стратегия
Нарисуйте эскиз и диаграмму свободного тела, показывающие задействованные силы. Диаграмма свободного тела аналогична случаю отсутствия проскальзывания, за исключением того, что сила трения является кинетической, а не статической. Используя второй закон Ньютона, найдите ускорение в x — направление. Используйте второй закон вращения Ньютона, чтобы найти угловое ускорение.
Решение
Рис. 11.7 Твердый цилиндр скатывается по наклонной плоскости из состояния покоя и испытывает скольжение. Система координат имеет x в направлении вниз по наклонной плоскости и y вверх перпендикулярно плоскости. Диаграмма свободного тела показывает нормальную силу, кинетическую силу трения и компоненты веса [латекс] m\overset{\to}g}. [/latex]
Сумма сил в y -направление равно нулю, поэтому сила трения теперь равна [латекс] {f} _ {\ text {k}} = {\ mu } _ {\ text {k}} N = {\ mu } _ {\ текст{k}}мг\текст{cos}\,\тета . [/latex]
Второй закон Ньютона в направлении x становится
[латекс] \sum {F}_{x}=m{a}_{x}, [/latex]
[латекс] мг \, \ текст {грех} \, \ тета — {\ му} _ {\ текст {к}} мг \, \ текст {соз} \, \ тета = м {({а} _ {\ текст {CM }})}_{x}, [/latex]
или
[латекс] {({a}_{\text{CM}})}_{x}=g(\text{sin}\, \ тета — {\ му } _ {\ текст {K}} \, \ текст {cos} \, \ тета). [/латекс] 9{2}\альфа . [/latex]
Решая для [латекс] \альфа [/латекс], мы имеем
[латекс] \альфа =\фрак{2{е}_{\текст{к}}}{мр}=\фракция {2{\mu} _{\text{k}}g\,\text{cos}\,\theta}{r}. [/latex]
Значение
Запишем линейное и угловое ускорения через коэффициент кинетического трения. Линейное ускорение такое же, как у тела, скользящего по наклонной плоскости с кинетическим трением. Угловое ускорение относительно оси вращения линейно пропорционально нормальной силе, зависящей от косинуса угла наклона. Как [латекс]\тета\до 90\text{°} [/latex], эта сила стремится к нулю, и, таким образом, к нулю обращается угловое ускорение. {2}+mgh. [/латекс]
В отсутствие каких-либо неконсервативных сил, которые отбирали бы энергию из системы в виде тепла, полная энергия катящегося объекта без проскальзывания сохраняется и постоянна на протяжении всего движения. Примерами, когда энергия не сохраняется, являются катящийся объект, который скользит, выделение тепла в результате кинетического трения и катящийся объект, встречающий сопротивление воздуха.
Вы можете спросить, почему катящийся объект, который не скользит, сохраняет энергию, ведь сила трения покоя не является консервативной. Ответ можно найти, вернувшись к (Рисунок). Пункт P при контакте с поверхностью находится в состоянии покоя относительно поверхности. Следовательно, его бесконечно малое смещение [латекс] d\overset{\to }{r} [/латекс] относительно поверхности равно нулю, а дополнительная работа силы трения покоя равна нулю. Мы можем применить закон сохранения энергии к нашему изучению качения, чтобы получить некоторые интересные результаты.
Пример
Марсоход Curiosity
Марсоход Curiosity , показанный на (Рисунок), был отправлен на Марс 6 августа 2012 года. Колеса марсохода имеют радиус 25 см. Предположим, астронавты прибывают на Марс в 2050 году и обнаруживают ныне недействующий Curiosity на краю бассейна. Пока разбирают марсоход, космонавт случайно теряет сцепление с одним из колес, которое катится, не соскальзывая, на дно котловины на 25 метров ниже. Если колесо имеет массу 5 кг, какова его скорость на дне чаши?
Рис. 11.8 Марсоход НАСА «Кьюриосити» во время испытаний 3 июня 2011 года. Местонахождение находится внутри Цеха сборки космических кораблей в Лаборатории реактивного движения НАСА в Пасадене, Калифорния. (кредит: NASA/JPL-Caltech)
Стратегия
Мы используем сохранение механической энергии для анализа проблемы. На вершине холма колесо покоится и обладает только потенциальной энергией. На дне бассейна колесо имеет вращательную и поступательную кинетическую энергию, которая должна быть равна начальной потенциальной энергии по закону сохранения энергии. Поскольку колесо катится без проскальзывания, мы используем соотношение [латекс] {v}_{\text{CM}}=r\omega [/латекс], чтобы связать поступательные переменные с вращательными переменными в уравнении сохранения энергии. Затем находим скорость. Из (рис.) видно, что полый цилиндр является хорошим приближением для колеса, поэтому мы можем использовать этот момент инерции для упрощения расчета. 9{2})25,0\,\text{m}}=9,63\,\text{m}\text{/}\text{s}\text{.} [/latex]
Значение
Это довольно точный результат, учитывая, что на Марсе очень мало атмосферы, и потери энергии из-за сопротивления воздуха будут минимальными. Результат также предполагает, что местность гладкая, так что колесо не будет натыкаться на камни и неровности на своем пути.
Кроме того, в этом примере кинетическая энергия или энергия движения поровну распределяется между линейным и вращательным движением. Если мы посмотрим на моменты инерции на (рисунок), то увидим, что полый цилиндр имеет наибольший момент инерции для данного радиуса и массы. Если бы колеса вездехода были твердыми и аппроксимировались твердыми цилиндрами, например, кинетическая энергия была бы больше при прямолинейном движении, чем при вращательном. Это дало бы колесу большую линейную скорость, чем приближение полого цилиндра. Таким образом, сплошной цилиндр достигнет дна бассейна быстрее, чем полый цилиндр.
Резюме
- При качении без проскальзывания между катящимся объектом и поверхностью возникает сила трения покоя. Соотношения [латекс] {v}_{\text{CM}}=R\omega ,{a}_{\text{CM}}=R\alpha ,\,\text{and}\,{d}_ Применяются все {\text{CM}}=R\theta [/latex], так что линейная скорость, ускорение и расстояние до центра масс представляют собой угловые переменные, умноженные на радиус объекта.
- При качении с проскальзыванием между катящимся объектом и поверхностью возникает кинетическая сила трения. В этом случае [латекс] {v}_{\text{CM}}\ne R\omega ,{a}_{\text{CM}}\ne R\alpha ,\,\text{and}\, {d}_{\text{CM}}\ne R\theta[/latex].
- Энергосбережение можно использовать для анализа движения качения. Энергия сохраняется при качении без проскальзывания. Энергия не сохраняется при качении с проскальзыванием из-за тепла, выделяемого кинетическим трением.
Концептуальные вопросы
Может ли круглый объект, выведенный из состояния покоя на вершине склона без трения, совершить качение?
Показать решение
Цилиндрическая банка радиусом R катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. а) На какое расстояние переместится его центр масс после одного полного оборота банки? б) Будет ли это расстояние больше или меньше, если произойдет скольжение?
Колесо высвобождается сверху на уклоне. Колесо, скорее всего, будет скользить, если уклон будет крутым или пологим?
Показать решение
Что быстрее катится по наклонной плоскости, полый цилиндр или сплошной шар? Оба имеют одинаковую массу и радиус.
Полая сфера и полый цилиндр одинакового радиуса и массы катятся по склону без проскальзывания и имеют одинаковую начальную скорость центра масс. Какой объект достигает большей высоты, прежде чем остановиться?
Показать решение
Задачи
Какова угловая скорость шины диаметром 75,0 см на автомобиле, движущемся со скоростью 90,0 км/ч?
Показать ответ
Мальчик проехал на велосипеде 2,00 км. Колеса имеют радиус 30,0 см. На какой общий угол поворачиваются шины во время его поездки?
Если мальчик на велосипеде в предыдущей задаче разгоняется из состояния покоя до скорости 10,0 м/с за 10,0 с, каково угловое ускорение шин?
Показать решение
Гоночные автомобили Формулы-1 имеют шины диаметром 66 см. Если Формула-1 развивает среднюю скорость 300 км/ч во время гонки, каково угловое смещение в оборотах колес, если гоночная машина поддерживает эту скорость в течение 1,5 часов?
Шарик скатывается по склону на [latex] 30\text{°} [/latex] из состояния покоя. а) Чему равно его ускорение? б) Какой путь он пройдет за 3,0 с?
Показать решение
Повторите предыдущую задачу, заменив шарик цельным цилиндром. Объясните новый результат.
Твердое тело с цилиндрическим поперечным сечением высвобождается из верхней части склона [латекс] 30\text{°} [/латекс]. Он опускается на 10,0 м за 2,60 с. Найти момент инерции тела через его массу м и радиус р.
Показать решение
Йо-йо можно представить в виде сплошного цилиндра массой m и радиусом r , по окружности которого намотана легкая нить (см. ниже). Один конец нити зафиксирован в пространстве. Если цилиндр падает при разматывании струны без проскальзывания, каково ускорение цилиндра?
Сплошной цилиндр радиусом 10,0 см катится по склону с проскальзыванием. Угол наклона [латекс] 30\text{°}. [/latex] Коэффициент кинетического трения о поверхность 0,400. Чему равно угловое ускорение твердого цилиндра? Чему равно линейное ускорение?
Показать решение
Шар для боулинга катится по пандусу высотой 0,5 м, не соскальзывая при этом на хранение. Его начальная скорость центра масс равна 3,0 м/с. а) Какова его скорость на вершине рампы? б) Если пандус имеет высоту 1 м, дойдет ли он до вершины?
Сплошной цилиндр массой 40,0 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 6,0 м/с. Какая работа требуется, чтобы остановить его?
Показать решение
Твердый шар массой 40,0 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 6,0 м/с. Какая работа требуется, чтобы остановить его? Сравните результаты с предыдущей задачей.
Сплошной цилиндр катится по склону под углом [латекс] 20\text{°}. [/latex] Если он стартует снизу со скоростью 10 м/с, как далеко он продвинется по склону?
Показать решение
Сплошное цилиндрическое колесо массой M и радиусом R притягивается силой [латекс] \overset{\to} {F} [/латекс], приложенной к центру колеса в точке [латекс] 37\ text{°} [/latex] по горизонтали (см. следующий рисунок). Если колесо должно катиться без проскальзывания, каково максимальное значение [латекс] |\overset{\to }{F}|? [/latex] Коэффициенты статического и кинетического трения равны [латекс] {\mu }_{\text{S}}=0,40\,\text{and}\,{\mu}_{\text{k}} =0,30. [/латекс]
Полому цилиндру придана скорость 5,0 м/с, и он катится по склону на высоту 1,0 м. Если полому шару той же массы и радиуса придать ту же начальную скорость, как высоко он поднимется по склону?
Показать решение
Глоссарий
- перекатывание
- сочетание вращательного и поступательного движения с проскальзыванием или без него
5.8: Качающееся и скользящее движение
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 17610
- Тимон Идема
- Делфтский технологический университет через TU Delft Open
Когда вы перемещаете объект по поверхности (например, книгу по столу), он обычно быстро замедляется из-за сил трения. Когда вы делаете то же самое с круглым предметом, например с бутылкой с водой, он может сначала немного скользить (особенно если сильно на него надавить), но быстро начнет вращаться. Вы легко можете проверить, что при вращении объект теряет гораздо меньше кинетической энергии для работы, чем при скольжении — возьмите ту же бутылку с водой либо на дно (только скольжение), либо на бок (немного скольжения плюс качение), толкните ее с ту же начальную силу, и отпустите: катящаяся бутылка улетает гораздо дальше. Однако, как это ни парадоксально, бутылка может катиться только благодаря трению. Чтобы начать катиться, ему необходимо изменить свой угловой момент, для чего необходим крутящий момент, который обеспечивается силой трения, действующей на бутылку.
Когда бутылка (или мяч, или любой круглый предмет) катится, мгновенная скорость точки, касающейся поверхности, по которой она катится, равна нулю. Следовательно, его скорость вращения \(\omega\) и поступательная скорость его центра вращения \(v_r\) (где нижний индекс r указывает на вращение) связаны соотношением \(v_r = \omega R\), причем R соответствующий радиус нашего объекта. Если центр вращения объекта движется быстрее, чем \(v_r\), вращение не может «поспевать», и объект скользит по поверхности. Мы называем этот тип движения проскальзыванием. Из-за трения скользящие объекты обычно быстро замедляются до \(v_r\), после чего они катятся без проскальзывания.
Обратите внимание, что вращательное движение может быть даже ретроградным, то есть обратным по сравнению с поступательным движением. (d-e) Поведение падающего бильярдного шара до и после столкновения с неподвижным шаром равной массы. Поскольку столкновение упругое, весь импульс передается другому шару. Если падающий мяч изначально катился, то сразу после столкновения он продолжит вращение с полным проскальзыванием. Затем трение заставляет мяч снова набирать линейную скорость с направлением, зависящим от направления вращательного движения, что приводит к удару вслед (d) или ничья (e).Предположим, мы начали наш объект со скоростью \(v_0\). Если вращения нет, то единственной силой, изменяющей его скорость, является постоянная сила трения
\[F_{\text{трение}} = \mu _k FN = \mu _k мг\]
с \(m\) массой объекта (уравнение 2.2.7). Постоянная сила приводит к линейному уменьшению поступательной скорости (см. раздел 2.3): \(v(t) = v_0 −\mu _k gt\). Однако, если наш объект может катиться, есть второй вклад в движение из-за крутящего момента \ (\ tau _ {\ text {friction}} = F _ {\ text {friction}} R \) силы трения. Используя вращательный аналог второго закона Ньютона, уравнение 5.4.1 (или записав \(L = I \omega\) и используя уравнение 5.7.1), мы получим уравнение движения для скорости вращения:
\[I \ alpha = I \ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} t} = \ tau _ {\ text { трение}} = F _ {\ text { трение}} R \ label { ialpha}\]
Интегрируя уравнение \ref{ialpha} с начальным условием \(\omega(t=0)=0\) получаем \(\omega(t)=\frac{\mu _{\mathrm{k}} m g R t} {Я}\). Таким образом, когда объект совершает скользящее движение, поступательная скорость линейно уменьшается со временем, тогда как скорость вращения линейно увеличивается. Чтобы найти время и скорость, с которой объект переходит в чистое качающееся движение, мы просто приравниваем \(v(t)\) к \(\omega(t) R\), что дает 92}}\]
Обратите внимание, что время \(t_r\) до достижения полного качения обратно пропорционально коэффициенту трения, но конечная скорость качения \(v_r\) не зависит от силы трения. Скорость прокатки зависит от момента инерции вашего объекта — для полого цилиндра это \(v_{\mathrm{r}}=\frac{1}{2} v_{0}\), тогда как для сплошного цилиндра это \(v _ {\ mathrm {r}} = \ frac {2} {3} v_ {0} \). Как только объект катится, его поверхность больше не движется относительно поверхности, по которой он катится (поскольку его мгновенная скорость в точке касания равна нулю). Следовательно, сила трения значительно снижается, и объект может катиться на большое расстояние, прежде чем остановится; на самом деле, основная сила, замедляющая его, когда он катится, — это сопротивление окружающему воздуху, которое мы могли спокойно игнорировать, когда (кинетическое) трение все еще присутствовало в картине.
5.8.1 Рабочий пример: цилиндр, катящийся по склону
Массивный цилиндр массой m и радиусом R катится без скольжения по плоскости, наклоненной под углом \(\theta\). Коэффициент (статического) трения между цилиндром и плоскостью равен \(\mu\). Найдите линейное ускорение цилиндра.
Рисунок \(\PageIndex{2}\): Схема свободного тела цилиндра, катящегося по плоскости.Решение
Есть как минимум три способа решить эту проблему. Для всех трех помогает (как всегда) сделать эскиз с указанием соответствующих сил — см.
Leave A Comment