Модуль ускорения материальной точки формула: Turn cookies on or off - Computer

Ускорение материальной точки – определение направления

3.9

Средняя оценка: 3.9

Всего получено оценок: 303.

3.9

Средняя оценка: 3.9

Всего получено оценок: 303.

Большинство движений в Природе являются неравномерными, они происходят с ускорением или замедлением. Рассмотрим понятие «ускорение материальной точки» более подробно.

Неравномерное движение

При равномерном движении материальная точка проходит за одинаковые промежутки времени одинаковые расстояния, и измерение скорости на любом участке дает одно и то же значение.

При неравномерном движении ситуация иная. Измерение скорости в различные моменты времени дает различные результаты. Нередок случай, когда мгновенная скорость в любой точке пути отличается от мгновенной скорости в любой другой точке. Возникает вопрос определения не только координаты, но и скорости в каждый момент времени и в каждой точке пути для неравномерного движения.

Рис. 1. Примеры неравномерного движения.

Типичным примером неравномерного движения является свободное падение тел. За первые 0.1с падения тело проходит только 5см пути, и мгновенная скорость в конце этого промежутка составит 0,98 м/с. А в конце первой секунды тело пройдет 5м пути, и мгновенная скорость в этот момент будет равна 9,8 м/с. Как получить значение имеющейся мгновенной скорости в любой момент времени ?

Ускорение

Для исследования свободного падения можно измерять мгновенную скорость через равный промежуток времени (например, через 0.1с), и результаты представить в виде таблицы. В первом столбце будет момент времени, во втором – мгновенная скорость. В третьем столбце вычислим разницу мгновенной скорости между текущим и предыдущим моментом времени.

Получим :

t(сек)	v(м/с)	Δv(м/с)
0.0	0.00	–
0. 1	0.98	0.98
0.2	1.96	0.98
0.3	2.94	0.98
0.4	3.92	0.98
0.5	4.91	0.98

Сразу бросается в глаза, что цифры в последнем столбце таблицы одинаковы. Это означает, что, хотя скорость постоянно меняется, разница скорости за одинаковый промежуток времени составляет одинаковую величину. Следовательно, для вычисления скорости в любой момент времени можно ввести специальную меру – ускорение.

Ускорение материальной точки равно отношению изменения скорости материальной точки к промежутку времени, за который это изменение произошло.

$$\overrightarrow a= {\overrightarrow v – \overrightarrow v_0\over t}$$

Из представленной формулы можно получить единицу измерения ускорения.

2$.

Рис. 2. Ускорение в физике.

Также из этой формулы видно, что ускорение – это векторная величина, и направление ускорения материальной точки совпадает с направлением изменения скорости. При этом и величину, и направление этого изменения необходимо получать с помощью правил сложения векторов. В частности, если конечная скорость больше начальной, и направлена в том же направлении, то и ускорение будет направлено туда же. Если конечная скорость меньше начальной, то ускорение будет направлено в противоположную сторону. В случае, если вектора начальной и конечной скоростей не параллельны, для определения результата следует либо пользоваться правилом параллелограмма, либо проецировать вектора на оси координат, и складывать или вычитать проекции в зависимости от их направления, а потом по проекциям получать результат.

Рис. 3. Сложение векторов.

Что мы узнали?

При неравномерном движении скорость тела изменяется. Для характеристики быстроты этого изменения вводится специальная величина – ускорение. Ускорение равно отношению изменения скорости за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Лза Якимова
5/5
Ярослав Никульшин
4/5

Оценка доклада

3.9

Средняя оценка: 3.9

Всего получено оценок: 303.

А какая ваша оценка?

Формула ускорения в физике

Содержание:

Определение и формула ускорения
Единицы измерения ускорения
Виды ускорения
Формула ускорения в разных системах координат
Примеры решения задач

Определение и формула ускорения

Определение

Ускорением (мгновенным ускорением) называют вектор, который определяет быстроту, с которой изменяется скорость перемещающейся материальной точки.

Обычно ускорение обозначают $\bar{a}$.

{2}}=\ddot{\bar{r}}(2)$$

где $\bar{r}$ – радиус – вектор, который определяет положение материальной точки в пространстве.

Вектор ускорения располагается в плоскости соприкосновения, в которой находится главная нормаль и касательная к траектории, при этом он имеет направление в сторону вогнутости траектории.

Единицы измерения ускорения

Основными единицами измерения ускорения в системе СИ является: [a]=м/с²

в СГС: [a]=см/с²

Виды ускорения

Если построить соприкасающуюся плоскость, в любой точке траектории, то вектор $\bar{a}$ разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие:

$$\bar{a}=\bar{a}_{n}+\bar{a}_{\tau}(3)$$

где $\bar{a}_n$ — вектор, направленный по главной нормали к центру кривизны траектории материальной точки – это нормальное ускорение; $\bar{a}_{\tau}$ — вектор, направленный по касательной к траектории – это касательное ускорение. При этом выполняются равенства:

$$a_{n}=\frac{v^{2}}{R}(4)$$ $$a_{\tau}=\frac{d}{d t}|\bar{v}|(5)$$ $$|\bar{a}|=a=\sqrt{a_{\tau}^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{v^{2}}{R}\right)^{2}+\dot{v}^{2}}(6)$$

где $|\bar{v}|=v$ – модуль вектора скорости, R – радиус кривизны траектории, a_n – проекция вектора $\bar{a}_n$ на направление единичного вектора главной нормали $(\bar{n})$, a_т – проекция вектора $\bar{a}_{\tau}$ на направление единичного вектора касательной $\left(\bar{\tau}=\frac{\bar{v}}{v}\right)$. Величина a_n определяет быстроту изменения направления скорости, а величина a_т — быстроту изменения модуля скорости.

Если $a_{\tau}=0$, то такое движение называют равномерным. При $a_{\tau}=$ const движение является равнопеременным (при $a_{\tau} < 0$ равнозамедленным, при $a_{\tau} > 0$ равноускоренным).

Средним ускорением материальной точки $\langle\bar{a}\rangle$ на отрезке времени от $t$ до $t+\Delta t$ называется векторная величина, равная отношению:

$$\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{\bar{v}(t+\Delta t)-\bar{v}(t)}{\Delta t}(7)$$

При $\Delta t \rightarrow 0$ в пределе среднее ускорение совпадает с мгновенным ускорением:

$$\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\langle\bar{a}\rangle(t, \Delta t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}=\frac{d \bar{v}}{d t}=\bar{a}(t)(8)$$

Формула ускорения в разных системах координат

В декартовых координатах проекции ускорения (a_x,a_y,a_z) на оси (X,Y,Z)можно представить как:

$$a_{x}=\dot{v}_{x}=\ddot{x}, \quad a_{y}=\dot{v}_{y}=\ddot{y}, a_{z}=\dot{v}_{z}=\ddot{z}(9)$$

Соответственно, имеем:

$$\bar{a}=\ddot{x i}+\ddot{y} \bar{j}+\ddot{z} \bar{k}(10)$$

где $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ – единичные орты по осям X,Y. {2}} \approx 13,5$ м/с²

Ответ. $a=\approx 13,5$ м/с²

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Какова зависимость ускорения материальной точки от времени (a(t)), если частица перемещается по оси X и ее скорость изменяется в соответствии с уравнением: $v=\alpha \sqrt{x}$, где $\alpha$ – постоянная большая нуля? В начальный момент времени (при t=0 с) материальная точка находилась в начале координат (x=0 м). Нарисуйте график a(t).

Решение. Из условий задачи можно записать, что:

$$v=v_{x}=\alpha \sqrt{x}=\frac{d x}{d t}(2.1)$$

Используя формулу (2.1) найдем зависимость координаты xот времени (x(t) ):

$$\int \alpha d t=\int \frac{d x}{\sqrt{x}} \rightarrow \alpha t=2 \sqrt{x}+C(2. {2}}{2}$ ускорение от времени не зависит, значит, график a(t) принимает вид (рис.2).

Читать дальше: Формула давления.

4.2 Вектор ускорения — University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Вычислить вектор ускорения по заданной функции скорости в виде единичного вектора.
Опишите движение частицы с постоянным ускорением в трех измерениях.
Используйте уравнения одномерного движения вдоль перпендикулярных осей для решения задачи в двух или трех измерениях с постоянным ускорением.
Выразите ускорение в виде единичного вектора.

Мгновенное ускорение

В дополнение к получению векторов смещения и скорости движущегося объекта, мы часто хотим знать его вектор ускорения в любой момент времени на его траектории. Этот вектор ускорения представляет собой мгновенное ускорение, и его можно получить из производной по времени функции скорости, как мы видели в предыдущей главе. m. а) Какова скорость? б) Чему равно ускорение? (c) Опишите движение из т = 0 с.

Стратегия

Мы можем получить некоторое представление о проблеме, взглянув на функцию положения. Это линейно в y и z , поэтому мы знаем, что ускорение в этих направлениях равно нулю, когда мы берем вторую производную. Также обратите внимание, что позиция в направлении x равна нулю для t = 0 с и t = 10 с.

Раствор

(a) Взяв производную по времени от функции положения, находим 9м/с2.

Вектор ускорения является константой в отрицательном направлении x .

(в) Траекторию частицы можно увидеть на рис. 4.9. Давайте сначала посмотрим в направлениях y и z . Положение частицы неуклонно увеличивается во времени с постоянной скоростью в этих направлениях. Однако в направлении x частица движется по положительному пути x до t = 5 с, после чего меняет направление на противоположное. Мы знаем это, глядя на функцию скорости, которая в это время становится нулевой, а затем отрицательной. Мы также знаем это, потому что ускорение отрицательное и постоянное, то есть частица ускоряется в противоположном направлении. Положение частицы достигает 25 м, где она затем меняет направление и начинает ускоряться в минус x направление. Позиция достигает нуля в t = 10 с.

Рисунок 4.9 Частица начинается в точке ( x , y , z ) = (0, 0, 0) с вектором положения r→=0r→=0, как показано красными звездочками. Синими точками показана проекция траектории на плоскость xy-. Значения y и z увеличиваются линейно как функция времени, тогда как x имеет точку поворота при t = 5 с и 25 м, когда оно меняет направление. В этот момент 9м/с2, где а, b, и с — константы. Что можно сказать о функциональном виде функции скорости?

Постоянное ускорение

Многомерное движение с постоянным ускорением можно рассматривать так же, как показано в предыдущей главе для одномерного движения. Ранее мы показали, что трехмерное движение эквивалентно трем одномерным движениям, каждое вдоль оси, перпендикулярной другим. Для построения соответствующих уравнений в каждом направлении рассмотрим двумерную задачу о движении частицы в 9.

Каждая составляющая движения имеет отдельный набор уравнений, подобных уравнениям 3. 10–3.14 из предыдущей главы об одномерном движении. Мы показываем только уравнения для положения и скорости в направлениях x и y . Аналогичный набор кинематических уравнений можно написать для движения в направлении z :

x(t)=x0+(vx)avgtx(t)=x0+(vx)avgt

4.11

vx(t)=v0x+axtvx(t)=v0x+axt

4.12

x(t)=x0+v0xt+12axt2x(t)=x0+v0xt+12axt2

4,13

vx2(t)=v0x2+2ax(x−x0)vx2(t)=v0x2+2ax(x−x0)

4,14

y(t)=y0+(vy)avgty(t)=y0+(vy)avgt

4,15

вы(т)=в0у+айтвы(т)=в0у+айт

4.16

y(t)=y0+v0yt+12ayt2y(t)=y0+v0yt+12ayt2

4,17

vy2(t)=v0y2+2ay(y−y0). vy2(t)=v0y2+2ay(y−y0).

4.18

Здесь индекс 0 обозначает начальное положение или скорость. Уравнения с 4.11 по Уравнение 4.18 можно заменить на Уравнение 4.2 и Уравнение 4.5 без 9)РС.

(a) Каковы x- и y -компоненты положения и скорости лыжника как функции времени? б) Каковы ее положение и скорость через t = 10,0 с?

Рисунок 4.10 Лыжник имеет ускорение 2,1 м/с22,1 м/с2 при спуске с уклоном 15°.15°. Начало системы координат находится в лыжной базе.

Стратегия

Поскольку мы оцениваем компоненты уравнений движения в

x и y направлений, нам нужно найти составляющие ускорения и подставить их в уравнения кинематики. Компоненты ускорения находятся в системе координат на рис. 4.10. Затем, подставляя компоненты начального положения и скорости в уравнения движения, мы можем найти ее положение и скорость в более позднее время t .

Раствор

(a) Начало системы координат находится на вершине холма с координатами y- 9ось 0042 вертикально вверх, а ось

x- горизонтально. Глядя на траекторию лыжника, компонент ускорения x- положительный, а компонент y- отрицательный. Поскольку угол составляет 15°15° вниз по склону, находим
ax=(2,1 м/с2)cos(15°)=2,0 м/с2ax=(2,1 м/с2)cos(15°)=2,0 м/с2
ay=(−2,1 м/с2)sin15° =−0,54 м/с2.ay=(−2,1 м/с2)sin15°=−0,54 м/с2.
Вставка начального положения и скорости в уравнение 4.12 и уравнение 4.13 для x , имеем
x(t)=75,0м+(4,1м/с)t+12(2,0м/с2)t2x(t)=75,0м+(4,1м/с)t+12(2,0м/ s2)t2
vx(t)=4,1 м/с+(2,0 м/с2)t.vx(t)=4,1 м/с+(2,0 м/с2)t.
Для

y имеем
y(t)=-50,0м+(-1,1м/с)t+12(-0,54м/с2)t2y(t)=-50,0м+(-1,1м/с )t+12(−0,54 м/с2)t2
vy(t)=−1,1 м/с+(−0,54 м/с2)t. vy(t)=−1,1 м/с+(−0,54 м/с2) т.
(b) Теперь, когда у нас есть уравнения движения для x и y как функции времени, мы можем оценить их в t = 10,0 с:
x(10,0 с)=75,0 м+(4,1 м/с2)(10,0 с)+12(2,0 м/с2)(10,0 с)2=216,0 м x(10,0 с)=75,0 м+ (4,1 м/с2)(10,0 с)+12(2,0 м/с2)(10,0 с)2=216,0 м
vx(10,0 с)=4,1 м/с+(2,0 м/с2)(10,0 с)=24,1 м/svx(10,0 с)=4,1 м/с+(2,0 м/с2)(10,0 с)=24,1 м/с

y(10,0 с)=-50,0 м+(-1,1 м/с)(10,0 с)+ 12(-0,54 м/с2)(10,0 с)2=-88,0млн (10,0 с)=-50,0 м+(-1,1 м/с)(10,0 с)+12(-0,54 м/с2)(10,0 с)2 =−88,0 м
vy(10,0 с)=−1,1 м/с+(−0,54 м/с2)(10,0 с)=−6,5 м/с.vy(10,0 с)=−1,1 м/с+(−0,54 м /с2)(10,0 с)=-6,5 м/с.
Положение и скорость на 9)РС.
Величина скорости лыжника в 10,0 с составляет 25 м/с, что составляет 60 миль/ч.
Значение
Полезно знать, что, зная начальные условия положения, скорости и ускорения объекта, мы можем найти положение, скорость и ускорение в любое время позже.
С помощью уравнений с 4.8 по 4.10 мы завершили набор выражений для положения, скорости и ускорения объекта, движущегося в двух или трех измерениях. Если траектории объектов выглядят примерно как «красные стрелки» на заставке к главе, то выражения для положения, скорости и ускорения могут быть довольно сложными. В следующих разделах мы рассмотрим два частных случая движения в двух и трех измерениях, рассматривая движение снаряда и круговое движение.
Интерактивный
На этом веб-сайте Университета Колорадо в Боулдере вы можете изучить позиционную скорость и ускорение божьей коровки с помощью интерактивного моделирования, позволяющего изменять эти параметры.
3.3 Среднее и мгновенное ускорение – University Physics Volume 1
3 Движение по прямой
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
Вычислять среднее ускорение между двумя моментами времени.
Рассчитайте мгновенное ускорение, учитывая функциональную форму скорости.
Объясните векторную природу мгновенного ускорения и скорости.
Объясните разницу между средним ускорением и мгновенным ускорением.
Найдите мгновенное ускорение в указанное время на графике зависимости скорости от времени.
Важность понимания ускорения охватывает наш повседневный опыт, а также обширные пространства космического пространства и крошечный мир субатомной физики. В повседневном разговоре до ускорить значит ускорить; при нажатии на педаль тормоза автомобиль замедляется. Например, мы знакомы с ускорением нашего автомобиля. Чем больше ускорение, тем больше изменение скорости за данное время. Ускорение широко используется в экспериментальной физике. Например, в экспериментах на линейных ускорителях субатомные частицы разгоняются до очень высоких скоростей в экспериментах по столкновению, которые сообщают нам информацию о структуре субатомного мира, а также о происхождении Вселенной. В космосе космические лучи представляют собой субатомные частицы, которые были ускорены до очень высоких энергий в сверхновых (взорвавшихся массивных звездах) и активных ядрах галактик. Важно понимать процессы, которые ускоряют космические лучи, потому что эти лучи содержат сильно проникающее излучение, которое может повредить электронику, например, на космическом корабле.
Среднее ускорение
Формальное определение ускорения согласуется с только что описанными понятиями, но является более всеобъемлющим.
Среднее ускорение
Среднее ускорение — скорость изменения скорости:
[латекс]\overset{\text{–}}{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\ frac{{v}_{\text{f}}-{v}_{0}}{{t}_{\text{f}}-{t}_{0}},[/latex]
где [latex]\overset{\text{−}}{a}[/latex] — среднее ускорение, v — скорость, а т это время. (Полоса над и означает , среднее ускорение .)
Поскольку ускорение представляет собой скорость в метрах, деленную на время в секундах, единицы СИ для ускорения часто обозначают м/с ², то есть метры в секунду. квадрат или метры в секунду в секунду. Это буквально означает, на сколько метров в секунду скорость изменяется каждую секунду. Напомним, что скорость — это вектор — она имеет как величину, так и направление — это означает, что изменение скорости может быть изменением величины (или скорости), но также может быть и изменением направления. Например, если бегун, движущийся со скоростью 10 км/ч строго на восток, замедляется до остановки, меняет направление и продолжает свой бег со скоростью 10 км/ч строго на запад, его скорость изменилась в результате изменения направления, хотя звездная величина скорости одинакова в обоих направлениях. Таким образом, ускорение возникает, когда скорость изменяется по величине (увеличение или уменьшение скорости) или по направлению, или по тому и другому.
Ускорение как вектор
Ускорение является вектором в том же направлении, что и изменение скорости, [латекс]\Delta v[/латекс]. Поскольку скорость является вектором, она может изменяться по величине или по направлению, или по обоим направлениям. Таким образом, ускорение — это изменение скорости или направления, или и того, и другого.
Имейте в виду, что хотя ускорение происходит в направлении изменения скорости, оно не всегда совпадает с направлением движения. Когда объект замедляется, его ускорение противоположно направлению его движения. Хотя это обычно называют замедлением Рисунок, мы говорим, что поезд ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения.
Рис. 3.10 Поезд метро в Сан-Паулу, Бразилия, замедляет скорость, приближаясь к станции. Он ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения. (кредит: Юсуке Кавасаки)
Термин замедление может вызвать путаницу в нашем анализе, поскольку он не является вектором и не указывает на определенное направление относительно системы координат, поэтому мы его не используем. Ускорение — это вектор, поэтому мы должны выбрать для него соответствующий знак в выбранной нами системе координат. В случае поезда на рисунке ускорение составляет в отрицательном направлении в выбранной системе координат , поэтому мы говорим, что поезд испытывает отрицательное ускорение.
Если объект в движении имеет скорость в положительном направлении по отношению к выбранному началу координат и приобретает постоянное отрицательное ускорение, объект в конце концов останавливается и меняет направление. Если мы подождем достаточно долго, объект пройдет через начало координат в противоположном направлении. Это показано на рисунке.
Рисунок 3.11 Объект, движущийся с вектором скорости на восток с отрицательным ускорением, останавливается и меняет направление. Он проходит начало координат, двигаясь в противоположном направлении через достаточно долгое время.
Пример
Расчет среднего ускорения: скаковая лошадь покидает ворота
Скаковая лошадь, выходящая из ворот, разгоняется из состояния покоя до скорости 15,0 м/с строго на запад за 1,80 с. Каково его среднее ускорение?
Рисунок 3.12 Скаковые лошади разгоняются за воротами. (кредит: Джон Салливан)
Стратегия
Сначала мы рисуем эскиз и назначаем систему координат задаче Рисунок. Это простая задача, но визуализировать ее всегда полезно. Обратите внимание, что мы назначаем восток как положительный, а запад как отрицательный. Таким образом, в этом случае мы имеем отрицательную скорость.
Рисунок 3.13 Определите систему координат, предоставленную информацию и то, что вы хотите определить.
Мы можем решить эту проблему, определив [латекс]\Delta v\,\text{и}\,\Delta t[/латекс] из данной информации, а затем рассчитав среднее ускорение непосредственно из уравнения [латекс]\overset {\ text {–}} {a} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = \ frac {{v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0}} {{t }_{\text{f}}-{t}_{0}}[/латекс].

Решение
Сначала определите известные значения: [латекс]{v}_{0}=0,{v}_{\text{f}}=-15,0\,\text{м/с}[ /латекс] (знак минус указывает направление на запад), Δ t = 1,80 с.
Во-вторых, найдите изменение скорости. Поскольку лошадь движется от нуля до –15,0 м/с, изменение ее скорости равно ее конечной скорости:
[латекс]\Delta v={v}_{\text{f}}-{v}_{0 }={v}_{\text{f}}=-15,0\,\text{м/с}. {2}.[/латекс]
Значение
Отрицательный знак ускорения указывает на то, что ускорение направлено на запад. Ускорение 8,33 м/с ² строго на запад означает, что лошадь увеличивает свою скорость на 8,33 м/с строго на запад каждую секунду; то есть 8,33 метра в секунду за секунду, что мы запишем как 8,33 м/с ² . Это действительно среднее ускорение, потому что езда не плавная. Позже мы увидим, что ускорение такой величины потребовало бы от всадника удержания силы, почти равной его весу. 9{2}.[/латекс]
Мгновенное ускорение
Мгновенное ускорение a или ускорение в определенный момент времени получают с использованием того же процесса, который обсуждался для мгновенной скорости. То есть мы вычисляем среднюю скорость между двумя моментами времени, разделенными [латекс]\Delta t[/латекс], и приближаем [латекс]\Дельта t[/латекс] к нулю. Результатом является производная функции скорости v ( t ), которая равна мгновенному ускорению и математически выражается как
[латекс]a(t)=\frac{d}{dt}v(t). [/latex]
Таким образом, подобно тому, как скорость является производной функции положения, мгновенное ускорение является производной функции скорости. Мы можем показать это графически так же, как мгновенную скорость. На рисунке мгновенное ускорение в момент времени t ₀ представляет собой наклон касательной к графику зависимости скорости от времени в момент времени t ₀ . Мы видим, что среднее ускорение [latex]\overset{\text{–}}{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}[/latex] приближается к мгновенному ускорению как [latex]\Delta t[/latex ] приближается к нулю. Также в части (а) рисунка мы видим, что скорость имеет максимум, когда ее наклон равен нулю. Это время соответствует нулю функции ускорения. В части (b) показано мгновенное ускорение при минимальной скорости, которая также равна нулю, так как наклон кривой и там равен нулю. Таким образом, для данной функции скорости нули функции ускорения дают либо минимальную, либо максимальную скорость.
Рисунок 3.14 На графике зависимости скорости от времени мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной. (a) Показано среднее ускорение [латекс]\overset{\text{–}}{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{{v}_{\text{f}} -{v}_{i}}{{t}_{\text{f}}-{t}_{i}}[/latex] между временами [latex]\Delta t={t}_{6} -{t}_{1},\Delta t={t}_{5}-{t}_{2}[/latex] и [латекс]\Delta t={t}_{4}-{ т}_{3}[/латекс]. Когда [latex]\Delta t\to 0[/latex], среднее ускорение приближается к мгновенному ускорению в момент времени t0. На виде (а) показано мгновенное ускорение для точки на кривой скорости при максимальной скорости. В этой точке мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной, который равен нулю. В любой другой момент времени наклон касательной и, следовательно, мгновенное ускорение не были бы равны нулю. (b) То же, что и (a), но показано для мгновенного ускорения при минимальной скорости.
Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, давайте рассмотрим два примера. Во-первых, показан простой пример с использованием рисунка (b), графика зависимости скорости от времени на рисунке, для графического определения ускорения. {2}\,\text{м/с}[/latex].
Найдите функциональную форму ускорения.
Найти мгновенную скорость в точке t = 1, 2, 3 и 5 с.
Найти мгновенное ускорение при т = 1, 2, 3 и 5 с.
Интерпретируйте результаты (c) с точки зрения направлений векторов ускорения и скорости.
Стратегия
Найдем функциональную форму ускорения, взяв производную от функции скорости. Затем вычисляем значения мгновенной скорости и ускорения по заданным функциям для каждого. Для части (d) нам нужно каждый раз сравнивать направления скорости и ускорения. 9{2}[/латекс]
В t = 1 с скорость [латекс]v(1\,\text{s)}=15\,\text{м/с}[/latex] положительна, а ускорение положительно, поэтому и скорость, и ускорения направлены в одну сторону. Частица движется быстрее.
При t = 2 с скорость увеличилась до[latex]v(2\,\text{s)}=20\,\text{м/с}[/latex], где она максимальна, что соответствует моменту, когда ускорение равно нулю. Мы видим, что максимальная скорость возникает, когда наклон функции скорости равен нулю, что равно нулю функции ускорения.
При t = 3 с скорость [латекс]v(3\,\text{s)}=15\,\text{м/с}[/латекс] и ускорение отрицательно. Частица уменьшила свою скорость, и вектор ускорения отрицателен. Частица замедляется.
При t = 5 с скорость [латекс]v(5\,\текст{с)}=-25\,\текст{м/с}[/латекс] и ускорение становится все более отрицательным. Между моментами времени t = 3 с и t = 5 с скорость частицы уменьшилась до нуля, а затем стала отрицательной, тем самым изменив свое направление. Теперь частица снова ускоряется, но в противоположном направлении.
Мы можем увидеть эти результаты графически на рисунке.
Рисунок 3.16 (a) Зависимость скорости от времени. Касательные линии указаны в моменты времени 1, 2 и 3 с. Наклоны касательных линий являются ускорениями. При t = 3 с скорость положительна. При t = 5 с скорость отрицательна, что указывает на то, что частица изменила направление. (b) Ускорение в зависимости от времени. Сравнивая значения ускорений, заданные черными точками, с соответствующими наклонами касательных (наклоны линий, проведенных через черные точки) на (а), мы видим, что они идентичны.
Значение
Выполняя численный и графический анализ скорости и ускорения частицы, мы можем многое узнать о ее движении. Численный анализ дополняет графический анализ, давая общее представление о движении. Ноль функции ускорения соответствует максимуму скорости в этом примере. Также в этом примере, когда ускорение положительно и в том же направлении, что и скорость, скорость увеличивается. По мере того, как ускорение стремится к нулю, со временем становясь отрицательным, скорость достигает максимума, после чего начинает уменьшаться. Если мы подождем достаточно долго, скорость также станет отрицательной, указывая на изменение направления. Реальным примером такого типа движения является автомобиль, скорость которого увеличивается до максимума, после чего он начинает замедляться, останавливается, а затем меняет направление.
Проверьте свое понимание
Самолет приземляется на взлетно-посадочной полосе, направляясь на восток. Опишите его ускорение.
Показать решение
Если мы возьмем восток за положительное значение, то ускорение самолета будет отрицательным, поскольку он движется на запад. Он также замедляется; его ускорение противоположно направлению его скорости.
Почувствуйте ускорение
Вы, вероятно, привыкли ощущать ускорение, когда входите в лифт или нажимаете на педаль газа в машине. Однако ускорение происходит и со многими другими объектами в нашей Вселенной, с которыми у нас нет прямого контакта. На рисунке представлены ускорения различных объектов. Мы можем видеть, что величины ускорений простираются на многие порядки.
25; 2; 5; 9.8; 29; 59; 79; 147; 982; 1540; 3200; 30,000; 1,000,000; 1.9 multiplied by 10 in the 9 power.»>
Типичные значения ускорения (кредит: Википедия: порядки величины (ускорение))
Ускорение Значение (м/с ² )
Скоростной поезд 0,25
Лифт 2
Гепард 5
Объект в свободном падении без сопротивления воздуха у поверхности Земли 9,8
Максимум космического челнока во время запуска 29
Пик парашютиста при нормальном раскрытии парашюта 59
Выход самолета F16 из пикирования 79
Катапультирование кресла взрывом из самолета 147
Спринт ракета 982
Самое быстрое пиковое ускорение ракетных саней 1540
Прыгающая блоха 9{9}[/латекс]
В этой таблице мы видим, что типичные ускорения сильно различаются для разных объектов и не имеют ничего общего с размером объекта или его массой. Ускорение также может сильно меняться со временем во время движения объекта. Дрэг-рейсер имеет большое ускорение сразу после старта, но затем оно уменьшается, когда транспортное средство достигает постоянной скорости. Его среднее ускорение может сильно отличаться от его мгновенного ускорения в определенный момент времени во время его движения. На рисунке графически сравнивается среднее ускорение с мгновенным ускорением для двух очень разных движений.
Рисунок 3.17 График зависимости мгновенного ускорения от времени для двух различных одномерных движений. а) Ускорение меняется незначительно и всегда в одном и том же направлении, так как оно положительно. Среднее значение по интервалу почти такое же, как ускорение в любой момент времени. (b) Ускорение сильно различается, возможно, это представляет собой пакет на ленточном конвейере почтового отделения, который ускоряется вперед и назад, когда он толкается. В такой ситуации необходимо рассматривать небольшие промежутки времени (например, от 0 до 1,0 с) с постоянным или почти постоянным ускорением.
Узнайте о графиках положения, скорости и ускорения. Перемещайте человечка вперед-назад с помощью мыши и зарисовывайте его движение. Установите положение, скорость или ускорение, и пусть симуляция переместит человека за вас. Посетите эту ссылку, чтобы использовать симуляцию движущегося человека.
Резюме
Ускорение — это скорость изменения скорости. Ускорение — это вектор; оно имеет как величину, так и направление. Единицей ускорения в системе СИ является метр в секунду в квадрате.
Ускорение может быть вызвано изменением величины или направления скорости, или и тем, и другим.
Мгновенное ускорение a ( t ) является непрерывной функцией времени и дает ускорение в любой конкретный момент времени во время движения. Он рассчитывается из производной функции скорости. Мгновенное ускорение — это наклон графика зависимости скорости от времени.
Отрицательное ускорение (иногда называемое замедлением) — это ускорение в отрицательном направлении в выбранной системе координат.
Концептуальные вопросы
Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, а ускорение не равно нулю?
Показать решение
Нет, в одном измерении постоянная скорость требует нулевого ускорения.
Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, а ускорение не равно нулю? Объяснять.
Приведите пример, в котором скорость равна нулю, а ускорение — нет.
Показать решение
Мяч подброшен в воздух, и его скорость равна нулю в точке броска, но ускорение не равно нулю.
Если поезд метро движется влево (имеет отрицательную скорость), а затем останавливается, то как направлено его ускорение? Ускорение положительное или отрицательное? 9{2}[/латекс]
Доктор Джон Пол Стэпп был офицером ВВС США, изучавшим влияние экстремального ускорения на организм человека. 10 декабря 1954 года Стэпп проехал на ракетных санях, разогнавшись из состояния покоя до максимальной скорости 282 м/с (1015 км/ч) за 5,00 с и резко остановившись всего за 1,40 с. Вычислите его (а) ускорение в направлении его движения и (б) ускорение, противоположное направлению его движения. Выразите каждое из них кратно г (9,80 м/с ² ), взяв его отношение к ускорению свободного падения.
Нарисуйте график зависимости ускорения от времени, используя следующий график зависимости скорости от времени.
Показать Ответ
Жительница пригородной зоны выезжает из гаража задним ходом с ускорением 1,40 м/с ² . а) За какое время она достигнет скорости 2,00 м/с? б) Если она затем затормозит до остановки через 0,800 с, каково ее ускорение?
Предположим, что межконтинентальная баллистическая ракета выходит из состояния покоя до суборбитальной скорости 6,50 км/с за 60,0 с (фактическая скорость и время засекречены). Чему равно его среднее ускорение в метрах в секунду и кратное г (9,80 м/с ² )?
Show Solution
[латекс]a=11,1 г[/латекс]
Самолет, стартовав из состояния покоя, движется по взлетно-посадочной полосе с постоянным ускорением в течение 18 с, а затем взлетает со скоростью 60 м/с.